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PME 2556 – Dinâmica dos Fluidos Computacional
Aula 1 – Princípios Fundamentais e Equação de Navier-Stokes
1.1 Introdução
O escoamento de um fluido é estudado através de equações de conservação para:
. Massa
. Quantidade de Movimento
. Energia
1.2 Notação indicial
A maioria dos livros de graduação sobre mecânica dos fluidos usa a notação simbólica ou vetorial. Assim, a velocidade é dada por:
kwjiuurrrr
++= υ
1.2 Notação indicial
A aceleração é dada por:
( ) uz
wyx
ut
uuu
t
ua
rr
rrr
r
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇⋅+
∂∂= υ
Que resulta:
z
uw
y
u
x
uu
t
ua
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
rrrrr υ
1.2 Notação indicial
As acelerações para as três direções do sistema de coordenadas são:
z
uw
y
u
x
uu
t
uax ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
zw
yxu
tay ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υυυυυ
z
ww
y
w
x
wu
t
waz ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
1.2 Notação indicial
Na notação indicial, a velocidade é dada por:
iuu =r
Onde o índice “i” pode representar qualquer uma das três direções do sistema de coordenadas x,y,z.
1.2 Notação indicial
As acelerações são representadas por:
j
i
jj
ii x
uu
t
ua
∂∂
+∂
∂= ∑
=
3
1
1.2 Notação indicial
Note que, na expressão da aceleração, cada termo aditivo tem um índice isolado (“i”), chamado “índice livre”, indicando a direção da componente, e um dos termos, em que há uma somatória, tem um índice que se repete (“j”) numa operação de multiplicação.
1.2 Notação indicial
Na notação indicial, usa-se a regra de que o índice repetido na multiplicação dentro da somatória já indica a necessidade de somatória. Assim, o sinal de somatória pode ser evitado:
j
ij
i
j
i
jj
ii x
uu
t
u
x
uu
t
ua
∂∂
+∂
∂=
∂∂
+∂
∂= ∑
=
3
1
1.2 Notação indicialVantagem óbvia - ao invés de escrever:
z
uw
y
u
x
uu
t
uax ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
zw
yxu
tay ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υυυυυ
z
ww
y
w
x
wu
t
waz ∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂= υ
Escreve-se apenas:
j
ij
ii x
uu
t
ua
∂∂
+∂
∂=
1.2 Notação indicial
A notação indicial é particularmente útil para escrever equações grandes, e se relaciona diretamente com o hábito de fazer programação usando operações com índices.
1.2 Notação indicial
Ex: Equação de Navier-Stokes para escoamento incompressível:
( ) gupuut
u rrrrr
+∇+∇−=∇⋅+∂∂ 21 ν
ρ
1.2 Notação indicial
Isso resulta:
xgz
u
y
u
x
u
x
p
z
uw
y
u
x
uu
t
u +
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21 νρ
υ
ygzyxy
p
zw
yxu
t+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21 υυυνρ
υυυυυ
zgz
w
y
w
x
w
z
p
z
ww
y
w
x
wu
t
w +
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
21 νρ
υ
1.2 Notação indicial
As três equações são substituídas por:
ijj
i
ij
ij
i gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
1.2 Notação indicial
Cada termo aditivo tem um índice livre (“i”) e dois termos tem multiplicações com a repetição de “j” indicando somatória.
1.2 Notação indicialDetalhe: a letra “i” para o índice livre e “j”para o repetido podem ser substituídas por qualquer outra letra. Assim, as três equações baixo são equivalentes:
ijj
i
ij
ij
i gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
kjj
k
kj
kj
k gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
kqq
k
km
km
k gxx
u
x
p
x
uu
t
u+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 21 νρ
1.2 Notação indicial
Ex - Divergente de um vetor:
z
w
yx
uu
∂∂+
∂∂+
∂∂=⋅∇ υr
Ou:
j
j
x
uu
∂∂
=⋅∇ r
1.2 Notação indicialTeoremas do Gradiente e Divergente
∫∫∫∫∀∀
∀∂∂=→∀∇= dx
pdApndpdApn
jA
j
A
r
∫∫∫∫∀∀
∀∂∂
=→∀⋅∇=⋅ dx
udAundudAun
j
j
A
jj
A
rrr
Tensor de 2ª ordem
∫∫∫∫∀∀
∀∂∂
=→∀⋅∇=⋅ dx
dAnddAnj
ji
A
jij
A
σσσσ ttr
1.3 Derivada Material
Seja φ uma propriedade de uma partícula material ( velocidade, temperatura, massa específica, etc.). A taxa de variação da propriedade φ da partícula é dada por:
( ) ( ) ( ) ( )txut
tx
t
ttt
tD
D partpart
t
partícula ,,
lim0
rrr
φφφφφ∇⋅+
∂∂=
∆−∆+
=→∆
jj x
uttD
D
∂∂+
∂∂= φφφ
1.4 Taxa de Variação de um Elemento Volumétrico
