Pêndulo Acionado com Roda de Reação · Figura 12 – Comparação entre a resposta real e aproximada da roda de reação 35 ... 1 Introdução ... princípio de aplicação de

Pontificia Universidade Católica do Rio Grande do Sul

Faculdade de Engenharia

Engenharia de Controle e Automação

Gabriel Perini Werner

Pêndulo Acionado com Roda de Reação

Trabalho de Conclusão de Curso

Porto Alegre2017

Gabriel Perini Werner

Pêndulo Acionado com Roda de Reação

Trabalho de Conclusão de Curso apresen-tado como parte dos requisitos necessáriosà obtenção do título de Engenheiro de Con-trole e Automação pela Pontifícia Universi-dade Católica do Rio Grande do Sul.

Orientador: Aurélio Tergolina Salton

Porto Alegre2017

À todos aqueles que de alguma forma estiveram e estão próximos de mim,fazendo com que tudo valha a pena.

Agradecimentos

À minha família, pelo amor, incentivo e apoio incondicional. À minha namorada,por me aguentar falando sobre o trabalho de conclusão de curso todos os dias e meajudar na elaboração e estruturação da parte escrita, mesmo sem entender ao queo texto se referia. Ao meu orientador, por todos os ensinamentos não só durante aelaboração desta atividade, mas também durante as disciplinas que ministrou.

Resumo

A análise de sistemas subatuados como o pêndulo invertido é muito eficiente noestudo e desenvolvimento de estratégias de controle avançadas, aplicadas à sistemasnão lineares, e vem sendo objeto de pesquisa por mais de uma década. Além deoferecer características únicas inerentes à esse tipo de sistemas, eles apresentamcomo uma de suas maiores vantagens a dinâmica simplificada. Nesse trabalho, serádescrito o estudo de um pêndulo invertido acionado com uma roda de reação. Oproblema de controle foi dividido em duas etapas, primeiro a haste deveria se encontrarna posição elevada, o que pode ser denominado de swing up - ato de balançar atéo topo - do pêndulo, essa tarefa foi realizada através do método de Lyapunov, queconsidera a energia do sistema. Depois, o mesmo deveria ser capaz de se manternessa posição, mesmo que distúrbios fossem aplicados, o que foi feito utilizando umcontrole por realimentação de estados.

Palavras-chave: Pêndulo Invertido. Roda de Reação. Controle

Abstract

The analysis of underactuated systems as the inverted pendulum is very effectivein the study and development of advanced control techniques applied to non-linearsystems, and has been on focus of researchers for over a decade. Besides offeringinherent characteristics of this type of assemblies, they present as one of their greatestadvantages, its simplified dynamics. In this academic work, the inverted pendulumactuaded by a reaction wheel was studied. The control problem was divided in twostages. Firstly, the pendulum swing up would be applied based on the Lyapunov’senergy theory. Moreover, the system would have to keep its upright position, even whendisturbances were applied, which was accomplished with state feedback control.

Key-words: Inverted Pendulum. Reaction Wheel. Control

Lista de ilustrações

Figura 1 – Pêndulo de Furuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Figura 2 – BMW 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Figura 3 – Componentes elétricos do projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Figura 4 – Esquema elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Figura 5 – Partes mecânicas feitas no PTC Creo Parametric 3.0 . . . . . . . . 19Figura 6 – Montagem final do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 7 – Resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Figura 8 – Pendulo acionado com roda de reação . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 9 – Resposta da velocidade da roda de reação em relação à um degrau

de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 10 – Comportamento desejado do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 11 – Comparação entre a resposta real e aproximada do pêndulo . . . . 35Figura 12 – Comparação entre a resposta real e aproximada da roda de reação 35Figura 13 – Comparação entre o modelo linear e não linear . . . . . . . . . . . . 36Figura 14 – Diagrama de blocos do sistema proposto . . . . . . . . . . . . . . . 36Figura 15 – Resultado final da posição do pêndulo com ambas estratégias de

controle implementadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Figura 16 – Resultado final da velocidade do pêndulo com ambas estratégias de

controle implementadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 17 – Controle por realimentação de estados . . . . . . . . . . . . . . . . 38Figura 18 – Controle em torno de π rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 19 – Controle para elevar o pêndulo para a posição π rad . . . . . . . . . 40

Lista de tabelas

Tabela 1 – Especificações técnicas do motor sem carga . . . . . . . . . . . . . 17Tabela 2 – Especificações adicionais do motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Lista de abreviaturas e siglas

