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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Química

PQI 2409 – Laboratório de Fundamentos de Engenharia Química

Experiência ASSOCIAÇÃO DE BOMBAS e REDES DE TUBULAÇÃO

1. OBJETIVOS

1) Obter as curvas características de associações em série e em paralelo de bombas centrífugas. Comparar o desempenho da associação com aquele esperado.

2) Estudar uma rede de tubulação resolvendo o problema de “análise de redes de tubulação” para diferentes configurações. Comparar resultados experimentais e de simulação. 2. INTRODUÇÃO Sistemas de tubulações e associação de bombas são amplamente utilizados na indústria química nos diversos pontos do processo produtivo ou até mesmo em sistemas de combate a incêndio, água de resfriamento, distribuição municipal de água, etc. A simulação de redes de tubos é uma ferramenta essencial para analisar as distribuições de vazão e pressão na rede sob diferentes condições.

Neste laboratório, o estudo será feito em três fases: 1) Obtenção das curvas características das associações de bombas que alimentam a rede. 2) Estudo de uma rede pré-definida simples, denominada: Configuração A

3) Estudo de uma rede pré-definida complexa, denominada: Configuração B 3. EQUIPAMENTO

A instalação experimental (Figura 1) é constituída por tanque de alimentação, bombas centrífugas, tanque de recebimento, medidores de vazão, pressão e corrente elétrica, válvulas do tipo esfera para configuração da rede e válvula do tipo globo para regulagem da vazão das bombas. Para o estudo da associação de bombas, a circulação pode ser feita em um circuito reduzido, usando a válvula FV-12 (by-pass).

A primeira etapa do estudo de uma rede de tubulação é a sua representação da rede como um conjunto de nós e arcos interconectados (arcos são bifurcações ou reduções de diâmetro). Como exemplo, a representação da rede da Figura 1 é mostrada na Figura 2. A segunda etapa consiste na aplicação de balanços de massa nos nós e balanços de energia mecânica (equação de Bernoulli) nos arcos (Gut et al., 1997). 4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 4.1 Curvas Características do Sistema de Bombas a) Anotar os dados fornecidos na carcaça da bomba. b) Configurar associação em paralelo, usando o by-pass através de FV-12. Variando a vazão, obter as

leituras dos manômetros e amperímetros, assim como o nível de tanque e a temperatura. c) Repetir o procedimento anterior para associação em série. 4.2 Rede de Tubos: Configuração A a) Com as bombas em paralelo e na vazão máxima, abrir todas as válvulas da rede para preenchimento. b) Configurar a rede para a Configuração A (Figura 3). c) Para uma dada vazão de alimentação, aguardar o regime permanente. Medir a pressão de entrada da

rede, temperatura do fluido e as vazões nos rotâmetros. d) Produzir uma tabela com todas as singularidades necessárias para os cálculos desta configuração. 4.3 Configuração B a) Configurar a rede para a Configuração B (fornecida durante a experiência). b) Escolher diferentes vazões de alimentação e para cada uma medir a pressão de entrada e as vazões

nas saídas e temperatura média do fluido. c) Produzir uma tabela com todas as singularidades necessárias para os cálculos desta configuração.

FIGURA 1 – Esquema da rede de tubos e do sistema de bombas

FIGURA 2 – Representação da rede experimental completa através de nós e arcos

FIGURA 3 – Representação da rede na Configuração A

2

5. ANÁLISE DOS RESULTADOS 5.1 Curvas Características das Associações a) Curvas características das associações de bombas: altura manométrica e eficiência vs. vazão. Para

cálculo da eficiência, considere a potência elétrica fornecida desprezando a perda de fase (cosφ). b) Incluir nos gráficos o comportamento esperado das associações, a partir das curvas de uma bomba. c) Comparar o desempenho das associações. Comparar resultado experimental com esperado. 5.2 Estudo da Configuração A a) Traçar o isométrico da parte úmida da rede. Numerar e identificar os arcos e nós. b) Formular o problema de análise de redes de tubulação com 2 tubos e 3 nós aplicando balanços de

massa e de energia mecânica e identificando as variáveis do problema (vazões e pressões). Determine o número de graus de liberdade do sistema de equações.

c) Especificando a vazão de alimentação da rede na Configuração A, bem como as pressões nos nós de saída, resolver o sistema de equações apresentando memorial de cálculo. Comparar os resultados de simulação e experimentais, discutindo as razões de possíveis desvios.

