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U�IVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

DEPARTAME�TO DE E�GE�HARIA CIVIL

Estabilidade em Estruturas de Aço

Trabalho apresentado ao departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal de São

Carlos como requisito para a obtenção do grau de

Engenheira Civil.

Michelle Magalhães Paulin

Orientador: Prof. Dr. Alex Sander Clemente de Souza

São Carlos

Junho de 2007

1

SUMÁRIO

Resumo.........................................................................................................................5

1 Introdução..........................................................................................................6

1.1 Justificativa ...................................................................................................7

1.2 Objetivos........................................................................................................7

1.3 Estrutura do Trabalho .................................................................................7

2 Conceitos Básicos ..............................................................................................9

3 Procedimentos �ormativos..............................................................................19

3.1 �BR 8800:1986 ...........................................................................................19

3.2 �BR 8800:2007 ...........................................................................................19

3.2.1 Tipos de análise estrutural ......................................................................20

3.2.2 Classificação da estrutura segunda a NBR 8800:2007...........................20

3.2.3 Análise de segunda ordem......................................................................21

3.2.4 Exemplo: ................................................................................................24

3.3 �BR 6118:200 .............................................................................................31

3.3.1 Parâmetro de instabilidade α..................................................................33

3.3.2 Coeficiente γz..........................................................................................34

3.3.3 Análise das estruturas de nós fixos.........................................................35

3.3.4 Análise de estruturas de nós móveis.......................................................35

3.3.5 Análise não-linear com 2ª ordem ...........................................................35

3.3.6 Consideração aproximada da não-linearidade física ..............................36

3.3.7 Exemplo Cálculo do coeficiente γz:........................................................37

4 Metodologia .....................................................................................................41

4.1 - Os modelos ................................................................................................41

4.1.1 Pórtico piloto ..........................................................................................42

4.1.2 Pórticos Simples .....................................................................................43

4.1.3 Pórticos de dois tramos...........................................................................46

4.2 Programa MASTA� ..................................................................................49

2

5 Resultados ........................................................................................................50

5.1 Pórtico Piloto...............................................................................................50

5.2 Pórtico 1.......................................................................................................53

5.3 Pórtico 2.......................................................................................................56

5.4 Pórtico 3.......................................................................................................59

5.5 Pórtico 4.......................................................................................................63

6 Conclusões .......................................................................................................68

7 Referências Bibliográficas ..............................................................................69

3

Í�DICE DE FIGURA

Figura 1– Dois tipos de efeito de segunda-ordem: P-δ e P-∆............................................................................... 10

Figura 2: Resposta da estrutura em função do modelo de análise ....................................................................... 12

Figura 3: RISA-3D P-∆ Análise ............................................................................................................................ 16

Figura 4: Modelo de pórtico para cálculo de Mnt e Mlt....................................................................................... 22

Figura 5: Modelo Piloto........................................................................................................................................ 25

Figura 6: Pórtico com as combinações das ações. ............................................................................................... 26

Figura 7: Deslocamento de Primeira Ordem........................................................................................................ 27

Figura 8: Estrutura para análise de 2ª ordem simplificada considerando imperfeições geométricas e de material

............................................................................................................................................................................... 28

Figura 9: Deslocamento de 2a ordem simplificado devido às imperfeições geométricas e de material ............... 29

Figura 10: Pórtico indeslocável (com apoios fictícios) – Local e Pórtico deslocável – Global. .......................... 29

Figura 11: Diagrama de Momento – Local. ......................................................................................................... 30

Figura 12: Diagrama de Momento – Global. ...................................................................................................... 30

Figura 13: Estrutura para análise de gama z considerando a não-linearidade física e majorando os esforços

horizontais ............................................................................................................................................................. 39

Figura 14: Deslocamento devido as imperfeições geométrica e de material pelo método Gama Z. ................... 39

Figura 15: Pórtico Piloto...................................................................................................................................... 43

Figura 16: Pórtico Simples 5 pavimentos ............................................................................................................. 44

Figura 17: Pórtico Simples 11 pavimentos ........................................................................................................... 46

Figura 18: Pórtico dois tramo 5 pavimentos ........................................................................................................ 47

Figura 19: Pórtico dois tramos 11 pavimentos..................................................................................................... 48

4

Í�DICE DE TABELA

Tabela 1: Parâmetro de Classificação de Estrutura segundo BBR 8800:2007 .................................................... 21

Tabela 2: Imperfeições a ser consideradas. .......................................................................................................... 24

Tabela 3: Classificação da estrutura B2 - Pórtico Piloto. .................................................................................... 27

Tabela 4: Cálculo de B1 – Pórtico piloto .............................................................................................................. 31

Tabela 5: Determinação de Msd – Pórtico Piloto.................................................................................................. 31

Tabela 6: Classificação segundo BBR 6118:2003 - Coeficiente γz ....................................................................... 35

Tabela 7- Estrutura que necessitam de análise de 2ª ordem - BBR 6118:2003 .................................................... 36

Tabela 8: Deslocamento devido ao momento de 1ª Ordem................................................................................... 37

Tabela 9- Momento 2a ordem- gama z .................................................................................................................. 40

Tabela 10 – Pórticos Analisados........................................................................................................................... 42

Tabela 11: Cálculo do γz – Pórtico Piloto. ............................................................................................................ 50

Tabela 12: Classificação da estrutura B2 - Pórtico Piloto. .................................................................................. 50

Tabela 13: Momentos Fletores - Pórtico Piloto.................................................................................................... 51

Tabela 14: Deslocamentos - Pórtico Piloto. ......................................................................................................... 52

Tabela 15: Cálculo do γz – 1 tramo 5 pavimentos ................................................................................................. 53

Tabela 16- Classificação da estrutura B2 -1 tramo 5 pavimentos ........................................................................ 53

Tabela 17: Momentos Fletores - 1 tramo 5 pavimentos........................................................................................ 54

Tabela 18: Deslocamentos - 1 tramo 5 pavimentos .............................................................................................. 55

Tabela 19: Cálculo do γz – 1 tramo 11 pavimentos ............................................................................................... 56

Tabela 20- Classificação da estrutura B2 -1 tramo 11pavimentos ....................................................................... 56

Tabela 21: Momentos Fletores - 1 tramo 11pavimentos....................................................................................... 57

Tabela 22: Deslocamentos - 1 tramo 11pavimentos ............................................................................................. 59

Tabela 23: Cálculo do γz – 2 tramo 5 pavimentos ................................................................................................. 60

Tabela 24- Classificação da estrutura B2 – 2 tramo 5 pavimentos ...................................................................... 60

Tabela 25: Momentos Fletores - 2 tramo 5 pavimentos........................................................................................ 61

Tabela 26: Deslocamentos - 2 tramo 5 pavimentos .............................................................................................. 62

Tabela 27: Cálculo do γz – 2 tramo 11pavimentos ................................................................................................ 63

Tabela 28- Classificação da estrutura B2 – 2 tramo 11pavimentos ..................................................................... 64

Tabela 29: Momentos Fletores - 2 tramo 11pavimentos....................................................................................... 64

Tabela 30: Deslocamentos - 2 tramo 11pavimentos ............................................................................................. 66

5

Resumo

Este trabalho de conclusão de curso tem como objetivos analisar a estabilidade e os

efeitos de 2ª ordem em edifícios de múltiplos andares em aço. Pretende-se avaliar os métodos

para análise da estabilidade global apresentados no texto de revisão da NBR 8800:2007 e da

NBR 6118:2003, alem de verificar os softwares existentes para este tipo de análise.

Modelos representativos de estruturas de edifícios com 5 e 11 pavimentos e serão

analisados segundo as normas supracitadas, e os resultados comparados entre si e com

análises exatas de 2ª ordem realizadas no programa MASTAN. As comparações permitirão

avaliar os limites de aplicabilidade dos procedimentos simplificados, como também a

sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem das estruturas analisadas em função da altura.

6

1 Introdução

Os projetos de estruturas em geral são tradicionalmente desenvolvidos considerando-

se a estrutura perfeita, sem imperfeições iniciais e utilizando uma análise elástica linear. Essa

é uma situação confortável para o projetista, pela facilidade de modelagem e avaliação

estrutural que, no entanto, não reflete a condição real.

Portanto para o dimensionamento de estruturas não basta apenas analisar a estrutura,

tem-se que analisar sua estabilidade, e com a evolução de hardware e software tornou

possíveis análises estáticas e dinâmicas de estruturas espaciais muito sofisticadas,

possibilitando a utilização de modelos refinados que melhor representam o comportamento

real das estruturas.

Isto se torna especialmente importante em regiões com presença de intensas

atividades sísmicas, e/ou outras solicitações dinâmicas, como algumas situações de

carregamento de vento.

Em estruturas metálicas, na maioria dos casos a instabilidade é o modo de falha

predominante, logo faz-se necessário a análise da instabilidade da estrutura.

A análise da estrutura pode ser realizada em primeira ordem ou em segunda ordem

sendo que esta última é mais apropriada para a verificação da estabilidade. A análise em

primeira ordem pressupõe, para o cálculo de esforços e deslocamentos, o equilíbrio da

estrutura em sua posição inicial indeformada. Ao contrário, a análise em segunda ordem

estabelece o equilíbrio da estrutura na posição deformada, gerando esforços adicionais devido

à ação das forças aplicadas sobre os deslocamentos.

Em estruturas de edifícios de múltiplos andares ocorrem efeitos de 2ª ordem globais

(denominados P-∆) e locais nos elementos constituintes (denominados P-δ). Esses efeitos são

oriundos dos deslocamentos que geram esforços adicionais e alteram os próprios

deslocamentos; caracterizando um comportamento geometricamente não-linear.

As análises de segunda ordem podem ser análise exata ou simplificada, sendo que a

primeira é uma análise trabalhosa e exigem programas computacionais específicos, já o

procedimento simplificado são tratados em normas.

A revisão da norma NBR 8800:2007 apresenta em seu conteúdo o método da método

da amplificação dos esforços solicitantes, e a NBR 6118:2003 o método do coeficiente γz., um

método simplificado que considera a instabilidade da estrutura.

7

1.1 Justificativa

A escolha do tema deve-se pelo interesse pessoal da aluna em estruturas metálicas e

pela continuação de um estudo realizado na bolsa de iniciação cientifica cujo tema foi estudo

das ações e solicitações do vento em estrutura de concreto. Além de haver poucos estudos

acadêmicos relacionados a esse tema. Ressaltar a importância do tema para as estruturas, e

destacar que esses procedimentos estão sendo incluídos na norma nova e não eram tratados na

antiga, pois a NBR 8800:1986 é omissa e desatualizada, o projeto de revisão da NBR

8800:2007 é mais completa e está em aprovação.

1.2 Objetivos

Apresentar e discutir os conceitos básicos sobre análise de estabilidade estrutural,

métodos de análise de segunda ordem, e os critérios de estabilidade para estruturas metálicas

apresentados na nova norma brasileira NBR 8800:2007.

Aplicar os procedimentos da norma a pórticos com diferentes configurações e

comparar os procedimentos simplificados com a analise aproximadas incluindo a não

linearidade geométrica, além de fazer uma comparação com a NBR 6118:2003, verificando se

o método do coeficiente γz pode ser aplicável a estrutura metálica.

1.3 Estrutura do Trabalho

Este trabalho é apresentado em 6 capítulos. No capítulo 1 uma breve apresentação

com introdução, justificativa e objetivo.

No capítulo 2 apresentam-se conceitos básicos sobre a estabilidade dos pórticos

planos de aço, visando ao entendimento do comportamento global dessas estruturas. São

apresentados alguns conceitos fundamentais importantes que envolvem o estudo da

estabilidade dos pórticos, incluindo as definições teóricas das análises de 2ª ordem utilizadas

no cálculo das estruturas, a classificação das estruturas aporticadas, uma revisão das análises

de 2ª ordem exatas, analise de 2ª ordem aproximada e análise de 2ª ordem simplificada.

No capítulo 3 são abordados os procedimentos normativos. Primeiramente

comparando as normas NBR 8800:1986 e a NBR 8800:2007 o que era aplicável e como esse

assunto é tratado hoje. Posteriormente o método da amplificação dos esforços solicitantes (B1-

B2) que a NBR 8800:2007 traz, e o método do Coeficiente γz, adotado pela NBR 6118: 2003.

8

No capítulo 4 são apresentados diversos casos de pórticos planos de aço, não-

contraventados, de vários andares, utilizando-se os métodos aproximados apresentados no

capítulo anterior.

No capitulo 5 analisa-se os comportamento global dos pórticos planos, de forma

qualitativa, por meio de gráficos e tabelas com o objetivo de avaliar a consistência e precisão

desses métodos aproximados.

Finalmente, no capítulo 6 são apresentadas as conclusões do trabalho, onde os

métodos aproximados de análise são avaliados e comparados com os resultados de uma

análise rigorosa em 2ª ordem, obtidos pelo programa MASTAN2v3.

9

2 Conceitos Básicos

O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações na estrutura,

visando efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise deve ser feita

com um modelo estrutural realista, que permita representar a resposta da estrutura e dos

materiais estruturais.

Para o dimensionamento de estruturas não basta apenas uma análise linear de

primeira ordem para determinar os esforços provenientes dos carregamentos verticais é

necessária fazer uma verificação de segunda ordem. Esta analise de segunda ordem verifica a

estabilidade de uma estrutura.

As análises estruturais realizadas na prática da engenharia, em geral têm como base a

análise elástica em 1ª ordem. A característica principal de uma análise estrutural em teoria de

1ª ordem é aquela que define que o equilíbrio da estrutura deve ser feito considerando-a na

sua posição indeslocada. Está implícito nesta definição que os deslocamentos não afetam o

equilíbrio da estrutura, ou seja, eles são pequenos e, necessariamente, vale a hipótese de

pequenos deslocamentos.

A análise elástica em 1ª ordem, para alguns casos pode ser suficientes, como para

algumas estruturas onde sua rigidez é alta, no caso de concreto, mas para estruturas metálicas

que tem sua rigidez muito menor, pode ser uma estimativa pobre dos esforços e

deslocamentos.

Na análise em teoria de 2ª ordem, a característica principal é aquela que define que o

equilíbrio deve ser feito considerando a estrutura na sua posição deslocada. Neste caso está

implícito que os deslocamentos afetam o equilíbrio da estrutura, entretanto, esta análise pode

ser feita tanto em regime de pequenos quanto de grandes deslocamentos. É importante

enfatizar que o estudo da estabilidade da estrutura só pode ser feito em teoria de 2ª ordem.

LOPES et al.(2005) afirmam que efeitos de segunda ordem pode ser ocasionado, por

exemplo pela ação do vento que propiciam o surgimento de deslocamentos horizontais.

Segundo SIMÕES (2005), na análise de primeira ordem os esforços internos e

deslocamentos são obtidos a partir da geometria inicial indeformada da estrutura, e a análise

de segunda ordem os esforços internos são influenciados pela configuração deformada da

estrutura.

Numa estrutura porticada, com elementos submetidos a esforços axiais, pelo menos

dois tipos de efeitos de 2ª ordem podem ser identificados.

10

São geralmente designados por efeitos P-∆ (efeitos globais) ou efeito P-δ (efeitos

locais ao nível do deslocamento) - Figura 1.

Figura 1– Dois tipos de efeito de segunda-ordem: P-δ e P-∆

O efeito P-∆, está relacionado com a estabilidade da estrutura (efeito global), na qual

as cargas verticais atuando no deslocamento lateral da mesma produzem momentos de

tombamento de 2ª ordem e de acordo com CAMOTIM e REIS (2001), tende a ficar com uma

configuração deformada do pórtico a uma linha poligonal definida pelas cordas das varias

barras. Estes efeitos de 2a ordem são provocados pelas cargas verticais aplicadas, são mais

preocupantes em pórticos não contraventados e originam diagramas fletores adicionais

lineares.

Já o P-δ, está relacionado com a estabilidade de cada barra (efeito local), na qual a

força normal atuando na deformação barra relativa a sua corda produz o momento de 2ª

ordem e segundo CAMOTIM e REIS (2001) estão relacionados com os deslocamentos das

configurações deformadas de cada barra comprimida do pórtico em relação à posição da

corda. Estes efeitos são provocados pelos esforços de compressão, existindo tanto em pórticos

contraventados e não contraventados e originam diagramas de momento fletores adicionais

não lineares.

Os efeitos locais e globais causam aumento de deformação e, conseqüentemente, de

tensão na barra, provocando redução em sua resistência e desestabilização na estrutura. A fim

de assegurar um dimensionamento seguro esses efeitos devem ser considerados.

Existem diversos métodos de analise linear de segunda ordem, podendo ser dividido

segundo LOPES et al.(2005) em analise de 2ª ordem exatas, analise de 2ª ordem aproximadas

e analise de 2ª ordem simplificada.

11

A análise de 2ª ordem exata ou rigorosos, as equações de equilíbrio são escritas na

configuração deformada do pórtico, a qual vai variando à medida que as cargas vão sendo

aplicadas. Esta analise são feitas através do método dos elementos finitos e trabalha com a

não linearidade geométrica. Esta forma de analise é de grande grau de complexidade e

sofisticação.

LOPES et al.(2005) apresentaram algumas técnicas para analise de 2ª ordem

aproximadas, dentre elas: o método de dois ciclos iterativos, o método da carga lateral fictícia,

o método da carga de gravidade iterativa e o método da rigidez negativa.

As equações de equilíbrio para a análise aproximada geralmente são escritas na

configuração indeformada do pórtico, sendo os efeitos geometricamente não lineares

incorporados de uma forma indireta e interativa.

O método da carga lateral fictícia, também denominado de processo P-∆ consiste de

uma série de análises lineares interativas buscando os deslocamentos finais na estrutura e

pode ser resumido nos seguintes passos:

- Análise elástica-linear em primeira ordem para determinar os deslocamentos

relativos entre pavimentos devido aos carregamentos horizontais;

- Determinação das forças horizontais fictícias, ao nível de cada pavimento,

equivalentes ao binário resultante do momento gerado pelas forças verticais sobre os

deslocamentos horizontais.

- Essas forças fictícias são somadas às forças horizontais iniciais e é feita uma nova

análise determinando novos valores de deslocamentos e de forças horizontais fictícias, que

são novamente somadas às forças horizontais iniciais.

- Este processo é repetido até a convergência dos deslocamentos.

O processo P-∆ converge rapidamente e os resultados se aproximam

satisfatoriamente daqueles obtidos em análises exatas. No entanto, como o processo considera

apenas os efeitos de 2ª ordem globais (P-∆) em estruturas muito esbeltas ou com muitas linhas

de pilares os resultados podem divergir dos obtidos em análises exatas

Os métodos simplificados os deslocamentos finais e esforços de 2ª ordem são

calculados modificando os esforços e deslocamentos obtidos em uma análise de 1ª ordem,

com fatores de modificação. O uso dos coeficientes de modificação é baseado na semelhança

entre o modo de instabilidade do pórtico e sua configuração deformada.

12

Na Figura 2 apresenta-se a resposta força x deslocamento de uma estrutura segundo

vários tipos de análise.

Figura 2: Resposta da estrutura em função do modelo de análise

Os processos simplificados de análise de 2ª ordem fazem uso dos coeficientes de

modificação que são baseados na semelhança entre o modo de instabilidade do pórtico e sua

configuração deformada e são tratados nas normas NBR 8800:2007 e NBR 6118:2033.

Na NRB 6118:2003 alguns parâmetros de instabilidades podem ser visto, como o

Parâmetro de Instabilidade α e o coeficiente γz e na NBR 8800:2007 método da amplificação

dos esforços solicitantes.

O primeiro parâmetro de sensibilidade de efeito de 2a ordem denominado parâmetro

α, que tem origem nos estudos de barras de Euler, reúne a influencia do numero de

pavimentos da edificação, dos momentos de inércia dos pilares e da carga vertical total nas

fundações.

O parâmetro de instabilidade, coeficiente γz é um processo para verificação da

estabilidade global menos simplificado do que o parâmetro α, principalmente por considerar

em seu calculo os momentos produzidos pelo carregamento incidente na estrutura e não

apenas sua geometria e a carga vertical.

O parâmetro γz pode ser determinado a partir dos resultados de uma analise linear de

1a ordem, para cada caso de carregamento.

13

O método da amplificação assume que o comportamento de cada andar seja

independente, e que o momento nos pilares decorrente dos efeitos de 2ª ordem seja

equivalente aos causados por uma força lateral igual a ∑ ∆ hFv / (binário do momento

causado pelo somatório das forças verticais no andar pelo deslocamento horizontal) pode ser

determinada a rigidez de cada pavimento fazendo:

total

vH

ordem

HhFFF

lateraltodeslocamen

horizontalforçaR

a ∆

∆+=

∆== ∑ /

1

: Equação 1

Onde

- FH : Força horizontal no andar considerado

- Fv: Forças verticais no andar considerado

- ordema1

∆ : Deslocamento horizontal de 1ª ordem

- h: Altura do pavimento

- total∆ : Deslocamento final total incluindo os efeitos de 2ª ordem

Resolvendo a equação é possível determinar o deslocamento final total∆ por:

∆=∆

∆−

=∆

∑∑ 2

1

1B

hF

F

H

v

total : Equação 2

Logo os deslocamentos finais, incluindo os efeitos de 2ª ordem globais, podem ser

estimados multiplicando-se os efeitos de 1ª ordem por um coeficiente de modificação B2.

Desde que os momentos fletores sejam proporcionais aos deslocamentos laterais, o

coeficiente B2 também pode ser aplicado aos momentos fletores de 1ª ordem para obter os

momentos fletores em 2ª ordem.

De forma análoga, é possível demonstrar que os esforços finais de 2ª ordem locais, nas

barras que compõem a estrutura, podem ser obtidos multiplicando os efeitos de 1ª ordem por

um fator de modificação B1 dado por:

14

e

m

P

P

CB

−

=

11 : Equação 3

Onde:

- P : Força normal de cálculo

- Pe : Força normal de flambagem elástica

- Cm: Coeficiente que considera o efeito da distribuição não uniforme de momento

fletor na barra (coeficiente de uniformização de momentos).

O coeficiente Cm é função das condições de vinculação das extremidades e do

carregamento na barra.

De forma geral, por este procedimento, ou seja, utilizando coeficiente de

amplificação, os esforços finais (momento fletor e força normal), considerando os efeitos de

segunda ordem locais e globais podem ser determinados pelas expressões seguintes:

ltntr

ltntr

PBPP

MBMBM

2

21

+=

+= : Equação 4

Duas análises elásticas de primeira ordem são necessárias para o cálculo das parcelas

Mnt e Mlt.

Mnt é o momento fletor solicitante de cálculo, assumindo não existir deslocamento

lateral na estrutura, ou seja, os nós são impedidos de se deslocar horizontalmente. Essa

parcela inclui os momentos de 1ª ordem devido ao carregamento total (forças ou ações

verticais e horizontais) da estrutura.Para o cálculo de Mnt utiliza-se na análise uma contenção

horizontal fictícia em cada andar.

Mlt é o momento fletor solicitante de cálculo devido ao deslocamento lateral do

pórtico e obtido também por análise elástica de 1ª ordem. Esta parcela inclui os momentos

devidos apenas ao efeito dos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura (efeito das

reações das contenções fictícias aplicadas nos mesmos pontos e em sentido contrário).

O método aproximado B1-B2 considera na sua formulação ambos os efeitos P-δ e P-∆

quanto que o método P-Delta e o método do Coeficiente γz consideram apenas o efeito P-∆,

sendo necessário que as equações de interação considerem implicitamente o efeito P-δ.

15

Estes parâmetro serão melhor discutidos e analisados no item 3. Procedimentos

Normativos.

Todos os métodos de analise linear de segunda ordem, citados acima podem servir

para a análise de análise de 2ª ordem.

Com o grande desenvolvimento da informática, em hardwares e softwares, é possível

realizar análises mais rigorosas incluindo efeitos como as imperfeições iniciais dos elementos

da estrutura, tensões residuais, ligações semi-rígidas, efeitos térmicos, além de outros efeitos

de segunda ordem.

LOPES, et al (2005) apresentaram 4 programas comerciais que contemplam esses

efeitos de segunda ordem.

SAP2000� V.8: É necessária uma análise iterativa para determinar as forças axiais

provenientes do efeito P-Delta em estruturas reticuladas. Encontra-se, também, que as forças

axiais em cada elemento são estimadas por meio de uma análise preliminar da estrutura.

Para determinação dos efeitos P-∆, está baseado na utilização da matriz de rigidez

geométrica e embora seja capaz de analisar os efeitos P-∆ e P−δ é recomendável usar o

programa para fazer a análise do efeito P-∆ na estrutura, e usar fatores majoradores de

momentos para determinar os efeitos P−δ nos elementos.

A�SYS V.5.4: Assumem-se as hipóteses de que as deformações e rotações são

pequenas, o efeito da não-linearidade geométrica pode ser considerado adicionando-se à

matriz de rigidez elástica uma matriz denominada “matriz de rigidez de tensão” que é similar

a matriz de rigidez geométrica. A matriz de rigidez de tensão é calculada baseada no estado de

tensão das equações de equilíbrio.

ALTOQI EBERICK V.5: O processo utilizado pelo Módulo Master é o mesmo

descrito no Anexo L da NBR 8800 (Projeto e Execução de Estruturas de Aço de Edifícios),

que se baseia no estudo do equilíbrio da estrutura deformada após a análise de 1ª ordem.

CAD/TQS V.11.5.53: adota o método de Newton-Raphson modificado que é um

método de controle de carga com iterações. Nesta formulação podem-se avaliar os efeitos P-∆

e P−δ.

No trabalho de SCHIMIZZE (2001), são apresentados quatro programas comerciais,

RISA-3D, ROBOT Millennium, SAP2000 Plus, STAAD-III.

16

Segundo SCHIMIZZE (2001) o programa RISA-3D o calculo de momento de

segunda ordem é feito por um processo iterativo.

A solução é semelhante ao Método da Força Lateral Equivalente ou Fictícia (P-

Delta) na qual do os momentos de segunda-ordem são modelados calculando o cisalhamento

secundário, como mostra a Figura 3

Figura 3: RISA-3D P-∆ Análise

O procedimento começa resolvendo o modelo com o carregamento original aplicado,

em seguida calcula-se o cisalhamento secundário, V, para cada barra do modelo de acordo

com a equação:

V = P∆/L

Em seguida, calculado o cisalhamento secundário, adiciona-se ao carregamento

original e o modelo é resolvido novamente. Compara-se a nova solução com a anterior e este

procedimento é repetido até que eles entrem em um nível de tolerância aceitável,

normalmente 0,5 %. O programa monitora o processo e pára automaticamente se a solução

divergir drasticamente. Quando o deslocamento torna-se mais de 1000 vezes maior do que o

deslocamento máximo original, o modelo é considerado instável.

17

Esta solução procede apenas para pórticos de efeito global (P-∆) e não é capaz de

analisar os efeitos locais (P−δ). Para mais adequar, deve-se considerar todo efeito de segunda

ordem, por isso nós adicionais podem ser inseridos ao longo do comprimento barra, para que

estes se desloquem calculando-se feito P-∆.

ROBOT Millennium: O manual do usuário ROBOT apresenta uma teoria básica

compreensiva para análise do P-∆. Para considerar o efeito P-∆, o programa utiliza um

procedimento interativo que atualiza a matriz de rigidez geométrica para cada passo de

carregamento. Acrescentando, o programa considera o efeito local (P−δ) incorporando

funções de estabilidade no processo de análise.

SAP2000 Plus: o manual para SAP2000 Plus também traz que “uma análise

interativa é requerida para determinar as forças axiais P-∆ nos elemento do pórtico”. Isto

explica que a força axial de cada barra do pórtico é estimada através de análises preliminares

da estrutura. Em seguida, considerando essas forças axiais, equações de equilíbrio são

resolvidas novamente, o que pode criar diferentes forças axiais nos elementos “se a rigidez

modificada causar uma força de redistribuição”. Interações adicionais são realizadas até que

as forças axiais e desvios convirjam, com uma tolerância tipicamente de 0,01.

Adicionalmente, o manual explica que apesar do SAP2000 ser capaz de analisar tanto P−δ e

P-∆ é recomendado usar o programa para determinar o P-∆, utilizando majoração dos fatores

dos momentos aplicáveis para determinar o P−δ.

STAAD-III: este programa também tem a capacidade de analisar os efeitos de

segunda ordem P-∆. O procedimento de soluções simplificadas utiliza vetor de carga revisado

para incluir efeitos secundários. Primeiramente, os desvios são calculados baseados nos

carregamentos originais aplicados. Em seguida, os desvios são combinados com o

carregamento original aplicado para criar os carregamentos secundários. Baseado no novo

carregamento o Vetor do carregamento é revisado para incluir efeitos secundários.

Finalmente, o vetor de carregamento revisado é utilizado em uma nova análise de rigidez e

novas forças da barra e reações são calculadas baseadas nos novos desvios. Essa solução

procede apenas para P-∆ e não é possível avaliar o efeito local P−δ.

O programa MASTAN2v3 foi utilizado neste trabalho afim de realizar os efeitos de

segunda ordem e as análises lineares.

MASTA�2v3: Em muitos aspectos o programa semelhante ao de hoje disponível no

mercado softwares de funcionalidade

18

O processo utilizado pelo programa é conhecido como processo incremental e sua

análise linear e da não linearidade baseiam-se nos estudos teóricos e formulações numéricas

apresentadas no texto Matrix Structural Analysis, 2nd Edition, por McGuire, Gallagher, e

Ziemian (John Wiley & Sons, Inc. 2000).

O programa foi escrito em formato modulares, onde o leitor tem a oportunidade de

desenvolver e implementar alternativa análise rotinas diretamente dentro do programa

Foi desenvolvido pelos professores de engenharia civil Ronald D. Ziemian e

William McGuire da universidade de Bucknell e Cornell respectivamente.

19

3 Procedimentos �ormativos

Com a tendência de se projetar estruturas cada vez mais arrojadas, e com o avanço

tecnológico a área de engenharia ganha cada vez mais software capaz de representar modelos

mais sofisticados, que buscam simular o comportamento de estruturas com a realidade.

Com isso as normas estão sempre em constantes revisões em busca do que é mais de

atual em calculo de estruturas.

Neste item vamos tratar das normas NBR 8800:1986, NBR 8800:2007 e NBR

6118:2003.

3.1 �BR 8800:1986

Em 1986 a NBR 8800 em seu item 4.9.2 recomenda que deve ser garantida a

estabilidade da estrutura com um todo e a de cada elemento componente devendo também ser

considerados os efeitos significativos que resultam da deformação da estrutura ou de seus

elementos individuais, que fazem parte do sistema resistente a esforços laterais, incluindo

efeitos em vigas, pilares, contraventamentos, ligações e paredes estruturais.

Para estruturas até dois andares, as solicitações de cálculo podem ser determinadas

por análise plástica, ignorando-se os efeitos de segunda ordem (efeito P-∆).

Mas não busca explicar como essa análise de ser feita ficando a critério do projetista

decidi-la.

3.2 �BR 8800:2007

Com as revisões realizadas ao longo do tempo a NBR 8800:2007 trata-se sobre o

assunto baseado nos procedimentos AISC: 2005.

O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações na estrutura,

visando efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço.

A análise estrutural deve ser feita com um modelo realista, que permita representar a

resposta da estrutura e dos materiais estruturais.

20

3.2.1 Tipos de análise estrutural

A NBR 8800:2007 apresenta em seu item 4.9.2 tipos de analise estrutural pode ser

classificado de acordo com considerações do material e dos efeitos dos deslocamentos da

estrutura.

3.2.1.1 Quanto aos materiais:

Análise global elástica é sempre permitida, mesmo que os esforços resistentes da

seção transversal sejam avaliados considerando-se a plasticidade.

A análise global plástica pode ser usada para seções compactas desde que as seções e

as ligações possuam capacidade de rotação suficiente. A estabilidade da estrutura deve ser

verificada para essa condição.

A não-linearidade do material pode ser considerada em alguns casos, de forma

indireta, efetuando-se uma análise elástica reduzindo-se a rigidez das barras.

3.2.1.2 Quanto ao efeito dos deslocamentos:

Os esforços internos podem ser determinados por análise linear (teoria de primeira

ordem), com base na geometria indeformada da estrutura e análise não-linear, com base na

geometria deformada da estrutura.

A análise não-linear deve ser usada sempre que os deslocamentos afetarem de forma

significativa os esforços internos. Essa análise pode ter como base teorias geometricamente

exata, teorias aproximadas ou adaptações a resultados da teoria de primeira ordem. Nesta

norma, os três tipos de análise são denominados de segunda ordem.

Os efeitos decorrentes dos deslocamentos horizontais dos nós da estrutura são ditos

efeitos globais de segunda ordem (P-∆) e os decorrentes da não-retilinidade dos eixos das

barras, efeitos locais de segunda ordem (P-δ).

3.2.2 Classificação da estrutura segunda a �BR 8800:2007

Para NBR 8800:2007, existem estruturas com pequena, média e grande

deslocabilidade.

Estrutura de pequena deslocabilidade são aquelas deslocabilidade quando, em todos os

seus andares, a relação entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise

de segunda ordem e aquele obtido na análise de primeira ordem, em todas as combinações

últimas de for igual ou inferior a 1,1, ou seja, B2 < 1,1.

21

Uma estrutura é classificada como de média deslocabilidade quando a máxima relação

entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda ordem e

aquele obtido na análise de primeira ordem, considerando todos os andares e todas as

combinações últimas de ações forem superiores a 1,1 e igual ou inferior a 1,4, portanto

1,1<B2< 1,4.

E de grande deslocabilidade quando a máxima relação entre o deslocamento lateral

do andar relativo à base obtido na análise de segunda ordem e aquele obtido na análise de

primeira ordem, considerando todos os andares e todas as combinações últimas de ações

forem superiores a 1,4, logo B2 > 1,4.

Na Tabela 1 abaixo é possível verificar os parâmetros dos coeficientes B1 e B2

Tabela 1: Parâmetro de Classificação de Estrutura segundo �BR 8800:2007

Classificação da estrutura Deslocadilidade Critério B2

Pequena B2 < 1,1 Média 1,1< B2<1,4 Grande B2 >1,4

3.2.3 Análise de segunda ordem.

A NBR 8800:2007 traz o método da amplificação dos esforços solicitantes, dado em

seu anexo D, que pode ser considerando uma aproximação aceitável para análise de segunda

ordem.

3.2.3.1 Método da amplificação dos esforços solicitantes.

Este método da amplificação dos esforços solicitantes, para execução de análise

elástica aproximada de segunda ordem, levando em conta os efeitos global P-∆ e local P-δ.

Ao se usar o método, deve-se fazer atuar na estrutura a combinação apropriada de

ações de cálculo, constituída por ações verticais e horizontais, quando existentes,

considerando-se o efeito das imperfeições geométricas iniciais. O efeito das imperfeições

iniciais de material deve também ser considerado.

O uso do método se baseia que em cada andar das estruturas analisadas, o momento

fletor e a força axial solicitantes de cálculo, MSd e BSd, devem ser determinados pela equação

4, descrita no item 2.0:

22

tnt MMl21sd BBM += Equação 4

tnt NNl2Sd BN +=

Onde:

Mnt e �nt: são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de

cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, com os nós da estrutura impedidos de

se deslocar horizontalmente; (Figura 4)

Figura 4: Modelo de pórtico para cálculo de Mnt e Mlt.

Mllllt e �llllt: são, respectivamente, o momento fletor e a força axial solicitantes de

cálculo, obtidos por análise elástica de primeira ordem, correspondente apenas ao efeito dos

deslocamentos horizontais dos nós da estrutura;

0,1

N

N1

B

E

1Sd1 ≥

−= mC : Equação 3, (apresentada no item 2 )

�e: é a força axial que provoca a flambagem elástica da barra no plano de atuação do

momento fletor, calculada com o comprimento real da barra;

�Sd1: é a força axial de compressão solicitante de cálculo na barra considerada, em

análise de primeira ordem;

Cm é um coeficiente de equivalência de momentos, dado pela equação 4:

23

- se não houver forças transversais entre as extremidades da barra no plano de

flexão:

2

1m 40,060,C

M

M0 −= : Equação 5

sendo M1/ M2 a relação entre o menor e o maior dos momentos fletores solicitantes

de cálculo no plano de flexão, nas extremidades apoiadas da barra, em análise de primeira

ordem, tomada como positiva quando os momentos provocarem curvatura reversa e negativa

quando provocarem curvatura.

- se houver forças transversais entre as extremidades da barra no plano de flexão, o

valor de Cm deve ser determinado por análise racional ou ser tomado conservadoramente igual

a 1,0.

B2 é determinado pela seguinte equação 5.

∑∑⋅∆

⋅

=

Sd

Sdh1

2

H

N

h

1B

mR

1-1

: Equação 6

na qual:

∑ �Sd: é o somatório das forças axiais solicitantes de cálculo em todos os pilares e

outros elementos resistentes a cargas verticais (inclusive nos pilares e outros elementos que

não pertençam ao sistema resistente a ações horizontais), no andar considerado;

Rm: é um coeficiente de ajuste, igual a 0,85 nas estruturas onde o sistema resistente a

ações horizontais é constituído apenas por subestruturas de contraventamento formadas por

pórticos nos quais a estabilidade lateral é assegurada pela rigidez à flexão das barras e pela

capacidade de transmissão de momentos das ligações e igual a 1,0 para todas as outras

estruturas;

∆1h: é o deslocamento horizontal relativo entre os níveis superior e inferior

(deslocamento interpavimento) do andar considerado, obtido da análise de primeira ordem. Se

∆1h possuir valores diferentes em um mesmo andar, deverá ser tomado um valor ponderado

para esse deslocamento, em função da proporção das cargas gravitacionais aplicadas ou, de

modo conservador, o maior valor;

∑ HSd: é a força cortante no andar, produzida pelas forças horizontais atuantes,

usadas para determinar ∆1h.

24

h: é a altura do andar (distância entre eixos de vigas).

Determinado o valor de B2 e classificada a estrutura como citado acima, deve-se

determinar os esforços solicitantes para estados limites últimos.

Nas estruturas de pequena deslocabilidade e média deslocabilidade, os efeitos das

imperfeições geométricas iniciais devem ser levados em conta diretamente na análise por

meio da consideração, em cada andar, de um deslocamento horizontal relativo entre os níveis

inferior e superior (deslocamento interpavimento). Esses efeitos são considerados por meio da

aplicação, em cada andar, de uma força horizontal equivalente igual a 0,3% do valor das

cargas gravitacionais de cálculo aplicadas em todos os pilares e outros elementos resistentes a

cargas verticais, no andar considerado. Não é necessário somá-las às reações horizontais de

apoio.

Nas estruturas de média deslocabilidade e grande deslocabilidade, para o os

coeficientes B1 e B2, além dos efeitos de imperfeições geométricas, os efeitos das

imperfeições iniciais de material também deverá ser levados em conta na análise, reduzindo-

se a rigidez à flexão e a rigidez axial das barras para 80% dos valores originais. Nas estruturas

de pequena deslocabilidade, esses efeitos não precisam ser considerados na análise.

Ainda nas estruturas de grande deslocabilidade, deve ser feita uma análise rigorosa.

Na Tabela 2 apresentam-se as imperfeições analisada para cada caso.

Tabela 2: Imperfeições a ser consideradas.

Deslocabilidade x Imperfeiçoes Deslocadilidade Critério B2 Imperfeições

Pequena B2 < 1,1 Geométrica

Média 1,1< B2<1,4 Geométrica, Material

Grande B2 >1,4 Geométrica, Material

3.2.4 Exemplo:

A fim de ilustrar o uso dos procedimentos da NBR 8800 apresenta-se a determinação

dos esforços para o pórtico da Figura 5 que foi analisado por Simões (2005, p.26) segundo os

critérios do Eurocode.

Propriedades das seções e do aço:

- E =20500 kN/m2.

25

Seção:

- IPE 400:

- h= 400 mm - tw = 8,6 mm -A = 84,5 cm2

- b = 180 mm - tf = 13,5 mm - Ixx= 23130 cm4

HEA 260:

- h= 250 mm - tw = 7,5 mm -A = 86,8 cm2

- b = 260 mm - tf = 12,5 mm - Ixx= 10450 cm4

Figura 5: Modelo Piloto

Onde:

AV1 - cargas variáveis 1;

AV2 - cargas variáveis 2;

AP - cargas permanentes.

Para as cargas acima realizou-se a seguinte combinação, sendo esta a combinação

mais critica:

26

C = 1,35 AP + 1,40 AV2 + 1,50 . 0,70 . AV1

C = 1,35 AP + 1,40 AV2 + 1,05 . AV1

A Figura 6 mostra a pórtico com as os carregamentos correspondentes a combinação.

Figura 6: Pórtico com as combinações das ações.

3.2.4.1 Classificação da estrutura

Para classificar a estrutura é necessário fazer uma análise de primeira ordem.

Como apresentado o pórtico na Figura 6 e com o programa MASTAN2v3 realizou-se

a análise de primeira ordem. A Figura 7 mostra os deslocamentos da estrutura.

27

Figura 7: Deslocamento de Primeira Ordem.

De acordo com a equação 6 a Tabela 3 apresenta o valor de B2 e sua classificação.

Tabela 3: Classificação da estrutura B2 - Pórtico Piloto.

Cálculo de B2

Pavimentos Rm h (m) δ (cm) ∆1h Σ FV (kN) FH (kN) B2 Classificação

1 0,85 5 2,51 2,510 1498,5 65,38 1,16 Média Deslocabilidade


Média 1,13

OBS: ∆1h – é a diferença entre o deslocamento do o pavimento analisado e o inferior.

Σ FV e Σ FV - É a somatória das cargas no pavimento + o pavimento inferior.

Como a estrutura foi classificada como de média deslocabilidade deve se considera as

imperfeições geométricas e do material.

Para considerar os efeitos das imperfeições iniciais de material deve-se reduzir a

rigidez à flexão e a rigidez axial das barras para 80% dos valores originais.

Portanto E = 0,8 E = 0,8. 20500 = 16400 kN/cm2

Os efeitos das imperfeições geométricas iniciais devem ser levados em conta

diretamente na análise por meio da consideração, em cada andar, de um deslocamento

horizontal relativo entre os níveis inferior e superior, para isso ocorre uma a aplicação, em

28

cada andar, de uma força horizontal equivalente, igual a 0,3% do valor das cargas

gravitacionais de cálculo aplicadas em todos os pilares e outros elementos resistentes a cargas

verticais, no andar considerado.

Logo:

1.o pavimento: ∆Fh = 0,3% . 840 = 2,52 kN

Cobertura: ∆Fh = 0,3% . 658,5 = 1,97 kN

Na Figura 8 abaixo encontra-se a estrutura para análise de 2ª ordem simplificada,

sendo que a norma permite o uso das cargas laterais como carregamento mínimo e não toma

obrigatoriamente a sua soma com a ação de vento.

Figura 8: Estrutura para análise de 2ª ordem simplificada considerando imperfeições geométricas e de

material

3.2.4.2 Análise de 2ª. Ordem:

Esta analise será feita através do método simplificado, segunda a NBR 8800:2007.

Considerando o pórtico mostrado na Figura 8 e com o programa MASTAN

determinaram-se os resultados para a análise de 1ª ordem (com imperfeições geométricas e de

material). O deslocamento da estrutura encontra-se na Figura 9.

29

Figura 9: Deslocamento de 2a ordem simplificado devido às imperfeições geométricas e de material

Para analisar a estrutura segundo a NBR 8800 deve se proceder duas análises em 1ª

ordem conforme Figura 10. Sendo uma análise com o pórtico indeslocável (com apoios

fictícios), e a segunda com o pórtico deslocável sob a ação das reações de apoio da análise

anterior.

Figura 10: Pórtico indeslocável (com apoios fictícios) – Local e Pórtico deslocável – Global.

30

Segundo os esquemas da Figura 10 anterior os resultados das análises são

apresentados nas Figura 11 e Figura 12 seguintes:

Figura 11: Diagrama de Momento – Local.

Figura 12: Diagrama de Momento – Global.

31

Os esforços finais de segunda ordem são determinados pela equação 4

3.2.4.3 Cálculo de B1

De acordo com a equação 3 apresentada no item 3.2.3.1 a Tabela 4 apresenta os

valores de B1.

Tabela 4: Cálculo de B1 – Pórtico piloto

Cálculo de B1

Elementos K L (cm) I (cm4) E (kN/cm

2) Cm Ne (kN) NSd1(kN) B1 B1 - final

P1 1,00 500 10450 20500 0,85 8457,26 715,5 0,93 1,00

P2 1,00 500 10450 20500 0,85 8457,26 317,8 0,88 1,00

P3 1,00 500 10450 20500 0,85 8457,26 783 0,94 1,00

P4 1,00 500 10450 20500 0,85 8457,26 340,7 0,89 1,00

V1 1,00 1000 23130 20500 1 4679,82 22,4 1,00 1,00

V2 1,00 1000 23130 20500 1 4679,82 88,9 1,02 1,02

Com os valores de B2 e B1 definidos e com os momentos das duas análises em 1ª ordem (primeira

considerando o pórtico indeslocável e a segunda com o pórtico deslocável Figura 10). Calcula-se o Msd de

acordo com a equação 4, os valores se encontram na

Tabela 5.

Tabela 5: Determinação de Msd – Pórtico Piloto.

Mnt Mlt Msd Elementos B1

Mnt - inicial Mnt - final B2

Mlt - inicial Mlt - final MSd - inicial MSd- final

P1 1,00 52,75 -105,30 1,16 -104,70 71,05 -68,34 -23,13

P2 1,00 166,10 -178,00 1,11 -39,94 56,37 121,85 -115,54

P3 1,00 -52,19 104,40 1,16 -104,30 70,81 -172,82 186,30

P4 1,00 -168,30 179,90 1,11 -40,06 56,38 -212,69 242,37

V1 1,00 -271,40 -272,60 1,16 111,00 -110,90 -144,33 -402,17

V2 1,02 -178,00 -179,90 1,11 56,37 -56,38 -118,99 -245,85

3.3 �BR 6118:200

Em estruturas de concreto, segundo a NBR 6118:2003 o comportamento linear pode

ser desprezado sempre que não apresentarem acréscimo superior a 10% nas reações e nas

solicitações relevantes da estrutura, ou seja, sempre que os esforços de segunda ordem não

ultrapassarem em 10% os de primeira ordem.

32

Para simplificação de cálculo costuma-se definir estruturas de nós fixos e nós

móveis.

As estruturas são consideradas de nós fixos quando os deslocamentos horizontais dos

nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis

(inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, basta considerar

os efeitos locais de 2ª ordem.

As estruturas nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são

pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores a 10%

dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser obrigatoriamente

considerados tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados.

Todavia, há estruturas em que os deslocamentos horizontais são grandes e que, não

obstante, dispensam a consideração dos efeitos de 2ª ordem por serem pequenas as forças

normais e, portanto, pequenos acréscimos dos deslocamentos produzidos por elas; isso pode

acontecer, por exemplo, em postes e em certos pilares de pontes e de galpões industriais.

O conceito de nós fixos ou de nós moveis, pode ser também aplicado às subestruturas

de contraventamento, devido a sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte

dos esforços decorrente dessas ações.

Definem-se ainda a NBR 6118:2003 como elementos isolados:

- as peças isostáticas;

- os elementos contraventados;

- os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos;

- os elementos das subestruturas de contraventamento de nós moveis

desde que, aos esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1ª ordem, sejam

acrescentados os determinados por análise global de 2ª ordem.

No item 15.5 o texto apresenta as condições para a dispensa da consideração dos

esforços globais de 2ª ordem, sem a necessidade de calculo rigoroso.

Têm-se dois processos aproximados: o do parâmetro α e o do coeficiente γ z .

Após a determinação dos deslocamentos horizontais, verifica-se a porcentagem do

aumento dos momentos de segunda ordem e faz-se a comparação com o parâmetro de

33

instabilidade α e o coeficiente γz e classifica a estrutura como de nós deslocáveis ou

indeslocáveis.

3.3.1 Parâmetro de instabilidade αααα

Uma estrutura reticulada poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu

parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 definido a seguir:

)I/(ENH ccktot=α : Equação 7

n.1,02,01 +=α se n ≤ 3

6,01 =α se n ≥ 4

Onde:

n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um

nível pouco deslocável do subsolo;

H tot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível

pouco deslocável do subsolo;

� k -somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível

considerado para o cálculo de H tot ), com seu valor característico;

E c I c -somatória das rigidezes de todos os pilares na direção considerada. No caso de

estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da

altura, permite-se considerar produto de rigidez E c I c de um pilar equivalente de seção

constante. O valor de E c pode ser usado como o módulo tangente dado pela NBR 6118:2003

no item 8.2.8.e com a expressão:

Ec = 5600 ckf : Equação 8

O valor de I c é calculado considerando as seções brutas dos pilares.

Para determinar a rigidez equivalente a que se refere o item 15.5.2., procede-se da

seguinte forma:

- calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação

do carregamento horizontal característico;

34

- calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na

base e livre no topo, de mesma altura H tot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra

o mesmo deslocamento no topo.

O valor limite α1 =0,6 prescrito para n ≥4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais

de edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilares-

parede. Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído

exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos.

Enquanto a norma NB1-80 previa que as ações laterais (e provavelmente os efeitos

globais de Segunda ordem) só deviam ser calculadas quando uma edificação apresentasse

altura superior a quatro vezes a menor dimensão em planta, ou quando os pórticos em uma

direção tivessem menos que quatro pilares em linha, na nova versão o critério se baseia em

valores de deformação da estrutura em si.

3.3.2 Coeficiente γz

O coeficiente γz é valido para estruturas reticuladas de no mínimo quarto andares, é

possível determinar de forma aproximada o coeficiente γ z de majoração dos esforços globais

finais com relação aos de primeira ordem. Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de

uma análise linear de primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez dados em 15.7.2. O

valor de γ z é dada na equação 9:

. M

M1

1

av,1

d,totz ∆

−

=γ : Equação 9

Onde:

M tot1, ,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças

horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura;

∆M tot ,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com

seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de

aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem.

35

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz ≤ 1,1, de

nós móveis se fixos 1,1 ≤ γz ≤ 1,3 e se γz ≥ 1,30 redimensionar ou fazer outra concepção

estrutural. .

Na Tabela 6 apresenta a classificação da estrutura de acordo com o critério do

coeficiente

Tabela 6: Classificação segundo �BR 6118:2003 - Coeficiente γγγγz

Coeficiente γz �ós

γz > 1,0 Fixo

1,0 < γz > 1,3 Móvel

γz > 1,3 Redimensionar

3.3.3 Análise das estruturas de nós fixos

Nas estruturas de nós fixos, de acordo com o item 15.6, permite-se considerar cada

elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais

elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da

estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem.

A análise dos efeitos locais de 2ª ordem será feita de acordo com o que se prescreve

no item 15.8. Sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada como

deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa apenas a

consideração dos esforços globais de 2ª ordem, mas não sua análise como estrutura

deslocável.

3.3.4 Análise de estruturas de nós móveis

Nas analise de estruturas de nós moveis, deve-se levar obrigatoriamente em conta os

efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e, portanto, no

dimensionamento consideram-se obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem.

3.3.5 Análise não-linear com 2ª ordem

A análise não-linear com 2ª ordem deve considerar a não-linearidade geométrica da

estrutura e, através de modificações apropriadas da matriz de rigidez da estrutura, a não-

36

linearidade física do material.

Em estruturas de edifícios, permite-se, para a consideração da não-linearidade

geométrica, o emprego do processo P − ∆ (também conhecido como N - a), tomando-se, para

levar em conta a não-linearidade física, os valores estabelecidos em 15.7.3.

Solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida

para estruturas regulares, consiste no cálculo do coeficiente γ z do item 15.5.3., permitindo-se

a avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por 0,95γ z dos

momentos de 1ª ordem, desde que γ z ≤ 13, .

Na Tabela 7 são apresentados as estrutura que necessitam de análise de 2ª ordem

Tabela 7- Estrutura que necessitam de análise de 2ª ordem - �BR 6118:2003

Deslocabilidade x Imperfeições

Coeficiente γz Estrutura de

�ós Imperfeições

γz > 1,0 Fixo Dispensa analise de 2a Ordem

1,0 < γz > 1,3 Móvel Geométrica, Material

γz > 1,3 Redimensionar -----------

3.3.6 Consideração aproximada da não-linearidade física

No item 15.7.3 para a análise dos esforços globais de 2ª ordem, permitem-se

considerar a não-linearidade física de maneira aproximada, tomando-se como rigidez das

peças os valores a seguir:

lajes: ( ) ,secEI E Ic c= 0 3

vigas: ccsec IE4,0)EI( = para A's ≠ As e (EI)sec = 0,5 Ec Ic para A's = As

pilares: ( ) ,secEI E Ic c= 0 8

Sendo:

- E c o módulo de elasticidade do concreto dado em 8.2.8 e Ic o momento de inércia

da seção bruta de concreto.

Alternativamente, permite-se, quando a estrutura de contraventamento é composta

exclusivamente por vigas e pilares e γz < 1,3, considerar para ambos:

(EI)sec = 0,7 EcIc

37

Os valores acima dados para (EI)sec são aproximados e não poderão ser usados para

avaliar esforços locais de 2ª ordem, mesmo com uma discretização maior da modelagem.

Devido ao comportamento do concreto armado ser, não é elástico perfeito. Isso

porque, os efeitos da fissuração, da fluência, o escoamento das armaduras, bem como outros

fatores de menor importância conferem ao mesmo um comportamento não linear, a chamada

não-linearidade física, o coeficiente a se reduzir as rigidezes é 0,7.

O aço por se tratar de um material homogêneo, industrializado onde as variações e

imperfeições são controladas, considera-se a não-linearidade física de maneira aproximada

conforme a NBR 8800:2007, reduzindo-se a rigidez à flexão e a rigidez axial das barras para

80% dos valores originais.

Portanto, (EI)sec = 0,87 EcIc

3.3.7 Exemplo Cálculo do coeficiente γγγγz:

Neste item será feito um exemplo do pórtico apresentado no item 3.2.4 na Figura 6,

que será resolvido pela NBR: 6118 fazendo as ajustes necessários por se tratar de uma

estrutura de aço e não de concreto.

3.3.7.1 Cálculo coeficiente γγγγz:

Para se calcular o coeficiente γ z de acordo com a equação 9, é necessário calcular o

momento de primeira ordem, para se obter os deslocamentos. Esse cálculo encontra-se no

item 3.2.4.1.

Na Tabela 8 é possível verifica o valor de γ z .

Tabela 8: Deslocamento devido ao momento de 1ª Ordem.

Cálculo de γz

Pavimentos FH (Kn) h (m) Σ FV (kN) δ (cm) ∆Mtot = 513,8 kN.m

1 28,00 5 840 2,51 M1tot = 53,1 kN.m

2 37,38 10 658,5 4,86 γz = 1,12

38

Para melhor compreensão:

M1tot = 658,5 x δ2 + 840 x δ1

M1tot = 658,5 x 0,0486 + 840 x 0,0251

M1tot = 53,1 kN.m

∆Mtot = 28,0 x 5 + 37,38 x 10 = 513,8 kN.m

Logo,

1

1

,1

,

av

dtot

z

M

M∆−

=γ =

8,513

1,531

1

− = 1,12

Como 12,1=zγ ≥ 1,10 logo não se podem considerar como nó fixo, assim trata-se de

estrutura de nós móveis.

Nas analise de estruturas de nós moveis, deve-se levar obrigatoriamente em conta os

efeitos da não-linearidade geométrica e da não-linearidade física e, portanto, no

dimensionamento consideram-se obrigatoriamente os efeitos globais e locais de 2ª ordem.

Uma solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2a ordem

consiste na avaliação dos esforços finais (1a ordem + 2a ordem) a partir da majoração

adicional dos esforços horizontais da combinação de carregamento considerada por 0,95γz.

Esse processo só é válido para γz ≤ 1,3.

Para a consideração aproximada da não-linearidade física, segundo a NBR6118:

2003 quando a estrutura de contraventamento for composta exclusivamente por vigas e pilares

e γz for menor que 1,3, permite-se calcular a rigidez das vigas e pilares por:

(EI)sec = 0,7 EciIc

Mas por se tratar de estrutura metálica, como explicado no item 3.3.6 será usado:

(EI)sec = 0,8 EciIc

Portanto na Figura 13 encontra-se a configuração final, considerando as majoração

adicional dos esforços horizontais e a não-linearidade física e a configuração deslocada da

estrutura. (Figura 14)

39

Figura 13: Estrutura para análise de gama z considerando a não-linearidade física e majorando os

esforços horizontais

Figura 14: Deslocamento devido as imperfeições geométrica e de material pelo método Gama Z.

40

Com a estrutura mostrada na Figura 13, e com o programa MASTAN, os momentos

de segunda ordem encontram-se na Tabela 9.

Tabela 9- Momento 2a ordem- gama z

M2a.Ordem - NBR 6118 Elemento

M2a.Ordem - inicial M2a.Ordem - Final

P1(0 - 5m) -51,64 -35,37

P1(5 - 10m) 125,30 -121,40

P2(0 - 5m) -157,00 174,60

P2(5 - 10m) -209,00 236,60

V1 -160,70 -383,50

V2 -121,40 -236,60

41

4 Metodologia

Será realizado um estudo detalhado dos procedimentos de análise de segunda ordem

das normas brasileiras NBR-8800:2007 e NBR-6118:2003.

Esta analise será efetuados em pórticos metálicos planos em aço, não-

contraventados, de vários andares utilizando-se os métodos aproximados de Amplificação dos

Momentos (B1-B2), Coeficiente γz, e analise exata e análise elástica em 1ª ordem, utilizando-

se do programa MASTAN.

As estrutura serão classificadas quanto a sua deslocabilidade por meio dos

parâmetros B2 e gama Z, e para isso será tomado os deslocamentos resultantes de uma análise

de primeira ordem.obtido com o programa MASTAN

Para efeito de estudo será analisada a estrutura considerando as imperfeições

geométricas e não as considerando.

Para cada pórtico considerando suas imperfeições será realizado uma analise NLG no

programa MASTAN.

Os resultados obtidos por esse programa serão então comparados com os resultados

obtidos pelos métodos aproximados em 2ª ordem, com o objetivo avaliar a eficiência e

precisão dos métodos aproximados.

Após uma analise dos pórticos será feita uma comparação entre o B2 e o γz,

verificando possíveis correlações entre esses dois parâmetros.

4.1 - Os modelos

Os modelos de pórticos analisados foram retirados de estudos e trabalhos já

realizados, e de edifícios reais, são pórticos com números de pavimentos variáveis bem como

o numero de tramos. A Tabela 10 apresenta um breve resumo desses pórticos.

42

Tabela 10 – Pórticos Analisados

Pórtico Pavimento Tramo Vão (m) Atura total (m)

Piloto 2 1 10,00 10,00

1 5 1 3,85 15,35

2 11 1 3,85 38,40

3 5 2 6,00 15,00

4 11 2 6,00 33,00

4.1.1 Pórtico piloto

O primeiro pórtico a ser analisado é o modelo piloto já apresentado por SIMÕES

(2005, p.26), trata-se de um pórtico metálico plano, de dois andares, engastados em suas

bases, como mostra a Figura 15.

Esse modelo servirá de exemplo para o cálculo detalhado segundo as normas,

explicando passo a passo o e as considerações realizadas durante o processo.

Seus pilares são constituídos por seções HEA 260 e suas vigas IPE 400.

Propriedades das seções e do aço:

- E =20500 kN/m2.

Seção:

- IPE 400:

- h= 400 mm - tw = 8,6 mm -A = 84,5 cm2

- b = 180 mm - tf = 13,5 mm - Ixx= 23130 cm4

HEA 260:

- h= 250 mm - tw = 7,5 mm -A = 86,8 cm2

- b = 260 mm - tf = 12,5 mm - Ixx= 10450 cm4

43

Figura 15: Pórtico Piloto

4.1.2 Pórticos Simples

Os pórticos planos simples metálicos são baseados no modelo SILVA (2000) suas

geometrias são representados nas Figura 16 e Figura 17, possuem 5 e 11 pavimentos com suas

bases engastadas.

4.1.2.1 Pórtico 1.

O pórtico1 é apresentado da Figura 16 possui alturas variada, sendo 4 andares de 290

cm e seu ultimo andar 375 cm, seus pilares possui até o 40 pavimento (1160 cm) um perfil

W310 x 107 e em seu último pavimento HP 310 x 97 . As vigas são constituídas por perfil W

310 x 107.

44

Propriedades das Seções:

W 310 x 107:

- h= 277 mm - tw =10,9 mm -A =135,4 cm2

- b = 306 mm - tf = 17 mm - Ixx= 24839 cm4

HP 310 x 97:

- h= 277 mm - tw =9,9 mm -A = 123,6 cm2

- b = 305 mm - tf = 15,4 m - Ixx= 22284 cm4

Figura 16: Pórtico Simples 5 pavimentos

45

4.1.2.2 Pórtico 2.

Observar-se que o pé direto e os perfis metálicos do pórtico 2 são variáveis.

Até o 4o pavimento (1160 cm), sua altura é de 290 cm e possui um perfil W 310 x

107, do 5o pavimento ao 10o pavimento (1160 cm – 3410 cm) sua altura é e 375 cm, chegando

no 11o pavimento onde seu pé direito vale 430 cm. A seção metálica do pilar considerado do

5o pavimento ao 7o pavimento (1160 cm – 2285), é um HP 310 x 97, e do 8o pavimento ao 11o

pavimento (2285 cm – 3840 cm), o perfil considerado foi um HP 310 x 79.

As vigas todas possuem um perfil de W 310 x 21, como mostra a Figura 17


W 310 x 21:

- h= 292 mm - tw =5,1 mm -A = 27,2 cm2

- b = 101 mm - tf = 5,7 mm - Ixx= 3776 cm4

HP 310 x 79:

- h= 277 mm - tw =11 mm -A = 100,0 cm2

- b = 306 mm - tf = 11 mm - Ixx= 16316 cm4

46

Figura 17: Pórtico Simples 11 pavimentos

4.1.3 Pórticos de dois tramos.

Os pórticos de dois tramos estão apresentados nas Figura 18 e Figura 19, variando

também de 5 e 11 pavimentos não são estruturas contraventados e as cargas foram baseados

em cargas reais atuantes em edifícios.

4.1.3.1 Pórtico 3

Observa-se que o pórtico 3 possui um pé direito de 300 cm, e o vão de cada tramo

de 600 cm, seus pilares externos são constituídos do perfil metálico W 310 x 107, e o pilar

central d o perfil HP 310 x 97. As vigas são constituídas por Perfil W 530 x 66, como mostra

a Figura 18.

47


W 310 x 107:

- h= 277 mm - tw =10,9 mm -A =135,4 cm2

- b = 306 mm - tf = 17 mm - Ixx= 24839 cm4

HP 310 x 97:

- h= 277 mm - tw =9,9 mm -A = 123,6 cm2

- b = 305 mm - tf = 15,4 m - Ixx= 22284 cm4

W 530 x 66:

- h= 277 mm - tw =11 mm -A = 100,0 cm2

- b = 306 mm - tf = 11 mm - Ixx= 16316 cm4

Figura 18: Pórtico dois tramo 5 pavimentos

48

4.1.3.2 Pórtico 4

A mesma configuração citada no pórtico 3 acima se aplica a esse pórtico,mas ao

invez de possuir 5 pavimentos possui 11 pavimentos, como é possível observar na Figura 19.

Figura 19: Pórtico dois tramos 11 pavimentos

49

4.2 Programa MASTA�

MASTAN é um programa desenvolvido para a área de engenharia onde é capaz de

analisar vários tipos de estrutura, como formas diferentes, materiais e como cada tipo de

estrutura reage sobre condições específicas de carregamentos condições difenciais.

A análise linear e da Não linearidade baseiam-se nos estudos teóricos e formulações

numéricas apresentadas no texto Matrix Structural Analysis, 2nd Edition, por McGuire,

Gallagher, e Ziemian (John Wiley & Sons, Inc. 2000).

O MASTAN baseia-se em MATLAB, um dos primeiros pacotes de softwares

numéricos computação e análise de dados e foi escrito em formato modulares, onde o usuário

tem condições de fazer seu aprendizado diretamente dentro do programa lendo apenas o

tutorial.

O processo utilizado pelo programa é conhecido como processo incremental, que

consiste em carregar a estrutura de forma gradual até que se atinja a carga critica.

Para isso são usados incrementos de carga, ou passos de carga com intensidades

adequadas, que vão se somando e alterando a configuração inicial da estrutura. Dessa forma, à

medida que um passo de carga é aplicado, são obtidas respostas da estrutura, que são usadas

para atualizar sua configuração e a partir daí ser aplicado o próximo passo de carga.

O processo interativo é responsável por tentar corrigir a solução incremental, isto é,

obter o equilíbrio entre forças internas e externas reproduzindo a trajetória não linear

50

5 Resultados

Neste tópico serão apresentados os resultados referentes aos pórticos descritos no

item 4.1, onde vai ser possível fazer uma comparação entre os valores de γz e B2, verificar a

relação entre os momentos fletores nos pilares e vigas considerando o método da revisão da

NBR8800: 2007 (amplificação dos esforços) com os outros métodos, coeficiente γz, análise

linear e o método exato.

Para os gráficos das relações entre momentos Fletores adotaram-se arbitrariamente

alguns pilares e vigas para o gráfico não ficar poluído.

5.1 Pórtico Piloto

O Pórtico 1 trata-se do pórtico piloto, mostrado na Figura 15, possui dois pavimentos

com pé-direto de 5 m de um vão de 10 m.

Na Tabela 11 e Tabela 12 são apresentados parâmetro para classificação da

estrutura.

Tabela 11: Cálculo do γz – Pórtico Piloto.

Cálculo de γz

Pavimentos FH (Kn) h (m) Σ FV (kN) δ (cm) ∆Mtot = 513,8 kN.m

1 28,00 5 840 2,51 M1tot = 53,1 kN.m

2 37,38 10 658,5 4,86 γz = 1,12

Com γz = 1,12 >1,10 considera-se a estrutura de nós móveis.

Tabela 12: Classificação da estrutura B2 - Pórtico Piloto.

Cálculo de B2




Média 1,13

Determinado e os momentos fletores de 1ª Ordem, e com as classificações da

estrutura segundo a NBR 8800:2007 e a NBR 6118:2003, momentos fletores de 2a Ordem

foram determinados, bem como os momentos fletores de 2a Ordem pelo método exato.

51

A Tabela 13 apresenta esses valores dos momentos fletores.

Tabela 13: Momentos Fletores - Pórtico Piloto.

M1a.Ordem M2a.Ordem - NBR

8800 M2a.Ordem - NBR

6118 M2a.Ordem - Exato

Elementos M1a.Ordem

- inicial M1a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final

P1 -44,95 -39,13 -68,34 -23,13 -51,64 -35,37 -65,38 -22,04

P2 128,00 -124,70 121,85 -115,54 125,30 -121,40 122,70 -115,70

P3 -150,30 170,80 -172,82 186,30 -157,00 174,60 -172,10 185,90

P4 -206,80 233,30 -212,69 242,37 -209,00 236,60 -212,60 242,80

V1 -167,10 -377,10 -144,33 -402,17 -160,70 -383,50 -144,70 -398,50

V2 -124,70 -233,30 -118,99 -245,85 -121,40 -236,60 -115,70 -242,80

O Erro! Fonte de referência não encontrada. e

Gráfico 2 apresentam a relação do método descrito na NBR 8800 com os métodos

NBR 6118 e Exato nos pilares e nas vigas.

Gráfico 1: Relação Momentos nós inferior e superior dos pilares (Pórtico Piloto).

52

Gráfico 2: Relação Momentos nas vigas á esquerda e direita (Pórtico Piloto)

Os deslocamentos obtidos para cada método simplificado encontram-se na Tabela 14.

Tabela 14: Deslocamentos - Pórtico Piloto.

Método Simplificado Método Exato

δ2a.Ordem - Gama Z δ2a.Ordem - B2 e B1 δ2a.Ordem Pavimentos δ1a.Ordem Sem

Imperfeição Com

Imperfeição Sem

Imperfeição Com

Imperfeição Sem

Imperfeição Com

Imperfeição

1 2,510 2,697 3,371 2,677 3,346 2,803 3,850

2 4,861 5,261 6,577 5,160 6,451 5,371 7,322

O Gráfico 3, apresenta os deslocamentos obtido para cada pavimento, considerando a

análise de 1ª ordem os métodos simplificados e o método exato, cabe lembrar eu para efeito

de estudo foi analisado os deslocamentos com e sem imperfeições.

53

Gráfico 3: Deslocamento x Pavimento ( pórtico piloto)

5.2 Pórtico 1

Trata-se de um pórtico que possui um tramo de 385 cm de vão, 5 pavimentos com

altura entre os pavimentos de 290 cm até o quarto pavimento, sendo que do quarto pavimento

para o quinto o pé direito possui 375 cm, como mostrado na Figura 16.

A Tabela 15 apresenta o cálculo de γz..

Tabela 15: Cálculo do γz – 1 tramo 5 pavimentos

Cálculo de γz

Pavimentos FH (kN) h (m) Σ FV (kN) δ (cm) ∆Mtot = 101,63 kN.m

1 1,891 2,90 198,660 0,099 M1tot = 3,8 kN.m

2 1,891 5,80 198,660 0,301 γz = 1,04

3 1,891 8,70 198,660 0,512

4 1,891 11,60 123,970 0,694

5 3,048 15,35 123,970 0,895

Com γz = 1,04 <1,10 considera-se a estrutura de nós fixos.

Na Tabela 16 apresenta-se a classificação da estrutura de acordo com a NBR

8800:2007, pelo método da amplificação dos esforços.

Tabela 16- Classificação da estrutura B2 -1 tramo 5 pavimentos

Cálculo de B2


1 0,85 2,90 0,099 0,099 843,92 10,61 1,03 Pequena Deslocabilidade





Média 1,04

Determinou-se os momentos fletores para cada método aproximado, os valores

encontram-se na Tabela 17.

54

Tabela 17: Momentos Fletores - 1 tramo 5 pavimentos




Elementos M1a.Ordem

- inicial M1a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final

P1 -3,35 -29,40 -3,14 -29,37 -8,45 -29,46 -8,00 -29,86

P2 26,22 -27,51 26,32 -27,56 24,14 -26,23 24,00 -26,22

P3 26,96 -28,23 27,01 -28,30 26,00 -26,56 26,19 -26,53

P4 26,50 -13,40 26,52 -13,46 26,29 -12,03 26,47 -12,10

P5 19,68 -32,20 19,69 -32,25 19,72 -31,37 19,70 -31,35

P6 -31,61 25,21 -31,41 25,24 -35,91 24,56 -36,24 24,71

P7 -43,62 35,40 -43,52 35,36 -46,29 36,86 -45,88 36,70

P8 -35,38 39,62 -35,32 39,56 -36,18 41,41 -36,14 41,32

P9 -30,27 23,95 -30,24 28,89 -30,33 25,20 -30,30 25,26

P10 -21,88 41,43 -21,86 41,37 -21,98 42,25 -21,86 42,27

V1 -55,62 -68,84 -55,70 -68,75 -53,99 -70,68 -53,86 -70,59

V2 -54,47 -70,75 -54,57 -70,65 -52,22 -73,09 -51,41 -72,84

V3 -54,73 -69,89 -54,82 -69,80 -52,90 -71,90 -53,00 -71,61

V4 -33,08 -45,83 33,16 -45,76 -31,76 -47,16 -31,80 -47,12

V5 -32,20 -41,43 -32,25 -41,37 -31,49 -42,38 -31,35 -42,27

Com os momentos fletores determinada para cada método aproximado, resultou o

relação dos momentos obtidos pela norma NBR 8800 com os outros momentos.

O Gráfico 4 e Gráfico 5 abaixo mostram estes resultados nos pilares e vigas.

Gráfico 4: Relação Momentos nós inferior e superior dos pilares (Pórtico 1).

55

Gráfico 5: Relação Momentos nas vigas á esquerda e direita (Pórtico 1)

Na Tabela 18 é possível verificar os deslocamentos obtidos para cada tipo de análise

aproximada, e exata.

Tabela 18: Deslocamentos - 1 tramo 5 pavimentos


δ2a.Ordem - Gama Z δ2a.Ordem - B2 e B1 δ2a.Ordem Pavimentos δ1a.Ordem

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeições

Com Imperfeições

1 0,099 0,098 0,123 0,1221 0,153 0,127 0,160

2 0,301 0,298 0,372 0,366 0,457 0,380 0,480

3 0,512 0,506 0,632 0,617 0,771 0,641 0,809

4 0,694 0,686 0,858 0,831 1,039 0,863 1,089

5 0,895 0,884 1,105 1,062 1,328 1,100 1,388

No Gráfico 6 apresenta Pavimento x deslocamento horizontal.

56

Gráfico 6: Deslocamento x Pavimento ( Pórtico 1)

5.3 Pórtico 2

Como discutido no item 4.1.2 e mostrado na Figura 17, trata-se de um pórtico de 11

pavimento com um vão de 385cm .

A Tabela 19 traz o valor do γz , e na Tabela 20 é possível verificar o valor de B2 bem

como a classificação da estrutura.


Cálculo de γz


1 1,891 2,90 198,660 0,343 M1tot = 84,5 kN.m

2 1,891 5,80 198,660 1,092 γz = 1,14

3 1,891 8,70 198,660 2,002

4 1,891 11,60 123,970 2,986

5 3,048 15,35 123,970 4,347

6 3,048 19,10 123,970 5,663

7 3,048 22,85 123,970 6,858

8 3,331 26,60 123,970 7,910

9 3,331 30,35 123,970 8,765

10 3,331 34,10 148,995 9,424

11 3,820 38,40 183,26 9,994

Com γz >1,10 considera-se a estrutura de nós móveis.

Tabela 20- Classificação da estrutura B2 -1 tramo 11pavimentos

Cálculo de B2

Pavimentos Rm h (m) δ (cm) ∆1h Σ FV (kN) FH (kN) B2 Condição


2 0,85 2,90 1,092 0,749 1473,40 28,63 1,19 Média Deslocabilidade










Média 1,16

57

Definidos a classificação da estrutura de acordo com as normas NBR 8800:2007 e

NBR 6118:2003, na Tabela 21 é possível analisar os momentos fletores para cada cão alem do

momento fletor para a análise NLG (exato).

Tabela 21: Momentos Fletores - 1 tramo 11pavimentos




Elementos M1a.Ordem

- inicial M1a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final

P1 -42,49 -39,66 -57,26 -41,96 -47,19 -40,68 -59,49 -45,00

P2 -16,69 -25,14 -12,12 -22,66 -3,08 -24,61 -13,05 -23,37

P3 5,77 -19,71 -3,87 -13,78 3,67 -18,59 -3,60 -14,71

P4 7,68 -8,71 0,42 -3,26 5,89 -7,51 0,28 -3,40

P5 -6,35 2,18 -14,55 10,15 -8,19 3,91 -13,94 9,80

P6 4,17 2,40 -1,30 10,11 2,86 4,18 -0,89 10,20

P7 7,94 -1,04 4,01 5,59 6,97 0,61 4,64 5,89

P8 8,78 -1,51 6,01 3,77 8,05 -0,09 6,56 4,04

P9 14,06 -5,89 12,47 -2,09 13,59 -4,70 12,83 -1,70

P10 15,55 -5,33 14,64 -2,61 15,31 -4,45 15,02 -2,38

P11 30,04 -44,19 29,88 -42,53 29,97 -43,58 29,98 -42,35

P12 -70,73 14,93 -84,63 11,87 -75,44 13,90 -87,57 9,57

P13 -70,03 37,97 -82,77 40,94 -72,95 38,50 -82,93 39,80

P14 -56,36 46,67 -65,48 52,21 -58,45 47,79 -65,66 51,98

P15 -50,69 37,76 -58,34 43,53 -52,47 39,86 -58,07 43,09

P16 -38,06 39,57 -46,45 47,29 -39,90 41,24 -45,64 47,11

P17 -35,76 40,68 -41,47 48,46 -37,07 42,46 -40,82 48,47

P18 -31,31 40,90 -35,19 47,56 -32,27 42,55 -34,61 47,82

P19 -26,35 35,74 -29,08 40,94 -27,08 37,15 -28,59 41,25

P20 -25,30 33,93 -26,97 37,81 -25,77 35,09 -26,55 38,10

P21 -21,17 26,53 -21,96 29,22 -21,40 27,40 -21,69 29,44

P22 -31,77 58,89 -32,00 60,57 -31,84 59,50 -31,86 29,44

V1 -39,49 -84,96 -33,86 -90,67 -37,61 -86,85 -31,95 -92,50

V2 -30,91 -94,32 -19,64 -105,65 -28,28 -96,95 -19,78 -105,50

V3 -27,39 -97,36 -14,16 -110,72 -24,49 -100,30 -14,99 -109,80

V4 -2,37 -75,82 11,07 -89,38 0,68 -78,86 10,54 -88,73

V5 -1,99 -75,27 11,59 -88,85 1,05 -78,31 10,68 -87,93

V6 -5,54 -71,98 6,39 -83,90 -2,79 -74,74 5,56 -83,09

V7 -9,82 -67,26 -0,64 -76,91 -74,43 -69,64 -0,67 -76,41

V8 -15,57 -61,04 -8,53 -68,09 -13,68 -62,92 -8,79 -67,81

V9 -21,41 -55,09 -16,68 -59,88 -20,02 -56,49 -16,72 -59,76

V10 -35,37 -58,29 -32,49 -61,32 -34,42 -59,24 -32,36 -61,30

V11 -44,19 -58,89 -42,71 -60,14 -43,58 -59,50 -42,35 -60,73

O Gráfico 7 e Gráfico 8 mostram a relação entre os momentos fletores obtidos pelo o

método da amplificação dos esforços (NBR 8800:2007) com a análise linear, o método

coeficiente γz (NBR 6118:2003) e o modo exato, realizado no programa MASTAN.

Legenda:

58



Com o Programa MASTAN os deslocamentos da estrutura obtidos para cada análise

de segunda ordem encontram-se na

59

Tabela 22 e Gráfico 9.

Tabela 22: Deslocamentos - 1 Tramo 11pavimentos


δ2a.Ordem - Gama Z δ2a.Ordem - B2 e B1 δ2a.Ordem Pavimentos δ1a.Ordem

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeições

Com Imperfeições

1 0,343 0,372 0,4648 0,3963 0,495 0,441 0,567

2 1,092 1,182 1,478 1,255 1,569 1,412 1,822

3 2,002 2,167 2,709 2,293 2,866 2,598 3,359

4 2,986 3,233 4,041 3,408 4,260 3,878 5,021

5 4,347 4,708 5,884 4,946 6,182 5,645 7,314

6 5,663 6,133 7,662 6,430 8,037 7,343 9,517

7 6,858 7,427 9,283 7,776 9,719 8,873 11,500

8 7,910 8,566 10,71 8,962 11,200 10,210 13,220

9 8,765 9,492 11,87 9,929 12,410 11,280 14,600

10 9,424 10,21 12,76 10,680 13,350 12,110 15,660

11 9,994 10,82 13,53 11,320 14,150 12,810 16,570

60


5.4 Pórtico 3

Trata-se de uma estrutura metálica aporticada com 5 pavimentos e dois tramos, sendo

o vão de cada tramo de 6,00m como mostra a Figura 18.

A Tabela 23 é possível verificar de acordo com a NBR 6118:2007 o valor de γz.


Cálculo de γz


1 8,700 3,00 977,679 0,044 M1tot = 8,8 kN.m

2 8,700 6,00 977,679 0,142 γz = 1,00

3 8,700 9,00 977,679 0,238

4 11,100 12,00 661,346 0,312

5 13,500 15,00 661,346 0,392

Com γz < 1,10 considera-se a estrutura de nós fixos.

De acordo com a NBR 8800:2007, na Tabela 24 encontram-se os parâmetros para o

cálculo de B2 bem como seu valor e a classificação da estrutura.

Tabela 24- Classificação da estrutura B2 – 2 tramo 5 pavimentos

Cálculo de B2

Pavimentos Rm h (m) δ (cm) ∆1h Σ FV (kN) FH (kN) B2 Condição


61





Média 1,02

Os valores dos momentos fletores e dos deslocamentos para cada análise de 2a ordem

realizado encontram-se na

Tabela 25 e Gráfico 11: Relação Momentos nas vigas á esquerda e direita (Pórtico 3)

Na Tabela 26 e no Gráfico 12, são apresentados os valores dos deslocamentos

horizontais referente a cada método com e sem as imperfeições de material, ou seja reduzindo

e não reduzindo suas inércias.

Tabela 26.

Tabela 25: Momentos Fletores - 2 tramo 5 pavimentos

Elemento M1a.Ordem M2a.Ordem - NBR



62

M1a.Ordem - inicial

M1a.Ordem - Final

M2a.Ordem - inicial

M2a.Ordem - Final

M2a.Ordem - inicial

M2a.Ordem - Final

M2a.Ordem - inicial

M2a.Ordem - Final

P1 -3,69 -97,23 -1,93 -97,06 -4,50 -97,30 -4,45 -97,44

P2 76,37 -84,49 77,09 -84,86 75,67 -84,15 75,83 -84,23

P3 89,89 -83,23 90,18 -83,76 89,63 -82,73 89,76 -82,84

P4 95,69 -60,67 95,76 -61,21 95,67 -60,33 95,77 -60,38

P5 62,66 -152,20 62,58 -115,50 62,81 -115,11 62,75 -115,10

P6 -52,54 2,25 -50,91 2,18 -53,36 2,34 -53,28 2,20

P7 -32,49 21,73 -31,48 21,11 -33,38 22,40 -33,15 22,23

P8 -20,10 16,17 -19,48 25,36 -20,65 26,83 -20,42 26,70

P9 -11,38 23,61 -11,03 22,88 -11,59 24,09 -11,46 23,99

P10 -5,28 19,72 -5,12 19,11 -5,19 19,91 -5,30 19,97

P11 -106,20 64,64 -104,60 84,87 -107,18 84,69 -107,00 84,43

P12 -124,60 108,00 -123,80 107,60 -125,02 108,28 -125,10 108,30

P13 -109,20 117,50 -108,90 117,00 -109,50 117,76 -109,80 117,90

P14 -99,73 95,43 -99,68 94,90 -99,90 96,00 -99,66 95,73

P15 -57,30 136,10 -57,38 135,80 -56,93 136,18 -57,19 136,20

V1 -173,60 -211,40 -174,20 -210,90 -173,87 -212,15 -173,30 -211,70

V2 -176,70 -209,20 -177,20 -208,70 -176,97 -210,07 -176,40 -209,50

V3 -174,40 -211,00 -175,00 -210,40 -173,91 -211,79 -174,00 -211,40

V4 -169,10 -217,20 -169,80 -216,50 -168,57 -217,90 -168,70 -217,60

V5 -178,90 -206,50 -179,50 -205,90 -178,95 -208,01 -178,60 -206,80

V6 -168,90 -217,30 -169,50 -216,70 -168,78 -218,18 -168,60 -217,60

V7 -123,30 -133,40 -123,80 -132,90 -123,40 -133,82 -123,10 -133,50

V8 -104,50 -152,70 -104,90 -152,30 -104,25 -152,98 -104,30 -152,90

V9 -115,20 -164,60 -115,50 -134,30 -116,95 -136,62 -115,10 -134,70

V10 -114,90 -136,10 -115,20 -135,80 -116,40 -127,76 -114,80 -136,20

Determinado os momentos fletores estabeleceram-se as relações: NBR8800/Linear,

NBR8800/ NBR6118 e NBR8800/Exato.

Esta relação encontra-se nos Gráfico 10 e Gráfico 11.

63



Na Tabela 26 e no Gráfico 12, são apresentados os valores dos deslocamentos

horizontais referente a cada método com e sem as imperfeições de material, ou seja reduzindo

e não reduzindo suas inércias.

Tabela 26: Deslocamentos - 2 tramo 5 pavimentos


δ2a.Ordem - B2 e B1 δ2a.Ordem - B2 e B1 δ2a.Ordem Pavimentos δ1a.Ordem

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeições

Com Imperfeições

1 0,044 0,042 0,0527 0,0556 0,070 0,057 0,071

2 0,142 0,1373 0,172 0,175 0,218 0,178 0,223

3 0,238 0,2308 0,289 0,290 0,363 0,295 0,371

4 0,312 0,3022 0,377 0,378 0,473 0,385 0,483

5 0,392 0,3806 0,476 0,469 0,586 0,476 0,597

64


5.5 Pórtico 4

De acordo com o item 4.1.3, trata-se de um pórtico metálico de 11 pavimentos de pé

direito de 3,00 m e dois tramos sendo cada vão de 6,00 m. A Figura 19 mostra sua Geometria,

bem como os perfis metálicos adotados.

Na Tabela 27 e Tabela 28 é possível verificar a classificação da estrutura.

Tabela 27: Cálculo do γz – 2 tramo 11pavimentos

Cálculo de γz


1 8,700 3,00 977,679 0,402 M1tot = 191,4 kN.m

2 8,700 6,00 977,679 0,981 γz = 1,08

3 8,700 9,00 977,679 1,560

4 11,100 12,00 661,346 2,107

5 13,500 15,00 661,346 2,609

6 13,500 18,00 661,346 3,048

7 14,250 21,00 661,346 3,424

8 15,000 24,00 622,629 3,732

9 15,000 27,00 622,629 3,969

10 16,100 30,00 806,256 4,132

11 8,600 33,00 174,46 4,212

65

Tabela 28- Classificação da estrutura B2 – 2 tramo 11pavimentos

Cálculo de B2 Pavimentos Rm h (m) δ (cm) ∆1h Σ FV (kN) FH (kN) B2 Condição












Média 1,08

De acordo com a Tabela 29 e

Tabela 30 é possível conferir os valores para os momentos fletores e deslocamento

para cada análise de 2a ordem realizada, bem como nos Gráfico 13 e Gráfico 14ª relação entre

os momentos fletores nos pilares e vigas e no Gráfico 15: Pavimento x Deslocamento

Horizontal.

Tabela 29: Momentos Fletores - 2 tramo 11pavimentos




Elementos M1a.Ordem

- inicial M1a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final M2a.Ordem

- inicial M2a.Ordem

- Final

P1 -48,66 -33,73 -50,89 -32,76 -75,83 -20,79 -72,80 -22,93

P2 44,09 -43,53 42,76 42,28 28,92 -28,14 27,75 -27,75

P3 49,62 -52,43 48,45 -51,20 35,87 -37,64 37,18 -37,94

P4 52,08 -36,36 51,01 -35,21 41,93 -24,87 42,54 -24,75

P5 37,61 -36,69 36,67 -35,63 28,76 -26,51 29,70 -26,97

66

P6 49,99 -45,39 49,20 -44,47 43,71 -37,73 43,84 -37,55

P7 57,69 -52,85 57,05 -52,06 52,67 -46,68 53,12 -46,70

P8 65,51 -60,08 65,02 -99,43 62,18 -55,54 62,37 -55,52

P9 73,00 -67,04 72,67 -66,55 70,97 -64,17 71,07 -63,86

P10 80,17 -75,29 80,00 -74,94 78,70 -72,38 79,29 -73,21

P11 83,05 -78,04 83,04 -77,91 84,33 -78,37 83,34 -77,62

P12 -91,87 63,45 -94,25 65,10 -118,99 83,40 -118,00 8214,00

P13 -89,16 85,02 -91,48 87,23 -118,25 113,12 -117,00 111,90

P14 -80,57 81,76 -82,76 83,89 -104,66 106,51 -103,50 105,80

P15 -74,26 76,20 -76,19 78,16 -93,48 96,21 -92,59 95,78

P16 -66,07 68,75 -67,70 70,54 -81,83 85,31 -81,07 84,84

P17 -56,50 59,64 -57,96 61,19 -68,84 72,76 -68,40 72,54

P18 -46,81 50,21 -48,03 51,52 -56,12 60,27 -55,86 60,18

P19 -36,65 40,30 -37,60 41,34 -43,24 47,58 -43,10 47,60

P20 -26,07 29,90 -26,75 30,67 -30,35 34,85 -30,28 34,87

P21 -15,42 19,14 -15,82 19,64 -17,65 21,99 -17,63 22,04

P22 -5,49 8,61 -5,63 8,84 -5,86 9,37 -5,88 9,47

P23 -121,90 107,40 -124,10 108,30 -145,20 117,07 -146,10 117,60

P24 -146,70 140,10 -148,00 141,40 -164,29 156,97 -163,10 155,90

P25 -140,10 146,80 -141,20 148,00 -152,83 161,11 -152,40 161,20

P26 -134,00 125,20 -135,00 126,30 -144,44 137,05 -143,50 136,90

P27 -109,50 117,80 -110,50 118,80 -117,72 127,24 -117,40 127,40

P28 -110,30 116,30 -111,10 117,20 -117,13 124,23 -116,50 124,10

P29 -107,00 113,30 -107,70 114,10 -111,76 119,34 -111,60 119,40

P30 -103,10 109,60 -103,60 110,30 -106,49 114,04 -106,30 114,20

P31 -98,41 104,80 -98,74 105,30 -100,53 108,13 -100,40 108,00

P32 -93,66 101,30 -93,83 101,70 -94,10 102,47 -94,53 103,30

P33 -84,52 88,27 -84,54 88,41 -85,49 89,46 -84,39 88,82

V1 -77,82 -275,90 -75,52 -277,90 -52,85 -299,05 -50,68 -299,20

V2 -123,30 -254,00 -121,30 -256,30 -102,25 -279,64 -100,10 -280,70

V3 -93,16 -264,20 -90,73 -266,30 -63,59 -290,89 -64,98 -289,10

V4 -98,50 -280,20 -96,35 -282,60 -71,74 -310,51 -73,64 -308,30

V5 -104,50 -250,00 -102,20 -252,00 -79,17 -274,51 -80,48 -271,20

V6 -93,98 -280,80 -91,95 -283,10 -71,56 -306,92 -72,85 -304,60

V7 -73,97 -159,30 -71,87 -161,10 -53,58 -177,95 -54,44 -176,60

V8 -17,00 -234,70 -15,15 -236,80 1,12 -255,66 -0,30 -254,20

V9 -86,67 -145,10 -84,83 -146,70 -69,97 -160,15 -70,81 -159,10

V10 -19,86 -228,10 -18,23 -230,00 -5,03 -244,90 -5,87 -243,90

V11 -103,10 -129,50 -101,50 -130,90 -90,31 -141,22 -90,66 -140,40

V12 -23,02 -223,30 -21,64 -224,80 -11,48 -236,43 -12,04 -235,70

V13 -118,40 -114,90 -117,10 -116,10 -108,94 -115,22 -109,10 -123,10

V14 -28,07 -216,50 -26,94 -217,70 -19,55 -226,26 -19,85 -225,70

V15 -133,10 -101,20 -132,10 -102,00 -126,74 -107,33 -126,60 -106,90

V16 -34,81 -208,00 -33,95 -209,00 -28,91 -214,89 -29,04 -214,50

V17 -147,20 -88,26 -146,50 -88,89 -143,15 -92,23 -143,20 -91,62

V18 -42,93 -198,40 -42,34 -199,10 -39,44 -202,39 -39,32 -202,50

V19 -158,30 -77,64 -158,00 -77,96 -157,35 -79,41 -156,60 -79,25

V20 -53,01 -185,90 -52,69 -186,20 -51,38 -188,23 -51,33 -187,70

V21 -78,04 8,61 -77,91 20,27 -79,48 -26,93 -77,62 -19,99

V22 -29,00 -88,27 29,11 -88,41 -23,11 -90,48 -29,45 -88,62

67

Tabela 30: Deslocamentos - 2 tramo 11pavimentos


δ2a.Ordem - B2 e B1 δ2a.Ordem - B2 e B1 δ2a.Ordem Pavimentos δ1a.Ordem

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeição

Com Imperfeição

Sem Imperfeições

Com Imperfeição

1 0,402 0,412 0,515 0,4545 0,568 0,493 0,629

2 0,981 1,007 1,258 1,147 1,434 1,252 1,601

3 1,560 1,601 2,001 1,821 2,276 1,986 2,541

4 2,107 2,162 2,702 2,445 3,056 2,660 3,400

5 2,609 2,667 3,347 3,007 3,759 3,261 4,165

6 3,048 3,128 3,909 3,504 4,380 3,788 4,834

7 3,424 3,513 4,391 3,928 4,910 4,234 5,398

8 3,732 3,829 4,786 4,275 5,344 4,596 5,856

9 3,969 4,072 5,090 4,541 5,676 4,872 6,204

10 4,132 4,240 5,300 4,727 5,909 5,064 6,446

11 4,212 4,322 5,400 4,852 6,065 5,192 6,608

Legenda para os Gráfico 13 e Gráfico 14.

68



69


6 Conclusões

Neste trabalho foram descritos métodos de análise de segunda ordem, segundo

critério da NBR 6118:2003 e da revisão NBR 8800:2007, além de apresentar programas

comercias que fazem este tipo de análise.

Pelos resultados obtidos do parâmetro γz com a média dos coeficientes B2, pode-se

verificar a proximidade entre esses valores, e isto se deu em todos os pórticos analisados.

Isso implica dizer que para a classificação quanto ao deslocamento da estrutura,

pode-se utilizar tanto o método da NBR 8800:2007 como NBR 6118:2003.

Verificou-se uma facilidade maior em se aplicar o método da NBR 6118, coeficiente

γz, pois o resultado é único para toda estrutura, não precisando verificar em todos os

pavimentos conforme a NBR 880.

Analisando os gráficos das relações entre os momentos fletores da NBR8800/Linear,

NBR8800/ NBR6118 e NBR8800/Exato (cabe lembrar que no modelo exato, a estrutura

encontra-se com a imperfeição inicial) nos pilares e nas vigas, pode-se verificar, que a faixa

fica em torno de 1, concluindo que todos os métodos são eficazes.

70

Portanto o uso de métodos de análise simplificados é de grande importância para o

meio técnico brasileiro e pode contribuir, ainda que em uma fase de anteprojeto, para avaliar a

estabilidade estrutural e a sua sensibilidade aos efeitos de 2ª ordem, dando subsídios para uma

decisão adequada sobre a necessidade de uma análise mais rigorosa.

Mas prática de projeto os modelos ainda não estão plenamente em uso e, mesmo com

a utilização de modelos simplificados, recomendados por códigos de projeto, ainda existem

muitas incertezas. Essas incertezas estão relacionadas ao comportamento estrutural, e à

escolha do modelo de análise mais adequado, como também à própria aplicação desses

modelos e ao tratamento e avaliação da resposta estrutural que apresenta grande número de

variáveis.

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