LTDA Limitada

MMQ Método dos Mínimos Quadrados

PRR Pêndulo Acionado com Roda de Reação

PUCRS Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul

PWM Modulação por Largura de Pulso

RS Rio Grande do Sul

Lista de símbolos

A Ampere

b Ganho de Lyapunov

cm Centímetro

E Energia do Pêndulo Simples

g Gravidade

I Matriz Identidade

J Inércia do Pêndulo Simples

kfg Quilograma-força

k Ganho genérico

L Momento angular

mA Miliampere

rpm Rotação por minuto

E Constante de atrito do Pêndulo

F Constante de atrito da Roda de Reação

τ Constante de tempo

q1 Aceleração angular da Haste

q2 Aceleração angular da Roda de Reação

q1 Velocidade angular da Haste

q2∞ Velocidade angular da Roda de Reação em regime permanente

q2 Velocidade angular da Roda de Reação

E0 Energia do Pêndulo Simples na posição de topo

Ec1 Energia cinética do Pêndulo

Ec2 Energia cinética da Roda de Reação

Ec Energia cinética

Ep Energia potencial

Et Energia total

I1 Inércia do Pêndulo

I2 Inércia da Roda de Reação

K Ganhos do Controlador

l1 Comprimento do Pêndulo

La Equação de Lagrange

lc1 Distância ao centro de gravidade do Pêndulo

lc2 Distância ao centro de gravidade da Roda de Reação

m1 Massa do Pêndulo

m2 Massa da Roda de Reação

q1 Ângulo da Haste

q2 Ângulo da Roda de Reação

qi Coordenadas generalizadas do Sistema

τ Torque

uPWM Entrada do Motor

v2 Velocidade tangencial da Roda de Reação

V (q1, q1) Função candidata de Lyapunov

xe Ângulo de equilíbrio do Pêndulo

T Período de amostragem

V Volt

W Watt

Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1 Tema de Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Justificativa do Tema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Objetivo do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Delimitações do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1 Prototipagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.1 Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Modelagem Matemática do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Identificação dos Parâmetros do Sistema . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1 Identificação dos Parâmetros da Roda de Reação . . . . . . . . . . . 272.3.2 Identificação dos Parâmetros do Pêndulo . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Linearização e Representação em Espaço de Estados . . . . . . 302.5 Controle do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.1 Controle Baseado em Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.2 Controle Através da Realimentação de Estados . . . . . . . . . . . . 33

3 Aplicação da Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1 Resultados da Identificação do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Resultado da Linearização do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Resultados das Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Resultados dos Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

12

1 Introdução

A Engenharia de controle é um campo rico em oportunidades e novas direções(MURRAY et al., 2003) que lida com disciplinas e métodos capazes de implementardecisões automáticas em diversos processos de maneira a aumentar seu desempenho,eficiência e rapidez. O avanço nesse campo de estudo é diretamente relacionado como avanço nas pesquisas relacionadas à tecnologias, teoria de desenvolvimento deestratégias de controle e suas implementações em tempo real (BARS et al., 2006).Além disso, pode-se considerar que o constante desenvolvimento de novas tecnologiasé diretamente relacionado com o desenvolvimento da educação (KHEIR et al., 1996).

Atualmente, os maiores campos de aplicação desses temas é na robótica (WEIN-BERG et al., 2001) e na mecatrônica (TOMIZUKA, 2002), que são também áreas demuita atratividade entre os estudantes, devido à alta tecnologia envolvida em taisassuntos e também a sua curva de desenvolvimento nos últimos anos, fazendo as-sim com que os jovens observem uma grande perspectiva de crescimento nessescampos de estudo. O pêndulo invertido, dentre outras coisas, é considerado uma dasmaiores referências no estudo da robótica e da mecatrônica. Existem diversas con-figurações disponíveis, cada uma com suas peculiaridades, dentre as mais comuns,encontram-se o Acrobot (SPONG, 1995), o Pêndulo de Furuta (TORRE, 2004; ACOSTA,2010) e a Bicicleta (ASTROM; KLEIN; LENNARTSSON, 2005). Na figura 1, tem-seuma demonstração esquemática do Pêndulo de Furuta.

Capítulo 1. Introdução 13

Figura 1 – Pêndulo de Furuta

Fonte: (TORRE, 2004).

Devido à sua alta instabilidade em malha aberta e características não lineares,esses sistemas tem sido usado extensivamente na educação e implementação detécnicas de controle avançadas (BLOCK; ASTROM; SPONG, 2007; ASTROM; FURUTA,2000) . A configuração básica de um pêndulo invertido consiste de uma haste móvel,com diferentes tipos de acionamentos, sejam eles indiretos, como no caso de uma rodade reação, ou diretos, como no caso de um Segway (YOUNIS; ABDELATI, 2009).

O objeto de estudo desse trabalho é especificamente o pêndulo invertido acio-nado com uma roda de reação, também conhecido como PRR. Uma das aplicaçõesmais interessantes desse princípio é no controle do Telescópio Hubble (CARRÉ; BER-TRAND, 1999), onde rodas de reação são utilizadas para direcioná-lo no espaço. Oprincípio de aplicação de uma roda de reação é baseado na conservação do momentoangular (SRINIVAS; LAXMIDHAR, 2008), por exemplo, para acelerar uma roda atravésde um motor acoplado, o objeto no qual o motor está preso terá que rotacionar nooutro sentido, como a roda de reação normalmente é uma fração do peso total deuma espaçonave, é fácil aplicar pequenas alterações na direção da mesma. Esseconceito vem sendo utilizado no desenvolvimento de bicicletas e motocicletas que seauto-equilibram, como se pode observar na figura 2.


Figura 2 – BMW 15

Fonte: Página da Gazeta do Povo1.

1.1 Tema de Pesquisa

Ao longo desse documento, serão traçadas técnicas de modelagem e identifi-cação de sistemas, bem como a implementação de um controle por realimentação deestados e também a aplicação da teoria de energia de Lyapunov.

