Prezados, Calouros.

Com prazer vos escreve o Coordenador Acadêmico da Faculdade Luterana São

Marcos. Primeiramente quero dar os parabéns pela iniciativa de iniciar um curso superior em

Administração e agradecer por ter escolhido a nossa Instituição de Ensino. Optaram por um curso superior

de qualidade e com reconhecimento no MEC (Ministério da Educação).

Desta forma, para vocês calouros, ofereceremos na próxima semana um nivelamento de

matemática, que é um serviço gratuito. Ressalto a importância da presença de todos. O objetivo desta

pequena inserção no mundo da matemática é prepará-los e relembrá-los de algumas regras básicas que

darão subsídios para as disciplinas de matemática instrumental e estatística, no currículo do Bacharelado

em Administração.

Certamente, vocês são pessoas especiais e visionárias, pois dar o primeiro passo para ingressar no

ensino superior é sinônimo de crescimento, aperfeiçoamento e sucesso profissional. Vale salientar

que apenas 16% dos gaúchos, que atualmente trabalham, possuem ensino superior completo, conforme

o IBGE. Isso demonstra a importância e relevância de um diploma no mercado de trabalho. Certamente

muitas portas se abrirão a partir do momento do ingresso de vocês, nesta Faculdade.

O sonho começa agora! É uma caminhada cheia de alegrias, bons resultados e dificuldades

também. Mas por experiência própria, posso dizer que valerá a pena cada suor derramado pela busca do

tão sonhado diploma.

Sejam muito bem-vindos à nossa instituição. E me coloco à disposição para o que precisarem. As portas

da coordenação ficam abertas para os alunos. Meu contato: coordenação.fac@saomarcos.br

Forte abraço fraternal,

Prof.Me.Diogo Siqueira Luiz

Coordenador Acadêmico

Editor da RASM - Revista Acadêmica São Marcos

CRA/RS nº 034497

Faculdade Luterana São Marcos

Rua Dr. Mário Totta, 260 - Alvorada - RS

Fones: (51) 3483.7195 - 3483.4621

www.faculdade.saomarcos.br

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Faculdade São Marcos

Estude conosco!

PROF. CLECI IEDA SETOVSKI

NÚMEROS INTEIROS

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra ℤ e é formado por números inteiros

negativos, o número zero e todos os números positivos.

Os números menores que zero, como -1, -2, -3, -4, ... são chamados de números negativos.

Os números maiores que zero como 1, 2, 3, 4, ... são chamados de números positivos. Outra forma de

representar esses números é acrescentar o sinal de mais antes do algarismo, isto é: +1, +2, +3, +4, ...

Os números positivos e negativos são utilizados para indicar saldos bancários, desempenho de ações

no mercado financeiro, saldo de gols em campeonatos, registro das temperaturas, gráficos estatísticos,

etc.

RETA NUMERADA

A reta numerada tem como ponto central o número zero, à sua direita os números positivos e à

esquerda, os números negativos.

Baseados nesta informação, podemos definir que quanto mais à direita estiver o número, maior será o

seu valor; quanto mais à esquerda estiver o número, menor o seu valor.

Observe:

A distância entre os números deve ser sempre a mesma.

Módulo - quando dois números na reta estão situados à mesma distância do zero, dizemos que eles têm

o mesmo valor absoluto ou módulo.

|- 8| = 8 e | + 8| = 8 | - 15| = 15 | + 20| = 20

Número simétrico – números que têm o mesmo valor absoluto.

- 8 e +8 +10 e – 10

1.Escreva os números a seguir em ordem crescente.

12 -5 0 -3 1 4 -8 -2 6

______________________________________________________________________

2.Em determinada cidade, o termômetro marcou, pela manhã, 2 graus negativos. Até o meio dia, a

temperatura aumentou 6 graus. Qual foi a nova temperatura? __________

3.Qual é o número menor: -7 ou -2? __________________________________________

4.O termo “ saldo negativo” é usado quando alguém gastou mais do que tinha na sua conta bancária.

Imagine que você esteja com um saldo negativo de R$250,00 e tenha feito um depósito de R$420,00. De

quanto será o seu saldo? _____________________

5. Usando os símbolos > (maior) e < (menor), compare os números inteiros a seguir:

a) –15 ____ + 15

b) –100 ___ – 99

c) + 58 ___ +124

d) + 1000 ___ + 999

6. Responda:

a) O meu saldo na conta corrente era de R$100,00. Fiz uma retirada de R$150,00. Após essa retirada, como posso representar o meu saldo? ___________________________

b) Estava com o saldo negativo de R$300,00 na minha conta corrente. Fiz um depósito de R$200,00. O meu novo saldo pode ser representado por_____________________

7. Usando os números inteiros, represente as informações numéricas:

a) Andar que fica no terceiro nível abaixo do térreo. ____________

b) Profundidade de 15 metros. ____________

c) Altitude de 1 500 metros. ______________

d) Dívida de R$250,00. _________________

e) Saldo devedor de R$480,00. __________

8. De acordo com o conjunto dos números inteiros, escreva:

a) o simétrico de -21; _____ d) o sucessor de – 5; _______

b) o oposto de + 7; _______ e) o sucessor de 0; ________

c) o antecessor de – 10; ______ f) o antecessor do maior número inteiro negativo. _____________

9. Observe os números destacados abaixo e faça o que se pede:

4 -1 5 -2 1 -3 2

a) Represente na reta numérica;

b) Indique quais os números são maiores que – 3. ________________________

c) Escreva os números em ordem decrescente. _____________________________

10. O saldo bancário da Viviane estava negativo em R$450,00. Ela depositou R$300,00 e, depois, mais R$200,00.

Qual o saldo depois desses dois depósitos? _________________

11. Roberto estava devendo R$230,00 para seu irmão e pediu emprestado para ele R$400,00. Qual a dívida que

Roberto tem com seu irmão? _____________________

12. A empresa de Mauro divulgou o seu faturamento em reais ao longo do ano de 2013.

Observando as informações do gráfico, responda:

a) Qual o mês que a empresa teve maior faturamento? _________________

b) Qual o mês que a empresa teve o menor faturamento? _______________

c) Em que mês a empresa de Mauro teve a maior queda? ________________

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Quando tivermos dois números de sinais iguais somamos e conservamos o sinal do número de maior

valor absoluto.

Quando tivermos dois números de sinais diferentes diminuímos e conservamos o sinal de maior valor

absoluto.

Observe:

- 400 + 100 = - 300 200 + 300 = 500 400 – 500 = - 100 -200 – 300 = - 500

Se tivermos parênteses:

O sinal de + na frente dos parênteses só indica que os valores devem ser calculados. Se na frente dos

parênteses tiver um sinal de -, devemos trocar o sinal da operação que ali está sendo indicada. Preste

atenção:

(+ 20) + (+ 15) = + 20 + 15 = +35 ou simplesmente 35

(+ 20) + (- 15) = + 20 – 15 = + 5 ou simplesmente 5

(+ 20) – (+ 15) = + 20 – 15 = + 5 ou simplesmente 5

(+ 20) – (- 15) = + 20 + 15 = + 35 ou simplesmente 35

Caso tenha mais de uma operação a ser resolvida:

( + 45) + ( - 30) + ( - 80) = ( - 65 ) – ( - 80) + ( + 280) = + 34 – ( + 12 – 33 – 14) =

+ 45 – 30 - 80 = - 65 + 80 + 280 = + 34 - 12 + 33 + 14 =

+ 45 - 110 = + 360 – 65 = + 81 – 12 =

- 65 + 295 + 69

1. Calcule

a) +5 + 3 = (R:+8)

b) +1 + 4 = (R: +5)

c) -4 - 2 = (R: -6)

d) -3 - 1 = (R: -4)

e) +6 + 9 = (R: +15)

f) +10 + 7 = (R: +17)

g) -8 -12 = (R: -20)

h) -4 -15 = (R: -19)

i) -10 - 15 = (R: -25)

j) +5 +18 = (R: +23)

l) -31 - 18 = (R: -49)

m) +20 +40 = (R: + 60)

n) -60 - 30 = (R: -90)

o) +75 +15 = (R: +90)

p) -50 -50 = (R: -100)

2) Calcule:

a) ( -22) + ( -19) = (R: -41)

b) (+32) + (+14) = (R: +46)

c) (-25) + (-25) = (R: -50)

d) (-94) + (-18) = (R: -112)

e) (+105) + (+105) = (R: +210)

f) (-280) + (-509) = (R: -789)

g) (-321) + (-30) = (R: -350)

h) (+200) + (+137) = (R: +337)

3) Calcule: a) +1 - 6 = -5 b) -9 + 4 = -5 c) -3 + 6 = +3 d) -8 + 3 = -5 e) -9 + 11 = +2 f) +15 - 6 = +9 g) -2 + 14 = +12 h) +13 -1 = +12 i) +23 -17 = +6 j) -14 + 21 = +7 l) +28 -11 = +17 m) -31 + 30 = -1

4) Coloque em forma simplificada ( sem parênteses) a) (+1) + (+4) +(+2) = (R: 1 +4 + 2) b) (+1) + (+8) + (-2) = (R: 1 + 8 - 2) c) (+5) +(-8) + (-1) = (R: +5 - 8 - 1) d) (-6) + (-2) + (+1) = (R: -6 - 2 + 1)

5) Determine as seguintes somas a) (-8) + (+10) + (+7) + (-2) = (R: +7) b) (+20) + (-19) + (-13) + (-8) = (R: -20) c) (-5) + (+8) + (+2) + (+9) = (R: +14) d) (-1) + (+6) + (-3) + (-4) + (-5) = (R: -7) e) (+10) + (-20) + (-15) + (+12) + (+30) + (-40) = (R: -23) f) (+3) + (-6) + (+8) = (R: +5) g) (-5) + (-12) + (+3) = (R: -14) h) (-70) + (+20) + (+50) = (R: 0) i) (+12) + (-25) + (+15) = (R: +2) j) (-32) + (-13) + (+21) = (R: -24) l) (+7) + (-5) + (-3) + (+10) = (R: +9) m) (+12) + (-50) + (-8) + (+13) = (R: -33) n) (-8)+(+4)+ (+8) + (-5) + (+3) = (R: +2) o) (-36) + (-51) + (+100) + (-52) = (R: -39) p) (+17) + (+13) + (+20) + (-5) + (-45) = (R:0) 6) Dados os números x= 6, y = 5 e z= -6, calcule a) x + y = (R: +11) b) y + z = (R: -4) c) x + z = (R: -3)

7) Elimine os parênteses a) -(+5) = -5 b) -(-2) = +2 c) - (+4) = -4 d) -(-7) = +7 e) -(+12) = -12 f) -(-15) = +15 g) -(-42) = +42 h) -(+56) = -56

8) Calcule: a) (+7) - (+3) = (R: +4) b) (+5) - (-2) = (R: +7) c) (-3) - ( +8) = (R: -11) d) (-1) -(-4) = (R: +3) e) (+3) - (+8) = (R: -5) f) (+9) - (+9) = (R: 0 ) g) (-8) - ( +5) = (R: -13) h) (+5) - (-6) = (R: +11) i) (-2) - (-4) = (R: +2) j) (-7) - (-8) = (R: +1) l) (+4) -(+4) = (R: 0) m) (-3) - ( +2) = (R: -5) n) -7 + 6 = (R: -1) o) -8 -7 = (R: -15) p) 10 -2 = (R: 8) q) 7 -13 = (R: -6) r) -1 -0 = (R: -1) s) 16 - 20 = (R: -4) t) -18 -9 = (R: -27) u) 5 - 45 = (R:-40) v) -15 -7 = (R: -22) x) -8 +12 = (R: 4) z) -32 -18 = (R:-50)

9) Calcule: a) (-4) -(-2)+(-6) = (R: -8) b) (-7)-(-5)+(-8) = (R: -10) c) (+7)-(-6)-(-8) = (R: 21) d) (-8) + (-6) -(+3) = (R: -17) e) (-4) + (-3) - (+6) = (R: -13) f) 20 - (-6) - (-8) = (R: 34) g) 5 - 6 - (+7) + 1 = (R: -7) h) -10 - (-3) - (-4) = (R: -3) i) (+5) + (-8) = (R: -3) j) (-2) - (-3) = (R: +1) l) (-3) -(-9) = (R: +6) m) (-7) - (-8) =(R: +1) n) (-8) + (-6) - (-7) = (R: -7) o) (-4) + (-6) + (-3) = (R: -13) p) 15 -(-3) - (-1) = (R: +19) q) 32 - (+1) -(-5) = (R: +36) r) (+8) - (+2) = (R:+6) s) (+15) - (-3) = (R: +18) t) (-18) - (-10) = (R: -8) u) (-25) - (+22) = (R:-47) v) (-30) - 0 = (R: -30) x) (+180) - (+182) = (R: -2) z) (+42) - (-42) = (R: +84) 10) Calcule: a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (R: -9) b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9) c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0) d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12) e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13) f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 ) g) -2 + (-1) -6 = (R: -9) h) -(+7) -4 -12 = (R: -23) i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 ) j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50) l) -50 - (+7) -43 = (R: -100) m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4) n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11) o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10) p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40) q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11) r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20) s) (-75) - (-25) = (R: -50) t) (-75) - (+25) = (R: -100) u) (+18) - 0 = (R: +18) v) (-52) - (-52) = (R:0) x) (-16)-(-25) = (R:+9) z) (-100) - (-200) = (R:+100) 11) Elimine os parênteses: a) +(-3 +8) = (R: -3 + 8) b) -(-3 + 8) = (R: +3 - 8) c) +(5 - 6) = (R: 5 -6 ) d) -(-3-1) = (R: +3 +1) e) -(-6 + 4 - 1) = (R: +6 - 4 + 1) f) +(-3 -2 -1) = (R: -3 -2 -1 ) g) -(4 -6 +8) = (R: -4 +6 +8) h) + (2 + 5 - 1) = (R: +2 +5 -1)

12) Elimine os parênteses e calcule: a) + 5 + ( 7 - 3) = (R: 9) b) 8 - (-2-1) = (R: 11) c) -6 - (-3 +2) = (R: -5) d) 18 - ( -5 -2 -3 ) = (R: 28) e) 30 - (6 - 1 +7) = (R: 18) f) 4 + (-5 + 0 + 8 -4) = (R: 3) g) 4 + (3 - 5) + ( -2 -6) = (R: -6) h) 8 -(3 + 5 -20) + ( 3 -10) = (R: 13) i) 20 - (-6 +8) - (-1 + 3) = (R: 16) j) 35 -(4-1) - (-2 + 7) = (R: 27) 13) Calcule: a) 10 - ( 15 + 25) = (R: -30) b) 1 - (25 -18) = (R: -6) c) 40 -18 - ( 10 +12) = (R: 0) d) (2 - 7) - (8 -13) = (R: 0 ) e) 7 - ( 3 + 2 + 1) - 6 = (R: -5) f) -15 - ( 3 + 25) + 4 = (R: -39) g) -32 -1 - ( -12 + 14) = (R: -35) h) 7 + (-5-6) - (-9 + 3) = (R: 2) i) -(+4-6) + (2 - 3) = (R: 1) j) -6 - (2 -7 + 1 - 5) + 1 = (R: 4)

EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem: 1°) PARÊNTESES ( ) ; 2°) COLCHETES [ ] ; 3°) CHAVES { } . Exemplos: 1°) exemplo 8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5 ) = 8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 = 23 - 2 = 21 2°) exemplo 10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] = 10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] = 10 - 3 + 1 + 2 - 6 = 13 - 9 = = 4 3°) exemplo -17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} = -17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} = -17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } = -17 +5 - 2 - 6 + 9 = -25 + 14 = = - 11 EXERCICIOS

a) Calcule o valor das seguintes expressões : 1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (R: 17) 2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 ) 3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15) 4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17) 5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 ) 6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5) 7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4) 8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21) 9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26) 10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2) 11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18) 12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20) 13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29) 14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 ) 15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33) 16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1) 17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 ) 18) -{ -2 - [ -3 - (-5) + 1 ]} - 18 = (R: -13) 19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Na multiplicação e divisão de números inteiros devemos operacionalizar os números e o sinal final

segue a seguinte regra: sinais iguais fica positivo ( + ), sinais diferentes fica negativo ( - ).

