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Campus de Ilha Solteira
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE
TRANSMISSÃO UTILIZANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
Elson Borges da Silva Filho
Prof. Dr. Luiz Fernando Bovolato Orientador
Dissertação de Mestrado
Ilha Solteira – SP Abril de 2008
Campus de Ilha Solteira
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
“Estudo de Campo Elétrico em Linha de Transmissão Utilizando o
Método dos Elementos de Contorno”
ELSON BORGES DA SILVA FILHO
Orientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Bovolato
Dissertação apresentada à Faculdade de
Engenharia - UNESP – Campus de Ilha
Solteira, para obtenção do título de
Mestre em Engenharia Elétrica.
Área de Conhecimento: Automação.
Ilha Solteira – SP
Abril/2008
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.
Silva Filho, Elson Borges da. S586e Estudo de campo elétrico em linha de transmissão utilizando o método dos elementos de contorno / Elson Borges da Silva Filho -- Ilha Solteira : [s.n.], 2008 207 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2008 Orientador: Luiz Fernando Bovolato Bibliografia: p. 154-155 1. Métodos de elementos de contorno. 2. Linhas elétricas aéreas. 3. Campos elétricos. 4. Maxwell, Equações de.
DEDICATORIA
Dedico este trabalho aos meus pais,
Elson Borges e Marieta Parreira e aos
meus irmãos, Lívia e Vinícius.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Luiz Fernando Bovolato pela atenção
esclarecedora, transmitindo tranqüilidade e confiança para a
continuidade do trabalho. A ele gostaria de expressar minha
gratidão pela compreensão e amizade oferecidas e
admiração pelo caráter e profissionalismo incontestável.
Aos professores do Programa de Engenharia Elétrica e
Matemática pela colaboração extra quando necessitei de
seus conhecimentos.
Aos amigos e companheiros Rogério Marcos, Fernando
Brandão, Fábio Durão, Wilson Borges e Esrom Afonso
pelos momentos compartilhados, pela amizade e pela ajuda
prestada.
A CAPES, pelo apoio financeiro desta pesquisa.
Aos amigos que adquiri, como um prêmio extra.
Aos meus pais Elson e Marieta e irmãos Lívia e Vinicius
pela compreensão e estimulo fundamental a conclusão desta
etapa na minha carreira profissional.
A Deus que está nos abençoando com este projeto.
OBJETIVO DESTE TRABALHO
O objetivo deste trabalho é estudar o campo elétrico utilizando o método dos
elementos de contorno e também desenvolver o método para o cálculo de potencial escalar
elétrico e campo elétrico, que será utilizado para cálculo de campos em linhas de transmissão.
Resumo
Este trabalho analisa a aplicação em linhas de transmissão do método dos elementos
de contorno para cálculo de potencial e campo elétrico, com um enfoque em eletrostática. O
método dos elementos de contorno baseia-se numa formulação integral que elimina a
discretização do domínio, restando apenas o contorno, permitindo o cálculo do potencial e do
campo elétrico no contorno e na região estudada. O trabalho configura-se como uma revisão
sobre eletrostática, ressaltando as equações de Laplace e Poisson, que serão utilizadas para
encontrar as equações integrais do contorno. Há também vários tópicos relacionados ao
campo elétrico de linhas de transmissão, bem como, ás normas brasileiras e recomendações
internacionais que devem ser utilizadas no projeto de linhas de transmissão. O método dos
elementos de contorno utiliza tais equações integrais para encontrar o potencial e o campo no
contorno, e após conhecidos o potencial e o campo no contorno, pode-se aplicar o método em
todo o domínio, obtendo o potencial e o campo. Para isso, apenas o contorno do domínio de
interesse deve ser discretizado, o que trás uma enorme vantagem sobre os métodos que
utilizam formulação diferencial. Neste trabalho, serão descritas as principais características do
código computacional desenvolvido e suas sub-rotinas mais importantes. Para validar o
programa, os resultados serão comparados com aqueles calculados por um procedimento
analítico, sendo mostrada a eficiência da discretização do solo. São apresentados os resultados
obtidos da análise do campo elétrico gerado por algumas silhuetas de linhas de transmissão.
Os valores do campo elétrico gerado por estruturas compactas são comparados com estruturas
convencionais e estruturas reduzidas (semi-compactas), também serão comparados os valores
do gradiente de potencial na superfície dos condutores e suas capacitâncias equivalentes.
Palavras-chave: Método dos Elementos de Contorno (MEC), linhas de transmissão, campo
elétrico, potencial elétrico, linhas compactas, equações de Maxwell.
Abstract
This paper analyses the application in transmission lines of the Boundary Element
Method (BEM) of the calculation of potential and electric field, with a focus on electrostatic.
The Boundary Element Method is based on an integral formulation that eliminates the
discretisation of the domain, remaining only the contour, allowing the calculation of the
potential and the electric field in the contour and in the region studied. The work is configured
as revision on electrostatic, underscoring the equations of Laplace and Poisson, which will be
used to find the integral equations of the contour. There are also several topics related to the
electric field of transmission lines, as well as to the standards Brazilian and international
recommendations to be used in the design of transmission lines. The Boundary Element
Method uses such integral equations for finding the potential and electric field in the contour,
and after having known the potential and electric field in the contour, the BEM can be applied
in the whole domain, and getting the potential and electric field. Therefore, only the contours
of the domain of interest should just be discretized, which backward an enormous advantage
on the methods that use formulation differential. This paper will describe the main
characteristics of computer code developed and their sub-routines more important. To validate
the program, the results will be compared with those calculated by an analytic procedure,
being shown the efficiency of discretisation of the soil. The results obtained from analysis of
the electric field generated by some silhouettes of transmission lines are presented. The values
of the electric field generated by compact structures are compared with conventional
structures and reduced structures, also will be compared the values of the gradient of potential
on the surface of the conductors and their equivalents capacitances.
Keywords: Boundary Element Method (BEM), transmission line, electric field, electric
potential, compact line, Maxwell equation.
LISTA DE SÍMBOLOS
∇ ⇒ Operador nabla ou del 2∇ ⇒ Operador Laplaciano
E ⇒ Derivada do potencial em relação à direção normal (intensidade
do campo elétrico)
D ⇒ Densidade de fluxo elétrico
H ⇒ Intensidade de campo magnético
J ⇒ Densidade de corrente elétrica
B ⇒ Densidade de fluxo magnético
oε ⇒ Constante de permissividade do vácuo ou absoluta, igual a
8,859e-12 F/m
ε ⇒ Constante de permissividade do meio
rε ⇒ Constante de permissividade relativa ao meio
V ou U ⇒ Diferença de potencial ou potencial ρ ⇒ Densidade de carga
Ω ⇒ Domínio
Γ ⇒ Contorno *V ⇒ Solução fundamental do potencial elétrico
P ⇒ Ponto de observação
i ⇒ Ponto de aplicação da função impulsiva ou ponto fonte
Q ou q ⇒ Carga elétrica
C ⇒ Capacitância
h ⇒ Altura do condutor ao solo
Du ⇒ Distância, em metros, numericamente igual a tensão
a ⇒ Distância básica, em metros, obtida da Tabela (2.4)
hs ⇒ Altura de segurança
LISTA DE ABREVIAÇÕES E SIGLAS
MEC ⇒ Método dos Elementos de Contorno
MDF ⇒ Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
MEF ⇒ Método dos Elementos Finitos
MSC ⇒ Método de Simulação de Carga
TLM ⇒ Método Matricial das Linhas de Transmissão
MoM ⇒ Método dos Momentos
ICNIRP ⇒ International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection
IRPA ⇒ International Radiation Protection Association
ACGIH ⇒ American Conference of Governmental Industrial hygienists
ABNT ⇒ Associação Brasileira de Normas Técnicas
ABRICEM ⇒ Associação Brasileira de Compatibilidade Eletromagnética
NBR ⇒ Norma Brasileira
NR ⇒ Norma Regulamentadora do Ministério do Trabalho
OMS ⇒ Organização Mundial da Saúde
RI ⇒ Radio Interferência
RA ⇒ Ruído Audível
CAA ⇒ Cabo de Alumínio com Alma de Aço
Dif. % ⇒ Diferença percentual
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1: Introdução 1 1.1 Objetivo e justificativa 4
1.2 Idéia básica do Método dos Elementos de Contorno (MEC) 5
1.3 Organização do trabalho 9
CAPÍTULO 2: Campo elétrico em linhas de transmissão 11 2.1 Equações de Maxwell 11
2.2 Equações de Laplace e Poisson 13
2.3 Condições de contorno 15
2.4 Campo elétrico em uma linha de transmissão 17
2.5 Superfície eqüipotencial de uma linha de transmissão 20
2.6 Carga elétrica de uma linha de transmissão 22
2.7 Efeito da terra no campo elétrico de uma linha de transmissão 23
2.8 Nível de campo elétrico 27
2.8.1 Normas e recomendações brasileiras 28
2.8.2 Recomendações ICNIRP 29
2.8.3 Recomendações da IRPA 31
2.9 Alturas e distâncias de segurança 32
2.10 Medição de campo elétrico em linhas de transmissão 35
2.11 Revisão do capítulo 37
CAPÍTULO 3: Formulação da Equação Integral do Contorno 38 3.1 Método dos resíduos ponderados 39
3.1.1 Formulação fraca 44
3.2 Métodos de solução da equação integral 45
3.2.1 Método de contorno 46
3.3 Método dos pontos de colocação 47
3.4 Solução fundamental 49
3.4.1 Validade da solução fundamental 52
3.5 A equação integral para o cálculo de V e E 55
3.6 Revisão do capítulo 62
CAPÍTULO 4: O Método dos Elementos de Contorno 63 4.1 Discretização do contorno 63
4.1.1 Aproximação das variáveis do problema 68
4.1.1.1 Aproximação constante 69
4.1.1.2 Aproximação linear 70
4.1.1.3 Aproximação quadrática 72
4.1.2 Tratamento de vértices da geometria 74
4.2 Transformação das equações integrais em equações algébricas 77
4.3 Sistema de equações 79
4.4 Obtenção das variáveis no domínio 80
4.5 Domínios infinitos 81
4.6 Métodos de integração 82
4.6.1 Integração numérica 83
4.6.2 Integração analítica 85
4.6.2.1 Integração com aproximação constante do
contorno 88
4.6.2.2 Integração com aproximação linear do
contorno 89
4.6.3 Cálculo da integral de domínio 91
4.7 Revisão do capítulo 92
CAPÍTULO 5: Implementação computacional 93 5.1 Idéia básica do programa 93
5.2 Considerações sobre a implementação computacional 94
5.2.1 Domínio em estudo 94
5.2.2 Geometria do contorno 95
5.2.3 Discretização do contorno 95
5.2.3.1 Exemplo de discretização 96
5.2.4 Montagem das matrizes 98
5.2.5 Resolução do sistema de equações FAX = 98
5.2.6 Cálculo das incógnitas fora do contorno 99
5.3 Descrição do programa computacional 99
5.3.1 Definição do arquivo de entrada 100
5.3.2 Definição do arquivo de saída 101
5.4 Sub-rotinas 102
5.4.1 Sub-rotina CALCONT 105
5.4.2 Sub-rotina INTANALITICA 107
5.4.3 Sub-rotina INTNUMERICA 108
5.4.4 Sub-rotina METGAUSS 110
5.4.5 Sub-rotina CALCPOTCAMP 112
5.5 Revisão do capítulo 114
CAPÍTULO 6: Validação do programa 115 6.1 Método analítico do cálculo do potencial e campo elétrico 115
6.2 Linha bifilar 117
6.3 Linha de transmissão trifásica 126
6.3.1 Método das imagens e discretização do solo 131
6.3.2 Largura da faixa do solo a ser discretizada 133
6.4 Revisão do capítulo 134
CAPÍTULO 7: Linhas compactas 135 7.1 Justificativa a compactação 135
7.2 Estruturas convencionais e compactas 136
7.3 Resultado das comparações 140
7.3.1 Gradiente de potencial elétrico na superfície do condutor 141
7.3.2 Capacitância dos condutores 144
7.3.3 Campo elétrico ao nível do solo 146
7.3.4 Solo plano perfeito e solo irregular 149
7.4 Revisão do capítulo 150
CAPÍTULO 8: Conclusão 152
Referências Bibliográficas 154
APÊNDICES
APÊNDICE A – Arquivo de entrada do programa CALCMEC 156
APÊNDICE B – Arquivo de saída do programa CALCMEC 163
APÊNDICE C – Silhuetas de estruturas 169
APÊNDICE D – Solução por meio do método de contorno 177
APÊNDICE E – Exemplo numérico do programa CALCMEC 181
APÊNDICE F – Programa em Matlab para discretização dos condutores 205
Capítulo 1
1
CAPÍTULO 1: Introdução
A utilização de linhas de alta tensão dentro de áreas urbanas é um problema presente
em todas as grandes cidades. Sendo assim, é muito importante conhecer o campo elétrico ao
redor dos isoladores, da torre de transmissão e no nível do solo.
A compactação de linhas de transmissão de 138 kV e 69 kV, além de considerável
economia de investimento, justifica-se pelo crescente uso desse nível de tensão como tensão
de subtransmissão em zonas urbanas e suburbanas, onde as faixas de servidão, fatores
ambientais e limites de campos podem tornar-se fatores de grande importância.
O campo elétrico gerado por linhas de transmissão aéreas deve ser estimado na fase de
projeto da linha, sendo que a intensidade desse campo não deve exceder os valores máximos
admissíveis para ambientes urbanos. A distribuição de tal campo depende dos parâmetros da
linha de transmissão e podem também depender da região que envolve a linha.
Outro fato que leva à necessidade do cálculo de campos eletromagnéticos é a
interferência em elementos externos à linha, como linhas férreas, oleodutos, gasodutos, entre
outros. A indução de tensão em tais elementos pode causar grandes danos e colocar vidas em
risco.
A maioria dos problemas que necessita do cálculo do campo elétrico apresenta
complexidade geométrica, sendo esses problemas descritos por leis complexas. Assim sendo,
as soluções analíticas dos mesmos, que correspondem às soluções exatas, são praticamente
Capítulo 1
2
impossíveis de serem obtidas em decorrência da complexidade geométrica, sendo então
necessária a obtenção de soluções aproximadas por meio de métodos numéricos, onde
também são feitas simplificações nas leis constitutivas dos materiais e em suas geometrias.
Os métodos numéricos empregados como ferramentas básicas na elaboração de
modelos computacionais sempre foram os métodos das diferenças finitas e dos elementos
finitos, desenvolvidos já há algum tempo. O método dos elementos de contorno e a sua
aplicação como uma alternativa para a obtenção de soluções numéricas em quase todos os
campos da engenharia representa um avanço significativo que ocorreu nessa área do
conhecimento nos últimos anos. Em muitos problemas, comprovadamente, esse método é
uma alternativa mais precisa que permite a obtenção de respostas mais confiáveis quando
comparadas com os métodos usuais, sendo que em algumas aplicações as equações integrais
são representações exatas do modelo matemático utilizado para representar o problema físico
(BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992).
A resolução de problemas práticos de engenharia por meio da modelagem matemática
dos fenômenos físicos envolvidos sempre foi uma tarefa de difícil implementação. Com o
surgimento dos computadores, a análise e solução desses problemas foram profundamente
modificadas pelo desenvolvimento dos computadores associado aos avanços das técnicas
numéricas, tornando-se de grande auxilio nesse aspecto. Tornou-se mais barato e rápido
analisar um modelo do que construir vários protótipos.
Na engenharia, alguns dos principais métodos numéricos utilizados são (POUZADA,
1999):
• Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método das Diferenças Finitas no Domínio
do Tempo (FDTD em Inglês);
Capítulo 1
3
• Método dos Elementos Finitos (MEF);
• Método Matricial das Linhas de Transmissão (TLM em Inglês);
• Método de Simulação de Carga (MSC);
• Método dos Elementos de Contorno (MEC);
Todas essas técnicas podem ser vistas como versões particularizadas de uma
abordagem bem mais geral do Método dos Resíduos Ponderados, ou ainda do Método dos
Momentos (MoM) (POUZADA, 1999).
Cada método foi aplicado inicialmente em diferentes campos da engenharia: FDTD e
TLM surgiram na engenharia elétrica; MEF e MEC surgiram na engenharia mecânica e civil.
As diferenças entre eles consistem na utilização de diferentes funções de ponderação e no
número de integrais por partes efetuadas na equação do problema. Cada método tem sua
particularidade, que pode torná-lo mais conveniente que o outro para uma determinada
situação.
Uma maneira de classificar esses métodos diz respeito à abordagem, que pode ser
diferencial ou integral. Isso influi diretamente no tipo de discretização que é feita. Métodos
diferenciais necessitam fazê-la em toda a região estudada. O método dos elementos de
contorno que tem por sigla MEC, é um método de formulação integral.
Em particular, para aplicações de engenharia elétrica, a literatura tem indicado o
sucesso da utilização do MEF para problemas de domínio fechado e o MSC para os
problemas de domínio aberto, e na grande maioria dos casos, para problemas onde apenas um
material dielétrico é envolvido na modelagem. O MEC também tem sido aplicado na
resolução de problemas da área elétrica de domínio aberto quando mais de um material
dielétrico é envolvido (BECKER, 1992).
Capítulo 1
4
1.1 – Objetivo e justificativa
O objetivo deste trabalho é desenvolver um estudo da intensidade do campo elétrico
de linhas de transmissão em zonas urbanas e suburbanas, fazendo uma comparação entre as
estruturas convencionais e compactas utilizadas atualmente. Para isso, será utilizado o Método
dos Elementos de Contorno (MEC) para obter numericamente o campo elétrico.
Serão analisadas linhas de transmissão da classe de tensão 69 kV e 138 kV,
considerando a menor altura dos condutores onde se encontra os maiores valores de campo
elétrico. A necessidade de se calcular o campo elétrico no nível do solo se deve à utilização
com maior freqüência, de estruturas compactas na construção das linhas mencionadas, muitas
vezes com faixas de passagem reduzidas ou inexistentes. Também estudos que mostram se a
intensidade do campo elétrico gerado por essas linhas compactas está dentro das normas
brasileiras. Para essa análise serão consideradas várias configurações de condutores
normalmente utilizados em estruturas compactas.
Para esse fim, foi desenvolvida uma ferramenta computacional baseada no Método dos
Elementos de Contorno. Isso permite sua aplicação a problemas bidimensionais. O Método
dos Elementos de Contorno permite que o campo e o potencial elétrico gerado pelas linhas
sejam encontrados por meio da resolução de integrais de forma numérica.
A utilização do MEC nesse trabalho é justificada por tal método ser uma ferramenta
nova e de pouca utilização na engenharia elétrica, mas que tem grandes vantagens quando
aplicada a problemas que envolvam domínios infinitos ou semi-infinitos.
Capítulo 1
5
1.2 – Idéia básica do MEC
A maioria dos problemas de engenharia apresenta complexidade geométrica, sendo
esses problemas descritos por leis bastante complexas. Os métodos numéricos empregados
como ferramentas básicas na elaboração de modelos computacionais sempre foram os
métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos. O método dos elementos de contorno e
a sua aplicação como uma alternativa para a obtenção de soluções numéricas em quase todos
os campos da engenharia representa um avanço significativo que ocorreu nessa área do
conhecimento nos últimos anos. Em muitos problemas, comprovadamente, esse método é
uma alternativa mais precisa que permite a obtenção de respostas mais confiáveis quando
comparadas com as dos métodos usuais, sendo que em algumas aplicações as equações
integrais são representações exatas do modelo matemático utilizado para representar o
problema físico (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992).
Em aplicações que envolvam domínios não lineares, é necessário a discretização de
todo o domínio de estudo. Mas, na grande maioria dos casos, não é necessário discretizar o
domínio da estrutura, apenas o contorno da superfície estudada, simplificando com isso a
malha da estrutura e facilitando eventuais modificações na malha e diminuindo o tempo de
processamento do programa. Uma outra vantagem é que na maioria dos casos, são
desnecessárias malhas muito refinadas para obtenção de respostas com boa precisão.
O Método dos Elementos de Contorno (MEC) pode ser utilizado na solução de
problemas de análise de temperatura, tensão, torção, difusão, escoamento de fluidos, acústica,
eletrostática, dentre outros. Ele é particularmente mais indicado em casos de concentração de
tensão ou outro tipo de variável, assim como nos casos em que o domínio em estudo estenda-
se ao infinito ou semi-infinito. Nesse segundo caso, o uso do MEC facilita bastante a análise,
Capítulo 1
6
já que no estudo de uma estrutura em contato com um meio infinito, não é necessário fazer a
discretização do meio, mas somente da estrutura em questão (FERNANDES, 2005).
O Método dos Elementos de Contorno (MEC), cuja formulação é baseada em
equações integrais, surgiu há pouco mais de 30 anos. Porém, desde o início do século
passado, a partir do trabalho de Fredholm (1903), as equações integrais são utilizadas para a
solução de alguns problemas físicos. Na década de sessenta, surge à primeira formulação do
método dos elementos de contorno dita indireta, de autoria de Kupradze (1965), aplicada a
problemas potenciais elásticos, citado por Fernandes (2005).
Somente a partir de 1967, com a publicação do primeiro artigo sobre a formulação
direta do método das equações integrais de contorno, para problemas elásticos
bidimensionais, de autoria de Rizzo (1967), é que os métodos integrais começam a despertar
interesse na comunidade científica. A generalização do método para sua utilização ampla em
problemas de engenharia ocorre com o trabalho de Lachat (1975), quando as técnicas de
resolução das equações integrais começam a ser vistas como métodos numéricos (citado por
FERNANDES, 2005).
O método passa a ser conhecido como Método dos Elementos de Contorno, com a
publicação do primeiro livro pelo professor Brebbia (1978), onde o autor formula o método a
partir do método dos resíduos ponderados, usando uma função ponderada conveniente
(FERNANDES, 2005).
O método dos elementos de contorno é principalmente utilizado nas áreas da
engenharia civil e da mecânica. Apesar do MEC se apresentar como uma formulação
alternativa ao método dos elementos finitos, principalmente por causa de necessitar de
discretizar apenas o contorno da região estudada, e com isso abaixar a ordem da dimensão do
Capítulo 1
7
problema, ele ainda não é tão utilizado quanto o FEM. O MEC conta com um centro de
pesquisas, o Wessex Institute of Technology, localizado em Southampton, Inglaterra, que atua
como forte divulgador e patrocinador do assunto.
Até o presente momento, a pesquisa bibliográfica não apresenta nenhuma dissertação
de mestrado e tese de doutorado no Brasil relacionada à aplicação do MEC em linhas de
transmissão. São encontrados alguns trabalhos com aplicação em guias de ondas e
microondas.
Krajewski (1997) apresenta um dos principais artigos dirigido ao cálculo do campo
elétrico utilizando o MEC, sendo o método empregado para uma análise da vizinhança de
linhas de transmissão de alta tensão em corrente alternada, considerando a influência de
estruturas próximas à linha e irregularidades na superfície do solo.
Zhao e Comber (2000) utilizaram o MEC para o cálculo do campo elétrico em
isoladores de linhas de transmissão, considerando o efeito da torre, dos condutores e dos anéis
de corona. Foram modelados separadamente os isoladores, sem levar em conta o efeito das
torres e condutores.
Zhang et al. (2006) utilizaram o MEC acoplado a outros métodos para o cálculo do
campo elétrico em isoladores de linhas de transmissão de alta tensão. O MEC foi acoplado ao
método de simulação de carga para o cálculo do campo elétrico na torre e nos isoladores. Para
tanto, o MEC foi usado no cálculo dos isoladores e o MSC foi utilizado para o cálculo da
estrutura da torre.
Os métodos de contorno têm algumas vantagens importantes sobre os métodos de
domínio (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992):
Capítulo 1
8
• Trabalha unicamente com o contorno do domínio de cálculo. É muito mais simples
definir o contorno que definir o domínio completo. Em particular, o MEC só requer a
discretização do contorno, trazendo uma redução da dimensão do problema com
respeito ao MEF e MDF;
• Pode trabalhar muito mais facilmente com problemas que envolvem domínios
infinitos;
• O mesmo grau de precisão é obtido nas duas variáveis duais do problema (por
exemplo: deslocamentos e tensões, potenciais e fluxos, potenciais elétricos e campo
elétrico, etc.).
Por outro lado, os métodos de contorno trabalham com os valores das funções
incógnitas no contorno. Então, para se calcular os valores em pontos do domínio, é necessário
estabelecer um algoritmo complementar.
Resumidamente, o MEC consiste em obter a solução das equações diferenciais que
descrevem o comportamento de um corpo no seu domínio, por meio da solução de equações
integrais sobre o contorno. Isso reduz de uma unidade as dimensões de problemas lineares
analisados e resulta em uma menor quantidade de dados de entrada. Conseqüentemente, há
uma menor quantidade de equações algébricas. Por outro lado, a matriz do sistema é
geralmente cheia e não simétrica.
Para obter a equação integral de contorno que possibilita a análise do problema, o
MEC necessita de uma solução fundamental. Essa solução fundamental representa a resposta
em um ponto do domínio infinito devido à aplicação de força unitária em outro ponto do
mesmo domínio. A utilização de uma solução fundamental, que genericamente pode ser
classificada como uma desvantagem, na verdade proporciona versatilidade e precisão ao
método (BECKER, 1992).
Capítulo 1
9
O MEC tem uma grande aplicação em problemas cujos domínios são estendidos ao
espaço infinito (ou semi-infinito). Nesses casos, a rede de elementos utilizada pelo MEC na
discretização do contorno necessita discretizar apenas um parte desse contorno, uma vez que a
solução fundamental utilizada no método já contempla a influência do infinito ou semi-
infinito. Ou seja, não é necessário considerar nos cálculos um contorno fictício para
representar o domínio infinito, sendo que esse contorno fictício viria a influenciar nos
cálculos. Outros métodos, como por exemplo, o Método dos Elementos Finitos (MEF),
utilizam contornos fictícios para representar o domínio infinito. Isso pode causar sérios erros
nos resultados numéricos, sobretudo em aplicações onde ondas podem ser refletidas por tais
contornos.
1.3 – Organização do trabalho
O capítulo 2 apresenta uma revisão bibliografia sobre eletromagnetismo com ênfase
em eletrostática. Faz considerações e mostra como é feito o cálculo do campo e do potencial
elétrico para uma linha de transmissão. Também apresenta vários tópicos relacionados às
normas brasileiras e recomendações internacionais a respeito de limite de campo elétrico,
voltadas para linhas de transmissão.
No capítulo 3 é feita à formulação teórica do método para a obtenção da equação
integral de contorno. Para isso é feita a abordagem de vários conceitos utilizados.
O capítulo 4 aborda os métodos de discretização do contorno, mostrando como se
obtêm o sistema de equações e os métodos para resolver esse sistema. Também trata de
Capítulo 1
10
tópicos relacionados com o MEC. São apresentados os métodos de integração utilizados para
resolver as integrais de contorno.
O capítulo 5 apresenta o funcionamento do programa desenvolvido, mostrando as
subrotinas utilizadas na implementação computacional do método dos elementos de contorno
baseada na solução da equação integral de contorno.
No capítulo 6 é feita a validação do programa desenvolvido, comparando os seus
resultados com resultados obtidos com um procedimento analítico. Também são feitas
comparações entre a aplicação do método das imagens com o método da discretização do
solo.
No capítulo 7 são apresentados alguns resultados das comparações entre as estruturas
com espaçamento convencional e compacto, sendo analisadas a intensidades do campo
elétrico, do gradiente de potencial na superfície do solo e da capacitância equivalente.
No capítulo 8 são apresentadas as conclusões sobre o trabalho.
Nos apêndices A, B e C são apresentados, respectivamente, os arquivos de entrada de
dados, o arquivo de saída de dados e as silhuetas das estruturas analisadas.
No apêndice D esta um exemplo de solução por meio do método de contorno.
No apêndice E, há um exemplo de como o programa desenvolvido calcula o valor do
campo elétrico em uma superfície. Nesse exemplo, foram mostrados passo a passo todos os
cálculos efetuados pelo programa.
No apêndice F, há um programa em Matlab para a discretização dos condutores para
ser montado o arquivo de entrada.
Capítulo 2 11
CAPÍTULO 2: Campo elétrico em linhas de transmissão
Nesse capítulo, são apresentadas as equações de Maxwell, as equações de Laplace e as
equações de Poisson (SHADIKU, 2004). Também vários tópicos relacionados ao campo
elétrico em linhas de transmissão, as normas brasileiras e as recomendações internacionais
que devem ser utilizadas no projeto de linhas de transmissão. Serão abordados tópicos
relacionados ao cálculo do campo e potencial elétrico, limite de campo elétrico, altura e
distâncias de segurança. O direcionamento será para a área de eletrostática, não sendo
abordada a área de magnetostática.
O cálculo de campo e potencial elétrico são utilizados durante o desenvolvimento de
projetos de linhas de transmissão, devido à necessidade de se respeitar os limites
estabelecidos dos níveis de campo e potencial elétricos nas vizinhanças de linhas e
equipamentos.
2.1 – Equações de Maxwell
Maxwell (1864) propôs uma das teorias mais importante dentro da história de ciência.
Na Royal Society, ele apresentou novas equações que resumiam todas as leis conhecidas da
eletricidade e do magnetismo. Seu postulado ainda é considerado uma teoria completa de
eletromagnetismo macroscópico (SHADIKU, 2004).
Capítulo 2 12
As equações de Maxwell, na forma diferencial, são escritas como sendo:
t∂
∂−=×∇
BΕ (2.1)
ρ=⋅∇ D (2.2)
t∂
∂+=×∇ JH
0=⋅∇ B
D (2.3)
(2.4)
Também podem ser introduzidas as equações para o meio homogêneo, isotrópico e
linear:
ED ε=
HB
(2.5)
μ=
EJ
(2.6)
σ= (2.7)
Assim, têm-se as relações de eletromagnetismo.
No entanto, se forem consideradas condições quase estáticas, ou seja, campos
senoidais de baixa freqüência é possível estudar separadamente a eletricidade do magnetismo.
Nessas condições as equações de Maxwell podem ser reescritas da seguinte forma:
(2.8)
0Ε =×∇
ρ=⋅∇ D
JH =×∇
0=⋅∇ B
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Capítulo 2 13
As equações (2.8) e (2.9) definem o problema eletrostático, enquanto que as equações
(2.10) e (2.11) caracterizam o problema magnetostático. Observa-se que o conjunto de
equações são independentes. Isso só é possível em problemas de campos quase estacionários.
Em problemas em que a variação do tempo é considerada, qualquer mudança no campo
elétrico vai estar associada à outra no campo magnético e vice-versa.
2.2 – Equações de Laplace e Poisson
As equações de Laplace e Poisson resultam em um método em que o potencial elétrico
V pode ser encontrado, por meio das condições de contorno do condutor.
