Pós-Graduação latu sensu em Engenharia de Produçãofiles.grupokerley.webnode.com.br/200000007-633d264373/Apostila... · Exercícios e estudos de caso Avaliação Final Total 50

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO

Pós-Graduação latu sensu em Engenharia de Produção

ESTATÍSTICA APLICADA (20 hs)

Belo Horizonte - 2011

Disciplina: Estatística Aplicada Prof.: Kerley Alberto Pereira de Oliveira [email protected]

Pós de Engenharia de Produção - Estatística

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PLANO DE CURSO

DISCIPLINA : Estatística Aplicada

PROFESSOR: Kerley Alberto Pereira de Oliveira

OBJETIVO DA DISCIPLINA: Fornecer aos alunos o instrumental estatístico básico necessário para o tratamento, análise e inferência de dados nas diversas áreas de atuação da engenharia de produção; controle de qualidade, planejamento e controle produção, pesquisa operacional, estudos de tempos e métodos etc. RESULTADOS ESPERADOS: espera-se o entendimento do aluno em relação as técnicas estatísticas apresentadas. Uma compreensão do aluno tanto na parte prática quanto teórica.

EMENTA CARGA

HORÁRIA

Estatística Descritiva; Amostragem; Estimação de Parâmetros; Teste de Hipóteses; Teste de Aderência; Correlação e Regressão; Análise de Variância.

20 horas

PLANO DE AULA

Data Conteúdo a ser Abordado

Metodologia a ser Utilizada

19/07 Estatística Descritiva Aula expositiva; estudo de casos; exercícios individuais e em grupo.

03/10 Amostragem; Estimação de parâmetros

Aula expositiva; estudo de casos; exercícios individuais e em grupo.

05/10 Teste de Hipóteses; Teste de Aderência


10/10 Correlação e Regressão; Análise de Variância


17/10 Prova Prova

Exercícios e estudos de caso Avaliação Final Total 50 50 100


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ORIENTAÇÕES: Durante as realizações das aulas serão utilizados recursos

computacionais. (Excell).

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. Apostila – Estatística Aplicada – Curso de Pós-Graduação (latu sensu) em

Engenharia de Produção. Centro Universitário UNA. Autoria de: OLIVEIRA,

Fernando Luiz Pereira de. Adaptações de: OLIVEIRA, Kerley Alberto Pereira

de. Belo Horizonte, MG. 2011.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

1. ANDERSON, Davi R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIAMS, Thomas A.; PAIVA, Luis Sérgio de Castro (Org.). Estatística aplicada à administração e economia. 2 ed. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002.

2. BRUNI, Adriano Leal. Estatística aplicada à gestão empresarial. 1 ed. São

Paulo: Atlas 2007.

3. COSTA, Sérgio Francisco. Introdução Ilustrada à Estatística. 4 ed. São Paulo: Harbra, 2005.

4. LEVINE, David M. Estatística: teoria e aplicação utilizando o Microsoft

Excel em português. Rio de Janeiro: LTC. 2005.

5. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC 2008.


4

Kerley Alberto Pereira de Oliveira Curriculum Vitae Resumido ______________________________________________________________________ Trabalhou durante 10 anos na Força Aérea Brasileira como Especialista e Instrutor em

Manutenção Aeronáutica e Segurança de Vôo. Habilitado pela ANAC para grupo

Aviônicos. Graduado em Física pela Universidade Federal de Minas Gerais. Mestre em

Ciência e Tecnologia das Radiações, Minerais e Materiais pelo Centro de

Desenvolvimento da Tecnologia Nuclear/Comissão Nacional de Energia Nuclear (área

de concentração: Análise de Risco Ambiental). Doutorando em Saneamento, Meio

Ambiente e Recursos Hídricos pela Escola de Engenharia da UFMG. Coordenador dos

Cursos Superiores de Tecnologia em Pilotagem Profissional de Aeronaves, Manutenção

de Aeronaves e Transporte Aéreo do Centro Universitário Una – UnaTec. Coordenador

do Curso de Pós-Graduação em Gestão Ambiental do Uni-BH. É professor de Física no

Centro de Instrução e Adaptação da Aeronáutica/PUC Minas, Faculdade Pitágoras e

UnaTec. Professor de Estatística da Pós-Graduação em Engenharia de Produção do

Centro Universitário Una. Ministra disciplina de Análise e Gestão de Riscos na Pós-

Graduação em Gestão Ambiental da Faculdade SENAC e na Pós-Graduação em

Engenharia Ambiental Integrada do IETEC. Pertence a grupo de trabalho da Comissão

Nacional de Energia Nuclear atuando nas áreas de avaliação e mitigação de riscos e

impactos ambientais. Possui artigos publicados em revistas e anais de congressos

nacionais e internacionais. É Revisor convidado do Journal of Environmental

Management, sócio fundador da EcoQuality Soluções e consultor credenciado junto ao

SEBRAE-MG.

______________________________________________________________________

Endereço eletrônico: [email protected]

Web site: GrupoKerley.webnode.com.br


5

ÍNDICE

I. INTRODUÇÃO, CONCEITOS E DEFINIÇÕES

II. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM I

III. APRESENTAÇÃO DE DADOS – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

IV. MEDIDAS ESTATÍSTICAS – TENDÊNCIA CENTRAL

V. MEDIDAS ESTATÍSTICAS – DISPERSÃO OU VARIABILIDADE

VI. MEDIDAS ESTATÍSTICAS – POSIÇÃO

VII. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE

VIII. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM II

IX. TESTES DE HIPÓTESES

X. MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO LINEAR ENTRE DUAS VARIÁVEIS

XI. INTRODUÇÃO AO MODELO DE ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR

SIMPLES


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I. INTRODUÇÃO, CONCEITOS E DEFINIÇÕES

Por que estatística é importante?

Porque nos permite entender e lidar com a noção de variabilidade.

Um exemplo típico é:

• produção de parafusos. Uma fábrica produz parafusos, que devem ter seu

diâmetro dentro de certas especificações. Ao medirmos o diâmetro de 100

parafusos produzidos ao acaso existirão variações individuais.

Estas variações são importantes?

Até que ponto as variações observadas são aceitáveis?

Em geral um número em Estatística não é apenas um número! A ele associamos uma

medida de incerteza ou variabilidade.

A Estatística aplicada à engenharia é um ramo da estatística que estuda as suas

aplicações à engenharia, onde o maior uso seja talvez no controle de processos de

produtos e serviços. Mas também é usada, por exemplo, no planejamento de novas

estratégias de produção, vendas, etc. Existe uma preocupação da Estatística aplicada à

Engenharia que se localiza no Controle de Processos e Manufatura, analisando

distribuições e lotes para padrões de qualidade nos produtos. Por exemplo, para a

Engenharia de Alimentos, há certa estatística na Análise Sensorial, para observar a

aceitação de um produto manufaturado em relação ao público. A estatistica é aplicada

na produção para acompanhar a estabilidade dos processos, esta estabilidade é analisada

por cartas de acompanhamento conhecida como cartas de controle estatistico de

processo. Também se utiliza a estatistica para analisar ensaios tanto destrutivos como

não destrutivos, verificando a porcentagem de peças não conforme ou probabilidade de

vida de equipamentos ou peças. Utiliza-se estatistica em calibração de equipamentos de

medição e na analise dos mesmos, também na verificação da condição de uso dos meios

de medição.

Conceito de Variável

Especificação de valores coletados. É uma grandeza que não possui qualificação ou

quantificação fixa, ou seja, pode ser qualificada ou quantificada de formas diferentes.


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Tipos de Variável

• Variável Qualitativa: não podem ser operadas algebricamente. Ex.: cor de

cabelo, marca, escolaridade etc...

• Variável Quantitativa: podem ser operadas algebricamente. Ex.: idade, altura,

salário, peso etc...

Em nossa cultura, não é elegante tratar de assuntos que envolvam variáveis

quantitativas, principalmente com uma Dama. Por exemplo, não é educado

perguntar sobre a idade das pessoas, altura, peso, salário etc. Contudo, não há

problema em se perguntar a cor dos olhos, o tipo de cabelo, a marca do

carro...só não pode perguntar o quanto custou.

Muitos experimentos produzem resultados não-numéricos. Antes de analisá-los é

conveniente transformar seus resultados em números. Um exemplo muito usado são

as escalas de Likert:

O formato típico de um item Lidert é:

Concordo totalmente . . . . . . . Discordo totalmente

1. não concordo veementemente;

2. não concordo;

3. indiferente;

4. concordo;

5. concordo totalmente.

População x Amostra

Inferir significa generalizar com parte do todo (amostra) tentando entender o próprio

todo (população).

População é qualquer conjunto de informações que tenham, entre si, uma característica

(variável) comum.

Ex.: o conjunto de todas as cores de olhos constitui uma população de cores de

olhos.

População não implica necessariamente gente ou pessoas. O que importa é a variável

estudada. Você pode ter uma população de cores de flores ou marcas de carro.


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Se uma população for muito grande (por exemplo, o conjunto de todas as estaturas de

uma comunidade), o pesquisador poderá ter um trabalho astronômico para estudá-la.

Nesses casos, recorre-se a uma AMOSTRA, que, basicamente, constitui em uma

redução da população a dimensões menores, SEM PERDA DAS

CARACTERÍSITCAS ESSENCIAIS.

Uma amostra, para ser BOA, tem de ser REPRESENTATIVA , ou seja, deve conter em

proporção tudo o que a população possui QUALITATIVA e

QUANTITATIVAMENTE . E precisa ser IMPARCIAL , isto é, todos os elementos da

população devem ter IGUAL OPORTUNIDADE de fazer parte da amostra.

A partir de uma amostra representativa da população pode-se dar origem a diversas

relações estatísticas como, por exemplo, média, mediana, moda, variância etc. Essas

relações estatísticas possibilitam descrever, sob diversos ângulos, o conjunto de dados

representado pela amostra. Por essa razão, o estudo dessas relações pertence ao campo

da ESTATÍSTICA DESCRITIVA . Contudo, o interesse do pesquisador está voltado

para a população da qual se originou a amostra. Ele estuda as características da amostra,

isto é, calcula as relações estatísticas) com o objetivo de TRANSFERIR, de

GENERALIZAR suas CONCLUSÕES para a população. A parte da estatística que se

interessa pelas GENERALIZAÇÕES , ou seja, pelas TRANSFERÊNCIAS DE

CONCLUSÕES das amostras para as populações, chama-se ESTATÍSTICA

INFERENCIAL. Na transferência de suas conclusões (da amostra para a população), o

pesquisador vale-se de um poderoso recurso que é a TEORIA DAS

PROBABILIDADES . Essa teoria permite AVALIAR E CONTROLAR o

TAMANHODO ERRO (INCERTEZA) que ele estará cometendo ao fazer

GENERALIZAÇÕES (INFERÊNCIAS).

Mas se existe a probabilidade de ocorrência de incertezas quando se usa uma amostra,

por que então não se usa sempre a população?

Simplesmente por que, nem sempre é viável ou possível usar a população.

Por exemplo:


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• Um médico precisa avaliar as condições de seu sangue. Você vai a um

laboratório e retiram de você uma amostra de sangue. Por que usaram uma

amostra e não a população?

• Um agrônomo precisa avaliar as condições do solo de uma área que será usada

para plantio. Ele retira uma amostra do solo e envia para um laboratório. Por que

usaram uma amostra e não a população?

• Existem indícios de que um rio esteja contaminado. Só existe uma forma de se

chegar a uma conclusão. Retira-se uma amostra de água do rio que é enviada

para um laboratório. Por que usaram uma amostra e não a população?

• Prévias para eleições. Por que usaram uma amostra e não a população?

O uso de uma amostra também pode ser útil quando o processo de pesquisa é destrutivo.

Por exemplo, se tivermos uma população de fósforos e quisermos avaliar a porcentagem

de falhas.

Para pensar:...Todo – mais caro, mais tempo, mais confiável....Amostra – mais barato,

mais rápido mas envolve incertezas...o que fazer? Deve-se colocar na balança e avaliar

o custo-benefício.

“Você deseja uma válvula que não vaze e faz todo o possível para desenvolvê-la. Mas

no mundo real, só existem válvulas que vazam. Você tem que determinar o grau de

vazamento que pode tolerar” Wernher von Braun

EXERCÍCIOS

1- Uma agência do estado classifica a ocupação dos trabalhadores como

profissional liberal, funcionário e operário. No registro de dados, 1 denota o

profissional liberal, 2 o funcionário e 3 o operário. Identifique a variável de

interesse e qualifique como quantitativa ou qualitativa.

2- Um levantamento jornalístico argüiu 2013 adultos: “você está satisfeito com a

situação da economia do país hoje?”. As categorias das respostas eram

insatisfeito, satisfeito e indeciso.

a) Qual a variável de interesse desse estudo?


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b) Qual a população alvo desse estudo?

c) Nesse estudo trabalhou-se com a população ou com uma amostra? Por

que?

d) Qual foi o tamanho da população ou amostra para essa pesquisa?

e) Os dados coletados eram qualitativos ou quantitativos?

f) Para um resumo dos dados para esta questão, faria sentido usar a média

ou a porcentagem?

g) Dos que responderam, 28% disseram que estavam insatisfeitos com a

situação. Quantos indivíduos forneceram esta resposta?

3- Declare se cada uma das seguintes variáveis é qualitativa ou quantitativa

a) idade

b) gênero

c) classe social

d) marca de automóvel

e) número de pessoas favoráveis à pena de morte

f) vendas anuais

g) tamanho dos refrigerantes (pequeno, médio, grande)

h) ganhos por ação

i) método de pagamento (à vista, com cheque, com cartão)

4- O seguinte conjunto de dados fornece um quadro do desempenho financeiro de

uma empresa.

Ano 1993 1994 1995 1996

Ganho por

ação

2,78 2,13 3,41 3,83

Renda

(bilhões)

11,87 12,57 13,43 14,92

Renda líquida

(bilhões)

1,51 1,17 1,89 2,12

Valor nominal

por ação

14,35 10,98 12,67 13,98


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a) Quantas variáveis existem na tabela

b) Os dados são qualitativos ou quantitativos

5- Uma empresa está interessada em testar a eficácia da propaganda de um novo

comercial de TV. Como parte do teste, o comercial é mostrado em um programa

de notícias locais às 18h30min. Dois dias mais tarde, uma firma de pesquisa de

mercado realizou um levantamento telefônico para obter informações sobre os

índices de respostas (porcentagens de espectadores que responderam vendo o

comercial) e impressão sobre o comercial.

a) Qual é a população desse estudo

b) Qual é a amostra para esse estudo

c) Por que se usaria uma amostra nessa situação? Explique.

II. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM

Amostragem x Amostra

Amostragem é uma ferramenta que permite a você analisar um subconjunto de uma

população, objetivando levantar informações sobre os fatos relativos a esse

subconjunto, com a intenção de inferir o comportamento da população.

