Pré-VestibularAprofundamento

Matemática 1

Resposta: x: número de filhos do casaly: número de filhas do casal

x y

x y x y

−( ) =

= −( ) ⇒ = −

1

2 1 2 2

x = 2(x – 1) – 2x = 2x – 2 – 2x = 4y = 4 – 1 = 3∴ x + y = 7

Resposta

x

x

x Logo x

+( )

= ( )

+ =

= = ⇒

⇒ = =

− −

−

7 2

7 32

25 25

5 1125

0 0

15

55

32

32

3

,

, 008

Resposta

Se − 12

12

3, e são raízes da equação x3 + ax2 + bx + c = 0, então:

−

+ −

+ −

+ =

− + − + =

−

12

12

12

0

18

14

12

0

14

12

3 2

a b c

a b c

a bb c

a b c I

a b c

+ =

− + =

+

+

+ =

+

18

2 4 8 1

12

12

12

0

18

1

3 2

( )

4412

0

14

12

18

2 4 8 1

a b c

a b c

a b c II

+ + =

+ + = −

+ + = − ( )

(3)3 + a(3)2 + b(3) + c = 027 + 9a + 3b + c = 09a + 3b + c = – 27 (III)De (I), (II) e (III) temos:

2 4 8 12 4 8 19 3 27

a b c Ia b c IIa b c III

I II

− + =+ + = −+ + = −

+ →

( )( )( )

( ) ( ) 44 16 04

8 214

9 4

a ca c

I II b

b

Substituindo em III

c

+ == −

− → − =

= −

−

( ) ( )

( ) :

( )) + −

+ = −

− − + = −

= → = −

∴ + + = − − +

+

3 14

27

36 34

27

34

3

3 14

34

c

c c

c a

a b c

a bb c+ = − 52

3

PV2D-06-12-MA-AP

Matemática

Módulo 01 – Estudo das equações em R01.

Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?

02.

Se x +( ) =7 215 , pode-se afirmar que x

−32 é igual a:

a) 0,002b) 0,008c) 0,025d) 0,125e) 1

03.A equação x3 + ax2 + bx + c = 0 admite como raízes os números

− 12

12

3, e . Nessas condições, qual é o valor da soma a + b + c?

Resposta

x xElevando ao cubo ambos os membros

x x x

+ = + −

+ = + − + −(

4 2 4

4 8 12 4 6 4

3 3

3 3 )) + −

−( ) + − =

= −

+ ==

2

3 2 3

3

2

4

6 4 12 4 0

4

6 12 00

x

x x

Chamando y x vem

y yy ou y

, :

== −

− = − = −= = −

= −{ }

2

4 0 4 24 4

4 4

3 3

,

,

logo:

x ou xx x

S

Resposta

a)

0 064 0 0625 641 000

62510 000

13

14

13, ,

. .

⋅

=

⋅

⇒

⋅

= ⋅

14

313 4

144

105

104

105

10020

1002

100 2= = = ,

b)

2 5 2 5 150

2 5 2 5

1 3 1 1 1

1 3 1

x y t x y t

x t x y

k k

k ky

⋅ ⋅( )⋅ ⋅ ⋅( ) =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ + − + −

+ + − − −− − =

⋅ ⋅ =⋅ =

=

t

kk

k

1

1 1 2

150

2 5 15050 150

3

Resposta

k

K

= −

+

=( ) −

= − =

2 13

2 13

2 13

2 13

6

2 2

·

−− =

= + = + = + = +

−( ) + −( ) = −

+

13

53

2 22

2 22

2 82

2 4

1 2 53

1 2

3 66 6

3 33

m

k m ++ −( ) ⇒

⇒ −

+ ( ) =

+ = + =

4 2

5 33

4 23

4 827

2 6227

6 3

36 3 3

Resposta: Desenvolvendo o primeiro membro temos:

1

1

1

1

2 1

1

1

14

18

14

18

14

12

14

14

18

14

1

a a a a

a

a a

a a a a

+ +

+

− +

− ⋅ −( )− +

⇒

⇒ − + + + 88

14

2 18

2

14

12

14

14

12

14

1

1

2 1

1

2 1

2

+

+( ) − ( )− ⋅ −( )

