Embed Size (px)
Citation preview
INT
RO
DU
ÇÃ
O À
PR
OB
AB
ILIDA
DE
2011
Conceitos básicos
Experim
ento aleatório ou fenômeno aleatório
Situações ou acontecim
entos cujos resultados não podem ser previstos
com certeza.
Um
experimento ou fenônem
o que, se for observado em condições
idênticas, pode apresentar diferentes resultados é chamado de
experimento ou fenôm
eno aleatório.
Exem
plos
• Condições clim
áticas do próximo dom
ingo.
• Taxa de inflação do próximo m
ês.
• Condição de um
item produzido.
• Resultado do lançam
ento de um dado.
• Tempo de duração de um
a lâmpada.
• Observação do núm
ero de veículos que passam por um
praça de
pedágio durante um certo intervalo.
Conceitos básicos
Exem
plos
1.Lançam
ento de um dado: Ω
= 1,2,3,4,5,6 ou Ω
=
2.O
bservação do tipo sanguíneo de um indivíduo: Ω
= A
, B, A
B,0
3.C
ondição de um item
produzido: Ω =
defeituoso, não defeituoso
4.N
úmero de veículos que passam
por uma praça de pedágio durante
um certo intervalo: Ω
= 0, 1, 2, ...
5.Tem
po de duração de uma lâm
pada (em h): Ω
= (0, ∞∞∞ ∞
)
Espaço am
ostral (Ω)
Conjunto de todos os possíveis resultados de um
experimento ou
fenômeno aleatório.
Conceitos básicos
Exem
plo
Lançamento de um
dado: Ω =
1,2,3,4,5,6.
Evento
Subconjunto do espaço am
ostral Ω.
Notação: A
, B, C
,...
Exem
plos. Eventos do exem
plo acima:
A.
Resultado é par: A
= 2, 4, 6 (evento com
posto)
B.
Resultado é m
aior do que 3: B =
4, 5, 6 (evento composto)
C.
Resultado igual a 1: C
= 1 (evento sim
ples)
D.
Resultado m
aior do que 6: D =
∅ (evento im
possível)
E.
Resultado m
enor do que 7: D =
Ω (evento certo)
Operações com
eventos
A e B
são eventos de Ω
• A ∪
B: união dos eventos A
e B
Ocorrência de pelo m
enos um dos eventos A
e B.
• A ∩
B: intersecção dos eventos A
e B
Ocorrência sim
ultânea dos eventos A e B
.
• A
e B
são
disjuntos ou
mutuam
ente exclusivos
quando não
têm
elementos em
comum
, isto é, A ∩
B =
∅.
• A e B
são complem
entares se A ∩
B =
∅ e A
∪ B
= Ω
.
• O com
plementar de um
evento A é representado por
Ao
uA
C
Operações com
eventos
Interpretações de probabilidade
Probabilidade em
espaços equiprováveis
Se
um
experimento
aleatório tiver
n(Ω)
resultados m
utuamente
exclusivos e igualmente possíveis e, se um
evento A tiver n(A
) desses resultados, a probabilidade do evento A
, representada por P(A
), é dada por
)(
)(
)(
Ω=
n
An
AP
Exem
plo. Lançam
ento de
dois dados
balanceados. C
alcular a
probabilidade de
a)se obter som
a das faces igual a 7,
b)se obter som
a maior do que 5,
c)que o resultado do prim
eiro dado seja maior do que o resultado do
segundo.
=Ω
6,6
5,6
4,6
6,5
5,5
4,5
6,4
5,4
4,4
3,6
2,6
1,6
3,5
2,5
1,5
3,4
2,4
1,4
6,3
5,3
4,3
6,2
5,2
4,2
6,1
5,1
4,1
3,3
2,3
1,3
3,2
2,2
1,2
3,1
2,1
1,1
a)A
= (6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(6,1)
⇒ P
(A) =
n(A) / n(Ω
) = 6 /36=
1/6
b) P(B
) = 26/36.
c) P(C
) = 15/36.
Um
experimento é realizado n vezes (n “grande”). O
evento A ocorre
exatamente n(A
) vezes (0 ≤ n(A) ≤ n) . A
frequência relativa de vezes que ocorreu o evento A
é uma form
a de aproximar a probabilidade do
evento A, ou seja,
n
An
Ar
)(
)(
f=
Quando n →
∞∞∞ ∞, fr (A
) se aproxima de P
(A).
