Universidade Federal do AcreDisciplina: Processamento Digitais de Sinais

Docente: Prof Dr. Omar Vilcanqui Discentes: Caroline Oliveira

Sara Andrade

FILTROS IIR

IntroduçãoEm todo sistema de comunicação o ponto crucial e o

transporte do sinal de informação de um ponto onde se localiza o transmissor a outro ponto remoto, onde se localiza o receptor de destino. Ate meados da década de 60, devido a natureza analógica dos sinais de informação, esses sinais eram convertidos em formas de onda de corrente ou tensão, e tratados por elementos de circuito (HAYKIN, 2001). Atualmente com o avanço das tecnologias digitais, os sinais são convertidos para uma representação discreta (digital) que pode ser facilmente compreendida e manipulada por um processador digital

O processamento normalmente executado feito em sinais discretos e a operação conhecida como filtragem. Filtrar um sinal significa selecionar desse sinal quais frequências são desejadas e quais são indesejadas (DINIZ, 2004).ida e manipulada por um processador digital

Filtro IIRA resposta de um filtro de Resposta Infinita ao Impulso (IIR) é

função dos sinais de entrada presentes e passados, e dos sinais de saída passados. A equação diferencial representa um filtro IIR porque é uma função dos elementos de excitação e resposta. A dependência das saídas passadas (recursividade) faz com que a duração da resposta seja infinita, mesmo quando cessaram os sinais de entrada. A equação do fltro IIR é representada da seguinte forma:

Onde e são coeficientes do filtro.𝑎𝑘 𝑏𝑘

Vantagens do filtro IIR

O filtro IIR requer menos coeficientes que o filtro FIR, para uma mesma especificação. Assim, apresentam menor tempo de execução;

Filtros analógicos podem ser transformados em um filtro digital IIR equivalente com as mesmas especificações;

Desvantagens

A resposta de fase dos filtros IIR são não-lineares. Assim, não é possível saber a defasagem incorrida ao sinal filtrado;

A estabilidade dos filtros IIR não pode ser sempre garantida devido a sua forma recursiva;

Projetos do filtro IIR

Duas são as abordagens mais usadas no projeto de filtros IIR digitais. Uma consiste em projetos de filtros IIR digital que consistem em utilizar um procedimento algoritmo de projeto, o qual geralmente exige o uso de um computador para resolver uma serie de equações lineares e não lineares. A outra e a mais comumente utilizada que consiste em projetar um filtro IIR analógico, e então transforma-lo em um filtro digital equivalente.

Projetos do filtro IIRPrimeiramente deve-se projetar um filtro passa-baixas

analógico, para em seguida projetar a partir deste um filtro IIR passa-baixas digital. O projeto de um filtro digital a partir de um protótipo analógico requer que transformemos h(t) em h[n] ou H(s) em H(z). Um mapeamento do plano s (domínio da transformada de Laplace) para o plano z (domínio da transformada Z) pode ser es

crito como

Em que, H(z) e a função sistema no domínio discreto, Ha(s) e a função sistema no domínio analógico e s=m(z) e uma função de mapeamento.

Calculo dos coeficientes

Os cálculos dos coeficientes do filtro IIR são tradicionalmente baseados na transformação das características conhecidas de um filtro analógico em um filtro digital equivalente.

Os métodos mais comuns de conversão de filtros analógicos em digitais são:

Método do impulso invariante; Transformada Z bilinear;

Calculo dos coeficientes

O mais utilizado é o método da transformada bilinear, pois ele permite o projeto de filtros digitais a partir das características de filtros analógicos clássicos, como o Butterworth ,Chebyshev (tipo I e II) e Elíptico.

Transformação BilinearA transformação bilinear e um mapeamento algébrico

entre o plano s e o plano z realizado de tal forma que todo o eixo imaginário do plano s seja mapeado no circulo de raio unitário (frequências de tempo discreto) no domínio da transformada z. Esse mapeamento tem como característica ser não linear. Essa transformação e dada por:

Eq. 1

A relação entre o eixo jR e o circulo unitário e não linear e é dada pela função de deformação de frequência.

Eq. II

A transformação bilinear preservara apenas a resposta de magnitude dos filtros analógicos que tenham resposta ideal constante.

Filtro Butterworth

Os filtros de Butterworth são especificados de modo a terem uma função de transferência com o mínimo de oscilações tanto na banda passante como na banda de corte.

Filtro Chebyshev I

Possuem um aumento na atenuação mais íngreme e uma maior ondulação (ripple) na banda passante que os Filtros Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda passante.

Filtro Chebyshev II

Os filtros de tipo 2 têm as mesmas características gerais do que os filtros Chebyshev do tipo 1, mas deixam mais ondulação na banda de corte.

Filtro ElípticoO filtro elíptico é um filtro com ondulações

(ripple) na banda passante e na banda de corte.

Isto significa que ele minimiza o erro máximo em ambas as bandas, ao contrário do filtro Chebyshev, que apresenta ripple apenas na banda passante, ou no caso do Chebyshev inverso, na banda rejeitada.

Onde, a ordem do filtro N será dada por:

Onde 𝜀: parâmetro de oscilação da banda passante;A: atenuação da banda de rejeição, em dB;Ω : frequência limite da banda de rejeição;𝑠Ω : frequência limite da banda passante;𝑝

Projeto final do filtro digital IIR

Para uma frequência de corte ωp na faixa de passagem, uma frequência de corte ωs na faixa de rejeição, um ripple δp na faixa de passagem e um ripple δs na faixa de rejeição, apresenta-se os seguintes passos par

Passo 1. Usando a função inversa da [Eq. II], obtém-se a pré-formação das frequências de corte das faixas de passagem e de rejeição do filtro digital, ωp e ωs, para determinar as frequências de corte das faixas de passagem e de rejeição do filtro analógico passa-baixas.

Passo 2. Projetar um filtro analógico passa-baixas com as frequências de corte encontradas no passo 1 e com os ripples das faixas de passagem e de rejeição δp e δs, respectivamente.

Passo 3. Aplicar a transformação bilinear ao filtro projetado no passo 2.

ExemploUtilizando o filtro Butterworth:

Observa-se o comportamento monotônico nas bandas de passagem e rejeição.

ExemploUtilizando o filtro chebyshev I:

Observa-se o comportamento oscilatório somente na banda passante.

ExemploUtilizando o filtro chebyshev II:

Observa-se o comportamento oscilatório somente na banda de rejeição

ExemploUtilizando o filtro Elíptico:

Observa se o comportamento oscilatório tanto na banda de passagem quanto de rejeição

Comparação com o filtro FIR

Conclusão

A melhor opção é o filtro IIR, pois este proporciona ordens menores se comparado ao filtro FIR.

Os Filtros IIR são algebricamente mais simples, devido a vasta literatura sobre filtros analógicos (Butterworth, Chebyshev I e II, Elíptico, entre outros).

Os filtros IIR são bastante utilizados quando for necessário realizar conversão das especificações de um filtro analógico.