− +

⇒

⇒ ⋅ +( )+ +

a a

a

a a

a

a a 11

2 1

1

2 1

1

2 114

14

12

14

14

12

14

14

12−

− ⋅ −( )− +

= ⋅ +( )+ +

− −( )−a

a

a a

a

a a

a

a a114

14

12

14

14

12

14

12

2

1

2 1 1 2 1 1

1

+

⇒

⇒ ⋅ +( ) ⋅ − +( )− ⋅ −( ) ⋅ + +( )+( )

a a a a a a

a −− ( )⇒

⇒ ⋅ +( )− ⋅ −( )+ + −

= ⋅ + − +( )a

a a

a a a

a a

a

14

2

34

34

12

12

34

342 1 2 1

2 1

2 1 1

++ +

⇒

⇒+ +

( )

a

a acqd

12 1

41

4

04.

Resolva em R a equação: x x+ − − =4 4 23 3

Módulo 02 – Potenciação e radiciação em R

01.

a) Simplifique: 0 064 0 06513

14, ,

⋅

b) Calcule k em: (2x · ky+1 · 5t+3) · (2x–1 · ky · 5t+1)–1 = 150

02.Calcule (k – 1)3 + (m – 2)3, sabendo que:

k e m= −

+

= +2 1

32 1

32 2

23·

03.

Se a > 0, mostre que:

1

1

1

1

2 1

1

411

418

14

18

14

12

14a a a a

a

a aa a

+ +

+

− +

− −( )− +

=+ +

·

Resposta: AOcorreu um erro no 5o passo, pois:

4 92

5 92

12

12

− = −

− = + ( )F

Resposta m n m n

p n p n

Se m n p vemn n n

8 383

6 32

2 3 4 147

2 83

3 4 2 147

= ⇒ =

= ⇒ =

+ + =

⋅ + + ⋅( ) =

,

1163

3 8 147

9

83

24

2 18

n n n

n

Como m n m

Como p n p

+ + =

∴ =

= ⇒ =

= ⇒ =

Resposta Seja V o volume total do tanque.

12 V 18 V x V x + 3 V

V = xV12

1 2

1 Vx V

23

18=

+( )

Sabe-se que: V1 + V2 = V. Assim:xV x V

V

V x x V

x x

x xx

123

18

123

183 2 6

361

5 6 36 6

++( ) ⋅

=

⋅ + +

=

+ + =

+ = ⇒ =++ + = + + =x

utos

3 6 6 3 15

15 min

Resposta

E empresax parcelay parcela

x C

y de C C

y C C

→

=

= +

= ⋅ +

12

3

25 23

23

14

23

2

ªª

%

33

623

56

2

y C C

y C parcela do pagamento

= +

= ( )ª

RespostaEncontrar o número de dias de aplicação.

14 de março 3 de abril

73 (dias) 93 (dias)

93 – 73 = 20 dias de aplicaçãoi = 11%n = 20j = C ⋅ i ⋅ n

j = ⋅ ⋅250 000 0 11 23

. ,

j = 250.000 ⋅ 0,0733j = 18.325m = 250.000 + 18.325m = R$ 268.325,00

5

PV2D-06-12-MA-AP

04. Ufla-MGUm famoso mágico, senhor X, realizou a seguinte mágica: 4 = 51o passo: 16 – 36 = 25 – 452o passo: 16 – 36 + 81/4 = 25 – 45 + 81/43o passo: (4)2 – 2 · 4 · 9/2 + (9/2)2 = (5)2 – 2 · 5· 9/2 + (9/2)2

4o passo: (4 – 9/2)2 = (5 – 9/2)2

5o passo: 4 – 9/2 = (5 – 9/2)6o passo: 4 = 5O passo onde é cometido um erro absurdo matemático é:a) 5o passob) 1o passoc) 2o passod) 3o passoe) 4o passo

01.Determine m, n e p, sabendo-se que:m n p e m n p8 3 6

2 3 4 147= = + + =

Módulo 03 – Grandezas proporcionais

02. Unicamp-SPUma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto uma se-gunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos: ao fim desse tempo fecha-se essa torneira e abre-se a se-gunda, a qual termina de encher o tanque em x + 3 minutos. Calcule o tempo gasto para encher o tanque.

