Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica

Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

PLANO DE AULA

1. IDENTIFICAÇÃO

Escola:

Município: Sombrio

Disciplina: Matemática

Ano: 1º ano

Nível: Ensino Médio

Professora: Raquel Conceição da Silva

Tempo estimado: 13 horas/aulas

2. TEMA: Função Exponencial e Introdução a Função Logarítmica

2.1. CONTEÚDO: A Função Exponencial; Equação Exponencial; Inequação Exponencial; Os

Fundamentos da Teoria dos Logaritmos; Os Conceitos de Logaritmos e suas Propriedades

Operatórias; Função Logarítmica.

3. JUSTIFICATIVA:

O ensino da matemática deve ser transmitido no convívio e na realidade do público a que

se destina, de maneira que ela se torne significativa ao mesmo tempo em que sua aprendizagem

seja prazerosa. O estudo das funções se inicia ainda no ensino fundamental (BNCC, 2017), onde

os alunos aprendem a localizar pontos no plano cartesiano e associar a uma equação linear de 1º

grau com duas incógnitas, formando retas. Posteriormente associam a uma equação polinomial do

2º grau. No ensino médio os alunos agregam a este conhecimento a ideia de função, que segundo

o Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) fornecem a capacidade mais ampla de abstração,

raciocínio, resolução de problemas, investigação, analise e compreensão de fatos matemáticos e

interpretação da própria realidade, no que envolve função do primeiro e segundo grau. A função

trata-se de um dos conceitos mais abordados no estudo da matemática, com simples manipulações

algébricas é possível calcular e tabelar preços, áreas, distâncias em relação ao tempo, entre muitas

outras situações problemas. Já a Função Exponencial e Logarítmica surge com a necessidade de

compreender muitos acontecimentos naturais e sociais como o crescimento populacional, a meia-

vida de uma substância, a medida da pressão atmosférica, o cálculo do montante em um sistema

de juros compostos e entre outros fenômenos. O que torna ainda mais relevante o estudo dessas

funções no Ensino Médio e ressalta seu papel na interdisciplinaridade da Matemática com outras

matérias (OLIVEIRA, 2014, p.10).

4. OBJETIVOS:

Objetivando desenvolver o conhecimento do campo algébrico, o ensino de função no

ensino médio visa transpor de registros algébricos e gráficos para interpretar diferentes situações

reais e calcular novas ordenadas. As atividades desenvolvidas serão aplicadas com objetivo de

conceber as seguintes competências:

a) Identificar função exponencial;

b) Construir o gráfico de uma função exponencial;

c) Resolver equações e inequações exponenciais;

d) Definir logaritmos;

e) Resolver problemas que envolvem logaritmos;

f) Reconhecer a função exponencial como inversa da logarítmica;

g) Identificar graficamente a função logarítmica;

5. CONTEÚDOS ENVOLVIDOS:

Par ordenado; produto cartesiano; relação entre grandezas variáveis; domínio e imagem;

construção e interpretação de gráfico; crescimento e decrescimento de uma função; problemas que

envolvam o conceito de função.

6. ESTRATÉGIAS:

As metodologias adotadas são as concepções histórico-cultural e histórico-crítica,

propostas pelo PCN (1997), PC-SC (2014) e o PPP (2018) da instituição. Para introdução da

função exponencial, será utilizada o método de modelagem em um modelo discreto.

6.1 Recursos: Quadro, pincel, livros didáticos, projetor de slides

6.2 Técnicas: Aula expositiva, dialogada, resolução de exercícios, modelagem experimental e

avaliação formativa.

7. PROCEDIMENTOS:

O campo algébrico é um território construído desde as séries iniciais. A alfabetização

matemática quando produzida historicamente, atenta-se as diferentes sociedades e culturas,

atendendo às necessidades concretas da humanidade (PCN, 1997). Ao chegar no ensino médio o

aluno atribuirá aos conhecimentos algébricos significados geométricos, físicos e sociais, para

solucionar problemas reais. Sendo assim, está aula será conduzida com a utilização de recursos

tecnológicos, no primeiro momento será esclarecido aos alunos como surgiu a função quadrática,

para que serve e a definição formal. Na sequência conheceram as propriedades de seus coeficientes

e sua projeção gráfica, também será utilizado do método de resolução de exercícios para fixação.

7.1 Historicização;

A notação exponencial possui seus primeiros registros em tabelas babilônicas a

aproximadamente 1000 a.C. Por volta de 1360 o Bispo francês Nicole Oresme deixou manuscritos

com notações utilizando potências com expoente com expoentes Racionais e irracionais e regras

sistematizadas para operar com potências. Ainda na França em 1484, o médico Nicolas Chuquet

utilizou potências com expoente zero.

Além desses, outros matemáticos contribuíram para o desenvolvimento da notação

exponencial, até que Descartes nos deixasse a notação de potência utilizada hoje. (OLIVEIRA,

2014, p. 26)

7.2 Operacionalizações da aula

AULA 1

1º Momento

Neste primeiro momento será dado uma revisão de Potenciação e Radiciação (PAIVA,

2013, p. 206) para introduzir o próximo conteúdo que será função exponencial e logarítmica.

Propriedades de potência

Sendo a um número real e n um número inteiro, definimos:

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅... ⋅ a (até n vezes) , se n > 1

a0 = 1, se a ≠ 0

a1 = a

a (−n ) = 𝟏

𝒂𝒏 , 𝒂 ≠ 𝟎

Na potência an o número a é chamado de base da potência e o número n é chamado de expoente.

Exemplos:

a) (-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8

b) (-2)4 = (-2).(-2).(-2).(-2) = 16

c) 8¹ = 8

d) 90 = 1

e) (√293)0 = 1

f) 4−2 = 1

4²=

1

16

g) 1

2−3= 23 = 8

OBS. Quando a base for negativa:

O resultado será negativo se o expoente for ímpar (-a)n = -r (n é ímpar = resultado

negativo).

O resultado será positivo se o expoente for par (-a)n = r (n é par = resultado negativo).

