48

apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���������������� ������ �� �������� �������������

Page 2: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

����������������������� ���������������������������������������������

Page 3: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������� ��� �� ���� ������ ��� ���� ����������������������������������������������� �� !"#������#$%&�$'��$ ������������������������������ (��( !"#������#$)'*#�#��'�'$���������������������������� +��, !"#�����#$-$"#�'�'$����������������������������� �.��,�� /#"�#$#����������0������1#���'�2����������������� ����,� /#"�#$#���������#)#�#�3'����#$ ������������������ � ��,�( /#"�#$#����������0������4'$��#���#1#���#$����������� � ��,�, 5'3#��'�#���'65'3#��'��#!"#�����#$��������������� �(��7 !����$0��"�'#���#$����������������������������� �(��8 )#$��'������#/�'�1#���#$�������������������������� �7��9 :�����������'�'�2;�3%�$#$������������������������� �8��+ -<#��&=�'�$����������������������������������� �>� ?��� ���@AB����� �C �� ����������������������������������������������� ( � !"#������#$�3"������#$���������������������������� +C D��E�A��B�AF��G���� CC(�� H#'$�#I���$*��3�������#I#�$��#$��������������������� (>(� 0��"�'#���#$#������#�&=$�'��$'3"������#$��$�#�$��#$���������� , (�( -<#��&=�'�$����������������������������������� ,7(�, 1#����<'�2����������������������������������� ,9(�7 )#��3"�$'�����-$"#����2��������������������������� ,9J KL��� ��ABM�NA�A ���BO��������B JP,�� ����������������������������������������������� ,>,� -$"����$1#���'�'$������������������������������� 7.,�( ���#"#��Q#��'�H'�#������������������������������� 7�,�, -R������#$�'*#�#��'�'$!��'�&��'�$H'�#��#$������������������ 7(,�,�� -R������#$)'*#�#��'�'$H'�#��#$�#0�'3#'��!��#3 �������� 7,,�,� -R������#$)'*#�#��'�'$H'�#��#$�#5#S����!��#3��������� 78,�,�( -)!H�#5#S����!��#3��3;�#T�'#��#$;��$����#$������ 79''

Page 4: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��� ��������� ������������������������������������� ������������� �� !"�#$%�&��'$(�#� �)***

Page 5: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���������� �

Page 6: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������� ����������� ��������� ����������������� ����������!� !�!�"�#��������� �$!����!�%�&'�����(�"(���� ����� ����# � �)*�"�#"�+�����!�",*$����� !��!�"!��-#��#�� ����%��(��"������!.� ��������������������������"!�������(�!�!(� !���/�(0�����#�(���1�2*���2�������!.���3��4��!�� �)���*5�#�/��+���!� �$"���!�! � ���3��4��!�� ��6"#! ��/��)*�"�#"�3���!�!�"��((#!����#����(��*��!��/�� ��71#��'��!� !��#�!.�"(������(�#(��'�#���.����2���,8�%�"!&(����/(��(��������������!(����4���!�/�(�!������� ���#0"!��������(������������!� � ����(��� �"�1!� ������������� �(� �!�%��(�"� !������,�-#!������ �'����������*�'"� �%��(� ! *��!��� ���"9� �/%�&�� �2#�:��#��(�"� !%#����,����������!� !�!�"*��;���(�(�����!(�"�������!��/�"*�( ��� �����%����(����������!���"/�� ������"��('��������(��%��!"! � ��-#��%������������'���������� ��;������%��(#"���������� ����.�".!(���� � !%*5��!��"1�0�!�(��,+� �.!�/�(��!��*5�!���(����#�1�(�"1#(�����!��4���!������##��/ ��!��<= !7�#"�����('��������� ��%*��(#"��=/=��0�������1���;����������(*5� !��=��#��������������� �����-#���(���(��(�����('��!��!1�!7������%���:���#��.����1���,+� �����������(�%�.��*�.�"����!(�"!�����#�4���!� �"!(!��������-#� �.�(���0�(����� ! ��,����������!� !�!�"�� ��������� �-#� ��#����& �������������������;���������(���(*��!���/0�(��(�������!��������!-#��! ���������� ��:���������������� �1��� �&���(�!�'��(������'������!����,81#�"(������-#��#(�� ���������������������!&��������������� �9*�(# ������ ��!���(�� ���%��4���!�/(��(�-#���2�(���������1���!�,$������������(�����(�-#!�"1#����(���*��!��,>�����(����!� !�!�" �1��� �&���(�!�'��(������'������!���� ���%��4���!������������-#!�0�� � �/���#"����������������! ��"!&� ������"!.��,$(0�����2��;�����(�!��!��-#���! � � ����0"�(�����-#�!��#�!"!&������ �#(�!���(�������!���*�(�!����.��!�����#���!�%��*��!������ ����.�".!(���� �%��(#"������(���(*��!��/�;!���#(� �(�� ��!1�!7���!.� ������-#���-#���(#(���1��!&�������(���(�� ��!���(�� ����� ��� ����������1���!�/�#��2�/�0"*5-#��/�#�.!"*5����/���,>���# � �������/(� �"�����(�"*�1!�����������!��� ������(����������"1#���;�(�"��,?(�1�����"!&������ ����������!� !�!�"�-#!�;������� �����(����� ! ���������� 4�'"������������(�!��"�0��� ��,�"1#((����!�"���������! ��� ������������ ��(3�";�(/6#�1��#����,�-#������ �@

Page 7: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

����������������������� ����������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������!�������������������������������������������������������������������������������"��������������������������������������������������������������������������������#��������������������$�����%���!�����������������������������������������������������!�%���������������������������&��'�����������������������������������������������������������������(����!��������������������������!���������������������)(������� ������������(������� ������������������������!��!��������������������������������������������������������������������������������������������!��!������������������������*���������������!�������������������������������������������������������� ������+,- ./0123456078927:427�������������������);<=>?>@=A?A@=B?B@CCC@=D?D #E�E$"�����������! ������������������������);< DFGH>=G?GI;< DFJH>=J?JI;< DFKH>=K?K #E�L$M�����������������������������������);<=G?G�;<=J?J���;<=K?K#�N�O<E������$P���������������������������������������%������������������������!��!�����������������������������������������������������������������������������������������������������'���������������������Q���!�����!����������������������!�������!�������������������������������������������������������������������������������������������������������������N�������������������������������������'�N�����������N������!�����!����!��);< DFRH>=RSR?RT<;<=R?RSR #E�U$M������� �������������������%����!������������������������������������������������������������������������������������������%�����������������������������(����������������������N���%�������������������!������%��)=RSR<VRW XY Z[\] _ D\ abc\U

