Problemas envolvendo a derivada

Problemas envolvendo a derivada

Problema 1: A funo representa as oscilaes de uma mola com uma massa m presa em uma de suas extremidades, sendo k a constante elstica mola.

a) Encontre o instante no qual a massa est mais distante do seu ponto de equilbrio. Encontre o instante no qual a massa est se movimentando com velocidade mxima. Encontre o instante no qual a massa est se movimentando com acelerao mxima.

b) Qual o perodo T da oscilao?

c) Encontre . O que nos diz o sinal de ?

Problema 2: Seja a funo . Investigue algumas das propriedades de f, atravs das questes:

a) Qual o domnio de f?

b) f peridica?

c) f assume valores negativos?

d) f tem razes?

e) f tem algum valor mximo? E mnimo?

f) f o resultado da composio de uma funo exponencial com uma funo trigonomtrica. A funo f cresce infinitamente como uma funo exponencial?

g) Qual a imagem de f?

Problema 3: Consideremos a situao onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia v formando um cone na parte inferior, cujo raio sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia constante e de 50 mm3/s, determine a taxa de crescimento da altura do cone, aps 5 minutos do incio do fenmeno.

Problema 4: Seja a funo h(x)=f(g(x)), sendo g(x)=cos x. Sabendo que f(1)=3, determine o valor de .

Problema 5: Dadas as funes e definidas para :

a) Resolva as equaes: f(x)=1 e g(x)=1.

b) D uma interpretao grfica dos resultados da parte a), em termos das inclinaes dos grficos das funes f e g.

Problema 6: Resolva a equao diferencial .

Problema 7: Obtenha o aumento do volume de uma esfera quando seu raio varia de 3cm a 3,1cm.

Problema 8: Um terreno, em desapropriao para reforma agrria, tem a forma de um quadrado. Estima-se que seus lados medem 1500m, com um erro mximo de 50m. Usando taxa de variao, determine o possvel erro no clculo da rea do terreno.

Problema 9: Um tanque de leo deve ser drenado para limpeza. Sobram V gales de leo no tanque t minutos aps o incio da drenagem, onde , calcule:

a) a taxa mdia em que drenado o leo para fora do tanque durante os primeiros 30 minutos.

b) a taxa em que o leo est fluindo para fora do tanque 30 minutos aps o incio da drenagem.

Problema 10: Prove que a derivada de uma funo par uma funo mpar, bem como a derivada de uma funo mpar uma funo par.

Problema 11: Nos carros da Frmula 1 utiliza-se um pneu de ultra-aderncia cuja consistncia mais macia do que a de um pneu normal e cuja superfcie de contato plana pneu slick. Um fabricante desse tipo de pneus garante que a quantidade de borracha gasta em mdia quando um carro est rodando a 200km/h de 1,5cm2/s. Sabendo que esse pneu, quando novo, tem dimetro de 45cm e largura de 30cm, encontre:

a) a taxa de variao do dimetro do pneu para um carro rodando nessas condies?

b) a taxa de variao do dimetro quando o pneu, j usado, estiver com dimetro de 42,7cm?

Problema 12: Mostre que a funo satisfaz a equao diferencial .

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