Praticando_Matemática - 9° ano

Pós-graduado em Álgebra Linear e Equações Diferenciais.
Foi professor efetivo de Matemática da rede estadual durante trinta anos.
Autor de diversos livros didáticos.
MARIA JOSÉ VASCONCELLOS Licenciada em Matemática.
Coordenadora e professora de Matemática em escola da rede particular.
Coautora de coleção de Matemática para o Ensino Médio.
MANUAL DO PROFESSOR
8/16/2019 Praticando_Matemática - 9° ano
Direção executiva Maria Lúcia Kerr Cavalcante Queiroz
Direção editorial Cibele Mendes Curto Santos
Supervisão editorial Felipe Ramos Poletti
Supervisão de arte e editoração Adelaide Carolina Cerutti
Supervisão de direitos autorais Marilisa Bertolone Mendes
Supervisão de controle de processos editoriais Marta Dias Portero
Supervisão de revisão Dora Helena Feres
Consultoria de iconografia Tempo Composto Col. de Dados Ltda.
Edição Valéria Elvira Prete e Cibeli Chibante Bueno
Assistência editorial Andréia Manfrim Alves e Marjorie Mayumi Haneda Hirata
Auxiliar editorial Rodrigo Pessota e Thalita Picerni
Coordenação de revisão Otacilio Palareti
Copidesque Equipe EBSA
Assistência de arte Regiane Santana
Design gráfico Ricardo Borges
Imagem de capa Orla/Shutterstock com pesquisa iconográfica de Léo Burgos
Ilustrações Departamento de Arte e Editoração (DAE), Hélio Senatore, José Luis Juhas e Lápis Mágico
Produção cartográfica Sonia Vaz
Editoração eletrônica Equipe EBSA
Licenciamentos de textos Renata Garbellini e Jennifer Xavier
Controle de processos editoriais Leila P. Jungstedt, Carlos Nunes e Flávia Iossi
3a edição / 1a impressão, 2013 Impresso no parque gráfico da Editora FTD
Rua Conselheiro Nébias, 887 – São Paulo/SP – CEP 01203-001
Fone: (11) 3226-0211 – Fax: (11) 3222-5583 www.editoradobrasil.com.br
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Andrini, Álvaro Praticando matemática, 9 / Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos.
– 3. ed. renovada. – São Paulo: Editora do Brasil, 2012. – (Coleção praticando matemática)
Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia ISBN 978-85-10-05160-6 (aluno) ISBN 978-85-10-05161-3 (professor)
1. Matemática (Ensino fundamental) I. Vasconcellos, Maria José. II. Título. III. Série.
12-02964 CDD-372.7
PREZADO ALUNOPREZADO ALUNO
Você já deve ter perguntado a si mesmo, ou a seu professor:
“Para que eu devo estudar Matemática?”
Há três respostas possíveis:
1. A Matemática permite que você conheça melhor a realidade.
2. A Matemática pode ajudar você a organizar raciocínios.
3. A Matemática pode ajudar você a fazer descobertas.
Este livro e as orientações de seu professor constituem um ponto de partida.
O caminho para o conhecimento é você quem faz.
Os autores
“Não há ramo da Matemática,
por abstrato que seja, que não
possa um dia vir a ser aplicado
aos fenômenos do mundo real.”
Lobachevsky
e sugestões que contribuíram
F a v o r e t t o
Unidade 1 Potenciação e radiciação 1. Revendo a potenciação .........................7 2. Propriedades das potências .................11 3. Revendo a radiciação ..........................15 4. Expoentes racionais .............................18 5. Propriedades dos radicais .....................19 6. Simplificação de radicais ......................25 7. Adição e subtração de radicais .............28 8. Cálculos com radicais .........................31 9. Racionalização ....................................33
SUMÁRIOSUMÁRIO
Unidade 2 Equações do 2o grau 1. Equações ............................................ 41 2. Resolvendo equações do 2o grau ........43 3. Forma geral de uma equação
do 2o grau .......................................... 48
4. Trinômios quadrados perfeitos e equações do 2o grau ........................ 49
5. Fórmula geral de resolução da equação do 2o grau ............................ 54
6. Resolvendo problemas ........................ 58 7. Soma e produto das raízes de
uma equação do 2o grau ..................... 62 8. Equações fracionárias que recaem em
equação do 2o grau ............................ 68 9. Equações biquadradas ........................ 71 10. Equações irracionais ............................ 72
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatematica-9-ano 6/272
Unidade 7 Relações métricas nos triângulos retângulos 1. O teorema de Pitágoras.......................181
2. Teorema de Pitágoras, quadrados
e triângulos ........................................188
Unidade 8 Trigonometria no triângulo retângulo 1. As razões trigonométricas ..................203
2. As razões trigonométricas e os
ângulos de 30º, 45º e 60º ...................212
Unidade 9Círculo e cilindro 1. Área do círculo ...................................221
2. Área da superfície e volume
de um cilindro ....................................229
descontos e acréscimos .......................241 2. Juro ....................................................247
Sugestões de leitura e de sites para o aluno ..............................259 Referências bibliográficas ...... 261
Malhas para as atividades ..... 262
Respostas dos exercícios ........ 264
2. Sistema cartesiano .............................. ..84
3. Coordenadas geográficas .................... ..87
3. Da tabela para a lei de formação da
função ................................................108
Unidade 5 Noções de probabilidade 1. Qual é a chance? ................................133
2. As probabilidades e a estatística ..........141
3. População e amostra ...........................144
Unidade 6 Teorema de Tales e semelhança de triângulos 1. Razões, proporções e segmentos
proporcionais ......................................155
3. Teorema de Tales nos triângulos .......... 162
4. Semelhança ........................................164
6. Aplicando a semelhança de triângulos .173
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatematica-9-ano 7/272P O T E N C I A Ç Ã O E R A D I C I A Ç Ã O 7
M u s e u B r i t â n i c o , L o n d r e s
UNIDADE 1UNIDADE
Numa estrada, encontrei sete mulheres.
Cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
cada gato tinha sete gatinhos.
Quantos gatinhos encontrei na estrada?
Essa brincadeira, adaptada de um verso do folclore inglês, pode ser solucionada calculando-se:
7 7 7 7 2 401 gatinhos; ou, usando a potenciação,
7 4
e 4 é o expoente.
F
e r n a n d o F a v o r e t t o
O papiro de Rhind
Entrelaçando e colando as hastes das folhas deuma planta chamada papiro, os egípcios fabricavam artesanalmente um material para nele escrever: um ancestral do nosso papel. Alguns documentos escritos nesse material sobreviveram ao tempo e são chamados de papiros.
Em 1858, um pesquisador escocês chamado Hen- ri Rhind comprou, no Egito, um papiro que, estima- -se, foi escrito por volta de 1650 a.C. Ele contém informações sobre o sistema de numeração egípcio,
conhecimentos de geometria e proporcionalidade, problemas e até brincadeiras com números.
Uma dessas brincadeiras cita: • 7 casas, 49 gatos, 343 ratos e 2401 espigas
de milho. Supõe-se que essa brincadeira tenha inspirado o
versinho em inglês de que falamos.
Trecho do papiro de Rhind, que mede 30 cm
de largura e 5 m de comprimento.
Veja exemplos de cálculos de potências:
• 1,52 1,5 1,5 2,25 • 80 1
• (2)5 (2) (2) (2) (2) (2) 32 • (2,6)0 1
• 3 7
necessário escrevê-la entre parênteses.
Sem parênteses, o sinal de negativo será aplicado ao resultado
da potenciação.
Você já trabalhou nos anos anteriores com a potenciação e suas propriedades. Vamos recordar?
Definições
Considerando que a base é um número real a e o expoente é um número natural n, temos:
an a a a a … a para n 1
a1 a; e, para a 0:
a0 1
Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a manutenção de padrões:
Os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências
é constante e igual a 3.
Veja:
49
81
49
Atenção!
34 33 32 31 30 31 32 33 34
81 27 9 3 1 1 3
1 9
1 27
1 81
: 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3 : 3
I l u s t r a ç õ e s : L á p i s M á g i c o
Exercícios
d) 0 0
j) (10) 100 000 5
1 Num depósito há 10 caixas, cada caixa contém 10 pacotes e cada pacote contém 10 parafusos. Quantos parafusos há no total?
10 3
1 000
3 Qual é o número maior: 222 ou 222? 222
2 Qual é o expoente?
4 Complete, no caderno, a tabela que trata da área e do perímetro de 5 quadrados diferentes.
a) (7)2 49 b) 72 49
Os resultados são iguais ou diferentes? Por quê?
7 Um gato come 4 ratos por dia. Quantos ratos 4 gatos comem em 4 dias? 64 ratos • 43 64
6 Calcule.
8 Qual é o valor de a? Responda no caderno.
9 Traduza para a linguagem matemática:
a) o quadrado de 5; 52
b) o dobro do quadrado de 5; 2 52
c) o cubo de 5; 53
d) o triplo do cubo de 5. 3 · 53
a) a5 1 1
b) a6 0 0
c) a3 8 2
d) a2 25 5 ou (5)
e) a4 16 2 ou (2)
f ) a2 9 (Cuidado!) Não há.
Diferentes. No item a, o (–7) está elevado ao expoente 2, enquanto no item b, o 7 está elevado ao expoente 2 e o resultado tem sinal negativo.
Lado 3 7 1,5 1 2 x
Área 9
x 2
haver duas respostas.
L á p i s M á g i c o
I l u s t r a C a r t o o n
13
Responda.
a) As potências 31 e (3)1 são iguais ou diferentes? Diferentes.
b) As potências 32 e (3)2 são iguais ou diferentes? Iguais.
15 Calcule.
1 9
10 Seguindo o mesmo padrão de construção do prédio abaixo, foi construído outro com 7 blocos, também numerados de cima para bai- xo como o da figura. Cada quadradinho tem uma janela. Nesse novo prédio, qual é o nú-
mero de janelas do 7o bloco (o mais próximo do chão)? 49 janelas • 72 49
11 Copie e complete, no caderno, cada uma
das tabelas utilizando as potências de base 10.
12 Calcule.
6 1 64
13 Um restaurante oferece três tipos de salada, três tipos de carne e três tipos de sobremesa. Quantas refeições diferentes podem ser ofereci- das, se cada uma deve conter uma salada, um tipo de carne e uma sobremesa? 27 refeições • 33 27
14 Copie e complete os quadros em seu caderno.
a) 72 1 49
b) 5 7
e) 2 5
103
104
105
106
102
103
104
105
I l u s t r a ç õ e s : I l u s t r a C a r t o o n
2. Propriedades das potências
24 23
Quando multiplicamos potências de mesma base, podemos conservar a base e somar os expoentes.
56 54 52
56 54 56 4 52
Quando dividimos potências de mesma base, podemos conservar a base e subtrair os expoentes.
5 5 5 5 5 5
5 5 5 5
expoentes.
Para evitar tantos cálculos, podemos aplicar as propriedades das potências. Vamos lembrá-las e depois voltaremos a essa expressão. Observe:
24 23 2 2 2 2 2 2 2 27
24 23 24 3 27
Acompanhe exemplos de aplicação dessas propriedades:
• (3)4 (3)6 (3)4 6 (3)2 • 69 68 69 8 61 6
• x 2 x 3 x 9 x 2 3 (9) x 4 (com x 0) • a5 a9 a5 9 a4 (com a 0)
• 1,79 1,72 1,79 2 1,77
Dessas propriedades decorrem outras:
(74)2 74 74 78, ou seja, (74)2 74 2 78
Finalmente, acompanhe os exemplos:
• (5 3)2 (5 3) (5 3) 5 5 3 3 52 32
• ( x y 2)3 ( x y 2) ( x y 2) ( x y 2) x x x y 2 y 2 y 2 x 3 ( y 2)3 x 3 y 6
De forma semelhante, na divisão podemos elevar dividendo e divisor ao expoente indicado. Veja: (8 5)3 83
53
elevar cada fator ao expoente indicado.
Podemos resolver essa expressão
teríamos muito trabalho!
usando calculadora para obter as potências. Depois, fazemos as operações indicadas. L
á p i s M á g i c o
que não fale o nosso idioma, mas que
conheça Matemática, saberá quelistamos as propriedades das potências!
27 3 9 3 3 3 1
27 33
3 3 1
potências, economizamos cálculos e tempo!
Podemos usar letras para generalizar as propriedades que acabamos de rever. As bases são números reais a e b diferentes de zero, e os expoentes, números inteiros m e n.
Agora, voltando à nossa expressão...
Vamos ver mais um exemplo.
Tomemos a expressão 243
274 . Seria bastante trabalhoso calcular as potências indicadas. No entanto, podemos simplificar a expressão.
Primeiro fatoramos 243 e 27:
Voltando à expressão inicial:
Ficou mais fácil!
Exercícios
105
E
E
E
C
D – III
16 O desenho abaixo representa o cruzamen- to de linhas horizontais com linhas verticais. Quantos pontos haveria se tivéssemos 18 li-
nhas horizontais e 18 verticais? 324 pontos
17 Transforme numa única potência:
a) 57 52 59
c) 7 73 49 76
d) 710 : 74 76
18 Certo ou errado? Anote a resposta no caderno.
19 No chaveiro representado na figura, são guardadas as chaves de um estacionamento. Em cada gancho são colocadas 5 chaves. No
total, quantas chaves podem ser guardadas?
20 Calcule mentalmente o valor de: 23 8
21 Relacione, no caderno, as expressões que têm o mesmo valor.
A 7 7 7 7
B (7 2
24 Quanto é:
c) o quadrado de 210? (210)2 220
d) o cubo de 210? (210)3 230
IV
tos pacotes, com 35 lápis em
cada um, vou conseguir embalar?
(Anote o resultado no caderno.) 9 pacotes
3. Revendo a radiciação
• Conhecendo a medida do lado do quadrado, podemos determinar sua área.
A 2 42 16 cm2
4 cm
• Conhecendo a área do quadrado, podemos determinar a medida de seu lado.
A 2
2 25
25 cm2
inversa de elevar ao quadrado.
O volume de um cubo de aresta 2 cm é:
V a3 23 8 cm3
Se um cubo tem volume de 27 cm3, podemos determinar a medida de sua aresta.
V a3
27 a3
a 3
27 3, porque 33 27 Extrair a raiz cúbica é
a operação inversa de
elevar ao cubo.
Já aprendemos que há dois números que, elevados ao quadrado, resultam 25.
5 2
25
Considera-se que 25 é o número positivo que elevado ao quadrado resulta 25:
25 5
Indicaremos por 25 o oposto de 25. Observe: 25 5
4 cm
2 cm
2 c m
2 c m
I l u s t r a ç õ e s : D A E
• 144 12, porque 122 144
• 0,36 0,6, porque 0,62 0,36
• 4 10 000 10, porque 104 10 000
4 10 000 (lê-se: raiz quarta de dez mil)
• 4 é o índice da raiz;
• 10 000 é o radicando;
• é o símbolo da raiz.
Lembre-se:
Raízes de índice par de números negativos não são números reais.
Isso acontece porque todo número real elevado a um expoente par resulta em um número positivo. Por exemplo:
• 16 não é um número real. 42 16 (4)2 16
• 6
1 não é um número real. 16 1 (1)6 1
No entanto...
Raízes de índice ímpar de números negativos são números reais.
• 3
32 2, porque (2)5 32
Muitas raízes são números irracionais: têm infinitas casas decimais e não apresentam período.
2, 5, 8 e 3
24 , por exemplo, são números irracionais. Podemos trabalhar com esses números
na forma de radical. Se necessário, podemos aproximar essas raízes por um número racional.
Na prática podemos usar, por exemplo,
2 1,41.
Aparece, no visor, 1,414 213 562, que é
uma aproximação para 2 com 9 casas
decimais.
Exemplos:
á g i c o
Exercícios

b) 121 11 e) 0,09 0,3
c) 1,21 1,1 f) 4 25 2
5
a) Quantos metros mede o seu perímetro?
b) Qual será a área, em m2, de um terreno com o triplo da medida do lado desse quadrado? 8 100 m2
120 metros
31 Complete, em seu caderno, de modo a obter afirmações verdadeiras.
32 Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 49 e a raiz cúbica de 125. 49
3 125 = 2
33 O volume de um cubo é 1 000 dm3. Qual é o comprimento da aresta? 10 dm
34 Responda.
a) Se 4 a 3, qual é o valor de a? 81
b) Se 5 a 2, qual é o valor de a? 32
c) Se 7 a 1, qual é o valor de a? 1
d) Se n 625 5, qual é o valor de n? 4
e) Se n 64 2, qual é o valor de n? 6
35 Responda: 20 e 20
36 Qual é o maior número: 2,81 ou 8? 8
37 O senhor José tem um galinheiro quadrado, com uma área de 5 m2, que precisa ser cer- cado com tela. Que número inteiro de metros de tela ele precisa comprar? 9 metros
38 Calcule, caso exista, no conjunto dos nú- meros reais:
400 é quadrado de quais números?
200
d) 3 0,008 0,2
f ) 3 64 4
h) 3 0,001 0,1
Não existe.Não existe.
D A E
4. Expoentes racionais Até agora trabalhamos com potências cujos expoentes eram números inteiros.
E se o expoente for um número racional?
Por exemplo, qual é o significado de 7 1 2 ? E de 2,8
3 4 ? E 160,25?
Os expoentes racionais relacionam a potenciação e a radiciação da seguinte maneira:
Se a é um número positivo e m e n são números naturais diferentes de zero, então:
a m n
(2) 3 4
2) 3
é um número negativo, essa raiz não é um número real.
As potências de base positiva e expoente racional podem ser escritas na forma de radical, e os radicais podem ser
escritos na forma de potência com expoente racional.
Exemplos:
As propriedades das potências continuam valendo para os expoentes racionais.
O fato de potências com expoentes racionais poderem ser escritas como raízes também tem suas razões. Dentro da ideia de manter padrões...
Os valores dos expoentes diminuem sempre 1 2
. Do mesmo modo como ocorre para os expoentes
naturais, os quocientes entre dois valores sucessivos de potências devem ser constantes:
4 x
1 2 , temos 4
27 2 7 5
1a propriedade
5. Propriedades dos radicais
Para calcular 4
625 , Rogério fatorou 625:
Para descobrir a medida do lado do quadrado de área 576 cm2, Patrícia fez:
625 5 125 5 25 5
5 5 1
625 4
54 5
62554
Cuidado com a base negativa do radicando! Veja um exemplo do que ocorre se a base for negativa e o índice for par:
(3)2 9 3
Essa propriedade pode ser útil no cálculo de raízes. Veja:
Acompanhe:
• 3
• 6
36 3 6 6 31 3
Se a é um número positivo e n é um número natural diferente de zero, n
an a.
Elevo à quinta potência e extraio a raiz quinta: são
operações inversas!
Vamos usar frações equivalentes!
Ana, você saberia escrever a raiz quinta de dois elevado à terceira como um radical de índice dez?
• Escrevemos a raiz quinta de dois elevado à terceira na forma de potência.
• Achamos uma fração equivalente a

nominador dez.
• Escrevemos a potência na forma de radical, outra vez, e está resolvida a questão!
Na prática, faremos: 5
8 36 3
6 8 3
4
33
Usamos frações equivalentes para escrever o radical numa forma mais simples. Podemos registrar o procedimento acima de uma forma mais curta, assim:
8 36
10 : 5 75 : 5 7
Quando multiplicamos ou dividimos o índice da raiz e o expoente do radicando pelo mesmo
número natural diferente de zero, obtemos um radical equivalente ao primeiro.
3 5
6 10
2
2
Exercícios
7 5 = 7 3
por fatoração doradicando.
42 A figura representa um escritório com duas salas quadradas de 9 m2 de área cada uma. O corredor tem 1 m de largura. Qual é a área total
do conjunto? 24 m 2
9 + 9 + 6 24
43 Veja o que o professor escreveu no quadro- -negro:
5 3 =
6 53 5
2 5
44 No caderno, simplifique os radicais e, em cada item, responda: que número você usou para dividir o índice e o expoente?
45 Certo ou errado?
46 (Unicamp-SP) Determine o maior dentre os números 3 3 e 4 4. 3
3 • 12
34 , 12
c) 8 23 4
c) 10
2 15
2 3
1 m
3a propriedade
O que observamos nesse exemplo pode ser generalizado. Acompanhe.
Tomemos os números positivos a e b e o número natural n diferente de zero:
n a b (a b)
1 n a
1 n b
1 n
n a
n b
Ou seja, usando a notação de potência de expoente racional para os radicais e as propriedades da potenciação, mostramos que:
A raiz de um produto é igual ao produto das raízes dos fatores desse produto.
Aplicando essa propriedade, chegaremos a um resultado importante:
(3 7 )2 3 7 3 7 3 7 7 3 72 , isto é: (3 7 )2
3 72
produto de raízes
(Saresp) Por qual dos números abaixo deve ser multiplicada a expressão 5 8 9 para que
seja obtido um número inteiro?
a) 10 b) 30 c) 45 d) 50x
Sabemos que 25 4 100 10
Também sabemos que:
4 2
n a b
propriedades dos radicais.Vamos estudar mais duas.
4a propriedade
A raiz de um quociente é igual ao quociente das raízes do dividendo e do divisor.
Para determinar 4
que tem a tecla , digitamos 6 561 e
obtemos 9.
6 561 é o
6 561 ( 6 561) 1 2 (6 561
1 2)
4 6 561
M a u r i c i o M o r a i s
×9
vendo serão úteis!
Então, 36 : 4 36 : 4
Sendo a e b números positivos e n um número natural diferente de zero:
n a : b (a : b)
1 n a
1 n : b
1 n n
raiz de um quociente
seu caderno que
1 2)
1 10
10 6
48 Leia o exercício que Renato deve responder:
Responda você também. 81 • x 3
50 Calcule, indicando o resultado sem radical.
Faça os cálculos e responda em seu caderno.
51 A figura é constituída por duas partes retangulares (medidas em cm).
a) Qual é a área do retângulo azul? 4 cm2
b) Qual é a área do retângulo verde? 6 cm2
52 Calcule, usando as propriedades dos radicais aritméticos.
53 A figura mostra um retângulo e no seu in- terior um quadrado.
Qual é a área da parte hachurada
da figura? 45
16
64
16
= ? Sim.
a) 5 43 5
3 3 3 = ⋅ C
⋅ = E
a) 3 12⋅ 6
⋅ 2
⋅ 2
h) 0 5 5 10, ⋅ ⋅ 5
a) 10
é igual a 3. Qual é esse
número?
8
2 4,5
D A E
Para fazer a higiene pessoal, cozinhar,
limpar a casa, lavar a roupa etc., cadapessoa consome em média 200 litros de
água por dia.
de abastecer um grupo de 500 pessoas por
aproximadamente quantos dias?
Lembre-se de que 1 m3 1 000 L. Aproximadamente 17 dias.
6. Simplificação de radicais Um reservatório em forma de cubo deve comportar 1 728 m3 de água. Qual deve ser a medida
de sua aresta?
Como V 1 728 m3, temos a3 1 728.
Então, a 1728 3 .
Podemos determinar essa raiz por tentativas. Também podemos usar as propriedades dos radicais para determiná-la:
1 728 2 864 2 432 2 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3
1
1 728 26 33
1 728 2 3 2 3 2 2 3 3 6 33 63 33 33 33
= = = 333
Logo, a aresta deve medir 12 metros.
As propriedades dos radicais permitiram simplificar e calcular a raiz que resolvia o problema.
Confira calculando se 123 = 1 728.
• Fatoramos 1 728
a
a
a

224 2 112 2 56 2 28 2 14 2 7 7 1
3. Sabendo que 5 2,24, vamos calcular o valor aproximado de 245.
Veja mais exemplos de simplificação de radicais:
1. 8 23
22 2 22
2 2 2
Fatorando 245, obtemos 245 72 5
245 72 5
Para simplificar 700, Ana lembrou
que 700 100 7 e fez: 700

100 7 100
7 10 7
Como a raiz era quadrada, ela decom- pôs 700 num produto, de forma que um dos fatores fosse um número quadrado perfeito.
Você também pode usar essa ideia!
1. Utilize a ideia de Ana para simplificar os seguintes radicais:
a) 28 2 7 c) 500 10 5
b) 32 4 2 d) 163 2 2 3

0,1 d)
x
Exercícios
55 Certo ou errado?
56 Simplifique os radicais.
57 Considere a sequência abaixo, em que aárea de cada quadrado é a quarta parte da área do quadrado anterior:
A 256 cm2
Sendo 256 cm2 a área do primeiro quadrado, responda.
a) Qual é a medida do lado do segundo quadrado? 8 cm
b) Qual é a medida do lado do menor quadra-
do? 1 cm
58 O sólido abaixo tem o volume de 4 374 cm3 e é formado por cubos de mesmo volume. Cal- cule a medida da aresta de cada cubo. 9 cm
59 Mostre que as igualdades são verdadeiras:
60 Rodrigo está escrevendo uma sequência de cinco números. Qual é o número que ele ainda deverá escrever? 72 6 2ou
61 Mostre que os números 4 3 7 5 2, e estão colocados em ordem crescente.
48 49 50< <
62 Use propriedades dos radicais e consulte a tabela para achar um valor aproximado de:
a) 5 7 25 7= C
b) 3 4 2 3= C
c) 2 10 20= E
d) 2 5 20= C
e) 2 2 16 3 3
= C
a) 98 7 2
b) 27 3 3
c) 72 6 2
3
4
3
5
4
12 25

5 x e 2 x são termos semelhantes
9 y e 4 y são termos semelhantes
Veja esta expressão com radicais:
• 5 2 7 2 6 3 2 3+ + −
Nela encontramos radicais semelhantes. Aproveitando as ideias da expressão algébrica, pode-
mos fazer:
5 2 7 2 6 3 2 3 12 2 4 3–+ + = +
Veja outros exemplos de expressões envolvendo adição e subtração de radicais:
– – – –+ + =
•

+ = + =
Radicais que inicialmente não eram semelhantes
tornaram-se semelhantes depois de simplificados.
Na expressão algébrica 5 x 9 y 2 x 4 y , podemos somar os termos semelhantes:
Veja a seguir outros exemplos.
• São semelhantes:
5
radicais semelhantes!
Os índices são diferentes.
Os radicandos são diferentes.
semelhante a 3.

Radicais semelhantes são radicais que têm mesmo índice e mesmo radicando.
65 Efetue.
66 Efetue.
67 Nas figuras, as medidas indicadas são dadas em cm. Determine o perímetro de cada figura.
a)
b)
69 É verdade que 5 45 80+ = ? Sim.
70 Sabendo que os valores aproximados de
2 1 41 3 1 73, ,e , calcule um valor apro-
ximado de:
a)
b)
c)
d)
e)
+
12 5
3 5
12 5
8. Cálculos com radicais • Vamos calcular a área do retângulo ao lado.
c : medida de comprimento
: medida da largura
Lembrando que a área do retângulo é A c , temos para esse retângulo A 15 6 .
Aplicando a 3a propriedade, podemos escrever:
A 3 cm2
•
3
3
A = ⋅ ( )5 3 5–
–
–
–
=
Colocamos o fator comum 2 do numerador em evidência e simplificamos a expressão.
Aplicamos a 3a propriedade.
Para calcular a área desse retângulo, usa- remos nossos conhecimentos sobre produtos notáveis:
2 3 – 2 cm⋅ ( )
3 2 2 3

9. Racionalização
Os números irracionais têm infinitas casas decimais e não apresentam período.
Você já sabe:
Observe que ela precisou usar uma aproximação para
2, pois 2 é um número irracional.
Podemos evitar essas divisões encontrando uma divisão equivalente à divisão original e que não tenha número irracional como divisor. Acompanhe o raciocínio da Aninha:
Quando multiplicamos o dividendo e o
divisor por um mesmo número diferente de
zero, o quociente não se altera.
Tornamos o divisor racional. Fizemos sua racionalização. Agora é com você!
1. É verdade que 11 11
11 ? Sim.
2. Racionalize.
a) 8
Essa divisão é
mesmo trabalhosa! 7
7
2
mesmo que a divisão original.
• 3
á g i c o
crescente. C, D, B, E, F, A
83 Escreva o número 1 9
na forma de uma po-
tência de base 3. 3–2
8,41 0,084 1
mente. a) b) c)
tivo, indique, em seu caderno, as expressões
equivalentes.
a a a a a 3a a 2
(a a) (a a a) 5a
(a a a) (a a) a 2 2a
(a a a) (a a) 2a 3a
(a a) (a a) a 3 2a
Já calculei 84.
Deu 4 096.
• 84 (23)4 4 096
rantes com capacidade de 1 2
litro, 1 litro e
guaraná, limão e laranja. Quantas possibilida-
des de escolha existem para o consumidor que
levar apenas uma garrafa? 9 possibilidades • 3² = 9
a) 72 (7)2 0
c) 2 3
9
x 1 327
A e I
B e G
C e K
D e H
E e L
F e J
em seu caderno.
I l u s t r a ç õ e s : H é l i o S e n a t o r e
I l u s
t r a ç
õ e s :
D A E
89 Determine os dois termos seguintes de cada uma das sequências indicadas.
a) 1, 4, 9, 16, ... 25, 36
b) 1, 8, 27, 64, ... 125, 216
c) 1, 1 2
90 Usando “cubinhos” iguais, Alice fez a construção ao lado:
a) Determine o menor núme-
b) Determine o menor número de “cubinhos” que Alice teria de retirar da construção para obter um cubo. 33 “cubinhos”
91 Simplifique.
39 27 32 54
92 Uma feira de livros foi instalada num prédio de 3 andares, cada andar dividido em 3 setores. Compondo cada setor havia 3 estandes, e em cada um deles trabalhavam 3 pessoas, que foram identificadas com um crachá. Quantos crachás, no mínimo, foram confeccionados? 81 crachás
93 Calcule.
a) Você pode indicar o lado do quadrado como 150 cm? Sim.
b) Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta 150? Não existe.
• Tente o 11. É muito ou pouco?
c) O lado desse quadrado é um número natural? Entre quais dois números naturais consecutivos está 150 ? Não. Entre 12 e 13.
d) Com o auxílio da calculadora, calcule aproximadamente a medida do lado desse quadrado. 12,247 cm
É pouco, pois 112 121.
É pouco, pois 122 144.
É muito, pois 132 169.
94 Observe o quadrado representado na figura:
Área: 150 cm2
− + −
− − +
⋅
ro de “cubinhos” que Alice
teria de acrescentar à cons-trução para obter um cubo. 4 “cubinhos”
Responda.
em seu caderno.

D A E
8−
d) 5 29, ou 2,3? São iguais.
96 Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 64 e a raiz cúbica de 8. 6 • 64 8 6
3 − =
99 (FMRP-SP) Um pai pretendia dividir uma
pizza em 4 pedaços iguais, um para cada pes-soa da família. Porém, a sua filha pediu-lhe o pedaço correspondente ao quadrado da fra- ção que lhe caberia, e o filho, a raiz quadrada da fração que lhe caberia. A sua esposa ficou com a quarta parte e ele com o restante. Que fração correspondeu ao pedaço do pai? 1 – 1
16 + 1
101 Calcule e simplifique.
102 No retângulo a seguir, as medidas estão indicadas em centímetros. Determine a área da figura. 18 cm2 • 12 27 324 18⋅ = =
103 Em um triângulo equilátero, o perímetro é igual a 24 2 cm. Quanto mede o lado desse triângulo? 8 2 cm
104 Escreva na forma mais simples possível cada uma das expressões a seguir.
105 No quadrilátero da figura, as medidas dos lados estão dadas em centímetros.
Determine o perímetro desse quadrilátero. 1 4 3 cm
24
3
8
120
consecutivos. 3 5 8
48
H é l i o S e n a t o r e
106 Veja as medidas da figura:
a) Qual é a área do quadrado verde? 2
b) Qual é a área do quadrado azul? 7
c) Qual é o perímetro do quadrado azul?
d) Qual é o perímetro de um retângulo rosa?
e) Que expressão representa a área total dessa figura?
Os números
monstre.
108 Um engenheiro mandou construir um re- servatório que tem a forma de um cubo com capacidade de 64 m3.
a) Qual é a medida do lado desse reservatório?
b) Quanto teria de aumentar cada um dos lados do reservatório para a capacidade ser
de 125 m3? 1 m
109 Racionalize.
110 Observe a planta abaixo e responda.
111 (Obmep) Qual dos números a seguir está mais próximo de (0,899² 0,101²) 0,5?
112 Um terreno com a forma de um quadrado de 40 m de lado foi dividido em três regiões retangulares, destinadas à construção de uma casa (A), uma quadra (B) e uma piscina (C), conforme sugere a figura abaixo:
Sabendo que as áreas das regiões A e B são iguais, calcule o valor de x na região C. 16 m
4 7
a) 0,4 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,9x
4 m
a) Qual é a área da sala do Dr. João, sabendo que as outras duas salas são quadradas?
b) Qual das salas tem maior perímetro? A sala do Dr. Paulo; 24 m.
30 m2
B 40 15 600 C 1 600 600 600 C 400
25 x 400 x 16
Sala do
Dr. João
2
7
7
2
113 Consideremos a seguinte situação:
• Ao lançarmos uma moeda, temos dois resultados possíveis: cara ou coroa.
• Se lançarmos duas moedas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra de R$ 0,50,
teremos quatro possibilidades:
1 2 2 4 3
4 5 6
A relação entre o número de moedas e o nú- mero de resultados é dada pela tabela. Copie-a e complete-a.
Se n é o número de moedas, qual é o número de resultados? 2n
114 Uma sala quadrada de área 49 m2 tem um tapete também quadrado de área 6,25 m2 colocado no centro da sala. Qual é a distância do
tapete às paredes? 2,25 m
• 7 2,5 4,5 2 2,25
115 (Fuvest-SP) Qual a metade de 222?
116 Qual é maior: 5 2 4 3ou ?
117 Observe com atenção o quadro:
1a) 1
5a) 21 23 25 27 29
soma 1
soma 8
soma 27
soma 64
soma 125
b) Qual é a soma dos números da 6a linha?
c) Qual é a soma dos números da 10a linha?
31, 33, 35, 37, 39, 41
63 216
118 Um torneio de pingue-pongue é disputado
por 32 jogadores, que são agrupados em pa-res. Os jogadores de cada par se enfrentam e os perdedores são eliminados (não há empates). Os vencedores são agrupados em novos pares e assim por diante, até que fique apenas o cam- peão. Quantas partidas são disputadas? 31 partidas
8
Desafios
A
r q u i v o P a r t i c u l a r
Seção livre
O xadrez é um jogo muito antigo e
interessante. Desenvolve o raciocínio e a capacidade de concentração, além de proporcionar momentos agradáveis.
Existe uma lenda a respeito desse jogo, bastante conhecida, que envolve o con- ceito de potência:
“Conta-se que um rei, entusiasmado com o jogo de xadrez, ordenou que dessem ao inventor do jogo o que ele pedisse. O inventor pediu: 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez; 2 grãos de trigo pela segunda casa; 4 pela terceira casa; 8 pela quarta casa; 16 pela quinta casa; 32 pela sexta casa; e assim sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos que foi colocado na casa
anterior, até completar as 64 casas.
A vontade do rei não pôde ser satisfeita. Mesmo juntando-se todos os celeiros do mundo não se conseguiria a quantidade pedida pelo inventor: dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um mil e seiscentos e quinze grãos de trigo, ou seja:
18 446 744 073 709 551 615
Agora é a sua vez! Imagine que você queira economizar dinheiro e adote o seguinte esquema: no 1º dia, você
guarda 1 centavo; no 2º dia, dois centavos; no 3º dia, quatro centavos, e assim sucessivamente. Ou seja, você guarda, a cada dia, o dobro do que guardou no dia anterior.
• Quanto você acha que economizaria, mais ou menos, em um mês?
Faça os cálculos utilizando uma máquina de calcular.
264 1
Aproximadamente 10 milhões e 700 mil reais.
P O T E N C I A Ç Ã O E R A D I C I A Ç Ã O 39
H é l i o
S e n a t o
r e
Autoavaliação Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.
40
a) Apenas a primeira.
b) Apenas a segunda.
c) Apenas a terceira. d) A primeira e a última.
x
120 (UFRJ) A dose diária recomendada de um remédio líquido é de 40 gotas. Uma gota deste medicamento pesa, em média, 5 · 10–2 gramas. Então, num frasco contendo 80 gramas desse remédio, temos medicamento suficiente para um tratamento de no máximo:
121 Um queijo tem forma cúbica, com 5 cm de aresta. Se o queijo for cortado para aperiti- vo em “cubinhos” de 1 cm de aresta, quantos “cubinhos” serão obtidos? 53 125
a) 25
b) 75
c) 125
d) 150
x
122 O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com área de 400 000 m2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um
quadrado, então a medida de seus lados esta- ria entre:
a) 200 e 210 m
b) 320 e 330 m
c) 400 e 410 m
d) 600 e 650 m
• 2 = 400 000 • = 200 10
123 (OBM) O valor de 0 444, ... é:
a) 0,222...
b) 0,333...
c) 0,444...
d) 0,666...
Os números de azulejos azuis e de azulejos brancos que serão necessários para construir o 5o mosaico dessa sequência são, respectivamente:
124 Com azulejos brancos e azuis, todos do
mesmo tamanho, Carlinhos está construindo uma sequência de mosaicos.
a) 24 e 25 b) 25 e 24
c) 24 e 16 d) 16 e 24
125 (Vunesp) Uma cultura de certa bactéria, mantida sob condições ideais, triplica o seu volume a cada dia. Se o volume no primeiro dia é de 9 cm3, o volume no quinto dia será:
a) 405 cm3
b) 729 cm3
c) 939 cm3
x
x
Azuis: 8, 12, 16, 20, 24 Brancos: 1, 4, 9, 16, 25
x
x
Basílica de São Pedro, Vaticano, Itália
5 cm
I l u s t r a ç õ e s
: I l u s t r a C a r t o o n
D A E
UNIDADE 2UNIDADE
Equações do 2o grau
1. Equações Você já sabe como as equações são úteis na representação e
resolução de problemas.
Então, acompanhe a situação a seguir.
Na loja ao lado, um kit-presente com duas bermudas e três ca-
misetas custa o mesmo que um kit-presente com uma bermuda e
duas camisas.
Com um colega, tentem resolver o problema antes de prosseguir
com a leitura. A seguir, leia a resolução que apresentamos. Observe
que ela utiliza a álgebra.
Representaremos o preço da bermuda por x . Duas bermudas e três camisetas custam 2 x 48.
Uma bermuda e duas camisas custam x 70.
Como os preços dos kits são iguais, temos que:
Escrevemos uma equação na incógnita x para representar a situação. Vamos resolver a
equação para descobrir o valor de x , que é o preço da bermuda.
2 x 48 x x 70 x
x 48 70
2x 48 x 70
Subtraindo x de ambos os membros da equação:
Para verificar se a solução está correta, substituímos x por 22 na equação 2 x 48 x 70.
2 22 48 22 70 44 48 22 70
92 92 (igualdade verdadeira)
Logo, 22 é a solução da equação.
Grau de uma equação
A equação 2 x 48 x 70, que acabamos de resolver, é uma equação do 1o grau, pois o maior expoente de x é 1.
As equações podem ser classificadas de acordo com o valor do maior expoente da incógnita. Nas equações do 2o grau, o valor do maior expoente da incógnita é 2.
5 y 2 7 y 0 9 x 2 25 x 2 2 x 4 3 8 10a a2 4a2 3a
1 No quadro há oito equações com uma in-
cógnita.
Responda no caderno.
a) Quais são equações do 1o grau? 2, 5 e 8
b) Quais são equações do 2o grau? 1, 4 e 6
c) Quais são equações do 3o grau? 3
d) Quais são equações do 4o grau? 7
2 Será a equação x ² + 3 x = x + 6 + x ² do
2o grau? Não. A equação é do 1o grau.
3 Considere a equação do 2o grau.
a) 3 é solução dessa equação? Não.
b) 2 é solução dessa equação? Sim.
c) –2 é solução dessa equação? Não.
d) –5 é solução dessa equação? Sim.
x ² + 3 x – 10 = 0
4 Para a expressão abaixo, existem dois nú-
meros reais que podem ser colocados no lugar
de . Quais são eles? 2 e – 4
( + 1)² = 9
1) x 2 – 5x + 6 = 0 2) 2x – 7 = 0
3) x 3 – x
5) 3x + 4 = 20
8) 9x + 6 = 7 x + 4
Resolva “de cabeça”!
Há equações do 3o grau, 4o grau, 5o grau etc.
Por exemplo, o valor do maior expoente da incógnita x na equação 8 x x 2 2 x 4 0 é 4. Então, essa equação é do 4o grau.
Até agora resolvemos somente equações do 1o grau. Nesta unidade, resolveremos equações do 2o grau.
I l u s t r a
C a r t o o n
H é l i o
S e n a t o r e
http://slidepdf.com/reader/full/praticandomatematica-9-ano 43/272E Q U A Ç Õ E S D O 2 o G R A U 43
1. Resolver a equação x² = 49 é a mesma coisa
que calcular 49? Não, porque x² = 49 x = 7 ou
x = –7; e 49 = 7.
2. Calcule, mentalmente, os valores de x.
a) x² + 1 = 10 3; –3
b) x² + 3 = 19 4; –4
c) x² – 1 = 48 7; –7
d) 3x² = 75 5; –5
e) x2
Isso não acontecia nas equações do
1o grau!
2. Resolvendo equações do 2o grau Você já sabe resolver algumas equações do 2o grau. Acompanhe. 1. Leia a pergunta da professora:
Qual é o número que elevado ao quadrado
resulta em nove?
Para representar essa situação podemos chamar o número desconhecido de x e escrever uma equação:
x 2 9
Há dois números que elevados ao quadrado resultam em nove: 3 e 3. Indicamos assim: x kl 9 x 3 3 e 3 são as soluções da equação do 2o grau x 2 9.
Usando outra nomenclatura bastante comum: 3 e 3 são as raízes dessa equação.
Explique sua resposta.
Quanto vale x ?
2. Num terreno quadrado foi construída uma casa que ocupa a
área de um retângulo de medidas 8 m por 10 m. Na planta, a me-
dida do lado do terreno está ilegível, mas sabe-se que a área livre
(A terreno
– A casa
8
10
80 m 2
O terreno é quadrado. Representando por x a medida do seu
lado:
x 400
x 20 A solução 20 não serve, pois a medida do lado de um terreno não pode ser negativa.
Então, o lado do terreno mede 20 m.
Existem leis municipais que regulamentam a ocupação dos terrenos, principal-
mente os reservados a loteamentos e condomínios. Por exemplo, a área construída
deverá ocupar no máximo certa porcentagem da área total do terreno.
No problema, a casa construída ocupa que porcentagem da área total do terreno?
A área total do terreno é A 20 2
400 m 2
Para responder à pergunta, precisamos descobrir que porcentagem 80 representa em
400. Comparando 80 e 400 por meio de uma razão:
80 400
A casa ocupa 20% da área total do terreno.
3. Existe um número real que elevado ao quadrado e somado a 16 resulta em zero?
Não há número real nessas condições. Veja por que: Número desconhecido: x .
Elevamos x ao quadrado, somamos 16 e igualamos a zero, obtendo uma equação:
x 2 16 0
Para que tenhamos x 2 16 0 é preciso ter x 2 16, mas não existe número real que elevado
ao quadrado resulte em um número negativo.
A equação x 2 16 0 não tem solução, ou não tem raízes, no conjunto dos números reais,®.
1 0 m
4. Veja outra situação:
Quando pelo menos um dos
fatores é iguala zero.
somei ao próprio número.
Obtive o triplo do número inicial. Em que número pensei?
Então, vamos usar outro caminho! Na equação x 2 x 3 x , podemos subtrair 3 x de ambos os membros: x 2 x 3 x 0 x 2 2 x 0 Em seguida fatoramos x 2 2 x , colocando x em evidência: x ( x 2) 0
x 2 = 3x – x
Opa! Assim não dá para achar x .
A equação correspondente ao problema é x 2 + x = 3x . Vou resolver do modo como fizemos
nas equações anteriores...
Se a b 0, então a 0 ou b 0.
Exercícios
de fatores desconhecidos seja nulo?
13 Resolva estas equações com o auxílio do
exercício anterior (lei do anulamento do pro-
duto).
b) 2 x ( x 5) 0 0; 5
c) ( x 3) ( x 1) 03; 1
d) ( x 6) (4 x 8) 0
14 Resolva estas equações usando o recurso
da fatoração e depois copie e complete o pen- samento de Robertinho.
a) x2 8 x 0 0; 8 c) 9 x2 5 x
b) x2 3 x 0 0; –3 d) 5 x2 10 x 0; –2
Exemplo:
Solução: 3 ou –7
número que expressa a área é igual
ao número que expressa o dobro
de seu perímetro. x 2 2(4 x )
a) Quanto mede o lado do quadrado? 8
b) Qual é o perímetro do quadrado? 32
c) Qual é a área do quadrado? 64
5 Existem dois valores reais que podem ser
colocados no lugar de x. Quais são eles?
a) x2 9 x ou x
b) x2 36 x ou x
c) x2 0,36 x ou x
d) x2 x ou x
6 Qual é o lado do quadrado cuja área é:
a) 169 m2? 13 m
b) 1,69 m2? 1,3 m
c) 100 m2? 10 m
d) 1 m2? 1 m
7 Resolva as equações.
10 O dobro do quadrado de um número é 72.
Qual é o número?
11 A área da figura ao lado, formada por 5 quadrados, é
20. Quanto mede o lado de
cada quadrado? 2
6 ou 6 2 x 2 72
5 x 2 20 x 2 4 x 2 ou x 2
81 4
das quais uma é… zero
25
4
2
2 12 e) 5(x
f) x (x 2) 2x 25
Um dos fatores tem de ser zero.
0;
2 ; – 2 kl kl
a) 11; 11 b) 3; 3 c) 3; 3 d) 1; 1 e) 3; 3 f) 5; 5
a) x2 25 0 5; 5
b) 2 x2 98 0 7; 7
c) 24 6 x2 2; 2
d) 64 x2 1 0
e) 7 x2 14 0
f) x2 49 0 7; 7
g) 25 100 x2 0
h) x2 – 0
veis resolver com os números reais.
a) x2 9 0 c) x2 9 0
b) x2 9 0 d) x2 9 0
9 Resolva as equações.
1 2
; 1 2
6; 2
A equação 5 x 3 x 2 4 2 x não está na forma ax 2 bx c 0. No entanto, é possível reorganizá-la, escrevendo-a na forma geral:
5 x 3 x 2 2 x 4 3 x 2 7 x 4 3 x 2 7 x 4 0 a 3; b 7 e c 4
Vimos que devemos ter a 0. No entanto, podemos ter b 0 ou c 0, ou ainda b 0 e c 0. Nesses casos teremos equações do 2o grau incompletas. Veja exemplos:
3. Forma geral de uma equação do 2o grau Já resolvemos várias equações do 2o grau. Antes de prosseguir estudando outros métodos de
resolução, vamos caracterizar essas equações.
Equações do 2o grau na incógnita x têm a seguinte forma:
ax 2 bx c 0, onde a, b e c são números reais com a 0.
• a é o coeficiente do termo em x 2. • b é o coeficiente do termo em x . • c é chamado de termo independente.
Na equação 4 x 2 12 x 9 0, temos: a 4, b 12 e c 9. A incógnita é x . Na equação t 2 3t 6, temos: a 1, b 3 e c 6. A incógnita é t .
Se a 0, o termo em x 2 se anula e não
temos mais uma equação do 2o grau. Por
isso colocamos a condição a 0.
Por uma questão de organização,
daremos preferência ao registro
até

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Praticando_Matemática - 9° ano