Page 8: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���������������������� ������ ���������������������������������������������� ������������������������������� � ����� �� ��!�" #�$ %&� �!�" #�$ '(�)*+++*,-.�)*+++*/0 ')�102� ����� �� ��!� #�$ %&2�!� #�$ '(�)*+++*,-.�)*+++*/0 ')�304� ������������������ �������� �������� ��5����5��������5��6�����7����� ������8 ��������9�� �����5������8 ���������6��������������:��������2�!;<#;$<�!=>#=$>�!� #�$ '(*?*@�)*+++*/0�'.*A*B�)*+++*,0C���D��E������������7�������F������������ �������� �����������������������������������G����H��8 �������������H����� ����������������F��������������������7��8��������������2�!� #�$ �!��# $ '(*.�)*+++*I0G����������������������������������������������������������8 �������H������� � �"=>#=$>J#�$�JK;;$�#� '@*?�)*L*M�A*(�)*L0�8�� �����8 ������8 ���������NOP2�!;<#;#<'@*�)*L*MQB�)*L0NRP� �!;;#�$� '@�)*LQ(�)*L*M0S���������NOP2�!��#�#�J!�T#�#TJ!T�#T#�J!TT#T#TJ!U�#U#�J!UT#U#T�!��#T�J'!�TJ!T�0#T#�J!TT#TTJ!U�#U#�J!UT#U#TNRP� �'"��J"TT0#�$�J'"��J"TT0#T$TJ'"��J"TT0#U$U�'"��J"TT0'#�$�J#T$TJ#U$U0�����8�� ���7�����8 �����8��������������:������������ ���������V�������������:���� �����������������H5�� ����������������������V������ ��������W� ������H�����H� �� �������5������� ���� ����E�����D�����������V���8 ��������H����������7������������5��������G����� ��������D����� �������������8 �����������������H����6�H������ ���������������������D��H���������� ������������9�������������5������X���� ������������������������������������������������G ������5���������������������� ��������������7���������������H��6�����8������V�F�������H������������������������Y��������� ��������Z�������D���V������V����������[\] $��!��#�J!�T#TJ!�U#U$T�!T�#�J!TT#TJ!TU#U$U�!U�#�J!UT#TJ!UU#U1

Page 9: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

����������������������� ���������������������������������������������������� ! ��"#!�����$��$%���� �&���'$��$%�����(��")������������$%����� �&����*(� ��*(������������ �������������(��������� ��*(��������(���+(� �����(�*(����", �������-��(���'(������.�������������������('����� $���-������ �*(�����������$%�������������������(��'�������(���!��� ���(�����&� ���&�������",.��� ��,.�������.��������/������0�0�������� �1�������2����� !3� (���� /4445/466��44�45�46�65�47�7/6445/666��64�45�66�65�67�7/7445/766��74�45�76�65�77�7/8445/866��84�45�86�65�87�79�+(� �������������������������������������� �������&$�����:�������;����������������&� ����&������������-�����/<==��<=�=��<>�> ��"?!�(/@AA��@B�B��@C�C ��"D!E������*(���������&���(��������F�:��.���&������������:�������������������������+����������$%������(�������;���� �������+(� �����/���G������$,�������������*(���������$%����� �&�����&���������������� �������+(� �������������� �����&��(� �������������������$�������.�����������$������������������",.��� ���HIJ K�LMNOP�QCR�G�/�@�@LMNOP�QCR�HSJ ����LMNO�T�P�QCRAG� ���/�U0LMNO�T0P�QCRA�@VWXHYJ /�LMNO�P�QCRG� �����0LMNO�T�T0P�QCRA5 Z0�0��LMNO�P�QCR0@VWX [

Page 10: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��������������������� ���������������������������� �������� ���������������������������������� ������� ������ ���������� ������������������������������������ �������� ! !�"#$"%"&�'"()�� ����������� ������ ���*�������������� ���+�����������,� ��,����-.��-.!-./�-�-!-!.�.�-��-.!.!-/�.�-!--�-�.��-�.!-./�--!-!.�--��-�.!.!-/�--!--������ �0������������1������ ��������� ���������������������������2���������������������0���� ��������345 6.6-6789:;6�"$�'"("<=>?.. ?.- ?.7?-. ?-- ?-7?7. ?7- ?77@A;?��"#$"%�'"("<)BC.. C.- C.7 C.DC-. C-- C-7 C-DE;C F"#&�'"(GH�'"("<"I)J���� ��� ���������������� ��������� ��� ��������� ������������������������1�������������������*��� ��KL.L-M�BC.. C.-C-. C--EK�.�-M;L��C����G$"%�'"(KN.N-M�BC.. C.-C-. C--EK�.�-M;N��C����G$"%�'"(J1������������������������ ��������������K!.!-M�BC.. C.-C-. C--EBO.. O.-O-. O--EK�.�-M;!��C� O ���G$"%"&�'"(B?.. ?.-?-. ?--E�BC.. C.- C.7 C.DC-. C-- C-7 C-DE=PP>O.. O.-O-. O--O7. O7-OD. OD-@QQABR.. R.-R-. R--E;?���C� O SRS�G#$"%"T�'"(G&"'"("<"I)U

Page 11: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���� ��� ������ ��� ������������ �� �� ����� ��� ������ ��� ������ ��� ������������������������������������ !"#$%&'#()$*+,-*"".$/0$1$)$("%*1/2&*$3/-)$-*"&)(1$1*�������������401*/%501(6*�,/1*"*-/)(#(1/,/-"(),'(6(1$1*78*"#$$'#&-$9%$*"#%$6'$-/2&*$2&$0#(1$1*1*%501(6*"'(:-*"1*;-$01*<$,/1*"*-$""/6($1$=$"&$1()*0".$/0$/-;$>0(<$?6.$/)$#-(6($'@ A%&)*-/@0*0B&)%501(6*'(:-*/&%501(6*)&1/C$#-(<6/'&0$/&'(0B$@&)%501(6*'(:-*C$#-(<D(1()*0"(/0$'@1/("%501(6*"'(:-*"C$#-(<#-(1()*0"(/0$'@#-E*"%501(6*"'(:-*"7F(;&-$�7�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

Page 12: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������ � ���������������������������� �������������������� �������������� � ������ �������������������� ������� �������������������� ���������� �� �� ����� ��� ��!�����"����������������������������������� ���������� ������ � ��#����������$"����� �������������� ������ ��������������������������� � ������������� �����������%����� ��������!�����"� ���"��������������������� ����&'&()'*'*+,-.()',',/'.'./000/'1'1+,-. )��2+3��� ��������������� �������������� ���������� ���������������������456(4*6*(4,6,/4.6./000/4161 )���7+8����� �"� ����!�������������������!���� ��!"��� ��� ����������������9:;(;5<(;**(;,,/;../000/;11 )����+3������������ � ���������������� ������������������������������� ��=��������>?@ ABCDEFGHICJKLMCDCNGLELJ#���� ������ ���������"��"������ ������������������������������� ����� �������OP����� �����"Q����������� ��"�P��!������� ���������������"Q� ����!��$������� � ����������O���� �� � ����� �����8�����������!����� ��������������������� �����������R��������������������R(R)S,TS.TSU+���� VR( WRWS,VS,/WRWS.VS./WRWSUVSU )����+8������� ������ ����� VR(RTXVSX )���Y+Z

Page 13: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������������� ����������������������� �������������������� � !"#"$%�������������� ���� �����&�'( !"#")%*�������������������+���������������� ������,�����-./��0����1&1('2 !"#"3%4����������#5������������������6�7�������������������������/������8&8(2'9 !"#":%5��,���������� ������,�����-./��0�;11&1('( !"#"<%=���>�?���� �������������6������,�������������@�����0�;18&8(2'( !"#"A%5��������B��-���������/������C�D!%� �;1����!%���������������������������������-?��� �������������������,����������/�� C�D!�%�!�'(%'(��'('(��'(( !"#EF%C�D1&1('22 !"#E"%C�D8&8(2'99 !"#EE%5��������G�@>���H����/��C�D!C�D�%��(('22��'((226��G����������������@������������������������0�����;1!%�I!IJ!%% !"#EK%L�������������@���������������������������;1!1%&1('(2�1('2(�����;1!8%&8(2'(9�8(2'9( !"#E$%M���@�������G��7���-�����������������������7��������N��������������������������- �'(2� �����(��2� �����2��(��'2( !"#E)%�O�����������-�����������������������#M���P���-������-���1('2Q�12'(A

