Prato de Maçãs –Paul Cézanne - joinville.udesc.br · Quantum Tantra – A Sensual, Loving & Enlightening Experience for Couples. 3) Quantum Neuro Linguistic Programation: “Quantum

Prato de Maçãs – Paul Cézanne

CONCEITOS

DE

MECÂNICA QUÂNTICA“ A equação de onda de Schroedinger

provavelmente é a equação maisreinterpretada jamais escrita. ” – Mário Bunge

Ψ∂∂⋅⋅=Ψ⋅t

iHop h

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICAJosé Fernando Fragalli

Departamento de Física – Udesc/Joinville

Física para Engenharia Elétrica – Conceitos de Mecân ica Quântica

1. Introdução

2. Os Postulados da Mecânica Quântica

3. A Equação de Schroedinger Independente do Tempo

4. Aplicações Simples da Equação de Schroedinger

a. Equação de Schroedinger em uma Dimensão

b. Partícula Livre

c. Partícula Livre em uma “Caixa”

CONCEITOS DE MECÂNICA QUÂNTICA

Física para Engenharia Elétrica – Conceitos de Mecânica Quântica

Nos dias de hoje, a palavra QUÂNTICO é largamenteusada para introduzir um verniz científico em filmes e livroschamados de autoajuda.

A palavra QUÂNTICO ajuda a vender tais produtos.

A palavra QUÂNTICO também ajuda a vender produtostecnológicos, tais como automóveis (“Santana Quantum” ),disco rígido (“Quantum HD” ), carretilhas ( “CarretilhasQuantum” ), fogões (“Fogão Quantum” ), etc...

CONCEITOS DA MECÂNICA QUÂNTICA

1. INTRODUÇÃO

O “poder” de marketing da palavra QUÂNTICO


“Our intention and what we choose to think, speak and do si the essence of the personal power we use to create our reality.

So what have you chosen for yourself?”

1) Quantum Healing ( www.quantumhealing.com .au)

“Unfortunately, we all have self limiting thoughts and fears that are energised by our emotions. We therefore create our

own obstacles on our path to achieving what we want. Negative emotions are also stored in the cells of the body and cause

disease.”

“Quantum Healing is dedicated to assisting you to identify and become consciously aware of the obstacles that hold you back - and help you remove them! Quantum Healing's approach is focused on balancing and integrating

body, mind and spirit to assist you to achieve a greater realisation of the power you have to heal yourself and to consciously choose the reality you desire.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “quantum healing”



Quantum Healing –

Awakenig of the Fifith

Dimension

“Nossa pretensão e aquilo que nós escolhemos pensar, falar e fazer é a essência do nosso poder pessoal que usamos para criar nossa realidade.

Então, o que você escolhe para você mesmo?”

1) Cura Quântica ( www.quantumhealing.com .au)

“Infelizmente, nós todos temos pensamentos auto-limitantes e medos que são energizados por nossas emoções. Portanto, nós criamos nossos

próprios obstáculos em nossa trajetória para atingir aquilo que queremos. Emoções negativas também são armazenadas nas células do

corpo e causam doenças.”

“A Cura Quântica é dedicada a ajudá-lo a identificar e torná-lo conscientemente atento aos obstáculos que o mantém atrasado – e ajudá-

lo a removê-los! A abordagem da Cura Quântica é focada no balanceamento e integração do corpo, mente e espírito para ajudá-lo a conseguir uma maior realização do poder que você tem para se auto-

curar e escolher conscientemente a realidade que você deseja.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “cura quântica”



Quantum Healing – The

Fifith Dimension

Consciouness

“QUANTUM TANTRA IS PHYSICS-

ASSISTED DEEP UNION WITH

NATURE”

2) Quantum Tantra ( www 2.cruzio.com ):

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “quantum tantra”



Nick Herbert –Schroedinger

Cat Nap

“O TANTRA QUÂNTICO É A PROFUNDA “AJUDA DA FÍSICA”

PARA A NOSSA UNIÃO COM A NATUREZA”

2) Tantra Quântico ( www 2.cruzio.com ):

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “tantra quântico”



Quantum Tantra – A Sensual, Loving & Enlightening Experience for Couples

3) Quantum Neuro Linguistic Programation:

“Quantum NLP is the art and science of Human Excellence. New scientific

discoveries show us clearly that we are creating our reality through the use of our

language. By teaching ourselves more effective language patterns, our brain automatically forms new neurological pathways which naturally lead to new

behaviors and habits.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “QNPL”



Quantum NLP – Pensamento em Manifestação.

3) Programação Neurolinguística Quântica: MecânicaQuântica aplicada aos “fenômenos da mente”.

“A Programação Neuro-Lingüística Quântica é a arte e a ciência da Excelência Humana. Novas descobertas científicas nos

mostram claramente que nós estamos criando nossa realidade através do uso da nossa linguagem. Pelo auto-aprendizado

mais efetivo dos padrões da linguagem, nosso cérebro automaticamente forma novos

caminhos neurológicos os quais naturalmente levam a novos comportamentos

e hábitos.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “PNLQ”



Psicologia Quântica???

4) The Quantum Physics of Sex: www.beliefinsitute.com

Table: Sexing the small bits

Bosons Fermions

"Force carriers"(gluons, interactions)

Constituent matter(things, matter, space)

Whole (spin) Part (spin)

Merged, Together Exclusive, Separate

Bose-Einstein Condensates Pauli Exclusion Principle

Shared, Collective Indentity, Individual

Feminine-waves Masculine-particles

“Men are particles, women are waves, roughly speaking. Men tend towards the individual particle nature: the hard-shelled ego strongly identified, the masculine tendency towards retaining their competitive indentities in "collisions" (sports, wars) and towards the extremes of behaviour (hence

the preponderence of male murderers and musicians). Women on the other hand tend towards the collective-wave nature of

"merging" with communities (focused on family, relationships, feelings, communication, nurturing the group by not being extreme or disruptive etc.). And as wtihin the

quantum world – where 'things' are both waves and particles (inherently, depending on how they are observed) –so within everyday life, where men can be 'wave-natured' (

feminine, caring, community focused), or 'particle-natured' (masculine, warrior focused, 'committment phobic', selfish, competitve); women can be 'particle-natured' (masculine,

competitive, objective, selfish) or 'wave-natured' (feminine, caring, sharing, selfless) and so on.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “quantum sex



Quantum Reality –

Nick Herbert.

4) The Quantum Physics of Sex: www.beliefinsitute.com

Tabela: Atribuindo Sexo às Partículas

Bosons Fermions

“Portadores de Força"(glúons, interações).

Constituintes da Matéria(coisas, matéria, espaço).

Completo (spin inteiro). Parcial (spin semi-inteiro).

Misturado. Junto Exclusivo. Separado.

Condensado de Bose-Einstein.

Princípio da Exclusão dePauli.

Compartilhar. Coletivo. Identificar. Individual.

Ondas: femininas. Partículas: masculinas.

“Homens são partículas, mulheres são ondas, grosseiramente falando. Homens tendem à natureza das partículas

individuais: a rígida proteção do ego fortemente identificado a tendência masculina no sentido de reter suas identidades

competitivas em “colisões” (esportes, guerras) e no sentido dos comportamentos extremos (daí a preponderância de assassinos e músicos homens). Mulheres por outro lado tendem à natureza coletiva das ondas, na “imersão” em comunidades (focadas na família, relacionamentos, sentimentos, comunicação, cuidados com o grupo por não serem radicais ou perturbadoras, etc). E

como dentro do mundo quântico – onde “coisas” são ambas ondas e partículas (inerentemente, dependendo de como são observadas)

– então dentro da vida diária, onde homens podem apresentar “natureza ondulatória” (feminino, carinhoso, focado na

comunidade), ou a “natureza corpuscular” (masculina, focada no combate, com medo do comprometimento, egoísta, competitivo);

mulheres podem apresentar a “natureza corpuscular” (masculina, competitiva, objetiva, egoísta) ou a “natureza ondulatória”

(feminina, carinhosa, de natureza compartilhadora, altruísta) e assim por diante.

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “sexo quântico



O blog de Nick Herbert.

5) Cinema: “What the bleep do we know? - Quem somosnós?” – William Arntz, Betsy Chasse e Mark Vicente

1. INTRODUÇÃO

Exemplo deste “poder” de marketing: “Quem somos nós?”



Cenas do filme “Quem somos nós?”

6) Cinema: “O Segredo” – John DeMartini

1. INTRODUÇÃO

Exemplo deste “poder” de marketing: “O Segredo” – ofilme



Cartazes de divulgação do filme “O Segredo”.

7) Literatura: “O Tao da Física” – Fritjof Capra

"Neste momento, subitamente, apercebi-me intensamente do ambiente que me cercava: este se afigurava a mim como se participasse, em seus vários níveis

rítmicos, de uma gigantesca dança cósmica. Eu sabia, como físico, que a areia, as rochas, a água e o ar ao meu redor eram constituídos de moléculas e átomos em

vibração constante (...). Tudo isso me era familiar em razão de minha pesquisa com a Física de alta energia; mas até aquele momento, porém, tudo isso me chegara apenas através de gráficos, diagramas e teorias matemáticas. Mas, sentando na

praia, senti que minhas experiências anteriores subitamente adquiriam vida. Assim, eu "vi" (...) pulsações rítmicas em que partículas eram criadas e destruídas (...)

Nesse momento compreendi que tudo isso se tratava daquilo que os hindus, simbolicamente, chamam de A Dança de Shiva (...)".

"Eu passara por um longo treinamento em Física teórica e pesquisara durante vários anos. Ao mesmo tempo, tornara-me interessado no misticismo oriental e começara a ver paralelos entre este e a Física moderna. Sentia-me

particularmente atraído pelos desconcertantes aspectos do Zen que me lembravam os enigmas da Física Quântica (...)”

Um Paralelo entre a Física Moderna e o Misticismo Oriental

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: “O Tao da Física”



“O Tao da

Física” –o livro.

Fritjof Capra.

7) Literatura: “O Segredo” – Rhonda Byrne

“Em termos práticos: se você quer riqueza, e pensa em riqueza, ela será colocada a sua disposição,

porque você está passando energia positiva a esse item. Você apenas precisa ser capaz de atuar para

chegar ao objetivo. E isso só depende de sua vontade e

dedicação, com o tempo você chega ao que quer. Pode demorar

semanas, meses, anos ou décadas. Mas, o item estará lá esperando.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplo deste “poder” de marketing: “O Segredo” – olivro



Os livros de Rhonda Byrne: “O Segredo”, “O Poder” e “A Magia”.

7) Literatura: “O Segredo” – Amit Goswami

“Amit Goswami emprega os fundamentos da física quântica para explicar e provar cientificamente conceitos místicos como imortalidade, reencarnação e pós-vida.

Por meio de um trabalho cientificamente fundamentado e, ao mesmo tempo, de leitura compreensível, o pesquisador

indiano promete revolucionar os principais conceitos da medicina, da

física e da filosofia. Ao reunir ciência, espiritualidade e consciência, mostra-nos

como esses elementos são não apenas compatíveis, mas fornecem o suporte

essencial um ao outro.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplo deste “poder” de marketing: “A Física da Alma” –o livro de Amit Goswami



Amit Goswami e o seu livro “A

Física da Alma”.

8) Literatura: “Alice no país do Quantum” – RobertGilmore

“Nessa genial mistura de fantasia e ciência, Alice, aquela do País das Maravilhas, está prestes a embarcar em outra jornada. Ela conhecerá o País do Quantum uma espécie de parque de diversões

intelectual menor que um átomo e irá se deparar com desafios, jogos e atrações que esclarecem os diferentes aspectos da física quântica.

Através dessa alegoria, o leitor conhece de forma acessível e divertida os domínios fundamentais da física quântica.

Inteligentemente concebido e escrito, e com muitas ilustrações, 'Alice no País do Quantum' coloca conceitos físicos ao alcance do leitor

comum. Não é necessário conhecimento de matemática para acompanhar as travessuras da heroína, só gosto pela aventura

intelectual e uma forte curiosidade pelo mundo que nos rodeia.”

1. INTRODUÇÃO

Exemplos deste “poder” de marketing: bons livros, ufa!!!



“Alice no País do Quantum” de Robert Gilmore.

1. Introdução





b. Partícula Livre




1) Função de Onda

Como a função de onda é complexa, ela em si não tem significado físico.


2. OS POSTULADOS DA MECÂNICA QUÂNTICA

Como descrever um objeto quântico?

O estado de qualquer objeto quântico é caracterizadopor uma função de onda complexa, que fornece adistribuição espacial do objeto em um dado tempo.


Orbitais atômicos para o átomo de

hidrogênio. ( )tr ,rΨ

Ψ: função de onda.

ix∂−∂

h

dP: Probabilidade de encontrar o objeto quântico em um

volume dV num instante t.

℘: Densidade de probabilidade.

a) contém toda a informação mensurável sobre apartícula;

b) é contínua;

c) estabelece a distribuiçãode probabilidade em do objetoquântico em três dimensões;



Propriedades da função de onda


( ) ( ) ( )trtrtr ,,, * rrr Ψ⋅Ψ=℘

( ) dVtrdP ⋅℘= ,r

Orbitais atômicos para o átomo de

hidrogênio.

d) se a partícula existe, a probabilidade de encontrá-laem algum ponto do espaço é 100%;

e) permite o cálculo daspossíveis energias da partícula;

f) permite o cálculo do valormais provável (valor médio, valoresperado) de uma dada variávelquântica.

Condição de existência e de normalização



Mais propriedades da função de onda


Orbitais atômicos para o átomo de hidrogênio.

( ) ( ) 1,,* =⋅Ψ⋅Ψ∫ ∞→VdVtrtr

rr

2) Operadores Quânticos



Como descrever uma grandeza física?

A cada grandeza física corresponde um operadormatemático , o qual atua na função de onda que descreve oobjeto quântico.


( ) ( )trtrAop ,,rr Γ=Ψ⋅

Aop: Operador matemático que altera a função de onda.

Ψ: Função de onda que descreve o objeto quântico.

Γ: Função de onda modificada pela ação do operador matemáticoAop.

Densidade de probabilidades dos orbitais d.

Grandeza Equivalente Clássica Equivalente Quântica

POSIÇÃO

MOMENTO LINEAR

TEMPO

ENERGIA

A cada grandeza física clássica, existe umcorrespondente operador quântico.

ˆˆ ˆr i x j y k z= ⋅ + ⋅ + ⋅ropr r= ⋅ Ιr r

ˆˆ ˆx y zp i p j p k p= ⋅ + ⋅ + ⋅r ˆˆ ˆi i i j k

x y z

∂ ∂ ∂⋅ ⋅∇ = ⋅ ⋅ + + ∂ ∂ ∂

rh h

t opt t= ⋅ Ι

E it

∂⋅ ⋅∂

h

Exemplos



Exemplos de operadores quânticos


Grandezas físicas clássicas e quânticas.

Orbitais d para o elétron no átomo de

hidrogênio.

a) são operadores lineares ( Álgebra Linear );

b) são representados por operações matemáticas, taiscomo derivadas e matrizes.

Vetor

Derivada Matriz

Função



Propriedades dos operadores quânticos


opA

( )tr ,rΨ

Orbitais atômicos na molécula de HCN.

3) Valor Médio ou Valor Esperado do Operador



Como calcular grandezas físicas na Mecânica Quântica?


( ) ( ) dVtrAtrAAV

opopop ⋅Ψ⋅⋅Ψ== ∫ ,,* rr

Para cada grandeza físicapodemos apenas calcular teoricamente(ou medir experimentalmente) o valormédio do seu operador associado.

Orbitais atômicos na molécula de CH4.

4) Equação de Schroedinger

Erwin Rudolf Josef Alexander Schroedinger.

Prêmio Nobel de Física no ano de 1933 -"pelo

desenvolvimento de novas teorias atômicas“.


Qual a equação que prevê a evolução do objeto quântico?


A evolução de um estado quântico (função de onda) égovernada pela Equação de Schroedinger .


Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física.tiHop ∂

Ψ∂⋅=Ψ⋅ h

Um gato é colocado numa caixa selada .

Quando o núcleo decai, ele emite umapartícula que aciona o dispositivo, queparte o frasco liberando o gás venenoso,que mata o gato.




O gato de Schroedinger

No interior da caixa, existe umdispositivo que contém um núcleoradioativo e um frasco de gás venenoso.

O gato de Schroedinger.

Este é um “ gedankenexperiment ”, aqui usado parailustrar as falhas da interpretação de Copenhagen daMecânica Quântica.

O decaimento de um núcleo radioativo e a consequenteemissão de uma partícula é um evento aleatório .

Logo, existe umaprobabilidade finita dodecaimento radioativo ocorrer.




A emissão da partícula radioativa é um evento aleatório

Emissão de partículas radioativas por um núcleo instável.

Assim, os eventosposteriores (incluindo a morte dogato) são todos elesprobabilísticos .

De acordo com a Mecânica Quântica, o núcleo édescrito como uma mistura de “núcleo decaído” e de “núcleonão decaído” .

No entanto, quando a caixa é aberta o experimentadorvê só um “gato morto/núcleo decaído” ou um “ núcleo nãodecaído/gato vivo” .




Gato morto ou gato vivo?

A questão é a de saber quando é que o sistema deixa deser uma mistura de estados e se torna num ou noutro?

Schroedinger queria mostrar é que a Mecânica Quânticaé uma teoria incompleta se não existirem regras quedescrevam quando é que a função de onda colapsa e o gatose torna morto ou vivo em vez de uma mistura de ambos .




Gato morto e gato vivo!!!?

Segundo a Interpretação de Copenhagen , um sistemadeixa de ser uma mistura de estados e passa a ser um únicoestado quando se dá uma observação .

Poder-se-ia argumentar ( posição absurda ) que enquantoa caixa está fechada, o sistema é uma sobreposição deestados "gato morto/núcleo decaído" e "gato vivo/núcleo nãodecaído" e só quando a caixa é aberta e se dá umaobservação é que a função de onda colapsa num dos doisestados.




A interpretação do Grupo de Copenhagen

Isto é absurdo , e intuitivamente podemos pensar que a"observação" se dá quando uma partícula do núcleo bate nodetector.

No entanto (e isto é a ideia crucial da experiência), nãohá qualquer regra para escolher entre as duas hipóteses, e aMecânica Quântica (pela Interpretação de Copenhagen) éincompleta sem explicações para a existência de tais regras.




Mais interpretação de Copenhagen

Segundo Hugh Everett III (1930-1982), ambos os estadospersistem até que o observador “abra a caixa”.

Quando um observador abre acaixa, ele torna-se um tantoemaranhado com o gato.

Aplicação: CRIPTOGRAFIA QUÂNTICA!!!!!

Então o observador declara ocorrespondente ao que vê, ou seja, seo gato está vivo ou morto sendo quecada um destes estados não pode terqualquer interação com o outro.




A interpretação dos Universos Paralelos de Everett

É possível mostrar que a Equação de Schroedinger podeser expressa como mostrado abaixo.

Equação de Schroedinger Equação diferencial de segunda ordem no espaço e de primeira ordem no tempo.



A Equação de Schroedinger


( ) ( ) ( )t

tritrUtr

m op ∂Ψ∂⋅=Ψ+Ψ∇⋅

⋅− ,

,,2

22 r

hrrh

A solução da Equação de Schroedinger fornece a funçãode onda Ψ, a qual descreve a distribuição espacial do objetoquântico e sua evolução temporal.

1. Introdução





b. Partícula Livre




Como pode ser visto, a Equação de Schroedinger não éfácil de ser resolvida matematicamente.


Esta é uma equação diferencial de segunda ordem noespaço e de primeira ordem no tempo.

Além disso, é também uma equação a derivadas parciaiscom quatro variáveis, sendo três espaciais mais o tempo.


3. A EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER INDEPENDENTE DO TEMPO

Operacionalização da Equação de Schroedinger

( ) ( ) ( )t

tritrUtr

m op ∂Ψ∂⋅=Ψ+Ψ∇⋅

⋅− ,

,,2

22 r

hrrh

Além disso, cada solução depende do operador energiapotencial Uop.

O operador energia potencial define as interaçõesexistentes no sistema.

As interações podem se de duas naturezas:

a) interação entre as partículas do sistema presentes nosistema que desejamos estudar;

b) interação entre as partículas e um campo externoqualquer.




A energia potencial na Equação de Schroedinger

( )op opU U r= r

No entanto, existe uma situação em que a Equação deSchroedinger torna-se simplificada.

Isto ocorre quando o operador energia potencial éindependente do tempo.

Quando isto acontece, dizemos que o sistema físico éestacionário , ou conserva energia .




Caso particular: energia potencial independente do tempo

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2r U r r E r

m− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅Ψ ⋅

h r r r r

Após um cálculo não muito complicado, obtemos aEquação de Schroedinger Independente do Tempo ...

A solução desta equação diferencial depende de como aspartículas que compõe o sistema interagem (energiapotencial U) e fornece tanto a função de onda Ψ quanto aenergia E.




Os estados estacionários

( ) ( ) ( ) ( )2

2

2r U r r E r

m− ∇ Ψ + ⋅Ψ = ⋅Ψ ⋅

h r r r r

( ) ( )opH r E rΨ = ⋅ Ψr r( )

22

2op opH U rm

= − ∇ +⋅h r

Observe que a Equação de Schroedinger Independentedo Tempo é uma equação de autovalores .

Operador HAMILTONIANO




Uma equação de auto-valores

( ) ( ),i E

tr t r e

⋅−Ψ = Ψ ⋅ h

r r

( ) ( ) ( )2 2

2 2,

i E i Et t

r t r e r e⋅ ⋅− −

Ψ = Ψ ⋅ = Ψ ⋅h hr r r

A solução geral da Equação de Schroedinger para o casoonde o operador energia potencial é independente do tempoé dada por

É fácil observar que




A solução geral dos estados estacionários

( ) ( )2 2,r t rΨ = Ψr r

O que nos conduz ao resultado...

Este resultado mostra que no caso em que temos o operador energia potencial independente do tempo,Ψ2 também não depende do tempo, o que define o

ESTADO ESTACIONÁRIO




A função de onda dos estados estacionários

1. Introdução





b. Partícula Livre




Vamos começar a resolver alguns problemas deMecânica Quântica.

Isto implica em resolver a equação diferencial dada pelaEquação de Schroedinger , e encontrar tanto a função deonda Ψ quanto a energia E.

4. APLICAÇÕES SIMPLES DA EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER

Equação de Schroedinger

( ) ( ) ( ) ( )rErrUrm

rrrrh Ψ⋅=Ψ⋅+Ψ∇⋅

− 22

2

Veja que, no caso geral, se trata de resolver uma equaçãodiferencial a derivadas parciais em três dimensões .



1. Introdução





b. Partícula Livre




Vamos, no entanto, iniciar por resolvê-la numa situaçãomais simples.

Consideremos então o movimento de uma partículaquântica de massa m movendo-se em uma dimensão,caracterizada pela variável x.


Equação de Schroedinger em uma dimensão

Escrevemos o operador laplaciano em uma dimensão eaplicamos este resultado na Equação de Schroedinger.

Equação de Schroedinger em uma dimensão.

( ) ( ) ( ) ( )xExxUdx

xd

mΨ⋅=Ψ⋅+Ψ

⋅−

2

22

2

h



1. Introdução





b. Partícula Livre




Mesmo para resolver a Equação de Schroedinger em umadimensão é preciso conhecer a interação que sofre apartícula, ou seja, conhecer U(x).

A situação matemática mais simples é aquela na qual

Fisicamente U(x) = 0 ou U(x) = constante significa(classicamente ) que a partícula está livre da ação de forças.


A partícula quântica livre – energia potencial nula

Usaremos também esta interpretação na MecânicaQuântica.

( ) 0=xU



Escrevemos então a Equação de Schroedinger com estacondição.

Esta equação diferencial é de fácil solução.

Superposição de duas ondas planas k é o número de onda.


A partícula quântica livre – a Equação de Schroedinger

( ) ( )xEdx

xd

mΨ⋅=Ψ

⋅−

2

22

2

h ( ) ( ) 02

22

2

=Ψ⋅⋅⋅+Ψx

Em

dx

xd

h⇒

( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ2

2

h

Emk

⋅⋅=



Vamos interpretar este resultado.

Superposição de duas ondas planas

A⋅ei⋅k⋅x: onda plana de amplitude A, número de onda k e que se propaga da esquerda para a direita (+ikx)

B⋅e-i⋅k⋅x: onda plana de amplitude B, número de onda k e que se propaga da direita para a esquerda (-i⋅k⋅x)


A partícula quântica livre – interpretação da solução

( ) xkixki eBeAx ⋅⋅−⋅⋅ ⋅+⋅=Ψ



Vamos fazer uma hipótese adicional , a de que a partículase propague da esquerda para a direita .

( ) xkieAx ⋅⋅⋅=ΨPara este caso particular a solução é mais simples.


A partícula quântica livre – caso particular

0=B

Ao impor a condição de normalização obtemos a nãoexistência da partícula quântica em todo o espaço.

0=A ⇒ ( ) 0=Ψ x



Vamos interpretar este resultado.

- uma onda plana que se propaga em um único sentidoestá distribuída em todo o espaço , de forma que aprobabilidade dela ser encontrada em uma dada região énula;

Solução: “ confinar ” a partícula em uma dada região,limitando a região de existência desta partícula.

- ou seja, não há uma função de onda que descreva talpartícula .

O fato da amplitude A ser nula implica que:


A partícula quântica livre em todo espaço



1. Introdução





b. Partícula Livre




Seja a partícula quântica de massa m sujeita à seguinteenergia potencial definida abaixo.

( )

=∞<<

=∞=

ax

ax

x

xU 00

0

Solução: “ confinar ” a partícula em uma dada região.

0

6000000

12000000

-15 0 15 30

U(x)

x


A partícula quântica livre em todo espaço: definição



Como a energia potencial nos pontos x = 0 e x = a éinfinita, dizemos que a partícula está “ confinada ” nestaregião do espaço.

Para que a partícula seja encontrada fora da “ caixa ” énecessário que ela recebe uma quantidade infinita deenergia.

Como isto não é possível, isto significa que ela não podeser encontrada fora da “ caixa ”.


A partícula quântica na caixa: interpretação

Desta forma, a função de onda que descreve a partículadeve satisfazer condições de contorno que represente estaideia de confinamento.



Vamos agora resolver a Equação de Schroedinger paraa região onde a função de onda da partícula pode serdefinida, isto é, no intervalo 0 ≤ x ≤ a.

( ) 00 =≤Ψ x ( ) 0=≥Ψ ax

As condições de contorno exprimem a ideia que a funçãode onda que descreve a partícula é nula fora da caixa, isto é,para x ≤ 0 e x ≥ 0.


A partícula quântica na caixa: condições de contorno



Vamos escrever a Equação de Schroedinger para esteintervalo.

Esta equação diferencial, como já vimos, é de fácilsolução.

k é o número de onda.

( ) ( ) ( )xkBxkAx ⋅⋅+⋅⋅=Ψ sincos

⇒


( ) ( )xEdx

xd

mΨ⋅=Ψ

⋅−

2

22

2

h

A partícula quântica na caixa: a solução geral

( ) ( ) 02

22

2

=Ψ⋅⋅⋅+Ψx

Em

dx

xd

h

2

2

h

Emk

⋅⋅=



Vamos aplicar a primeira condição de contorno nestasolução.

Assim, a função de onda que descreve a partícula podeser escrita de forma provisória em termos da constante B.

( ) ( )xkBx ⋅⋅=Ψ sin

( ) 00 ==Ψ x 0=A⇒


A partícula quântica na caixa: determinação de A



( ) 0sin =⋅ak

Vamos aplicar agora a segunda condição de contornonesta solução.

Esta equação apresenta duas possibilidades de solução.

( ) 0==Ψ ax

0=B

( ) 0sin =⋅⋅ akB⇒

ou


A partícula quântica na caixa: a outra condição



( ) 0=Ψ x

A primeira destas soluções é a solução trivial .

0=BEsta solução NÃO é desejada, pois Ψ = 0 representa a

impossibilidade de descrever a função de onda para esteproblema.


A partícula quântica na caixa: a escolha de uma solução

⇒

A outra solução possível é dada por

( ) 0sin =⋅akEsta equação apresenta como soluções valores para o

número de onda k.

⇒ π⋅=⋅ nak **Zn ∈



π⋅=⋅ nak

A razão pela qual n deve ser inteiro positivo e não nulo éque

- como o número de onda k e a largura da caixa a sãopositivos, n também deve ser positivo;

- como não existe partícula com energia E nula, e ela éproporcional ao número de onda k, que é proporcional a n,este então não pode ser nulo.


A partícula quântica na caixa: quantização de k

- caso tivéssemos n = 0, cairíamos novamente nasolução trivial.

**Zn ∈



2

2 m Ek

⋅ ⋅=h

Levamos em conta a relação entre número de onda k e aenergia E para obter a quantização da energia da partículadentro da caixa.


A partícula quântica na caixa: quantização de E

22

22

2n

amEn ⋅

⋅⋅⋅= hπ **Zn ∈

O resultado acima mostra que a energia E é quantizada,isto é varia discretamente em função de n2.



Como vemos, a energia de uma partícula quântica,confinada em uma “caixa” pode admitir apenas valoresdiscretos .

22

22

2n

amEn ⋅⋅

⋅= hπ

Podemos expressar esta quantização graficamente.


A partícula quântica na caixa: análise gráfica

**Zn ∈



Já determinamos duas das três constantes desteproblema, isto é, a constante A e a energia E.

Para isto, vamos usar a condição de normalização .

( ) 12 =⋅Ψ∫

∞

∞−

dxx

Vamos agora determinar a constante B.


A partícula quântica na caixa: determinação de B

aB

2=



22

22

2n

amEn ⋅⋅

⋅= hπ

**Zn∈

Este resultado nos leva a seguinte expressão para afunção de onda e para a energia de uma partícula em umacaixa

( )

⋅⋅=Ψ xa

n

ax

πsin

2


A partícula quântica na caixa: o estado da partícula



22

22

2n

amEn ⋅

⋅⋅⋅= hπ

**Zn∈

Um outro quadro resumo destes resultados, é mostradoabaixo.

( )

⋅⋅=Ψ xa

n

ax

πsin

2


A partícula quântica na caixa: o estado da partícula



22

22

2n

amEn ⋅⋅

⋅= hπ

**Zn ∈

Mostramos também gráficos da densidade deprobabilidade para a partícula na caixa.

( )

⋅⋅=Ψ xa

n

ax

π22sin

2


A partícula quântica na caixa: a densidade deprobabilidade



* ( , ) ( , )op op op

V

A A r t A r t dV= = Ψ ⋅ ⋅Ψ ⋅∫r r

Podemos usar o terceiro Postulado da Mecânica Quânticae calcular valores médios de algumas grandezas físicas .

Para isto, vamos usar o algoritmo que nos permitecalcular o valor médio de um dado operador quântico Aop.


A partícula quântica na caixa: valores médios deoperadores quânticos



Vamos iniciar nossos exemplos com o operador posiçãoxop.

( ) ( ) ( ) dxxxxx opop ⋅Ψ⋅⋅Ψ= ∫∞

∞−

*

Para tal, vamos substituir o operador xop no algoritmomostrado anteriormente.


A partícula quântica na caixa: valores médio do operadorposição

2

axop =



Obtemos então

( ) ( ) ( ) dxxpxp opop ⋅Ψ⋅⋅Ψ= ∫∞

∞−

*

Vamos agora substituir o operador pop no algoritmomostrado anteriormente.


A partícula quântica na caixa: valores médio do operadormomento linear

0=opp



Vamos iniciar nossos exemplos com o operador posiçãox2

op.

( ) ( ) ( ) dxxxxx opop ⋅Ψ⋅⋅Ψ= ∫∞

∞−

2*2

Para tal, vamos substituir o operador x2op no algoritmo

mostrado anteriormente.


A partícula quântica na caixa: valores médio do operadorposição ao quadrado

( )

−⋅

⋅=

2

1

3

222 π

πn

n

axop



Obtemos então

( ) ( ) ( ) dxxpxp opop ⋅Ψ⋅⋅Ψ= ∫∞

∞−

2*2

Vamos agora substituir o operador p2op no algoritmo

mostrado anteriormente.


A partícula quântica na caixa: valores médio do operadormomento linear ao quadrado

22

2 na

pop ⋅

⋅= hπ



Para uma variável qualquer podemos calcular o erro(incerteza) usando um algoritmo simples.

22 ><−><=∆ AAA

Com as integrais calculadas acima, podemos mostrar quea partícula quântica na caixa obedece ao Princípio daIncerteza de Heisenberg.


A incerteza de uma medida quântica



Para uma variável qualquer podemos calcular o erro(incerteza) usando um algoritmo simples.

( )4

1

2

1

3

1 2

−

−⋅⋅

⋅⋅=∆ π

πn

nax

Aplicamos esta fórmula para calcular a incertezaassociada aos operadores posição e momento linear.


Cálculo da incertezas do operador posição e momentolinear

na

p ⋅

⋅=∆ hπ



( ) ( ) ( )h⋅

−

−⋅⋅

⋅⋅⋅=∆⋅∆

4

1

2

1

3

1 2ππ

π n

nnxp

Mostramos então a validade do Princípio da Incerteza deHeisenberg para a partícula quântica na caixa.


A partícula quântica na caixa e o Princípio da Incerteza

( ) ( ) h⋅=∆⋅∆ 51,2px1=n

( ) ( ) h⋅=∆⋅∆ 35,8px

( ) ( ) h⋅=∆⋅∆ 9,15px

2=n

3=n

( ) ( ) h≥∆⋅∆ xp

n∀




A partícula quântica na caixa e o Princípio da Incerteza



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bibliografia

1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica ; EditoraCampus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 169-232 .

2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna ; ElsevierEditora; São Paulo, 2006; páginas 442-493 .

3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna ; EditoraPolígono; São Paulo, 1969; páginas 141-155 .

4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4 ; EditoraEdgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 333-357 .

PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA


Bibliografia

5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.;Fundamentos de Física – Volume 4 – 4 a Edição ; LivrosTécnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 173-180 .

6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN,R. A.; Física IV; 10 a Edição ; Pearson Education do Brasil; SãoPaulo, 2004; páginas 217-239 .

7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna ;Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001 ;páginas 128-152 .

PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


A Garrafa meio Cheia – Pablo Picasso

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Prato de Maçãs –Paul Cézanne - joinville.udesc.br · Quantum Tantra – A Sensual, Loving & Enlightening Experience for Couples. 3) Quantum Neuro Linguistic Programation: “Quantum