Plano Cartesiano e Retas

Vitor Bruno

Engenharia Civil

Sistema cartesiano ortogonal

O sistema cartesiano ortogonal é formado

por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A

intersecção dos eixos x e y é o ponto O,

chamado de origem do sistema. Há uma

relação entre os pontos de um plano e o

conjunto de pares ordenados, isto é, a cada

ponto corresponde um único par

ordenado(x, y).

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Sistema cartesiano ortogonal

Exemplo:

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B

A

C

D

Sistema cartesiano ortogonal

Os pares ordenados são:

(3, 2) está associado o ponto A;

(-1, 4) está associado o ponto B;

(-2, -3) está associado o ponto C;

(2, -1) está associado o ponto D.

Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou a abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.

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Sistema cartesiano ortogonal

Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.

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x

y

1º quadrante (+, +)

2º quadrante (-, +)

3º quadrante (-, -)

4º quadrante (+, -)

Distância entre dois pontos

Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por d(A, B), é a medida do segmento de extremidades A e B.

• Exemplo:

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Como em ambos os pontos, o valor da ordenada é o mesmo (y = 1), a distância será a diferença entre as abcissas. d(A, B) = 3 – 1 = 2

A(1, 1) B(3, 1)

Distância entre dois pontos

• Exemplo:

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Nesse caso, como nem a ordenada e nem a abscissa dos pontos são iguais, usamos a relação de Pitágoras para obter a distância entre os pontos. [d(C, D)]2 = 32 + 22

d(C, D) = 13

2

3

C(1, 3)

D(4, 1)

Distância entre dois pontos

Temos uma fórmula que representa a

distância entre dois pontos independente da

localização deles. Para dois pontos

quaisquer, A e B, tal que A(x1, y1) e B(x2,

y2), teremos:

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d(A, B) = x2 − x12 + y2 − y1

2

Ponto médio de um segmento

Dado um segmento de reta AB tal que A e B são distintos, vamos determinar as coordenadas de M, ponto médio de AB. Considere:

• Um segmento com extremidades A(x1, y1) e B(x2, y2);

• O ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB.

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y

x x1 x2

y1

y2

A

M

B

Ponto médio de um segmento

Podemos concluir que, dado um segmento de extremidades A e B:

• A abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das abscissas das extremidades:

• A ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades:

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x = x2+ x1

2

y = y2+ y1

2

Ponto médio de um segmento

Assim, o ponto médio M do segmento AB,

pode ser obtido independente da

localização das extremidades usando as

fórmulas anteriores:

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M = x2+ x1

2,

y2+ y1

2

Coeficiente angular de uma reta

Consideremos uma reta r de inclinação

em relação ao eixo x.

O coeficiente angular ou a declividade

dessa reta r é o número real m que

expressa a tangente trigonométrica de sua

inclinação , ou seja:

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m = tg()

Coeficiente angular de uma reta

Vamos observar casos, considerando:

• 0º 180º

1º -

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x

y

r

Para = 0°, temos m = tg = tg 0° = 0, nesse caso temos uma reta horizontal.

Coeficiente angular de uma reta

2º -

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x

y

r

Para 0° < < 90°, temos tg > 0 m > 0

Coeficiente angular de uma reta

3º -

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x

y

r

Para 90° < < 180°, temos tg < 0 m < 0

Coeficiente angular de uma reta

4º -

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x

y

r

Para = 90°, a tg não é definida, nesse caso é uma reta vertical, ela não tem declividade

Coeficiente angular de uma reta

Agora vamos ver como calcular o coeficiente angular de uma reta a partir das coordenadas de dois de seus pontos.

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x

y r

A

B

C y

x

x1 x2

y2

y1

No triângulo ABC, temos:

tg = d(C, B)

d(A, C)

yx

y2 − y1

x2 − x1

Então:

m = yx

= y2

− y1

x2 − x1

Equação da reta

Vimos antes que dois pontos distintos

determinam uma reta, ou seja, existe uma

única reta que passa pelos dois pontos.

Da mesma forma, um ponto P(x0, y0) e a

declividade m determinam uma reta r.

