Pontifícia Universidade Católica de Goiás - PUC-GOMAF - Departamento de Matemática e FísicaDisciplina: Física Geral e Experimental II - MAF2202Prof. Raffael

Lista de Exercícios - Oscilações

Perguntas

(a) Quais das seguintes relações entre a aceleração a e o deslocamento x de um partícula envolvemMHS: (a) a = 0, 5x, (b) a = 400x2, (c) a = −20x, (d) a = −3x2?

(b) Sendo dado x = (2, 0m) cos(5t) para um MHS e precisando encontrar a velocidade emt = 2 s, deveríamos substituir t e depois derivar em relação a t ou vice-versa?

Problemas

1. A posição e velocidade iniciais de um objeto em movimento harmônico simples são xi e vi;a frequência angular de oscilação é ω. Mostre que a posição e a velocidade do objeto paratodo tempo pode ser escrita como

x(t) = xi cos(ωt) +viωsen(ωt) v(t) = −ωxisen(ωt) + vi cos(ωt).

2. Um oscilador harmônico simples leva 12 s para completar um ciclo. Encontre (a) o períodode seu movimento, (b) a frequência em hertz, e (c) a frequência angular em radianos porsegundo.

3. Uma massa de 0, 500 kg presa a uma mola com constante elástica igual a 8, 00N/m vibraem movimento harmônico simples com uma amplitude de 10, 0 cm. Calcule (a) o valormáximo de sua velocidade e aceleração, (b) a velocidade e aceleração quando a massa está6, 00 cm da posição de equilíbrio, e (c) o tempo que esta massa leva para se mover de x = 0para x = 8, 00 cm.

4. Um bloco de massa desconhecida está preso a uma mola com constante elástica igual a6, 50N/m e descreve um movimento harmônico simples com uma amplitude de 10, 0 cm.Quando a massa está no meio do segmento entre a posição de equilíbrio e a posição mínima,a medida de sua velocidade é igual a +30, 0 cm/s. Calcule (a) a massa do bloco, (b) operíodo do movimento, e (c) a aceleração máxima do bloco.

5. Uma partícula que está suspensa por uma mola oscila com uma frequência angular de2 rad/s. O Sistema partícula-mola está suspenso no teto de um elevador e permanece emrepouso em relação ao mesmo enquanto o elevador desce com uma velocidade constantev. O elevador para de repente. (a) Qual a frequência que a partícula oscilará? Qual é aequação de movimento para a partícula?

6. Um alto-falante produz um som musical por meio da oscilação de um diafragma. Se aamplitude da oscilação estiver limitada a 1× 10−3mm, quais frequências farão com que aintensidade da aceleração do diafragma ultrapasse g?

7. Um bloco de massa M está conectado a uma mola de massa m e oscila em movimentoharmônico simples em uma superfície horizontal sem atrito (Fig. 1). A constante elásticada mola é k, e o comprimento de equilíbrio é `. Encontre (a) A energia cinética do sistemaquando o bloco tem uma velocidade v, e (b) o período de oscilação. (Dica: Assuma quetodas as porções da mola oscilam em fase e que a velocidade do segmento dx é proporcionala distância x da extremidade fixa; isso é, vx = [x/`]v. Também, note que a massa de umsegmento de mola é dm = [m/`]dx.)

Figura 1: Problema 7 Figura 2: Problema 8 Figura 3: Problema 9

8. Um grande bloco P executa um movimento harmônico simples horizontal deslizando emuma superfície sem atrito com uma frequência f = 1, 5Hz. Um bloco B repousa sobre obloco P, como mostrado na Figura 2, e o coeficiente de atrito estático entre os dois blocosé µs = 0, 6. Qual é a amplitude máxima de oscilação que o sistema pode ter para que obloco B não deslize?

9. Uma massa compactaM está presa a extremidade de uma haste uniforme, de mesma massaM e comprimento L, que está pivotada na extremidade do topo (Fig. 3). (a) Determinea tensão na haste no pivô e no ponto P quando o sistema está estacionário. (b) Calculeo período de oscilação para pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio, edetermine este período para L = 2, 00m. (Dica: Assuma que a massa na extremidade dahaste é uma massa pontual.

10. Uma massa de 50 g conectada a uma mola com constante elástica de 35N/m oscila emuma superfície horizontal sem atrito com uma amplitude de 4 cm. Encontre (a) a energiatotal do sistema e (b) a velocidade da massa quando o deslocamento é 1 cm. Encontre (c)a energia cinética e (d) a energia potencial quando o deslocamento é 3 cm.

11. Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude xm, que parcela da energia totalé (a) energia cinética e (b) energia potencial? (c) Para que deslocamento, em termosda amplitude, a energia do sistema está igualmente distribuída entre energia cinética epotencial?

12. Qual o comprimento de um pêndulo simples que marca segundos completando uma oscila-ção completa da esquerda para a direita e de volta pra esquerda a cada 2 s?

13. Um disco circular uniforme cujo raio R é igual a 12, 5 cm está pendurado como um pêndulofísico em um ponto da sua borda. (a) Qual o seu período? (b) A que distância radial r < Rexiste um ponto de articulação (pivô) que fornece o mesmo período?

14. A amplitude de um oscilador levemente amortecido diminui 3, 0% a cada ciclo. Que parcelada energia mecânica do sistema se perda a cada oscilação completa?

15. Uma esfera sólida (raio = R) rola sem deslizar em uma canaleta cilíndrica (raio = 5R),como mostrado na Figura 4. Mostre que, para pequenos deslocamentos em torno daposição de equilíbrio a esfera executa um movimento harmônico simples com períodoT = 2π

√28R/5g.

16. Um pêndulo de comprimento L e massaM tem uma mola de constante elástica k conectadaa uma distância h do ponto de suspensão (Fig. 5). Encontre a frequência de vibraçãodo sistema para pequenos valores da amplitude (θ pequeno). (Assuma que a haste quesuspende o corpo é rígida mas negligencie sua massa)

17. Considere o pêndulo físico da Figura 6. (a) Se ICM é seu momento de inércia em torno deum eixo que passa através de seu centro de massa e é paralelo ao eixo que passa atravésdo ponto onda está o pivô, mostre que seu período é

T = 2π

√ICM +md2

mgd,

Figura 4: Problema 15 Figura 5: Problema 16 Figura 6: Problema 17

onde d é a distância entre o pivô e o centro de massa. (b) Mostre que o período tem umvalor mínimo quando d satisfaz a expressão md2 = ICM .

18. Para um determinado oscilador amortecido a massa do sistema é 1, 5 kg e a constante demola é igual a 8N/m. A força de amortecimento é dada por −b(dx/dt), onde b = 230 g/s.Suponha que o bloco seja inicialmente puxado para uma distância de 12 cm a partir da suaposição de equilíbrio e depois solto. (a) Calcule o tempo necessário para que a amplitudedas oscilações resultantes caia para um terço do seu valor inicial. (b) Quantas oscilaçõessão feitas pelo bloco nesse tempo?

19. A amplitude de um oscilador harmônico forçado é dada por,

xm(ωd) =Fm

[m2(ω2d − ω2)2 + b2ω2

d]1/2

,

onde Fm é a amplitude da força externa oscilante exercida. Na ressonância, (a) qual aamplitude do deslocamento e (b) qual a amplitude da velocidade do objeto oscilante?

20. O amortecimento é desprezível para uma massa de 0, 150 kg presa à uma mola leve deconstante 6, 30N/m. O sistema é regido por uma força oscilante com amplitude de 1, 70N .Para que frequência a força fará com que a massa oscile com uma amplitude de 0, 440m?

GABARITO

1.

2. (a)12 s, (b)0, 0833Hz, (c) 0, 524 rad/s

3. (a) 0, 4m/s e 1, 6m/s2, (b) 0, 32m/s e−0, 96m/s2, (c) 0, 232 s

4. (a) 0, 542 kg, (b) 1, 81 s, (c) 1, 2m/s2

5. (a) 0, 750m e x = −(0, 750m)sen(2t)

6. Qualquer frequência maior que 498Hz

7. (a) 12

(M + m

3

)v2, (b) 2π

√3M+m

3k

8. 6, 62 cm

9. (a) 2Mg e Mg(1 + y/L), (b) T = 4π3

√2Lg e

2, 68 s

10. (a) 28mJ , (b) 1, 02m/s, (c) 12, 2mJ , (d)15, 8mJ

11. (a) 34 , (b)

14 , (c)

xm√2

12. 99 cm

13. R/2

14.

15.

16. 12πL

√gL+ kh2

M

17.

18. (a) 14, 3 s, (b) 5,27 oscilações

19. (a) Fm/bω, (b) Fm/b

20. 1, 31Hz e 0, 641Hz