Propriedades das potências de expoente inteiro

Dados os números reais a e b e os números inteiros m e n, e obedecidas as condições para

que existam as potências, temos:

P1. 𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏

P2. 𝒂𝒎 ÷ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏

P3. (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏

P4. (𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏

P4. ( 𝒂

𝒃 )𝒏 =

𝒂𝒏

𝒃𝒏

Exemplos:

a) 𝟕𝟐. 𝟕𝟑 = 𝟕𝟐+𝟑 = 𝟕𝟓 = 𝟕. 𝟕. 𝟕. 𝟕. 𝟕 = 𝟏𝟔𝟖𝟎𝟕

b) 𝟐𝟓 ÷ 𝟐𝟑 = 𝟐𝟓−𝟑 = 𝟐²

c) 𝟑𝟑 ÷ 𝟑𝟓 = 𝟑𝟑−𝟓 = 𝟑−𝟐 = 𝟏

𝟑𝟐 =𝟏

𝟗

d) (𝟑𝟐)𝟑 = 𝟑𝟐.𝟑 = 𝟑𝟔 = 𝟕𝟐𝟗

e) (𝟐𝒙)𝟐 = 𝟐𝟐. 𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝟐

f) ( 𝟐

𝟑 )𝟐 =

𝟐𝟐

𝟑𝟐 =𝟒

𝟗

Propriedades de Radicais

Sendo a e b números reais não negativo e n, k e p números naturais não nulos, As mesmas

propriedades estudadas em potências com expoente inteiro são válidas para potências com

expoente racional.

P5. √𝒂 𝒏

. √𝒃𝒏

= √𝒂. 𝒃𝒏

P6. √𝒂

𝒏

√𝒃𝒏 = √

𝒂

𝒃

𝒏 , com b≠0

P7. √𝒂𝒌𝒑 𝒏𝒌= √𝒂𝒑 𝒏

P8. √𝒂𝒑𝒏= 𝒂

𝒑

𝒏

EXEMPLOS:

a) √𝟕 𝟑

. √𝟐𝟑

= √𝟕. 𝟐𝟑

= √𝟏𝟒𝟑

b) √𝟐𝟎𝟒

√𝟒𝟒 = √

𝟐𝟎

𝟒

𝟒= √𝟓

𝟒

c) √𝟖𝟐

= 𝟖𝟏

𝟐

Potências cujo expoente é um número racional

EXEMPLOS:

a) 𝟏𝟐𝟓𝟕

𝟑. 𝟏𝟐𝟓−𝟓

𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 𝟕−𝟓

𝟑 = 𝟏𝟐𝟓 𝟐

𝟑 = √𝟏𝟐𝟓𝟐 𝟑= √(𝟓𝟐)𝟑 𝟑

= 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓

b) 𝟏𝟔𝟏

𝟒 ÷ 𝟏𝟔−𝟏

𝟐 = 𝟏𝟔 𝟑

𝟒 = √𝟏𝟔𝟑 𝟒= √(𝟐𝟒)𝟑𝟒

= 𝟐𝟑 = 𝟖

c) (𝒂𝟏

𝟑. 𝒂𝟐

𝟑)3 = 𝒂. 𝒂²

d) √𝟖𝟓 𝟏𝟓= ( √𝟖

𝟑)𝟓 = 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐

e) (𝟑𝟒𝟑𝟏

𝟑)2 = 𝟑𝟒𝟑𝟐

𝟑 = √𝟑𝟒𝟑𝟐 𝟑= √(𝟕𝟑)²

𝟑= 𝟕𝟐 = 𝟒𝟗

f) (𝟑𝟐

𝟐𝟒𝟑)

𝟑

𝟓 = 𝟑𝟐

𝟑

𝟓

𝟐𝟒𝟑𝟑

𝟓

=√(𝟐𝟓)𝟑𝟓

√(𝟑𝟓)𝟑𝟓 =𝟐𝟑

𝟑𝟑=

𝟖

𝟐𝟕

AULA 2

1º Momento: registro da chamada e estudo de equações exponenciais classificadas em 3 tipos de

resolução.2

Equações exponenciais

Algumas equações apresenta a incógnita como expoente, nesse caso, tais equações serão

denominadas de equações exponenciais. Dividiremos as equações exponenciais em três tipos.

Estudaremos cada caso separadamente.

Exemplo (TIPO 1):

As equações do tipo 1 são resolvidas em 3 etapas:

1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.

2º PASSO: Desprezar as bases e considerar apenas a igualdade entre os expoentes.

3º PASSO: Resolver a igualdade;

a) 5x = 125

1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.

125 5

25 5 53 = 125 substituindo na equação temos 5x = 53 ⇒ x = 3

5 5

1

b) 3x = 𝟏

𝟖𝟏

1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.

81 3

27 3

9 3 34 = 81 substituindo na equação 3x = 𝟏

𝟑𝟒

3 3

1

2º PASSO: Desprezar as bases e considerar apenas a igualdade entre os expoentes.

3x = 𝟑−𝟒 ⇒ x = -4

c) 121(x-2) = 1

1º PASSO: Igualar as bases, usando a decomposição em fatores primos.

temos 121(x-2) = 1210

2º PASSO: Desprezar as bases e considerar apenas a igualdade entre os expoentes.

Desprezando as bases temos (x-2) = 0

3º PASSO: Resolver a igualdade;

(x-2) = 0 logo x = 2

d) 𝟒𝟗𝒙 = √𝟑𝟒𝟑𝟑

343 7

49 7 7³ = 343 e 7² =49 substituindo na equação temos (𝟕𝟐)𝒙 = √𝟕³𝟒

7 7

1

𝟕𝟐𝒙 = 𝟕𝟑

𝟒 → 𝟐𝒙 = 𝟑

𝟒 → 𝒙 =

𝟑

𝟒.

𝟏

𝟐 𝒍𝒐𝒈𝒐 𝒙 =

𝟑

𝟖

Exemplo (TIPO 2):

Neste caso vamos separar os termos com a incógnita em potências de mesma base e, em

seguida, faremos a mudança de variável. Utilizando as propriedade am+n = am.an e am-n = am÷an

a) 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟐𝒙+𝟐 = 𝟑𝟔

𝟐𝒙 ÷ 𝟐𝟏 + 𝟐𝒙. 𝟐𝟐 = 𝟑𝟔 ⇒ 𝟐𝒙

𝟐+ 𝟐𝒙. 𝟒 = 𝟑𝟔

Neste caso a mudança de variável que faremos será 𝟐𝒙 = 𝒎

Obtendo 𝒎

𝟐+ 𝟒. 𝒎 = 𝟑𝟔

𝒎+𝟖𝒎

𝟐= 𝟑𝟔 ⇒ 𝟗𝒎 = 𝟕𝟐 ⇒ 𝒎 = 𝟖

Substituindo: 𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑

x = 3

b) 𝟓𝒙+𝟏 + 𝟓𝒙+𝟐 = 𝟑𝟎

𝟓𝒙. 𝟓𝟏 + 𝟓𝒙. 𝟓𝟐 = 𝟑𝟎

Neste caso a mudança de variável que faremos será 𝟓𝒙 = 𝒎

Obtendo 𝒎. 𝟓 + 𝒎. 𝟐𝟓 = 𝟑𝟎

𝟑𝟎𝒎 = 𝟑𝟎 ⇒ 𝒎 = 𝟏

Sendo assim: 𝟓𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟎 x = 0

Exemplo (TIPO 3):

