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Revisão de Pré-Cálculo

PÁRABOLAS

Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

Departamento de Matemática, FEG, UNESP

Lc. Ismael Soares Madureira Júnior

Guaratinguetá, SP, Março, 2018

Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.

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EQUAÇÃO DA PARÁBOLA – EIXO // OY

y  =  a x²  +  b x  +   c   

Coeficiente a está relacionado a concavidade da parábola

      côncava para cima côncava para baixo

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PARÁBOLA - CONCAVIDADE

Quanto maior o valor do |a|  mais fechada é a parábola 

Exemplos

y = 5 x²

y = 2 x² 

y = x² 

y = ½ x²

y = 1/5 x²       

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PARÁBOLAS COM EIXO EM OY

Termo linear ausente (b =0):  y  =  a x²  +   c   

Coeficiente c é a interseção da parábola com o eixo y  (x=0)

Exemplos

y =  x²  + 2

y =  x²  + 1

y =  x² 

y =  x² – 1 

y =  x² – 2

Parábolas relacionadas entre si por translação vertical.

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PARÁBOLAS COM EIXO // OY

y  =  a x²  +  b x  +   c   

Coeficiente b está relacionado a posição do eixo da 

parábola, localizado sobre a vertical  x = ­ b/(2.a).

Exemplo  y = x² – 2x – 3 

A parábola tem simetria

de reflexão em torno 

do seu eixo.            

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VÉRTICE DA PARÁBOLA

O vértice é o ponto de retorno da parábola.

A coordenada horizontal  xv = ­ b/2a  é a média das raízes.

A coordenada vertical yv  é obtida                                            y v = a x v2

+ b xv + c .

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PARÁBOLAS E O DISCRIMINANTE

           

y = a x² + b x + c,          = b² – 4 a c

Os gráficos para a < 0 são uma reflexão no eixo x dos gráficos acima.

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INTERIOR E EXTERIOR DA PARÁBOLA

Região Interior da parábola (a > 0):  y >  a x² + b x + c

Região Exterior da parábola (a > 0):  y <  a x² + b x + c

       

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PARÁBOLAS – Geometria Euclidiana

A Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado (foco) e de uma reta dada (diretriz).

         A reta perpendicular a diretriz passando pelo foco é o eixo da parábola.           O vértice é o ponto sobre o eixo a meia distância entre o foco e a diretriz.

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PARÁBOLAS – DIREÇÃO DO EIXO

● Escolhendo o eixo x paralelo a diretriz (portanto, o eixo y é paralelo ao eixo da parábola)  pode­se mostrar que a equação da parábola é                                 y = a.x² + bx + c  (veja Simmons).

● Escolhendo a diretriz paralela ao eixo y, o eixo x será paralelo ao eixo da parábola. A equação da parábola se torna   x  =  a y²  +  b y  +  c.

Exemplo:

x  =  y²  –  6y  +  5.

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PARÁBOLAS – EIXO NA HORIZONTAL

Equação da parábola (linear em x, quadrática em y).

 x  =  a y²  +  b y  +  c.

● Se a > 0, côncava para a direita;   se a < 0, côncava para a esquerda.

● Raízes reais da equação  ay²  +  by  +  c  = 0  fornecem os pontos de interseção da parábola com o eixo y  (x = 0).

● Vértice localizado em (xv, yv) = ( ­ /4a ,  ­ b/2a).

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PARÁBOLAS – PROPRIEDADE DE REFLEXÃO

Raio incidente paralelo ao eixo da parábola é refletido passando pelo foco.

Sentido inverso:  raios que saem do foco são refletidos na parábola de tal forma que se tornam paralelos ao eixo da parábola.

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TANGENTE À PARÁBOLA

Reta tangente a parábola em um ponto P é a reta no exterior da parábola e que intersecciona a parábola apenas em P.

A reta tangente à parábola em P é a bissetriz das retas PF (F é o foco) e PD (D é o ponto no pé da perpendicular à diretriz que passa por P).

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PARÁBOLA – FUNÇÃO QUADRÁTICAf(x)  =  a x²  +  b x  + c.

Considere a > 0 (gráfico é côncavo para cima), então a função f é decrescente para  x < xv e crescente para x > xv.

Observe que em um ponto no intervalo em que a função é crescente (decrescente),              a reta tangente tem inclinação positiva (negativa). No vértice, a tangente é horizontal (inclinação nula). Para a > 0, o vértice é um ponto  de mínimo da função.

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EXERCÍCIOS

1) Para cada item abaixo, determine: (i) a concavidade, (ii) o discriminante, (iii) as raízes reais, (iv) o eixo e (v) o vértice da parábola. Faça um esboço do gráfico

a) y = 2 – x². b) y = x² – x.

c) y = x² – 2x – 2. d) y = x² – 4x + 4.

e) y = x² + x + 1. e) x = y² – 4.

f) x = – y² + y + 1.

2) Faça um esboço das curvas e destaque a região limitada definida por elas.

a) y x – x² e y 0.

b) y x², y + x 2 e x 0.

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EXERCÍCIOS

1) Uma função é definida por partes conforme mostrado a seguir

Determine o valor da constante c para que a função seja contínua em x = 1.

f (x) = 4 x , se x≤1,x ² + 2 x + c , se x≥1

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EXERCÍCIOS - Problemas de Otimização

1) A distância, s, entre dois barcos é dada em função do tempo, t, por

Determine para qual instante de tempo a distância é mínima. Dica: use o fato que a função raiz quadrada é crescente e seu mínimo é atingido quando seu argumento é mínimo.

● Simmons, cap 4, seção 3, Exemplo 5 (economia)

● Ponto de retorno em Mecânica/Movimento.

s (t ) = √400 t 2− 1600 t + 2500 .

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WOLFRAM ALPHA

Comandos com saída (resposta) gráfica

● Plot s = 400 t^2 – 1600 t + 2500

● Solve y > x² – 2x – 3

● Tangent Line to y = x^2 at x = sqrt(2)

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GEOGEBRA

● Para exibir o gráfico de s = 400 t^2 – 1600 t + 2500,

– na janela de álgebra escreva a equação, o gráfico será exibido na janela gráfica.

● Para exibir o interior da parábola y = x^2 – 2x – 3,

– na janela de álgebra escreva a desigualdade, o programa irá sombrear a região na janela gráfica.

● Para exibir a reta tangente ao gráfico de y = x² no ponto (2, 2)

– Insira a equação e o ponto,

– No menu de retas, escolha reta tangente,

● Selecione o ponto e depois o gráfico.