Para a eletrostática, as leis que regem o campo e o potencial elétricos podem ser
desenvolvidas a partir da relação entre a densidade de fluxo elétrico (equação (2.9)) e o
campo elétrico (equação (2.5)).
Substituindo a equação (2.5) na equação (2.9), obtém-se:
ερ
=⋅∇ E (2.12)
Considerando um campo eletrostático conservativo ( )0Ε =×∇ , no qual, o campo
elétrico pode ser definido em termos de potencial escalar elétrico, tem-se (SHADIKU, 2004):
(2.13)
V−∇=E
Substituindo a equação (2.13) na equação (2.12), tem-se:
( ) ρε −=∇⋅∇ V (2.14)
Capítulo 2 14
A equação (2.14) é para um meio não homogêneo. Para um meio homogêneo, têm-se:
( )ερ
−=∇⋅∇ V (2.15)
ερ
−=∇ V2 (2.16)
ou
ερ
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ 2
2
2
2
2
22
zV
yV
xVV (2.17)
Sendo que ρ pode representar uma distribuição linear, superficial ou volumétrica de
carga.
A equação (2.16) é a equação de Poisson que define a distribuição de potencial
elétrico V. Para obter a solução dessa equação é necessário que as condições de contorno
sejam conhecidas. Ou seja, os potenciais impostos nas fronteiras do domínio, bem como as
cargas estáticas, devem ser conhecidas.
Em situações em que não há carga estática ( )0=ρ , a equação (2.9) torna-se:
(2.18)
0=⋅∇ D
Considerando que ε é constante em toda a região para a qual V é definido, a equação
(2.18) torna-se:
(2.19)
02 =∇ V
A equação (2.19) é conhecida como equação de Laplace, sendo que nesse caso as
fontes geradoras de campo elétrico são obrigatoriamente as condições de contorno.
Capítulo 2 15
A equação de Laplace pode ser expressa em termos de derivadas parciais em
coordenadas cartesianas:
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zV
yV
xV (2.20)
As equações (2.17) e (2.20) mostram que as equações de Laplace e de Poisson são
equações diferenciais de segunda ordem. Em situações que envolvem geometria complexa e
diferentes materiais, a solução analítica dessa equação não pode ser encontrada, em
decorrência dessas razões apresentadas. Nesse caso deve-se utilizar métodos numéricos para a
obtenção das soluções (SHADIKU, 2004).
A formulação da equação integral do contorno será feita levando em conta a equação
de Poisson, mas após isto ρ será considerada nula (equação de Laplace), admitindo-se que o
domínio está em uma região do espaço livre, sem fontes e que a região é homogênea,
isotrópica e linear. Obtêm-se, então:
(2.21)
(2.22)
0=⋅∇ D
02 =∇ V
2.3 – Condições de contorno
Nesse item, serão mostradas as diferenças entre as condições de contorno existentes
nas superfícies dos sólidos.
Suponha um contorno qualquer onde em toda a sua extensão estejam disponíveis duas
variáveis (campo e potencial elétricos). Divide-se o contorno Γ em duas partes ( )21 e ΓΓ ,
Capítulo 2 16
admitindo que em 1Γ o valor do potencial elétrico seja conhecido e no o valor do
campo elétrico E seja conhecido.
V 2Γ
Obrigatoriamente em todo o contorno pelo menos uma variável tem que ser conhecida
em cada ponto, de modo que ao ser feita a discretização e os pontos nodais forem definidos,
em cada ponto têm-se duas variáveis, sendo apenas uma incógnita (Figura 2.1).
Dessa forma, tem-se:
• →Γ chamada de condição de contorno essencial ou de Dirichlet; = 1VV em
• →Γ= E∂∂
= emnVE 2 chamada de condição de contorno natural ou de
Neumann;
Sendo que V representa o potencial elétrico conhecido e E o campo elétrico
conhecido.
Figura 2.1 - Definição das condições de contorno de Dirichlet e Neumann.
Para melhor definir as condições de contorno, considere um capacitor de placas
paralelas, estando suas placas separadas por um dielétrico que tem permissividade relativa rε .
Fazendo a discretização do dielétrico, pode-se definir o potencial elétrico nos pontos alocados
Capítulo 2 17
sobre as placas do capacitor e definir o campo elétrico na lateral do dielétrico, como sendo
nulo, para isso considera-se que não há dispersão do campo nas bordas (Figura 2.2).
Figura 2.2 – Condições de contorno em um capacitor de placas paralelas.
2.4 – Campo elétrico em uma linha de transmissão
Os condutores das linhas de transmissão energizadas apresentam diferenças de
potencial entre si e o solo. Quando as linhas são energizadas, os condutores absorvem da fonte
a energia necessária para o seu carregamento, do mesmo modo que um capacitor. As linhas
carregadas com cargas elétricas distribuídas ao longo dos condutores e sendo a tensão
senoidal, a carga elétrica nos cabos em um ponto qualquer varia de acordo com valores
instantâneos das diferenças de potencial aí existentes entre condutores ou entre o condutor e o
solo (FUCHS, 1977).
Para o estudo de uma linha de transmissão é importante mostrar uma formulação
específica para uma distribuição de cargas em uma linha. Deve-se ressaltar que a linha de
transmissão pode ser resumida a uma distribuição linear de carga infinita (SHADIKU, 2004).
Apesar de o enfoque estar sendo dado à eletrostática, o mesmo estudo pode ser
direcionado a uma linha de transmissão. Nesse caso, considera-se que a corrente elétrica que
percorre a linha é uniforme e constante, ignorando-se o campo magnético que é produzido.
Capítulo 2 18
Isso pode ser feito devido à baixa freqüência do sistema. Desse modo, pode-se considerar um
momento qualquer para fazer uma análise do campo na linha (SHADIKU, 2004).
Para o cálculo do campo, considere uma distribuição linear de carga ao longo do eixo
x do condutor, em um sistema de coordenadas cartesianas.
θtgyxxyR
=+= 222
Figura 2.3 – Decomposição do campo elétrico de uma linha infinita
R2 a4
1Rdqd
oπε=E (2.23)
R22 a4
1xy
Ldxdo +
=ρ
πεE (2.24)
O vetor dE, como a Figura (2.3) mostra, tem as componentes:
θθ
sencos
EEyEEx
dddd
=−=
(2.25)
O valor negativo de dEx indica que que esta grandeza esta orientada no sentido
negativo do eixo x. As componentes segundo os eixos x e y do vetor resultante E no ponto
são dadas por:
Capítulo 2 19
∫ ∫
∫ ∫∞=
−∞=
∞=
−∞=
−==
−==
x
x
x
x
dsend
dcosd
EEyEy
EExEx
θ
θ (2.26)
A componente Ex deve ser nula porque cada elemento de carga, à direita da normal
que passa pelo ponto, tem um elemento simétrico correspondente a esquerda tal que suas
contribuições na direção do eixo x é igual e de sentido oposto, de modo que seus efeitos se
anulam mutuamente.
∫∫∞=
=
∞=
−∞=
===x
x
x
x
dsendsen0
2 EEEyE θθ
∫ ∫∞=
=
∞=
= +=
+=
x
x
x
xo
LL
o xydxsen
xydxsen
0y
022y22 a
2a
412 θ
περρ
πεθE (2.27)
Pela Figura (2.3), pode-se observar que x=y tgθ e a derivada é igual à dx=y sec2θ dθ.
y
2
022
22
0y222
2
a)1(2
a2 ∫∫
=
=
=
= +=
+=
πθ
θ
πθ
θ θθθθ
περ
θθθθ
περ
tgydsecysen
tgyydsecysen
o
L
o
LE (2.28)
1;θtgθsec sendo 22 =−
y2
0y
2
0y
2
0y a)10(
2|a
2a
2a
2−
−=
−=== =
=
=
=
=
=∫∫ y
cosy
dsenyy
dseno
L
o
L
o
L
o
L
περθ
περθθ
περθθ
περ πθ
θ
πθ
θ
πθ
θ
E
ρρπερ
περ a
2a
2 yo
L
o
L
y==E (2.29)
Onde y é a distância perpendicular à linha da distribuição de carga até o ponto de
interesse (raio), e em coordenadas cilíndricas é chamado de ρ. Observe que o ângulo θ é que
define a dimensão infinita da linha. Caso a linha fosse finita, haveria apenas alterações no
ângulo θ .
Capítulo 2 20
Nota-se que o campo diminui inversamente com a distância, enquanto que para a carga
pontual, o campo cai inversamente com o quadrado da distância.
Ressalta-se ainda ao se deslocar uma carga puntiforme de um ponto de potencial mais
baixo para um ponto de potencial mais elevado, realiza-se trabalho. O valor desse trabalho é
numericamente igual à diferença de potencial entre os pontos considerados.
A equação (2.29) foi obtida da Lei de Coulomb, mas ela poderia ter sido obtida por
meio da lei de Gauss.
2.5 – Superfície eqüipotencial de uma linha de transmissão
Uma superfície eqüipotencial nada mais é do que um trajeto em torno de uma carga
sobre a qual todos os pontos estão ao mesmo potencial elétrico. A Figura (2.4a) mostra uma
superfície eqüipotencial considerando duas cargas de mesmo sinal. A Figura (2.4b) mostra
uma superfície eqüipotencial considerando duas cargas de sinal oposto.
(a) (b)
Figura 2.4 – Superfícies eqüipotenciais: (a) duas cargas iguais, de mesmo sinal; (b) duas
cargas iguais, de sinais diferentes.
Capítulo 2 21
A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B, , é definida como o
trabalho para se mover uma carga unitária positiva de A para B em um campo elétrico.
ABV
∫−=−=Final
Inicial
l.W dQ
VAB E (2.30)
Ao dividir o trabalho pela carga na equação (2.30), resulta no valor do trabalho por
unidade de carga, que pode ser expresso por joule/coulomb ou como é freqüentemente
chamando, volt (V).
Observe que se VAB é positivo, existe um ganho de energia ao se movimentar carga de
prova entre os dois pontos imersos no campo elétrico da carga Q. Isso significa que o trabalho
é feito por uma força externa. Caso VAB seja negativo, existe uma perda de energia e o
trabalho é realizado pelo campo.
Para uma distribuição contínua de cargas dlLρ em uma linha infinita, a soma pode ser
substituída por uma integração, tal que o potencial elétrico em r pode ser escrito como:
∫ −−=
Linha
L dlrrV'
')'(2
1)(0 rr
ρπε (2.31)
Resolvendo a integral da equação (2.31), encontra-se a equação para a diferença de
potencial no infinito.
( )rln2
)(0πε
ρLrV −= (2.32)
Caso seja adotado outro ponto de referencia, cujo potencial será considerado nulo, a
equação (2.32) torna-se:
Capítulo 2 22
( ) CrV L +−= rln2
)(0πε
ρ (2.33)
Onde C é uma constante determinada pelo ponto de referência cujo potencial é
considerado nulo.
2.6 – Carga elétrica de uma linha de transmissão
No sistema trifásico, a seguinte condição é assegurada (FUCHS, 1977):
0=++•••
CBA VVV (2.34)
Sendo que, no instante em que tem seu valor máximo Vmax, a carga no condutor A
também será máxima, isto é, Qmax, enquanto que nos condutores b e c, as tensões serão,
respectivamente,
aV
max21VVV CB −== e as cargas max2
1 QQQ CB −== . Ao se considerar 120°
elétricos depois, tem-se , logo maxVVB = maxQQB = e max21VVV BA −== , e assim
sucessivamente.
A relação entre carga elétrica Q e tensão é dada por:
VCQ = (2.35)
Nesse caso, a capacitância depende apenas da estrutura da linha, ou seja, da disposição
dos condutores, dos cabos pára-raios, das alturas e das distâncias entre condutores, do número
de condutores e subcondutores, etc. (FUCHS, 1977).
Capítulo 2 23
2.7 – Efeito do solo no campo elétrico de uma linha de transmissão
Entenda solo e efeito do solo como a superfície do solo e o efeito que o mesmo causa
no campo elétrico. O solo altera o campo elétrico da linha de transmissão, influenciando a
capacitância. Então, considera-se que o solo é um condutor perfeito, com a forma de um plano
de dimensões infinitas, cujos pontos estão a um mesmo potencial. A hipótese do solo
representar um condutor plano infinito e eqüipotencial é limitada pelas irregularidades do
terreno e pelo tipo de solo (STEVENSON, 1978). No entanto, essa hipótese nos permite
entender o efeito de um solo condutor, sendo muito usada nos cálculos da capacitância de
linhas de transmissão.
A teoria das imagens estabelece que em uma dada configuração formada por uma
carga próxima a um plano infinito considerado condutor perfeito de potencial nulo (Figura
2.5), o plano pode ser substituído pela própria imagem das cargas com sinal oposto (Figura
2.6). (SHADIKU, 2004)
Figura 2.5 – Cargas sobre um plano infinito condutor perfeito de potencial nulo.
Capítulo 2 24
Figura 2.6 – Cargas sobre um plano infinito condutor perfeito de potencial nulo.
O Método das imagens consiste em considerar o efeito do solo em um condutor. O
método é utilizado para calcular a capacitância da linha, visto que o solo altera o campo
elétrico, alternado a capacitância da linha, e influenciando a carga da mesma. O método
consiste em se considerar no cálculo da capacitância um condutor de carga igual a da linha,
mas de sinal oposto e a uma profundidade da superfície do solo igual a altura do condutor.
Tem-se, então, o condutor imagem. Os cálculos são efetuados considerando essa imagem.
Esse método pode ser estendido para mais de um condutor.
Se forem considerados condutores imagem para todos os condutores reais, o fluxo
elétrico entre os condutores e o solo será perpendicular ao plano que substitui o solo, sendo
esse plano uma superfície eqüipotencial.
Na Figura (2.7), tem-se o desenho das linhas de campo elétrico sem considerar o efeito
do solo em uma linha monofásica. E na Figura (2.8), tem-se a mesma linha considerando o
efeito do solo na linha de transmissão.
Capítulo 2 25
Figura 2.7 – Campo de uma linha sem considerar o efeito do solo.
Figura 2.8 – Campo de uma linha considerando o efeito do solo.
Capítulo 2 26
Na Figura (2.9), observa-se que as superfícies eqüipotenciais também são
influenciadas pelo solo. Ao se levar em conta o efeito do solo no campo elétrico, consegue-se
colocar o solo num potencial nulo entre as cargas, condutor e imagem, corrigindo o erro no
cálculo do potencial elétrico. Assim na Figura (2.9), o potencial decresce até chegar ao solo e
depois começa a aumentar novamente, mas com sinal oposto.
Figura 2.9 – Superfície eqüipotencial em uma linha
O método da teoria das imagens tem por objetivo reduzir o erro nos cálculos,
considerando a solo uma superfície eqüipotencial. Em uma consideração mais próxima da
realidade, a distância na qual se considera o condutor imagem pode ser bem mais profunda do
que a altura da linha, devido as características do solo abaixo mesma.
Capítulo 2 27
2.8 – Níveis de campo elétrico
Desde que Wertheimer e Leeper em 1979 pretenderam associar mortalidade por câncer
infantil e a proximidade de casas às linhas de distribuição de energia, a comunidade científica
internacional iniciou uma cruzada para tentar comprovar essa tese, não alcançando nenhuma
conclusão até o momento (ABRICEM, 1999).
A preocupação com efeitos da exposição dos seres humanos a campos elétricos e
magnéticos é antiga e muitas entidades têm se preocupado em avaliar o assunto, levando ao
surgimento de muitas publicações e normas. A principal referência para o assunto no Brasil é
a ABNT, na forma da NBR-5422 (ABNT, 1985), que trata de projetos de linhas de
transmissão. Existem também as normas regulamentadoras como a NR-9 e NR-15 do
Ministério do Trabalho (BRASIL, 1978), que determinam o limite de campo elétrico e
magnético para exposição ocupacional. Sendo que hoje existem vários outros projetos de
normas que vem sendo elaboradas pela ABNT em conjunto com as empresas.
As normas brasileiras, atualmente, não determinam limites para campos magnéticos e
pouco regulamentam sobre campos elétricos para o publico geral, sendo que a NBR-5422,
norma relativa a projetos de linhas aéreas de transmissão de energia elétrica, determina apenas
o limite de campo elétrico no limite da faixa de servidão. Devido a esse fato, nos projetos de
linhas de transmissão, são utilizadas recomendações internacionais como as dadas pela
International Radiation Protection Association (IRPA).
Capítulo 2 28
2.8.1 – Normas e recomendações Brasileiras
Como dito anteriormente, a NBR-5422, elaborada em 1985, limita o nível do campo
elétrico no limite da faixa de servidão de linhas de transmissão em 5 kV/m, não fazendo
qualquer outra referência. Atualmente, a ABNT já tem projeto de outras normas, que deverão
regulamentar não só os limites de campo elétrico, como o magnético, de uma forma muito
mais completa, atendendo as recomendações da International Commission on Non-Ionizing
Radiation Protection (ICNIRP).
Além da NBR-5422, têm-se as Normas Regulamentadoras de Segurança e Saúde no
Trabalho (NRs), a NR 9 – Programa de Prevenção de Riscos Ambientais, do Ministério do
Trabalho e Emprego (BRASIL, 1978a). Tal norma, no item 9.2.5.1.c, estabelece que para as
avaliações quantitativas da exposição dos trabalhadores a riscos ambientais, deverão ser
considerados os valores dos limites previstos na NR 15 (BRASIL, 1978b) ou, na ausência
desses, os valores limites de exposição ocupacional adotados pela American Conference of
Governmental Industrial Hygienists- ACGIH. Como a NR 15, que trata de atividades e
operações insalubres, não considera as atividades desenvolvidas pelos trabalhadores nas redes
e subestações elétricas como insalubres e não fixa valores limites para campos elétricos e
magnéticos para a freqüência de 60 Hz, os valores limites a serem observados para exposições
ocupacionais são os da ACGIH conforme estabelecido na NR 9.
Tabela 2.1 – Limites de exposição estabelecidos por normas brasileiras.
Valores Limites para 60 Hz Campo Elétrico (kV/m) Densidade de Fluxo
Magnético (μT)
Exposição ocupacional 25(2) 1000(2)
Público em Geral 5(1)(2) - (1) – Limite estabelecido pela NBR-5422. (2) – Limite estabelecido pela ACGIH.
Capítulo 2 29
Deve-se entender por exposição ocupacional as populações expostas e os
trabalhadores da área de energia elétrica que estão, em geral, submetidos a condições
conhecidas e preestabelecidas e deverão estar treinados para enfrentar o risco em potencial e
adotar as precauções apropriadas. Os valores são considerados para uma exposição máxima
durante a jornada de trabalho de 8 horas diárias.
O público em geral é constituído por pessoas de todas as faixas etárias e condições
distintas de saúde, podendo inclusive incluir grupos ou indivíduos particularmente mais
susceptíveis. Na maioria dos casos esse público não tem consciência de sua exposição aos
campos elétricos e magnéticos. Então, adota-se restrições mais rigorosas para o público em
geral do que em relação a população ocupacional exposta.
2.8.2 – Recomendações da ICNIRP
A ICNIRP (International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection) foi
criada em maio de 1992, durante o Oitavo Congresso Internacional da IRPA (International
Radiation Protection Association) como uma organização científica internacional
independente.
Essa organização, sucedeu a INIRP (International Non-Ionizing Radiation
Committee), que havia sido criada em 1977. Desde esta época, ela vinha desenvolvendo
estudos e publicando documentos em colaboração com a Divisão de Saúde Ambiental da
Organização Mundial da Saúde (OMS). Esses documentos contêm critérios de saúde e fazem
parte do Programa de Critérios de Saúde Ambiental da OMS
Capítulo 2 30
As funções da ICNIRP são: investigar os perigos que podem ser associados com as
diferentes formas de radiações não ionizantes, desenvolver diretrizes internacionais sobre
limites de exposição a radiações não ionizantes e tratar de todos os aspectos de proteção a
essas radiações.
Em 1998, a ICNIRP revisou estudos anteriores e publicou seu Guidelines for Limiting
Exposure to Time-Varying Electric, Magnetic and Electromagnetic Fields (up to 300 GHz)
(ICNIRP, 1998), que são diretrizes que estabelecem limites para a exposição humana a
campos elétricos e magnéticos para freqüência até 300 GHz. Essas diretrizes foram
estabelecidas tomando como base uma detalhada revisão de toda literatura científica
publicada sobre efeitos biológicos provocados pela exposição de seres vivos, não apenas
humanos, a campos elétricos e magnéticos, incluindo efeitos térmicos e não térmicos. Em
2001, após uma nova revisão de toda literatura científica publicada a ICNIRP manteve os
limites publicados.
A Organização Mundial da Saúde (OMS) reconhece oficialmente a ICNIRP, e as
principais conclusões feitas pela OMS são de que a exposição a campos com intensidades
inferiores aos limites recomendados nas diretrizes internacionais dessa comissão não aparenta
ter qualquer conseqüência conhecida para a saúde.
Os limites de campo elétrico e magnético estão apresentados na Tabela (2.2) para a
freqüência de 60 Hz:
Tabela 2.2 – Limites de exposição estabelecidos pelo ICNIRP (ICNIRP, 1998).
Valores Limites para 60 Hz Campo Elétrico (kV/m) Densidade de Fluxo
Magnético (μT)
Ocupacional 8,33 417
Público em Geral 4,17 83,3
Capítulo 2 31
2.8.3 – Recomendações da IRPA
A IRPA (International Radiation Protection Association), recomenda limites de
exposição a campos elétricos e magnéticos de 50 e 60 Hz em função do tempo e tipo de
exposição, conforme a Tabela (2.3).
Tabela 2.3 – Limites de exposição estabelecidos pela IRPA (TEIXEIRA, 2001).
Características de exposição Intensidade de Campo
Elétrico (kV/m)
Densidade de Fluxo
Magnético (μT)
Ocupacional
Período de Trabalho Integral
Períodos Curtos
Partes do Corpo
10
30(1)
500
5000(2)
25000
Público em Geral
Até 24 horas / dia(3)
Poucas Horas por dia(4)
5
10
100
1000
(1) – a duração máxima da exposição ao campo entre 10 e 30 kV/m, pode ser calculada a partir
da fórmula t<80/E, onde: t – duração em horas de trabalho, E – intensidade do campo em
kV/m. (2) – a máxima duração de exposição é de 2 horas por dia. (3) – restrição aplicável a espaços abertos nos quais os indivíduos do publico em geral possam
passar parte do tempo durante o dia. (4) – esses valores podem ser ultrapassados em poucos minutos ao dia, tomadas as precauções
com relação às induções indiretas.
Capítulo 2 32
2.9 – Alturas e distâncias de segurança
As distâncias de segurança são os afastamentos mínimos recomendados que os
condutores e acessórios energizados devam manter das demais partes da própria linha de
transmissão, do terreno ou dos obstáculos próximos.
As distâncias de segurança objetivam evitar a ocorrência de curto-circuito, causado
pela aproximação excessiva com os cabos energizados das linhas de transmissão.
A altura dos cabos ao solo depende do comprimento das cadeias de isoladores, do
valor das flechas máximas dos condutores e das alturas de segurança necessárias. O
comprimento da cadeia de isoladores é função do tipo, do número de isoladores e das
ferragens que as compõem. As flechas máximas são determinadas em função do vão médio
entre as torres da linha, bem como, do tipo de cabo condutor utilizado. A tração a ser usada
deve ser calculada para a condição de máxima temperatura, como recomenda a NBR-5422 em
seu item 5.2.2. As alturas de segurança (hs) mostradas na Figura (2.10) representam a menor
distância admissível entre condutores e o solo em qualquer momento da vida da linha. São
fixadas igualmente pela NBR-5422, em seu item 10.2.1.1. Dependendo da classe de tensão da
linha e da natureza do terreno ou dos obstáculos por ela cruzados, a referida norma apresenta
dois métodos de cálculo dessas distâncias. Um método designado como convencional e um
método alternativo, que para sua aplicação depende de uma análise probabilística dos valores
máximos das sobretensões a que a linha poderá ser submetida.
Capítulo 2 33
Figura 2.10 – Menor distância do condutor ao solo (ABNT, 1985).
Para evitar problemas, o projeto das linhas leva em consideração condições especiais
que possam implicar em aproximação dos cabos elétricos, como travessias, presença de
veículos agrícolas, árvores etc.
Tabela 2.4 – Distância básica (ABNT, 1985).
Região ou obstáculo atravessado pela linha ou que ela se aproxime Distância
básica (a)
Locais acessíveis apenas a pedestres 6,0
Locais onde circulam maquinas agrícolas 6,5
Rodovias, ruas e avenidas 8,0
Ferrovias não eletrificadas 9,0
Ferrovias eletrificadas ou com previsão de eletrificação 12,0
Suporte de linha pertencente a ferrovia 4,0
Águas navegáveis H +2,0
Águas não navegáveis 6,0
Linhas de energia elétrica 1,2
Linhas de telecomunicação 1,8
Telhados e terraços 4,0
Paredes 3,0
Instalações transportadoras 3,0
Veículos rodoviários e ferroviários 3,0
Capítulo 2 34
Para cálculo da altura mínima dos suportes, pode-se empregar o método convencional
descrito na NBR-5422:
87kVa V parhs
ou
87kV V para503
Du0,01hs
≤=
>⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+=
a,
,a
(2.36)
Sendo:
V – tensão máxima de operação da linha, valor eficaz, fase-fase, em kV;
Du – distância, em metros, numericamente igual a V;
a – distância básica, em metros, obtida da Tabela (2.4), seu valor depende do tipo de
obstáculo.
Observações:
• Para altitudes superiores a 1000 metros em relação ao nível do mar, o valor da
segunda parcela de hs deve ser acrescido de 3% para cada 300 metros de altitude
acima de 1000 metros;
• Em locais acessíveis somente a pessoal autorizado, podem ser utilizadas distâncias
menores que as calculadas pela fórmula básica;
• No cálculo das distâncias dos condutores à superfície de água navegáveis, H
corresponde a altura, em metros, do maior mastro e deve ser fixado pela autoridade
responsável pela navegação da via considerada, levando-se em conta o nível máximo
de cheia ocorrido nos últimos 10 anos;
• No cálculo de distâncias verticais de partes de uma linha às de outra linha de
transmissão, o valor de Du, na fórmula básica, corresponde a tensão mais elevada das
Capítulo 2 35
duas linhas consideradas. Se ambas forem superiores a 87 kV, deve-se calcular a
parcela ( )50301,0 −Du para ambas e somar-se o resultado das duas tensões ao valor
básico de a;
• As distâncias indicadas para telhados e terraços são validas para os casos em que os
mesmo não sejam acessíveis a pedestres. Caso contrário, o espaçamento deve ser de
seis metros (6 m). As distâncias devem ainda ser aumentadas convenientemente, se
isso se fizer necessário, em vista da existência de equipamentos como guindastes ou
andaimes, piscinas, jardins, ou da execução de trabalhos de conservação, extinção de
incêndios, etc;
• No cálculo da distância dos condutores a paredes cegas (equação 2.37), nas quais por
acordo entre as partes interessadas, não for permitida a abertura de janelas, portas, etc.,
ressalvadas as disposições legais pertinentes, a distância mínima pode ser calculada
pela fórmula a seguir, adotando-se 0,5 m como o valor mínimo:
150Duhs = (2.37)
A altura mínima dos condutores ao solo tem grande importância não só para a
segurança, mas também para o nível do campo elétrico, visto que conforme a altura dminui, a
intensidade do campo elétrico aumenta. No caso de linhas que atravessem ruas e avenidas,
essa altura torna-se ainda mais importante, devido ao grande fluxo de pessoas.
2.10 – Medição de campo elétrico em linha de transmissão
Os locais para medição de níveis de campos elétricos deverão ser previamente
selecionados, por meio de avaliação da planta, de forma que seja mapeada a distribuição
Capítulo 2 36
desses campos na área a ser avaliada, levando-se em consideração as regiões onde
teoricamente se apresentam campos em níveis mais elevados. Esses locais deverão ainda,
quando possível, apresentar fácil acesso e localização afastada de outras fontes emissoras
eletromagnéticas. Especialmente na avaliação de níveis de campos elétricos, recomenda-se
que os pontos de medição apresentem localização afastada de árvores e massas metálicas, que
interferem no resultado das medições. Na impossibilidade de se atender a tal premissa, todos
os agentes interferentes citados deverão ser identificados e discriminados com suas
respectivas características, geometria e locação em relação aos respectivos pontos de medição,
para que sejam considerados na avaliação final dos trabalhos (ABRICEM, 2007).
Além dos critérios acima, os pontos para mapeamento das linhas citadas deverão ser
selecionados em regiões preferencialmente afastadas de ângulos fortes (superiores a trinta
graus), transposições ou cruzamentos com outras linhas, que igualmente interferem no
resultado das medições. Na impossibilidade do atendimento a essa recomendação, ou quando
é desejável a obtenção de níveis máximos de intensidade de campo no ponto selecionado,
considerando-se a influência dos agentes citados e a presença de múltiplas fontes geradoras de
campos, todos deverão ser também identificados e caracterizados na forma acima citada, para
que sejam considerados na avaliação final dos trabalhos. Nesse caso, se necessário,
recomenda-se que as medições sejam complementadas por uma avaliação espectral, para que
sejam especificamente identificadas e quantificadas as contribuições não pertinentes à fonte
avaliada. Sugere-se preferencialmente que os pontos para medição sejam selecionados no
meio dos vãos das linhas, onde os campos apresentam magnitudes importantes e não são
influenciados por estruturas metálicas que suportam os respectivos condutores.
Os campos elétricos e magnéticos deverão ser medidos a uma altura de um metro (1
m) acima do nível do solo, para comparação com os níveis de segurança recomendados.
Capítulo 2 37
Eventualmente, poderão ser realizadas medições a 1,70 m acima do solo, altura compatível
com os membros superiores da escala humana.
Em áreas urbanas e regiões habitadas ou com circulação, bem como, com
concentração de público, contíguas às linhas de transmissão e subtransmissão, os pontos para
mapeamento das áreas citadas deverão ser selecionados considerando-se as condições
mencionadas dos locais, tais como praças, avenidas, etc., além de residências, escolas, clubes,
hospitais, igrejas, etc.
2.11 – Revisão do capítulo
Nesse capítulo, foram apresentadas expressões matemáticas para a modelagem de
fenômenos eletromagnéticos, sendo utilizadas as equações de Maxwell para a condição
estática, consideradas nos próximos capítulos. Apresentou-se a diferença entre as duas
condições de contorno (Dirichlet e Neumann).
Apresentou-se ainda os cálculos do campo e do potencial elétrico de linhas de
transmissão e as normas brasileiras, bem como, as recomendações internacionais sobre os
limites de campo elétrico. Foram mostradas as alturas e distâncias de segurança de condutores
ao solo, nos diversos obstáculos e regiões percorridas pela linha de transmissão.
