PROBLEMA 12 André Cardoso, Nº2

Catarina Coval, Nº3

Patrícia Santos, Nº 13

ENUNCIADO

Uma taça contém 13 bolas, de três cores, indistinguíveis ao tacto: 4 vermelhas, 3 pretas e 6 amarelas.

Retira-se ao acaso, três bolas. Determina a probabilidade de as bolas:

Serem todas da mesma cor;

Serem uma de cada cor;

Não serem da mesma cor.

Às treze bolas foram acrescentadas mais bolas pretas. São retiradas sucessivamente, sem reposição, duas bolas. Considera os acontecimentos:

A: “a primeira bola retirada é vermelha”;

B: “a segunda bola retirada não é amarela”.

Determina quantas bolas pretas foram introduzidas de novo na taça, sabendo que a probabilidade condicionada p(B|A) é 70%. 2

P(SEREM TODAS DA MESMA COR)

4C3 + 3C3 + 6C3 13C3

≈ 0,0874

Combinações possíveis

se as três bolas que

saírem serem vermelhas

Combinações possíveis

de as três bolas que

saírem terem cor preta Combinações possíveis

de as três bolas que

saírem possuírem a

cor amarela

Utiliza-se o símbolo

da adição porque ou

se escolhe uma ou

outra ou outra.

Número total de combinações

caso se escolha três bolas

aleatoriamente e

independentemente da cor

(número de casos possíveis)

3

P (SEREM UMA DE CADA COR)

4A1 x 3A1 x 6A1 13C3

≈ 0,2517

Utiliza-se o símbolo da

multiplicação porque

se escolhe uma e mais

uma e mais outra. Escolha de uma bola

das seis de cor amarela,

sem repetição

Escolha de uma bola

das três de cor preta,

sem repetição

Escolha de uma bola das

quatro de cor vermelha,

sem repetição Número total de combinações

caso se escolha três bolas

aleatoriamente e

independentemente da cor

(número de casos possíveis)

4

P (NÃO SEREM DA MESMA COR)

4C3 + 3C3 + 6C3 13C3

≈ 0,9126 1 -

Número total de combinações

caso se escolha três bolas

aleatoriamente e

independentemente da cor

(número de casos possíveis)

Visto que, o

acontecimento

“serem todas da

mesma cor” é o

acontecimento

contrário do

acontecimento “não

serem da mesma

cor” e sabendo que,

a soma de

acontecimentos

contrários é 1,

então p(não serem

da mesma cor) é

igual a: Combinações

possíveis se as três

bolas que saírem

serem vermelhas

Combinações possíveis

de as três bolas que

saírem terem cor preta Combinações possíveis

de as três bolas que

saírem possuírem a

cor amarela

5

Nº DE BOLAS PRETAS INTRODUZIDAS

3 vermelhas

3+X pretas

6 amarelas

)(

)()|(

Ap

ABpABp

xx,,

x

x, 67048

12

670

4,867,0 xx

3,0

4,2x

4,23,0 x

8 x

R: Foram introduzidas

8 bolas pretas na taça.

Probabilidade de sair bola

amarela sabendo que a primeira

(vermelha) já saiu

6

COMPOSIÇÃO

LEI DE LAPLACE

Seja E uma experiência aleatória (de uma taça

com treze bolas de cores diferentes retirar três

bolas ao acaso), sendo equiprováveis os n

acontecimentos elementares. A probabilidade de

um acontecimento é dada pelo quociente entre o

número de casos favoráveis (n.c.f.) e o número de

casos possíveis (n.c.p.).

7

COMPOSIÇÃO (CONTINUAÇÃO)

Neste problema, o n.c.p. corresponde ao número

total de combinações caso se escolha três bolas

aleatoriamente e independentemente da cor.

Corresponde a:

O n.c.f., no caso da primeira e última alínea do

primeiro exercício, corresponde ao número total

de combinações possíveis caso as três bolas que

são extraídas sejam da mesma cor. Corresponde

a:

O n.c.f., na segunda alínea da primeira questão,

corresponde à escolha de uma bola de cada cor,

sem repetição. Corresponde a:

13C3

4C3 + 3C3 + 6C3

4A1 x 3A1 x 6A1 8

COMPOSIÇÃO (CONTINUAÇÃO)

Relativamente à segunda questão, o que se

pretende é determinar a probabilidade de não

sair bola de cor amarela sabendo que a primeira,

que possuía cor vermelha, já saiu e não foi

reposta.

9

EXPLORAÇÃO

Sabendo que se retirou o numero de bolas

suficientes para que haja o mesmo número de

bolas para cada cor.

Determina a probabilidade de sair duas bolas pretas

e uma vermelha ou amarela (p(P)), aleatoriamente

e sem reposição.

Determina a probabilidade de sair duas bolas pretas

e uma vermelha ou amarela (p(P)), aleatoriamente

e com reposição.

10

P

P

P

V

A

V

P

V

A

A

P

V

A

V

P

P

V

A

V

P

V

A

A

P

V

A

A

P

P

V

A

V

P

V

A

A

P

V

A

28

1

7

3

8

2

9

3

28

1

7

2

8

3

9

3

28

1

2

2

8

3

9

3

28

1

7

3

8

2

9

3

28

1

7

2

8

3

9

3

28

1

7

2

8

3

9

3

3 bolas vermelhas

3 bolas pretas

3 bolas amarelas

9 bolas

11

P(P) SEM REPOSIÇÃO

14

3)(

168

6)(

28

16)(

28

1

28

1

28

1

28

1

28

1

28

1)(

Pp

Pp

Pp

Pp

12

P

P

P

V

A

V

P

V

A

A

P

V

A

V

P

P

V

A

V

P

V

A

A

P

V

A

A

P

P

V

A

V

P

V

A

A

P

V

A

27

1

729

27

9

3

9

3

9

33 bolas vermelhas

3 bolas pretas

3 bolas amarelas

9 bolas

27

1

729

27

9

9

9

3

9

3

27

1

729

27

9

9

9

3

9

3

27

1

729

27

9

9

9

3

9

3

27

1

729

27

9

9

9

3

9

3

27

1

729

27

9

9

9

3

9

3

13

P(P) COM REPOSIÇÃO

127

1)(

162

6)(

27

16)(

27

1

27

1

27

1

27

1

27

1

27

1)(

Pp

Pp

Pp

Pp

14

FIM!

15