Considerando ponto P(x, y) dessa reta,

veremos que se pode chegar a uma

equação, de incógnitas x e y.

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Equação da reta

Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta e tg = m, temos:

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x

y r

P0

P

C

x0 x

y

y0

tg = d(C, P)

d(P0, C) m =

y − y0

x − x0

y – y0 = m(x – x0)

Vamos praticar...

Uma reta passa pelo ponto P(-1, -5) e tem

coeficiente angular m = 1

2. Escreva a

equação da reta.

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Vamos praticar...

Tendo o ponto e o coeficiente angular, usaremos esses valores no modelo da equação.

y – y0 = m(x – x0)

y – (-5) = 1

2 [x – (-1)]

y + 5 = 𝑥

2 +

1

2

𝑥

2 - y +

1

2 - 5 = 0

x – 2y +1 – 10 = 0

x – 2y – 9 = 0

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Vamos praticar...

Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordenadas ortogonais e OABC é um retângulo. Nessas condições, escreva a equação da reta-suporte da diagonal AC.

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x

y

C B(8, 4)

A O

Vamos praticar...

Pela figura podemos as coordenadas do pontos A e C são:

A(8, 0)

C(0, 4)

Usando os dois pontos podemos encontrar a coeficiente angular.

m = y2

− y1x2

− x1 m =

4 − 0

0 − 8 m = -

4

8 m = -

𝟏

𝟐

Agora vamos usar um dos pontos junto com o coeficiente para encontrar a equação.

y – 4 = - 1

2 (x - 0) y – 4 = -

𝑥

2

𝑥

2 + y - 4 = 0 x + 2y – 8 = 0

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Vamos praticar...

(Vunesp) Num sistema de eixos cartesianos

ortogonais, x + 3y + 4 = 0 e 2x – 5y – 2 = 0

são, respectivamente, as equações das

retas r e s. Determine as coordenadas do

ponto de intersecção de r em s.

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Vamos praticar...

O ponto de interseção (x, y) deve satisfazer ao mesmo tempo ambas as equações. Assim, devemos resolver o sistema:

x + 3y + 4 = 0

2x – 5y – 2 = 0

Isolamos x na primeira equação:

x = -3y – 4

Agora aplicamos o x na segunda equação:

2(-3y - 4) – 5y – 2 = 0 -6y – 8 – 5y – 2 = 0

-11y – 10 = 0 y = - 10

11

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Vamos praticar...

Aplicamos o valor de y na primeira equação

para encontrar a coordenada x:

x = -3 − 10

11 – 4 x =

30

11 - 4 x =

30 − 44

11

x = −𝟏𝟒

𝟏𝟏

Assim, o ponto de intersecção das retas r e

s é −𝟏𝟒

𝟏𝟏,

−𝟏𝟎

𝟏𝟏.

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Vamos praticar...

(FEI-SP) A reta s é perpendicular à reta r e

a reta t é paralela à reta s. Determine a

equação da reta s e a equação da reta t.

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x

y

P(0, 3)

Q(4, 0)

O M(1, 0) r

s t

Vamos praticar...

Vamos determinar coeficiente angular da reta r, usando os dois pontos:

mr = 0 − 3

4 − 0 mr =

− 3

4

Como a reta r é perpendicular a reta s, temos:

mr ms = -1 − 3

4 . ms = -1 ms =

𝟒

𝟑

Agora podemos obter a equação da reta s:

y – 0 = 4

3(x - 4) y =

4𝑥

3 -

16

3

4𝑥

3 - y -

16

3 = 0

4x – 3y – 16 = 0

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Vamos praticar...

Como a reta t e paralela a reta s, os

coeficientes angulares são iguais, ou seja,

mt = 𝟒

𝟑. Com isso, já podemos determinar a

equação da reta t.

y – 0 = 𝟒

𝟑(x - 1) y =

𝟒𝒙

𝟑 -

𝟒

𝟑

𝟒𝒙

𝟑 - y -

𝟒

𝟑 = 0

4x – 3y – 4 = 0

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