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Instituto Superior Politécnico de ViseuEscola Superior de Tecnologia de ViseuCurso de Engenharia de Sistemas e Informática
Manuel A. E. Baptista, Eng.º
Processamento Digital de SinalAula 134.º Ano – 2.º Semestre
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Programa:
1. Introdução ao Processamento Digital de Sinal
2. Representação e Análise de Sinais
3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR
4. Processamento de Imagem
5. Processadores Digitais de Sinal
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Bibliografia:Processamento Digital de Sinal:•Sanjit K. Mitra, “Digital Signal Processing – A computer based approach”, McGraw Hill, 1998 Cota: 621.391 MIT DIG•Roman Kuc, “Introduction to Digital Signal Processing”, McGraw Hill, 1988.Cota: 621.391 KUC INT•Johnny R. Johnson, “Introduction to Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, 1989.Cota: 621.391 JOH INTG. Proakis, G. Manolakis, “Digital Signal Processing – Principles, Algorithms Applications”, 3ª Ed, P-Hall, 1996.Cota: 621.391 PRO DIG•James V. Candy, “Signal Processing – The modern Approach”, McGraw-Hill, 1988Cota: 621.391 CAN SIG•Mark J. T., Russel M., “Introduction to DSP – A computer Laboratory Textbook”, John Wiley & Sons, 1992.Cota: 621.391 SMI INT•James H. McClellan e outros, “Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5”, Prentice-Hall, 1998.Cota: 621.391 MCC COM
Processamento Digital de Imagem:•Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, “Digital Image Processing ”, Prentice Hall, 2ª Ed., 2002.Cota: 681.5 GON DIG. •I. Pittas H. McClellan e outros, “Digital Image Processing Algorithms and Applications”, John Wiley & Sons, 2000. Cota: 621.391 PIT. •William K. Pratt, “Digital image processing”, John Wiley, 2ª Ed, 1991. Cota: 681.5 PRA DIG •Bernd Jãhne, “Digital image processing : concepts, algorithms, and scientific applications”, Springer, 1997. Cota: 681.5 JAH
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Avaliação:A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática
ponderadas da seguinte forma:
Classificação Final = 80% * Frequência ou exame + 20% * Prática
O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota da prova de frequência obtida.
A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar em MATLAB
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Filtros FIR e IIR
• Projecto de Filtros IIR– Especificações de Projecto de Filtros– Projecto de Filtros Analógicos– Filtros Digitais a partir de protótipos Analógicos
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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto
• O processo de projecto dum Filtro
Projecto ImplementaçãoAnáliseProb
lema
Solução
G(z)função de
transferência
desempenholimitações
• resposta em módulo• resposta em fase• custo/complexidade
• FIR/IIR• subtipo• ordem
• plataforma• estrutura• ...
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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Limitações de desempenho
• .. em termos de resposta em módulo:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 π-40
-30
-20
-10
0
frequency ω
gain
/ dB
passbandedge
frequency
Passband
Stopband
passbandripple
minimumstopband
attenuation
optimalfilter
will touchhere
stopbandedge
frequency
trans
ition
ban
d
|G(ejω)|
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• O “Melhor” filtro:
– Melhorando uma, normalmente pioram-se as restantes…
• Mas: aumentando a ordem do filtro (i.e. custo)melhoram-se as três medições
Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Limitações de desempenho
o menorRipple Banda Passante
a maiorAtenuação Mínima na SB
a mais estreitaBanda Transição
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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Ripple na Banda Passante
• Assume-se um ganho máximo na banda passante = 1
então o valor mínimo do ganho na banda passante =
• Ou, ripple
1
|G(ejω)|
freq ω
Passbanddetail
11 + ε2
ωp
ε+ 2
11
dBmax logα ε= + 21020 1
parâmetro de ripple BP
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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Ripple na Banda de Corte (SB)
• O ganho máximo na banda passante é A× maior que o ganho máximo na banda de corte
• Assim, a atenuação mínima na banda de corte
0freq ωωs
Stopbanddetail
1A
parâmetro de ripple SB
dBlog logs A Aα = − =110 1020 20
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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Escolha do tipo de Filtro: FIR vs IIR
FIR– Sem feedback
(apenas zeros)– Sempre estável– Pode ter
fase linear
– Ordem mais alta(20-2000)
– Sem relação com a filtragem no domínio do tempo contínuo
IIR– Feedback
(pólos & zeros)– Pode ser instável– Difícil controlar a fase
– Tipo < 1/10 da ordem doFIR (4-20)
– Deriva dum protótipo analógico
Mas
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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Escolha do tipo de Filtro: FIR vs IIR
• Se se preocupar com o custo computacional → use um IIR de baixa complexidade(custo da computação sem importância → FIR Fase Linear)
• Se se preocupar com a resposta em fase → use um FIR de fase linear(fase sem importância → prossiga com um IIR simples)
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Projecto de Filtros IIR – Projecto
• Os filtros IIR estão relacionados directamente com os filtros analógicos (tempo continuo)– através do mapeamento de H(s) (CT) em H(z) (DT), que preserva
muitas propriedades
• O projecto dum filtro analógico é sofisticado– Investigação em processamento de sinal desde a década de 1940
→ Projecto de filtros IIR a partir dum protótipo analógico– assim, é necessário aprender como fazer o projecto dum filtro contínuo
no tempo (CT)
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico
• Décadas de análise de filtros baseados em transístores –sofisticado, bem conhecido
• Escolhas Básicas:– ondulação vs. planura na banda de corte e/ou passante– mais ondulação → mais estreita a banda de transição
ondulaçãoondulaçãoElípticosondulaçãoplanaChebyshev II
planaondulaçãoChebyshev IplanaplanaButterworth
Banda de CorteBanda PassanteFamília
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Função de Transferência Analógica
• Sistemas Analógicos: transformada s - (Laplace)Contínuo no tempo Discreto no tempo
Ha s( )= ha t( )e−stdt∫ Hd z( )= hd n[ ]z−n∑Transformada
Respostaem
frequência
diagrama pólo/zero
Ha jΩ( ) Hd e jω( )
plano - s
Res
Ims
jΩ
pólosestáveis
pólosestáveis
plano - z
Rez
Imz
1
ejω
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Máxima planura nas bandas passante e de corte• Resposta em
Módulo (PB):
Ω<<Ωc, |Ha(jΩ)|2 →1Ω = Ωc, |Ha(jΩ)|2 = 1/2
Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros de Butterworth
H a jΩ( )2 = 1
1 + ΩΩ c( )2 N
ordemfiltro
N
0 1 2 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
|Ha(
jΩ)|
Ω/Ωc
N = 4
N = 10
ponto a 3dB
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros de Butterworth
Ω>>Ωc, |Ha(jΩ)|2 →(Ωc/Ω)2Ν
plano →
@ Ω = 0 for n = 1 .. 2N-1
d n
dΩn Ha jΩ( )2 = 0
respostaem
móduloLog-log
declive a 6N dB/oitava
rolloff
10-1
100
101
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
|Ha(
jΩ)|
/ dB
Ω/Ωc
N = 4
N = 10
slope → -6N dB/oct
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros de Butterworth• Como encontrar as especificações de projecto?
–
|Ha(jΩ)|
ΩΩp Ωs
11 + ε2
1A
1
1+ Ωp
Ωc( )2N = 11+ε2
1
1+ Ωp
Ωc( )2N = 1A2
N ≥ 12
log10A 2−1ε 2( )
log10ΩsΩp( )
Equação deProjecto
k1 = εA2 −1
=“ discriminação ”, <<1
k =Ω p
Ωs=“ selectividade”, < 1
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros de Butterworth
• mas o que é Ha(s)?
• Tradicionalmente, retira-se duma tabela– calcule N → filtro normalizado com Ωc = 1– escale todos os coeficientes para a Ωc desejada
• De facto,
onde
Ha jΩ( )2 = 11+ ( Ω
Ωc)2N
Ha s( )= 1s − pi( )
i∏
pi = Ωcejπ N +2 i−1
2N i =1..Nplano - s
Res
ImsΩc×
×
××
sΩc
2N
= −1
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Ω1kHz= Ωp
5kHz= Ωs
11 + ε2
1A
0 dB= -1 dB
= -40 dB
Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo dum filtro de Butterworth
dB logε
− =+
10 2
11 201
.ε⇒ =2 0 259
dB log A− = 11040 20 A⇒ = 100
Projecte um filtro de Butterworthcom uma freq. corte a 1 dB de 1kHz e uma atenuação mínima de 40 dB a 5 kHz
ΩsΩ p
= 5
N ≥ 12
log1099990.259
log10 5⇒ N = 4 ≥ 3.28
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo dum filtro de Butterworth
• A ordem N = 4 irá satisfazer as limitações;Qual é Ωc e os coeficientes do filtro?– a partir da tabela, Ω-1dB = 0.845 quando Ωc = 1
⇒ Ωc = 1000/0.845 = 1.184 kHz– a partir da tabela, obtêm-se os coeficientes
normalizados para N = 4, escala de 1184• Ou, utiliza-se o Matlab:[b,a] = butter(N,Wc,’s’);
0 2000 4000 6000-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
freq / Hzga
in /
dB
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev I• Equiripple na banda passante (plano na banda de corte)
→ minimizar o erro máximo
0 0.5 1 1.5 2-40
-30
-20
-10
0
Ω
gain
/ dB
N = 4
N = 10
rippledepth
( )( )
p
aN
H jTε Ω
Ω
Ω =+
2
2 21
1
( )( )( )
cos cos
cosh coshN
NT
N
−
−
Ω Ω ≤Ω = Ω Ω >
1
1
1
1
Polinómiode Chebyshev
de ordem N
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev I
• Procedimento de projecto:– oscilação na banda de passagem pretendida → ε– min. stopband atten., Ωp, Ωs → N :
( )( ) cosh coshs
sp
pNA T Nε ε
ΩΩ−ΩΩ
= =+ +
22 2 22 1
1 1 11 1
( )( )
cosh
cosh s
p
A
Nε
− −
Ω−Ω
⇒ ≥
21 1
1
1/k1, discriminação
1/k, selectividade
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev I
• O que é Ha(s)?– complicado, obtido a partir duma tabela– .. ou a partir do Matlab cheby1(N,r,Wp,’s’)– all-pole; pode ser inspeccionado:
..como em Butterworth
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Res
Ims
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev II
• Plano na banda passante, ondulatório na banda de corte
• O filtro tem pólos e zeros (alguns )• Padrão pólo/zero complicado
0 0.5 1 1.5 2-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Ω
gain
/ dB
N = 4
N = 10
peak ofstopband
ripples
Ha jΩ( )2 = 1
1+ε2TN (Ωs
Ωp)
TN (ΩsΩ )
2
zeros no eixo imaginário
constante
~1/TN(1/Ω)
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Elípticos (Caeur)• Ondulação tanto na banda passante como na banda de
corte
• Complicado; não é ainda uma forma fechada para Ν
0 0.5 1 1.5 2-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Ω
gain
/ dB
N = 4N = 10 peakSB
ripples
PBrippledepth
Banda de transição muito estreita
Ha jΩ( )2 = 11+ε2 RN
2 ( ΩΩp
)
função; satisfazRN(Ω-1) = RN(Ω)-1
zeros para Ω>1 → pólos para Ω<1
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Tipos de Filtros Analógicos
0 0.5 1 1.5 2-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 0.5 1 1.5 2-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 0.5 1 1.5 2-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 0.5 1 1.5 2-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
ΩΩc
gain
/ dB
Ω
gain
/ dB
Ω
gain
/ dB
Ω
gain
/ dB
Butterworth Chebyshev I
Chebyshev II Elliptical
Ωs
Ωp
r
r
A A
Ωp
N = 6
r = 3 dB
A = 40 dB
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico –Transformações dos Filtros Analógicos
• Todos os filtros mostrados são passa-baixo;outros tipos (passa-alto, passa-banda..)derivados através de transformações
• i.e.
• Mapeamento geral do plano-sMAS mantendo jΩ → jΩ; resposta em frequência apenas ‘misturada’
HLP s( )ˆ s = F −1 s( )
→ HD ˆ s ( )
Resposta desejadaalternada; ainda umpolinómio racional
protótipoPassa baixo
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Passa-Baixo para Passa-Alto
• Exemplo da transformação:
– toma-se o polinómio protótipo HLP(s)– troca-se s por
– Simplifica-se e re-arranja-se→ novo polinómio HHP(s)
H HP ˆ s ( )= HLP s( ) s=Ωp
ˆ Ω pˆ s
Ω p ˆ Ω pˆ s
^
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Passa-Baixo para Passa-Alto
• O que acontece à resposta em frequência?
•
• Os eixos da frequência são invertidos
( )ˆ ˆˆ p p p p
js j s jΩ Ω −Ω ΩΩ Ω= Ω ⇒ = =
⇒ ˆ Ω = −Ωpˆ Ω p
Ω
Ω = Ω p → ˆ Ω = − ˆ Ω pΩ < Ω p → ˆ Ω < − ˆ Ω p
PB banda passante PA banda passante
Ω > Ω p → ˆ Ω > − ˆ Ω pPB banda de corte PA banda de corte
ΩΩp
Ω
−Ωp^
LPF
HPF
Os eixos imagináriosmantém-se...
...freq.→freq.
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo de transformação
⇒ Ωs = −( )Ωpˆ Ω p
ˆ Ω s= −( )4
N ≥ 12
log10A 2−1ε 2( )
log10ΩsΩp( )
→ N = 5
Ω p @− 0.1dB ⇒ 11+ (Ωp
Ωc)10
=10−0.110
→ Ωc = Ω p /0.6866 =1.4564
Projecte um filtro passa-alto de Butterworthcom transição de PB de -0.1dB @ 4 kHz (Ωp)e transição de SB de -40 dB @ 1 kHz (Ωs)
• Protótipo do Passa-Baixo: faz-se Ωp = 1
• Butterworth -0.1dB @ Ωp=1, -40dB @ Ωs=4
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo de transformação
• O protót. do FPB é
• Mapeamento para FPA:
p = Ωcejπ N +2 −1
2N
Res
ImsΩc×
×
××
( )( )
Nc
PB Nii
H ss p
=
Ω⇒ =
−∏ 1
( ) ( ) ˆ
ˆˆ p pPA PB s
sH s H s Ω Ω
==
⇒ H HP ˆ s ( )= ΩcN
Ωpˆ Ω p
ˆ s − p( )=1
N∏= Ωc
N ˆ s N
Ω p ˆ Ω p − p ˆ s ( )=1
N∏
N zeros@ s = 0^
Novos pólos @ s = ΩpΩp/pl^ ^
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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo de transformação
• No Matlab:[N,Wc]=buttord(1,4,0.1,40,'s');[B,A] = butter(N, Wc, 's');[n,d] = lp2hp(B,A,2*pi*4000);
Ωp Ωs Rp Rs
-2 -1 0 1x 104
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x 104
Res
Ims
0 1000 2000 3000 4000 5000-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Ω / Hzga
in /
dB
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Projecto de Filtros IIR - Protót. Analógicos → Filtros IIR
• Podemos mapear um filtro de alto desempenho no domínio CT para o domínio DT?
• Aproximação: transformação Ha(s)→G(z) i.e. onde s = F(z) mapeia-se o plano-s ↔ plano-z:
G z( )= Ha s( ) s=F z( )
plano-s
Res
Ims
plano-z
Rez
Imz
1
Ha(s0) G(z0)Qualquer valor de G(z)é um valor de Ha(s)Algures sobre o Plane - s & vice-versa
s = F(z)
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Projecto de Filtros IIR - Transformação de CT para DT
• Propriedades desejadas para s = F(z):– plano-s - eixo jΩ ↔ plano-z – círculo unitário
→ preserva os valores da resposta em frequência– plano-s - LHP ↔ plano-z - interior do circulo unitário
→ preserva a estabilidade dos pólos
plano-s
Res
Ims
jΩ
plano-z
Rez
Imz
1
ejω
LHP↔UCI
Im↔u.c.
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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear
• Solução:
• Assim o inverso:
• Eixo da Freq.?
• Pólos?
s = 1 − z−1
1+ z−1Transformação
Bilinear
z = 1+ s1− s
único, mapeamento1:1
s = jΩ → z = 1+ jΩ1− jΩ
|z| = 1 i.e.no circulo unitário
s = σ + jΩ → z = 1+σ( )+ jΩ1−σ( )− jΩ
⇒ z 2 = 1 + 2σ + σ 2 + Ω2
1 − 2σ + σ 2 + Ω2σ< 0 ↔ |z| < 1
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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear• Como é que toda LHP de s, cabe dentro do circulo
unitário?
• Highly nonuniform warping!
-4 -2 0 2 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
plano-s plano-z
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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear
• Qual é a relação na freq.CT↔DT, Ω↔ω ?
• i.e.
• gama infinita de frequencia CT mapeia-se numa gama finita de freq. DT.
• Não - linear; as ω → π
z = e jω ⇒ s = 1−e− jω
1+e− jω = 2 j sinω /22 cosω /2 = j tan ω
2circulo uni. eixo im.
Ω = tan ω2( )
ω = 2 tan −1 Ω
−∞ < Ω < ∞−π < ω < π
ddω Ω → ∞ Junte tudo!
-5 0 5-π
-0.5π
0
0.5π
π
Ω
ω
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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear - Frequency Warping
• A transformação Bilinearpara todos ω, ΩG e jω( )= Ha jΩ( )ω=2 tan−1 Ω
Alguns ganhos & fase (ε, A...),na mesma ‘ordem’, mas com o warpingeixo da frequência
0 1 2 3 4 5 6-60
-40
-20
0
-60 -40 -20 00
0.2
0.4
0.6
0.8
π
Ω
Ω
|Ha(jΩ)|
|G(ejω)|
ω = 2tan−1(Ω)
ωω
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Projecto de Filtros IIR - Procedimento de Projecto
• Obtém-se as especificaçõs dos filtros DT:– Forma geral (PB, PA...),
• Faz-se o ‘Warp’ das frequencias para CT: –
• Projecta-se o filtro analógico para– → Ha(s), polinómio do filtro CT
• Converte-se para do domínio DT:– → G(z), polinómio racional em z
• Implementa-se o filtro digital!
ω p ,ω s, 11+ε 2 , 1
A
Ω p = tan ω p
2 Ωs = tan ω s2
Ω p ,Ωs, 11+ε 2 , 1
A
G z( )= Ha s( ) s=1−z−1
1+z−1
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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear - Exemplo
0.4 0. 15ω/π
-40
-10
|G(e
jω)|
/ dB
Oscilações na SB,PB monotonica→ Chebyshev I
• Requisitos no domínio DT:Passa Baixo, 1 dB de oscilação na PB, ωp = 0.4π,atenuação em SB ≥ 40 dB @ ωs = 0.5π,a atenuação aumenta com a frequência
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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear - Exemplo
• Warp para o domínio CT:
• Especificações de Módulo:1 dB de oscilação na PB
40 dB de atenuação na SB.
Ω p = tan ω p
2 = tan 0.2π = 0.7265 rad/secΩs = tan ω s
2 = tan 0.25π =1.0 rad/sec
⇒ 11+ε 2 =10−1/20 = 0.8913 ⇒ ε = 0.5087
⇒ 1A =10−40 /20 = 0.01 ⇒ A =100
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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear - Exemplo
• Critério de projecto Chebyshev I:
• Verificação, projecto do filtro analógico, mapeamento para DT:
N ≥cosh−1 A 2−1
ε( )cosh−1 Ωs
Ωp( )= 7.09 i.e. é necessário N = 8
0 0.5 1 1.5 2-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
|Ha(
jΩ)|
/ dB
Ω ω/π
|G(e
jω)|
/ dB
CT DT
>> N=8;>> wp=0.7265;>> [B,A]=cheby1(N,1,wp,'s');>> [b,a] = bilinear(B,A,.5);
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Projecto de Filtros IIR - Outras formas de Filtros
• O exemplo foi de um IIR FPB a partir dum protótipo PB• Para outras formas (FPA, Passa-Banda,...):
• Transformação LP→X em CT ou domínio DT...
DTspecs
CTspecs
HLP(s)
HD(s)
GLP(z)
GD(z)
WarpBilinear
ProjectoAnalógico
CTtrans
DTtrans
Transform.Bilinear
Transform.Bilinear
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Projecto de Filtros IIR – Transformações espectrais em DT
• A mesma ideia como o mapeamento CT LPF→HPF, mas no domínio z:
• Para se comportar bem, deveria:– mapear u.c. → u.c. (preservar os valores de G(ejω))– Mapear o interior de u.c. → u.c. interior (estabilidade)
• i.e.– De facto, está de acordo com a definição dum filtro
allpass... substitua os atrasos com
z = F ˆ z ( )GD ˆ z ( )= GL z( ) z=F ˆ z ( ) = GL F ˆ z ( )( )
F ˆ z ( ) =1↔ ˆ z =1
F ˆ z ( ) < 1↔ ˆ z < 1
F ˆ z ( )
F ˆ z ( )−1
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Projecto de Filtros IIR - Warping na Frequência em DT
• O mapeamento mais simplestem o efeito de fazer o warping das frequências do eixo:
z = F ˆ z ( )= ˆ z −α1−αˆ z
ˆ z = e j ˆ ω ⇒ z = e jω = e j ˆ ω − α1 − ae j ˆ ω
⇒ tan ω2( )= 1+α
1−α tan ˆ ω 2( )
α > 0 :expansão HF
α < 0 :expansão LF
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Projecto de Filtros IIR – Outro exemplo de projecto
• Especificações:– Passa-Banda, de 800-1600 Hz (SR = 8kHz)– Ondulação = 1dB, Atenua. Mín. na banda de corte = 60 dB– Ordem 8, melhor banda de transição
• Utilize uma implementação eliptica, para o melhor desempenho
• Caminho completo de projecto:– Projecto do protótipo analógico do FPB– FPB analógico → Filtro Passa-Banda– CT F. Passa-Banda → DT F. Passa-Banda (Bilinear)
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Projecto de Filtros IIR – Outro exemplo de projecto
• Ou, num passo apenas, com o Matlab:[b,a] = ellip(8,1,60,
[800 1600]/(8000/2));
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000
-500
0
500
1000
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pha
se (d
egre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80
-60
-40
-20
0
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Mag
nitu
de (d
B)