Neste caso fazemos a substituição de variável no termo em que o expoente está com a

incógnita, recaindo em uma equação do segundo grau que após ser resolvida deve-se validar a(s)

solução(ões) retornando a incógnita anterior.

a) 𝟐𝟐𝒙 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎

(𝟐𝒙)𝟐 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 Mudança de variável 𝟐𝒙 = 𝒎

Substituindo m na equação obtém-se 𝒎𝟐 − 𝟑𝒎 + 𝟐 = 𝟎

Resolvemos a equação de 2º grau: m = 𝟑±𝟏

𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 = 𝟏 e 𝒎𝟐 = 𝟐

𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟎 ⇒ x = 0

𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ x = 1

S = {0, 1}

b) 𝟒𝒙 − 𝟗. 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎

(𝟐𝒙)𝟐 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 Mudança de variável 𝟐𝒙 = 𝒎

Substituindo m na equação obtém-se 𝒎𝟐 − 𝟑𝒎 + 𝟐 = 𝟎

Resolvemos a equação de 2º grau: m = 𝟑±𝟏

𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 = 𝟏 e 𝒎𝟐 = 𝟐

𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟎 ⇒ x = 0

𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ x = 1

S = {0, 1}

EXERCÍCIOS

1) Determine os valores de x para as seguintes equações exponenciais (Tipo1):

a) 𝟐𝒙 = 𝟔𝟒

2𝑥 = 26 ⇒ x=6

b) 𝟖𝒙 = 𝟑𝟐

(23)𝑥 = 25 ⇒ 3x = 5 ⇒ x = 𝟓

𝟑

c) 𝟐𝒙+𝟒 = 𝟏𝟔

𝟐𝒙+𝟒 = 𝟐𝟒 ⇒ x+4 = 4 ⇒ x = 0

d) 𝟗𝒙 =𝟏

𝟑

(𝟑𝟐)𝒙 =𝟏

𝟑 ⇒ (

𝟏

𝟑−𝟐)𝒙 =𝟏

𝟑 ⇒ (

𝟏

𝟑)−𝟐𝒙 = (

𝟏

𝟑)¹

-2x = 1 ⇒ x = −𝟏

𝟐

e) 𝟐𝒙 =𝟏

𝟑𝟐

𝟐𝒙 =𝟏

𝟑𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 =

𝟏

𝟐𝟓 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐−𝟓 ⇒ x = -5

f) 𝟐𝟓(𝒙+𝟐) = 𝟏

𝟐𝟓(𝒙+𝟐) = 𝟏 ⇒ 𝟐𝟓(𝒙+𝟐) = 𝟐𝟓𝟎 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ x = -2

2) Determine os valores de x das seguintes equações exponenciais (Tipo 2):

a) 𝟑𝒙+𝟏 + 𝟑𝒙+𝟐 = 𝟏𝟐

𝟑𝒙. 𝟑𝟏 + 𝟑𝒙. 𝟑𝟐 = 𝟏𝟐

𝟑𝒙. 𝟑 + 𝟑𝒙. 𝟗 = 𝟏𝟐 mudança de variável m = 𝟑𝒙

𝒎. 𝟑 + 𝒎. 𝟗 = 𝟏𝟐 temos uma equação do primeiro grau

𝟑𝒎 + 𝟗𝒎 = 𝟏𝟐 ⇒ 𝟏𝟐𝒎 = 𝟏𝟐 ⇒ 𝒎 = 𝟏

𝟑𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟎 ⇒ x = 0

b) 𝟓𝒙−𝟐 + 𝟓𝒙+𝟏 = 𝟏𝟐𝟔

𝟓𝒙

𝟓𝟐+ 𝟓𝒙. 𝟓𝟏 = 𝟏𝟐𝟔

𝟓𝒙

𝟐𝟓+ 𝟓𝒙. 𝟓 = 𝟏𝟐𝟔 Mudança de variável 𝟓𝒙 = 𝒎

𝒎

𝟐𝟓+ 𝟓𝒎 = 𝟏𝟐𝟔

𝒎 + 𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟓= 𝟏𝟐𝟔 ⇒ 𝟏𝟐𝟔𝒎 = 𝟏𝟐𝟔. 𝟐𝟓 ⇒ 𝒎 =

𝟏𝟐𝟔

𝟏𝟐𝟔. 𝟐𝟓 ⇒ 𝒎 = 𝟐𝟓

Substituindo 𝟓𝒙 = 𝟐𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟐 ⇒ x = 2

c) 𝟐𝒙+𝟑 = 𝟐𝒙−𝟐 + 𝟔𝟐

𝟐𝒙. 𝟐𝟑 =𝟐𝒙

𝟐𝟐 + 𝟔𝟐 MUDANÇA DE VARIÁVEL 𝟐𝒙 = 𝒎

𝟖𝒎 =𝒎

𝟒+ 𝟔𝟐 ⇒ 𝟖𝒎 −

𝒎

𝟒= 𝟔𝟐 ⇒ 𝟑𝟐𝒎 − 𝒎 = 𝟔𝟐. 𝟒

𝟑𝟏𝒎 = 𝟔𝟐. 𝟒 ⇒ 𝒎 =𝟔𝟐

𝟑𝟏. 𝟒 ⇒ 𝒎 =

𝟔𝟐

𝟑𝟏. 𝟒 ⇒ 𝒎 = 𝟐. 𝟒 = 𝟖

𝟐𝒙 = 𝒎 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑 ⇒ x = 3

d) 𝟐𝒙−𝟏 + 𝟓. 𝟐𝒙 = 𝟏𝟏

𝟐𝒙

𝟐𝟏 + 𝟓. 𝟐𝒙 = 𝟏𝟏 mudança de variável 𝟐𝒙 = 𝒎

𝒎

𝟐+ 𝟓𝒎 = 𝟏𝟏 ⇒ 𝒎 + 𝟏𝟎𝒎 = 𝟐𝟐

𝟏𝟏𝒎 = 𝟐𝟐 ⇒ 𝒎 = 𝟐

𝟐𝒙 = 𝒎 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏

3) Determine o conjunto solução para x das seguintes equações exponenciais (Tipo 3):

a) 𝟒𝒙 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎

(𝟐𝟐)𝒙 − 𝟑. 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎 mudança 𝟐𝒙 = 𝒎

𝒎𝟐 − 𝟑𝒎 + 𝟐 = 𝟎

𝒎 =𝟑±√(−𝟑)𝟐−𝟒.𝟐

𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =

𝟑+𝟏

𝟐= 𝟐 𝒎𝟐 =

𝟑−𝟏

𝟐= 𝟏

∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟐 → 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏

∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟏 → 𝟐𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟎 ⇒ 𝑿 = 𝟎

S={0, 1}

b) 𝟐𝟓𝒙 − 𝟑𝟎. 𝟓𝒙 = −𝟏𝟐𝟓

(𝟓𝟐)𝒙 − 𝟑𝟎. 𝟓𝒙 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 mudança 𝟓𝒙 = 𝒎

𝒎𝟐 − 𝟑𝟎𝒎 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎

𝒎 =𝟑𝟎±√(−𝟑𝟎)𝟐−𝟒.𝟏𝟐𝟓

𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =

𝟑𝟎+𝟐𝟎

𝟐= 𝟐𝟓 𝒎𝟐 =

𝟑𝟎−𝟐𝟎

𝟐= 𝟓

∴ 𝟓𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟐𝟓 → 𝟓𝒙 = 𝟐𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟐 ⇒ 𝑿 = 𝟐

∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟓 → 𝟓𝒙 = 𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏

S={1, 2}

c) 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎. 𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎

(𝟐𝟐)𝒙 − 𝟏𝟎. 𝟐𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 mudança 𝟐𝒙 = 𝒎

𝒎𝟐 − 𝟏𝟎𝒎 + 𝟏𝟔 = 𝟎

𝒎 =𝟏𝟎±√(−𝟏𝟎)𝟐−𝟒.𝟏𝟔

𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =

𝟏𝟎+𝟔

𝟐= 𝟖 𝒎𝟐 =

𝟏𝟎−𝟔

𝟐= 𝟐

∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟖 → 𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑 ⇒ 𝑿 = 𝟑

∴ 𝟐𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟐 → 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏

S={1, 3}

d) 𝟑𝟐𝒙 = 𝟏𝟐. 𝟑𝒙 − 𝟐𝟕

𝟑𝟐𝒙 − 𝟏𝟐. 𝟑𝒙 + 𝟐𝟕 = 𝟎 mudança 𝟑𝒙 = 𝒎

𝒎𝟐 − 𝟏𝟐𝒎 + 𝟐𝟕 = 𝟎

𝒎 =𝟏𝟐±√(−𝟏𝟐)𝟐−𝟒.𝟐𝟕

𝟐 ⇒ 𝒎𝟏 =

𝟏𝟐+𝟔

𝟐= 𝟗 𝒎𝟐 =

𝟏𝟐−𝟔

𝟐= 𝟑

∴ 𝟑𝒙 = 𝒎𝟏 = 𝟗 → 𝟑𝒙 = 𝟗 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟐 ⇒ 𝑿 = 𝟐

∴ 𝟑𝒙 = 𝒎𝟐 = 𝟑 → 𝟑𝒙 = 𝟑 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟏 ⇒ 𝑿 = 𝟏

S = { 1, 2}

AULA 3

1º Momento: Após registro da chamada e finalização da correção dos exercícios dados

anteriormente, será dado continuação do conteúdo programático.

Inequação Exponencial

São inequações cujo variáveis estão no expoente de uma ou mais potencias de base positiva

e diferente de 1. Assim sendo existem duas situação a serem estudadas

1º Caso

Se a > 1 desprezamos as bases comuns e MANTEMOS o sinal de igualdade entre os

expoentes;

2º Caso

Se 0 < a < 1 desprezamos as bases comuns e INVERTEMOS o sinal da desigualdade

entre os expoentes;

Exemplo:

a)𝟗𝒙 ≤ 𝟐𝟕 = 𝟑𝟐𝒙 ≤ 𝟑𝟑 ⇒ 𝟐𝒙 ≤ 𝟑 ⇒ 𝒙 ≤𝟑

𝟐 V = { x ∈ R| x ≤

𝟑

𝟐}

b) (𝟏

𝟐)𝟐𝒙 > (

𝟏

𝟐)𝟒 = 𝟐𝒙 < 𝟒 ⇒ 𝒙 < 𝟐 V = { x ∈ R| x < 𝟐}

d) 𝟓𝒙 + 𝟓𝒙−𝟐 ≤ 𝟐𝟔 = 𝟓𝒙 + 𝟓

𝟓𝟐

𝒙≤ 𝟐𝟔 ⇒ mudança de variável 𝟓𝒙 = 𝒎

𝒎 +𝒎

𝟐𝟓 ≤ 𝟐𝟔 ⇒ 𝟐𝟔𝒎 ≤ 𝟐𝟔 ⇒ 𝒎 ≤ 𝟏 ⇒ 𝒔𝒖𝒃𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒏𝒅𝒐 ⇒ 𝟓𝒙 ≤ 𝟓𝟎 ⇒ 𝒙 ≤ 𝟎

V = { x ∈ R| x ≤ 𝟎}

2ºMomento – Resolução de exercícios (XAVIER, BARRETO, 2025, p.232) ( (PAIVA,

2013, p. 221).

Exercícios:

1) Qual conjunto verdade das inequações a seguir, considerando 𝐗 ∈ 𝐑:

a)𝟐𝟕𝒙+𝟐 > 𝟗𝒙+𝟓

𝟐𝟕𝒙. 𝟐𝟕𝟐 > 𝟗𝒙. 𝟗𝟓 ⇒ 𝟑𝟑𝒙. 𝟑𝟑.𝟐 > 𝟑𝟐𝒙. 𝟑𝟐.𝟓 ⇒ 𝟑𝟑𝒙+𝟔 > 𝟑𝟐𝒙+𝟏𝟎

⇒ 𝟑𝒙 + 𝟔 > 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 ⇒ 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 > 𝟏𝟎 − 𝟔 ⇒ 𝒙 > 𝟒

V = { 𝒙 ∈ R| 𝒙 > 𝟒 }

b) (𝟎, 𝟓)𝟒𝒙+𝟑 > (𝟎, 𝟐𝟓)𝒙+𝟓

⇒ (𝟎, 𝟓)𝟒𝒙+𝟑 > (𝟎, 𝟓²)𝒙+𝟓 ⇒ (𝟎, 𝟓)𝟒𝒙+𝟑 > 𝟎, 𝟓𝟐𝒙+𝟏𝟎

⇒ 𝟒𝒙 + 𝟑 < 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 ⇒ 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 < 𝟏𝟎 − 𝟑 ⇒ 𝒙 <𝟕

𝟐

V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 <𝟕

𝟐 }

c) (𝟎, 𝟑)𝟒𝒙−𝟓 > (𝟎, 𝟑)𝟐𝒙+𝟏

⇒ (𝟎, 𝟑)𝟒𝒙−𝟓 > (𝟎, 𝟑)𝟐𝒙+𝟓 ⇒

⇒ 𝟒𝒙 − 𝟓 < 𝟐𝒙 + 𝟓 ⇒ 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 < 𝟓 + 𝟓 ⇒ 𝟐𝒙 < 𝟏𝟎 ⇒ 𝒙 < 𝟓

