PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

Luiz Gonzaga Alves da Cunha

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES POR MEIO DA ANÁLISE

DE SUAS DERIVADAS, UTILIZANDO OBJETO DE APRENDIZAGEM

EM AMBIENTES EDUCACIONAIS INFORMATIZADOS

Belo Horizonte

2014

Luiz Gonzaga Alves da Cunha

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES POR MEIO DA ANÁLISE

DE SUAS DERIVADAS, UTILIZANDO OBJETO DE APRENDIZAGEM

EM AMBIENTES EDUCACIONAIS INFORMATIZADOS

Dissertação apresentada ao programa de Pós-

Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,

como requisito parcial para a obtenção do título de

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares

Belo Horizonte

2014

FICHA CATALOGRÁFICA A SER

ELABORADA PELO BIBLIOTECÁRIO

Luiz Gonzaga Alves da Cunha

ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES POR MEIO DA ANÁLISE DE SUAS

DERIVADAS, UTILIZANDO OBJETO DE APRENDIZAGEM EM AMBIENTES

EDUCACIONAIS INFORMATIZADOS

Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

_______________________________________________________________

Prof. Dr. João Bosco Laudares

(Orientador e Presidente da Banca) Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC Minas

COMISSÃO AVALIADORA:

_________________________________________________________

Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos Universidade Cruzeiro de Sul - UNICSUL

_________________________________________________________

Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC Minas

Belo Horizonte, 15 de dezembro de 2014.

Dedico este trabalho a Deus, que durante todo esse tempo

me guardou e, nas horas mais difíceis, manteve minhas

lagrimas enxutas. Amo-te, meu Deus Pai, muito obrigado por

me dar forças para seguir em frente.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, a Deus por ter-se mostrado presente em todos os momentos,

efetuando os milagres quando eu mais precisava.

A Nossa Senhora, Mãe de Deus, por ter-me acompanhado nas inúmeras viagens

realizadas no intuito de tornar esse sonho realidade.

A meus pais, pelos ensinamentos e carinhos dispensados enquanto estiveram

presentes no meio de nós.

A minha esposa Deisymar, sem a qual não teria sequer começado este trabalho,

pelo apoio incomensurável e por acreditar mesmo quando eu não acreditava.

Aos meus filhos Gabriela e Miguel, pela paciência apresentada perante minha

ausência e nos momentos de grandes tensões.

Aos professores do programa, em particular à professora Maria Clara Resende Frota,

pela inspiração dada com suas aulas e que, por motivos alheios à sua vontade, não pôde

orientar esse pesquisador.

Ao professor orientador Dr. João Bosco Laudares, por acreditar nas minhas ideias,

pelo suporte e auxílio a esta pesquisa e pela figura humana que é, sabendo entender as

minhas limitações e imprevistos durante o Mestrado.

Aos meus alunos, que contribuíram muito nos momentos que não puderam contar

com minha presença em sala de aula e compreenderam a necessidade das inúmeras

viagens.

.....Não é o conhecimento e sim o ato de aprendizagem, não a

posse e sim o ato de chegar lá, que concedem o maior gozo.

(Carl Friedrich Gauss)

RESUMO

Esta Dissertação resultou de uma Pesquisa realizada num Mestrado em Ensino de

Ciências e Matemática. O Objeto de Aprendizagem foi construído a partir de uma

metodologia que privilegiou três grandes pilares: sequência didática, informática

educativa e objeto de aprendizagem. Os sujeitos desta pesquisa foram estudantes

de Engenharia que cursavam a disciplina de Cálculo. O Produto derivado da

Pesquisa se constituiu de um Objeto de Aprendizagem - OA, com APLETS a partir

do software GEOGEBRA, construído com atividades para o estudo do

comportamento de funções por meio de derivadas. Foi explorada a capacidade de

visualização pela interpretação gráfica, com ênfase na utilização da interpretação

geométrica do valor da derivada para reconhecimento de crescimento e

decrescimento, pontos máximo e mínimo, ponto de inflexão e concavidade de uma

função. Foi realizado um estudo sobre a abordagem deste conteúdo em livros de

Cálculo comumente adotados no Brasil. A análise dos dados foi direcionada para a

reação dos alunos durante o processo diante às construções dos conceitos que

estavam construindo e concluir acerca das contribuições que o O.A. construído pode

proporcionar ao ensino de Cálculo.

Palavras-chave: Sequência Didática. Informática Educacional. Comportamento de

funções com derivadas.

ABSTRACT

This Dissertation resulted from a research performed in a Master's Degree in

Teaching Science and Mathematics. The Learning Object was constructed from a

methodology based on three pillars: Didactic Sequence, Educational Computing and

Learning Object. The subjects were students from an engineering course in the

discipline of Calculus. The derived Product of the research consisted of a Learning

Object - LO, with APPLETS from the GeoGebra software, built with activities to study

the behavior of functions through the derivatives. It was explored the viewing

capability through graphical interpretation, emphasizing the use of the geometric

interpretation of the derivative value for recognition of increase and decrease,

maximum and minimum point, inflection point and concavity of a function. There was

a study about this content in Calculus generally adopted in Brazil. Data analysis was

focused on the reaction of the students during the process before the construction of

the concepts that were building and conclude about the contributions of the O.A. built

can provide the teaching Calculus.

Keywords: Didactic Sequence. Educational Computing. Behavior of functions with

derivatives.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – Sistema de referência 37

FIGURA 2– Representação geométrica de uma função 37

FIGURA 3 – Inclinação da reta tangente em um intervalo onde a função é

crescente, decrescente ou constante 38

FIGURA 4 – Horizontalidade da reta tangente em um ponto máximo ou mínimo 48

FIGURA 5 – Concavidade da curva segundo a inclinação (ou taxa de variação)

da reta tangente 39

FIGURA 6 – Pontos de inflexão (onde a derivada de 2a ordem é nula) 40

FIGURA 7 – Visão parcial do menu – Sequência 1 53

FIGURA 8 – Gráfico da Atividade 1 53

FIGURA 9 – Questões da Atividade 1 54

FIGURA 10 – Gráfico da Atividade 2 55

FIGURA 11 – Questões da Atividade 2 56

FIGURA 12 – Conclusão da Sequência 1 (Atividades 1 e 2) 56

FIGURA 13 – Visão parcial do menu – Sequência 2 57

FIGURA 14 – Gráfico da Atividade 3 58

FIGURA 15 – Gráfico da Atividade 3 (com recursos ativos) 58

FIGURA 16 – Questões da 1a observação (Atividade 3) 59

FIGURA 17 – Questões da 2a observação (Atividade 3) 60

FIGURA 18 – Questões da 3a observação (Atividade 3) 61

FIGURA 19 – Questões extras da 3a observação (Atividade 3) 62

FIGURA 20 – Gráfico da Atividade 4 62

FIGURA 21 – Gráfico da Atividade 4 (com recursos ativos) 63

FIGURA 22 – Questões da 1a observação (Atividade 4) 64

39

FIGURA 23 – Questões da 2a observação (Atividade 4) 65

FIGURA 24 – Questões extras da 2a observação (Atividade 4) 65

FIGURA 25 – Conclusão da Sequência 2 (Atividades 3 e 4) 66

FIGURA 26 – Visão parcial do menu – Sequência 3 67

FIGURA 27 – Gráfico do teste 1 67

FIGURA 28 – Gráfico do teste 2 68

FIGURA 29 – Gráfico do teste 3 69

FIGURA 30 – Gráfico do teste 4 69

FIGURA 31 – Visão parcial do menu – Sequência 4 71

FIGURA 32 – Gráfico da Atividade 5 71

FIGURA 33 – Gráfico da Atividade 6 72

FIGURA 34 – Conclusão da Sequência 4 (Atividades 5 e 6) 73

FIGURA 35 – Visão parcial do menu – Sequência 5 74

FIGURA 36 – Gráfico da Atividade 7 74

FIGURA 37 – Gráfico da Atividade 8 75

FIGURA 38 – Conclusão da Sequência 5 (Atividades 7 e 8) 76

FIGURA 39 – Visão parcial do menu – Sequência 6 77

FIGURA 40 – Gráfico da Atividade 9 78

FIGURA 41 – Gráfico da Atividade 10 78

FIGURA 42 – Conclusão da Sequência 6 (Atividades 9 e 10) 79

FIGURA 43 – Visão parcial do menu – Sequência 7 80

FIGURA 44 – Gráfico do teste 5 80

FIGURA 45 – Questões do teste 5 81

FIGURA 46 – Gráfico do teste 6 81

FIGURA 47 – Questão do teste 6 82

FIGURA 48 – Visão parcial do menu – Sequência 83

FIGURA 49 – Gráfico do teste 7 83

FIGURA 50 – Gráfico do teste 8 84

FIGURA 51 – Gráfico do teste 9 84

FIGURA 52 – Laboratório de informática da UNIPAC 86

FIGURA 53 – Menu do Objeto de Aprendizagem (1a versão) 87

FIGURA 54 – Tela principal do Objeto de Aprendizagem (Versão atual) 87

FIGURA 55 – Visualização de gráficos na 1a versão e na versão atual 88

FIGURA 56 – Visão simultânea da Atividade 1 e seu gráfico 88

FIGURA 57 – Realização das atividades pelos alunos 89

FIGURA 58 – O professor nos papeis de observador e mediador 89

FIGURA 59 – Os alunos registram suas observações 90

FIGURA 60 – Grupos de alunos socializando resultados e conclusões 90

FIGURA 61 – Registro da conclusão – dupla 3 93

FIGURA 62 – Registro da conclusão – dupla 7 94

FIGURA 63 – Registro da conclusão – dupla 6 95

FIGURA 64 – Registro da conclusão – dupla 2 96

FIGURA 65 – Registro da conclusão – dupla 3 97

FIGURA 66 – Registro da conclusão – dupla 13 98

FIGURA 67 – Registro da conclusão – dupla 12 99

FIGURA 68 – Registro da conclusão – dupla 1 101

FIGURA 69 – Registro da conclusão – dupla 9 101

FIGURA 70 – Registro da conclusão – dupla 8 103

FIGURA 71 – Registro da conclusão – dupla 6 103

FIGURA 72 – Registro da conclusão – dupla 11 105

LISTA DE QUADROS

QUADRO 1 – Livros didáticos avaliados 47

QUADRO 2 – Temas analisados 48

QUADRO 3 – Abordagens analisadas (por tema) 48

QUADRO 4 – Avaliação dos livros segundo a abordagem de cada tema 49

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 1 93

GRÁFICO 2 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 2 96

GRÁFICO 3 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 4 98

GRÁFICO 4 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 5 102

GRÁFICO 5 – Ocorrência de dificuldades ocorridas na sequência 6 104

LISTA DE SIGLAS

CBR – Calculator Based Ranger

CD – Compact Disk

CES – Câmara de Educação Superior

CNE – Conselho Nacional de Educação

DCN’s – Diretrizes Curriculares Nacionais

GRUPIMEM – Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de

Matemática

MEC – Ministério da Educação e Cultura

OA – Objetos de Aprendizagem

PCN´s – Parâmetros Curriculares Nacionais

PINEM – Práticas Investigativas em Ensino de Matemática

PUC/MINAS – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

PROLICEN – Programa de Licenciatura

UFV – Universidade Federal de Viçosa

UNESP – Universidade do Estado de São Paulo

UNIPAC – Faculdade Presidente Antônio Carlos de Ipatinga

TIC – Tecnologia da Informação e Comunicação

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 18

1.1 Questão 20

1.2 Objetivo geral 20

1.3 Objetivos Específicos 20

1.4 Estrutura da Dissertação 21

2 A UTILIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA, DA INFORMÁTICA EDUCATIVA E DOS OBJETOS DE APRENDIZAGEM COMO ALTERNATIVAS DE MUDANÇAS PARA O ENSINO DE CÁLCULO

22

2.1 O Ensino de Cálculo 22

2.1.1 A Contribuição do Cálculo na formação do Engenheiro 26

2.2 Sequência Didática 28

2.3 Informática Educativa 31

2.3.1 Informática Educativa e o Ensino de Matemática 34

2.3.2 Uma Abordagem Conceitual de Função, seu Comportamento

Gráfico e seu Ensino por meio da Informática Educacional 35

2.3.3 Informática Educativa e o Ensino de Cálculo 42

2.4 Objetos de Aprendizagem 44

3 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS PARA ELABORAÇÃO DA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES

47

4 ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA 51

4.1 Primeira Sequência: Atividades 1 e 2 52

4.2 Segunda Sequência: Atividades 3 e 4 57

4.3 Terceira Sequência: Testes 1 a 4 66

4.4 Quarta Sequência: Atividades 5 e 6 70

4.5 Quinta Sequência: Atividades 7 e 8 73

4.6 Sexta Sequência: Atividades 9 e 10 76

4.7 Sétima Sequência: Testes 5 e 6 79

4.8 Oitava Sequência: Testes 7 a 9 82

5 APLICAÇÃO DAS SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES UTILIZANDO O OBJETO DE APRENDIZAGEM EM AMBIENTE INFORMATIZADO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

85

5.1 aplicação das sequências de atividades 85

5.2 Procedimento de análise dos resultados 91

5.2.1 Análise dos dados 92

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 106

REFERÊNCIAS 111

APÊNDICE 115

ANEXO 149

18

1 INTRODUÇÃO

A vida estudantil deste pesquisador ocorreu nas décadas de 70 e 80, em

escolas públicas e privadas. No sistema de ensino dessa época, predominava a

metodologia tradicional cujas aulas tinham características expositivas. Com isso os

estudantes, inconscientemente, assumiam uma postura passiva diante o professor e

o processo de “construção” de seu conhecimento não acontecia.

No início da década de 90, cursando Licenciatura em Matemática na

Universidade Federal de Viçosa (UFV), participou do Projeto denominado

PROLICEN (Programa de Licenciatura), elaborado e executado pelo Departamento

de Educação da UFV e financiado pelo Ministério da Educação e Cultura (MEC). Por

meio desse Projeto, teve a oportunidade de conhecer a realidade do Ensino de

Matemática nas escolas públicas da cidade de Viçosa/MG e as práticas educativas

utilizadas pelos professores dessa disciplina, e constatou que as aulas expositivas

ainda eram exclusivas dentro da sala de aula.

Incomodado com essa realidade, este pesquisador iniciou estudos na

intenção de conhecer novas formas de ensinar Matemática como alternativa às

aulas exclusivamente expositivas recorrentes, até então. Buscava-se tornar o

estudante mais ativo em sala de aula, fazendo-o construtor do próprio

conhecimento.

No final década de 90, ao ingressar no curso de Especialização em Educação

Matemática (Unesp/Rio Claro), seus estudos se intensificaram e, por meio deles

conheceu novas tendências dessa campo de pesquisa e novas metodologias de

ensino.

Em 2012, como mestrando no Programa de Pós-graduação em Ensino de

Ciências e Matemática da PUC/Minas, participou dos grupos de pesquisas PINEM1 e

GRUPIMEM2, em que surgiram propostas de trabalhos acadêmicos que auxiliassem

os professores de Matemática a diversificarem suas práticas docentes.

Este trabalho acadêmico que ora se apresenta está no interior do projeto

Estratégias de Ensino e Aprendizagem de Matemática e Estatística na Educação

Superior: Repensando Ambientes de Aprendizagem patrocinado pela FAPEMIG por

meio do Edital 01/2012 de Demanda Universal e cujo número do processo é CHE–

1 Práticas Investigativas em Ensino de Matemática

2 Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática

19

APQ–00992–12 e é resultado de uma autocrítica realizada por este pesquisador

acerca de suas metodologias em sala de aula. Por meio dessa autocrítica,

constatou-se a necessidade de diversificar a forma de ministrar suas aulas com o

intuito de promover uma maior interesse por parte dos estudantes. Assim, a criação

de uma metodologia diferenciada para abordar o estudo do comportamento de

funções por meio de suas derivadas tornou-se o foco desta pesquisa.

Atento a esse foco e visando agregar valor às aulas, criou-se uma

metodologia a fim de permitir que o estudante, por meio de suas ações, visualize,

experimente, interprete e conjecture acerca daquilo que está sendo estudado. Nesse

sentido, esta pesquisa foi fundamentada em três pilares: a sequência didática, a

informática educacional e objetos de aprendizagem. A intenção foi estimular a ação

do aluno em resposta à passividade presente em uma aula exclusivamente

expositiva e evidenciar a construção da aprendizagem.

Ao se pensar em uma prática educativa que trata das relações interativas em

sala de aula, se tem a análise do papel do professor e do aluno nesse ambiente,

assim como a distribuição do tempo e da organização dos conteúdos. Nesse

sentido, Zabala (1998) apresenta a sequência didática como um conjunto de

atividades que, organizados de tal forma, dão sentido àquilo que está sendo

ensinado e não tem um fim em si mesma, promovendo, assim, a interação entre os

objetos estudados dando significados a cada um deles.

Na perspectiva de estimular a ação do aluno durante o processo de

aprendizagem, a utilização de Objetos de Aprendizagem respaldada pela Informática

Educacional pode impulsionar o rendimento e a aprendizagem do conteúdo

matemático. Kenski (2011) defende a ideia de que a tecnologia utilizada com

criatividade pode alterar a rotina existente dentro de sala de aula, aumentando o

interesse e a colaboração entre os alunos, tornando-os, assim, em cidadãos

participativos. Essa nova realidade em sala de aula proporciona a criação de

equipes de trabalho (professor-aluno) que se tornam cúmplices na construção e

aprofundamento do conhecimento.

A estratégia a ser utilizada nesta pesquisa se resume em trabalhar com uma

sequência didática com o auxílio de ferramentas computacionais, em particular com

um objeto de aprendizagem baseado em applets (pequenos programas na

linguagem JAVA) que, por sua vez, serão construídos por meio de um software livre

20

de geometria dinâmica, o GEOGEBRA. A proposta é estimular o aluno a aprender, a

elevar sua autoestima e a superar sua defasagem.

Neste sentido, no primeiro semestre de 2014, vinte e oito alunos do segundo

período de Engenharia Civil foram divididos em duplas e apresentados à Sequência

Didática e ao Objeto de Aprendizagem presentes nesta Pesquisa com o intuito de

responder a seguinte questão.

1.1 Questão

Quais as contribuições que um Objeto de Aprendizagem pode proporcionar

ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de torná-lo uma alternativa

à aula exclusivamente expositiva?

1.2 Objetivo Geral

Criar um Objeto de Aprendizagem capaz de propor alternativas metodológicas

ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de reduzir a defasagem em

sua compreensão.

1.3 Objetivos Específicos

Com o intuito de atingir o objetivo geral desta pesquisa, definiram-se os

objetivos específicos listados a seguir:

a) identificar nas Diretrizes Curriculares do curso de Engenharia a

contribuição da Matemática/Cálculo na formação desse profissional;

b) identificar em livros de Cálculo as abordagens metodológicas sobre o

estudo do comportamento de funções;

c) criar um Objeto de Aprendizagem com atividades interativas norteadas por

uma sequência didática com base na Informática Educativa;

d) verificar as contribuições que o Objeto de Aprendizagem pode proporcionar

ao ensino de Cálculo por meio do relacionamento e interação dos estudantes com o

tema estudado.

21

1.4 Estrutura da Dissertação

A estrutura desta dissertação é constituída de 6 capítulos, incluindo a

introdução no capítulo 1 e as considerações finais no capítulo 6.