1.2 Justificativa do Tema

Considerando a utilização de rodas de reação em sistemas que se comportamcomo pêndulos - por exemplo, motocicletas capazes de se equilibrar automaticamente -e no direcionamento de objetos na indústria aeroespacial - como posicionamento desatélites -, faz-se necessário o estudo desse conceito.1 ¹ Disponível em <http://www.gazetadopovo.com.br/automoveis/bmw-revela-moto-do-futuro-que-fica-

em-pe-sozinha-e-dispensa-o-uso-do-capacete-9naowy547vu2ojpyy9x2th1kk>


1.3 Objetivo do Trabalho

O Objetivo do trabalho foi a implementação de uma estratégia de controleaplicada a um pêndulo acionado com roda de reação. O pêndulo deveria começar naposição vertical inferior e atingir a posição vertical superior através da aplicação deconceitos de energia. Uma vez que o mesmo se encontrasse no topo, ele deveria manteressa posição.

1.4 Delimitações do Trabalho

O trabalho se delimitou ao estudo e implementação de uma estratégia decontrole aplicada à um pêndulo acionado com roda de reação. A maioria das aplicaçõesreais desse conceito são implementadas em sistemas que possuem mais do que doisgraus de liberdade, mas nesse trabalho foi analisado um sistema com apenas dois graus,de modo a simplificar o desenvolvimento do protótipo e diminuir a complexidade damodelagem matemática.

16

2 Metodologia

Inicialmente, foi feita a prototipagem do PRR, de acordo com a determinaçãodo processador, driver, atuador e sensores presentes no sistema. A segunda etapase baseou na identificação matemática, de modo a encontrar equações que descre-vessem o movimento do sistema. Com isso, se estabeleceu a estratégia de controlepara o pêndulo. Primeiro, foi desenvolvida uma estratégia de controle para equilibrar oobjeto no topo e depois uma estratégia baseada em conceitos de energia para tirá-loda posição inicial e levá-lo até a posição vertical superior.

2.1 Prototipagem

Após a definição de quais seriam os componentes e a estrutura para o pên-dulo, um desafio encontrado foi a montagem de um dispositivo capaz de realizarmovimentos de grande amplitude, sendo esse um fator importante no controle dosistema. Tal amplitude, seria determinada pelo peso total da estrutura e pelo torquegerado pelo motor. Na figura 3 estão os componentes elétricos básicos utilizados.

Figura 3 – Componentes elétricos do projeto

Fonte: Autoria Própria.

O processador utilizado - ARDUINO MEGA 2560 - foi escolhido com base na suasimplicidade para a implementação de projetos com baixos níveis de processamento.Além disso, dois encoders incrementais do tipo A38S6-400-2-2-24, com uma resolução

Capítulo 2. Metodologia 17

de 400 pulsos por volta, foram utilizados como sensores para determinar as posições dopêndulo e da roda de reação. O motor Akiyama AK555/11.1PF12R83CE-V2, utilizadona roda, tem suas especificações técnicas descritas nas tabelas 1 e 2.

Tabela 1 – Especificações técnicas do motor sem carga

Tensão Operação Tensão Nominal Rotação Corrente

6V ∼ 24V 12 V 83 rpm 430 mA

Fonte: Página do Fabricante1 .

Tabela 2 – Especificações adicionais do motor

Maximo rendimento Partida

Rotação Corrente Torque Potência Corrente Torque

65,4 rpm 1.6 A 11 kfg.cm 5 W 6 A 53 kgf.cm

Fonte: Página do Fabricante1.

O motor utilizado possuia uma caixa de redução com o objetivo de diminuir arotação e aumentar o torque do mesmo. O seu acionamento é feito através do driverBTS7960b, capaz de operar com correntes de até 45 A, sendo essa capacidade impres-cindível devido à alta corrente que o motor necessitaria para a aplicação de torqueselevados.

O esquema elétrico de ligação do sistema, figura 4, foi realizado com auxíliodo software Proteus. O principal componente é o processador. Foram utilizadas duasfontes de alimentação, uma de 12 V para o motor e encoders e uma de 5 V para oArduino. Além disso, alguns resistores foram implementados para limitar a corrente deentrada nas portas do processador. É importante observar que os sinais de saída dosencoders foram conectados nas portas 18, 19, 20 e 21, que são portas de interrupçãodo processador.1 Disponível em http://www.neomotion.com.br/micromotor-dc/


Figura 4 – Esquema elétrico

Fonte: Autoria Própria

Além dos componentes elétricos, desenvolveu-se partes mecânicas acopláveis,de modo a completar a montagem do PRR. O projeto desses componentes foi feitocom o auxílio do software PTC Creo Parametric e posteriormente fabricados em chapapreta pela Implemis - Indústria de Máquinas e Implementos Agrícolas LTDA. Na figura 5,estão as peças modeladas no software mencionado, que correspondem à base desustentação do pêndulo, à haste e à roda de reação.


Figura 5 – Partes mecânicas feitas no PTC Creo Parametric 3.0


No resultado da montagem, figura 6, pode-se observar, que a medição derotação na roda é feita através de um esquema de engrenagens 1:1, sendo que oencoder serve como sensor tanto da roda como da haste. A única diferença é queno sensoriamento da haste, a medição é feita sem o auxílio de engrenagens, ou seja,enquanto a haste está fixada em um eixo preso a um rolamento presente na base desustentação, o encoder capta a movimentação desse eixo.