Probabilidade frequentista ou clássica
Exem
plo. Lançamento de um
a moeda balanceada. C
alcular a probabilidade de A
= resultado obtido é cara.
fr
1
fr2
fr3
fr4
... P
(A)
Cara
2/5
6
/10
2
2/5
0
47
/10
0
... 0
,5
n
5
10
5
0
10
0
... ∞
Interpretações de probabilidade
Definição axiom
ática
A
probabilidade de
um
evento A
é
definida com
o sendo
um
número
P(A
) satisfazendo aos seguintes axiom
as:
.)(
AP
então
,ex
clusiv
os
m
utu
amen
te
even
tos
são
,
,S
e(iii)
,1
)(
(ii)
,,
1)
(0
(i)
11
i
i
21
∑∞=
∞=
=
=Ω
Ω⊂
∀≤
≤
i
iA
P
AA
P
AA
P
U
K
Propriedades
).(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
então
,,
,.5
).(
)(
)(
)(
en
tão ,
,.4
).(
)(
en
tão,
.3
).(
1)
(en
tão,
.2
.0)
(.1
CB
AP
CA
PC
BP
BA
PC
PB
PA
PC
BA
P
CB
AS
e
BA
PB
PA
PB
AP
BA
Se
BP
AP
BA
Se
AP
AP
AS
e
P
c
∩∩
+∩
−∩
−∩
−+
+=
∪∪
Ω⊂
∩−
+=
∪Ω
⊂
≤Ω
⊂⊂
−=
Ω⊂ =
Φ
Definições de probabilidade
Probabilidade condicional e independência
A
e B
sã
o
dois eventos
em
um
mesm
o espaço
amostral
Ω.
A
probabilidade condicional de A
dado que ocorreu o evento B, denotada
por P(A
|B), é definida com
o
Exem
plo. S
elecionamos
dois itens,
ao acaso,
um
a um
e
sem
reposição, de um lote que contém
10 itens do tipo A e 5 do tipo B
. Q
ual é a probabilidade de que
(a) o primeiro item
seja do tipo A?
(b) o segundo seja do tipo B se o prim
eiro item foi do tipo A
?
(1)
.0
)(
se
,)
(
)(
)|
(>
∩=
BP
BP
BA
PB
AP
Definim
os os eventos
A"
tip
odo
é
item
2 o
" :
;A
"
tipo
do
é
item
1
o"
:
o
2
o
1
V V(a) .
3 2
15
10
)(
1=
=V
P
(b)
14 5
)|
(1
2=
VV
Pc
Essas probabilidades podem
ser representados em um
a árvore de probabilidades .
Árvore de probabilidades
Da expressão (1) obtém
-se uma relação útil:
),|
()
()
(B
AP
BP
BA
P=
∩
conhecida como regra do produto de probabilidades ou probabilidade da
interseção.
Exem
plo. N
o exem
plo anterior
suponha que
temos
interesse em
determ
inar a probabilidade de que os dois itens selecionados sejam do
tipo B.
21 2
14 4
15 5
)|
()
()
P(
B"
tip
od
o
são
itens
2
o e
1 o
:"
é ev
ento
O
12
12
1
oo
21
=×
==
∩
∩
cc
cc
c
cc
VV
PV
PV
V
VV
Resultado. S
e B é um
evento em Ω
tal que P(B
) >0, então
).|
()
|(
)|
()
|(
então
,,
.3
)|
P(A
1)
|(
ou
)|
(1
)|
P(A
en
tão ,
A S
e .
2
0)
|(
.1
cc
BC
AP
BC
PB
AP
BC
AP
CA
Se
BB
AP
BA
PB
BP
∩−
+=
∪
Ω⊂
−=
−=
Ω⊂
=φ
Exem
plo. Um
representante avalia que sua probabilidade de realizar um
bom negócio em
um certo dia é 0,35 e a probabilidade de realizar bons
negócios em dois dias consecutivos é 0,25.
Se um
bom negócio foi realizado no prim
eiro dia, qual a probabilidade de que no dia seguinte não seja realizado um
bom negócio ?
Solução. D
efinimos os eventos A
: ”um bom
negócio é realizado no 1o dia”
e B: ” um
bom negócio é realizado no 2
o dia”.
Do
enunciado do
problema
temos
P(A
) =
0,35
e P
(A∩
B)
=
0,25. A
probabilidade pedida é
.2
86
,0
35
,0
25
,0
1)
(
)(
1)
|(
1)
|(
=−
=∩
−=
−=
AP
BA
PA
BP
AB
Pc
Dois
eventos A
e
B
em
Ω
são independentes
se a
informação
da ocorrência ou não de B
não altera a probabilidade de ocorrência de A.
Isto é,
P(A
| B) =
P(A
), P(B
) > 0.
Exem
plo. E
m
uma
fábrica 20%
dos
lotes produzidos
têm
componentes
do fornecedor A
, 8% têm
componentes do fornecedor V
e 4% têm
componentes de
ambos. S
elecionamos ao acaso um
item produzido nesta fábrica.
(a) Os eventos relacionados aos dois fornecedores são independentes?
(b) Se o lote selecionado tem
componentes do fornecedor V, qual a probabilidade
de que tenha componentes do fornecedor A
?
(c) Q
ual é
a probabilidade
de um
lote
não ter
componentes
destes dois
fornecedores?