No capítulo 2, encontra-se a fundamentação teórica que norteou esta

pesquisa. Aqui se apresenta a sequência didática, a informática educacional e os

objetos de aprendizagem como ferramentas metodológicas alternativas às aulas

expositivas no ensino de Matemática e de Cálculo.

No capitulo 3, discorre-se acerca da metodologia utilizada nesta pesquisa.

Destaca-se, aqui, a análise realizada nos livros didáticos de cálculo sobre suas

abordagens ao “tema estudo do comportamento de funções por meio de derivadas”,

com o intuito de selecionar os livros didáticos que atenderam à proposta desta

pesquisa e que inspiraram as atividades elaboradas.

No capítulo 4, foi apresentada a sequência didática de atividades elaboradas

e o objeto de aprendizagem criado para implementá-las.

No capítulo 5 buscou-se, primeiramente, apresentar os sujeitos participantes

da pesquisa e o ambiente em que esta foi realizada e, em seguida, as análise dos

resultados foram relatados, onde buscou-se compreender como ocorreu as

observações realizadas.

Finalmente, no capítulo 6, apresentaram-se as considerações finais e as

reflexões sobre as contribuições da metodologia elaborada para o processo de

ensino e aprendizagem sobre o estudo do comportamento de funções por meio de

derivadas.

Como Produto final desta Pesquisa, foi elaborado um Objeto de

Aprendizagem compostas por dez atividades e dez testes distribuídos em oito

sequências. Este produto educacional contém um CD com o software que será

utilizado como apoio à execução das atividades e um Caderno de Atividades com

todas as atividades e testes propostos.

O Apêndice desta Dissertação divide-se em duas partes:

Apêndice A: encontra-se o Caderno de Atividades com as sequências

aplicadas aos alunos.

Apêndice B: encontra-se um CD contendo o Produto Educacional

completo elaborado a partir do Caderno de Atividades e o software

educacional CompFunção.

22

2 SEQUÊNCIA DIDÁTICA, INFORMÁTICA EDUCATIVA E OBJETOS DE

APRENDIZAGEM COMO ALTERNATIVAS PARA O ESTUDO DO

COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES NA DISCIPLINA DE CÁLCULO

No processo de ensinar e aprender, as relações entre professor e aluno,

embora muitas vezes complexas, são peças fundamentais para que a aprendizagem

ocorra efetivamente. Essas relações envolvem interesses, motivações,

comportamentos pessoais de cada sujeito, mas também se caracteriza pela seleção

de conteúdos, organização, sistematização didática, a fim de facilitar a

aprendizagem dos alunos.

Cabe aos professores estimular a criatividade e prever diferentes caminhos

para a aprendizagem de conceitos e resultados importantes da Matemática. O

grande desafio é organizar situações didáticas que possam contribuir na

transformação do saber cotidiano para o saber escolar.

No intuito de promover essa transformação, busca-se nesta pesquisa, criar

um elo entre a sequência didática, a informática educacional e os objetos de

aprendizagem a fim de permitir a exploração e interação de diversos temas do

Cálculo Diferencial e Integral em busca de aprendizagem efetiva.

2.1 O Ensino de Cálculo

No Brasil, a partir da década de 90, com a elaboração dos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN´s), o sistema conteudista passa a ser questionado e

um novo pensamento surge, classificando as competências por áreas de

conhecimento. A proposta era obter um ensino em que o conteúdo não seja visto

como fim em si mesmo, mas, ao invés disso, a permitir desenvolver capacidades de

produzir e usufruir dos bens culturais, sociais e econômicos. Com isso, a Matemática

passa a ser tratada como uma disciplina com potencial interdisciplinar.

Nesse sentido, torna-se importante conhecer e tomar propriedade do objeto

de estudo e de seu significado, de forma que o professor e o aluno emitam opiniões

a respeito dele. Assim, é fundamental fazer a distinção entre definição e conceito,

pois com uma definição, ao ser formalizado com uma linguagem específica ou

simbólica, pode não se chegar ao entendimento de um conceito.

23

Conceituar antes de formalizar uma definição propicia uma aprendizagem

com compreensão. Ativar a cognição do aprendiz faz que o conhecimento seja retido

através da assimilação. Laudares (2013, p.8) afirma que “a partir da compreensão

conceitual, o estudante pode alcançar níveis satisfatórios de generalidades e

abstração, e então formular a definição.”

Para conceituar, o professor apresenta situações matemáticas e não matemáticas da vida real, das ciências e da tecnologia, propondo o uso de analogias e metáforas, sempre associadas à resolução e análise de problemas, fomentando a atitude heurística do estudante. (LAUDARES, 2013, p.5)

Em suma, definição expressa um conceito, a partir de uma linguagem própria

e simbólica de uma ciência. (LAUDARES, 2013)

Nas Diretrizes Curriculares dos cursos de Engenharia, o Cálculo é colocado

“como formador de inteligência e um instrumento para o engenheiro, fomentando a

ideia da sua importância no cotidiano, onde a tecnologia da comunicação e

informação tem sido amplamente utilizada” (BRASIL, 2002). Nos livros de Cálculo,

as escritas dos autores confirmam a sua importância e deixam clara sua eficiência

quando se aplicam seus métodos e procedimentos nos mais variados campos do

saber.

Nos últimos anos, tem-se encontrado diversas pesquisas sobre temas

relacionados à Educação Matemática e sobre o processo de ensino e aprendizagem

da Matemática. No Ensino Superior, devido ao baixo rendimento dos estudantes, as

atenções estão voltadas para as disciplinas básicas dos cursos da área das ciências

exatas.

Inserido na área de estudo da Matemática, o Cálculo Diferencial e Integral é

foco em várias pesquisas, algumas já consolidadas enquanto outras ainda em

desenvolvimento. Constata-se que essas pesquisas abordam os mais variados

temas, dentre eles, pode-se destacar o estudo de diferentes práticas educacionais

na perspectiva de solucionar o problema da aprendizagem.

De acordo com essas pesquisas, um componente que muito influencia o

ensino do Cálculo é representado pelas dificuldades inerentes aos conceitos

estudados nessa disciplina. O entendimento desses conceitos, suas aplicações em

outros universos profissionais e os frequentes fracassos em seu aprendizado

motivaram, na década de 80, um movimento que veio a se chamar Reforma do

24

Cálculo (Conferência de Tulane), que discutiu as possíveis mudanças na forma de

ensinar essa disciplina.

Basicamente, a Reforma do Cálculo se caracterizava pelo uso de tecnologia

tanto para o aprendizado de conceitos e teoremas como para a resolução de

problemas. Stewart (2013) afirma que as discussões deram ênfase à compreensão

de conceitos e buscou mudar a maneira de ensinar o raciocínio conceitual, dando

origem ao que foi chamada de “Regra dos Três”, ou seja, todos os tópicos e

problemas devem ter abordagem numérica, geométrica e analítica. Posteriormente,

a verbalização veio a integrar os três elementos anteriores e passou a se chamar

“Regra dos Quatro”.

As mudanças no ensino de Cálculo sugeridas por esse movimento se

baseiam em focalizar o ensino de Cálculo nas ideias fundamentais ao invés de

enfatizar apenas os algoritmos de resolução, enfatizar a aplicação do Cálculo nas

mais diversas áreas do conhecimento e incorporar a tecnologia no currículo de

Cálculo.

Atualmente, o ensino do Cálculo vem privilegiando a simples transmissão de

conhecimentos, impedindo, assim, a compreensão dos conceitos. Essa pedagogia

tradicional baseia-se na exposição oral de conteúdos numa sequência

predeterminada, enfatizando a necessidade de exercícios repetitivos para garantir a

memorização dos conteúdos,

[...] um ensino tradicional, pensado em termos de conteúdos disciplinares, espelhou, ao longo dos anos, uma concepção de aprendizagem como “acumular conteúdos”. Ao se pensar o ensino e o currículo em termos de competências e habilidades, corre-se talvez o risco de, novamente adotar uma concepção restrita do que é aprendizagem, onde “acumular conteúdos” é apenas substituído por “acumular habilidades”. (FROTA 2002, p.11).

Porém, sugerir que o processo de ensino e aprendizagem de Cálculo deva

ser modificado conforme a proposta da Reforma do Cálculo não implica apenas a

modernização com a utilização de quaisquer recursos tecnológicos, mesmo porque,

estudantes com dificuldades em Matemática não suprirão suas necessidades com a

simples utilização de computadores, mas estes podem proporcionar melhores

compreensões dos conceitos estudados. De acordo Kenski (2011), atividades que

utilizam o apoio da informática educacional promovem ao estudante a oportunidade

de explorar, visualizar e representar o conceito matemático.

25

Disciplina básica e obrigatória na maioria dos cursos da área de exatas, o

Cálculo, dentre outras características, se destaca pelo estudo do movimento e da

variação. Tem o objetivo de organizar o pensamento do estudante e capacitá-lo a

empregá-la como regras e procedimentos em situações reais do dia a dia.

Considerando essa natureza dinâmica, o Cálculo, se for ministrado de forma

tradicional, não terá essa característica explorada, já que esse sistema de ensino

prioriza o algebrismo buscando solucionar os problemas por meio de fórmulas e

algoritmos de resolução. Daí a importância da Informática Educativa como apoio e

alternativa às metodologias existente para o ensino de Cálculo.

Stewart (2013) destaca a descoberta como a chave do ensino e estimula o

aluno a descobrir o Cálculo, mostrando sua utilidade e desenvolvendo

competências, sem deixar de lado a beleza dessa Ciência. Além disso, reforça a

importância da compreensão de conceitos, fazendo que elementos da Reforma

sejam contemplados sem esquecer o contexto da grade curricular tradicional.

Na preocupação de promover um ensino com compreensão, Stewart (2013),

ao longo de sua obra “Cálculo”, explora situações-problema que exemplificam os

conceitos básicos, além de utilizar a mídia e a tecnologia como apoio ao professor.

O autor, em seu diálogo com o estudante, enfatiza a importância da leitura e compreensão de cada seção do texto, antes de iniciar as resoluções dos exercícios propostos. Ressalta a importância de examinar as definições para entender o significado dos termos e também cria um ícone que adverte a possibilidade de erros, a partir de sua observação a um grande número de estudantes, num determinado erro. (VAZ, 2010, p.51)

Thomas (2009), em sua obra “Cálculo”, busca atender ao currículo universal

padrão, utilizando uma linguagem mais clara possível e tornando seu conteúdo mais

lógico. Sem se desviar do rigor matemático, trabalha com o formal e o informal,

explicitando suas diferenças, o que dá certa liberdade ao professor. A utilização da

mídia e da tecnologia é discreta, deixando a cargo do professor essa utilização.

Além disso, Thomas (2009) apresenta uma ênfase na modelagem e nas

aplicações do Cálculo. Para tanto, busca dados reais, e procura dar maior equilíbrio

aos métodos gráficos, numérico e analítico e apresenta discussões que, segundo o

autor, encorajam os estudantes a pensar a partir dos três campos propostos. Os

exercícios encontram-se agrupados segundo os conteúdos, aplicações ou uso de

tecnologias específicas e apresentam ícones de identificação.

26

Com o objetivo de aumentar a compreensão estudantil Anton, Bivens e Davis

(2007) criam problemas novos que estimulam a compreensão dos conceitos e

deixam mais claros os exemplos, acrescentando passos a estes. A utilização das

mídias e de tecnologias está presente ao longo do texto, porém podem ser usadas

conforme a necessidade. Os autores, buscam um equilíbrio no que denominam

“correto”, entre o rigor e a clareza e afirmam que, quando esses colidem, optam pela

clareza e defendem a importância de o estudante entender a diferença entre uma

demonstração precisa e um argumento informal. Optou-se, a seguir, para melhor

compreensão do leitor, estabelecer uma comparação, e sempre que possível, um

diálogo entre os autores, a partir dos estudos, em separado por autor, dos conceitos

pretendidos de Limite, Derivada e Integral.

Sabe-se que obter informações é o primeiro passo para o processo de

aprendizagem, mas é necessário relacionar, integrar, contextualizar e aprofundar os

níveis de descoberta. Dessa forma, é importante incorporar ao ensino de Cálculo a

ideia que Moran traz sobre o aprender.

Aprendemos quando vivenciamos, experimentamos, sentimos. (...). Aprendemos quando descobrimos novas dimensões de significação.(...). Aprendemos pela concentração em temas ou objetivos definidos (...) atentos ao que acontece ao nosso lado. Aprendemos quando perguntamos, questionamos. Aprendemos quando interagimos com os outros (...). Aprendemos pelo interesse, pela necessidade. Aprendemos mais facilmente quando entendemos o objetivo, a utilidade de algo. (MORAN, 2000, p. 23)

2.1.1 A Contribuição do Cálculo na formação do Engenheiro

As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas regulamentadoras

que orientam o planejamento dos sistemas de ensino. Inicialmente as DCNs eram

voltadas para a Educação Básica, e cada uma das suas modalidades (Ensinos

Fundamental e Médio) apresenta suas próprias diretrizes. A lei 9.1313 de 1995

outorgou à Câmara de Educação Superior do Conselho Nacional de Educação e do

Desporto a competência de deliberar acerca das diretrizes curriculares propostas

pelo Ministério da Educação e do Desporto, voltadas para os cursos superiores.

As DCNs dos cursos superiores objetivam a flexibilidade curricular e a

desburocratização dos cursos.

3 http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9131.htm

27

O Parecer CNE/CES 776/974 estabelece orientações para as DCNs de cursos

superiores.

(...) incentivar uma sólida formação geral, necessária para que o futuro graduado possa vir a superar os desafios de renovadas condições de exercícios profissionais e de produção do conhecimento, permitindo variados tipos de formação e habilitações diferenciadas em um mesmo programa. Estimular práticas de estudos independentes, visando uma progressiva autonomia profissional e intelectual do aluno. Encorajar o reconhecimento de conhecimentos, habilidades e competências adquiridas fora do ambiente escolar (...). (BRASIL, 2001)

Dessa forma, as DCNs garantem a aprendizagem igualitária assim como um

currículo mínimo, levando em consideração os diversos contextos em que os alunos

estão inseridos.

Em particular, os cursos de Engenharia apresentam um perfil onde se prevê o

uso da ciência e da tecnologia, fazendo que os profissionais dessa área sejam bem

qualificados. As DCNs das Engenharias destacam que a qualificação profissional

mais adequada envolve, dentre outras coisas, saber lidar com as informações,

trabalhar em equipe e ter interpretação dinâmica da realidade.

O novo engenheiro deve ser capaz de propor soluções que sejam não apenas tecnicamente corretas, ele deve ter a ambição de considerar os problemas em sua totalidade, em sua inserção numa cadeia de causas e efeitos de múltiplas dimensões. (BRASIL, 2001)

À procura de qualificar profissionais com essas características, as DCNs

propõem mudanças no sistema de ensino que até então privilegiava o acúmulo de

conteúdos na formação do profissional. Atualmente, espera-se que os cursos de

graduação possuam

(...) estruturas flexíveis, permitindo que o futuro profissional a ser formado tenha opções de áreas de conhecimento e atuação, articulação permanente com o campo de atuação do profissional, base filosófica com enfoque na competência, abordagem pedagógica centrada no aluno (...). (BRASIL, 2001).

Destaca-se aqui o perfil desejado dos egressos do curso de Engenharia,

segundo as DCNs.

4 http://portal.mec.gov.br/setec/arquivos/pdf_legislacao/superior/legisla_superior_parecer77697.pdf

28

O perfil dos egressos de um curso de engenharia compreenderá uma sólida formação técnico-científica e profissional geral que os capacite a absorver novas tecnologias, estimulando a sua atuação crítica na identificação e resolução de problemas, considerando seus aspectos políticos, econômicos, sociais, ambientais e culturais, com visão ética e humanística, em atendimento às demandas da sociedade. (BRASIL 2001)

Existem, nos cursos superiores, disciplinas que são rotuladas devido à sua

dificuldade ou por exigirem abordagens bem diferentes daquelas a que os alunos

estão acostumados. Nos cursos de Engenharia, uma das disciplinas que mais

acumula rótulos é o Cálculo Diferencial e Integral. Por ser uma disciplina do núcleo

básico, é o primeiro contato do aluno com a Matemática, e muitos desses alunos a

encaram de forma diferente daquela que viram na formação básica. Assim, essa

disciplina representa um desafio para os estudantes.

O Cálculo Diferencial e Integral, considerado parte de um todo denominado

Matemática, segue vertentes básicas que o credencia a fazer parte das grades dos

cursos de graduação da área tecnológica, ou seja, tem o potencial de promover o

desenvolvimento do raciocínio lógico, da abstração, da generalização, da intuição,

da capacidade de fazer conjecturas, de resolver problemas e aplicar os

conhecimentos em outras áreas.

O domínio dos conceitos matemáticos, das demonstrações, das definições é

importante para a construção do conhecimento, e isso permite ao estudante a

validação de intuições na construção de técnicas aplicadas em diversas situações. O

conhecimento matemático tem um papel significativo na formação do individuo. É

com a ajuda dele que o estudante desenvolve sua capacidade de raciocínio, de

comunicação e o espirito crítico e criativo.

Quando se analisam os livros didáticos de Cálculo Diferencial e Integral e seu

ensino, nota-se que as habilidades e competências necessárias ao profissional da

Engenharia descritas nos DCNs podem ser adquiridas quando tal disciplina é

tradada de forma adequada.

2.2 Sequência Didática

O aprimoramento de qualquer atividade humana passa pelo conhecimento e

controle das variáveis que nela agem. Assim, conhecer as variáveis permite ao

professor planejar o processo educativo e realizar sua avaliação. Dessa forma, a

29

percepção da realidade da aula está ligada ao planejamento, à aplicação e à

avaliação. Para analisar a prática educativa, Zabala (1998) elege como unidade de

análise básica a atividade ou tarefa, pois ela possui, em seu conjunto, todas as

variáveis que incidem nos processos de ensino/aprendizagem.

Segundo Zabala (1998, p. 18), atividade ou tarefa pode ser um debate, uma

leitura, uma pesquisa bibliográfica, tomar notas, uma ação motivadora, uma

observação, uma aplicação, um exercício, um estudo e etc. Independentemente de

quais atividades serão adotadas, ressalta-se que, da forma como são planejadas,

determinam características peculiares a uma prática educativa, ou seja, quando se

planeja uma aula tradicional ou outra de perfil interativo, ambas com atividades, a

forma como elas estão articuladas e/ou ordenadas determina características

específicas em cada uma dessas aulas. Assim, o conceito de Sequência Didática,

tem como primeiro aspecto característico a importância da ordenação das práticas

pedagógicas.

Nesse Sentido, Zabala (1998) esclarece que a ordenação articulada das

atividades é o elemento diferenciador das práticas em sala de aula e que o primeiro

aspecto característico seria o tipo de ordem em que se propõem as atividades. A

sequência considera a importância das intenções educacionais na definição dos

conteúdos de aprendizagem e o papel das atividades propostas.

Assim, ZABALA (1998, p.18) define a sequência didática como “um conjunto

de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos

objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos

professores como pelos alunos”, portanto a intencionalidade para a aprendizagem

estará clara para o professor desde a concepção da atividade e compreendida pelo

aluno no decorrer do processo.