Figura 6 – Montagem final do sistema

Fonte: Autoria Própria

2.1.1 Testes

A maior dificuldade da prototipagem foi encontrar um motor que apresentasseuma resposta satisfatória ao sistema. Foram testados três modelos até que se esco-lhesse o motor da figura 3. Na figura 7, observa-se a resposta do sistema à aplicaçaode um degrau de entrada. O software utilizado na programação do processador foio Arduino Nightly, enquanto no processamento dos dados de posição, velocidade eaceleração tanto da roda de reação quanto do pêndulo, foi o MATLAB.


Figura 7 – Resposta ao degrau


A imagem acima não possui tratamento de dados. Enquanto a entrada, refere-seao sinal de Pulse Width Modulation - PWM aplicado ao motor, a posição da roda dereação e da haste são referentes aos sinais lidos pelos encoders. Considerando queuma volta completa é equivalente à 1600 pulsos, pode-se dizer que a amplitude máximado sinal é aproximadamente 0,015 π.

2.2 Modelagem Matemática do Sistema

A montagem em questão tem dois graus de liberdade, sendo o pêndulo oprimeiro ponto de fixação e a roda de reação o segundo. Um esquemático do pênduloacionado com roda de reação pode ser observado na figura 8.


Figura 8 – Pendulo acionado com roda de reação

Fonte: (FONTANI; LOZANO, 2002).

A movimentação de um pêndulo invertido pode ser descrita em termos deenergia (BLOCK; ASTROM; SPONG, 2007) , o que será demonstrado a seguir:

Considerando q1 como sendo a posição do pêndulo, q2 como sendo a posiçãoda roda de reação, m1 como sendo a massa do pêndulo, m2 sendo a massa da rodade reação. Além disso, tem-se que lc1 é a distância do eixo de rotação ao centro degravidade do pêndulo e lc2 é a distância do eixo de rotação da roda de reação aoseu centro de gravidade. Com isso, foi definido o parâmetro m, que seria utilizadoposteriormente.

m = m1lc1 +m2lc2 (2.1)

Tendo em vista que I1 é a inércia do pêndulo e I2 é a inércia da roda dereação, a segunda etapa foi encontrar as energias envolvidas no sistema, que podemser dividídas em energia cinética Ec e energia potêncial Ep. A energia cinética dopêndulo Ec1 é descrita na equação 2.2 e a energia cinética da roda de reação Ec2 édescrita na equação 2.3

Ec1 =1

2(m1l

2c1 + I1)q1 (2.2)

Ec2 =1

2m2l

21q

21 +

1

2I2(q1 + q2)2 (2.3)


Considerando que a energia cinética total do sistema Ec é a soma de todas energias,tem-se que

Ec =1

2(m1l

2c1 +m2l

21 + I1 + I2)q1 + I2q1q2 +

1

2I2q2 (2.4)

A energia potencial do sistema Ep é descrita na equação 2.5.

Ep = (m1lc1 +m2l1)(gcos(q1 − 1)) (2.5)

Substituindo a equação 2.1 em 2.5 se tem a equação simplificada 2.6

Ep = mg(cos(q1 − 1)) (2.6)

A partir das equações 2.5 e 2.4, obteve-se a equação de Lagrange La = Ec − Ep,que é a função que descreve o sistema através de suas coordenadas generalizadas qi.

La =1

2(m1l

2c1 +m2l

21 + I1 + I2)q2

1 + I2q1q2 +1

2I2q2 − mg(cos(q1)− 1) (2.7)

Utilizando a equação de Euler-Lagrange em 2.8 e considerando que τé o torquedo sistema, foi possível obter a dinâmica do sistema.

d

dt

(∂La∂q

(q, q))−(∂La∂q

(q, q))

= τ (2.8)

Expressando as derivadas parciais separadamente, tem-se

(∂La∂q1

)= (m1l

2c1 +m2l

21 + I1 + I2)q1 + I2q2 (2.9)

(∂La∂q1

)= mgsin(q1) (2.10)

(∂La∂q2

)= I2q1 + I2q2 (2.11)


(∂La∂q2

)= 0 (2.12)

Substituindo os resultados de 2.9, 2.10, 2.11 e 2.12 em 2.8, tem-se as equaçõesdinâmicas do sistema 2.13 e 2.14

(m1l2c1 +m2l

21 + I1 + I2)q1 + I2q2 − mgsin(q1) = 0 (2.13)

I2q1 + I2q2 = τ (2.14)

Isolando o termo q2 em 2.14, foi possível se obter

q2 =τ

I2

− q1 (2.15)

Substituindo a equação 2.15 em 2.13, encontra-se a equação 2.16

q1 =−τ + mgsin(q1)

m2l2c1 +m2l21 + I1

(2.16)

Reescrevendo a equação 2.14 com a substituição de q1 pela equação 2.16

q2 =τ

I2

+τ − mgsin(q1)

m2l2c1 +m2l21 + I1

(2.17)

Reorganizando 2.17, foi possivel obter a equação 2.18

q2 =τ

I2(m2l2c1 +m2l21 + I1)− mgsin(q1)

m2l2c1 +m2l21 + I1

(2.18)

Nesse momento, foram introduzidas algumas constantes para facilitar a obtenção dosparâmetros do sistema.