V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 < 𝟓}

d) 𝟐𝒙 ≥ 𝟖 = 𝟐𝒙 ≥ 𝟐𝟑 ⇒ 𝟐𝒙 ≥ 𝟑 ⇒ 𝒙 ≥𝟑

𝟐

V = { x ∈ R| x ≥ 𝟑

𝟐}

e) (𝟏

𝟑)𝟐𝒙−𝟏 > 𝟑𝒙+𝟐

⇒ (𝟑−𝟏)𝟐𝒙−𝟏 > 𝟑𝒙+𝟐 ⇒ (𝟑)−𝟐𝒙+𝟏 > 𝟑𝒙+𝟐

⇒ −𝟐𝒙 + 𝟏 > 𝒙 + 𝟐 ⇒ −𝟐 + 𝟏 > 𝒙 + 𝟐𝒙 ⇒ −𝟏 > 𝟑𝒙 ⇒−𝟏

𝟑 > 𝒙

V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 >−𝟏

𝟑 }

f) (√𝟐)𝟐𝒙+𝟒 ≤ 𝟏

(√𝟐)𝟐𝒙−𝟏

(√𝟐)𝟐𝒙+𝟒 ≤ (√𝟐)−𝟐𝒙+𝟏 = (𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝑸𝑼𝑬 𝟏) 𝟐𝒙 + 𝟒 ≤ −𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟒𝒙 ≤ −𝟑

⇒ 𝒙 ≤ −𝟑

𝟒 V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 ≤

−𝟑

𝟒 }

g) (𝟐

𝟑)𝟑𝒙+𝟏 > 𝟏

(𝟐

𝟑)𝟑𝒙+𝟏 > (

𝟐

𝟑)

𝟎

(𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝑸𝑼𝑬 𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟏 < 𝟎 ⇒ 𝒙 <𝟏

𝟑

V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 <𝟏

𝟑 }

h) 𝟒𝟗𝒙+𝟏 > 𝟑𝟒𝟑 𝟕𝟐𝒙+𝟐 > 𝟕𝟑 = 𝟐𝒙 + 𝟐 > 𝟑 = 𝒙 >𝟏

𝟐 V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 >

𝟏

𝟐 }

i) (𝝅)𝒙 > (𝝅)𝒙+𝟔 𝒙 > −𝒙 + 𝟔 = 𝟐𝒙 > 𝟔 ⇒

V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 > 𝟑 }

g) (𝟏

𝟒)𝒙+𝟑 > (

𝟏

𝟐)𝟑𝒙−𝟏

(𝟏

𝟐𝟐)𝒙+𝟑 > (

𝟏

𝟐)𝟑𝒙−𝟏 = (

𝟏

𝟐)𝟐𝒙+𝟔 > (

𝟏

𝟐)𝟑𝒙−𝟏 (𝑩𝑨𝑺𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝑸𝑼𝑬 𝟏)

𝟐𝒙 + 𝟔 < 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟕 < 𝒙 ⇒ 𝒙 > 𝟕 V = {𝒙 ∈ R| 𝒙 > 𝟕 }

AULA4

1º Momento: Após registro da chamada e correção dos exercícios da aula anterior, continuação

do conteúdo programático.

Função exponencial

Chamamos de função exponencial a toda função do tipo f(x) = 𝒂𝒙 definida para todo x real

com a >0 e a ≠ 1

Exemplos:

a) f(x) = 𝟐𝒙 b) f(x) = (𝟏

𝟐)𝒙

Obs: A expressão “crescimento exponencial” refere-se a um crescimento muito rápido. Assim a

função exponencial possui múltiplas aplicações: Área financeira, em tabelas progressivas a juros

fixos; No crescimento populacional; Em biologia, no crescimento de alguns vegetais.

2º Momento

Gráfico da Função Exponencial

1º CASO: a > 1 (A base é um número maior que 1)

Exemplo: f(x) = 𝟐𝒙

x 𝟐𝒙 = Y

2 𝟐𝟐 4

1 𝟐𝟏 2

0 𝟐𝟎 1

-1 𝟐−𝟏 =

𝟏

𝟐¹

𝟏

𝟐

-2 𝟐−𝟐 =

𝟏

𝟐²

𝟏

𝟒

2º CASO: 0 < a < 1 (A base é um número real maior 0 e menor que 1)

Exemplo: f(x) = (𝟏

𝟐)𝒙

x (𝟏

𝟐)𝒙 = Y

2 (𝟏

𝟐)𝟐 𝟏

𝟒

1 (𝟏

𝟐)𝟏 𝟏

𝟐

0 (𝟏

𝟐)𝟎 1

-1 (𝟏

𝟐)−𝟏 = 𝟐¹ 𝟐

-2 (

𝟏

𝟐)−𝟐

−

= 𝟐² 𝟒

Função crescente para x1 e x2 reais:

𝒂𝒙𝟐 > 𝒂𝒙𝟏 𝟎

⇔ 𝒙𝟐 > 𝒙𝟏

Função exponencial decrescente, para

𝒂𝒙𝟐 > 𝒂𝒙𝟏 𝟎

⇔ 𝒙𝟐 < 𝒙𝟏

Exercícios (XAVIER; BARRETO, 2005, p. 222):

1. Esboçar o gráfico da função dada (com no mínimo 4 pontos) e determine se a função é crescente

ou decrescente:

a) f(x) = 𝟏

𝟑𝟐𝒙 ou y = 3-2x

X 𝟏

𝟑𝟐𝒙= Y

1 𝟏

𝟑𝟐.𝟐=

𝟏

𝟑𝟒

𝟏

𝟗

1/2 𝟏

𝟑𝟏

𝟏

𝟑

0 𝟏

𝟑𝟎 1

-1/2 𝟏

𝟑−𝟏= 𝟑¹ 𝟑

-1 𝟏

𝟑𝟐(−𝟏)= 𝟑𝟐 𝟗

Decrescente

b) f(x) = 𝟑𝒙

x Y

-1 𝟏

𝟑

0 1

1 3

2 9

Crescente

c) f(x) = 𝟓𝒙 (Crescente)

d) f(x) =(𝟏

𝟑)𝒙

x Y

2 𝟏

𝟗

1 𝟏

𝟑

0 1

-1 𝟑

-2 𝟗

Decrescente

e) f(x)= 2-2x

Decrescente

2) (PUC-SP) As funções g(x) = ax e h(x) = bx com a e b > 0 e a ≠ b, têm gráficos que se encontram

em quantos pontos? Qual(is)?