( )j
j
x
u
Dt
dD
d ∂∂
=∀∀1
1.5 Equação da ContinuidadeA massa de uma partícula material elementar é dada por:
∀= ddmpart ρ
A variação da massa dessa partícula material édada por:
( )0
)(=∀+∀=
Dt
dDd
Dt
D
Dt
dmD part ρρ
1.5 Equação da ContinuidadeAplicando a expressão da taxa de variação do volume elementar:
0=∀∂∂
+∀ dx
ud
Dt
D
j
jρρ
Isso resulta uma forma menos conhecida da equação da continuidade:
0=∂∂
+j
j
x
u
Dt
D ρρ
1.5 Equação da Continuidade
Usualmente, a forma mais conhecida éobtida substituindo a derivada material da massa específica:
0=∂∂
+∂∂+
∂∂
j
j
jj x
u
xu
tρρρ
Que, pela regra da cadeia, resulta:
( )0=
∂∂
+∂∂
j
j
x
u
t
ρρ
1.5 Equação da ContinuidadeEmbora a 2ª forma seja mais conhecida que a 1ª , esta tem uma utilidade maior para conceituar um escoamento incompressível. Num escoamento incompressível, uma partícula material mantém massa específica constante, logo:
0=Dt
Dρ
1.5 Equação da Continuidade
Assim, temos:
{0
0
=∂∂
+j
j
x
u
Dt
D ρρ
Que resulta:
0=∂∂
j
j
x
u
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
F: propriedade de uma certa quantidade de massa de fluido(ex: quantidade de movimentoφ: propriedade F por unidade de massa do fluido (ex: velocidade)
∫∀
∀=)(t
dF ρφ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
A variação de F é dada por:
( )∫∫
∀∀
∀=
∀+∀=
)()(0
tt
dDt
D
Dt
dDd
Dt
D
Dt
DF ρφρφρφ
43421
Por outro lado, podemos escrever:
( ) ( )∫
∀
∀+∀=)(t Dt
dDd
Dt
D
Dt
DF ρφρφ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
Isso resulta:
( ) ( )∫
∀
∀
∂∂
+∀∂
∂+∀∂
∂=)(t j
j
jj d
x
ud
xud
tDt
DF ρφρφρφ
Que também resulta:
( ) ( )∫
∀
∀
∂∂
+∂
∂=)(t j
j dx
u
tDt
DF ρφρφ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
Logo:
( ) ( )∫∫
∀∀
∀
∂∂
+∂
∂=∀=)()( t j
j
t
dx
u
td
Dt
D
Dt
DF ρφρφφρ
Fazendo :∀→∀ d
( ) ( )j
j
jj x
u
txu
tDt
D
∂∂
+∂
∂=
∂∂+
∂∂=
ρφρφφφρφρ
1.6 teorema do Transporte de Reynolds
Supondo que o volume móvel ocupa instantaneamente um volume de controle fixo com superfície de controle Sc, e aplicando o teorema de Gauss:
( ) ( )∫∫∫
∀∀∀
∀∂
∂+∀
∂∂=∀=
C j
j
Ct
dx
ud
td
Dt
D
Dt
DF ρφρφφρ)(
( )∫∫∫ +∀
∂∂=∀=
∀∀ SC
jj
Ct
dAnudt
dDt
D
Dt
DF ρφρφφρ)(
1.7 Forças sobre uma superfície
zzxyyxxxxx dAdAdAdF σσσ ++=
zzyyyyxxyy dAdAdAdF σσσ ++=
zzzyyzxxzz dAdAdAdF σσσ ++=
1.7 Forças sobre uma superfície
jjii dAdF σ=
Podemos escrever:
dAndAdA
dAdF jji
jjii σσ ==
1.8 Equação da Quantidade de Movimento
Aplicando a segunda lei de newtonao volume móvel:
∑∑∫ +=∀∀
campocontato
t
FFdarrr
)(
ρ
∫∫∫∀∀
∀+=∀)()()( t
i
tS
jij
t
i dgdAndDt
Du ρσρ
∫∫∫∀∀∀
∀+∀∂∂
=∀)()()( t
i
t j
ji
t
i dgdx
dDt
Du ρσ
ρ
Pelo teorema de Gauss:
Isso resulta:
1.8 Equação da Quantidade de Movimento
Fazendo o volume de partícula tender ao volume elementar:
∀→∀ d
Obtemos a equação diferencial:
ij
jii gxDt
Du ρσ
ρ +∂∂
=
Que pode ser escrita:
( ) ( )i
j
ji
j
iji gxx
uu
t
u ρσρρ
+∂∂
=∂
∂+
∂∂
1.9 Tensor das Tensões para Fluido Newtoniano
k
kijijijij x
uSp
∂∂
−+−= δµµδσ3
22
Onde o tensor taxa de deformação é dado por:
∂∂
+∂∂
=i
j
j
iij x
u
x
uS
2
1
E o tensor “delta” de Kronecker é dado por:
=≠
=jise
jiseij 1
0δ
1.10 Equação de Navier-Stokes
Substituindo o tensor das tensões para um fluido newtoniano na equação da quantidade de movimento:
( ) ( )i
k
k
jij
i
j
j
i
jjij
j
iji gx
u
xx
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u ρµδµδρρ
+
∂∂
∂∂−
∂∂
+∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂3
2
ijij xx ∂
∂=∂∂δ
Porém, temos que:
( ) ( )i
k
k
ii
j
j
i
jij
iji gx
u
xx
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u ρµµρρ
+
∂∂
∂∂−
∂∂
+∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂3
2
Logo:
1.10 Equação de Navier-Stokes
Se o escoamento for incompressível:
( ) ( )i
i
j
j
i
jij
iji gx
u
x
u
xx
p
x
uu
t
u ρµρρ
+
∂∂
+∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂
1.10 Equação de Navier-Stokes
Se além do escoamento ser incompressível, a viscosidade dinâmica for uniforme:
( ) ( )i
i
j
jjj
i
ij
iji gx
u
xxx
u
x
p
x
uu
t
u ρµµρρ
+
∂∂
∂∂+
∂∂∂
+∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 2
Como podemos inverter a ordem de derivação no penúltimo termo:
( ) ( )i
jj
i
ij
iji gxx
u
x
p
x
uu
t
u ρµρρ
+∂∂
∂+
∂∂−=
∂∂
+∂
∂ 2