A =−1

m2l2c1 +m2l21 + I1

(2.19)

B =mg

m2l2c1 +m2l21 + I1

(2.20)

C =1

I2(m2l2c1 +m2l21 + I1)(2.21)


D =−mg

m2l2c1 +m2l21 + I1

(2.22)

Substituindo as novas constantes em 2.19, 2.20, 2.21 e 2.22 nas equações 2.16 e 2.18,obteve-se

q1 = Aτ + Bsin(q1) (2.23)

q2 = Cτ + Dsin(q1) (2.24)

Considerando que o amortecimento de um sistema genérico é dado pelo produtodo coeficiente de amortecimento e da velocidade do mesmo, adicionou-se esse termotanto em 2.23 quanto em 2.24, o que resultou nas equações 2.25 e 2.26. Nota-seque F se refere ao coeficiente de atrito da roda de reação e E ao do pêndulo

q1 = Aτ + Bsin(q1) + Eq1 (2.25)

q2 = Cτ + Dsin(q1) + F q2 (2.26)

Analisando a equação 2.26, percebeu-se que a posição do pêndulo q1 podeser desprezada, pois pouco influência na equação de movimento da roda de reação,sendo esse termo eliminado:

q2 = Cτ + F q2 (2.27)

O torque τ é gerado através de um sinal de entrada uPWM , que varia de 0 a255, sendo necessário introduzir uma nova equação intermediária

τ = kPWM ∗ uPWM (2.28)

Substituindo a equação 2.28 na equação 2.27, tem-se

q2 = CkPWMuPWM + F q2 (2.29)

Pode-se definir que a aplicação de um sinal de entrada uPWM no motor seráresponsável pela aceleração equivalente da roda de reação q2, entretanto para definircomo esse sinal influenciará na aceleração do pêndulo q1, é preciso entender algunsconceitos relacionados ao momento angular L desse sistema. O momento angular é


definido pelo produto entre a massa, velocidade tangencial e distância dessa velocidadeao centro de rotação do sistema, podendo-se dizer que o momento angular da roda dereação é definido por

L = m2v2l2 (2.30)

Considerando que v2 é a velocidade tangencial da roda de reação, tem-se que

v2 = q2l2 (2.31)

Assim, pode-se substituir 2.31 em 2.30:

L = m2q2l22 (2.32)

Sabe-se que o torque gerado por um corpo é definido pela variação do seumomento angular em relação ao tempo. Sendo possível definir a equação do τ aplicadoem q1, que é gerado através da roda de reação do sistema

τ =dL

dt(2.33)

substituindo 2.32 em 2.33

τ = m2l22

dq2

dt(2.34)

Sabendo que dq2dt = q2 e considerando que m2l

22 = kτ , foi possível definir que

o torque aplicado ao pêndulo pode ser descrito como

τ = kτ q2 (2.35)

Substituindo 2.35 em 2.25, chegou-se à equação final do pêndulo em 2.36.

q1 = Akτ q2 + Bsin(q1) + Eq1 (2.36)

2.3 Identificação dos Parâmetros do Sistema

Com posse das equações 2.29 e 2.36, a próxima etapa foi encontrar os pa-râmetros do sistema para obter uma boa aproximação do modelo matemático em


relação ao sistema real. Na equação da roda de reação q1, utilizou-se a aproximaçãode primeira ordem através da aplicação de um degrau ao sistema. Já na equação dopêndulo q2, utilizou-se o método dos mínimos quadrados, que usa os dados disponíveispara obter os parâmetros desejados.

2.3.1 Identificação dos Parâmetros da Roda de Reação

Considerando a equação 2.29, a transformada de Laplace é dada pela equação2.37

G2(s) =Q2(s)

U(s)=

CkPWM

s(s− F )(2.37)

Com base nisso, tem-se que

sQ2(s)

U(s)=CkPWM

s− F(2.38)

Considerando um modelo genérico de uma equação de primeira ordem

G(s) =k

τs+ 1(2.39)

pode-se igualar a equação 2.38 à 2.39, de modo que os parâmetros se equivalham paraobter a aproximação das constantes de acordo com a resposta do sistema ao degrau.Foram necessárias algumas alterações para que as equações se tornassem equivalen-tes.

sQ2(s)

U(s)=−CkPWM/F

τs+ 1(2.40)

Com base nisso, foi possível obter os parâmetros da roda de reação utilizandoa sua curva de resposta da velocidade q2 em função do sinal de entrada uPWM

aplicado, presente na figura 9 .


Figura 9 – Resposta da velocidade da roda de reação em relação à um degrau de entrada


Através da análise dos gráficos presentes na figura 9 e da equivalência dasequações 2.39 e 2.40, foi obtida a velocidade angular da roda de reação em regimepermanente q2∞, que é aproximadamente 8.639 rad/s com uma entrada uPWM de255, logo

k =−CkPWM

F=

q2∞

uPWM

=8.639

255= 0.0339 (2.41)

Para obter a constante de tempo τ , foi necessário identificar o tempo que osistema levou para atingir aproximadamente 63,2% de sua velocidade q2∞, ou seja,

q2τ = 0, 632q2∞ = 5.46 rad/s (2.42)

Considerando que a constante τ é definida pelo tempo que o sistema leva para chegarna velocidade q2τ , o que acontece em aproximadamente 15 amostras de tempo e queo período de amostragem T é de 0,005 segundos, tem-se que

τ = 15T = 0, 075 s (2.43)


Com base nisso, foi possível obter a equação final 2.44 da roda de reação eseus parâmetros

q2 = φ1uPWM + φ2q2

φ =[0, 450 −13, 330

] (2.44)

2.3.2 Identificação dos Parâmetros do Pêndulo

Para obter os parâmetros da equação 2.36, utilizou-se o Método dos MínimosQuadrados, conhecido como MMQ (SALTON, 2017) . Essa metodologia utiliza dados deum experimento para que se possa obter uma aproximação dos parâmetros da equaçãoem questão.

Tendo em vista que no sistema tem-se q1, q2, q1 e q1, pois foram implementadossensores medindo a posição do pêndulo e da roda de reação e o restante dos dadospodem ser obtidos através de uma simples derivação desses parâmetros. É possíveldefinir que as constantes obtidas através do MMQ foram Akτ , B e E.

Para que tal análise fosse possível, foi preciso inserir os dados em matrizes.

q1(1)

q1(2)

q1(3)

q1(4)

q1(5)...

=

q2(1) sen(q1)(1) q1(1)

q2(2) sen(q1)(2) q1(2)

q2(3) sen(q1)(3) q1(3)

q2(4) sen(q1)(4) q1(4)

q2(5) sen(q1)(5) q1(5)...

......

[Akτ B E

](2.45)

Considerando 2.45, as variaveis Ψ, θ e α em 2.46, 2.47 e 2.48, respectivamente, foramintroduzidas para facilitar a manipulação matemática da equação.

Ψ =

q2(1) sen(q1)(1) q1(1)

q2(2) sen(q1)(2) q1(2)

q2(3) sen(q1)(3) q1(3)

q2(4) sen(q1)(4) q1(4)

q2(5) sen(q1)(5) q1(5)...

......

(2.46)

θ =[Akτ B E

](2.47)


α =

q1(1)

q1(2)

q1(3)

q1(4)

q1(5)...

(2.48)

Então, com essas equações tem-se a simplificação

α = Ψθ (2.49)

utilizando alguns conceitos de álgebra matricial, foi possível isolar a matriz desejada θ.

θ = (ΨTΨ)−1ΨTα (2.50)

Alterando a notação de 2.36 em função da matriz θ, obteve-se 2.51, que é aequação final do pêndulo.

q1 = θ1q2 + θ2sin(q1) + θ3q1

θ =[0, 050 −13, 150 −0, 049

] (2.51)

2.4 Linearização e Representação em Espaço de Estados

Tendo em vista que o controle do pêndulo na posição de topo será feita combase em uma representação do sistema em espaço de estados, fez-se necessário alinearização das equações obtidas em 2.44 e 2.51 para que posteriormente o controlepor realimentação de estados pudesse ser projetado.

Considerando a representação em espaço de estados

x = Ax+Bu (2.52)

tem-se que

x1 = q1

x2 = q1

x3 = q2

x4 = q2

u = uPWM

(2.53)


Substituindo 2.44 em 2.51 e utilizando as variáveis descritas em 2.53, é possível seobter

x2 = θ1φ1u+ θ1φ2x4 + θ2sen(x1) + θ3x2

x4 = φ1u+ φ2x4

(2.54)

Considerando f1 = x2 , f2 = x2, f3 = x4 e f4 = x4, pode-se definir alinearização -em torno da posição de equilíbrio xe- de A e B em 2.52

A =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f1∂x3

∂f1∂x4

∂f2∂x1

∂f2∂x2

∂f2∂x3

∂f2∂x4

∂f3∂x1

∂f3∂x2

∂f3∂x3

∂f3∂x4

∂f4∂x1

∂f4∂x2

∂f4∂x3

∂f4∂x4

=

0 1 0 0

θ2cos(xe) θ3 0 θ1φ2

0 0 0 1

0 0 0 φ2

(2.55)

B =

∂f1∂u∂f2∂u∂f3∂u∂f4∂u

=

0

θ1φ1

0

φ1

(2.56)

O ângulo de equilíbrio do pêndulo xe pode ser 0 ou π rad .Como o projeto decontrole do pêndulo será feito para mantê-lo na posição de topo, pode-se considerarque xe = π rad. Com os parâmetros obtidos na seção 2.3, tem-se a representaçãofinal em espaço de estados:

x =

0 1 0 0

θ2cos(xe) θ3 0 θ1φ2

0 0 0 1

0 0 0 φ2

x1

x2

x3

x4

+

0

θ1φ1

0

φ1

u (2.57)

2.5 Controle do Sistema

Após obter todos os parâmetros necessários para o controle do sistema, chegou-se a etapa final e objetivo do trabalho (elevar o pêndulo para a posição vertical superioratravés da teoria de energia de Lyapunov e controlá-lo em π rad utilizando a técnica derealimentação de estados).

2.5.1 Controle Baseado em Energia


Para elevar o sistema à posição de topo, foi introduzida uma equação simplifi-cada da movimentação de um pêndulo simples.

Jq1 +mglsen(q1)− kPWMuPWM = 0 (2.58)

A energia total do sistema foi definida como

E =1

2Jq2

1 +mgl(1− cos(q1)) (2.59)

logo, como o objetivo era atingir a posição π com velocidade de 0 rad/s, tem-se que

E0 = 2mgl (2.60)

.

Nesse momento, foi necessário introduzir a chamada função candidata deLyapunov

V (q1, q1) =(E − E0)2

2(2.61)

para encontrar uma lei de controle que fizesse com que a taxa de variação dessafunção fosse negativa, independente das circunstâncias. Logo,

V (q1, q1) = (E − E0)E (2.62)

Fazendo as devidas substituições na equação 2.62 e trabalhando a equação algebrica-mente, foi possível obter que

V (q1, q1) = (E − E0)(kPWMuPWM)q1 (2.63)

Assim a lei de controle capaz de elevar o pêndulo para a posição de topo foidefinida por

u = −bsgn(E − E0)q1 (2.64)

sendo que b é um ganho genérico determinado experimentalmente. A equação 2.64faz com que a equação 2.63 seja negativamente definida, o que faz com que a energiado sistema tenda a E0.


2.5.2 Controle Através da Realimentação de Estados

Considerando a representação em espaço de estados em 2.57, pode-se intro-duzir a lei de controle u = −Kx, de modo a alterar a dinâmica do sistema, resultandoem

x = (A−BK)x (2.65)

O objetivo principal da utilização dessa estratégia de controle foi alocar pólospara que o sistema se comportasse da maneira desejada. Na figura 10 é possível seobservar esse comportamento.

Figura 10 – Comportamento desejado do sistema


Para que o sistema se comportasse como na figura 10, adicionou-se os seguin-tes pólos:

p1 = 15

p2 = 15

p3 = 0, 6 + 1, 9i

p4 = 0, 6− 1, 9i

(2.66)


Com isso, a equação característica desejada obtida é

Q(λ) = λ4 + 31.2λ3 + 265λ2 + 390λ+ 900 (2.67)

A partir de 2.67, tem-se a igualdade

det(λI − (A−BK)) = Q(λ) (2.68)

de onde foi possível se obter que

K =[15469 2714 −152 −96

](2.69)

35

3 Aplicação da Metodologia

Nesse capítulo do trabalho, são apresentados os resultados obtidos através daaplicação da metodologia em 2.

3.1 Resultados da Identificação do Sistema

Na figura 11 e 12 tem-se um comparativo entre a resposta real e a aproximadapara a posição do pêndulo e da roda de reação. Ambas as respostas foram obtidasatravés da aplicação de um degrau de entrada.

Figura 11 – Comparação entre a resposta real e aproximada do pêndulo


Figura 12 – Comparação entre a resposta real e aproximada da roda de reação


A identificação cumpriu o seu objetivo, como ficou comprovado através daaplicação de diversas entradas ao sistema.

3.2 Resultado da Linearização do Modelo

Na figura 13, pode-se observar a comparação entre o modelo linear e o nãolinear. A importância de uma boa linearização reflete na estratégia de controle em 2.5.2,que foi feita com base na linearização e na representação do sistema em espaço

Capítulo 3. Aplicação da Metodologia 36

de estados. Como pode-se observar, a diferença entre os modelos é praticamenteimperceptível.

Figura 13 – Comparação entre o modelo linear e não linear


3.3 Resultados das Simulações

O diagrama de blocos para a simulação através do software SIMULINK estápresente na figura 14

Figura 14 – Diagrama de blocos do sistema proposto


O sistema é composto de duas estratégias de controle, a primeira, baseada emenergia, é a primeira a ser acionada. Quando o pêndulo chega ao topo, há uma troca


de controle, através do switch implementado na simulação em 14, e então o controlepor realimentação de estados entra em ação. A figura 15 demonstra o resultado obtidocom ambas as estratégias de controle. O pêndulo começou na posição de descanso eatingiu o topo em aproximadamente 32,5 segundos.

Figura 15 – Resultado final da posição do pêndulo com ambas estratégias de controleimplementadas


Um ponto importante para cumprir o objetivo do controle baseado em energiafoi que o pêndulo chegasse no topo com velocidade nula, conforme representado nafigura 16, para que assim o controle por realimentação de estados não saturasse.


Figura 16 – Resultado final da velocidade do pêndulo com ambas estratégias de controleimplementadas


A resposta do sistema para o controle por realimentação de estados estápresente na figura 17. Considerando o comportamento desejado na figura 10, pode-sedizer que o controle dimensionado cumpriu com o seu objetivo na simulação.

Figura 17 – Controle por realimentação de estados



3.4 Resultados dos Experimentos

Depois dos resultados de todas as simulações e de validar tudo o que foi desen-volvido, aplicou-se o controle no sistema real. Como o processador é um dispositivoque trabalha em tempo discreto, foi necessário discretizar algumas equações de modoà implementar o controle por realimentação de estados no pêndulo real.

Para transformar a equação 2.57 para o tempo discreto, utilizou-se as seguintessubstituições:

Ad = AT − IBd = BT

Cd = C

(3.1)

Além disso, discretizou-se a equação desejada 2.67 utilizando a técnica de equivalênciade pólos com auxílio do MATLAB, o que resultou em

det(λI − (Ad −BdKd)) = Qd(λ) (3.2)

Fazendo as devidas substituições, foi possível obter o novo ganho Kd na equação 3.3através do método de equivalência de polinômios.