A amostra é um número limitado de informações tirada de um conjunto da mesma

natureza denominado população. Amostra é uma parte, um subconjunto de um espaço

amostral. Uma amostra deverá reunir as características básicas de uma população. A

importância de uma amostra está na avaliação de grandezas desconhecidas de uma

população e a qualidade desta avaliação depende basicamente da representatividade da

amostra e a representatividade de uma amostra depende da sua capacidade de reproduzir

as características básicas da sua população. Falamos de população em termos de

pessoas, mas, na realidade, ela se refere ao conjunto total de objetos que você está

estudando – todos os alunos de uma escola, todos os funcionários de uma empresa,


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todas as garrafas de vinho, todos os carros produzidos por uma fábrica, e assim por

diante. Muito provavelmente você não será capaz de entrevistar toda uma população de

pessoas ou examinar todo um conjunto de objetos, então você se orienta por um

pequeno grupo retirado desta população/conjunto.

Você vai inferir o comportamento da população com base nos resultados descritos da

sua amostra. Uma amostra é uma parte integrante de uma população e a diferença básica

entre os conceitos de amostra e população é que a amostra representa uma parte do todo,

enquanto a população representa o todo. Uma amostra é considerada parte

representativa da população se ela tiver a propriedade de absorver todas as

características da população e se as características da população estiverem nela contidas,

as conclusões a respeito desta amostra podem ser consideradas como conclusões da

respectiva população. Mas à medida que o tamanho da amostra for crescendo, tais

informações vão se tornando cada vez mais verdadeiras.

Diversos fatores justificam os trabalhos com amostras, no lugar de estudar a respectiva

população, entre os quais, destacam-se:

Custo: as despesas com a operacionalização estatística da população são

geralmente bem maiores que com a averiguação de uma amostra. Velocidade: as

pesquisas realizadas com amostras são mais rápidas, em virtude de conter um menor

número de unidades. Praticabilidade: conforme o próprio conceito, às vezes, a dimensão

da população torna as pesquisas impraticáveis.

Experimento Aleatório

Os experimentos aleatórios são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos,

apesar de se repetirem, várias vezes, em condições semelhantes. Estes experimentos são

aqueles que apresentam resultados imprevisíveis. O lançamento de moedas e dados,

bem como sorteios e extrações lotéricas são fenômenos aleatórios. Alguns experimentos

aleatórios poderão ser repetidos sob as mesmas condições indefinidamente. O

experimento apresenta vários resultados não sendo possível afirmar, com antecedência,

qual será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. Antes do

lançamento de um dado, não podemos dizer qual será o resultado, mas somos capazes


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de enumerar todos os resultados. Uma característica importante de alguns experimentos

é a sua possibilidade de repetição contínua, mantidas as mesmas condições iniciais.

Amostragem Aleatória

É uma técnica que visa selecionar os integrantes de uma amostra de tal forma que cada

elemento de uma população tem a mesma probabilidade de ser incluído na amostra.

Amostragem Aleatória Simples

A amostragem aleatória simples é um processo que visa selecionar amostras de tamanho

n entre os N elementos da população. Este processo garante a mesma chance para cada

um dos elementos desta população. A adoção da técnica da amostragem aleatória

simples pressupõe uma população homogênea, em relação ao característico de interesse.

A amostragem aleatória simples é um processo muito empregado e o procedimento para

a formação da amostra será sempre a escolha aleatória, a escolha cega, o sorteio.

Sempre tendo-se em mente que o pesquisador não pode influenciar nos resultados.

Amostragem Aleatória Proporcional Estratificada

Este processo é utilizado quando se percebe que a população pode ser dividida em

subconjuntos distintos, grupos distintos, estratos que podem possuir diferentes idéias

sobre o fato em análise: população heterogênea. A participação de cada estrato em uma

amostra será igual à sua participação em sua população.

Exemplo 1)

Em um auditório, temos 70 homens e 30 mulheres. Os homens participam desta

população com 70% e as mulheres com 30%. Para selecionar uma amostra aleatória

estratificada de 10 pessoas, 70% deverão ser homens e 30% de mulheres. ( 7H e 3 M).

A seleção deverá ser feita por meio de sorteio. A população foi dividida em dois

estratos: homens e mulheres.


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Amostragem Aleatória Sistemática

A amostragem sistemática consiste em selecionar aleatoriamente um número inicial “a”

e depois selecionar cada item da população dentro de um certo intervalo. O processo

consiste na definição de uma progressão aritmética: a, a + r, a + 2r, a + 3r, ... , a + nr.

Calcula-se o intervalo de amostragem: h = N/n e faz-se “r” igual à parte inteira de h.

Exemplo 2)

Uma população é formada de 30 itens e desejamos formar amostras com 6 itens. O valor

de h será 30/6 = 5. O valor da razão “r” será 5. Sorteia-se um número entre 1 a 5. Por

exemplo o número 4, então a = 4. A amostra será formada pelos valores que se

colocarem nas posições: 4º, 9º, 14º, 19º, 24º e 29º elemento. Se o número sorteado de 1

a 5 fosse o 3, então a = 3 e a amostra seria formada pelos números que estiverem nesta

ordem: 3º, 8º, 13º 18º, 23º e 28º número.

Exemplo 3)

Uma população é formada por 400 alunos do Curso de Administração, 300 do Curso de

Contábeis, 200 do Curso de Computação e 100 do Curso de Turismo. Retirando-se uma

amostra estratificada proporcional de 100 alunos, teremos 40 alunos de administração,

30 alunos de contábeis, 20 alunos de computação e 10 de turismo.

Observe que os cursos são os estratos e a proporcionalidade de cada curso define o

percentual de cada estrato que fará parte da amostra.

Exemplo 4)

Em fevereiro deste ano, levantamos as vendas diárias da Empresa Sulminas, no período

de 10 de janeiro a 20 de fevereiro, reunindo 36 dias úteis e seis semanas, em Belo

Horizonte. Os valores estão explícitos em reais.

116 146 136 119 106 118 118 153 143 122 120 122

116 139 127 106 145 129 120 122 130 117 117 127

146 133 124 141 133 131 144 146 133 141 124 141


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a) Extrair uma amostra aleatória estratificada proporcional com nove elementos, sem

reposição.

Em primeiro lugar, vamos dividir este universo, por exemplo, em 3 estratos e depois de

identificados os números que compõem cada estrato, faremos a divisão proporcional em

razão do tamanho da amostra. Nesta amostragem, estaremos tentando dividir as vendas

diárias em três partes ou estratos.

Estrato A _ vendas diárias realizadas abaixo de 126,00 reais. Neste intervalo, vamos

relacionar as vendas diárias cujos valores são de: 116, 119, 106, 118, 118, 122, 120,

122, 116, 106, 120, 122, 117, 117, 124, 124.

Estrato B _ vendas diárias realizadas de 126,00 a 135,00 reais. Neste intervalo, vamos


133.

Estrato C _ vendas diárias realizadas acima de 135,00 reais. Neste intervalo, vamos


141, 144, 146, 141, 141.

Estes valores deverão ser enumerados, no estrato A, de 1 a 16, no estrato B, de 17 a 24 e

no estrato C, de 25 a 36. Para sabermos quantos elementos serão retirados de cada

estrato, usaremos uma regra de três para a divisão proporcional.

O tamanho da população está para o da amostra, assim como o tamanho de cada estrato

está para X que será a quantidade de valores deste estrato que vai compor a amostra.

Extraindo uma amostra com nove vendas

No estrato A, temos 16 vendas e vamos selecionar quatro vendas diárias: Na = 16 x 9 /

36 = 4 vendas.

No estrato B, temos 8 vendas e vamos selecionar duas vendas diárias: Nb = 8 x 9 / 36 =

2 vendas.

No estrato C, temos 12 vendas e vamos selecionar três vendas diárias: Nc = 12 x 9 /36 =

3 vendas.

Para compor a amostra, selecionamos quatro vendas diárias do estrato A, duas vendas

diárias do estrato B e três vendas do estrato C. Se a amostra fosse de doze vendas,

deveríamos selecionar 16 x 12 / 36 = 5 vendas do estrato A; 8 x 12 / 36 = 3 vendas do

estrato B e 12 x 12 / 36 = 4 vendas do estrato C.


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Exemplo 5)

Realizou-se, em janeiro deste ano, uma pesquisa envolvendo diversos diretores de

empresa, em Belo Horizonte, encontrando-se os salários abaixo, explícitos em mil reais.

4,2 4,6 4,9 5,7 4,3 4,6 4,1 4,7 5,6 4,2 4,9 4,7 3,9 4,0

3,9 5,0 4,6 4,3 4,8 4,2 5,6 5,6 4,9 4,3 4,7 4,9 4,0 4,3

a) Construir uma amostra aleatória simples, sem reposição, com oito salários.

Em primeiro lugar vamos enumerar os salários, na ordem em que eles apresentam, e em

segundo lugar vamos realizar o sorteio, sem reposição, para definir os salários que vão

compor a amostra. Um sorteio poderá ser feito com ou sem reposição. Com reposição, o

salário de uma pessoa pode entrar na amostra vários vezes e sem reposição, o salário

desta pessoa pode entrar na amostra apenas uma vez. Se a amostragem for com

reposição, registram-se as repetições; se for sem reposição, abandonam-se as repetições.

Após enumerar todos os salários, vamos supor que os salários sorteados foram: 3º, 7º,

11º, 15º, 21º, 25º, 26º e o 28º. Então a nossa amostra será formada pelos salários: 4,9;

4,1; 4,9; 3,9; 5,6; 4,7; 4,9; e 4,3. Observe que o salário de 4,9 mil reais foi repetido três

vezes mas as pessoas são distintas. Não podemos repetir a pessoa, mas os valores sim.

III. APRESENTAÇÃO DE DADOS – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Distribuição de Freqüência

Ao estudarmos grandes conjuntos de dados, é conveniente organiza-los e resumi-los,

construindo uma Tabela de Freqüências. Esta relaciona categorias (ou classes) de

valores, juntamente com contagens (ou freqüências) do número de valores que se

enquadram em cada categoria.

Exemplo:


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É praticamente inviável tirar conclusões diretamente baseadas em um grande

número de dados. Assim, se o número de dados for muito grande, digamos superior a

25, é de toda conveniência que eles sejam organizados e/ou condensados previamente.

O propósito desta seção é desenvolver métodos para apresentar dados, de modo a

facilitar sua interpretação.

Em uma tabela de distribuição de freqüência, os dados podem ser agrupados em

classes. A determinação do tamanho e da quantidade de classes deve observar as

seguintes normas:

• as classes devem abranger todas as observações,

• o extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe subseqüente,

• cada valor observado deve enquadrar-se em apenas uma classe,

• a quantidade de classes, em geral, não deve ser inferior a 5 ou superior a 15.

Uma fórmula de se determinar um número razoável, k, de classes consiste em aplicar a

fórmula de Sturges, que sugere o cálculo de k mediante a expressão:

k = 1 + Log2 n = 1 + 2 Log

Log n=1 +3,32Log n

Uma outra forma de se calcular o valor de k consiste em tomar a raiz quadrada de n,

assim, k= n .


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Após definir o número de classes, é necessário verificar qual é o maior e o menor valor

do conjunto de dados, para que possamos calcular a amplitude, que consiste na

diferença entre estes dois valores. De posse do valor k e da amplitude, iremos encontrar

a amplitude de classe, que é a divisão da amplitude pelo número de classes.

Anteriormente à apresentação de um exemplo, devemos definir alguns termos:

• amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados,

• xi é o ponto médio da i-ésima classe, é a média dos pontos extremos da classe,

• n é a quantidade total de observações

=∑ inn ,

• ni é a quantidade de observações, ou freqüência, da i-ésima classe,

• fi é a freqüência relativa da classe

=n

nf i

i ,

• Ni é a freqüência acumulada até a i-ésima classe e indica a quantidade de

observações inferiores ao limite superior da classe

=∑

=

i

jji nN

1

,

• Fi é a freqüência relativa acumulada até a i-ésima classe e indica a quantidade

de observações relativas inferiores ao limite superior da classe

=∑

=

i

jji fF

1

.

Exemplo 1 (Dados contínuos): Construa uma tabela de distribuição, para as seguintes

alturas, expressas em centímetros, de 30 atletas do sexo masculino de uma universidade:

168 172 170 181 169 173 164 175 182 177

176 173 170 186 183 170 168 166 169 180

175 164 181 179 172 169 174 171 178 166

1º passo: colocar os dados em ordem crescente

164 164 166 166 168 168 169 169 169 170

170 170 171 172 172 173 173 174 175 175

176 177 178 179 180 181 181 182 183 186


19

2º passo: calcular da amplitude (maior valor – menor valor): 186 – 164 = 22

3º passo: calcular do número de classes: 547,530 ≈=== nk

4º passo: calcular da 540,45

22 ≈===classedenúmero

amplitudeclassedeamplitude

Observação: O arredondamento no cálculo da amplitude de classe deve ser sempre para

cima, para evitar que alguma observação da amostra fique fora da tabela de distribuição.

5º passo: definir o limite inferior da primeira classe: 162

Observação: O limite inferior da primeira classe deve ser inferior ao menor valor

observado da amostra, e o limite superior da última classe deve ser superior ao maior

valor observado da amostra.

6º passo: definir os intervalos (extremos) das classes: 1ª) 162 a 167; 2ª) 167 a 172; 3ª)

172 a 177; 4ª) 177 a 182; 5ª) 182 a 187

Observação: Os intervalos são definidos somando o limite inferior da primeira classe

mais a amplitude da classe, o valor encontrado desta soma mais a amplitude da classe,

. . ., até completar todos os intervalos das classes.

7º passo: calcular a média de cada classe (xi): 1ª) 164,5; 2ª) 169,5; 3ª) 174,5; 4ª) 179,5;

5ª) 184,5

8º passo: contar a freqüência de observações em cada classe (ni) e calcular a freqüência

relativa (fi)

9º passo: calcular a freqüência acumulada (Ni) e a freqüência relativa acumulada (Fi)

10º passo: apresentar a tabela de freqüência

Observação: Deve estar contido na apresentação da tabela: título ou referência da tabela

e a fonte dos dados.


20

Distribuição de freqüência das alturas de atletas

Classe (cm) xi ni f i Ni F i

162 167 164,5 4 0,13 4 0,13

167 172 169,5 9 0,30 13 0,43

172 177 174,5 8 0,27 21 0,70

177 182 179,5 6 0,20 27 0,93

182 187 184,5 3 0,10 30 1,00

Fonte: Dados Hipotéticos

Exemplo 2 (dados discretos): Construa uma tabela de distribuição, para as idades de

estudantes que concluíram o 2º grau em uma escola estadual:

17 18 18 25 19 19 20 18 18 17

18 18 21 19 18 19 17 18 20 18

21 18 18 20 20 19 23 18 18 25

18 17 17 17 18 18 17 21 18 18

17 23 24 18 18 19 19 18 17 18

Pode-se construir a tabela de distribuição de freqüência da seguinte forma:

Distribuição de freqüência da idade de conclusão 2º grau

Classe ni f i Ni F i

17 9 0,18 9 0,18

18 22 0,44 31 0,62

19 7 0,14 38 0,76

20 4 0,08 42 0,84

21 3 0,06 45 0,90

22 0 0,00 45 0,90

23 2 0,04 47 0,94

24 1 0,02 48 0,96

25 2 0,04 50 1,00


Ou construir a tabela de distribuição de freqüência da seguinte forma:


21

Exemplo 2: Distribuição de freqüência da idade de conclusão 2º grau

Classe ni fi Ni Fi

17 – 18 31 0,62 31 0,62

19 – 20 11 0,22 42 0,84

21 – 22 3 0,06 45 0,90

23 – 24 3 0,06 48 0,96

25 2 0,04 50 1,00


Pode-se verificar que a segunda tabela de freqüência feita para estes dados não está

representando os dados de forma tão satisfatória quanto a primeira tabela. Este exemplo

procura demonstrar que deve haver um bom senso na escolha que quantas classes

devem-se utilizar, pois a sua má escolha pode implicar em grandes perdas de

informação, que poderiam ser valiosas para analise e conclusões futuras.

Exemplo 3 (Dados qualitativos): Construa uma tabela de distribuição supondo que o

orçamento, em milhões de reais, de um estado tenha sido elaborado com as seguintes

destinações de verbas:

Administração Educação Saúde Obras Públicas Segurança

47,5 70,0 75,0 45,0 12,5

Podemos construir a tabela de distribuição de freqüência da seguinte forma:

Distribuição de freqüência do orçamento do estado

Classe ni fi Ni Fi

Administração 47,5 0,19 47,5 0,19

Educação 70,0 0,28 117,5 0,47

Saúde 75,0 0,30 192,5 0,77

Obras Públicas 45,0 0,18 237,5 0,95

Segurança 12,5 0,05 250,0 1,00



22

Exercício 1: Observaram-se os 50 valores seguintes de diâmetros, em centímetros, de

certa peça circular fabricada por uma indústria. Construa a distribuição de freqüência,

utilizando-se de 5 e 10 classes.

1,845 1,823 1,840 1,853 1,815 1,838 1,843 1,840 1,865 1,830

1,828 1,838 1,820 1,810 1,833 1,843 1,858 1,850 1,840 1,835

1,840 1,855 1,838 1,848 1,855 1,813 1,830 1,833 1,845 1,838

1,820 1,850 1,835 1,830 1,830 1,833 1,835 1,845 1,825 1,860

1,835 1,848 1,828 1,830 1,860 1,812 1,814 1,823 1,827 1,835

Representação Gráfica

Uma imagem vale por mil palavras

os objetivos dos gráficos não envolvem gastar o azul ou o vermelho do seu cartucho

colorido, o objetivo verdadeiro é transmitir informação. Assim, quanto mais simples,

melhor!

Os gráficos são representações pictóricas dos dados, muito valiosas na visualização dos

resultados. Os principais tipos de gráficos usados na representação estatística são:

• Histograma e Polígono de Frequência

• Ogiva

• Gráfico em Barras (ou em colunas)

• Gráfico de Pontos

• Gráfico em Setores (pizza)

• Gráfico em Linha

Histograma e Polígono de freqüência: São utilizados para representar a distribuição de

freqüência. O histograma é um conjunto de retângulos com bases sobre um eixo

dividido de acordo com os tamanhos de classe, centros nos pontos médios das classes e

áreas proporcionais às freqüências. Um polígono de freqüência é um gráfico que se

obtém unindo por uma poligonal os pontos correspondentes às freqüências das diversas

classes, centradas nos respectivos pontos médios.


23

Exemplo 1: Construa o histograma e o polígono de freqüência das freqüências absolutas

da tabela abaixo:

Alturas de Atletas

Classe (cm) xi ni fi Ni Fi

162 167 164,5 4 0,13 4 0,13

167 172 169,5 9 0,30 13 0,43

172 177 174,5 8 0,27 21 0,70

177 182 179,5 6 0,20 27 0,93

182 187 184,5 3 0,10 30 1,00


Ogiva: É o gráfico representativo de uma distribuição acumulada de freqüências. Consta

de uma poligonal ascendente. No eixo horizontal colocam-se as extremidades de classe

e no eixo vertical as freqüências acumuladas

Exemplo 2: Construa o gráfico ogiva das freqüências absolutas da tabela de freqüência

do exemplo 1:

Exemplo 1: Histograma e Polígono de Freqüência


24

Exemplo 2: Altura de Atletas

Observação: O polígono de freqüências utiliza-se dos pontos médios, e o gráfico ogiva

utiliza-se dos pontos extremos.

Gráfico em Barras (em colunas): Por vezes os dados consistem em contagens com

dados discretos, e que o número de valores distintos não é grande, constrói-se uma

distribuição de freqüência utilizando os próprios valores individuais como “classes”, em

lugar de intervalos de classes. Gráfico também utilizado para dados categóricos.

Exemplo 3: Construa o gráfico de barras das freqüências absolutas da tabela abaixo:

Idade de Conclusão 2º Grau

Classe ni fi Ni Fi

17 9 0,18 9 0,18

18 22 0,44 31 0,62

19 7 0,14 38 0,76

20 4 0,08 42 0,84

21 3 0,06 45 0,90

22 0 0,00 45 0,90

23 2 0,04 47 0,94

24 1 0,02 48 0,96

25 2 0,04 50 1,00



25

0

5

10

15

20

25

17 18 19 20 21 22 23 24 25

Idade de Conclusão 2º Grau

Exemplo 3: Gráfico em Barras

Exemplo 4: Construa o gráfico de barras das freqüências relativas da tabela abaixo:

Orçamento de Estado

Classe ni fi Ni Fi

Administração 47,5 0,19 47,5 0,19

Educação 70,0 0,28 117,5 0,47

Saúde 75,0 0,30 192,5 0,77

Obras Públicas 45,0 0,18 237,5 0,95

Segurança 12,5 0,05 250,0 1,00



26

19%

28%30%

18%

5%

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

Orçamento Estadual

Administração EducaçãoSaúde Obras PúblicasSegurança

Orçamento Estadual

19%

28%

30%

18%

5%

0,00 0,10 0,20 0,30

Administração

Educação

Saúde

Obras Públicas

Segurança

Exemplo 4: Gráfico em Barras

Gráfico de Pontos: Quando os dados consistem em um pequeno conjunto de números,

estes podem ser representados traçando-se uma reta com uma escala que abranja todas

as mensurações observadas, e grafando-se as respectivas freqüências como pontos

acima da reta.

Exemplo 5: Construa o gráfico de pontos da tabela de distribuição de freqüência do

exemplo 3:

Idade de Conclusão do 2º Grau


27

Exemplo 5: Gráfico de Pontos

Gráfico em Setores: Este gráfico é construído tomando-se um círculo (360 graus), que

se divide em setores com áreas proporcionais às freqüências das diversas categorias.

Utilizado para representar dados categóricos.

Exemplo 6: Construa o gráfico de setores da tabela de distribuição de freqüência do

exemplo 4:

Orçamento Estadual

19%

28%30%

18%5%

Administração EducaçãoSaúde Obras PúblicasSegurança

Exemplo 6: Gráfico de Setores

Gráfico em Linha: É um dos mais importantes gráficos, pois representa observações

feitas ao longo do tempo, em intervalos iguais ou não. Tais conjuntos de dados

constituem as chamadas séries históricas, ou séries temporais. Traduzem o

comportamento de um fenômeno em certo intervalo de tempo.


28

Exemplo 7: Construa o gráfico de linhas da seguinte tabela de distribuição:

Exemplo 7: Consumo Mensal de Luz

Mês / 98 Consumo(Kwh) Mês / 99 Consumo(Kwh) Mês / 00 Consumo(Kwh)

4 145 1 251 1 261

5 183 2 146 2 151

6 179 3 143 3 211

7 220 4 170 4 300

8 230 5 245 5 278

9 204 6 256 6 317

10 230 7 250

11 208 8 279

12 244 9 208

10 292

11 247

12 285


mfjdnosajjmamfjdnosajjmamfj

300

250

200

150

Mês

Con

sum

o (K

wh)

C onsum o M ens a l d e Luz

Exemplo 7: Gráfico em Linhas

Gráfico Ramo e Folha: Uma forma alternativa, muito simples, de fazer essa descrição é

através do chamado ramo-e-folha, método criado pelo estatístico americano John

Tukey.


29

Exemplo 8: Construa o ramo e folha dos seguintes dados:

168 172 170 181 169 173 164 175 182 177

176 173 170 186 183 170 168 166 169 180

175 164 181 179 172 169 174 171 178 166

Ramo Folha

16 4 4

16 6 6

16 8 8 9 9 9

17 0 0 0 1

17 2 2 3 3

17 4 5 5

17 6 7

17 8 9

18 0 1 1

18 2 3

18 6

Exemplo 8: Ramo e Folha

Dados

Dados

Quantitativos

Dados

Quantitativos

Métodos

Tabulares

Métodos Gráficos

Métodos

Tabulares

Métodos Gráficos


30

• Distribuição

de

Freqüência

• Gráfico em

Barras

• Distribuição

de Freqüência

• Gráficos de

Dispersão

• Distribuição

de

Freqüência

Relativa

• Gráfico em

Pizza

• Distribuição

de Freqüência

Relativa

• Histograma

• Distribuição

de

Freqüência

Percentual

• Distribuição

de Freqüência

Percentual

• Ogiva

• Distribuição

de

Freqüência

Percentual

• Distribuição

de Freqüência

Cumulativa

• Apresentação

de Ramo-e-

Folha

• Distribuição

de Freqüência

Relativa

Cumulativa

• Diagrama de

dispersão

• Distribuição

de Freqüência

Percentual

Cumulativa

• Tabulação

Cruzada


31

Exercícios

1.O quadro abaixo apresenta as notas dos 35 alunos de uma turma em avaliação da

disciplina Fundamentos e Metodologia da Matemática II, cujo valor foi 20,0 créditos:

7,0 13,0 12,0 15,0 3,0 15,0 17,0

10,0 17,0 7,0 10,0 18,0 15,0 12,0

10,0 12,0 11,0 11,0 11,0 16,0 15,0

10,0 12,0 11,0 10,0 12,0 13,0 12,0

18,0 16,0 12,0 13,0 15,0 18,0 10,0

Com base nesses dados, construir:

a) Construir a distribuição de freqüências

b) Construir o histograma

c) quantos alunos conseguiram nota até 11,0 nessa avaliação?

d) considerando que a média nessa avaliação é 12,0, qual a porcentagem de alunos

que conseguiu alcançar ou superar a média?

2.Com o objetivo de divulgar um de seus produtos, determinada indústria entrevistou

600 pessoas para saber qual veículo de informação (jornal, rádio, revista e televisão) era

mais utilizado por elas. Dentre os entrevistados, 72 preferiam jornal, 276 rádio, 42

revista e 210 televisão. Construir uma tabela relacionando os quatro veículos de

informação e as freqüências absoluta e relativa.

3.Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:

6 5 2 6 4 3 6 2 6 5

1 6 3 3 5 1 3 6 3 4

5 4 3 1 3 5 4 4 2 6

2 2 5 2 5 1 3 6 5 1

5 6 2 4 6 1 5 2 4 3


32

Forme uma distribuição de freqüências e construa o histograma:

A seguir, responda as perguntas abaixo:

a) qual a porcentagem de vezes em que saiu um número menor que 4

b) qual a porcentagem de vezes em que o resultado do dado foi um número maior ou

igual a 3?

c) indique a porcentagem de vezes em que o número anotado foi par:

4. Um dado foi jogado 25 vezes, sendo obtidos os seguintes pontos:

1,5,6,5,2,2,2,4,6,5,1,1,3,4,6,2,3,3,1,6,6,5,5,4,2

Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas e relativas. A seguir,

construa o histograma:

Observando a tabela acima , responda:

a) Quantas vezes o numero 2 foi obtido no dado?

b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5?

c) Qual o índice em % em que o número 6 foi obtido no dado?

d) Qual o índice em % em que números maiores que 4 foram obtidos no dado?

5. Dada a distribuição de freqüência:

xi 3 4 5 6 7 8

FA 2 5 12 10 8 3

6. O quadro mostra a distribuição de freqüências dos salários mensais (agrupados em

classes) de 40 empregados de uma firma:

Determine: a) N: b) as freqüências relativas


33

Salário (em reais) Número de empregados (fi)

800 | 900 4

900 | 1 000 10

1 000 | 1 100 18

1 100 | 1 200 5

1 200 | 1 300 3

a) Qual a amplitude do intervalo de classe?

b) construa o histograma:

c) Quantos empregados ganham menos que R$ 1 000,00 mensais?

d) Qual o índice, em porcentagem, de empregados que ganham R$ 1 000,00 ou mais?

e) Quantos empregados ganham entre R$ 800,00 (inclusive) e R$ 1 200,00?

f) Qual o índice, em porcentagem, de empregados que ganham menos que R$1

000,00?

7.Foi realizada uma pesquisa com 40 pessoas que procuravam um carro popular usado

para comprar, de modo a levantar o carro que pretendiam comprar. A pesquisa foi

encomendada por um centro de vendas de carro aqui de Belo Horizonte, e apresentou os

seguintes resultados:

Gol Pálio Uno Corsa Sedan Ford Ka Gol Gol Uno Ford Ka Pálio Gol Uno Uno Pálio Uno Gol Pálio Uno Pálio Corsa Sedan Gol Uno Gol Gol Ford Ka Pálio Uno Ford Ka Ford Ka Gol Uno Uno Pálio Gol Pálio Corsa Sedan Ford Ka Uno Pálio Gol

A partir desse levantamento, construa uma tabela com freqüência absoluta e relativa e o

diagrama. Determinar o carro mais procurado e também o menos procurado:


34

8.Uma loja de calçados vendeu quarenta pares de tênis com a seguinte numeração:

37 39 37 33 37 41 37 35 37 35

37 39 37 33 37 41 37 35 37 35

37 39 37 33 37 39 37 35 37 35

37 39 37 33 37 39 37 35 37 35

a) construir o histograma:

IV. MEDIDAS ESTATÍSTICAS – TENDÊNCIA CENTRAL

Medidas de tendência central (dados não agrupados)

Há diferentes maneiras de definir o centro e/ou o meio de um conjunto de dados, assim,

há diferentes definições de medidas de tendência central: a média, a mediana, a moda, o

ponto médio e outros.

Ponto Médio: É o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor

observado na amostra. Sua fórmula é apresentada a seguir:

2

rmenor valo r maior valo += MédioPonto

Exemplo 1: Determine o ponto médio dos tempos de sobrevivência (após a posse) dos

10 primeiros presidentes americanos, em anos: 10 29 26 28 15 23 17 25 0 20

Ponto Médio = (29 + 0) / 2 = 14,5 anos

Moda: É o valor que ocorre com maior freqüência no conjunto de dados. Esta estatística

apresenta dois problemas básicos, pode não existir ou existir várias, e também não leva

em consideração todos os dados.

Exemplo 2: Na inspeção de qualidade, antes da remessa, foram examinados 15 rádios,

onde a quantidade de defeitos por unidade era de: 1 0 3 4 2 1 0 3 1 2 0 1 1 0 1.

Encontre a moda desta amostra.


35

Mo = 1 defeito (4 rádios)

Média Aritmética: É o valor obtido somando-se todos os valores do conjunto de dados

e dividindo-se pelo número de observações da amostra. Esta medida de tendência

central é a mais utilizada. Suas principais vantagens são a utilização de todos os dados

da amostra e é uma estatística que funciona bem em quase todos os métodos estatísticos.

Apresenta uma desvantagem relevante, que é a forte influência de pontos extremos em

seu valor. É comumente representada por x . Sua fórmula é apresentada a seguir:

n

x )x( Média∑= , onde n é o tamanho da amostra

Exemplo 3: Determine média aritmética dos tempos de sobrevivência (após a posse) dos

10 primeiros presidentes americanos, em anos: 10 29 26 28 15 23 17 25 0 20

19,310

193

10

2002517231528262910 ==+++++++++== ∑n

xx i anos

Mediana: É o valor do meio do conjunto de dados, quando este se encontra em ordem

crescente ou decrescente. A Mediana é comumente utilizada porque se trata de uma boa

escolha quando há alguns valores extremos. A restrição a seu respeito é por não levar

em consideração todos os dados. É comumente representada por x~ . A duas formas de

encontrar a média quando o conjunto ordenado ter uma quantidade par de valores ou

ímpar.

Exemplo 4: Determine a mediana dos pagamentos realizados às bandas de um concerto

de rock, em reais (R$): 500 600 800 50000 1000 500 700

Mediana = Ordenando os valores temos 500 500 600 700 800 1000

50000, assim a mediana deste conjunto de dados será R$ 700

Exemplo 5: Determine a mediana se o primeiro valor (R$500) dos dados acima não

estivesse na amostra.

Mediana= Ordenando os valores temos: 500 600 700 800 1000 50000,

assim (700 + 800) / 2 = 750, assim a mediana será R$750.


36

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

amostra

Exercício 1: Uma amostra de 20 operários de uma companhia apresentou os seguintes

salários recebidos durante certa semana, em dólar (US$), e apresentados em ordem

crescente: 140 140 140 140 140 140 140 140 155 155 165 165 180 190 200

205 225 230 240 250. Calcular a) a média, b) a mediana, c) a moda e o ponto médio

para este grupo de salários.

Observação: existe uma relação muito importante entre a média, a mediana e a

moda:em uma distribuição simétrica, observa-se que a Média=mediana=Moda.

Moxx ≅≅ ~

Entretanto, em uma distribuição assimétrica positiva observa-se que a Média >

Mediana > Moda, e em uma distribuição com assimetria negativa, observa-se

que a Média < Mediana < Moda. Portanto, temos:

Resumindo as propriedades, temos:

Moda Mediana Média Média Mediana Moda


37

Medida Definição Quão

Freqüente Existência

Levam

em

conta

todos

os

valores

?

Afetada

pelos

valores

Extremos

?

Vantagens e

Desvantagens

Média n

xx i∑=

“média”

mais familiar

Existe

sempre Sim Sim

Usada em todo

este curso;

funciona bem

com muitos

métodos

estatísticos.

Mediana Valor do meio Usada

comumente

Existe

sempre Não Não

Costuma ser

uma boa

escolha se há

alguns valores

extremos

Moda Valor mais

freqüente

Usada às

vezes

Pode não

existir; pode

haver mais

de uma

moda.

Não Não

Apropriada para

dados ao nível

nominal

Ponto

Médio 2

menormaior+

Raramente

usada

Existe

sempre Não Sim

Muito sensível a

valores

extremos.

Média Aparada: É calculada da mesma forma que a média aritmética, desconsiderando

apenas os valores extremos. Esta medida de tendência central é muito utilizada quando

se têm valores outliers (discrepantes).

Média Ponderada: A fórmula da média aritmética supõe que cada observação tenha a

mesma importância, mas no caso da Média Ponderada isto não ocorre, pois cada


38

observação é ponderada de acordo com o seu grau de importância. A fórmula para o

cálculo é:

Média Ponderada =

∑

∑

=

=n

1ii

n

1iii

w

xw

, onde wi é o peso da observação xi.

Exemplo 6: Uma determinada carteira de valores a receber é composta por três ativos

com seus prazos de cobrança. Calcule o prazo médio de recebimento ponderando com

os respectivos valores.

Ativo Prazo de

Cobrança (dias)

Valor

A 47 $22600,00

B 76 $68000,00

C 91 $134000,00

Média Ponderada = 82224600

18424200

1340006800022600

1340009168000762260047 ==++

×+×+× dias

Média Geométrica: Obtém-se esta média calculando a raiz nésima da multiplicação de

todos os n valores do conjunto de dados. É largamente utilizada na Administração e na

Economia para achar taxas médias de variação, ou de crescimento. É expressa da

seguinte forma:

Média Geométrica = n

n

iix∏

=1

, se x é um número,

Média Geométrica = =−+∏=

1)1(1

n

n

iir , se r é uma taxa

Exemplo 7: Qual é a Média Geométrica dos números 2, 4, 10:

Média Geométrica = 3,410*4*23

1

==∏=

n

n

iix


39

Exemplo 8: Seja um fundo de ações com as seguintes cotas ($) anuais:

Ano Cota ($) Taxa de Retorno (r)

1 100 ––

2 200 100%

3 200 0%

4 200 0%

5 100 –50%

Sabemos que a média aritmética do retorno é de 12,5%, calcule a Média Geométrica:

Média Geométrica =

%000,011105,0*21)50,01(*)00,01(*)00,01(*)00,11( 444 ==−=−=−−+++

Observação: podemos ver claramente que o valor da cota iniciou com 100 e terminou

com 100, ou seja, não tendo nenhum aumento, logo a Média Geométrica representa

melhor a taxa de retorno do fundo de ações que a média aritmética.

Exercícios

1. As alturas dos jogadores de um time de basquete são 1,98 m,2,02 m, 2,08 m, 1,92 m e

1,95 m. Qual é a média de altura desse time?

2. Um comerciante mistura 4 kg de café tipo A, que custa R$ 6,00 o quilo; 10kg do café

B, que custa R$ 5,60 o quilo; e 6 kg do café C, que custa R$ 5,00 o quilo. Qual o preço

por quilo da mistura?

3. Em uma casa de repouso, as pessoas internadas têm as seguintes idades:


40

67 67 67 68 68 68 68 71 71 71 72 72

73 73

73 73 74 74 74 74 75 75 75 75 75 77

77 77

78 78 80 80 80 84 84 84 84 85 85 85

Calcular a média dessa distribuição

5. Determine a média e a moda do conjunto de dados representado pelo quadro:

xi 8 12 16 20

f i 7 16 20 5

6. Os dados a seguir representam as massas, em quilogramas, dos atletas de uma equipe

juvenil de natação:

46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 42

Determine a mediana e a moda dessa distribuição:

7. Calcule a média e a moda do conjunto de dados representados pelo quadro:

xi 10 15 20 25 30

f i 9 21 10 32 8

8.Os preços, em reais, para uma amostra de aparelhos de TV 21 polegadas estão abaixo.

500 840 470 480 420 480 440

Com base nos preços levantados, responda:

a) qual o preço médio dos aparelhos de TV?

b) encontre o preço mediano (Mediana):


41

c) determine a moda dos preços dos aparelhos de TV:

d) a produção do aparelho de TV cujo preço é R$ 420,00 é suspensa. Qual o preço

mediano dos aparelhos restantes?

9. Com o objetivo de orientar pessoas com problemas cardiovasculares, um nutricionista

divulgou tabela relacionando determinados alimentos com a gordura saturada:

Alimento/ informação da

quantidade

Gordura saturada ( em gramas)

Leite integral (1 copo) 5,1

Carne de porco (100 g) 3,2

Bife magro ( 100 g) 2,7

Fígado (100 g) 2,5

Frango (100 g) 2,0

Iogurte desnatado ( 1 copo) 1,8

Ovo (1) 1,7

Lula ( 100 g) 0,4

Camarão ( 100 g) 0,2

Óleo de coco (colher de sopa) 0

Óleo de milho (colher de sopa) 0

Determinar para esses dados:

a) a média de gordura saturada entre os alimentos listados:

b) a moda e a mediana:

10. No quadro seguinte estão as idades de 20 alunos que cursam o 1º ano do ensino

médio de uma determinada escola:

15, 15, 14, 16, 16, 16, 17, 16, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 16, 15, 14, 15


42

Nessas condições:

a) faça um quadro de distribuição de freqüências absolutas:

b) qual é a média aritmética dessa turma?

V. MEDIDAS ESTATÍSTICAS

Medidas de Dispersão ou Variabilidade

Porque muitos bancos apresentavam filas separadas para os diversos guichês, e que

passaram a adotar a fila única? Qual o motivo dessa modificação?

Exemplo 1: Notas de 2 grupos de estudantes.

Grupo A – 8 8 8 6 5,7=x todos aprovados

Grupo B – 5 5 10 10 5,7=x 50% de reprovados

Amplitude: É a diferença entre o maior valor e o menor valor. Esta depende apenas do

menor e do maior valor, portanto não é tão boa quanto outras medidas de variação que

levam em conta todos os valores.

Amplitude = X(n) – X(1)

Exemplo 2: Calcule a amplitude do tempo de espera na fila em dois bancos distintos:

Banco A (Fila única) – 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7

Banco B (Fila múltipla) – 4,2 5,4 5,8 6,2 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0

Amplitude A= 7,7 – 6,5 = 1,2 minutos

Amplitude B= = 10,0 – 4,2 = 5,8 minutos

Podemos observar que a variação no segundo banco, onde se tem fila múltipla, é bem

maior.

O critério mais utilizado para medir a dispersão dos dados é a distância em relação à

média. Para cada observação calcula-se xxi −


43

A medida total da dispersão é a soma dos desvios ponderada pelo número de

observações: ( )

n

xxi∑ −, entretanto esta soma é zero.

Desvio Médio: Uma estatística que realmente meça a variação é definida pela soma dos

valores absolutos, que é dada por:

Desvio Médio = n

xxi∑ −

Exemplo 3: Dado o seguinte conjunto de tempos de reação (em segundos) de seis

indivíduos a um estímulo, 4 2 3 3 6 3, calcule a média e o desvio médio.

Solução: Média 5,36

21)( ==x

Desvio Médio= =−+−+−+−+−+−

6

5,335,365,335,335,325,34 1

Variância: Utiliza-se a soma dos quadrados dos desvios em relação à média, que

denotamos por Variância, e definimos como:

( )

1

2

2

−−

= ∑n

xxs

i ou 1

22

2

−−

= ∑n

xnxs

i ou

( )1

22

2

−

−=

∑∑n

nx

xs

ii

onde n é o tamanho da amostra, e ( )

N

xxi

2

2 ∑ −=σ ,onde N é o tamanho da população.

Desvio Padrão: É a raiz quadrada da variância. Definida também como a variação

média dos valores em torno da média. A grande vantagem é que esta medida está na

mesma escala das observações. É dada por

( )

1

2

−−

= ∑n

xxs

i ou

1

22

−−

= ∑n

xnxs

i ou

( )1

22

−

−=

∑∑n

nx

xs

ii

Algumas propriedades:


44

1) se uma constante c é adicionada ou subtraída de todos os elementos da amostra, o

desvio padrão não se altera;

2) se uma constante c é multiplicada por cada elemento, o desvio padrão também será;

3) Se a distribuição da variável é simétrica, pode-se mostrar que:

68% das observações estão no intervalo[ ]sxsx +− ,

95% das observações estão no intervalo[ ]sxsx 2,2 +−

99% das observações estão no intervalo[ ]sxsx 3,3 +− .

Exemplo 4: Dado o seguinte conjunto de tempos de reação (em segundos) a um

estímulo de seis indivíduos, 4 2 3 3 6 3, calcule a média, a variância e o desvio

padrão.

5,36

2121 ==⇒=∑ xxi ∑ =+++++= 83936994162

ix

38,19,19,116

)5,3(683 22 ==⇒=

−×−

= ss

Coeficiente de Variação: Toma-se uma medida relativa da variabilidade comparando o

desvio padrão com a média. Esta medida é o coeficiente de variação, que é dado por:

x

scvode VariaçãeCoeficient =)(

Sabemos que o desvio padrão tem a mesma unidade de medida que os dados, de modo

que o coeficiente de variação é adimensional. Assim, esta medida torna-se de grande

utilidade, pois nos permite comparar as variabilidades de diferentes conjuntos de dados.

Exemplo 6: Considerando as informações abaixo relacionadas a respeito de dois

investimentos em ação, calcule os coeficientes de variação e comente.

Ação A %0,24=x %0,11=s

Ação B %0,30=x %0,15=s

Solução: Os coeficientes de variação são:

Ação A = %8,45458,024,0

11,0 == Ação B = %0,5050,030,0

15,0 ==


45

Conclui-se que a Ação B apresenta menor variabilidade em relação à sua expectativa de

retorno, portanto menor risco relativo.

Exercício 1: Encontre a média, a variância e o desvio padrão dos dados abaixo:

A B C D

10,5 6,1 3,7 2,4

8,5 12,5 14,8 8,9

10,1 7,8 16,9 6, 2

8,8 12,1 13,0 24,2

7,5 2,5 10,8 12,9

11,8 3,9 15,5 16,2

6,8 12,7 12,6 3,9

12,0 4,3 -1,1 10,0

11,2 8,4 7,0 9,5

10,2 3,9 17,5 22,4

Exercício 2: A tabela a seguir apresenta o retorno esperado e o risco de cinco possíveis

projetos de uma instituição que podem ser implementados, entretanto, por questões

financeiras apenas dois poderão ser desenvolvidos, um imediatamente, e outro daqui um

ano. Determine o melhor projeto no qual já será implementado imediatamente e o

segundo melhor que será implementado posteriormente.

VI. MEDIDAS ESTATÍSTICAS

Projetos Retorno Esperado (%) Risco (%)

A 50,0 18,0

B 30,0 12,3

C 16,0 6,4

D 35,0 15,4

E 20,0 9,6


46

Medidas de Posição

Escore Padronizado: O escore padronizado é o número de desvios padrão pelo qual

um valor x dista da média (para mais ou para menos). Ou seja:

s

xxz

−= ; onde se deve arredondar z para duas casas decimais.

A importância dos escores z na estatística reside no fato de que eles permitem distinguir

entre valores usuais e valores raros, ou incomuns. Consideramos usuais os valores cujos

escores padronizados estão entre –2,00 e 2,00, e incomuns os valores com escore z

inferior a –2,00 ou superior a 2,00.

Exemplo 1: As alturas de crianças de um ano e meio têm média µ=100 cm e desvio

padrão σ=5 cm. A pediatra avaliou a altura (em cm) de quatro crianças: 115 93 108

86. Alguma criança merece especial atenção?

00,35

100115 =−=⇒−= z

xz

σµ

→ NÃO É NORMAL

40,15

10093 −=−=⇒−= z

xz

σµ

60,15

100108 =−=⇒−= z

xz

σµ

80,25

10086 −=−=⇒−= z

xz

σµ

→ NÃO É NORMAL

Quartis, Decis e Percentis: Assim como a mediana divide os dados em duas partes

iguais, os três quartis, denotados por Q1, Q2, e Q3 , dividem as observações ordenadas

(dispostas em ordem crescente) em quatro partes iguais. Assim Q1 separa os 25%

inferiores dos 75% superiores dos valores ordenados; Q2 é a mediana; e Q3 separa os

75% inferiores dos 25% superiores dos dados.


47

Analogamente, há nove decis, denotados por D1, D2, D3, . . . , D9, que dividem os dados

em 10 grupos com cerca de 10% deles em cada grupo. Há, finalmente, 99 percentis,

que dividem os dados em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo.

Para se calcular os percentis façam os seguintes passos:

Primeiramente ordenam-se os valores em ordem crescente. Pontuando suas posições .i

Para se encontrar a posição i correspondente ao percentil desejado utiliza-se a seguinte

fórmula: nP

i ×=100

;

Onde P = percentil desejado e na quantidade de dados.

Se o valor encontrado da posição i for fracionário o valor desejado daquele percentil

será o dado correspondente a esta posição arredondada para cima.

Se o valor encontrado da posição i for inteiro o valor desejado daquele percentil será

2

)1( ++ ii, ou seja, o valor do dado encontrado na posição i somado com o valor

encontrado na posição 1+i ( o próximo valor ordenado) divido por 2.

Exemplo 2: Determine, por inspeção, o 25º percentil destes dados

Posição i : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Dados: 10 25 62 65 73 86 91 104 124

Resolvendo:

Notem que os dados estão ordenados então:

25,29100

25 =×=i . Percebemos que o valor da posição i foi fracionário então

arredondando para cima temos que 3=i . O dado correspondente a esta posição é o 62.

Então o 25º percentil é o valor 62. Sendo assim para este conjunto de dados 25% estão

abaixo de 62 e 75% acima.

Vamos encontrar o 50º percentil.

Posição i : 1 2 3 4 5 6 7 8

Dados: 2 3 5 8 9 12 13 15

48100

50 =×=i . O valor da posição i foi inteiro então o valor do 50º percentil será o

dado nesta posição somado com o próximo dividido por 2. 5,82

9850 =+=P .


48

Percentis pelo gráfico Ogiva: Pode-se encontrar através de representação gráfica.

Exemplo 3: Temos a quantidade de gramas dos bifes de um restaurante:

1

7

0

1

7

5

1

8

0

1

8

5

1

9

0

1

9

5

2

0

0

2

0

0

2

0

0

2

0

5

Valor ni Ni Fi

170 1 1 0,10

175 1 2 0,20

180 1 3 0,30

185 1 4 0,40

190 1 5 0,50

195 1 6 0,60

200 3 9 0,90

205 1 10 1,00

2005,1772

1801755,192

2

195190312 ==+==+= QQQ

Exercício 1: Sejam os dados a seguir, já ordenados do menor para o maior, de 50

observações, em decibéis, do nível de ruído de tráfego em certo cruzamento. Determine

o Q1, Q2, Q3, D1, D9, P2, P9.


49

52,0 54,4 54,5 55,7 55,8 55,9 55,9 56,2 56,4 56,4

56,7 56,8 57,2 57,6 58,9 59,4 59,4 59,5 59,8 60,0

60,2 60,3 60,5 60,6 60,8 61,0 61,4 61,7 61,8 62,0

62,1 62,6 62,7 63,1 63,6 63,8 64,0 64,6 64,8 64,9

65,7 66,2 66,8 67,0 67,1 67,9 68,2 68,9 69,4 77,1

Gráfico de Box Plot: É um gráfico particularmente útil para comparar a distribuição de

amostras em diferentes grupos. Para a construção do boxplot são utilizadas as seguintes

estatísticas: mínimo, primeiro quartil (valor que deixa 25% dos dados abaixo), terceiro

quartil (valor que deixa 75% dos dados abaixo) e máximo.

Exemplo 4: Seja algumas estatísticas descritivas do Peso de Alunos separados por

sexo.Construa o gráfico de Box Plot.

Variável Mínimo Q1 Q2 Q3 Máximo Outlier

Todos Alunos 45 50 60 75 95 30, 120

Sexo Fem 45 50 55 60 70 30

Sexo Mas 60 65 75 85 95 120

Maior Valor

Menor Valor

Q3

Q2

Q1

* Outliers*

**

**

AA BB CC DD


50

Exercício 2: Temos a população (em 10000) dos 15 municípios mais populosos do

Brasil. Construa o gráfico Box Plot. (Fonte: IBGE 1996)

Cida

de

Pop. Cidade Pop. Cidade Pop.

São Paulo 988,

8

Brasíli

a

187,

7

Belém 116,

0

Rio de

Janeiro

556,

9

Curitib

a

151,

6

Goiânia 102,

3

Salvador 224,

6

Recife 135,

8

Guarulh

os

101,

8

Belo

Horizonte

210,

9

Porto

Alegre

129,

8

Campina

s

92,4

Fortaleza 201,

5

Manau

s

119,

4

São

Gonçalo

84,7

Exercícios

1. As velocidades máximas das cinco voltas dadas em um teste de Fórmula 1, em km/h,

foram: 190, 198, 196, 204, 202. Nessas condições, determine:

a) a média das velocidades b) a variância

c) o desvio padrão d) o coeficiente de variação

2. Dez canções concorrentes a um festival foram apreciadas por um júri que lhes

atribuiu as seguintes pontuações: 1; 5; 4; 3; 2; 1; 1; 1; 5; 2.

a) elabore uma tabela com as freqüências

b) calcule a moda e a mediana

c) determine o desvio padrão e o coeficiente de variação

3. O tempo gasto por seis alunos para fazer um trabalho foi, em minutos, 6, 5, 5, 3, 3, 2.

Nessas condições, calcule a média aritmética, a variância e o desvio padrão dessa

distribuição:


51

4. O quadro mostra as notas de uma prova de Matemática feita pelos alunos do 1º no do

ensino médio de um determinado colégio:

Nº.do

aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Nota 8 5 4 4 3 6 2 4 7 6 6 5 4 8 9 7 6 6 5 5 5 2 4 3 3

Nessas condições:

a) organize um quadro de distribuição de freqüências absolutas e freqüências relativas:

b) determine a média aritmética da distribuição

c) determine a moda e a mediana da distribuição

d) determine o desvio padrão e o coeficiente de variação da distribuição

5. Uma pesquisa dividiu em três micro-regiões (X, Y, Z) a região norte do estado de

Minas Gerais. Cada uma dessas micro-regiões foi dividida em cinco municípios. A

tabela seguinte informa o grau de satisfação (notas de 0 a 100) da população de cada

município em relação à respectiva administração municipal:

Região X 50 50 50 50 50

Região Y 70 60 30 40 50

Região Z 90 20 10 50 80

a) calcular o desvio padrão das notas dadas à administração municipal de cada região

pesquisada

b) determinar o coeficiente de variação de cada região

c) classificar em ordem crescente as regiões em relação à regularidade das notas

atribuídas

6. Para o conjunto de valores seguinte, determine o desvio padrão e o coeficiente de

variação:

70, 65, 60, 65, 68, 72, 60

VIII. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE


52


53


54


55


56


57

Distribuição Normal

Agora trataremos daquela que pode ser considerada a mais importante variável

aleatória, a distribuição Normal. Tal importância se deve ao fato de ser muito utilizado

no desenvolvimento teórico da teoria de probabilidade e estatística como também por

ser muito útil à aproximação nos cálculos de probabilidades de outras variáveis

aleatórias.

Dizemos que uma variável aleatória segue um modelo Normal com média µ e variância

(Notação: X~N(µ, )) se sua função densidade é dada por:

, .

Onde, e .

A distribuição normal possui propriedades interessantes, os quais são relacionados a

seguir:

a) é simetria em relação à média µ;

b) quando ;

c) O valor máximo de se dá para .

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

Figura 4. Densidade de uma variável X~N(0,1)


58

A distribuição de probabilidades acumuladas da normal não pode ser obtida

analiticamente, e a obtenção de probabilidades em intervalos na reta é feita por

aproximação e através de métodos numéricos. Por este motivo, os livros e softwares

estatísticos consultam tais probabilidades associadas à normal tendo como referencial a

tabela da normal com média zero e variância 1, pois a partir desta é possível obter

probabilidades para normais com quaisquer outros parâmetros. Este recurso é possível

graças ao que chamamos de padronização de variáveis aleatórias.

A padronização de uma variável aleatória é feita subtraindo-se sua média e dividindo o

resultado pelo seu desvio padrão. Qualquer variável aleatória passa a ter média zero e

variância 1 após passar por esta transformação de padronização. Como combinações

lineares de variáveis normais resulta em Normais, então, pode-se passar de uma

normal( ) para uma normal(0,1) e vice versa, ou seja:

Seja a variável obtida por uma transformação linear de uma X normal( ) da

seguinte forma:

, portanto, ~N(0,1).

Então,

, portanto, a probabilidade de X ser menor ou

igual a um x é exatamente igual a obter a probabilidade de ser menor ou igual a ,

mas , como já falamos, é normal(0,1), e se tivermos de posse de uma tabela da normal

padronizada, ou seja, da normal(0,1), podemos obter a probabilidades de interesse para

normais com quaisquer parâmetros e .


59

Tabelas de Z

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 0 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,50 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,60 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,70 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,80 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,90 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

2,00 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,10 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,20 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,30 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,40 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,50 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,60 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,70 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,80 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,90 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986


60

VIII. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM II

A amostragem consiste, essencialmente, em selecionar itens de uma população, com

vistas a investigar alguma característica dessa população. Os itens selecionados

compõesm o que se denomina amostra (uma parte ou uma parcela da população

escolhida de maneira conveniente) e a quantidade desses itens é denomindado tamanho

da amostra. A partir das propriedades da amostra inferem-se, isto é, concluem-se) as da

população. É um instrumento valioso para obter dados ou informações de forma rápida,

econômica e precisa.

Mas, como determinar o tamanho ideal para uma amostra?

Um dos passos mais importantes no processo de inferência estatística consiste na

determinação do tamanho da amostra. Esse “tamanho” dependerá do grau de confiança

desejado, da quantidade de dispersão entre os valores individuais da população e do erro

tolerável no processo. A depender do tamanho da população (finita ou infinita) e de o

fato de o desvio padrão populacional ser ou não conhecido, deferente será o processo de

cálculo do tamanho da amostra.

Variáveis quantitativas, desvio conhecido e população infinita

É importante destacar que o desvio e o erro devem estar referenciados sempre na mesma

unidade.

Ex.: um pesquisador precisa analisar os rendimentos mensais de trabalhadores

assalariados da lavoura em uma determinada localidade. Ele definiu que o erro máximo

aceitável deve ser igual a R$ 16,00. Sabe-se que o desvio padrão populacional dessa

classe de trabalhadores assalariados é igual R$ 63,00 e o nível de confiança da pesquisa

é igual a 99%. Qual deve ser o tamanho da amostra a ser estudada?

Para um nível de confiança bilateral igual a 99%, o valor de z é 2,57, logo

2

=e

znσ


61

Aproximando para cima, tem-se um tamanho de amostra igual a 103 elementos.

Variáveis quantitativas, desvio desconhecido e população infinita

Ex.: suponha que um pesquisador tenha analisado uma amostra formada por 200 frascos

de perfume produzidos por uma imortante indústira do Sul do país. O volume contido

nos frascos revelou um desvio padrão amostral igual a 20 ml. Caso o pesquisador

precisasse extrair uma amostra, empregando um nível de confiança igual a 95%e um

erro máximo tolerável para a média igual a 1 ml, qual seria o tamanho ideal da amostra?

Assim, o tamanho da amostra analisada deveria ser igual a 1.537 elementos.

Variáveis quantitativas, desvio conhecido e população finita

Ex.: uma associação formada por 420 indústrias projetou um desvio padrão dos lucros

anuais de seus associados como sendo igual a R$ 40.000,00. Sabe-se que a entidade

precisa estimar o lucro anual médio com um erro máximo tolerável igual a R$ 2.000,00

e um nível de confiança igual a 95%. Quantas empresas precisariam ser analisadas em

uma amostra representativa?

4018,10216

6357,2

2

=

=n

2

=e

szn

6400,536.11

2096,1

2

=

=n

( )1222

22

−+=

Nez

Nzn

σσ


62

Aproximadamente, 331 empresas deveriam ser analisadas.

Variáveis quantitativas, desvio desconhecido e população finita

Uma amostra aleatória formada por 50 embalagens de ração de um lote formado por

5.000 embalagens apresentou um desvio padrão amostral do peso igual a 28g.

assumindo um erro máximo tolerável associado à média populacional igual a 4g e um

nível de confiança igual a 95%, o tamanho da amostra a ser analisada pode ser obtido

por meio da equação anterior:

Seria preciso analisar 182 embalagens

Variáveis qualitativas e população infinita

Um pesquisador precisa determinar o tamanho de uma amostra para estimara a

verdadeira percentagem populacional com um erro máximo igual a 5% e utilizando um

nível de confiança de 95%.

( )( )( )( ) ( ) ( ) 0141,330

1420000.2000.4096,1

000.4096,12222

22

=−+

=n

( )1222

22

−+=

Nesz

Nszn

( )( )( )( )( ) ( ) ( ) 4438,181

1000.542896,1

000.52896,12222

22

=−+

=n

22 25,0

ezn =


63

Variáveis qualitativas e população finita

Imagine que um pesquisador precisasse dimensionar uma amostra de eleitores a

entrevistar em um vilarejo com 2.000 habitantes. Pretende inferir qual o percentual de

eleitores que pensam em votar no atual prefeito. O pesquisador precisa assumir um erro

máximo igual a 8%

100 eleitores, aproximadamente.

IX. TESTES DE HIPÓTESES

Pode-se dizer que sem o “empirismo” a estatística não existiria.

Os dados observados em uma amostra aleatória espelham o comportamento da variável

aleatória sob estudo. Existe uma dualidade entre informação empírica e distribuição de

probabilidade real do fenômeno de interesse.

Quando temos interesse em acessar o modelo de probabilidade de uma variável aleatória

utilizamos uma ou mais amostras para fazer aproximações sobre tal modelo.

Nas situações em que o interesse não é apenas estimar, mas, especialmente, verificar se

uma suposição, associada ao modelo de probabilidade de uma variável aleatória, é

verdadeira, utilizamos o que é chamado na literatura estatística de “Teste de Hipóteses”.

( ) 16,38405,0

25,096,1

2

2 ==n

( )1)25,0(

)25,0(22

2

−+=

Nez

Nzn

( ) 8663,991000.208,0)25,0(64,1

000.2)25,0(64,122

2

=−+

=n


64

Por exemplo:

Digamos que se supõe que a renda média na região metropolitana de Belo Horizonte

seja de R$900,00. Um pesquisador coleta uma amostra aleatória de pessoas desta cidade

e obtém uma média amostral de R$780,00. O valor obtido com esta amostra confirma a

suposição sobre os R$900,00?

Observamos que este questionamento é probabilístico. A cada amostra retirada da

população, um valor diferente será observado, mas, tais valores tenderão a oscilar no

entorno do verdadeiro valor da média, que é aquele que observaríamos se

entrevistássemos a população por completo. Portanto, podemos usar a probabilidade

associada com a ocorrência do valor R$780,00 no caso em que a média real é R$900,00.

O interesse, portanto, é verificar se o valor observado é típico sob a hipótese de media

R$900,00.

No caso da distribuição ser Normal, temos os seguintes exemplos:

A Figura acima representa a densidade de duas normais com variância 800, sendo que a

da esquerda, face A, possui média 900, e a da direita, face B, possui média 800. A linha

que corta ambos os gráficos na vertical passam pelo valor 780. Qual é a distribuição

mais verossímil da renda tendo em vista a tipicidade com que ocorre valores inferiores a

780 em cada densidade?

Obviamente, se fôssemos “chutar” baseando-nos nesta amostra rejeitaríamos a hipótese

de que a média é 900, e preferiríamos acreditar que a média 800 é mais plausível. Mas

antes de definirmos formalmente um teste de hipóteses vamos primeiramente introduzir

alguns conceitos importantes ao seu entendimento.

750 800 850 900 950 1000 1050 1100

0.00

00.

005

0.01

00.

015

A

renda

Den

sida

de N

(900

,800

)

650 700 750 800 850 900 950 1000

0.00

00.

005

0.01

00.

015

B

renda

Den

sida

de N

(800

,800

)


65

Parâmetro: Valor constante que define a forma da distribuição de probabilidades de

uma variável aleatória

Exemplo 1.

Seja X uma variável aleatória com distribuição ( )αExp , ou seja, a densidade de X é

dada por:

, x > 0.

O parâmetro da variável aleatória X é .

Inferência estatística: É qualquer procedimento que utiliza os dados amostrais para

acessar valores aproximados dos parâmetros associados à distribuição de probabilidade

de uma variável aleatória.

Estatística: Qualquer função dos dados amostrais.

Hipótese: Suposição sobre o valor real do parâmetro da variável aleatória estudada.

No teste de hipóteses estatístico é necessário definir as hipóteses a serem testadas.

As hipóteses podem ser formuladas de várias maneiras, mas as escolhas habituais são:

Teste unilateral, à esquerda ou à direita, e teste bilateral.

Teste unilateral à direita

é o parâmetro a ser testado.

Teste unilateral à esquerda

Teste bilateral

xexf αα −=)(

α

00 : θθ =H

01 : θθ >H

θ

00 : θθ =H

01 : θθ <H

00 : θθ =H

01 : θθ ≠H


66

A notação H0 representa a hipótese principal a ser testada, que é chamada de hipótese

nula. H1 é a hipótese alternativa, que é o caso em que H0 é falsa.

Exemplo 2.

Está sendo lançada uma nova droga para hipertensão e deseja-se investigar se a droga

provoca um efeito melhor que a droga convencional. Baseando-se nas observações do

nível de hipertensão de pacientes submetidos a esta droga, deseja-se testar se o valor da

média desta variável é igual ao verificado com a droga anterior, que é de 10. Portanto,

as hipóteses a serem testadas são:

A amostra coletada apresentou os seguintes valores: 9, 12, 14, 8, 15, 16, 7, 10, 12 e 11.

A média amostral, denotada por X , foi de 11,37.

Baseado nesta amostra deve rejeitar H0? É para oferecer uma resposta razoável para este

tipo de pergunta que formularemos uma metodologia que virá adiante.

A expressão “resposta razoável” não é apenas uma maneira de expressar, pois de fato a

resposta à escolha ou não por H0, devido à natureza aleatória do problema, está sujeita a

dois possíveis erros:

- Erro tipo I: Ocorre quando rejeitamos H0 quando, na realidade, ela é verdadeira.

- Erro tipo II: Acontece quando não rejeitamos H0 quando na verdade ela é falsa.

Define-se desta forma:

P( erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando ela é verdadeira)

Que é a probabilidade de rejeitar H0 quando ela é verdadeira.

P(erro tipo II) = P(não rejeitar H0 quando ela é falsa.

Ou em outros termos:

P(rejeitar H0| H0 é verdadeira) (lê-se: probabilidade de rejeitar H0 dado que ela é

verdadeira)

P(não rejeitar H0| H0 é falsa) (lê-se: probabilidade de não rejeitar H0 dado que ela é

verdadeira)

10:0 =µH

10:1 ≠µH

=α

=β

=α

=β


67

Observação: Nomeamos a probabilidade de rejeitar H0 dado que ela é falsa de “Poder”,

que é igual a . Portanto, quanto maior o poder melhor é o teste.

Testes de hipótese para a média populacional - Variância conhecida

Seja X uma variável aleatória , e considere que a variância seja conhecida

e o interesse é testar hipóteses sobre a média µ . Sabemos que a média amostra X é o

estimador não viciado para µ portanto, vamos usá-la para testar.

Primeiramente é necessário adotar um nível de significância para o teste, que é a

probabilidade de rejeitar H0 dado que H0 é verdadeira, que será denotado por .

Para testar a média populacional, vamos tratar dos três tipos de teste comentados, a

começar pelo teste unilateral à direita:

H0: 0µµ =

H1: 0µµ >

Se o valor de X for muito maior que 0µ , então teremos um indício para rejeição de H0.

Mas, o que seria um valor muito maior?

O que será usado como referência sobre o que seria um valor amostral extremo frente ao

que esperaria sob H0, faz-se uma escolha arbitrária da probabilidade do erro tipo I (α ).

Ou seja, queremos que:

αµµ ==> )|( 0cxXP (lê-se: A probabilidade da variável aleatória X ser maior que

um valor cx , dado que a média verdadeira é igual a 0µ , é igual a α ).

Pode-se escolher α tão pequeno quanto se queira, mas é usual utilizar-se α =0,05.

Portanto, o valor cx define uma região de rejeição da hipótese nula, a que chamaremos

de região crítica. Mas para obtermos esta região crítica na prática, é necessário

conhecermos a distribuição de probabilidade de X . Sabe-se que se a variável aleatória

X possui distribuição N( 2,σµ ), então qualquer transformação linear em X também

possui distribuição normal, e no caso de X , a distribuição é N(n

2

,σµ ), sendo n o

tamanho da amostra utilizada para calcular X , do que temos que o desvio padrão da

média amostra é . Uma observação importante é que, como podemos ver pela

variância de X , quanto maior for o tamanho da amostra, menor será a variação de X .

β−1

),( 2σµN 2σ

α


68

Portanto, supondo que X seja normalmente distribuído com média 0µ e variância 2σ ,

podemos fazer algumas manipulações na expressão da probabilidade do erro tipo I a fim

de direcionar a obtenção da região crítica para a simples tarefa de consultar uma tabela

da normal padronizada, ou seja, da normal com média zero e variância 1. Temos:

)|()|( 00 µµσ

µσ

µµµα =−>−==>= cc

xXPxXP

Sendo σ

µ−= XZ ~N(0,1).

Assim, consultando na tabela da normal padronizada, obtemos o valor cz tal que

.)( α=> czZP

Fazendo-se σ

µ0−= cc

xz temos que o valor crítico é dado por cc zx σµ += 0 , definindo

a região crítica: }:{.. cxxxCR >ℜ∈= . Portanto, dizemos que rejeitamos H0 no teste

unilateral à direita, com um nível de %100α de significância, se o valor de X

observado for maior que cx .

Quanto ao teste unilateral à esquerda:

H0: 0µµ =

H1: 0µµ >

O processo é análogo, pois precisamos encontrar a região crítica de modo que:

)|()|( 00 µµσ

µσ

µµµα =−<−==<= cc

xXPxXP

Ao se encontrar cz que satisfaça α pela tabela da normal padronizada, temos que o

valor crítico no teste unilateral à esquerda para a média populacional também é

cc zx σµ += 0 , com região crítica }:R{.. cxxxCR <∈= . Portanto, dizemos que

rejeitamos H0 no teste unilateral à esquerda, com um nível de %100α de significância,

se o valor de X observado for menor que cx .

Para o teste bilateral:

H0: 0µµ =


69

H1: 0µµ ≠

O processo também segue a mesma filosofia que os unilaterais, à exceção do fato de se

ter uma região crítica constituída por duas sub-regiões disjuntas.

Intuitivamente, nota-se que procuramos os valores extremos que, sob H0, nos indicam o

que seria um valor muito grande ou um valor muito pequeno, ou seja, queremos achar

1cx e 2cx tais que:

α=<> )( 12 Cc xXouxXP . Como estes intervalos são disjuntos, e a distribuição

normal é simétrica, podemos encontrar tal região crítica de modo que:

2)( 2

α=> cxXP e 2

)( 1

α=< cxXP .

Fazendo a padronização de X , e consultando na tabela da normal padronizada para

obtermos 1cz e 2cz , temos que 101 cc zx σµ += e 202 cc zx σµ += , e a região crítica

será: }:R{.. 21 cc xxouxxxCR ><∈= .

Exemplo 3.

Seja X uma variável aleatória N(µ,144). Uma amostra de 100 observações desta

variável foi obtida a fim de testar se µ é 12 ou diferente de 12, sabendo que a média

amostral das 100 observações foi igual a 16,4.

Vemos que este teste é bilateral:

H0: µ=12

H1: µ≠12

Vamos obter a região crítica usando um nível de significância α=0,01.

Como X é uma variável aleatória normal, que sob H0 possui média 12, e com variância

conhecida igual a 144, obtemos que a média amostral também possui distribuição

normal com variância e desvio padrão (12/10 neste exemplo) e, sob H0,

possui média igual à média da variável X, 12.


70

e

Pela tabela da normal padronizada (Apêndice 1) temos que o valor z1 que retorna

probabilidade de 0,01 abaixo dele e o valor z2 que retorna probabilidade de 0,01 acima

dele são, respectivamente, -2,58 e 2,58. Assim temos:

e

Então, rejeitamos H0 se o valor da média amostra for maior que 15,096 ou menor

que 8,904: .

A média obtida com as 100 observações foi igual a 16,4, portanto, rejeita-se H0 ao nível

de 1%, e dizemos que a média da variável X é diferente de 12.

Será que chegaríamos à mesma conclusão se o teste fosse unilateral à direita? Vamos

verificar. As hipóteses são:

H0:

H1:

Então:

Para , temos e consultando na tabela da normal temos que :

E a região crítica é dada por: .


71

Como o valor observado para foi de 16,4, dentro da região crítica, para um teste

unilateral à direita, ao nível de 1%, rejeitamos H0 e concluímos que a média real de X é

maior que 12.

Com este exemplo é possível perceber que a operacionalização do teste de hipóteses

segue os seguintes passos:

1- Estabelecimento das hipóteses;

2- Identificação da distribuição do estimador sob a hipótese nula;

3- Escolha do nível de significância ;

4- Obtenção da região crítica baseada na hipótese nula;

5- Comparação do valor observado com a região crítica.

Testes de hipótese para a média populacional - Variância desconhecida

No caso em que a variância real é desconhecida, o que na prática é mais comum, é

preciso ajustar a construção do teste à estimação da variância.

Apesar da mudança no contexto relacionado à variância, ainda usaremos a média

amostral para estimar a média populacional. E o estimador natural para a variância é a

estatística que é obtida da amostra da seguinte maneira:

É intuitivo que, como é o estimador da variância, queiramos realizar a padronização

de colocando, no lugar de , que não conhecemos, :

Perceba que esta é uma tentativa de fazer uma analogia com a padronização .

Mas o denominador é uma variável aleatória. Isto faz com que a distribuição de

não seja Normal(0,1) como antes em que a variância era conhecida.


72

A distribuição de , no caso em que X possui distribuição normal, pode ser deduzida

teoricamente, e seu nome é distribuição t-Student. O parâmetro da distribuição t-Student

são os graus de liberdade, que, no caso de uma amostra de n observações, tal parâmetro

vale (n-1). A notação para designar uma variável com esta distribuição é T~t(n-1), e a fim

de simplificar notação costuma-se dizer apenas distribuição “ t” ao invés de “t-

Student”.

Assim como no caso da distribuição normal, esta distribuição também possui a

importante característica de ser simétrica, porém, também não é possível obter uma

forma fechada para a integral de sua função densidade em um intervalo, portanto, para a

obtenção de probabilidades associadas à distribuição os livros carregam tabelas dos

percentis mais usados em testes que usam esta distribuição.

Agora já sabemos como obter a região crítica do teste para a média populacional de uma

normal nos casos em que não conhecemos a variância, pois basta colocarmos no

lugar da variância e procedemos da mesma forma que no exemplo 3. O teste unilateral à

direita, por exemplo, ficaria:

, onde , sob H0, denota uma variável

com distribuição t-Student com (n-1) graus de liberdade.

Para obtenção do valor crítico basta consultarmos a tabela da distribuição t(n-1).

Exemplo 4.

Em uma fábrica o processo de produção de uma peça está sob investigação. Sabe-se que

a medida de uma das dimensões desta peça é normalmente distribuída, porém, deseja-se

testar se a média de tal medida é menor ou igual a 6. Foram amostradas 10 peças, as

quais ofereceram média amostra () igual a 5,5 e variância amostral () igual a 4.

As hipóteses a serem testadas são:

H0:

H1:

Usando , vamos obter a região crítica:


73

Da tabela da t9 temos:

.

Como a média observada foi igual a 5,5, que não pertence à região crítica, ao nível de

5%, não rejeitamos H0 em favor de H1.

Valor-p ou Nível descritivo

Em testes de hipóteses é necessário especificarmos a região crítica e, após obtido o

valor da estatística via amostra, compará-lo com o valor cx crítico para a tomada de

decisão quanto a rejeição de H0. Mas, em alguns caos, o valor observado é muito

próximo do valor cx . Voltemos ao exemplo em que testamos:

H0: 12=µ

H1 12>µ

A região crítica deste teste foi . De modo que, se o valor da

média amostral observada ( .obsx ) fosse igual 14,7 não rejeitaríamos H0, mas, 14,7 não

seria também um valor atípico sob a hipótese nula? Este valor é muito próximo da

fronteira cx . Portanto, é necessário, além de comparar o valor .obsx com cx , também

verificar o quanto .obsx é típico sob H0.

Para o teste unilateral à esquerda e nível de significância 01,0=α temos:


74

01222,0)25,2(10/12

127,14

10/12

12)12|( . ≈>=

−>−==>=− ZPX

PxXPpValor obs µ

Ou seja, a probabilidade de obtermos um valor tão extremo quanto 14,7, sob H0, é de

0,01222, que apesar de ser maior que o nível de significância adotado, também nos dá

evidências de que H0 não é razoável.

Na prática devemos agir com bom senso. O nível de significância é apenas um

referencial. Foi concebido para ser usado como referencial e, portanto, o valor-p é que

na verdade é o grande indicado para ditar a favor ou contra H0.

E quanto ao teste bilateral, como fazemos para proceder ao cálculo do valor-p?

Procedemos fazendo o cálculo na direção do que mais desfavorece H0, portanto, se a

média amostral observada for maior que µ sob H0, calculamos

)( .obsxXPpValor >=− , e se .obsx for menor que µ sob H0, calculamos

)( .obsxXPpValor <=− .

Portanto, podemos sempre proceder ao cálculo do valor-p para tomar a decisão sobre

rejeitar ou não H0, pois se o valor-p for menor que α então o valor amostral pertence à

região crítica e H0, portanto, deve ser rejeitada.

O Teorema Central do Limite

Sejam X1, X2, ..., Xn, uma amostra aleatória de variáveis independentes e identicamente

distribuídas. Então, se 2σ é a variância de cada Xi e é finita, então:

)/,( 2 nNX d σµ→ , para n grande,

A notação ),( σµNY d→ significa que uma variável Y tem distribuição Normal para

n muito grande.

Portanto, o Teorema Central do Limite nos diz que a distribuição da média amostral

converge para uma distribuição Normal quando o tamanho da amostra é suficientemente

grande, independentemente da distribuição original de X.


75

Exemplo 5. Seja X o número de unidades defeituosas de um artigo. Seja p a proporção

de unidades defeituosas em determinado lote. 100 artigos são sorteados para inspeção.

Deseja-se testar se 05,0=p ou se é maior. Portanto as hipóteses a serem testadas são:

H0: 05.0=p

H1: 05.0>p

Podemos interpretar X da seguinte maneira: ∑=

=n

iiYX

1

, onde )(~ pBYi (Bernoulli)

E temos que pYE i =)( e )1()( ppYVar i −= .

Se calcularmos Pn

X

n

YY

n

ii

ˆ1 ===∑

= , que é a proporção amostral. Portanto, a proporção

amostral nada mais é do que a tão conhecida média amostral de uma variável aleatória

Bernoulli.

Então, pPE =)ˆ( e n

ppPVar

)1()ˆ(

−= .

Continuando como o exemplo, vamos obter a região crítica do teste para %1=α :

)05,0|ˆ()|ˆ( 0 =>=> ppPPverdadeiraéHpPP cc

Como vimos, pelo Teorema Central do Limite, a média amostral converge para a

distribuição Normal, e, portanto, a proporção amostral (que também é uma média) P

também converge para uma distribuição Normal com média p e variância npp /)1( − .

Então, podemos dizer por aproximação que:

=

−−>

−−==> 05,0|

100/)05,01(05,0

05,0

100/)05,01(05,0

05,0ˆ)05,0|ˆ( p

pPPppPP c

c

01,0100/)05,01(05,0

05,0 ==

−−>≈ αcp

ZP , onde Z ~N(0,1).

Que pela tabela da Normal(0,1):


76

⇒ 10,033,2100/)05,01(05,0

05,0 =⇒=−−

cc p

p.

A região crítica deste teste fica: }10,0:{.. >ℜ∪= xxCR .

Este é um método eficiente de realizar testes de hipóteses para a média amostral nos

casos em que se tem uma grande amostra, mas não se conhece a distribuição da variável

original, ou, assim como vimos por este exemplo, o teste com a distribuição exata da

estatística de teste poderia tornar-se trabalhoso.

Testes para comparação de duas amostras

Os testes que vimos até agora consideraram apenas a avaliação de médias provenientes

de uma amostra, mas, e se, no lugar de testar a média de uma variável usando uma

amostra, quiséssemos comparar as médias de duas variáveis usando duas amostras,

sendo uma amostra de cada uma das duas variáveis.

Exemplo 6. Suponhamos que um novo anticoncepcional esteja sendo testado para ser

lançado ao mercado. Já se sabe que este novo medicamento tem a mesma eficácia que

os já comercializados, porém, acredita-se que este provoque menos retenção de líquido

no corpo das mulheres. 30 mulheres usaram este medicamento durante certo tempo,

enquanto que outro grupo de 20 mulheres, com características biológicas e físicas muito

similares às das primeiras, usaram um dos remédios convencionais. Deseja-se testar se a

retenção de líquido no corpo de mulheres que usam a nova droga é menor ou igual à

média apresentada pelo convencional.

Neste exemplo fica nítida a diferença deste contexto dos que temos trabalhado, pois

temos agora duas populações para comparar e não apenas uma para estudar.

Vamos tratar de 4 diferentes casos que envolvem a comparação de duas amostras:

amostras dependentes e variâncias desconhecidas, amostras independentes com

variâncias conhecidas, amostras independentes com variâncias desconhecidas e iguais

e amostras independentes com variâncias desconhecidas e diferentes.


77

1 - Amostras dependentes (teste t para amostras pareadas)

Imaginemos que, no exemplo 6, ao invés de duas populações de mulheres, os

pesquisadores trabalhassem apenas com as 30 primeiras mulheres. E o procedimento

seria oferecer às mulheres durante períodos disjuntos, os dois medicamentos, tentando-

se garantir ao máximo que, no momento de uso de um dos medicamentos, os resíduos

do outro não restem nos organismo das experimentadoras.

Um argumento que poderia justificar esta metodologia seria o de que, usando-se duas

amostras de mulheres distintas, os pesquisadores não saberiam ao certo se os resultados

do teste se devem de fato aos tratamentos ou se foram influenciados, em algum grau,

pelos fatores biológicos, físicos, psicológicos e hábitos distintos, e impossíveis de

controlar simultaneamente, dos dois grupos.

Vemos então que a principal característica desta abordagem é a realização de duas

medições em uma mesma unidade amostral, no caso, a mulher. Este procedimento é

chamado pela bioestatística de “pareamento”. Dizemos que duas amostras são pareadas

se elas são originas da repetição da mediação em cada elemento amostral em dois

estágios, ou quando as amostras são garantidamente idênticas frente à natureza do

estudo.

Foi elaborada uma escala para os valores de retenção de líquido e as medições foram

baseadas nesta escala, de modo que, quanto maior o valor desta medição, menor a

retenção de líquido. Vamos denotar por Xi os valores de retenção obtidos no primeiro

estágio de tratamento, onde as pacientes ingeriram a nova droga, e por Yi, os valores de

retenção obtidos com a ingestão do medicamento convencional.

Podemos dizer, portanto que o efeito da retenção no i-ésimo indivíduo é de Xi-Y i = Di.

Se as médias de retenção gerada pelos dois medicamentos são iguais, então a média da

variável aleatórias Di é zero. Assim sendo, testar se as médias são iguais, é o mesmo que


78

testar se a média de Di, que denotaremos por Dµ , é igual a zero. As hipóteses a serem

testadas são:

H0: 0=Dµ (os medicamentos produzem o mesmo efeito)

H1: 0>Dµ (o medicamento novo produz uma retenção menor que o convencional)

Pois com estamos fazendo X menos Y, se a média de X for maior, que é a hipótese

alternativa original, então a diferença das médias será positiva.

Vamos proceder à estimação da média Dµ como de costume, usando a média amostral

das diferenças que denotamos por Dµ . Como também não se conhece a variância das

diferenças, mesmo porque o tratamento é novo, teremos que estimá-la por:

1

)(1

2

2

−

−=∑

=

n

DDS

n

ii

D

Nota-se que, sob esta perspectiva, o problema recai no já visto problema de teste de uma

amostra para variância desconhecida, e portanto, tendo-se as estimativas para a média e

para a variância, usa-se o teste:

nS

DT

D

D

/

µ−= , que sob a hipótese nula, e supondo-se que as medições possuem

distribuição Normal, ou que o tamanho da amostra é grande, T possui distribuição t-

Student com n-1 graus de liberdade. Os passos para execução deste teste são os mesmos

já vistos nas seções anteriores.

Com a amostra de 30 mulheres, obteve-se uma média amostral para a diferença das

medições, .obsd , igual a 0,75, e um desvio padrão observado, .obss , igual a 2,1.

Adotando um 05,0=α , temos:

05,0030/1,230/1,2//

0 ==

=>=

−>− αµµµD

c

obs

Dc

obs

D dDPverdadeiraéH

nS

d

nS

DP


79

6514,0699,130/1,2

,05,0)30/1,2

( 29 =⇒=⇒=>= ccc d

dttabelapela

dTP

A região de rejeição é: }6514,0:{.. >ℜ∈= xxCR .

Como a média observada para a diferença entre as medições foi de 0,75, rejeita-se H0 ao

nível de 5%, e podendo-se dizer que o novo medicamento apresenta uma média de

retenção de líquido menor que o convencional comparado.

Vamos obter o nível descritivo do teste para esta amostra, ou como usualmente é

chamado, valor-p. Como o teste é unilateral à esquerda, vamos calcular a probabilidade

de se obter um valor tão extremo quanto este dentre os valores superiores sob a hipótese

nula:

03,0)9561,1(030/1,2

75,0

30/1,229 ==>=

=>=− tdatabelapelaTP

DPpValor Dµ .

É importante ressaltar, e isto é fácil de ver pela própria definição de valor-p, que toda

vez que o valor amostral cai na região crítica o valor-p será menor ou igual a α , ou

seja, sempre podemos usar o valor-p para tomar a decisão quanto a rejeição de H0.

2 - Amostras independentes com variâncias conhecidas (teste Z para amostras

pareadas)

Retornemos agora ao caso em que temos duas populações independentes, ou seja, como

no caso em que tínhamos dois grupos de mulheres para o teste do anti-contraceptivo.

Se conhecermos a variância real das duas populações comparadas, o teste t para

amostras pareadas não é adequado, pois a distribuição da estatística padronizada, no

caso da distribuição dos dados serem Normais, também é normal.

Continuaremos por proceder ao teste que usa a diferença média entre as medições, só

que desta vez, a estimação desta diferença se dará por YXD −= , onde agora X

denota a medição média amostral da nova droga e Y a média amostral da droga antiga.


80

Como estamos com duas variáveis X e Y independentes, e como as variâncias são

supostamente conhecidas, a variância de D é:

+=+=+=−=

21

2

2

2

1

2 11)()()()(

nnnnYVarXVarYXVarDVar σσσ

, onde 1n e 2n são

os tamanhos de cada amostra.

Se X e Y tem distribuição normal ambos com variâncias iguais a 2σ , como

DDE µ=)( , então,

+

21

2 11,~

nnND D σµ .

Assim, a padronização de D nos leva à normal padronizada, e a obtenção da região

crítica se procede como de costume.

Suponhamos 8,22 =σ , e sabendo que temos 1n =30 observações do grupo do novo

medicamento e 2n =20 do antigo, que a diferença entre as médias observadas foi de 1,2

e adotando 05,0=α , vamos obter a região crítica para testar H0: 0=Dµ X H1:

0>Dµ :

+>==

+

−>

+

−

20

1

30

18,2

05,0

20

1

30

18,2

0

20

1

30

18,2

0 cc dZP

dDP

, que pela tabela da Normal(0,1),

9467,096,1

20

1

30

18,2

=⇒=

+⇒ c

c dd

.

}9467,0:{.. >ℜ∈= xxCR .

A diferença entre as médias observadas de cada grupo foi de 1,2, indicando novamente

que, ao nível de 5%, o novo medicamento apresenta menor média na retenção de

líquido.

3 - Amostras independentes com variâncias desconhecidas e iguais


81

O que é mais comum na prática é que as variâncias não sejam conhecidas, e no caso em

que duas amostras são independentes e normalmente distribuídas, de modo que se tem

duas amostras provenientes de X~N( ), 21 σµ e Y~N ),( 2

2 σµ , ou seja, com mesmas

variâncias.

A estatística de teste novamente deve ser baseada na distribuição t-Student, pois as

variâncias, apesar de iguais, são desconhecidas. Fazendo novamente YXD −= , a

estatística de teste será 21

21

/1/1

)(

nnS

DT

C +−−= µµ

, onde CS é o desvio padrão obtido da

estimação combinada da variância de X e de Y pela expressão:

2

)()(

21

1 1

22

2

1 2

−+

−+−=∑ ∑

= =

nn

YYXXS

n

i

n

iii

C .

A diferença mais importante agora é que a distribuição da estatística de teste T possui

)2( 21 −+ nn graus de liberdade.

4 - Amostras independentes com variâncias desconhecidas e diferentes

De fato, na prática quase nunca se conhece a variabilidade de um conjunto de dados,

quem dirá afirmar sobre a igualdade da variabilidade de duas amostras independentes.

Sob este tipo mais genérico e realista de problema, temos a estatística de teste:

2

22

1

21

21 )(

n

S

n

S

DT

+

−= −µµ, onde 2

1S e 22S são os estimadores das variâncias de X e de Y e D

obtido como no caso anterior.

A distribuição de referência para obtenção da região crítica também será a t-Student,

porém, com os graus de liberdade dados por:

1

)/(

1

)/(

)//(

2

22

22

1

21

21

22

221

21

−+

−

+=

n

nS

n

nS

nSnSv .


82

Estimação de Parâmetros

É um processo de indução, na qual usamos dados extraídos de uma amostra para

produzir inferência sobre a população. Esta inferência só será válida se a amostra for

significativa.

Os tipos de estimação de parâmetros são: Pontual e Intervalar.

Estimação Pontual

É usada quando a partir da amostra procura-se obter um único valor de certo parâmetro

populacional, ou seja, obter estimativas a partir dos valores amostrais.

Estatísticas:

Seja nXXX ,...,, 21 uma amostra aleatória e nxxx ,, 21 os valores representados pela

amostra.

Então uma função destes valores, ou seja, ( )nxxxHy ,...,, 21= é uma estatística.

Onde podemos citar algumas estatísticas como:

Média Amostral, Variância Amostral e Proporção Amostral.

Consideradas estimativas pontuais.

Estimação Intervalar.

Uma forma de calcular uma estimativa de um parâmetro desconhecido, é construindo

um intervalo de confiança para esse parâmetro. Onde este intervalo terá uma

probabilidade de α−1 de que o intervalo contenha o verdadeiro parâmetro. Sendo α o

nível de significância, ou seja, o erro que se estará cometendo ao afirmar que o

verdadeiro parâmetro está contido no intervalo.

Distribuição da média amostral e intervalo de confiança para µ

Considere uma variável aleatória com média µ e desvio padrão σ . Se observarmos

uma amostra de tamanho n desta variável aleatória, calculando X em todas as possíveis


83

amostras de tamanho n, obtemos a distribuição de probabilidade deste estimador. Sendo

este estimador uma variável aleatória.

Uma vez conhecida a distribuição deste estimador, podemos determinar um intervalo

centrado no valor médio do estimador e que contenha, por exemplo, 95% de seus

valores. Este intervalo é conhecido como intervalo de confiança ao nível de 95%.

Vimos o caso que a média amostral segue uma distribuição Normal e que

Z

n

X n →− ∞→

σµ

onde ( )1,0~ NZ

Então um intervalo de confiança de 100(α−1 )% para a média populacional, com

variância conhecida, é dado por n

ZXσ

α2

± . Se a variável aleatória tem distribuição

normal e a variância é conhecida, o intervalo de confiança para µ de 100( α−1 )% é

dado por n

stX

n 1,2

−± α .

Se temos duas populações independentes com médias 1µ e 2µ e variâncias 21σ e 2

2σ e

se 1X e 2X , forem as médias baseadas em duas amostras independentes de tamanhos

n1 e n2 então ( ) ( )

)1,0(~

2

22

1

21

2121N

nn

XXZ

σσµµ

+

−−−= Sendo que o intervalo de confiança de

( α−1 )% para X é dado por:

+− −−

2

1

2

1 ; αασσ

Zn

XZn

X

Distribuição da Proporção Amostral

Considere uma população em que a proporção de indivíduos com certa característica é

igual a η . Retira-se uma amostra aleatória de tamanho n dessa população e observa-se o

valor de Y = número de indivíduos com a característica na amostra. Um estimador para

η é dado por n

Yp =ˆ . Pode-se demonstrar que Y ~ têm distribuição de probabilidade

binomial com parâmetros ( )η,n . Então ( ) η=pE ˆ e ( )pVar ˆ = ( ) n/1 ηη − . Se o tamanho


84

amostral for maior que 30, p ~Normal ( )( )n/1, ηηη − . Onde o intervalo de confiança é

dado por:( ) ( )

−+−−−− n

Zpn

Zpηηηη

αα1

ˆ;1

ˆ2

12

1.

X. MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO LINEAR ENTRE DUAS VARIÁVE IS

Vamos apresentar duas medidas capazes de captar a existência de

associação linear entre duas variáveis, ou seja, avaliar a relação entre duas

variáveis, as quais são a Covariância e a Correlação de Pearson. Para

utilizarmos estas medidas, os dados correspondentes as variáveis, devem

estar emparelhados, ou seja, para cada valor de uma variável se tem um

correspondente da outra variável.

Covariância

A fórmula utilizada para estimarmos a covariância com uma amostra de

tamanho n é definida como:

( ) XYSYXCOV =, = ( )( )

11

−

−−∑=

n

YYXXn

iii

A fórmula utilizada para encontrarmos a covariância de uma população de

tamanho N é definida como:

( ) XYSYXCOV =, = ( )( )

N

YXN

iYixi∑

=

−−1

µµ

µ é a média da população.

Para exemplificar a utilização da Covariância utilizaremos um exemplo retirado

do livro Estatística Aplicada a Administração e Economia – Anderson, Sweeney


85

e Williams 2005. Este exemplo retrata o interesse de um gerente de uma loja

de vendas de equipamentos de som em verificar se existe uma relação entre o

número de comerciais mostrados no fim de semana e as vendas na loja

durante a semana seguinte. Os resultados deste estudo estão na tabela a

seguir.

Tabela – Dados de amostra para a loja de equipamentos de som

51

;3

=

=

Y

X

Resolvendo a covariância amostral:

Sendo assim o resultado da covariância amostral seria = 11.


86

Podemos ter um indício da associação linear entre as variáveis, pois se a

covariância é maior do que zero podemos suspeitar de uma associação

positiva, se a covariância é menor do que zero uma associação negativa e, se

é igual a zero, não há associação linear.

O resultado da covariância para situações aplicadas é de difícil interpretação

por dois motivos: Seu valor depende das unidades com as quais se mede as

variáveis X e Y e seu resultado pode ser qualquer valor, dificultando a

interpretação, pois como saber se o valor observado para a covariância é tal

que indique uma alta associação linear?

Portanto, vamos utilizar o coeficiente de correlação de Pearson, já que

este coeficiente não depende da unidade da variável em questão, e ao mesmo

tempo é de fácil interpretação, já que seu valor varia entre -1 e 1.

Correlação de Pearson

A fórmula é dada por:

XYr = ( )

ys

,

×xs

YXCOV

.

.

;

Ydepadrãodesvios

Xdepadrãodesvios

onde

Y

x

==

Como já mencionado, os resultados obtidos por este coeficiente são de fácil

interpretação já que os valores oscilam entre:

11 +≤≤− XYr .

Valores positivos de r indicam que as variáveis X e Y possuem uma

associação linear positiva, ou seja, variam na mesma direção, e valores

negativos de r indicam que as variáveis X e Y possuem uma associação linear

negativa, ou seja, variam em direção oposta. E r próximo de zero é indicação

da não existência de associação linear entre as variáveis em estudo.


87

Valores de r próximo à unidade indicam forte ligação linear entre as

variáveis, e valores próximos a zero indicam fraca ligação linear entre elas.

Quanto mais próximo de +1 forem os valores de r, mais forte é a relação linear

positiva entre x e y.

Quanto mais próximo de -1 forem os valores de r, mais forte é a relação linear

negativa entre x e y.

Valores de r próximos de zero indicam ausência de relação linear entre x e y

No exemplo anterior;

De acordo com o valor da correlação obtido, existe uma forte ligação linear

entre número de comerciais (X) e volume de venda (Y).

Podemos afirmar que para estes valores a medida que o número de comerciais

aumenta, o volume de vendas também aumenta.

Dois fatos importantes devem ser levados em conta.

1. O fato de existir correlação entre as variáveis não significa uma

situação de causalidade, ou seja, no nosso exemplo não

podemos afirmar que o único motivo para aumentarmos a venda

seria o aumento do número de comerciais.

2. Se as variáveis não estão associadas linearmente isso não quer

dizer que não possuam um outro tipo de associação que não seja

a linear.

Pode-se demonstrar que a covariância e o coeficiente de correlação

podem ser calculados por meio das seguintes fórmulas alternativas:

COV (X,Y) =

( )( )

1−

−∑∑∑

nn

yxyx ii

ii

93,081,11

11

93,7

49,1

11

===

==

=

yx

xyxy

y

x

xy

ss

sr

s

s

S


88

r(X,Y) =

( )( )

( ) ( )

−

−

−

∑∑∑

∑

∑∑∑

n

yiy

n

xx

n

yxyx

ii

i

iiii

2

2

2

2

.

Após o cálculo da correlação é necessário fazer um teste de hipótese para verificar a

significância estatística da correlação observada. É importante citar que este teste de

hipótese é utilizado em situações onde nossa população de estudo segue o modelo

Normal bivariado. Temos as seguintes hipóteses:

H0: 0=r

H1: 0≠r

Neste teste de hipótese a não rejeição da hipótese nula permite, com um nível de

significância, a conclusão da não existência de correlação entre as variáveis, ou seja,

que elas são independentes.

Com um nível de significância α fixado, e utilizando a distribuição t de Student com n-

2 graus de liberdade, vamos determinar as regiões de rejeição e não rejeição para a

hipótese nula.

Após determinar as regiões de rejeição utilizamos a seguinte estatística de teste:

t =21

2

r

nr

−

−;

Onde n é o tamanho da amostra e r é o coeficiente de correlação.

Para um teste bilateral rejeita-se a hipótese nula se t > 2

;2α

−nt ou t < -

2;2α

−nt .

No nosso exemplo onde 05,0=α e 10=n .

156493,71351,0

630437,2

8649,01

828427,293,0 ==−

= xt


89

2;2α

−nt = =025,0;8t 2,306.

Como t > 2

;2α

−nt , rejeitamos H0 com nível de 5% de significância, então podemos

assumir, com base nesta amostra, a existência de correlação linear entre estas duas

variáveis.

Exercício 1) A tabela 3.1 fornece o valor nominal por ação e o dividendo anual para 15

ações de utility (Barron’s, 2 de janeiro de 1995).

Empresa Valor nominal(US$) Dividendo Anual (US$)

Am Elec 22,44 2,4

Com Ed 20,89 2,98

Detroit Ed 22,09 2,06

Niag Moh 14,48 1,09

Pac G&E 20,73 1,96

Peco 19,25 1,55

Pub Sv Ent 20,37 2,16

UnicomCp 26,43 1,6

Centerior 12,14 0,8

Cons N Gas 23,31 1,94

Houston Ind 16,23 3

NorAm Enrgy 0,56 0,28

Panh East 0,84 0,84

Peoples Em 18,05 1,8

SCEcorp 12,45 1,21

Fonte: Barron's, 2 de janeiro de 1995.

Tabela 3.1 Valores nominais e dividendos por ação para 15 ações de utility

a) Calcule e interprete o coeficiente de correlação da amostra.

b) Teste a hipótese de existência de correlação linear nestas duas variáveis a um

nível α de 5% interprete.

X. INTRODUÇÃO AO MODELO DE ANÁLISE DE REGRESSÃO LIN EAR

SIMPLES

Vamos introduzir neste capítulo alguns conceitos sobre o modelo de análise de

regressão linear simples.

De uma forma bem simplificada, podemos dizer que o objetivo da regressão linear é

estudar o possível efeito que algumas variáveis quantitativas exercem nas outras, e

isto é feito basicamente medindo-se a relação entre estas variáveis. De posse da

associação entre as variáveis, constrói-se a equação de uma reta, em que se coloca

uma variável em função das outras. No caso da regressão linear simples, uma


90

variável é colocada em função de apenas uma outra variável. No modelo de

regressão linear simples temos a variável Y que é chamada de variável resposta ou

dependente e a variável X sendo chamada geralmente de variável explicativa,

independente ou preditora. Assim, com o modelo de regressão ajustado, podemos

obter uma equação onde alterações na variável explicativa influenciam na variável

resposta, ou seja, uma explicação da variabilidade de Y por meio das variações

observadas em X . Se esta relação é estabelecida através do modelo de regressão,

podemos prever valores da variável Y através de oscilações de valores da variável

X .

O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

O modelo de regressão linear simples pode ser representado por:

iioiY εββ +Χ+= 1

onde

iY a variável resposta;

iX a variável explicativa;

1β o coeficiente angular da relação linear;

oβ o intercepto da relação linear;

iε o erro aleatório, isto é, a parte de Y que não é explicada por X, podendo ter

efeito de outras variáveis que podem estar influenciando no comportamento de Y mas

não estão contempladas no modelo. Na prática quase sempre existirá um efeito não

explicado por X, pois na maior parte dos problemas, a relação entre as variáveis não é

exata.

Para que um modelo seja bem ajustado as variáveis em questão precisam ter

uma relação linear significativa. A reta ajustada fornece o valor médio de Y para cada

unidade de X . Para visualizar esta possível relação linear entre as variáveis recomenda-

se construir o diagrama de dispersão plotando cada ponto pela sua coordenada de X e

Y .Na figura abaixo uma ilustração da reta da regressão linear simples


91

ii XbbY 10

^

+=

iε

ESTIMAÇÃO DO MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

O método para estimação dos parâmetros oβ (intercepto da reta) e 1β (inclinação

da reta) é o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). O método MMQ é muito

utilizado por possuir importantes propriedades. A reta ajustada com este método é de tal

forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros entre os iy (observados) e os iy

(calculados pela reta estimada), ou seja, minimizar ( )∑=

−n

iii yy

1

2ˆ .

Assim ( )∑=

−−n

iioi xy

1

2

1ββ))

deverá ser minimizada

Derivando e igualando a zero, tem-se:

( ) ( ) ⇒=−−⇒=−×−−= ∑∑∑=

0012 11

1 ioi

n

iioi

o

xnyxyd

d βββββθ )))))

X

Y


92

( ) ( ) 002 21

11

1

=−−⇒=−×−−= ∑∑ ∑∑=

iioii

n

iiioi xxyxxxy

d

d βββββθ )))))

Resolvendo o sistema obtemos os estimadores para oβ e 1β :

( )( )

( )n

xx

n

yxyx

ii

iiii

2

2

1

∑∑

∑∑∑

−

−=β

)

n

xy iio

∑∑ −= 1β

β)

)

Outra forma encontrada para encontrarmos as estimativas dos parâmetros é dada

por:

XX

XY

i

ii

s

s

xx

yyxx=

−−−

=∑

∑21 )(

))((β)

xyo 1ββ))

−=

Uma estimativa do erro aleatório iε da equação de regressão linear simples é

dado pelo resíduo iii yye ˆ−= .

Também se faz necessário testar um conjunto de suposições que são exigidas a priori, e

devem ser conferidas no modelo de regressão linear simples. A validade destas

suposições é de extrema importância para que os testes de hipóteses sobre a

significância dos parâmetros estimados sejam válidos. Estas suposições são testadas em

relação aos resíduos gerados da regressão. E são elas:

a) Os erros são independentes e identicamente distribuídos não correlacionados;

b) Os erros seguem uma distribuição normal;


93

c) A dispersão dos pontos em torno da reta de regressão deve ser constante, ou

seja, os erros aleatórios têm média zero e variância constante.

Uma das formas mais utilizadas para avaliar a suposição dos resíduos é por

procedimentos gráficos:

a) Utilizamos um gráfico para verificar a suposição de que os erros têm média zero

e variância constante, geralmente chamado de gráfico dos resíduos versus valores

ajustados.

b) Um gráfico utilizado para verificar se os erros são independentes é o gráfico dos

resíduos versus a ordem das observações:

c) Para testarmos a suposição de normalidade dos resíduos pode-se utilizar um

teste de normalidade como o teste de Anderson Darling. Este teste é encontrado no

software estatístico Minitab.

Existem outros tópicos importantes para abordar em Análise de Regressão Linear

Simples, mas este texto visa apenas introduzir este assunto.

Exercício retirado na Apostila Conceitos e Aplicações de Estatística, 2007. Dos autores

Wanderley Ramalho e Juliana Aparecida Ribeiro.

A tabela abaixo mostra a renda familiar semanal (em U$ 1,00) e o consumo

familiar semanal (em U$ 1,00) para 10 famílias.

Família 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Renda (X) 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

Consumo

(Y)

70 65 90 95 110 115 120 140 155 150

Fonte: GUJARATI (1995)

a) Calcule o coeficiente de correlação entre o consumo e renda;


94

b) Estimar a reta de regressão ioi xy 1ββ))) += ;

c) Estimar a média do consumo de famílias cuja renda semanal é 165 dólares.

Solução:

a) Realizando-se os cálculos, tem-se:

Família ix y i 2ix 2

iy y x ii

1 80 70 6.400 4.900 5.600

2 100 65 10.000 4.225 6.500

3 120 90 14.400 8.100 10.800

4 140 95 19.600 9.025 13.300

5 160 110 25.600 12.100 17.600

6 180 115 32.400 13.225 20.700

7 200 120 40.000 14.400 24.000

8 220 140 48.400 19.600 30.800

9 240 155 57.600 24.025 37.200

10 260 150 67.600 22.500 39.000

Total 1.700 1.110 322.000 132.100 205.500

Então:

( )( )

( ) ( )98,0

10

110.1100.132

10

700.1000.322

10

110.1700.1500.205

),(222

2

2

2

=

−

−

×−=

−

−

−=

∑∑∑

∑

∑∑∑

n

yiy

n

xx

n

yxyx

YXr

ii

i

iiii

De acordo com este resultado podemos dizer que existe uma forte associação

linear positiva entre a renda e o consumo destas famílias. Sendo assim temos uma forte

relação linear entre estas variáveis.


95

b) Calculando oβ e 1β :

( )( )

( ) 5091,0

10

700.1000.322

10

110.1700.1500.205

22

2

1 =−

×−=

−

−=

∑∑

∑∑∑

n

xx

n

yxyx

ii

iiii

β)

4545,2410

700.15091,0110.11 =×−=−

= ∑∑n

xy iio

ββ

))

Obtendo a equação de regressão estimada ii xy 5091,04545,24ˆ += .

Através das definições abordados no texto podemos afirmar que para cada

elevação de 1 dólar na renda familiar semanal estima-se que, em média, o consumo

familiar semanal aumenta 0,5091 dólares (51 centavos de dólares)

c) Para famílias cuja renda semanal mensal é 165 dólares, a média do consumo

é de:

46,108ˆ1655091,04545,24ˆ5091,04545,24ˆ =⇒×+=⇒+= iiii yyxy dólares.


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Referências bibliográficas:

ANDERSON, D.R.; SWEENEY,D.J.;WILLIANS, T.A. Estatística Aplicada a

Administração e Economia – 2ª ed. Thomson, 2007.

MAGALHÃES, MARCOS NASCIMENTO. Noções de Probabilidade e Estatística/

Marcos Nascimento Magalhães, Antônio Carlos de Lima – 6 ed. Ver., 1a reimpr. –São

Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2007. – (Acadêmica 40)

MARTINS, GILBERTO DE ANDRADE. Estatística geral e aplicada – 3ª Ed. São

Paulo – Atlas, 2006.

RAMALHO, WANDERLEY; RIBEIRO, J. A. Apostila Conceitos e Aplicações de

Estatística, 2007.


97

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