Independência de eventos
Logo, dois eventos A e B
são independentes se, e somente se,
P(A
∩ B
) = P
(A)P
(B).
Solução. A
: “o lote tem com
ponentes do fornecedor A”, V
: “o lote tem
componentes do fornecedor V
”.
Do enunciado tem
os P(A
) = 0,20, P
(V) =
0,08 e P(A
∩ V
) = 0,04.
.5
0,
00
8,
0
04
,0
)(
)(
)|
()
(
.tes
ind
epen
den
sãon
ãoe
),(
)(
)(
C
om
o
.0
4,
0)
(
e
01
6,
02,
00
8,
0)
()
()
(
==
∩=
≠∩
=∩
=×
=
VP
VA
PV
AP
b
VA
AP
VP
AV
P
AV
P
AP
VP
a
.7
6,
0)
04
,0
2,0
08
,0(
1
)(
)(
)(
1
)(
1)
)((
)(
=−
+−
=
∩−
+−
=
∪−
=∪
AV
PA
PV
P
AV
PA
VP
cc
Resultado. S
e A e B
são eventos independentes em Ω
, então
tesin
dep
end
en
são
(iii)
tesin
dep
end
en
são
)(
tes.in
dep
end
en
são
)(
cc
c
c
Be
A
Be
Aii
Be
Ai
.9
4,
07,
08,
07,
08,
0
cia)in
dep
end
ên
(sup
on
do
)
(B)
P(B
)P
(B)
P(B
)(
P)
P(B
)P
(B)
(P
Lo
go
,.
7,0
)(
Pe
8,0
)P
(B
1
,2.
i ,alv
o"
o
acerta
atirado
r o
:"B :
Ev
ento
s
21
21
21
21
21
21
=×
−+
=
−+
=
∩−
+=
∪
==
=
P
BB
BB
B
ii
Exem
plo. Um
atirador acerta 80% de seus disparos e outro (nas m
esmas
condições de tiro), 70%. Q
ual a probabilidade de o alvo ser acertado se am
bos os atiradores dispararem sim
ultaneamente?
[][
].
94
,0
]7,
01
][8,
01[
1)
P(B
1)
P(B
11
)(
)(
1)
(1
))
((1
)(
:so
lução
O
utra
21
21
21
21
21
=−
−−
=−
−−
=
−=
∩−
=∪
−=
∪c
cc
cc
BP
BP
BB
PB
BP
BB
P
Fórm
ula de Bayes
Teorema
da probabilidade
total. S
e B
1 ,...,Bk
formam
um
a partição do espaço am
ostral Ω, então para qualquer evento A
em
Ω, vale
.)|
()
()
|(
)(
)|
()
()
(1
11
∑=
=+
+=
ki
ii
kk
BA
PB
PB
AP
BP
BA
PB
PA
PL
Partição do espaço am
ostral. Um
a coleção de eventos B1 ,...,B
k forma
uma partição do espaço am
ostral se eles são mutuam
ente exclusivos e se sua união é igual ao espaço am
ostral.
Fórm
ula de Bayes
. Se B
1 ,...,Bk form
am um
a partição do espaço amostral Ω
, e A é evento
em Ω
com P
(A) >
0, então
.
)|
()
(
)|
()
()
|(
1
∑=
=k
i
ii
ii
i
BA
PB
P
BA
PB
PA
BP
Exem
plo. Um
a montadora trabalha com
dois fornecedores (A e B
) de um
a determ
inada peça.
Sabe-se
que 10%
e
5%
das peças
proveniente dos fornecedores A e B
, respectivamente, estão fora
das especificações.
A
montadora
recebe 30%
das
peças do
fornecedor A e 70%
de B. S
e uma peça do estoque inteiro é
escolhida ao acaso, (a) calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificações. (b) se um
a peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a probabilidade de que tenha sido fornecida por A
?
Solução. E
ventos:
A: “ peça selecionada foi fornecida por A
”,
B:” peça selecionada foi fornecida por B
” e
E:”peça selecionada não atende às especificações”.
Do enunciado do problem
a temos P
(A) =
0,30, P(B
) = 0,70, P
(E|A
) = 0,10 e
P(E
|B) =
0,05.
(a)F
órmula da probabilidade total:
P(E
) = P
(A)P
(E|A
) + P
(B)P
(E|B
) = 0,30 × 0,10 +
0,70 × 0,05 = 0,065.
(a)P
(A|E
) = ?
Pela fórm
ula de Bayes,
0,4
6.
06
5,0 0
3,0
05
,07
0,0
10
,03
0,0
10
,03
0,0
)|
()
()
|(
)(
)|
()
()
|(
==
×+
×
×=
+=
BE
PB
PA
EP
AP
AE
PA
PE
AP
A solução do exem
plo anterior é facilitada pela árvore de probabilidades:
