TRABALHO DE PARES : PROBLEMA 8

PROBLEMA 8

A Filomena tem uma colecção de sete bonecas

“Matrioshkas”, todas de tamanhos diferentes.

Admite que as bonecas são numeradas, de

forma aleatória, de 1 a 7.

1. Determina a probabilidade de a numeração ser

feita de modo a:

1.1. Haver uma ordenação crescente do tamanho

das bonecas.

1.2. Os números pares serem atribuídos a três das

quatro maiores bonecas.

03

|n

ov|

2011

T

rab

alh

o d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

2

2. Considera os acontecimentos A e B tais que :

A: “ A boneca mais pequena tem o número 7 e a

boneca maior o número 1”

B: “ A numeração das bonecas coincidir com uma

ordenação decrescente do seu tamanho”

Indica , justificando, o valor da probabilidade

condicionada p(B|A). Apresenta o resultado na forma

de fração irredutível.

03

|n

ov|

2011

T

rab

alh

o d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

3

PARA UMA MAIOR EXPLORAÇÃO…

«Foram escolhidas 7 Matrioshkas para uma

exposição: 4 amarelas, 2 vermelhas e uma branca.

Escolhendo, ao acaso, 3 Matrioshkas, qual a

probabilidade de se obter pelo menos 2 Matrioshkas

amarelas?»

03

|n

ov|

2011

T

rab

alh

o d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

4

Apenas uma das seguintes respostas está correta.

Resposta I: Resposta II:

Elabore uma composição na qual:

. Enuncie a lei de Laplace

. Indique e explique a resposta correcta

. Proponha uma correcção para a resposta incorreta e explique-a

no contexto do problema.

CCC

3

7

3

4

2

43

CCC

3

7

2

3

3

74

1.1

n.c.f : 1 (só existe uma forma de elas ficarem dispostas

como pedido)

n.c.p : 7! = 5040

p(“ordenação crescente do tamanho das bonecas”) =

1 2 3 4 5 6 7

!7

1

03

|n

ov|

2011

T

rab

alh

o d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

5

1.2

Números pares: {2,4,6}

p(“números pares serem atribuídos a três das 4

maiores Matrioshkas”) = =

Ímpar, 2, 4, 6

Ímpar, 4, 2, 6

6, 4, Ímpar, 2

03

|n

ov|

2011

T

rab

alh

o d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

6

!7

!43

4A

567

3

4

A

2

O acontecimento B|A é uma restrição do

acontecimento do problema 1.1. a 5 bonecas.

7 6 5 4 3 2 1

03

|n

ov|

2011

T

rab

alh

o d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

7

… n bonecas

p(“ordenação crescente do tamanho das bonecas”) =

Estude-se o caso geral em que se considera n

bonecas:

03

|n

ov|

2011

T

rab

alh

o d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

8

!

1

n

Sendo assim, se o problema é reduzido a cinco bonecas , a

p(“ordenação crescente do tamanho das bonecas”) é dada por . !5

1

UMA OUTRA INTERPRETAÇÃO…

Utilizando a definição de probabilidade

condicionada, corresponde a p(B).

p(A) corresponde à probabilidade de atribuir os

números de 6 a 2 às cinco bonecas centrais:

03

|n

ov|

2011

9

Tra

ba

lho d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

B

A

7 6 5 4 3 2 1

03

|n

ov|

2011

10

Tra

ba

lho d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

Utilizando a definição de probabilidade condicionada…

O resultado pode ser confirmado com a resolução

anteriormente apresentada!

COMPOSIÇÃO MATEMÁTICA

Seja E uma experiência aleatória , sendo equiprováveis os n acontecimentos elementares. Seja A um acontecimento cuja probabilidade é dada pelo quociente entre o nº de casos favoráveis e o nº de casos possíveis.

Analisando o problema é possível constatar duas situações distintas: existirem duas ou três Matrioshkas amarelas. Sendo assim , e segundo a lei de Laplace, a resposta correcta é a I. A possibilidade de existirem 2 Matrioshkas amarelas, no seu total de 4, é dada pelas combinações de quatro bonecas amarelas duas a duas. Visto que o objectivo é retirar três bonecas, uma é obrigatoriamente vermelha ou branca. Existem duas vermelhas e uma branca pelo que há três possibilidades para a boneca que não é amarela( ).

Há ainda uma possibilidade que satisfaz o pedido( serem as três amarelas). Como no total existem quatro bonecas amarelas para escolher, ao acaso três , e uma vez que a alteração da ordem não gera uma nova situação, usa-se as combinações de quatro três a três ( ).

03

|n

ov|

2011

11

Tra

ba

lho d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

C2

43

C3

4

O número de casos favoráveis é então dado pela adição das duas

possibilidades ( ).

Como existem no total sete bonecas e o objectivo é escolher três o

numero de casos possíveis é dado por .

A opção de resposta II está errada por se apresentar incompleta no

número de casos favoráveis; o número de casos possíveis está, no

entanto, apresentado correctamente. A resposta II apresenta o

resultado sob a forma de acontecimento contrário.

A forma como a probabilidade está apresentada apenas contempla a

possibilidade de existir uma boneca amarela estando portanto

esquecida a possibilidade de “nenhuma boneca amarela”.

O acontecimento “ nenhuma boneca amarela” é dado por pois

existem três bonecas para serem escolhidas das três que não são

amarelas( duas vermelhas e uma branca).

Deste modo, uma possível correcção passaria por:

03

|n

ov|

2011

12

Tra

ba

lho d

e p

are

s | A

na

Sá

| In

ês S

á

CC 2

4

3

43

C3

7

C3

3

CCCC

3

7

32

3

3

7)34(