Kd =[14482 2714 −152 96

](3.3)

resultando assim na estratégia de controle u = −Kdx.

O sistema controlado em torno de π rad está presente na figura 18. A estratégiadesenvolvida foi capaz de manter o pêndulo na posição desejada por aproximadamente1000 amostras de tempo em média, o que equivale a 5 segundos.


Figura 18 – Controle em torno de π rad


O resultado da aplicação do controle responsável por elevar o pêndulo até πrad é demostrado na figura 19. Quando a posição do pêndulo é igual a 1600, pode-sedefinir que o mesmo se encontra em π rad.

Figura 19 – Controle para elevar o pêndulo para a posição π rad


41

4 Conclusão

Considerando os objetivos iniciais do trabalho, pode-se dizer que eles forammajoritariamente atingidos. Através de alguns testes demonstrados na seção 3, foipossível concluir que a modelagem do sistema foi realizada adequadamente. Alémdisso, o objetivo de elevar o pêndulo até π rad e mantê-lo nessa posição alternandoentre duas estratégias de controle diferentes também foi alcançado na simulação dosistema.

No que diz respeito à implementação das estratégias de controle no sistemareal, encontrou-se uma limitação. Apesar de conseguir aplicá-las individualmente,elas não foram capazes de atuar em sincronia. A justificativa para tal acontecimentoprovavelmente se encontra no fato de que para o dimensionamento do controle baseadoem energia, foram feitas algumas simplificações na definição da energia total dopêndulo, o que resultou em um controle imperfeito, fazendo assim com que a velocidadeda haste ao chegar no topo fosse diferente de 0 rad/s. Isso fez com que o acionamentodo controle por realimentação de estados saturasse e a queda não conseguisse serrevertida. Para efeito de comparação, na simulação do sistema, foi possível obter que oângulo máximo para que essa estratégia fosse capaz de controlar a haste no topo erade aproximadamente π± 0.08π rad, o que demonstra a facilidade para que o sistemasaturasse e a baixa amplitude de operação do mesmo.

O controle por realimentação de estados atuou de forma satisfatória no sistema,considerando as limitações do protótipo. O tempo médio em que a haste se mantinha notopo era de aproximadamente 5 segundos, o que poderia ter sido ampliado caso amontagem do pêndulo tivesse sido melhor dimensionada na seção 2.1 deste trabalhoacadêmico.

Apesar das circunstâncias, os resultados obtidos foram satisfatórios, pois trouxe-ram um grande aprendizado acadêmico em algumas das principais áreas da Engenhariade Controle e Automação, que são o controle e a identificação matemática de sistemas.

42

Referências

ACOSTA, J. A. Furuta’s pendulum: A conservative nonlinear model for theory andpractice. Mathematical Problems in Engineering, 2010.

ASTROM, K. J.; FURUTA, K. Swinging up a pendulum by energy control. Automatica,v. 36, p. 278 – 285, 2000.

ASTROM, K. J. et al. Bycicle dynamics and control. IEEE Control Systems Magazine,v. 25, p. 26 – 47, 2005.

BARS, R. et al. Theory, algorithms and technology in the design of control systems.Annual Reviews in Control, v. 30, p. 19 – 30, 2006.

BLOCK, D. J. et al. The reaction wheel pendulum. San Rafael: Morgan & ClaypoolPublishers, 2007. v. 1.

CARRÉ, D. J.; BERTRAND, P. A. Analysis of Hubble Space Telescope Reaction WheelLubricant. Journal of Spacecraft and Rockets, v. 36, n. 1, p. 109 – 113, 1999.

FONTANI, I.; LOZANO, R. Non-linear Control for Underactuated Mechanical Systems.1. ed. Compiegne: Springer London, 2002. 89 – 106 p.

KHEIR, N. A. et al. Control systems engineering education. Automatica, v. 32, p. 147 –166, 1996.

MURRAY, R. M. et al. Future directions in control in an information-rich world. IEEEControl Systems Magazine, v. 23, p. 20 – 33, 2003.

SALTON, A. T. Notas de Aula. Faculdade de Engenharia, Pontifícia UniversidadeCatólica do Rio Grande do Sul. 2017.

SPONG, M. W. The swing up control problem for the acrobot. IEEE Control SystemsMagazine, v. 15, p. 72 – 79, 1995.

SRINIVAS, K. N.; LAXMIDHAR. Swing-up control strategies for a reaction wheelpendulum. International Journal of Systems Science, v. 39, n. 12, p. 1165 – 1177, 2008.

TOMIZUKA, M. Mechatronics: From the 20th to 21st century. Control EngineeringPractice, v. 22, p. 877 – 886, 2002.

TORRE, D. la. Control del péndulo de furuta. 2004. Dissertação (Mestrado) — Centrode Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada, Ensenada.

WEINBERG, J. B. et al. A multidisciplinary model for using robotics in engineeringeducation. Proceedings of Annual Conference & Exposition of the American Society forEngineering Education, Albuquerque, p. 693 – 701, 2001.

YOUNIS, W.; ABDELATI, M. Design and implementaton of experimental segway model.AIP Conference Proceedings, v. 1107, p. 350 – 354, 2009.

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