UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILLAJE LISA PELO MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTESProf. Marcos Honorato

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL1) Para a laje lisa mostrada abaixo:a) - Divida a estrutura em prticos;b) - Calcule a estrutura como prtico;c) - Dimensione a armadura de flexo; Distribua os momentos de acordo com a NBR6118;d) - Detalhe a armadura de flexo;e) - Verificar o pilar central puno pela NB1-78 e pela NBR 6118/2003.* DADOS: Laje com 18 cm de espessura; - Pilares com 4,0 metros de altura e seo 30 x 30 cm; - fck = 30,0 MPa; - Sobrecarga de 3,0 kN/m.

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILa)PRTICO EQUIVALENTE Os esforos atuantes sero calculados pelo Mtodo de Cross e para isso a estrutura ser dividida em prticos planos nas duas direes ortogonais. A estrutura acima pode ser dividida em seis prticos trs em cada direo, dois passando pelo pilar central e quatro passando pelos pilares laterais. Devido s simetrias geomtrica e de carregamento analisaremos apenas dois prticos em apenas uma das direes e adotaremos a soluo para a outra. Abaixo so mostradas figuras com as larguras colaborantes das lajes em cada prtico.Calculando primeiro o Prtico Equivalente Central, temos:

1 Passo: Verificao da espessura da lajeA NBR6118 prope (item 13.2..4.1):

para lajes Lisas como h = 18 cmVerificao OK!

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL2 Passo: Clculo das cargas atuantes no prtico equivalentePeso Prprio: gp = 25 kN/m. 25 . 0,18 4,5 kN/mSobrecarga: 3,0 kN/m QT = 7,5 kN/mO carregamento por metro linear fica sendo ento:7,5 . 5 37,5 kgf / mgp = 1,4 Aes permanentes normais (NBR 6118/2003) (Tabela 11.1 NBR)gq = 1,4 Aes variveis (cargas acidentais) (NBR 6118/2003)b)3 Passo: Determinao dos Momentos de Engastamento Perfeito Momentos de Engastamento Perfeito so momentos que as barras exerceriam sobre os ns da estrutura se estes fossem, assim, considerados apoios engastados. No caso da estrutura acima o prtico central que se obtm o seguinte:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILTemos as barras horizontais 1 e 2 (laje na estrutura real) consideradas engastadas nos ns A, B e C. Calculamos ento estas barras como estando bi-engastadas.

Uma estrutura engastada e apoiada com o seguinte diagrama de momentos fletores tem o seguinte momento de engastamento:NOTA:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL4 Passo: Clculo dos Momentos de Inrcia Rigidez das Barras- Pilares:

- Lajes:5 Passo: Clculo das Rigidezes Relativas das Barras (k)

- Barras bi-engastadas: - Barras engastadas e apoiadas: no temos este caso aqui.- Lajes: - Pilares:NOTA:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL6 Passo: Clculo dos Coeficientes de Distribuio (d)Os coeficientes de distribuio, d, em cada barra so os percentuais com que cada barra contribui com a rigidez total do n. - N A:- N B: - N C: igual ao N A.

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL O grfico final de momentos aps a aplicao do Mtodo de Cross o seguinte (em kN.m):Calculando esta estrutura por um software livre como o FTOOL, da PUC do Rio de Janeiro, temos (em kN.m):

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL Portanto, os resultados encontrados atravs do Mtodo de Cross perfeitamente vlido, com um clculo manual extremamente simples e rpido, chegando a um erro mximo de apenas 5%.Calculando agora o prtico lateral pelo Mtodo de Cross tendo como carregamento total 18,75 kN/m, temos como resultado o seguinte diagrama de momentos fletores:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL c)7 Passo: Distribuio dos Momentos no Prtico Equivalente segundo a NBR 6118:2003A NBR 6118:2003 define quatro faixas de distribuio de momentos em cada prtico equivalente:45% dos momentos positivos para as duas faixas internas;27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas;25% dos momentos negativos para as duas faixas internas;37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas externas.

Mais fcil para o calculista seria raciocinar da seguinte maneira:45% dos momentos positivos para as duas faixas laterais;55% dos momentos positivos para a faixa central;25% dos momentos negativos para as duas faixas laterais;75% dos momentos negativos para a faixa central.Com a figura da distribuio ficando da seguinte forma:

* Note-se que a figura da norma no foi alterada, foi apenas mostrada deforma diferente, com os pilares no centro e no nas laterais.Assim, o procedimento seguinte ser calcular as fraes dos momentos em cada faixa definida anteriormente.

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL PRTICO CENTRALFaixa Central- Negativos- PositivosFaixas Laterais- Negativos- PositivosPRTICO LATERALFaixa Central- Negativos- PositivosFaixas Laterais- Negativos- Positivos importante notar que os coeficientes utilizados no clculo dos momentos negativos no Prtico Lateral so o dobro do que a norma determina. Isto ocorre porque, o prtico sendo lateral, no possui duas faixas laterais como um prtico central; o que implica que se no procedermos desta maneira no atenderemos totalidade dos momentos atuantes nesta faixa.

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL 8 Passo: Clculo das Armaduras de Flexo segundo a NBR 6118:2003Dados:fck = 25 MPa

Ao CA-50 fyk = 500 MPabw = 2,5 m

ARMADURA MNIMA De acordo com a NBR 6118:2003 na seo 17.3.5.2, o valor mnimo de taxa de armadura definido na Tabela 17.3 para concreto com resistncia de 30 MPa rmin = 0,15%. Diste fato, tomando-se a largura de 1,25 m, tem-se:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL PRTICO CENTRALFaixa Central- Negativos 26 8,0 mm c/ 10- Positivos 29 8,0 mm c/ 9 29 12,5 mm c/ 9

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL Faixas Laterais (considerar a largura de distribuio de 1,25 m).- Negativos < As,min, adota-se As,min = 3,375 cm11 6,3 mm c/ 11 14 8,0 mm c/ 9 13 8,0 mm c/ 10- PositivoPRTICO LATERALFaixa Central- Negativos

6 12,5 mm c/ 10 7 20,0 mm c/ 9 6 12,5 mm c/ 10- Positivo

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL Faixas Laterais- Negativos < As,min, adota-se As,min = 3,375 cm 7 8,0 mm c/ 9 6 12,5 mm c/ 10 6 12,5 mm c/ 10- Positivo

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL d) 10 Passo: Detalhamento da armadura de flexo segundo a NBR 6118:2003 apresentado na figura a seguir o detalhamento do pavimento em uma direo, sendo este idntico ao apresentado para a direo ortogonal.

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL e)9 Passo: Clculo Puno segundo a NBR 6118:2003 A Norma brasileira adota duas verificaes para o clculo quanto resistncia puno de ligaes laje-pilar. So elas: verificao na primeira seo crtica C, que corresponde ao permetro de contorno do pilar ou rea carregada, e verificao na segunda seo crtica C, cujo permetro o contorno afastado de 2d do pilar ou rea carregada (correspondente ao Permetro Crtico u e u* na figura abaixo. Na primeira verificao checada indiretamente a tenso de compresso diagonal do concreto atravs da tenso de cisalhamento. Na segunda verificao checada a capacidade puno da ligao laje-pilar associada resistncia trao diagonal. Essa verificao tambm se faz atravs de uma tenso de cisalhamento no contorno C.Percebe-se que os ngulos entre as linhas que formam o permetro da seo crtica so suavizados atravs de trechos circulares (trechos de de crculo) cujos centros esto nos cantos dos pilares.

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL Clculo da tenso solicitantePara pilares interno com carregamento simtrico

Fsd : fora ou reao concentrada de clculo;u : permetro crtico;d : mdia aritmtica das alturas teis das armaduras passivas de flexo nas direes ortogonais;onde: Wp* : Mdulo de Resistncia Plstica perpendicular borda livre para o permetro u, dado pela equao:b) Para pilares internos quando houver transferncia de momento da laje para o pilar

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL Para pilares de borda quando no agir momento no plano paralelo borda livre da laje:onde:Msd : momento de extremidade de clculo (por qualquer mtodo);Msd* : momento de clculo resultante da excentricidade do permetro crtico reduzido u* em relao ao centro do pilar;u* : permetro crtico reduzido;e* : excentricidade do Permetro Reduzido. Wp1 : Mdulo de Resistncia Plstica perpendicular borda livre para o permetro u;Wp* : Mdulo de Resistncia Plstica perpendicular borda livre para o permetro u*.Wp1 e Wp* so dados pelas equaes abaixo: Tabela 1.1 Valores de K:C1 a dimenso perpendicular e C2 a dimenso paralela borda livre considerada.

C1/C20,51,02,03,0K10,450,600,700,80

MSd1 = (MSd MSd*) 0MSd* = Fsd . e*

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVIL Clculo da tenso resistentePara evitar uma ruptura por compresso diagonal do concreto na superfcie crtica C, uma verificao deve ser feita para lajes com ou sem armadura de puno: confronto entre a tenso atuante ou de projeto, tSd, e a tenso resistente tRd2: onde: tSd : dado anteriormente e calculado com u0 (permetro do pilar ou ponto de carregamento, permetro da superfcie C) em lugar de u;fcd : resistncia compresso de clculo do concreto;

b) Para evitar uma ruptura por puncionamento da laje na superfcie crtica C, em elementos estruturais ou trechos sem armadura de puno deve ser feita uma nova verificao: confronto entre a tenso atuante ou de projeto, tsd, e a tenso resistente tRd1:r : taxa geomtrica de armadura passiva de flexo. rx e ry so as taxas geomtricas de armadura nas direes ortogonais calculadas da seguinte forma:- na largura igual dimenso ou rea carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados;- no caso de proximidade da borda prevalece a distncia at a borda menor que 3d.Os valores de entrada de dx e dy devem ser fornecidos em centmetros e o valor de fck deve ser fornecido em MPa.tSd tRd2 = 0,27 av fcd , fck em MPaonde:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILc) Quando a verificao acima (tSd tRd1) no for atendida, haver a necessidade de armadura de puno e a verificao da superfcie crtica C dever ser feita de acordo com a equao:onde:sr : espaamento radial entre linhas da armadura de puno, no maior que 0,75.d;Asw : rea de armadura de puno num contorno completo paralelo a C;fywd : resistncia da armadura de puno, limitada a 300 MPa para conectores e 250 MPa para estribos (aos CA-50 ou CA-60) em lajes com espessura menor que 15 cm, acima deste valor

d) No caso da necessidade de armadura de puno, deve-se realizar uma terceira verificao. A uma distncia de 2d do ltimo contorno de armadura define-se a superfcie crtica C, como visto na figura abaixo, cuja tenso atuante tSd, deve satisfazer condio tSd tRd1.Na presena de armadura de puno em uma ligao, trs verificaes devem ser feitas:- tenso de compresso do concreto no contorno C, conforme item a);- tenso resistente puno no contorno C conforme item c);- tenso resistente puno no contorno C, sem armadura de puno, conforme item d).IMPORTANTE

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILPILAR INTERNO Tenso atuante:Superfcie Crtica C:Superfcie Crtica C:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILOK!Tenso resistente:- Verificao do permetro C:No haver esmagamento por compresso diagonal do concreto.

- Verificao do permetro crtico C:A norma permite que este valor seja aumentado em 20% no caso de pilares internos por causa do estado mltiplo de tenses junto a este quando os vos no diferirem em mais de 50%. Sendo assim, o valor de tRd1 pode chegar a 9,48 kgf/cm.OK!

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILOK!OK!PILAR DE BORDATenso atuante:- Superfcie Crtica C:- Superfcie Crtica C:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILOK!OK!Tenso resistente:- Verificao do permetro C: No haver esmagamento por compresso diagonal do concreto.

- Verificao do permetro crtico C: Caso fosse necessria a verificao com armadura de puno para esta ligao, o procedimento a ser adotado seria o seguinte. Adotando a distribuio abaixo para a armadura de puno, com 16,0 mm e sr = 10 cm, tem-se:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILOK!OK!- Superfcie Crtica C:Nota: a tenso resistente na superfcie crtica C no muda em relao calculada anteriormente para C em virtude da distribuio uniforme da armao passiva. Assim, na superfcie crtica C a condio tSd tRd1 atendida com o aumento da rea (u*.d) de distribuio da carga atuante FSd. No clculo acima o comprimento u* deixa de ser o definido anteriormente para a superfcie C, para ser o visto na figura acima, de acordo com o texto da norma para essa situao.

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILPILAR DE CANTOTenso atuante:

Superfcie Crtica C:Superfcie Crtica C:

UNIVERSIDADE DE BRASLIAENGENHARIA CIVILOK!

Tenso resistente:- Verificao do permetro C:No haver esmagamento por compresso diagonal do concreto.

- Verificao do permetro crtico C:OK!* * * * *

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