Resposta: No ponto (0, 1)

3)(Fuvest-SP) Sejam f(x) = (𝟐

𝟑)𝒙e g(x) = (

𝟏

𝟓)𝒙 usando o mesmo par de eixos, esboce os gráficos de

f(x) e g(x).

4)(FGV – SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a

relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência

possuída por esse indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão

𝑸(𝒕) = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟎,𝟓𝒕, em que:

Q = Quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário;

t = meses de experiência.

𝒆 = constante ≅ 𝟐, 𝟕

a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência

deverá cumprir mensalmente? t = 2 (TRABALHAR APENAS COM 1 CASA DECIMAL)

𝑸(𝟐) = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟎,𝟓∗𝟐 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟏 = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎 ∗𝟏

𝟐,𝟕= 𝟓𝟓𝟏, 𝟗

Resposta: 552 peças

b) Quantas peças um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir mensalmente? t = 0

𝑸(𝟎) = 𝟕𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎. 𝒆−𝟎,𝟓∗𝟎 = 𝟑𝟎𝟎

Resposta: 300 peças

5) (PUC-RS) Seja a função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 Então, 𝒇(𝒂 + 𝟏) − 𝒇(𝒂)

𝟐𝒂+𝟏 − 𝟐𝒂 = 𝟐𝒂. 𝟐𝟏 − 𝟐𝒂 = 𝟒𝒂 − 𝟐𝒂 = 𝟐𝒂

a) 2 d) f(1)

b) 1 e) 2f(a)

c) f(a)

A correção dos exercícios será realizada na própria aula!

AULA 5

1º Momento: Após registro da chamada e conclusão da correção dos exercícios da aula anterior,

continuação do conteúdo programático.

O Logaritmo e as grandes navegações (XAVIER; BARRETO, 2005, p.240)

Até o século XVII, não era fácil ser marinheiro, a descoberta de novas terras e rotas

causaram uma grande expansão comercial e a necessidade de aprimorar as técnicas de

navegação exigiram métodos mais práticos e rápidos que facilitassem os cálculos, tanto para

astronomia, utilizada como referencial, para localização no mar; quanto cálculos de acumulo de

riquezas e juros gerados pelas viagens marítimas.

Nessa época o escocês John Napier (1550-1617) também conhecido como Neper e o suíço

Jobst Burgi (1552-1632) desenvolveram, métodos para simplificar os cálculos necessários. Após

vinte anos de estudo em 1614, Napier apresentou o resultado de seus estudos para o mundo com

a Teoria dos Logaritmos que posteriormente recebeu as contribuições do inglês Henry Briggs

(1561-1639).

O princípio básico dos logaritmos é: Transformar uma multiplicação em adição ou

uma divisão em subtração. Primeiro representam-se os números positivos como potências de

um mesmo número. Por exemplo, podemos escrever os seguintes números na base 10:

a) 1,78090 = 100,25064

b) 1,82881 = 100,26217

c) 3,25694 = 100,51281

d) 5,80029 = 100,76345

Assim, no seguinte cálculo temos:

3,25694 ⋅ 1,78090=100,51281 ⋅10

0,25064 =100,51281

+0,25064=100,76345=5,80029

Em caso de divisão temos:

3,25694 ÷ 1,78090=100,51281

÷ 100,25064 =10

0,51281 −0,25064 =100,26217

=1,82881

Curiosidade: O Logarithmus foi criado por Neper usando as palavras gregas: logos, que

significa “razão” ou “cálculo”, e arithmós, que significa “número”.

2º Momento:

Logaritmos: Conceito, Definição e existência

Considerando uma potência qualquer de base positiva e diferente de 1 por exemplo: 𝟐𝟑 =

𝟖

Ao expoente dessa potência (3) damos o nome de logaritmo. Dizendo que “O logaritmo

de 8 na base 2 é igual a 3”. Em símbolos, escrevemos:

𝟐𝟑 ↔ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝟑

Definimos: Sendo a e b números reais positivos, com a ≠ 1, e a existência de um único

número real c. Chama-se logaritmo do número b na base a o expoente c tal que ac = b. Em

símbolos:

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒄 ↔ 𝒂𝒄 = 𝒃

Nomenclatura: Logaritmando é o número b; Base é o número a; Logaritmo é o número c.

c é o logaritmo de b na base a

Exemplos:

a) 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝟑 Logaritmando é 8, Base 2, Logaritmo é 3; pois se 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝒙 , então:

𝟐𝒙 = 𝟖 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟑 ⇒ 𝒙 = 𝟑

b) 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟒𝟑 = 𝟓 Logaritmando é 243, Base 3, Logaritmo é 5; pois se 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟒𝟑 =

𝒙 , então: 𝟑𝒙 = 𝟐𝟒𝟑 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟓 ⇒ 𝒙 = 𝟓

c) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟏

𝟒𝟗= −𝟐 Logaritmando é 49, Base 7, Logaritmo é -2; pois se 𝐥𝐨𝐠𝟕

𝟏

𝟒𝟗=

𝒙 , então: 𝟕𝒙 =𝟏

𝟒𝟗 ⇒ 𝟕𝒙 =

𝟏

𝟕𝟐 ⇒ 𝟕𝒙 = 𝟕−𝟐 ⇒ 𝒙 = −𝟐

d) Calcule o valor de x na igualdade 𝐥𝐨𝐠𝟓

𝟑

𝟎, 𝟔 = 𝒙

(𝟓

𝟑)𝒙 = 𝟎, 𝟔 ⇒ (

𝟓

𝟑)𝒙 =

𝟔

𝟏𝟎 ⇒ (

𝟓

𝟑)𝒙 =

𝟑

𝟓 ⇒ (

𝟓

𝟑)𝒙 = (

𝟓

𝟑)

−𝟏

⇒ 𝒙 = −𝟏

Logaritmando é 0,6 , Base 𝟓

𝟑, Logaritmo é -1;

e) Calcule o valor de x na igualdade 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟕 𝟏 = 𝒙

𝟏𝟕𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝟏𝟕𝒙 = 𝟏𝟕𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟎 Logaritmando é 1, Base 7, Logaritmo é 0;

f) Calcule o valor de x na igualdade 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐 = 𝒙 ; 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝒙 = 𝟏 ;

Logaritmando é 2, Base 2, Logaritmo é 1

g) 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝒙 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⇒ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟑 ⇒ 𝒙 = 𝟑

Logaritmando é 1000, Base 10, Logaritmo é 3; (LOGARITMO DECIMAL)

Sistema de Logaritmos Decimais

É um sistema de logaritmos no qual se adota a base 10. Para esse sistema na notação omitir

a base, exemplos: 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐 e 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 ⇒ 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟑 .

3º Momento - Exercícios de fixação

1) Calcule o valor de x nas igualdades

a) 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟓√𝟓 = 𝒙

𝟓𝒙 = 𝟓 √𝟓 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓. 𝟓𝟏𝟐 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓𝟏+

𝟏𝟐 ⇒ 𝟓𝒙 = 𝟓

𝟑𝟐 ⇒ 𝒙 =

𝟑

𝟐

b) 𝐥𝐨𝐠𝟒√𝟐

𝟑

𝟐= 𝒙

𝟒𝒙 =√𝟐𝟑

𝟐⇒ 𝟐𝟐𝒙 =

𝟐𝟐𝟑

𝟐⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐

𝟐𝟑

−𝟏 ⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐−𝟏𝟑 ⇒ 𝟐𝒙 = −

𝟏

𝟑⇒ 𝒙 = −

𝟏

𝟔

c) 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟐 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝒙

𝟎, 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟒 ⇒ 𝟎, 𝟐𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟐 ⇒ 𝒙 = 𝟐

d) 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟗

𝟑√𝟑 = 𝒙

𝟏

𝟗

𝒙

= 𝟑 √𝟑 ⇒ 𝟏

𝟑𝟐

𝒙

= 𝟑. 𝟑𝟏𝟐 ⇒ 𝟑−𝟐𝒙 = 𝟑𝟏+

𝟏𝟐 ⇒ 𝟑−𝟐𝒙 = 𝟑

𝟑𝟐 ⇒ −𝟐𝒙 =

𝟑

𝟐 ⇒ 𝒙 = −

𝟑

𝟒

e) 𝐥𝐨𝐠 𝟏

𝟐𝟓

√𝟓𝟑

= 𝒙

𝟏

𝟐𝟓

𝒙

= √𝟓𝟑

⇒ 𝟏

𝟓𝟐

𝒙

= 𝟓𝟏𝟑 ⇒ 𝟓−𝟐𝒙 = 𝟓

𝟏𝟑 ⇒ −𝟐𝒙 =

𝟏

𝟑 ⇒ 𝒙 = −

𝟏

𝟔

f) 𝐥𝐨𝐠 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏 = 𝒙

𝟏𝟎𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏 ⇒ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎−𝟒 ⇒ 𝒙 = −𝟒

4º Momento

Propriedades dos Logaritmos

Para quaisquer números reais e positivos em a e b com a ≠ 1

P1. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂 = 𝟏 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐 = 𝒙 ↔ 𝟐𝒙 = 𝟐 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝒙 = 𝟏

P2. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 𝟎 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟏 = 𝒙 ↔ 𝟑𝒙 = 𝟏 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟎

P3. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃𝒚 = 𝒚. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟒𝟑 = 𝒙 ⇒ 𝟑. 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟒 ↔ 𝟑. (𝟐𝒙 = 𝟐𝟐 ) ⇒ 𝟑. (𝟐) =

𝟔

P4. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂𝒄 = 𝒄 (𝒄 ∈ 𝑹) Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟑𝟖 = 𝒙 ↔ 𝟑𝒙 = 𝟑𝟖 ⇒ 𝒙 = 𝟖

Propriedades Operatórias dos Logaritmos

P6. 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃. 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟏𝟔. 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟏𝟔 + 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟒

P7. 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃

𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 Ex: 𝐥𝐨𝐠𝟓

𝟐𝟓

𝟓= 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐𝟓 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟓

P8. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃𝒄 = 𝒄. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 𝒔𝒆𝒋𝒂 𝒄 > 𝟎

Exemplo: Considerando 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟗 𝒆 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟑 = 𝟏, 𝟏𝟎 calcule 𝐥𝐨𝐠𝒂 √𝟏𝟐𝟒

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏𝟐𝟏𝟒 =

𝟏

𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏𝟐 =

𝟏

𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟑. 𝟐. 𝟐

= 𝟏

𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟑 +

𝟐

𝟒𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟐 ⇒

𝟏

𝟒. 𝟏, 𝟏𝟎 +

𝟐

𝟒. 𝟎, 𝟔𝟗 = 𝟎, 𝟔𝟐

∴ 𝐥𝐨𝐠𝒂 √𝟏𝟐𝟒

= 𝟎, 𝟔𝟐

5º Momento - Exercícios de fixação.

1) Calcule os logaritmos:

a) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐 𝟔𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐 𝟔𝟒 = 𝒙 ↔ 𝟐𝟓𝒙 = 𝟐𝟔 ⇒ 𝒙 =𝟔

𝟓

b) 𝐥𝐨𝐠𝟕

𝟑

𝟗

𝟒𝟗= 𝐥𝐨𝐠𝟕

𝟑

𝟗

𝟒𝟗= 𝒙 ↔ (

𝟕

𝟑)𝒙 = (

𝟑

𝟕)𝟐 ⇒ (

𝟕

𝟑)𝒙 = (

𝟕

𝟑)−𝟐 ⇒ 𝒙 = −𝟐

c) 𝐥𝐨𝐠 √𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑

= 𝐥𝐨𝐠 √𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑

= 𝒙 ↔ 𝟏𝟎𝒙 = √𝟏𝟎𝟒𝟑 ⇒ 𝟏𝟎𝒙 = 𝟏𝟎

𝟒

𝟑 ⇒ 𝒙 =𝟒

𝟑

d) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟏

𝟏𝟐𝟓= 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓

𝟏

𝟏𝟐𝟓= 𝒙 ↔ 𝟐𝟓𝒙 =

𝟏

𝟏𝟐𝟓⇒ 𝟓𝟐𝒙 =

𝟏

𝟓𝟑 ⇒ 𝟓𝟐𝒙 = 𝟓−𝟑 ⇒ 𝒙 = −𝟑

𝟐

e) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟏

𝟖𝟏= 𝐥𝐨𝐠𝟑

𝟏

𝟖𝟏= 𝒙 ↔ 𝟑𝒙 =

𝟏

𝟑𝟒 ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟑−𝟒 ⇒ 𝒙 = −𝟒

f) 𝐥𝐨𝐠𝟖

𝟗

𝟎, 𝟖𝟖𝟖 … = 𝐥𝐨𝐠𝟖

𝟗

𝟎, 𝟖𝟖𝟖 … = 𝒙 ↔ (𝟖

𝟗)𝒙 =

𝟖

𝟗⇒ 𝒙

2) O valor de 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟐

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔 𝟒) é: a)4 b)

𝟏

𝟐 c)10 d)1 e)16

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔 𝟒 = 𝒙 ↔ 𝟐𝟒𝒙 = 𝟐𝟐 ⇒ 𝒙 =𝟏

𝟐

∴ 𝐥𝐨𝐠𝟒(𝟐

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔 𝟒) = 𝐥𝐨𝐠𝟒(

𝟐

𝟏𝟐

)

⇒ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟒

𝟏

𝟐

𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 ⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐𝟏 ⇒ 𝒙 =𝟏