Se na operação tiver vários fatores com sinais diversos, basta contar o número de fatores que são

negativos; se for um total par de fatores a resposta será positiva, se for um total ímpar de fatores a

resposta será negativa. Observe:

(+ 2) x (+ 35) = + 70 ( - 3) x (- 12) = + 36 ( + 4) x (- 13) = - 52

(+ 2) x (+ 9) x (- 6) = - 108 ( - 2) x (- 3) x (+ 4) x (+ 5) x (- 1) x (- 5) = + 600

1) Efetue as multiplicações

a) (+8) . (+5) = (R: 40)

b) (-8) . ( -5) = (R: 40)

c) (+8) .(-5) = (R: -40)

d) (-8) . (+5) = (R: -40)

e) (-3) . (+9) = (R: -27)

f) (+3) . (-9) = (R: -27)

g) (-3) . (-9) = (R: 27)

h) (+3) . (+9) = (R: 27)

i) (+7) . (-10) = (R: -70)

j) (+7) . (+10) = (R: 70)

l) (-7) . (+10) = (R: -70)

m) (-7) . (-10) = (R: 70)

n) (+4) . (+3) = (R: 12)

o) (-5) . (+7) = (R: -35)

p) (+9) . (-2) = (R: -18)

q) (-8) . (-7) = (R: 56)

r) (-4) . (+6) = (R: -24)

s) (-2) .(-4) = (R: 8 )

t) (+9) . (+5) = (R: 45)

u) (+4) . (-2) = (R: -8)

v) (+8) . (+8) = (R: 64)

x) (-4) . (+7) = (R: -28)

2) Calcule o produto

a) (+2) . (-7) = (R: -14)

b) 13 . 20 = (R: 260)

c) 13 . (-2) = (R: -26)

d) 6 . (-1) = (R: -6)

e) 8 . (+1) = (R: 8)

f) 7 . (-6) = (R: -42)

g) 5 . (-10) = (R: -50)

h) (-8) . 2 = (R: -16)

i) (-1) . 4 = (R: -4)

j) (-16) . 0 = (R: 0)

3) Determine o produto:

a) (-2) . (+3) . ( +4) = (R: -24)

b) (+5) . (-1) . (+2) = (R: -10)

c) (-6) . (+5) .(-2) = (R: +60)

d) (+8) . (-2) .(-3) = (R: +48)

e) (+1) . (+1) . (+1) .(-1)= (R: -1)

f) (+3) .(-2) . (-1) . (-5) = (R: -30)

g) (-2) . (-4) . (+6) . (+5) = (R: 240)

h) (+25) . (-20) = (R: -500)

i) -36) .(-36 = (R: 1296)

j) (-12) . (+18) = (R: -216)

l) (+24) . (-11) = (R: -264)

m) (+12) . (-30) . (-1) = (R: 360)

4) Calcule os produtos

a) (-3) . (+2) . (-4) . (+1) . (-5) = (R: -120)

b) (-1) . (-2) . (-3) . (-4) .(-5) = (R: -120)

c) (-2) . (-2) . (-2) . (-2) .(-2) . (-2) = (R: 64)

d) (+1) . (+3) . (-6) . (-2) . (-1) .(+2)= (R: -72)

e) (+3) . (-2) . (+4) . (-1) . (-5) . (-6) = (R: 720)

f) 5 . (-3) . (-4) = (R: +60)

g) 1 . (-7) . 2 = (R: -14)

h) 8 . ( -2) . 2 = (R: -32)

i) (-2) . (-4) .5 = (R: 40)

j) 3 . 4 . (-7) = (R: -84)

l) 6 .(-2) . (-4) = (R: +48)

m) 8 . (-6) . (-2) = (R: 96)

n) 3 . (+2) . (-1) = (R: -6)

o) 5 . (-4) . (-4) = (R: 80)

p) (-2) . 5 (-3) = (R: 30)

q) (-2) . (-3) . (-1) = (R:-6)

r) (-4) . (-1) . (-1) = (R: -4)

5) Calcule o valor das expressões:

a) 2 . 3 - 10 = (R: -4)

b) 18 - 7 . 9 = (R: -45)

c) 3. 4 - 20 = (R: -8)

d) -15 + 2 . 3 = (R: -9)

e) 15 + (-8) . (+4) = (R: -17)

f) 10 + (+2) . (-5) = (R: 0 )

g) 31 - (-9) . (-2) = (R: 13)

h) (-4) . (-7) -12 = (R: 16)

i) (-7) . (+5) + 50 = (R: 15)

j) -18 + (-6) . (+7) = (R:-60)

l) 15 + (-7) . (-4) = (R: 43)

m) (+3) . (-5) + 35 = (R: 20)

6) Calcule o valor das expressões

a) 2 (+5) + 13 = (R: 23)

b) 3 . (-3) + 8 = (R: -1)

c) -17 + 5 . (-2) = (R: -27)

d) (-9) . 4 + 14 = (R: -22)

e) (-7) . (-5) - (-2) = (R: 37)

f) (+4) . (-7) + (-5) . (-3) = (R: -13)

g) (-3) . (-6) + (-2) . (-8) = (R: 34)

h) (+3) . (-5) - (+4) . (-6) = (R: 9)

7) Calcule o quocientes:

a) (+15) : (+3) = (R: 5 )

b) (+15) : (-3) = (R: -5)

c) (-15) : (-3) = (R: 5)

d) (-5) : (+1) = (R: -5)

e) (-8) : (-2) = (R: 4)

f) (-6) : (+2) = (R: -3)

g) (+7) : (-1) = (R: -7)

h) (-8) : (-8) = (R: 1)

f) (+7) : (-7) = (R: -1)

8) Calcule os quocientes

a) (+40) : (-5) = (R: -8)

b) (+40) : (+2) = (R: 20)

c) (-42) : (+7) = (R: -6)

d) (-32) : (-8)= (R: 4)

e) (-75) : (-15) = (R: 5)

f) (-15) : (-15) = (R: 1)

g) (-80) : (-10) = (R: 8)

h) (-48 ) : (+12) = (R: -4)

l) (-32) : (-16) = (R: 2)

j) (+60) : (-12) = (R: -5)

l) (-64) : (+16) = (R: -4)

m) (-28) : (-14) = (R: 2)

n) (0) : (+5) = (R: 0)

o) 49 : (-7) = (R: -7)

p) 48 : (-6) = (R: -8)

q) (+265) : (-5) = (R: -53)

r) (+824) : (+4) = (R: 206)

s) (-180) : (-12) = (R: 15)

t) (-480) : (-10) = (R: 48)

u) 720 : (-8) = (R: -90)

v) (-330) : 15 = (R: -22)

9) Calcule o valor das expressões

a) 20 : 2 -7 = (R: 3 )

b) -8 + 12 : 3 = (R: -4)

c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)

d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)

e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)

f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)

g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)

h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)

i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)

j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11)

l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)

m) (-54) : (-9) + 2 = (R: 8)

n) 20 + (-10) . (-5) = (R: 70)

o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )

p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)

q) 3 . (-7) + 40 = (R: 19)

r) (+3) . (-2) -25 = (R: -31)

s) (-4) . (-5) + 8 . (+2) = (R: 36)

t) 5: (-5) + 9 . 2 = (R: 17)

u) 36 : (-6) + 5 . 4 = (R: 14)

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais

Exemplos 2³ = 2 .2 .2 = 8

Você sabe também que:

2 é a base

3 é o expoente

8 é a potência ou resultado

1) O expoente é par

a) (+7)² = (+7) . (+7) = +49

b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49

c) (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16

d) (-2)⁴ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16

Conclusão: Quando o expoente for par, a potência é um número positivo

2) Quando o expoente for ímpar

a) (+4)³ = (+4) . (+4) . (+4) = + 64

b) (-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64

c) (+2)⁵ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = +32

d) (-2)⁵ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32

Conclusão : Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base.