Capítulo 3
38
CAPÍTULO 3: Formulação da equação integral do contorno
O Método dos Elementos de Contorno utiliza um método de solução de equações
diferenciais parciais. A sua formulação transforma as equações diferenciais em equações
integrais sobre o contorno da região em estudo. Essas equações integrais são resolvidas
analítica e numericamente com a integração feita ao longo do contorno, sendo este percurso
dividido em segmentos, chamados de elementos de contorno, nos quais as condições de
contorno do problema são aplicadas.
Neste capítulo, o Método dos Resíduos Ponderados será aplicado à equação de
Poisson, obtendo-se as respectivas equações integrais escritas em termos de resíduos
ponderados. A partir dessa equação, dependendo do tipo de técnica de resíduos ponderados
que se utiliza, pode ser obtida a equação integral tanto para o método dos elementos finitos
como para o método dos elementos de contorno. Neste trabalho, será utilizado o Método de
Pontos de Colocação, sendo que também poderia ser utilizado o Método de Galerkin
(HARTMANN, 1989).
Outra forma de se obter as equações integrais é através do teorema de Green ou do
teorema de reciprocidade de Betti (BECKER, 1992).
Capítulo 3
39
3.1 – Método dos resíduos ponderados
O Método dos Resíduos Ponderados são procedimentos numéricos para a solução de
um conjunto de equações diferenciáveis. Considerando a equação de Poisson, que define a
distribuição de potencial elétrico em um domínio bidimensional:
(3.1)
onde :
bV =∇2
( ) ( )yV
xVV
∂∂
=∇2
2
∂∂
+2
, sendo ( ) ( ) ( )yx ∂⋅∂
+∂⋅∂
=⋅∇22
2 o operador de Laplace.
Onde V é a função que governa a equação e cujo valor se quer determinar. Já E é a
sua derivada em relação a normal, sendo também uma incógnita e b é uma função de ( )yx,
conhecida. Isto é ερ−=b . Quando aplicado à eletrostática, representa o potencial escalar
elétrico no ponto i , sendo chamado neste trabalho de potencial elétrico. Sua derivada em
relação a normal,
iV
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=nVE , em problemas elétricos representa a intensidade do campo
elétrico na direção normal.
Na maioria dos problemas de engenharia, a solução exata da grande maioria de suas
equações não pode ser conhecida devido a sua complexidade da geometria envolvida. A
solução se dá apenas de forma aproximada.
Chamado de a solução exata da equação (3.1), pode-se expressar uma solução
aproximada de por:
0V
0V
(3.2)
oVV ≅
Capítulo 3
40
com
∑=
=NN
KkkV
1ϕα (3.3)
Sendo que:
• kα – coeficientes a determinar, podendo ser associados aos valores nodais da
variávelV ;
• kϕ – funções linearmente independentes e conhecidas, definidas no domínio Ω;
• NN – número de nós.
Quando necessário, pode-se somar ao membro direito da equação (3.3) uma parcela
constante oα a fim de acomodar a porção não homogênea da equação diferencial em estudo.
Como a variável V é aproximada no domínio Ω , pode-se dizer que a equação (3.1)
não é mais satisfeita de forma exata. Ou seja:
(3.4)
Desse modo, é introduzido um erro para a aproximação de V , igual a:
02 ≠−∇ bV
(3.5)
O Método dos Resíduos Ponderados consiste em minimizar o erro da aproximação
fazendo com que o erro ponderado no domínio seja nulo. Ou seja:
bVR −∇= 2
(3.6)
A equação acima pode ser reescrita como:
( ) 02 =Ω−∇∫Ω
wdbV
Capítulo 3
41
( ) 02
2
2
22 =Ω⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+∂∂
=Ω−∇ ∫∫ΩΩ
dwbyV
xVdwbV (3.7)
Sendo w uma função de ponderação, que deve ser contínua até a segunda derivada. A
restrição da função deve ser contínua até a segunda derivada se deve do fato de ter que se
integrar por partes duas vezes, impondo que seja contínua, pelo menos por trecho, até a
segunda derivada. Isto também significa que a ordem de continuidade da função V pode ser
relaxada, daí a designação de formulação fraca. Observa-se que esta mesma imposição já
estava aplicada ao potencial elétrico pelo operador laplaciano.
w
w
A fim de determinar qual seria o erro ponderado no contorno, serão feitas quatro
integrações por partes da equação (3.6). Efetuando as duas primeiras integrações, tem-se:
02
2
2
2
=Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+∂∂
∫∫∫ΓΓΩ
dnwVd
nVwdbw
ywV
xwV (3.8)
Sendo que: nun
yVn
xV
x∂
y ∂=
∂∂
+∂∂ e
nwn
ywn
xw
yx ∂∂
=∂∂
+∂∂ , Γ é o contorno do domínio
e é o vetor normal definido sobre Ω nr Γ na direção indicada pela Figura (3.1).
∞Ω
Figura 3.1 - Definição do vetor normal ao contorno Γ do domínio . Ω
Capítulo 3
42
Note que na Figura (3.1), o vetor nr está definido no sentido de dentro para fora do
domínio, sendo que se ele estivesse definido para dentro do contorno, estaria indicando um
buraco de contorno Γ de domínio infinito ∞Ω .
Na equação (3.8), pode-se observar a atuação do operador laplaciano sobre a função
: w
( ) 02 =Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω−Ω∇ ∫∫∫∫ΓΓΩΩ
dnwVd
nVwdwbdwV (3.9)
Sendo que, na equação (3.6), w atuava sobre a função de aproximação em V . Como
essas expressões são iguais, pode-se reescrever a equação (3.9), igualandoa com a equação
(3.6):
( ) ( ) Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω−Ω∇=Ω−∇ ∫∫∫∫∫ΓΓΩΩΩ
dnwVd
nVwdwbdwVdwbV 22 (3.10)
A parcela ( )bw− aparece nos dois termos, podendo ser cancelada. Logo:
( ) ( ) Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω∇=Ω∇ ∫∫∫∫ΓΓΩΩ
dnwVd
nVwdwVwdV 22 (3.11)
Reescrevendo a equação (3.11), verifica-se que ele representa o teorema de Green. Isto
é:
( ) ( )[ ] ∫∫ΓΩ
Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=Ω∇−∇ dnwV
nVwdVwwV 22 (3.12)
A equação (3.8) pode ser escrita considerando as condições de contorno. Então, com a
divisão do contorno em duas partes, ( )21 Γ+Γ=Γ , tem-se:
Capítulo 3
43
02121
2
2
2
2
=Γ∂∂
−Γ∂∂
−Γ+Γ+Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+∂∂
∫∫∫∫∫ΓΓΓΓΩ
dnwVd
nwVdwdwdbw
ywV
xwV EE (3.13)
Integrando-se mais uma vez por partes, tem-se:
0
2121
=Γ∂∂
−Γ∂∂
−Γ+Γ+Γ∂∂
+
+Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−
∫∫∫∫∫
∫
ΓΓΓΓΓ
Ω
dnwVd
nwVdwdwd
nwV
dbwyw
yV
xw
xV
EE (3.14)
Separando a primeira integral do contorno Γ em duas partes ( )21 e ΓΓ , tem-se:
01211
=Γ∂∂
−Γ+Γ+Γ∂∂
+Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
− ∫∫∫∫∫ΓΓΓΓΩ
dnwVdwdwd
nwVdbw
yw
yV
xw
xV EE (3.15)
Integrando se uma última vez, tem-se:
0
1211
2
2
2
2
=Γ∂∂
−Γ+Γ+Γ∂∂
+Γ−
−Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+∂∂
∫∫∫∫∫
∫
ΓΓΓΓΓ
Ω
dnwVdwdwd
nwVdw
dbwyVw
xVw
EEE (3.16)
Separando a primeira integral do contorno em duas partes ( )21 e ΓΓ .tem-se:
01212
2
2
2
2
=Γ∂∂
−Γ+Γ∂∂
+Γ−Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+∂∂
∫∫∫∫∫ΓΓΓΓΩ
dnwVdwd
nwVdwdbw
yVw
xVw EE (3.17)
Juntando os termos iguais em 21 e ΓΓ , tem-se:
( ) ( ) ( ) 012
2 =Γ∂∂
−+Γ−−Ω−∇ ∫∫∫ΓΓΩ
dnwVVdwdwbV EE (3.18)
A equação (3.18) pode ser igualada a equação (3.6):
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ΓΓΩΩ
Γ∂∂
−+Γ−−Ω−∇=Ω−∇12
22 dnwVVdwdwbVdwbV EE (3.19)
Da equação (3.19), o erro ponderado no domínio e no contorno é deduzido por:
Capítulo 3
44
• →− erro no domínio ∇= bVR 2 Ω ;
• →−= VVR1 erro no contorno 1Γ ;
• →−= EE2R erro do contorno 2Γ .
Substituindo-se os erros definidos pelas expressões anteriores na equação (3.19), tem-
se:
01
22
1 =Γ∂∂
+Γ−Ω ∫∫∫ΓΓΩ
dnwRdRwdwR (3.20)
Apesar da equação (3.19) ter sido deduzida para o caso de V e serem aproximados,
ela é válida caso sejam exatos, apresentando, então, erro nulo.
E
3.1.1 – Formulação fraca
O processo para obtenção da equação integral pode ser considerado como uma
combinação do método dos resíduos ponderados com um processo de integração por partes
que reduz ou enfraquece a ordem de continuidade exigida para a função em V .
Então, a equação integral para a formulação com o MEC é obtida integrando-se a
equação (3.18) duas vezes por parte, enfraquecendo a continuidade exigida para a função em
. Assim, integrando-se a equação (3.18) por partes duas vezes, tem-se: V
( ) ( ) ( ) 012
2 =Γ∂∂
−+Γ−−Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω−Ω∇ ∫∫∫∫∫∫ΓΓΓΓΩΩ
dnwVVdwd
nwVd
nVwdwbdwV EE (3.21)
A equação (3.21) pode ser reescrita como:
Capítulo 3
45
( ) 02 =Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω−Ω∇ ∫∫∫∫ΓΓΩΩ
dnwVd
nVwdwbdwV (3.22)
A partir da equação (3.22), obtém-se a formulação da integral de contorno para
problemas Laplacianos com o MEC. Essa mesma equação também poderia ser obtida
diretamente a partir da equação (3.6), que após integrada por partes duas vezes, resulta na
equação (3.9).
3.2 – Métodos de solução da equação integral
Há três tipos de métodos de solução para a equação integral, dependendo do tipo de
técnica de resíduo ponderado utilizado (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992):
• Método do Domínio. Quando a solução aproximada de V satisfaz somente as
condições de contorno, sendo 0e0,0 221 ≠−∇==−==−= bVRRVVR EE , ou
seja, as incógnitas do problema são definidas no domínio Ω. Com esse método admiti-
se uma aproximação para V ;
• Método de Contorno. A função em V satisfaz somente a equação diferencial no
domínio, sendo as incógnitas do problema definidas apenas ao longo do contorno. No
caso da equação (3.19), adota-se V de tal forma que 02 =∇ V . As incógnitas do
problema ficam exclusivamente na fronteira;
• Método Misto. Quando não são satisfeitas nem as condições de contorno, nem a
equação diferencial no domínio.
Capítulo 3
46
3.2.1 – Método de contorno
Observa-se que o Método dos Elementos de Contorno se enquadra na segunda
classificação. Uma importante observação: durante o processo de dupla integração por partes
da seção anterior, o operador associado à equação em estudo foi transferido e passou a atuar
sobre a função de ponderação . Um Método de Contorno poderá, então, ser aplicado
escolhendo uma função que satisfaça identicamente a equação em estudo e não mais suas
condições de contorno. Em outras palavras, a equação (3.22) poderá ser resolvida apenas com
as integrações no contorno, desde que a integração sobre o domínio Ω possa ser:
w
w
• Reduzida à zero. Nesse caso, w satisfaz a equação diferencial na sua forma
homogênea, ou seja, no caso da equação de Poisson, tem-se 02 =∇ w ;
0=Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω− ∫∫∫ΓΓΩ
dnwVd
nuwdwb (3.23)
• Calculada facilmente. Nesse caso, w satisfaz a equação diferencial no domínio sobre
observação de tal modo que seja possível obter uma equação integral que tenha
variáveis definidas apenas em integrais ao longo do contorno Γ . Na formulação com o
MEC, usualmente se emprega uma função w que satisfaça essa condição.Assim, a
função de ponderação w é igual a solução fundamental da equação governante.
Capítulo 3
47
3.3 – Método de pontos de colocação
Com o objetivo de satisfazer a segunda condição citada no item (3.3.1), utiliza-se o
Método de Pontos de Colocação para obter a função de ponderação.
O Método de Pontos de Colocação pode ser considerado como uma variação do
Método dos Resíduos Ponderados, na qual a função delta de Dirac é aplicada. Além do
Método de Pontos de Colocação, há também o Método de Galerkin e ambos podem ser
considerados como variação do Método dos Resíduos Ponderados.
No Método de Pontos de Colocação, N pontos são escolhidos no contorno, fazendo o
resíduo ser nulo nesses pontos. A função de ponderação é dada pela função delta de Dirac
( )( )oxx −δ .
A função delta é definida, em uma dimensão, por:
( )o
oo xxse
xxsexx
≠=∞
⟨=−0
δ
∫+∞
∞−=− 1)( dxxx oδ (3.24)
Isso pode ser compreendido, de uma forma elementar, como o limite de uma função
contínua ordinária. Assim, a função delta de Dirac é singular no ponto . Considerando as
propriedades da função delta de Dirac, pode-se dizer que:
ox
)()()( 00 xFdxxxxFa
a
=−∫+
−
δ (3.25)
Onde ( representa o valor da função )xF F no ponto . ox
Capítulo 3
48
Em qualquer equação envolvendo a função delta de Dirac, o domínio de integração
pode ser reduzido a qualquer intervalo que contenha o ponto onde o argumento da função
delta de Dirac se anula.
Depois de definida a função delta de Dirac ( )( )rr ′−rrδ , ela deve ser aplicada a uma
função de ponderação, onde rr é o vetor de posição associado ao ponto de observação, e r ′r é
o vetor posição associado ao ponto de aplicação da função impulsiva delta de Dirac.
O conceito da distribuição delta de Dirac é muito importante para a formulação do
Método dos Elementos de Contorno. Considerando:
NNw ψβψβψβ +++= K2211
E sendo iβ coeficientes arbitrários e iψ funções de forma linearmente independente.
Onde: ( )rrii rr ′−= δψ Ni ≤≤1
Considerando as propriedades da função delta de Dirac, pode-se dizer que:
(3.26)
Com ( representando o valor da função em V no ponto indicado pelo vetor
( ) ( ii rVdrrV ′=Ω′−∫Ω
rrrδ
)irV ′r
)
ir ′r .
Considerando a equação de Poisson ( )bw =∇2 , para se obter a equação de contorno
utilizando a função delta de Dirac, adota-se ( )irrb ′−−=rrδ , chegando-se à seguinte equação
diferencial:
(3.27)
Com isso, a função é obtida de tal forma que satisfaz a equação (3.27).
( irrw ′−−=∇rrδ2 )
w
Capítulo 3
49
( )rrVw ′=rr,*
Sendo denominado como solução fundamental. Considerando-se as equações
(3.26) e (3.27), bem com, a solução fundamental como função de ponderação, tem-se:
*V
( ) ( ) ( ) iii VrVdrrVdVV −=′−=Ω′−−=Ω∇ ∫∫ΩΩ
rrrδ*2 (3.28)
Reescrevendo a equação (3.28):
(3.29)
O índice i está associado ao ponto de aplicação da função impulsiva.
( ) iVdVV −=Ω∇∫Ω
*2
No apêndice D foi feito um exemplo, aplicando a teoria até aqui apresentada,
considerando um domínio unidimensional.
3.4 – Solução fundamental
A solução fundamental satisfaz a equação de Laplace e representa o campo gerado
por uma carga unitária concentrada que age em um ponto i . O efeito dessa carga se propaga
desde o ponto de i até o infinito sem qualquer consideração de condições de contorno
(FERNANDES, 2005).
*V
O desenvolvimento apresentado acima permite reescrever a equação (3.22), como:
Capítulo 3
50
Γ∂∂
−Γ∂∂
+Ω−= ∫∫∫ΓΓΩ
dnwVd
nVVdVbVi
** (3.30)
Uma vez calculado o valor de ( )*Vww = , o valor de nw∂∂ pode ser facilmente
calculado por:
**
E=∂∂
=∂∂
nV
nw
A equação (3.30) pode ser reescrita, levando em conta as condições de contorno:
∫∫∫∫∫ΓΓΓΓΩ
Γ+Γ=Γ+Γ+Ω+2
*
1
*
2
*
1
** dVdVdVdVdVbVi EEEE (3.31)
Ou de forma compacta:
(3.32)
A equação (3.32) é utilizada como ponto de partida para a aplicação do MEC, note que
as equações (3.23) e (3.30) são representações integrais exatas, isto é, ainda não foi
introduzida nenhuma aproximação na formulação. A solução do problema passa a ser
aproximada quando se faz necessário discretizar o contorno do sólido em elementos nos quais
as variáveis V e são aproximadas.
∫∫∫ΓΓΩ
Γ=Γ+Ω+ dVdVdVbVi EE ***
E
De acordo com as equações (3.24) e (3.25), a resultante do carregamento definido pela
função delta de Dirac ( irr ′− )rrδ num domínio Ω é a força unitária aplicada no ponto indicado
pelo vetor r ′r . Assim, seja o domínio Ω , onde é válida a equação diferencial que governa o
problema físico estudado, de contorno Γ , contido em um domínio infinito , cujo contorno
é , (Figura 3.2). Designando-se de carregamento fundamental, a carga unitária não
precisa necessariamente ser aplicada em um ponto do domínio finito Ω , onde está definido o
∞Ω
∞Γ*b *b
Capítulo 3
51
problema físico que se quer estudar. Ela pode ser aplicada em qualquer ponto do domínio
infinito , sendo que o ponto de colocação será aqui designado de i . Observa-se que pontos
de colocação muito afastados do contorno
∞Ω
Γ ou muito próximos, não produzem resultados
numéricos confiáveis (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992).
No caso da equação (3.32), o problema real é aquele relativo a uma fonte b qualquer
distribuída em uma área de domínio bΩ , contida no domínio finito Ω (Figura 3.2), que
provocará em um ponto p do domínio Ω os seguintes valores de potencial e campo elétrico:
. No problema potencial representado pela equação de Laplace, obtida para b=0
na equação de Poisson, o problema real corresponde ao potencial e campo elétrico prescritos
ao longo do contorno , que provocarão em um ponto p do domínio um potencial
( ) )epV (pE
Γ ( )pV e um
campo elétrico . O problema fundamental é aquele provocado pela fonte unitária
aplicada em um ponto. Essa fonte provocará em um ponto p qualquer do domínio
(pE ) *b
*b Ω um
potencial e um campo elétrico (i, )p ( )p,V * i*E . (FERNANDES, 2005)
Figura 3.2 – Contorno de Domínio infinito.
Capítulo 3
52
3.4.1 – Validade da solução fundamental
Na validação da expressão da solução fundamental , será usado o sistema de
coordenadas cilíndricas, pois é o mais conveniente para representar as respostas devido a
cargas pontuais, como é o caso do carregamento fundamental.
*V
Na seção de formulações fracas apresentou-se a limitação que a função de ponderação
, agora aplicada como solução fundamental, devia ter derivadas contínuas até a segunda
ordem. Pelas propriedades da função impulsiva, têm-se:
w
(3.33)
(3.34)
Utilizando a integração por partes na equação acima, tem-se:
( rrV ′−−=∇rrδ*2
1*2 −=Ω∇∫Ω
dV
)
1*
−=Γ∂∂∫Γ
dn
V (3.35)
Na equação (3.35) mostra-se constante o campo elétrico que atravessa o contorno Γ .
Considerando-se o domínio Ω como sendo representado por uma circunferência de
domínio , centrada no ponto de aplicação da função impulsiva, tem-se que a direção radial
e a direção normal ao contorno da circunferência são as mesmas. Também, por simetria, a
derivada de na direção radial é constante, isto é:
CΩ
*V
∫∫∫ΓΓΓ
Γ=Γ∂∂
=−=Γ∂∂
CCC
dCdr
Vdn
V **
1 (3.36)
Onde: é o perímetro de CΓ CΩ .
Capítulo 3
53
A grandeza C é uma constante de cálculo imediato.
r
Cπ21−
=
Pois ∫ é a área da circunferência e Γ
ΓC
d rrr ′−=rr é a distância do ponto de aplicação
da função impulsiva até o ponto de observação. Pela natureza do problema, é evidente que a
solução fundamental terá simetria radial a partir de seu ponto de aplicação. (POUZADA,
1999)
Na situação apresentada, a solução fundamental é obtida por derivação:
rr
Vπ21* −
=∂∂ (3.37)
( )rV ln21*
π= (3.38)
A solução fundamental, na equação (3.38), satisfaz a equação (3.33), desde que 0≠r .
Para provar que a equação (3.38) satisfaz a equação (3.33), considera-se que é
apenas função de
*V
r em um sistema de coordenadas cilíndricas ( zr ,, )φ , e impondo
00**
≡∂∂
≡∂∂
zVeV
φ, tem-se:
r
Vrr
Vr
Vrrr
V∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=∇*
2
*2**2 11 (3.39)
A partir da equação (3.37), calcula-se:
Capítulo 3
54
22
*2
21rr
Vπ
=∂∂ (3.40)
Substituindo as equações (3.37) e (3.40) na equação (3.39), tem-se:
0,02
112
12
*2 ≠≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=∇ r
rrrV
ππ (3.41)
A equação (3.40) confirma que a equação (3.38) e é a solução fundamental da equação
de Laplace no caso bidimensional de uma circunferência.
Uma vez constatada a validade da solução fundamental , usada como função de
ponderação, calcula-se facilmente o valor de
*V
nw ∂∂ . Então:
**
E=∂∂
=∂∂
nV
nw (3.42)
Ou seja:
(3.43)
( ) nVgradrr ˆ, ** =′rrE
A equação (3.43) é a projeção do gradiente da solução fundamental sobre a normal ao
contorno no ponto, associado ao vetor de posição rr calculado.
Devido à simetria da solução, tem-se:
( ) nr
Vrrr ˆˆ,*
*
∂∂
=′rrE (3.44)
Onde: r é o versor radial aplicado a partir da localização da função impulsiva, isto é:
0,ˆ ≥=′− rrrrr rr (3.45)
O resultado para a situação bidimensional citado acima é:
Capítulo 3
55
( ) ( )αππ
cos2
12
1,*
rnr
rrr −=
∂∂
−=′rrE (3.46)
Sendo: ( ) )(cosˆ,ˆcos α==∂∂ nr
nr ; α é o ângulo formado entre os versores radial e
normal no ponto de observação.
3.5 – A equação integral para o cálculo de V e E
O desenvolvimento apresentado nas seções anteriores permitiu encontrar a equação
(3.32), que é o ponto de partida para aplicações do MEC. Para a determinação dos valores de
e E , ainda desconhecidos em parte do contorno, torna-se necessário aplicar a função
impulsiva sobre o contorno. Então, ocorrerá o aparecimento de singularidades nos integrandos
das expressões de e , como conseqüência da situação:
V
*V *E
jelementoaoirrr ∈=⇔′= 0rr (3.47)
rrr ′−=rr (3.48)
Nesse caso, realiza-se um estudo particular a fim de eliminar tal singularidade. Além
disso, para integrar o elemento do contorno ao qual o ponto i pertence, a integração analítica
devido à singularidade existente.
Considerando o caso bidimensional, torna-se o ponto i como interno ao domínio Ω ,
aproximando tal ponto do contorno Γ por um processo de limite (Figura 3.3).
Capítulo 3
56
Figura 3.3 – Aplicação da função impulsiva sobre o contorno Γ .
Para representar os integrandos das integrais de contorno acima como função da
distância r, isto é, , foi considerada uma pequena seção circular de raio ( )rf ε . Ou seja,
equivalente a uma seção de cilindro com eixo normal ao plano do papel centrado no ponto .
Assim, é o contorno da seção circular,
i
εΓ ε−Γ a porção de contorno do problema original e εΩ
é o domínio associado a (Figura 3.4). εΓ
Figura 3.4 – Condução do ponto i ao contorno por um processo de limite.
Capítulo 3
57
Então:
(3.50)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫Γ
→ΓΓ−Γ→Γ
Γ+Γ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Γ+Γ=Γε
εεεε
drfdrfdrfdrfdrf00
limlim
A primeira integral do membro direito não mais apresenta singularidade. Este artifício
será utilizado na equação (3.32).
Aplicando o processo de limite na integração do membro da equação
(3.32) e considerando as Figuras (3.3) e (3.4), têm-se:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Γ∫
Γ
dV E*
∫∫
∫∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Γ
Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Γ
→Γ
→
Γ→
Γ→
2
10
*
0
0
*
0
1ln21limlim
1ln21limlim
θ
θεε
εε
θεεπ
επ
dqdV
dqdV
E
E
( ) 01ln21limlim 120
*
0=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=Γ
→→ ∫ θθεεπεε
qdV EΓ
(3.51)
A equação (3.51) mostra não haver alteração no seu lado direito de quando o ponto i é
deslocado para o contorno. Assim, 21 e θθ são, respectivamente, os ângulos formados entre
uma referência arbitrária e o versor tangente ao contorno antes e depois do ponto i , respeitado
seu sentido de percurso.
Aplicando a integral de contorno em outro membro da equação (3.32) e sendo o
membro , têm-se: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Γ∫
Γ
dV *E
∫∫Γ
→Γ
→Γ
∂∂
=Γ dn
VVdV*
0
*
0limlimεε
E
Capítulo 3
58
( 12
2
10
*
0 21
21limlim θθ
πθε
επ
θ
θεε
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=Γ ∫∫ →
Γ→
VdVdV E ) (3.52)
Na Figura (3.5), o ponto i está localizado numa porção suave de contorno; portanto
πθθ =− 12 radianos.
Na Figura (3.6), o ponto está localizado sobre uma ponta do contorno, em um
vértice, e, conseqüentemente
i
πθθ ≠−2 1 radianos.
Figura 3.5 – Ponto de aplicação sobre região suave do contorno.
Figura 3.6 – Ponto de aplicação sobre região do contorno descontínua.
Capítulo 3
59
Por raciocínio semelhante ao utilizado para a equação (3.51), a integral de domínio da
equação (3.32) leva a:
01ln21limlim
2
1 00
*
0=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=Γ ∫ ∫∫ →
Ω→
θ
θ
ε
εε
εθεε
επddbdVb (3.53)
Os resultados acima permitem generalizar a equação (3.32) tomando como base a
equação (3.50). Então:
( ) ∫∫∫ΓΓΩ
Γ=−−Γ+Ω+ dVVdVdVbV ii EE *12
**
21 θθπ
(3.54)
Sendo:
( ) ( )iiiii KVVVV =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−−
πθθθθ
π 21
21 12
12 (3.55)
( ) ( )π
θπ
θθππθθ
222
21 int1212 =
−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=iK (3.56)
(3.57)
∫∫∫ΓΓΩ
Γ=Γ+Ω+ dVdVdVbVK ii EE ***
O fator atua como um coeficiente dependente da localização do ponto i . Este valor
de foi formulado para o ponto sobre a fronteira,
iK
iK i Γ∈i .
Capítulo 3
60
Figura 3.7 – Medição do ângulo interno na região de contorno descontínuo.
A equação (3.57) é a equação integral de contorno para problemas envolvendo a
equação de Poisson e no caso de não haver fontes de excitação, tem-se . A equação
(3.57) é a equação integral de contorno para problemas envolvendo a equação de Laplace.
0≡b
No caso de , a integral de domínio na equação (3.57) é reescrita como integral de
contorno utilizando formulações mais avançadas do MEC, como o Método de Reciprocidade
Dupla (MRD), o Método de Reciprocidade Múltipla (MRM), ou simplesmente calculando-a
numericamente. Nesse ultimo caso, perde-se a grande vantagem do MEC que é equacionar
todo o problema exclusivamente com valores do contorno.
0≠b
Uma vez conhecido todos os valores de V e no contorno, a equação (3.57) pode
ser utilizada para o cálculo de interno e externo ao domínio
E
iV Ω . Nesses casos terá os
seguintes valores:
iK
• →=π
θ2
intiK se o ponto i for sobre o contorno, Γ∈i ;
• →= 1i se o ponto i for interno ao domínio, K Ω∈i ;
Capítulo 3
61
• →= 0i se o ponto i for externo ao domínio, K Ω∉i .
Para contornos suaves, o valor de é igual a 0,5. iK
Antes de discretizar a região, a equação integral do contorno (3.57) vai ser reescrita
com os respectivos índices. A fonte b será considerada nula.
Para o cálculo do potencial em pontos sobre o contorno, têm-se e Γ∈iπ
θ2
int=iK .
Reescrevendo a equação (3.57), tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ΓΓ
Γ=Γ+ dPPiVdPiPViViK EE ,, ** (3.58)
Para o cálculo do potencial em pontos no domínio interno, têm-se Ω∈≠ iePi e
. Reescrevendo a equação (3.57), tem-se: 1=iK
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ΓΓ
Γ=Γ+ dPPiVdPiPViV EE ,, ** (3.59)
O índice i , indica o ponto de aplicação da função impulsiva, sendo chamado de ponto
fonte ou ponto de colocação. O ponto P indico sobre o contorno é chamado de ponto campo.
Para se resolver o problema proposto com o MEC, primeiro resolve-se problema para pontos
sobre o contorno, encontrado as incógnitas da equação (3.58). Depois, o potencial para pontos
fora do contorno é determinado.
Capítulo 3
62
3.6 – Revisão do capítulo
Neste capítulo foram estudadas as equações para o Método dos Elemento de Contorno,
sendo que para tanto foi utilizado o Método dos Resíduos Ponderados para transformar a
equação diferencial de Poisson/Laplace em uma equação integral com incógnitas apenas no
contorno.
Para tanto, foi utilizada da função delta de Dirac para localizar as incógnitas
exclusivamente no contorno. Uma solução fundamental que contempla a influência do
infinito, foi utilizada como função de ponderação.
Capítulo 4 63
CAPÍTULO 4: Método dos Elementos de Contorno
Neste capítulo, serão mostrados vários tópicos relacionados com o MEC. Inicialmente,
serão mostrados os vários métodos de discretização ao qual o contorno pode ser submetido.
Em seguida, será mostrado como montar e resolver o sistema de equações para a obtenção das
incógnitas do problema. Além desses dois tópicos citados, serão tratados alguns tópicos
relacionados ao MEC, como: domínio infinito e formulação indireta do MEC. Também será
mostrado o método de integração numérica e analítica que pode ser utilizado para resolver as
integrais.
4.1 – Discretização do contorno
As integrais sobre o contorno das equações (3.58) e (3.59) são calculadas, de maneira
aproximada, por meio da discretização do contorno em elementos. A geometria do elemento
pode ser aproximada por uma função qualquer, sendo que o número e a forma dos elementos
devem ser escolhidos de tal forma que representem adequadamente o contorno real estudado,
podendo ser de maneira exata ou aproximada.