𝟐

𝐥𝐨𝐠𝟒

𝟏

𝟐 ⇒ 𝟐𝟐𝒙 = 𝟐−𝟏 ⇒ 𝒙 = −

𝟏

𝟐

∴ 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟒

𝟏

𝟐=

𝟏

𝟐− (−

𝟏

𝟐) = 𝟏

3) Aplique as propriedades operatórias nas seguintes expressões:

a) 𝐥𝐨𝐠(𝒂𝟑. 𝒃) = 𝟑𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃

b) 𝐥𝐨𝐠(𝝅. 𝒙𝟐) = 𝐥𝐨𝐠 𝝅 + 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒙

c) 𝐥𝐨𝐠(𝒂𝟐.√𝒃𝟐𝟑

√𝒄) = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃

𝟐

𝟑 − 𝐥𝐨𝐠 𝒄𝟏

𝟐 ⇒ 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒂 +𝟐

𝟑𝐥𝐨𝐠 𝒃 −

𝟏

𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒄

d) 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒍𝟐.√𝟐

𝟒) = (𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒍 +

𝟏

𝟐𝐥𝐨𝐠 𝟐) − 𝐥𝐨𝐠 𝟒

e) 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟑. 𝟒) = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟒

f) 𝐥𝐨𝐠𝟓(𝟐

𝟑) = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑

4) Se 𝐥𝐨𝐠 𝟐 = 𝒂 e 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = 𝒃 coloque em função de a e b os seguintes logaritmos decimais:

a) 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐. 𝟐. 𝟑 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟑 = 𝒂 + 𝒂 + 𝒃 = 𝟐𝒂 + 𝒃

b) 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟎 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎. 𝟐 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 + 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝒂

5) (Objetivo-SP) Se 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒚 = 𝟐 então o valor de 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙𝒚 é?

a) 0 b)1 c)2 d)3 e)4

𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒙 𝒚 = 𝟏 + 𝟐 = 𝟑

AULA 6

1ºMomento – Correção dos exercícios da aula anterior e continuação do conteúdo programático.

Mudança de base

Nos casos em que o logaritmo apresentar uma base que não convém, esta poderá ser

substituída por outra (XAVIER; BARRETO, 2005, p.256).

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃

𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂, 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐: 𝒃 > 𝟎 , 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏, 𝟎 < 𝒄 ≠ 𝟏

Exemplo:

𝐥𝐨𝐠𝟐𝟕 𝟖𝟏 =𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟖𝟏

𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟕=

(𝟑𝒙 = 𝟖𝟏)

(𝟑𝒙 = 𝟐𝟕)=

(𝟑𝒙 = 𝟑𝟒)

(𝟑𝒙 = 𝟑𝟑)=

𝟒

𝟑

Exercícios:

1) Considerando o log 2 =0,3010 e log 3 = 0,4771 calcule 𝐥𝐨𝐠𝟔 𝟒 =

𝑴𝒖𝒅𝒂𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟒

𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝟔=

𝐥𝐨𝐠 𝟐. 𝟐

𝐥𝐨𝐠 𝟑. 𝟐=

𝐥𝐨𝐠 𝟐 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐

𝐥𝐨𝐠 𝟑 + 𝐥𝐨𝐠 𝟐=

𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎

𝟎, 𝟒𝟕𝟕𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟏𝟎=

𝟎, 𝟔𝟎𝟐

𝟎, 𝟕𝟕𝟖𝟏

= 𝟎, 𝟕𝟕𝟑𝟔𝟖

2) Calcule o 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟕 𝒛 sabendo que 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒛 = 𝒘

𝐥𝐨𝐠𝟐𝟕 𝒛 =𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒛

𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟐𝟕=

𝒘

𝟑

3) (Vunesp) Se 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂 = 𝒙, então 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² é igual a?

𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² = 𝟐. 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂 = 𝟐. (𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂

𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗) = 𝟐.

𝒙

𝟐= 𝒙

4) (Fuvest) Se 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂 = 𝒙, então 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² é igual a?

𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂² = 𝟐. 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒂 = 𝟐. (𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂

𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟗) = 𝟐.

𝒙

𝟐= 𝒙

Função logarítmica

Chama-se função logarítmica toda função f: 𝑹∗+ → 𝑹 tal que 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 em que b é

um número real, positivo e diferente de 1.

Exemplos:

a) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

x 𝐘 = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙

𝟏

𝟖 -3

𝟏

𝟒 -2

𝟏

𝟐 -1

1 0

2 1

4 2

8 3

D(f) = 𝑹∗+

Im(f) = R

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙 é uma função crescente em todo seu domínio

b) 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙

x 𝐘 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐

𝒙

𝟏

𝟖 3

𝟏

𝟒 2

𝟏

𝟐 1

1 0

2 -1

4 -2

8 -3

D(g) = 𝑹∗+

Im(g) = R

𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙 é uma função decrescente em todo seu domínio

Propriedades da Função Logarítmica

P1. logb x = logb y ↔ x = y, para quaisquer números reais positivos x, y e b, com b ≠ 1 .

P2. A função logarítmica f(x) = logb x é crescente em todo o seu domínio se e somente se, b >

1.

P3. A função logarítmica f(x) = logb x é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se,

o < b < 1.

Exercícios:

1) Construa o gráfico de cada função.

a) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙

b) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟑

𝒙

2) Classifique em crescente e decrescente cada uma das funções:

a) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟗 𝒙 crescente

b) 𝒇(𝒙) = 𝟎, 𝟒 𝒙 decrescente

c) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝝅

𝟑𝒙 crescente

d) 𝒕(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝝅

𝟒𝒙 decrescente

9. REFERÊNCIAS

BONJORNO, José Roberto et al. Matemática: fazendo a diferença. 1. ed. São Paulo: FTD,

2006.

BRITO, Flamarion de Almeida. História das Funções. UNOPAR, 2010

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. 1997. Disponível em:

<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC, 2017.

Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.

gov.br/documentos/bncc-2versao.revista.pdf>.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005.

PINHEIRO, Patricia Aparecida. Introdução ao estudo da álgebra no ensino fundamental.

Universidade Federal de São Carlos, 2013.

OLIVEIRA, Michelle Noberta Araújo de. ANÁLISE DA CONTEXTUALIZAÇÃO DA

FUNÇÃO EXPONENCIAL E DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NOS LIVROS DIDÁTICOS DO

ENSINO MÉDIO. 2014. 126 f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Programa de Pós-graduação

em Matemática, Mestrado Profissional - Profmat/cct/ufcg, Universidade Federal de Campina

Grande, Campina Grande - Pb, 2014. Disponível em:

<http://www.dme.ufcg.edu.br/PROFmat/TCC/MichelleNoberta.pdf>. Acesso em: 02 set. 2019.

PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2013. 3v