PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE … · é menos custosa computacionalmente, justiﬁcando sua utilização em larga escala pela indústria. Buscando-se elevar a

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

O USO DE BASE DE DADOS DNS PARA

CONSTRUÇÃO DE MODELOS RANS

UTILIZANDO DECOMPOSIÇÕES

TENSORIAIS E COEFICIENTES DE

BASES NORMALIZADAS

FELIPE AUGUSTO VENTURA DE BRAGANÇA ALVES

JULHO DE 2014

FELIPE AUGUSTO VENTURA DE BRAGANÇAALVES

O USO DE BASE DE DADOS DNS PARACONSTRUÇÃO DE MODELOS RANS

UTILIZANDO DECOMPOSIÇÕES TENSORIAIS ECOEFICIENTES DE BASES NORMALIZADAS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção do tí-tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-cânica

Orientador(es): Roney Leon Thompson, Ph.D. (PGMEC/UFF)Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, JULHO DE 2014

O USO DE BASE DE DADOS DNS PARACONSTRUÇÃO DE MODELOS RANS

UTILIZANDO DECOMPOSIÇÕES TENSORIAIS ECOEFICIENTES DE BASES NORMALIZADAS

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Roney Leon Thompson (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Felipe Bastos de Freitas Rachid (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Aristeu da Silveira Neto (Ph.D.)Universidade Federal de Uberlândia – FEMEC/UFU

Agradecimentos

Agradeço ao meus orientadores, os professores Roney e Luiz Eduardo, pelospreciosos ensinamentos passados e pela confiança depositada em mim. Foi um

verdadeiro privilégio ter dois excelentes professores e pesquisadores comoorientadores e como exemplo profissional.

Não há agradecimentos que sejam suficientes aos meus pais, Fernanda e Augusto.São anos de ajuda e sacrifícios que me possibilitaram chegar até aqui (e seguir

adiante!). Espero ser tão bom para meus filhos quanto eles são para mim.Agradeço a minha esposa, Nur, minha companheira e mola propulsora. Ainda estaria

na graduação se não fosse ela!Agradeço ao amigo Leandro, minha dupla oficial dos trabalhos nas matérias do curso.

Sua ajuda foi fundamental para terminar todas matérias neste final do curso!Agradeço também a ajuda dos colegas do LMTA, principalmente na utilização do

LATEX.Agradeço a Deus, por todos os dons recebidos(incluindo tudo escrito acima). Que eu

faça render os talentos que me foram dados.

iv

Resumo

Apesar do avanço dos últimos anos do entendimento de problemas que envolvem esco-

amentos turbulentos pela utilização das abordagens Simulação Numérica Direta (DNS)

e Simulação de Grandes Escalas (LES), a abordagem de Média de Reynolds (RANS)

ainda terá uma sobrevida significativa. Embora de menor acurácia, a abordagem RANS

é menos custosa computacionalmente, justificando sua utilização em larga escala pela

indústria. Buscando-se elevar a acurácia de modelos RANS, bases de dados DNS po-

dem ser utilizadas para a construção ou aprimoramento destes modelos.

Neste trabalho, dados DNS de diversos grupos são explorados de duas formas. A

primeira, busca quantificar o erro intrínseco embutido no componente y x do tensor de

Reynolds dos dados DNS em canais. A segunda, aplicada em dados DNS de canais e

camada limite, propõe modelos que estendem a hipótese de Boussinesq explorando o

tensor não-persistência-de-deformação-linear, ortogonal à parte simétrica do gradiente

de velocidade e responsável por incorporar no modelo uma contribuição do caráter

rotacional do escoamento turbulento. Nesta segunda abordagem, coeficientes norma-

lizados são comparados com os tradicionais coeficientes advindos de uma abordagem

k-ε.

Os resultados deste trabalho mostram que o erro intrínseco do componente y x do

tensor de Reynolds advindo de dados DNS embora pequeno, produz significativo im-

pacto no cálculo da velocidade média, elevando a importância de uma análise de incer-

tezas neste cenário e proporcionando uma medida da acurácia do tensor de Reynolds

que pode ser utilizada para critérios de convergência de DNS em canais. Além disto,

a inclusão do tensor não-persistência-de-deformação-linear foi de fundamental impor-

tância para a captura de efeitos anisotrópicos do tensor de Reynolds. Outra importante

conclusão é que os coeficientes originados de bases normalizadas são, pelo menos para

os casos testados, mais universais e mais bem comportados do que aqueles originados

da abordagem k-ε.

v

Abstract

Despite the advances achieved in understandment of problems involving turbulent

flows due to utilization of Direct numerical simulation (DNS) and Large Eddy simu-

lation (LES), the RANS approach will still be used for a reasonable time. Although

not very accurate, the use of RANS models is computationally cheap, which justifies

it’s large industrial use. DNS data bases can be used to produce or enhance existing

models so as to achieve better accuracy to RANS models.

This study uses DNS data-base from several research groups to make two analyses.

The first one aims to quantify the intrinsic error from the Reynolds stress tensor y x

components given from direct numerical simulation from channel flows. The second

uses DNS data from channel flows and zero-pressure gradient turbulent boundary layer

flows to produce RANS models using tensorial basis that extend the Boussisnesq hy-

pothesis. It is uses the non-persistence-of-linear-straining tensor P , which is ortogho-

nol to the straining tensor D , to compute the turbulent flow rotational effects on the

model. Also, new normalized dimensionless coefficients are compared to traditional

k-ε coefficients.

The study results shows that, although being small, the Reynolds stress tensor y x

components intrinsic error leads to significant errors on the velocity field calculation.

This follows that this analysis could be used as a accuracy checker for the Reynolds

stress tensor and as a convergence criteria to channel flow DNS simulations. Besides

that, the results from this study also show the important role of the non-persistence-

of-linear-straining tensor P for describing the anisotropic Reynolds Stress tensor A.

Another important conclusion is that, for the flow cases tested, the normalized dimen-

sionless coefficients has a more universal and smooth behavior that those generated by

the k-ε couple.

vi

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Modelos de turbulência RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Modelos Lineares de Viscosidade Turbulenta . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Hipótese de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Modelos Não Lineares de Viscosidade Turbulenta . . . . . . . 7

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Formulação Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Escoamentos Turbulentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Escoamento em um canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1.1 Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1.2 Perfil de velocidade e Lei logarítmica . . . . . . . . . 13

2.1.2 Escoamento de Camada Limite Turbulenta . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2.1 Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Verificação dos resultados de simulação DNS de escoamento

em canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Modelos de turbulência gerados a partir de decomposições Co-

axial - Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2.1 Decomposição Proporcional x Ortogonal . . . . . . 21

2.2.2.2 Decomposição Em-Fase x Fora-de-Fase . . . . . . . 22

2.2.3 Obtenção dos Modelos e Cálculo dos Coeficientes . . . . . . . 24

vii

2.2.3.1 Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3.2 Modelo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3.3 Modelo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.3.4 Modelo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3.5 Modelo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3.6 Modelo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4 Obtenção dos coeficientes adimensionais . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.4.1 Escalonamento da turbulência baseada em tensores

cinemáticos normalizados . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1 Dados DNS utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1 Escoamento turbulento em um canal . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.2 Escoamento de camada limite turbulenta . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Análise do erro intrínseco do componente Ry x dos dados DNS do canal 34

3.2.1 Dados DNS de Moser, 1999 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1.1 Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1.2 Reτ = 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1.3 Reτ = 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 Dados DNS de Thais, 2009 [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2.1 Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2.2 Reτ = 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2.3 Reτ = 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2.4 Reτ = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2.5 Reτ = 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3 Dados DNS de Hoyas, 2006 [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.3.1 Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.3.2 Reτ = 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3.3 Reτ = 950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3.4 Reτ = 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii

3.2.3.5 Reτ = 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.4 Dados DNS de Bernardini, 2014 [4] . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.4.1 Reτ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.4.2 Reτ = 550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.4.3 Reτ = 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.4.4 Reτ = 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.4.5 Reτ = 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.5 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Modelos de turbulências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.1 Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.2 Modelo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3 Modelo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.4 Modelo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.5 Model V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.6 Modelo VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Sugestões para trabalhos futuros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ix

Lista de Figuras

2.1 Esquema de escoamento em um canal. Adaptado de POPE, 2000 [5] . 10

2.2 Contribuição dos termos viscosos e turbulentos na tensão de cisalha-

mento total τx y . Dados DNS de THAIS, 2009 [2] para Reτ = 395 (linha

pontilhada) e Reτ = 1000 (linha contínua) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Perfil de velocidade média de escoamento em um canal: linha contí-

nua, Dados DNS de Thais, 2009 [2] para Reτ = 1000; linha pontilhada,

U+ = y+; linha traço-ponto, U+ = 10.41 ln y++5.2. . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Esquema de escoamento de camada limite em placa plana. Adaptado

de POPE, 2000 [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Perfil de velocidade média de um escoamento de camada limite turbu-

lenta: linha contínua, Dados DNS de Sillero, 2013 [6] para Reθ = 5000;

linha pontilhada, U+ = y+; linha traço-ponto, U+ = 10.41 ln y++5.2. . . 19

3.1 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Moser,1999 [1].

(a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e através do

campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões . . 34


(a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensão de

Reynolds RDN Sx y (—). (b) Diferença percentual entre as velocidades . . 35










x




3.7 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Thais,

2009 [2]. (a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e

através do campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as

tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


2009 [2]. (a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através

da tensão de Reynolds RDN Sx y (—). (b) Diferença percentual entre as

velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39




tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40




tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

xi




tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.15 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais.



3.16 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais.



3.17 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Hoyas,



tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44




tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

xii




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46




tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47




tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.25 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas.



3.26 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas.



xiii

3.27 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Bernardini,



tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51




tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51




velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.31 Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 1000 de Bernar-

dini, 2014 [4]. (a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×)

e através do campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre

as tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


dini, 2014 [4]. (a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e atra-

vés da tensão de Reynolds RDN Sx y (—). (b) Diferença percentual entre

as velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53




as tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

xiv




as velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54




as tensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55




as velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.37 Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento em um canal

de Reτ = 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.38 Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento de camada

limite turbulenta de Reθ = 6500 (Reτ ≈ 2000). . . . . . . . . . . . . . . 59

3.39 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela

energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε. . . . . . . . . . . . . . 60

3.40 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela

energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ. . . . . . . . 60

3.41 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela


3.42 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela

energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ. . . . . . . . 62

3.43 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado

pela energia cinética turbulenta k e pela dissipação ε. . . . . . . . . . . 62

3.44 Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado

pela energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ. . . . . . 63

xv

3.45 Coeficiente adimensional para o tensor D2 do Modelo II escalonado


3.46 Coeficiente adimensional para o tensor D2 do Modelo II escalonado

pela energia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ. . . . . . 64

3.47 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado


3.48 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado

pela energia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-

de-deformação-linear p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.49 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado


3.50 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado



3.51 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pela


3.52 Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pela

energia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-de-

deformação-linear p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.53 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado


3.54 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado



3.55 Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado


3.56 Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado



xvi

3.57 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado


3.58 Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado



xvii

Lista de Tabelas

2.1 Regiões de parede e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Moser et

al [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Thais et al [2] 32

3.3 Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Hoyas et

al [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Bernardini

et al [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5 Parâmetros da simulação DNS de escoamento de camada limite turbu-

lenta de Sillero et al [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

xviii

Capítulo 1

Introdução

Turbulência, na Mecânica dos Fluidos, é um regime de escoamento de um fluido e é

essencialmente transiente, rotacional, tridimensional e irregular, ou caótico. Portanto,

o movimento de cada ponto, ou partícula, do fluido é imprevisível. Este comporta-

mento turbulento está normalmente associado a um elevado número de Reynolds. A

turbulência é um fenômeno ainda não completamente compreendido ou bem estrutu-

rado cientificamente e, ainda assim, está comumente presente nos diversos campos de

aplicação da mecânica dos fluidos sendo, portanto, um campo de intensa pesquisa há

mais de um século.

As equações que modelam a movimentação dos fluidos newtonianos são aquelas

propostas por Navier-Stokes, tanto para um escoamento laminar quanto para um tur-

bulento. Em um escoamento turbulento, em função das características descritas acima,

a quantidade de informação contida no campo de velocidades é tão vasta que se torna

praticamente impossível resolver diretamente as equações de Navier-Stokes. Portanto,

um dos campos de pesquisa na Turbulência é o estudo voltado à formulação de mo-

delos matemáticos para descrição dos escoamentos turbulentos que sejam de possível

solução e, ainda assim, que possam predizer com relativa acurácia as propriedades dos

escoamentos turbulentos.

A simulação numérica de escoamentos turbulentos é uma área de interesse tanto

para pesquisas científicas quanto para Indústria. No método da simulação numérica

1

direta (Direct Numerical Simulation, DNS) as equações de Navier-Stokes são resolvi-

das numericamente sem nenhum tratamento estatístico. Todas as escalas de turbulência

são resolvidas. O método DNS apresenta alto custo computacional que aumenta pro-

porcionalmente a Re9/4 [5], sendo assim, só é utilizável para números de Reynolds

baixos a moderados e geometrias simples. Apesar disto, é um método muito utilizado

para pesquisas, devido à quantidade e qualidade das informações obtidas através dele.

Outro método que apresenta resultados satisfatórios, sob o ponto de vista da acurácia,

é o método da Simulação de Grandes Escalas (Large Eddy Simulation, LES). Esse mé-

todo calcula o campo de velocidades filtrado U (x, t ), onde os turbilhões de menores

escalas não são calculados, sendo que sua influência é incluída através de um modelo.