A Figura (4.1) mostra a discretização de um contorno genérico. Os pontos indicados
na Figura (4.1) são chamados de nós, pontos nodais ou pontos funcionais. Nesses pontos, são
definidas duas variáveis: V e E. Porém, como uma das variáveis é dada pela condição de
Capítulo 4 64
contorno, tem-se apenas uma incógnita em cada nó. Observa-se na Figura (4.1) vértices que
contém dois nós e outros vértices com apenas um nó. A adoção de dois nós em um mesmo
vértice ocorre quando há incógnitas nesse ponto, devido à descontinuidade no valor do campo
elétrico ( . )E
Figura 4.1 – Discretização de um contorno genérico.
Para se obter a solução numérica da equação integral de contorno é necessário que o
mesmo seja discretizado em elementos que sejam capazes de aproximar bem a geometria ao
longo do contorno. Ou seja, que os valores de V e E no contorno são interpolados nos
elementos. Diferentes tipos de elementos podem ser utilizados para discretizações em duas
dimensões, tais como elemento constante, linear ou quadrático. Para discretizações em três
dimensões, se faz necessário outros tipos de elementos (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992).
E necessário observar o sentido de integração, pois esse sentido irá definir a normal do
contorno. Considerando a Figura (4.1), para que o domínio de interesse seja o domínio
fechado pelo contorno Γ , chamado na Figura (4.1) de Ω , o domínio é integrado no sentido
anti-horário, tomado como sentido positivo. Desse modo, o domínio Ω é chamado de
domínio interno. Caso o domínio de interesse seja a região exterior ao contorno ( )∞Ω , o
sentido de integração deve ser no sentido horário e o domínio ∞Ω passa a ser chamado de
Capítulo 4 65
domínio interno e a normal ao contorno passa a apontar para o interior do contorno, sendo
chamado de buraco de contorno. O sentido de discretização deve ter o mesmo sentido da
integração.
Figura 4.2 – Discretização de um contorno com elemento constante.
No elemento constante mostrado na Figura (4.2), as variáveis de contorno V e ,
denominadas prescritas e incógnitas, respectivamente, são consideradas constantes em cada
elemento e iguais ao seu valor no ponto funcional localizado no meio do elemento.
E
Figura 4.3 – Discretização de um contorno com elemento Linear.
Já para o elemento linear mostrado na Figura (4.3), V e E variam linearmente dentro
de cada elemento em função dos valores nos dois nós funcionais localizados nos pontos
extremos do elemento.
Capítulo 4 66
No elemento quadrático mostrado na Figura (4.4), tanto a geometria quanto os valores
de e no contorno são representados utilizando-se as funções de interpolação para dois
nós extremos e um nó central.
V E
Figura 4.4 – Discretização de um contorno com elemento quadrático.
Uma vez discretizado o contorno, a geometria e também as variáveis V e E do
contorno são equacionadas. Os métodos numéricos costumam fazer uso de uma coordenada
local adimensional em cada elemento, representada por ( )11 ≤≤− ξξ , sendo que a variação
da coordenada local provoca a varredura de todo o elemento j .
Figura 4.5 – Geometria do elemento aproximado por função linear.
Capítulo 4 67
No caso da função escolhida para aproximar a geometria ser linear, os elementos serão
retos, sendo necessário apenas dois nós para representar sua geometria. Na figura 4.5, os nós
nó I e nó F são respectivamente, o nó inicial e nó final. Para se obterem elementos curvos,
uma adotada uma função de aproximação quadrática é adotada, sendo necessário três nós no
elemento. Na Figura (4.5), o nó I é o nó inicial, o nó F é o nó final, M é o ponto do meio do
elemento, é o comprimento do elemento jL j e nr é a direção normal ao contorno jΓ . No
caso, tem-se: 22 jjj LL ≤Γ≤− .
Se o ponto de colocação i não pertencer ao elemento que está sendo integrado, as
integrais serão resolvidas numericamente. Por isso, é conveniente expressar a variável jΓ em
coordenadas cartesianas de um ponto ( )pP yxP , qualquer do elemento e em função de sua
coordenada local homogênea ξ . Da Figura (4.5), são deduzidas as equações:
ξξ dL
dL j
jj
j 22=Γ→=Γ (4.1)
(4.2.a)
(4.2.b)
Onde: são as coordenadas nas direções x e y, respectivamente, do ponto P;
são as coordenadas nas direções x e y, respectivamente, do ponto M. Assim, tem-se:
( ) axxx MP ξξ +=
( ) ayyy MP ξξ +=
Pp yex
MyM ex
( ) 2/FnóInóM xxx += (4.3.a)
( ) 2/FnóInóM yyy += (4.3.b)
( ) 2/InóFnó xxax −= (4.4.a)
( ) 2/InóFnó yyay −= (4.4.b)
Capítulo 4 68
As equações (4.2) podem ser escritas numa só equação matricial, onde os valores das
coordenadas do ponto são dados em função das coordenadas dos nós I e F: P
1
2
φ (4.5)
Onde:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Fnó
Inó
Fnó
Inó
P
P
yyxx
yx
2
1
0000φ
φφ
FnóInónó yyxx FnóI são os vetores dos valores nodais das coordenadas e kφ
são as funções de interpolação lineares, que são dadas de forma geral para o caso linear por:
( ) ( )11 −=P 2φ ξ (4.6.a)
( ) ( )12 +=P 2φ ξ (4.6.b)
Sendo ξ a coordenada local homogênea do ponto P.
Portando, a integral ao longo do contorno Γ é calculada de forma aproximada,
fazendo-se a discretização do contorno em elementos e a mudança de coordenadas
cartesianas para coordenadas homogêneas. Ou seja:
Ne
( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫∫= −= −
L
L
j
1Γ
=ΓΓ=ΓΓNe
j
Ne
jjj dFdFdF
j1
1
1
2
2
ξξ (4.7)
4.1.1 – Aproximação das variáveis do problema
A aproximação das variáveis é feita para os três tipos de problemas em duas
dimensões: constante, linear e quadrática. A aproximação das variáveis no elemento é feita
para expressar o valor da variável V ou E em um ponto P qualquer de um elemento j em
função dos seus valores nodais e das funções de interpolação. As variáveis são escritas em
Capítulo 4 69
termos de coordenadas homogêneas para viabilizar a integração numérica. Com isso, ( )PV e
são dados por: ( )PE
(4.8.a)
(4.8.b)
Onde: (φ é o vetor que contém as funções de interpolação ou funções de forma,
escritas em termos de coordenadas homogêneas; e são os vetores com os valores
nodais de V e E , respectivamente, do elemento j.
( ) ( ) jT VPPV φ=
( ) ( ) jT PP EE φ=
)PT
jV jE
O número de nós a ser definido no elemento, assim como a definição das funções de
forma, dependerá do tipo de aproximação adotada.
4.1.1.1 – Aproximação constante
No caso da aproximação adotada para as variáveis ser constante, necessita-se de
apenas um nó em cada elemento. Os valores de V e , em qualquer ponto do elemento E j ,
são iguais ao do nó 1 ( )1jNO , que é definido no meio do elemento j (Figura 4.6). Nesse caso,
a função de forma ( )1φ assume um valor constante igual a um, e a equações (4.8) assume a
forma:
( ) 11 =Pφ (4.9)
(4.10.a)
(4.10.b)
( ) 1PV φ=
( ) 1PE φ=
( ) 1jVP
( ) 1jP E
Capítulo 4 70
Sendo: ; são os valores de V e no nó 1 do elemento j jP elemento ao ∈ 11 e jjV E E
( )1jNO .
Figura 4.6 – Aproximação constate das variáveis.
( ) ( )PEPV e Após definir as funções de , é possível reescrever a equação (3.58) com
auxílio das funções de forma para o cálculo de V e no contorno: E
( ) ( )∫∑Γ=
+ dPiVNe
jj ,*
1
1 E ( )∫Γ
ΓΓ dPiViV ,21 *∑
=
=Ne
jj
1
1E
E
(4.11)
Pelo fato dos valores de V e serem definidos no meio do elemento, o contorno é
obrigatoriamente suave nos pontos de aplicação da função impulsiva e, portanto: ( )21
=iK .
4.1.1.2 – Aproximação linear
No caso da aproximação adotada para as variáveis ser linear, necessita-se de dois nós
em cada elemento, um em cada extremidade do elemento (Figura 4.7). Para a aproximação
Capítulo 4 71
linear as funções de forma ficam iguais às equações (4.6), e as equações (4.8) para V e
assumem a seguinte forma:
E
(4.12.a)
(4.12.b)
Sendo: ; são os valores de V e E no nó do
elemento j
( ) ( ) ( )[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= 2
1
21j
j
VV
PPPV φφ
( ) ( ) ( )[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= 2
1
21j
jPPPEE
E φφ
jP elemento ao ∈ NSj
NSjV E e NS
( )NSjNO ( ) ( )PP 21 e ; φφ são iguais a, respectivamente, ( ) ( )ξφξφ 21 e nas equações
(4.6). As funções de forma ( ) ( )P2 eP1 φφ devem ser definidas de tal maneira que, para o
cálculo de V e nos pontos nodais sejam iguais a um e nula para o restante do elemento j. E
Figura 4.7 – Aproximação linear das variáveis.
Após definir a função de ( ) ( )PPV E e , é possível reescrever a equação (3.58) com o
auxilio das funções de forma para o cálculo de V e no contorno: E
Capítulo 4 72
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[∫∑∫∑Γ=Γ=
Γ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=Γ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+ dPPPiVdPiPP
VV
iViKNe
j j
jNe
j j
j21
*
12
1*
211
2
1
,, φφφφEE
E ]
]
]
(4.13)
4.1.1.3 – Aproximação quadrática
Se as variáveis forem aproximadas por funções quadráticas, serão necessários três
pontos nodais em cada elemento. Nesse caso, as equações (4.8) são dadas por:
(4.14.a)
(4.14.b)
Onde: NSjV e (com representando o número de nós) são os valores de V e
no nó do elemento j
( ) ( ) ( ) ( )[⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=3
2
1
321
j
j
j
VVV
PPPPV φφφ
( ) ( ) ( ) ( )[⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=3
2
1
321
j
j
j
PPPPEEE
E φφφ
NSjE NS
NS
E
( )NSjNO (Figura 4.8); NSφ são as funções de forma quadráticas, que
na forma geral, são dadas por:
( ) ( )( )131
31 ξξξ
ξξξφ−−
=P (4.15.a)
( ) 2
3131
132
11 ξξξ
ξξξξξφ +
+−=P (4.15.b)
( ) ( )( )313
13 ξξξ
ξξξφ−−
=P (4.15.c)
Onde: ξ é a coordenada adimensional do ponto ; P 1ξ é a coordenada do nó 1; 3ξ é a
coordenada do nó 3. No caso de se adotarem os nós 1 e 3 coincidentes com os pontos
Capítulo 4 73
extremos do elemento (nós I e F da Figura 4.5), têm-se 11 −=ξ e 13 =ξ , e as equações (4.15)
resultam em:
( ) ( )ξξφ −−= 15,01 P
( ) 22 1 ξφ −=P
( ) ( )
(4.16.a)
(4.16.b)
ξξφ += 15,03 P
( NS
(4.16.c)
As funções de forma para o cálculo de V e E no contorno são definidas de maneira
que sejam iguais a um )1=φ para o nó e nulas para os demais nós, como é mostrado
na Figura (4.8).
NS
Figura 4.8 – Aproximação quadrática das variáveis.
Após definir a função de ( ) ( )PPV E e , é possível reescrever a equação (3.58) com o
auxilio das funções de forma para o cálculo de V e no contorno: E
Capítulo 4 74
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∑
∫∑
Γ=
Γ=
Γ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=Γ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
dPPPPiV
dPiPPPVVV
iViK
Ne
jj
j
j
Ne
jj
j
j
321*
1 3
2
1
*321
1 3
2
1
,
,
φφφ
φφφ
EEE
E
(4.17)
4.1.2 – Tratamento de vértices da geometria
Uma questão importante que se apresenta está relacionada às descontinuidades nos
valores das variáveis entre dois elementos adjacentes. No caso do potencial V nunca haverá
descontinuidade no seu valor ao longo do contorno, pois o seu valor é único em um ponto.
Isto é, o potencial no final do elemento ( )311 −− jNOj será sempre igual ao potencial no início
do elemento ( )1jNOj , considerando a aproximação quadrática. Porém, o campo elétrico
poderá apresentar descontinuidade no seu valor entre dois elementos consecutivos, para a
direção normal. Assim, o elemento anterior ao vértice tem uma normal ao contorno e o
elemento posterior ao vértice tem-se outra normal ao contorno (Figura 4.9). Desse modo, há
quatro situações, dependendo das condições de contorno:
• As intensidades do campo elétrico 131 jj e E são prescritas, portanto tem-se apenas
uma incógnita no vértice, que é o valor do potencial, pois 131 jj VV =− ;
E −
• As intensidades do campo elétrico 31−jE e do potencial 3
1−jV são prescritas. Nesse caso,
a incógnita no vértice é o valor de 1jE ;
Capítulo 4 75
• As intensidades do campo elétrico 1jE e o potencial 1
jV são prescritas. Nesse caso, a
incógnita no vértice é o valor de 31−jE ;
• Os potenciais 131 jj VeV − são prescritos. Nesse caso, têm-se duas incógnitas no vértice,
dadas por 131 jj e E . E −
Figura 4.9 – Elementos descontínuos.
Quando há duas incógnitas no vértice , é necessária à definição de nós
duplos para representar a descontinuidade da variável . Os nós duplos são
dois nós definidos com as mesmas coordenadas, com a finalidade de obter duas equações
independentes. As coordenadas do nó duplo são recalculados de tal forma que o nó se torne
interno ao respectivo elemento e não mais coincidente com o vértice (Figura 4.10). O
elemento que possuir o nó duplo será um elemento descontínuo, isto é, não haverá
continuidade da variável E entre dois elementos consecutivos.
131 jj e EE −
E 131 jj NOeNO −
Capítulo 4 76
Figura 4.10 – Nós duplos deslocados.
O cálculo das coordenadas do nó duplo é feito a partir das equações (4.2),
considerando-se 6,04,0 ≤≤ ξ . Esses limites são adotados para o valor de ξ , obtendo-se um
afastamento conveniente entre os nós locais do elemento, a fim de evitar problemas de
singularidade no sistema de equações. Desse modo, o ponto não coincide mais com o nó do
elemento, sendo que o potencial
i
( )iV neste ponto deve ser escrito em função dos potenciais
nodais do elemento, utilizando-se as equações (4.12.a) e (4.14.a), dependendo do tipo de
aproximação adotada para as variáveis. A aproximação constante das variáveis nunca utilizará
nós duplos, já que seu nó é definido no meio do elemento.
Outra forma de se representar a descontinuidade no valor do campo elétrico é adotar as
funções dadas pela equação (4.15). Desse modo, na extremidade do elemento onde há
descontinuidade, o nó do elemento não é mais definido na extremidade: 4,06,0 1 −≤≤− ξ e/ou
6,04,0 3 ≤≤ ξ . A diferença entre os dois esquemas é no segundo, o nó já é definido na posição
deslocada, não havendo a necessidade de escrever o potencial desse nó em função dos
potenciais nodais do elemento ao qual o ponto pertence. Ele já é um nó do contorno. ´Nos
resultados, os valores das variáveis serão referentes à posição deslocada e não à extremidade
do elemento.
Capítulo 4 77
4.2 – Transformação das equações integrais em equações algébricas
A obtenção de um sistema de equações lineares e incógnitas é feita aplicando a
excitação impulsiva sucessivamente em cada um dos nós que constituem o contorno
discretizado. Nesse caso, é igual ao número total de nós do contorno. A equação integral
(3.58) do potencial V em um ponto i do contorno será transformada em equação algébrica,
por meio da discretização do contorno em elementos, nos quais as variáveis são aproximadas
pelas equações (4.8). Portanto, a equação (3.58) é calculada de forma aproximada, da seguinte
forma:
N N
NN
NN
(4.18)
Sendo: Ne o número total de elementos do contorno. A equação (4.18) corresponde a
forma geral das equações (4.11), (4.13) e (4.17), que foram especificadas para um método de
aproximação específico.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∑ ∫= Γ= Γ ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ+
Ne
jj
jj
TNe
jj
jj
T dPPiVVdPiPiViK1
*
1
* ,, EE φφ
Definindo-se os seguintes vetores, de dimensão ( )NN×1 , sendo igual a NN NSNe ×
e o número de nós necessários no elemento para a aproximação das variáveis: NS
( ) ( ) ( )∫Γ
Γ=j
jNSNSj dPPiih φ,*E
( )
(4.19)
( ) ( )∫Γ
Γ=j
jNSNSj dPPiVig φ,* (4.20)
A equação (4.18) pode ser reescrita definindo os coeficientes dados em (4.19) e (4.20),
da seguinte forma:
Capítulo 4 78
(4.21)
Aplicando-se a função impulsiva a todos os nós do contorno, obtém-se um
sistema de equações referenciadas às grandezas nodais de todo o contorno. É evidente que a
montagem do sistema dependerá da escolha da modelagem das incógnitas nos elementos.
( ) ( ) ( ) ( )∑∑==
=+Ne
j
NSj
NSj
Ne
j
NSj
NSj igVihiViK
11E
NN
Como representa também uma grandeza nodal, a parcela é incorporada
convenientemente ao somatório do membro esquerdo, onde o ponto i pertence ao nó do
elemento j.
( )iV ( ) ( )iViK
NS
A equação (4.21) ainda pode ser reescrita de forma matricial, como:
(4.22)
Essa equação é considerada como uma versão discretizada da equação integral do
problema. As matrizes são conhecidas genericamente como matrizes de influência,
pois contemplam a influência de cada ponto de aplicação do impulso sobre as variáveis
nodais, tendo dimensão de . No cálculo dos elementos dessas matrizes há influencias
dos aspectos geométricos e da natureza do problema em estudo.
[ ] [ ] NSj
NSj GVH E=
[ ]H [ ]G e
NS ×NS
O vetor coluna contêm os potenciais desconhecidos de alguns nós e os demais
elementos desse vetor contêm os valores de potencial fixados como condição de contorno de
Dirichlet. Situação análoga ocorre com o vetor coluna . Alguns elementos de são
incógnitas e os demais contêm os valores da derivada normal fixados como condição de
contorno de Neumann.
NSjV
NSjE NS
jE
Capítulo 4 79
4.3 – Sistema de Equações
Para o caso de problemas de potencial, tem-se uma incógnita em cada ponto nodal
sobre o contorno, sendo duas variáveis nesses pontos (V e E ). Uma delas é dada como
condição de contorno.
Escrevendo-se todas as equações necessárias para a solução do problema, obtém-se o
sistema de equações dado por (4.22), onde a dimensão das matrizes [ e [ são de
dimensão para o caso dado pela equação (4.21).
]H ]G
NSNS ×
Após a imposição das condições de contorno, o sistema (4.22) é resolvido da seguinte
forma: isolam-se todas as incógnitas no vetor , trocando-se as respectivas colunas das
matrizes e [ . Com isso, a matriz
NSjV
[ ]H ]G [ ]H se transforma em [ ]A , [ ]G se transforma em [ ]G ,
e os vetores e se transformam em NSjV NS
jE X e Q . Nesse caso X contém todas as
incógnitas do problema e Q contém os valores prescritos de V e E . Multiplica-se a matriz
[ ]G pelo vetor Q , obtendo-se B . Assim, o sistema definido por (4.22) torna-se:
(4.23)
Onde:
[ ] BXA =
X é o vetor solução, composto pelos potenciais e pelas intensidades do campo
elétrico incógnitas nos nós do contorno.
Seja o seguinte sistema de equações, onde NNn = :
Capítulo 4 80
[ ] [ ] NSj
NSj
n
k
nnnkn
knkkk
nk
n
k
nnnkn
knkkk
nk
GVH
e
e
e
GGG
GGG
GGG
v
v
v
HHH
HHH
HHH
E
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
L
L
LL
LLLLL
LL
LLLLL
LL
L
L
LL
LLLLL
LL
LLLLL
LL 1
1
1
11111
1
1
1111
Admitindo-se, por exemplo, que no nó k seja prescrito o potencial elétrico e, nos nós 1
e , o campo elétrico, permutam-se as colunas, de modo que no primeiro membro só haja
incógnitas e no segundo membro só haja valores conhecidos. O sistema resulta em:
n
[ ] [ ] QGXA
e
v
e
GHG
GHG
GHG
v
e
v
HGH
HGH
HGH
n
k
nnnkn
knkkk
nk
n
k
nnnkn
knkkk
nk
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
L
L
LL
LLLLL
LL
LLLLL
LL
L
L
LL
LLLLL
LL
LLLLL
LL 1
1
1
11111
1
1
1111
E, finalmente, o sistema de equações (4.23) pode ser resolvido com a utilização do
Método da Eliminação de Gauss. (PRESS, 1992)
4.4 – Obtenção das variáveis no domínio
Com a solução do sistema (4.23), obtêm-se todas as incógnitas nodais sobre o
contorno, isto é, os vetores e passam a ser conhecidos. Portanto, para se obter os
valores de V e em pontos no domínio, basta escrever a equação de (3.59) no ponto
desejado do domínio.
NSjV NS
jE
E ( )iV
Capítulo 4 81
4.5 – Domínios infinitos
Na dedução das equações mostradas anteriormente, o problema foi definido em um
domínio finito, de contorno finito. Porém, no caso em que os fenômenos físicos acontecem
em regiões infinitas ou semi-infinitas, sendo esse o caso das linhas de transmissão, o campo e
o potencial elétricos são calculados no domínio infinito.
Considere a Figura (4.11), onde está representado um contorno circular , situado a
uma distância suficientemente grande do buraco de contorno
∞Γ
Γ , como um caso de aplicações
do método em problemas que envolvam o domínio infinito. A direção da normal ao contorno
tem o sentido inverso daquele definido na Figura (3.2), pois, nesse caso, existe a
necessidade de definir um buraco de contorno
Γ
Γ , dentro do domínio infinito de contorno ∞Γ .
Portanto, o domínio é definido por um contorno interno Ω Γ e um contorno externo ∞Γ .
Nesse caso, para um ponto sobre o contorno, a equação (3.58) resulta em:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
∫∫
∞Γ∞∞∞
∞Γ∞∞∞
ΓΓ
Γ−Γ+
+Γ−Γ=
dPiPVdPPiV
dPiPVdPPiViViK
,,
,,
**
**
EE
EE (4.24)
Para um observador em , o buraco definido pelo contorno ∞P Γ é um único ponto. Ou
seja, um ponto i sobre , ou próximo de Γ Γ , se confunde com o próprio contorno . Assim,
todos os fenômenos físicos que ocorrem nas vizinhanças de
Γ
Γ serão equivalentes à aplicação
de um potencial V em i .
Sendo o valor da resultante do potencial elétrico aplicado no contorno finito c Γ ou
seja, , esse potencial elétrico provoca em um potencial elétrico dado pela própria
solução fundamental:
cV = ∞P
Capítulo 4 82
( ) ( ∞∞ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= PiVccrPV ,ln
21 *
π) (4.25)
( ) ( ) ( )∞∞ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= PiVcc
rP ,cos
21 *απ
E (4.26)
Figura 4.11 – Buraco em meio infinito.
Substituindo-se (4.25) e (4.26) em (4.24), as integrais sobre o contorno se anulam.
Logo, a equação (4.24) resulta na equação (3.58). Ou seja, a representação integral do
potencial elétrico é a mesma para domínios finitos e infinitos. Essa propriedade é conhecida
como condição de regularidade e ocorre para a maioria dos problemas em meios infinitos ou
semi-infinitos. (BREBBIA; DOMINGUEZ, 1992)
∞Γ
4.6 – Métodos de integração
Para a montagem das matrizes serão necessárias integrações das equações (4.19) e
(4.20). Para isso, é necessário aplicar alguns métodos de integração:
• Integração numérica;
• Integração numérica com tratamento especial;
Capítulo 4 83
• Integração analítica.
A integração numérica é utilizada para os casos em que o ponto de colocação i não
pertence ao elemento a ser integrado, como nos casos das equações referentes a um ponto
interno. O mesmo não ocorre com a equação do ponto i , sobre o contorno, onde a integração
numérica somente poderá ser utilizada se o mesmo não pertencer ao elemento considerado
. Adotando-se esquemas particulares de integração, as integrais poderiam ser
calculadas numericamente, mesmo para o caso em que i pertença ao elemento que está sendo
integrado . O método de integração numérica utilizado nesses casos é o da quadratura
de Gauss, em virtude de sua simplicidade.
( Pi ≠ )
)( Pi =
A integração analítica e a integração numérica com tratamento especial são utilizadas
no caso de . Isto se deve ao fato da solução fundamental, equação (3.38), depender da
distância
Pi =
rrr ′−=rr entre o ponto de aplicação da função impulsiva, denominado ponto fonte,
e o ponto de observação, denominado ponto campo. Nos casos em que , a distância Pi ≠ r
nunca será nula. O caso ocorre quando o ponto de aplicação estiver no elemento sobre o
qual efetua-se a integração e, pela natureza da solução fundamental, o integrando apresenta
singularidade que precisa ser verificada a fim de se montar a equação matricial.
Pi =
4.6.1 – Integração numérica
Para a integração numérica, é conveniente que a expressão a ser integrada seja escrita
em coordenadas homogêneas. Como exemplo, considere a integral (4.19). Fazendo a mudança
de coordenada, dada por (4.1), a integral (4.19) é reescrita da seguinte forma:
Capítulo 4 84
(4.36)
Onde: NS é o nó local do elemento j onde se mede a resposta da fonte unitária.
( ) ( ) ( )∫Γ
Γ=j
jNSNSj dPPiih φ,*E
A integração numérica é feita pela fórmula de quadratura de Gauss (HOFFMAN,
2001), que é dada por:
(4.37)
Onde: (
( ) ( )∫ ∑− =
=1
1 1
Ng
igigig Wfdf ξξξ
)ξf é a função a ser integrada, escrita em relação à coordenada ξ ; é o
número de pontos de integração (ponto de Gauss);
Ng
igξ é a coordenada adimensional do ponto
ig de integração, definida em função do ; é o fator ponderado, também definido em
função de .
Ng igW
Ng
A equação (4.36) é calculada, utilizando a fórmula (4.37), da seguinte forma:
( ) ( ) ( )∑=
=Ng
igigigNSig
jNSj Wi
Lih
1
* ,2
ξφξE (4.38)
O número Ng de pontos de integração é escolhido em função da distância entre o
ponto fonte i e o elemento a ser integrado, considerando-se, ainda, o comprimento do
elemento e a função a ser integrada. Quanto mais próximo estiver o ponto i do elemento a ser
integrado, maior deve ser o número de pontos de Gauss adotados na integração. Designando-
se como a distância entre i é o nó inicial do elemento, o seguinte esquema produz
resultados satisfatórios: adota-se
rs
8=Ng se jLrs 2≤ ; 4=Ng se ; jj LrsL 122 ≤ ≤ 2=Ng se
. O mesmo procedimento pode ser usado para realizar a integração numérica na
equação (4.20).
jLrs 12>
Capítulo 4 85
4.6.2 – Integração analítica
A integração analítica é utilizada quando o ponto de colocação i pertence ao elemento
j , que está sendo integrado. A solução analítica é obtida resolvendo-se a integral sobre o
contorno Γ−Γ j , fazendo-se o limite de Γ tender a zero (Figura 4.12). Seja o elemento j,
representado na Figura 4.12 e definido pelo trecho jΓ do contorno, sendo ba j ≤Γ≤− . No
caso da equação (4.18) do potencial, os coeficientes definidos em (4.19) e (4.20) são obtidos
analiticamente da seguinte forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ+Γ=
Γ=Γ=
∫∫
∫∫−
−=Γ
Γ−Γ=Γ
Γ
b
jNSa
jNS
jNSj
jNSNSj
PdPiPdPi
PdPidPPiihj
ξ
ξ
φφ
φφ
,,lim
,lim,
**
0
*
0
*
EE
EE
(4.39)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ+Γ=
Γ=Γ=
∫∫
∫∫−
−=Γ
Γ−Γ=Γ
Γ
b
jNSa
jNS
jNSj
jNSNSj
PdPiVPdPiV
PdPiVdPPiVigj
ξ
ξ
φφ
φφ
,,lim
,lim,
**
0
*
0
*
(4.40)
As integrais são resolvidas em dois trechos: ξ−≤Γ≤− ja e bj ≤Γ≤ξ . Nas integrais
definidas nas equações (4.39) e (4.40), as expressões fundamentais são escritas em termos da
variável r e a função da interpolação φ expressa em termos da coordenada . Portanto, para
resolver as integrais, a função
Γ
φ e o contorno infinitesimal jdΓ são escritos em termos de r ,
sendo que a relação entre as coordenadas r e Γ depende do trecho a ser estudado. Isto é feito
como mostrado abaixo:
Capítulo 4 86
Figura 4.12 – Elemento j , que contém o ponto de colocação . i
a) Trecho ξ−≤Γ≤− ja
No trecho mostrado na Figura (4.13), o vetor srr , rrsr ′−=r rr , tem sentido contrário ao
da coordenada . Logo, sendo a direção tangencial ao contorno, tem-se: jΓ sr
Figura 4.13 – Representação do trecho ξ−≤Γ≤− ja
(4.41)
(4.42)
jr Γ−=
ddr −= jΓ
ξ≤Γ≤ ja (4.43)
Capítulo 4 87
b) Trecho bj ≤Γ≤ξ
No trecho mostrado na Figura 4.14, o vetor srr , tem mesmo sentido da coordenada jΓ .
Logo, sendo a direção tangencial ao contorno, tem-se: sr
(4.44)
(4.45)
jr Γ=
ddr =
jΓ≤
jΓ
≤ bξ (4.46)
Figura 4.14 – Representação do trecho bj ≤Γ≤ξ
Em ambos os trechos, o vetor srr é perpendicular à direção normal ao contorno
(Figuras 4.13 e 4.14) e, portanto, tem-se:
nr
0=∂∂nr (4.47)
A função φ depende do tipo de aproximação adotada para as variáveis. Substituindo-
se (4.47) na expressão , obtém-se , fazendo com que *E 0* =E ( )ihNSj da equação (4.39) se
Capítulo 4 88
anule. Portanto, apenas a equação (4.40) é calculada analiticamente, considerando-se o tipo de
aproximação adotada. A seguir será mostrado apenas o cálculo da integral analítica da
equação (4.40) para o caso da aproximação constante e linear.