Para o sucesso da sequência didática, sua estruturação conceitual, o

envolvimento do professor, as necessidades da sala de aula e os relacionamentos

que se estabelecem nesse ambiente são relevantes. Portanto trata-se de uma

elaboração complexa.

Ao elaborar uma sequência de atividades, é necessário ter em mente os

objetivos a serem alcançados. Coll, citado por Zabala (1998, p.30), propõe uma

classificação dos diversos conteúdos (dados, habilidades, atitudes, conceitos e etc.)

que podem ser considerados objetivos de qualquer prática educacional e são

agrupados em conteúdos conceituais (fatos, conceitos e princípios), procedimentais

30

(procedimentos, técnicas e métodos) e atitudinais (valores, atitudes e normas),

classificação que corresponde, respectivamente, às perguntas: “O que se deve

saber?”, “O que se deve saber fazer?” e “Como se deve ser?”.

Zabala (1998) afirma que existem diversos tipos de sequência, e afirmar que

uma é melhor ou pior do que a outra é de difícil tarefa. O importante é conhecer as

possibilidades e as limitações de cada uma, a fim de adaptá-las às necessidades

educacionais e ao contexto.

Ao iniciar a sequência didática, o levantamento prévio dos conhecimentos dos

alunos é importante para auxiliar no planejamento das aulas e determinação das

atividades. Gradativamente, aumenta-se a complexidade das atividades, focando o

aprofundamento do conteúdo trabalhado. Ressalta-se, também, a necessidade de

discussões acerca dos resultados alcançados com o propósito de construir regras

básicas para uma melhor compreensão.

Para que as etapas do processo de aprendizado sejam completas, é preciso,

baseado em ZABALA (1998), que a sequência didática seja organizada de forma

que contemple os seguintes passos:

definir o momento em que o professor apresenta a situação-problema

aos alunos;

definir o momento de diálogo entre professor e aluno, buscando

generalizações das soluções;

definir o momento em que os alunos poderão colocar em prática o que

foi discutido anteriormente e o momento de o professor intervir à

procura de conclusões;

avaliar, corrigir e propor discussões para levantar pontos em que o

aprendizado não foi satisfatório.

A definição colocada por Zabala (1998) vem ao encontro da proposta desta

pesquisa devido ao fato de o pesquisador entender que atividades bem ordenadas e

articuladas entre si permitem a construção das conexões propostas entre os temas

31

matemáticos, proporcionando, assim, a interligação entre os conteúdos conceituais,

procedimentais e atitudinais e a aprendizagem com compreensão.

2.3 Informática Educativa

Atualmente a informação tem sido destaque em razão das mudanças que

estão ocorrendo em caráter social, econômico, político e tecnológico. Essas

mudanças se refletem nas culturas e costumes da sociedade, assim como na

educação. Isso se deve, em grande parte, pela revolução tecnológica e, em

especial, à informática.

A sociedade tem-se tornado mais dinâmica ao se relacionar com a

informação, gerando grandes desafios e, nesse contexto, o meio educacional tem

um papel primordial na preparação dos indivíduos para que estes não sejam

colocados à margem dessa sociedade.

Esse novo relacionamento com a informação dá uma nova dimensão ao que

chamamos de conhecimento. Segundo Costa e Oliveira (2004, p.25), “conhecimento

é toda alteração provocada no estado cognitivo, isto é, no seu estoque mental de

saber acumulado, proveniente de uma interação positiva com uma estrutura de

informação.”. Então o conhecimento e a informação estão numa mesma dimensão,

porém o conhecimento passa a ter o perfil de uma informação com valor agregado,

segundo Vieira (apud Costa e Oliveira 2004, p.25).

Uma vez que o sujeito cognitivo é formado em ambientes que proporcionam

novas relações com os objetos do conhecimento, as Escolas, ao assumirem as

novas tecnologias, tem instrumento de contribuição às práticas educativas.

Ao introduzir computadores nas Escolas como ferramenta de auxílio aos

professores em suas práticas, é necessário incorporá-los à cultura da Escola e no

dia a dia dos profissionais que os utilizarão. Para que isso seja possível, o

rompimento com as ideias tradicionais de ensino conduzem, com a utilização dos

computadores, às novas posturas dos professores e alunos. Um cenário de

curiosidade e questionador é criado em sala de aula de forma que, alunos e

professores, repensem suas maneiras de lidar com o objeto do conhecimento. Se as

atividades em sala de aula são criativas, os computadores introduzidos no meio

educacional são uma ferramenta metodológica muito útil para o processo de ensino

e aprendizagem e não apenas um adereço.

32

A utilização da tecnologia no ensino e aprendizagem da Matemática, segundo

Fiorentini e Lorenzato (2006, p.45), se intensificou, na década de 70, quando iniciou

o interesse de pesquisadores em Educação Matemática. Já a partir dos anos 90, a

terminologia TICs (Tecnologias de Informação e Comunicação) começa a ser

utilizada para generalizar os recursos tecnológicos e comunicacionais existentes.

Dentro dessa nova tendência, o professor de Matemática, ao manter sua

passividade em relação às inovações didáticas, dificulta a construção do significado

e o objeto trabalhado passa a ser um aglomerado de informações a ser memorizado.

Dessa forma, o aluno não é capaz de fazer conexões entre a linguagem utilizada

pelos livros e professores com os conhecimentos pré-existentes em sua estrutura

cognitiva.

O processo ensino-aprendizagem conduzido de maneira usual se apoia em

livros texto. Esses livros são estruturados de modo que os seus tópicos estão

encadeados numa sequência lógica, e cada tópico tem a sua coerência interna.

Esse material se diz potencialmente significativo quando o aprendiz for capaz de

relacioná-lo com conhecimentos existentes em sua estrutura cognitiva.

O uso das TICs no ensino de Matemática tem sido recomendado pelos

especialistas pelo fato de elas favorecerem atividades em que os alunos possam

trabalhar com diferentes representações, tais como tabela, gráficos e expressões

algébricas de forma rápida e articulada. Isso é especialmente recomendado para a

disciplina de Cálculo.

O acesso fácil a novas tecnologias dentro de um contexto educacional

impulsiona a formação dos indivíduos inseridos nele. Mas reitera-se que, por si só, a

tecnologia, em particular o computador, não agirá nessa transformação se não

houver interação entre o sujeito da aprendizagem e a informação, isto é, com o

objeto do conhecimento.

A construção do conhecimento depende da ação do sujeito sobre a informação disponível, de modo a atribuir-lhe significado. Essa ação constitui, portanto, o processo de apropriação da informação pelo sujeito, o que se dá numa relação dialética, estabelecida entre sujeito e objeto do conhecimento. (Costa e Oliveira, 2004, p.20)

O fato de o sujeito estar inserido numa sociedade de informação não lhe

assegura o conhecimento e muito menos a aprendizagem. O ambiente educacional

tem a responsabilidade de mediar o processo de transformação, favorecendo o

33

desenvolvimento das habilidades cognitivas. Segundo Costa e Oliveira (2004, p.20),

“a ação mediadora de indivíduos é que potencializará a formação dos significados

necessários à aquisição do conhecimento.”.

Dentro do processo de construção de conhecimento, o desenvolvimento

cognitivo do sujeito se dá por meio de uma relação sujeito-informação e, desta

forma, nos leva a refletir a respeito da utilização da tecnologia como ferramenta

auxiliar na formação do indivíduo.

Kenski (2007, p.103) defende a ideia de que a tecnologia utilizada com

criatividade pode alterar a rotina existente dentro de sala de aula, transformando-a

em interesse e colaboração, tornando os alunos em cidadãos participativos. Essa

nova realidade em sala de aula proporciona a criação de equipes de trabalho

(professor-aluno) tornando-se cúmplices na construção e aprofundamento do

conhecimento.

Assim, procura-se, segundo Borba e Penteado (2012), substituir velhas

práticas com o auxílio das novas tecnologias. Esses autores afirmam ainda que a

informática inserida na educação possui características específicas que estimulam a

substituição dos pensamentos lineares por pensamentos descontínuos, tais como

links, homepage e menus de softwares educacionais de geometria e funções.

As novas tecnologias podem trazer mudanças positivas para o processo de

ensino e aprendizagem. Elas transformam a realidade tradicional do ensino e

dinamizam o ambiente. Mas, para que essas mudanças surjam efeitos, é necessário

incorporá-las em um perfil pedagógico.

Pesquisas apontam que as TICs, no cenário educacional, desafiam o

professor a rever, ampliar seus conhecimentos e se preparar para enfrentar novas

situações. A introdução dessa tecnologia na prática docente promove demandas que

vão além da rotina de sala de aula.

Para atuar nessa nova realidade, o professor busca alternativas que o

auxiliem no processo de construção dos conhecimentos dos alunos, fazendo que

estes conquistem, cada vez mais, espaços no processo de negociação na sala de

aula.

As tecnologias são instrumentos para alternativa pedagógica que nunca

substituirá o professor. Elas abrem um leque de possibilidades de atuação para o

docente. O professor que optar por ser assistido pela tecnologia (computador) não

34

trabalha isolado, pois interações entre professor, aluno e tecnologia irão gerar

descobertas e aprendizados.

Assim, a literatura recomenda que, para que a utilização das TICs pelo

professor seja bem sucedida, é necessário ter a oportunidade de se preparar de

forma diferenciada e refletir sobre os problemas das práticas docentes.

2.3.1 Informática Educativa e o Ensino de Matemática

No processo de ensino e aprendizagem da Matemática, a utilização das

tecnologias como metodologia alternativa de ensino não terminará com suas

características, como a oralidade e a escrita. Pode-se observar que novas

características surgirão, serão transformadas ou reorganizadas. Nesse sentido,

Borba e Penteado reforçam que a informática,

(...) é uma extensão de memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseadas na simulação, na experimentação e em “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea. (Borba e Penteado, 2012, p.48)

No ensino da Matemática, a utilização das tecnologias é considerada como

uma prática alternativa que visa dar novos rumos às relações entre professor e

aluno. Seu uso vem aumentando sensivelmente e é de suma importância a reflexão

acerca da forma como estão sendo utilizadas.

Dentre as características que se pode apresentar na utilização da tecnologia

em sala de aula, e mais precisamente do computador, destaca-se a importância da

visualização e do pensamento visual no ensino e aprendizagem de Matemática.

Dentre as várias representações, a linguagem visual no estudo de cálculo revela-se de extrema importância, pois historicamente muitos dos conceitos foram desenvolvidos e chegaram à forma como são ensinados hoje, apoiados nos métodos intuitivos e visuais. (Frota e Couy, 2009, p.45)

A relevância do processo visual na aprendizagem de Cálculo também é citada

por Tall quando afirma que

35

negar a visualização é negar as raízes de muitas de nossas mais profundas ideias matemáticas. Nas fases iniciais do desenvolvimento da teoria de funções, limites, continuidade e etc., a visualização provou ser uma fonte fundamental de ideias. Negar essas ideias a estudantes é impedi-los o acesso às raízes históricas do assunto. (TAll, 1991, p.1)

Diversas formas de pensamentos visuais aparecem em grande escala quando

se utilizam os computadores em sala de aula. Mesmo que o aluno seja levado a uma

interpretação equivocada daquilo que se observou, a ação visual tem seu valor pelo

simples fato de ter proporcionado o espirito investigativo.

Outra característica que se deve levar em consideração quando se utilizam

tecnologias como práticas alternativas de ensino é a oportunidade de praticar a

simulação quantas vezes forem necessários devido ao dinamismo que tais recursos

proporcionam. Tal procedimento seria inviável se aplicados com a utilização de lápis

e papel apenas. Nesse sentido,

a simulação por computador permite que uma pessoa explore modelos mais complexos e em maior número do que se estivesse reduzido aos recursos de sua imagística mental e de sua memória de curto prazo, mesmo se reforçadas por este auxiliar por demais estático que é o papel.(Levy, 1993 p.77)

Assim, a visualização e a simulação são características a ser levadas em

consideração quando se decide introduzir tecnologias em sala de aula como auxílio

das práticas pedagógicas. Nas aulas de Matemática, sua utilização pode

proporcionar ambientes favoráveis ao aprendizado.

2.3.2. Uma Abordagem Conceitual de Função e seu Comportamento Gráfico e

seu Ensino por meio da Informática Educacional

A conceituação de uma função passa pela ideia de dois conjuntos cujos

elementos interagem entre si, cada um com seu par. Caraça (2005) salienta a

importância de expressar uma “lei” que promova essa interação.

À procura de uma regularidade nessa interação, utiliza-se uma tabela que

demonstre a variação dos elementos. A regularidade esperada não fica evidente na

simples leitura da tabela, porém dá uma ideia do comportamento da relação entre as

grandezas envolvidas. A lei apenas determina a correspondência existente.

36

Denominando de “lei quantitativa”, Caraça (2005) vê sua importância no auxílio do

entendimento e da explicação da realidade.

A noção de variável surge em consequência da necessidade de sair da

particularidade dos elementos da tabela e ir em direção à regularidade universal

entre quaisquer elementos dos conjuntos envolvidos. Como a variável é o

representante de cada elemento de um conjunto, surge assim a noção de domínio.

Dessa forma, Caraça se sente em condições de definir o instrumento

matemático que evidencia a correspondência entre os conjuntos.

Seja t a variável do conjunto dos tempos e e a variável do conjuntos dos espaços; a lei consiste na existência duma correspondência entre t e e, correspondência de que sabemos que é unívoca no sentido t → e. Diremos que a variável e é função da variável t e escrevemos simbolicamente e = f(t); à variável t, antecedente da correspondência, chamaremos variável independente; à variável e chamaremos variável dependente. (CARAÇA, 2005, p.121)

A partir do exposto, Caraça (2005, p.121), formaliza a definição de função:

Definição: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-se y = f(x), se entre as duas variáveis existe um correspondência unívoca no sentido x → y. A x chama-se variável independente, a y variável dependente.

Analiticamente, uma função tem um tratamento puramente matemático,

desprende-se dos valores da tabela e pode-se utilizar qualquer valor presente em

seu domínio para encontrar o número correspondente segundo a lei da função.

Surge, assim, segundo Caraça (2005), uma cadeia: lei quantitativa – função –

definição analítica. Salienta-se que uma função não é uma expressão analítica e,

sim, representada por ela.

Para representar graficamente uma função, é necessário criar um sistema de

referência. Tal sistema, como se pode ver na Figura 1, pode ser caracterizado da

seguinte forma:

Sejam no plano (fig. 31) duas rectas concorrentes que, por comodidade, se tornam perpendiculares entre si, e orientadas como a figura indica – uma vez orientado o eixo Ox como na fig. 30, toma-se para sentido positivo do outro eixo aquele sentido tal que o semi-eixo positivo Ox se pode levar à coincidência como semi-eixo positivo Oy por uma rotação de 90º feita no sentido directo ou positivo (contrário ao sentido do movimento dos ponteiros dum relógio). (CARAÇA, 2005, p.124)

37

Figura 1 – Sistema de referência

Fonte: CARAÇA, 2005 p.124

Uma vez criado o sistema de referência, a representação geométrica de uma

função pode ser construída. Por meio de sua expressão analítica, pode-se obter o

valor da variável dependente y, utilizando a variável independente x, formando,

assim, o ponto cujas coordenadas são x e y. Repetindo tal procedimento para a

quantidade de valores de x (do domínio) que se deseja, obtêm-se seus pares

correspondentes. Dessa forma têm-se os pontos necessários para a representação

geométrica da função tal como representado na Figura 2.

Figura 2 – Representação geométrica de uma função

Fonte: CARAÇA, 2005 p.125

Assim, com a unificação das representações analítica e geométrica, o

conceito de função fica completo e, dessa forma, pode-se partir para um estudo

mais significativo das relações existentes entre as variáveis dependentes e

independentes.

38

Essas relações geram uma série de comportamentos notáveis nos gráficos

das funções, que podem ser explorados de forma mais expressiva quando a

representação geométrica é utilizada. A exploração visual de uma função por meio

de seus gráficos é a proposta desse trabalho.

As análises dos comportamentos das funções, no que diz respeito ao seu

crescimento e decrescimento, pontos críticos e concavidades podem ser realizadas

por meio de suas representações geométricas ou por meio de suas derivadas de

primeira e segunda ordens. Segundo Courant,

se percorremos a curva y = f(x) na direção de valores crescente de x, então uma derivada positiva, f´(x)>0 em um ponto, significa curva crescente (valores crescentes de y); uma derivada negativa, f´(x)<0 significa curva decrescente. (COURANT, 2000, p.504)

De forma geral, a inclinação da reta tangente é determinante para concluir se

uma função é crescente, se é decrescente como está indicado na Figura 3. A

caracterização da direção de uma reta é definida por Courant (2000, p.501) como a

tangente trigonométrica do ângulo que a reta forma com o eixo x.

Figura 3 – Inclinação da reta tangente em um intervalo onde a função é crescente, decrescente ou constante

Fonte: ANTON, 2007 p.268

Courant (2000) também apresenta um conceito para pontos máximos e

mínimos. Ele apresenta um ponto máximo como um cume mais alto do que os

pontos vizinhos e um ponto mínimo como um fundo de um vale mais baixo do que

os pontos vizinhos. Outra forma para caracterizar um ponto máximo ou mínimo seria

a horizontalidade da reta tangente à curva nesses pontos, como mostra na Figura 4.

39

Figura 4 – Horizontalidade da reta tangente em um ponto máximo ou mínimo

Fonte: STEWART, 2013 p.250

A análise das concavidades da curva em um ponto também é contemplada

por Courant (2000) quando salienta que a taxa de variação da derivada de primeira

ordem é determinada pelo estudo da derivada de segunda ordem. Ele afirma que

uma derivada de segunda ordem positiva determina uma taxa de variação da

derivada de primeira ordem positiva e, consequentemente, a concavidade da curva

será para cima. Por outro lado, uma derivada de segunda ordem negativa determina

uma taxa de variação da derivada de primeira ordem negativa e, consequentemente,

a concavidade da curva será para baixo. Tal afirmação está ilustrada na Figura 5.

Figura 5 – Concavidade da curva segundo a inclinação (ou taxa de variação) da reta tangente

Fonte: ANTON, 2007 p.270

É interessante verificar também que, conforme a Figura 5, em uma curva com

concavidade voltada para cima, as tangentes estão posicionadas abaixo desta curva

e em uma curva com concavidade voltada para baixo, as tangentes estão

posicionadas acima desta curva.

E, finalmente, os pontos de inflexão, segundo Courant (2000) podem ser

encontrados por meio da análise dos valores que anulam a derivada de segunda

ordem, conforme Figura 6.

40

Figura 6 – Pontos de inflexão (onde a derivada de 2a ordem é nula)

Fonte: ANTON, 2007 p.271

O Objeto de Aprendizagem criado nesta pesquisa é composto de atividades

interativas que buscam enriquecer a abordagem conceitual de Caraça e Courrant,

apresentada nos parágrafos anteriores. Com o apoio da informática educacional e

por meio dos applets construídos no GEOGEBRA (software livre de geometria

dinâmica), o dinamismo é incorporado aos gráficos, proporcionando, assim, a

visualização, a manipulação e a investigação acerca da relação existente entre as

funções e suas derivadas.

Uma vez que a sequência didática é baseada nas propostas dos livros

didáticos de Cálculo, e para que as atividades estejam em consonância com a

proposta desta pesquisa, faz-se necessária uma análise desses livros com o intuito

de identificar aqueles que possuem uma abordagem mais interativa sobre o estudo

do comportamento de funções por meio de suas derivadas.

Quando se pesquisa no campo da Educação Matemática, nota-se a

importância que se dá ao ensino de Funções. Pesquisas na área de Cálculo têm

apontado o conceito de Função como um obstáculo para a compreensão de pré-

requisitos importantes dessa disciplina. Além disso, a construção e o

reconhecimento dos gráficos de diversas funções também causam preocupações.

Para ilustrar, algumas situações em sala de aula apontam para as

dificuldades de resolver problemas de otimização quando os estudantes não

conseguem identificar as variáveis envolvidas o que, consequentemente, causa a

dificuldade de se obter a função necessária para a resolução.

Borba e Penteado (2012) afirmam que os livros didáticos dão destaque à

expressão analítica da função e quase nada aos aspectos gráficos e tabulares.

Enfatizam a importância de abordar tal tema, privilegiando várias representações

41

para uma mesma função, ou seja, a expressão algébrica, o gráfico e a tabela. Borba

e Confrey (1996) denominam essa abordagem de epistemologia das representações

múltiplas. E a inserção da tecnologia se faz necessária para tornar possível a

utilização dessa abordagem.

Assim, conhecer sobre funções passa a significar saber coordenar representações. Essa nova abordagem só ganha força com ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas. (BORBA E PENTEADO, 2012 p.32)

Os computadores e os softwares educativos possibilitam a construção de

gráficos de funções e, naturalmente, trazem a visualização para o centro do

processo de ensino e aprendizagem da Matemática, enfatizando o objetivo principal

dessa metodologia, ou seja, a experimentação. Essas tecnologias permitem que o

aluno experimente, simule e observe quantas vezes forem necessárias e, assim,

pode-se gerar conjecturas e debates.

Salienta-se aqui o papel de facilitador que o professor assume nesse

contexto, mediando as atividades por meio de questionamentos, deixando o aluno

como protagonista no processo. Por outro lado, o aluno assume o papel ativo

deixando de ser passivo em sala de aula. Assim, o professor como facilitador

promove oportunidades de o aluno vivenciar a Matemática no contexto tecnológico.

Podem-se citar pesquisas que destacam o potencial das tecnologias práticas

auxiliares para o ensino e aprendizagem de Funções. Borba e Penteado (2012)

discutem a respeito do uso de Tecnologias no estudo de Funções, utilizando um

detector sônico de movimento (Calculator Based Ranger - CBR) que, conectado à

calculadora gráfica, mede a distância entre esse sensor e um alvo. Os dados são

emitidos à calculadora que, por sua vez, plota um gráfico cartesiano (distância por

tempo).

Por meio dessa experiência, tem-se o potencial da utilização da calculadora

gráfica no estudo de Funções. Por outro lado, os autores apontam pontos

negativos devido às calculadoras gráficas possuírem resolução inferior à de um

computador. A facilidade de transporte e o espaço físico ocupado estão a seu

favor.

Borba e Penteado (2012) descrevem a utilização do CBR numa experiência

com funções numa abordagem geométrica e, em seguida, em sua forma tabular e

algébrica. Percebeu-se a potencialidade desse recurso na construção do

42

conhecimento do aluno. A Tecnologia oportunizou o entendimento, por parte dos

alunos, do gráfico de uma função como “fragmentos”. Segundo os autores, esse

tipo de entendimento é de crucial importância para o ensino de funções e possibilita

ao aluno representá-la de forma tabular e algébrica.

Em um segundo momento, os autores destacam a geração de um ambiente

questionador em sala de aula. Uma experiência realizada no curso de Biologia

mostra que o uso de softwares e calculadoras gráficas como ferramentas

metodológicas gera discussões sobre os coeficientes da função quadrática, por

meio de manipulações, simulando um laboratório.

As novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras gráficas, permitem que o aluno experimente bastante, de modo semelhante ao que faz em aulas experimentais de Biologia ou de Física. (BORBA E PENTEADO, 2012, p. 37):

Em uma nova experiência, a exploração das relações entre os coeficientes

de uma função e seu gráfico, Borba e Penteado (2012) afirmam que as

conjecturas feitas pelos alunos nas atividades podem influenciar na melhoria da

aprendizagem. Dessa forma, a utilização de recursos tecnológicos no estudo de

funções possibilita o desencadeamento de questionamentos e situações a partir de

um problema.

Em relação ao Cálculo Diferencial e Integral, muitas contribuições das

tecnologias podem promover uma aprendizagem com compreensão já que, nessa

disciplina, as simulações e verificações de resultados auxiliariam na modelagem e

resolução de problemas.

2.3.3 Informática Educativa e o Ensino de Cálculo

Os alunos que ingressam na universidade nos cursos de exatas têm seu

primeiro encontro com a Matemática Superior na disciplina de Cálculo Diferencial e

Integral. O Cálculo pode ser considerado como

(...) um ramo da Matemática que tem como principal objetivo o estudo do movimento e da variação. (...), o Cálculo pretende cumprir dois objetivos principais: um deles é habituar o estudante a pensar de maneira organizada e com mobilidade; o outro, estabelecer condições para que o estudante aprenda a utilizar as ideias do Cálculo como regras e procedimentos na resolução de problemas em situações concretas. (LACHINI, 2001 p.147)

43

Pelo fato de os alunos apresentarem dificuldades nessa disciplina, a

comunidade acadêmica produz pesquisa no anseio de minimizar esse problema e,

consequentemente, combater o grande número de reprovações. Pesquisadores da

Educação Matemática investigam os fatores que determinam o fracasso

apresentado no processo de ensino e aprendizagem de Cálculo.

Um dos fatores apontados como causadores desse fracasso é a ação

tradicionalista dos docentes por meio de aulas exclusivamente expositivas. Para que

a informação se transforme em conhecimento, é necessário passar por um processo

de reestruturação que possibilite sua compreensão. Dessa forma, caminhos são

procurados a fim de promover a interação entre o sujeito e a informação, levando,

assim, a uma metodologia que conduza a essa reestruturação. A prática em sala de

aula com a informática indica novos pilares nos quais a nova postura docente possa

apoiar

Dentre esses caminhos, surge a proposta da utilização do computador e de

softwares gráficos como metodologia alternativa para a prática de ensino do Cálculo.

Como discutido anteriormente, tal ferramenta possibilita a visualização e o trabalho

com diversas representações (algébricas, gráficas e tabulares) além de proporcionar

ao aluno a simulação e a ação de investigar e experimentar.

Pesquisas mostram que o uso da tecnologia no ensino de Cálculo amplia as

possibilidades de trabalhar atividades por diferentes representações, tais como

tabela, gráficos, expressões algébricas de forma rápida e articulada.

Os softwares tais como o GeoGebra e o Winplot dentre outros, permitem a

visualização e a construção de gráficos de funções e cálculos de integrais definidas

com apoio visual sendo assim, eficientes para o ensino de funções, gráficos, limites,

derivadas, integrais, áreas e volumes.

Numa pesquisa realizada por Marin (2009), sobre o uso de tecnologias nas

aulas de Cálculo, o autor realizou entrevistas com treze professores, pretendendo

entender a utilização dessa ferramenta nas aulas de Cálculo.

A princípio, observou-se que o uso propicia a realização de tarefas que o lápis

e papel não permitiriam. Segundo Marin (2009), alguns conteúdos são mais

trabalhados com o uso de tecnologias, tais como os que envolvem gráficos e a

representação geométrica, ou seja, Funções, Coeficiente Angular, Reta Tangente,

Limites, Máximo e Mínimo de Funções, o início de Derivadas e Integrais.

44

Dessa forma, compreende-se o ganho dos docentes que exploram as

potencialidades das tecnologias para destacar um resultado ou convencer os alunos

a respeito de aspectos que seriam trabalhosos numa demonstração realizada de

forma tradicional.

2.4 Objetos de Aprendizagem

O conceito de material pedagógico tradicional, rígido e estático tem cedido

espaço para os materiais digitais e interativos. Essa nova tendência credencia o

objeto de aprendizagem com tais características a ser o modelo ideal de material

educacional na sociedade da informação em que vivemos.

O termo Objetos de Aprendizagem (OA) surgiu no início do século XXI e

passou a ser utilizado para se referir a recursos digitais. Atualmente, os objetos de

aprendizagem são considerados recursos importantes no processo de ensino e

aprendizagem por ter a potencialidade de simulação e animação. Destaca-se,

também, sua versatilidade, devido à possibilidade de sua utilização em diversos

ambientes de aprendizagem. Além disso, possui a capacidade de renovar as

práticas docentes por meio da interação com os objetos de estudo, permitindo que

professores e alunos explorem conceitos específicos em Matemática e em outras

áreas do conhecimento. Apesar de ser uma proposta recente, podem-se encontrar

várias pesquisas sobre esse tema, porém não há um consenso sobre sua definição.

Segundo Sá e Machado (2003, p.3), “uma definição para objetos de

aprendizagem pode ser recursos digitais, que podem ser usados, reutilizados e

combinados com outros objetos para formar um ambiente de aprendizado rico e

flexível”.

Já Gonzalez (2009) define Objetos de Aprendizagem “como recursos

envolvidos em atividades instrucionais, que carregam funções com objetivos de

ensino bem determinados, adaptáveis às necessidades, às habilidades, aos

interesses e ao estilo cognitivo de cada aprendiz.”

Para Wiley (2002), objetos de aprendizagem são elementos de um novo tipo

de instrução baseados em computadores. São fundamentados na programação

orientada a objeto (POO) no campo da ciência da computação e visa valorizar a

elaboração de pequenos componentes instrucionais que podem ser reutilizados em

vários contextos educacionais.

45

Para Tavares (2007, p. 124), um OA é um “recurso (ou ferramenta cognitiva)

auto consistente do processo ensino e aprendizagem, isto é, não depende de outros

objetos para fazer sentido.”. Essa definição dá um grau de generalidade no conceito

de O.A., pois, segundo ela, pode-se considerar um O.A., revistas, livros,

computadores dentre outros. Wiley (2009), restringe essa definição ao afirmar que

um OA é qualquer recurso digital a ser reutilizado para dar suporte ao ensino.

Outros autores concordam que objetos de aprendizagem devam ser

executados no computador ou acessados pela Internet, ser pequenos e objetivos, de

forma que possam ser aplicados, discutidos e concluídos no tempo de uma ou duas

aulas e ter um objetivo único de aprendizagem para propiciar ao aluno a

oportunidade de alcançá-lo. A interação é outra característica importante dos objetos

de aprendizagem. Os alunos devem estar em ampla comunicação com o sistema.

Essa interação pode ocorrer por meio de resolução de problemas, análises gráficas

e simulações.

Portanto, alguns dos conceitos apresentados submetem os OA’s ao uso das

tecnologias, sendo identificados por Sá e Machado (2003) como “recursos on-line ou

objetos de aprendizagem que podem ser criados em qualquer mídia ou formato:

applet java; animação flash; vídeo ou áudio clip; foto; apresentação PowerPoint;

website.”. Essa afirmação vem confirmar que um OA pode ser de fácil acesso, como

vídeo, música, ser visualizado a partir de apresentação do PowerPoint, ou envolver

programas mais elaborados, como o java ou flash, que exigem um entendimento das

linguagens de programação.

Os OA’s, ao serem utilizados, auxiliam os professores e alunos para o uso da

tecnologia (restringindo-se aos aspectos técnicos de manipulação, sem interferir na

complexidade do conteúdo), de criar situações desafiadoras para os alunos e

permitir reflexões sobre conceitos fundamentais em matemática. Assim, o professor

fará o papel de mediador, não correndo o risco de ser anulado dentro desse

processo.

Quando se decide utilizar um objeto de aprendizagem em sala de aula, o

professor o incorpora ao planejamento da aula, conhecendo a fundo o objeto

utilizado a fim de promover bom acompanhamento de seus alunos e prever

situações e perguntas que possam surgir. É, também, essencial a presença do

professor da disciplina abordada pelo OA, pois outro professor ou estagiário do

46

laboratório de informática nem sempre tem a formação adequada para orientar os

alunos quanto ao conteúdo abordado.

Diante as várias definições, este pesquisador, baseado em Wiley, considera

que um O.A. é um recurso digital e o define como uma sequência de atividades com

perfil pedagógico que visa levar à aprendizagem com suporte da informática.

Ressalta-se que a utilização de um OA não garante uma aprendizagem com

compreensão se o aluno não for levado à reflexão do conceito matemático abordado

e, além disso, busca apresentar vantagens em relação ao uso de materiais

manipulativos tradicionais, tais como lápis, papel e quadro-negro. Apesar do visual

interessante que um OA pode proporcionar isso não garante o aprendizado ou a

motivação dos alunos.

As escolhas desses recursos demandam critérios e análises para validar se o

objetivo serão o ensino e a aprendizagem ou somente diversão com visual coloridos

e estimulantes para os alunos. O poder contagiante do uso de tecnologias na

educação influencia professores e alunos, contudo sua utilização requer estratégias

convenientes, visando sempre atingir um objetivo pedagógico e não apenas

transformar o computador em um aparelho de entretenimento.

47

3 ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS PARA ELABORAÇÃO DA SEQUÊNCIA

DE ATIVIDADES.

Na intenção de seguir um caminho de aprendizado por meio da construção de

conceitos, o Objeto de Aprendizagem criado possui uma sequência de atividades

que proporciona aos estudantes a oportunidade de adquirir as habilidades e as

competências necessárias para sua formação. Para definir a metodologia a ser

utilizada para esse fim, realizou-se uma análise acerca das abordagens

apresentadas sobre o estudo de comportamento de funções por meio das derivadas

nos livros de Cálculo frequentemente adotados. Esta análise fundamentou a

proposta metodológica das atividades elaboradas e contribuiu para sua

caracterização.

Pelo fato do livro didático, no processo de ensino e aprendizagem em

Matemática, abrir perspectivas para aplicações dentro da própria Matemática assim

como em outras áreas de conhecimento, a seleção destes precisa ser precedida de

uma análise que justifique sua escolha.

Tendo em vista o objetivo geral e os objetivos específicos desta Pesquisa, a

análise realizada em livros didáticos referentes à disciplina de Cálculo Diferencial e

Integral objetivou primeiramente conhecer a forma como o tema “estudo do

comportamento de funções por meio de suas derivadas” é apresentado pelos

autores e, em um segundo momento, verificar quais desses livros possuem uma

abordagem que vai ao encontro da proposta desta Pesquisa. Os livros selecionados

para a análise estão discriminados no Quadro 1.

Quadro 1 – Livros didáticos avaliados

Código Título Autores Editora Edição Ano

L1 Cálculo (v.1)

Howard Anton

Irl Bivens

Stephen Davis

Bookman

8ª 2007

L2 Cálculo (v.1)

George Thomas Ross

L. Finney Maurice D.

Weir Frank R.

Giordano

Addison

Wesley 11ª 2009

L3 Cálculo (v.1) James Stewart Cengage

Learning 7ª 2013

Fonte: Elaborada pelo autor

48

Os livros selecionados estão presentes no Plano de Ensino5 da disciplina de

Cálculo na qual os sujeitos desta pesquisa estão matriculados. Para cada um dos

livros citados, foi analisado o tratamento dado para os seguintes temas:

Quadro 2 – Temas analisados

Código Temas

T1 Definição de Derivada de uma função

T2 Análise do crescimento e decrescimento da função por meio da derivada

T3 Análise dos pontos críticos da função em um intervalo por meio da derivada

T4 Análise da concavidade da curva por meio da derivada

Fonte: Elaborada pelo autor

Para cada um dos tópicos acima, foi analisada a abordagem dada conforme

Quadro 3.

Quadro 3 – Abordagens analisadas (por tema)

Código Abordagem

A1 Existência de motivação para o estudo do tópico

A2 Apresentação de pré-requisitos antes de abordar o tópico

A3 O autor apresenta os tópicos de forma algébrica

A4 O autor apresenta os tópicos de forma geométrica

A5 Há número de exemplos satisfatório

A6 Os exercícios são graduados em níveis de dificuldade

A7 Há exercícios que contemplam aplicações em diversas áreas

A8 Há exercícios que estimulam a utilização da tecnologia

Fonte: Elaborada pelo autor

A Quadro 4 abaixo foi preenchida de acordo com as análises realizadas nos

livros-texto citados no Quadro 1 à luz dos tópicos e abordagens definidos nos

Quadros 2 e 3, respectivamente.

5 Disponível em anexo.

49

Quadro 4 – Avaliação dos livros segundo a abordagem de cada tema

Fonte: Elaborada pelo autor

Ao analisar o resultado apresentado no Quadro 4, algumas características se

evidenciaram e estão descritas a seguir:

de forma geral, os livros utilizam mais a representação algébrica do

que a representação geométrica;

os livros estão utilizando uma abordagem temática mais próxima das

novas tendências apontadas pelas pesquisas sobre metodologias

diferenciadas para o ensino de Cálculo;

os livros analisados estimulam a utilização da tecnologia na resolução

de seus exercícios. Esta constatação confirma a atual adequação dos

livros ao apelo de mudanças no ensino de Cálculo;

apesar de os exercícios de alguns livros serem ricos em aplicações,

estes não enfatizam as necessidades do estudo de cada tema.

De acordo com os dados do Quadro 4, as características de cada livro

analisado ficam bem identificadas. Salienta-se que esta avaliação usou como critério

o potencial que cada um deles possui, do ponto de vista metodológico, de contribuir

com a prática educativa elaborada nesta Pesquisa.

50

Conforme os critérios adotados, os livros L2 e L3 utilizam uma abordagem

mais interativa, estimulando de forma satisfatória o uso da tecnologia na resolução

de exercícios. A formatação dos exercícios propostos possui a graduação de

dificuldade crescente e utiliza a representação geométrica como apoio. O livro L1,

apesar de pouco incentivar a utilização da tecnologia em sua abordagem, utiliza a

representação geométrica de forma interessante.

Portanto, a sequência didática de atividades elaboradas nesta pesquisa, por

utilizar a informática como ferramenta para proporcionar a interação entre estudante

e a representação geométrica das funções, terá como referência os livros didáticos

de Howard Anton (L1), George Thomas (L2) e de James Stewart (L3).

Essas atividades buscam possibilitar ao estudante o desenvolvimento do

pensamento crítico acerca do estudo do comportamento de funções, utilizando

applets construídos a partir do GeoGebra, um software livre de geometria dinâmica.

Applets são pequenos aplicativos, como um programa utilitário ou uma planilha

eletrônica com funções limitadas. O conceito ficou mais difundido com o surgimento

da Internet através dos Applets Java que permitem executar programas

implementados através da linguagem Java, remotamente, nos navegadores da

Internet.

O planejamento das atividades foi fundamentado no referencial teórico

pesquisado, destacando as possíveis interações que poderiam ser estabelecidas

entre sujeitos, pesquisador e foco de estudo. As estratégias de solução para cada

atividade foram analisadas de forma a verificar a viabilidade de sucesso na

execução das atividades, bem como, verificar as contribuições que essas trariam

aos sujeitos da pesquisa e que conjecturas poderiam ser levantadas e,

posteriormente, validadas.

51

4 ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

As sequências didáticas possibilitam ao estudante a construção do

conhecimento efetivo enquanto realiza indagações, refutações e comparações,

integrando observações e descobertas.

Assim, as sequências de atividades propostas buscam articular teoria e

prática, propiciando a construção de significados, por meio de atividades de

exploração e visualização, baseadas em gráficos dinâmicos. O desenvolvimento das

atividades demanda a utilização de um software educativo por meio do qual serão

realizadas observações e de um Caderno de Atividades.

Apresenta-se neste capítulo a sequência didática referente ao estudo do

comportamento de funções por meio de derivadas. Para a elaboração dessa

sequência didática, foram levados em consideração os resultados das análises de

livros didáticos utilizados na disciplina de Cálculo.

Por meio dessa referência, pensou-se em atividades que estimulassem a

interação entre o sujeito e o objeto, de forma a propiciar a construção do

conhecimento e culminassem numa aprendizagem com compreensão.

A sequência didática planejada para esta Pesquisa é composta de atividades

encadeadas com o objetivo de proporcionar ao aluno, ao analisar a derivada, a

possibilidade de dominar todo o estudo do comportamento de uma função.

Serão descritas a seguir as atividades elaboradas acerca do tema proposto e

terão como apoio o Objeto de Aprendizagem baseados em applets construídos a

partir do software livre de geometria dinâmica, o GeoGebra. Este O.A. procurou

abranger elementos que favorecessem a construção e posterior aquisição de

conceitos. Sua organização permitiu que cada sujeito envolvido pudesse

compreender a relação entre o comportamento da função e sua derivada.

Tais atividades serão constituídas das seguintes sequências de atividades:

Sequência 1: Definindo o crescimento e o decrescimento de uma função em

um intervalo.

Sequência 2: A relação entre o crescimento e o decrescimento de uma

função e sua derivada.

Sequência 3: Testando conhecimentos adquiridos nas atividades 1 e 2.

52

Sequência 4: Análise dos pontos máximos e mínimos da função.

Sequência 5: Análise dos pontos de inflexão.

Sequência 6: Análise da concavidade da curva.

Sequência 7: Testando conhecimentos adquiridos nas atividades 4 a 6.

Sequência 8: Testando conhecimentos: Testes finais.

As atividades elaboradas visam ao estimulo à investigação e, em conjunto

com o software GeoGebra, busca-se explorar o pensamento visual. A opção em

utilizar o software GeoGebra como apoio nessas atividades teve intenção de dar

dinamismo ao objeto de estudo. A facilidade de sua aquisição e sua interface

amigável facilitam-lhe a manipulação. Com a viabilização de seus applets, a ação do

estudante fica ainda mais simples pelo fato de o aluno não ter necessidade de

dominar todos os comandos do GeoGebra.

A seguir, serão discriminados conteúdos, objetivos e metodologia utilizada na

elaboração das sequências. No Apêndice, estarão descritas essas sequências na

íntegra.

4.1. Primeira Sequência: Atividades 1 e 2

Título: Definindo o crescimento e o decrescimento de uma função em um

intervalo.

Conteúdo: Conceituação de função crescente e decrescente em um

intervalo.

Objetivos:

o Estimular o aluno a investigar, em gráficos de funções (manipulando

comandos nos applets), o comportamento da imagem da função

enquanto se variam os valores de “x” em seu domínio.

o Promover discussões e conjecturas acerca da ideia de funções

crescentes e decrescentes em um intervalo.

o Promover a compreensão do conceito de função crescente e

decrescente.

53

o Propor ao aluno a formulação de um conceito para função crescente e

decrescente em um intervalo.

Procedimentos:

Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção, a

primeira sequência para ter acesso às atividades 1 e 2.

Figura 7 – Visão parcial do menu – Sequência 1

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

As atividades 1 e 2 estão divididas em duas fases:

i. Exploração (dos gráficos, utilizando o software CompFunção);

ii. Registro (das observações, utilizando o Caderno de Atividades).

Atividade 1

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 1, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 1”.

Figura 8 – Gráfico da Atividade 1

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

54

Com o gráfico da atividade 1 disponível, o aluno é levado a:

a) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]-2,-1[, ]2,3[;

b) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto

varia seu valor dentro dos intervalos;

c) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto

(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesses

intervalos;

d) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]-1,2[;

e) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto

varia seu valor dentro do intervalo;

f) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto

(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesse

intervalo.

Registro

Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas

realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,

conforme a figura 9.

Figura 9 – Questões da Atividade 1

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

,

.

.

.

,

,

55

Atividade 2

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 2, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 2”.

Figura 10 – Gráfico da Atividade 2

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Com o gráfico da atividade 2 disponível, o aluno é levado a:

a) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]-1.5,3[;

b) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto

varia seu valor dentro dos intervalos;

c) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto

(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesses

intervalos;

d) movimentar o ponto da função pelos intervalos ]3,3.5[;

e) observar a variação do valor da função enquanto a abscissa do ponto

varia seu valor dentro do intervalo;

f) fazer conjecturas acerca do comportamento da ordenada do ponto

(imagem da função) enquanto o valor da abscissa é crescente nesse

intervalo.

56

Registro

Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas

realizadas, o aluno responderá as questões contidas no Caderno de Atividades,

conforme a figura 11.

Figura 11 – Questões da Atividade 2

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

Conclusão da Sequência 1

Nesta fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as

observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, uma

função crescente e decrescente em um intervalo, conforme figura 12.

Figura 12 – Conclusão da Sequência 1 (Atividades 1 e 2)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

,

,

.

.

57

4.2. Segunda Sequência: Atividades 3 e 4

Título: A relação entre o crescimento e o decrescimento de uma função e sua

derivada.

Conteúdo: Variação do sinal da derivada conforme crescimento e

decrescimento de uma função. Analisar o crescimento e o decrescimento de

uma função por meio do sinal da derivada.

Objetivos:

o Estimular o aluno a investigar, em gráficos de funções, o sinal da

derivada de uma função enquanto o comportamento dessa função é

crescente e decrescente.

o Promover discussões e a criação de conjecturas acerca da relação

existente entre o sinal da derivada de uma função e o comportamento

crescente e decrescente dessa função.

o Promover a compreensão acerca da influência da derivada de uma

função em seu comportamento crescente e decrescente.

o Proporcionar ao aluno a visualização da derivada como taxa de

variação e declividade da reta tangente.

Procedimento:

Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a

primeira sequência de atividades para ter acesso às atividades 3 e 4.

Figura 13 – Visão Parcial do MENU – Sequência 2

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

58

As atividades 3 e 4 estão divididas em duas fases:

i. Exploração (utilizando o software CompFunção);

ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).

Atividade 3

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 3, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 3”.

Figura 14 – Gráfico da Atividade 3

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Esse gráfico apresenta alguns recursos que irão auxiliar os alunos em suas

observações. Tais recursos poderão ser utilizados a qualquer momento. São eles:

i. Exibir abscissa do ponto;

ii. Exibir ordenada do ponto;

iii. Exibir gráfico da derivada;

iv. Exibir valor da derivada;

v. Exibir reta tangente;

vi. Exibir declividade da reta tangente.

Figura 15 – Gráfico da Atividade 3 (com recursos ativos)

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

59

Essa atividade foi subdividida em três observações:

1ª Observação

Exploração

Com o gráfico da atividade 3 disponível, o aluno é levado a realizar a primeira

observação. Assim ele procederá da seguinte forma:

a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]-2,-1[;

b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a

abscissa do ponto varia nesse intervalo;

c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento, comparando-o

com o valor da derivada;

d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da

derivada e com o coeficiente angular dessa reta;

e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da

curva e o sinal positivo da derivada.

Registro

Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas

realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,

conforme a figura 16.

Figura 16 – Questões da 1a observação (Atividade 3)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

60

2ª Observação

Exploração

Neste momento, o aluno é levado a realizar a segunda observação,

procedendo da seguinte forma:

a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]2,3[;

b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a

abscissa do ponto varia nesse intervalo;

c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento, comparando-o

com o valor da derivada;.

d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da

derivada e com o coeficiente angular dessa reta;

e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da

curva e o sinal positivo da derivada.

Registro

Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas

realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,

conforme a figura 17.

Figura 17 – Questões da 2ª observação (Atividade 3)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

61

3ª Observação

Exploração

Nesse momento, o aluno é levado a realizar a terceira observação,

procedendo da seguinte forma:

a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]-1,2[;

b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a

abscissa do ponto varia nesse intervalo;

c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento comparando-o

com o valor da derivada;

d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da

derivada e com o coeficiente angular dessa reta;

e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da

curva e o sinal positivo da derivada.

Registro

Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas

realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,

conforme a figura 18.

Figura 18 – Questões da 3ª observação (Atividade 3)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

62

Questões Extras

Questões extras têm o intuito de validar as conjecturas registradas nas

questões anteriores, conforme figura 19.

Figura 19 – Questões extras da 3ª observação (Atividade 3)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

Atividade 4

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 4, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 4”.

Figura 20 – Gráfico da Atividade 4

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Esse gráfico apresenta alguns recursos que irão auxiliar os alunos em suas

observações. Tais recursos poderão ser utilizados a qualquer momento. São eles:

63

i. Exibir abscissa do ponto;

ii. Exibir ordenada do ponto;

iii. Exibir gráfico da derivada;

iv. Exibir valor da derivada;

v. Exibir reta tangente;

vi. Exibir declividade da reta tangente.

Figura 21 – Gráfico da Atividade 4 (com recursos ativos)

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Essa atividade foi subdividida em duas observações.

1ª Observação

Exploração

Com o gráfico da atividade 4 disponível, o aluno é levado a realizar a primeira

observação. Assim ele procederá da seguinte forma:

a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]-1.5,3[;

b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a

abscissa do ponto varia nesse intervalo.;

c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento comparando-o

com o valor da derivada;

d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da

derivada e com o coeficiente angular dessa reta;

e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da

curva e o sinal positivo da derivada.

64

Registro

Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas

realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,

conforme a figura 22.

Figura 22 – Questões da 1ª observação (Atividade 4)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

2ª Observação

Exploração

Nesse momento, o aluno é levado a realizar a segunda observação,

procedendo da seguinte forma:

a) movimentar o ponto da função pelo intervalo ]3,3.5[;

b) acionar o valor da derivada para observar seu valor enquanto a

abscissa do ponto varia nesse intervalo;

c) acionar a reta tangente e observar seu comportamento, comparando-o

com o valor da derivada;

d) acionar a declividade da reta tangente e compará-la com o valor da

derivada e com o coeficiente angular dessa reta;

e) fazer conjecturas acerca da relação entre comportamento crescente da

curva e o sinal positivo da derivada.

65

Registro

Após a finalização das observações, com a intenção de validar as conjecturas

realizadas, o aluno responderá às questões contidas no Caderno de Atividades,

conforme a figura 23.

Figura 23 – Questões da 2ª observação (Atividade 4)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

Questões Extras

Questões extras têm o intuito de validar as conjecturas registradas nas

questões anteriores, conforme figura 24.

Figura 24 – Questões extras da 2ª observação (Atividade 4)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

66

Conclusão da Sequência 2

Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as

observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, como a

derivada pode nos auxiliar na determinação de uma função crescente e decrescente

em um intervalo, conforme figura 25.

Figura 25 – Conclusão da Sequência 2 (Atividades 3 e 4)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

4.3. Terceira Sequência: Testes 1 a 4

Título: Testando conhecimentos adquiridos nas sequências 1 e 2

(Atividades 1 a 4).

Conteúdo: Conceituação de função crescente e decrescente em um

intervalo; Variação do sinal da derivada conforme crescimento e

decrescimento de uma função.

Objetivos:

o Promover ao aluno a oportunidade de avaliar se suas

conjecturas e conclusões, acerca das sequências 1 e 2, estão

corretas;

o Por meio de análise do comportamento da função, identificar o

gráfico de sua derivada.

67

Procedimento:

Primeiramente, o aluno selecionará, no MENU do CompFunção, a

terceira sequência para ter acesso aos teste 1 a 4.

Figura 26 – Visão parcial do menu – Sequência 3

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

Teste 1

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 1, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 1 (Gráfico)”.

Figura 27 – Gráfico do teste 1

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Uma vez disponibilizado o gráfico do teste 1, o aluno é levado a movimentar o

ponto da função f(x) para observar seu comportamento.

68

O próximo passo é selecionar uma das funções (g(x), h(x). i(x)) e observar se

alguma delas tem características para ser a derivada de f(x).

Após descobrir qual das funções é a derivada de f(x), faz-se necessário

marcar a alternativa correspondente para verificar se a observação realizada está

correta.

Teste 2

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 2, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 2 (Gráfico)”.

Figura 28 – Gráfico do teste 2

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Uma vez disponibilizado o gráfico do teste 2, o aluno é levado a movimentar o

ponto da função g(x) para observar seu comportamento.

O próximo passo é selecionar uma das funções (f(x), h(x). i(x)) e observar se

alguma delas tem características para ser a derivada de g(x).

Após descobrir qual das funções é a derivada de g(x), faz-se necessário

marcar a alternativa correspondente para verificar se a observação realizada está

correta.

Teste 3

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 3, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 3 (Gráfico)”.

69

Figura 29 – Gráfico do teste 3

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Uma vez disponibilizado o gráfico do teste 3, o aluno é levado a movimentar o

ponto da função h(x) para observar seu comportamento.

O próximo passo é selecionar uma das funções (f(x), g(x). i(x)) e observar se

alguma delas tem características para ser a derivada de h(x).

Após descobrir qual das funções é a derivada de h(x), faz-se necessário

marcar a alternativa correspondente para verificar se a observação realizada está

correta.

Teste 4

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 4, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 4 (Gráfico)”.

Figura 30 – Gráfico do teste 4

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

70

Esse teste traz uma aplicação da derivada na Física. Têm-se os gráficos das

funções posição, velocidade e aceleração. Por meio dos controles disponibilizados,

faz-se necessário movimentar os gráficos para que seja possível observar seus

comportamentos.

Uma vez feitas as observações, os alunos são levados a descobrir qual das

funções é a função primitiva e quais são as derivadas de primeira e segunda ordens.

O próximo passo é selecionar as alternativas que correspondem às

descobertas realizadas.

4.4. Quarta Sequência: Atividades 5 e 6

Título: Análise dos pontos máximos e mínimo da função.

Conteúdo: Localização dos pontos de máximos e mínimos no gráfico,

por meio de derivadas.

Objetivos:

o Estimular o aluno a investigar em gráficos de funções a relação

entre derivada de uma função e os pontos críticos (de máximo e

mínimo);

o Promover discussões e criação de conjecturas acerca da

localização dos pontos de máximos e mínimos por meio de

derivadas da função;

o Promover a compreensão acerca da influência da derivada na

localização dos pontos críticos de máximo e mínimo.

Procedimento:

Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a

primeira sequência de atividades, para ter acesso às atividades 5 e 6.

71

Figura 31 – Visão parcial do menu – Sequência 4

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

As atividades 5 e 6 estão divididas em duas fases:

i. Exploração (utilizando o software CompFunção);

ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).

Atividade 5

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 5, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 5”.

Figura 32 – Gráfico da Atividade 5

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Com o gráfico da atividade 5 disponível, o aluno é levado a:

72

a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento de

pontos críticos no gráfico;

b) estimar as coordenadas desses pontos críticos já que as limitações

gráficas do GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;

c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada

nas proximidades dos pontos críticos;

d) classificar, segundo os comportamentos da função e da derivada, se o

ponto crítico é ponto de máximo ou de mínimo.

Atividade 6

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 6, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 6”.

Figura 33 – Gráfico da Atividade 6

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Com o gráfico da atividade 6 disponível, o aluno é levado a:

a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento de

pontos críticos no gráfico;

b) estimar as coordenadas desses pontos críticos já que as limitações

gráficas do GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;

c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada

nas proximidades dos pontos críticos;

73

d) classificar, segundo os comportamentos da função e da derivada, se o

ponto crítico é ponto de máximo ou de mínimo.

Registro

Conclusão as Sequência 4

Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as

observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, quando

um ponto crítico é um ponto máximo ou um ponto mínimo, conforme figura 32.

Figura 34 – Conclusão da Sequência 4 (Atividades 5 e 6)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

4.5. Quinta Sequência: Atividades 7 e 8

Título: Análise do ponto de Inflexão.

Conteúdo: Localização dos pontos de inflexão por meio de derivadas.

Objetivos:

o Estimular o aluno a investigar, em gráficos de funções

(manipulando comandos nos applets), a relação entre derivada

de uma função e os pontos de inflexão;

o Promover discussões e a criação de conjecturas acerca da

localização dos pontos de inflexão, por meio de derivadas da

função;

74

o Promover a compreensão acerca da influência da derivada na

localização dos pontos críticos de inflexão.

Procedimento:

Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a

primeira sequência de atividades para ter acesso às atividades 7 e 8.

Figura 35 – Visão parcial do menu – Sequência 5

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

Aa atividades 7 e 8 estão dividida em duas fases:

i. Exploração (utilizando o software CompFunção);

ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).

Atividade 7

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 7, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 7”.

Figura 36 – Gráfico da Atividade 7

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

75

Com o gráfico da atividade 7 disponível, o aluno é levado a:

a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento do

ponto de inflexão;

b) estimar as coordenadas desse ponto já que as limitações gráficas do

GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;

c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada

nas proximidades do ponto de inflexão;

d) discutir, segundo os comportamentos da função e da derivada, como a

derivada pode auxiliar na localização do ponto de inflexão.

Atividade 8

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 8, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 8”.

Figura 37 – Gráfico da Atividade 8

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Com o gráfico da atividade 8 disponível, o aluno é levado a:

a) movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento

dos pontos de inflexão;

b) estimar as coordenadas desses pontos já que as limitações gráficas do

GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas;

76

c) fazer conjecturas acerca do comportamento da função e da derivada

nas proximidades dos pontos de inflexão;

d) discutir, segundo os comportamentos da função e da derivada, como a

derivada pode auxiliar na localização dos pontos de inflexão.

Registro

Conclusão da Sequência 5

Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as

observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, quando

um ponto crítico é um ponto máximo ou um ponto mínimo, conforme figura 38.

Figura 38 – Conclusão da Sequência 5 (Atividades 7 e 8)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

4.6. Sexta Sequência: Atividades 9 e 10

Título: Análise da Concavidade da Curva.

Conteúdo: Identificação do sentido da concavidade da curva de uma

função por meio de derivadas.

Objetivos:

o Estimular o aluno a investigar em gráficos de funções

(manipulando comandos nos applets), a relação entre derivada

e o sentido da concavidade da curva de uma função;

77

o Promover discussões e a criação de conjecturas acerca da

concavidade de uma curva, por meio de derivadas da função;

o Promover a compreensão acerca da influência da derivada na

determinação do sentido da concavidade de uma curva, por

meio da derivada de uma função.

Procedimento:

Primeiramente, o aluno selecionará no MENU do CompFunção a

primeira sequência de atividades para ter acesso às atividades 9 e 10.

Figura 39 – Visão parcial do menu – Sequência 6

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

Aa atividades 9 e 10 estão dividida em duas fases:

i. Exploração (utilizando o software CompFunção);

ii. Registro (utilizando o Caderno de Atividades).

Atividade 9

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 9, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 9”.

78

Figura 40 – Gráfico da Atividade 9

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Com o gráfico da atividade 9 disponível, o aluno é levado a:

a) movimentar o ponto da função próximo ao ponto de inflexão e

observar os comportamentos da primeira e da segunda derivada;

b) analisar a variação da segunda derivada em função do comportamento

da primeira derivada antes e depois do ponto de inflexão;

c) fazer conjecturas acerca da utilização da segunda derivada para

determinar se a curva é côncava para cima ou para baixo.

Atividade 10

Exploração

Para disponibilizar o gráfico referente à atividade 10, faz-se necessário

selecionar e clicar em “Gráfico da Atividade 10”.

Figura 41 – Gráfico da Atividade 10

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Com o gráfico da atividade 10 disponível, o aluno é levado a:

79

a) movimentar o ponto da função próximo ao ponto de inflexão e

observar os comportamentos da primeira e da segunda derivada;

b) analisar a variação da segunda derivada em função do comportamento

da primeira derivada antes e depois do ponto de inflexão;

c) fazer conjecturas acerca da utilização da segunda derivada para

determinar se a curva é côncava para cima ou para baixo.

Registro

Conclusão da Sequência 6

Nessa fase, o aluno é levado a registrar suas conclusões sobre as

observações realizadas, assim como conceituar, segundo sua percepção, quando

um ponto crítico é um ponto máximo ou um ponto mínimo, conforme figura 42.

Figura 42 – Conclusão da Sequência 6 (Atividades 9 e 10)

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

4.7. Sétima Sequência: Testes 5 e 6

Título: Testando conhecimentos adquiridos nas sequências 4 a 6.

Conteúdo: Localização dos pontos de máximos e mínimos no gráfico,

por meio de derivadas; Localização dos pontos de inflexão por meio de

derivadas; Identificação do sentido da concavidade da curva de uma

função, por meio de derivadas.

80

Objetivos:

o Promover ao aluno a oportunidade de avaliar se suas

conjecturas e conclusões, acerca das sequências 4 a 6, estão

corretas.

o Por meio de análise do comportamento da função, identificar os

pontos críticos (máximo, mínimo e inflexão) e determinar as

concavidades da curva.

Procedimento:

Primeiramente, o aluno selecionará, no MENU do CompFunção, a

terceira sequência para ter acesso aos teste 5 e 6.

Figura 43 – Visão parcial do menu – Sequência 7

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

Teste 5

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 5, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 5 (Gráfico)”.

Figura 44 – Gráfico do teste 5

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

81

Nesse gráfico, podem-se ver dois pontos (A e B) pertencentes a uma função

f(x). Para movimentá-los, faz-se necessário exibir os gráficos da primeira e da

segunda derivada e, ao movimentar seus pontos, os pontos A e B se movimentarão

simultaneamente.

Movimentando os pontos, o aluno é levado a direcionar suas observações em

busca de respostas para as questões apresentadas na figura 45.

Figura 45 – Questões do teste 5

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

Teste 6

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 6, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 6 (Gráfico)”.

Figura 46 – Gráfico do teste 6

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

82

Nesse gráfico, podem-se ver dois pontos (A e B) pertencentes às derivadas

de primeira e segunda ordem de uma função f(x). Faz-se necessário movimentar o

ponto da função para que os pontos A e B se movimentem e descobrir a qual

derivada cada ponto pertence.

Movimentando os pontos, o aluno é levado a direcionar suas observações em

busca de respostas para as questões apresentadas na figura 47.

Figura 47 – Questões do teste 6

Fonte: Elaborado pelo autor (Caderno de Atividades)

4.8. Oitava Sequência: Testes 7 a 9

Título: Testando conhecimentos: Testes finais.

Conteúdo: Função crescente e decrescente, pontos críticos (máximo,

mínimo e inflexão) e concavidade da curva. Análise da derivada de

uma função. Aplicações.

Objetivos:

o Promover ao aluno a oportunidade de aplicar suas conjecturas e

conclusões nas atividades deste objeto de aprendizagem;

o Por meio de análise da derivada de uma função, identificar o

comportamento crescente e decrescente da função, localizar

pontos críticos e determinar a concavidade de uma curva.

83

Procedimento:

Primeiramente, o aluno selecionará, no MENU do CompFunção, a

terceira sequência para ter acesso aos teste 7 a 10.

Figura 48 – Visão parcial do menu – Sequência 8

Fonte: Elaborado pelo autor (Software CompFunção)

Nos testes 7 a 9, existem quatro funções ocultas no plano cartesiano as quais

podem ser visualizadas a qualquer momento. Para isso, basta que o aluno selecione

uma das quatro opções disponíveis: Função 1,Função 2, Função 3 ou Função 4.

Uma dessas funções é a função f(x), cujas derivadas estão plotadas no plano

cartesiano. Nesse teste, os alunos são levados a visualizar cada um dos gráficos e,

ao analisá-los, devem indicar se o gráfico é ou não de f(x).

Teste 7

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 7, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 7 (Gráfico)”.

Figura 49 – Gráfico do teste 7

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

84

Teste 8

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 8, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 8 (Gráfico)”.

Figura 50 – Gráfico do teste 8

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

Teste 9

Para disponibilizar o gráfico referente ao teste 9, faz-se necessário selecionar

e clicar em “Teste 9 (Gráfico)”.

Figura 51 – Gráfico do Teste 9

Fonte: Elaborado pelo autor (Software GeoGebra)

85

5 APLICAÇÃO DAS SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES, UTILIZANDO O OBJETO

DE APRENDIZAGEM EM AMBIENTE INFORMATIZADO, E ANÁLISE DOS

RESULTADOS

Nesta Pesquisa, o monitoramento da aplicação das atividades, foi realizada

por meio de vários instrumentos, como questionários, registro das atividades

desenvolvidas e resolvidas pelos alunos com o auxílio da informática e observação

direta pelo pesquisador. Dessa forma, o trabalho realizado proporcionou uma coleta

de dados detalhados, contribuindo, assim, com o aprofundamento das análises e

com conclusões mais confiáveis.

5.1 Aplicação das sequências de atividades

As sequências de atividades foram aplicadas durante o mês de fevereiro de

2014. Foram realizados três encontros de duas horas-aulas cada um, totalizando

seis horas-aulas, e divididos da seguinte forma:

1o encontro (11 de fevereiro)

o aplicação da sequência 1 (atividades 1 e 2).

o aplicação da sequência 2 (atividades 3 e 4).

o aplicação da sequência 3 (testes 1 a 4).

2o encontro (14 de fevereiro)

o aplicação da sequência 4 (atividades 5 e 6).

o aplicação da sequência 5 (atividades 7 e 8).

o aplicação da sequência 6 (atividades 9 e 10).

3o encontro (18 de fevereiro)

o aplicação da sequência 7 (testes 5 e 6).

o aplicação da sequência 8 (testes 7 a 10).

Deve-se ressaltar que o Objeto de Aprendizagem e o Caderno de Atividades

foram apresentados em uma aula reservada para esse fim. Tal apresentação

ocorreu em sala de aula habitual, onde o professor utilizou o notebook e um projetor

86

para mostrar como se utilizava o software e como o Caderno de Atividades deveria

ser utilizado.

As atividades foram aplicadas em uma turma de 34 (trinta e quatro) alunos do

segundo período do curso de Engenharia Civil de uma Faculdade no interior de

Minas Gerais. Porém, não foi possível obter a totalidade dos alunos em todos os

encontros e, por esse motivo, foram levados em consideração apenas os resultados

dos alunos com 100% (cem por cento) de frequência, ou seja, 28 (vinte e oito)

alunos.

Para a realização da Pesquisa, os alunos foram deslocados para um dos

laboratórios de informática da Faculdade e distribuídos em duplas, com o intuito de

promover discussões. Cada dupla utilizou um computador com o Objeto de

Aprendizagem à disposição, conforme Figura 52.

Figura 52 – Laboratório de informática da Faculdade

Fonte: Arquivo do autor

Salienta-se que o Objeto de Aprendizagem utilizado nos três encontros,

sofreu aprimoramentos em sua interface com o intuito de tornar seu design mais

atraente e melhorar sua funcionalidade, porém o conteúdo manteve-se inalterado.

A Figura 53 apresenta o MENU da primeira versão do Objeto de

Aprendizagem. Essa versão foi criada com o Power Point e Applets do GeoGebra.

87

Figura 53 – MENU do Objeto de Aprendizagem (1ª versão)

Fonte: Elaborado pelo autor

A Figura 54 apresenta a tela principal da versão atual do Objeto de

Aprendizagem. Essa versão foi construída em linguagem html e Applets do

GeoGebra.

Figura 54 – Tela principal do Objeto de Aprendizagem (Versão atual)

Fonte: Elaborado pelo autor

A Figura 55 mostra a exibição de gráficos no Objeto de Aprendizagem antigo

(à esquerda) e no atual (à direita).

88

Figura 55 – Visualização de gráficos na 1a versão e na versão atual

Fonte: Elaborado pelo autor

Na primeira versão, os gráficos e as atividades eram vistas de forma

separada, o que dificultava a execução das tarefas. Já na versão atual, o aluno

consegue visualizar os gráficos e as atividades simultaneamente, conforme Figura

56.

Figura 56 – Visão simultanea da Atividade 1 e seu gráfico

Fonte: Elaborado pelo autor

Após todos estarem acomodados em seus lugares, os estudantes iniciaram a

execução das atividades. A seguir, ilustramos na Figura 57 alguns momentos de

89

execução e discussão das atividades. Tem-se a discussão entre dois alunos de uma

mesma dupla durante suas observações e a troca de informações entre alunos de

duplas distintas.

Figura 57 – Realização das atividades pelos alunos

Fonte: Elaborado pelo autor

Fonte: Arquivo do autor

Acompanhamos todo o processo da realização das atividades com dois

objetivos. O primeiro de mediador do processo de ensino e aprendizagem e o

segundo como observador, fazendo a coleta de comentários, observações e

situações que ocorreram durante os encontros, conforme Figura 58.

Figura 58 – O professor nos papeis de observador e mediador

Fonte: Arquivo do autor

Foi solicitado aos estudantes que fizessem anotações de suas observações,

conforme Figura 59. Dessa forma, realizou-se a coleta de dados para posterior

análise da prática adotada.

90

Figura 59 – Os alunos registram suas observações

Jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

Fonte: Arquivo do autor

Ao final de cada encontro, eram recolhidos os Cadernos de Atividades,

mesmo que o estudante não tivesse acabado de realizar todas as tarefas. Nos

encontros seguintes, os Cadernos eram devolvidos para a conclusão das atividades

anteriores e começo de novas atividades, dando sequência ao processo de

construção do conhecimento.

Destaca-se que, ao longo de cada encontro, grupos de alunos interagiam

para socialização das conclusões e compartilhamento de resultados como registrado

nas fotos apresentadas na Figura 60.

Figura 60 – Grupos de alunos socializando resultados e conclusões

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

Fonte: Arquivo do autor

A análise detalhada do desenvolvimento das atividades, dos registros das

observações e das respostas dos testes realizados pelos estudantes está

apresentada a seguir.

91

5.2 Procedimento de análise dos resultados

Serão apresentadas aqui, observações realizadas durante o desenvolvimento

das atividades, por meio de comentários feitos pelos estudantes, respostas

registradas por eles no Caderno de Atividades e análises realizadas a partir da sua

atuação.

São apresentados também, protocolos com registros dos estudantes,

permitindo assim, uma análise das relações entre as informações obtidas e a

metodologia utilizada segundo o referencial utilizado nesta Pesquisa. Os dados

foram coletados diretamente pelo pesquisador junto aos sujeitos, de forma descritiva

e por observação direta e processual. Foram levados em consideração os

comentários, os registros e as atuações dos estudantes durante o desenvolvimento

das atividades.

Conforme relatado anteriormente, 28 (vinte e oito) alunos, em um total de 34

(trinta e quatro), participaram de todos os encontros. Portanto, apenas as atividades

destes foram selecionadas para compor a amostra analisada.

As sequências de atividades aplicadas foram divididas em duas categorias

segundo suas características, a saber:

Sequências de OBSERVAÇÃO: (Sequências 1, 2, 4, 5 e 6)

São as sequências em que, a partir dos objetivos de fazer

descobertas e conjecturas, os estudantes utilizaram o objeto de

aprendizagem para explorar e investigar os comportamentos das

funções e de suas derivadas.

Sequências de APLICAÇÃO: (Sequências 3,7 e 8)

São as sequências no formato de testes em que o aluno também

utilizam o objeto de aprendizagem para explorar os gráficos, porém o

objetivo desta vez, é responder às questões acerca das explorações

realizadas nas sequências anteriores e verificar o nível de

compreensão que cada aluno obteve.

Ressalta-se que o objetivo é analisar a prática adotada como alternativa às

aulas exclusivamente expositivas. Dessa forma, as sequências de aplicação, apesar

92

de exigir interação para sua realização, têm caráter avaliativo e assim, não serão

considerados na análise apresentada a seguir. Os erros apresentados nestas

sequências não são o foco desta Pesquisa e sim as e habilidades adquiridas nas

interação com as representações geométricas e as visualizações demonstradas

pelos estudantes ao longo do desenvolvimento das atividades propostas nas

sequências de observação.

Diante a atuação dos estudantes durante a utilização do O.A. e

consequentemente da aplicação das atividades, critérios de analisados foram

determinados conforme discriminação a seguir:

Interpretação dos Enunciados.

Análise Gráfica.

Conhecimento de Pré-requisitos.

Redação.

Operação do O.A.

Diante desses critérios, na próxima seção, encontra-se um levantamento das

dificuldades apresentadas pelos alunos após as observações realizadas durante o

processo e nos registros dos mesmos.

5.2.1 Análise dos Dados

Sequência 1 – Definindo o crescimento e o decrescimento de uma função em um

Intervalo.

Sequência realizada no primeiro encontro. É constituída por duas atividades

similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das

duas atividades, os alunos deveriam registrar suas observações e suas conclusões.

Após análise dos registros, constatou-se a presença de dificuldades relatada

conforme o Gráfico 1.

93

Gráfico 1 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 1

TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

Fonte: Dados da pesquisa

No total de 28 (vinte e oito) alunos, 24 (vinte e quatro) não externaram de

forma clara suas observações. Percebe-se, também, que 5 (cinco) duplas

apresentaram problemas conceituais e, provavelmente, isso interferiu na escrita.

Propondo ao estudante uma caracterização de uma função crescente e

decrescente em seu domínio, esperava-se que, para o caso de uma função

crescente, seus registros contemplassem o comportamento crescente da imagem da

função enquanto a abscissa também apresentava comportamento crescente. Já no

caso de uma função decrescente, contemplassem o comportamento decrescente da

imagem da função enquanto a abscissa apresentava comportamento crescente.

A Figura 61 apresenta o registro da dupla 3 que, por apresentar problemas

conceituais, utilizou termos matemáticos fora do contexto da atividade, interferindo,

assim, em sua redação.

Figura 61 – Registro da conclusão – dupla 3

Fonte: Dados da pesquisa

Há situações em que, por meio das observações, os alunos visualizaram os

comportamentos da abscissa e da ordenada de forma correta e construíram,

4 duplas

3 duplas

5 duplas

12 duplas

0 duplas

INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO

?

105

94

intuitivamente, a definição de uma função crescente e decrescente. Porém seus

registros, da forma como foram redigidos, não deixam claro se realmente houve a

assimilação dessas definições.

Um exemplo disso pode ser observado no registro da dupla 7, conforme

Figura 62 do fato relatado acima.

Figura 62 – Registro da conclusão – dupla 7

Fonte: Dados da pesquisa

O professor, ao perceber tal registro da dupla 7, interviu promovendo o

seguinte diálogo:

Neste momento os alunos da dupla 7 ficaram olhando para a tela do

computador e, pensativos, movimentaram o ponto para a direita e para a esquerda,

na expectativa de descobrir o que estava faltando.

A dupla 6 que estava ao lado, prestando atenção no diálogo, fez a seguinte

colocação.

Professor: O comportamento crescente e decrescente dos valores de y

é o suficiente para caracterizar uma função crescente e decrescente?

Alunos: Parece que sim, professor!

Professor: Então escolha um intervalo qualquer e movimente o ponto da

função sobre a curva para a direita e para a esquerda e verifique o que

está acontecendo com os valores de y.

Alunos: Os valores de y aumentam e diminuem.

Professor: Neste intervalo, de acordo com o comportamento de y que

vocês acabaram de analisar, a função é crescente ou decrescente?

106

95

Os alunos, tanto da dupla 6 como os da dupla 7, ficaram pensativos e focados

na análise gráfica.

Alguns minutos depois a presença do professor foi novamente solicitada pelo

grupo 6 que apresentaram a conclusão apresentada na figura 63.

Figura 63 – Registro da conclusão – Dupla 6

Fonte: Dados da pesquisa

Pode-se observar que conforme o registro acima, o conceito de função

crescente e decrescente em um intervalo foi construído de forma satisfatória.

Segundo os relatos dos alunos das duplas 6 e 7, a conclusão acima foi fruto da

discussão entre eles.

Dentre os registros analisados, encontram-se situações em que o estudante

consegue se expressar de forma mais clara. Um exemplo disso esta apresentado na

figura 64.

Alunos: Tem uma orientação no caderno que diz para movimentar o

ponto na função da esquerda para a direita. Isso tem alguma coisa a ver?

Professor: O que você acha? O que acontece quando o movimento do

ponto é feito dessa maneira?

Alunos: Depende?

Professor: Como assim depende?

Alunos: Dependendo do local onde movimentamos o ponto o valor de y

diminui ou aumenta?

Professor: Perfeito! Não tem mais nada a ser observado? O que falta

relatar para que a caracterização fique completa?

96

Figura 64 – Registro da conclusão – Dupla 2

Fonte: Dados da pesquisa

Os alunos da dupla 2 relataram que a movimentação dos gráficos facilitaram

a compreensão de seus comportamentos. Pode-se observar que esses alunos

apresentavam alguns conhecimentos prévios e assim registraram de forma clara os

conceitos construídos acerca de funções crescente e decrescente em um intervalo

do domínio.

Sequência 2 – Relação entre o crescimento de decrescimento de uma função e sua

derivada

Também realizada no primeiro encontro, é constituída por duas atividades

similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado, tal como a sequência 1.

Após a execução das duas atividades, os alunos deveriam registrar suas

observações e suas conclusões. Após análise dos registros, constataram-se

ocorrências de dificuldades conforme o Gráfico 2.

Gráfico 2 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 2

Fonte: Dados da pesquisa

0 duplas

3 duplas

2 duplas

7 duplas

0 duplas

INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO

97

As análises dessa sequência confirmam o problema na escrita dos

estudantes, apesar de um número menor de ocorrências. Segundo os dados, 7

(sete) duplas não redigiram de forma satisfatória suas observações.

A proposta dessa atividade era fazer que os estudantes percebessem, por

meio de interações com os gráficos, a relação existente entre o sinal da derivada e o

comportamento crescente ou decrescente de uma curva em um ponto.

Esperava-se que, para o caso de uma função crescente, os registros

contemplassem a associação do sinal positivo da derivada de uma função com o

comportamento crescente da curva em um ponto e, por outro lado, do sinal negativo

da derivada de uma função com o comportamento decrescente da curva em um

ponto.

A Figura 65 apresenta o registro da dupla 3 que, por se perder em sua

análise gráfica, utilizou todos os elementos visualizados como justificativa para sua

conclusão. Em decorrência disso, a redação ficou confusa e sem sentido por terem

utilizados termos matemáticos fora do contexto.. Nesse caso, uma análise gráfica

mal feita afetou a redação e a construção dos conceitos.

Figura 65 – Registro da conclusão – Dupla 3

Fonte: Dados da pesquisa

De maneira geral, excetuando os erros de redação e a ausência de

formalidade nas respostas, esta atividade não apresentou muitos problemas acerca

da compreensão do tema proposto. Os estudantes, em sua maioria responderam de

forma satisfatória, conforme o registro da dupla 13, apresentado na Figura 66.

98

Figura 66 – Registro da conclusão – Dupla 13

Fonte: Dados da pesquisa

Sequência 4 – Análise dos pontos máximos e mínimos da função

Realizada no segundo encontro, da mesma forma que as atividades

anteriores, também é constituída por duas atividades similares diferenciadas entre si

pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das duas atividades, os alunos

deveriam registrar suas observações e suas conclusões.

Após análise dos registros, constataram-se ocorrências de dificuldades,

conforme o Gráfico 3.

Gráfico 3 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 4

Fonte: Dados da pesquisa

2 duplas 3 duplas

4 duplas

7 duplas

0 duplas

INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO

99

As análises dessa sequência confirmam o problema da escrita dos estudantes

e mantiveram o número de ocorrências da última sequência.

A proposta dessa atividade era fazer que os estudantes percebessem, por

meio de interações com os gráficos, a relação entre os pontos críticos e o valor nulo

da derivada e, além disso, classificar esse ponto em máximo ou mínimo utilizando a

variação do sinal da derivada (teste da primeira derivada). Esperava-se que os

alunos registrassem essas descobertas.

Nessas atividades, os alunos percebiam pela análise gráfica que, ao passar

pelos pontos críticos, a derivada alterava seu sinal. Porém alguns alunos tiveram a

dificuldade de perceber que, nos pontos críticos, a derivada assumia o valor 0 (zero).

Assim, não conseguiam encontrar os pontos críticos por meio da derivada.

Esse relato pode ser ilustrado pelo registro feito pela dupla 12, conforme a

Figura 67.

Figura 67 – Registro da conclusão – Dupla 12

Fonte: Dados da pesquisa

100

O professor, ao perceber que a análise está em um rumo certo mas que os

alunos estavam com dificuldade de concluir acerca do valor nulo da derivada,

interviu proporcionando o seguinte diálogo:

Após essa intervenção e com alguns debates entre eles, alguns alunos

conseguiram expressar em seus registros como a derivada contribui para localizar

os pontos críticos e, mais precisamente, os pontos de máximo e mínimo, conforme

figura 68.

Professor: Leiam com atenção o registro feito por vocês com atenção e

verifiquem se não conseguem tirar alguma conclusão a mais.

Alunos: Como assim professor?

Professor: Vejam bem! Analise primeiro o ponto mínimo. O que vocês

perceberam?

Alunos: A função desce e depois sobe.

Professor: Tem alguma forma diferente de expressar isso? Pense na

primeira atividade.

Alunos (Após alguns segundos): A função é decrescente e depois é

crescente.

Professor: Ok! Agora pensem no ponto máximo.

Alunos: A função sobe e depois desce, a função cresce e depois

descresse.

Professor: Ok! O que ocorre quando a função é crescente? Pensem nas

atividades realizadas até agora.

Alunos (Após alguns momentos de silêncio): A imagem cresce? A

derivada cresce? A derivada é positiva.

Professor: Ok! O que ocorre quando a função é decrescente?

Alunos: A derivada é negativa.

Professor: Ok! Agora pensem o que está ocorrendo com a derivada no

ponto máximo e no ponto mínimo e tirem alguma conclusão.

Alunos (após algumas discussões): Professor! No ponto máximo e no

ponto mínimo a derivada muda de sinal.

Professor: Tudo bem! E ai? Agora é com vocês.

101

Figura 68 – Registro da conclusão – Dupla 1

Fonte: Dados da pesquisa

A ausência de formalidade e as deficiências conceituais comprometem a

redação dos registros, prejudicam a compreensão do conteúdo e afetam o

desempenho da prática adotada. Veja o exemplo apresentado na Figura 69.

Figura 69 – Registro da conclusão – Dupla 9

Fonte: Dados da pesquisa

102

Considerando que a difilculdade na redação dos registros é crônico, a análise

gráfica passou a ser o centro das atenções nessa atividade. Este pesquisador

observou grandes dificuldades, por parte dos estudantes, para extrair informações

dos gráficos simplesmente por não saberem o que estavam procurando e, assim,

demoraram um pouco mais para concluírem essa sequência.

Sequência 5 – Análise do ponto de inflexão

Realizada no segundo encontro, também é constituída por duas atividades

similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das

duas atividades, os alunos deveriam registrar suas observações e suas conclusões.

As análises dessa sequência confirmam o problema da escrita dos estudantes

e também mantiveram o número de ocorrências da última sequência.

Gráfico 4 – Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 5

Fonte: Dados da pesquisa

Depois de realizados 4(quatro) sequências de atividades, os problemas

conceituais foram sanados por meio de discussões entre duplas ou por intervenção

deste pesquisador. As dificuldades encontradas nessa atividade ocorreram devido

ao surgimento da segunda derivada, com dificuldades nas análises gráficas.

8 duplas

10 duplas

2 duplas

7 duplas

0 duplas

INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO

103

A proposta era localizar o ponto de inflexão por meio do estudo de sinais da

segunda derivada, porém todo o trabalho realizado com a primeira derivada

anteriormente entrou em conflito com os novos conceitos que deveriam ser

introduzidos nas observações. Os estudantes passaram a ter dificuldade em

trabalhar com os gráficos da primeira e da segunda derivada simultaneamente e,

assim, as análises gráficas e as interpretações prejudicadas durante o processo. O

aluno precisava observar, nessa atividade, a relação existente entre o ponto de

inflexão e o valor nulo da segunda derivada.

Pode-se notar que os alunos demonstraram habilidades em trabalhar com

três gráficos simultaneamente e assim, confundiam a função de cada um. Tal

observação esta apresentada na figura 70.

Figura 70 – Registro da conclusão – Dupla 8

Neste momento, professor percebeu a necessidade de uma intervenção e

diante da turma, ajudou os alunos a distinguir cada gráfico presente na atividade (da

função da primeira derivada e da segunda derivada) e suas funções dentro da

atividade. Após a intervenção do professor, o andamento das atividades foi

normalizado e os estudantes não tiveram dificuldades em sua conclusão.

O registro apresentado a seguir, mostra a conclusão da dupla 6, após a

intervenção do professor, conforme a Figura 71.

Figura 71 – Registro da conclusão – Dupla 6

Fonte: Dados da pesquisa

104

Sequência 6 – Análise da concavidade da curva

Realizada no segundo encontro, também é constituída por duas atividades

similares diferenciadas entre si pelo gráfico a ser analisado. Após a execução das

duas atividades, os alunos deveriam registrar suas observações e suas conclusões.

Após análise dos registros, constataram-se ocorrências de erros, conforme o

Gráfico 5.

Gráfico 5 Ocorrência das dificuldades ocorridas na sequência 6

Fonte: Dados da pesquisa

A realização da sequência 5 (cinco) e a familiarização com o O.A.

contribuíram para o bom andamento das atividades da sexta sequência. O

comportamento das duas derivadas já não apresentava tantos problemas aos

estudantes. Por essa razão, pode-se verificar um decrescimento no número de

ocorrência das dificuldades..

A proposta das atividades era identificar o sentido da concavidade da curva

num determinado intervalo por meio do sinal da segunda derivada. Esperava-se que

os alunos reconhecessem uma curva côncava para baixo por meio da segunda

derivada negativa e côncava para cima por meio da segunda derivada positiva. Essa

tarefa foi realizada sem muitos problemas, porém nenhum aluno associou o

comportamento da primeira derivada como responsável pela alteração do sinal da

segunda derivada.

Segue o registro da dupla 11 como ilustração do relato anterior (Figura 72).

2 duplas

3 duplas

2 duplas

4 duplas

0 duplas

INTERPRETAÇÃO ANÁLISE GRÁFICA CONCEITUAL REDAÇÃO OPERAÇÃO

105

Figura 72 – Registro da conclusão – Dupla 11

Fonte: Dados da pesquisa

Segundo relato das duplas que apresentaram alguma dificuldade de análise

gráfica, interpretação e conceitual nesta atividade resolveram seus problemas por

meio de discussão com outros grupos.

Salientamos que nenhum aluno apresentou problema no manuseio do objeto

de aprendizagem. Por esse motivo as dificuldades de operação não tiveram

representatividade nos gráficos.

106

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesta Pesquisa, buscou-se um diálogo entre pesquisadores da Educação

Matemática acerca de práticas educativas no Ensino de Cálculo por meio da

utilização de tecnologias, na perspectiva de responder a questão que impulsionou o

presente estudo: “Criar um Objeto de Aprendizagem capaz de propor alternativas

metodológicas ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de reduzir a

defasagem em sua compreensão”.

A concepção deste Objeto de Aprendizagem, que se encontra anexado nesta

dissertação por meio de um Produto, foi embasada no referencial pesquisado e

buscou articular a sequência didática de Zabala (1998) e a informática educativa

tratada por Borba e Penteado (2012) e Kenski (2007).

A metodologia de elaboração das atividades pautou-se na representação

geométrica. Foram utilizadas sequências didáticas para a estruturação das

atividades, dividindo-as em duas fases: de exploração (utilizando o Objeto de

Aprendizagem) e registro (utilizando o Caderno de Atividades).

As sequências didáticas desta pesquisa foram organizadas em unidades

didáticas que, segundo Zabala (1998), trata-se de uma série de atividades

ordenadas e articuladas que, da forma como estão estruturadas, relacionam entre si

e proporcionam um valor didático. Dessa forma, as intenções educacionais foram

levadas em consideração durante a elaboração das atividades, e o papel de cada

uma delas foi bem definido.

Quanto à informática educativa, muito se tem discutido acerca de sua

contribuição no processo de ensino e aprendizagem. Segundo Borba e Penteado

(2012), a inserção da informática estimula a substituição dos pensamentos lineares

por pensamentos descontínuos, tais como links, homepage e menu de softwares

educacionais, sendo este último, a proposta do Produto Educacional elaborado por

meio desta Pesquisa.

Kenski (2011) defende a ideia de que a tecnologia, quando utilizada com

criatividade, pode alterar a rotina dentro de sala de aula, transformando os alunos

em agentes interessados e colaborativos. Tais fatos puderam ser comprovados por

este pesquisador em seu trabalho de campo.

107

Após a realização da pesquisa de campo, é possível explicitar respostas à

questão desta pesquisa e descrever argumentos que comprovam o cumprimento

dos objetivos.

Inicialmente, esta pesquisa voltou-se à criação de um Objeto de

Aprendizagem que visava a uma metodologia alternativa ao ensino de Cálculo.

Assim, com o intuito de alcançar esse objetivo e obter uma aprendizagem eficaz

acerca do estudo do comportamento de funções por meio de derivadas, objetivos

específicos foram traçados e cumpridos, de acordo com as justificativas a seguir.

1o Objetivo Específico: Identificar nas Diretrizes Curriculares do curso de

Engenharia a contribuição da Matemática/Cálculo na formação desse profissional.

Identificou-se nos estudos realizados nas Diretrizes Curriculares Nacionais

que o novo Engenheiro precisa ser capaz de propor soluções não só tecnicamente

corretas, mas também considerar os problemas em sua totalidade. Esse profissional,

em sua formação técnico-científica, será estimulado a atuar criticamente por meio de

identificação e resolução de problemas.

Na intenção de promover tais características aos egressos dessa área de

formação, os cursos de Engenharia apresentam disciplinas para esse fim. Incluídas

dentre essas disciplinas, o Cálculo Diferencial e Integral é potencialmente capaz de

desenvolver raciocínio lógico, abstração, generalização, intuição, capacidade de

fazer conjecturas, resolver problemas e aplicar conhecimentos adquiridos em outras

áreas do conhecimento.

Constatou-se que o domínio dos conceitos matemáticos é importante para a

construção do conhecimento, permitindo a validação de intuições na construção de

técnicas aplicadas em diversas situações e, além disso, com o seu auxílio,

desenvolve-se a capacidade de raciocínio, de comunicação e do espírito crítico e

criativo.

2o Objetivo Específico: Identificar em livros de Cálculo as abordagens

metodológicas sobre o estudo do comportamento de funções.

O estudo das abordagens utilizadas pelos livros didáticos acerca do tema

“estudo do comportamento de funções” se fez necessário para nortear a elaboração

das sequências de atividades e, consequentemente, do Objeto de Aprendizagem.

108

Após análise de seis livros, verificou-se primeiramente que as obras mais

recentes apresentavam um número maior de atividades cujas resoluções

estimulavam a utilização de tecnologia. Tal constatação indica que os autores estão

se preocupando em adequar suas obras às novas tendências apresentadas em

pesquisas acerca de práticas educativas diferenciadas. Constatou-se, também, nas

análises realizadas que, nas recentes obras, as abordagens geométricas dos temas

eram exploradas de forma satisfatória, fato que contribuía com as propostas desta

Pesquisa.

Nesse sentido, Borba e Penteado (2012) evidenciam que as novas mídias,

como os computadores com softwares gráficos, propiciam experimentações e

simulações que auxiliam na modelagem e resolução de problemas. Assim, segundo

Frota (2001), existe um consenso de que a Matemática precisa libertar-se das

amarras de um passo a passo que conduz à aprendizagem de procedimentos e não

incentiva o conhecimento relacional.

Dessa forma, em concordância com os pesquisadores acima citados e por

meio dos resultados das análises realizadas, Stewart (2013), Thomas (2009) e

Anton (2007) foram as referências utilizadas para a construção das atividades que

compõem o Objeto de Aprendizagem. A perspectiva era levar os estudantes, por

meio de experimentações e simulações (BORBA E PENTEADO, 2012), a relacionar

conhecimentos (FROTA, 2001) e a fazer analogias e associações para construir

conceitos (LAUDARES, 2013).

3o Objetivo Específico: Criar um Objeto de Aprendizagem com atividades

interativas norteadas por uma sequência didática com base na Informática

Educativa.

Segundo Borba (2012), a informática não requer exclusividade nos processos

didáticos, mas alternância entre as aulas expositivas e atividades com as mídias.

Dessa forma, à procura de diversificar as metodologias aplicadas no ensino de

Cálculo, o Objeto de Aprendizagem criado nesta Pesquisa diversificou as

sequências didáticas, promovendo, durante uma mesma atividade, o processo de

observação/investigação por meio de gráficos dinâmicos e de registro da forma

tradicional, ou seja, a escrita em Caderno de Atividades. As observações utilizavam

109

applets construídos com o GeoGebra, e os registros eram realizados no Caderno de

Atividades.

O Objeto de Aprendizagem cumpriu o seu papel uma vez que permitiu ampla

comunicação com o sistema, proporcionou interação entre estudantes e problemas,

além de estimulá-los a fazer experimentações e simulações. O uso da informática

educativa por meio de um software dinâmico permitiu a exploração e formalização

de conceitos a partir de movimentação de pontos, variação de abscissas e de

ordenadas, dos valores e sinais das derivadas e dos comportamentos dos gráficos

das funções.

4o Objetivo Específico: analisar as contribuições que o Objeto de Aprendizagem

pode proporcionar ao ensino de Cálculo por meio do relacionamento e interação dos

estudantes com o tema estudado.

Em nossa pesquisa, buscou-se um diálogo entre pesquisadores de

Tecnologias Informacionais e Comunicacionais na Educação Matemática e

pesquisadores da Educação Matemática no Ensino Superior, tentando refletir sobre

a utilização de TIC’s no ensino de Cálculo, na perspectiva de responder a nossa

questão de investigação que impulsionou o presente estudo:

Quais as contribuições que um Objeto de Aprendizagem pode

proporcionar ao ensino do estudo do comportamento de funções a fim de

torná-lo uma alternativa à aula exclusivamente expositiva?

Após a aplicação das atividades por meio de um Objeto de aprendizagem,

acredita-se ser possível descrever e explicitar um conjunto de respostas para essa

questão, agrupadas em categorias de análise, o que será feito neste momento, a fim

de concluir esta Pesquisa.

No início do primeiro semestre letivo de 2014, os sujeitos dessa Pesquisa

demonstrou não possuir nenhum tipo de experiência com utilização de TIC’s no

estudo de Matemática. Ainda assim, possuíam uma expectativa positiva sobre a

possibilidade de utilizá-las no ensino de Cálculo.

110

Após a realização de cada atividade, os alunos posicionaram e expressaram

acerca das contribuições das atividades exploratórias realizadas no laboratório para

a aprendizagem do conteúdo abordado. A partir dos posicionamentos dos alunos e

baseados nas observações deste pesquisador, as principais contribuições da

utilização de TIC’s para um redirecionamento do ensino sobre comportamento de

funções por meio de derivadas na disciplina de Cálculo foram:

o A possibilidade de visualização de algumas propriedades que,

tradicionalmente, são manipuladas apenas algebricamente.

o A abertura para conjecturas a partir de gráficos que geram

questionamentos interessantes para a sala de aula.

o O ambiente dinâmico propiciado pelo software que contrasta com

os modelos geralmente estáticos apresentados nos livros didáticos.

o A abordagem intuitiva de alguns conceitos que tradicionalmente são

explorados inicialmente de uma maneira mais formal.

o A mudança de postura dos alunos, que passaram a demonstrar uma

atitude mais ativa e questionadora, tanto na realização das atividades

no laboratório quanto na participação em sala de aula.

Destaca-se que, durante a aplicação do Objeto de Aprendizagem, mudanças

consideráveis foram percebidas nos alunos no que se refere à sua autonomia e

postura crítica e, à medida que a familiarização com o software aumentava, tais

características se tornaram mais evidentes.

Essa mudança de postura se refletiu no ambiente em sala de aula, onde

questionamentos e reflexões se tornaram mais frequentes e, dessa forma, a

passividade observada no início do processo, deu lugar à uma postura mais ativa

perante o desenvolvimento do conteúdo.

Por meio da utilização de um Objeto de Aprendizagem em ambientes

informatizados, esta pesquisa contribuiu de forma significativa para a flexibilização

das práticas docentes.

A ação do mediador é fundamental para que os estudantes sejam levados a

conjecturar em contínua reflexão, para se tornarem mais ativos na construção do

próprio conhecimento.

111

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115

Apêndice

116

Apêndice A

“Caderno de Atividades”

Instrumento aplicado nas aulas de Cálculo com o apoio

da informática educativa

117

INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR DE IPATINGA

ENGENHARIA CIVIL 2º PERÍODO

CADERNO DE ATIVIDADES

Estudo do Comportamento de Funções por meio de Derivadas

Dupla nº: _______

Componentes:

Aluno 1:

Aluno 2:

Ipatinga

Fevereiro de 2014

118

Sequência 1

Definindo o crescimento e o decrescimento

de uma função em um intervalo

“ATIVIDADE 1”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe

a variação do valor da função enquanto o valor de x também varia.

Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -2 e -1.

Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.

Agora, arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 2 e 3.

Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.

O que se pode afirmar a respeito do comportamento da ordenada do ponto enquanto sua abscissa varia nos intervalos abertos ]-2,-1[ e ]2,3[.

Agora, arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -1 e 2.

Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.

O que se pode afirmar a respeito do comportamento da ordenada do ponto enquanto sua abscissa varia no intervalo aberto ]-1,2[.

119

Responda:

1ª Questão Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da abscissa aumenta no intervalo aberto ]-2,-1[, o valor da ordenada do ponto (ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,

( ) é constante ( ) é decrescente. ( ) é também crescente.

2ª Questão Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da abscissa aumenta no intervalo aberto ]2,3[, o valor da ordenada do ponto (ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,

( ) é constante ( ) é decrescente. ( ) é também crescente.

3ª Questão Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da abscissa aumenta no intervalo aberto ]-1,2[, o valor da ordenada do ponto (ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,

( ) é constante ( ) é decrescente. ( ) é também crescente.

120

“ATIVIDADE 2”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe

a variação do valor da função enquanto o valor de x também varia.

Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -1,5 e 3.

Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.

Agora, arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 3 e 3,5.

Observe a variação da ordenada deste ponto enquanto o valor da abscissa é crescente no intervalo considerado.

Responda:

1ª Questão

Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da

abscissa aumenta no intervalo aberto ]-1,5 ; 3[, o valor da ordenada do ponto

(ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,

( ) é constante

( ) é decrescente.

( ) é também crescente.

2ª Questão

Movimentando o ponto da função pode-se observar que, enquanto o valor da

abscissa aumenta no intervalo aberto ]3 ; 3,5[, o valor da ordenada do ponto

(ou o valor da imagem da função) neste mesmo intervalo,

( ) é constante

( ) é decrescente.

( ) é também crescente.

121

Tirando conclusões:

Após a realização de observações acerca do crescimento e decrescimento dos

valores de uma função, escreva as características de uma função CRESCENTE

em um intervalo de seu domínio? __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Após a realização de observações acerca do crescimento e decrescimento dos

valores de uma função, escreva as características de uma função DECRESCENTE

em um intervalo de seu domínio? __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

Como você conceituaria uma função CRESCENTE em um intervalo de seu

domínio? E uma função DECRESCENTE? __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

122

Sequência 2

A Relação entre o Crescimento e o Decrescimento de uma Função e sua Derivada

“ATIVIDADE 3”

1ª observação:

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe a variação do sinal da derivada.

Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -2 e -1.

Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]-2,1[ observe os valores exatos da derivada.

Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]-2,-1[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.

Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]-2,-1[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.

Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.

Responda:

1ª Questão

De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]-2,-1[ ser POSITIVA?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

123

2ª Questão

De acordo com as observações realizadas nas atividades nº 1 e nº 2 da sequência anterior, qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal da derivada no intervalo ]-2,-1[?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

2ª observação:

Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 2 e 3.

Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]2,3[ observe os valores exatos da derivada.

Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]2,3[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.

Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]2,3[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.

Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.

Responda:

3ª Questão

De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]2,3[ ser POSITIVA?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

124

4ª Questão

De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal da derivada no intervalo ]2,3[ ser POSITIVA?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

3ª observação:

Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre -1 e 2.

Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]-1,2[ observe os valores exatos da derivada.

Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]-1,2[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.

Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]-1,2[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.

Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.

Responda:

5ª Questão

De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]-1,2[ ser NEGATIVA?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

125

6ª Questão

De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal da derivada no intervalo ]-1,2[?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

Questões Extras

7ª Questão

Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]-2,-1[, observa-se que:

( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa. 8ª Questão

Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]-1,2[, observa-se que:

( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa. 9ª Questão

Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]2,3[, observa-se que:

( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa.

126

“ATIVIDADE 4”:

1ª observação:

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico e observe a variação do sinal da derivada.

Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre - 1,5 e 3.

Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]-1,5 ; 3[ observe os valores exatos da derivada.

Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]-1,5 ; 3[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.

Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]-1,5 ; 3[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.

Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.

Responda

1ª Questão

De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]-1,5 ; 3[ ser NEGATIVA?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

127

2ª Questão

De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal NEGATIVO da derivada no intervalo ]-1.5 ; 3[?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

2ª observação:

Arraste o ponto da função (no sentido crescente do eixo x) fazendo com que o valor da abscissa do ponto varie entre 3 e 3,5.

Clique em EXIBIR VALOR DA DERIVADA e deslizando o ponto da função no intervalo ]3 ; 3,5[ observe os valores exatos da derivada.

Clique em exibir reta tangente e no intervalo ]3 ; 3,5[, observe o comportamento da reta tangente em relação aos valores da derivada.

Clique em exibir declividade da tangente e no intervalo ]3 ;3,5[, compare o valor da derivada com o comportamento da reta e com sua declividade.

Observe agora a equação da reta tangente e compare seus parâmetros com o valor da derivada.

Responda:

3ª Questão

De acordo com as observações realizadas, qual o seu julgamento para o fato de a derivada no intervalo ]3 ; 3,5[ ser POSITIVA?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

128

4ª Questão

De acordo com as observações realizadas nas sequências de atividades nº 1 e nº 2 , qual relação você julga haver entre o comportamento da função e o sinal POSITIVO da derivada no intervalo ]3 ; 3,5[?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

________________________________________________________________

Questões Extras

5ª Questão

Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]-1.5 , 3[, observa-se que:

( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa.

6ª Questão

Movimentando o “Ponto da Função” no intervalo ]3, 3.5[, observa-se que:

( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento decrescente enquanto sua derivada é negativa. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é positiva. ( ) a função tem comportamento crescente enquanto sua derivada é negativa.

129

Tirando conclusões:

Após ter observado os comportamentos das funções e de suas derivadas, responda as perguntas a seguir:

O que você observou acerca do comportamento da imagem da função enquanto a derivada no ponto possuía sinal positivo? _______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

O que você observou acerca do comportamento da imagem da função enquanto a derivada no ponto possuía sinal negativo? _______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

De acordo com as análises realizadas até aqui, escreva com suas palavras, o que a derivada pode nos dizer a respeito do comportamento de uma função?

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

______________________________________________________________

Então,

se f´(x) > 0 em um intervalo aberto, então a função é ____________

(crescente; decrescente) neste intervalo.

se f´(x) > 0 em um intervalo aberto, então a função é ____________

(crescente; decrescente) neste intervalo.

130

Sequência 3

Testando os Conhecimentos Adquiridos nas Sequências 1 e 2

“Teste 1”

Observe na área de gráfico e navegação o gráfico de uma função

denominada de f(x) e arraste seu ponto pela curva para analisar seu

comportamento crescente e decrescente.

Clique em exibir o gráfico da função g(x), h(x) e i(x) (uma por vez) e

arraste o ponto da função f(x) para analisar qual dessas funções é a

derivada da função f(x).

Após análise, clique na opção correta.

131

“Teste 2”

Observe na área de gráfico e navegação o gráfico de uma função

denominada de f(x) e arraste seu ponto pela curva para analisar seu

comportamento crescente e decrescente.

Clique em exibir o gráfico da função f(x), h(x) e i(x) (uma por vez) e

arraste o ponto da função f(x) para analisar qual dessas funções é a

derivada da função f(x).

Após análise, clique na opção correta.

132

“Teste 3”

Observe na área de gráfico e navegação o gráfico de uma função

denominada de f(x) e arraste seu ponto pela curva para analisar seu

comportamento crescente e decrescente.

Clique em exibir o gráfico da função f(x), h(x) e i(x) (uma por vez) e

arraste o ponto da função f(x) para analisar qual dessas funções é a

derivada da função f(x).

Após análise, clique na opção correta.

133

Teste 4”

Observem na área de gráfico e navegação os gráficos de três funções. o Função Velocidade o Função Horária o Função Aceleração

Algumas dessas funções podem ser derivadas das outras.

Analise o comportamento dessas funções e descubra qual delas é derivada das demais. Movimente os botões de controle para movimentar os gráficos como auxílio para sua análise.

Após análise, clique na(s) opção(ões) correta(s).

134

Sequência 4

Análise dos Pontos Máximos e Mínimos

“ATIVIDADE 5”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no

sentido crescente do eixo x).

Observe o aparecimento das palavras PONTO CRÍTICO. Estime as

coordenadas destes pontos.

O que ocorre com a função nestes pontos? E com a derivada?

Como podemos localizar um PONTO CRÍTICO com a ajuda da derivada?

Como podemos classificar um ponto crítico em PONTO MÁXIMO com a

ajuda da derivada?

Como podemos classificar um ponto crítico em PONTO MÍNIMO com a

ajuda da derivada?

135

“ATIVIDADE 6”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no

sentido crescente do eixo x).

Observe o aparecimento das palavras PONTO CRÍTICO. Estime as

coordenadas deste(s) ponto(s).

O que ocorre com a função neste(s) ponto(s)? E com a derivada?

Como podemos localizar um PONTO CRÍTICO com a ajuda da derivada?

Como podemos classificar um ponto crítico em PONTO MÍNIMO com a

ajuda da derivada?

Discuta o motivo de não ocorrer um ponto máximo.

136

Tirando conclusões:

De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 1ª derivada de uma

função pode nos ajudar a encontrar um PONTO MINÍMO na curva?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 1ª derivada de uma

função pode nos ajudar a encontrar um PONTO MÁXIMO na curva?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

137

Sequência 5

Análise do Ponto de Inflexão

“ATIVIDADE 7”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no

sentido crescente do eixo x).

Observe o aparecimento das palavras PONTO DE INFLEXÃO. Estime as

coordenadas deste(s) ponto(s).

Analise o comportamento da 1ª derivada próximo ao PONTO DE

INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.

Analise o comportamento da 2ª derivada próximo ao PONTO DE

INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.

De acordo com as análises acima, qual derivada você julga ser capaz de

nos ajudar a localizar o PONTO DE INFLEXÃO? De que forma essa

derivada pode nos auxiliar?

138

“ATIVIDADE 8”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no

sentido crescente do eixo x).

Observe o aparecimento das palavras PONTO DE INFLEXÃO. Estime as

coordenadas deste(s) ponto(s).

Analise o comportamento da 1ª derivada próximo ao PONTO DE

INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.

Analise o comportamento da 2ª derivada próximo ao PONTO DE

INFLEXÃO. Conjecture a respeito desse comportamento.

De acordo com as análises acima, qual derivada você julga ser capaz de

nos ajudar a localizar o PONTO DE INFLEXÃO? De que forma essa

derivada pode nos auxiliar?

139

Tirando conclusões:

De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 2ª derivada de uma

função pode nos ajudar a encontrar um PONTO DE INFLEXÃO na curva?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

O que você pode dizer sobre o comportamento da 1ª derivada próximo ao

ponto de inflexão?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

140

Sequência 6

Análise da Concavidade da Curva

“ATIVIDADE 9”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no

sentido crescente do eixo x) próximo ao PONTO DE INFLEXÃO e observe

os comportamentos das derivadas de 1ª e 2ª ordens.

Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar

o ponto da função na curva ANTES do ponto de inflexão?

Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar

o ponto da função na curva DEPOIS do ponto de inflexão?

Quais observações se podem fazer acerca da 2ª derivada diante dos

comportamentos da 1ª derivada acima?

De acordo com as observações realizadas, como se pode utilizar a

derivada para determinar se uma curva é côncava para cima ou para

baixo?

141

“ATIVIDADE 10”

Utilizando o mouse, arraste o ponto da função sobre o gráfico (no

sentido crescente do eixo x) próximo ao PONTO DE INFLEXÃO e observe

os comportamentos das derivadas de 1ª e 2ª ordens.

Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar

o ponto da função na curva ANTES do ponto de inflexão?

Quais observações se podem fazer acerca da 1ª derivada ao movimentar

o ponto da função na curva DEPOIS do ponto de inflexão?

Quais observações se podem fazer acerca da 2ª derivada diante dos

comportamentos da 1ª derivada?

De acordo com as observações realizadas, como se pode utilizar a

derivada para determinar se uma curva é côncava para cima ou para

baixo?

142

Tirando conclusões:

De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 2ª derivada de uma

função pode nos ajudar a concluir que a curva é CÔNCAVA PARA BAIXO?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

De acordo com o observado nos itens anteriores, como a 2ª derivada de uma

função pode nos ajudar a concluir que a curva é CÔNCAVA PARA CIMA?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

143

Sequência 7

Testando os Conhecimentos Adquiridos nas Sequências 4 a 6

Teste 5”

Observe na área de gráfico e navegação a presença de dois pontos

(A e B) pertencentes a uma função f(x).

o Para movimentar o PONTO A, faz-se necessário exibir o gráfico da

1ª derivada e movimentar o seu ponto.

o Para movimentar o PONTO B, faz-se necessário exibir o gráfico da

2ª derivada e movimentar o seu ponto.

Clique em exibir o gráfico da 1ª DERIVADA e movimente o seu ponto.

Observe que o ponto A percorre a trajetória do gráfico da função f(x).

Clique em exibir o gráfico da 2ª DERIVADA e movimente o seu ponto.

Observe que o ponto A percorre a trajetória do gráfico da função f(x).

144

Responda:

1ª Questão

Dê as coordenadas do(s) ponto(s) mínimos de f(x).

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2ª Questão

Dê as coordenadas do(s) ponto(s) máximos de f(x).

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

3ª Questão

Dê as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão de f(x).

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

4ª Questão

Dê os intervalos abertos onde, no gráfico de f(x), a curva é côncava para cima.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

5ª Questão

Dê os intervalos abertos onde, no gráfico de f(x), a curva é côncava para baixo.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

145

“Teste 6”

Observe na área de gráfico e navegação a presença de dois pontos (A e

B). Um deles pertence à 1ª derivada e o outro à 2ª derivada.

Para descobrir a qual derivada pertence cada ponto, você deverá

movimentar o ponto da função e observar a movimentação dos pontos

em questão.

146

Responda:

1ª Questão

Dê as coordenadas do(s) ponto(s) da 1ª derivada quando o ponto P for ponto

mínimo e ponto máximo da função. Qual o valor da 1ª derivada neste(s)

ponto(s)?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2ª Questão

Dê as coordenadas do(s) ponto(s) da 2ª derivada quando o ponto P for ponto

de inflexão de f(x). Qual o valor da 2ª derivada neste(s) ponto(s).

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

3ª Questão

Dê as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão de f(x) e dos pontos máximo e

mínimo.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

4ª Questão

Dê os intervalos abertos onde, no gráfico de f(x), a curva é côncava para cima e

côncava para baixo.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

147

Sequência 8

Testes Finais

“Teste 7”

Na área gráfica e de navegação, estão presentes os gráficos da 1ª e 2ª

derivadas de uma função f(x).

Estão ocultos, quatro gráficos que podem se tornar visíveis clicando nos

boxes correspondente às funções 1 a 4.

Sabendo um desses gráficos é a função f(x), analise cada um deles

juntamente com as derivadas presentes no plano cartesiano e indique

qual deles é realmente a função f(x).

“Teste 8”

Na área gráfica e de navegação, estão presentes os gráficos da 1ª e 2ª

derivadas de uma função f(x).

Estão ocultos, quatro gráficos que podem se tornar visíveis clicando nos

boxes correspondente às funções 1 a 4.

Sabendo um desses gráficos é a função f(x), analise cada um deles

juntamente com as derivadas presentes no plano cartesiano e indique

qual deles é realmente a função f(x).

“Teste 9”

Na área gráfica e de navegação, estão presentes os gráficos da 2ª

derivada de uma função f(x).

Clique nos boxes correspondentes aos intervalos 1 a 5 para exibi-los no

gráfico.

148

Apêndice B

Produto Educacional

Caderno de Atividades e

Objeto de Aprendizagem

(Ambos disponibilizados em CD)

149

Anexo

150

Plano de Ensino de Cálculo II

CÁLCULO II

Descrição: Plano de Ensino de ENGENHARIA CIVIL Ano: 2014

Carga horária semanal: 4 Carga horária total: 80

Carga horária em aulas

expositivas: 66

Carga horária em atividades

práticas supervisionadas: 14

EMENTA

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável: Números reais; funções; limites e continuidade; derivadas e suas aplicações.

OBJETIVOS

1. Interpretar e solucionar problemas envolvendo limites e derivadas. 2. Preparar o aluno para que adquira as seguintes competências: 2.1. Desenvolver a capacidade de raciocínio; 2.2. Resolver problemas, bem como seu espírito crítico; 2.3. Desenvolver sua criatividade. 3. Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento e do cotidiano. 4. Desenvolver atitudes positivas em relação ao cálculo, como autonomia, confiança em relação às suas capacidades matemática, perseverança na resolução de problemas, gosto pelo trabalho cooperativo. 5. Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção do real, usando modelagem matemática, aplicando métodos matemáticos em situações reais.

COMPETÊNCIAS E HABILIDADES RELACIONADAS

1) aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia; 2) identificar, formular e resolver problemas de engenharia; 3) desenvolver e/ou utilizar novas ferramentas e técnicas; 4) atuar em equipes multidisciplinares; 5) compreender e aplicar a ética e responsabilidade profissionais.

151

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

Conjunto dos números reais e desigualdades. Retas, circunferências e coordenadas. Função, classificação das funções e gráficos. Limites e suas propriedades. Função contínua. Limites de função composta. Limites infinitos e limites quando x tende ao infinito. Cálculo de limites quando o numerador e o denominador tendem a zero. Derivadas das funções elementares. Derivadas fundamentais. Técnicas de derivação. Problemas de Máximo e mínimo. Pontos de inflexão.

ESTRATÉGIA DE ENSINO

Aulas expositivas e comentadas sobre as temas a serem abordados.

RECURSOS DIDÁTICOS

Apostilas com conteúdos ministrados e lista de exercícios, quadro, projetores e softwares computacionais.

ATIVIDADES EXTRACLASSE ORIENTADAS

Prática através de resolução de exercícios. Exercícios Avaliativos.

PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO

1ª AVALIAÇÃO ( 30 PONTOS ) Parte 1: Trabalhos individuais e/ou grupo (10 pontos) Parte 2: Avaliação individual escrita (20 pontos) 2ª AVALIAÇÃO ( 30 PONTOS ) Parte 1: Trabalhos individuais e/ou grupo (10 pontos) Parte 2: Avaliação individual escrita (20 pontos)

152

3ª AVALIAÇÃO ( 40 PONTOS ) Parte 1: Trabalhos individuais e/ou grupo (20 pontos) Parte 2: Avaliação individual escrita (20 pontos)

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

STEWART, James. Cálculo. 7.ed. São Paulo: Thomson Learning, 2013. ANTON, Howard. Cálculo. v.1. 8.ed. Porto Alegre-RS: Bookman, 2007. THOMAS, George B. Thomas Jr. Cálculo. 11.ed. São Paulo-SP: Addison Wesley, 2009.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

AYRES JUNIOR, Frank; MENDELSON, Elliott. Cálculo diferencial e integral. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1994. 704p. BOULOS, Paulo. Cálculo diferencial e integral. São Paulo: Makron Books, 2004. BOULOS, Paulo. Pré-cálculo. São Paulo: Makron Books, 2004. 101p. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar: limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. São Paulo: Atual, 2005. 263p. SIMMONS. George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.