Embed Size (px)
Citation preview
PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES COM SIMULAÇÃO MONTE CARLO: UMA AVALIAÇÃO DE DIFERENTES MÉTODOS AMOSTRAIS E DE
MODELAGEM
Eduardo Saliby Coppead/UFRJ
João Luis Barbosa Carvalho Coppead/UFRJ
Peter F. Wanke Coppead/UFRJ
RESUMO A precificação de opções através de simulação Monte Carlo é uma prática usual. Mas,
como em outras aplicações da simulação, advém o problema da imprecisão dos resultados. Um caminho para minimizar este problema consiste no uso de métodos amostrais mais eficientes; outro é através de uma modelagem mais adequada. Este trabalho compara a precisão de estimativas de simulação na precificação de opções (européias e asiáticas), utilizando diferentes métodos amostrais: Monte Carlo tradicional (MC), Amostragem Descritiva (AD) e Quasi-Monte Carlo (QMC), e diferentes procedimentos de modelagem para a construção da trajetória de preços: caminho incremental e Ponte Browniana. Os métodos amostrais alternativos (AD e QMC) resultaram em uma maior precisão em relação ao Monte Carlo tradicional. Levando-se também em conta o processo de modelagem, a combinação Quasi-Monte Carlo com Ponte Browniana foi a que apresentou melhor desempenho em termos da taxa de convergência do erro.
PALAVRAS CHAVE: Simulação Monte Carlo. Finanças. Derivativos. Área de classificação principal: simulação
ABSTRACT The use of Monte Carlo simulation in option pricing is now usual. Like in most simulation applications, there is the problem of the results’ precision. One way to deal with this problem is to use more efficient sampling methods; another is by means of a better modelling. This paper compares the precision of simulation estimates in option pricing (European and Asian), using different sampling methods: traditional Monte Carlo, Descriptive Sampling and Quasi-Monte Carlo. Additionally, two modeling procedures for building the price path are used: incremental path and Brownian Bridge. As expected, those new methods produced more precise results than the traditional Monte Carlo; among them, the combination Quasi-Monte Carlo with Brownian Bridge was the best in terms of error convergence rate.
KEYWORDS: Monte Carlo Simulation. Finance. Derivatives. Main area: simulation
XXXIX SBPO [694]
1. Introdução
A simulação Monte Carlo é uma das abordagens mais utilizadas no estudo de problemas probabilísticos (Law e Kelton, 2000). Apesar de sua maior flexibilidade de uso, uma das principais desvantagens da simulação reside na alta variabilidade das estimativas produzidas, em particular quando do uso da abordagem padrão: a Amostragem Aleatória Simples (Saliby, 1989).
Para minimizar este problema, diversas técnicas de redução de variância foram propostas, dentre elas: variáveis antitéticas, mesmas seqüências de números aleatórios ou Common Random numbers, Monte Carlo condicional, variáveis de controle, amostragem estratificada e amostragem por importância (Bratley, Fox e Schrage, 1997; Law e Kelton, 2000; Glasserman, 2004). No entanto, apesar de proporcionarem um maior controle amostral, tais técnicas continuam fazendo uso de um procedimento aleatório para a geração dos valores de entrada.
Recentemente, novas abordagens para a amostragem em simulação, impondo maior controle na geração dos valores amostrais, ganharam terreno: Amostragem por Hipercubos Latinos (AHL), Amostragem Descritiva (AD) e a abordagem de Quasi-Monte Carlo (QMC). A AHL e a AD são procedimentos muito próximos entre si (Saliby, 1997), praticamente equivalentes em termos estatísticos, mas ainda com ligeira vantagem para a AD. Mas; tendo em vista a maior eficiência computacional da AD (Saliby, 1997), nossa atenção restringiu-se ao seu uso como representante deste grupo de métodos. Já no caso do Quasi-Monte Carlo (QMC), a geração dos dados de entrada é deliberadamente feita de forma totalmente determinística, buscando-se uma maior uniformidade da amostra no hipercubo unitário d-dimensional correspondente ao espaço amostral. Esta uniformidade é também conhecida como discrepância, daí sua denominação como métodos baseados em seqüências de baixa discrepância. Dentre as técnicas mais utilizadas para a geração dos valores “quasi-aleatórios” podemos citar as seqüências de Halton, Faure, Sobol e Niederreiter (Niederreiter, 1992).
Por outro lado, finanças é hoje uma importante área de aplicação da simulação Monte Carlo. Exemplos são a análise de risco em projetos de investimento, a precificação de opções, o cálculo do valor em risco (VaR) e a avaliação do risco de crédito. Utilizando as abordagens acima: Monte Carlo clássico (MC), Quasi-Monte Carlo (QMC) e a Amostragem Descritiva (AD), este trabalho compara a precisão dos resultados obtidos na precificação de opções européias e asiáticas por simulação. Adicionalmente, cada um destes métodos será aplicado segundo duas diferentes estratégias de construção da trajetória de preços do ativo: caminho incremental e Ponte Browniana (Brownian Bridge).
2. Abordagens amostrais em simulação Monte Carlo
Em sua abordagem clássica, o Método de Monte Carlo faz uso da amostragem aleatória simples. Esta abordagem predominou até o final da década de setenta, quando surgiram métodos alternativos abandonando a idéia de que os valores amostrais deveriam ser aleatoriamente gerados. De particular interesse para o presente trabalho são a Amostragem Descritiva e Quasi-Monte-Carlo.
2.1 Amostragem Descritiva (AD)
A Amostragem Descritiva (Saliby, 1980 e 1990) propõe uma seleção totalmente determinística dos valores amostrais para as variáveis de entrada do modelo, porém mantendo um componente aleatório associado à seqüência em que estes valores são utilizados. Sua aplicação pressupõe o conhecimento prévio do tamanho das amostras de entrada, sempre associado a uma corrida completa. No caso dos problemas aqui considerados, de dimensão fixa, as amostras para as diferentes variáveis de entrada são de mesmo tamanho, n. Assim sendo, os valores amostrais descritivos zdij, i=1,...,n e j=1,...,d são definidos através do método da transformada inversa
( )[ ] djninFzd ijij ,...,1;,...,1,/5.01 ==−= − π .................. (1),
XXXIX SBPO [695]
onde
F-1 é a inversa da função de distribuição acumulada (Normal padrão, em nosso caso), e
πij , j= 1,..,d, é uma permutação aleatória dos inteiros [1,...,n].
Cabe mencionar que no caso da amostragem por hipercubos latinos (Saliby, 1997), os valores amostrais são definidos por
( )[ ] djninRFzh ijijij ,...,1;,...,1,/1 ==−= − π , (2),
onde Rij são independentes e uniformes em (0,1), ou seja, os Rij são i.i.d. U(0,1).
Por outro lado, no caso da abordagem padrão de Monte Carlo (amostragem aleatória simples),
( ) djniRFz ijij ,...,1;,...,1,1 === −, (3)
uma permutação aleatória é também gerada, definida pela sequência de valores aleatórios usados como argumento da função transformada inversa.
Ainda segundo Saliby (1990), embora mais precisa do que a abordagem tradicional, a taxa de convergência da Amostragem Descritiva é também de ordem O(n-1/2).
2.2 Quasi-Monte Carlo (QMC)
No caso do Método de Quasi-Monte Carlo a seqüência de números supostamente aleatórios usados como argumento em (3) é substituída por uma seqüência de números quasi-aleatórios, também chamada de seqüência de baixa discrepância (low-discrepancy sequence ou LDS). Em sua versão original, o QMC consiste num procedimento amostral totalmente determinístico.
A principal vantagem atribuída ao uso das LDS (Niederreiter, 1992) é uma melhor taxa de convergência do erro em relação às outras abordagens de natureza aleatória. Assim, enquanto tanto no Monte Carlo tradicional como na AD, esta taxa de convergência é de ordem O(n-1/2), independente da dimensionalidade do problema, no caso do QMC esta taxa de convergência é próxima de O(n-1) para problemas de baixa dimensionalidade, porém se aproximando da taxa de O(n-1/2) para valores mais elevados de d.
São vários os métodos para a geração de seqüências de baixa discrepância, sem consenso quanto ao melhor. Neste trabalho utilizaremos a seqüência de Sobol, reconhecidamente de boa qualidade, e obtida segundo a metodologia descrita em Silva (2002).
2.3 Randomized Quasi-Monte Carlo (RQMC)
Um problema associado à aplicação do QMC puro, com seqüências totalmente determinísticas, reside na avaliação do erro. Embora existam limites teóricos para este erro determinístico (Lemieux, 2004), eles têm pouca utilidade prática, por serem resultados altamente conservadores. Como alternativa para se chegar a uma estimativa do erro nos mesmos moldes que na metodologia tradicional, foi sugerida uma re-aleatorização das seqüências geradas, conhecida como Quasi-Monte Carlo Randomizado ou Randomized Quasi-Monte Carlo (RQMC). Isto pode ser feito através da soma de um ruído aleatório εjk~U(0,1) , j = 1,...,d, e k = 1,...,m, aos números QMC utilizados em cada corrida, técnica esta conhecida como random shift (Cranley e Patterson, 1976). Neste caso, sendo Rijk um particular número QMC utilizado na corrida k, e Rij o QMC correspondente da corrida base, teríamos:
( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧
>+−+<++
=1,11,
jkijjkij
jkijjkijijk RcasoR
RcasoRR
εεεε
............................(4)
XXXIX SBPO [696]
3. Precificação de Opções Européias e Asiáticas
3.1 Opções de Compra Européias
Neste tipo de opção, o titular pode exercer o seu direito na data final do vencimento, comprando o ativo por um valor predeterminado (K). Sendo ST o valor do ativo na data de vencimento T, e Rf a taxa livre de risco, o valor da opção de compra européia (Hull, 2005), tendo como data inicial t0=0, será dado por:
[ ]{ }
TRT
e feKS;MáxE
c ⋅
−=
0...........................................(5)
Com base num conjunto de premissas, conhecidas como o modelo de Black & Scholes (Hull, 2005) ou simplesmente B&S, chega-se à conhecida fórmula de B&S para o cálculo do preço justo de opção de compra do tipo europeu:
)()( 210 dNeKdNSc TRe
f ⋅−⋅−⋅= ........................................(6)
com
T
T)R()K/Sln(d
f
σ
σ2
2
0
1
++=
Tdd σ−= 12 ,
onde • ce = prêmio justo da opção de compra européia; • S0= preço do ativo no instante inicial t0= 0; • Rf= taxa de juros livre de risco; • σ = volatilidade do ativo; • T = prazo de vencimento da opção; • K = preço de exercício da opção; • N(d1) = valor da função de distribuição acumulada normal padrão em d1; • N(d2) = valor da função de distribuição acumulada normal padrão em d2.
3.2. Opções de Compra Asiáticas com Média Geométrica
Neste caso, o valor da opção não depende apenas do preço final do ativo, como no caso da opção européia, mas de toda (ou parte) a trajetória de preços até a sua data de exercício, sendo o prêmio da opção calculado com base no preço médio do ativo (Hull, 2005). Além disso, as opções asiáticas dependem do tipo de média utilizada: aritmética ou geométrica. Sendo K o preço de exercício da opção, Sméd o preço médio (média aritmética ou geométrica) do ativo durante o período de vida da opção (0 a T) e Rf a taxa livre de risco, o valor da opção de compra asiática será dado por:
[ ]{ }
TRméd
a feKS;MáxEc ⋅
−=
0..........................................(7)
No caso de Sméd ser a média geométrica, e satisfeitas as premissas básicas de B&S, o preço de uma opção asiática pode ser calculado analiticamente (Hull, 2005):
)()( 2)(
1)(
0 dNeKdNeSc TRTaag
f ⋅−⋅− ⋅−⋅= ...........................(8),
XXXIX SBPO [697]
com
T
T)R()K/Sln(d
a
af
⋅
++=
σ
σ22
2
0
1
Tdd aσ−= 12
)R(a f 621 2σ
+=
3σσ =a ,
onde • cag = prêmio da opção de compra asiática – média geométrica; • S0 = preço do ativo da opção no instante inicial; • Rf = taxa de juros livre de risco; • σ = volatilidade do ativo; • T = prazo de vencimento da opção; • K = preço de exercício da opção; • N(d1) = valor da função de distribuição acumulada normal padrão em d1; • N(d2) = valor da função de distribuição acumulada normal padrão em d2.
3.3. Formação do preço do ativo
Com base nas premissas do modelo de Black & Scholes, o preço do ativo segue um movimento geométrico Browniano, definido pela equação diferencial estocástica
tt
t dWdtS
dS⋅+⋅= σμ , ..............................................(9)
onde • μ é a média da taxa de retorno do ativo (constante); • σ é o desvio padrão da taxa de retorno ou volatilidade (constante); • dWt é variável aleatória com distribuição normal N(0,√dt). Wt é um processo de Wiener
(Movimento Browniano simples ou aritmético)
Deste modo, a taxa de retorno instantânea do ativo (dSt/St) é composta por um termo determinístico (μ.dt) e mais um termo estocástico (σ.dWt), com distribuição normal N(0, σ√dt). Com base nas premissas de B&S, e após alguns desenvolvimentos matemáticos (Hull, 2005), chega-se à expressão para o preço do ativo na data t:
tzt
t eSS⋅+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅=σσμ
20
2
............................................(10)
Assumido ainda que a média da taxa de retorno (μ) seja igual à taxa livre de risco (Rf) (Hull, 2005), o preço do ativo na data t será dado por:
tztR
t
f
eSS⋅+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅=σσ
20
2
...........................................(11)
XXXIX SBPO [698]
Na expressão acima, o tempo varia de forma contínua. No entanto, para a simulação da trajetória de preços, o tempo é discretizado em n intervalos de tamanho Δt (T=n.Δt), construindo-se a trajetória de preços do ativo entre t = 0 e t = T, através de um conjunto finito de (n+1) pontos. Neste trabalho, serão consideradas duas abordagens para a construção desta trajetória:
• Método incremental; • Ponte Browniana (Brownian Bridge ou BB).
3.3.1 Método Incremental
Este é o método mais simples e usual de construção de uma trajetória segundo um movimento geométrico Browniano. Com incrementos de tempo iguais (Δt), e lembrando que dtdz tt ⋅= ε , onde εt ~ N(0,1) e independentes, segue-se que:
tzz tttt Δ⋅+=Δ+ ε .............................................(12)
Logo, para o instante final T, teremos:
∑=
Δ=n
ttT tz
1ε ..................................................(13)
A simulação da trajetória de preços do ativo resultará da determinação de tε , t = 1,..n, valores estes que dependerão do tipo de amostragem sendo feita.
3.3.2 Ponte Browniana
Uma alternativa para a construção de uma trajetória segundo um movimento Browniano deriva do fato de que se
jtz e kt
z são variáveis aleatórias com distribuição normal nos instantes tj e tk,
então para ti (j < i < k) teremos que it
z será também uma variável aleatória normal (Jäckel, 2002), dada por
( ) ( )( ) )1,0(~11 Nttzzziikji ttjkttt εεγγγγ ⋅−−++−= ..............(14)
( )( ) kij
jk
ji ttt,tttt
<<−
−=γ
Tomando-se ti como o ponto médio entre tj e tk, então γ = 1/2 e
( )( ) )1,0(~21 Nttzzz
iikji ttjkttt εε⋅−++= ................(15)
Com base nesta expressão, a construção de um caminho através da Ponte Browniana inicia-se por ZT, isto é, o elemento do processo de Wiener no instante final T. Em seguida, utilizando Z0 = 0, gera-se ZT/2. No passo seguinte são gerados ZT/4 utilizando-se Z0 e ZT/2 e Z3T/4 utilizando-se ZT/2 e ZT. O processo continua a partir dos pontos médios entre dois pontos consecutivos anteriormente calculados. Deste modo, a ordem na qual os pontos são gerados é:
Z0 , ZT , ZT/2 , ZT/4 , Z3T/4 , ZT/8 , Z3T/8 , Z5T/8 , Z7T/8 , ....
A figura 1 ilustra a seqüência em que estes pontos são gerados:
XXXIX SBPO [699]
Figura 1: Seqüência de Construção da Ponte Browniana
A Ponte Browniana foi proposta por Caflisch e Moskowitz (1995) como alternativa ao modo incremental. Segundo os autores, “a combinação de seqüências quasi-aleatórias com a discretização da Ponte Browniana pode levar a reduções significativas do erro”. Isto decorre da idéia de que, se o último ponto da trajetória for mais uniformemente distribuído (o que ocorre na seqüências de Sobol e na Amostragem Descritiva), com os demais pontos da trajetória gerados a partir do primeiro valor (que é fixo) e do último valor (melhor controlado), então o conjunto de trajetórias gerado tende a ser mais uniformemente escolhido dentro do espaço de todas as trajetórias possíveis, levando assim a menores erros.
4. Metodologia de Simulação.
Dados os valores de S0, K, Rf, σ e T, são gerados os valores εt , t=1,...,n, que definem a trajetória de preços do ativo. Os valores εt dependem do tipo de amostragem utilizada: amostragem aleatória simples, RQMC ou amostragem descritiva. Adicionalmente, são duas as abordagens para a construção da trajetória de preços.
Um experimento de simulação é definido por m corridas, com cada corrida formada por n trajetórias de preço do ativo, com cada trajetória composta de np passos. Para cada corrida, a estimativa do valor da opção ( kC , k = 1,..,m) é a média dos valores simulados para as n trajetórias que compõem a corrida.
Finalmente, consolidando os resultados do experimento, o valor da opção é estimado pela média das m corridas:
∑=
=m
kkC
mC
1
1....................................................(16)
O erro padrão (C
SE )é o desvio padrão das estimativas de cada corrida:
( )∑=
−−
=m
kkC CC
mSE
1
2
11
....................................(17)
Os parâmetros utilizados nos cálculos foram: • S0 = 50 • K = 40, 50 e 60 • Rf = 10% (anual) • σ = 40% (anual)
XXXIX SBPO [700]
• T = 32 dias = 32/252 anos (d=32, um passo por dia); • n = 2p trajetórias por corrida (p=6,...,15); para a implementação de Sobol com n= 64, 128,
256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384 e 32768; • m = 1000 corridas.
Usando MatLab, foi realizado um experimento de simulação para cada método amostral (AAS, AD e duas versões de QMC Sobol: sequência completa (C) e parcial (P); detalhes em Carvalho (2006)), para ambos os métodos de construção da trajetória de preços (incremental e BB) e para cada valor de n (10 valores) e de K (3 valores), totalizando 4x2x10x3 = 240 experimentos.
5. Resultados
A tabela 1 apresenta os valores teóricos disponíveis para as opções aqui estudadas, observando-se que não se dispõe de valores teóricos para a opção asiática com média aritmética.
Tipo de Opção Européia Asiática - Média Geométrica
K = 40 10,6338 10,1073
K = 50 3,1495 1,7420
K = 60 0,4435 0,0245 Tabela 1: Valores teóricos disponíveis para as opções de compra estudadas. Diferentes preços de exercício (K).
Os preços das opções de compra européias obtidos por simulação, juntamente com os respectivos valores teóricos, são apresentados nas figuras 2, 3 e 4. Validando a simulação, observa-se que os preços simulados são boas aproximações dos respectivos valores teóricos, em particular quando o número de trajetórias aumenta.
Observa-se também que o tipo de construção do caminho (incremental ou Ponte Browniana) não influencia a média dos resultados, mas apenas a taxa de convergência desta média para o respectivo valor teórico. Resultados similares foram obtidos para as opções asiáticas e disponibilizados em Carvalho, 2006.
Figura 2: Opções européias (K = 40) Figura 3: Opções européias (K = 50)
XXXIX SBPO [701]
Figura 4: Opções européias (K = 60) Legenda
5.1 Taxa de convergência do erro: opções européias
Conforme usual neste tipo de análise (Ex: Morokoff e Caflisch, 1995), a variação do desvio padrão das estimativas (erro padrão), em função do número de trajetórias simuladas (n), é apresentada em escala (log x log) nas figuras 4, 5 e 6.
Figura 5: Erro Padrão, opção européia (K = 40) Figura 6: Erro Padrão, opção européia (K = 50)
Figura 7: Erro Padrão, opção européia (K = 60) Legenda
O uso da escala (log x log) decorre do fato de que a taxa de convergência do erro é da forma Erro = K.n-a, e, portanto, log(Erro) = log(K) – a.log(n), onde “a” traduz a velocidade de convergência. A tabela 2 apresenta os coeficientes angulares (-a), lineares (log(K)) e R2 para cada caso analisado.
XXXIX SBPO [702]
Coef. Angular (-a) Coef. Linear (log(K)) R2 Tipo de caminho
Tipo de amostragem 40 50 60 40 50 60 40 50 60
AAS -0,5056 -0,5028 -0,5038 1,9803 1,5751 0,6059 0,9996 0,9996 0,9992 SOBC -0,7088 -0,6704 -0,5802 1,5591 1,8555 0,8458 0,9983 0,9957 0,9983
AD -0,5045 -0,5081 -0,4988 0,2166 0,9644 0,4148 0,9993 0,9992 0,9994 Incre-mental
SOBP -0,7093 -0,6687 -0,5823 1,5693 1,8573 0,8816 0,9990 0,9939 0,9985 AASBB -0,4939 -0,4959 -0,5044 1,8944 1,5342 0,6338 0,9994 0,9998 0,9998 SOBBB -0,9374 -0,9216 -0,8953 2,1695 1,8227 1,3300 0,9999 0,9998 0,9997 ADBB - - - - - - - - -
BB
SOPBB -0,9375 -0,9216 -0,8952 2,1619 1,8128 1,3157 0,9999 0,9999 0,9999
Tabela 2: Coeficiente das retas de regressão do Erro Padrão em função do número de trajetórias: Opções de compra européias
Com base nas figuras 4, 5 e 6 e na tabela 2, cabem as seguintes observações:
• Em praticamente todas as situações, o erro padrão com Sobol usando Ponte Browniana (SOBBB e SOPBB) foi sensivelmente menor do que os demais;
• Usando Amostragem Aleatória Simples, o erro padrão não apresentou diferença entre o método incremental (AAS) e a Ponte Browniana (AASBB);
• Os coeficientes angulares das retas de regressão com Amostragem Aleatória Simples (AAS e AASBB) e a Amostragem Descritiva sem BB (AD) são próximos de -0,50, confirmando uma taxa de convergência proporcional a n-1/2;
• Apesar dos erros da AAS e da AD diminuírem à mesma taxa, a AD produz erros menores (KAD < KAAS);
• As retas de regressão com Sobol tiveram coeficientes angulares variando entre -0,53 e -0,71 (caminho incremental: SOBC e SOBP) e entre -0,88 e -0,93 (Ponte Browniana: SOBBB e SOPBB). Este fato confirma a superioridade do Quasi-Monte Carlo, em especial quando usado em conjunto com a Ponte Browniana;
• No caso da amostragem descritiva com Ponte Browniana o erro padrão foi igual a zero. Este fato é explicado porque, no caso da opção européia, apenas o preço final é relevante. E como, neste caso, a determinação do preço final corresponde ao primeiro passo na construção da trajetória de preços, a situação corresponde a um problema de simulação com dimensão d=1, caso em que a AD fornece resultados exatos (Saliby, 1990).
5.2 Taxa de convergência do erro: opções asiáticas com média geométrica
No caso das opções asiáticas, os preços das opções também convergiram para os respectivos valores teóricos. Assim, nossa atenção voltou-se à taxa de convergência do erro, conforme mostrado nas figuras 8, 9 e 10. Da mesma forma que no caso das opções européias, a Tabela 3 apresenta os coeficientes angulares (-a), lineares (log(K)) e R2 para cada caso considerado.
XXXIX SBPO [703]
Figura 8: Erro Padrão, opção asiática (K = 40) Figura 9: Erro Padrão, opção asiática (K = 50)
Figura 10: Erro Padrão, opção asiática (K = 60) Legenda
Coef. Angular Coef. Linear R2 Tipo de
caminho Tipo de
amostragem 40 50 60 40 50 60 40 50 60 AAS -0,5040 -0,5000 -0,4999 1,4216 0,9299 -1,2921 0,9997 0,9996 0,9994
SOBC -0,8483 -0,6681 -0,5420 1,3419 1,0447 -1,1255 0,9996 0,9988 0,9990 AD -0,5010 -0,5027 -0,4886 -1,3594 0,2890 -1,4222 0,9997 0,9999 0,9989
Incre-mental
SOBP -0,8533 -0,6770 -0,5417 1,3870 1,1319 -1,1384 0,9997 0,9982 0,9996 AAS -0,4995 -0,5004 -0,5001 1,3917 0,9442 -1,2973 0,9989 0,9996 0,9982
SOBC -0,9142 -0,8244 -0,7054 1,6274 1,1479 -0,5118 0,9999 0,9997 0,9986 AD -0,4913 -0,5058 -0,4857 -1,8717 -0,0980 -1,7010 0,9999 0,9995 0,9986
BB
SOBP -0,9219 -0,8269 -0,7103 1,6727 1,1539 -0,4804 0,9999 0,9997 0,9984
Tabela 3: Coeficiente das retas de regressão do Erro Padrão em função do número de trajetórias: Opções de compra asiáticas (média geométrica)
Cabem as seguintes observações:
• Nas simulações com Amostragem Aleatória Simples (AAS), não houve diferença prática entre os desvios padrões calculados através do método incremental (AAS) e da Ponte Browniana (AASBB);
• Todas as retas de regressão das simulações realizadas com AAS (AAS e AASBB) e AD (AD e ADBB) apresentaram coeficiente angular próximo a -0,50, confirmando uma taxa de convergência proporcional a n-1/2;
• Tal como no caso das opções européias, os erros da AAS e da AD diminuem à mesma taxa, com a AD produzindo erros menores (KAD < KAAS). Verificou-se também que a AD com Ponte Browniana (ADBB) é melhor do que a AD com caminho incremental (AD).
• As retas de regressão das simulações realizadas com Sobol apresentaram coeficientes angulares variando entre -0,54 e -0,83 (caminho incremental: SOBC e SOBP) e entre -0,71 e -0,92 (Ponte Browniana: SOBBB e SOPBB), novamente confirmando a superioridade do Quasi-Monte Carlo, em especial quando associado à Ponte Browniana;
• A vantagem do uso da Ponte Browniana cai à medida que o valor do preço de exercício (K) aumenta, ou, equivalentemente, à medida que a probabilidade de exercício cai.
XXXIX SBPO [704]
6. Conclusões
Este trabalho comparou a precisão dos resultados de simulação na precificação de opções, utilizando o Método tradicional de Monte Carlo, a Amostragem Descritiva e o Método de Quasi-Monte Carlo, versão Sobol randomizado. Dois diferentes métodos de construção da trajetória de preços do ativo foram utilizados: caminho incremental e Ponte Browniana.
Em termos da taxa de convergência do erro, todos os métodos alternativos estudados (AD e Sobol, com ou sem Ponte Browniana) mostraram-se superiores à abordagem tradicional, com melhor desempenho geral para a combinação Quasi-Monte Carlo (Sobol) com Ponte Browniana. Embora os resultados apresentados refiram-se apenas a opções européias e asiáticas, outros casos foram testados (Carvalho, 2006), podendo-se estender tais conclusões a outros tipos de opção.
Como continuidade do presente trabalho, a perda de eficiência dos métodos aqui estudados com a queda da probabilidade de exercício é uma situação que merece maior atenção. Neste caso, a amostragem por importância (Glasserman, 2004), utilizada em conjunto com as técnicas aqui apresentadas, mostra-se uma alternativa promissora que pretendemos explorar futuramente.
Referências Bratley, P., B. Fox e L. E. Schrage. 1987. A guide to simulation, 2nd ed. Springer: New York. Caflisch, R. E. e B. Moskowitz. 1995. Modified Monte Carlo methods using quasi-random sequences. In Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods is Scientific Computing. H. Niederreiter e P. J. S, Shiue (Ed.). Springer: New York, pp 1-16. Cranley, R. e T. N. L. Patterson. 1976. Randomization of number theoretic methods for multiple integration. SIAM Journal on Numerical Analysis 13: 904-914. Glasserman, P. 2004. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer: New York.
Hull, J. C. 2005. Options, Futures and other Derivatives, 6th ed. Prentice-Hall: Upper Saddle River. Jäckel, P. 2002. Monte Carlo Methods in Finance. Wiley: New York. Law, A. M. e W. D. Kelton. 2000. Simulation Modeling and Analysis, 3rd ed. McGraw-Hill: New York. Lemieux, C. 2004. Randomized Quasi-Monte Carlo: A Tool for Improving the Efficiency of Simulations in Finance. In Proceedings of the 2004 Winter Simulation Conference, 1565-1573. Piscataway, New Jersey: Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. Morokoff, W. J. and R. E. Caflisch. 1995. Quasi-Monte Carlo integration. Journal of Computational Physics 122: 218-230. Niederreiter, H. 1992. Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo Methods. SIAM: Philadelphia. Carvalho, J. L. B. 2006. Comparação de Métodos Amostrais Contemporâneos em Simulação Monte Carlo: Aplicação à Preciificação de Opções. Dissertação de Mestrado, Coppead/UFRJ. Saliby, E. 1980. A Reappraisal of some Simulation Fundamentals. Ph.d. Thesis, Dep. of Operational Research, University of Lancaster, Lancaster, UK. Saliby, E. 1989. Repensando a Simulação: a Amostragem Descritiva. Ed. Atlas: São Paulo. Saliby, E. 1990. Descriptive Sampling: a Better Approach to Monte Carlo Simulation. Journal of the Operational Research Society 41: 1133-1142. Saliby, E. 1997. Descriptive Sampling: an Improvement over Latin Hypercube Sampling. In Proceedings of the 1997 Winter Simulation Conference, 230-233. Piscataway, New Jersey: Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. Silva, M. E. 2002. Simulação de Quase Monte Carlo em Finanças: Quebrando a Maldição da Dimensionalidade. Resenha da BM&F, Sep-Oct 2002.
XXXIX SBPO [705]