Page 14: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��� ������������ � ��������������������������������������������������������������������������� ���!�����������"�����������!#�����!�����!����$�����%����������������&��"����#'����������!����$�����%��(���)��������*+,-./0123.4561237.48 90#:;<=����������"������������!������������������������>������?����������*@ABC+,-D���E������(�����������(�E!�����&������������&��������F��G(�����F�����(�����������������F���!������!���"����#=�����������������������������H&�!H&��F������ ���!��H&������&��)��������������>�G�� ��������������!#'����I�*J�K+,,.+LLM+NNM+OO.PJQK+,RSR.+,LSLM+,NSNM+,OSOD������� TUV +LRSR.+LLSLM+LNSNM+LOSO.SL+NRSR.+NLSLM+NNSNM+NOSO.SN+ORSR.+OLSLM+ONSNM+OOSO.SOW���F+,-S-.S,#X�(Y����������������������������������������������*������H&�&����(Y����������!����$�����%����������G���&!����&�����������������&���I���(�I�!F���!����������!�������F�����G�����E����&�&���(Y����������!&�����(Y������&����I���(�I�!����������#Z ���!��*J�K+,-[,\].[-\]JK+,-+\][,_ ]a.[-_ \aJ�K+,-+R-[,\.+R,[,\.[R\J�K+L\[\-.[L-=����������������&"����������!����$�����%���(���������G��&��������(Y�������&�������)�����F�&��b�F���I�!�����������#Z ���!�*+\L[Lc7.[\cdef31TggUggV +LL[LL.[LL+NL[LL.67.[NL+OL[OL.67.[OL2hi888j�������I����G&����������"��������������������9�<FI�����������������#9P<=���b�"������&�I�����&����������"����F�&��&����&������!�����&������I���������������&!��������&����G����*k82O.k,+O,.kO06

Page 15: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

����������������� ������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������� !"#$% &'()*+,-.��./0�10210.3)&'4'56(.*78&'()*+,-.��./0�10210.3)&'5'46�1+(.*79':,.2:,)**)()-1��./;/<�1;310)<= 6&�4>7?���������������� �@AB"�AB@"�B@A"&�@BA"�BA@"�A@B"8&�@@A"�@BB"�AAA"==="9C����������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������DEFED GHIJHKHLMNOPQNRSRTJRSUMRVHMRJWNX��������.YZ"[[[[[[)@ )A )B.@ .A .BZ@ ZA ZB[[[[[[".AZB)@\.BZ@)A\.@ZA)B8.AZ@)B8.BZA)@8.BZ@)A]������ .YZ"6.AZB8.BZA7)@\6.BZ@8.@ZB7)A\[email protected]@7)B 6&�47C������������_�����������@ !. Z!�@ !. Z!"�@@@.@Z@\�@@A.@ZA\�@@B.@ZB\�@[email protected]@\�@AA.AZA\�@AB.AZB\�@[email protected]@\�@BA.BZA\�@BB.BZB\�_�� #$% �@ !. Z!".AZB8.BZA�A !. Z!".BZ@8.@ZB�B !. Z!"[email protected]@a���� �������������� .YZb�� !. Z! 6&�4c7C������������������������������������������������������d������������������e��������e�����������������������������������.YZb�� !. Z!"�!� . Z!?_����������������������������e��������e������������������������������������.YZb�� !. Z!"�� !.!Z�"�� !.�Z &&

Page 16: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������������� ���� ������� ����� ���������� �� ������������������������� �� ������ !� �!"�� !�!� #���������� ������ !� �!"� !��!� "�!� � ��$$$%���&�����&������������ ��&��� ������������'()*"+�*",,,,,,-. -/ -01123 1124 1125*. */ *0,,,,,,6�7�� '()*� �� ! 889 *! "�� !*!: ;<=>?@ABCBD EFGHFIFJKLMNOLPQFRFKFHSTJLJKFI�������� �U���&��� ��&�����������&�����7� �������������� � ����V������� ����������,,,,,,-. -/ -0�. �/ �0�. �/ �0,,,,,,�,,,,,,W.. W./ W.0W/. W// W/0W0. W0/ W00,,,,,,%������ ��W"�� !W.�W/ W0! ;<=><@X� �V�� ��������������������&���������������U���� ! ��W"�YZ[WY�WZ W[!\���������������U�� ��W"<]�� !�YZ[W�YW ZW![ ;<=>@ABCB_ EFGHFIFJKLMNOLPQP HPQaKPbTIKPFJKHFcFKPHFI�������� �V�����&������������ � �����������&� �V������������&�������U���&��� ��&����������� �U�V��d��� ��������� �&�� ��������������������;���@ef"�� !��� f! ;<=>>@#��������������7���&�����&�������������U���������������������������� ����V�����������= <

Page 17: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

����� �������������������� �������������������������������������������� !" ����� ��#��$����������������%����&�����'����" ����� ��()�*���"������� ��������+����,������!"�����%-������%!-������(.���/�����0�� ��� ��"������ 0�"* � ���" ��� "#��"�1�#/�����0�"$�� �� � �%�������""����� "�2�� ��"% +��"#����������2"� ����" ���� ����������34567465.��"��+�0���� !" ���� ������"������385679865:���-����+ ��$�������������%����&�����'��#$������ � �%����������"�����;� ���� ����#������������" ����� ��(:���"������"���"������� ������������� 0�"�� � ���" ��� "#�"����� �����""�" ���� ����� !" ���� �"���,�� %����� ���� <���+� "����+��"����������� �� � �%#�� "�*������������/��" � %������"������ ��#"������$����+�%+������=�"�2�� ��"% +��"(>��/�����0���" ����� ��$����������������$��%$������������"�2�� ��""�1��%���2�% ��������#%-��� �� ,������3456?746?574?5674?65@�,��������%�������#���/�����0������ !" ����� ��$����������������������2�% ����"�2�� ��"%-���� <���" ��%3 856?79865?.���!"����"�����$����"��"���� �����"#$�����-��+������� �������"�2�� ��"#�"����+�"����%�(AB���%�3 C7DEF7DEG7HI8JJK798JJK7LM��*�"���"��"���������2"� ��"#��"�-�1����������������+�%+��������������" ����� ������������� !" ����� �����"���������"������������"�1��������������"��%��#���"�%��������%�(AB���%�3 NO56?P6?7O5667LO56?PQ?7O56QR7LS�1�3���" ����T�4���� 0�"* � ���" ��� "�� "$����� �� ��"�1�" ����� ����"�/������� !" ����� ��( NTU4VT5646?R7LTU4VT564567L��W X���Y����������Z[�X\����X�]_�)�1�3 5785aba cd(Hefb57g5aha cd(HifdH