03. Fuvest-SP

Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento em duas prestações. A primeira no ato da venda e a segunda trinta dias

após. Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C cruzeiros,

que o primeiro pagamento seja de C3

cruzeiros e que a inflação

nesses 30 dias seja de 25%, calcule o valor que deve ser cobrado

no segundo pagamento de modo a compensar exatamente a inflação do período.

04.

Calcule o montante de uma aplicação a juro simples de um capital de R$ 250.000,00, à taxa mensal de 11%, feita em 14 de março e resgatada em 3 de abril do mesmo ano.

Resposta: dias tempo distância veloocidade22 11

20 x 1.495

1 430

45

. km v

km v

x v

vx

x

= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⇒ =

=

≅

123

4

65

22 11 1 495

20 1 430 45

1 1

25316

.

.

x 15 horas e 48 miinutos

Resposta: C

f x ax b

a ba ba

a

( ) = +

= + ⋅ −( )= +

=

= =

71 1 980 175 4 2 000

4 4 204 420

., .

,, 00 22

75 4 2 00075 4 2 000 0 22

364 6

,

, ., . ,

,

= += ⋅ ( ) +

= −

a bb

b

f(x) = 0,22 x – 364,6f(2.010) = 0,22 ⋅ 2.010 – 364,6f(2.010) = 442,20 – 364,6f(2.010) = 77,61 ano l 365 dias0,6 ano l x diasx = 219 dias

77,6 anos = 77 anos, 7 meses e 9 dias

Resposta: DConsiderem-se x a quantidade de entregas por dia e f(x) o valor recebido pelo motoboy.

f x x se xf x x p se x( ) , ,( ) , ,

= ≤ <= ⋅ + =

18 0 1018 10

f(10) = 1,8 · 10 + p = 18 + pf(10) = 24∴ 18 + p = 24 ⇒ p = 6

6

05.

Em 22 dias, um viajante, andando 11 horas por dia, faz 1.430 km. Quantas horas deverá andar por dia para fazer 1.495 km se andar

20 dias e diminuir sua velocidade em 15

?

Módulo 04 – Função do 1o grau

01. PUC-MGA tabela mostra a expectativa de vida ao nascer de pessoas de um certo país:

Ano de nascimento 1960 1980 2000

Expectativa de vida (em anos) 66,6 71,0 75,4

Supondo-se que a expectativa de vida aumente de forma linear, pode-se afirmar que uma pessoa nascida nesse país, no ano de 2010, deverá viver (considere 1 ano como tendo 365 dias):a) 77 anos e 6 meses.b) 79 anos e 8 meses.c) 77 anos, 7 meses e 9 dias.d) 79 anos, 9 meses e 21 dias.

02. UFSM-RS

RecomendaçõesDa frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito.A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes.A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos correspondem a 19%. O motoboy ganha R$ 2 por entrega, a empresa, R$ 8. É um exército de garotos em disparada.O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessi-ta de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0 horas e as 18 horas da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do resgate recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo.

Folha de S. Paulo, 1/6/2003, p. C1 (adaptado).

Conforme o texto, num dia de trabalho, são necessárias 12 entre-gas para um motoboy receber R$ 24,00. Por medida de segurança, a empresa limitará a 10 a quantidade de entregas por dia. Como compensação, pagará um adicional fixo de p reais ao dia a quem atingir esse limite, porém reduzirá para R$ 1,80 o valor pago por cada entrega. O valor p que manterá inalterada a quantia diária recebida pelo motoboy, ou seja, R$ 24,00, será:a) R$ 5,40b) R$ 5,60c) R$ 5,80d) R$ 6,00e) R$ 6,20

Resposta Seja: f’(x), f’’(x) e f’’’(x), as funções que dão o custo para o cliente, das três opções de pagamento respectivamente, então:f’(x) = 1,2x + 40f’’(x) = 2x + 20f’’’(x) = 3xAssim, f’’(x) = 56 ⇒ 2x + 20 = 56 ⇒ 2x = 36 ⇒ x = 18f’(18) = 1,2 ⋅ 18 + 40 = 61,6f’’’(18) = 3 ⋅ 18 = 54,0O cliente não escolheu a melhor opção, pois se tivesse escolhido a opção III ele teria gasto R$ 54,00.

