PREFÁCIO - PerSe - Publique-se - Publicar seu livro … 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 6 Ex 2.: O valor absoluto do algarismo 4 no número (3.406) 7 é 4. VALOR RELATIVO ou

TEMA 1 – SISTEMA DE NUMERAÇÃO Página 1

PREFÁCIO

Ao longo dos séculos, a convivência em sociedade provocou na humanidade a ne-

cessidade da criação de um mecanismo capaz de gerenciar numerais. Existem indicações de

que os sistemas de numeração surgiram para registrar objetos, que inicialmente eram peda-

ços de pau e ossos talhados, peças de barro e cordas com nós.

Com o passar do tempo, teve início o agrupamento de determinados números de

unidades. Primeiro os grupos eram relacionados às mãos e aos pés: cinco em cinco, dez em

dez, vinte em vinte. Contudo, em se tratando de quantidades maiores, era difícil juntar paus e

ossos ou identificar o número de traços facilmente.

As civilizações antigas começaram, então, a criar símbolos que representavam esses

agrupamentos de objetos. Surgiram assim os sistemas numéricos destas civilizações, como é o

caso do sistema egípcio, o sistema romano, o sistema chinês. E desde o surgimento das pri-

meiras contagens até o aparecimento do nosso sistema numérico decorreram milhares de

anos.

A origem do nosso sistema de numeração posicional, assim como hoje nós usamos,

remonta do século V, e chama-se Indo-Arábico devido aos méritos de duas grandes civiliza-

ções: Indiana e Arábica.

Neste livro, o Prof. Ivan Mendes procura abordar de maneira ampla o sistema de

numeração decimal posicional, abrangendo conhecimentos obtidos através de pesquisas

realizadas em livros didáticos de outros países, graduando as dificuldades através de níveis, e

esgotando os temas através de exercícios exaustivos de fixação cuidadosamente selecionados,

que auxiliam o leitor a fixar os conceitos e a materializar sua aplicação prática, enriquecendo

assim a formação obtida pela leitura. O leitor também terá a oportunidade de acompanhar o

crescimento das dificuldades entre os seus diversos níveis, participando da construção do

conhecimento pelo preenchimento de lacunas com a teoria, que direcionam a leitura.

Quem, como eu, conhece o Prof. Ivan Mendes, sabe da sua satisfação pessoal em

transmitir conhecimentos adquiridos ao longo de sua carreira como professor, estabelecendo

de forma didática uma relação entre o assunto e a História das Civilizações. É uma carreira

coroada de êxitos e de aprovações, que agora culminam na publicação da sua terceira obra,

que ora tenho o prazer e a honra de prefaciar.

Aos leitores, meus parabéns por estarem adquirindo uma obra de qualidade, que

com certeza vai transformar, em quem a lê, a visão tradicional do sistema de numeração

posicional, o que irá contribuir significativamente para a desmistificação deste tópico da arit-

mética, apontando também o caminho a seguir para que os conhecimentos sejam utilizados

no cotidiano com maior segurança pelo conhecimento pleno do conteúdo.

Profª Sonia Santos


APRESENTAÇÃO

O livro “ARITMÉTICA – SISTEMA DE NUMERAÇÃO” foi di-

vidido em dois níveis: Nível 1: Questões fáceis e regulares sobre o tema e Nível 2:

Questões difíceis ou que dependem de outros temas.

Registramos que este material é o primeiro de uma coleção de qua-

tro temas da Aritmética que serão publicados futuramente e que aparecem em vários

editais de concursos públicos civis e militares

Agradecemos desde já as críticas e as sugestões dos nossos leitores

no e-mail: [email protected].

Prof. Ivan Mendes

AGRADECIMENTOS

Esta obra é dedicada, em memória, aos meus pais, Walter Larsen

Mendes e Izabel Figueira Mendes por sempre terem lutado pelo meu aprendizado,

dando-me a liberdade de escolher uma profissão sem restrições.

A minha esposa Martha e aos nossos filhos, Marcelo e Gabriel, pela

compreensão aos meus estudos, que por algumas vezes, retirou-me do cenário fami-

liar.

Aos meus ex-alunos, que são minha fonte de aprendizado, em espe-

cial, Thiago Severgnini, Thiago Silva e Iury Kersnowsky por revelarem a sua gratidão

de forma singular.

Prof. Ivan Mendes

mailto:[email protected]


PRINCIPAIS SIGLAS

ÍNDICE

BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL 5

REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO 5

DECOMPOSIÇÃO DOS NÚMEROS 5

VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO 5

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 6

IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL 8

BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS 8

BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS 8

A CRIAÇÃO DE SÍMBOLOS NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE NUME-

RAÇÃO 8

O MAIOR NÚMERO EM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS 9

INTERVALO NO QUAL ENCONTRAMOS OS NUMERAIS COM UMA

CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS 10

CÁLCULO DA QUANTIDADE DE NÚMEROS COM UMA CERTA QUAN-

TIDADE DE ALGARISMOS EM QUALQUER BASE DE NUMERAÇÃO POSI-

CIONAL

11

PARIDADE DE UM NUMERAL ESCRITO EM UMA BASE QUALQUER 12

BASE DE NUMERAÇÃO MISTA 12

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) 16

EPCAR Escola Preparatória de Cadetes do Ar CN Colégio Naval

CMRJ Colégio Militar do Rio de Janeiro CMB Colégio Militar de Brasília

CMBH Colégio Militar de Belo Horizonte CMS Colégio Militar de Salvador

CMSM Colégio Militar de Santa Maria CMR Colégio Militar de Recife

CMJF Colégio Militar de Juiz de Fora CMF Colégio Militar de Fortaleza

CMCG Colégio Militar de Campo Grande CMC Colégio Militar de Curitiba

CMPA Colégio Militar de Porto Alegre

IME Instituto Militar de Engenharia

CMM Colégio Militar de Manaus

UFMG Universidade Federal de Minas Gerais


CARACTERÍSTICAS DO NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO OPERAN-

DO NA ADIÇÃO OU NA SUBTRAÇÃO DE DOIS NÚMEROS DE DOIS ALGA-

RISMOS CADA UM COM A INVERSÃO DAS ORDENS

18

FÓRMULA PARA CALCULAR A QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM

UMA SUCESSÃO DE 1 ATÉ n 18

QUANTIDADE DE VEZES QUE UM ALGARISMO SIGNIFICATIVO APA-

RECE EM UMA SUCESSÃO 19

QUANTIDADE DE VEZES QUE O ALGARISMO ZERO APARECE EM

UMA SUCESSÃO 26

TRANSPOSIÇÃO DE SISTEMAS DE NUMERAÇÕES COM BASES DIFE-

RENTES 29

TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA PO-

TÊNCIA DAQUELA 34

TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA EX-

TRAÇÃO DAQUELA 35

TRANSPOSIÇÕES UTILIZANDO-SE DOS NÚMEROS MÁXIMOS 36

TRANSPOSIÇÕES DE BASES PELO MÉTODO DE HORNER 36

TRANSPOSIÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL FRACIONÁRIO PARA

UMA BASE QUALQUER E VICE-VERSA 43

NÚMEROS POSITIVOS MENORES DO QUE 1(UM) 46

EXERCÍCIOS DE NÍVEL 1 48

EXERCÍCIOS DE NÍVEL 2 85

GABARITOS 103

BIBLIOGRAFIA 109


É constituído por um conjunto de regras e símbolos por meio dos

quais pode-se ler, falar e escrever os números.

BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL

É o número de unidades necessárias de uma certa ordem, para

que possa formar uma unidade de ordem imediatamente superior, ou seja, é o

número de elementos do conjunto tomado como padrão.

REPRESENTAÇÕES DE BASES DE NUMERAÇÃO

Número 52 na Base 10: 52 ou 52(10) ou 52[10] ou 5210 ou (52)10 Número 52 na Base 7: 52(7) ou 52[7] ou 527 ou (52)7

DECOMPOSIÇÃO DOS NÚMEROS ( FORMA POLINOMIAL)

Número 347 no nosso sistema de Base 10:3x102 + 4x10 + 7;

Número 347 na Base 8: 3x82 + 4x8 + 7, sendo, em ordem, os algarismos do

sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.


sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.


sistema: 0, 1, 4, 3, 7 e 5.

Observe que o símbolo “7” representa a quantidade 4, assim como o símbolo “4” representa, 2.

VALOR DO ALGARISMO NO NÚMERO

VALOR ABSOLUTO: Não depende da sua posição no numeral.

Ex1.: O valor absoluto do algarismo 4 no número 3.406 é 4;

Tema 1

SISTEMA DE NUMERAÇÃO


Ex2.: O valor absoluto do algarismo 4 no número (3.406)7 é 4.

VALOR RELATIVO ou POSICIONAL: Depende da sua posição no numeral.

Ex1.: O valor relativo do algarismo 4 no número 3.406 é 4x102 = 400;

Ex2.: O valor relativo do algarismo 4 no número (3.406)7 é 4x72= 196..

NÚMERO: É uma ideia de quantidade.

NUMERAL: É qualquer símbolo que usamos para representar uma quantidade.

Desta forma, a quantidade dez pode ser representada pelos numerais 10, X, dez,

ten, etc....

NÚMERO CARDINAL: É o que exprime quantos elementos há em um conjunto

de elementos.

Ex.: Trinta e três

NÚMERO ORDINAL: É o que assinala a posição(ordem) de um elemento no

conjunto.

Ex.: Trigésimo terceiro (33º)

NÚMERO MULTIPLICATIVO: É o que exprime a multiplicidade dos valores.

Ex1.: duas vezes: duplo ou dobro

Ex2.: três vezes: triplo ou tríplice

Ex3.: quatro vezes: quádruplo

Ex4.: cinco vezes: quíntuplo

Ex5.: seis vezes: sêxtuplo

Ex6.: sete vezes: séptuplo

SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Para se escrever os numerais são necessários apenas dez símbo-

los, chamados de algarismos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, sendo os nove

primeiros algarismos significativos e o zero insignificativo.


Historicamente, os algarismos foram inventados pelos Hindus e

divulgados pelos Árabes, por isso chamamos de algarismos Indo-Arábicos.

ALGARISMOS: São sinais numéricos ou letras que representam os números.

Os algarismos indo-arábicos são chamados também de dígitos,

palavra que vem do latim “digitus”, o que significa dedo.

No sistema decimal, adotamos o princípio da posição decimal para

a colocação dos algarismos. O número um é a unidade simples. A reunião de dez

unidades simples forma a dezena que é a unidade de 2ª ordem. Dez dezenas

constituem uma centena, unidade de 3ª ordem e assim sucessivamente.

Em uma classe completa há três algarismos.

Qualquer número é igual a soma dos valores relativos de seus algarismos.

O número que encerra 7 dezenas de milhares, 9 centenas e 6 unidades é

70.906.

Colocar um zero à direita de um número inteiro, corresponde a torná-lo 10

vezes maior.

Suprimir um zero à direita de um número inteiro, corresponde a torná-lo 10

vezes menor.

Em trinta unidades há 3 dezenas.

Qualquer algarismo significativo só pode ocupar a 1ª ordem se desejarmos

que sejam iguais seus valores relativo e absoluto.

Visando a formar oito unidades de terceira ordem, preciso de 80 unidades

de 2ª ordem.

Com duzentas unidades formo 2 centenas ou vinte dezenas.

O número 8.347.029 possui 3 classes, 7 ordens, 7 algarismos e a classe

mais elevada é a dos milhões.

A soma do valor absoluto do algarismo 2 com o valor relativo do algarismo

3 do nº 324 é 302.

Em 8.576 há 8 unidades de milhares, 85 centenas, 857 dezenas e 8.576

unidades.

Uma centena corresponde a 100 unidades, uma dezena corresponde a 10

unidades, uma dúzia corresponde a 12 unidades, meia centena corresponde a 50

unidades, meia dezena corresponde a 5 unidades, meia dúzia corresponde a 6

unidades e uma centena corresponde a 20 meias dezenas.

O resultado da soma do maior número de quatro ordens com o menor de

cinco algarismos é 19.999.

O maior número que se pode escrever com os sete algarismos romanos,

sem repetir nenhum deles, nem lhes sobrepor traços horizontais é o MDCLXVI.


IDENTIFICAÇÃO DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL

A identificação de uma base de numeração nem sempre é a quantidade de símbolos criados, pois o que determina a base de numeração é o número de unidades necessária, em uma certa ordem, para a formação de uma unidade de ordem imediatamente superior. Existem sistemas de numeração com uma certa base, mas pautada em outra base auxiliar ou, ainda, combinada e com quantidade de símbolos diferente tanto da base principal quanto da base auxiliar. Por exemplo, o sistema de numeração dos Maias é de base vigesimal com auxílio da base quinária. Este sistema possui três símbolos, sendo o zero repre-sentado por uma concha e os outros dois símbolos, a saber, o ponto e a barra horizontal correspondendo, respectivamente, a quantidade um e cinco. A utiliza-ção destes dois últimos símbolos é, no máximo, até quatro vezes seguidos. Números superiores a dezenove são escritos na vertical, segundo

potências de vinte, em ordem, de baixo para cima.

BASES DE NUMERAÇÃO COM MENOS DE DEZ ALGARISMOS

Ex1: Base 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ex2: Base 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

BASES DE NUMERAÇÃO COM MAIS DE DEZ ALGARISMOS Em função do aumento da base, criam-se símbolos (algarismos) em ordem crescente. Ex1: Base 12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B Ex2: Base 13 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ?, , A CRIAÇÃO DE SÍMBOLOS NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO

Para descobrirmos que base de numeração é o criado, devemos observar quando aparecem dois símbolos que representa uma quantidade no nosso sistema de numeração. Ex1.:

NOSSO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

CRIADO 0 1 2 # 3 8 6 11 12 1# 13 14

Resposta: Base 7 e, conforme o sistema de numeração acima, existe o numeral (82)7.


Ex2.:

NOSSO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

CRIADO 0 1 2 3 7 4 A 5 8 B 10 11

Resposta: Base 10

NOMENCLATURA DE ALGUMAS BASES DE NUMERAÇÃO

O MAIOR NÚMERO EM UMA CERTA QUANTIDADE DE ALGARISMOS

BASE 10

1 algarismo 9 10 – 1 101- 1

2 algarismos 99 100 – 1 102- 1

3 algarismos 999 1000 – 1 103- 1

BASE 7

1 algarismo 6 7 – 1 71- 1

2 algarismos 66 7x7 – 1 72- 1

3 algarismos 666 7x7x7 – 1 73- 1

Desta forma, se na base 10, 10n possui n+1 algarismos, sendo n a

quantidade de zeros no final do número, onde 10n- 1 é o último número com n

algarismos. Então, na base 7, 7n possui n+1algarismos, sendo n a quantidade de

zeros no final do número, onde 7n – 1 é o último número com n algarismos.

Base 2 : Binária Base 10 : Decimal

Base 3: Terciária Base 12 : Duodecimal

Base 4: Quaternária Base 16 : Hexadecimal

Base 5: Quinária Base 20 : Vigesimal

Base 8: Octal Base 60 : Sexagesimal


Por isso que ax, na base a, será 1 , sendo a

x-1 um nú-

mero com vários símbolos x – 1, ou seja, ,

representando o maior número de x algarismos.

INTERVALO NO QUAL ENCONTRAMOS OS NUMERAIS COM UMA CERTA

QUANTIDADE DE ALGARISMOS

BASE 10 Total de números Total de

algarismos

2 algarismos 10 até 99 ou [10; 102[ 100 – 10 = 90 90 x 2 = 180

3 algarismos 100 até 999 ou [102; 10

3[ 1.000 – 100 = 900 900 x 3 = 2700


4[

10.000 – 1.000 = 9000

9000 x 4 = 36000

BASE 4 Total de núme-

ros Total de algaris-

mos


2[ 16 – 4 = 12 12 x 2 = 24


3[ 64 – 16 = 48 48 x 3 = 144

BASE 7 Total de núme-

ros Total de algaris-

mos


2[ 49 – 7 = 42 42 x 2 = 84


3[ 343 – 49 = 294 294 x 3 = 882

Comentário 1:Nas bases de numeração, a contagem de números ou algarismos, que

estão em uma certa ordem, é mais fácil quando utilizamos a potência dessas bases. Observe:

Quantos números eu escrevo, na base 5, com três algarismos?

Solução: Utilizando as potências, o intervalo será: [52; 5

3[

Subtraindo, teremos: 53 – 5

2 = 100 números.

Repare que o número 53= 125 não serve, por isso que a diferença é 100 e não 101.

A quantidade de números com uma certa quantidade de algarismos, excetuan-

do 1(um) algarismo, será:


a) Par, se a base de numeração for par somente;

b) Ímpar, se a base de numeração for ímpar somente;

c) Par, se a base de numeração for par, e a quantidade de algarismos for par so-

mente;

d) Sempre par, independentemente da base de numeração ou da quantidade

de algarismos.

No sistema de numeração nosso, o total de números com 100 al-

garismos é dado por 9x1099

, enquanto que, no sistema de base oito, será 7 x 899

.

Comentário 2:Na questão anterior, trabalhamos a evidência na diferença. Observe:

No sistema de base 6, o total de números com 20 algarismos é:

Solução: Utilizando as potências, o intervalo será: [619

; 620

[

Subtraindo, teremos: 620

- 619 6

19(6 – 1) 5 x 6

19.

CÁLCULO DA QUANTIDADE DE NÚMEROS COM UMA CERTA QUANTIDADE

DE ALGARISMOS EM QUALQUER BASE DE NUMERAÇÃO POSICIONAL

Tn= Total de números, Qn= Quantidade de algarismos e b = A base de numeração

Todos de 1(um) algarismo:

Todos de 2(dois) algarismos:

Todos de 3(três) algarismos:

Todos de 4(quatro) algarismos:

Ex1.:Todos os números de três algarismos, além da quantidade de algarismos, na

base:

a) Dez T3= (b – 1)x bn-1 T3 = (10 -1) x 10

2 T3 = 9 x 10

2 e Q3 = 9 x 10

2 x 3

Tn= (b – 1) x bn-1

T1=( b – 1)x b0

T2= (b – 1)x b1

T3= (b – 1)x b2

T4= (b – 1)x b3

Qn= (b – 1) x bn-1x n

Q1=( b – 1)x b0x 1

Q2=( b – 1)x b1x 2

Q3=( b – 1)x b2x 3

Q4=( b – 1)x b3x 4


b) Cinco T3= (b – 1)x bn-1 T3 = (5 -1) x 5

2 T3 = 4 x 5

2 e Q3 = 4 x 5

2 x 3

c) Sete T3= (b – 1)x bn-1 T3 = (7 -1) x 7

2 T3 = 6 x 7

2 e Q3 = 6 x 7

2 x 3

PARIDADE DE UM NUMERAL ESCRITO EM UMA BASE QUALQUER

Para descobrirmos se um numeral é par ou ímpar, devemos dis-

tinguir se a base do sistema de numeração é par ou ímpar. Se a base de numeração é par, sua paridade dependerá do último

algarismo, ou seja, se o último algarismo for par, o número será par; se o último algarismo for ímpar, o número será ímpar.

Ex1.: (4301)8Este número é ímpar, pois termina em algarismo ímpar.

Ex2.: (562)8Este número é par, pois termina em algarismo par.

Se a base de numeração é ímpar, sua paridade dependerá da soma dos algarismos do numeral, ou seja, se a soma dos algarismos do numeral for par, o número será par; se a soma dos algarismos do numeral for ímpar, o número será ímpar.

Ex1.: (6011)7Este número é par, pois a soma dos algarismos 6 + 0 + 1 + 1 é par.

Ex2.: (124)7Este número é ímpar, pois a soma dos algarismos 1 + 2 + 4 é ímpar.

BASES DE NUMERAÇÃO MISTA

A identificação de uma base de numeração nem sempre é a quan-tidade de símbolos criados, pois o que determina a base de numeração é o núme-ro de unidades necessária, em uma certa ordem, para a formação de uma unidade de ordem imediatamente superior. Existem sistemas de numeração com uma certa base, mas pauta-da em outra base auxiliar ou, ainda, combinada e com quantidade de símbolos diferente tanto da base principal quanto da base auxiliar. Por exemplo, o sistema de numeração dos Maias é de base vige-simal com auxílio da base quinária. Este sistema possui três símbolos, sendo o zero representado por uma concha e os outros dois símbolos, a saber, o ponto e a barra horizontal correspondendo, respectivamente, a quantidade um e cinco. A utilização destes dois últimos símbolos é, no máximo, até quatro vezes segui-dos(base auxiliar 5). Números superiores a dezenove são escritos na vertical, segundo potências de vinte, em ordem, de baixo para cima (base principal 20). Observe a ilustração abaixo:


Outro exemplo é o sistema de numeração dos esquimós (Inuítes) que se utiliza da base vigesimal combinada com a base quinária, porém com 20 símbolos, incluindo a representação do zero.

APLICAÇÃO DA BASE DE NUMERAÇÃO MISTA

01. Foi criado um sistema de numeração posicional e horizontal com o crescimen-to das ordens da direita para a esquerda. No entanto, nas ordens pares, os símbolos são as nossas vogais a, e, i, o, u. Enquanto que, nas ordens ímpa-res, os símbolos são os nossos sete primeiros algarismos 0,1, 2, 3,4, 5, 6.

Desta forma, o crescimento numérico seria 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, i0, i1, i2, i3, i4, i5, i6, o0, o1,….. Perguntamos:

a) Como seria o número 94 do nosso sistema decimal transposto para o sistema

acima?

Solução: Repare que a=0, e=1, i=2, o=3 e u=4.

94 7 1ª ordem(base 7)

24 13 5 2ª ordem(base 5)

3 3 2

2 3 3 → 2 o 3

b) E o numeral e0a4 transposto para o sistema decimal nosso?

Solução: (e0a4) 70x5

0x4 + 7

1x5

0xa + 7

1x 5

1x0 + 7

2x5

1xe 4 + 0 + 0 + 245 249

Observe que, na multiplicação das bases mistas pelos algarismos, há um cresci-

mento nos expoentes de cada base, alternadamente.


NÚMEROS NATURAIS

()

É o conjunto de todos os números inteiros e positivos, além do zero.

= 0, 1, 2, 3, 4, 5, ............

NÚMEROS INTEIROS

()

= ........., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .........

SUCESSÃO DOS NÚMEROS

É um conceito dos números naturais ou inteiros pelo acréscimo de mais

uma unidade.

Ex1.: O sucessor(consecutivo) do nº 7 é o nº 8;

Ex2.: O antecessor do nº 7 é o nº 6.

NÚMEROS PARES

(2k)

É um conceito dos números naturais ou inteiros, sendo estes números

múltiplos de 2(dois).

Ex1.:34 é par Ex2.: 3,14 não é par

NÚMEROS ÍMPARES

(2k+1)

É um conceito dos números naturais ou inteiros, sendo aqueles que não

são múltiplos de 2.

Ex1.: 19 é ímpar Ex2.: 1,9 não é ímpar

SUCESSÃO DOS NÚMEROS PARES OU ÍMPARES

A sucessão se dá pelo acréscimo de duas unidades.

Ex1.: O par sucessor(consecutivo) do nº 4 é o nº 6.


Ex2.: O ímpar consecutivo do nº 3 é o nº 5.

QUANTIDADE DE NÚMEROS EM UMA SUCESSÃO DE NATURAIS

É igual ao último número menos o primeiro mais um.

Ex1.: De 4 até 13 13 – 4 + 1 = 10 números

Nota1: A utilização das palavras inclusive (não altera a sucessão) e exclusive

(exclui-se o número designado).

Ex2.: De 4 exclusive a 13 inclusive = 13 – 4 + 1 – 1

Ex3.: De 4 a 13 exclusive = 13 – 4 + 1 – 1

Ex4.: De 4 a 13, ambos exclusives = 13 – 4 + 1 – 2

Nota2: Cuidado com a palavra entre, pois excluímos o primeiro e o último número.

Ex5.: Quantos números há entre 4 e 13?

Resposta: 13 – 4 + 1 – 2 8 números

QUANTIDADE DE NÚMEROS PARES OU ÍMPARES EM UMA SUCESSÃO

Começando por um número par e terminando por um número ímpar ou vi-

ce-versa, a metade dos números escritos é par e a outra metade é ímpar.

Ex.: De 41 a 54 54 – 41 + 1 14 14 : 2 7 pares e 7 ímpares.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)

Se um acontecimento é composto de etapas sucessivas, sendo que o primeiro pode ocorrer de “a” modos, se para cada um deles o segundo pode ser feito de “b” modos, se para cada um deles o terceiro pode ser feito de “c” modos, e assim por diante, o número de modos de realizar o acontecimento é o produto entre a x b x c x d x……


Ex1.: Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, quantos números de três algarismos podem ser

escritos? Solução:

Um número de três algarismos

Para a 1ª ordem podem ocorrer 4 possibilidades (1,2, 3, 4)

Para a 2ª ordem, também:

Para a 3ª ordem, também:

Então: 4 x 4 x 4 = 64 números.

Ex2: Na base 7, quantos números de três algarismos existem? Solução:


DEVEMOS INICIAR SEMPRE PELA ORDEM QUE NÃO PODE UTILIZAR TODOS OS ELE-

MENTOS DISPOSTOS. NESTE CASO, PELA 3ª ORDEM POR NÃO PODERMOS UTILIZAR O

ALGARISMO ZERO.

Na 3ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6) são 6(seis)

Para a 2ª ordem, já podemos utilizar o zero, ou seja, 7(sete) possibilidades

Por fim, na 1ª ordem, 7(sete) possibilidades

Então:6 x 7 x 7 = 294 números de três algarismos na base 7.

Ex2: Na base 7, quantos números de três algarismos distintos existem? Solução:


Na 3ª ordem restrita, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, e 6) são 6(seis)


Para a 2ª ordem, já podemos utilizar o zero, porém já utilizamos um dos algarismos de

1 a 7

Por fim, na 1ª ordem, 5(cinco) possibilidades

Então:6 x 6 x 5 = 180 números de três algarismos na base 7.

Ex3: Na base 8, quantos números pares distintos de três algarismos existem? Solução:


A PARIDADE DE BASES DE NUMERAÇÃO PAR É DEFINIDA PELO ÚLTIMO ALGA-RISMO, OU SEJA, SE O ALGARISMO FOR PAR, O NÚMERO SERÁ PAR. DESTA FOR-MA HÁ RESTRIÇÃO NA 1ª ORDEM (0, 2, 4, 6), ALÉM DA RESTRIÇÃO NA 3ª ORDEM (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), POIS NA BASE OITO OS ALGARISMOS SÃO: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. POR QUAL ORDEM DEVEMOS INICIAR AS POSSIBILIDADES? OBSERVE QUE EXISTE UM ALGARISMO, ISTO É, O ZERO, QUE É UM ELEMENTO DE RESTRIÇÃO TANTO NA 1ª ORDEM QUANTO NA 3ª ORDEM, POR ISSO DEVEMOS CRIAR A SUA POSSIBILIDADE ISOLADAMENTE. VEJA:

Supondo como algarismo da 1ª ordem, o zero, encontraremos

Na 3ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e7)são 7(sete)

Na 2ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e7)são 6(seis) 7 x 6

x 1 = 42 números

Agora podemos supor os outros três algarismos (2, 4, 6) como algarismo da 1ª

dem

Na 3ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e7)são 6(seis)

Na 2ª ordem, as possibilidades entre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7)são 6(seis) 6 x 6 x

3 = 108 números

Resultado:42 + 108 = 150 números


CARACTERÍSTICAS DO NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO OPERANDO NA ADIÇÃO OU NA SUBTRAÇÃO DE DOIS NÚMEROS DE DOIS ALGARISMOS

CADA UM COM A INVERSÃO DAS ORDENS

1ª) ADIÇÃO: ab + ba

Será sempre um múltiplo de onze. Demonstração:

ab + ba 10a + b + 10b + a 11a + 11b 11 x (a + b) 2ª) SUBTRAÇÃO: ab – ba

Será sempre múltiplo de nove. Demonstração:

ab - ba 10a + b – (10b + a) 10a + b – 10b – a 9a – 9b 9 x (a – b )

FÓRMULA PARA CALCULAR A QUANTIDADE DE ALGARISMOS EM UMA

SUCESSÃO DE 1 ATÉ n

Q = (n + 1).Kn – nK

11........111

Q Quantidade de algarismos

n último número

Kn Quantidade de algarismos de n

Ex1.: Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 1 até 315?

n = 315

Kn = 3

Ex2.: Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 16 até (315)6? Solução:

Esta fórmula serve para qualquer base de numeração posicional, todavia não devemos esquecer que o último número e a expressão “1111......111” deverão ser convertidos para a base decimal. Vejamos:

n= (315)6

Kn = 3

Q = (315 + 1). 3 – 111Q = 316. 3 – 111Q = 948 – 111 Q = 837 algarismos

Q = [(315)6 + 1]. 3 – (111)6Q = 120. 3 – 43Q = 360 – 43 Q = 317 algarismos


Ex3.: Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 113 até (72)13?

n= (72)13

Kn = 2

QUANTIDADE DE VEZES QUE UM ALGARISMO SIGNIFICATIVO APARECE

EM UMA SUCESSÃO

1º caso: Um número com apenas um algarismo significativo:

Ex1.: Quantas vezes o algarismo 7 aparece na sucessão dos números naturais de 1 a

2.000?

Solução: Sendo de 1 até um número que possui um algarismo significativo.

2 0 0 0

200 vezes

200 vezes

200 vezes

Façamos a análise do algarismo que está na última ordem. O

algarismo 2 que aparece na última ordem é menor do que o algarismo que dese-

jamos contar. Então a quantidade é zero.

Se fosse o algarismo 7, por exemplo, a quantidade seria 600 + 1 =

601 vezes.

Se fosse maior do que o 7, por exemplo, o algarismo 9, a quanti-

dade seria 600 + 1000 (milhar) , pois está na ordem das unidades de milhar, sen-

do a resposta 1600 vezes.

2º caso: Um número com mais de um algarismo significativo:

Ex1.: Quantas vezes o algarismo 6 aparece na sucessão dos números naturais de 1

a5.400?

Dividir o número por 10

para descobrir quantas

vezes ele apareceu em

cada ordem, exceto a

última, ou seja, 2000 :

10 = 200

TOTAL: 600 vezes

Q = [(72)13 + 1]. 2 – (11)13Q = 94. 2 – 14Q = 188 – 14

Q = 174 algarismos


Devemos decompor o número:

5 0 0 0 + 4 0 0

500 vezes 40 vezes

500 vezes 40 vezes

500 vezes Análise: È menor do que

o algarismo solicitado.

0

Análise: È menor do

que o algarismo solicitado

0

A resposta será 540 vezes na unidade simples + 540 vezes na dezena simples + 500 vezes na centena = 1.580 vezes.

Ex2.: Quantas vezes o algarismo 6 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 3970? 3 0 0 0 + 9 0 0 + 7 0

300 vezes 90 vezes 7 vezes

300 vezes 90 vezes Análise: È maior do que o algarismo solici-

tado. 10 ve-

zes(dezena)

300 vezes Análise É o algarismo

solicitado. Observe o

número que fica a direita do

9, ou seja, 70. A este

número soma-mos a unidade.

70 + 1 71

Análise: È menor do que o algarismo solicitado.

0

A resposta será 397 vezes na unidade simples + 400 vezes na de-zena simples + 371 vezes na centena = 1.168 vezes.

Ex3.: Quantas vezes o algarismo 6 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 3860?


3 0 0 0 + 8 0 0 6 0


300 vezes 80 vezes Análise É o algarismo

solicitado. Observe o

número que fica a direita

do 6, ou seja, 0. A este

número so-mamos a

unidade. 0 + 1 = 1

300 vezes Análise: È maior do que o algarismo solici-

tado. 100 ve-

zes(centena)


que o algarismo solicitado.

0

A resposta será 386 vezes na unidade simples + 381 vezes na dezena simples + 400 vezes na centena = 1.167 vezes.

Existem questões em que o examinador diz ter uma quantidade de vezes um certo algarismo significativo, e deseja saber até quando pode escrever uma sucessão de números inteiros positivos a partir do número 1. O QUADRO APLICATIVO disposto abaixo garantirá, salvo os casos em que o algarismo estiver compondo o número, uma solução para 3, 4 ou 5 algaris-mos, porém ressaltamos que é imprescindível que o valor de “a”, ou seja, o alga-rismo de maior valor relativo do numeral esteja entre 1 e 9, inclusives.

QUADRO APLICATIVO

NÚMERO QUANTIDADE DE

ALGARISMOS

EXCLUSÃO DO

MAIOR VALOR

RELATIVO

INCLUSÃO DO MAI-

OR VALOR RELATI-

VO

abc 3 20a (1≤ a ≤ 9) 20a + 100 (1≤ a ≤ 9)

abcd 4 300a (1≤ a ≤ 9) 300a + 1000 (1≤ a ≤ 9)

abcde 5 4000a (1≤ a ≤ 9) 4000a + 10000 (1≤ a ≤ 9)

Comentário 3: Como utilizar o quadro aplicativo: 1º) A suposição de quantos algarismos possui um número deve ser menor que a quantidade de vezes dada: Ex.: “Utilizou-se do algarismo 8 por 131 vezes..........” Resposta: Não posso supor que o número tenha 4 algarismos, porque teremos o valor de

“a” menor que 1.

300a = 131


2º) Se o resultado do valor “a” for maior que 9, devemos considerar a inclusão do maior valor relativo: Ex.: “Utilizou-se do algarismo 3 por 200 vezes.........”

Resposta: Supondo 3 algarismos, teremos: 20a = 200 a = 10 (não pode)

INCLUSÃO DO MAIOR VALOR RELATIVO

20a + 100 = 200 a = 5

3º) Se a suposição do número for de:

a) 3 algarismos, a sua configuração será:

b) 4 algarismos, a sua configuração será:

Ex1.: Utilizou-se do algarismo 8 por 143 vezes para enumerar as páginas de um livro. Quantas páginas possui este livro?

Solução: Supor 3 algs 20a = 143

7 0 0 + 3 0

70 vezes 3 vezes

70 vezes 0 vezes



0

Análise: È menor do que o

algarismo solicitado. 0

TOTAL: 143 vezes

143 20

3 7

é menor do que

o algarismo 8

utilizado

Verificação 7 3 0

Resposta: 730 páginas




Repare que o resto é maior do que 9. Isto significa que o algarismo das

dezenas será maior do que o algarismo 6 utilizado. Então, devemos dividi-lo por 10:

17 10

7 1

4 0 0 + 7 0

40 vezes 7 vezes

40 vezes 10 vezes



0

TOTAL: 97 vezes


Solução: Supor 3 algs 20a = 221 a = 11,05 (1≤ a ≤ 9) Devemos incluir o

maior VR.

20a + 100 = 221 20a = 121

97 20

17 4

é menor do

que o algaris-

mo 6 utilizado

Verificação 4 7 0

121 20

1 6

é maior do que o

algarismo 4 utili-

zado, pois foi

incluído o maior

VR Verificação 6 1 0



6 0 0 + 1 0

60 vezes 1 vez

60 vezes 0 vezes

Análise: È menor do que

o algarismo solicitado.

0

Análise: È maior do


100

TOTAL: 221 vezes



Incluindo o maior VR 20a + 100 = 154

20a = 54

Repare que o resto é maior do que 9. Isto significa que o algarismo das dezenas será maior do que o algarismo 1 utilizado. Então, devemos dividi-lo por 10:

14 10

4 1

2 0 0 + 4 0

20 vezes 4 vezes

20 vezes 10 vezes



100

TOTAL: 154 vezes

154 20

14 7

É maior do que o

algarismo 1 utili-

zado, devemos

então incluir o

maior VR

54 20

14 2

Verificação 2 4 0





maior VR.


20a = 111

Repare que o resto é maior do que 9. Isto significa que o algarismo das dezenas será maior do que o algarismo 1 utilizado. Então, devemos dividi-lo por 10:

11 10

1 1

5 0 0 + 1 0

50 vezes 1 vez

50 vezes 1 vez



100

TOTAL: 202 vezes

Resposta: Sendo a quantidade utilizada em 211 vezes, e a calculada em 202 vezes, faltam 9 vezes. Daí, o certo seria 518 páginas, pois acrescentaríamos as páginas 511, 512, 513, 514, 515, 516, 517 e 518, ou seja, 9 algarismos 1.



maior VR.

111 20

11 5

Verificação 5 1 0

Se o número possui o algarismo utili-zado, neste caso o 1, a verificação será incorreta.



20a = 523 (1≤ a ≤ 9) Devemos supor um número com 4 algarismos.

Supor 4 algs 300a = 623

Agora devemos dividir o resto por 20 para acharmos o algarismo das centenas:

2 0 0 0 + 1 0 0 3 0


200 vezes 10 vezes Análise: È menor do que

o algarismo solicitado. 0 vezes

200 vezes 0 vezes

Análise: È menor do que o algarismo solicitado.

0


QUANTIDADE DE VEZES QUE O ALGARISMO ZERO APARECE EM UMA SU-CESSÃO

A pergunta que muitos alunos nos fazem é: “Professor, numa su-cessão de números inteiros de 1 até n, quantas vezes aparecem o algarismo ze-ro? Vamos resolver uma questão, sendo n = 1.000, ou seja, de 1 até 1.000 para depois explicar melhor os porquês.

1º passo: Verificar se o número n possui apenas 1(um) algarismo significati-vo. Sendo a resposta ‘sim”, pois n = 1.000, passaremos para o próxi-mo passo;

623 300

23 2(1º quociente)

23 20

3 (1º resto )

1(2º quociente)

Verificação 2 1 3 0

TOTAL: 623 vezes


2º passo: Encontrar quantas vezes aparece o algarismo zero nas ordens inferiores, dividindo o número por dez. Observe:

1.000 : 10 = 100 vezes em cada ordem inferior:

1 0 0 0

100 100 100 Total: 300 vezes

Com relação à ordem maior (milhar), devemos atribuir 1.000 vezes o aparecimento do algarismo zero, pois o algarismo no milhar 1 é maior do que 0, significando que os zeros (inúteis) já passaram pelo milhar, totalizando, até aqui, 1.000 + 300 = 1.300 vezes. Como o raciocínio é feito considerando, neste caso, de 000 a 999 (explicaremos depois), temos que analisar o(s) próximo(s) número(s), ou seja, 1.000, adicionando ao total os três zeros do número 1.000. Totalizando, até aqui, 1.300 + 3 = 1.303 vezes. 3º e último passo: Subtrair do resultado encontrado 1.111, pois o número n (1.000) possui 4 algarismos, caso fossem 3 algarismos seria 111, 5 algarismos seria 11.111 e assim por diante.

1.303 – 1.111 = 192 vezes.

Vamos resolver outra questão, mas agora de 1 até 620.

1º passo: Verificar se o número n possui apenas 1(um) algarismo significati-vo. Sendo a resposta “não”, pois n = 620 (dois algarismos significativos), vamos decompor o número:

620 = 600 + 20 2º passo: Encontrar quantas vezes aparece o algarismo zero nas ordens

inferiores, dividindo por dez cada parcela. Observe: 1ª parcela: 600 : 10 = 60 vezes.

6 0 0

60 60 Total: 120 vezes


2ª parcela: 20 : 10 = 2 vezes.

2 0

2 Total: 2 vezes

Com relação à ordem maior, na 1ª parcela (centena), devemos atribuir 100 vezes o aparecimento do algarismo zero, enquanto que, na 2ª parcela (dezena), devemos atribuir 10 vezes.

Desta forma, até aqui, totalizamos: 120 + 2 + 100 + 10 = 232 vezes. Como o raciocínio é feito considerando, neste caso, de 000 a 619 (explica-

remos depois), temos que analisar o(s) próximo(s) número(s), ou seja, 620, adici-onando ao total apenas um zero do número 620. Totalizando, até aqui, 232 + 1 = 233 vezes.

3º e último passo: Subtrair do resultado encontrado 111, pois o número n (620) pos-sui 3 algarismos.

233 – 111 = 122 vezes.

Por quê?

Para definirmos a quantidade de um certo algarismo, estamos

acostumados na contagem de 1 a 10, de 1 a 100, de 1 a 1.000 e assim por diante.

Mas estes limites são desprovidos de igualdade de aparecimento dos dez algaris-

mos do nosso sistema de numeração.

Por isso, para o cálculo do algarismo zero, utilizaremos os limites como:

1 algarismo De 0 até 9

2 algarismos De 00 até 99 (ou suas variantes: 89, 79, 69, 59, 49,.............)

3 algarismos De 000 até 999 (ou suas variantes: 899, 799, 699, 599,.............)

Com esta mudança das extremidades, encontraremos zeros inúteis se somando com a quantidade de zeros úteis, porém facilmente deduzidos. Observe:

2 algarismos: 00 até 99 11 zeros inúteis

3 algarismos: 000 até 999 111 zeros inúteis


4 algarismos: 0000 até 9.999 1.111 zeros inúteis

OBS.: Já que a contagem natural inicia pelo 1, consideraremos o número 0 como inútil. Esta lógica nos leva a crer que a quantidade de zeros que aparecem numa sucessão de 1 até 1.000, por exemplo, seja igual ao aparecimento de todos os outros algarismos, excetuando o algarismo 1, somado a três zeros do número 1.000, quantidade de zeros do sucessor, neste caso, de 999, subtraído da quanti-dade de zeros inúteis, ou seja, 111.

TRANSPOSIÇÃO DE SISTEMAS DE NUMERAÇÕES COM BASES DIFEREN-TES

1ª) BASE 10 PARA OUTRA BASE QUALQUER

Consiste em transpor um número que esteja na base 10 para outra que você queira. Esta transposição é feita pela simples divisão do número que está na base 10 pela base desejada, sendo o quociente novamente dividido pela base desejada e assim sucessivamente, até a impossibilidade da divisão. Desta forma, o número transposto para outra base será composto do últi-mo quociente com os restos das divisões anteriores. Veja o exemplo:

Ex.: 55 da base 10 para a base 4.

55 4

15 13 4

2 1 3

2ª) BASE QUALQUER PARA BASE 10

FORMA POLINOMIAL

Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para a base dez. Esta transposição é feita pelo somatório das multiplicações da base pelos algarismos, obedecendo à ordem destes algarismos. Veja o exemplo: Ex.: 32 da base 5 para a base 10.

(3 2)5 50 x 2 + 5

1 x 3 2 + 15 17

(312)4


MÉTODO DE RUFFINI

Consiste em uma reta vertical e duas horizontais dispostas da seguinte for-

ma:

1ª linha

Local do número

A base de numeração que se

encontra o número

2ª linha

Parcela

3ª linha

Multiplicador

O cálculo pelo método de Ruffini:

1º passo: Baixamos o primeiro algarismo da esquerda do número para a 3ª linha;

2º passo: Multiplicamos a base pelo o algarismo que entrou na 3ª linha;

3º passo: O resultado da operação acima, colocamos na 2ª linha abaixo do segundo

algarismo da esquerda do número;

4º passo: Somamos o segundo algarismo da esquerda do número com o resultado

da operação que ficou na 2ª linha abaixo do mesmo;

5º passo: O resultado da adição acima colocamos na 3ª linha;

6º passo: Multiplicamos a base pelo resultado acima e colocamos na 2ª linha abaixo

do terceiro algarismo da esquerda do número, e assim por diante..............

Último passo: Somamos o último algarismo da esquerda do número com o

resultado da operação(base x 3ªlinha). O resultado é a transposição do número para

a base dez.

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE RUFFINI

1. Transpor o número (315)8 para a base dez:

1º passo

3

1

5

1ª linha

Local do número

A base de numeração que se

encontra o número

8

2ª linha

Parcela

3 3ª linha

Multiplicador


2º passo

3

1

5

1ª linha

Local do número

8

2ª linha

Parcela

3 3ª linha

Multiplicador

3º passo

3

1

5

1ª linha

Local do número

8

24

2ª linha

Parcela

3 3ª linha

Multiplicador

4º passo

3

1

5

1ª linha

Local do número

8

24

2ª linha

Parcela

3 24 + 1 3ª linha

Multiplicador

5º passo

3

1

5

1ª linha

Local do número

8

24

200

2ª linha

Parcela

3 25 3ª linha

Multiplicador

x

x

x

x


6º passo

3 1

5

1ª linha Local do número

8

24

200

2ª linha Parcela

3 25 205 3ª linha Multiplicador

Resposta: 205 3ª) BASE QUALQUER PARA OUTRA BASE QUALQUER Consiste em transpor um número de uma base diferente de dez para outra também diferente de dez. Esta transposição poderá ser feita de duas maneiras. Observe: Ex.: 432 da base 5 para a base 6.

1ª) Resolução Indireta.

Consiste em transpor, primeiramente, para a base dez.

(4 3 2)5 50 x 2 + 5

1 x 3 + 5

2 x 4 2 + 15 + 100 117

Depois transpor para a base desejada, neste caso, base 6.

117 6

57 19 6

3 1 3

2ª) Resolução Direta.

A transposição direta entre bases quaisquer deve ser feita através da divi-são. No entanto, a divisão é a realizada desde o primeiro algarismo de maior or-dem até o último algarismo, obedecendo à base de numeração em que o número se encontra, ou seja, se o algarismo for menor que a base, devemos multiplicar este algarismo pela base que ele se encontra para que depois possamos somar com o próximo algarismo e efetuar a divisão. Veja o exemplo abaixo:

Ex.: Transpor (432)5 para a base 6.

(313)6

x


4 3 2 6

4

O número 4 não pode ser divi-

dido por 6, por isso devemos

multiplicá-lo pela base 5 para,

depois, somarmos com o pró-

ximo algarismo, isto é, 3.

4 3 2 6

4 x 5 = 20 20 + 3 = 23

- 18

3

4 3 2 6

4 x 5 = 20 20 + 3 = 23

- 18

3 4

4 3 2 6

4 x 5 = 20 20 + 3 = 23

- 18

3 4

6

3 x 5 = 15

15 + 4 19

3

5

O número 5 não pode ser

dividido por 6, por isso

devemos multiplicá-lo pela

base 5 para, depois, so-

marmos com o próximo

algarismo, isto é, 2.

5 x 5 =

25 + 2

-24

- 24 3

3

5 x 5 =

25 + 2

-24

- 24

-18

1

(313)6


TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA POTÊN-CIA DAQUELA

Para passar da representação b-ária de um número natural N à

sua representação bk-ária, deve-se reunir, partindo da direita para a esquerda, os

algarismos b-ários de N em grupos k e substituir cada um destes grupos pelo alga-

rismo bk-ário que o representa.

Ex1: Transpor (102)3 para a base 9 = 32.

Sendo o expoente igual a 2, devemos agrupá-los de dois a dois algarismos, iniciando pela direita, operacionalizando como se fosse transpor de uma base qualquer para a base dez, cada grupo.

1 02

É menor que

3, então=

1

30x2 + 3

1x0 =

2

Ex2: Transpor (2102)3 para a base 27 = 33

2 102

É menor que

3, então=

2

30x2 + 3

1x0 +

32x1 = 11

Ex3: Transpor (12021)4 para a base 16 = 42

1 20 21

É menor que

4, então=

1

40x0 + 4

1x2 =

8

40x1 + 4

1x2 =

9

(12)9

(2)27

(189)16

O símbolo re-

presenta a quantidade

11


TRANSPOSIÇÃO DE UMA BASE PARA OUTRA SENDO ESTA UMA EXTRA-ÇÃO DAQUELA

Se para cada elemento da base 9 são necessários dois elementos da base 3, a recíproca é verdadeira, ou seja, a cada dois elementos da base 3 é necessário um elemento da base 9. Se para cada elemento da base 27 são necessários três elemen-tos da base 3, a recíproca é verdadeira, ou seja, a cada três elementos da base 3 é necessário um elemento da base 27.

Ex4: Transpor (36)9 para a base 3 =



2 4 7

2 2

0 1

4 2

0 2 2

0 1

7 2

1 3 2

1 1

Observe as respostas a seguir:

1ª) O quíntuplo de (103)5 é (1030)5;

2ª) O quádruplo de (2331)4 é (23310)4;

3ª) Se somarmos 7 no numeral (42)7, ele ficará com (52)7;

4ª) Se subtrairmos 6 no numeral (1231)6, ele ficará com (1221)6;

3 6

3 3

0 1

6 3

0 2

1 1

É menor

que 2, então

= 1

É menor

que 2, então

= 001

(1020)3

(1001)2

(10100111)2


5ª) Multiplicando o numeral (211)3 por 81, teremos (2110000)3.

Agora responda. Um aluno somou 64 a um numeral e encontrou o

resultado (2133)4.No entanto, deveria ter multiplicado o numeral por 64, dando um

valor, na base quatro, igual a (2.103.000)4.

TRANPOSIÇÕES UTILIZANDO-SE DOS NÚMEROS MÁXIMOS

)x xn – 1

Ex1.: Transpor o número ( )6 para a base 36, sendo a quantidade 35

representada por:

Solução: 612

- 1 - 1 366- 1 ()36

Ex2.: Transpor o número ( )6 para a base 216, sendo a quantidade 215

representada por :

Solução: 612

- 1 - 1 2164- 1 ()216

TRANSPOSIÇÃO DE BASES PELO MÉTODO DE HORNER

A utilização do método de Horner nos permite expressar qualquer número de uma base qualquer para outra base qualquer. No entanto, para apli-carmos este método, é necessário que façamos uso da correção dos algarismos, quando estes estiverem maiores do que a base ou negativos. Observe:

1º) ALGARISMO MAIOR DO QUE A BASE:

Ex1.: (415)3 = 32 x 4 + 3 x 1 + 3

0 x 5 Repare que os algarismos 5 e 4 são maiores do

que a base 3.

Devemos iniciar a correção pela menor ordem, dividin-

do o algarismo pela base.

(41 3 (4 1 3x1 + 2)3 (4 1+1 2)3 ( 2 2 )3 (3x1 + 1 2 2 )3 (1 1 2 2 )3 =

33 x 1 + 32 x 1 + 3 x 2 + 30 x 2

Ex2.: (1918)4 (1 9 1 4x2 + 0)4 (1 9 3 0)4 (1 4x2 + 13 0)4 (3 1 3 0)4 43

x 3 + 42 x

1 + 4 x 3


2º) ALGARISMO “NEGATIVO”:

Ex1.: (2 1 -3 2)5 53 x 2 + 5

2 x 1 – 5 x 3 + 5

0 x 2 Repare que o algarismo da 2ª

ordem é “negativo”.

A correção é feita pela cessão das unidades da ordem imediatamente superior.

(2 1 -3 2)5 (2 0 5 – 3 2)5 (2 0 2 2)5 53 x 2 + 5 x 2 + 5

0 x 2

Ex2.: (4 3 -8)6 (4 1 12 – 8 )6 (4 1 4)6 62 x 4 + 6 x 1 + 6

0 x 4

Agora podemos aprender o método de Horner que se utili-za de um fator, que pode ser positivo ou negativo, para multiplicar os algarismos de um número dado para a transposição. Toda vez que representarmos uma quantidade, em bases diferentes, a base maior ficará sempre com um número menor que a base menor. Observe: (311)4 = (203)5 = (125)6 = (104)7. Desta forma, se estivermos em uma base menor querendo passá-la para uma base maior, o fator será negativo. Mas se estivermos em uma base maior querendo transpô-la para uma base menor, o fator será positivo. Veja:

Ex1.: Passar da base 4 para a base 5 4 -5 = -1 (fator negativo);

Ex2.:Passar da base 6 para a base 4 6 – 4 = 2 (fator positivo).

Entenda a engenhoca de Horner:

1ª linha

Local do número

O fator

x

Vamos transpor o número (311)4 para a base 5:

1º passo: Baixar o algarismo 3 para ser multiplicado pelo fator -1:

3

1

1

4 – 5 = -1

-1

x 3


2º passo: Colocar o resultado da multiplicação em baixo do próximo algarismo da

direita para adicioná-lo.

3

1

1

-1

-3

x 3 -2

3º passo: O resultado da adição será multiplicado pelo fator e colocado em baixo

do próximo algarismo da direita para adicioná-lo.

3

1

1

-1

-

3 2

x 3 -2 3

4º passo: O resultado é o primeiro algarismo encontrado na base 5 (1ª ordem).

3

1

1

-1

-3 2

x 3 -2 3

5º passo: Tracemos uma nova linha para acharmos agora o algarismo da 2ª e da 3ª

ordem.


3

1

1

-1

-3 2

x 3 -2 3

-1

-3

x 3 -5

Terminada a faina, vamos, caso necessite, corrigir o numeral que está na base 5.

(3 -5 3)5 (2 5 – 53)5 (2 0 3)5

COMENTÁRIO 4:O método de Horner é mais apropriado para mudanças entre bases grandes com diferenças pequenas. Observe o exemplo abaixo:

Ex: Convertendo (35423)1498 para a base 1500, encontraremos como soma de seus

algarismos, na base dez, igual a: Solução:

3

5

4

2

3

-2

-6

2

-12

20

x 3 -1 6 -10 23

3

5

4

2

3

-2

-6

2

-12

20

x 3

-1

-6

6

14

-10

-40

23

3 -7 20 -50


3

5

4

2

3

-2

-6

2

-12

20

x 3

-1

-6

6

14

-10

-40

23

3

-7

-6

20

26

-50

3 -13 46

3

5

4

2

3

-2

-6

2

-12

20

x 3

-1

-6

6

14

-10

-40

23

3

-7

-6

20

26

-50

3

-13

-6

46

3 -19

(3 -19 46 -50 23)1500

Corrigindo os “algarismos”, teremos um número com “5 algarismos”:

(2 1481 46 1450 23)1500 A soma será 2 + 1481 + 46 + 1450 + 23 = 3.001

Imagine como seria a solução pela Resolução Direta ou Indireta.


Resolva as equações abaixo pelas Resoluções Direta, Indireta e pelo Método de

Horner:

1) (132)4 =x5

Resolução Indireta: (132)4 40x 2 + 4

1x 3 + 4

2 x 1 30

30 5

0 6 5

1 1

Resolução Direta:

132 5

7 1 2 5

2

10

0

6

1

1

Método de Horner:

4 – 5 = -1

1

3

2

-1

-1

-2

x 1 2

-1

0

1 1

2) (432)6 = x5

Resolução Indireta: 60x 2 + 6

1x 3 + 6

2 x 4 164

(110)5

(110)5

(110)5

Base 4 para base 5


164 5

14 32 5

4 2 6 5

1 1

Resolução Direta:

432 5

27 52 5

14

4

02

2

10

6

5

1 1

Método de Horner: 6 – 5 = 1

4

3

2

1

4

7

x 4 7

4

9

4 11

Comparando os sistemas de numeração decimal e romano, podemos afirmar que:

I- A base é dez em ambos; II- São posicionais; III- Possuem o Princípio Aditivo; IV- Possuem o Princípio Multiplicativo; V- Possuem um símbolo para o nada.

São verdadeiras:

a) II, III e IV b) I, II e III c) II, IV e V d) I, III, IV

(1124)5

(1124)5

(4 11 9)5 (1124)5


Preencha com (V) Verdadeiro ou (F) Falso as sentenças abaixo:

I- Entre as bases 6 e 8 teremos sempre a igualdade: 06 = 08, 16 = 18, 26 = 28, 36

= 38, 46 = 48, 56 = 58. ( V )

II- Todo numeral escrito em uma base ímpar com algarismos ímpares representa-

rá um número ímpar. ( F )

III- Sendo a, b, c e d algarismos, então: (0, a b c d)11 = . ( V )

IV- Se ab é um número com dois algarismos, podemos afirmar que ab = 3(a + b)

e possui três soluções. ( F )

V- Todo numeral escrito em uma base par com algarismos ímpares representará

um número par. ( F )

VI- Todo número inteiro positivo pode ser base de um sistema de numeração. (F)

VII- Numa base b, utilizam-se b algarismos diferentes para representar a todos os

números. ( V )

VIII- A decomposição em bloco de dois algarismos do número (abcde)n é abc x

n2 + cd. ( V ).

IX- É correta a igualdade (88888)12 = 2 x (44444)12 . ( V ).

TRANSPOSIÇÃO DE UM NÚMERO DECIMAL FRACIONÁRIO PARA UMA BA-

SE QUALQUER OU VICE-VERSA

Dízima Finita (nº decimal exato)

Base 10 Dízima Periódica Simples (nº decimal inexato)

Dízima Periódica Composta (nº decimal inexato)


I- TRANSPOSIÇÃO DE BASES RACIONAIS FRACIONÁRIAS

1º) Base qualquer para base 10 A base qualquer sendo uma dízima finita ou dízima periódica simples:

Ex1: (24,3)5 para base 10. (Uma casa após a vírgula)

Solução: 14,6

Ex2: (1,32)4 para base 10. (Duas casas após a vírgula)

Solução: 1,875

Ex3: (4,3333.....)6. para a base 10.

Solução: (4)6 + 4 + 0,6 = 4,6

Ex4: (11,12121212.....)4. para a base 10.

Solução: (11)6 + 7 + = 7 + 0,4 = 7,4

2º) Base 10 para base qualquer A base 10 sendo uma dízima finita:

Ex5: 32,5 para a base 8. (Uma casa decimal)

Solução: Dividimos em duas partes: Parte Inteira (dividimos pela base desejada) e

Parte Decimal (multiplicamos pela base desejada), veja:

PARTE INTEIRA:

32 8

40 0 4


PARTE APÓS A VÍRGULA:

1ª ordem: 0,5 x 8 = 4,0 algarismo 4

RESULTADO (40,4)8

Ex6: 8,25 para a base 6. (Duas casas decimais)

PARTE INTEIRA:


1ª ordem: 0,25 x 6 = 1,5 algarismo 1 (parte decimal 0,5 vai ser multiplicado

na próxima ordem)

2ª ordem: 0,5 x 6 = 3,0 algarismo 3

RESULTADO (12,13)6

1º) Base qualquer para base qualquer:

Ex5: (20,15151515.....)7. para a base 5.

Solução: (20)7 + 14 + = 14 + 0,25 = 14,25

PARTE INTEIRA:


1ª ordem: 0,25 x 5 = 1,25 algarismo 1 (parte decimal 0,25 vai ser multipli-

cado na próxima ordem)

2ª ordem: 0,25 x 5 = 1,25 algarismo 1 (vai continuar repetindo....)

RESULTADO (24,11111......)5

8 6

12 2 1

14 5

24 4 2


NÚMEROS POSITIVOS MENORES DO QUE 1(UM)

(0,abcde……………) k= …………….

NÚMERO EXATO:

NÚMERO

EXATO

CONVERSÃO PA-

RA FRAÇÃO

CONVERSÃO PARA BASE

DEZ

SISTEMA

DECIMAL

(0,4)7

(0,42)7

(0,421)5

(0,ab)n

(0,abc)n

NÚMERO INEXATO:

NÚMERO INEXATO CONVERSÃO

PARA FRAÇÃO

CONVERSÃO PARA

BASE DEZ

SISTEMA DE-

CIMAL

(0,4444......)7

(0,42424242......)7

(0,421421421........)5

(0,abababab......)n

(0,abcabcabcabc..........)n


Passar (0,36)8 para a base 10

Ex1.: (0,36)8= = = 0,46875

Outra solução:

(0,36)8= = = 0,46875

DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS POR BLOCO

Existem problemas que se apresentam com numerais com blocos de dois ou mais algarismos repetidos. Nestes casos, é importante realizarmos uma decomposição por blocos:

Ex1.: 4545 4.500 + (bloco)45 102x 45 + 45.

Ex2.: 201201 201000 + (bloco)201 103x 201 + 201.

Ex3.: 232323 102x 2323 + 23 ou 10

4x 23 + 2323.

Ex4.: (1414)6 62x (14)6 + (14)6.

Ex5.: (abcabcabc)5 53x (abc)5 + (abc)5.

COMENTÁRIO 5: A decomposição em blocos poderá ser feita independentemente da repetição dos algarismos:

35147 102x 351 + 47 ou 10

3x 35 + 147 ou 10

4x 3 + 5147.

(35147)8 82x (351)8 + (47)8 ou 8

3x (35)8 + (147)8 ou 8

4x (3)8 + (5147)8.

PROPRIEDADE NAS TRANSPOSIÇÕES DE BASES COM SUAS POTÊNCIAS

Nas transposições de números de bases com suas potências, a soma dos algarismos será maior quanto maior for a reunião do grupo de algaris-mos realizados da direita para a esquerda(expoente da base).

Ex1.: (abcabcabcabc)n Soma dos algarismos de n =

(bc)n + (ca)n + (ab)n + (bc)n + (ca)n + (ab)n =

(abc)n + (abc)n + (abc)n + (abc)n =

(cabc)n + (bcab)n + (abca)n =

< < < <...........


001. Transpor da base 10 para outra base qualquer menor que 10:

a) 20 para base 3(terciária):

Resp.: ________________________________________

b) 740 para a base 4(quaternária):

Resp.: _____________________________________________

c) 5105 para a base 5(quinária):

Resp.: _______________________________________________

d) 7 para a base 8(octal):

Resp.: _______________________________________________

e) 25 para a base 2(binária):

Resp.: ____________________________________________

f) 917

para a base 9:

Resp.: ___________________________________________

g) 34 para a base 7:

Resp.: _____________________________________________

002. Transpor da base 10 para outra base qualquer maior que 10, adotando os

seguintes símbolos, em função do aumento da base: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, A, B, C, D, E,..........

a) 2210 para a base 11:

Resp.: ________________________________________________

b) 36110 para a base 12:

Resp.: _______________________________________________

NÍVEL 1


c) 9 para a base 15:

Resp.: __________________________________________

d) 12 para a base 14:

Resp.: ___________________________________________

e) 136 para a base 13:

Resp.: ___________________________________________

003. Transpor de uma base qualquer menor que 10 para a base 10:

a) (2101)3 para a base 10:

Resp.: _________________________________________

b) (10012)5 para a base 10:

Resp.: ___________________________________________

c) (111)2 para a base 10:

Resp.: _________________________________________

d) 79 para a base 10:

Resp.: ___________________________________________

e) (35)4 para a base 10:

Resp.: ___________________________________________

f) (123)2 para a base 10:

Resp.: ____________________________________________

004. Transpor de uma base qualquer maior que 10 para a base 10,adotando os

seguintes símbolos, em função do aumento da base: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ,

, θ, Ω, ,, , α,.........:


a) (107)13 para a base 10:

Resp.: _______________________________________

b) (3)17 para a base 10:

Resp.: ___________________________________________

c) (4)14 para a base 10:

Resp.: ______________________________________________

d) 515 para base 10:

Resp.: ____________________________________________

e) ()12 para a base 10:

Resp.: ___________________________________________

f) ()16 para a base 10:

Resp.: ______________________________________________

005. Transpor de uma base qualquer para outra base qualquer, adotando os se-

guintes símbolos, caso haja o aumento da base: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, .....:

a) (234)5 para a base 8:

Resp.: __________________________________________

b) (1301)6 para a base 4:

Resp.: __________________________________________

c) (512) para a base 8:

Resp.: __________________________________________

d) (511) para a base 13:

Resp.: _________________________________________


e) (514) para a base 3:

Resp.: ____________________________________________

f) (57)4 para a base 12:

Resp.: ___________________________________________

g) (112)3 para a base 5:

Resp.: ______________________________________________

h) (1b4)13 para a base 6:

Resp.: ___________________________________________

i) (ca2)15 para a base 16:

Resp.: ___________________________________

j) (ca2)15 para a base 11:

Resp.: _________________________________________

k) (1 )3 para a base 9:

Resp.: ______________________________________

006. Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever na

base 5 de quatro algarismos é o:

Resp.: _________________________________________

007. Passando para o sistema decimal, o maior número que se pode escrever na

base 11 de dois algarismos é o:

Resp.: _________________________________________________

008. Passando para o sistema binário, o maior número que se pode escrever na

base 4 de três algarismos é o:

Resp.: __________________________________________________


009. Quantos números de dois algarismos existem na:

a) Base 10? ____________________________

b) Base 8? _____________________________

c) Base 12? ____________________________

010. Quantos números pares de dois algarismos existem na:

a) Base 10? _____________________________

b) Base 7?______________________________

c) Base 11? _____________________________

011.Quantos números de três algarismos existem na:

a) Base 10? ______________________________

b) Base 5?________________________________

c) Base 13? _______________________________

012.Quantos números ímpares de três algarismos existem na:

a) Base 10? __________________________________

b) Base 3? ____________________________________

c) Base 15? __________________________________

013. De 1 até 2.000, na base 10, quantos:

a) números existem? ________________________________

b) algarismos existem?________________________________

c) números pares existem? _____________________________

d) algarismos 1 aparecem na unidade? ___________________________

e) algarismos 1 aparecem na dezena? ____________________________

f) algarismos 1 aparecem na centena? ____________________________

g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? ___________________

h) algarismos 1 aparecem? _______________________________

i) números múltiplos de quatro aparecem? ______________________


j) algarismos 2 aparecem na unidade de milhar? ___________________

k) algarismos 3 aparecem na unidade de milhar? ______________________







f) algarismos 1 aparecem na centena? _____________________________

g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? _____________________



j) algarismos 3 aparecem na centena? _________________________

k) algarismos 3 aparecem na unidade de milhar? ____________________

l) algarismos 4 aparecem na centena? _____________________________

m) algarismos 4 aparecem na unidade de milhar? _______________________








g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? __________________




k) algarismos 3 aparecem na unidade de milhar? _________________

l) algarismos 4 aparecem na centena? _________________________


m) algarismos 4 aparecem na unidade de milhar? __________________







f) algarismos 1 aparecem na centena? ___________________________

g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? __________________




k) algarismos 7 aparecem na unidade de milhar? ___________________

l) algarismos 6 aparecem na centena? ___________________________

m) algarismos 6 aparecem na unidade de milhar? ____________________





d) algarismos 1 aparecem na unidade? _________________________



g) algarismos 1 aparecem na unidade de milhar? ____________________




k) algarismos 7 aparecem na unidade de milhar? ______________________

l) algarismos 6 aparecem na centena? ______________________________

m) algarismos 6 aparecem na unidade de milhar? ____________________



a) números existem? _____________________________

b) algarismos existem? ___________________________

c) números ímpares existem? _________________________

019. De 3005 até 2.0005, na base5, quantos:

a) números existem? _______________________________

b) algarismos existem? ____________________________

020. Quantos números existem:

a) de 22 inclusive até 222 inclusive? __________________________

b) de 22 exclusive até 222 inclusive? __________________________

c) de 22 inclusive até 222 exclusive? __________________________

d) de 22 até 222, ambos exclusives? ___________________________

e) entre 22 e 222? ________________________________________

021. Transpor os números abaixo da base 3 para a base 9:

a) (2222)3 : _______________________________________

b) (11111)3: _________________________

c) (1202011)3: __________________________

d) (202021121211220011012)3: _______________________________


a) (2222)9: __________________________________________

b) (1752)9: __________________________________________

c) (888)9: _____________________________________________

d) (1234456708)9: _______________________________________



a) (10100111)2: _____________________________

b) (100110111000)2: ____________________________

c) (11)2: ___________________________

d) (1000000000000)2: ___________________________


a) (777)8: ____________________________________

b) (11)8: _____________________________________

c) (24601357)8: _______________________________

d) (1000000)8: _______________________________________

025. Quantos números que se escrevem com três algarismos, simultaneamente,

nas bases:

a) 3 e 4? _____________________________________

b) 3 e 5? _____________________________________

c) 4 e 5? ______________________________________

d) 4 e 6? ______________________________________

e) 4 e 7? ________________________________

f) 4 e 8? ________________________________

g) 5, 6 e 7? _______________________________

026. Quantos tipos são necessários para numerar as 354 páginas de um livro?

Resp.:________________________________

027. Para numerar um livro, da página de menor número de dois dígitos distintos

até a de maior número de três dígitos exclusive, de quantos tipos precisamos?

Resp.:_______________________________


028. Qual é o menor número de dois algarismos significativos?

Resp.: _____________________________

029. Qual é o menor número de dois algarismos significativos e distintos?

Resp.: _____________________________

030. Qual é o maior número de três algarismos significativos?

Resp.: _____________________________

031. Qual é o maior número de três algarismos significativos e distintos?

Resp.: _____________________________

032. Na base octal, quantos números de 4(quatro) algarismos:

a) existem? _____________________________________

b) distintos existem? _______________________________

c) terminam no algarismo 3? _________________________________

d) distintos que terminam no algarismo 3? _____________________

e) ímpares existem? ________________________________________

f) distintos ímpares existem? _______________________________

g) pares existem? _________________________________________

h) distintos pares existem? ___________________________________

033. Quantos algarismos serão necessários para escrever os números inteiros de 1 até 8.736 exclusive?

Resp.: ____________________________

034. Quantos algarismos serão necessários para escrever a sucessão dos núme-ros inteiros de 23 até 4.297?

Resp.:_____________________________

035. Quantos algarismos são necessários para escrevermos os números naturais entre 42 e 2.976?

Resp.: _____________________________


036. Quantos algarismos serão utilizados para escrever do menor número de três

algarismos diferentes ao maior número de quatro algarismos significativos e distin-

tos?

Resp.:_______________________________

037. Quantos algarismos serão necessários para escrever todos os números intei-

ros de 425 exclusive a 722 exclusive?

Resp.:_______________________________

038. Quantos números pares há de 21 a 238?

Resp.: __________________________

039. Quantos números ímpares há de 211 a 1.476?

Resp.: _________________________

040. Quantos números pares há de 140 a 2.470?

Resp.: __________________________

041. Quantos números ímpares há de 230 a 3.124?

Resp.:__________________________

042. Quantos algarismos eu necessito para escrever os números ímpares de 122

a 1.717?

Resp.: __________________________

043. Quantos algarismos eu necessito para escrever os números pares de 203 a

4.298?

Resp.:__________________________

044. Quantos algarismos necessito para escrever os números ímpares de 300 a

1.740?

Resp.: __________________________


045. Escrevendo a sucessão dos números naturais a partir de 1, gastei 1.236 al-

garismos. Até que número escrevi?

Resp.: ______________________________

046. Escrevendo a sucessão dos números naturais a partir de 1, gastei 9.265 al-garismos. Qual foi o último número escrito?

Resp.: __________________________

047. Escrevendo a sucessão dos números naturais sem separar os algarismos,

qual o algarismo que irá ocupar o:

I- 1422º lugar: ________________________

II- 4137º lugar: ________________________

III- 50399º lugar: _______________________

048. Escrevi de 23 até um certo número e empreguei 1.507 algarismos. Quantos números e até que número eu escrevi?

Resp.:_________________________________

049. Gastei 613 algarismos para escrever de certo número até 1.021. Qual foi o

primeiro nº escrito?

Resp.: _______________________________

050. Gastei 16.151 algarismos para escrever de certo número até 4.376. Qual foi o

primeiro número escrito?

Resp.: ________________________________

051.Qual é o número, no sistema decimal, que transposto para dois outros siste-mas de numeração consecutivos se apresentam como a seguir?

a) (443) e (333): ___________________________________ b) (606)e (454): ____________________________________

c) (733) e (577): ___________________________________ 052. Qual é o número, no sistema decimal, que transposto para dois outros siste-mas de numeração pares consecutivos se apresentam como (234) e (136)?

Resp.: _______________________________________________


053. Qual o número que possui a seguinte decomposição polinomial abaixo? 3 x 5

4 + 2 x 5

2 + 1 x 5

a) (321)5 b) (3021)5 c) (30210)5 d) (3210)5 054. Convertendo para a base binária, o menor número de três algarismos:

a) na base 10 que seja capicua, encontraremos: _________________

b) na base 6 que seja capicua, encontraremos: ________________

c) distintos, na base 8, encontraremos: ______________________

055. Determinar a base do maior número de dez algarismos que é igual a

( )4:

Resp.: ___________________________________________________

056. Quantos algarismos teremos no resultado de 750

e 750

- 1, convertido para o

sistema de base 7?

Resp.: ___________________________________________________

057. O número (abc3)5, quando transformado para a base 7, apareceram três al-

garismos iguais. A soma dos algarismos a + b + c vale:

Resp.: ______________________________________________

058. Até que quantidade de páginas podemos numerar um livro que se utilizou do

dígito:

a) 5 por 200 vezes na numeração das páginas? _________________

b) 2 por 200 vezes na numeração das páginas? ___________________

c) 4 por 632 vezes na numeração das páginas?_____________________

059. Dos algarismos do nosso sistema de numeração, algumas gráficas tinham

restrições de produção diária com um certo algarismo, conforme descrito abaixo.

Até que número poderá fornecer por dia?


a) Gráfica ‘SEIMAT” restrição de setenta algarismos 4: __________________

b) Gráfica “GENI” restrição de sessenta algarismos 5: ___________________

c) Gráfica “TORPEDO” restrição de oitenta e dois algarismos 3: ________________

d) Gráfica “REQUENGUELA” restrição de noventa e um algarismos 1: ___________

060. Foram digitados três trabalhos de 150 páginas cada um, numeradas de 1 até

150. Três impressoras, conforme tabela a seguir, imprimiram todo o trabalho, mas

com uma certa impropriedade. Observe:

IMPRESSORAS TRABALHOS DEFEITOS

HG A Troca o algarismo 3 pelo 5 e vice-versa

HT B Troca o algarismo 4 pelo 7 e vice-versa

HB C Troca o algarismo 2 pelo 4 e vice-versa

Resolvidos os defeitos de cada impressora, reimprimiram somente as pá-

ginas defeituosas de cada trabalho, que foram:

a) HG = 54, HT = 55 e HB = 62;

b) HG = 62, HT = 55 e HB = 54;

c) HG = 55, HT = 54 e HB = 62;

d) HG = HT = HB = 54.

061. Determine o número de algarismos necessários para enumerarmos um livro

de:

a) 200 páginas, na base 6? _______________________________________

b) 250 páginas, na base 7?_______________________________________

c) 300 páginas, na base 8? ______________________________________

d) 330 páginas, na base 9? _______________________________________

062. De 34 a 693, qual é o inteiro que tem a sua direita:

a) o dobro da quantidade de inteiros que possui a sua esquerda? ___________

b) o triplo da quantidade de inteiros que possui a sua esquerda? ___________

c) o quádruplo da quantidade de inteiros que possui a sua esquerda? _________


063. O número α ø $ representa o número 51 escrito na base 5, então o número

35 escrito nesta mesma base ficará representado por:

Resp.: _____________________________________

064. O número Ω ∞ representa o número 52 na base 6, então o número 62 es-

crito nesta mesma base ficará representado por:

Resp.: _____________________________________

065. O número abcd representa o número 360 na base 7, então o número 756

escrito nesta mesma base ficará representado por:

Resp.: ______________________________

066. (ENCCEJA) O sistema de numeração que utilizamos hoje foi criado pelos

hindus e divulgado a outros povos pelos árabes, em suas viagens. Por isso, eleé

conhecido como indo-arábico. Uma das características desse sistema é o chama-

do princípio do valor posicional. Assim, na escrita 555, o algarismo 5 pode valer 5,

50 ou 500, dependendo de sua posição. Quando escrevemos 60.789, o “valor

posicional” do algarismo 6 é:

a) 60

b) 600

c) 6.000

d) 60.000

067. (OM/SP) No sistema decimal de numeração, um número tem 3 classes e 7

ordens. Então, esse número tem:

a) 3 algarismos

b) 7 algarismos

c) 10 algarismos

d) 9 algarismos

068. (CESCEA/SP) A diferença entre o maior número de 4 algarismos diferentes

e o menor número também de 4 algarismos diferentes é:

a) 8.642

b) 8.853

c) 8.999

d) 9.000


069. (IFRN) Assinale a alternativa que apresenta o número de algarismos utiliza-

dos para numerar as 180 páginas de um livro:

a) 417 algarismos

b) 427 algarismos

c) 432 algarismos

d) 451 algarismos

070. (UNICAMP) Um determinado ano da última década do século XX representa-

do, na base 10, pelo número abba e outro, da primeira década do século XXI,

representado, também na base 10, pelo número cddc.

a) Escreva esses dois números: _________________________________

b) A que século pertence o ano representado pela soma abba + cddc? ______

071. (OM/RN) Se o dígito 1 aparece 151 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas tem o livro?

Resp.: ______________________________________

072.(TTN) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da sequência que

representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da

base, em que o valor do expoente depende da posição do dígito na sequência.

Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza

apenas os dígitos 0 e 1 na anotação dos números. Por exemplo, o número que

corresponde a 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois

11(decimal) é igual a: (1 x 23) + (0 x 2

2) + (1x 2

1) + (1 x 2

0). Assim, o resultado,

expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será

igual a:

a) 16

b) 13

c) 14

d) 15

073. (CN) Se, ao efetuarmos o produto do número 13 por um número inteiro N de dois algarismos e, por engano, invertermos a ordem dos algarismos desse número N, o resultado poderá aumentar de: a) 130 b) 260 c) 65 d) 167


e) 234

074. (CMRJ) Determine o número constituído por três unidades simples, oito uni-

dades de quinta ordem, duas centenas simples e quinze unidades de terceira or-

dem:

a) 81.703

b) 80.353

c) 81.353

d) 80.703

075. (CMRJ) Determine qual o número formado de 14 centenas, meia unidade de

4ª ordem e 73 unidades simples:

a) 14.573

b) 15.473

c) 1.973

d) 683

076. (CMRJ) Ficou resolvido que, num loteamento, a numeração contínua dos

lotes teria início no número 34 e terminaria no número 576 e seria colocado um

poste de luz em frente a cada lote que tivesse o algarismo 7 na casa das unida-

des. Sabe-se que foram comprados 73 postes, assim sendo, podemos afirmar

que:

a) O número de postes comprados foi igual ao número de postes necessários; b) Sobraram 19 postes; c) O número correto de postes seria 52; d) Deveriam ser comprados mais 458 postes; e) Ficariam faltando 470 postes. 077. (CMRJ) Considere a soma dos cinco maiores números naturais menores que 500, cujos numerais são escritos com algarismos diferentes. A diferença entre o valor relativo e o valor absoluto do algarismo das dezenas nessa soma é:

a) 0 b) 54 c) 63 d) 72 e) 81

078. Dadas as afirmativas:


I- 520

é ( )5 ;

II- 620

– 1 é ( )6 ;

III- 720

+ 1 é ( )7 ;

IV- 820

+ 8 é ( )8 .

Marque a opção correta:

a) Todas são verdadeiras; b) Apenas uma é verdadeira; c) I e II são verdadeiras; d) I e III são verdadeiras; e) II e III são verdadeiras.

079. (CN) Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo N por outro número inteiro e positivo de dois algarismos, invertermos a ordem deste segundo número, o resultado fica aumentado de 207. A soma dos algarismos que constituem o nú-mero N dá:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

080. (CMRJ) Considere as seguintes condições:

1a) x Є 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2a) y Є 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

3a) z Є 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

4a) X XX

+ Y YY

X XX Z

Levando-se em conta as condições dadas, qual é o valor de X + Y + Z ?

a) 11 b) 10 c) 9 d) 8


e) 7 081. (CMRJ) Em um número de dois algarismos, troca-se o algarismo das deze-

nas com o das unidades. O número assim obtido tem 54 unidades as menos. Sa-

bendo que o máximo divisor comum entre os algarismos que formam o número

procurado é 2, podemos afirmar que este número é:

a) divisível por 31; b) primo; c) múltiplo de 41; d) múltiplo de 13; e) múltiplo de 17. 082. (CN) Um número natural de seis algarismos começa, à esquerda, pelo alga-rismo 1. Levando-se este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é: a) 100.006 b) Múltiplo de 11 c) Múltiplo de 4 d) Múltiplo de 180.000 e) Divisível por 5

083. (CMRJ/99) Um teatro possui 785 poltronas para acomodar os espectadores,

todas enumeradas de 1 a 785. Para enumerar as poltronas de numeração par são

necessários:

a) 785 algarismos b) 1.123 algarismos c) 2.245 algarismos d) 1.210 algarismos e) 2.355 algarismos 084. (CMRJ) Um numeral é escrito com 6 algarismos, sendo que o algarismo 1

ocupa a ordem das centenas de milhar. Se esse algarismo 1 for colocado à direita

dos outros 5 algarismos, o valor do numeral original fica multiplicado por três. A

diferença entre o maior e o menor dos números correspondentes a esses dois

numerais é:

a) 285.714 b) 342.857 c) 358.471 d) 374.853 e) 428.571


085. (CMRJ) Uma escola agrícola está participando do projeto de reflorestamento

de uma estrada. Ficou decidido que a escola ficaria encarregada de plantar mudas

de árvores no trecho compreendido entre os quilômetros 54 e 285, cabendo-lhe

plantar 50 mudas em cada quilômetro cuja numeração tivesse o algarismo 6 na

ordem das unidades. Para isso, foram preparadas 1.000 mudas de árvores. Assim

sendo, podemos afirmar que:

a) deveriam ser preparadas mais 150 mudas de árvores; b) sobrarão 150 mudas de árvores; c) seriam necessárias 1.200 mudas de árvores; d) seriam necessárias 1.600 mudas de árvores; e) o número de mudas de árvores preparadas é igual ao número de mudas que

serão plantadas.

086. (CMS) Nosso sistema de numeração é decimal, pois existem dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Os computadores utilizam um sistema de numeração biná-rio, ou seja, só utilizam dois símbolos: 0 e 1. Dessa forma, o primeiro número des-se sistema é 1, o segundo é 10, o terceiro é 11, o quarto é 100, e assim por dian-te. O número 10.000 do sistema binário corresponde, no sistema decimal, ao nú-mero:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18

087. (CN) Um livro de 200 páginas vai ser renumerado no sistema de numeração de base 8. O número na base 10 de algarismos que serão utilizados é:

a) 520 b) 525 c) 530 d) 535 e) 540

088. (CMS) Dado o número 256.184.309, quantas vezes o valor relativo do alga-rismo 8 é maior que seu valor absoluto?

a) 10 b) 100 c) 1.000 d) 80.000 e) 10.000

089. (CMB) Determine o quociente e o resto, respectivamente, da divisão entre a

quantidade de ordens e a quantidade de classes do número 9.876.543.210:


a) 3 e 1 b) 3 e 0 c) 1 e 2 d) 2 e 1 e) 2 e 2

090. (CN) Os números naturais M e N formados por dois algarismos não nulos. Se os algarismos de M são os mesmos algarismos de N, na ordem inversa, então M + N é necessariamente múltiplo de:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 11

091. (CMB) Marque a opção verdadeira no que tange ao número 1234567:

a) Possui 3 ordens; b) Possui 7 classes; c) O valor relativo do algarismo 2 é 200000; d) O valor absoluto do algarismo 5 é 500; e) A maior classe é a dos milhares.

092. (CMBH) Um artista foi contratado para numerar as 185 páginas de um álbum,

tendo sido combinado que o mesmo receberia R$ 2,00 por algarismo desenhado.

Ao final de seu trabalho, este artista recebeu:

a) R$ 894,00 b) R$ 890,00 c) R$ 370,00 d) R$ 445,00 e) R$ 447,00

093. (CMBH) Somando-se o antecessor de 108540 com o sucessor de 543299,

obtém-se um número cujo valor relativo do algarismo da 3ª ordem é:

a) 8 b) 80 c) 800 d) 8000 e) 80000

094. (CMBH) Carolina digitou um trabalho de 100 páginas, numeradas de 1 a 100,

e o imprimiu. Ao folhear o trabalho, percebeu que sua impressora estava com

defeito, pois estava trocando o 2 pelo 5 e o 5 pelo 2. Depois de resolver o proble-

ma, reimprimiu somente as páginas defeituosas, que eram, ao todo:


a) 18 b) 22 c) 32 d) 34 e) 36

095. (CN) Foram usados os números naturais de 26 até 575 inclusive para nume-

rar as casas de uma rua. Convencionou-se colocar uma lixeira na frente da casa

que tivesse 7 no seu número. Foram compradas 55 lixeiras, assim sendo, pode-

mos afirmar que:

a) o número de lixeiras compradas foi igual ao número de lixeiras necessárias; b) sobraram 2 lixeiras; c) o número de lixeiras compradas deveria ser 100; d) deveriam ser compradas mais 51 lixeiras; e) ficaram faltando 6 lixeiras.

096. Se (0,abababab.....)7 = (0,ba)8, os algarismos a e b valem:

Resp.: _________________________________

097. (CMS) Para numerar as páginas de um livro, necessitamos de 2001 algaris-

mos. O número de páginas deste livro é:

a) 700 b) 701 c) 702 d) 703 e) 704

098. (CMS) A quantidade de centos de laranja que há em 9682 laranjas é igual a:

a) 120 b) 60 c) 82 d) 96 e) 53

099. (CMF) Uma adição é composta de quatro parcelas. Se acrescentarmos 4 ao algarismo das unidades e 5 aos algarismos das dezenas de cada parcela, então a soma será aumentada de quanto?

a) 216 b) 54 c) 36 d) 9


100.(CN) Um número é composto de três algarismos, cuja soma é 18. O algarismo

das unidades é o dobro do das centenas e o das dezenas é a soma do das unida-

des e das centenas. Qual é o número?

Resp.: ____________________________________________

101. (CMSM) Os números 48.371 e 71.834 são formados pelos mesmos algaris-

mos. Ao determinarmos o maior e o menor número formado pelos cinco algaris-

mos (4, 8, 3, 7 e 1), sem repeti-los, qual algarismo ocupa a mesma posição?

a) 1 b) 3 c) 7 d) 4 e) 8

102. (CMB) Marcela possui uma grande quantidade de adesivos com os algaris-mos 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. No entanto, ela só dispõe de vinte e dois adesivos com o algarismo 2 e quinze adesivos com o algarismo 3. Até que número Marcela po-derá numerar as páginas do seu novo diário usando os adesivos dos algarismos que dispõe?

a) 119 b) 112 c) 62 d) 52 e) 43

103. (CMSM) Em um campeonato de ciclismo partiram mil trezentos e nove atle-

tas. Desses, cinco centenas e quatro dezenas desistiram no meio do percurso.

Quantos ciclistas completaram o percurso?

a) 1.255 b) 769 c) 850 d) 499 e) 985

104. (CMR) Paulo, ao efetuar a soma entre o maior número de 5 algarismos dife-

rentes e o menor número também de 5 algarismos diferentes, obteve o seguinte

resultado:

a) 67.023 b) 69.134 c) 108.999 d) 111.110 e) 153.086


105. (CMR) Subindo a escada e chegando assim ao 1º andar, as crianças encon-

traram uma operação escrita na parede, como o que segue:

Na operação acima, C, M e R são algarismos distintos. Então, o valor de

(C + M). R é:

a) 17 b) 18 c) 80 d) 81 e) 72 106. (CN) Determinar o número de algarismos necessários para escrever os nú-

meros ímpares de 5 a 175 inclusive:

Resp.: _______________________________________

107. (CMB) O número natural antecessor do algarismo das unidades do número que é o produto de 224.563.718 por 31.235.888.963.654 é igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 31 108. (CMC) Renata possui uma grande quantidade de adesivos com os algaris-mos 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, mas dispõe somente de dezenove adesivos com o algarismo 3. Até que número Renata poderá numerar as páginas de seu fichário, começando pela página 1, usando os adesivos de que dispõe?

a) 92 b) 83 c) 102 d) 93 e) 103

109. (CN) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)

2 – (ba)

2 = (cc)

2. O

valor de (a + b + c) é igual a:

a) 11

C C C C

M M M M

+ R R R R

M C C C R


b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

110. (CMPA) José deseja escrever todos os números ímpares maiores do que 10

e menores do que 1000. Ele só pode usar os algarismos 5, 6, 7, e 8; não podendo

repetir algarismos num mesmo número. Quantos números ele escreverá?

a) 20 b) 18 c) 12 d) 8 e) 6

111. (CMR) Rita sonhava em comprar muitos livros, pois ela adorava ler. O último

livro que ela leu era numerado começando da página 1 e foram utilizados 261

algarismos. A quantidade de páginas numeradas foi:

a) 123 b) 132 c) 237 d) 261 e) 321

112. (CN) Se tirarmos nove unidade de um número, encontraremos esse número

escrito em ordem inversa. Se dividirmos o primeiro número pela soma de seus

algarismos, encontraremos para quociente seis. Determine o primeiro número:

Resp.: __________________________________________

113. (CMCG) O produto de quatro números naturais resultou em 2.400, depois que multiplicamos o primeiro número por 2, multiplicamos o segundo número por 3, dividimos o terceiro número por 4 e dividimos o quarto número por 5. Antes dessas alterações, o valor do produto era de:

a) 80 b) 720 c) 800 d) 8.000

114. (CMC) Com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 7 podemos escrever números de cinco algarismos sem repetir os algarismos. Considere o maior número par e o menor número par escritos dessa maneira, utilizando apenas os algarismos acima lista-dos. A diferença entre eles é:

a) 51.750 b) 51.768


c) 51.585 d) 51.858

115. Seja o número 1010101 numa base x qualquer, podemos afirmar que:

I- a base desse número é dois;

II- a base pode ser três;

III- se a base for dois, o equivalente ao número dado na base dez é oitenta e dois;

IV- se a base for três, o equivalente ao número dado na base dois é 1100110100.

Em relação às afirmações acima, a opção correta:

a) I e II b) I e III c) II e III d) II e IV e) III e IV

116.Quantos algarismos eu utilizo para escrever de 15 até (1243)5?

a) 640 algarismos b) 440 algarismos c) 660 algarismos d) 460 algarismos e) 444 algarismos

117. Um instrutor do CIAA, ministrando uma aula sobre os sistemas de numeração

a uma turma de especialização, disse que no sistema de numeração de base qua-

tro, a contagem é feita do seguinte modo: 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30,

......... e assim por diante; então, o instrutor perguntou aos alunos qual das opções

abaixo é verdadeira em relação ao número quarenta e dois na base dez, quando

escrito na base quatro?

a) possui quatro algarismos iguais;

b) possui três algarismos iguais;

c) possui dois algarismos;

d) possui três algarismos distintos;

e) possui dois algarismos distintos.

118.(CN) Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2850. Quantas

vezes escreveu o algarismo 7?

Resp.: _____________________________________________


119.(CMPA) O produto (multiplicação) do antecessor do maior número natural par

com dois algarismos iguais, pelo sucessor do maior número natural ímpar com três

algarismos diferentes, será igual a:

a) 85.956 b) 97.902 c) 85.000 d) 86.856 e) 95.836

120. (CMPA) A diferença entre o maior número par de cinco algarismos diferentes

e o menor número ímpar de cinco algarismos diferentes é:

a) 88529 b) 78925 c) 77777 d) 88531 e) 97529 121. (CMPA) No sistema de numeração decimal, o numeral que representa cinco

unidades de bilhão mais duas centenas de milhão mais três dezenas corresponde

a:

a) 5.002.030 b) 5.200.030 c) 5.200.000.030 d) 5.002.000.003 e) 5.020.000.003 122. Achar um número de dois algarismos que seja igual a soma de todos os alga-

rismos do sistema decimal, menos os algarismos do próprio número:

Resp.: ________________________________________________

123. (CMPA) Colocando o algarismo zero entre os algarismos 4 e 9, no número

495, o valor relativo do algarismo 4, no novo número obtido, ficará:

a) aumentado de 400 centenas; b) diminuído de 36 centenas; c) aumentado de 3600 unidades; d) diminuído de 4000 unidades; e) aumentado de 1000 unidades.

124. (CN) Escrever, na base 8, o número que na base 10 se escreve 378:

Resp.: _____________________________________________


125. Passando o número (11100001011)2 para a base oito encontramos:

a) 3410 b) 3411 c) 3412 d) 3413 e) 3414

126. (CMF) A quantidade de dezenas de milhar que existem em 2/5 de um bilhão

é:

a) 40 b) 400 c) 4000 d) 40000 e) 400000

127.(EPCAR) Sejam os números inteiros MNPQ e NMPQ, onde M, N, P e Q são

algarismos distintos e diferentes de zero e N > M. Sobre a diferença (NMPQ –

MNPQ), pode-se afirmar que, necessariamente, será:

a) Ímpar b) Divisível por (M – N) c) Sempre negativa d) Par menor que 800

128.(CMF) Tenho um saco com 39 laranjas. A quantidade de laranjas que faltam

para completar 4 dúzias é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 129. (CMS) As cadeiras de um teatro foram devidamente numeradas a partir do número 1. No total, foram pintadas a quantidade de 5.889 algarismos. Determine a soma dos algarismos do número pintado na última cadeira: a) 20 b) 21 c) 29 d) 671

130. (CPII) As tecnologias atuais, além de tornar os equipamentos eletroeletrôni-cos mais leves e práticos, tem contribuído para evitar desperdício de energia. Por exemplo, o ENIAC (Eletronic Numerical Integratorand Computer) foi o primeiro computador eletrônico digital e entrou em funcionamento em fevereiro de 1946.


Sua memória permitia guardar apenas 200 bits, possuía milhares de válvulas e pesava 30 toneladas, ocupando um galpão imenso da Universidade da Pensilvâ-nia – EUA, consumia energia correspondente a de uma cidade pequena. O ENIAC utilizava o sistema numérico decimal, o que acarretou grande complexidade ao projeto de construção do computador, problema posteriormente resolvido pelo matemático húngaro John Von Neumann, que idealizou a utilização de recursos do sistema numérico binário, simplificando o projeto e a construção dos novos computadores. O sistema de numeração posicional e decimal, conhecido como base 10, utiliza dez algarismos (0 a 9) para representar números. Já o sistema de numera-ção posicional binário, conhecido como base 2, utiliza apenas dois algarismos (0 e 1) para representar números. Considere o número 10101101 escrito na base 2. Esse número corres-ponde, na base 10, ao número 1n3 em que n representa um algarismo desconhe-cido. Nessas condições, o algarismo n é: a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7

131. (CMCG) O número constituído por 4 unidades de 5ª ordem, 3 unidades de milhar, 8 centenas, 4 dezenas e 7 unidades de 1ª ordem é: a) 43847

b) 403847

c) 538407

d) 5384700

e) 53874

132. Sabendo-se que (0,512512512........)9 = (0,32323232.......)n, o valor de n é: Resp.: ____________________________________________ 133.(CMCG) Um livro tem 137 páginas. A quantidade de algarismos necessária para numerar todas as páginas deste livro foi de: a) 137

b) 274

c) 293

d) 303

e) 411


134. (CMM) O consecutivo do maior número formado por três algarismos distintos é:

a) 999

b) 988

c) 1.000

d) 987

e) 986

135. (CMM) três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, o maior é: a) ímpar;

b) múltiplo de 3;

c) quadrado perfeito;

d) divisor de 500;

e) divisível por 4.

136. (CMM) O número natural que é decomposto como 7 x 10.000 + 9 x 1.000 + 3 x 10 + 5, foi assinalado por Ivani como:

a) 7935

b) 79305

c) 79350

d) 79035

e) 79053

137. (CMC) Um grande hotel, com 100 quartos, está sendo construído na praia dos Amores. Os quartos serão numerados de 1 a 100, com algarismos de metal. Seu Geraldo foi encarregado de comprar os algarismos necessários. Quantos algarismos 7 seu Geraldo deverá encomendar?

a) 20

b) 10

c) 7

d) 17

e) 27

138. (UFMG) Considere-se o conjunto M de todos os números inteiros formados

por exatamente três algarismos iguais. Pode-se afirmar que n ϵ M é múltiplo de: a) 15 b) 7 c) 13 d) 17 e) 37


139. (UECE) De um número de dois algarismos, forma-se um novo de três alga-rismos, colocando “1” à direita do número original. O novo número é:

a) Dez vezes o número original, mais um; b) Cem vezes o número original, mais um; c) Cem vezes o número original; d) O número original, mais um. 140. Um número de 3 dígitos tem, da direita para esquerda, os dígitos c, b e a, sendo c > a. Quando o número com os dígitos em posição reversa é subtraído do número original, o dígito da unidade da diferença é 4. Então os dois dígitos seguin-tes, da direita para a esquerda, são: a) 5 e 9 b) 9 e 5 c) 5 e 4 d) 4 e 5

141. Considere um inteiro x e um inteiro y, este com dois algarismos. Justapondo-se o número y à direita do número x, encontramos um valor que excede em 248 unidades. Determine a soma x + y:

Resp.: __________________________________________________

142. A soma de todos os números inteiros positivos de dois algarismos que sejam iguais ao quádruplo da soma dos seus algarismos é:

Resp.: ___________________________________________________

143. Um estudante ao efetuar a multiplicação de 432 por certo número, obteve o número 16.416, por ter trocado, por engano, os algarismos das dezenas do multi-plicador, tomando 3 em vez de 7. Encontre o verdadeiro produto: (Lembre-se que no produto, a x b, o 1º fator “a” é o multiplicando, sendo o 2º, “b” o multiplicador)

Resp.: ____________________________________________________ 144. Um número é composto de dois algarismos, cuja soma é 9. Invertendo a or-dem dos algarismos, obtemos um novo número igual a 4/7 do original. Qual é o número?

Resp.: _____________________________________________________

145. Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos algaris-mos, obtém-se um número com 18 unidades menor do que o primeiro. Se o produ-to de seus algarismos é 8, determine o primeiro número:

Resp.: __________________________________________________


146. Um número é composto de dois algarismos dos quais o algarismo das unida-des é o triplo das dezenas. Se somarmos a esse número 18 unidades, obteremos o número escrito em forma inversa. Qual é o número?

Resp.: ________________________________________________________

147. Escrevendo a sucessão de números 0123456789101112.......... até n, utiliza-mos 2.053 algarismos. O último algarismo escrito foi o:

Resp.: _________________________________________________________ 148. Se o quadrado de um número de dois algarismos é diminuído do quadrado do mesmo número em ordem inversa, então o resultado nem sempre é divisível:

a) por nove;

b) por onze;

c) pela soma dos algarismos

d) pelo produto dos algarismos

e) pela diferença dos algarismos

149. Considere os números inteiros abc e bac, onde a, b e c são algarismos distin-tos e diferentes de zero, e a > b. A diferença abc – bac será sempre múltiplo de:

a) 4

b) 8

c) 9

d) 12

e) 20

150. Quantos sistemas de numeração o número 200 se escreve com três algaris-mos?

Resp.: __________________________________________________ 151. (CMRJ) Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo n por outro número

inteiro e positivo de dois algarismos, invertermos a ordem dos algarismos deste

segundo número, o resultado fica aumentado de 261. A soma dos algarismos que

constituem o número n será:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

152. (CMR) Um pintor recebeu R$ 65,35 do Colégio Militar do Recife para numerar

seguidamente de 48 em diante, inclusive, todas as cadeiras do auditório. Sabendo


1010 101 10 1

1011 110 11 100

1100 111 1000 1001

1101 1110 1111 ?

que esse serviço foi pago à razão de R$ 0,05 por algarismo, podemos afirmar que

o número de cadeiras trabalhadas é:

a) 453 b) 452 c) 1307 d) 1259 e) 1260

153. (CEFET/RJ) A tabela abaixo está escrito no sistema binário. Determine o último elemento que satisfaça à sequência:

Resp.: _____________________

154. (CMB) Um número tem dois algarismos, dividindo-os pela soma dos algaris-

mos resulta em 4. O produto dos algarismos adicionado a 52 é igual ao próprio

número escrito na ordem inversa. Qual é a diferença entre os algarismos deste

número?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

155.(CEFET) “O setor público registra déficit de R$ 33,091 bilhões em 1994”. Se x é igual ao número de zeros dessa quantia, desprezados os zeros dos centavos, então o número x escrito no sistema binário é: Resp.: ___________________________________

156. Usando lâmpadas elétricas, de modo que as que estiverem acesas ( ) re-

presentem o dígito binário 1, e as apagadas o dígito binário 0. (Veja a figura abai-

xo)

Determine o número correspondente na base 5: Resp.: _____________________________________________________


157. (CEFET)O número 27 está escrito no sistema de numeração decimal. Quan-do escrito no sistema de numeração cuja base é 4, representamo-lo por abc(4). Qual é a representação do número cba(4) no sistema decimal? Resp.: ____________________________________________________

158. Escrevi de 18 até (abc)8. Sabendo que gastei 485 algarismos, determine a soma dos algarismos a + b + c: Resp.: ____________________________________________________

159. Um número de quatro algarismos na base cinco é maior do que qualquer número de: a) Três algarismos na base quatro; b) Três algarismos na base seis; c) Quatro algarismos na base quatro; d) Quatro algarismos na base três; e) Dois algarismos na base doze.

160. No país do triângulo, os números 14 e 123 são escritos como indicados nas figuras A e B, respectivamente. Encontre o número representado pela figura C: Resp.: __________

161. Observe a igualdade: (ab)x = (cde)y . Sabendo-se que a, b, c, d e e são alga-rismos e x e y as bases de numeração, marque a opção correta: a) x < y b) x > c c) y < a d) y < d e) x < b 162. A soma de dois números inteiros e positivos, com dois algarismos cada um, é 58. Os quatro algarismos são distintos entre si. A soma desses quatro algarismos é: Resp.: ______________________________________________

1 1 2 4

3

2

5

3

Figura A Figura B Figura C


163. O quociente da divisão de um número N de dois algarismos pela soma de seus algarismos é 7. Qual é o número, se o dobro do algarismo das dezenas ex-cede de 3 o triplo das unidades? Resp.: _______________________________________________ 164. Um número N é escrito na base 7 utilizando dois dígitos. Ao escrevermos o número N na base 5, encontramos os mesmos dígitos, só que em ordem invertida. Escrevendo o número N na base 3, acharemos: Resp.: ________________________________________________ 165. Considere o número decimal x,y onde x e y são algarismos diferentes de

zero. Se esse número é igual a (x + y), ele está entre:

a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4

166. (CEFET) No País da Matemática, todos os números são escritos numa de-terminada base b. Sérgio, um de seus habitantes, compra um produto anunciado por 440 unidades monetárias, paga com uma nota de 1.000 unidades monetárias e recebe de troco 340 unidades monetárias. Determine a base b do País da Ma-temática: Resp.: ______________________________________________________ 167. Quantos são os números de dois algarismos que são iguais ao dobro do pro-duto de seus algarismos? Resp.: ______________________________________________________

168. Quantos números de dois algarismos que são iguais ao sêxtuplo do produto de seus algarismos? Resp.: _______________________________________________________

169. Determine o valor de x, sabendo-se que (xxxx)3 = 80 : Resp.: ___________________________________________________

170. Quantos números de dois algarismos diferentes de zero são maiores que o triplo do número que resulta da troca da posição de seus algarismos? Resp.: ____________________________________________________


171. Sejam A e B dois números de dois algarismos cada um e A B. Sabendo-se que cada um desses números é igual ao triplo do produto de seus algarismos, qual a razão entre A e B? Resp.: _____________________________________________________ 172. Os números a = 25 e b = 52 estão escritos em um sistema de numeração cuja base é diferente de 10. Se b é o dobro de a, então a base é: Resp.: ______________________________________________________ 173. Para que (37)a= (73)b, a menor base de numeração “a” será: Resp.: _______________________________________________________ 174. Após cair no chão, uma máquina de calcular passou a apresentar o resultado das contas em outra base de numeração. AO tentar utilizá-la foram os seguintes resultados:

3 x 5 = 17 6 x 5 = 36

Se for feita a conta 4 x 5, qual será o resultado?

Resp.: ____________________________________________ 175. A soma de dois algarismos de um número N é 9. Sendo N + 45 um outro número, escrito com os mesmos algarismos de N. O valor de N – 45 é:

Resp.: ______________________________________ 176. Sendo x e y < 10, quantos valores podem assumir x para que 43x=34y ?

Resp.: _______________________________________ 177. Sabendo-se que a, b e c são algarismos distintos e diferentes de zero, a equação aa + bb + cc = abc, ou seja, a soma de três números de dois algarismos cada um é igual a um número de três algarismos, só acontecerá quando a soma a + b + c for igual a:

Resp.: ___________________________________________ 178. Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Qual é o valor da soma dos algarismos x, y e z?

Resp.: ___________________________________________________


179. Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 re-sulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é:

Resp.: __________________________________________________

180. Um sistema de numeração consiste dos símbolos , e com regras: 1ª- Não podemos ter três ou mais símbolos repetidos;

2ª- Cada vale , cada vale .

Se tivéssemos a quantidade de 23 unidades de contagem (), a escrita desse sistema seria: Resp.: _______________________________________ 181. Seja o número inteiro ab, onde a e b são algarismos das dezenas e das uni-dades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos a e b, obtém-se um número que excede em 27 unidades. Se a + b é um quadrado perfeito, então o algarismo b é igual a:

Resp.: _______________________________________ 182. O professor Sérgio Lins, para trabalhar sistema de numeração na sala de aula, simula um motor de empacotamento de uma fábrica de lápis. Para isso, pede aos alunos que adotem o seguinte procedimento. Juntar todos os lápis que possu-em, colocar cada conjunto de cinco lápis em um estojo, reunir cada conjunto de cinco estojos em um pacote e acondicionar cada conjunto de cinco pacotes em uma caixa.

Num certo dia, ao final do exercício de simulação, estavam formados uma caixa, três estojos, dois pacotes e ainda sobraram quatro lápis. O total de lá-pis embalados pelos alunos, nesse dia, é igual a:

Resp.: _____________________________________ 183. Ivan escreveu, em ordem crescente, todos os números inteiros de 1 a 2002 e obteve um número enorme:

12345678910111213141516........................200020012002 Qual é o dígito central deste número? Resp.: ______________________________________


184. Numa base “x”, o maior número de quatro algarismos é representado por

(aaaa)x. Sendo “a” um algarismo e “x” um número natural maior do que 1, a ex-

pressão que representa este número na base decimal nossa é:

a) a(x3+ x

2 + x)

b) (x2+ 1).(x + 1).(x – 1)

c) a(x2+ x + 1)

d) a(x2+ 1).(x + 1).(x – 1)

e) x3+ x

2 + x +1

185.(Mag.Natal) Quando se escrevem os inteiros de 1 a 2.222, a quantidade de vezes que o algarismo zero é escrito é:

a) 1.000

b) 642

c) 600

d) 220

186. As páginas 13 e 80 estão na mesma folha (dupla) de um jornal. Quantas pá-

ginas possui o jornal? Quantas folhas?

Resp.: _______________________________________________

187. Na base dez, existem 10 números de um algarismo, 90 números de dois al-

garismos, 900 números de três algarismos, etc. Considere agora cada número

cujo último algarismo à direita representa o número de algarismos desse número.

Por exemplo: 8.104, pois o 4 é o número de seus algarismos; outro exemplo: 293,

porque o 3 é o número de seus algarismos. Quantos desses números, na base

dez, existem?

Resp.: ________________________________________________

188. Na base cinco, existem cinco números de um algarismo, 20 números de dois

algarismos, 100 números de três algarismos, etc. Considere agora cada número

NÍVEL 2


cujo último algarismo à direita representa o número de algarismos desse número.

Por exemplo: (32)5, pois o 2 é o número de seus algarismos; outro exemplo:

(203)5, porque o 3 é o número de seus algarismos. Quantos desses números, na

base cinco, existem?

Resp.: _________________________________________

189. Numerando os setenta capítulos de um livro em algarismos romanos, quantas

vezes a letra “I” precisa ser escrita?

Resp.: __________________________________________

190. Qual o número que possui a seguinte decomposição polinomial abaixo?

8 x 73 – 2 x 7

2 + 2 x 7

5 + 1 x 7

0 + 4 x 7

Resp.: __________________________________________

191. (CMB) Um calígrafo cobra, para numerar as páginas do original de uma obra.

A quantia de R$ 0,85 por cada algarismo que escreve. Para numerar uma obra,

desde a página 115 até a página 1.115, ele cobrará:

a) R$ 850,85

b) R$ 849,15

c) R$ 2.645,20

d) R$ 2.651,15

192. (UFMG) Sabe-se que:

1º) para escrever os números naturais de 1 a 11, são necessários 13 dígitos; e

2º) para escrever os números naturais de 1 a o número natural n, são necessários

1.341 dígitos.

Assim sendo, é correto afirmar que n é igual a: a) 448 b) 483 c) 484 d) 447

193. (CMPA) Ana escreveu, em ordem crescente, na parede de seu quarto, todos os números naturais de 1 a 100, que são múltiplos de 8 ou tem o algarismo 8. Quantos números ela escreveu? a) 31


b) 30 c) 29 d) 28 e) 27 194. Um gigante, com mais de 2.222 algarismos, foi obtido escrevendo por ordem crescente os números naturais cujo primeiro algarismo é 2. Observe: 22021222324...........200201202...... Qual foi o 2004º algarismo a ser escrito? a) 1 b) 2 c) 4 d) 9 e) 0 195. Seja AB e BA dois números de dois algarismos, se a média aritmética entre eles é 66, então o valor de A + B é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 196. (UECE) Se a, b e c são dígitos escolhidos, aleatoriamente, no conjunto 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, então o número de seis dígitos abcabc: a) possui pelo menos três fatores primos; b) possui somente dois fatores primos; c) não é múltiplo de três; d) não é divisível por 11. 197. (FUVEST) Determine os números naturais a, b e c, sabendo que 2040 = 8a + 48b + 384c, sendo a < 6 e b < 8: Resp.: _________________________________________ 198. (UNICAMP) Os números a = 2121 e b = 136 estão escritos nos sistemas de numeração de bases 3 e 7, respectivamente. Perguntamos: 1ª) Como se procede para descobrir qual desses números é o maior? Resp.: _____________________________________________ 2ª) Determine, então, o maior deles: Resp.: ______________________________________________


199. (IME) Calcule quantos números naturais de três algarismos distintos existem no sistema de base 7: Resp.: ______________________________________________ 200. Converta 12313210214 para a base 8: Resp.: ______________________________________________ 201. Determine a quantidade de algarismos que tem 64

7, quando convertido para

a base dois: Resp.: _______________________________________________ 202. O numeral 24321a ao ser convertido para a base a

3, a soma dos algarismos

ficou igual a 180. Determine a base a: Resp.: ________________________________________________ 203. Um numeral capicua de cinco algarismos na base 3, quando convertido para a base 9, obtém-se um numeral cuja soma dos algarismos vale 11. Determine a soma dos algarismos do numeral inicial, ou seja, na base 3: Resp.: ________________________________________________ 204. Quantos numerais da forma (ababab........ab)9 com 100 algarismos existem, tal que ao ser multiplicado por (23)9, resulta em nove vezes o numeral acima, mas escrito em ordem inversa, ou seja, (bababa........ba)9 com 100 algarismos tam-bém? Resp.: __________________________________________________ 205. Sabendo-se que o numeral (aaaa)n equivale a 78 vezes (n + 1), determine o valor da soma de a + n: Resp.: ________________________________________________ 206. Com os algarismos de um numeral N de três algarismos, na base 6, formam-se todos os possíveis numerais de dois algarismos diferentes, também na base 6. Sabendo-se que N é igual a soma de todos esses numerais de dois algarismos possíveis, determine a soma dos algarismos de N: Resp.: __________________________________________________


207. Se o número 24110, quando convertido em duas bases de numeração conse-cutivas obtém-se os números 361 e 287, o valor da soma desses dois sistemas de numeração consecutivos é: Resp.: ____________________________________________________ 208. Um número da forma (abab)5 é igual a um outro número de três algarismos iguais, na base 9. Além disso, os algarismos iguais da base 9 é um dos dois alga-rismos, a ou b, da base 5. Esse número, na base 9, poderá ser: a) (111)9 b) (222)9 c) (333)9 d) (555)9 209. Um dado foi lançado cinco vezes. O professor Iury montou uma equação com base nos cinco números sorteados no dado. Multiplicou por sete o primeiro número sorteado e somou com o segundo número sorteado. Do resultado, ele multiplicou por sete e somou com o terceiro número sorteado. Desse novo resultado, ele multiplicou por sete e somou com o quarto número sorteado. Por fim, desse novo resultado, ele multiplicou por sete e somou com o quinto número sorteado, igualando ao número 4.231. Diante das informa-ções dadas, determine o valor do segundo número sorteado: Resp.: ________________________________________________ 210. Expressando o numeral (212113)n nas bases n

2 e n

3, descobriu-se que a

soma dos algarismos do numeral, na base n3, era o triplo da soma dos algarismos

do numeral, na base n2. Determine n:

Resp.: _____________________________________________ 211.Convertendo a soma abaixo, para uma base de numeração, que produza a

maior quantidade de algarismos possível, a soma destes algarismos será igual a:

(124)5 + (345)7

Resp.: ________________________________________________

212. (CN) O cubo de 12b é 1750b. A base de numeração é:

a) primo b) ímpar e não primo c) par menor que 5 d) par entre 5 e 17 e) par maior que 17


213. Se (abab)n = 221, determine o valor da base n: Resp.: ________________________________________________ 214. (CN) Considere um sistema de numeração, que usa os algarismos indo-arábicos e o valor posicional do algarismo no numeral, mas numera as ordens da esquerda para a direita. Por exemplo: no número 3452 tem-se:

1ª ordem: 3 2ª ordem: 4 3ª ordem: 5 4ª ordem: 2

Além disso, cada 7 unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem registrada imediatamente à direita. Com base nesse sistema, coloque (E) quando a operação for efetuada erradamente e (C) quando efetuada correta-mente. Lendo o resultado final da esquerda para a direita, encontramos:

245 620 360

- 461 + 555 x 4

543 416 543

( ) ( ) ( )

a) E, E, E b) E, C, C c) C, E, C d) C, C, E e) C, C, C 215. (CN) Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1.

O novo número, de seis algarismos, que se obtém transpondo o algarismo 1 para

a direita é o triplo do número primitivo. Calcular o número primitivo.

Resp.: _______________________________________________

216. (IME) Seja N um número inteiro de 5 algarismos. O número P é construído

agregando-se o algarismo 1 à direita de N e o número Q é construído agregando-

se o algarismo 1 à esquerda de N. Sabendo-se que P é o triplo de Q, o algarismo

das centenas do número N é:

Resp.: _______________________________________________


217. (CN) O número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de

numeração o número dado é escrito com três algarismos?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 218.(CMB) Um número de três algarismos é tal que a soma dos valores absolutos

desses algarismos é 12 e o algarismo das unidades é 5. Se o algarismo das uni-

dades for colocado no lugar das centenas, o algarismo das centenas for colocado

no lugar das dezenas e o algarismo das dezenas for colocado no lugar das unida-

des, o número diminui 54 unidades. Qual é esse número?

a) 615 b) 435 c) 345 d) 255 e) 165

219. (CMCG) Quantos números racionais da forma , sendo k um número natu-

ral, existem entre 1 e 100, excluindo os números 1 e 100?

a) 1680 b) 1681 c) 1682 d) 1683 e) 1684 220. (CMBH) Considere um número N de dois algarismos, ab, e o número obtido

após inverter a ordem destes algarismos, ba. Se efetuarmos a subtração ab – ba

obtemos como resultado um cubo perfeito positivo. Assim, podemos afirmar que:

a) N não pode terminar em 5; b) N pode terminar em qualquer algarismo, exceto 5; c) N não existe; d) Há exatamente 7 valores para N; e) Há exatamente 10 valores para N. 221. (CMR) A soma dos três algarismos de um numeral é 19. O algarismo das

dezenas é o quádruplo do algarismo das centenas e o algarismo das unidades é o

consecutivo das dezenas. A raiz quadrada desse numeral é igual a:

a) 13


b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 222. Dado dois números ímpares p e q, com p > q, a quantidade de números pa-res entre eles é sempre:

a)

b)

c)

d) 223. A soma S de dois números consecutivos de dois algarismos cada um é igual ao número que se obtém pela permutação dos algarismos do maior número. A soma dos algarismos de S é: Resp.: ____________________________________________________ 224. Ao somar várias parcelas com uma máquina de calcular, cometi um erro para menos de 36 unidades. Conferindo as contas, verifiquei que havia feito uma inver-são ao escrever uma das parcelas. Sabendo que um dos algarismos invertidos é o triplo do outro, podemos afirmar que o algarismo das dezenas do número que foi invertido é: Resp.: _________________________________________________ 225. Um número cujo último algarismo à direita representa o número de algaris-mos desse número é o 9.074, pois 4 é o número de seus algarismos, assim como os números 52 e 375.266. Quantos números desse tipo existem? Resp.: ________________________________________________ 226. A diferença entre dois números inteiros e positivos é 20. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante cometeu um engano, tendo diminuído em 5 unidades o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 40 como quociente e 19 como resto. A soma dos algarismos do menor número é: Resp.: ________________________________________________


227. O numeral 47 na base a representa o mesmo que 74 na base b. O menor

valor possível para a + b é:

Resp.: __________________________________________________

228. As entradas de um circo são numeradas com 4 algarismos, assim: 0001 –

0002 – 0003 - ....... até 2000. Quantos zeros inúteis há na numeração dessas en-

tradas?

Resp.: ______________________________________________

229. Nas divisões a seguir N = ab e P = ba são números naturais formados pelos algarismos a e b. Então N – P vale: Resp.: _____________________ 230. Escrevemos todos os números ímpares a partir do 2003 até 3003 sem sepa-rar: 200320052007.....30013003. Qual o algarismo que ocupará o 2004º lugar? Resp.: _________________________________________________

231. A soma de todos os números de três algarismos tais que ao dividirmos cada um deles pelo número obtido ao permutarmos o primeiro e o último algarismo ob-temos quocientes 3 e a soma dos algarismos dos números originais como resto é igual a: Resp.: _______________________________________________

232. Se um número de dois dígitos é cinco vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por: Resp.: ________________________________________________ 233. Achar um número de dois algarismos tal que o algarismo das dezenas seja o triplo das unidades, e que subtraindo ao número 12 unidades, o resto seja igual ao quadrado do algarismo das dezenas: Resp.: _________________________________________________ 234. Um número natural N tem três algarismos, todos não-nulos. A soma dos três algarismos de N é igual a 12 e o quadrado de um desses algarismos é igual à soma dos outros dois. Assinale a única afirmativa falsa em relação a essa situa-ção: a) N é sempre múltiplo de três;

N a + b

8 6

P a – b

2 15


b) O produto dos três algarismos de N sempre menor que 56; c) Três é sempre um dos algarismos de N; d) Existem 21 valores possíveis para N. 235. Chamamos de números capicuas àqueles que são lidos da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, da mesma forma. Por exemplo: 404, 1221,3553, ........ Os números capicuas de quatro algarismos, tomando como base para o sistema de numeração a base b, será sempre múltiplo de: a) b b) b + 1 c) b – 1 d) onze 236. A soma dos três algarismos de um número é 11; o algarismo das centenas é o dobro das unidades. A raiz quadrada do número escrito em ordem inversa au-mentado de 2, é igual ao quádruplo do algarismo das centenas do número dado inicialmente. Calcule este número: Resp.: ______________________________________ 237. Paulo André escreveu todos os números de três algarismos com as seguintes propriedades: Cada número consiste de três algarismos distintos e o algarismo das unidades é o quadrado do quociente do algarismo das dezenas pelo algaris-mo das centenas. Quantos números Paulo André escreveu? Resp.: ___________________________________________ 238. Achar um número de três algarismos significativos, na base decimal, sabendo que ao convertermos este número para a base sete, encontraremos um número, também, de três algarismos, que posicionalmente possui uma correspondência com aqueles algarismos, ou seja, o algarismo da direita da base sete é o dobro do algarismo da direita da base 10; o algarismo da esquerda da base sete é o dobro do algarismo da esquerda da base dez e, por fim, o algarismo do meio da base sete é o dobro do algarismo do meio da base dez: Resp.: __________________________________________ 239. Um certo número de três algarismos no sistema decimal aumenta de 36 uni-dades se invertermos a posição dos dois algarismos da direita e diminui de 270 unidades se invertermos os dois algarismos da esquerda do referido número. O que acontece ao número se invertermos os dois algarismos dos extremos? Resp.: ____________________________________________


240. Calcule quantos números podem assumir o valor de N, sendo N um número de três algarismos que é igual a sete vezes um número de dois algarismos obtido quando apagamos algum dos algarismos de N: Resp.: ____________________________________ 241. Determine a representação de M= (14654)b na base b + 1: Resp.: ________________________________________ 242. Determine quantos inteiros positivos N de três dígitos tais que a adição de N com a soma dos seus dígitos sejam divisíveis por 11: Resp.: _________________________________________________ 243. Seja N um número de quatro algarismos. Sabe-se que a soma dos quadrados dos algarismos extremos é igual a 13; a soma dos quadrados dos algarismos do meio é 85; e, ao se subtrair 1.089 de N, o resultado é um número que possui os mesmos algarismos de N, mas em ordem contrária. O produto dos algarismos de N vale: Resp.: _________________________________________________________ 244. Se um número inteiro de dois dígitos é k vezes a soma de seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicado por: a) (9 – k) b) (10 – k) c) (11- k) d) (k – 1)

245. Sabendo-se que a quantidade de algarismos escritos de 320 até x é a mes-ma que a quantidade de algarismos escritos de 1.100 até y. Sendo esta contagem progressiva e que x é um número de três algarismos e y, de quatro algarismos que somados vale 1.635, calcule o valor de y: Resp.: ___________________________________________________ 246. Enumerando-se as últimas 272 páginas de um livro, utilizou-se de 841 alga-rismos. Quantas vezes apareceu o algarismo 2 no total? Resp.: __________________________________________________ 247. Considere um sistema de numeração na base 9, ou seja, um sistema posici-onal em que cada ordem é ocupada apenas por um algarismo de 0 a 8. Por exemplo, o número (XYZ)9, onde X, Y e Z são algarismos dessa base, representa


o número 92. X + 9. Y + Z na base dez usual. Nas perguntas a seguir, A, B, C, e D

são algarismos desse sistema de numeração: a) É possível decidir se o número (AB1)9 é par? Justifique. Resp: _________________________________________________ b) Se C + D = 5, é possível decidir se (CD3)9 é par? Justifique. Resp.: __________________________________________________ 248. O preço de um carro usado é mostrado, em reais, em quatro cartões sobre o para-brisa. Cada cartão mostra um dígito. Se o cartão com o dígito do milhar voar com o vento, o preço mostrado será 49 vezes menor que o original. Qual o número no cartão do milhar? Resp.: ______________________________________________ 249. Um número natural de três algarismos inicia-se com 6. Se esse primeiro alga-rismo for colocado depois dos outros dois, o dobro do novo número formado terá 75 unidades a menos que o original. A soma desses três algarismos é: Resp.: ________________________________________ 250. Um número capicua de 5 algarismos, na base 4, quando escrito na base 16, obtém-se um número cuja soma dos algarismos é igual a 16. Determine a soma dos algarismos do número capicua da base 4: Resp.: _________________________________________________ 251. Foram arrancadas 5 folhas seguidas de um livro com 1005 folhas. As folhas remanescentes possuíam, na contagem das páginas, 6906 algarismos. Determine a primeira página arrancada deste livro: Resp.: _________________________________________________ 252. Existem dois números com as seguintes características:

Possuem três algarismos significativos e distintos, podendo obter três números de dois algarismos cada um suprimindo o algarismo das centenas, das dezenas e das unidades.

A soma destes três números é a metade do número de três algarismos inicial. O MDC dos dois únicos números com tais características é: Resp.: _______________________________________


253. O número ( 27 escrito no sistema de numeração de base 9,

teremos como a soma de seus algarismos igual a: Resp.: _________________________________________

254O número ( )4 escrito no sistema de numeração de base 8, tere-

mos como a soma de seus algarismos igual a: Resp.: ______________________________________ 255. Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1? Resp.: ___________________________________________ 256. Um motorista viaja a uma velocidade constante e passa por um marco (em km) contendo dois algarismos. Uma hora depois passa por outro marco, contendo os dois algarismos na ordem inversa. Uma hora depois, passa por um terceiro marco, contendo os mesmos algarismos separados por um zero. Qual é a sua velocidade? Resp.: ________________________________________ 257. No Jardim dos Números, os algarismos * e ! passeavam a uma velocidade constante. Às 14 horas já tinham percorrido *! metros e às 14 horas e 42 minutos, !* metros e às 15 horas, *0! metros. Sabendo que o número *0! O algarismo das dezenas é zero, mas o das centenas não, a que horas começou o passeio? Resp.: _______________________ 258. O número (3002012001)n escrito na base n

3, obtém-se um número cuja soma

dos algarismos é igual a 13. Determine n: Resp.: _____________________________________ 259. Um número N possui três algarismos na sua representação na base 7. Quan-do representamos na base 9, os algarismos são os mesmos da representação na base 7 só que invertidos. Qual é a representação de N na base 10? Resp.: _____________________________________ 260. Sendo a, b e c três algarismos distintos pertencentes aos três números abai-xo: I- A = (abc)3 II- B = (abc)4


III- C = (abc)5

Os valores de 3A, 4B e 5C podem ser: a) (abcc)3 ; (abcb)4 e (abca)5 b) (abca)3 ; (abca)4 e (abca)5 c) (abcb)3 ; (abcb)4 e (abcb)5 d) (abcc)3 ; (abcc)4 e (abcb)5

261. Dois operários vão pintar os números dos armários de uma escola. Enquanto o mais velho dos pintores pinta cinco algarismos, o mais novo só consegue pintar quatro algarismos. O pintor mais novo começou pelos números mais baixo 1, 2, 3, 4, ........ O pintor mais velho começou pelo último armário, que possui três algaris-mos, e foi pintando em ordem decrescente, até encontrar seu colega. No final, duas coincidências se verificaram: 1ª) Os dois pintores acabaram, ao mesmo tempo, cada um em seu armário; 2ª) Os dois pintaram o mesmo número de armários. Quantos armários há na escola? Resp.: ____________________________________

262. Se, na base 3, a representação decimal de um número N é igual a 12112211122211112222, o primeiro algarismo (à esquerda) do número N quando escrito na base 9 é igual a: Resp.: _______________________________________

263. Dois irmãos escrevem as suas idades, uma a seguir à outra, e obtém um número com 4 algarismos que é exatamente o quadrado da idade do seu pai. No-ve anos mais tarde voltam a escrever as suas idades, pela mesma ordem, obtendo novamente um número de 4 algarismos que é o quadrado da idade do seu pai. Qual é a diferença de idade entre os dois irmãos? Resp.: __________________________________________ 264. A República do SEIMAT criou um novo sistema de numeração que acrescen-ta três novos símbolos à nossa escala decimal. Dessa forma, seu sistema de nu-meração ficou:

NOSSO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

SEIMAT 0 1 2 3 X 4 5 Y 6 7 8 Z 9 10 11 12

Sabendo-se que o nosso número 20 é representado por 1Y, e o número 100 é representado por Y7, o valor do quadrado de 1X, na notação do SEIMAT, é: Resp.: ____________________________________


265. Sabe-se que o número 2

57.885.161 – 1 é um número primo com 17.425.170

algarismos. Quando escrito na base 8 o seu primeiro algarismo contado da es-querda para a direita é igual a: Resp.: ___________________________________ 266. Considere os números abaixo, dados na base 2:

N1= (1a101a201)2 N2= (1a3011a4)2 N3= (111a50a61)2

Sabendo que N1 + N2= N3, obtém-se então que o número N= (1a6 a3 a4 a2

a5 a1)2 escrito na base 10 é: Resp.: ____________________________________ 267. Um programador precisa criar um sistema que possa representar, utilizando apenas sete dígitos, todos os números naturais que usam até 14 dígitos na base 10. Sua ideia é substituir o sistema de numeração de base 10 por um sistema de base b (ele tem como criar símbolos para os algarismos de 0 até b – 1 ).

Exemplo: 00124953318622 número x na base 10, daí número x na base b. Qual o menor valor aceitável para a base b? Resp.: ______________________________________ 268. Quantos números naturais de 4 algarismos, escrito na base 10, que são iguais ao cubo da soma de seus algarismos? Resp.: _____________________________________________ 269. Se o produto (2

2013 + 1).(2

2012 – 1) é escrito na base 2. O número de zeros no

resultado é igual a: Resp.: ___________________________________________ 270. Se nós escrevermos de 1 até n, sendo n um número de: a) 2 algarismos(ab), teremos a seguinte expressão: Solução:

QUANTIDADE 1 até 9 10 até ab 1 até ab RESULTADO

Números 9 (ab – 10 + 1)= ab – 9 (ab – 1 + 1) ab

Algarismos 9 x 1 = 9 (ab – 10 +1) x 2 (ab – 9)x 2 + 9 2ab – 18 + 9


Desenvolvendo o resultado acima:

2ab – 18 + 9 2ab – 9 Utilizando o artifício de somar duas unidades tanto no minuendo quanto no subtraendo, encontraremos:

(2ab + 2) – (9 + 2) (ab + 1)x 2 – 11

b) 3 algarismos (abc), teremos a seguinte expressão (pratique): Solução:

QUANTIDADE 1 até 9 10 até 99 100 até abc 1 até abc RESULTADO

Números

Algarismos

Desenvolvendo o resultado acima:

Utilizando o artifício de somar três unidades tanto no minuendo quanto no subtraendo, encontraremos: 271. Em que sistema de numeração, a quantidade de números de três algarismos que se utilizam somente um algarismo 2(dois), excede em 35 a quantidade de números de três algarismos que se utilizam somente o algarismo 0(zero)? Resp.: _______________________________ 272. Se um número N, que está escrito na base “a”, convertermos para o sistema de base a

4, obtém-se um número cujo símbolo que está na 2ª ordem representa a

quantidade 32. Achar o valor de “a”: (21033301121221)a

Resp.: _______________________________ 273. O maior numeral de três algarismos diferentes numa certa base de numera-ção “n”, escreve-se na base 6(seis) como (313)6. Determine esta base “n”: Resp.: _______________________________ 274. Um certo número de três algarismos no sistema decimal aumenta de 45 unidades se invertermos a posição do algarismo das unidades com a das dezenas


e diminui de 270 unidades se invertermos os algarismo das dezenas com os das centenas do referido número. O que acontece ao número se invertermos os dois algarismos dos extremos? a) Aumenta em 162; b) Diminui em 162; c) Aumenta em 189; d) Diminui em 198; e) Aumenta em 198. 275. Se abcd = 2 x ab x cd, achar a soma de a + b + c + d: Resp.; _______________________________ 276. Quantos números de dois algarismos são iguais a K vezes o produto de seus

algarismos (k )? Resp.: ____________________________________________________________ 277. Se um número possui 6 algarismos no sistema de base três. Quantos alga-rismos terá no sistema de base onze? Resp.: ________________________________ 278. Sendo os seguintes numerais (n32q)m ; (p21)n ; (n3m)6 e (1211)p, calcule o valor máximo da soma m + n + p + q, sabendo que m ≠ n ≠ p ≠ q: Resp.: _________________________________ 279. Determine a base de numeração que tenha como seu maior número de 20 algarismos equivalendo a:

Resp.: ______________________________ 280. Observando o número N abaixo, que valor devemos substituir em “a”, para que a conversão do número N para a base decimal termine em zero?

N = ( a)6

Resp.: _____________________________

281. Quantas páginas possui um livro, sabendo-se que a numeração das suas 365 últimas páginas se utilizaram 1.340 tipos?

Resp.: ______________________________


282. Ao escrevermos a seguinte sequência: 11; 2

2; 3

3; 4

4; 5

5; 6

6;................;

(abc)abc

, onde a, b e c são algarismos, empregamos 522 algarismos. Determine o valor da soma a + b + c:

Resp.: ______________________________

283. Em que sistema de numeração existem:

a) Vinte números capicuas de três algarismos?

Resp.: ________________________________

b) Quarenta e dois números de quatro algarismos?

Resp.: _________________________________

c) Cento e oitenta números capicuas de cinco algarismos?

Resp.: _________________________________

284. Sabendo-se que para enumerar a quarta parte da quantidade de páginas de um livro, empregaram-se 342 algarismos. Quantos algarismos empregar-se-iam para enumerar todo o livro?

Resp.: __________________________________

285. Na numeração de 5ab páginas de um livro, utilizou-se 15ab algarismos. Sen-do a e b algarismos do sistema decimal, determine a sua soma:

Resp.: ____________________________________

286. Perguntaram a um homem de 59 anos, quais as idades de seus filhos. Ele respondeu: “A idade de um deles é igual a três vezes a soma dos algarismos de sua idade, mais 1(um), e a idade de cada um dos outros é igual a três vezes a soma dos algarismos de cada filho, mais 3(três). Quantos filhos tem o homem e quais suas idades?

Resp.: ________________________________________


001. a) 202

b) 23.210

c) 130.410

d) 7

e) 100.000

f) 100.000.000.000.000.000

g) 144

002. a) 172A

b) 19A92

c) 9

d) C

e) 1.000.000

003. a) 64

b) 632

c) 7

d) 7

e) 81

f) 25

004. a) 176

b) 258

c) 67

d) 5

e) 10

f) 10

005. a) 105

b) 11.011

c) 5

d) 5

e) 12

f) 441

g) 102

h) 1.244

i) b24

j) 2.163

k) (1 )

006. 624

007. 120

008. 111.111

009. a) 90

b) 56

c) 132

010. a) 45

b) 21

c) 55

011. a) 900

b) 100

c) 2.028

012. a) 450

b) 9

c) 1.575

013. a) 2.000

b) 6.893

c) 1.000

d) 200

e) 200

f) 200

g) 1.000

h) 1.600

i) 500

j) 1

k) zero

014. a) 4.300

b) 16.093

c) 2.150

d) 430

e) 430

f) 500

g) 1.000

h) 2.360

i) 1.075

j) 500

k) 1.000

l) 400

m) 301

015. a) 4.500

b) 16.893

c) 2.250

d) 450

NÍVEL 1

GABARITO

ARITMÉTICA EXAUSTIVA


e) 450

f) 500

g) 1.000

h) 2.400

i) 1.125

j) 500

k) 1.000

l) 500

m) 501

016. a) 7.777

b) 30.001

c) 3.888

d) 778

e) 780

f) 800

g) 1.000

h) 3.358

i) 1.944

j) 78

k) 778

l) 800

m) 1.000

017. a) 7.378

b) 28.912

c) 3.689

d) 738

e) 740

f) 700

g) 1.000

h) 3.178

i) 1.845

j) 78

k) 778

l) 800

m) 1.000

018. a) 432

b) 1.473

c) 216

019. a) 176

b) 674

020. a) 201

b) 200

c) 200

d) 199

e) 199

021. a) 88

b) 144

c) 1.664

d) 22.247.756.135

022. a) 2.020.202

b) 10.211.202

c) 222.222

d) 1.021.011.111.220.210.022

023. a) 247

b) 4.670

c) 3

d) 10.000

024. a) 111.111.111

b) 1.001

c) 10.100.110.000.001.011.101.111

d) 1.000.000.000.000.000.000

025. a) 11

b) 2

c) 39

d) 28

e) 15

f) NENHUM

g) 76

026. 954

027. 2.877

028. 11

029. 12

030. 999

031. 987

032. a) 3.584

b) 1.470

c) 448

d) 180

e) 1.792

f) 720



g) 1.792

h) 750

033. 33.833

034. 16.046

035. 10.718

036. 38.202

037. 891

038. 109

039. 633

040. 1.166

041. 1.447

042. 2.753

043. 7.794

044. 2.530

045. 448

046. 2.595

047. I- 4.581

II- 15.441

III- 240.889

048. 528 nos

e 551

049. 825

050. 119

051. a) 171

b) 300

c) 475

052. 94

053. C

054. a) 1.100.101

b) 100.101

c) 1.000.010

055. ( )64

056. 51 e 50

057. 5 (a = 1, b = 4 e c = 0)

058. a) 581

b) 501

c) 2.146

059. a) 344

b) 300

c) 319

d) 154

060. c

061. a) 560

b) 696

c) 356

d) 402

062. a) 254

b) 165

c) 132

063. $

064. Ω

065. cabd

066. d

067. b

068. b

069. c

070. a) 1991 e 2002

b) XL

071. 218

072. a

073. e

074. a

075. c

076. b

077. c

078. b

079. a

080. b

081. c

082. b

083. b

084. a

085. a

086. d

087. c

088. d

089. e

090. e

091. c

092. a



093. c

094. e

095. d

096. a = 4 e b = 5

097. d

098. d

099. a

100. 396

101. d

102. d

103. c

104. c

105. c

106. 207

107. b

108. a

109. d

110. b

111. a

112. 54

113. b

114. d

115. d

116. a

117. b

118. 865

119. A

120. A

121. C

122. 36

123. C

124. 572

125. d

126. d

127. d

128. d

129. b

130. e

131. a

132. 6

133. d

134. b

135. b

136. d

137. a

138. e

139. a

140. b

141. 52 (x = 2 e y = 50)

142. 120 (nos

12, 24, 36 e 48)

143. 33.696

144. 63

145. 42

146. 13

147. 0

148. d

149. c

150. 9 (base 6 até a base 14)

151. b

152. a

153. 10.000

154. c

155. 111

156. 140

157. 57

158. 10 (a = 2, b = 7 e c = 1)

159. d

160. 20.035

161. b

162. 13

163. 63

164. 122

165. c

166. 8

167. 1 (nº 36)

168. 1 (nº 12)

169. 2

170. 6 (51, 61, 71, 81, 91 e 92)

171. 5/8

172. 8



173. 22

174. 24 (base 8)

175. -18

176. 1 (base 7)

177. 18

178. 12 (x = 2, y = 9 e z = 1)

179. 6

180. Ω Ω

181. 6

182. 194

183. 1

184. b

185. b

186. 92 páginas e 23 folhas

187. 100.000.000

188. 125

189. 98

190. (210.541)7

191. d

192. b

193. e

194. b

195. c

196. a

197. a = 3, b = 2 e c = 5

198. 1ª) Convertendo para a mesma base;

2ª) b

199. 180

200. 1.557.111

201. 43

202. 7

203. 7 (a = 2, b = c = 1)

204. Dois (a = 1 e b = 3 / a = 2 e b = 6)

205. 8 (a = 3 e n = 5)

206. 10 (a = 3, b = 5 e c = 2)

207. 17

208. b

209. 5

210. 5

211. 5

212. d

213. 4

214. e

215. 142.857

216. 8

217. e

218. a

219. c

220. d

221. e

222. b

223. 10 (nº 73)

224. 6

225. 100.000.000

226. 5 (nº 23)

227. 24

228. 1.107

229. 27

230. 3

231. 1.323

232. 6

233. 93

234. b

235. b

236. 452

237. 4 (nos

481, 518, 592 e 629)

238. 312

239. Diminui em 99 unidades

240. 2 (nos

105 e 350)

241. 10.012

242. 40

243. 252

244. c

245. 1.192

NÍVEL 2



246. 52

247. a) Sim, se a soma de A + B for ímpar

b) Sim, pois a soma C + D + 3 é par

248. 6

249. 15 (nº 627)

250. 10 (nº 31.213)

251. 97

252. 6

253. 200

254. 232

255. 10 (nos

1, 113, 21

3, 31

3, 41

3, 51

3, 61

3, 71

3,

813 e 91

3) Todos esses n

os são menores

que 1003 = 1.000.000

256. 45 km/h

257. 13h 48 min

258. 5

259. 248

260. c

261. 360

262. 5

263. 5

264. 173

265. 3

266. 100

267. 100

268. 2 (nos

5.832 e 4.923)

269. 1 ( )

270. (abc + 1) x 3 – 111

271. 8

272. 5

273. 5

274. e

275. 11 (ab = 13 e cd = 52)

276. 5 (nos

11, 12, 15, 24 e 36)

277. 3

278. 14

279. 105

280. 4

281. 1.184

282. 6 (a = 1, b = 2 e c = 3)

283. a) 5

b) 7

c) 6

284. 1.692

285. 9 (a = 5 e b = 4)

286. 3 filhos; 12, 13 e 39 anos

FIM



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[05] –AsociaciónFondo de Investigadores y Editores / Compendio Acadêmico de Matemáti-ca. Aritmética – EDITORA LUMBRERAS

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[08] – Barros, Dimas Monteiro / Matemática Financeira Para Concursos – EDITORA NO-VAS CONQUISTAS

[09] - Brandão, Marcius / Matemática Conceituação Moderna – EDITORA DO BRASIL S.A.

[10] – De Souza, Francisco / Tópicos de Álgebra e Aritmética – EDITORA MOANDY

[11] – De Souza, Renato Carneiro/ Teoria dos Números - EDITORA VESTSELLER

[12] – Carneiro, Emanuel; Paiva, Francisco Antônio e Campos, Onofre/ Olimpíadas Cearen-ses de Matemática – REALCE EDITORA & IND. GRÁFICA LTDA

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[14] – Compendio de AritméticaS – EDITORIAL SAN MARCOS

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[16] – De Souza, Francisco / Tópicos de Álgebra e Aritmética – EDITORA MOANDY

[17] – Filho, Edgar de Alencar / Teoria Elementar dos Números – LIVRARIA NOBEL S.A.

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[19] – G.N. Medviédev/ Olimpiadas Y Exámenes de Admisión - URSS



[20] – Góes, Hilder; Tonar, Ubaldo / Matemática Para Concursos – EDITORA E GRÁFICA ABC FORTALEZA LTDA

[21] – Lociks, Julio / Matemática Financeira Para Concursos – EDITORA VESTCOM

[22] – Maeder, Algacyr Munhoz / Curso de Matemática (1º Livro Colegial) EDIÇÕES ME-LHORAMENTOS

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[24] – Marcondes, Oswaldo / Matemática – 1ª série ginasial – EDITORA DO BRASIL S.A.

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[27] – Neto, João Lúcio de Alencar / Matemática Vestibulares e Concursos – EDIÇÕES CAE

[28] – Netto, Sergio Lima/ A Matemática no Vestibular do IME - EDITORA VESTSELLER

[29] – O´Reilly, Newton / Caderno de Aritmética – EDITORA MINERVA.

[30] – Pessoa, Paulo / Problemas de Aritmética – EDITORA J. OZON EDITOR

[31] – Pessoa, Paulo / Questões de Exames. Aritmética – LIVRARIA FRANCISCO ALVES EDITORA S.A.

[32] – Pirajá, Maurício / Problemas Resolvidos de Matemática – LIVRARIA FREITAS BAS-TOS S.A.

[33] – PolcinoMilies; Sonia Pitta Coelho / Números, uma Introdução à Matemática – EDI-TORA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

[34] – Polya, George / A Arte de Resolver Problemas – INTERCIÊNCIA

[35] - Quintella, Ary / Matemática – 1ª série ginasial – COMPANHIA EDITORA NACIONAL

[36] – Quintella, Ary / Matemática – 3ª série ginasial – COMPANHIA EDITORA NACIONAL

[37] – Quintella, Ary / Matemática – 2º ano – COMPANHIA EDITORA NACIONAL

[38] – Reunião dos Professores / Elementos de Arithemética – LIVRARIA FRANCISCO ALVES E CIA

[39] – Revista do Professor de Matemática – SBM, Rio de Janeiro

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[41] – Rodrigues, J.J.Neves / Aritmética – EDITORA LETRAS E ARTES LTDA



[42] – Roxo, Euclides / Matemática 2º Ciclo (1ª série) – LIVRARIA FRANCISCO ALVES E CIA

[43] – Rufino, Marcelo/ Olimpíadas Paraenses de Matemática – LIVRARIA VESTSELLER

[44] – Rufino de Oliveira, Marcelo; Pinheiro, Marcio Rodrigo da Rocha / Coleção Elementos da Matemática

[45] – Santos, Antonio Luiz/ Problemas Selecionados de Matemática – EDITORA CIÊNCIA MODERNA

[46] – Stavale, Jacomo / Elementos de Matemática 1º volume – COMPANHIA EDITORA NACIONAL.

[47] – Thiré, Cecil / Exercícios de Aritmética Teóricos e Práticos – LIVRARIA FRANCISCO ALVES

[48] – Trajano, Antônio / Aritmética Progressiva – LIVRARIA FRANCISCO ALVES E CIA

[49] – Vieira, Ricardo Rodrigues / Aritmética – COMPANHIA EDITORA NACIONAL

[50] – Banco de Questões – OBM

[51] –Banco de Questões – OBMEP

[52] –Banco de Questões – Colégio Naval

[53] – Banco de Questões – EPCAR

[54] – Banco de Questões – Colégios Militares

[55] – Banco de Questões – CEFET/RJ

[56] – Banco de Questões – CEFETEQ/RJ

[57] – Banco de Questões – FIOCRUZ

[58] – Banco de Questões – Vestibulares

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