EXERCÍCIOS

1) Calcule as potências ;

a) (+7)²= (R: +49)

b) (+4)² = (R: +16)

c) (+3)² = (R: +9)

d) (+5)³ = (R: +125)

e) (+2)³ = (R: +8)

f) (+3)³ = (R: +27)

g) (+2)⁴ = (R: +16)

h) (+2)⁵ = (R: +32)

i) (-5)² = (R: +25)

j) (-3)² = (R: +9)

k) (-2)³ = (R: -8)

2) Calcule as potencias:

a) (-6)² = (R: +36)

b) (+3)⁴ = (R: +81)

c) (-6)³ = (R: -216)

d) (-10)² = (R: +100)

e) (+10)² = (R: +100)

f) (-3)⁵ = (R: -243)

g) (-1)⁶ = (R: +1)

h) (-1)³ = (R: -1)

i) (+2)⁶ = (R: +64)

j) (-4)² = (R: +16)

k) (-9)² = (R: +81)

l) (-1)⁵⁴ = (R: +1)

m) (-1)¹³ = (R: -1)

n) (-4)³ = (R: -64)

o) (-8)² = (R: +64)

p) (-7)² = (R: +49)

3) Calcule as potencias

a) 0⁷ = (R: 0)

b) (-2)⁸ = (R: 256)

c) (-3)⁵ = (R: -243)

d) (-11)³ = (R: -1331)

e) (-21)² = (R: 441)

f) (+11)³ = (R: +1331)

g) (-20)³ = (R: -8000)

h) (+50)² = (R: 2500)

4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências)

a) 15 + (+5)² = (R: 40)

b) 32 – (+7)² = (R: -17)

c) 18 + (-5)² = (R: 43)

d) (-8)² + 14 = (R: 78)

e) (-7)² - 60 = (R: -11)

f) 40 – (-2)³ = (R: 48)

g) (-2)⁵ + 21 = (R: -11)

h) (-3)³ - 13 = (R: -40)

i) (-4)² + (-2)⁴ = (R: 32)

j) (-3)² + (-2)³ = (R: 1)

k) (-1)⁶ + (-3)³ = (R: -26)

l) (-2)³ + (-1)⁵ = (R: -9)

CONVEÇÕES:

Todo o número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Exemplos:

a) (+7)¹ = +7

b) (-3)¹ = -3

Todo o número inteiro elevado a zero é igual a 1.

Exemplos:

a) (+5)⁰ = 1

b) (-8)⁰= 1

IMPORTANTE!

Observe como a colocação dos parênteses é importante:

a) (-3)² = (-3) . (-3) = +9

b) -3² = -(3 . 3) = -9

Para que a base seja negativa, ela deve estar entre parênteses.

EXERCÍCIOS

1) Calcule as potências:

a) (+6)¹ = (R: +6)

b) (-2)¹ = (R: -2)

c) (+10)¹ = (R: +10)

d) (-4)⁰ = (R: +1)

e) (+7)⁰ = (R: +1)

f) (-10)⁰ = (R: +1)

g) (-1)⁰ = (R: +1)

h) (+1)⁰ = (R: +1)

i) (-1)⁴²³ = (R: -1)

j) (-50)¹ = (R: -50)

k) (-100)⁰ = (R: +1)

l) 20000⁰ = (R: +1)

2) Calcule:

a) (-2)⁶ = (R: 64)

b) -2⁶ = (R: -64)

Os resultados são iguais ou diferentes?

R: Diferentes

3) Calcule as potências:

a) (-5)² = (R: 25)

b) -5² = (R: -25)

c) (-7)² = (R: +49)

d) -7² = (R: -49)

e) (-1)⁴ = (R: +1)

f) -1⁴ = (R: -1)

4) Calcule o valor das expressões (primeiro as potências):

a) 35 + 5²= (R: 60)

b) 50 - 4² = (R: -14)

c) -18 + 10² = (R: 82)

d) -6² + 20 = (R: -16)

e) -12-1⁷ = (R: -13)

f) -2⁵ - 40 = (R: -72)

g) 2⁵ + 0 - 2⁴ = (R: 16)

h) 2⁴ - 2² - 2⁰ = (R: 11)

i) -3² + 1 - .65⁰ = (R: -9)

j) 4² - 5 + 0 + 7² = (R: 60)

k) 10 - 7² - 1 + 2³ = (R: -32)

l) 3⁴ - 3³ + 3² - 3¹ + 3⁰ = (R: 61)

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

Vamos recordar:

√49 = 7, porque 7² = 49

No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser:

+7, porque (+7)² = 49.

-7, porque (-7)² = 49.

Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério:

Exemplos:

a) +√16 = +4

b) - √16 = -4

c) √9 = 3

d) -√9 = -3

Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z

Veja:

a) √-9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9

b) √-16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16

EXERCÍCIOS

1) Determine as raízes:

a) √4 = (R: 2)

b) √25 = (R: 5)

c) √0 = (R: 0)

d) -√25 = (R: -5)

e) √81 = (R: 9)

f) -√81 = (R: -9)

g) √36 = (R: 6)

h) -√1 = (R: -1)

i) √400 = (R: 20)

j) -√121 = (R: -11)

k) √169 = (R: 13)

l) -√900 = (R: -30)

2) Calcule caso exista em Z:

a) √4 = (R: 2)

b) √-4 = (R: não existe)

c) -√4 = (R: -2)

d) √64 = (R: 8)

e) √-64 = (R: não existe)

f) -√64 = (R: - 8)

g) -√100 = (R:-10)

h) √-100 = (R: não existe)

3) Calcule:

a) √25 + √16 = 9

b) √9 - √49 = -4

c) √1 + √0 = 1

d) √100 - √81 + √4 = 3

e) -√36 + √121 + √9 = 8

f) √144 + √169 -√81 = 16

EXEPRESSÕES NÚMERICAS

As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:

1) Potenciação e radiciação;

2) Multiplicação e divisão

3) Adição e subtração

Nessas operações são realizados :

1) parênteses ( )

2) colchetes [ ]

3) chaves { }

exemplos:

calcular o valor das expressões :

1°) exemplo

(-3)² - 4 - (-1) + 5²

9 – 4 + 1 + 25

5 + 1 + 25

6 + 25

31

2°) exemplo

15 + (-4) . (+3) -10

15 – 12 – 10

3 – 10

-7

3°) exemplo

5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]

25 + 3 – [ (-5) +3 ]

25 + 3 - [ -2]