Este método pode ser utilizado para maiores valores de Re, porém, o custo computaci-

onal ainda é alto.

1.1 Motivação

Na indústria os métodos DNS e LES não são muito utilizados devido ao alto custo

computacional, o que significa potência de computador e tempo de simulação. Em

seu lugar, são utilizados modelos RANS que calculam as quantidades médias do esco-

amento, baseados nas equações de Navier-Stokes com médias de Reynolds (Reynolds

Averaged Navier-Stokes, RANS). Estas equações são obtidas pela decomposição da ve-

locidade em uma soma U (x, t ) = ⟨U (x, t )⟩+u(x, t ), onde o primeiro termo é uma média

temporal da velocidade e o segundo a flutuação em torno desta média. As equações

RANS são similares às equações de Navier-Stokes originais, com a particularidade do

acréscimo de um novo termo, derivado das flutuações da velocidade, chamado tensor

de Reynolds. Os termos do tensor de Reynolds são desconhecidos e o tensor precisa

ser modelado. A maneira como isto é feito gera os diferentes modelos RANS.

Apesar de não apresentar resultados com a mesma acurácia que os métodos DNS

e LES, os modelos de turbulência RANS merecem atenção por sua versatilidade, baixo

custo computacional e amplo uso industrial.

Nas décadas de 80 e 90 havia esperança de uma completa substituição dos mode-

2

los RANS pelo método LES, devido principalmente ao rápido aumento de capacidade

computacional e desenvolvimentos de novos algarítmicos. Porém, uma estimativa do

custo computacional da simulação de um escoamento ao redor de uma asa completa

tridimensional [7] apontava que sua realização só seria possível por volta do ano 2045.

Como alternativa viável foi apresentado um método híbrido RANS-LES, o Detached

Eddy Sumilation(DES). Nos métodos híbridos, nas regiões onde o método LES deman-

daria alta resolução para malha, por exemplo na camada limite, são utilizados modelos

RANS. Com isso, o custo computacional da simulação é reduzido significativamente.

Desde então, o método DES e outros métodos híbridos foram acolhidos e a demanda

por modelos RANS persiste [8].

Portanto, o estudo e desenvolvimento de modelos de turbulência RANS é um campo

de pesquisa relevante.

1.2 Modelos de turbulência RANS

As equações que regem o campo de velocidade médio em um escoamento incompres-

sível turbulento derivam das leis da conservação de massa e de momentum. A lei da

conservação de massa gera a equação (1.1) e a conservação de momentum a equa-

ção (1.2).

∇.⟨U ⟩ = 0 (1.1)

∂⟨U ⟩∂t

+⟨U ⟩.∇⟨U ⟩ =− 1

ρ∇⟨p⟩+ν∇2⟨U ⟩−∇.⟨uu⟩ (1.2)

O operador linear ⟨.⟩ produz a média de Reynolds da quantidade em questão, dada

por:

⟨ϕ⟩ = 1

T

t0+T∫t0

ϕdt (1.3)

Onde ϕ pode ser um escalar ou tensores de qualquer ordem.

3

O termo ⟨uu⟩ é o termo desconhecido que precisa ser modelado. Deste termo é

definido o tensor de Reynolds R :

R =−⟨uu⟩ (1.4)

O tensor A é definido como a parte anisotrópica do tensor de Reynolds, dado por:

A = R − tr (R)

3I = R − 2k

3I (1.5)

Onde k é a energia cinética turbulenta k = ⟨u.u⟩/2 e I é a matriz identidade.

É somente a parte anisotrópica do tensor de Reynolds que transporta momentum, a

parte isotrópica pode ser absorvida pela pressão modificada p = ⟨p⟩+2k/3. A equa-

ção (1.2) pode, então, ser reescrita como:

∂⟨U ⟩∂t

+⟨U ⟩.∇⟨U ⟩ =− 1

ρ∇p +ν∇2⟨U ⟩+∇.A (1.6)

1.2.1 Modelos Lineares de Viscosidade Turbulenta

A primeira relação do termo desconhecido paras equações RANS foi proposta por

Boussinesq em 1877.

Em um escoamento turbulento em um canal, somente a componente Ax y =−⟨uv⟩ é

relevante na equação (1.6). Em analogia à tensão cisalhante de um fluido newtoniano,

Boussinesq introduz a viscosidade turbulenta (eddy viscosity) νT para modelagem de

⟨uv⟩, dada pela equação (1.7).

⟨uv⟩ =−νTd⟨U ⟩

dy(1.7)

A equação (1.7) foi generalizada para uma formulação tensorial por Kolmogorov

em 1947, gerando o modelo para o tensor de Reynolds mais simples ainda utilizado.

A = 2νT D (1.8)

4

Onde D é o tensor taxa de deformação média D = (∇⟨U ⟩+∇T⟨U ⟩)/2.

A equação (1.8) representa a Hipótese de Boussinesq e é a base para os mode-

los lineares de viscosidade turbulenta (Linear Eddy Viscosity Models, LEVM). Nestes

modelos é necessária somente a definição da viscosidade turbulenta νT .

A viscosidade turbulenta νT pode ser vista como uma difusividade de momen-

tum [9] determinada por uma velocidade macroscópica e uma escala de comprimento

características. Sendo assim, a viscosidade turbulenta é dada pelo produto de uma

escala de velocidade por uma escala de comprimento turbulentas. A escala de veloci-

dade normalmente utilizada é obtida pela raiz quadrada da energia cinética turbulenta

k. Então, νT é expresso por:

νt =C ′µk

12 l =C ′′

µkn Z m (1.9)

Onde l é uma escala de comprimento turbulento e Cµ um fator adimensional. Alter-

nativamente, qualquer quantidade Z pode ser usada em conjunto com k para produzir

uma escala turbulenta, sendo apenas necessário escolher os expoentes n e m de ma-

neira a se obter a dimensão de viscosidade cinemática [m2s−1] no produto.

Os LEVM são subclassificados pelo número de equações diferenciais extras resol-

vidas para determinar a viscosidade turbulenta νT em cada modelo. Um LEVM de uma

equação muito utilizado, especialmente para escoamentos aerodinâmicos, é o modelo

Spalart-Allmaras [10], onde é resolvida diretamente uma equação diferencial da evo-

lução no tempo da viscosidade turbulenta.

Os LEVM’s mais utilizados são os de duas equações. Equações diferenciais são

utilizadas para calcular dois parâmetros a serem utilizados na equação (1.9). Um dos

pares mais utilizado é o k-ε, onde são resolvidas equações da evolução no tempo da

energia cinética turbulenta k e da dissipação ε. Nestes modelos são necessários tra-

tamentos especiais [11–13] na região perto da parede, normalmente funções de amor-

tecimento. Outro par utilizado é o k-ω, onde no lugar da dissipação ε é utilizada a

dissipação específica ω, de dimensão [s−1], sendo, portanto, um tempo característico

da turbulência. As formulações k-ε e k-ω apresentam maior eficácia em diferentes

5

regiões do escoamento. Pensando em unificar as qualidades das duas formulações,

Menter[14] criou o modelo SST k-ω, onde é utilizada a formulação k-ω nas regiões

de camada limite e a formulação k-ε nas regiões de escoamento livre. O modelo SST

é uilizado amplamente em problemas de engenharia.

1.2.2 Hipótese de Boussinesq

Todos LEVM’s se sustentam na hipótese de Boussinesq. Esta hipótese pode ser vista

em duas partes. A primeira suposição, chamada hipótese intrínseca, é que o tensor

de Reynolds anisotrópico A é determinado pelo tensor taxa de deformação D em cada

local e tempo de escoamento, ou seja:

A = f (D) (1.10)

A segunda suposição, a hipótese específica, é que a relação entre os tensores A e D

é dada pela equação (1.8), ou seja, a relação é linear através da viscosidade turbulenta

νT .

Experimentos demonstram que a hipótese intrínseca não tem validação geral. Em

casos de escoamento com rápida distorção axissimétrica o tensor A apresenta com-

portamento similar a um sólido elástico, sendo determinado antes pelo histórico de

deformação do fluido do que por sua taxa de deformação. Neste sentido, a turbulência

se comporta mais parecida com um fluido viscoelástico do que com um fluido newto-

niano. Porém, para escoamentos viscométricos, onde as características turbulentas e

a taxa de deformação evoluem lentamente, seguindo o campo de velocidade médio, a

hipótese intrínseca é razoável.

Já hipótese específica não é razoável nem mesmo para escoamentos viscométricos

simples. Mesmo no caso de escoamento em um canal a hipótese não é válida [5].

Nos escoamentos turbulento estatisticamente puramente cisalhantes, as componentes

normais do tensor taxa de deformação são nulos (Dxx = D y y = Dzz = 0), já os com-

ponentes normais de A são significativamente diferentes um dos outros, produzindo

diferenças de tensões normais.

6

Sendo assim, os modelos lineares de viscosidade turbulenta não apresentam bons

resultados para escoamentos mais complexos, como escoamentos com recirculação,

jatos, sobre superfícies curvas e em esteiras.

1.2.3 Modelos Não Lineares de Viscosidade Turbulenta

Os modelos de turbulência LEVM são os mais simples, no outro extrema da comple-

xidade estão os modelos da tensão de Reynolds (Reynolds Stress Models, RSM). Nos

modelos RSM é resolvida uma equação de evolução no tempo e no espaço do tensor de

Reynolds R , sendo assim, cada componente do tensor é descrito por uma equação dife-

rencial. Os modelos RSM não são restritos pela hipótese de Boussinesq e por isso são

capazes de prever com maior fidelidade o tensor de Reynolds. Apesar disso, a equação

de evolução do tensor de Reynolds tem três tensores desconhecidos de grande influên-

cia que precisam ser modelados para solução das equação diferenciais. A modelagem

destes tensores é complexa e existem várias abordagens possíveis.

No meio termo de complexidade estão os modelos não lineares de viscosidade

turbulenta (Non Linear Eddy Viscosity Models, NLEVM). Lumley [15] e Pope [16]

foram os primeiros a propor uma formulação não-linear mais completa para o tensor

de Reynolds anisotrópico A. Nestas formulações a relação entre o tensor A e o tensor

D , da hipótese de Boussinesq, é expandida por meio de teoremas de representação da

forma A (D) ou A (D ,W ), onde W é o tensor taxa de rotação. Por exemplo:

A =α0I +α1D +α2D2 (1.11)

Os termos não-lineares proporcionam ao modelo a anisotropia que gera as diferen-

ças de tensão normal em cisalhamento puro, suprimindo um dos principais defeitos na

hipótese de Boussinesq. Os modelos NLEVM podem ser vistos como uma forma mais

geral da viscosidade turbulenta [9].

Os coeficientes que multiplicam os tensores de um modelo NLEVM são produzidos

da mesma maneira que para a viscosidade turbulenta νT , por análise dimensional e

parâmetros específicos da turbulência. Desta maneira, os NLEVM são normalmente

7

acoplados aos modelos de duas equações k-ε ou k-ω. No entanto, a determinação

destes coeficientes utilizando resultados DNS ou experimentais é um desafio que se

coloca na modelagem NLEVM.

1.3 Objetivos

O presente trabalho tem por objetivo analisar a eficácia e o erro intrínseco de diferen-

tes modelos lineares e não lineares de viscosidade turbulenta propostos. Além disso,

propõe novos pares de parâmetros para obtenção da viscosidade turbulenta νT e dos

outros coeficientes da base utilizada no modelo.

Os coeficientes dos modelos são calculados através de dados obtidos de simulação

DNS para casos de escoamento turbulento em um canal e de camada limite turbulenta

com gradiente de pressão nulo para diferentes números de Reynolds. Os coeficientes

adimensionais são comparados quanto a universalidade(menor variação de caso a caso)

e quanto ao perfil das curvas obtidas, especialmente nas regiões próxima a parede, onde

são utilizadas as funções de amortecimento nos modelos de turbulência.

Uma segunda análise é feita para verificar a consistência dos dados provenientes de

diferentes simulações DNS realizadas do caso de escoamento em um canal. Os dados

obtidos de simlações DNS, especialmente as componentes da tensão de Reynolds, são

normalmente utilizados para verificação e confecção de modelos de turbulência. Pe-

las equações analíticas que governam o escoamento em um canal, é analisado o quão

consistentes são o campo de velocidade e o tensor de Reynolds obtidos na simula-

ção. Também é analisado o efeito do erro intrínseco dos dados da tensão de Reynolds

obtidos da simulação DNS ao calcular analiticamente o campo de velocidade no esco-

amento em um canal.

8

Capítulo 2

Formulação Teórica

Neste capítulo são apresentados os fundamentos teóricos necessários para compreen-

são das análises realizadas.

Na seção 2.1 são apresentados os tipos e características dos escoamentos utilizados

neste trabalho para obtenção dos modelos de turbulência e para análise de consistência

dos dados da simulação DNS.

A seção 2.2 apresenta a metodologia das análises realizadas. A primeira parte versa

sobre a análise de consistência dos dados DNS de escoamentos turbulentos em um ca-

nal. A segunda parte apresenta a metodologia para obtenção dos modelos para a parte

anisotrópica do tensor de Reynolds A e de seus coeficientes. A terceira parte apresenta

os pares de parâmetros utilizados para obtenção dos coeficientes adimensionais para

os modelos obtidos.

2.1 Escoamentos Turbulentos

2.1.1 Escoamento em um canal

O escoamento em um canal é esquematizado na figura 2.1. O duto retangular tem altura

h = 2d , é considerado longo (L À d) e apresenta razão de aspecto elevada (b À d). O

escoamento médio é predominantemente na direção x. Próximo à entrada do duto, em

x = 0, existe uma zona de desenvolvimento do escoamento. Depois de uma distância

9

suficientemente grande o escoamento torna-se estatisticamente independente de x. Os

componentes da velocidade nas direções x, y e z são ⟨U ⟩, ⟨V ⟩ e ⟨W ⟩ respectivamente.

