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Previsão Teórica de fragmentação através da dinâmica de uma população
Daniel Juliano Pamplona da Silva
Dinâmica em Minas
Belo Horizonte
09 de Setembro de 2011
• Modelagem Matemática de Sistemas Biológicos
– Cássius Anderson Miquele de Melo (Unifal) (co-autor)
– Daniel Juliano Pamplona da Silva (Unifal)
– Paulo Augusto Zaitune Pamplin (Unifal)
• Colaboradores externos ao grupo de Pesquisa
– Roberto André Kraenkel (IFT/Unesp) (co-autor)
– Rodrigo Rocha Cuzinatto (co-autor)
Colaboradores
Apresentando o problema
• Fragmento, ilha populacional, mancha: – Região propícia, cercada regiões impróprias a vida.– Região externa dura ou amena, porém desfavorável sempre.
• 1951: Skellam – Existência de tamanho crítico– Fragmento totalmente isolado
• Não há vida se
CA
CA
CA
• se introduzirmos outro fragmento de tamanho
• Existirá vida no sistema neste novo sistema?• E se introduzirmos mais ilhas?• Quantas? Em que condições?
• Tomaremos uma ilha não isolada – Condições amenas entre os fragmentos.
1CA1
; tamanhode fragmento um Dado
Matematizando o modelo• Considerações iniciais
– Movimento individual aleatório– Movimento coletivo bem comportado (difusão)– Responderemos nossas perguntas em 1D– Modelo macroscópico
• Difusão unidimensional - equação do calor
• Equação de Fisher adimensionalizada – 1 D
onde é a densidade populacional
2
2
x
u
t
u
2)( buuxa )(uf
u
uxax
u
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u)(
2
2
2bu
• modela a heterogeneidade espacial
• Nosso intuito– Condições mínimas para existência de vida– Simplificação: supressão do termo de saturação
• Superposição + separação de variáveis
• Onde satisfaz)(xn
nnn xa
x
)]([2
2
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nexctxu )(),(
• Resolvendo parte por parte temos
• Aplicando condições de contorno, continuidade e positividade, temos
0
Reproduzindo a literatura
x
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002
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cos )( Região
0 e Regiões
2/L 2/L• Um fragmento isolado: Skellam – 1951
– Um fragmento isolado – 1D
1 , 0
0
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L πLC sorvedouro
fonte
L
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Dois fragmentos
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5.3L 7.2L 1 e
5.0 ,1
7.2 ,5.2
0
21
p
aa
LL
1 , 021 aLL
• Sistema de dois sorvedouros é viável à vida.
Infinitas ilhas idênticas
• Viabilidade a vida em fragmentos ainda menores
•
s s
LL L
...... p
74.010 CLap74.0
13.12
57.11|
C
C
C
Ln
Ln
Ln
0a
Infinitas ilhas – caso estocástico
• Novo sorteio a cada ponto– Verde (vida)– Vermelho (morte)
• Análise preliminar– uma realização
s s
2L1L 3L
...... p
0a• Gerador estocástico nos
– distribuição lognormal–
• Média Variância• Aproximação computacional
negativo é nunca nL
nL
• Margem de segurança 82,7% 97,4% 99,6%
Média sobre 20 realizações
Aplicação – Reflorestamento ( vida)
• Muitos fragmentos com tamanhos iguais• Continuo plantado• Um único fragmento grande
• Muitos fragmentos de tamanhos diferentes
10 pa
%48
1
%44)5.0(
%41)5.0(
%38)5.0(
6.99%
4.97%
7.81%
C
C
C
1p
Conclusão• Nosso modelo reproduz a literatura
– Um único fragmento isolado
• É possível introduzir extensões ao modelo– Sistema de dois fragmentos: sistema isolado.
• Fonte-sorvedouro (vida num sistema de dois sorvedouros – artigo aceito – Physica A)
– Infinitos fragmentos:• Mesmo tamanho (artigo em preparação)• Distribuição estocástica (esforço computacional).
• Aplicação– Viabilidade a vida em um reflorestamento– Melhor varias manchas de tamanhos diferentes –
artigo publicado – Physica A.
Perspectivas
• Extensões para o modelo– Mais de uma espécie (Sonho do Paulo)– Duas dimensões (Meu próximo projeto)– Efeito Allee.– Infinitas ilhas com tamanhos periódicos.
• Outras aplicações– Modelagem de desmatamento.– Modelagem de queimadas.