25 +3 +2

28 + 2

30

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das expressões:

a) 5 + ( -3)² + 1 = 15

b) 10 + (-2)³ -4 = -2

c) 12 – 1 + (-4)² = 27

d) (-1)⁵ + 3 – 9 = -7

e) 18 – (+7) + 3² = 20

f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3

g) (-2)³ - 7 – (-1) = -14

h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127

i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19

j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -24

2) Calcule o valor das expressões:

a) 3 - 4² + 1 = -12

b) 2³ - 2² - 2 = 2

c) (-1)⁴ + 5 - 3² = -3

d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5

e) (-3)². (+5) + 2 = 47

f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2

g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15

h) √49 + 2³ - 1 = 14

3) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)² + 5 = 14

b) (-8)² - (-9)² = -17

c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0

d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2

e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899

f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84

g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4

h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 2

4) Calcule o valor das expressões:

a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 3

b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30

c) 8 + (-3 -1)² = 24

d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 16

e) –(-5)² + (-7 + 4) = -28

f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 54

5) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = -110

b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 12

c) (-2) . (-7) + (-3)² = 23

d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 57

e) –[ -1 + (-3) . (-2)]²

f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 5

g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = -6

h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²

i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 25

j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 8

k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18

l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = -4

6) Calcule o valor das expressões:

a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2

b) (+3 – 1)² - 15 = -11

c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9

d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60

e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 4

f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = -5

g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = -8

h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = -1

i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 46

j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 15

k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = -5

7) Calcule o valor das expressões:

a) 10 + (-3)² = 19

b) (-4)² - 3 = 13

c) 1 + (-2)³ = -7

d) -2 + (-5)² = 23

e) (-2)² + (-3)³ = -23

f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12

g) (-9)² -2 – (-3) = 82

h) 5 + (-2)³ + 6 = 3

8) Calcule o valor das expressões:

a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = -17

b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 16

c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 17

d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = -4

e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 16

OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

Números Decimais: Notação Decimal. . Basicamente o que diferencia um número decimal de um número natural é a existência da virgula.

. Por exemplo: Entre os números 9 e 10 não existe nenhum número natural, para resolver este problema foram criados os números decimais, que neste caso poderia ser 9,5 ou outro número qualquer com virgula entre 9 e 10.

. Exemplos de ordens do sistema de numeração decimal maiores que a unidade: dezena, centena, milhar e assim por diante.

. Exemplos de ordens decimais menores que a unidade: décimos, centésimos, milésimos, décimos de milésimos e assim por diante.

. Operações Matemáticas Com Números Decimais:

. Adição:

. Nas operações de adição com números decimais é necessário organizar os números de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam, colocando a virgula no lugar correto. Resumindo: As vírgulas devem ficar uma exatamente em baixo da outra.

. Exemplo Prático: 12,50 + 2525,36 + 1,30 =

.

1 2 , 5 0

2 5 2 5 , 3 6

+ 1 , 3 0

2 5 3 9 , 1 6

. Subtração:

. O procedimento é semelhante ao da adição, onde o minuendo deverá ser colocado embaixo do subtraendo, de modo que as unidades de mesma ordem se correspondam. Resumindo: As vírgulas devem ficar uma exatamente em baixo da outra.

. Exemplo Prático: 1234,45 - 925,30 =

.

_ 1 2 3 4 , 4 5

9 2 5 , 3 0

3 0 9 , 1 5

.

Multiplicação: .

Para multiplicar números decimais devemos agir como se fossem números inteiros, desconsiderando a virgula em um primeiro momento. Depois de concluída a operação, separamos com vírgula, a partir da direita do resultado final, tantas casas decimais quantas tenham o multiplicando e o multiplicador juntos.

. Exemplo Prático: 253,66 x 2,34 =

.

x 2 5 3, 6 6

2, 3 4

+

1 0 1 4 6 4

7 6 0 9 8

5 0 7 3 2

5 9 3 5 6 4 4

. Colocando a virgula no local correto temos o número: 593,5644

. Divisão:

. Ao dividirmos dois números decimais devemos igualar o número de casas decimais do dividendo e do divisor, acrescentando zeros à direita do que tiver menor número de casas decimais. Depois as virgulas devem ser eliminadas e efetuamos a divisão como se fossem números inteiros.

. Exemplo Prático: 1,24 : 0,2 =

1 2 4 20

-1 2 0 6 , 2

0 0 4 0

- 4 0

0

.

5.

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NÚMERO DECIMAL

Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador e separamos, à direita da

vírgula, tantas casas quanto são os zeros do denominador

Exemplos:

a) 42/10 = 4,2

b) 135/100 = 1,35

c) 135/1000 = 0,135

Quando a quantidade de algarismos do numerador não for suficiente para colocar a vírgula, acrescentamos zeros

à esquerda do número.

exemplo:

a) 29/1000 = 0,029

b) 7/1000 = 0,007

EXERCÍCIOS ,

1) Transforme as frações em números decimais

a) 3/10 = (R: 0,3)

b) 45/10 = (R: 4,5)

c) 517/10 = (R:51,7)

d) 2138/10 = (R: 213,8)

e) 57/100 = (R: 0,57)

f) 348/100 = (R: 0,348)

g) 1634/100 = (R: 1,634)

h) 328/ 1000 = (R: 0,328)

i) 5114 / 1000 = (R: 5,114)

j) 2856/1000 = (R: 2,856)

k) 4761 / 10000 = (R: 0,4761)

l) 15238 /10000 = (R: 1,5238)

2) Transforme as frações em números decimais

a) 9 / 100 = (R: 0,09)

b) 3 / 1000 = (R: 0,003)

c) 65 /1000 = (R: 0,065)

d) 47 /1000 = (R: 0,047)

e) 9 / 10000 = (R: 0,0009)

f) 14 / 10000 = (R: 0,0014)

TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO DECIMAL EM FRAÇÃO

Procedimentos:

1) O numerador é um número decimal sem a vírgula

2) O denominador é o número 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos do número decimal

depois da vírgula.

Exemplos:

a) 0,7 = 7/10

b) 8,34 / 834 /100

0,005 = 5/ 1000

EXERCÍCIOS

1) Transforme os números decimais em frações decimais:

a) 0,4 = (R: 4/10)

b) 7,3 = (R: 73/10) c) 4,29 = (R: 429/100)

d) 0,674 = (R: 674/1000)

e) 8,436 = (R: 8436/100

f) 69,37 = (R: 6937/100)

g) 15,3 = (R: 153/10)

h) 0,08 = (R: 8/100)

i) 0,013 = (R: 13/1000)

j) 34,09 = (R: 3409/100)

k) 7,016 = (R: 7016/1000)

PORCENTAGEM

A expressão “ por cento” se origine do latim e significa “por um cento”. Dessa forma, quando

escrevemos 5%, isso significa que 5 em cada 100 ou, ainda, 5 centésimos.

5 % = 5

100 = 0,05

Exemplo 1 – Representar o número racional 3

5 utilizando porcentagem.

3

5 =

60

100 = 60 % Para conseguir o denominador 100, tivemos que multiplicar o

numerador e o denominador da fração por 20.

Exemplo 2 – Calcular 32% da quantia de R$ 2.500,00

32% de 2 500 = 0,32 . 2 500 = 800

Ou

32% de 2 500 = 32

100 . 2 500 = 32 . 25 = 800

Exemplo 3 – Numa prova, determinado aluno acertou 39 das 50 questões propostas. Qual foi o

percentual de acertos desse aluno na prova?

% número de questões

100 50

X 39

50 . x = 39 . 100

X = 3 900 : 50

X = 78%

Exemplo 4 – Um computador, no valor de R$ 1 350, 00, será vendido com um desconto de 12%. Qual

será o preço desse computador?

12% de 1 350 = 162

R$ 1 350,00 - R$ 162,00 = R$ 1 188,00

Exemplo 5 – Determinar o valor de 6% de 20%

Primeiro passamos as porcentagens para números decimais e depois calculamos.

0,06 x 0,20 = 0,012 = 12

1000 = 1,2%

Exercícios

01) Determine 25% de 360.

02) Determine 8% de 5

03) Determine 15% de 150.

04) O número 8 representa qual porcentagem de 20?

05) O número 12 representa qual porcentagem de 80?

06) Se 35% dos 40 alunos do 8° ano de um colégio são homens, quantas são as mulheres?

07) Uma bicicleta, cujo preço é R$ 1200,00, pode ser comprada da seguinte maneira: a) a vista, com 15% de desconto.

b) pagamento para 90 dias, com acréscimo de 25% sobre o preço inicial. Responda: Qual é a diferença, em reais, entre as duas opções de compra?

08) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$

102,00 reais pelo aparelho, qual era o seu preço original?

09) (CASA0902/10-AgApoioOper(Motorista) – 2012) – Uma fundação que cuida de crianças abandonadas

conseguiu, em janeiro, encaminhar 72 crianças para adoção, o que representa 60% das crianças da fundação.

Pode-se concluir que o número de crianças dessa fundação que não foram encaminhadas é (A)44.

(B)46.

(C)47.

(D)48.

(E) 52.

10) (VNSP1201/003-AssistAdmin-I 2012) – Um arquiteto projetou uma Escola Infantil, utilizando 45% da

área total do terreno para o prédio que continha as salas de aula e 15% para as salas de projeção, biblioteca

e laboratórios. Mesmo assim, sobrou uma área de 900 m² para ambientes de lazer. Podemos concluir que o

terreno tinha um total, em m², de (A)3250.

(B)3000.

(C)2750.

(D)2450.

(E) 2 250.

11) (PCSP1205/001-AgentePolicia – 2013) – Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preço

normal de venda. Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preço normal de venda desse produto é (A)R$59,40.

(B)R$58,00.

(C)R$60,00.

(D)R$59,00.

(E) R$ 58,40.

12) (SOLDADO – 2009 – PM/PI-NUCEPE) – Sobre o preço de uma moto importada incide um imposto

de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 15.600,00. Supondo que

tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço da moto, para o importador?

(A)19.200,00 (B)22.500,00 (C)31.200,00 (D)39.000,00 (E) 21.000,00

13) Quanto é 60% de 200% de 80%?

14) Quanto é 45% de 90% de 180?

JUROS SIMPLES

Juro representa uma numeração que é paga por quem empresta certa quantia durante algum tempo.

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo. Hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples, mas, de qualquer forma, vamos entender como ele funciona. Juros simples: como calcular No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

J = C . i . t J=juros C=capital i=taxadejuros t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = C + J M=montantefinal C=capital J = juros Exemplo 1 Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 meses? Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) t = 10 meses J = C . i . t J = 1200 . 0,02 . 10 J = 240 M = C + j M = 1200 + 240 M = 1440 O montante produzido é de R$ 1.440,00.

Exemplo 2 Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.

J = C . i . t

2688 = C . 0,06 . 14

2688 = C . 0,84

C = 2688 / 0,84

C = 3200

O valor do capital é de R$ 3.200,00.

Exemplo 3 Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?

J = 3000

i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015

t = 45 dias = 45/30 = 1,5

J = C . i . t

3000 = C . 0,015 . 1,5

3000 = C .0,0225

C = 3000 / 0,0225

C = 133.333,33

O capital é de R$ 133.333,33.

Exemplo 4 Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

J = C . i . t

90 = C . 0,02 . 3

90 = C . 0,06

C = 90 / 0,06

C = 1500

O capital corresponde a R$ 1.500,00.

EXERCÍCIOS

01) Roque aplicou R$ 3000,00, durante 2 anos, a uma taxa de juros simples de 32%

ao ano.

A) Qual foi a quantia de juro simples que ele recebeu, referente ao período de 1 ano?

960

B) Qual foi a quantia de juro simples que ele recebeu, referente ao período de 2 ano?

1920

02) Aline recebeu R$ 1600,00 de juro simples, de uma aplicação que fez durante 4 anos,

a uma taxa de juro de 30% ao ano.

A) Qual foi a quantia de juro simples que Aline recebeu, referente ao período de 1

ano? R$400,00

B) Qual foi o capital aplicado por Aline? R$ 133,00

03) Joaquim emprestou R$ 12000,00, durante 2 anos, a um amigo e quer receber

R$ 5300,00 de juro simples.

Responda:

A) Qual é a quantia de juro simples, referente ao período de 1 ano, que Joaquim

quer receber? R$ 2650,00

B) Qual é a taxa de juro simples anual que ele deve estabelecer? 22%

04) João financiou um televisor em 6 meses e pagou juro simples de R$ 216,00, a

uma taxa de 36% ao ano.

Responda:

A) Qual foi a taxa de juro referente a 1 mês? 3%

B) Qual foi a taxa de juro referente ao financiamento em 6 meses? 18%

C) Qual era o preço à vista do televisor? R$ 1200,00

05) Quanto renderá de juro simples a quantia de R$ 6680,00 aplicada durante 3 anos

a uma taxa de juro simples de 60% ao ano?

(A) R$ 12.024,00 .

(B) R$ 13.204,00.

(C) R$ 14.302,00.

(D) R$ 15.304,00.

Resposta: A

06) Qual foi o capital aplicado durante 4 anos , que rendeu R$ 900,00 de juros simples,

a uma taxa de juro 25% ao ano?

(A) R$ 800,00.

(B) R$ 900,00.

(C) R$ 950,00.

(D) R$ 980,00.

Resposta: B

07) A que taxa de juro simples anual foi aplicado um capital de R$ 4560,00, que em

4 anos rendeu R$ 2450,00 de juros simples?

(A) 11,6%.

(B) 12,5%.

(C) 13,4%.

(D) 14,4%.

Resposta: C

08) Raquel comprou um apartamento financiado a uma taxa de juro simples de 36%

ao ano. Ela pagou R$ 150.300,00, quando o preço à vista era de R$ 120.000,00. Por

quanto tempo ela financiou esse apartamento?

(A) 8,1 meses.

(B) 8,2 meses.

(C) 8,3 meses.

(D) 8,4 meses.

Resposta: D

9) José comprou uma bicicleta de 18 marchas que acabou comprando-a financiada

pagando R$ 1400,00, a uma taxa de juro simples de 36% ao ano. Se o preço à vista

era R$1100,00, de quanto foi o financiamento?

(A) R$ 300,00.

(B) R$ 400,00.

(C) R$ 500,00.

(D) R$ 600,00.

Resposta: A

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Definições básicas das equações Toda equação possui igualdade e incógnita. A incógnita é um número desconhecido representado por uma letra (geralmente x). Resolver uma equação é encontrar o valor de x que torna essa igualdade verdadeira. Dada uma equação do primeiro grau qualquer, o conjunto de números, incógnitas e operações disposto à esquerda da igualdade é conhecido como primeiro membro da equação; e o que está à direita da igualdade é chamado de segundo membro da equação. Por exemplo, dada a equação:

7x + 80 = 4x – 7 O primeiro membro é composto por 7x + 80, e o segundo membro, por 4x – 7. Além disso, cada parcela que é somada ou subtraída em uma equação é chamada de termo. Logo, tomando o mesmo exemplo acima, os termos dessa equação são: 7x, 80, 4x e 7. De posse dessas definições, seguem os quatro passos para resolver uma equação do primeiro grau.

Os quatro passos da resolução de equações do primeiro grau Passo 1 – Colocar no primeiro membro todos os termos que possuem incógnita. Reescreva a equação colocando todos os termos que possuem incógnita no primeiro membro. Para tanto, utilize a seguinte regra: Trocou de membro, trocou de operação. Observe o exemplo:

7x + 80 = 4x – 7 O termo 4x está no segundo membro e deve ser colocado no primeiro. Assim, troque 4x de membro trocando também a sua operação:

7x + 80 = 4x – 7 7x – 4x + 80 = – 7

Passo 2 – Colocar no segundo membro todos os termos que não possuem incógnita. Repita o procedimento do passo anterior para transferir termos que não possuem incógnita do primeiro para o segundo membro. No exemplo abaixo (continuação do exemplo anterior), observe que + 80 é um termo que não possui incógnita. Portanto, deve ser colocado no segundo membro. Ao fazer isso, lembre-se da regra: Trocou de membro, trocou de operação.

7x – 4x + 80 = – 7 7x – 4x = – 7 – 80

Passo 3 – Simplificar as expressões em cada membro. Para esse passo, basta realizar as operações indicadas na equação. Para tanto, lembre-se de como devem ser realizadas as somas de números inteiros.