5.3 Estudo da Configuração B a) Traçar o isométrico da parte úmida da rede. Numerar e identificar os arcos e nós. Fazer uma

representação simplificada como a da Figura 2 à direta. Tabelar informações de cada nó e arco. b) Simular a Configuração B para prever o comportamento da rede utilizando o programa Redes. O

modelo matemático empregado está incluído (Gut et al., 1997). Após a entrada dos dados, é gerado um arquivo texto que pode ser editado usando o Bloco de Notas. Variando o valor da vazão de alimentação da rede, obtenha as vazões nas três saídas e a pressão de alimentação. Fazer gráficos (linha) destas variáveis em função da vazão de alimentação.

c) Incluir nos gráficos os pontos experimentais. Discutir e interpretar os resultados e desvios. d) Anexar ao relatório o arquivo de entrada de dados e apenas UM dos arquivos de saída. 6. INFORMAÇÕES ADICIONAIS 6.1 Calibração e Comprimento Equivalente dos Rotâmetros

Rotâmetro Faixa de vazão Curva de calibração (m³/h) Leq Saída das bombas (1,4 a 4,4 m3/h) Qreal = 1,033 × Qlida

0,983 20 m Tubo 10 (0,2 a 2,0 m3/h) Qreal = 1,116 × Qlida

0,972 7,1 m

Tubo 11 (0,3 a 2,9 m3/h) Qreal = 1,092 × Qlida0,991 6,5 m

6.2 Curvas características de uma bomba

3

y = -15.06x + 39.43R2 = 1.00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Q (m3/h)

Hea

d (m

)

y = -2.08x3 - 1.55x2 + 18.55xR2 = 1.00

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Q (m3/h)

Efic

iênc

ia (%

)

4

6.4 Dados da Rede de Tubulações

TABELA 1 - Características dos arcos e nós da rede (Os números correspondem aos nós e arcos da rede completa mostrada na Figura 2)

Tubo Comprimento (m)

Diâmetro Nominal (mm)

Diâmetro Interno (cm) Nó Cota (m)

01 0,20 40 3,2 01 1,17 02 2,35 40 3,2 02 1,17 03 1,72 40 3,2 03 0,12 04 0,93 32 2,5 04 0,11 05 0,44 32 2,5 05 0,11 06 2,64 32 2,5 06 1,21 07 2,20 32 2,5 07 1,52 08 2,65 32 2,5 08 1,17 09 1,06 32 2,5 09 1,16 10 2,55 32 2,5 10 2,21 11 2,00 32 2,5 11 2,21 12 9,44 25 2,0 12 0,80 13 0,94 32 2,5 13 1,16 14 0,44 32 2,5 14 2,22 15 0,95 32 2,5 15 1,78 16 2,70 25 2,0 16 2,66 17 0,42 25 2,0 17 2,66 18 3,03 25 2,0 19 1,83 25 2,0

7. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA GUT, J.A.W.; PINTO, J.M.; SONG, T.W. Análise de Redes de Tubulação: Desenvolvimento de Instalação

Experimental e Modelagem Matemática. In: XIV Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, Bauru. Anais do COBEM 97, CD-ROM, 1997.

Escoamento em dutos e bombeamento: BENNETT,C.O.; MYERS, J.E. Fenômenos de Transporte: Quantidade de Movimento, Calor e Massa. São

Paulo: Mcgraw-Hill do Brasil, pp.41-60,195-219, 1978 BIRD, R.B.; STEWART, W.E.; LIGHTFOOT, E.N. Transport Phenomena, pp. 208-2740. New York: J. Wiley,

2002. DE MORAES JÚRIOR, D. Transporte de Líquidos e Gases, Vol.1, pp.98-123. Sao Carlos: Ufscar, 1988. MCCABE, W.L.; SMITH, J.C. Unit Operations of Chemical Engineering. New York : McGraw-Hill, 1956. Simulação redes de tubulação: BENDING, M.J.; HUTCHISON, P. The Calculation of Steady State Incompressible Flow in Large Networks of

Pipes. Chemical Engineering Science, 28, pp.1857-1864, 1973. COCHRAN, T.W. Simplifying Piping Network Analysis. Chemical Engineering, pp.105-106, Abril 1995. GUT, J.A.W.; PINTO, J.M.; SONG, T.W. Desenvolvimento de um Simulador de Redes de Tubulação: Fluidos

Newtonianos, Não-Newtonianos e Compressíveis, Revista de Iniciação Científica, 2, 2000. INGLES, D.M.; POWERS, J.E. Analysis of Pipeline Networks. Chemical Engineering Progress, 60(2), pp.65-

70, 1964. KRITPIPHAT, W.; TONTIWACHWUTHIKUL, P.; CHAN, C.W. Pipeline Network Modeling and Simulation for

Intelligent Monitring and Control: A Case Study of a Municipal Water Supply System. Industrial & Engineering Chemistry Research 37, pp.1033-1044, 1998.

Projeto e desenho de tubulações: GOMIDE, R. Operações Unitárias 2: Fluidos na Indústria. São Paulo: 1997. TELLES, P.C.S. Tubulações Industriais: Materiais, Projeto e Desenho, 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1982.

ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO DEINSTALAÇÃO EXPERIMENTAL E MODELAGEM MATEMÁTICA /ANALYSIS OF PIPELINE NETWORKS: DEVELOPMENT OF EXPERIMENT AND

MATHEMATICAL MODELING

JORGE ANDREY WILHELMS GUT, TAH WUN SONG & JOSÉ MAURÍCIO PINTODepartamento de Engenharia Química, Escola Politécnica - USPCEP 05508-900 São Paulo, SP Brasil - E-mail: jompinto@usp.br

AbstractAn experiment on Fluid Mechanics for educational purposes regarding pipeline flows and pump association isdesigned. Also, a mathematical model for steady-state, isothermal flow of an incompressible fluid is developed.The model is especially suitable for extensive pipeline networks. The solution method for the system comprisedof non-linear algebraic equations is based on the quasi-linearization technique. Simulation results are discussed.

Keywordsfluid mechanics, pipeline networks, educational experiment, pipeline modeling, quasi-linearization / mecânicados fluidos, redes de tubulação, experimento didático, modelagem de redes de tubos, quasi-linearização

1. INTRODUÇÃO

Inegavelmente, a Mecânica dos Fluidos constitui uma das ciências básicas para quasetodas as modalidades de engenharia num curso de graduação. Por outro lado, a apresentaçãode certos tópicos, restritos a aulas expositivas, em geral com carga horária exígua,compromete uma consolidação segura dos conceitos envolvidos. Dentre estes tópicos, cita-seo estudo de um sistema de rede de tubulação e da operação de bombas em série ou paralelo. Adisponibilidade de uma boa infra-estrutura de laboratório, então, constitui um eficaz suportedidático complementar.

A primeira proposta do presente trabalho consiste no projeto e montagem de umainstalação, concebida para experiências sobre escoamento de água em rede de tubos eassociação de bombas, em série ou paralelo. Além disso, de acordo com o posicionamento dasválvulas de bloqueio do sistema, pode-se realizar variantes desses ensaios. Assim, a cadagrupo de alunos nas aulas de laboratório, pode-se solicitar um estudo ligeiramentediferenciado. Essa experiência proposta será incluída no curso de graduação em engenhariaquímica da Escola Politécnica da USP.

Um outro aspecto didático relevante refere-se à comparação e discussão dos resultadosobtidos experimentalmente com os calculados a partir de informações e correlaçõesgeneralizadas, disponíveis na literatura.

Vários métodos de solução de redes de tubos já foram desenvolvidos. O primeiro a serlargamente utilizado é o método de Hardy Cross (Ingels e Powers, 1964; Daniel, 1966),restrito à solução de circuitos fechados de tubulação, uma vez que dispensa dados de pressão.

ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO…

2

Casos simples, como o escoamento newtoniano incompressível em sistemas de tubulaçãohorizontais, sem bombas, foram abordados por Carnahan et al. (1969), Coker (1991) eCochran (1995). Em geral, as equações resultantes compõem um sistema algébrico não linear.Para a sua solução, pode-se aplicar métodos genéricos (Kahaner et al., 1989) ou, em algunscasos, algoritmos específicos tem sido propostos (Shacham e Mah, 1978; Mah, 1989).Recentemente, Houache et al. (1996) estudaram o escoamento de fluidos compressíveis, cujasolução foi obtida através de algoritmos da teoria de grafos.

Mas, para os cálculos nos casos de sistemas de tubulação mais complexos ou extensos,torna-se quase imprescindível o uso de recursos computacionais mais robustos. Atualmente,dispõem-se de diversos programas computacionais específicos para a simulação de redes detubulação, como Pipe-Flo, Pipe-Pro, Pipecalc, Pipeline Multiphase Flow with Total EnergyBalance ( CEP Annual Software Directory, 1997).

Entretanto, apesar dessa disponibilidade, é importante na formação do engenheiro acapacidade de representar e resolver matematicamente processos físicos e químicos deinteresse. É fundamental que o engenheiro não se torne apenas um mero usuário dosprogramas computacionais disponíveis, mas que conheça sua estrutura e metodologia demodelagem matemática.

A segunda proposta deste trabalho é desenvolver um modelo matemático para asimulação de redes de tubos com fluido newtoniano incompressível, utilizandoexclusivamente as equações de Mecânica dos Fluidos apresentadas nas aulas do curso degraduação.

A seguir será descrito o experimento, com detalhes da instalação física e serãoapresentados o desenvolvimento do modelo, o algoritmo de solução e resultados de umexemplo de simulação.

2. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO

A instalação constitui-se de tanque de alimentação, bombas para recirculação da águapela rede de tubulação, tanque de recebimento, medidores de vazão, pressão e correnteelétrica. O esquema da instalação e as especificações dos equipamentos e dos componentes dosistema estão mostrados na Figura 1. Para os comprimentos das tubulações, pode-se consultara escala representada na própria figura, válida para os trechos a jusante da válvula FV-11. Osdiâmetros das tubulações estão compatíveis com os das válvulas, mostrados na Figura 1.