4.6.2.1 – Integração com aproximação constante do contorno
Neste caso a função de interpolação é dada por 1=φ . Considerando-se a expressão
(3.38) da solução fundamental, se o ponto i pertence ao elemento j e coincide com o nó
definido no meio do elemento, a equação (4.40) resulta em:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ+Γ−= ∫∫
−
−=
2
20lnlnlim
21 Lj
jLj
jNSj PdrPdrig
ξ
ξ
ξπ (4.48)
Considerando as relações (4.41), (4.42), (4.43), (4.44), (4.45) e (4.46), chega-se a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
=−−−−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
=
=
= ∫∫
12
ln2
1ln12
ln2
12
ln2
1lnlim21
|1ln|1lnlim21
lnlnlim21
2
0
22
0
2
20
jj
jjjj
LjLj
Lj
Lj
NSj
LL
LLLL
rrrr
PdrrPdrrig
π
ξξξξπ
π
π
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
ξ
(4.49)
Fazendo o limite de ξ tender a zero, os termos infinitos se anulam e a integral resulta
em um valor finito.
Capítulo 4 89
4.6.2.2 – Integração com aproximação linear do contorno
Neste caso, são necessários dois nós no elemento e, portanto, devem ser consideradas
as seguintes possibilidades para a posição do ponto : i
a) Ponto i coincide com o nó 1 ( )1jNO (Figura 4.7).
Esse caso está representado pela Figura 4.14, fazendo . Logo, tem-se,
, sendo as funções de interpolação dadas por:
jLb =
jj L≤Γ≤0
j
j
LΓ
−=11φ (4.50.a)
j
j
LΓ
=2φ (4.50.b)
Quando 0=Γ (nó 1), tem-se j 11 =φ e 02 =φ . Para jj L=Γ (nó 2), tem-se 01 =φ e
12 =φ .
Considerando-se as expressões (3.38) e (4.50) e ainda levando-se em conta que nesse
caso o trecho ξ−≤Γ≤− ja não existe, a equação (4.40) resulta em:
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Γ−−= ∫
=
Lj
jj
jj Pd
Lrig
ξξπ1lnlim
21
0
11 (4.51.a)
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Γ−= ∫=
Lj
jj
jj Pd
Lrig
ξξπ
lnlim21
0
12 (4.51.b)
Considerando as equações (4.44), (4.45) e (4.46), as equações (4.51) resultam em:
Capítulo 4 90
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
=
=∫
jj
Lj
j
Lj
jj
LL
rLrrr
drrLrrig
ln23
421ln1lnlim
21
lnlnlim21
0
0
11
ππ
π
ξξ
ξξ
(4.52.a)
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
==∫ j
j
Lj
j
Lj
jj L
Lr
Lrdrr
Lrig ln
21
421ln
2lim
21lnlim
21 2
00
12
πππξ
ξξξ
(4.52.b)
b) Ponto ""i coincide com o nó 2 ( )2jNO (ver Figura 4.7).
Esse caso está representado pela Figura 4.13, fazendo . Logo, tem-se,
, sendo as funções de interpolação dadas por:
jLa =
0≤Γ≤− jjL
j
j
LΓ
−=1φ (4.53.a)
j
j
LΓ
+=12φ (4.53.b)
Quando jj L−=Γ (nó 1), tem-se 11 =φ e 02 =φ . Para 0=Γ j (nó 2), tem-se 01 =φ e
12 =φ .
Considerando-se as expressões (3.38) e (4.53) e ainda levando-se em conta que nesse
caso o trecho bj ≤Γ≤ξ não existe, a equação (4.40) resulta em:
Capítulo 4 91
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Γ−−= ∫
−
−=
ξ
ξπ Ljj
j
jj Pd
Lrig lnlim
21
0
21 (4.54.a)
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Γ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Γ+−= ∫
−
−=
ξ
ξπ Ljj
j
jj Pd
Lrig 1lnlim
21
0
22 (4.54.b)
Considerando-se as equações (4.41), (4.42) e (4.43), as equações (4.54) resultam em:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )igLL
drrLrig jj
j
Lj jj
12
0
21 ln21
4lnlim
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ∫
= ππ
ξ
ξ (4.55.a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )igLL
drrLrrig jj
j
Lj jj
11
0
22 ln23
4lnlnlim
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
= ππ
ξ
ξ (4.55.b)
4.6.3 – Cálculo da integral de domínio
Nos capítulos anteriores, o MEC foi aplicado ao problema de potencial elétrico por
meio da equação 3.57, sendo considerado o caso em que a fonte era nula. Caso a fonte
não seja nula, utiliza-se a integral de domínio da equação (3.57), onde a função é
conhecida.
b b
b
Independente da função b , definida no integrando, ser ou não conhecida, a integral de
domínio pode ser resolvida por meio da discretização do domínio em células, nas quais a
função é aproximada por funções de interpolação. Há vários procedimentos numéricos que
podem ser adotados para resolver a integral de domínio sobre uma célula.
b
Considerando b em um subdomínio bΩ (Figura 3.2), a integral sobre o subdomínio
envolvendo uma função conhecida, é transformada em integral ao longo do contorno bΩ bΓ
Capítulo 4 92
do subdomínio , facilitando bastante o cálculo da mesma. Para isto, formulações mais
avançadas do MEC são utilizadas, tais como, o Método de Reciprocidade Dupla (MRD), o
Método de Reciprocidade Múltipla (MRM) ou, simplesmente, calculando-a numericamente.
No entanto, nesse caso, a principal vantagem do MEC não é mais utilizada. Ou seja, não é
possível equacionar todo o problema exclusivamente com valores do contorno. Estes métodos
são descritos por Brebbia e Domingues (1992), e não serão abordados neste trabalho.
bΩ
4.7 – Revisão do capítulo
Neste capítulo, foi mostrada a discretização do contorno em elementos, por meio de
três tipos de elementos. Caso o contorno tenha vértices, há a necessidade de um tratamento
para corrigir as descontinuidades do campo elétrico nos nós. Também foi abordada neste
capítulo, a solução do sistema de equações obtido com a discretização, além de alguns tópicos
relacionados não só a discretização, mas também ao MEC, tais como a discretização do
contorno para domínios infinitos.
Também foi mostrado como são resolvidas as integrais do contorno. Elas são
resolvidas, basicamente, de duas formas: numericamente, com a ajuda da fórmula de
quadratura de Gauss e analiticamente, quando contêm singularidades. Assim, as integrais
analíticas dependem do tipo de elemento utilizado na discretização do contorno e a integral do
termo, , será sempre nula, sendo calculado apenas o termo da equação integral
para a singularidade.
( )ihNSj ( )ig NS
j
Capítulo 5
93
CAPÍTULO 5: Implementação
Neste capítulo, serão mostrados os passos necessários para implementação
computacional do método dos elementos de contorno baseado na solução da equação integral
de contorno apresentada anteriormente pelas equações (3.58) e (3.59).
Este capítulo descreve as principais características do código computacional
desenvolvido e suas sub-rotinas mais importantes, definindo as suas estruturas de entrada e
saída de dados. O programa desenvolvido recebeu o nome de CALCMEC, sendo elaborado na
linguagem FORTRAN.
Como nos demais métodos numéricos, é necessário considerar vários aspectos para
uma adequada implementação, independentemente de sua maior ou menor sofisticação. O
código desenvolvido atende unicamente casos bidimensionais, sendo direcionado para cálculo
de campo e potencial elétricos em linhas de transmissão.
5.1 – Idéia básica do programa
O programa desenvolvido pode ser resumido como sendo uma aplicação direta do
método. Ou seja:
• Conhecendo V em 1Γ e E em 2Γ ;
Capítulo 5
94
• A resolução do sistema de equações torna conhecidos os valores de V em 2Γ e E em
1Γ ;
• A partir dos itens anteriores, a aplicação numérica da formulação integral de contorno
permite o cálculo da variável da equação em estudo em qualquer ponto interno do
domínio, considerando o sentido de discretização anti-horário.
O programa foi desenvolvido em FORTRAN, sendo direcionado para aplicações em
linhas de transmissão, nas quais o potencial elétrico nos contornos é conhecidos,
simplificando a entrada de dados da geometria da linha.
5.2 – Considerações sobre a implementação computacional
5.2.1 – Domínio em estudo
Para aplicação em linhas de transmissão, o domínio de interesse é o domínio infinito,
sendo que o domínio interno dos condutores não representa interesse. Para encontrar o
potencial e campo elétricos no domínio infinito, durante a discretização dos condutores no
programa, tomou-se o cuidado de fazer a discretização no sentido horário, conforme mostrado
na secção 4.6. Assim, é possível encontrar o potencial e campo elétricos em qualquer ponto
do domínio infinito. O programa não foi desenvolvido para cálculo de potencial elétrico e
campo elétrico no domínio interno, pois no caso de condutores de linha de transmissão estes
valores já são conhecidos e constantes no seu interior.
Capítulo 5
95
5.2.2 – Geometria do contorno
A aplicação do MEC em domínios abertos não necessita da discretização do contorno
infinito, sendo necessário apenas a discretização de contornos fechados. No caso, domínios
abertos são infinitos ou semi-infinitos. Já os contornos fechados são os próprios condutores.
Essa é uma grande vantagem no caso das linhas de transmissão, sendo necessária apenas a
discretização do contorno do condutor no sentido horário e do solo ou dos condutores
imagem. A discretização do solo ou a aplicação do Método das imagens será abordada
posteriormente.
5.2.3 – Discretização do contorno
Para encontrar o campo e o potencial elétricos é necessário discretizar o contorno em
elementos. os quais aproximam a geometria do problema. Os valores de V e no contorno
são interpolados nos elementos. Em formulações bidimensionais os principais são os
elementos constantes, lineares e quadráticos, ver secção 4.2.
E
Para esta implementação, foi escolhido o elemento constante, devido a simplicidade da
geometria. A escolha da discretização por elementos lineares e quadráticos implicaria em uma
redundância. Para geometrias com curvas mais acentuadas e vértices, a discretização com
elementos constantes não é apropriada.
Capítulo 5
96
5.2.3.1 – Exemplo de discretização
A discretização dos condutores foi feita de modo bastante simples, devido ao modo
como o programa foi desenvolvido. O programa, dependendo do tipo de arquivo de entrada,
efetua a discretização dos condutores e do solo plano. Caso seja necessário, a discretização
dos condutores fora do programa, é feita de forma bastante simples.
Foi desenvolvida uma rotina em Matlab para realizar a discretização dos condutores a
partir da informação da posição do centro do condutor, do raio e do número de elementos
(Figura 5.1). O modo de discretização é o mesmo para todos os condutores e para o cabo pára-
raios. Conhecendo o centro do condutor e o raio do mesmo, calcula-se um ponto na superfície
do contorno, considerando-se um ângulo inicial nulo. A partir deste ponto, o contorno do
condutor será discretizado no sentido horário. Para isto, divide-se uma circunferência pelo
número de elementos considerados. Assim, obtêm-se um ângulo que será utilizado para
calcular outros pontos sobre o contorno. Desse modo, efetua-se a divisão do contorno dos
condutores, ou seja, efetua-se a discretização do contorno.
No apêndice F é mostrada a linha de programação utilizada em Matlab para efetuar a
discretização dos condutores:
Capítulo 5
97
Início
Ler os dados: 1) Numero de elementos de contorno ao qual o condutor será dividido (N). 2) Raio do condutor (rc). 3) Posição do condutor (cx,cy).
Calcula o ângulo (θ): θ=2π/N
Ponto inicial (X(1),Y(1)): X(1)=cx +rc
Y(1)=cy
i=1 até (N-1)
X(i+1)=cos(-θ *i)*rc + cx; Y(i+1)=sin(-θ *i)*rc + cy;
Vetor do condutor discretizado (X,Y).
Fim
Figura 5.1: Diagrama de fluxo para o a discretização do condutor.
Capítulo 5
98
5.2.4 – Montagem das matrizes
A montagem do um sistema de equações e incógnitas é feita aplicando a
excitação impulsiva sucessivamente em cada um dos nós que constituem o contorno
discretizado, conforme mostrado na secção 4.3. Desse modo, as matrizes [ e
N N
NN
]G [ ]H são
montadas, obtendo-se o sistema [ ] [ ] NSjGVH ENS
j = . As integrações para o cálculo dos
coeficientes de [ e [ são resolvidas numericamente. Neste trabalho, foi utilizado a
quadratura de Gauss com quatro pontos de Gauss.
]H ]G
Após encontrar as matrizes [ ]G e [ ]H , é formado o sistema [ ] FXA = .
5.2.5 – Resolução do sistema de equações
Após calcular as matrizes [ ]G e [ ]H , o sistema [ ] FXA = é formado conforme
descrito na secção 4.4. Após a montagem do sistema [ ]XA F= , este deve ser resolvido para
que os valores do potencial e campo elétricos no contorno sejam encontrados. Ou seja
determinar os valores de todas as incógnitas.
Para resolver esse sistema, é utilizado o Método da Eliminação de Gauss.
Capítulo 5
99
5.2.6 – Cálculo das incógnitas fora do contorno
Após a resolução do sistema [ ] FXA = , todas as incógnitas do problema no contorno
são encontradas. Assim, é possível encontrar o potencial e o campo elétricos em qualquer
ponto no domínio infinito.
5.3 – Descrição do programa computacional
O diagrama de fluxo da Figura (5.2) apresenta os procedimentos seguidos pelo
programa desenvolvido. Os procedimentos indicados na Figura (5.2) estão divididos em sub-
rotinas, facilitando a montagem do programa.
Na Figura 5.2, os passos 1 e 2 estão reunidos nas sub-rotinas ENTIMG, ENTSOLO e
ENTCOMPL. O passo 3 está na sub-rotina CALCONT. O passo 4 está na sub-rotina
METGAUSS. O passo 5 está na sub-rotina CALCPOTCAMP e o passo 6 está na sub-rotina
SAIDNORM. Além dessas sub-rotinas, existem mais duas sub-rotinas, INTANALITICA e
INTNUMERICA, que efetuam a integração analítica e aplicam o método da quadratura de
Gauss para a integração numérica, respectivamente.
Capítulo 5
100
Figura 5.2: Diagrama de fluxo básico.
5.3.1 – Definição do arquivo de entrada
Foram feitas três sub-rotinas para a leitura de dados do arquivo de entrada. Cada uma
delas é aplicada para um tipo de arquivo de entrada.
3) Formar as matrizes [ ]G e [ ]H , e rearranjar suas colunas para formar a matriz [ ]A e o vetor F.
Início
1) Ler os dados do arquivo de entrada e calcular algumas variáveis necessárias para iniciar a montagem do arquivo de saída.
2) Discretizar o contorno dos condutores
4) Resolver o sistema ( [ ] FXA = ), pelo Método da Eliminação de Gauss.
5) Calcular o valor das variáveis no domínio interno.
6) Imprimer no arquivo de saída os dados obtidos.
Fim
Capítulo 5
101
Na sub-rotina ENTCOMPL, o arquivo de entrada deve conter a discretização de todos
os contornos envolvidos no trabalho, ou seja, os dados de discretização dos condutores e do
solo. De outra forma, dos condutores e de suas imagens. Necessita-se da descrição do
potencial elétrico em todos os elementos. O arquivo de entrada dessa sub-rotina é mais
complexo, podendo ser utilizada para outros tipos de contornos que não sejam circulares.
Na sub-rotina ENTIMAG, o método das imagens é aplicado para fazer a consideração
do solo no cálculo do campo elétrico e do potencial elétrico. No arquivo de entrada, deve ser
informada a quantidade, posição e diâmetro dos condutores. O próprio programa discretiza os
condutores reais e gera também a discretização dos condutores imagem. O arquivo de entrada
é muito mais simples que o utilizado pela sub-rotina ENTCOMPL. No entanto, sua aplicação
está limitada às linhas de transmissão e ao método das imagens.
Na sub-rotina ENTSOLO, é feita a discretização do solo, considerando o mesmo plano
e de potencial nulo. O arquivo de entrada é igual ao utilizado pela sub-rotina ENTIMAG. Sua
aplicação também está limitada às linhas de transmissão com a discretização do solo plano e
de potencial nulo.
Além dos dados já mencionados, o arquivo de entrada deve conter ainda os pontos no
domínio onde o campo elétrico será calculado. O apêndice A contém exemplos de arquivos de
entrada para as 3 sub-rotinas.
5.3.2 – Definição do arquivo de saída
O arquivo de saída começa a ser montado durante a leitura do arquivo de entrada,
permitindo que se possam identificar erros no arquivo de entrada.
Capítulo 5
102
Os dados obtidos a partir do arquivo de entrada, que são impressos no arquivo de saída
são:
• Número de elementos de contorno;
• Número de pontos onde a função é calculada fora do contorno;
• Número de superfícies de contorno;
• Último nó de cada contorno;
• Coordenadas dos pontos nodais no contorno;
• A condição inicial do ponto nodal do contorno. Ou seja, campo elétrico e potencial
elétrico.
No final do programa são impressos os dados calculados:
• O potencial elétrico e o campo elétrico resultante nos pontos nodais do contorno;
• O potencial elétrico e campo elétrico em função de x e y, bem como, os valores
resultantes nos pontos indicados no arquivo de entrada.
O apêndice B trás um exemplo de arquivo de saída do programa CALCMEC.
5.4 – Sub-rotinas
O programa desenvolvido possui 9 sub-rotinas, a seguir identificadas:
• ENTCOMPL – sub-rotina para leitura do arquivo de entrada;
• ENTIMAG – sub-rotina para leitura do arquivo de entrada;
• ENTSOLO – sub-rotina para leitura do arquivo de entrada;
Capítulo 5
103
• CALCONT – monta as matrizes [ ]G e [ ]H e forma o sistema [ ] FXA = ;
• INTNUMERICA – calcula os coeficientes de [ ]G e [ ]H , quando iP é diferente de jP ;
• INTANALITICA – calcula os coeficientes de [ ]G e [ ]H da diagonal. Ou seja, iP igual
a jP ;
• METGAUSS – resolve o sistema [ ] FXA = pelo Método da Eliminação de Gauss,
encontrando todas as incógnitas no contorno;
• CALCPOTCAMP – calcula o potencial elétrico e campo elétrico em pontos no
domínio;
• SAIDNORM – imprime os resultados no arquivo de saída.
A seguir são mostrados os diagramas do funcionamento básico das principais sub-
rotinas e do programa principal.
Na Figura 5.3, é mostrado a estrutura do programa, com a ordem da execução das sub-
rotinas, descritas anteriormente.
Capítulo 5
104
Figura 5.3: Programa principal – CALCMEC
Imprimir o Arquivo de Saída
Programa CALCMEC Inicio
LER O NOME DO ARQUIVO DE
ENTRADA E SAIDA
ENTCOMPL
CALCONT
METGAUSS
CALCPOTCAMP
SAIDNORM
Fim
INTNUMERICA INTANALITICA
INTNUMERICA
Ler o Arquivo de Entrada
j=i j≠i
Imprimir o Arquivo de Saída
Capítulo 5
105
5.4.1 – Sub-rotina CALCONT
Na sub-rotina CALCONT, é efetuado o cálculo dos pontos nodais de cada elemento,
que serão utilizados no cálculo das matrizes [ ]G e [ ]H . Além disto, nessa sub-rotina, as sub-
rotinas INTNUMERICA e INTANALITICA são chamadas para efetuar o cálculo dos
coeficientes de [ e [ . Uma vez que os coeficientes de ]G ]H [ ]G e [ ]H sejam conhecidos, o
programa efetua a transformação do sistema de matrizes [ ] [G= ] NSj
NS EjVH em um sistema
que pode ser facilmente resolvido pelo método da eliminação de Gauss. Ou seja, obtém-se o
sistema , onde [ ] XA ⋅ F= X representa o vetor com as incógnitas do sistema, [ é a matriz
e é um vetor que é obtido da multiplicação entre vetor V .e a matriz . Todos os
cálculos que são feitos nesta sub-rotina são mostrados no Apêndice E.
]A
[H[ ]G F ]
Os dados de entrada da sub-rotina CALCONT são os vetores com as coordenadas dos
elementos e o potencial elétrico em cada elemento, tendo como saída as matrizes [ , ]G [ ]H e
, bem como, o vetor . [ ]A F
Capítulo 5
106
Figura 5.4: Sub-rotina CALCONT
Sub-rotina CALCONT Inicio
Reordenar o sistema de equações de acordo com as condições de contorno.
Formar o vetor F
Fim
INTNUMERICA INTANALITICAj=i j≠i
Calcular os pontos nodais de cada elemento do contorno.
Calcular os Coeficientes das
Matrizes [ ]G e [ ]H
i=1 até N j=1 até N
Capítulo 5
107
5.4.2 – Sub-rotina INTANALITICA
Na sub-rotina INTANALITICA, é feita à integração analítica no caso do ponto
pertencer ao ponto
i
j , conforme descrito no Capítulo 4 e mostrado no Apêndice E.
Para efetuar o cálculo, é necessário que sejam informados, na entrada da sub-rotina, os
valores dos nós que definem elemento. Ou seja, os nós inicial e final tem seus valores
definidos.
Ambas as matrizes e [ ]G [ ]H estão com seus valores multiplicados por π2 , sendo
uma simplificação do programa.
Sub-rotina INTANALITICA Inicio
Calcular o comprimento do elemento ( l ).
Figura 5.5: Sub-rotina INTANALITICA
Calcular o valor de G(i,i) e H(i,i)
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
21ln1,
lliiG
( ) 3.1415926, =iiH
Fim
Capítulo 5
108
5.4.3 – Sub-rotina INTNUMERICA
Na sub-rotina INTNUMERICA, é efetuada a integração numérica, aplicando o método
da quadratura de Gauss com quatro pontos de Gauss (HOFFMAN, 2001).
No programa, a sub-rotina INTNUMERICA faz o cálculo dos coeficientes de [ ]G e
, no caso do ponto i não pertencer ao ponto [ ]H j , conforme descrito no Capítulo 4 e
mostrado no Apêndice E. Esta sub-rotina é utilizada em dois momentos durante o programa,
quando há incógnitas no contorno, para o cálculo de [ ]G e [ ]H , e após isto, para encontrar o
valor do campo elétrico e do potencial elétrico fora do contorno. Nesse segundo caso, além do
cálculo das matrizes [ e , a sub-rotina também efetua o cálculo de alguns termos
relacionados ao campo elétrico em relação ao eixo x e y, permitindo o calculo da direção do
campo elétrico.
]G [ ]H
Esta sub-rotina necessita como dados de entrada do ponto nodal, dos pontos que
definem o elemento e de algumas constantes relativas ao método da quadratura de Gauss.
Seus resultados são os coeficientes das matrizes [ ]G e [ ]H .
Capítulo 5
109
Sub-rotina INTNUMERICA Inicio
Figura 5.6: Sub-rotina INTNUMERICA
Fim
Calcular os Coeficientes DU1, DU2, DQ1 e DQ2
K=1 K=0K
Calcular a componente unitária normal do elemento.
Calcular a distância do ponto ao elemento da linha.
Determinar a direção normal externa.
Calcular os pontos de Gauss e o raio até o ponto
Calcular os coeficientes G e H
Capítulo 5
110
5.4.4 – Sub-rotina METGAUSS
Na sub-rotina METGAUSS, o método da eliminação de Gauss é aplicado ao sistema
para obter os valores da incógnita [ ] FXA =⋅ X , que representa os valores do campo elétrico
no contorno. Uma vez que os valores de X são conhecidos, são calculados os valores do
campo elétrico e do potencial elétrico no domínio.
O Método da Eliminação de Gauss consiste em um método no qual um sistema de
equações com incógnitas e variáveis pode ser resolvido. N N
Capítulo 5
111
Sub-rotina METGAUSS Inicio
Figura 5.7: Sub-rotina METGAUSS
Fim
k<N
Dividir a linha (k) pelo coeficiente da diagonal (k,k)
Eliminar o termo x(k) da linha (k)
Tentar trocar linhas
Variar a linha k de 1 até N
TOLERANCIA=1.E-6
Verificar singularidade na diagonal (k,k)
NS
Verificar se a singularidade foi
corrigidaS
SINGULARIDADE NA LINHA
N
Obter o sistema triangular
k=N
Encontrar o valor do vetor ‘x’
Capítulo 5
112
5.4.5 – Sub-rotina CALCPOTCAMP
Na sub-rotina CALCPOTCAMP, é efetuado o cálculo do potencial elétrico e do
campo elétrico fora do contorno. Para efetuar esse cálculo a sub-rotina INTNUMERICA é
chamada novamente, para calcular todos os termos das matrizes [ ]G e . São calculados
também os valores de algumas variáveis que permitem à sub-rotina CALCPOTCAMP efetuar
o cálculo do campo elétrico resultante nas direções do eixo x e y.
[H ]
Esta sub-rotina trabalha com os vetores do potencial elétrico e do campo elétrico no
contorno e dos vetores, com a discretização do contorno e com o vetor dos pontos onde o
potencial elétrico e o campo elétrico devem ser calculados fora do contorno.
Capítulo 5
113
Sub-rotina CALCPOTCAMP Inicio
Figura 5.8: Sub-rotina CALCPOTCAMP
Fim
Calcular: POT(K,J) ELET1(K,J) ELET2(K,J)
Rearranjar os vetores FI e DFI, colocando em ordem para armazenar todos os valores do potencial em FI e todos os valores da derivada em DFI.
Verificar se L≤0 tem algum ponto (K) no domínio
para o campo elétrico e potencial serem calculados.
L>0
EXTINPC
J=1 até N
K=1 até L
Calcular: POT(K) ELET1(K) ELET2(K)
Capítulo 5
114
5.5 – Revisão do capítulo
Neste capítulo foi mostrado como é feita a implementação computacional, por meio
das sub-rotinas que compõem o programa. Foram apresentados os fluxogramas do programa
principal e de suas sub-rotinas. Também foi mostrado como é montado o arquivo de entrada e
a saída de dados do programa.
Capítulo 6 115
CAPÍTULO 6: Validação do Programa
Este capítulo tem por objetivo comprovar a eficiência do programa computacional
desenvolvido. Para isso, serão comparados seus resultados com resultados obtidos por meio
do método analítico. O método analítico utilizado neste trabalho, (SHADIKU, 2004) e
(FUCHS, 1977), consiste no cálculo da capacitância dos condutores e, utilizando os valores
dessas capacitâncias, no calculo da carga do condutor. Assim, o cálculo do campo elétrico é
efetuado. Também será mostrada a eficiência da discretização do solo, sendo seus resultados
comparados com o método das imagens.
6.1 – Método analítico do cálculo do potencial e campo elétrico
A capacitância para linhas monofásicas pode ser obtida pela seguinte fórmula:
( )rcDC o
ab ln2 επ ⋅⋅
= (6.1)
Onde:
– capacitância entre os condutores a e b; abC
– distância entre os condutores a e b; D
– raio do condutor. rc
Capítulo 6 116
Para exemplos com um só condutor e o solo, considera-se a teoria das imagens.
Depois de encontrar a capacitância, calcula-se a carga que será utilizada no cálculo do
campo elétrico e do potencial elétrico. A relação entre a capacitância e a carga elétrica do
condutor é dada pela seguinte fórmula:
(6.2)
Onde:
abbb
abaa
CUQCUQ⋅=⋅=
– carga elétrica do condutor; Q
– tensão do condutor. V
Após encontrar a carga elétrica do condutor, utiliza-se a seguinte fórmula para o
cálculo do campo elétrico em linhas monofásicas:
r
QEo ⋅⋅⋅
=επ2
(6.3)
Onde:
oε – permissividade absoluta ou do vácuo;
r – distância da carga até o ponto onde se quer conhecer a intensidade do campo
elétrico;
E – intensidade do campo elétrico.
Para o cálculo do potencial em linhas monofásicas, utilizar a seguinte fórmula:
Capítulo 6 117
( ) ( )rbQraQVo
b
o
aab ln
2ln
2⋅
⋅⋅−⋅
⋅⋅−=
επεπ (6.4)
Onde:
– potencial em um ponto no espaço devido a linha monofásica; abV
e – raio entre o condutor e o ponto onde se quer encontrar o potencial elétrico. ra rb
O método analítico (FUCHS, 1977) e (STEVENSON, 1978). Consiste em se calcular
a capacitância para se obter a carga elétrica de cada condutor e do cabo pára-raios. O método
para o cálculo da carga depende da quantidade de circuitos e do número de cabos pára-raios.
Com isso, é montada a matriz denominada matriz dos coeficientes de potencial elétrico. A
partir dessa matriz encontra-se a carga elétrica em cada condutor. O método para o cálculo da
carga é bastante complexo, variando com o numero de condutores e circuitos da linha, não
sendo desenvolvido neste trabalho (FUCHS, 1977) e (STEVENSON, 1978).
[ ]A
Após o cálculo da carga elétrica de cada condutor, calcula-se o campo elétrico. O
campo elétrico em um ponto p é igual a somatória vetorial do campo elétrico gerado por cada
condutor no ponto p. Para esse cálculo a equação (2.29) é utilizada.
6.2 – Linha bifilar infinita
O primeiro exemplo da aplicação do programa é uma linha bifilar infinita, formada por
dois fios circulares e paralelos, envolvidos pelo meio de permissividade constante (Figura
6.1).
Capítulo 6 118
D
d
Figura 6.1: linha bifilar infinita.
Considere a distância entre os eixos dos fios sendo D = 80 mm, o diâmetro de cada fio
vale d = 10 mm. A tensão aplicada é -5 V no lado esquerdo e 5 V no lado direito.
Três discretizações foram efetuadas:
• 8 elementos por condutor;
• 16 elementos por condutor;
• 32 elementos por condutor.
O objetivo é mostrar que, mesmo com poucos elementos, os resultados convergem
rapidamente para os valores da solução analítica conhecida.
Dada a geometria do problema, a discretização do contorno foi efetuada no sentido
horário. A Figura (6.2), (6.3) e (6.4) mostra as três discretizações.
Capítulo 6 119
Figura 6.2: Discretização com 8 elementos da linha bifilar.
Figura 6.3: Discretização com 16 elementos da linha bifilar.
Capítulo 6 120
Figura 6.4: Discretização com 32 elementos da linha bifilar.
Os resultados obtidos para a linha bifilar com 8 elementos são mostrados na Tabela
(6.1), que apresenta os valores das coordenadas dos nós da função, os valores de V e os
valores resultantes do campo elétrico no contorno.
Capítulo 6 121
Tabela 6.1: Resultados obtidos: discretização com 8 elementos. PONTOS NODAIS DO CONTORNO
X (m) Y (m) Potencial (V) Campo elétrico (V/m) 0.44268E-01 -0.17678E-02 0.50000E+01 0.32446E+03 0.41768E-01 -0.42678E-02 0.50000E+01 0.34440E+03 0.38232E-01 -0.42678E-02 0.50000E+01 0.37725E+03 0.35732E-01 -0.17678E-02 0.50000E+01 0.40454E+03 0.35732E-01 0.17678E-02 0.50000E+01 0.40454E+03 0.38232E-01 0.42678E-02 0.50000E+01 0.37725E+03 0.41768E-01 0.42678E-02 0.50000E+01 0.34440E+03 0.44268E-01 0.17678E-02 0.50000E+01 0.32446E+03 -0.35732E-01 -0.17678E-02 -0.50000E+01 -0.40454E+03 -0.38232E-01 -0.42678E-02 -0.50000E+01 -0.37725E+03 -0.41768E-01 -0.42678E-02 -0.50000E+01 -0.34440E+03 -0.44268E-01 -0.17678E-02 -0.50000E+01 -0.32446E+03 -0.44268E-01 0.17678E-02 -0.50000E+01 -0.32446E+03 -0.41768E-01 0.42678E-02 -0.50000E+01 -0.34440E+03 -0.38232E-01 0.42678E-02 -0.50000E+01 -0.37725E+03 -0.35732E-01 0.17678E-02 -0.50000E+01 -0.40454E+03
A partir do conhecimento do potencial elétrico e do campo elétrico em todos os
elementos, é possível determinar o potencial elétrico e o campo elétrico em qualquer ponto do
domínio de interesse. Tabelas com o potencial elétrico e campo elétrico para 16 e 32
elementos não serão mostradas por não acrescentarem informações relevantes ao estudo.
As Figuras (6.5) a (6.10) mostram o resultado do potencial e campo elétrico ao longo
de um segmento paralelo ao eixo x, sendo y=0.015 m e x variando de -0.1 mm a 0.1 mm. O
resultado obtido com as discretizações são registrados junto com o resultado analítico para
efeito de comparação.
Capítulo 6 122
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Discretizaçao com 8 elementos
Pot
enci
al (V
)
X (m)
CALCMECANALITICO
Figura 6.5: Potencial – discretização com 8 elementos.
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Discretizaçao com 16 elementos
Pot
enci
al (V
)
X (m)
CALCMECANALITICO
Figura 6.6: Potencial – discretização com 16 elementos.
Capítulo 6 123
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Discretizaçao com 32 elementos
Pot
enci
al (V
)
X (m)
CALCMECANALITICO
Figura 6.7: Potencial – discretização com 32 elementos.
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
20
40
60
80
100
120
140Discretizaçao com 8 elementos
Cam
po E
letri
co (V
/m)
X (m)
CALCMECANALITICO
Figura 6.8: Campo elétrico – discretização com 8 elementos.
Capítulo 6 124
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
20
40
60
80
100
120
140Discretizaçao com 16 elementos
Cam
po E
letri
co (V
/m)
X (m)
CALCMECANALITICO
Figura 6.9 Campo elétrico – discretização com 16 elementos.
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
20
40
60
80
100
120
140Discretizaçao com 32 elementos
Cam
po E
letri
co (V
/m)
X (m)
CALCMECANALITICO
Figura 6.10: Campo elétrico – discretização com 32 elementos.
Capítulo 6 125
Analisando as Figuras (6.5) a (6.10), observa-se que, com o aumento do número de
elementos, os resultados convergem para a solução analítica. Também nota-se que mesmo
com poucos elementos o erro obtido é muito pequeno.
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Erro
Per
cent
ual
X (m)
Erro Percentual do Calculo do Potencial Elétrico
32 elementos16 elementos8 elemento
Figura 6.11: Erro percentual do calculo do campo elétrico.
-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Erro
Per
cent
ual
X (m)
Erro Percentual do Calculo do Campo Elétrico
32 elementos16 elementos8 elemento
Figura 6.12: Erro percentual do calculo do campo elétrico.
Capítulo 6 126
A Figura 6.11, apresenta o gráfico do erro percentual do calculo do potencial elétrico
para 8, 16 e 32 elementos, comparados com o método analítico. Verifica-se que com o
aumento do número de elementos o erro reduz consideravelmente. Observa-se, também, que o
erro mesmo com 8 elementos é pequeno para pontos próximos dos condutores, tendo seu
valor aumentado a medida que se afasta dos condutores.
A Figura 6.12, apresenta o gráfico do erro percentual do calculo do campo elétrico
para 8, 16 e 32 elementos, comparados com o método analítico. Verifica-se que com o
aumento do número de elementos o erro reduz consideravelmente. Observa-se, também, que o
erro mesmo com 8 elementos é pequeno para pontos próximos dos condutores, tendo seu
valor aumentado a medida que se afasta dos condutores.
6.3 – Linha de transmissão trifásica
Como segundo exemplo, será considerada uma linha de transmissão trifásica. Nesse
exemplo, será considerado o efeito do solo. Para isso o programa permite que o cálculo seja
feito de duas ou três formas: considerando o método das imagens, ou fazendo a discretização
de uma parte do solo sob a linha, e considerando este solo com potencial igual a zero.
Os resultados obtidos com os dois métodos serão comparados com o cálculo do campo
elétrico pelo método analítico, descrito por Stevenson (1978) e Fuchs (1977). Para tanto
algumas considerações foram feitas:
• Foram considerados os condutores circulares e com superfície lisa;
• A altura dos condutores foi considerada a menor admissível em norma, isto por se
tratar de uma análise da disposição dos condutores e não de uma linha existente;
Capítulo 6 127
• A superfície terrestre foi admitida como sendo um plano eqüipotencial nulo. Isso foi
feito para que fosse possível a comparação entre a aplicação com o método das
imagens e a discretização do solo;
• As linhas de transmissão foram consideradas equilibradas;
• Não foram feitas transposições, pois a linha foi considerada como sendo curta;
• Foram consideradas linhas com pára-raios multiaterrados e, portanto, as cargas no
cabo pára-raios chegam por condução desde o solo, sendo o potencial elétrico nulo;
• A tensão da linha é de 69 kV, a altura mínima do condutor ao solo de 8 metros, a
distância entre fases de 2 metros, os cabos condutores CAA Linnet e cabo pára-raios
"83 .
Considerações em relação a montagem do arquivo de entrada:
• A posição dos condutores a ser informada no arquivo de entrada deve ser em metros,
sendo que o diâmetro dos condutores deve estar em milímetros;
• A tensão que deve ser informada no programa deve estar em kV e é a tensão em
relação ao solo;
• Todas as discretizações dos condutores foram feitas com 32 elementos por condutor;
• A discretização do solo compreendeu uma faixa de 100 metros para cada lado da
linha.
Capítulo 6 128
Figura 6.13: Disposição dos condutores (PSVP – 69).
A Figura (6.13) apresenta uma estrutura PSVP – 69 vertical, com isoladores tipo pilar,
circuito simples de 69 kV e um cabo pára-raios. A altura hs, que representa a menor distância
do condutor ao solo, foi considerada a menor possível dada por norma (ABNT, 1985), que
para o caso de linhas em perímetro urbano é de 8 metros. Trata-se de um caso hipotético,
sendo que em linhas reais essa altura dependeria da altura dos postes, do vão e da flecha dos
condutores.
O cálculo do campo elétrico é feito no ponto onde os condutores estão mais próximos
do solo, onde a intensidade do campo elétrico em relação ao solo é a maior. Geralmente, isso
ocorre no meio do vão e assim, o campo elétrico sofre pouca influência da torre.
Capítulo 6 129
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45LT trifasica (PSVP-69)
Cam
po E
letri
co (k
V/m
)
X (m)
CALCMEC - Met. ImagemANALITICO
Figura 6.14: Método analítico versus CALCMEC utilizando o método das imagens.
Figura 6.15: Método analítico versus CALCMEC utilizando a discretização do solo.
Visualmente não se pode observar diferença nos gráficos gerados pelo método
analítico e pelo programa com a aplicação do método das imagens e aplicação da
Capítulo 6 130
discretização do solo. Então foram colocados em forma de gráfico (Figura 6.16) a variação do
erro dos dois gráficos (Figura 6.14 e 6.15).
-15 -10 -5 0 5 10 15-2
-1
0
1
2
3
4
5
Erro
Per
cent
ual
X (m)
Erro Percentual do Calculo do Campo Elétrico
Metódo das imgensDiscretização do Solo
Figura 6.16: Erro percentual do calculo do campo elétrico da linha trifásica.
A Figura (6.16) apresentam o erro percentual resultante da aplicação de ambos os
métodos, comparados com o método analítico. Como se pode notar o erro no meio da linha e
muito pequeno para ambos os métodos. O erro nos extremos da linha para a discretização do
solo, aumenta com devido a distancia dos condutores com o ponto onde foi calculado o
campo. Já para o método das imagens o erro mantém-se quase constante.
No caso do aumento da quantidade de elementos, ao qual o contorno foi discretizado,
o erro percentual é reduzido, para ambos os métodos. Deve-se ter o cuidado no aumento do
numero de elementos para evitar singularidade no calculo do raio entre o ponto de aplicação
da função impulsiva (i) e o ponto de observação (P).
Capítulo 6 131
6.3.1 – Método das imagens e discretização do solo
O método das imagens (Figura 6.17) tem a vantagem de considerar à influência do
solo no cálculo do campo elétrico de forma analítica. Nele se considera um solo plano e de
potencial nulo. No entanto, muitas vezes, o solo sob a linha de transmissão é irregular e tem
obstáculos. Apesar disso o método das imagens é de grande importância por permitir levar em
conta a influência do solo nos cálculos. A Figura 6.17, mostra a aplicação do método das
imagens, gerando um plano condutor perfeito de potencial nulo, através da imagem da linha.
Figura 6.17: Aplicação do método das imagens.
O programa desenvolvido tem uma grande vantagem de permitir a discretização de
parte do solo (Figura 6.18), não sendo necessário a discretização de -∞ até o +∞. Com apenas
a discretização de uma pequena porção do solo sob a linha, já se tem resultados satisfatórios.
Mas a grande vantagem da discretização do solo é a possibilidade de se discretizar superfícies
Capítulo 6 132
irregulares sob a linha de transmissão, permitindo a obtenção de resultados mais próximos do
comportamento real da linha.
Figura 6.18: Discretização de um pedaço do solo.
Há discretização de um solo irregular (Figura 6.19) tem a vantagem de considerar nos
cálculos do campo elétrico e do potencial elétrico a influência do solo com suas
irregularidades e obstáculos. No capítulo 7 é apresentado um exemplo da discretização de um
solo irregular, com a mesma linha, considerando o solo um plano perfeito.
Figura 6.19: Discretização do solo irregular.
Capítulo 6 133
6.3.2 – Largura da faixa de solo a ser discretizada
Esta simulação foi feita para mostrar a influência da extensão da faixa lateral do solo a
ser discretizado para que os resultados tenham erros desprezíveis.
Para a simulação foram consideradas duas discretizações do solo, uma considerando
uma discretização de uma faixa lateral de 50 metros e outra com 100 metros, ambas
considerando o solo plano, isso foi feito para se verificar a influência do tamanho do solo a
ser discretizado nos resultados.
Foi considerada uma linha unifilar de tensão 100V, a uma altura de 10 metros sobre
um solo plano de potencial elétrico nulo. O diâmetro do condutor é 40 mm.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
0.5
1
1.5
2
2.5
3Linha Unifilar
Cam
po E
letri
co (V
/m)
X (m)
50 metros100 metros
Figura 6.20: Comparação da discretização de 50 e 100 metros de solo.
Capítulo 6 134
Observa-se na Figura (6.20) que até 15 metros dos dois lados da faixa lateral, os
resultados para ambas as considerações são muito próximos. A partir desse ponto a
discretização da faixa lateral de 50 metros passa a apresentar resultados divergentes em
relação à discretização com maior numero de pontos. Assim, quanto mais o ponto onde se
quer calcular o campo se aproxima dos extremos do solo discretizado, maior será o erro. Para
minimizar tal erro, bastaria aumentar a porção do solo a ser discretizada, sendo o tamanho
dessa faixa dependente do ponto mais distante do eixo a ser analisado.
O aumento da faixa lateral a partir de 100 metros não resultaria em melhoria nos
resultados da intensidade do campo elétrico nas proximidades da linha de transmissão.
6.4 – Revisão do capítulo
Neste capítulo, foram comparados os resultados obtidos por meio do o programa
CALCMEC com resultados obtidos analiticamente. Ou seja, o programa foi avaliado, sendo
que os resultados obtidos foram bastante satisfatórios, mesmo aqueles obtidos com um
número pequeno de elementos. Também foi mostrada a eficiência da discretização do solo
sendo seus resultados comparados com o do método das imagens.
Capítulo 7 135
CAPÍTULO 7: Linhas Compactas
Neste capítulo, será mostrada a compactação de linhas de transmissão. Também serão
apresentados os resultados obtidos da análise do campo elétrico gerado por algumas silhuetas
de linhas de transmissão. Os valores do campo elétrico gerado por estruturas compactas serão
comparados com estruturas convencionais e estruturas reduzidas (semi-compactas). Também
serão comparados os valores de capacitância equivalente e do gradiente de potencial elétrico
na superfície dos condutores.
7.1 – Justificativa à compactação
A compactação de linhas de transmissão de 138 kV, além de considerável economia
de investimentos, justifica-se pelo crescente uso desse nível de tensão como subtransmissão
em zonas urbanas, onde faixas de servidão tornam-se de grande importância.
Basicamente, a compactação consiste na redução das distâncias entre condutores e
pode também ser acompanhada da redução nas distâncias entre condutores e estrutura aterrada
(fase-massa). A redução das distâncias fase-massa dependerá do tipo de suporte dos
condutores que esteja sendo utilizadas, ou seja, cadeia de suspensão ou isoladores rígidos. São
vários os fatores que podem limitar a compactação, entre eles, fatores elétricos, mecânicos e
de desempenho.
Capítulo 7 136
Os fatores elétricos que têm maior influência na compactação são as distâncias elétrica
mínima fase-fase, fase-massa, suportabilidade elétrica a freqüência industrial, surtos de
manobra e descargas atmosféricas, interferência e ruído de rádio e televisão, ruído audível e
perdas corona.
Os fatores mecânicos são principalmente os resultantes do balanço dos condutores,
especialmente, no meio do vão. O movimento de condutores que causa a aproximação entre
fases pode ser evitado com vãos mais curtos ou com aplicação de separadores isolantes entre
as fases no meio do vão.
Os fatores de desempenho se referem ao número de saídas esperado da linha, devido à
operação normal de freqüência industrial, surtos de manobra e descargas atmosféricas.
A maior vantagem da compactação está no reaproveitamento de linhas, fazendo a
conversão de linhas de 69 kV para 138 kV ou de 138 kV para 230 kV, o que permite um
aumento na capacidade de transporte.
O valor do campo elétrico em um projeto de linha de transmissão é de fundamental
importância para a análise das condições de operação da linha. Vários fatores são
determinados em função do campo elétrico, tais como as perdas por efeito corona,
interferência em rádios e TV e ruído audível.
7.2 – Estruturas convencionais e compactas
As estruturas convencionais em 138 kV apresentam separação entre fases
considerando os condutores na vertical de 3,40 a 3,80 metros, e estruturas compactas tem sua
Capítulo 7 137
separação na vertical de 2,20 a 1,70 metros, sendo que estruturas com espaçamento de 2,20 m
são consideradas semi-compactas.
A diferença das estruturas convencionais e reduzidas está basicamente no espaçamento
vertical, sendo que o espaçamento horizontal tanto para circuito simples como duplo não se
modifica, sendo de 2,20 m a partir do eixo da linha. As estruturas compactas têm seu
espaçamento horizontal reduzido para 1,70 m a partir do eixo da linha, tanto para circuito
duplo como para circuito simples. A redução do espaçamento horizontal é possível com a
redução da distância entre fase-massa e com a adoção de algumas medidas no caso de circuito
duplo, como a modificação da seqüência de fases. Ou seja, condutores de mesma fase são
colocados na horizontal e o vão é reduzido. Isso faz com que se reduza a diferença de
potencial elétrico entre os condutores, reduzindo o balanço dos condutores no meio do vão.
Nas Figuras 7.1 a 7.3 estão apresentadas às silhuetas para uma linha de circuito
simples com 1 cabo pára-raios, sendo h a altura mínima do condutor ao solo.
Figura 7.1: Estrutura tipo CSTCC – Espaçamento convencional.
Capítulo 7 138
Figura 7.2: Estrutura tipo CSTRC – Espaçamento reduzido.
Figura 7.3: Estrutura tipo CSTPC – Espaçamento compacto.
Nas Figuras 7.4 a 7.6 estão apresentadas a silhueta para uma linha de circuito duplo
com 1 cabo pára-raios, sendo h a altura mínima do condutor ao solo.
Capítulo 7 139
Figura 7.4: Estrutura tipo CDPC1P – Espaçamento convencional.
Figura 7.5: Estrutura tipo CDPR1P – Espaçamento reduzido.
Capítulo 7 140
Figura 7.6: Estrutura tipo CDPP1P – Espaçamento compacto.
7.3 – Resultados das comparações
Para o estudo comparativo foi analisado o campo elétrico ao nível do solo,
considerando o solo plano e posteriormente considerando-o irregular. Também será analisado
o gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores dessas linhas.
Aspectos das silhuetas analisadas:
• CSTCC – Estrutura em circuito simples com um cabo pára-raios, espaçamento
convencional entre fases, e tensão de 138 kV. Os detalhes são mostrados no apêndice
C1;
• CSTRC – Estrutura em circuito simples com um cabo pára-raios, espaçamento
reduzido entre fases, e tensão de 138 kV. Os detalhes são mostrados no apêndice C2;
• CSTPC – Estrutura em circuito simples com um cabo pára-raios, espaçamento
compacto entre fases, e tensão de 138 kV. Os detalhes são mostrados no apêndice C3;
Capítulo 7 141
• CDPC1P – Estrutura para circuito duplo em paralelo com um cabo pára-raios,
espaçamento convencional entre fases, e tensão de 138 kV. Os detalhes são mostrados
no apêndice C4;
• CDPR1P – Estrutura para circuito duplo em paralelo com um cabo pára-raios,
espaçamento reduzido entre fases, e tensão de 138 kV. Os detalhes são mostrados no
apêndice C5;
• CDPP1P – Estrutura para circuito duplo em paralelo com um cabo pára-raios,
espaçamento compacto entre fases, e tensão de 138 kV. Os detalhes são mostrados no
apêndice C6.
Foram utilizados condutores tipo CAA - Linnet e cabos pára-raios de diâmetro
3,05 mm, com uma altura mínima dos condutores ao solo de 8,3 m. Essa é a menor distância
de condutores ao solo em áreas urbanas. As estruturas foram obtidas do trabalho de
Fernandes (2004), e se tratam de estruturas em uso no Brasil.
7.3.1 – Gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores
O valor do gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores de uma linha
de transmissão tem importância fundamental para o aparecimento de manifestações como o
efeito corona, rádio interferência (RI), ruído audível (RA) e, por conseqüência, as perdas
elétricas ao longo da linha.
Considere, inicialmente, um condutor cilíndrico reto de raio r, de grande comprimento,
de forma que se possa examinar um pedaço de comprimento unitário sem que ele seja afetado
por quaisquer efeitos das extremidades. O condutor está longe de quaisquer outros condutores
Capítulo 7 142
ou planos condutores. Esse condutor possui uma carga Q uniformemente distribuída sobre a
sua superfície, e tem um campo elétrico originado de sua superfície de maneira uniforme e
concêntrica.
O gradiente de potencial elétrico médio de uma linha de transmissão pode ser
calculado a partir da seguinte fórmula:
[ ] [ ][QrE .1...2
1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Δ
επ]
]
(7.1)
Sendo:
– Vetor dos gradientes de potencial médio na superfície do condutor em kV/cm. [ EΔ
[ r1 ] – Vetor dos inversos dos raios dos condutores em cm.
– Vetor das cargas elétricas da linha de transmissão. [ ]Q
O programa CALCMEC informa o gradiente de potencial elétrico na superfície do
condutor, fornecendo os valores em cada ponto da discretização do condutor, e não somente o
gradiente de potencial elétrico médio. Isso é útil para a análise das perdas em linhas de
transmissão.
As Tabelas (7.1) a (7.6) apresentam os valores do gradiente de potencial elétrico
médio calculado em função do condutor utilizado com o programa, para cada tipo de
estrutura. Para esses cálculos foi considerada a tensão máxima em todos os condutores.
Nas Tabelas (7.1) a (7.3) os valores foram comparados entre as silhuetas CSTCC E
CSTCP que são respectivamente uma estrutura com espaçamento convencional e uma
estrutura com espaçamento compacto.
Capítulo 7 143
Tabela 7.1: Gradiente de potencial na superfície do condutor – Fase A com Tensão Máxima. Gradiente de potencial medio (kV/cm)
Condutor Silhueta
A B C
CSTCC Ua Max 13,9156 6,7602 6,7748
CSTPC Ua Max 14,4467 6,5674 6,8415
Dif. % 3,82% -2,85% 0,98%
Tabela 7.2: Gradiente de potencial na superfície do condutor – Fase B com Tensão Máxima. Gradiente de potencial medio (kV/cm)
Condutor Silhueta
A B C
CSTCC Ub Max 7,0385 14,4002 7,8162
CSTPC Ub Max 7,0666 15,7771 9,1704
Dif. % 0,40% 9,56% 17,33%
Tabela 7.3: Gradiente de potencial na superfície do condutor – Fase C com Tensão Máxima. gradiente de potencial medio (kV/cm)
Condutor Silhueta
A B C
CSTCC Uc Max 6,8771 7,6401 14,5910
CSTPC Uc Max 7,3801 9,2097 16,0118
Dif. % 7,31% 20,54% 9,74%
Nas Tabelas (7.4) a (7.6) os valores foram comparados entre as silhuetas CDPC1P e
CDPP1P que são respectivamente uma estrutura com espaçamento convencional e uma
estrutura com espaçamento compacto.
Tabela 7.4: Gradiente de potencial na superfície do condutor – Fase A com Tensão Máxima. gradiente de potencial medio (kV/cm)
Condutor
Silhueta A B C
CDPC1P Ua Max 14,8555 7,3496 6,9200
CDPP1P Ua Max 15,0574 8,5622 6,1197
Dif. % 1,36% 16,50% -11,57%
Capítulo 7 144
Tabela 7.5: Gradiente de potencial na superfície do condutor – Fase B com Tensão Máxima. gradiente de potencial medio (kV/cm)
Condutor
Silhueta A B C
CDPC1P Ub Max 7,9588 14,6631 8,0008
CDPP1P Ub Max 9,0614 17,0054 9,0656
Dif. % 13,85% 15,97% 13,31%
Tabela 7.6: Gradiente de potencial na superfície do condutor – Fase C com Tensão Máxima. gradiente de potencial medio (kV/cm)
Condutor
Silhueta A B C
CDPC1P Uc Max 6,9126 7,3266 14,9063
CDPP1P Uc Max 5,9961 8,4431 15,1853
Dif. % -13,26% 15,24% 1,87%
Observa-se um aumento do gradiente de potencial elétrico médio na superfície dos
condutores implica em um aumento das perdas por corona. Segundo Fuchs (1977), para que
uma linha apresente desempenho satisfatório face ao fenômeno do corona, é necessário que o
gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores ou subcondutores seja inferior ao
valor do gradiente critico visual dessa linha. Ainda segundo Fuchs (1977), espera-se
desempenho satisfatório, seja no que diz respeito a perdas, seja quanto ao nível de intensidade
de ruídos de radio interferência, com gradientes de potencial elétrico da ordem de 17 kV/cm.
7.3.2 – Capacitância dos condutores
A capacitância distribuída uniformemente ao longo da superfície do condutor também
pode ser determinada numericamente por meio da equação (7.2):
Capítulo 7 145
VQC = (7.2)
A diferença de potencial V é conhecida e Q é a carga armazenada em um dos
condutores. Considerando-se um condutor de comprimento unitário, o valor da carga na
superfície é calculado por:
(7.3)
(7.4)
Supondo-se um condutor perfeito, o valor da componente normal do vetor
deslocamento elétrico é numericamente igual a densidade superficial de carga. Então, a
relação constitutiva
∫Γ
Γ= dQ lρ
∑ Γ≅i
iiQ ρ
ED ε= aplicada na equação (7.4) resulta:
∑ Γ∂∂
≅i
ii
nVQ ε (7.5)
com i varrendo todos os elementos associados a um dos condutores.
Os resultados do gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores,
aplicados nas equações (7.5) e (7.2), fornecem o valor da capacitância equivalente por
unidade de comprimento da linha.
Uma vez que as capacitâncias equivalentes dos condutores são encontradas, calcula-se
a capacitância de seqüência positiva, por meio da média aritmética das capacitâncias
equivalentes:
311
cba CCCC ++= (7.6)
As Tabelas (7.7) e (7.8) apresentam as capacitâncias equivalentes e de serviço e fazem
uma comparação entre as estruturas convencionais e compactas. Os valores foram obtidos a
Capítulo 7 146
partir do arquivo de saída por meio da análise dos dados, sendo que para isso foi utilizada a
permissividade do meio, ro εεε .= , considerando [ ]kmnFo / 859,8=ε e 1=rε .
Tabela 7.7: Capacitâncias equivalentes
Silhueta Capacitância Aparente (nF/km) Capacitância
de Serviço (nF/km) CA CB CC Cs CSTCC 8,9147 9,2251 9,3473 9,16237 CSTPC 9,2549 1,01072 1,02575 9,8732 Dif. % 3,82% 9,56% 9,74% 7,76%
Tabela 7.8: Capacitâncias equivalentes
Silhueta Capacitância Aparente (nF/km) Capacitância
de Serviço (F/km) CA CB CC Cs CSPC1P 9,5168 9,3935 9,5493 9,48653 CSPP1P 9,6461 1,0894 9,7281 1,00894 Dif. % 1,36% 15,97% 1,87% 6,35%
Apesar das estruturas CSPC1P e CSPP1P serem de circuito duplo só foram
apresentadas as capacitâncias de um dos circuitos visto que as mesmas se repetem no outro
circuito devido a simetria.
Analisando os resultados, observa-se um aumento da capacitância nas linhas
compactas (CSTPC e CSPP1P).
7.3.3 – Campo elétrico ao nível do solo
As Figuras (7.7) e (7.8) apresentam o perfil do campo elétrico 1 m acima do nível do
solo. Para esta comparação, foi considerada uma altura mínima dos condutores em relação ao
solo de 8 metros e uma faixa de passagem de 30 metros, sendo considerado um solo plano
condutor.
Capítulo 7 147
Na Figura (7.7), são comparadas silhuetas CSTCC, CSTRC E CSTCP que são
respectivamente estruturas com espaçamento convencional, reduzido e compacto.
Na Figura (7.8), são comparadas silhuetas CDPC1P, CDPR1P e CDPP1P que são
respectivamente estruturas com espaçamento convencional, reduzido e compacto.
Figura 7.7: Campo elétrico a 1 metro acima do nível do solo.
Na Figura (7.7), observa-se uma redução do campo elétrico ao nível do solo nas
estruturas reduzidas e compactas, No meio da linha, a maior redução ocorre com a estrutura
com espaçamento reduzido e, no limite da faixa de passagem, ocorre uma maior redução com
a estrutura com espaçamento compacto. Isso ocorre devido à aproximação dos condutores.
Capítulo 7 148
Figura 7.8: Campo elétrico a 1 metro acima do nível do solo.
Na Figura (7.8), também haveria uma redução do campo ao nível do solo, se não fosse
uma prática utilizada para permitir uma maior aproximação dos condutores feitas pelos
projetistas, que consiste na colocação das fases iguais em paralelo na horizontal, de modo a
reduzir a diferença de potencial entre esses condutores. No apêndice C, foram colocadas as
silhuetas das estruturas CDPC1P, CDPR1P e CDPP1P colocando também a seqüência de
fases adotadas. Devido a modificação da seqüência de fases, o campo elétrico debaixo da
linha acaba tendo o seu valor quase que dobrado.
Devido ao nível de tensão das linhas (138 kV), o limite de campo elétrico no limite da
faixa de passagem não foi ultrapassado. Mesmo em ambiente urbano onde não é possível
haver faixa de passagem, o limite do campo elétrico não é ultrapassado.
Capítulo 7 149
7.3.4 – Solo plano perfeito e Solo irregular.
Nesse item é mostrado a discretização do solo irregular e de um solo plano, para
verificar-se o efeito do solo irregular nos cálculos.
A Figura (7.9), mostra a silhueta da linha analisada.
Figura 7.9: Estrutura tipo CSHSP.
A Figura (7.10), representa o perfil do solo irregular, que será utilizado para
comparação com um solo plano perfeito.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70PERFIL DO SOLO
Figura 7.10: Perfil do solo irregular.
Capítulo 7 150
Esta comparação tem por objetivo mostrar a influência do solo no campo elétrico. Essa
mesma influência ocorre quando a linha esta próxima de edificações. Para tal comparação foi
utilizada uma estrutura convencional de 69kV apresentada no apêndice C7.
Figura 7.11: Campo elétrico a 1 metro acima do nível do solo.
Pela Figura (7.11), pode-se observar que o campo elétrico abaixo dos condutores é
maior para o solo irregular, isso ocorre devido a irregularidade do solo.
Capítulo 7
151
7.4 – Revisão do capítulo
Neste capítulo, foi mostrado como é feita a compactação de linhas de transmissão,
sendo realizadas algumas comparações entre silhuetas. Também foram comparados os
resultados do gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores e suas capacitâncias
equivalentes.
Capítulo 8 152
CAPÍTULO 8: Conclusão
Neste trabalho, foi realizado um estudo do campo elétrico gerado por linhas de
transmissão utilizando o Método dos Elementos de Contorno. Para isso a equação de Poisson,
que é governada pelas equações de Maxwell, foi transformada em uma equação integral de
contorno. Para aplicação do MEC. Para a análise do campo elétrico em linhas de transmissão
da classe 69 e 138 kV, foi desenvolvido um programa baseado no método dos elementos de
contorno. O programa foi chamado de CALCMEC e com ele é possível encontrar o campo
elétrico na região de interesse, seja ela, a superfície do condutor ou o espaço livre. Com o
programa, foi calculada a intensidade do campo elétrico a um metro da superfície de solo e o
gradiente de potencial elétrico na superfície do condutor, com tais dados foi possível
encontrar a capacitância equivalente da linha.
As análises feitas com o programa foram satisfatórias e corresponderam aos resultados
analíticos, comprovando a validade do MEC. A precisão do MEC foi comparada com um
método analítico (FUCHS, 1977). Para a validação do método e do programa, foram feitas
três comparações, com o objetivo de não deixar dúvidas com relação à validade do programa.
Foram comparados com o método analítico, os dados obtidos como o programa, fazendo uso
da discretização do solo e do método das imagens, sendo seus resultados excelentes. Outro
ponto positivo do método e do programa é o calculo do campo elétrico considerando o solo
irregular sob a linha de transmissão, o que vem melhorar os resultados dos cálculos. O tempo
de cálculo do programa é muito pequeno, mesmo com muitos pontos, não sendo necessário
Capítulo 8 153
um computador com grande capacidade de processamento. Deve-se observar que a
discretização utilizada pelo programa é a mais simples, isto é, com elementos constantes, e
sendo a discretização dos condutores feita com poucos elementos, mostrando que o MEC não
necessita de uma grande malha para gerar ótimos resultados.
Os resultados, considerando uma superfície plana, mostraram que a redução das
distâncias entre os condutores causa diminuição na intensidade do campo elétrico no nível do
solo em circuitos simples. Em circuitos duplos em paralelo, o mesmo não ocorre, devido a
modificação da seqüência de fases para permitir uma maior aproximação entre os condutores.
Apesar do aumento do campo elétrico nos circuitos duplos em paralelo, os níveis de campo
elétrico para as linhas analisadas continuam sendo baixos, devido, principalmente, às classes
de tensão utilizadas nessas linhas. Mesmo que as linhas em perímetro urbano não disponham
de faixa de passagem, os níveis de campo elétrico ainda ficam abaixo dos limites estipulados
na ABNT (1985).
Os resultados do gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores se
mostraram preocupantes. As linhas compactas em circuito duplo, por exemplo, apresentam
resultados máximos próximos dos limites de desempenho satisfatório, no que diz respeito à
perdas por corona e a intensidade de ruídos de radio interferência. Assim, com o aumento do
gradiente de potencial elétrico na superfície dos condutores, as perdas por corona e os
problemas relacionados a radio interferência, bem como, ruído audível devem se agravar. Isso
é uma grande desvantagem em linhas que passam por regiões urbanas.
Este trabalho procurou mostrar a eficiência do Método dos Elementos de Contorno
para aplicação em linhas de transmissão e faz uma análise de estruturas largamente utilizadas
atualmente em linhas de transmissão em todo o Brasil.
Referências Bibliográficas
154
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNETICA- ABRICEM. Diretrizes para limitação da exposição a campos elétricos, magnéticos e eletromagnéticos, variáveis no tempo (até 300 GHz), [s.l: s.n.],1999. Disponível em: < http://www.abricem.com.br/bancoinfo_normas.html>. Acesso em: 3 nov. 2007. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE COMPATIBILIDADE ELETROMAGNETICA – ABRICEM. Norma exposição ambiental a campos elétricos e magnéticos - 60Hz: apresenta projeto de norma da ABNT desenvolvido pela ABRICEM. [s.l: s.n.], 2000, 9p. Disponível em: < http://www.abricem.com.br/bancoinfo_normas.html>. Acesso em: 3 nov. 2007. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 5422: projeto de linhas aéreas de transmissão de energia elétrica. Rio de Janeiro: ABNT, 1985. 57p. BECKER, A. A. The boundary element method in engineering: a complete course. Cambridge: Ed. McGraw-Hill, 1992. 337p. BRASIL. Ministério do Trabalho e Emprego. Norma regulamentadora – NR9: programa de prevenção de riscos ambientais (109.000-3). Brasília, jul. 1978. Disponível em: <http://www.mte.gov.br/legislacao/normas_regulamentadoras/default.asp>. Acesso em: 10 jun. 2007. BRASIL. Ministério do Trabalho e Emprego. Portaria 3.214 de 8 de junho de 1978. Norma Regulamentadora – NR15: atividades e operações insalubres (115.000-6). Brasília, DF, jul. 1978. Disponível em: <http://www.mte.gov.br/>. Acesso em: 10 jun. 2007. BREBBIA, C. A.; DOMINGUEZ, J. Boundary element an introductory course. 2. ed. Southampton: Ed. Wit Press - Computational Mechanics Publications, 1992. 313p. FERNANDES, G. R. Introdução ao método dos elementos de contorno. Ilha Solteira: [s.n.], 2005. 122p. FERNANDES, M. A. Implantação, estudos e avaliação paramétrica de linhas de transmissão. 2004. 248f. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia , Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2004. FUCHS, R. D. Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas. Rio de Janeiro: LTC, 1977. 2v. 588p. HARTMANN, F. Introduction to boundary elements : theory and applications. New York: Springer-Verlag, 1989. 416p. HOFFMAN, J. D. Numerical methods for engineers and scientists. 2. ed. New York: Marcel Dekker, 2001. 808p.
Referências Bibliográficas
155
INTERNATIONAL COMMISSION ON NON-IONIZING RADIATION PROTECTION – ICNIRP. Guidelines for limiting exposure to time-varying electric, magnetic, and electromagnetic fields (up to 300 GHz). Health Physics, [s.l], v.74, n.4, p.494-522, Abril 1998. KRAJEWSKI, W. BEM analysis of electric field excited by overhead HV lines erected in buit-up areas. IEE Proc-Sci. Meas. Technol., Stevenage, v.144, n.2, p.81-86, Mar 1997. POUZADA, E. V. S. Estudo da aplicação do método dos elementos de contorno à análise de propagação em estruturas guiantes. 1999. Paginação irregular, Tese (Doutorado) – Escola Politécnica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 1999. PRESS, W. H. et al. Numerical recipes in FORTRAN 77 – the art of scientific computing. 2. ed. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. 963p. SADIKU, M. N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2004. 687p. STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistema de potência. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1978. 458p. TEIXEIRA, P. C. O. Avaliação dos níveis de campos elétricos e magnéticos em linhas de transmissão da CTEEP. In: SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA, n. 16, 2001, Campinas. Anais... Campinas: [s.l], 2001. 6p. Disponível em: < http://www.xixsnptee.com.br/acervo_tecnico/acervo/Snpteexvi/scq/scq-029.pdf >. Acesso em: 15 out. 2006. WERTHEIMER, N.; LEEPER, E. Electrical wiring configurations and childhood cancer. Am. J. Epidemiol., [s.l], v.109, n.3, p.273-284, 1979. ZHANG, B. et al. Electric field calculation for HV insulators on the head of transmission tower by coupling CSM with BEM. IEEE Trans. On Magnetic, New York, v.42, n.4, p.543-546, April. 2006. ZHAO, T; COMBER, M. G. Calculation of electric field and potential distribution along nonceramic insulators considering the effects of conductors and transmission towers. IEEE Trans. On Power Delivery, New York, v.15, n.1, p.313-318, Jan. 2000.
Apêndice A
156
ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE SUBTRANSMISSÃO
UTILIZANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
APÊNDICE A
ARQUIVO DE ENTRADA DO PROGRAMA CALCMEC
Apêndice A
157
APÊNDICE A1 – Arquivo de entrada para a aplicação do método das imagens.
*************************************************************************** Linha Trifasica Modelo 1. 61. 4. 32. 1.27 8. 18.31 1.27 10. 18.31 1.27 12. 18.31 0.525 14. 3.05 3.9837e+001 -1.9919e+001 -1.9919e+001 0. -15. 01. -14.5 01. -14. 01. -13.5 01. -13. 01. -12.5 01. -12. 01. -11.5 01. -11. 01. -10.5 01. -10. 01. -09.5 01. -09. 01. -08.5 01. -08. 01. -07.5 01. -07. 01. -06.5 01. -06. 01. -05.5 01. -05. 01. -04.5 01. -04. 01. -03.5 01. -03. 01. -02.5 01. -02. 01. -01.5 01. -01. 01. -00.5 01. 00. 01. 00.5 01. 01. 01. 01.5 01. 02. 01. 02.5 01. 03. 01.
Apêndice A
158
03.5 01. 04. 01. 04.5 01. 05. 01. 05.5 01. 06. 01. 06.5 01. 07. 01. 07.5 01. 08. 01. 08.5 01. 09. 01. 09.5 01. 10. 01. 10.5 01. 11. 01. 11.5 01. 12. 01. 12.5 01. 13. 01. 13.5 01. 14. 01. 14.5 01. 15. 01. ***************************************************************************
Apêndice A
159
APÊNDICE A2 – Arquivo de entrada para discretização do formato solo.
*************************************************************************** Linha Trifasica Modelo 3. 61. 4. 32. 1.27 8. 18.31 1.27 10. 18.31 1.27 12. 18.31 0.525 14. 3.05 3.9837e+001 -1.9919e+001 -1.9919e+001 0. -15. 01. -14.5 01. -14. 01. -13.5 01. -13. 01. -12.5 01. -12. 01. -11.5 01. -11. 01. -10.5 01. -10. 01. -09.5 01. -09. 01. -08.5 01. -08. 01. -07.5 01. -07. 01. -06.5 01. -06. 01. -05.5 01. -05. 01. -04.5 01. -04. 01. -03.5 01. -03. 01. -02.5 01. -02. 01. -01.5 01. -01. 01. -00.5 01. 00. 01. 00.5 01. 01. 01. 01.5 01.
Apêndice A
160
02. 01. 02.5 01. 03. 01. 03.5 01. 04. 01. 04.5 01. 05. 01. 05.5 01. 06. 01. 06.5 01. 07. 01. 07.5 01. 08. 01. 08.5 01. 09. 01. 09.5 01. 10. 01. 10.5 01. 11. 01. 11.5 01. 12. 01. 12.5 01. 13. 01. 13.5 01. 14. 01. 14.5 01. 15. 01. ***************************************************************************
Apêndice A
161
APÊNDICE A3 – Arquivo de entrada deve conter a discretização de todos os contornos
envolvidos no trabalho (condutores e solo ou condutores e imagem dos condutores).
*************************************************************************** Linha Bifilar Infinita 2. 16. 51. 2. 8. 16. 4.500000000000000e-002 0. 4.353553390593274e-002 -3.535533905932737e-003 4.000000000000000e-002 -5.000000000000000e-003 3.646446609406726e-002 -3.535533905932738e-003 3.500000000000000e-002 -6.123233995736766e-019 3.646446609406726e-002 3.535533905932737e-003 4.000000000000000e-002 5.000000000000000e-003 4.353553390593274e-002 3.535533905932739e-003 -3.500000000000000e-002 0. -3.646446609406726e-002 -3.535533905932737e-003 -4.000000000000000e-002 -5.000000000000000e-003 -4.353553390593274e-002 -3.535533905932738e-003 -4.500000000000000e-002 -6.123233995736766e-019 -4.353553390593274e-002 3.535533905932737e-003 -4.000000000000000e-002 5.000000000000000e-003 -3.646446609406726e-002 3.535533905932739e-003 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. -5. -5. -5. -5. -5. -5. -5. -5. -1.0000e-001 1.5000e-002 -9.6000e-002 1.5000e-002 -9.2000e-002 1.5000e-002 -8.8000e-002 1.5000e-002 -8.4000e-002 1.5000e-002 -8.0000e-002 1.5000e-002
Apêndice A
162
-7.6000e-002 1.5000e-002 -7.2000e-002 1.5000e-002 -6.8000e-002 1.5000e-002 -6.4000e-002 1.5000e-002 -6.0000e-002 1.5000e-002 -5.6000e-002 1.5000e-002 -5.2000e-002 1.5000e-002 -4.8000e-002 1.5000e-002 -4.4000e-002 1.5000e-002 -4.0000e-002 1.5000e-002 -3.6000e-002 1.5000e-002 -3.2000e-002 1.5000e-002 -2.8000e-002 1.5000e-002 -2.4000e-002 1.5000e-002 -2.0000e-002 1.5000e-002 -1.6000e-002 1.5000e-002 -1.2000e-002 1.5000e-002 -8.0000e-003 1.5000e-002 -4.0000e-003 1.5000e-002 0 1.5000e-002 4.0000e-003 1.5000e-002 8.0000e-003 1.5000e-002 1.2000e-002 1.5000e-002 1.6000e-002 1.5000e-002 2.0000e-002 1.5000e-002 2.4000e-002 1.5000e-002 2.8000e-002 1.5000e-002 3.2000e-002 1.5000e-002 3.6000e-002 1.5000e-002 4.0000e-002 1.5000e-002 4.4000e-002 1.5000e-002 4.8000e-002 1.5000e-002 5.2000e-002 1.5000e-002 5.6000e-002 1.5000e-002 6.0000e-002 1.5000e-002 6.4000e-002 1.5000e-002 6.8000e-002 1.5000e-002 7.2000e-002 1.5000e-002 7.6000e-002 1.5000e-002 8.0000e-002 1.5000e-002 8.4000e-002 1.5000e-002 8.8000e-002 1.5000e-002 9.2000e-002 1.5000e-002 9.6000e-002 1.5000e-002 1.0000e-001 1.5000e-002 ***************************************************************************
Apêndice B 163
ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE SUBTRANSMISSÃO
UTILIZANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
APÊNDICE B
ARQUIVO DE SAIDA DO PROGRAMA CALCMEC
Apêndice B 164
APÊNDICE B – Exemplo de arquivo de saída
**************************************************************************************** Linha Bifilar Infinita DADOS NUMERO DE ELEMENTOS DE CONTORNO = 64 NUMERO DE PONTOS NO DOMINIO ONDE A FUNÇÃO E CALCULADA = 51 NUMERO DE SUPERFICIES DE CONTORNOS = 2 ULTIMONO DE CADA CONTORNO = 32, 64, *************************************************************************************** COORDENADAS DOS PONTOS NODAIS NO CONTORNO PONTO X Y 1 0.45000E-01 0.00000E+00 2 0.44904E-01 -0.97545E-03 3 0.44619E-01 -0.19134E-02 4 0.44157E-01 -0.27779E-02 5 0.43536E-01 -0.35355E-02 6 0.42778E-01 -0.41573E-02 7 0.41913E-01 -0.46194E-02 8 0.40975E-01 -0.49039E-02 9 0.40000E-01 -0.50000E-02 10 0.39025E-01 -0.49039E-02 11 0.38087E-01 -0.46194E-02 12 0.37222E-01 -0.41573E-02 13 0.36464E-01 -0.35355E-02 14 0.35843E-01 -0.27779E-02 15 0.35381E-01 -0.19134E-02 16 0.35096E-01 -0.97545E-03 17 0.35000E-01 -0.61232E-18 18 0.35096E-01 0.97545E-03 19 0.35381E-01 0.19134E-02 20 0.35843E-01 0.27779E-02 21 0.36464E-01 0.35355E-02 22 0.37222E-01 0.41573E-02 23 0.38087E-01 0.46194E-02 24 0.39025E-01 0.49039E-02 25 0.40000E-01 0.50000E-02 26 0.40975E-01 0.49039E-02 27 0.41913E-01 0.46194E-02 28 0.42778E-01 0.41573E-02 29 0.43536E-01 0.35355E-02 30 0.44157E-01 0.27779E-02 31 0.44619E-01 0.19134E-02 32 0.44904E-01 0.97545E-03 33 -0.35000E-01 0.00000E+00 34 -0.35096E-01 -0.97545E-03 35 -0.35381E-01 -0.19134E-02 36 -0.35843E-01 -0.27779E-02 37 -0.36464E-01 -0.35355E-02 38 -0.37222E-01 -0.41573E-02 39 -0.38087E-01 -0.46194E-02
Apêndice B 165
40 -0.39025E-01 -0.49039E-02 41 -0.40000E-01 -0.50000E-02 42 -0.40975E-01 -0.49039E-02 43 -0.41913E-01 -0.46194E-02 44 -0.42778E-01 -0.41573E-02 45 -0.43536E-01 -0.35355E-02 46 -0.44157E-01 -0.27779E-02 47 -0.44619E-01 -0.19134E-02 48 -0.44904E-01 -0.97545E-03 49 -0.45000E-01 -0.61232E-18 50 -0.44904E-01 0.97545E-03 51 -0.44619E-01 0.19134E-02 52 -0.44157E-01 0.27779E-02 53 -0.43536E-01 0.35355E-02 54 -0.42778E-01 0.41573E-02 55 -0.41913E-01 0.46194E-02 56 -0.40975E-01 0.49039E-02 57 -0.40000E-01 0.50000E-02 58 -0.39025E-01 0.49039E-02 59 -0.38087E-01 0.46194E-02 60 -0.37222E-01 0.41573E-02 61 -0.36464E-01 0.35355E-02 62 -0.35843E-01 0.27779E-02 63 -0.35381E-01 0.19134E-02 64 -0.35096E-01 0.97545E-03 CONDICOES DE CONTORNO NO CAMPO ELETRICO 1 0.50000E+01 2 0.50000E+01 3 0.50000E+01 4 0.50000E+01 5 0.50000E+01 6 0.50000E+01 7 0.50000E+01 8 0.50000E+01 9 0.50000E+01 10 0.50000E+01 11 0.50000E+01 12 0.50000E+01 13 0.50000E+01 14 0.50000E+01 15 0.50000E+01 16 0.50000E+01 17 0.50000E+01 18 0.50000E+01 19 0.50000E+01 20 0.50000E+01 21 0.50000E+01 22 0.50000E+01 23 0.50000E+01 24 0.50000E+01 25 0.50000E+01 26 0.50000E+01 27 0.50000E+01 28 0.50000E+01 29 0.50000E+01 30 0.50000E+01
Apêndice B 166
31 0.50000E+01 32 0.50000E+01 33 -0.50000E+01 34 -0.50000E+01 35 -0.50000E+01 36 -0.50000E+01 37 -0.50000E+01 38 -0.50000E+01 39 -0.50000E+01 40 -0.50000E+01 41 -0.50000E+01 42 -0.50000E+01 43 -0.50000E+01 44 -0.50000E+01 45 -0.50000E+01 46 -0.50000E+01 47 -0.50000E+01 48 -0.50000E+01 49 -0.50000E+01 50 -0.50000E+01 51 -0.50000E+01 52 -0.50000E+01 53 -0.50000E+01 54 -0.50000E+01 55 -0.50000E+01 56 -0.50000E+01 57 -0.50000E+01 58 -0.50000E+01 59 -0.50000E+01 60 -0.50000E+01 61 -0.50000E+01 62 -0.50000E+01 63 -0.50000E+01 64 -0.50000E+01 ****************************************************************************************** RESULTADOS PONTOS NODAIS DO CONTORNO X Y POTENCIAL CAMPO ELETRICO 0.44952E-01 -0.48773E-03 0.50000E+01 0.31889E+03 0.44762E-01 -0.14444E-02 0.50000E+01 0.32025E+03 0.44388E-01 -0.23456E-02 0.50000E+01 0.32295E+03 0.43846E-01 -0.31567E-02 0.50000E+01 0.32692E+03 0.43157E-01 -0.38464E-02 0.50000E+01 0.33219E+03 0.42346E-01 -0.43884E-02 0.50000E+01 0.33853E+03 0.41444E-01 -0.47617E-02 0.50000E+01 0.34591E+03 0.40488E-01 -0.49520E-02 0.50000E+01 0.35410E+03 0.39512E-01 -0.49520E-02 0.50000E+01 0.36286E+03 0.38556E-01 -0.47617E-02 0.50000E+01 0.37186E+03 0.37654E-01 -0.43884E-02 0.50000E+01 0.38079E+03 0.36843E-01 -0.38464E-02 0.50000E+01 0.38919E+03 0.36154E-01 -0.31567E-02 0.50000E+01 0.39664E+03 0.35612E-01 -0.23456E-02 0.50000E+01 0.40268E+03 0.35238E-01 -0.14444E-02 0.50000E+01 0.40697E+03 0.35048E-01 -0.48773E-03 0.50000E+01 0.40917E+03 0.35048E-01 0.48773E-03 0.50000E+01 0.40917E+03 0.35238E-01 0.14444E-02 0.50000E+01 0.40697E+03
Apêndice B 167
0.35612E-01 0.23456E-02 0.50000E+01 0.40269E+03 0.36154E-01 0.31567E-02 0.50000E+01 0.39664E+03 0.36843E-01 0.38464E-02 0.50000E+01 0.38919E+03 0.37654E-01 0.43884E-02 0.50000E+01 0.38079E+03 0.38556E-01 0.47617E-02 0.50000E+01 0.37186E+03 0.39512E-01 0.49520E-02 0.50000E+01 0.36286E+03 0.40488E-01 0.49520E-02 0.50000E+01 0.35410E+03 0.41444E-01 0.47617E-02 0.50000E+01 0.34590E+03 0.42346E-01 0.43884E-02 0.50000E+01 0.33853E+03 0.43157E-01 0.38464E-02 0.50000E+01 0.33219E+03 0.43846E-01 0.31567E-02 0.50000E+01 0.32692E+03 0.44388E-01 0.23456E-02 0.50000E+01 0.32295E+03 0.44762E-01 0.14444E-02 0.50000E+01 0.32025E+03 0.44952E-01 0.48773E-03 0.50000E+01 0.31889E+03 -0.35048E-01 -0.48773E-03 -0.50000E+01 -0.40917E+03 -0.35238E-01 -0.14444E-02 -0.50000E+01 -0.40697E+03 -0.35612E-01 -0.23456E-02 -0.50000E+01 -0.40269E+03 -0.36154E-01 -0.31567E-02 -0.50000E+01 -0.39664E+03 -0.36843E-01 -0.38464E-02 -0.50000E+01 -0.38919E+03 -0.37654E-01 -0.43884E-02 -0.50000E+01 -0.38078E+03 -0.38556E-01 -0.47617E-02 -0.50000E+01 -0.37187E+03 -0.39512E-01 -0.49520E-02 -0.50000E+01 -0.36286E+03 -0.40488E-01 -0.49520E-02 -0.50000E+01 -0.35410E+03 -0.41444E-01 -0.47617E-02 -0.50000E+01 -0.34590E+03 -0.42346E-01 -0.43884E-02 -0.50000E+01 -0.33854E+03 -0.43157E-01 -0.38464E-02 -0.50000E+01 -0.33219E+03 -0.43846E-01 -0.31567E-02 -0.50000E+01 -0.32692E+03 -0.44388E-01 -0.23456E-02 -0.50000E+01 -0.32295E+03 -0.44762E-01 -0.14444E-02 -0.50000E+01 -0.32025E+03 -0.44952E-01 -0.48773E-03 -0.50000E+01 -0.31889E+03 -0.44952E-01 0.48773E-03 -0.50000E+01 -0.31890E+03 -0.44762E-01 0.14444E-02 -0.50000E+01 -0.32024E+03 -0.44388E-01 0.23456E-02 -0.50000E+01 -0.32295E+03 -0.43846E-01 0.31567E-02 -0.50000E+01 -0.32692E+03 -0.43157E-01 0.38464E-02 -0.50000E+01 -0.33219E+03 -0.42346E-01 0.43884E-02 -0.50000E+01 -0.33854E+03 -0.41444E-01 0.47617E-02 -0.50000E+01 -0.34590E+03 -0.40488E-01 0.49520E-02 -0.50000E+01 -0.35410E+03 -0.39512E-01 0.49520E-02 -0.50000E+01 -0.36286E+03 -0.38556E-01 0.47617E-02 -0.50000E+01 -0.37186E+03 -0.37654E-01 0.43884E-02 -0.50000E+01 -0.38078E+03 -0.36843E-01 0.38464E-02 -0.50000E+01 -0.38919E+03 -0.36154E-01 0.31567E-02 -0.50000E+01 -0.39664E+03 -0.35612E-01 0.23456E-02 -0.50000E+01 -0.40269E+03 -0.35238E-01 0.14444E-02 -0.50000E+01 -0.40696E+03 -0.35048E-01 0.48773E-03 -0.50000E+01 -0.40917E+03 ****************************************************************************************** PONTOS INTERNOS X Y POTENCIAL CAMPO ELET. X CAMPO ELET. Y CAMPO ELET. TOTAL -0.10000E+00 0.15000E-01 -0.14708E+01 -0.15396E+02 0.56328E+01 0.16394E+02 -0.96000E-01 0.15000E-01 -0.15351E+01 -0.16773E+02 0.65138E+01 0.17993E+02 -0.92000E-01 0.15000E-01 -0.16053E+01 -0.18335E+02 0.75941E+01 0.19846E+02 -0.88000E-01 0.15000E-01 -0.16821E+01 -0.20115E+02 0.89341E+01 0.22009E+02 -0.84000E-01 0.15000E-01 -0.17665E+01 -0.22144E+02 0.10618E+02 0.24558E+02 -0.80000E-01 0.15000E-01 -0.18596E+01 -0.24460E+02 0.12763E+02 0.27590E+02 -0.76000E-01 0.15000E-01 -0.19626E+01 -0.27093E+02 0.15537E+02 0.31232E+02 -0.72000E-01 0.15000E-01 -0.20768E+01 -0.30056E+02 0.19186E+02 0.35657E+02
Apêndice B
168
-0.68000E-01 0.15000E-01 -0.22034E+01 -0.33308E+02 0.24063E+02 0.41091E+02 -0.64000E-01 0.15000E-01 -0.23434E+01 -0.36689E+02 0.30683E+02 0.47828E+02 -0.60000E-01 0.15000E-01 -0.24966E+01 -0.39762E+02 0.39766E+02 0.56235E+02 -0.56000E-01 0.15000E-01 -0.26598E+01 -0.41506E+02 0.52202E+02 0.66692E+02 -0.52000E-01 0.15000E-01 -0.28241E+01 -0.39801E+02 0.68699E+02 0.79396E+02 -0.48000E-01 0.15000E-01 -0.29688E+01 -0.30985E+02 0.88564E+02 0.93828E+02 -0.44000E-01 0.15000E-01 -0.30569E+01 -0.11040E+02 0.10731E+03 0.10787E+03 -0.40000E-01 0.15000E-01 -0.30427E+01 0.19362E+02 0.11606E+03 0.11766E+03 -0.36000E-01 0.15000E-01 -0.29006E+01 0.50804E+02 0.10882E+03 0.12010E+03 -0.32000E-01 0.15000E-01 -0.26492E+01 0.72901E+02 0.90164E+02 0.11595E+03 -0.28000E-01 0.15000E-01 -0.23327E+01 0.83682E+02 0.69173E+02 0.10857E+03 -0.24000E-01 0.15000E-01 -0.19898E+01 0.86877E+02 0.51096E+02 0.10079E+03 -0.20000E-01 0.15000E-01 -0.16426E+01 0.86371E+02 0.37011E+02 0.93967E+02 -0.16000E-01 0.15000E-01 -0.13006E+01 0.84530E+02 0.26275E+02 0.88519E+02 -0.12000E-01 0.15000E-01 -0.96653E+00 0.82529E+02 0.17939E+02 0.84456E+02 -0.80000E-02 0.15000E-01 -0.63985E+00 0.80900E+02 0.11183E+02 0.81670E+02 -0.40000E-02 0.15000E-01 -0.31853E+00 0.79867E+02 0.53716E+01 0.80047E+02 0.00000E+00 0.15000E-01 0.12618E-05 0.79515E+02 0.30516E-07 0.79515E+02 0.40000E-02 0.15000E-01 0.31853E+00 0.79867E+02 -0.53716E+01 0.80047E+02 0.80000E-02 0.15000E-01 0.63985E+00 0.80900E+02 -0.11183E+02 0.81670E+02 0.12000E-01 0.15000E-01 0.96653E+00 0.82529E+02 -0.17939E+02 0.84456E+02 0.16000E-01 0.15000E-01 0.13006E+01 0.84530E+02 -0.26275E+02 0.88519E+02 0.20000E-01 0.15000E-01 0.16426E+01 0.86371E+02 -0.37011E+02 0.93967E+02 0.24000E-01 0.15000E-01 0.19898E+01 0.86877E+02 -0.51096E+02 0.10079E+03 0.28000E-01 0.15000E-01 0.23327E+01 0.83682E+02 -0.69173E+02 0.10857E+03 0.32000E-01 0.15000E-01 0.26492E+01 0.72901E+02 -0.90164E+02 0.11595E+03 0.36000E-01 0.15000E-01 0.29006E+01 0.50804E+02 -0.10882E+03 0.12010E+03 0.40000E-01 0.15000E-01 0.30427E+01 0.19362E+02 -0.11606E+03 0.11766E+03 0.44000E-01 0.15000E-01 0.30569E+01 -0.11040E+02 -0.10731E+03 0.10787E+03 0.48000E-01 0.15000E-01 0.29688E+01 -0.30985E+02 -0.88564E+02 0.93828E+02 0.52000E-01 0.15000E-01 0.28241E+01 -0.39801E+02 -0.68699E+02 0.79396E+02 0.56000E-01 0.15000E-01 0.26598E+01 -0.41506E+02 -0.52202E+02 0.66692E+02 0.60000E-01 0.15000E-01 0.24966E+01 -0.39762E+02 -0.39766E+02 0.56235E+02 0.64000E-01 0.15000E-01 0.23434E+01 -0.36689E+02 -0.30683E+02 0.47828E+02 0.68000E-01 0.15000E-01 0.22034E+01 -0.33308E+02 -0.24063E+02 0.41091E+02 0.72000E-01 0.15000E-01 0.20768E+01 -0.30056E+02 -0.19186E+02 0.35657E+02 0.76000E-01 0.15000E-01 0.19626E+01 -0.27093E+02 -0.15537E+02 0.31232E+02 0.80000E-01 0.15000E-01 0.18596E+01 -0.24460E+02 -0.12762E+02 0.27590E+02 0.84000E-01 0.15000E-01 0.17665E+01 -0.22144E+02 -0.10618E+02 0.24558E+02 0.88000E-01 0.15000E-01 0.16821E+01 -0.20115E+02 -0.89341E+01 0.22009E+02 0.92000E-01 0.15000E-01 0.16053E+01 -0.18335E+02 -0.75941E+01 0.19846E+02 0.96000E-01 0.15000E-01 0.15351E+01 -0.16773E+02 -0.65138E+01 0.17993E+02 0.10000E+00 0.15000E-01 0.14708E+01 -0.15396E+02 -0.56328E+01 0.16394E+02 ******************************************************************************************
Apêndice C 169
ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE SUBTRANSMISSÃO
UTILIZANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
APÊNDICE C
SILHUETAS DE ESTRUTURAS
Apêndice C 170
APÊNDICE C1 – Silhueta da estrutura
ESTRUTURA TIPO CSTCC CIRCUITO SIMPLES TRIANGULAR
ESPAÇAMENTO CONVENSIONAL
Um cabo pára-raios central
Tensão nominal 138 kV
h – altura mínima do condutor inferior ao solo, em metros.
Apêndice C 171
APÊNDICE C2 – Silhueta da estrutura
ESTRUTURA TIPO CSTRC CIRCUITO SIMPLES TRIANGULAR
ESPAÇAMENTO REDUZIDO
Um cabo pára-raios central
Tensão nominal 138 kV
h – altura mínima do condutor inferior ao solo, em metros.
Apêndice C 172
APÊNDICE C3 – Silhueta da estrutura
ESTRUTURA TIPO CSTPC CIRCUITO SIMPLES TRIANGULAR
ESPAÇAMENTO COMPACTO
Um cabo pára-raios central
Tensão nominal 138 kV
h – altura mínima do condutor inferior ao solo, em metros.
Apêndice C 173
APÊNDICE C4 – Silhueta da estrutura
ESTRUTURA TIPO CDPC1P CIRCUITO DUPLO PARALELO
ESPAÇAMENTO CONVENSIONAL
Um cabo pára-raios central
Tensão nominal 138 kV
h – altura mínima do condutor inferior ao solo, em metros.
Apêndice C 174
APÊNDICE C5 – Silhueta da estrutura
ESTRUTURA TIPO CDPR1P CIRCUITO DUPLO PARALELO
ESPAÇAMENTO REDUZIDO
Um cabo pára-raios central
Tensão nominal 138 kV
h – altura mínima do condutor inferior ao solo, em metros.