Page 18: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

����������������� ����� ��������� �������������� � ������ ������������ ��� !�"#"$�%�� &' ('�!�"#")*+,-./01.023425367 8�� & 9��� �:;�< =�#� �:>�?�������@A� �������� &< 9���="#"������� �� B� 9��� 9C�C 9'�' DDD � ���� %���������E�F�����������F����� G�� �����B� ���������� ������ ���� ���)2+H3/6I3425367 8�� J'KLKMNL' OP�����������LK � ���Q �������� �� �������NL'������ ���� ���� R��� �S ��J'KLKMNL' J'KLKMNT'KLK �J'KMNT'K�LK O)U+V6W/I342536�X����� ��E�F��B� ������� ��%��������������� ����� � ��F�����������������Y�����E�F��� J'KZJ'' JPP[J\\[J]]Y�����E�F��� 'K"_ aZ '"" 'PP[ '\\[ ']]b���F����� �����������Q ����� ����� ��E�F��� �� ��� � � ������ �����c������ ������� ���� ������ � �� �� �����������������d��E�F���� e�� ��F��%������� �� �����E�F������%�����E�F����� �������? e �������������� ����� ��E�F��� ��� �����E��� �����������B� ���� ������������ � �� � � ��������� ��������������������������Y�����E�F��� f'KZf'' ghf'K?���� e �����i d��E�F������������ ������E�F�������� ����� ���������������������f'K NT'Kj""[klj'Kf'' NT''j""[klj'' �:N[kl�j''m �:N[kl� f''mnopqrstuvwvxyzq{vsqp �

Page 19: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��� ��������� ���������������������������������������� ���� ���!�"���#�"�$�"�!�"���������"���$���"�#��#�#����#��"��#����#%&��#���"���'�#�(����������#!����#)*�*+), �!����)!�"�'��!��)!�"�����"�� �#� "$�#��#�����#, �#���#��$��$�����#!����)������#�"��-. "�/�01%2�"�����3#� �#�#������"��#������"�4�"�����%565/7897:97;165/7<1565=/7897:97;165=/7<1>�. "�0%?@A�#�"��������B���3C���"�#D������, �@ EFG H8678/51I78/5=1H:67:/51I7:/5=1H;67;/51I7;/5=1J�.�)�������������������@H8678/51I78/5=1�K4�����!�"����", �@HLH6MHM:6H:8NH::NH:;6O78/51I78/5=1P:NO7:/51I7:/5=1P:NO7;/51I7;/5=1P:J�.� MHM6H6/H<H<18Q:2��������4���������-��"3#��#��"�$���#��"���$���"��������"���������7</51����7</5=1% H9<6 RHR7</516I RHR7</5=16H<H /0%?S1T�#�"$������@ EFG HU9U6H898NH:9:NH;9;60N0N06?HU9U67U9U6VUUH<9W67<9W6V<W 0X

Page 20: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��� ���������� � ����� ��������������������� ��������!"�!��� ���#$%�#����!�%��"���&��������!�%�������#�%'��������(�#��#�!����)������*�!&�&�+,��"#)�&�#�-�"�&������� ��"�&"�"�%�"#$%��.��"%"��/����������#$!���� ��&������� ����#/����)#����$!��"����!�����%�+01"���#&���&".�!������.��&�#����"����!��#/��)���&�#��&�##��#��#�#���"!�&"��"���&�!��"���-�"�+2�����!����.��"3�&���&���!!�!&���1��+4!"��"$�%#����)&�5��#6����*���!��7897:77;��#����&�����<�"����*���!���!��<���"���"���!"����!���"����=78>?@A BCCDEF7:>?@A CBCDEF7;>?@A CCBDEF0*"&����#������$����-*�%<���!�%"3�!��"�/����$�!��#��$����&��&"#��� ���+0����*���!��� ��.!��G�����#����&���#"��&��*�!��!��+,������ ��"�&"�"�%��#/����&�5�����7H��!!��$��&�����%���!�#&��*�!��!����!���"����I7897:JK7;L)����(�)7H���#*���!)�� ���#���#$������&��#*���!7+2�������������#������� ��"�&"�"�%�"#$%��)$�"������%����*���� ��)&�&��#*���!M)MH��$��"5���$������������#$�������+M:N O�<��&���#$������&�*���!M7:N P���!��"���!"���(���#$��"�� ����IC9B9CLQ��!!������������ ��"�&"�"�%��#/����)������%�"#����#�����!�1$%"�"��&��)�!���!*�6���%��!�R$�!�&��"<���6%��+0������$!"#�"!�<!��&�&"��"��� ��)����!"�!#����#���"���&�+0# .���� ��&�������*���� ��)��<��#6���#����!"�&�"#$�!������$!�6$!"�&�&��+S�T 7HU7V>WHV>X78U78>7:U7:>7;U7;>B78U7:>78U7;>7:U7;>C IB+YZL[�*�6��������!����<�!�������"&�&�&��-�&"���%"*!��� ��#�"�!��$��&�"��6%�&�#����$�%���!����!"3��� ��&��!&�#&�<!��&�3���*�%*"&�+)�#�*�3���� ��$����"/���)���#����%�!+Q��-�&"���%"*!���"#$%��#����!��$��&�#$�%���#�!�&�!���%��&��$����-*�"�&���!�#�/�"&�����$�!��� ���$!������&�)����5��#�#6/��"&���������� ��"�&"�"�%+P�(�=�����#*���!)���$!�&�������%�!$�!���!�*���!�.�!�����#�!���%��&��#��#�!�)�/*"�#����+S\T 7H]7V> HV_7_ IB+CL0*"&����#��������$!�&���*���!"�%���!�*���!��!���%����#*���!a&��-����#*�!��!��*�����$�!���!��%�&�&"!�"��&�"<��%&�&�����!"�!+Q/��!*�=������"6&�&�&��-�&"���%"*!��.�!��������#�!�&�$���"/"%"&�&����*�%*"&�����$�!��� ��)Bb

Page 21: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������������� �������� ���� ��������������� � ������ �� ���������������������������������������������������������������������� !"# $�%&�'()����%'� $*�+*(,������������������� ����-���������� �����.��.����.����������/����0���1����2����� ������� � ��� �� �/���� ��3 �3��� ��4��� ����������� 5�1 ��!6#�%'��789�:$�%��'()��;:$�7��8()�9;�<<<<<<�%)�7 �%)�8 �%)�9�')�7 �')�8 �')�9��)�7 ��)�8 ��)�9<<<<<<�<<<<<<=%7 =%8 =%9='7 ='8 ='9=�7 =�8 =�9<<<<<< $*�+>(?�� ��� 5�1 ����������� ���������@���� ���������� �����A� ���� .��������������� ����������������� ������������ 5�1 �������� ��B�����C���2����.��$��*(�%'��78��<<<<<<=%7 =%8 =%�='7 ='8 ='�=�7 =�8 =��<<<<<<�=%7='8D=%8='7$�>(�%'��7'��<<<<<<=%7 =%' =%�='7 ='' ='�=�7 =�' =��<<<<<<�>=%7$��E(�%'��%'��<<<<<<=%% =%' =%�='% ='' ='�=�% =�' =��<<<<<<� F ��� ���.��5�1 �G�� ��� ����������3���� � ��� ���H �������� ����-��� ���0������� � �����/� 3�����-����� ������� ����������3�������������� � ��5� ����� ���I �� ���������. �� ���$.����������� � ������(�?-������JKL M�M%�%�M����M����M���$N�*O>OE(P�P%�%�P����P���$Q�*O>(R�R�S$��&�S(�R��$��&��(�R��$��&��(�TTT�R��$��&��($UOV�*O>OE(*W

Page 22: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������������� �������������������������� ����� ��� ���������� � ������������������������������������������� !"#$ ����%����%����%&�� �� ��� '()(�'�)��'�)��***�'+)+�,-�%./.***.012���������� ����������3��������������4�� ��� �����5678������������� 9:) �,9()(1:) �9(,)(:) 1�9(�( �9 ,%�;<1&������9 ������ � ����������9=��������������������������������>?�����������@�� �A������ ����������B�����9:C�,9 ) 1:,C()(1�9 C(,) :)(1�9 C(� (�9 C �9�C��9�C��9�C�5D78��������������� CE9�FG (�C 9(H)� ,%�;;12�������CE9�C ) E9()(�C(9(,) E)(1�C 9(G (�)��,G (�C 9(1)�5I78�����������,CE91:J�,C ) E9()(1:J�)��,G (KC 9()K1:J�)���G (KC 9(J�,)K:)�1�,G (KC 9(J�1�K��G (KC 9(JK LCG (�C 9(J�2�����������������������M����=������������������,CE91:J�,G (�C 9(1)�:J�)��G (�C 9(J�,)�:)�1�G (�C 9(J�N �?�� O,) E)(1:)��,G (�)�1:)��G (�,)�:)�1�G (�,) E)(1:)(�,G (�)�1:)(�G (�,)�:)(1�G (���(�P%Q

Page 23: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��� ��������� ����������������������� !�"!�"�#������������!�$�%&�'�$�%(�'�)�*���"+�����,�-�.���/01���2��� �-30"-4!���������35�/-3�#��$�����6���$�����7�6�!�$�����6����$89:�9�:�6�;�<��=�!-���1�"�>!2����������7�7��$- ? @� )� !�"!�"��%��������������%��'��'�)AB�C�!1�+�����,�-�.���/01���2����3��.�>!2��-��-!-�"�01�!�1�-���.-4!�1����"�������1+�3��3���"�3�.�35�.-!�0�1���01��"�3����3�!D��-!�#��EFGEHFI(EFGEHFF(EFGEHFJ( %KFEFGELF �M��NOPQ(R��REFGELF!�RSTSL�UVW&NOPX(RY��Z�[$Z�[$\��($]& �Z�[\�^��NOP$WV_Y�N�(RQV��^a�Q�bcVNOP ()de_Y�N ($_Y�N�fg,�P�hVWV($iV[�NOPW=�j� k)e_Y�N ($_Y�N�f($_Y�N�f_Y�Ng-�dZ�[ ($b(d�_Y�N$NOP�(l�^?�Z�[Q(_Y�NP&_Y�N$YmnP�([�^"�Ro$_Y�NP�P(EpELq�&_Y�N[(d'Z�[P(dr_Y�N$NOPP�s3�n�btVNOP ()d$NOP�cV(dtuYmn��vwe$_Y�Nl�V$_Y�N_�(lZ�[_gNx�vyl$_Y�N_�VtN8z�<�"!�"���-30"-4�����35�/-3�����,�-�.���/01���2��� ��������.�>!2��-��-!-�"#��Ymn$_Y�N\���NOP$_Y�N\�!�NOP$_Y�NP���$_Y�N\u_Y�N{�V_Y�N\ |

Page 24: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������������������ ����� � ����������� ����������������������������������������� �� ��!��!����!�"�����#��$��%&&'�%&(%()��%&(%&)%()!�%&(%&(��%&&%((�%&*%(*+%&,%,(-�������������������������������� �� ��!�������!�����.���/����$��0&()0&()'�0&()0)(1��0&()�(�)!�0&()23&24(25)��0&()�(&)�0&()%(*��0&()�6()��0&()�&�(�)��0&()�&7(�)8�0&()%3&%4(%5)9�:�� �;��$��0&()0*()<=%&*'�0&()0*,)<%&*%(,+%&,%(*��0&()0&()<=%&&>�?������@�����A��!�����/������!�����@;��$�� �B����7+7����B�<BC�D7+7C�DBEF�G����������@����.�!�����/������!�����$HI����<HJKL�� �+������ML�N�O=F

Page 25: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������ � ���� ���� ��������������������������������������� � ���� ��! "��#$������%������!%&��'�&��()%&���'�&��'�&���*�+�����,���-�����������. !�/���0��120��34�������5�6���7�8 9� (8 )��:�4���������;"<��;"<��;�;�<�<� ;�<�;�<�$�;"�;=<���;><�?> �;@<@?��A��B�4�������������$!�$��������<CDE;�FGDH<"FGDH;�HI<J�K�4�������+�L!��������M������N�/��<;&�� ;<&���� �&� ���&��O������G�0�������N�/�!PGP�G!Q�����������<��0�����$1����������!�����0��0������N�/��������!�����������������������1,���3�G=G$�HI<G��GRSG��FGDH�G"<���HI<�G=<�T�GRS�G=<�5�CDE�%G�M�FGDH�FGDH%G���GRS�G>G�U�HI<�G>G��V��������������T12������������WGW�G!���������������������!����������1�1��5�� G&�3�X�Y������A(=<�=A(������������3��

Page 26: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������������ ����������������������������������������������� �������������� ���!�" ������#��������$ �!������� ��%���������������&����%'��������������(���)��*�%�� ��+,-��.�//��//�.0�./�/��/�./�$.1#�����!�" ��2 ������ 34%�5��6������� ��7��89:� 34��� �;4;�4��<�=���������� ���������������������" ����89:��>491�1?����4@A�4@A��)��B491����B491CDEFEGH I���4@A��J�K��������������������������" ���./�L./MNN� �� �O�L.NMN/��)����" �� �./� PQB� �O�4R�<�JO�S./04M.4M/T UL./� VQB4S./��

Page 27: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������������ ������������������������ ��!��"�������������#����!#$�!���!������%!&�'"'����������#��!����������(������#������������'#"�)����'!��%!&�'��#����'��#���'*+�������������&�'���'���������!�)����*+'��(��,��������#����'#����-#�������'!��%!&�'���"����#���#���')����'.��#�������#�������#/!�����"����#�!���!������%!&�'*�����������-#����/!�%!&�'���#������������,����%!&�'�������',��&�'���'�����'�(��'���*0��#��1*23����")'�45 6 ���7�89��:'�'����")'������������(��'�����,���'�'���)'!�����',�(�)'!�����,��!�);���%!&�',��'�%!���!*<�'�����!������,#�(��'�"'����'���������-#�)-#��"'��'���#�)���������������-#�)-#��)#����'��"�%!'*=��'>���(�%!&�'��������!#)'���'�������������?��!�������������-#���-#����#���#���'���'������'�"����#�!���!������%!&�'*=��'�����")'������(���������'�����'������&�'�#�"'��'�'!'�"'* 1@

Page 28: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������� ������� ���� �� ������������ ��� ������ �� � ��� ��� ���������������������������� ������� ������������� ���� �������������������� �������� ����� ������!��������� �"������� � ���������� �� ����������� ������������������ �����#��$���� ������� � ����#�������������%�� ��&������'����������������� ������������� ���������������( ���������)*)+,+-).,.-)/,/*0+1+,+-0.1.,.-0/1/,/�� ����2�����������( ����� ����� ��� ��������������������3������!����������45�����������4��� ��� ��� ������ 6*1+,+-1.,.-1/,/�����!�!������ )*786� � 7*0+,+,+-0.,.,.-0/,/,/���� ��� 786*0+1+,+,+8,+-0.1.,.,.8,.-0/1/,/,/8,/*)9��������������� ����7� ��������7:;<0+ = == 0. == = 0/>?�@

Page 29: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���������������� ��������������������� � ������������������������������������������������������������������� � ��� �������� �������������� ���������� �� ��� ����������� �� ��� ������������� ����� ��� ��������� ������������� ��������������������� �� ��������� �� ��� ��!"����������������������� � �� �� ��� ��! #$ #% #&#$ #$#$ #$#% #$#&#% #%#$ #%#% #%#&#& #&#$ #&#% #&#&'�����(�)!*������ � �� ��+�� ��,-.�����������������!#$#%/0#%#$*���1#$#%2#%/01#%#$2#%3-"��� �����������������������!4#$#%0#$#%45-6���������������!4$#$#%74%#$#&74&#$#%084$74&9#$#%74%#$#&:-6��� ��������������������������������������������� ������������� ����������!84$#$#%74%#%#&9;<04$#$#%;<74%#%#&9;<"����������! <;4$#$#%/04$#$#%;<�������������������� � �������� ����=��������� ����������� � ������������ ������� ����������������������������! >0>$$#$#$7>$%#$#%7;;;7>&%#&#%7>&&#&#& 8(�)9.��������������� ������� ����������>�� ����������������������������� ��������� ������������ ���������� �������������������������� �����������*������������ ������� ��� ���� ������������������������� � ��������������������������������������������+� ������������ ��������� �������������������������� ��� ����������������������������� ����� � ���������������������� ��'�.6"?�6�@������ �������� ������������������ �� ������������������������� �������� ��! (A

Page 30: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ !����" �����#������$����������%&'%('%)'***'%+��" �����,����#�������������������$�#��-������������.������������������$�#�������������������������������/������������#������0�������������������������������������,������.�����������/�����������������������������������������������������������.������������������.������������������������������������/��������� ��0�1�������������#�����������������������������������������.��������������$�#���2��������������������������������������������1��������3��������/���4�����5�����4��������������������������-������������������0������������������4�������������� ������������������6������������������� ����������������/����6���������������� ��������/���������������������������7�����8�9�:��������$�#����;���� ���������$�#��������0�1����#���0�������������������<��������2����������������������$�#���������#�0�1���������2������0�������=��9�������0�������$�#������������������������������#�����������������������>����������������������.��������/���������$�#���������������8?

Page 31: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��������������������� �� �������� ���������������������������������� ���������������������������������� ����������������� ������ ������������������������������������� !"#�$�%&'#(!)* (��(!�������������� ������� ���������� ��������������������� �+��������,����������������������������-���������� �������������-����. �� �������������������������� ��������������� ���������-����������-�����/����-���������-����������������������������������0 ����1�234����������5�������������� �������� �����������������������������-����������-�����.���������������������� ��������������� ��������� �� �������� �� ���6��������������������� ����-��������� ������� �������������0 ����1�73/8�����4������9�����/������������� ������������8���:������������-���� �������� ������������ � ��������� ������������������������� �������������������������;�����<�� �3 =>?@ABCDEF>D@EGHF B1�1G1I

Page 32: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��� ���������� ������������������������������������������������������������������������������� !"#�������$�%����#������������������ ����������������������&'()*���"������ ������������������+,�����������������-���"����"������ ����"#��"#���������#��������+./012.2202���3 45&67./01.808 45&97./014.8:87/40;:;714.80;74:8:;714.80;7<8;1.808 45&=7>�!"��5&?+*���"��@��� ��'(()*���"������ ��������������������+���������������������A���"����"������ ����"#��"#���������#��������+B/C1B8;C8; 45&D7�@��#"#����$�%�����"���������$�%���������+B/C1B8;C;8E���F��G"������ �"���������������$�%��#������� �������������������H������#���#�����#� ��������"�"����"#������$�%���"I�������$�%��J��#� ����#� �H�&,���F��������������G"��������$�%���4�7�4��7����%���H�������������� #������J��#�#�����������������#�����J��K�������I�����!��� &*���H�#� �+�@5L

Page 33: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������������������� ������� ������������������������������������ �������������������������������� ���������� �� ����������������� ������������������������ �� �������� ������������������������������������������ !"#$%&'(%)*+%&'(%),+'''+%&'(%)-./01"** 222 "*3��� ��� ���"3* 222"33456����������������� ��������������������������������������������������������������������� ����������� ��7��������������������������������������������������������������������������������� ������������������ �89��������������������������������������������������8�:���� �����������������;����������������������������������������������� ������������� ����������������&������������������<������������������� ���������������(�=�������������������>����������;�����������������?�������������@ABC"D"EF+FGHIA"D"EF+JKLLLMN������������ �����<���������������������������� �������������������������� ������������� IOP#QRIRRPR���S &T�U(IOP#&VEFJIEPF(WJ &T�X(KLYMN����������� ������<������� ������� �����������������8������ ���������������������������������� IZP#&I*P*[I,P,(W*\&I*P,\I,P*(W,( &T�](T]

Page 34: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���������������� ������ ��� ���������� ��������� ���������������������������������������������� ������!� ������"����� �#��$ �� �����!��%�&�����������'��()*�+,��-����� �����!��!���./ �������%�&����!�! ���0�������!������������$ ������"���!�������������1������!�������2"�3.4�����5.6� ���������1���������!��������2"�3/ ��������������7���!��$ ���"�����!��� �����!����!�����!�����'�888888(9 (: (;*9 *: *;,9 ,: ,;888888��()*�+, �5.<=�>� ��"�� �()*�+,��*),�+�?(���,)(�+�*���@� ������������������� ������������� "����� �� ���� ���������!��������� ����0�%�&����!����� ���������A��*����+*� �5.<<�B��!��!���2���� � ��!� ������C��������� ��� 2�������������������� ����������� ������� ����� ����������!��������.�A�D�E�F�GHHHHHIHHHHHJ �9�:�;...�KLHHHHHMHHHHHNO�9 �: PPP�KQR=

Page 35: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������� ����� ��� �� ������������������� ��������������������������� !�����"#��#� �$��� ��%��&����$������"�'�#(�)��� �*!��� #(� ��+�������$ ���%��&����$������� !����$���%�&�$���,��������-�-. -�/-. 01�2134"���,��5�.0-�/-.3 5��-�-�65��-�-�65��-�-�65��-�-�665��-�-�7���%+%�&��$���5�.0-�/-.3�5��892 : :: : :: : :;<65��89: 2 :: : :: : :;<665��89: : :: : :: : 2;<=��"#���>�0-�/-�3�>�892 : :: : :: : :;<6>�89: : :: 2 :: : :;<66>�89: : :: : :: : 2;<4!���������%� � ����&�+%�$� ���������� !���?0�/3@ 0/�3?0�/30A/B3 0A30�/B3?0-�/-.30-C/-D3 0-�-.30-C-D3 E�CE.DFGHHIJ�� !����$���%�&�$��� �%� %#� %+���4��!���!&�� �#�!���$��� �*!������ ��K�L����������0M/N3 O'���$,�&,�$ ��PM�.0-�/-.3Q/PNCR0-C/-R3Q M�.NCRSTUVWXYZ[ 0-�/-.3/0-C/-R3\����&��$��K�$�]��K���$����#� � �����O O�.CR0-�/-./-C/-R32