A instalação foi concebida para experiências sobre associação de bombas, em série ouparalelo, e escoamento de água em rede de tubos. Além disso, de acordo com oposicionamento das válvulas de bloqueio do sistema, pode-se realizar variantes dessesensaios. Assim, a cada grupo de alunos nas aulas de laboratório, pode-se solicitar um estudoligeiramente diferenciado. Ao todo, o sistema permite 52 configurações distintas, todas compelo menos duas saídas externas.

Para as bombas centrífugas usadas, é feito previamente o levantamento experimental dascurvas características (altura manométrica, potência consumida e rendimento em função davazão).

O nível de água no tanque de alimentação deve ser mantido constante. Estabelecido oregime permanente, medem-se, através dos respectivos rotâmetros, a vazão de escoamento nasaída das bombas e as vazões em cada saída. Mede-se também a pressão antes da ramificação.O valor poderá ser usado como um dado de entrada para a simulação matemática a ser feitaposteriormente. Os resultados medidos no laboratório serão comparados com os calculadosatravés desta simulação matemática.

ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO…

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Figura 1: Esquema da instalação experimental.

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3. MODELAGEM MATEMÁTICA

O modelo matemático a ser desenvolvido representa o escoamento isotérmico, em regimepermanente, de um fluido newtoniano incompressível, em uma rede de tubulação de um únicomaterial de construção.

Os dados gerais são a densidade ρ, a viscosidade µ do fluido e a rugosidade do materialda tubulação ε.

Uma rede de tubulação pode ser representada por um conjunto de nós e arcos. Os nóspodem ser as uniões de três ou mais tubos, as reduções ou expansões e as entradas e saídas defluido da rede. Os nós são numerados de 1 até NNOS, e cada nó j é representado por umconjunto de arcos (tubos) Ij a ele conectados, uma cota Zj e pela pressão do fluido Pj. E ainda,se o nó for uma entrada ou saída, ele também será representado por uma vazão externa Fj.

Os arcos são ligações entre os nós e são formados por um tubo de diâmetro internoconstante com as respectivas singularidades. Os tubos são numerados de 1 até NTUB, e cadatubo i é representado pelo par de nós terminais (ji, ki), diâmetro interno Di, comprimento dotrecho reto Li, comprimento equivalente das singularidades Leqi e vazão de fluido Qi.

Serão aplicados o balanço de massa em cada nó e o balanço de energia mecânica(equação de Bernoulli) em cada arco. Ainda serão usadas especificações de pressões emalguns nós PJ, e de vazões externas FJ, conforme será discutido a seguir.

Como o sentido da vazão nos tubos é desconhecido, será adotado o sentido positivo devazão no tubo como aquele que leva o fluido do nó de menor índice para o de maior índice.Quanto às vazões externas, seu sentido é dado como positivo se o fluido estiver entrando narede.

As equações de balanço de massa são definidas para cada nó j e envolvem a somatória devazões Qi dos tubos a ele conectados (definida pelo conjunto Ij) e eventuais vazões externasFj, dadas por:

Q F j Nii I j

j NOS∈∑ + = =0 1,... (1)

É importante observar que, para os nós internos, o termo Fj não aparece em (1).A equação de Bernoulli de balanço de energia mecânica aplicada ao escoamento de um

fluido incompressível, num tubo de diâmetro constante, é dada por:

ρ ρ. . + + . = 0g z P lwf ∆ ∆ (2)

Para simplificar a representação, define-se como pressão total PTj em um nó j como sendo

a soma da pressão estática do fluido Pj com o termo ρ. g . Zj .

P = P + g .ZjT

j jρ . j = 1,...N NOS (3)

Portanto a equação de Bernoulli para um trecho reto i que liga os nós ji e ki é dada por:

P - P lwf = i ...NjiT

kiT

i TUB+ .ρ 0 = 1 (4)

O termo lwfi para um tubo i genérico é dado por :

ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO…

5

lwf =32 f .L .Q Q

i 2i i

Ti i

π

.,...

Di N

iTUB5 = 1 (5)

onde LTi é a soma do comprimento do trecho reto Li com o comprimento equivalente Leqi de

suas singularidades. Substituindo (5) na equação (4), tem-se:

P PL QD

Q i ,...NjiT

kiT i

Ti

ii TUB-

f i+ = =ρπ32

02 5. .

1 (6)

É importante notar que a representação da vazão Qi na equação (6) permitecompatibilizar o sentido do escoamento com a variação das pressões nos nós (Bending eHutchison, 1973). O fator de atrito de Fanning fi é função da vazão (variável) e da rugosidade,densidade, viscosidade e diâmetro (parâmetros). Este fator pode ser calculado pela equação decorrelação de Churchill (1977):

( )f

A Bi

i i i=

+

+

2

8 112

3 2

112

Re(7a)

onde os termos da correlação são dados por:

( )A Di i i i= − +

2 457 7 0 270 9 16

, .ln Re ,,

ε Bii

=

37 560 16.Re

(7b)

E o número de Reynolds Rei, para um tubo circular, é definido por:

Re. . . .

. .ii i i

i

D vb QD

= =ρ

µρ

π µ4

(7c)

Tabela 1: Variáveis e equações envolvidas no problema.Variáveis Número total Equações Número total

Fj NF Balanço de massa (1) NNOS

Pj

Qi

NNOS

NTUBBernoulli (6) NTUB

fi NTUB Correlação (7) NTUB

NVAR = NF + NNOS + 2 NTUB NEQ = NNOS + 2 NTUB

A Tabela 1 mostra as variáveis e as equações do sistema. Há portanto NVAR - NEQ = NFespecificações a serem definidas. Assim, para que o sistema seja determinado, é necessárioque o número de especificações seja igual ao número de entradas e saídas do sistema (vazõesexternas Fj). Além disso, é importante verificar que, como a equação de Bernoulli (6) envolvevariações de pressões, pelo menos um valor de pressão deve ser conhecido, para a obtençãodos demais. Se nenhum dado de pressão for disponível, deve ser atribuído um valor de

ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO…

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referência a um dos nós, de modo que se possa calcular as variações de pressões. Neste caso,evidentemente, não serão obtidas as pressões absolutas nos nós.

As equações de balanço de massa (1) são lineares, envolvendo somatórias de vazõesinternas e externas. As equações (6) e (7) são não-lineares. O método adotado para a soluçãodo sistema de equações não lineares é o quasi-linear. Este procedimento iterativo envolve alinearização do sistema a cada iteração (k) e posterior solução de um sistema linear. O balançode energia mecânica (equação (6)) é linearizado na iteração (k) da seguinte forma:

P P Q i ,...NTji

k Tki

ki

ki

kTUB

( ) ( ) ( ) ( )- + = =−β 1 0 1 (8)

onde βi(k-1) é determinado a partir das vazões na iteração (k-1):

βπ

ρi

k i ik T

i ik

iTUB

f (Q ) . L . Q

Di N( )

( ) ( ),...−

− −=1

1 1

5 = 32

. .

2 1 (9)

A cada iteração, o sistema linearizado, composto pelas equações (1) e (8) e pelasespecificações, será resolvido pelo método da eliminação de Gauss com condensação pivotal,obtendo-se Qi

c, Pj(k) e Fj

(k).É importante notar que o procedimento proposto reduz a dimensão do sistema de

equações a ser resolvido, principalmente quando o número de tubos que compõem a rede éelevado, pois o fator de Fanning f (Q )i i

k( )−1 é determinado pela equação (7), à parte dosistema linearizado.

Os valores iniciais de vazão são estimados pela equação de diâmetro econômico, dada emunidades em S.I. (Sinnott, 1996):

Q D i Ni i TUB( ) , ,, . . ,...0 1 89 0 30210 137= =−ρ 1 (10)

Adota-se, no algoritmo, um fator α de amortecimento das variações de vazão, emiterações subseqüentes. Portanto ao fim da iteração (k), onde se determinou Qi

c, calcula-se:

( ) ( ) ( )( )Q = Q + Q Q i Nik

ik-

ic

ik-

TUB1 1α − = 1,... (11)

Ao final de cada iteração, todas as vazões são comparadas com os valores da iteraçãoanterior para verificar a convergência, através de uma tolerância relativa dada. O algoritmo desolução da rede de tubos é dado por:

1) Ler os dados de entrada:NNOS, Zj, NTUB, ji, ki, Li, Leqi, Di, NF, nós externos, Fj, ρ, µ, ε,pressões e vazões especificadas nos nós;

2) Ler fator de amortecimento α e erro relativo Tol para as vazões;3) Calcular os comprimentos totais LT

i e pressões totais PTj;

4) k = 0. Gerar a estimativa inicial de vazões Qi(0) pela equação (10);

5) Fazer k k← +1 . Montar a matriz linear de equações e o vetor de constantes;6) Resolver o sistema por eliminação de Gauss com condensação pivotal, obtendo Pj, Qc

i, Fj

7) Se ( ) ( )Qic - Qi Qi Tol i Nk- k-

TUB1 1 1≤ = , ... então PARE

Senão calcular Qi(k) pela equação (11) e voltar para 5.

ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO…

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4. EXEMPLOS DE SIMULAÇÃO

O modelo e o algoritmo de solução foram implementados em linguagem C. O modelo foiutilizado para simular a instalação experimental completa, cuja representação esquemática émostrada na Figura 2. O sistema consta de 17 nós, 19 arcos, 4 vazões externas e três circuitos.O fluido adotado é água a 20oC e o material de construção é PVC (rugosidade adotada ε =0.002 mm). As dimensões da rede são as mesmas da Figura 1. As especificações são a vazãona entrada da rede F1 (ver Tabela 2) e as pressões nos nós externos 10, 11 e 12, iguais a 1 atm.

Figura 2: Esquema da rede de tubos para a configuração simulada.

Como exemplo, dois casos com diferentes vazões F1 são ilustrados; os resultados para osnós externos são mostrados na Tabela 2. Pode-se observar que uma menor pressão na entradada rede (Caso II) é insuficiente para superar a perda de carga no sistema (F10 positivo). Estecomportamento não ocorre no Caso I.

Tabela 2: Resultados dos exemplos simulados.Caso F1 (m3/h) F10 (m3/h) F11 (m3/h) F12 (m3/h) P1 (atm)

I + 3,000 - 0,786 - 1,046 - 1,168 1,184II + 1,000 + 0,116 - 0,018 - 1,097 1,108

5. CONCLUSÕES

A experiência proposta, sobre escoamento em redes de tubos e associação de bombas,serve como um importante suporte didático em Mecânica dos Fluidos. Os resultadosexperimentais podem ser comparados com os calculados a partir do modelo matemáticodesenvolvido. O método de solução proposto baseia-se na técnica de quasi-linearização,reduzindo a dimensão do sistema de equações não-lineares, o que é sobremodo convenientepara redes extensas e complexas.

6. NOTAÇÃO

Índicesi índice de nósj índice de tubosji , ki índice do nó j , k terminal do arco i

Parâmetros (cont.)

ParâmetrosDi diâmetro interno do tubo ig aceleração da gravidadeIj conjunto de tubos conectados ao nó jLi comprimento do trecho retoVariáveis

ANÁLISE DE REDES DE TUBULAÇÃO: DESENVOLVIMENTO…

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LTi comprimento total do tubo i

Leqi comprimento equivalente das singularidades do tubo i

NEQ número de equaçõesNF número de vazões externasNNOS número de nósNTUB número de tubosNVAR número de variáveisZj cota do nó jρ densidade do fluidoµ viscosidade do fluidoε rugosidade do material de construção.

fi fator de atrito de Fanning no tubo iFj vazão externa no nó jlwfi perda por atrito no tubo iPj pressão no nó jPT

j pressão total no nó jQi vazão no tubo iRei número de Reynolds no tubo ivbi velocidade média no tubo iα fator de amortecimentoβi coeficiente de linearização da equação (8)

AGRADECIMENTOS - Os autores agradecem o apoio financeiro da Fapesp (processo 96/12295-8) e do Padct-Capes (Projeto 1310/95-QEQ, 1995).

7. BIBLIOGRAFIA

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SHACHAM, M. & MAH, R.S.H. A Newton type linearization method for solution of nonlinearequations. Comput. Chem. Engng., vol.2, pp.64-66, 1978.

SINNOTT, R.K. Coulson & Richardson’s Chemical Engineering. vol.6, ButterworthHeinemann, Oxford, 1996.

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Confrontando Resultados Experimentais e de Simulação

Jorge A. W. Gut Departamento de Engenharia Química

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo E­mail: jorgewgut@usp.br

Um modelo de simulação é uma representação matemática de um processo real para “simular” o seu comportamento. Na área de engenharia química é muito comum o uso de modelos de simulação de processos químicos para avaliação de desempenho, otimização de condições de operação ou dimensionamento equipamentos. Estas tarefas somente terão sucesso se o modelo conseguir representar com fidelidade (e de uma forma simples) o comportamento do processo.

Por exemplo, para dimensionar uma bomba, é preciso determinar a perda de carga na tubulação. Esta pode ser calculada usando equações de conservação de energia mecânica e de massa, correlações para fator de atrito, tabelas de comprimentos equivalentes para singularidades, correlações para propriedades físicas do fluido e etc. Entretanto, a realidade não é tão comportada quanto gostaríamos e existe um desvio entre o valor calculado da grandeza e aquele medido na prática.

Em diversas ocasiões um engenheiro de processos precisa lidar com dados experimentais coletados na planta e com dados de simulação gerados no computador. Da mesma forma, um estudante de engenharia química também lida com dados experimentais e de simulação em laboratórios didáticos. Em ambas situações, é crucial a etapa de comparação entre resultados e discussão.

Ao comparar resultados experimentais (medidos) e de simulação (calculados, teóricos), você pode confirmar se o modelo matemático proposto consegue representar fielmente o processo. Diferenças entre resultados experimentais e de simulação podem ter diversas fontes. Antes de culpar erros de “leitura” ou de “arredondamento” (que são erros facilmente controláveis e quantificáveis), devemos pensar um pouco mais sobre como os resultados foram obtidos para tentar identificar com maior segurança as possíveis fontes de erro. O objetivo deste texto é então elucidar os passos seguidos na obtenção de “resultados experimentais” e de “resultados de simulação” (ver Figura 1) para auxiliá­ lo na tarefa de comparação e discussão.

Processo (Realidade)

Resultados experimentais Resultados de simulação

Dados experimentais

Modelagem matemática

Resolução matemática Simulação

Idealização, teoria Fundamentos de engenharia

Ajuste de parâmetros

Especificações Calibração

Estatística Tratamento de dados

Instrumentos Observação

Experimentos

Comparação Discussão

(Observação da realidade) (Predição da realidade)

2

2

2

2

2

2 2

z s

y s

x s s

∂ ∂

+ ∂ ∂

+ ∂ ∂

= ∇

x

y

z

r

φ

θ P

P(r,φ,θ)

( ) 0 div = v

Figura 1: Principais etapas para obtenção de resultados experimentais e de simulação

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1) Como são obtidos os resultados experimentais (comportamento observado do processo)?

Dados experimentais são coletados através de instrumentos de medição ou técnicas analíticas que fornecem informações quantitativas ou qualitativas sobre o processo. Estes dados coletados podem ser corrigidos através de equações de calibração dos instrumentos, podem ser processados através de métodos estatísticos (cálculos de média, desvio padrão, etc) e podem ainda ser usados para calcular outras grandezas (tratamento de dados). Gera­se assim o conjunto de resultados experimentais.

Seja desconfiado e questione! ­ Quão confiáveis são os dados experimentais coletados? Eles representam fielmente a realidade? ­ O instrumento foi calibrado? Há alguma curva de calibração disponível? ­ O instrumento ou técnica analítica pode estar interferindo com a grandeza medida? Como? ­ A medida fornecida pelo instrumento representa realmente a grandeza que desejo aferir?

Existe um erro experimental entre o valor real de uma grandeza e aquele medido. Este erro pode ser sistemático e/ou aleatório. O erro sistemático se repete a cada medida, prejudicando sua exatidão, e pode ser controlado através da calibração do instrumento. Já o erro aleatório prejudica a precisão da medida e é de difícil controle. Ele pode ser quantificado por métodos estatísticos, como a repetição de uma medida e posterior cálculo do desvio padrão.

Erros de “leitura” só ocorrem quando você tem dificuldade em ler o instrumento. Por exemplo, o medidor está muito afastado, o ponteiro está vibrando, o mostrador está sujo, você se confunde com as divisões da escala, etc.

Não se esqueça que instrumentos têm uma dinâmica de funcionamento. Eles não registram instantaneamente as mudanças que ocorrem no processo. Se as condições do processo variarem mais rapidamente do que o instrumento pode registrá­las, os dados obtidos não serão exatos.

Ao fazer uma medição com um instrumento, a precisão permitida corresponde à metade da menor divisão da escala, por isso o valor numérico deve ser reportado sempre com o número de algarismos significativos permitido. Se for necessário, use notação científica ou mude de unidade (quilo, micro, mega...). Por exemplo, massa 0,2300 ± 0,0001 kg pode ser reportada como 230,0 g (quatro algarismos significativos), mas não como 230 g ou 0,23 kg. Lembre disso ao usar planilhas eletrônicas como o Excel, que automaticamente eliminam os zeros finais à direita da vírgula.

Propagação de erros no tratamento de dados No tratamento de dados, algumas grandezas são calculadas a partir de dados experimentais. Por exemplo, a velocidade de deslocamento v é calculada dividindo­se o comprimento medido (z ± ∆z) pelo tempo registrado (t ± ∆t). Ao realizar estes cálculos, lembre­se da propagação dos erros para representar o valor calculado com o número de algarismos significativos correto. De forma geral, ao calcular­se f = f(x ± ∆x, y ± ∆y, w ± ∆w, …), o erro (incerteza com 95% de confiança) em f é função dos erros nas outras variáveis de acordo com a lei de propagação de incerteza [1,2,3]:

L + ∆ ⋅

∂ ∂

+ ∆ ⋅

∂ ∂

+ ∆ ⋅

∂ ∂

= ∆ 2 2

2 2

2 2

2 w w f y

y f x

x f f

que é baseada em uma aproximação de primeira ordem da série de Taylor para f em torno do ponto experimental.

sendo que as derivadas podem ser facilmente aproximadas numericamente usando uma perturbação δx suficientemente pequena em torno do ponto experimental x’:

3

( ) ( ) x

x x f x x f x f

x x δ ⋅ δ − − δ +

≅

∂ ∂

= 2 ' '

'

Para o exemplo da velocidade, temos que v = z/t. Para z’ = 5,495 ± 0,003 m e t’ = 20 ± 1 s:

v’ = 0,27475... e ... 01374 , 0 ' '

' 1

2 2 2

2 2

2

= ∆ ⋅

− + ∆ ⋅

= ∆ t

t z z

t v

Portanto a velocidade experimental deve ser reportada como v’ = 0,27 ± 0,01 m/s ou simplesmente v’ = 0,27 m/s

Regras simples para propagação de erros: ­ Soma e subtração: prevalece a menor precisão. Ex: 0,5310 + 0,2 = 0,7 (precisão de 0,1). ­ Multiplicação e divisão: mantém­se o menor número de algarismos significativos. Ex: 5,495 /

20 = 0,27 (dois significativos).

Após o tratamento de dados, obtém­se um conjunto de dados (resultados experimentais) que representa o comportamento observado do processo. Como você percebeu, não é possível afirmar que estes são os valores reais das grandezas devido aos erros e incertezas.

2) Como são obtidos os resultados de simulação (comportamento predito do processo)?

O comportamento do processo pode ser representado através de um modelo matemático que tem o objetivo de correlacionar as condições operacionais com as características do processo (equipamentos, dimensões, materiais, etc.) usando a teoria dos fundamentos de engenharia (fenômenos de transporte, cinética química, relações de equilíbrio, etc.) e correlações empíricas.

Para confecção de um modelo de simulação, os fenômenos físicos e químicos do processo são analisados e é feita a sua idealização/teorização, representada através de equações matemáticas. Este modelo matemático normalmente possui parâmetros empíricos que são ajustados usando dados experimentais (ver Figura 1). Por exemplo, coeficientes de troca térmica por convecção são usualmente representados por equações do tipo Nu = a.Re b .Pr c , onde os parâmetros a, b e c são determinados a partir de dados experimentais. O ajuste destes parâmetros é feito de forma a minimizar as diferenças entre os comportamentos observado e predito do processo.

A simulação é a resolução do modelo matemático para dadas condições do processo. A resolução do sistema de equações só é possível se o número de graus de liberdade for nulo, ou seja, ter o mesmo número de variáveis e equações. Para isso, é necessário especificar algumas variáveis. Geralmente especificam­se as condições de “entrada” do processo para que a simulação forneça uma predição da “saída” ou da “resposta” do processo. Por exemplo, para calcular as temperaturas de saída de um dado trocador de calor, deve­se conhecer as temperaturas de entrada e as vazões de alimentação.

A resolução do modelo matemático pode ser analítica ou numérica. Se métodos numéricos forem usados, existe um erro numérico associado à solução. É possível determinar e controlar este erro através de parâmetros do método, como número de elementos quando há discretização ou o critério de parada quando há iterações.

Lembre­se que ao longo da construção do modelo matemático e da sua resolução são feitas diversas aproximações (ex: a densidade da água é 1 g/cm³), suposições (ex: a resistência do ar é nula) e/ou hipóteses (ex: o processo é adiabático e a mistura é perfeita). Sempre tenha em mente que este procedimento de idealização afasta o seu modelo da realidade, podendo comprometer os resultados de simulação. Saiba ponderar e avaliar suas decisões e não faça aproximações desnecessárias!

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3) Enfim, confrontando resultados

As formas mais comuns de confrontar resultados experimentais e de simulação são através de tabelas e gráficos, onde fique visível o desvio entre valores observados e preditos. O desvio relativo é calculado tendo como base o resultado experimental, ou seja: desvio relativo = |valorexper – valorpredito| / valorexper, assim como no exemplo apresentado na Tabela 1 e na Figura 3. Note que no gráfico da Figura 3, os dados experimentais são representados por pontos discretos e o modelo matemático é representado por uma linha contínua.

Tabela 1: Valores experimentais e de simulação para y x y (experim.) y (simul.) desvio (%) 1,0 3,3 ± 0,1 3,33 1,3 2,0 2,8 ± 0,1 2,50 11,8 3,0 2,0 ± 0,1 2,00 0,7 4,0 1,8 ± 0,1 1,67 6,6 5,0 1,5 ± 0,1 1,43 6,5 6,0 1,1 ± 0,1 1,25 17,4 7,0 1,1 ± 0,1 1,11 4,8 8,0 0,9 ± 0,1 1,00 16,7 9,0 0,7 ± 0,1 0,91 34,6 10,0 0,8 ± 0,1 0,83 6,1

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 x

y

Resultado experimental

Resultado de simulação

Figura 3: Valores experimentais e de simulação para y

Se a comparação entre resultados experimentais e de simulação não for satisfatória, não culpe o processo, que é a “realidade”. Os desvios tiveram origem em uma ou mais etapas da obtenção dos resultados experimentais e da obtenção dos resultados de simulação. Só analisando todas as etapas é possível identificar as fontes dos desvios.

De uma forma geral, se os desvios entre resultados experimentais e de simulação são altos, podemos afirmar que ou o modelo proposto não representa adequadamente o processo, ou os resultados experimentais diferem dos valores reais das grandezas observadas, ou há algum problema desconhecido no processo como um vazamento, contaminação, ligação incorreta, etc. (este tipo de problema pode ser detectado investigando inconsistências nos resultados experimentais).

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Finalmente, é importante saber julgar os desvios obtidos. Não esqueça de se perguntar: o desvio compromete a aplicação prática do modelo de simulação (dimensionamento, controle, otimização, projeto, etc) ou ele é aceitável?

Referências 1) ANSI/ASME PTC 19.1, "Measurement Uncertainty, American Society of Mechanical Engineers", NY, 1985 2) Abernethy, R.B.; Benedict, R.P.; Dowdell, R.B. “ASME Measurement Uncertainty” J. Fluids Eng, 107, pp. 161­164, 1985. 3) Akhnazarova S.; Kafarov, V. “Experiment Optimization in Chemistry and Chemical Engineering” Mir Publishers, 1982.