Apêndice C 175
APÊNDICE C6 – Silhueta da estrutura
ESTRUTURA TIPO CDPP1P CIRCUITO DUPLO PARALELO
ESPAÇAMENTO COMPACTO
Um cabo pára-raios central
Tensão nominal 138 kV
h – altura mínima do condutor inferior ao solo, em metros.
OBS: A seqüência de fases é modificada de modo a permitir uma maior aproximação dos
condutores na horizontal.
Apêndice C
176
APÊNDICE C7 – Silhueta da estrutura
ESTRUTURA TIPO CSHSP CIRCUITO SIMPLES
ESPAÇAMENTO CONVENCIONAL
Sem cabo pára-raios
Tensão nominal 69 kV
h – altura mínima do condutor inferior ao solo, em metros.
Apêndice D 177
ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE SUBTRANSMISSÃO
UTILIZANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
APÊNDICE D
SOLUÇÃO POR MEIO DO MÉTODO DE CONTORNO
Apêndice D 178
APÊNDICE D – Solução por meio do método de contorno.
Sendo a equação válida num domínio unidimensional
bV =∇2 (A.1)
1002
2
≤≤=− xbdx
Vd
Onde b é uma função de x , conhecida. Considerando um método de contorno:
02
2
=Γ∂∂
−Γ+Ω−Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫∫∫∫ΓΓΩΩ
dnwVdwbwdd
dxwdV E (A.2)
Tendo as seguintes condições de contorno: VV = em 0=x e EE ==dxdf em 1=x .
Aplicando as condições de contorno na equação (A.2):
[ ] 01
0
10
1
02
2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−+Ω−Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫∫ n
wVwbwdddx
wdVx
E (A.3)
Para se ter definidos apenas ao longo do contorno, ou seja para eliminar da formulação
a equação de domínio do lado esquerdo da equação acima adota-se de tal forma que
satisfaça uma das duas condições descritas no item anterior. Nesse caso, adotando-se
EeV
w
( )jxxb ,δ−= , sendo ( )jxx,δ a função Delta de Dirac, a função deve ser tal que satisfaça a
seguinte equação diferencial:
w
( ) 10,2
2
≤≤−= xxxdx
wdjδ (A.4)
Uma solução da equação anterior sem considerar as condições de contorno, é dada por:
Apêndice D 179
jj
j
xxsexxxsex
w>≤
⟨= (A.5)
Aplicando a função Delta de Dirac na equação (A.3), tem-se:
[ ] ( jx
xVnwVwbwd =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
−+Ω− ∫1
0
10E ) (A.6)
Considerando xb −= e também as condições de contorno: 0=V para e 0=x 1=x , a
equação (A.6) resulta em:
[ ] [ ] ( jxVwwxwd =−+Ω∫ 01
1
0
EE )
)
(A.7)
Substituindo (A.5) na equação(A.7):
[ ] [ ] ( jxj
j
xj
xVwwwdxxdx =−+Ω+Ω ∫∫ 01
1
0
2 EE (A.8)
Porém, de acordo com a equação (A.5), 0=w para 0=x e jxw = para . Portanto, a
equação (A.8) resulta em:
1=x
( jjxj
j
xj
xVxwdxxdx =+Ω+Ω ∫∫ 1
1
0
2 E ) (A.9)
Resolvendo as integrais na equação (A.9), chega-se:
( ) 1
3
62Ej
jjj x
xxxV +−= (A.10)
A fim de se obter o valor de , considere a seguinte condição de contorno: para 1E 0=V 1=x .
Assim, fazendo-se na equação (A.10), resulta em: 1=jx
Apêndice D 180
( ) 061
21
1 =+−= EjxV (A.11)
Da equação acima, obtém-se o valor de 311 −=E , que corresponde ao valor exato da
variável, já que nenhuma aproximação foi introduzida para u. Substituindo-se esse valor de
na equação (A.10) chega-se a seguinte expressão, que fornece os valores exatos de V em
qualquer ponto do domínio:
1E
( )66
3jj
j
xxxV −= (A.12)
Uma outra forma de se chegar à expressão (A.12) é adotando uma solução fundamental w
que, além de satisfazer a equação (A.4), satisfaça também as condições de contorno: 0=w
para e . Assim será adotada para w a seguinte solução: 0=x 1=x
( )( ) jj
jj
xxsexxxxsexx
w>−≤−
⟨=11
(A.13)
Nesse caso, levando-se em conta a equação (A.13), a equação (A.7) resulta em:
( ) ( ) ( )∫∫∫ Ω−+Ω−=Ω=1
0
21
0
11xj
j
xj
jj wdxxxdxxxwdxV (A.14)
Resolvendo as integrais, chega-se a:
( )66
3jj
j
xxxV −= (A.15)
A equação (A.15) é igual a equação (A.12). Soluções fundamentais desse tipo, isto é, que
satisfazem tanto a equação diferencial quanto as condições de contorno, são chamadas
funções de Green.
Apêndice E 181
ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE SUBTRANSMISSÃO
UTILIZANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
APÊNDICE E
EXEMPLO NUMERICO DO PROGRAMA CALCMEC
Apêndice E 182
APÊNDICE E – EXEMPLO
***************************************************************************
Este exemplo tem por objetivo descrever o funcionamento do programa CALCMEC e
mostrar quais dados são utilizados em cada subrotina.
Para este exemplo foi considerado um caso hipotético de um contorno triangular, o
qual foi dividido em três elementos de contorno. Esta divisão não tem por objetivo representar
corretamente o contorno em si, mas permitir que o exemplo fosse calculado manualmente.
Figura E1 – Exemplo de um contorno triangular.
Figura E2 – Divisão do contorno em elementos
Apêndice E 183
Dados do exemplo:
• Número de elementos de contorno – 3,
• Número de superfícies de contorno – 1,
• Potencial na superfície de contorno – 10 V.
Variáveis utilizadas no exemplo:
• N – número de nós no contorno,
• L – número de pontos no domínio,
• M – número de superfícies de contorno,
• NC – número do ultimo no de cada superfície de contorno,
• X e Y – coordenadas dos pontos extremos de cada elemento,
• XM e YM – coordenadas dos pontos nodais ou funcionais de cada elemento,
• G e H – matrizes de influência,
• FI – vetor com o potencial em cada elemento,
• CX e CY – coordenada dos pontos no domínio.
A nomenclatura utilizada é a mesma do programa.
Considerando o exemplo, temos:
• 3=N
• 0=L
• 1=M
• [ ]3=NC
• [ ]010=X
• [ ]100=Y
• [ ]101010=FI
Todos estes dados são obtidos no arquivo de entrada.
Apêndice E 184
Com estes dados os valores das matrizes G e H podem ser calculados. Inicialmente
deve-se calcular o ponto nodal de cada elemento de contorno.
⇒ Cálculo do ponto nodal ou funcional ( XM e YM ), que esta no meio de cada elemento
de contorno:
Primeiramente devem-se repedir os valores do primeiro coeficiente dos vetores X e Y :
[ ][ ]
[ ][ ]0100
0010
100010
==
⇓
==
YX
YX
Após isto os valores de XM e YM podem ser calculados com a seguinte fórmula:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
12
1 ++=
++=
jYjYjYMjXjXjXM
Sendo que j deve variar de 1 até 3, sendo que é o número de elementos de contorno.
Fazendo isto:
N
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]05,05,0[
02
002
1333
5,02
012
1222
5,02
102
1111
=
=+
=++
=
=+
=++
=
=+
=++
=
XM
XXXM
XXXM
XXXM
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
]5,05,00[
5,02
012
1333
5,02
102
1222
02
002
1111
=
=+
=++
=
=+
=++
=
=+
=++
=
YM
YYYM
YYYM
YYYM
Após o cálculo do ponto nodal de cada elemento do contorno, pode-se iniciar o cálculo dos
coeficientes das matrizes G e H . Inicialmente serão calculados os coeficientes da diagonal
principal, sendo utilizado o a integração analítica descrito no trabalho.
Apêndice E 185
( )
( ) iNSj
jjNSj
Kih
LLig
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
0
12
ln2
2
π
As equações de e G H podem ser reescritas da seguinte forma:
21
2== i
j KL
SR
As matrizes G e H foram multiplicadas por π2 para simplificar as equações:
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) π==
−⋅==
ihiih
SRSRigiigNSj
NSj
,
ln12,
SR – representa o comprimento de cada elemento ( )jL dividido por 2,
( ) ( ) ( )2
1212 22 YYXXiSR
−+−=
2X e 1X – representa os nós extremos de cada elemento.
⇒ Para o elemento 1=i , ( ) ( )( ) ( ) 1221
011===+
===XXiX
XXiX
( ) ( )( ) ( ) 0221
011===+
===YYiY
YYiY
( ) ( ) ( )5,0
20010
122
=−+−
=SR
( ) ( )( )( )( ) π=
=−⋅=
1,1693147,11,1
5,0ln15,021,1
hgg
⇒ Para o elemento 2=i , ( )( ) 023
112====
XXXX
( )( ) 123
012====
YYYY
Apêndice E 186
( ) ( ) ( )70710678,0
20110
222
=−+−
=SR
( ) ( )( )( )( ) π=
=−⋅=
2,29043426341,12,2
70710678,0ln170710678,022,2
hgg
⇒ Para o elemento 3=i , ( )( ) 024
013====
XXXX
( )( ) 024
113====
YYYY
( ) ( ) ( )5,0
21000
322
=−+−
=SR
( ) ( )( )( )( ) π=
=−⋅=
3,3693147,13,3
5,0ln15,023,3
hgg
Agora serão calculados os termos de fora da diagonal principal, para isto será
necessário utilizar a integração numérica. Para fazer a integração numérica será utilizado o
método da quadratura de Gauss.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∑
∑
=
=
=
=
Ng
igigigNSig
jNSj
Ng
igigigNSig
jNSj
WiVL
ig
WiL
ih
1
*
1
*
,2
,2
ξφξ
ξφξE
NS – número de pontos nodais por elemento,
Ng – número de pontos de Gauss utilizados pelo método da quadratura de Gauss,
ig – varia de 1 até , Ng
igW – são os argumentos definidos em função do número de pontos de Gauss,
igξ - são os coeficientes, definidos em função do número de pontos de Gauss.
Apêndice E 187
As equações integrais acima estão escritas em termo de coordenadas homogêneas,
para permitir a aplicação do método da quadratura de Gauss.
As equações de G e H podem ser reescritas da seguinte forma:
( )( )
( )DISTRAr
E
RArV
k
k
2*
*
1COS21
1ln1ln21
−=−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
απ
π
As matrizes G e H foram multiplicadas por π2 para simplificar as equações:
( )( )
( )
( ) ∑
∑
=
=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⋅−=
4
1
4
12
.1ln,
.1,
kK
K
kK
k
SLWRA
jig
SLWDISTRA
jih
SL – representa o comprimento de cada elemento ( )jL dividido por 2,
RA – distância entre os pontos i e o ponto de Gauss.
DIST – distância entre o ponto de aplicação da função impulsiva até uma linha tangente ao
elemento.
k – varia os pontos de Gauss, sendo que para este trabalho foram utilizados 4 pontos de
Gauss.
⇒+
=2
22 AYAXSL ( )( )12
12YYAYXXAX
−=−=
( )AXAYTA
TAXTAYYPXPTADIST =⇒
+
⋅−+−⋅=
111
2
Se AX for igual à zero, pode ser simplificado. DIST
1XXPDIST −=
( ) ( ) ( ) ( )YPYXPXYPYXPXSIG −⋅−−−⋅−= 1221
SIG – determina a direção normal de , sendo que se for negativo DIST SIG DISTDIST −= ,
e se for igual ou maior que zero não se altera o valor de . DIST
Apêndice E 188
( )
( ) BYAYkYCO
BXAXkXCO
K
K
+⋅=
+⋅=
ξ
ξ
2
2 ⇒( )( ) 212
212YYBYXXBX
+=+=
( ) ( )( ) ( )( ) 22 KYCOYPKXCOXPKRA −+−=
⇒ Para 1=i e 2=j
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
0231112
=====+
===
XPiXMXXjX
XXjX
( ) ( )( ) ( )( ) 0
1231012
=====+
===
YPiYMYYjY
YYjY
( )( ) 101
110=−=−=−=
AYAX
( ) ( )
22
211 22
=+−
=SL 11
1−=
−=TA
( )( )
3535534,011
11005,012
=+−
⋅++−⋅−=DIST
Determinação da direção normal:
( ) ( ) ( ) ( )DISTDIST
SIG=
=−⋅−−−⋅−= 5,0005,00015,01
Agora se devem variar os pontos de Gauss para calcular G e H .
Faz k variar de 1 até 4
o Para 1 =k
86113631,01 =ξ 34785485,01 =W
( )
( ) 930568,02
01211
0694318,02
10211
1
1
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 02535166,11015,01 22 =−+−= YCOXCORA
Apêndice E 189
( )( )
006158028,02234785485,0
02535166,11ln.1ln1
0827165486,012234785485,035355339,0
02535166,11.11
11
2121
−=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
=⋅⋅⋅−=⋅−=
SLWRA
g
h
SLWDISTRA
h
o Para 2=k
86113631,02 −=ξ 34785485,02 =W
( )
( ) 0694318,02
01212
9305680,02
10212
2
2
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 43613039,02025,02 22 =−+−= YCOXCORA
2041097889,02234785485,0
43613039,01ln2
4571991054,02234785485,035355339,0
43613039,012 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 3= k
33998104,03 =ξ 65214515,03 =W
( )
( ) 66999052,02
01213
33000948,02
10213
3
3
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 69121926,03035,03 22 =−+−= YCOXCORA
17029678,02265214515,0
69121926,01ln3
3412342505,02265214515,035355339,0
69121926,013 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 4=k
33998104,04 −=ξ 65214515,04 =W
Apêndice E 190
( )
( ) 33000948,02
01214
66999052,02
10214
4
4
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 37121831,04045,04 22 =−+−= YCOXCORA
45696987,02265214515,0
37121831,01ln4
1831110183,12265214515,035355339,0
37121831,014 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
Efetuando a soma dos valores de e h em cada ponto de Gauss, temos: g
( )( ) 0642609,243212,1
8252184,043212,1−=+++==+++=
hhhhHggggG
⇒ Para 1=i e 3=j
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
0241013
=====+
===
XPiXMXXjX
XXjX
( ) ( )( ) ( )( ) 0
0241113
=====+
===
YPiYMYYjY
YYjY
( )( ) 110
000−=−==−=
AYAX
( ) ( )
21
210 22
=−+
=SL 0=AX
5,005,01 =−=−= XXPDIST
Determinação da direção normal:
( ) ( ) ( ) ( )DISTDIST
SIG=
=−⋅−−−⋅−= 5,0015,00005,00
Agora se devem variar os pontos de Gauss para calcular G e H .
Faz k variar de 1 até 4
o Para 1 =k
Apêndice E 191
86113631,01 =ξ 34785485,01 =W
( )
( ) 069431845,02
102
101
02
002
001
1
1
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 5047977625,01015,01 22 =−+−= YCOXCORA
( )( )
1188963355,05,034785485,05047977,0
1ln.1ln1
3412740207,01
5,034785485,05,0504797762,0
1.11
11
2121
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
=⋅⋅⋅−=⋅−=
SLWRA
g
h
SLWDISTRA
h
o Para 2=k
86113631,02 −=ξ 34785485,02 =W
( )
( ) 930568155,02
102
102
02
002
002
2
2
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 0563887026,12025,02 22 =−+−= YCOXCORA
0095409988,05,034785485,060563887026,1
1ln2
0779274697,05,034785485,05,060563887026,1
12 2
−=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 3= k
33998104,03 =ξ 65214515,03 =W
( )
( ) 33000948,02
102
103
02
002
003
3
3
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 599087854,03035,03 22 =−+−= YCOXCORA
Apêndice E 192
1670623133,05,065214515,0599087854,0
1ln3
4542586940,05,065214515,05,0599087854,0
13 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 4=k
33998104,04 −=ξ 65214515,04 =W
( )
( ) 66999052,02
102
104
02
002
004
4
4
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 835994794,04045,04 22 =−+−= YCOXCORA
0584103237,05,065214515,0835994794,0
1ln4
2332797985,05,065214515,05,0835994794,0
14 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
Efetuando a soma dos valores de g e h em cada ponto de Gauss, temos:
( )( ) 10674,143213,1
334828,043213,1−=+++==+++=
hhhhHggggG
⇒ Para 2=i e 1=j
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
1221011
=====+
===
XPiXMXXjX
XXjX
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
0221011
=====+
===
YPiYMYYjY
YYjY
( )( ) 000
101=−==−=
AYAX
( ) ( )
21
201 22
=+
=SL 0==AXAYTA
( )( )
5,01
5,0
10
0005,05,002
=−
=+
⋅−+−⋅=DIST
Determinação da direção normal:
Apêndice E 193
( ) ( ) ( ) ( )DISTDIST
SIG=
=−⋅−−−⋅−= 5,05,005,015,005,00
Agora se devem variar os pontos de Gauss para calcular G e H .
Faz k variar de 1 até 4
o Para 1 =k
86113631,01 =ξ 34785485,01 =W
( )
( ) 02
002
001
930568155,02
012
011
1
1
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 6598400837,015,015,01 22 =−+−= YCOXCORA
( )( )
0723116787,05,034785485,0326598400837,0
1ln.1ln1
1997379935,01
5,034785485,05,0326598400837,0
1.11
11
2121
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
=⋅⋅⋅−=⋅−=
SLWRA
g
h
SLWDISTRA
h
o Para 2=k
86113631,02 −=ξ 34785485,02 =W
( )
( ) 02
002
002
069431845,02
012
012
2
2
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 6598400837,025,025,02 22 =−+−= YCOXCORA
0723116784,05,034785485,0326598400837,0
1ln2
1997379935,05,034785485,05,0326598400837,0
12 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 3= k
Apêndice E 194
33998104,03 =ξ 65214515,03 =W
( )
( ) 02
002
003
66999052,02
012
013
3
3
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 5281067854,035,035,03 22 =−+−= YCOXCORA
2081832431,05,065214515,0995281067854,0
1ln3
5845757319,05,065214515,05,0995281067854,0
13 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 4=k
33998104,04 −=ξ 65214515,04 =W
( )
( ) 02
002
004
33000948,02
012
014
4
4
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 995281067854,045,045,04 22 =−+−= YCOXCORA
2081832431,05,065214515,0995281067854,0
1ln4
5845757319,05,065214515,05,0995281067854,0
14 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
Efetuando a soma dos valores de g e h em cada ponto de Gauss, temos:
( )( ) 5686274508,143211,2
5609898433,043211,2−=+++==+++=
hhhhHggggG
⇒ Para 2=i e 3=j
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
0241013
=====+
===
XPiXMXXjX
XXjX
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
0241113
=====+
===
YPiYMYYjY
YYjY
Apêndice E 195
( )( ) 110
000−=−==−=
AYAX
( ) ( )
21
210 22
=−+
=SL 0=AX
5,005,01 =−=−= XXPDIST
Determinação da direção normal:
( ) ( ) ( ) ( )DISTDIST
SIG=
=−⋅−−−⋅−= 5,05,015,005,005,00
Agora se devem variar os pontos de Gauss para calcular G e H .
Faz k variar de 1 até 4
o Para 1 =k
86113631,01 =ξ 34785485,01 =W
( )
( ) 069431845,02
102
101
02
002
001
1
1
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 6598400837,015,015,01 22 =−+−= YCOXCORA
( )( )
0723116784,05,034785485,06598400837,0
1ln.1ln1
997379935,11
5,034785485,05,06598400837,0
1.11
11
2121
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
=⋅⋅⋅−=⋅−=
SLWRA
g
h
SLWDISTRA
h
o Para 2=k
86113631,02 −=ξ 34785485,02 =W
( )
( ) 930568155,02
102
102
02
002
002
2
2
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 6598400837,025,025,02 22 =−+−= YCOXCORA
Apêndice E 196
0723116784,05,034785485,06598400837,0
1ln2
997379935,15,034785485,05,06598400837,0
12 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 3= k
33998104,03 =ξ 65214515,03 =W
( )
( ) 33000948,02
102
103
02
002
003
3
3
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 5281067854,035,035,03 22 =−+−= YCOXCORA
2081832431,05,065214515,05281067854,0
1ln3
5845757319,05,065214515,05,05281067854,0
13 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 4=k
33998104,04 −=ξ 65214515,04 =W
( )
( ) 66999052,02
102
104
02
002
004
4
4
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 5281067854,045,045,04 22 =−+−= YCOXCORA
2081832431,05,065214515,05281067854,0
1ln4
5845757319,05,065214515,05,05281067854,0
14 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
Efetuando a soma dos valores de g e h em cada ponto de Gauss, temos:
( )( ) 5686274508,143213,2
5609898433,043213,2−=+++==+++=
hhhhHggggG
Apêndice E 197
⇒ Para 3=i e 1=j
( ) ( )( ) ( )( ) 0
1221011
=====+
===
XPiXMXXjX
XXjX
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
0221011
=====+
===
YPiYMYYjY
YYjY
( )( ) 000
101=−==−=
AYAX
( ) ( )
21
201 22
=+
=SL 0==AXAYTA
( )( )
5,01
5,0
10
0005,0002
=−
=+
⋅−+−⋅=DIST
Determinação da direção normal:
( ) ( ) ( ) ( )DISTDIST
SIG=
=−⋅−−−⋅−= 5,05,00015,0000
Agora se devem variar os pontos de Gauss para calcular G e H .
Faz k variar de 1 até 4
o Para 1 =k
86113631,01 =ξ 34785485,01 =W
( )
( ) 02
002
001
930568155,02
012
011
1
1
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 0563887026,115,0101 22 =−+−= YCOXCORA
( )( )
0095409988,05,034785485,00563887026,1
1ln.1ln1
0779274697,01
5,034785485,05,00563887026,1
1.11
11
2121
−=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
=⋅⋅⋅−=⋅−=
SLWRA
g
h
SLWDISTRA
h
o Para 2=k
Apêndice E 198
86113631,02 −=ξ 34785485,02 =W
( )
( ) 02
002
002
069431845,02
012
012
2
2
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 5047977625,025,0202 22 =−+−= YCOXCORA
1188963355,05,034785485,05047977625,0
1ln2
3412740260,05,034785485,05,05047977625,0
12 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 3= k
33998104,03 =ξ 65214515,03 =W
( )
( ) 02
002
003
66999052,02
012
013
3
3
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 8359947947,035,0303 22 =−+−= YCOXCORA
0584103234,05,065214515,08359947947,0
1ln3
2332797980,05,065214515,05,08359947947,0
13 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 4=k
33998104,04 −=ξ 65214515,04 =W
( )
( ) 02
002
004
33000948,02
012
014
4
4
=+
+⋅−
=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 599087854,045,0404 22 =−+−= YCOXCORA
Apêndice E 199
1670623133,05,065214515,0599087854,0
1ln4
4542586939,05,065214515,05,0599087854,0
14 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
Efetuando a soma dos valores de g e h em cada ponto de Gauss, temos:
( )( ) 1067399876,143211,3
334827973,043211,3−=+++==+++=
hhhhHggggG
⇒ Para 3=i e 2=j
( ) ( )( ) ( )( ) 0
0231112
=====+
===
XPiXMXXjX
XXjX
( ) ( )( ) ( )( ) 5,0
1231012
=====+
===
YPiYMYYjY
YYjY
( )( ) 101
110=−=−=−=
AYAX
( ) ( )
22
211 22
=+−
=SL 11
1−=
−=TA
( )( )
3535534,011
1105,0012
=+−
⋅++−⋅−=DIST
Determinação da direção normal:
( ) ( ) ( ) ( )DISTDIST
SIG=
=−⋅−−−⋅−= 5,0005,00015,01
Agora se devem variar os pontos de Gauss para calcular G e H .
Faz k variar de 1 até 4
o Para 1 =k
86113631,01 =ξ 34785485,01 =W
Apêndice E 200
( )
( ) 930568,02
01211
0694318,02
10211
1
1
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 43613039,015,0101 22 =−+−= YCOXCORA
( )( )
2041097889,02234785485,0
43613039,01ln.1ln1
4571991046,012234785485,035355339,0
43613039,01.11
11
2121
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
=⋅⋅⋅−=⋅−=
SLWRA
g
h
SLWDISTRA
h
o Para 2=k
86113631,02 −=ξ 34785485,02 =W
( )
( ) 0694318,02
01212
9305680,02
10212
2
2
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 0253516602,125,0202 22 =−+−= YCOXCORA
0061580287,02234785485,0
0253516602,11ln2
0827165463,02234785485,035355339,0
0253516602,112 2
−=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 3= k
33998104,03 =ξ 65214515,03 =W
( )
( ) 66999052,02
01213
33000948,02
10213
3
3
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 3712183101,035,0303 22 =−+−= YCOXCORA
Apêndice E 201
4569698698,02265214515,0
3712183101,01ln3
1831101567,12265214515,035355339,0
3712183101,013 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
o Para 4=k
33998104,04 −=ξ 65214515,04 =W
( )
( ) 33000948,02
01214
66999052,02
10214
4
4
=+
+⋅=
=+
+⋅−
=
ξ
ξ
YCO
XCO
( ) ( )( ) ( )( ) 691219266,045,0404 22 =−+−= YCOXCORA
1702967847,02265214515,0
691219266,01ln4
3412342440,02265214515,035355339,0
691219266,014 2
=⋅⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−=⋅⋅⋅−=
g
h
Efetuando a soma dos valores de e h em cada ponto de Gauss, temos: g
( )( ) 0642600516,243212,3
8252184147,043212,3−=+++==+++=
hhhhHggggG
Após os cálculos dos coeficientes, as matrizes G e H podem ser montadas.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
693147,18252184,03348279,05609898,090434263,15609898,03348279,08252184,0693147,1
G
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=π
ππ
0642609,21067399,15686274,15686274,11067399,10642609,2
H
Apêndice E 202
Uma vez que as matrizes G e H obtém se o sistema:
[ ] [ ] XGFIH ⋅=⋅
Onde FI é o vetor do potencial no contorno, que é conhecido e X é o vetor do campo
elétrico no contorno, que é desconhecido e que queremos encontrar.
O sistema acima pode ser reescrito de modo a facilitar a aplicação do método da eliminação
de Gauss. Como H e FI são conhecidos é não contém incógnitas a multiplicação pode ser
efetuada, e a matriz G a partir daqui será chamada de matriz : A
[ ] [ ]
XAF
XGFIH
⋅=⇓
⋅=⋅
Sendo que:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=⋅=
2940814641,00433785359,02940814641,0
FIHF
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
693147,18252184,03348279,05609898,090434263,15609898,03348279,08252184,0693147,1
GA
Agora o método da eliminação de Gauss será aplicado ao sistema.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2940814641,00433785359,02940814641,0
693147,18252184,03348279,05609898,090434263,15609898,03348279,08252184,0693147,1
3
2
1
XXX
Apêndice E 203
Com o método da eliminação de Gauss obtém-se um sistema triangular equivalente ao
sistema linear anterior, que é mostrado a baixo.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2930859325,01408164439,02940814641,0
4442474,1004500513,06309233,103348279,08252184,0693147,1
3
2
1
XXX
A partir deste sistema é fácil obter os valores das incógnitas.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2029333204,01423407622,02029333204,0
3
2
1
XXX
O vetor X apresenta a resposta para o exemplo, uma vez que o potencial e o campo
elétrico no contorno são conhecidos em todos os pontos, pode-se facilmente calcular o
potencial e o campo em qualquer ponto no domínio.
Abaixo é apresentado o arquivo de saída com o resultado do programa para o exemplo
mostrado detalhadamente neste apêndice, onde se pode observar que os resultados são os
mesmos.
****************************************************************** EXEMPLO PASSO A PASSO DADOS NUMERO DE ELEMENTOS DE CONTORNO = 3 NUMERO DE PONTOS NO DOMINIO ONDE A FUNÇÃO E CALCULADA = 0 NUMERO DE SUPERFICIES DE CONTORNOS = 1 ULTIMONO DE CADA CONTORNO = 3, ****************************************************************** COORDENADAS DOS PONTOS NODAIS NO CONTORNO PONTO X Y 1 0.00000E+00 0.00000E+00 2 0.10000E+01 0.00000E+00
Apêndice E 204
3 0.00000E+00 0.10000E+01 CONDICOES DE CONTORNO NO POTENCIAL ELETRICO 1 0.10000E+02 2 0.10000E+02 3 0.10000E+02 ****************************************************************** RESULTADOS PONTOS NODAIS DO CONTORNO X Y POTENCIAL CAMPO ELETRICO 0.50000E+00 0.00000E+00 0.10000E+02 -0.20293E+00 0.50000E+00 0.50000E+00 0.10000E+02 0.14234E+00 0.00000E+00 0.50000E+00 0.10000E+02 -0.20294E+00 ******************************************************************
Apêndice F 205
ESTUDO DE CAMPO ELÉTRICO EM LINHA DE SUBTRANSMISSÃO
UTILIZANDO O
MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
APÊNDICE F
PROGRAMA EM MATLAB PARA DISCRETIZAÇÃO DOS
CONDUTORES
Apêndice F 206
APÊNDICE F – Programa em MATLAB para discretização dos condutores.
%**************************************************************************************** %DISCRETIZAÇAO DO CONTORNO DOS CONDUTORES E DO CABO PARA-RAIOS %**************************************************************************************** div = 32; %NUMERO DE ELEMENTOS DE CONTORNO AO QUAL O CONDUTOR SERA DIVIDIDO raio=(16.28/2)/1000; %RAIO DO CONDUTOR %VETORES COM A POSIÇAO DOS CONDUTORES dl=[2 0 -2]; h=[(10) (10) (10)]; s=size(h) %**************************************************************************************** %CONTUDOR REAL %**************************************************************************************** for N=1:s(2) centroc=[dl(N) h(N)]; angle = (2*pi)/div; cx=raio+centroc(1); cy=centroc(2); p1=[cx cy]; pA1(1,:)=p1; for i=1:(div-1) x=cos(-angle*i)*raio + centroc(1); y=sin(-angle*i)*raio + centroc(2); j=i+1; pA1(j,:)=[x y]; end px=pA1(:,1); py=pA1(:,2); hold on grid plot(px,py,'o') plot(px,py) end %**************************************************************************************** %CONDUTOR IMAGEM %**************************************************************************************** for N=1:s(2) centroc=[dl(N) -h(N)]; angle = (2*pi)/div; cx=raio+centroc(1); cy=centroc(2); p1=[cx cy]; pA2(1,:)=p1; for i=1:(div-1) x=cos(-angle*i)*raio + centroc(1); y=sin(-angle*i)*raio + centroc(2); j=i+1; pA2(j,:)=[x y]; end px=pA2(:,1); py=pA2(:,2); plot(px,py,'x') plot(px,py) end
Apêndice F 207
%**************************************************************************************** %MATRIZ COM A DISCRETIZAÇAO DOS CONDUTORES saida=[pA1 pA2] %****************************************************************************************