Page 36: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������� ����������������������� ��� ��� ������������������� ��������� ������������� ��� � � ������������������������ !"#�$% %&!"$&'��(��)���������������*��+������������������� ����� �����+�� ��,-����.�(�������)����������������������������/������)��0�.����������������� ���1��,2+�� ���1������������������ ��������������������������"!"$%�3$43%�!�$&�3$43&� 5%�3543%�!�$& 5%�3$43&��3543%�!�$& 5%�3&35�3$43%�!�$& 5%6&5�3$43%�!�$5 5%�3$43%���7��������� ��������������������� �������8�0�����0���������9�� ���)���:!;<#:$!;$%<%=!";#=$%!"$%&>;&> �?,@A�-����.����0���1������+�� �����������������.�����������3$�:!:$3$!;$%�3$43%�:&3&!;$%:&�3$43%�3&!;$%:&�3%B3&�3$!;$%:&6%&3$!;$%:%3$=!=$%�3$43%�!"$%&>�3$43%43&43>�;5C�3543C�!"$%&>;5C�3$43%�4�3&43>��3543C�D���1����������0���E�3$43%�4�3&43>�F�3543C�#�3$43%�3&G� (��� =!"$%&>;5CH�3&43>�B�3543C�I�3$43%�8������)��� �3&43>�B�3543C�!6&56>CJ���� =!"$%&>;5C6&56>C�3$43%�!"$%&>;&>�3$43%�A?

Page 37: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������� ���� �������������������������� �!��"����� ��!��"�#��� ���������$�!�%��&#�����'�#(�&��#��������)���������*%��&#�����"�#����������'+ ����*,- �� ��./0- �� ��1�� 2����3.4567489:5;<=>?5<5@8;?7=>?59<A9B5:>AC=DE;:F7=5GA<:5897H7<5=>:=;=>97I;=5<J7KC=C7>7C:5>BL<:AC=?54C=;<A<:A;?=8;AC795;:5?578:=M5:=>5<?54DE9:5>9=<?5<<5<78:=M5:=>5<5<58<>5<J5C:AM=<78:=M7I=>5<J=?5N<55<C>5M5>O PQ RSTUVWTXYTZYT[ \Q]_` X,][��a%�� �������������b����)����������%� ������� %�����#,c�� ������(����%�d�� �ef,g������������ �(!���� ��!������ h0�3i����a����������j� �!��"�#��� �� ����� hWVkQWlkQWf,m ��j� �!��"����� �a� ����� nYV YlYYf ����!�!����������(���� ����%������ %������������'+ ������in�������� ��� ,o��������������� � �!��"����� %���� ��"� !�#�$��� ��b�������j� ��������� %�����%�� hp�(!�� ,]hq�������� �� �!��"����� `

Page 38: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��������������������������� ��� �������� ������� ��������� �� � ��������������������� �� �������� !�� ����� "�� ����� �������������������������������� �� �� � ���#����� �$ �������� !���������������%�&'(�� ) )) ) )) ) )*+�'() ) )) � )) ) )*+�'() ) )) ) )) ) �*+ �, -�./0�� ������1��2���� ���1���%����3�� !�"���4�5�� � ��#��������1��2���� �������1����� ����� 1��1��2 ������ � �� 6����2��� �� ��1��2 ��� ���� �� ���"����� �����1���������� � ��2��2 ��� � 7 5�%8� ��$ �1��2 ����9������"$ ��$ 68� �$ �1��2 ������1��� �� 9��6����$ ����$:2 ���; �%<���9������9����� ���9����9��= >? @ABCDEFCGHIJKLBCDMIJNJIJAOHCPAJQRJMPCAD���S��� �1#������� �����2�$ ���������� �1��%T�����U1 �� ����������1��2 ��� ����� ����� �� �����1��2���� ��� � !�����% �������������V$���1����������� ������� �� ����1��� ���� ���1��2 ���������%���W���������W�����������W�!�����% ���X����W�����W�X��W���)��� ��W����Y��W�����W�T����� ���X����W��)V�����3�����$ �������������������������2�����1�� ������� �����������$ � � ������� �� ����������� � �1 Z� ���"$ �U1 %[������������ \���������������W]W�����_��������_�� �, ,�,a

Page 39: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������������� ���� ��������������������� ����������������������������������� ��� � ������������������������������������������������������ ����� �� !"#!$#!%� &"'(#!$#!%)������ ��������������� ��*���� ������+��������������������+��,����-./0 0 00 0 00 0 !123 &456./7 0 00 7 00 0 712(./0 0 00 0 00 0 71289:�./0 0 00 0 00 0 !123./ & 0 00 & 00 0 012�./ & 0 00 & 00 0 !12;<�=���>����������������� ?� &� !� �@��������������������� �� 'A �������� �����������������������������B���C� ���������������������������D���D������������������ ����������EF

Page 40: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���������������� ������������ ���������������������������� ������������������������ ����������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������� �� �������������������������� �������������������������������� ������ ����������� �������������������������� � !"����"#��$%�&�'��'�%�$���� ()* �&#�&+�,#!-+�,�'#�'+�,#&'.+!-�,'�!-/�'01�$#�$+�,#� !����������������� ���������������������������2 �3�� � ����� �������4�������5����� ()* �&#�&%�'%�$�'#�&�'%�&�$%�'�$�$#�&�'�$6����������������� ��������7���8����������9���4����� ������3�� ��������:��������������������� 3�� ���������&��� �����4�������5����3�� �������� �����������7���8����������9�����������������;� �������������������������������������3�������������������������������������� <�����;� ������ ���������������������8������������������������8����������9�����������������������������;� =>�?4� ���@A���� �����������������������������BCDE F FF G HF H �GIJ6��<�� ���������������K����� #� LML+����, #FNOPQRSTPUVQRRPWXSYRSQRUZ[QXUYQTSR\QTS] _R[_[QRQZ[QQRQRUZ[QXS[QTSR\QTS]abcGd

Page 41: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

���������������� �������������������������������� �� � �� !�� "� " �!����������# � ���$%&'�!����!'��( )* +,-./01 2��3��������456 �7� �0�8�9��8:��������� ���������������;�������7� <= � � �� !� "� " �!� >?456 @7@0@9ABC���<=� � �� % "� " �8>?456 @7@0@9ABC��DED456 @7�%@0��@9���0�8<= �8 � �� !�8 "� " �!�8>?456 @7@0@9ABC���<=�! � �� � "� " �F>?456 @7@0@9ABC��DED456 @7��@0�%@9�70�9��8<= '8 � �� !'8 "� " �!'8>?456 @7@0@9ABC���<=G � �� F "� " >?456 @7@0@9ABC��DED456 @7��@0�%@9� ������������H��� 456 �7��%����0��� 0I1 7I1��9��� 7I1 ,0I1�J���� �����;�����������������KKK�L��������������;���������������M;������� ���7��7N�7�'�0��0N�0�'�9��9N�9�O�������������<= � �� ! "� " �!>?� <=% � �� � �� � �>?'8<=� � �� "P8 P8� P8 %P8>?�8<=� � �� %P8 � P8� � P8 "P8>?456 %��ABCQ% � �R 456 �0I17I1ABCS� 0I1 7I1T 456 �7I1�0I1ABCS� 7I1 �0I1T!G

Page 42: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�������������� ����������������������������� � �� � �� � ���������� ��� ���� ���!�"�#���� ������������ $����%#���#�&��������������������������$��������� ������!���� � ��#�#��$� ��'()�*'+)�*',)��� !� �� #������������!������� #� ���'()������ � �� ��� �� � ������-./ 0(0+0,123)����� � �� 4 �� � �5��-./ 0(0+0,123)�676-./ 0()�0+)�0,)�'+)������ � �� ��� �� � ������-./ 0(0+0,123)�����4 � �� � �� � �����-./ 0(0+0,123)�676-./ 0() (8(90+) ,8(90,)�',)�����:� � �� �:� �� � ��:���-./ 0(0+0,123)����5 � �� �� �� � ���-./ 0(0+0,123)�676-;.;/ 0()� <,8(=>0+)� (?,8(=>0,) ,>,8(=>�������4������ ����������������������������� � �� � �� � ����@��������� �#��$� ��%�����������������-./ '()�'+)�',)�� �A �!��!� ����&������������������B()C���D*B+)C���DBB,)C���D4E

Page 43: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��������������� ������������������������������������������������������������������������������������ ����������������!���������"�����������#���$%&����������'����� ���#��������������������(����)�������������� ����������������#����%*�#��������������#����'�������� �����������������������������������������������%+��������� ������������� ����������������,������������� �������������������������� �������-.�/-���(����)�����%0���#������������1��� ���������$�������#���������������������� ��(�����,#��������(���%+���������� ������-.�/-���(����)�����%2'�����$���� /3456 7 77 8 97 9 :8;<� -345= 7 77 �>? �>?7 �>? :�>?;<�����-.�/-�������45= 7 77 �>? �>?7 �>? :�>?;<456 7 77 8 97 9 :8;<45= 7 77 �>? �>?7 �>? :�>?;<�456 7 77 @ 77 7 :@;<��������� ��A������������������-B �-%A#C��������������� ��������������������� �����D*������)���������������������� �������(���!����(�����������"�������������������������E�����/345F� G� 77 F� G�7 7 F�;<HIJ KLMNOLPQRSNTUQVRWXYRUOLPLSNUQLNZ���������������������������� ������)��[������������������ ����������������������������������������� �������������������������������������������������������%2��������� �������������������������#C���������������������������)��������� ������������%&���� ����������(�������������#��������(���������(�����������%#2�'����������������������� ��#������(������������������ ������������%\����������(����-B-�--B�]%Z����������'����� ���_-B-"� �_-B �_!-� �_!-"��= !8%9"8

Page 44: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

����������������� ���������������������������� �������������������� !"�#���������$%���% &�%'�(�)%(�$%'�$(�)%(�*����+��,�� ��������-���������� ! �#�-�����./���0�����������1������&2�2%'�%2�2$%'�$% 3 &2%�2'�%2$%�2'�$%4���5��������6�������� 2�2$%�$%�2$%+��%72'�(�2(�2$%��%'�(�2$%8�9:+�9;�:7�%<�2$%8�9:�9+�:7'�%7<�(�2$%8�9:�9):%<�(�2$%8�9:�9)=%)9(<�2$%��(%'>'2(��(%2$%? �(92(��(9�(%2$%�(92(�)9%2$%�2$9 '>'2$(��%(2%@A

Page 45: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������� �� ������� ������������������������������������������������������� �!�"! ������� �!��"!� ����!��� !���#$���!�$�!�#��%�� �!�"! �&!�$�!�#�%�� �!�"! �!$&�!�#�'�� �!�" ! �!$� !#(�'�� !��! !$�(� !#��� )! � !$*+ ,- ./01 )!�� !#*+ ,- ./02���!�� !#� �#! � !$� $3�4� ��#$��� �# $ �567�������������� ��� �� �568�9���:�����;<=9���������>��>�?���@�������������������A����;B=C����������� �� ;D=E�����������#$��� �# $;F=���������5G��������#$H� �# $ IH�� I����@��������������������4��������������������������6J�K����L�����������M�������������������������6N�����������K��������K��������������4��������4����O��4�������A��������A�������������������������������������P����6����Q�������R�A5�������SA������������4����K�����������O��������������������6 TU

Page 46: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

��� ������������� ����� �������� � ���� ������������������������� ��!��� "���#$%!�&%������� & "����%�"� # '()*+,-.)-*+- (/01,(2),-.2)- (/03,4 �����"������5��!6������ !��� "�$% (7,�����!�����(8,9!���:$�';-.;<=- (/0>,?-.-<=- (/0@A,������:$�!" �B$�%������ ��%$����:$� � �C$�! ��! � � �!��� "��D�$#��&��� E�! "��%0�F�7&" �$! GH9��� ��!��� "��B$�"�����B$��!���"��!�"DI�!���'()+,-.)(+-,=- (/0@@,)+J.+) (/0@K,���7!"���& �! ��$#!��� "GD� !��� ")L9!�%:$�')MN-.)L-NM.MN)L- (/0@/,O" &"�������'N()*+,L.)L*+LN()+,L.+L)LN()L,L.)��7!��� "GD���#D�!"�� ��' ).)L���!����#D�!"�� ��� ' ).P)L���H � !��� "G��#�!����B$��!���� #& ������ ').Q*R��� #�������� #& ������ ���!�E�9 ���'Q.@K()*)L,SK

Page 47: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

�� ���������� ������������������������������������� ���� �!�����������"���# ��� ����� � ��������$��%�����" ����� ��&'�& '(�)�$����������$������������*�+����,�����$�����&'�-&��-'.����!�%!�����-&��-'��-'�-&�/�01�-0�-12-'-&�/�01�-0�-1-'2�-&��01�1'�-0�-&��01�1'�0&��&'��������� 3�&'��-'�-&4�567869-9:-;���&'�-&�-'4��-9;6<�=�>������� ���$����&'�-&�-'"��,��?���������@$�$����:<����&':<�-&�-'��&'�-&�-'��&'�&'��&&A�� ����������%����������������%�������B������������!���������C>�������������:<���:<����:<����:<����:<��������� 4 >��������$�%���D���:��E�.�,��?������������������� ���$�*"$����������������������������B��*"���� �� F-:���F-:/�2G�H������� ���!��� I!�%���J�����KL"��%A�����KL��KL��DMN

Page 48: apostila - Notação Indicial e Cálculo Tensorial

������������������ �������������������������������� �������� !"#$%&'()$����*�+,��������+�����-�������������*����,���*�+,������+���*���,-�*�-,��./01�����������������������������������2�����3����45�46�5�678576 *9:;<,=5=�>>45>>=6=�>>46>> ? ����9:<@����A����B3C��D��������E��3�� ���������������������������A�����������2���2��3���������������2���:F��� ��� 3����A����B3C��2�����B3C�����������B3C���*��� ������2�3�������� 2�,:G3��2 B3C����3������ ����H3 ��������I��������������4-4�44-�J *9:;K,G�� �� 45�46�4-*46,�5�6�5DL������� 4-4�JM�4-�4��� 4-�4.N0?�������2���� 3��2�H� 2�������������� �2�2�� ����������2��2 ��2 3����2��������� �2��3�������� ��2����A������2���� 3�:O����P�����A� ����� H3��2��������2���6-*,6���2�����������������:G�� ��QRS 6-��6T�86���7���UVWX�X6V��YXZX�V6-��6[�86���7���UVWX�X6VW�\X]��YXZX�V6-��6 �_86���7���XZ��YXZX�V<<