7x – 4x = – 7 – 80 3x = – 87

Passo 4 – Isolar a incógnita no primeiro membro. Em alguns casos, como no exemplo acima, a incógnita aparece sendo multiplicada (ou dividida) por um número qualquer. Para isolar a incógnita no primeiro membro da equação, deve-se considerar a seguinte regra: Caso o número esteja multiplicando a incógnita, passá-lo para o segundo membro dividindo. Caso o número esteja dividindo a incógnita, passá-lo para o segundo membro multiplicando. Por exemplo:

3x = – 87 Observe que a incógnita x está sendo multiplicada por 3. Portanto, 3 deve passar para o segundo membro dividindo. Logo, o quarto passo terá o seguinte resultado:

3x = – 87 x = – 87

3 x = – 29

Exemplo: Qual é o valor de x da equação seguinte?

2x + 9 = 4x – 18 4 4

Primeiro passo: 2x – 4x + 9 = – 18 4 4

Segundo passo: 2x – 4x = – 18 – 9 4 4

Terceiro passo: – 2x = – 27 4

Quarto passo: deve ser feito duas vezes, uma para o 4 que está dividindo e outra para o 2 que está multiplicando.

– 2x = – 27 4

– 2x = – 27·4 – 2x = – 108

x = – 108 – 2 x = 54

Lembre-se de que o resultado é positivo em virtude do jogo de sinais.

1 – Quais sentenças são equações?

a) 5𝑥 − 4 = 10

b) 2𝑥 + 1 < 7

c) 𝑥

4− 1 =

2

3

d) 𝑥 − 1 + 8 = 6𝑥

e) 5𝑥2 − 𝑥 − 4 = 8

f) 1

2𝑥 − 4 + 𝑥 > 9

2 – Entre as equações do exercício 1, diga quais são do 1º grau.

3 – Dada a equação 7𝑥 − 3 + 𝑥 = 5 − 2𝑥, responda:

a) Qual é o 1º membro?

b) Qual é o 2º membro?

c) Quais são os termos do 1º membro?

d) Quais são os termos do 2º membro?

4 – Qual é o número que colocado no lugar de x, torna verdadeira as sentenças?

a) 𝑥 + 9 = 13

b) 𝑥 − 7 = 10

c) 5𝑥 − 1 = 9

d) 𝑥 − 3 = 8

5 – Verifique se 1 é raiz da equação 4𝑥 +1

2=

9

2 .

6 – Resolva as equações:

a) 𝑥 + 5 = 8

b) 𝑥 − 4 = 3

c) 𝑥 + 6 = 5

d) 𝑥 − 7 = −7

e) 𝑥 + 9 = −1

f) 𝑥 + 28 = 11

g) 𝑥 − 109 = 5

h) 𝑥 − 39 = −79

i) 10 = 𝑥 + 8

j) 15 = 𝑥 + 20

k) 4 = 𝑥 − 10

l) 7 = 𝑥 + 8

m) 0 = 𝑥 + 12

n) −3 = 𝑥 + 10

7 – Resolva as seguintes equações:

a) 3𝑥 = 15

b) 2𝑥 = 14

c) 4𝑥 = −12

d) 7𝑥 = −21

e) 13𝑥 = 13

f) 9𝑥 = −9

g) 25𝑥 = 0

h) 35𝑥 = −105

i) 4𝑥 = 1

j) 36𝑥 = 12

k) 21 = 3𝑥

l) 84 = 6𝑥

8 – Resolva as equações:

a) 𝑥

3= 7

b) 𝑥

4= −3

c) 2𝑥

5= 4

d) 2𝑥

3= −10

e) 3𝑥

4= 30

f) 2𝑥

5= −18

9 – Resolva:

a) – 𝑥 = 9

b) – 𝑥 = −2

c) −7𝑥 = 14

d) −3𝑥 = 10

e) −5𝑥 = −12

f) −4𝑥 = 8

g) −3𝑥 = −9

h) −5𝑥 = 15

i) −2𝑥 = −10

j) 15 = −3𝑥

k) −40 = −5𝑥

10 – Determine x:

a) 6𝑥 = 2𝑥 + 16

b) 2𝑥 − 5 = 𝑥 + 1

c) 2𝑥 + 3 = 𝑥 + 4

d) 5𝑥 + 7 = 4𝑥 + 10

e) 4𝑥 − 10 = 2𝑥 + 2

f) 4𝑥 − 7 = 8𝑥 − 2

g) 2𝑥 + 1 = 4𝑥 − 7

h) 9𝑥 + 9 + 3𝑥 = 15

i) 16𝑥 − 1 = 12𝑥 + 3

j) 3𝑥 − 2 = 4𝑥 + 9

k) 5𝑥 − 3 + 𝑥 = 2𝑥 + 9

l) 17𝑥 − 7𝑥 = 𝑥 + 18

m) 𝑥 + 𝑥 − 4 = 17 − 2𝑥 + 1

n) 𝑥 + 2𝑥 + 3 − 5𝑥 = 4𝑥 − 9

o) 5𝑥 + 6𝑥 − 16 = 3𝑥 + 2𝑥 − 4

p) 5𝑥 + 4 = 3𝑥 − 2𝑥 + 4

11 – Resolva as equações:

a) 4𝑥 − 1 = 3(𝑥 − 1)

b) 3(𝑥 − 2) = 2𝑥 − 4

c) 2(𝑥 − 1) = 3𝑥 + 4

d) 3(𝑥 − 1) − 7 = 15

e) 7(𝑥 − 4) = 2𝑥 − 3

f) 3(𝑥 − 2) = 4(3 − 𝑥)

g) 3(3𝑥 − 1) = 2(3𝑥 + 2)

h) 7(𝑥 − 2) = 5(𝑥 + 3)

i) 3(2𝑥 − 1) = −2(𝑥 + 3)

j) 5𝑥 − 3(𝑥 + 2) = 15

k) 2𝑥 + 3𝑥 + 9 = 8(6 − 𝑥)

l) 4(𝑥 + 10) − 2(𝑥 − 5) = 0

m) 3(2𝑥 + 3) − 4(𝑥 − 1) = 3

n) 7(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 5) = 𝑥 − 5

o) 2(3 − 𝑥) = 3(𝑥 − 4) + 15

p) 3(5 − 𝑥) − 3(1 − 2𝑥) = 42

q) (4𝑥 + 6) − 2𝑥 = (𝑥 − 6) + 10 + 14

r) (𝑥 − 3) − (𝑥 + 2) + 2(𝑥 − 1) − 5 = 0

s) 3𝑥 − 2(4𝑥 − 3) = 2 − 3(𝑥 − 1)

t) 3(𝑥 − 1) − (𝑥 − 3) + 5(𝑥 − 2) = 18

Respostas das questão 11:

a) 𝑥 = −2

b) 𝑥 = 2

c) 𝑥 = −6

d) 𝑥 =25

3

e) 𝑥 = 5

f) 𝑥 =18

7

g) 𝑥 =7

3

h) 𝑥 =29

2

i) 𝑥 =−3

8

j) 𝑥 =21

2

k) 𝑥 = 3

l) 𝑥 = −25

m) 𝑥 = −5

n) 𝑥 = −2

o) 𝑥 =3

5

p) 𝑥 = 10

q) 𝑥 = 12

r) 𝑥 = 6

s) 𝑥 =1

2

t) 𝑥 =

1 – Resolva as equações:

a) 3𝑥 − 7 = 2𝑥 + 5

b) 7𝑥 + 8 = 4𝑥 − 10

c) 4𝑥 − 15 = −2𝑥 + 3

d) 2𝑥 − 4 − 8 = 4𝑥

e) 3𝑥 = 𝑥 + 1 + 7

f) 360 + 36𝑥 = 30𝑥

g) 2𝑥 + 5 − 5𝑥 = −1

h) 5 + 6𝑥 = 5𝑥 + 2

i) 𝑥 + 2𝑥 − 1 − 3 = 𝑥

j) −3𝑥 + 10 = 2𝑥 + 8 + 1

k) 5𝑥 − 5 + 𝑥 = 9 + 𝑥

l) 7𝑥 − 4 − 𝑥 = −2𝑥 + 8 − 3𝑥

m) – 𝑥 − 5 + 4𝑥 = −7𝑥 + 6𝑥 + 15

n) 3𝑥 − 2𝑥 = 3𝑥 + 2

o) 2 − 4𝑥 = 32 − 18𝑥 + 12

p) 2𝑥 − 1 = −3 + 𝑥 + 4

q) 3𝑥 − 2 − 2𝑥 − 3 = 0

r) 10 − 9𝑥 + 2𝑥 = 2 − 3𝑥

s) 4𝑥 − 4 − 5𝑥 = −6 + 90

t) 2 − 3𝑥 = −2𝑥 + 12 − 3𝑥

2 – Resolva as equações:

a) 7(𝑥 − 5) = 3(𝑥 + 1)

b) 3(𝑥 − 2) = 4(−𝑥 + 3)

c) 2(𝑥 + 1) − (𝑥 − 1) = 0

d) 5(𝑥 + 1) − 3(𝑥 + 2) = 0

e) 13 + 4(2𝑥 − 1) = 5(𝑥 + 2)

f) 4(𝑥 + 5) + 3(𝑥 + 5) = 21

g) 2(𝑥 + 5) − 3(5 − 𝑥) = 10

h) 8(𝑥 − 1) = 8 − 4(2𝑥 − 3)

3 – Resolva as seguintes equações:

a) 𝑥

4−

𝑥

6= 3

b) 3𝑥

4−

𝑥

3= 5

c) 𝑥

5− 1 = 9

d) 𝑥

3− 5 = 0

e) 𝑥

2+

3𝑥

5= 6

f) 𝑥

5+

𝑥

2=

7

10

g) 5𝑥 − 10 =𝑥+1

2

h) 8𝑥−1

2− 2𝑥 = 3

i) 2𝑥−7

5=

𝑥+2

3

j) 5𝑥

2= 2𝑥 +

𝑥−2

3

k) 𝑥−3

4−

2𝑥−1

5= 5

l) 𝑥−1

2+

𝑥−3

3= 6

m) 5𝑥−7

2=

1

2+ 𝑥

n) 2𝑥−1

3= 𝑥 −

𝑥−1

5

o) 𝑥

4+

3𝑥−2

2=

𝑥−3

2

p) 2(𝑥−1)

3=

3𝑥+6

5

q) 3(𝑥−5)

6+

2𝑥

4= 7

r) 𝑥

5− 2 =

5(𝑥−3)

4

4 – Resolva as seguintes equações:

a) 𝑥

2−

𝑥

4=

1

2

b) 𝑥

2−

𝑥

4= 5

c) 𝑥

5+

𝑥

2=

7

10

d) 𝑥

5+ 1 =

2𝑥

3

e) 𝑥

2+

𝑥

3= 1

f) 𝑥

3+ 4 = 2𝑥

g) 𝑥

2+ 4 =

1

3

h) 5𝑥

3−

2

5= 0

i) 𝑥 − 1 = 5 −𝑥

4

j) 𝑥 +𝑥

2= 15

k) 8𝑥

3= 2𝑥 − 9

l) 𝑥

2+

3

4=

1

6

m) 𝑥

2− 7 =

𝑥

4+ 5

n) 2𝑥 −1

2= 5𝑥 +

1

3

o) 𝑥 − 1 = 5 −𝑥

4

p) 𝑥

6+

𝑥

3= 18 −

𝑥

4

q) 𝑥

4+

𝑥

6+

𝑥

8= 26

r) 𝑥

8+

𝑥

5= 17 −

𝑥

10

s) 𝑥

4−

𝑥

3= 2𝑥 − 50

t) 5𝑥

2+ 7 = 2𝑥 + 4

u) 𝑥

2+

𝑥

3=

𝑥+7

3

v) 𝑥+2

6+

𝑥+1

4= 6

w) 𝑥−2

3−

𝑥+1

4= 4

x) 𝑥−1

2+

𝑥−2

3=

𝑥−3

4

y) 2𝑥−3

4−

1

3=

−𝑥+2

2

z) 2𝑥−3

4−

2−𝑥

3=

𝑥−1

3

aa) 3𝑥−2

4=

3𝑥+3

8

bb) 3𝑥+5

4−

2𝑥−3

3= 3

cc) 𝑥 +2(𝑥−2)

3=

5𝑥

4

dd) 2𝑥+1

4−

3(3−𝑥)

2

_____________________________________________________________________________

Respostas dos exercícios complementares:

Questão 1

a) 𝑥 = 12

b) 𝑥 = −6

c) 𝑥 = 3

d) 𝑥 = −6

e) 𝑥 = 4

f) 𝑥 = −60

g) 𝑥 = 2

h) 𝑥 = −3

i) 𝑥 = 2

j) 𝑥 =1

2

k) 𝑥 =14

5

l) 𝑥 =12

11

m) 𝑥 = 5

n) 𝑥 = −1

o) 𝑥 = 3

p) 𝑥 = 2

q) 𝑥 = 5

r) 𝑥 = 2

s) 𝑥 = −88

t) 𝑥 = 5

Questão 2

a) 𝑥 =19

2

b) 𝑥 =18

7

c) 𝑥 = −3

d) 𝑥 =1

2

e) 𝑥 =1

3

f) 𝑥 = −2

g) 𝑥 = 3

h) 𝑥 =7

4

Questão 3

a) 𝑥 = 36

b) 𝑥 = 12

c) 𝑥 = 50

d) 𝑥 = 15

e) 𝑥 = 60

f) 𝑥 = 1

g) 𝑥 =21

9

h) 𝑥 =7

4

i) 𝑥 = 31

j) 𝑥 = −4

k) 𝑥 = −37

l) 𝑥 = 9

m) 𝑥 =8

3

n) 𝑥 = −4

o) 𝑥 = −2

5

p) 𝑥 = 28

q) 𝑥 =57

6

r) 𝑥 =35

21

Respostas das questões que apresentam denominadores ( número 4)

a) 𝑥 = 2

b) 𝑥 = 20

c) 𝑥 = 1

d) 𝑥 =15

13

e) 𝑥 =6

5

f) 𝑥 =12

5

g) 𝑥 = −22

3

h) 𝑥 =6

25

i) 𝑥 =24

5

j) 𝑥 = 10

k) 𝑥 = −27

2

l) 𝑥 = −7

6

m) 𝑥 = 48

n) 𝑥 = −5

18

o) 𝑥 =24

5

p) 𝑥 = 24

q) 𝑥 = 28

r) 𝑥 = 40

s) 𝑥 = 24

t) 𝑥 = −6

u) 𝑥 =14

3

v) 𝑥 = 83

w) 𝑥 = 59

x) 𝑥 =5

7

y) 𝑥 =25

12

z) 𝑥 =13

6

aa) 𝑥 =7

3

bb) 𝑥 = 9

cc) 𝑥 =16

5

dd) 𝑥 =124

31

RACIONALIZAÇÃO

O conjunto dos números reais ℝ apresenta números que podem ser representados por

frações cujo denominador é um número irracional assim como . Nesses casos, pode-se utilizar uma fração equivalente, multiplicando o numerador e o denominador pelo radical no denominador, já que o valor numérico de uma fração não se altera se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos pelo mesmo número diferente de zero.

Assim, temos que . Esse procedimento é conhecido como racionalização do denominador, em outras palavras, esse procedimento consiste em transformar um denominador irracional em um número racional, porém sem alterar o valor numérico de uma fração. A racionalização de denominadores simplifica a execução dos cálculos, tornando-os mais rápidos de efetuar.

A seguir são apresentados alguns exemplos de como racionalizar denominadores.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

1) Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões: