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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Sinais aleatórios: aplicações em sinais biomédicos
Sérgio S Furuie
Ref. específicas: Cap. 2-Semmlow
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 2
Plano de aula
• Motivação: o que é e para que serve? • Tipos de sinais e representação de sinais • Ruídos • Processos estocásticos e ergódicos
– pdf – Operador E( ) – independentes
• Correlação/correlação cruzada – Relação entre espectro e correlação
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ECG com ruído: o que fazer?
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ECG
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p.alta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-2
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notch
< 70 Hz > 0.05 Hz exclusão 60, 180,
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Motivação / Importância
• Muitos fenômenos físicos de interesse da engenharia são representados por sinais temporais – determinísticos: velocidade, aceleração (em
condições ideais), ... – E aqueles que não podem ser preditos com
precisão=> dados e fenômenos randômicos • Ex.: intervalo RR do ritmo cardíaco
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Importância
• Lidar com a indeterminação na medição – valor esperado – variabilidade – intervalo de confiança – Ex.: T=37 ± 0,5
• Caracterização do ruído – otimização da estimativa das variáveis – otimização de processos estocásticos – Ex.: filtro de Wiener, Maximum likelihood
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Aplicações
• Filtragem de eventos de interesse • Atenuação do ruído • Análise de componentes • Deteção de eventos • Determinação de causa e efeito • Modelagem • Relação e correlação com outros eventos • ...
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Sinais • Sinais determinísticos: conteúdo no tempo e freq. • Sinais aleatórios: valores “ao acaso”. São
caracterizados: – pela probabilidade (caso discreto) – pela função densidade de probabilidade (caso contínuo)
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x1(t)
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t1 t2
x1(t)
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xn(t)
t
t
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0 50 100 150 200 250 30070
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x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
Temos vários sinais temporais de um fenômeno Ruidoso com SNR baixo: o que fazer?
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Processos estocásticos • Manifestação de fenômenos aleatórios • Caracterizado pela distribuição de probabilidade • Variável aleatória com dependência temporal ou
espacial (contínua ou discreta) – X(t) – Ex.: ruído em ECG
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Ruídos • Ruídos inerentes ao fenômeno físico
– efeito da respiração em ECG; – sinal da Mãe em ECG fetal
• Ruído ambiente, incluindo interferências – Acoplamento/indução de 60 Hz em sinais
• Ruído do transdutor – Detector de fótons (processo Poisson)
• Ruído eletrônico (DC a ~1012 Hz): branco – Ruído térmico (Johnson): fontes resistivas – Ruído de disparo (shot noise):semicondutores
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Exemplo em Matlab =>
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Exemplo
• Melhorar o estimador (variabilidade) com a raiz quadrada do número de amostras – potencial evocado – gated blood pool – gated SPECT – gated MRI
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Sinais ruidosos. Como medir similaridade ou relação?
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Correlação entre sinais amostrados • Média,Variância, Desvio-
padrão • Coeficiente de
correlação – Normalizado entre [0,1] – Extraídas as médias – Normalizado pelo d.
Padrão • Covariância
– Variação sem considerar a média
– (sem normalização por N-1)
– Variância de x=cov(x,x) – Operador correlação
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!xy =(x(n)!mx ).(y(n)!my )0
N!1"
x(n)!mx( )0
N!1"
2. x(n)!mx( )
0
N!1"
2
covxy = (x(n)!mx ).(y(n)!my )0
N!1"
!xy =covxy" x." y
Matlab: corrcoef()
mx =1N
x(n)0
N!1"
! 2x =
1N !1
(x(n)!mx )2
0
N!1"
covxy = (x(n)!mx ).(y(n)!my )0
N!1"
Escalares.Generalização: matriz de covariancias
corrxy = x(n).y(n)0
N!1"
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Como analisar mais de 2 sinais?
• Matriz de covariancias
• Sinais x1,x2,…xN
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covx1,x2 ,..,xN = covx! =
c11 c12 c1Nc21 c22 c2N
cN1 cN 2 cNN
!
"
#####
$
%
&&&&&
cij = covxi ,x j = (xi (n)'mxi).(x j (n)'mxj
)n=0
N'1(
corrx! = !ij
!
"
####
$
%
&&&&
!ij =cijcii.cjj
E se quisermos verificar um sinal ao longo do outro?
Matlab: cov(), corr()
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Correlação cruzada ou função correlação
• Seja x(n), n=0,N-1 • y(n), n=0,M-1 • M<N • Obs.:
– atentar para os limites de k= [-(N-1),M-1]
– Se necessário usar normalização pelo número de parcelas
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corrxy (k) = x(n).y(n+ k)n=0
M!1"
1 2 3 4 5 6 7
-4000
-2000
0
2000
Tempo (s)
EEG
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
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40
60
80
100
1 2 3 4 5 6 7
-4000
-2000
0
2000
Tempo (s)
EEG
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
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40
60
80
100
E se for entre o sinal e ele mesmo? Autocorrelação Matlab: xcov(), xcorr()
0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
0
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4
sina
l
entropia= 0.876 freq.amost= 200 Hz
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
auto
corr
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
20
40
60
fft
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
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hist
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Função autocorrelação
• Seja x(n), n=0,N-1 • Obs.:
– atentar para os limites de k= [-(N-1),N-1]
– Número de parcelas não é constante!
– Se necessário usar normalização pelo número de parcelas
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corrxx (k) = x(n).x(n+ k)n=0
N!1"
k = !(N !1), (N !1)
Matlab: xcorr()
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Sinal ECG:quasi-periódico, quasi-estac.
0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
0
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sina
l
entropia= 0.876 freq.amost= 200 Hz
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
auto
corr
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
20
40
60
fft
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
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0.4
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observações Definição mais geral (x(t), h(t): complexas, não-causais), porém não são médias (consistencia com convolução)*:
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∫∞
∞−+== dttxthxhcorrhx ).().(*)()( τττ
*Oppenheim (1989);Gonzalez(1993)
Se h(t) e x(t) forem reais:
)().().()()( ττττ −=+== ∫∞
∞− xhhx corrdttxthxhcorr
h ! x(! ) = x(t).h(t !! ).dt!"
"
# = x(t).h[!(! ! t)].dt!"
"
#$(h ! x)(! ) = [h(!t)% x(t)](! )Ou seja, a correlação entre um template h(t) e sinal x(t) em um ponto t0: a) Corresponde à ponderação de x(t) com h(t-t0); b) Corresponde também à convolução entre [x(t),h(-t)] c) É a saída de um filtro com resposta impulsiva h(-t)
convhx (! ) = h! x(! ) = h(t).x(! " t).dt"#
#
$ = x(t).h(! " t).dt"#
#
$
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Representação de sinais 1. Sinal no tempo x(t)
– Evolução temporal – Derivadas, duração, amplitudes, ...
2. Qual o conteúdo em frequência do sinal? Tipos de ruído? => Sinal no domínio da frequência [reversível]
3. Qual a distribuição das amplitudes do sinal x(t)? Variabilidade? Valores com maior ocorrência? => função densidade de probabilidade (pdf) [irreversível]
4. Como se relaciona com os pontos vizinhos? => Autocorrelação [irreversível] (obs.: relacionado com 2)
5. Qual o padrão (assinatura) do sinal? Representação multidimensional. Qual a correlação entre sinais?=> scatterplot [reversível]
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Sinal constante: determinístico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
sina
l
entropia= 0.000 freq.amost= 1000 Hz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
auto
corr
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
1000
2000
fft
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
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hist
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Sinal periódico: determinístico
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5
0
5
perio
dico
entropia= 1.314 freq.amost= 1000 Hz
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
0
1
auto
corr
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
1000
2000
fft
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.05
0.1
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Sinal ECG:quasi-periódico, quasi-estac.
0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
0
2
4
sina
l
entropia= 0.876 freq.amost= 200 Hz
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
auto
corr
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
20
40
60
fft
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
hist
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sinal estacionário
0 1 2 3 4 5 6 7 8-10000
-5000
0
5000
sina
l
entropia= 1.355 freq.amost= 100 Hz
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.5
0
0.5
1
auto
corr
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
5
10x 105
fft
-6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 30000
0.05
0.1
hist
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 28
Sinal branco gauss.: aleat..estac.,não-corr.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50
0
50
sina
l
entropia= 1.126 freq.amost= 100 Hz
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
auto
corr
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
fft
-30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.1
0.2
hist
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 29
sinais
0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
0
2
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sinal
entropia= 0.876 freq.amost= 200 Hz
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
autocorr
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
20
40
60
fft
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
histogram
a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
sinal
entropia= 0.000 freq.amost= 1000 Hz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
autocorr
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
1000
2000
fft
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
histogram
a
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5
0
5
periodico
entropia= 1.314 freq.amost= 1000 Hz
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1
0
1
autocorr
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
1000
2000
fft
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.05
0.1
histogram
a
0 1 2 3 4 5 6 7 8-10000
-5000
0
5000
sinal
entropia= 1.355 freq.amost= 100 Hz
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.5
0
0.5
1
autocorr
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
5
10x 105
fft
-6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 30000
0.05
0.1
histogram
a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50
0
50
sinal
entropia= 1.126 freq.amost= 100 Hz
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.5
0
0.5
1
autocorr
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
fft
-30 -20 -10 0 10 20 30 400
0.1
0.2
histogram
a
sina
l co
rr
psd
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Resumindo: Sinais • Sinais determinísticos: conteúdo no tempo e freq. • Sinais aleatórios: valores “ao acaso”. São
caracterizados: – pela probabilidade (caso discreto) – pela função densidade de probabilidade (caso contínuo)
30
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
PROBABILIDADE
31
PTC
245
6 –
Pro
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s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 32
Teoria: definição de V.A
• Dado um fenômeno aleatório com observável X
• Probabilidade: função Prob: A -> [0,1] – A é subconjunto do espaço amostral Ω – Prob(Ω)=1 – Prob(U {Aj})=Σ Prob(Aj), Ajdisjuntos
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 33
Campos aleatórios • Extensão multi-variada de v.a • vetores de v.a
– X=[ X1 X2 ... Xn]’ – Ex.: pixels vizinhos em imagens médicas,
EEG, ECG de múltiplos canais, ...
Ultra-som
I II III aVF ...
6
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 34
Variável aleatória
• Variável aleatória – v.a discreta: assume valores num conjunto
enumerável com certa probabilidade [Prob(X=a)=p]
• número de enfartes
– v.a contínua: assume valores num intervalo de números reais [ Prob( a≤X<b)=p]
• temperatura, intervalo RR
• Função • E(X) • Momentos 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
PTC
245
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Pro
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Sina
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os: p
roce
ssos
est
ocás
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 35
Teoria: função distr. Prob.
• Função discreta de probabilidade – X: v.a discreta com espaço amostral Ω – f(x)=Prob(X=x)
• Função densidade de probabilidade – X: v.a contínua – ∫ab f(x)dx=Prob( a ≤ X ≤ b) – f(x) >=0
• Função de distribuição de probabilidade – F(x)=Prob(X ≤ x)
PTC
245
6 –
Pro
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Sina
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 03/05/
12
36
Exemplos: distribuição normal 2
21
221),()(
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
== σµ
πσσµ
x
eNxp
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
PTC
245
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Sina
is b
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édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 37
Distribuição Poisson
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
!.)(n
enXPnλλ
λ
−
==
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sequência de eventos (λ=3) Ex. de fdp com λ=3
PTC
245
6 –
Pro
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inai
s B
iom
édic
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Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Olhando o sinal de 2 formas distintas
n x(n) 1 20 2 10 3 20 4 20 5 10 N=5 m
38
x(n), n=1, N
k x(k) Ocorrencias P(x) 1 10 2 2/5 2 20 3 3/5 K=2 E(x)
m =1N
x(n)n=1
N
!
E(x) = xk.P(xk )k=1
K
!
PTC
245
6 –
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Sina
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os: p
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ssos
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ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 39
Valor esperado: E( )
∑
∑
=
=
=
=
n
kii
n
kii
xgpXgE
xpXE
1
1
)(.)]([
.)(
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
=
=
dxxpxgXgE
dxxpxXE
).().()]([
).(.)(
v.a contínua
v.a discreta
7
PTC
245
6 –
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s B
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Sina
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iom
édic
os: p
roce
ssos
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ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 40
Momentos de VA
∫∞
∞−
= dxxpxXE kk ).(.)(∑=
=n
k
kii
k xpXE1.)(
Valor médio (momento de ordem 1):
Momento de ordem 2:
)(XE=µ
)( 22 XE=µ
Momentos centrais de ordem k: ])[( kk XE µσ −= P
TC 2
456
– P
roc.
Sin
ais
Bio
méd
icos
Si
nais
bio
méd
icos
: pro
cess
os e
stoc
ástic
os
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 41
Estimadores Dada uma amostra da v.a X: {x1,x2, ..., xn}
∑∞→
==n
in
xn
XE1
1)( limµ
∑ −=−=∞→
n
in
xn
XE1
222 )(1])[( lim µµσ
Êrro de tendência (bias) do estimador
φφφφ −=−= ∑∞→
n
in n
E1
ˆ1)ˆ( lim
Coef. Variação do estimador φ
φφε
]))ˆ(ˆ[( 2EEr
−==
PTC
245
6 –
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os: p
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Por que 1/(N-1)?
42
xi : amostras! independentes! de! Xµ = E(x)! 2 = E[(x !µ)2 ]estimadores! de! var iancias
! 2 =1N
(xi !µ)2
i=1
N
"
s2 = 1K
(xi ! x )2
i=1
N
"
x = 1N
xii=1
N
"
E(s2 ) = N !1K
! 2
Deduzir!
PTC
245
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roce
ssos
est
ocás
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 43
Variabilidade na estimativa da média
∑=n
ixn 1
1µ
∫=T
dttxT 0
).(1µ
Média em ensemble
Média no tempo
variabilidade
nx
x
µσ
rε
BTx
x
2µσ
Estimador
PTC
245
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roce
ssos
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ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Filtro de média síncrona Tirando proveito da aleatoriedade do ruído Ruído aditivo com média zero Exemplo de redução da variância na média
– Sejam X1,X2,...,XN: amostras independentes de uma variável aleatória X com média 0 e variância σ2
– Y: a média de X – Qual a média e variância de Y?
44
∑
∑
=
=
==
=
N
ii
N
ii
XEN
YE
XN
Y
1
1
0)(1)(
1
N
NNN
XN
Y
XY
XX
N
ii
σσ
σσ
=∴
==
= ∑=
2
2
21
2
.
)var(1)var(
PTC
245
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ocás
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 45
Exemplo
• Melhorar o estimador (variabilidade) com a raiz quadrada do número de amostras – potencial evocado – gated blood pool – gated SPECT – gated MRI
8
PTC
245
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Pro
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 46
Vetor (campo) randômico
n
n
xxxXP
n
n
n
xxxp
xxxXPXXXX
∂∂∂∂=
≤≤≤=
=
...)(
21
n2211
21
21),...,(
}X,...X,Prob{X)(]',...,,[
PTC
245
6 –
Pro
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s B
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os
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os: p
roce
ssos
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ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
FORMALIZANDO OS CONCEITOS: PROC. ESTOC.
47
PTC
245
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Pro
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roce
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est
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 48
Processo estocástico
• Para um dado fenômeno aleatório, que produz o registro x(t): – Ensemble: conjunto de todos os registros que
poderiam ter sido produzidos: {xi(t)} – processo aleatório: descrição do fenômeno
representado por {xi(t)} i=1,2,...
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
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iom
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Sina
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iom
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 49
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
Ensemble de processos estocásticos
PTC
245
6 –
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roce
ssos
est
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 50
ECGs adquiridos em instantes de tempo diferentes:50000ptos
PTC
245
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Sina
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roce
ssos
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ocás
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 51
Processos estacionários
• Dado ensemble {x(t)}, X(t) é: • fortemente estacionário se:
– momentos de qq ordem independem de t (em geral 1 e 2)
• fracamente estacionário se: – média e autocorrelação independem do
instante t
∫∞
∞−
== ttkt
kt
k dxxfxXE ).(.][µ
].[),()( τττ +== ttXXXX XXEtRR
t∀
t∀][ tXE=µ
9
PTC
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roce
ssos
est
ocás
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 52
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
processos estocásticos estacionários
PTC
245
6 –
Pro
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Sina
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iom
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 53
Processos estocásticos: exemplos
• v.a contínua com tempo contínuo – ECG
• v.a discreta com tempo contínuo – número de fótons em imagens de excreção
renal em Medicina Nuclear • v.a contínua com tempo discreto
– série de pressão sistólica, intervalo RR • v.a discreta com tempo discreto
– número de nascimentos por região por dia
PTC
245
6 –
Pro
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iom
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Sina
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roce
ssos
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ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 54
ECGs adquiridos em instantes de tempo diferentes:50000ptos
PTC
245
6 –
Pro
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Sina
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os: p
roce
ssos
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ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 55
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
processos estocásticos estacionários
PTC
245
6 –
Pro
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inai
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édic
os
Sina
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iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 56
Estatística sobre 25 segmentos de 2000 ptos
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-500
0
500
ecg
media max= 158 sqrt(x2Max)= 452
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-500
0
500
med
ia
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-500
0
500
sqrt(
x2)
media(t)
x2(t)
PTC
245
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Pro
c. S
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Sina
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 57
Estatística sobre 50 segmentos de 1000 ptos
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-500
0
500
ecg
media max= 87 sqrt(x2Max)= 376
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-500
0
500
med
ia
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-500
0
500
sqrt(
x2)
media(t)
x2(t)
10
PTC
245
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Pro
c. S
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s B
iom
édic
os
Sina
is b
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édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 58
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
Correlação em instantes de tempo
PTC
245
6 –
Pro
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os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 59
Correlação (normalizado) entre V.A
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1
0
1
t=1,2,3
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1
0
1
t=10
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1
0
1
t=100
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1
0
1
t=300
50 blocos de 500
xcorr(τ ;Δt) {entre x(t) e x(t+ Δt )}
Note o efeito do do xcorr devido ao preenchimento por zeros
PTC
245
6 –
Pro
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s B
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édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 60
Processos ergódicos • Processos estacionários com momentos e
autocorrelações iguais aos obtidos nos sinais temporais
∫∞
∞−
= ttkt
kt dxxfxXE ).(.][ ∫∞→=
T kT dttx
T 0).(1lim
∑=
∞→ +=n
iiin txtx
n 1)().(1lim τ
].[)( ττ += ttXX XXER
∫ += ∞→
T
iiT dttxtxT 0
)().(1lim τ
t∀
i∀
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 61
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
processos estocásticos ergódicos
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 62
Ergodicidade: amostras no instante
5 10 15 20 25-500
0
500
amos
tras
de e
cg
estatistica no tempo: media max= 28 sqrt(x2Max)= 294
5 10 15 20 25-500
0
500
med
ia
5 10 15 20 25-500
0
500
sqrt(
x2)
k=1 25 sinais
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 63
Estatística sobre 25 segmentos de 2000 ptos
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-500
0
500
ecg
media max= 158 sqrt(x2Max)= 452
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-500
0
500
med
ia
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-500
0
500
sqrt(
x2)
11
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 64
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-500
0
500
amos
tras
de e
cg
estatistica no tempo: media max= 68 sqrt(x2Max)= 335
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-500
0
500
med
ia
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-500
0
500
sqrt(
x2)
Ergodicidade: amostras no instante
k=1 50 sinais
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 65
Estatística sobre 50 segmentos de 1000 ptos
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-500
0
500
ecg
media max= 87 sqrt(x2Max)= 376
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-500
0
500
med
ia
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-500
0
500
sqrt(
x2)
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 67
Estimadores
∫−
+−
=τ
ττ
τT
xx dttxtxT
R0
).().(1)(ˆ
∫−
+−
=τ
ττ
τT
xy dttytxT
R0
).().(1)(ˆ
Estimadores sem bias:
0)ˆ(lim
0)ˆ(lim2 →−
→−
∞→
∞→
xxxxT
xxxxT
RRE
RRE
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 68
via dens. espectrais
)}({)(ˆ 1 fSFTTR xyxy
−
−=
ττ
Periodogramas de x(t) Sinais estacionários
2)(1)(ˆ wXN
wSxx =
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
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Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 69
∑=
=n
kkxx TfX
TnfS
1
2|),(|.1)(ˆ
∑=
=n
kkkxy TfYTfX
TnfS
1
* ),().,(.1)(ˆ
)(ˆ).(ˆ)|(ˆ|22
)(ˆfSfS
fSxy
yyxx
xyf =γ
Bartlett: particionamento R(τ) negligível p/ τ > T
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
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Sina
is b
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édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 70
Exemplo Welch: estimador de Sxx(f) 1) Janelamento c/ Hamming, Hanning... de x(n) p/ evitar descontinuidades 2) Periodogramas 3) Média
∑
∑
∑
=
−
=
−
=
−
=
=
=
Kiixx
M
nw
M
k
jwni
wi
wSK
wS
nwM
E
enwnxEM
wS
,1
1
0
2
1
0
2
)(1)(ˆ
)(1
|).().(|.1)(
12
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
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Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 71
1 2 3 4 5 6 7
-4000
-2000
0
2000
Tempo (s)
EEG
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
Hz
Periodograma do sinal inteiro (sem partição)
PTC
245
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 72
Espectro estimado pelo método de Welch
Window de Hanning 64 pontos overlap de 0%
PTC
245
6 –
Pro
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Sina
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
RESUMINDO: PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
73
PTC
245
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Sina
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 74
Correlação, covariância, dens. espect
• Análise facilitada se processo for ergódico – espaço amostral <=> sinal temporal
• Processo estocástico ergódico – {x(t)} e {y(t)} – representados pelas amostras x(t), y(t)
PTC
245
6 –
Pro
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s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 75
Correlação entre x(t) e x(t+τ)
)]().([)( ττ += txtxERxx
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
xn(t)
x1(t)
t t+τ
∫ += ∞→
T
Txx dttxtxT
R0
)().(1lim)( ττ
Se ergódicos=> autocorrelação:
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Correlação: variáveis aleatórias
78
Correlação [X e Y] – Correlação: corr(X,Y) – Função correlação
cruzada: X(t), Y(t) – F. autocorrelação: X
(t), X(t+ τ) Coeficiente de correlação
– Normalizado entre [0,1] – Extraídas as médias – Normalizado pelo d. padrão
].[),( YXEYXcorr =
)]().([)(
)]().([)(
ττ
ττ
+=
+=
tXtXEcorrtYtXEcorr
xx
xy
])[(
])[(
.)])([(
22
22
Yy
Xx
yx
YXxy
YE
XE
YXE
µσ
µσ
σσµµ
ρ
−=
−=
−−=
Matlab*: xcorr(x,y), corr(x,y), corrcoef(x,y)
*Cuidado com fatores de normalização
13
PTC
245
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Pro
c. S
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s B
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édic
os
Sina
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édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Covariância: variáveis aleatórias
79
Covariância [X e Y] – Covariância: cov(X,Y) – Função Covariância
cruzada: X(t), Y(t) – F. autocov: X(t), X(t+ τ)
Coeficiente de correlação – Normalizado entre [0,1] – Extraídas as médias – Normalizado pelo d. padrão
)]).([(),cov( YX YXEYX µµ −−=
)])().()([()(cov)])().()([()(cov
XXxx
YXXY
tXtXEtYtXE
µτµτµτµτ
−+−=
−+−=
])[(
])[(
)0(cov).0(cov)0(cov
.)])([(
22
22
Yy
Xx
YYXX
XYxy
yx
YXxy
YE
XE
YXE
µσ
µσ
ρ
σσµµ
ρ
−=
−=
=
−−=
Matlab: xcov(x,y), cov(x,y), corrcoef(x,y)
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 82
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x1(t)
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
t1 t2
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t
t
t
Correlação em instantes de tempo
PTC
245
6 –
Pro
c. S
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édic
os
Sina
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édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 87
Correlação cruzada entre x(t) e y(t+τ)
)]().([)( ττ += tytxERxy
t 0 50 100 150 200 250 300
70
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
x(t)
y(t)
t+τ
∫ += ∞→
T
Txy dttytxT
R0
)().(1lim)( ττ
Se ergódicos:
Estacionários:
PTC
245
6 –
Pro
c. S
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édic
os
Sina
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os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 88
Covariância entre x(t) e y(t+τ)
)])()()([()(cov yxxy tytxE µτµτ −+−=
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
x(t)
y(t)
t t+τ
∫ −+−= ∞→
T
yxTxy dttytxT 0
))().()((1lim)(cov µτµτ
Se ergódicos:
Estacionários:
PTC
245
6 –
Pro
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iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 89
Densidade espectral de potência
• Motivação – energia do sinal para cada banda de
frequência – espectro cruzado entre sinais – relação entre SDF e correlação
PTC
245
6 –
Pro
c. S
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s B
iom
édic
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Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 90
Densidade espectral de potência
ECG
Espectro
Autocorrelação
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1
0
1
2
3
t (s)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10
0
10
20
30
40
tau(s)
14
PTC
245
6 –
Pro
c. S
inai
s B
iom
édic
os
Sina
is b
iom
édic
os: p
roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 91
Densidade espectral de potência: conceito
0 50 100 150 200 250 30070
80
90
100
110
120
130
140
t
x4(t)
0 50 100 150 200 250 30060
70
80
90
100
110
120
130
t
x3(t)
xk(t)
yk(t)
]|),([|1lim)( 2TfXET
fS kTxx∞→
=
)],().,([1lim)( * TfYTfXET
fS kkTxy∞→
=
PTC
245
6 –
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roce
ssos
est
ocás
ticos
EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie 92
Correlação <=> espectro
)()}({ fSRF xyxy =τ
)()}({ fSRF xxxx =τ
Função coerência [0,1]:
)().()|(|22
)( fSfSfS
xy yyxx
xyf =γ
PTC
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EPUSP PTC/ LEB - S.Furuie
Bibliografia
• Biomedical Signal Analysis. R.M. Rangayyan. Wiley Interscience, 2002
• Signals and Systems (2nd Edition) A.V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. Nawab Hardcover: 957 pages. Publisher: Prentice Hall; 1996. ISBN-10: 0138147574.
93