Resposta a) TA = 8,5 + 0,75 ⋅ TB

25 = 8,5 + 0,75 ⋅ TB

16,5 = 0,75 ⋅ TB

TB = 22 °C

b) TA é máxima, quando TB é máxima. ∴ TA = 8,5 + 0,75 ⋅ 30

TA = 31 °C

Resposta( )

( )

( )

( )

r y ax ba b I

y a b II

a ba b

Ay

= += +

= +⇒

= += +

=+ =

4 6

4

4 62 4

2 42

2 2

1

1 aa

y a

y b b

y x

6 4 1

2 4 6 2

2

1

1

= + =

= = + ∴ = −

= −

7

PV2D-06-12-MA-AP

03. UFRJUm vídeoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento:Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado.Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado.Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.

04. UERJSabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz.Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função:

TA = 8,5 + 0,75 ⋅ TB, 12° ≤ TB ≤ 30°,em que TA e TB representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente.Calcule:a) a temperatura ambiente quando TA = 25 °C;b) o maior valor que pode ser obtido para TA.

05.

Determine a função representada pela reta (r) na figura abaixo, dado que a área do trapézio é 6 (u · a)

Resposta:

AM AN MAN

AMN AN

= ⇒ =

=

θ

MM então

= + =γ θ γ; º2 180

θ γ

α β θ= −

+ +180 2º

==

+ = ∴ = +

= +

180

22

º

α β γ γ α β

θ β

MBP

MPB

+ + + =

=

= +

=

γ θ β

γ βα β β

180

2

º

-

-

MPB

MPB

MPB

α β+2

( . . .)c q d

Resposta:

No triângulo DÊF, temos:4 + 4 + 20º = 180º8 = 160º

= 20º

8

01.

Na figura, AM = AN, ABC = α, A C B = β, α > β e as retas MN e BC

interceptam-se em P.

Mostre que MPB = −α β2

Módulo 05 – Ângulos

02.

Na figura seguinte tem-se AB = BC = CD = DE = EF. Determine a medida do ângulo CÂB, dado que a medida do ângulo DÊF é igual a 20º.

Resposta

x + 68º = 180ºx = 112º A metade de x é 56º

Resposta

QMN

QNM

P MQN MQN I

=

=

+ = ⇒ = −+ =

+

θ

θ + θ −θ+

θ +

β

ββ α

β α

180 1802 2 180

º º ( )

2290

290

1802

90

=

− = −

= + −

º .

º

( )

º

α β

α

θ−

Substituindo em I temos

MQN

MQ

N c q d= +902

º ( . . )α

Resposta

AB = AC ⇒ +=

=

= °

+ =

θ θ + = 1θ

θθ =

θ

θ

36 80

2 14472

2 15

º º em queABC

A CB

DCB

00

36

144

DCB

ADC

=

=

º

º

9

PV2D-06-12-MA-AP

03. UEPG-PR

Na figura a seguir, em que os seguimentos MP e RN são paralelos, quanto vale, em graus, a metade da medida x?

04.

Dados:∆ MNP, MQ e NQ

são bissetrizes dos ângulos PMN e PNM MPN ; = α

Mostre que MQN = +902

º α

05. Fuvest-SP

Na figura a seguir AB = AC, CB = CD e A

= 36º.

Calcule os ângulos DCB e ADC .

Resposta: D

tg yx

yx

tg yx

yx

x y

x yy y

30 33

60 50 3 50

3 3

3 503 502

° = ⇒ =

° = + ⇒ = +

=

= +

= +

yyy

AB

AB

==

∴ = +

=

5025

25 50

75

Resposta: C

Trajetória (AB) = AC + BC

tg 60° = 60 3AC

= = 60AC

AC = 20 3 km

sen 60° = 60 3

260

BC BC= =

BC = 40 3 km

Distância = AC + BC = 20 3 + 40 3 (AB) = 60 3 km

10

01. Mackenzie-SPNa figura a seguir, AB vale:

a) 60 d) 75b) 65 e) Não seic) 70

Módulo 06 – Razões trigonométricas no triângulo retângulo

02. VunespUm pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma ci-dade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.

Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é:

a) 30

b) 40

c) 60

d) 80

e) 90

Resposta a)

b)

tg dx

d x

tg dx

d x

x x

x x

60 3

451 200

1 200

3 1 200

3 1 200

° = ⇒ =

° =−

⇒ = −

= −

+ = ⇒

..

.

. xx x

x

⋅ +( ) = ⇒ =+( )

−( )−( )

=−( )

( ) −=

3 1 1 200 1 2003 1

3 1

3 1

1 200 3 1

3 1

12 2

. .

. ..200 3 1

2600 3 1

3 600 3 1 600 3 3

−( )= ⋅ −( )

= ⋅ −( )( ) = ⋅ −( )d m

Resposta: B

senα =+

=53 8

511

Resposta

tg x x x m3030

33 30

10 3º = ∴ = ∴ =

Orientação: • Construção da figura• Uso da tangente

11

PV2D-06-12-MA-AP

03. Unicamp-SPCaminhando em linha reta, ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1.200 metros. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60° e, quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

04. VunespA figura mostra duas circunferências de raios 8 cm e 3 cm, tangentes entre si e tangentes à reta r. C e D são os centros das circunferên-cias.

Se α é a medida do ângulo CÔP, o valor de sen α é:a) 1/6 d) 8/23b) 5/11 e) 3/8c) 1/2

05. Fuvest-SPA latitude de um ponto P da superfície da Terra é o ângulo que a reta OP forma com o plano do Equador (O é o centro da Terra). No dia 21 de março os raios solares são paralelos ao plano do Equador.

Calcule o comprimento da sombra projetada, no dia 21 de março ao meio dia, por um prédio de 30 metros de altura, localizado a 30º de latitude.

Resposta: C

sen

sen sen

sen ya

y a

2 2

2 2

1925

1 1625

45

45

45

α α

α α

α

+ =

+ = ⇒ =

= ⇒ =

=

cos

·

como MQ//BC, ∆AMQ ~ ∆ ABC, assim:

55

20 20 4 204

45

204

45

4

−= ⇒ = − ⇒ = −

= −

= −

( )= = −

a xx a a x

y x x

A x x y x

·

· · xx

A x x x

yva

5

54

41645

20

2

( ) = − +

= − = −

−=∆

Resposta: D

g x x x

xv ba

yva

( )=

−

+

= − = = = =

−

29

43

6

2

4349

34

43

2

2

∆−−

= =

∴ =( )

4 29

6

89

32989

4

3 4

· ·

,

yv

v

f x a x x

a

aa

f x x

( ) · ·

· ·

· ·

·

= −( ) −( )= −( ) −( )= −( )= −

∴ ( )= − −

1 5

4 3 1 3 5

4 2 21

1 11 5 1 5 5

6 5

2

2

( ) −( )= − − − +( )( )= − + −

· ·x x x x

f x x x

Resposta: a) p = 0,2x + 100 60 = – 0,2x + 100 0,2x = 40 ⇒ x = 200 Considere (R) A receita questionada, então: R = 60.200 = R$12.000,00

b) R(x) = p · x R(x) = (– 0,2x + 100) · x R(x) = – 0,2x2 + 100x

xv ba

= − = −−

=2

1000 4

250,

p = – 0,2 · 250 + 100 = R$ 50,00

12

01. Fuvest-SPNo triângulo ABC, AC = 5 cm, BC = 20 cm e cos α = 3/5. O maior valor possível, em cm2, para a área do retângulo MNPQ, construído conforme mostra a figura a seguir, é:

a) 16b) 18c) 20d) 22e) 24

Módulo 07 – Função do 2o grau

02. Fatec-SP

O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo

da função g, de IR em IR, definida por g x x x( ) = − +29

43

62 . A função f

pode ser definida por:a) y = – x2 + 6x + 5 d) y = – x2 + 6x – 5b) y = – x2 – 6x + 5 e) y = x2 – 6x + 5c) y = – x2 – 6x – 5

03. FGV-SPO preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de freqüentadores (x) por sessão através da relação:p = – 0,2x + 100.a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço do ingresso for

R$ 60,00?b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por

sessão?Observação: receita = (preço) x (quantidade)

Resposta: Df x ax bx c

c b ac b ac b a

c b ab a

( )= + +

+ + =+ + = ⇒+ + =

+ + =+ =

2

32 4 53 4 1

33 2

2bb a

c b ab a

aab bc

+ = −

⇒+ + =

+ == −

= −− = ⇒ =+ − =

8 2

33 22 6

39 2 1111 3 33 5

3 11 5

2 5 3 2 5 11 2 5 5 18 75 27

2

2

⇒ = −

= − + −

( )= − ( ) + − = − +

c

f x x x

f

( )

, · , · , , ,55 5

2 5 3 75

−

( )=f , ,

Resposta

a) Quadrado da distância entre os pontos 32

0,

e x x,( ) com x ≥ 0.

d f x x x x x x

x x comx

22 2 2

2

32

0 3 94

2 94

0

= ( )= −

+ −( ) = − + +

= − + ≥( )

Vértice da parábola. V 1 54

,

b) A distância tem que ser mínima. d2 = f(x) → assume o seu valor

mínimo para x = xv = 1 ⇒ y = 1 = 1

Logo o ponto procurado é P (1,1)

Resposta A HB

AHM

Logo AMHComo AM Mb temos

= °

= °

= °=

+ + ==

90

90

80

80 1802

,, :

θ θθ 1100

50

50 90

40

θ= ° ( )+ °= °

= °

ABH

B AH

B AH

13

PV2D-06-12-MA-AP

04. ITA-SPOs dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medidas em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em mols) após 2,5 segundos é:

Tempo (s) Concentração (mols)1 3,00

2 5,00

3 1,00

a) 3,60 d) 3,75b) 3,65 e) 3,80c) 3,70

05. Fuvest-SP

Para todo x ≥ 0, seja f(x) o quadrado da distância do ponto 32

0,

ao ponto x x,( ) .a) Esboce o gráfico da função f.

b) Determine o ponto da curva y x= mais próximo do ponto 32

0,

.

Módulo 08 – Elementos de um triângulo

01. E.E. Mauá-SP

No triângulo ABC, retângulo em A, a altura AH forma ângulo de 10° com a mediana AM . Calcule os ângulos do triângulo ABH .

Resposta: D

Na figura, temos:

ββ

ββ

=+ = °+ = °= °

= °= °+ = °

= °

22 1804 1805 180

3672

180

108

xx

x xx

x

x

x

Resposta:

A

B

C

t

= °

= °

= °+ =+ =

= °

= °+ °=

= °

=

60

80

4090

50 90

40

1010 90

80

30

α θα

α

βγ

γ

°°+ °= °

= °

δ

δ

30 90

60

14

02. UFMGObserve a figura. Nela, AB = BD = DE e o segmento BD é bissetriz

de EBC . A medida de AÊB, em graus, é:

a) 96b) 100c) 104d) 108e) 110

03.

Num triângulo ABC, Â = 60° e B = °80 . Calcule as medidas dos seis ângulos formados pelas alturas com vértice no ortocentro H desse triângulo.

Resposta

13 125

7 3

58

12 915

15 13 58

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

= +=

= +

=

= +=

< +( )

DEDE

EF

EF

AFAF

225 169 58225 227

< +<

Portanto, o triângulo AEF é acutângulo e o ângulo AÊF é agudo.

Resposta:

Como AD é bissetriz do ângulo BAC logo D, θ= °( )80

Como BE é bissetriz do ângulo DEF logo E, α = °( )40

Como CF é bissetriz do ângulo DFE logo F, β= °( )60

15

PV2D-06-12-MA-AP

04. Fuvest-SPNo quadrado ABCD de lado 12, temos: AE = 13 e CF = 3.O ângulo AÊF é agudo, reto ou obtuso? Justifique.

05.

Num triângulo ABC, AD , BE e CF são alturas. Sendo  = 50

e B = 70°, calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.

16