Fig. 2.1: Esquema de escoamento em um canal. Adaptado de POPE, 2000 [5]

Como b À d , longe das paredes laterais o escoamento pode ser considerado estatis-

ticamente independente de z. Além disso, a velocidade média na direção z é ⟨W ⟩ = 0.

O canal é limitado por paredes em y = 0 e y = 2d , sendo que o campo de velo-

cidades médio é simétrico em relação ao plano y = d . Para um fluxo constante, o

escoamento é de regime permanente.

A partir destas considerações, a equação da continuidade para escoamento em um

canal se reduz a:

d⟨V ⟩dy

= 0 (2.1)

Onde ⟨V ⟩ é a velocidade média na direção y . Como ⟨V ⟩y=0 = 0, então ⟨V ⟩ = 0 em

todo comprimento y do canal.

O balanço de momentum na direção y é:

0 =−d⟨v2⟩dy

− 1

ρ

∂⟨p⟩∂y

(2.2)

Sabendo que ⟨v2⟩y=0 = 0, da integração da equação (2.2) obtém-se:

⟨v2⟩+⟨p⟩ = pw (x) (2.3)

Onde pw = ⟨p⟩ (x,0,0). Sabendo que ⟨v2⟩ é função somente de y , derivando a

10

equação (2.3) em relação a x obtém-se:

∂⟨p⟩∂x

= dpw

dx(2.4)

O balanço de momentum na direção x, já com a informação obtida da equação (2.4),

é:

0 = νd2⟨U ⟩dy2

− d⟨uv⟩dy

− 1

ρ

dpw

dx(2.5)

Sabendo que a tensão cisalhante total é dada por:

τx y = ρ(ν

d⟨U ⟩dy

−⟨uv⟩)

(2.6)

A equação (2.5) se reduz a:

dτx y

dy= dpw

dx(2.7)

Como um lado da equação (2.7) é função somente de y e o outro somente de x,

a igualdade só é possível caso as duas funções tenham valor constante (dτx y /dy =dpw /dx = c).

A tensão de cisalhamento τx y é antissimétrica em relação ao plano y = d , daí segue

que τx y (d) = 0.

Definindo a tensão cisalhante na parede como τw ≡ τx y (0), e visto que pela condi-

ção de não escorregamento na parede ⟨uv⟩y=0 = 0, τw é dado por:

τw ≡ τx y (0) = ρν(

d⟨U ⟩dy

)y=0

(2.8)

então a função de τx y é dada por:

τx y = τw

(1− y

d

)(2.9)

e a queda de pressão:

11

dpw

dx=−τw

d(2.10)

As equações (2.9) e (2.10) são válidas tanto para escoamento turbulento quanto

laminar. A diferença entre os escoamentos está na contribuição da tensão de Reynolds

na tensão total.

2.1.1.1 Parâmetros adimensionais

Os números de Reynolds utilizados para caracterizar o escoamento em canal são:

Re = U 2d

ν(2.11)

e

Re0 = U0d

ν(2.12)

onde U0 = ⟨U ⟩y=d é a velocidade média máxima do escoamento e U é a velocidade

de vazão:

U = 1

d

∫ d

0⟨U ⟩dy (2.13)

Tipicamento, o escoamento é considerado laminar para Re < 1350 e turbulento para

Re > 1800.

No escoamento turbulento as tensões viscosas são dominantes perto das paredes,

sendo assim, os parâmetros ν e τw desempenham papéis importantes nesta região.

Destes parâmetros é possível se obter escalas viscosas que definem as escalas de velo-

cidade e comprimento nesta região. A velocidade de atrito na parede é dada por:

uτ ≡√τw

ρ(2.14)

Deste parâmetro é obtido um número de Reynolds de parede:

12

Reτ ≡ uτd

ν(2.15)

e a escala de comprimento viscosa:

δv ≡ ν√

ρ

τw= ν

uτ(2.16)

A partir da escala de comprimento viscosa obtém-se uma medida de distância da

parede y em unidades de parede y+:

y+ ≡ y

δv= uτy

ν(2.17)

Comparando as equações (2.15) e (2.17) observa-se que o valor de y+ representa o

número de Reynolds Reτ local. Sendo assim, sua magnitude determina a importância

relativa entre os processos viscosos e turbulentos.

Da Eq. (2.6) observa-se que dois termos contribuem para formação da tensão de

cisalhamento total τx y . O primeiro termo é uma contribuição viscosa e o segundo uma

contribuição devida a turbulência do escoamento. A Fig. 2.2 demonstra a contribuição

de cada um dos desses termos na tensão de cisalhamento total para dois escoamentos

de canal diferentes, de Reτ = 395 e Reτ = 1000. É possível observar que as curvas

praticamente colapsam e que há regiões de y+ bem específicas para contribuição de

cada termo. Estas regiões são descritas na tabela 2.1.

2.1.1.2 Perfil de velocidade e Lei logarítmica

O escoamento plenamente desenvolvido em um canal é descrito completamente pela

queda de pressão infligida no duto, pela espessura 2d do duto e pelas propriedades do

fluido ρ e ν. Das equações (2.10) e (2.14) uτ é relacionado com a queda de pressão

por:

uτ =(−d

ρ

dpw

dx

)(2.18)

13

Fig. 2.2: Contribuição dos termos viscosos e turbulentos na tensão de cisalhamentototal τx y . Dados DNS de THAIS, 2009 [2] para Reτ = 395 (linha pontilhada)e Reτ = 1000 (linha contínua)

Portanto, o escoamento pode ser especificado completamente por uτ, d , ρ e ν.

Destas quantidades e da distância da parede y é possível produzir somente pares de

parâmetros adimensionais independentes. Consequentemente, qualquer informação

do escoamento pode ser escrito como função destas quantidades e de uma função uni-

versal adimensional.

Por conveniência, utilizando o par adimensional independente y/d e yuτ/ν= y/δv ,

podemos escrever o único componente do gradiente de velocidade média como:

d⟨U ⟩dy

= uτy

F

(y

δv,

y

d

)(2.19)

Onde F é uma função adimensional universal. Os termos adimensionais foram

escolhidos de maneira a produzir uma escala apropriada para região viscosa próxima à

parede (y/δv = y+) em y+ < 50 e uma escala apropriada para região externa (y/d = yh)

em y+ > 50, onde os efeitos viscosos são desprezíveis.

Admitindo que, para valores altos de Re, existe uma região próxima à parede

(yh ¿ 1) onde a velocidade média seja determinada inteiramente pela escala viscosa,

independentemente de d e U0. Então, nesta região a equação (2.19) se reduz a:

d⟨U ⟩dy

= uτy

FI(y+)

(2.20)

14

onde

FI(y+)= lim

yh→0F

(y+, yh

)(2.21)

Fazendo as substituições y = δv y+ e ⟨U ⟩ = uτU+ a equação (2.20) se torna

dU+

dy+ = 1

y+ F1(y+)

(2.22)

Daí, segue que

U+ = fw(y+)= ∫ y+

0

1

y ′ FI(y ′)dy ′ (2.23)

Portanto, para yh ¿ 1 a velocidade adimensional U+ é função somente de y+ .

Pela condição de não deslizamento fw (0) = 0 e pela equação (2.8) f ′w (0) = 1,

então, pela expansão de taylor em torno do ponto y+ = 0, ou seja, para y+ pequenos,

temos que

fw(y+)= y++O

(y+2) (2.24)

Portanto, na subcamada viscosa (y+ < 5) a relação entre a velocidade de parede U+

com a unidade de parede y+ pode ser considerada linear (U+ ≈ y+ ).

A relação descrita acima é válida para a subcamada viscosa, porém, ainda perto da

parede (yh ¿ 1), existe uma região em que a viscosidade do fluido tem pouco efeito no

escoamento (y+ À 1). Então a função FI deixa de depender de y+ e assume um valor

constante k−1. A equação (2.22) torna-se então:

dU+

dy+ = 1

k y+ (2.25)

Que pode ser integrada diretamente para

U+ = 1

kln y++B (2.26)

onde B é uma constante. Esta relação é chamada lei logarítmica da parede.

15

A figura 2.3 mostra o perfil de velocidades de uma simulação DNS de um esco-

amento de canal de Reτ 1000 e é possível observar a concordância com as relações

linear e logarítmica demonstradas acima.

5 10 20 30 40 50 60 70

y+

0

5

10

15

U+

Fig. 2.3: Perfil de velocidade média de escoamento em um canal: linha contínua, Da-dos DNS de Thais, 2009 [2] para Reτ = 1000; linha pontilhada, U+ = y+;linha traço-ponto, U+ = 1

0.41 ln y++5.2.

A região entre o comportamento linear e o logarítmico da velocidade média é cha-

mada de camada amortecida (Buffer layer).

A tabela 2.1 apresenta algumas das regiões observáveis em um escoamento turbu-

lento em um canal.

2.1.2 Escoamento de Camada Limite Turbulenta

O escoamento de camada limite em uma placa plana com gradiente de pressão nulo é

esquematizado na figura 2.4.

Um escoamento uniforme de velocidade constante U0 na direção x encontra na

posição x = 0 uma placa plana formada pela superfície y = 0. A velocidade média é

predominantemente na direção x sendo o campo de velocidade fora da camada limite

dado por U0(x). As estatísticas variam principalmente na direção y e são independen-

tes da direção z. O escoamento desenvolve-se continuamente na direção x, portanto

dependente de x e y . Os componentes da velocidade são U , V e W , sendo que ⟨W ⟩ = 0.

A espessura de camada limite δ(x) é definido como o valor de y onde a velocidade

média ⟨U (x, y = δ)⟩ = 0.99U0. Outros comprimentos característicos da região perto da

16

Tab. 2.1: Regiões de parede e suas propriedades

Região Localização Propriedades

Subcamadaviscosa

y+ < 5 A tensão cisalhante é predominantemente viscosa e otermo turbulento é desprezível. O perfil develocidade U+ é linear com y+ (U+ ≈ y+).

Camadaamortecida(Bufferlayer)

5 < y+ < 30 Região onde os termos viscosos e turbulentos são deigual magnitude. Transição entre perfil linear elogarítmico da velocidade média

Regiãoviscosa deparede

y+ < 50 Região onde a viscosidade afeta o perfil develocidade U+

Regiãoexterna

y+ > 50 Os efeitos da viscosidade no campo de velocidadeU+ são desprezíveis

Região de Leilogarítmica daparede

y+ > 30,A velocidade U+ assume perfil logarítmico.

yh < 0.3

Fig. 2.4: Esquema de escoamento de camada limite em placa plana. Adaptado dePOPE, 2000 [5]

parede são a espessura de deslocamento δ∗(x), dada por:

δ∗(x) =∫ ∞

0

(1− ⟨U ⟩

U0

)dy (2.27)

e a espessura de momento θ(x) dada por

θ(x) =∫ ∞

0

⟨U ⟩U0

(1− ⟨U ⟩

U0

)dy (2.28)

A espessura de deslocamento δ∗ está relacionada com a diminuição da vazão volu-

métrica próximo a placa devido a viscosidade e quantifica o deslocamento da linha de

17

corrente. Do mesmo modo, a espessura de momento θ está relacionado a diminuição

do fluxo de momentum devido a dissipação provocada pela viscosidade.

A equação da continuidade na camada limite se reduz a:

∂⟨U ⟩∂x

+ ∂⟨V ⟩∂y

= 0 (2.29)

O balanço de momentum na direção x, no caso de gradiente de pressão nulo e com

as aproximações de camada limite, é:

⟨U ⟩∂⟨U ⟩∂x

+⟨V ⟩∂⟨U ⟩∂y

= 1

ρ

∂τx y

∂y(2.30)

Onde τx y segue a mesma definição que no escoamento em um canal, dado pela

equação (2.6). Em y = 0 os termos cinemáticos são nulos e da equação (2.30) surge

uma condição de contorno para a tensão cisalhante:

(∂τx y

∂y

)y=0

=(∂2⟨U ⟩∂y2

)y=0

= 0 (2.31)

2.1.2.1 Parâmetros adimensionais

Do comprimento x e das espessuras definidas nos itens anteriores são definidos alguns

números de Reynolds:

Rex ≡ U0x

ν, Reδ ≡

U0δ

ν, Reδ∗ ≡

U0δ∗

ν, Reθ ≡

U0θ

ν(2.32)

No caso de um gradiente de pressão nulo (velocidade constante fora da camada

limite) o escoamento dentro da camada limite é laminar de x = 0 até um valor crítico

de Rex , onde começa a transição para o escoamento turbulento.

Da mesma maneira que no caso de escoamento em um canal, a partir da tensão

cisalhante na parede τw , são obtidas as escalas de parede. Na região perto da pa-

rede o escoamento de camada limnite turbulenta tem as mesmas propriedades que o

escoamento em um canal, apresentando as regiões de y+ descritas na tabela 2.1 e a

lei logarítmica. A figura 2.5 apresenta o perfil de velocidade obtido de uma simula-

18

ção DNS de um escoamento de camada limite turbulenta em Reθ 5000 e é possível

observar a validade da lei logarítmica da parede.

5 10 20 30 40 50 60 70

y+

0

5

10

15

U+

Fig. 2.5: Perfil de velocidade média de um escoamento de camada limite turbulenta:linha contínua, Dados DNS de Sillero, 2013 [6] para Reθ = 5000; linha ponti-lhada, U+ = y+; linha traço-ponto, U+ = 1

0.41 ln y++5.2.

2.2 Metodologia

2.2.1 Verificação dos resultados de simulação DNS de escoamento em canal

Em uma simulação DNS as equações de Navier-Stokes são resolvidas diretamente, com

isto, é possível se obter os campos médios do escoamento, inclusive as estatísticas de

segunda ordem, como o tensor de Reynolds.

No caso de escoamento turbulento em um canal o perfil de velocidade U(y)

é

definido por somente uma componente do tensor de Reynolds, a componente Rx y =Ax y = −⟨uv⟩. As equações (2.6) e (2.9) relacionam estes componentes da seguinte

maneira:

νd⟨U ⟩

dy+Rx y = τw

ρ

(1− y

d

)= u2

τ

(1− y

d

)(2.33)

Os dados DNS são normalmente apresentados em unidades de parede, onde os pa-

râmetros são adimensionalizados por uτ e δv . Fazendo as substituições U = uτU+,

y = δv y+ = y+ν/uτ e Rx y = u2τR+

x y na equação (2.33) encontra-se a relação adimensi-

onal descrita na equação (2.34).

19

νd⟨U ⟩

dy+Rx y = u2

τ

(1− y

d

)νu2

τ

ν

dU+

dy+ +u2τRx y = u2

τ

(1− νy+

uτd

)u2τ

(dU+

dy+ +R+x y

)= u2

τ

(1− y+

Reτ

)dU+

dy+ +R+x y = 1− y+

Reτ(2.34)

Com a equação (2.34) é possível analisar a consistência dos dados obtidos da si-

mulação DNS.

Na primeira análise o componente R+x y do tensor de Reynolds obtido da simulação

DNS,referido como RDN Sx y , é comparado com um calculado,referido como Rvel

x y , a partir

da equação (2.34) utilizando o campo de velocidade U+ , referido como U DN S , obtido

da simulação. Sendo assim, Rvelx y é calculado por:

Rvelx y = 1−

(dU DN S

dy+ + y+

Reτ

)(2.35)

A diferença percentual ∆R, calculada pela equação (2.36), quantifica o quanto o

valor obtido para o tensor de Reynolds da simulação DNS se distancia daquele que

obedece o perfil linear da tensão de cisalhamento para o campo de velocidade obtido

da simulação.

∆R = 1−RDN S

x y

Rvelx y

(2.36)

A segunda análise calcula o campo de velocidade U Re pela equação (2.34) através

do tensor de Reynolds RDN Sx y obtido da simulação DNS. A equação (2.34) fica então:

dU Re

dy+ = 1−(

y+

Reτ+RDN S

x y

)(2.37)

A equação (2.37) é integrada para obtenção do campo de velocidade:

20

U Re (y+)= (

y+− y+2

2Reτ

)−

∫ y+

0RDN S

x y (y ′)dy ′ (2.38)

A diferença percentual ∆U , calculada pela equação (2.39) quantifica o quanto um

campo de velocidade produzido pela tensão de Reynolds RDN Sx y se afasta do campo de

velocidade U DN S do qual foi calculada a própria tensão RDN Sx y .

∆U = U Re

U DN S−1 (2.39)

2.2.2 Modelos de turbulência gerados a partir de decomposições Coaxial -

Ortogonal

Os melhores coeficientes de uma base para representação do tensor de Reynolds são

calculados utilizando uma metodologia [17] baseada em duas decomposições tensori-

ais que serão descritas abaixo.

Estas decomposições surgem, em analogia a decomposição vetorial, da ideia de

decompor um tensor A em relação a B em uma soma de uma parte de A coaxial a B e

uma parte ortogonal a B , portanto:

A =PBA + PB

A (2.40)

Onde o tensor PBA é coaxial1 a B e o tensor PB

A é ortogonal2 a B . Diferentemente do

caso vetorial, esta decomposição não assume somente uma forma, mas duas, descritas

abaixo.

2.2.2.1 Decomposição Proporcional x Ortogonal

Nesta primeira decomposição a parte de A coaxial a B , da mesma maneira que no caso

vetorial, é assumida proporcional a B , ou seja:

PBA =αB (2.41)

1 O tensor PBA deve preservar o produto interno entre A e B . Portanto ⟨A,B⟩ = ⟨A,PB

A⟩2 Portanto, deve ter a seguinte propriedade: ⟨PB

A ,B⟩ = 0

21

Daí, sendo A e B tensores de segunda ordem simétricos, é possível decompor o

tensor A na soma:

A =αB +B⊥ (2.42)

Sendo B⊥ um tensor ortogonal a B .

O coeficiente α é calculado fazendo o produto interno3 dos dois lados da equa-

ção 2.42 com B . O resultado obtido é:

α= A : B

B : B(2.43)

Uma vez obtido o valor de α, o tensor B⊥ é calculado, então:

PBA = B⊥ = A −αB (2.44)

2.2.2.2 Decomposição Em-Fase x Fora-de-Fase

Conforme Thompson [18], é possível definir um tensor de quarta ordem 1B B como:

1B B =3∑

k=1eB

k eBk eB

k eBk (2.45)

Onde eBi são os autovetores unitários de B . Através deste tensor é possível decom-

por o tensor A em duas partes:

A =ΦBA + ΦB

A (2.46)

Sendo que:

ΦBA = [

1B B ]A (2.47)

e3 Para tensores simétricos o produto interno se reduz ao double dot product entre os tensores: ⟨A,B⟩ =

A : B

22

ΦBA =

[1δδ−1B B

]A (2.48)

Onde o operador [.] define uma operação linear de um tensor de quarta ordem T

sobre um de segunda ordem, mapeando-o em outro de segunda ordem, tal que:

A = [T]B ⇐⇒ Ai j =Ti j kl Bkl (2.49)

e 1δδ é um tensor identidade de quarta ordem, que mapeia um tensor de segunda

ordem nele mesmo.

As decomposições descritas nas equações (2.47) e (2.47) têm as seguintes proprie-

dades:

1. ΦBA e ΦB

A são ortogonais.

2. B e ΦBA são coaxiais.

3. B e ΦBA são ortogonais.

Portanto, a segunda decomposição possível é obtida admitindo-se PBA =ΦB

A e PBA =

ΦBA

Esta decomposição é chamada em-fase x fora-de-fase pois ΦBA é a parte de A que

compartilha4 os mesmos autovetores de B , por isso chamado de em fase com B . E ΦBA

a parte de A que possui autovetores diferentes de B , ou fora de fase com B .

Pelo teorema de Cayley-Hamilton5 ΦBA pode ser escrito como:

ΦBA =α0I +α1B +α2B 2 (2.50)

Com isso, os coeficientes α0, α1 e α2 são obtidos pelas equações 2.50 e 2.47.4 Um tensor de segunda ordem pode ter como autovetores: três vetores distintos; todos vetores de

um mesmo plano e o vetor ortogonal a este plano; ou ainda todos os vetores do ℜ3. No caso, é utilizadoo termo compartilhar para dizer que o conjunto dos autovetores de B está contido no conjunto dosautovetores de ΦB

A5 O teorema diz que uma matriz é um zero do seu polinômio característico. Com isto para qualquer

expoente n ≥ 3 e uma matriz E , E n = γ0I +γ1E +γ2E 2. Quando se sabe(ou pressupõe) que uma matrizé função de outra, por exemplo E = f (G), então E = ∑∞

n=0δnGn . Sabendo que qualquer E n pode serescrito como anteriormente, daí segue que a forma mais completa possível que uma matriz é função daoutra é E =α0I +α1G +α2G2

23

Os tensores ΦBA e ΦB

A também podem ser obtidos diretamente ao se representar o

tensor A na base formada pelos autovetores de B . Sendo A o tensor A escrito na base

dos autovetores de B :

A =

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

(2.51)

Então,

ΦBA =

a11 0 0

0 a22 0

0 0 a33

(2.52)

e

ΦBA =

0 a12 a13

a12 0 a23

a13 a23 0

(2.53)

As equações (2.47) e (2.48) produzem uma maneira formalizada matematicamente

de se seguir os passos acima, sem a necessidade da mudança da base vetorial de des-

crição dos tensores.

2.2.3 Obtenção dos Modelos e Cálculo dos Coeficientes

Para modelagem da parte anisotrópica do tensor de Reynolds são utilizados tensores

cinemáticos do escoamento. Tradicionalmente é utilizado o tensor taxa de deformação

D para modelagem, em analogia a parte anisotrópica do tensor das tensões τ.

Para estender a hipótese de Boussinesq, é importante escolher algum tensor que

possa complementar, a base simplificada linear com D . Em tese, o tensor vorticidade

W aparece como candidato, já que carrega uma informação relacionada com a carac-

terística rotacional do fluido. Porém, o fato deste tensor não ser invariante com relação

a transformações euclidianas, o desqualifica na composição de uma representação do

24

tensor de Reynolds [19]. Em Bacchi [20] uma série de argumentos relacionados à

discussão de tipos de escoamentos, da definição de vórtices e à oposição extensão

versus rotação de corpo rígido, mostrou a importância do tensor não-persistência-de-

deformação P na tradução dos efeitos rotacionais do escoamento. Este tensor é dado

por:

P = DW −W D (2.54)

Onde W =W −ΩD é o tensor vorticidade efetiva e ΩD é um tensor que representa

a taxa de rotação dos autovetores de D , formado por:

ΩD =3∑

i=1eD

i eDi (2.55)

Onde eDi são os autoversores de D .

Ao se deduzir o tesorΩD de W , este novo tensor passa a ser invariante com relação

a transformações euclidianas.

O tensor P é a parte fora-de-fase do tensor aceleração covariante de deformação,

M, em relação ao tensor taxa-de-deformação, D . É, portanto, responsável pela parte

de M que desafia a tendência ditada por D , constituindo-se em um termo que reforça

o modo elíptico do escoamento (em oposição ao modo hiperbólico) em uma filosofia

alinhada com as ideias de Haller [21]. Destaca-se ainda sua característica objetiva

além do fato de ser um tensor ortogonal a D e, portanto capaz de explorar uma parte

do espaço tensorial diferente do tensor taxa-de-deformação.

2.2.3.1 Modelo I

AI =αD (2.56)

O primeiro modelo obtido é correspondente à hipótese de Boussinesq, onde a parte

anisotrópica do tensor de Reynolds é proporcional ao tensor taxa de deformação D .

Para obtenção deste modelo é utilizada a decomposição proporcional - ortogonal,

descrita na equação 2.42. Então o tensor A é descrito como:

25

A =αD +D⊥ (2.57)

O valor de α é calculado por:

α= A : D

D : D(2.58)

2.2.3.2 Modelo II

AI I =α0I +α1D +α2D2 (2.59)

O segundo modelo é a forma mais completa que o tensor A pode ser escrito como

função somente do tensor taxa de deformação D , ou:

AI I =ΦDA (2.60)

Este modelo é obtido calculando a parte de A em fase com D , utilizando a decom-

posição descrita na equação 2.46:

A =ΦDA + ΦD

A (2.61)

Os coeficientes α0, α1 e α2 são calculados pelas equações 2.50 e 2.52.

2.2.3.3 Modelo III

AI I I =α0I +α1D +α2D2 +βP (2.62)

O modelo III é obtido utilizando primeiramente a parte de A em fase com D (equa-

ção 2.61). Da mesma maneira que no modelo II, os coeficientes α0, α1 e α2 são

calculados pelas equações 2.50 e 2.52. Em seguida, a parte de A fora de fase com D ,

o tensor ΦDA , é modelado utilizando sua parte proporcional ao tensor P :

ΦDA =βP +P⊥ (2.63)

Assim, a volar de β pode ser calculado por:

26

β= ΦDA : P

P : P(2.64)

2.2.3.4 Modelo IV

AIV =αD +βP (2.65)

O modelo IV é obtido utilizando a parte de A proporcional a D (equação 2.57).

Com isso, o valor deα é calculado da mesma maneira que para o modelo I(equação 2.58)

e o tensor D⊥ pode ser calculado por:

D⊥ = A −αD (2.66)

Em seguida, o valor de β é calculado modelando o tensor D⊥ como proporcional a

P :

D⊥ =βP +P⊥ (2.67)

então:

β= D⊥ : P

P : P(2.68)

2.2.3.5 Modelo V

AV =αD +β0I +β1P +β2P 2 (2.69)

O processo de obtenção do modelo V é parecido com do modelo IV. O coeficiente

α é calculado da mesma maneira(equação 2.58), porém,o tensor D⊥ é modelado como

em fase com P :

D⊥ =ΦPD⊥ + ΦP

D⊥ (2.70)

e

27

ΦPD⊥ =β0I +β1P +β2P 2 (2.71)

Então os coeficientes β0, β1 e β2 são calculados utilizando as equações 2.50 e 2.52.

2.2.3.6 Modelo VI

AV I =α0I +α1D +α2D2 +β0I +β1P +β2P 2 (2.72)

O modelo VI é a base mais completa utilizada neste estudo. A primeira etapa,

de obtenção dos coeficientes α0, α1 e α2, é a mesma descrita para o modelo II. Em

seguida, a parte do tensor A fora de fase com D é modelada como em fase com P :

ΦDA =ΦP

ΦDA+ ΦP

ΦDA

(2.73)

e

ΦPΦ

DA=β0I +β1P +β2P 2 (2.74)

Assim, os coeficientes β0, β1 e β2 podem ser obtidos pelas equações 2.50 e 2.52.

2.2.4 Obtenção dos coeficientes adimensionais

Conforme a seção 1.2.1, a viscosidade turbulenta νT é escalonada por um par de quan-

tidades características da turbulência, sendo o mais utilizado o par k-ε. O Modelo I

proposto neste trabalho é equivalente à hipótese de Boussinesq e, comparando as equa-

ções (1.8) e (2.56), a viscosidade turbulenta é dada por:

νT = α

2(2.75)

Utilizando o par k-ε para escalonar νT obtém-se:

νT =Cµk2

ε(2.76)

28

Uma vez calculado o valor de α pela equação (2.58), o coeficiente adimensional

Cµ pode ser calculado:

Cµ =α ε

2k2(2.77)

Da mesma maneira, utilizando k e ε, é possível obter escalas de turbulência para

adimensionalização de cada coeficiente de uma base tensorial utilizada como modelo.

Deste modo, o modelo VI, que é a base mais completa utilizada neste trabalho, pode

ser escrito como:

A =C I kI +2CDk2

εD +CD2

k3

ε2D2 +Cβ0kI +Cβ1

k3

ε2P +Cβ2

k5

ε4P 2 (2.78)

Com os valores de α0, α1, α2, β0, β1 e β2 todos coeficientes adimensionais C

baseados em k-ε são obtidos.

2.2.4.1 Escalonamento da turbulência baseada em tensores cinemáticos

normalizados

O tensor de Reynolds depende e é modelado a partir de tensores cinemáticos. Sendo

a hipótese de Boussinesq a abordagem mais simples, um novo par de parâmetros para

obtenção das escalas turbulentas pode ser obtido por uma abordagem igualmente sim-

ples. No lugar dos tensores cinemáticos usuais para modelagem de A, são utilizados

tensores cinemáticos normalizados.

Definindo o tensor taxa de deformação normalizado D como:

D = 1

γD (2.79)

Onde γ é a intensidade da taxa de deformação média:

γ=√

1

2D : D (2.80)

29

O tensor D é, portanto, adimensional. Utilizando o tensor D para um modelo linear

de tensor de Reynolds anisotrópico A, obtém-se:

A = 2ξD (2.81)

Onde ξ é um escalar e precisa ter dimensão de [m2s−2], a mesma dimensão que a

energia cinética turbulenta k. Portanto, ξ pode ser escalonado diretamente por k como:

ξ= CD k (2.82)

Utilizando as equações (2.79) e (2.82), a equação (2.81) pode ser reescrita como:

A = 2CDk

γD (2.83)

Que produz espontaneamente o par de fatores k-γ para obtenção da viscosidade ci-

nemática νT . Uma vez conhecido o valor de α do Modelo I, o coeficiente normalizado

CD é obtido:

CD =α γ

2k(2.84)

Os mesmos passos são seguidos para obtenção dos coeficientes adimensionais para

outras bases tensoriais. Seguindo estes passos, o modelo VI pode ser reescrito como:

A = C I kI +2CDk

γD + CD2

k

γ2D2 + Cβ0kI + Cβ1

k

pP + Cβ2

k

p2P 2 (2.85)

Onde p é a intensidade do tensor não-persistência-de-deformação-linear P . No-

vamente, com os valores de α0, α1, α2, β0, β1 e β2 todos coeficientes adimensionais

normalizados C baseados em k-γ são obtidos.

30

Capítulo 3

Resultados

3.1 Dados DNS utilizados

3.1.1 Escoamento turbulento em um canal

Para a análise de erro intrínseco do componente y x do tensor de Reynolds foram utili-

zados diversos dados de simulação DNS de escoamento em um canal.

Os primeiros dados analisados são os de Moser et al [1] para Reτ = 180, Reτ = 395

e Reτ = 590. Os parâmetros da simulação são apresentados na tabela 3.1.

Tab. 3.1: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Moser et al [1]

Channel Size Grid SizeReτ (Lx ×Lz)/d Nx ×Ny ×Nz d x+ d y+

max d z+

178.13 4π× 43π 128×129×128 17.7 4.4 5.9

392.24 2π×π 256×193×192 10.0 6.5 6.5587.19 2π×π 384×257×384 9.7 7.2 4.8

Em seguida são analisados os resultados de Thais et al [2] para Reτ = 180, Reτ

= 395, Reτ = 590 e Reτ = 1000. Os parâmetros desta simulação estão descritos na

tabela 3.2.

Também são analisados os resultados de Hoyas et al [3] para Reτ = 180, Reτ = 550,

Reτ = 950 e Reτ = 2000. Os parâmetros desta simulação estão descritos na tabela 3.3.

31

Tab. 3.2: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Thais et al [2]

Channel Size Grid SizeReτ (Lx ×Lz)/d Nx ×Ny ×Nz d x+ d y+ d z+

180 8π×1.5π 512×129×128 8.8 0.2 to 7.0 6.6395 8π×1.5π 1024×257×256 9.6 0.2 to 7.9 7.2590 8π×1.5π 1536×257×512 9.6 0.5 to 10.4 5.41000 6π×1.5π 1536×513×768 12.3 0.5 to 8.4 6.1

Tab. 3.3: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Hoyas et al [3]

Channel SizeReτ (Lx ×Lz)/d d x+ d y+

max d z+

186 12π×4π 8.9 6.1 4.5547 8π×4π 8.9 6.7 4.5934 8π×3π 9.2 7.6 3.8

2003 8π×3π 8.2 8.9 4.1

Por último, são analisados os resultados de Bernardini et al [4] para Reτ = 180, Reτ

= 550, Reτ = 1000, Reτ = 2000 e Reτ = 4000. Os parâmetros desta simulação estão

descritos na tabela 3.4.

Tab. 3.4: Parâmetros da simulação DNS de escoamento em canal de Bernardini et al [4]

Channel Size Grid Size

Reτ (Lx ×Lz)/d Nx ×Ny ×Nz d x+ (ν3/ε

)− 14 d y+

max d z+

550 6π×2π 1024×256×512 10.0 1.84 6.7999 6π×2π 2048×384×1024 9.2 1.84 6.1

2022 6π×2π 4096×768×2048 9.3 1.84 6.24079 6π×2π 8192×1024×4096 9.4 1.84 6.2

3.1.2 Escoamento de camada limite turbulenta

Para análise dos modelos do tensor anisotrópico de Reynolds propostos neste trabalho,

além dos dados de escoamento em um canal, também foram utilizados os dados da

32

simulação DNS de escoamento de camada limite turbulenta de gradiente de pressão

nulo realizada por Sillero et al [6]. Os parâmetros desta simulação estão descritos na

tabela 3.5.

Tab. 3.5: Parâmetros da simulação DNS de escoamento de camada limite turbulenta deSillero et al [6]

Box Size Grid SizeReθ (Lx ×Ly ×Lz)/θ Nx ×Ny ×Nz d x+ d y+

max d z+

1100-1968 535×29×88 6145×360×1536 6.1 0.30 4.14000-6500 547×29×84 15361×535×4096 7.0 0.32 4.07

33

3.2 Análise do erro intrínseco do componente Ry x dos dados DNS

do canal

A análise descrita na seção 2.2.1 foi realizada para quatro diferentes conjuntos de dados

de simulação DNS de escoamento em um canal. Os resultados obtidos para o perfil

de tensão de Reynolds Revelx y e para o campo de velocidades U Re são mostrados nas

subseções abaixo.

3.2.1 Dados DNS de Moser, 1999 [1]

3.2.1.1 Reτ = 180

As figuras 3.1 e 3.2 mostram o resultado da análise de consistência dos dados da simu-

lação DNS feita por Moser et al [1] para um escoamento com Reτ = 180.

Os perfis da tensão de Reynolds obtida pela simulação e da tensão de Reynolds

calculada a partir do campo de velocidade praticamente colapsam(figura 3.1a). Como

pode ser visto na figura 3.1b, a diferença percentual das duas tensões ao longo do canal

não ultrapassa os 2%, com exceção da parede e do meio do canal, onde a tensão tende

à zero e, portanto, há uma singularidade.

0 50 100 150

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 50 100 150

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)

Fig. 3.1: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Moser,1999 [1].(a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e através do campode velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões

Os perfis de velocidade também demonstram ser muito parecidos(figura 3.2a). As

curvas praticamente colapsam até y+ ≈ 75, depois disso é perceptível um abandono de

34

U Re dos dados DNS, porém ainda pequeno. Há um crescimento do erro a parir de y+

≈ 75 até o centro do canal porém, novamente, o erro percentual ao longo do canal não

ultrapassa os 2%,

Portanto, os dados da simulação DNS com Reτ = 180 são consistentes.

0 50 100 150

y+

0

10

UDNS

URe

(a)

0 50 100 150

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)

Fig. 3.2: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Moser,1999 [1].(a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensão de Rey-nolds RDN S

x y (—). (b) Diferença percentual entre as velocidades

3.2.1.2 Reτ = 395


lação DNS para o escoamento com Reτ = 395.

Na figura 3.3a o perfil da tensão de Reynolds Revelx y , calculada a partir do campo de

velocidade, parece se ajustar bem aos dados DNS. Na figura 3.3b observa-se que Revelx y

é aproximadamente 1% menor que os dados DNS até que y+ ≈ 180 o erro se torna

positivo. Em y+ ≈ 280 o erro se torna novamente negativo e aumenta continuamente

para -10% no meio do canal.

Na figura 3.4a observa-se que y+ ≈ 50 o perfil de velocidade U Re diverge do obtido

na simulação DNS. Além da mudança do valor da velocidade, observa-se que a forma

da curva sofre alteração, apresentando mudança de concavidade(sinal da segunda de-

rivada) em y+ ≈ 180 . Conforme a figura 3.4b, o valor absoluto do erro da velocidade

aumenta até 5% em y+ ≈ 180 , local onde o erro de tensor de Reynolds muda de si-

nal, e mantém aproximadamente o mesmo valor até o meio do canal. A curva de ∆U

35

0 100 200 300

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 100 200 300

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)


apresenta um mínimo e um máximo local no mesmo lugar em que a curva ∆R troca de

sinal.

Até y+ ≈ 300 a diferença percentual entre as tensões não ultrapassa os 2%, no

entanto, esta diferença gera uma diferença percentual de 5% no campo de velocidades,

além da mudança da forma da curva.

0 100 200 300

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 100 200 300

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)



3.2.1.3 Reτ = 590


lação DNS para o escoamento com Reτ = 590.

36

Na figura 3.5a observa-se que o perfil de tensão de Reynolds Revelx y se encaixa rela-

tivamente bem aos dados obtidos da simulação DNS. A partir de y+ ≈ 100 a diferença

percentual entre as duas curvas é de aproximadamente 2,5% ao longo de todo o canal.

0 100 200 300 400 500

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 100 200 300 400 500

y+

0%

5%

10%

15%

20%

25%∆R

(b)


Os perfis de velocidade U Re e U DN S , ilustrados na figura 3.6a, diferem significa-

tivamente a partir de y+ ≈ 150 . A diferença percentual entre as duas curva cresce

continuamente ao longo do canal até atingir 20% no meio do canal.

Comparando as figuras 3.5b e 3.6b, observa-se que, apesar do erro da tensão de

Reynolds obtida na simulação DNS ser de apenas 2,5% em relação àquela obtida do

campo de velocidade, o seu uso para cálculo do perfil de velocidade gera erros de

até 20% no mesmo. Desta forma, apesar de ReDN Sx y aparentemente descrever bem o

perfil da tensão de Reynols, sua curva não é consistente com o campo de velocidade

da simulação.

3.2.2 Dados DNS de Thais, 2009 [2]

3.2.2.1 Reτ = 180


lação DNS feita por Thais et al [2] para um escoamento com Reτ = 180.

Os perfis da tensão de Reynolds obtida pela simulação e da tensão de Reynolds

calculada a partir do campo de velocidade praticamente colapsam(figura 3.7a). Como

37

0 100 200 300 400 500

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 100 200 300 400 500

y+

0%

5%

10%

15%

20%

25%∆U

(b)



pode ser visto na figura 3.7b,com exceção da parede e do meio do canal, a diferença

percentual das duas tensões ao longo do canal não ultrapassa 1%, sendo que Revelx y

é ligeiramente menor que ReDN Sx y próximo a parede, porém, esta diferença diminui

continuamente até obterem o mesmo valor a partir de y+ ≈ 140 .

0 50 100 150 180

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 50 100 150 180

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)

Fig. 3.7: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Thais, 2009 [2].(a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e através do campode velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões

Na figura 3.8a observa-se que o campo de velocidade U Re obtido dos dados DNS,

ainda que visivelmente diferente de U DN S , é satisfatório. Porém, comparando as

figuras 3.7b e 3.8b nota-se que a variação ∆U , mesmo sendo pequena (menor que

2%), é consideravelmente maior que ∆R.

38

0 50 100 150 180

y+

0

10

UDNS

URe

(a)

0 50 100 150 180

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)

Fig. 3.8: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Thais, 2009 [2].(a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensão de Rey-nolds RDN S


3.2.2.2 Reτ = 395

As figuras 3.9 e 3.10 mostram o resultado da análise de consistência dos dados da

simulação DNS para o escoamento com Reτ = 395.

Novamente, os valores obtidos para Revelx y são muito próximos de ReDN S

x y e as cur-

vas praticamente colapsam, conforme figura 3.10a. Na figura 3.9b observa-se que a

diferença percentual entre os dois valores é próxima de zero perto da parede e aumenta

lentamente ao longo do canal, sem ultrapassar, porém, o valor de 2%.

0 100 200 300 395

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 100 200 300 395

y+

0%

5%

10%

15%∆R

(b)


Conforme a figura 3.10a os perfis de velocidade U Re e U DN S são visivelmente

39

diferentes a partir de y+ ≈ 100 . A partir deste ponto a diferença percentual entre as

velocidades cresce continuamente. Na figura 3.10b observa-se que este diferença, de

valor próximo de 2% em y+ ≈ 100 , chega a aproximadamente 6% no meio do canal.

0 100 200 300 395

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 100 200 300 395

y+

0%

5%

10%

15%∆U

(b)



3.2.2.3 Reτ = 590



Novamente, conforme a figura 3.11, os perfis das tensões de Reynolds Revelx y e

ReDN Sx y praticamente colapsam. A diferença percentual, de aproximadamente 1% perto

da parede, aumenta lentamente até um valor próximo de 2% no meio do canal.

Ao se calcular o campo de velocidade U Re a partir do perfil da tensão de Reynolds

ReDN Sx y o resultado é bem diferente de U DN S , conforme a figura 3.12a. As curvas são

bem próximas até y+ ≈ 100 . A partir daí, a diferença percentual aumenta continua-

mente, atingindo o valor de 12% no meio do canal.

3.2.2.4 Reτ = 1000



40

0 100 200 300 400 500 590

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 100 200 300 400 500 590

y+

0%

5%

10%

15%∆R

(b)


0 100 200 300 400 500 590

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 100 200 300 400 500 590

y+

0%

5%

10%

15%∆U

(b)



O perfil da tensão de Reynolds obtida na simulação DNS ReDN Sx y e o perfil obtido

do campo de velocidade Revelx y praticamente colapsam em todo comprimento do canal,

conforme figura 3.13a. A figura 3.14b mostra que a diferença percentual, inicialmente

negativa e próxima a zero, aumenta lentamente ao longo do canal, atingindo um valor

máximo próximo de 2% no meio.

O campo de velocidades U Re , calculado a partir do perfil da tensão de Rey-

nolds ReDN Sx y , diverge consideravelmente do obtido na simulação DNS, conforme

figura 3.14a. A curva da diferença percentual entre as velocidade, mostrada na fi-

gura 3.14b, é inicialmente negativa, atinge um valor mínimo em y+ ≈ 100 , mesmo

41

0 200 400 600 800 1000

y+

0

0.5

1

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 200 400 600 800 1000

y+

0%

5%

10%

15%∆R

(b)


local onde ∆R muda de sinal, e cresce continuamente até atingir o valor de 12% na

metade do canal.

0 200 400 600 800 1000

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 200 400 600 800 1000

y+

0%

5%

10%

15%∆U

(b)



3.2.2.5 Reτ = 3000


simulação DNS para o escoamento com Reτ = 3000. Estes dados, embora disponi-

bilizados, são mais recentes e ainda provisórios, não estão em sua formulação final.

Portanto, para sua formulação final, os resultados aqui apresentados podem não ser

válidos.

42

Novamente, os perfis das tensões de Reynolds Revelx y e ReDN S

x y praticamente colap-

sam, conforme figura 3.15a. A diferença percentual entre as duas tensões aumenta

gradativamente ao longo do canal, sendo que seu valor não ultrapassa 2%.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

y+

0

0.5

1

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

y+

0%

10%

20%

30%

40%

50%∆R

(b)

Fig. 3.15: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais. (a)Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e através do campo develocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões

Apesar dos valores de Revelx y e ReDN S

x y apresentarem pequena diferença percentual,

o impacto gerado no calculo do perfil de velocidade U Re através da tensão ReDN Sx y

é enorme. Conforme a figura 3.16b, o erro gerado na campo de velocidades chega

quase a 50%. Até y+ ≈ 400 a diferença é negativa e pequena, em seguida, aumenta

continuamente e em y+ ≈ 1000 já chega a 10% e cresce rapidamente.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

y+

0

25

UDNS

URe

(a)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

y+

0%

10%

20%

30%

40%

50%∆U

(b)

Fig. 3.16: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 3000 de Thais. (a)Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensão de ReynoldsRDN S


43

3.2.3 Dados DNS de Hoyas, 2006 [3]

3.2.3.1 Reτ = 180


simulação DNS feita por Hoyas et al [3] para um escoamento com Reτ = 180.

Neste caso, as curvas tanto das tensões de Reynolds quanto dos perfis de velocidade

praticamente colapsam. A diferença percentual em ambos é menor que 1% ao longo

do canal, excluindo as singularidades na parede e na metade do canal para a tensão de

Reynolds.

0 50 100 150 180

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 50 100 150 180

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)

Fig. 3.17: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Hoyas, 2006 [3].(a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e através do campode velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões

0 50 100 150 180

y+

0

10

UDNS

URe

(a)

0 50 100 150 180

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)

Fig. 3.18: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Hoyas, 2006 [3].(a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensão de Rey-nolds RDN S


44

3.2.3.2 Reτ = 550



Novamente, ambos os resultados para tensão de Reynolds e perfil de velocidade

são consistentes. Na figura 3.19b observa-se que a diferença percentual ∆R é muito

pequena até y+ ≈ 480 . Além disso, até este ponto a ∆R oscila ao longo do canal em

torno de 0%.

0 100 200 300 400 500

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 100 200 300 400 500

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)


Os campos de velocidades U DN S e U Re são bem parecidos, apesar de não sê-lo

tanto quanto os perfis da tensão de Reynolds. Conforme a figura 3.20b a diferença

percentual ∆U é praticamente nula, até que em y+ ≈ 200 o perfil de velocidades U Re

se sobrepõem em aproximadamente 2% ao campo de velocidade obtido na simulação.

Este diferença é mantida praticamente constante até a metade do canal.

3.2.3.3 Reτ = 950



Analisando a figura 3.21a, a diferença entre o perfil da tensão de Reynolds ReDN Sx y ,

obtida da simulação DNS, e a tensão Revelx y calculada a partir do campo de velocidade,

45

0 100 200 300 400 500

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 100 200 300 400 500

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)



é imperceptível. De fato, conforme é mostrado na figura 3.21b, a diferença percentual

é praticamente nula até y+ ≈ 400 . A partir de y+ ≈ 500 surge uma diferença de

aproximadamente 1%, que permanece constante até a metade do canal.

0 200 400 600 800

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 200 400 600 800

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)


Apesar de praticamente nenhuma diferença ser notada nos perfis das tensões de

Reynolds, o mesmo não ocorre para o campo de velocidade. Como é visto na fi-

gura 3.22b, o perfil de velocidade U Re abandona a curva de U DN S a partir de y+ ≈ 400

. Nesta faixa, a diferença percentual, mostrada na figura 3.22b, cresce continuamente

até atingir 3% na metade do canal.

46

0 200 400 600 800

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 200 400 600 800

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)



3.2.3.4 Reτ = 2000



Como pode ser observado na figura 3.23a, a tensão de Reynolds obtida da simula-

ção DNS e a obtida a partir do campo de velocidades apresentam excelente concordân-

cia. Conforme a figura 3.23b, a diferença percentual entre as tensões de Reynolds é

praticamente nula ao longo do canal até y+ ≈ 1000 , onde há um ligeiro aumento. De-

pois disso a variação troca de sinal em y+ ≈ 1400 e chega a um valor absoluto máximo

próximo de 2%.

Os perfis de velocidades obtidos são mostrados na figura 3.24a. É possível observar

uma maior diferença a partir de y+ ≈ 1000 . Conforme a figura 3.23b a diferença

percentual entre as velocidades é aproximadamente de 1% entre y+ ≈ 250 e y+ ≈ 1000

. Em y+ ≈ 1000 a diferença aumenta até atingir um máximo de aproximadamente 3%

em y+ ≈ 1400 , mesmo local onde ∆R troca de sinal, e depois diminui até ser nula na

metade do canal.

3.2.3.5 Reτ = 4200


simulação DNS para o escoamento com Reτ = 4200. Estes dados, embora disponi-

47

0 500 1000 1500 2000

y+

0

0.5

1

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 500 1000 1500 2000

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)

Fig. 3.23: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 2000 de Hoyas,2006 [3]. (a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e atravésdo campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões

0 500 1000 1500 2000

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 500 1000 1500 2000

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)

Fig. 3.24: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 2000 de Hoyas,2006 [3]. (a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensãode Reynolds RDN S


bilizados, são mais recentes e ainda provisórios, não estão em sua formulação final.

Portanto, para sua formulação final, os resultados aqui apresentados podem não ser

válidos.

Os perfis das tensões de Reynolds calculada e obtida da simulação apresentem

excelente concordância ao longo do canal, conforme a figura 3.25a. Observa-se na

figura 3.25b que a diferença percentual entre as tensões não ultrapassa 1% ao longo do

canal. Também pode se observar que esta diferença é praticamente constante ao longo

do canal e negativa. Em nenhum momento ∆R assume um valor positivo.

Apesar da excelente concordância para o perfil de tensão, o campo de velocidade

48

0 1000 2000 3000 4000

y+

0

0.5

1

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 1000 2000 3000 4000

y+

-5%

-10%

-15%

-20%

-25%

0%∆R

(b)

Fig. 3.25: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas. (a)Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e através do campo develocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões

U Re , calculado a partir de ReDN Sx y , apresenta péssima concordância com o campo da

simulação DNS. Em y+ ≈ 250 U Re atinge um patamar e é constante até a metade do

canal, enquanto que U DN S continua crescendo. Com isto o valor absoluto da dife-

rença percentual, mostrada na figura 3.26b, aumenta continuamente ao lango do canal

e supera os 30% na metade do canal.

0 1000 2000 3000 4000

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 1000 2000 3000 4000

y+

-5%

-10%

-15%

-20%

-25%

0%∆U

(b)

Fig. 3.26: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 4200 de Hoyas. (a)Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensão de ReynoldsRDN S


49

3.2.4 Dados DNS de Bernardini, 2014 [4]

3.2.4.1 Reτ = 180


simulação DNS feita por Bernardini et al [4] para um escoamento com Reτ = 180.

Conforme a figura 3.27a, a tensão de Reynolds Revelx y obtida do campo de veloci-

dade atinge um valor máximo maior do que aquele obtido pela simulação numérica.

Pela figura 3.27b observa-se que a diferença percentual entre os dois perfis de tensão

é de aproximadamente 2% onde os perfis atingem um máximo. Esta diferença sem

mantém praticamente constante ao longo do canal.

0 50 100 150

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 50 100 150

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆R

(b)

Fig. 3.27: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Bernardini,2014 [4]. (a) Tensões de Reynolds obtida pela simulação DNS(×) e atravésdo campo de velocidade(—). (b) Diferença percentual entre as tensões

A figura 3.28a apresenta os campos de velocidade U Re e U DN S . A diferença

percentual entre os dois perfis se torna perceptível a partir de y+ ≈ 30 e cresce conti-

nuamente até ficar próxima de 5% na metade do canal.

3.2.4.2 Reτ = 550



Os perfis das tensões Revelx y e ReDN S

x y são muito parecidos a exceção valor máximo

obtido em ambas curvas em y+ ≈ 30 . Na figura 3.29b observa-se que a diferença

50

0 50 100 150

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 50 100 150

y+

-5%

-10%

0%

5%

10%∆U

(b)

Fig. 3.28: Dados DNS de escoamento em um canal com Reτ = 180 de Bernardini,2014 [4]. (a) Velocidades obtidas pela simulação DNS(×) e através da tensãode Reynolds RDN S


percentual entre as duas curvas é máximo neste ponto, no valor de aproximadamente

2,5%. Em seguida, a diferença diminui até tornar-se praticamente nula em y+ ≈ 300 ,

depois volta a crescer lentamente, sendo ainda menor que 1% na metade do canal.

0 100 200 300 400 500

y+

0

0.5

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 100 200 300 400 500

y+

-5%

0%

5%

10%

15%∆R

(b)


Apesar dos perfis de tensão aparentemente serem iguais, os campos de velocidade

obtidos de cada um são visivelmente diferentes, conforme a figura 3.30a. Pela fi-

gura 3.30b observa-se que em y+ ≈ 100 a diferença percentual entre as velocidades

atinge o valor de aproximadamente 17,5% e permanece constante ao longo do canal.

51

0 100 200 300 400 500

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 100 200 300 400 500

y+

-5%

0%

5%

10%

15%∆U

(b)



3.2.4.3 Reτ = 1000



A diferença entre os perfis de tensão de Reynolds Revelx y e ReDN S

x y no caso Reτ =

1000 é semelhante a visto no caso Reτ = 590. As curvas parecem se adaptar bem,

porém o valor máximo obtida por cada uma é visivelmente diferente. Como pode ser

visto na figura 3.31b, a diferença percentual máxima é obtida em y+ ≈ 30 , onde atinge

o valor de aproximadamente 2,5%, e logo depois decresce, estabilizando-se em torno

de 1% ao longo do canal.

Novamente, os campos de velocidade obtidos de cada perfil de tensão de Reynolds

apresentam grande divergência. Conforme a figura 3.32b, a diferença percentual ∆U

cresce continuamente ao longo do canal, em y+ ≈ 100 já atinge um valor de aproxi-

madamente 8% e na metade do canal atinge o valor de 22%.

3.2.4.4 Reτ = 2000



Neste caso, a concordância dos perfis de tensão Revelx y e ReDN S

x y é ainda maior que

no caso Reτ = 1000. Novamente a maior diferença está em y+ ≈ 30 , no local de valor

52

0 200 400 600 800 950

y+

0

0.5

1

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 200 400 600 800 950

y+

0%

5%

10%

15%

20%

25%∆R

(b)


0 200 400 600 800 950

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 200 400 600 800 950

y+

0%

5%

10%

15%

20%

25%∆U

(b)



máximo das tensões. Conforme a figura 3.33b, a diferença percentual máxima neste

ponto na passa de 2,5%, para depois decair e menor que 1% ao longo de todo o resto

do canal.

Mesmo a diferença entre as duas tensões obtidas sendo pequena, o campo de velo-

cidade obtidos da cada uma são muito diferentes, conforme figura 3.34a. Como pode

ser visto na figura 3.34b, a diferença percentual rapidamente atinge valor maior que

10% e continua crescendo ao longo do canal, até atingir o máximo de 15% na sua

metade.

53

0 500 1000 1500 2000

y+

0

0.5

1

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 500 1000 1500 2000

y+

0%

5%

10%

15%

20%

25%∆R

(b)


0 500 1000 1500 2000

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 500 1000 1500 2000

y+

0%

5%

10%

15%

20%

25%∆U

(b)



3.2.4.5 Reτ = 4000



Conforme as figuras 3.35a e 3.35b os perfis da tensão de Reynolds Revelx y e ReDN S

x y

aparentemente são iguais. A diferença percentual entre ambas não ultrapassa, em valor

absoluto, os 2%, sendo que até y+ ≈ 2000 a diferença é negativa e, a partir daí, positiva.

Novamente, apesar da pequena diferença entre os perfis de tensão, os campos de

velocidades obtidos são muito diferentes. Conforme a figura 3.36b a diferença chega

ultrapassa os 50%. O perfil de velocidade U Re apresenta um máximo e um mínimo

54

0 1000 2000 3000 4000

y+

0

0.5

1

RDNSxy

Rvelxy

(a)

0 1000 2000 3000 4000

y+

-5%

0%

5%

10%

15%

20%∆R

(b)


local nos lugares onde a curva ∆R troca de sinal.

0 1000 2000 3000 4000

y+

0

10

20

UDNS

URe

(a)

0 1000 2000 3000 4000

y+

0%

-10%

-20%

-30%

-40%

-50%

∆U

(b)



3.2.5 Análise dos Resultados

Todos resultados da comparação entre do perfil da tensão de Reynolds ReDN Sx y obtida

na simulação DNS e o perfil de Reynolds Revelx y que gerariam o campo de velocidade

da simulação aparentaram ser bem consistentes. As diferenças percentuais em todos

casos foram pequenas ou praticamente nulas ao longo do canal, a exceção dos locais

de singularidade onde a tensão de Reynolds é nula e a equação (2.36), que calcula ∆R,

55

é indefinida. Foi realizada uma prova real, onde Revelx y é utilizado para calcular anali-

ticamente o campo de velocidade. O resultado obtido é exatamente igual ao campode

de velocidades obtido na simulação DNS, como era de se esperar.

Apesar do perfil de tensão de Reynolds ReDN Sx y ser aparentemente consistente com

o campo de velocidade média U DN S , ambos extraídos de uma simulação DNS, quando

ReDN Sx y é utilizado para produzir analiticamente um campo de velocidade, o resultado

pode ser desastroso. Principalmente quando o valor de Reτ é alto. No início do canal

as curvas de U Re e U DN S tem boa convergência, porém ao se afastar da parede, o

resultado de U Re se torna mais instável e abandona a curva de U DN S .

Em geral, nos dados utilizados neste estudo, o resultado de U Re tende a piorar

conforme o valor de Reτ aumenta. Este comportamento, e também o aumento do erro

longe da parede, pode ser explicado pela equação que descreve o campo de velocidade,

descrita em (2.38). O campo de velocidade em um dado local y+ é função da integral

do perfil de tensão Rx y da parede até o ponto y+ . Portanto, todo erro no perfil de Rx y

anterior ao local y+ é acumulado no cálculo da velocidade neste local.

Pela integração da equação (2.34) as seguintes igualdades são válidas:

U Re (y+)= (

y+− y+2

2Reτ

)−

∫ y+

0RDN S

x y (y ′)dy ′ (3.1)

e

U DN S (y+)= (

y+− y+2

2Reτ

)−

∫ y+

0Rvel

x y (y ′)dy ′ (3.2)

Definindo os erros EU = U DN S −U Re e ER = Rvelx y −RDN S

x y e subtraindo as equa-

ções (3.1) e (3.2), obtém-se:

EU(y+)= ∫ y+

0ER (y ′)dy ′ (3.3)

Portanto, caso o erro ER não seja oscilatório, o erro da velocidade em um ponto y+

será afetado pelo acumulo de todo erro no campo de tensão anterior ao ponto y+ .

Dentre os dados utilizados nesta análise, os dados de Hoyas et al [3], com exceção

56

do caso Reτ 4200, apresentaram os melhores resultados. A variação no campo de ve-

locidade ainda é perceptível e grande em relação a diferença ∆R, porém não ultrapassa

os 3% no pior caso, de Reτ 950.

57

3.3 Modelos de turbulências

Os coeficientes dos modelos descritos na seção 2.2.3 foram obtidos para dois tipos de

escoamentos: o escoamento em um canal e escoamento de camada limite turbulenta

com gradiente de pressão nulo.

O índice r , dado pela equação (3.4), quantifica o quão bem um modelo An do

tensor de Reynolds anisotrópico A descreve este tensor.

r = 1− 2

πcos−1

√An : An

A : A

(3.4)

As figuras 3.37 e 3.38 mostram a acurácia obtida por cada modelo ao longo da

distância da parede y+ .

1 10 100 1000

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r

Model IModel IIModel IIIModel IVModel VModel VI

Fig. 3.37: Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento em um canal de Reτ= 2000.

Analisando o caso do escoamento turbulento em um canal, na figura 3.37, observa-

se que o maior valor do índice r do Modelo I ao longo do canal é menor que 0,4.

Isto demonstra o quão inapropriada é a hipótese de Boussinesq até para este simples

escoamento puramente cisalhante.

Pelo índice r do Modelo II observa-se que a adição de termos não-lineares de D

produz uma pequena melhora. Porém o Modelo II ainda está longe de gerar uma boa

descrição do tensor anisotrópico de Reynolds A.

Resultado muito melhor é obtido para o Modelo IV, demonstrando o importante pa-

58

pel desempenhado pelo tensor não-persistência-de-deformação-linear P na descrição

do tensor anisotrópico de Reynolds.

Os modelos III,V e VI foram capazes de praticamente descrever exatamente o ten-

sor A ao longo de todo canal.

1 10 100 1000

y+

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r

Model IModel IIModel IIIModel IVModel VModel VI

Fig. 3.38: Medida da acurácia de cada modelo para o escoamento de camada limiteturbulenta de Reθ = 6500 (Reτ ≈ 2000).

No caso do escoamento de camada limite turbulenta, mostrada na figura 3.38,

observa-se uma performance dos Modelos parecida com o caso do escoamento em

canal.

3.3.1 Modelo I

O coeficiente adimensional Cµ da hipótese da viscosidade turbulenta é mostrado na

figura 3.39 como função da distância normal da parede em unidades de parede y+ para

diferentes números de Reynolds de escoamento em canal e de camada limite turbu-

lenta. É possível observar que todas as curvas colapsam na região próxima a parede

até a camada amortecida em y+ ≈ 25 . Na região próxima a parede é possível observar

duas regiões de comportamento linear na escala log-log. Na subcamada viscosa a curva

decresce linearmente até atingir um mínimo em y+ ≈ 5 , depois cresce linearmente até

y+ ≈ 25 . Na região externa cada curva atinge um platô com valores variando entre

Cµ ≈ 0,07 para Reτ = 2000 e Reθ = 6500 e Cµ ≈ 0,1 para Reτ = 180.

A figura 3.40 mostra o coeficiente adimensional CD do modelo I. Como pode ser

59

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model I Cµ

Fig. 3.39: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela ener-gia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

observado, todas curvas, além de colapsarem, apresentam um comportamento linear

monotônico na subcamada viscosa e na região amortecida. Na região externa cada

curva atinge um platô com valores variando entre CD ≈ 0,125 para Reτ = 2000 e Reθ

= 6500 e CD ≈ 0,145 para Reτ = 180.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model I CD

Fig. 3.40: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo I escalonado pela ener-gia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ.

60

3.3.2 Modelo II

As figuras 3.41, 3.43 e 3.45 mostram, respectivamente, como os coeficientes C I , CD ,

and CD2 do Modelo II variam ao longo da direção normal à parede para escoamentos

de canal e de camada limite turbulenta para diferentes números de Reynolds.

Após y+ ≈ 80 , o comportamento de CD é monotônico, enquanto que o comporta-

mento de C I e CD2 não o é. Na figura 3.41 é possível observar que o coeficiente C I

tem menor uniformidade quanto ao número de Reynolds na subcamada viscosa do que

os outros coeficientes. Apesar de não variar tanto quanto C I , esta não-uniformidade

também está presente na curva de CD2, conforme figura 3.45.

Pela figura 3.43 observa-se que o coeficiente CD é virtualmente o mesmo que Cµ

do modelo I. O coeficiente CD2 é qualitativamente semelhante ao coeficiente CD : exibe

comportamento linear e um valor mínimo na subcamada viscosa e depois linear cres-

cente até atingir um platô na região externa.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model II CI

Fig. 3.41: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela ener-gia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

O coeficiente C I , mostrado na figura 3.42, é o mesmo que C I , visto que para adi-

mensionalização do coeficiente α0 multiplicando o tensor I não há necessidade de

outro fator de escalonamento além da energia cinética turbulenta k.

As figuras 3.44 e 3.46 mostram os coeficientes CD e CD2 respectivamente. Pela

61

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model II CI

Fig. 3.42: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo II escalonado pela ener-gia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model II CD

Fig. 3.43: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

figura 3.44 observa-se que, da mesma maneira que para CD , o coeficiente CD é virtu-

almente o mesmo que para o modelo I. Analisando as figuras 3.45 e 3.46 é possível

observar que, enquanto CD2 apresenta grande variação de ordem de magnitude, vari-

ando desde 104 até 10−2, o coeficiente CD2 mantém a mesma ordem de magnitude ao

longo da direção normal a parede.

Para um escoamento incompressível, onde o tensor taxa de deformação D tem

62

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model II CD

Fig. 3.44: Coeficiente adimensional para o tensor D do Modelo II escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model II CD2

Fig. 3.45: Coeficiente adimensional para o tensor D2 do Modelo II escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

traço nulo, tirando-se o traço do tensor anisotrópico de Reynolds A obtém-se uma

relação entre os coeficientes adimensionais dos tensores I e D2. Para o par de fatores

de escalonamento tradicional esta relação é dada pela equação (3.5)

3kC I +CD2k3

ε2tr (D2) = 0 (3.5)

Para os coeficientes normalizados C a relação é dada por:

63

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model II CD2

Fig. 3.46: Coeficiente adimensional para o tensor D2 do Modelo II escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela taxa de deformação γ.

3kC I + CD2k

γ2tr (D2) = 0 (3.6)

Agora, visto que tr (D2) = 2γ2, a equação (3.6) reduz-se a:

3C I +2CD2 = 0 (3.7)

Isso significa que C I e CD2 são múltiplos. O que é claramente observável nas

figuras 3.42 e 3.46.

3.3.3 Modelo III

O Modelo III acrescenta à base tensorial utilizada no Modelo II o tensor não-persistência-

de-deformação-linear P . Este acréscimo leva a uma grande melhoria no modelo, ge-

rando a capacidade de descrever praticamente exatamente o tensor anisotrópico de

Reynolds A em todo domínio, como pode ser visto nas figuras 3.37 e 3.38.

A figura 3.47 mostra o comportamento do coeficiente adimensional Cβ ao longo

da direção normal à parede. Esse coeficiente tem qualitativamente o mesmo compor-

tamento que os coeficientes CD e CD2, um comportamento não-monotônico na região

viscosa de parede (y+ < 50), linearmente decrescente na subcamada viscosa (y+ < 5)

64

e linearmente crescente na camada amortecida (5 < y+ < 30). Na região externa a

curva atinge um platô. Da mesma maneira que para o coeficiente CD2, o coeficiente Cβ

tem várias ordens de magnitude próximo à parede. Apesar disso, sua curva apresenta

menor variação com o número de Reynolds em comparação a CD2.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 5000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model III Cβ

Fig. 3.47: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model III Cβ

Fig. 3.48: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo III escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-de-deformação-linear p.

O coeficiente adimensional Cβ, mostrado na figura 3.48, apresenta uma curva muito

65

mais estável. O coeficiente é praticamente constante na subcamada viscosa e na ca-

mada amortecida, onde Cβ ≈ 0,8. Na região 25 < y+ < 80 a curva decresce para atingir

um outro patamar em Cβ ≈ 0.4.

3.3.4 Modelo IV

O Modelo IV mantém a hipótese do Modelo I, de proporcionalidade ao tensor taxa

de deformação D , e acrescenta uma parte proporcional ao tensor não-persistência-

de-deformação-linear P . Novamente, a adição deste tensor para descrição do tensor

anisotrópico de Reynolds A gera grande melhoria, conforme as figuras 3.37 e 3.38.

Os coeficientes Cβ e Cβ são mostrados nas figuras 3.49 e 3.50, respectivamente.

Apesar de calculados de uma maneira diferente, os coeficientes são os mesmos que no

Modelo III

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model IV Cβ

Fig. 3.49: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

3.3.5 Model V

O Modelo V mantém a hipótese do Modelo I, de proporcionalidade ao tensor taxa

de deformação D , e acrescenta uma parte em fase com o tensor não-persistência-de-

deformação-linear P . Conforme as figuras 3.37 e 3.38, este Modelo também é capaz

66

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model IV Cβ

Fig. 3.50: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo IV escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-de-deformação-linear p.

de descrever completamente o tensor anisotrópico de Reynolds A nos casos de escoa-

mento em canal e de camada limite turbulenta.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model V Cβ0

Fig. 3.51: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pela ener-gia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

Os coeficientes adimensionais CD e CD são os mesmos que do modelo I. Como

pode ser visto na figura 3.51, Cβ0 é praticamente constante dentro da subcamada vis-

cosa e da camada amortecida, onde Cβ0 ≈ 0.65. Na região 25 < y+ < 50 a curva de-

67

cresce e atinge um novo patamar em Cβ0 ≈ 0.3.

Como visto anteriormente, o único fator de escalonamento necessário para o coe-

ficiente multiplicando o tensor I é a energia cinética turbulenta k, portanto os coefici-

entes Cβ0 e Cβ0 são iguais, conforme as figuras 3.51 e 3.52.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model V Cβ0

Fig. 3.52: Coeficiente adimensional para o tensor I do Modelo V escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-de-deformação-linear p.

1 10 100 1000

y+

10−4

0.01

1

100Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 5000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model V Cβ1

Fig. 3.53: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

A figura 3.53 mostra o comportamento do coeficiente adimensional Cβ1. O coe-

ficiente apresenta uma curva não-monotônica na região viscosa de parede (y+ < 50),

68

1 10 100 1000

y+

10−4

0.01

1

100Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model V Cβ1

Fig. 3.54: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo V escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-de-deformação-linear p.

1 10 100 1000

y+

10−4

0.01

1

100Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model V Cβ2

Fig. 3.55: Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

decrescente na subcamada viscosa e crescente na camada amortecida e na região exte-

rior a curva atinge um patamar.

O perfil do coeficiente Cβ1 é mostrado na figura 3.54. Seu comportamento é similar

ao do coeficiente Cβ0, porém não tão suave quanto este. Mesmo assim, comparado

ao coeficiente Cβ1, o coeficiente normalizado Cβ1 é mais estável, pois sua ordem de

magnitude permanece a mesma ao longo da direção normal à parede.

69

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model V Cβ2

Fig. 3.56: Coeficiente adimensional para o tensor P 2 do Modelo V escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-de-deformação-linear p.

Os coeficientes adimensionais Cβ2 e Cβ2 são mostrados nas figuras 3.55 e 3.56

respectivamente. O coeficiente Cβ2 apresenta comportamento similar a Cβ1, apesar de

ter uma variação com o número de Reynolds mais acentuada. Além disso, também tem

uma maior extensão de ordem de magnitude, variando de 106 a 10−5.

Como pode ser observado na figura 3.56, o coeficiente normalizado Cβ2 apresenta

uma curva muito mais estável, comparado a Cβ2.

Novamente, tirando o traço de A, é possível achar uma relação entre os coeficientes

Cβ0 e Cβ2, dada por:

3Cβ0 +2Cβ2 = 0 (3.8)

Portanto, em valores absoluto, Cβ2 = 1.5Cβ0. Daí segue que Cβ2 ≈ 1.0 na região

viscosa de parede e Cβ2 ≈ 0.5 na região externa, o que é consistente com a figura 3.56.

3.3.6 Modelo VI

No Modelo VI é utilizada a base tensorial mais completa proposta neste estudo para

descrever o tensor anisotrópico de Reynolds A. Para o modelo VI é feita a mesma

suposição que no modelo III, que o tensor A tem uma parte em fase com o tensor taxa

70

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 2000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model I Cβ1

Fig. 3.57: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela dissipação ε.

1 10 100 1000

y+

0.01

1

100

10000Reτ 180

Reτ 395

Reτ 550

Reτ 1000

Reτ 8000

Reθ 1100

Reθ 1968

Reθ 4000

Reθ 5500

Reθ 6500

Model I Cβ1

Fig. 3.58: Coeficiente adimensional para o tensor P do Modelo VI escalonado pelaenergia cinética turbulenta k e pela intensidade da não-persistência-de-deformação-linear p.

de deformação D . Porém, ao invés de supor uma segunda parte proporcional ao tensor

não-persistência-de-deformação-linear P , é proposta uma parte em fase com P .

No entanto, como é visto nas figuras 3.37 e 3.38, o Modelo III já tem informação

suficiente para descrever completamente o tensor anisotrópico de Reynolds nos escoa-

mento em canal e de camada limite turbulenta. Portanto a adição de novos elementos

na base tensorial seria desnecessária. Isto é confirmado ao se calcular os coeficientes

71

do Modelo VI.

Ambos os coeficientes tradicionais C e normalizado C achados são os mesmos

que no Modelo III. Os coeficientes relacionados ao tensor P , apesar de calculados de

maneira diferente, são os mesmo que no Modelo III, conforme as figuras 3.57 e 3.58.

Os coeficientes relacionados ao segundo tensor I e ao tensor P 2 apresentaram valor

nulo, o que demonstra a inutilidade destes tensores.

72

Capítulo 4

Considerações Finais

4.1 Conclusões

O presente trabalho explora diversas bases DNS no intuito de construir modelos RANS

de maior acurácia.

Na primeira parte do trabalho, foram exploradas bases DNS em canais planos de

quatro grupos de pesquisadores: Moser et al [1], Thais et al.[2], Hoyas et al. [3] e

Bernardini et al. [4] nos diversos números de Reynolds disponibilizados. Para a quan-

tificação do erro intrínseco do componente Ry x , o perfil desta quantidade é obtido pelo

balanço de quantidade de movimento utilizando o perfil de velocidade média das ba-

ses de dados DNS, ou seja, o componente obtido está atrelado a uma estatística de

primeira ordem (média simples). A análise proposta baseou-se na obtenção do perfil

de velocidade média obtida pela integração das equações de balanço de quantidade de

movimento com a utilização dos dados das bases DNS de tensor de Reynolds, ou seja,

de uma estatística de segunda ordem. Esta análise mostrou que o erro intrínseco do

componente y x do tensor de Reynolds, embora pequeno nos diversos casos, impacta

significativamente o perfil de velocidade média. Do ponto de vista de modelagem, este

resultado implica que mesmo que se construísse um modelo que reproduzisse perfei-

tamente o tensor de Reynolds fornecido pela base DNS, não seria capaz de reproduzir

o perfil de velocidade média da mesma base. Como o valor da velocidade média em

73

uma posição é função de uma integral até esta posição, os erros são cumulativos. Este

fato aliado à característica não oscilatória do erro local justifica os resultados encon-

trados que mostram erros maiores para maiores valores de y+ e, consequentemente,

erros maiores para Reτ maiores. De uma maneira geral, percebe-se uma maior robus-

tez dos resultados obtidos pelo grupo Hoyas et al. [3]. Os dados do grupo Bernardini

et al. [4], mais recentemente disponibilizado, mostrou os mais impactantes erros no

perfil de velocidade média, mesmo para os menores Reτ explorados.

Na segunda parte do trabalho, foram exploradas bases DNS em canais planos e

camada limite. O objetivo desta análise foi o de produzir coeficientes para bases esten-

didas em relação à base tradicional, linear com o tensor taxa-de-deformação, adotada

na hipótese de Boussinesq. A inclusão do tensor P aliada a possíveis não-linearidades

deste tensor e do tensor D possibilitou a criação de seis modelos com diferentes níveis

de complexidade por meio de decomposições tensoriais. Esta análise permitiu que se

determinasse o erro intrínseco do modelo adotado em relação à sua capacidade de re-

produzir o tensor de Reynolds em cada ponto do domínio. A inclusão do tensor P

mostrou-se de fundamental importância, elevando, significativamente, a aderência dos

modelos com bases que contém este tensor. Nesta segunda parte, foi testada uma nova

ideia de escalonamento dos coeficientes que multiplicam os diversos tensores das ba-

ses. Esta ideia consiste em se normalizar os tensores por meios da utilização da norma

dos mesmos, em analogia a versores no espaço vetorial. Com este procedimento, o

escalonamento prescinde da utilização do ε. A comparação entre os coeficientes de

bases normalizadas com os utilizados na abordagem clássica k-ε mostrou uma maior

universalidade dos primeiros, ou seja, uma menor variação em relação aos diferentes

números de Reynolds e em relação ao caso, se canal plano ou camada limite. Além

disso, a função destes coeficientes em relação a y+ apresentou maior constância e mo-

notonicidade, mostrando um comportamento mais fácil de ser mimetizado.

74

4.2 Sugestões para trabalhos futuros.

A primeira parte do trabalho sugere uma nova maneira de se propor um critério para

a convergência do tensor de Reynolds para simulações numéricas diretas, baseada em

uma tolerância com relação ao componente Ry x obtido de um perfil de velocidade

já mais convergido por se tratar de uma estatística de primeira ordem. Ainda como

sugestão, esta análise deve ser realizada para escoamentos de camada limite. De outra

forma, em casos mais complexos, um caminho para métodos híbridos RANS-LES

pode ser explorado em que o divergente do tensor de Reynolds, que pode ser isolado

no balanço de quantidade de movimento médio, pode ser passado de um resultado

LES para um modelo RANS, diminuindo o tempo necessário para que este esteja com

a acurácia desejada.

Alguns caminhos são abertos com a análise da segunda parte do trabalho. Um

deles é a proposição de funções para os coeficientes das bases normalizadas e k-ε.

Isto seria fundamental para o acoplamento com um sistemas de equações para resolver

escoamentos turbulentos mais gerais. A maior exploração destes novos coeficientes

em outros escoamentos também seria uma linha importante. Uma outra abordagem

semelhante a dos coeficientes normalizados porém utilizando a norma da parte devi-

atórica do tensor de Reynolds pode ser promissora, visto que o segundo invariante de

um tensor é normalmente mais representativo do mesmo do que o primeiro.

75

Referências

[1] Robert D. Moser, John Kim, e Nagi N. Mansour. Direct numerical simulation

of turbulent channel flow up to Reτ=590. Phys. Fluids, 11(4):943, 1999. ISSN

10706631.

[2] L. Thais, A. E. Tejada-Martínez, T. B. Gatski, e G. Mompean. Numerical si-

mulations of turbulent viscoelastic drag reduction. In Second Int. Conf. Turbul.

Interact., Sainte-Luce, Martinique, France, 2009.

[3] Sergio Hoyas e Javier Jiménez. Scaling of the velocity fluctuations in turbulent

channels up to Reτ=2003. Phys. Fluids, 18(1):011702, 2006. ISSN 10706631.

[4] Matteo Bernardini, Sergio Pirozzoli, e Paolo Orlandi. Velocity statistics in turbu-

lent channel flow up to Reτ =4000. J. Fluid Mech., 742:171–191, February 2014.

ISSN 0022-1120.

[5] S. B. Pope. Turbulent Flows. Cambridge University Press, 10 edition, 2000.

ISBN 9780521598866.

[6] Juan a. Sillero, Javier Jiménez, e Robert D. Moser. One-point statistics for turbu-

lent wall-bounded flows at Reynolds numbers up to δ+ ≈ 2000. Phys. Fluids, 25

(10):105102, 2013. ISSN 10706631.

[7] P. R. Spalart e WH Jou. Comments on the feasibility of LES for wings, and on a

hybrid RANS/LES approach. Adv. DNS/LES, 1997.

[8] P. R. Spalart. Reflections on RANS Modelling. In Prog. Hybrid RANS-LES

Model., volume 111, pages 7–24. 2010.

[9] T. B. Gatski e T. Jongen. Nonlinear eddy viscosity and algebraic stress models

for solving complex turbulent flows. Prog. Aerosp. Sci., 36:655–682, 2000.

[10] P. R. Spalart e S. Allmaras. A one-equation turbulence model for aerodynamic

76

flows. In 30th Aerosp. Sci. Meet. Exhib., Reston, Virigina, January 1992. Ameri-

can Institute of Aeronautics and Astronautics.

[11] Georgi Kalitzin, Gorazd Medic, Gianluca Iaccarino, e Paul Durbin. Near-wall

behavior of RANS turbulence models and implications for wall functions. J.

Comput. Phys., 204(1):265–291, March 2005. ISSN 00219991.

[12] T. J. Craft, S. E. Gant, H. Iacovides, e B. E. Launder. a New Wall Function

Strategy for Complex Turbulent Flows. Numer. Heat Transf. Part B Fundam., 45

(4):301–318, April 2004. ISSN 1040-7790.

[13] Tae Seon Park, Hyung Jin Sung, e Kenjiro Suzuki. Development of a nonlinear

near-wall turbulence model for turbulent flow and heat transfer. Int. J. Heat Fluid

Flow, 24(1):29–40, February 2003. ISSN 0142727X.

[14] F. R. Menter. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering

applications. AIAA J., 32(8):1598–1605, August 1994. ISSN 0001-1452.

[15] J. L. Lumley. Toward a turbulent constitutive relation. J. Fluid Mech., 41(02):

413, March 1970. ISSN 0022-1120.

[16] S. B. Pope. A more general effective-viscosity hypothesis. J. Fluid Mech., 72

(02):331, March 1975. ISSN 0022-1120.

[17] Roney L. Thompson, Gilmar Mompean, e Laurent Thais. A methodology

to quantify the nonlinearity of the Reynolds stress tensor. J. Turbul., 11

(925211297):N33, January 2010. ISSN 1468-5248.

[18] Roney L. Thompson. Some perspectives on the dynamic history of a material

element. Int. J. Eng. Sci., 46(3):224–249, March 2008. ISSN 00207225.

[19] Fujihiro Hamba. Euclidean invariance and weak-equilibrium condition for the

algebraic Reynolds stress model. J. Fluid Mech., 569:399, November 2006. ISSN

0022-1120.

77

[20] Raphael David Aquilino Bacchi. O que se deseja de uma definição de vórtex.

Master’s thesis, Universidade Federal Fluminense, 2009.

[21] G. Haller. An objective definition of a vortex. J. Fluid Mech., 525:1–26, February

2005. ISSN 0022-1120.

78

Documents

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA DE … · é menos custosa computacionalmente, justiﬁcando sua utilização em larga escala pela indústria. Buscando-se elevar a