1 ALAP5- PRODUTO INTERNO USUAL NO 9n Nestecaptuloiremosestudarpropriedadesgeomtricasdo9n,valedizer,propriedadesquedizem respeito a distncias e a ngulos entre vetores no 9n.A forma de faz-lo atravs do produto interno usual no 9n.SerdadoumdestaqueespecialsprojeesortogonaisemSEVsdo9nesuasaplicaes.Atagora, utilizamosafrmuladoprodutointernousualno9n,unicamenteemmanipulaesalgbricasnoprodutode matrizesevetores,pelofatoqueoprodutodeduasmatrizespodeseexpressar,emcadaentrada,comoum produto interno de dois vetores. Como a grande maioria dos leitores destas notas j viu algumasaplicaes do produtointernodevetoresno93anteriormente,sejanafsicaouemcursosdeclculodevriasvariveis,na seo5.1aproveitamosparareavivarexemplosdeaplicaesdoconceitodeprodutointernodevetores,emsituaes com as quaisvocprovavelmente j se deparou alguma vez. 5.1 - APLICAES DO PRODUTO INTERNO: Lembramosqueoprodutointernousualentredoisvetoresvewdo93(identificadoscomomatrizes 3x1), podese definirpela frmula: 1 -Na Geometria: - Tamanho de um vetor v: - ngulo u entre dois vetores no nulos ve w: Figura 5.1 v w = vTw = v1w1+v2w2+v3w3 ||v|| = (vTv)1/2 cos u = v wv wT ucos u= vTw/||v||||w|| w v Distncia entre v e w =||v - w|| 2 -Equao do plano que contem P0=xyz000|\

|.||| e normal a v= abc|\

|.||| a( x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

Figura5.2

2-No Clculo diferencial: (Regra da Cadeia) - Sef: 93 9e o: 9 93 so derivveis ento: 3 -Na Fsica -Trabalho realizado por uma fora constanteF, no deslocamento de uma partcula entre A e B: -Se F(x) no for constante e x(t) a trajetria da partcula para ir de x(t0)=A at x(t1) = B: -Energia cintica: 3 - Definio para o produto de duas matrizes A e B:

` v P0P

(P - P0)Tv = 0 d f tdtf t tT( ( ))( ( )) ( )oo o = V ' W= F (B - A) W = F x t x t dttto( ( )) ( ) '1 E = m x(t) x(t) (A*B)ij = Ai B(j) 3 4-Coordenadas de um vetor numa baseortonormal Se | uma base do 93 formada por vetores ortogonais entre si e de norma unitria, para todo v e 93 teremos: 5 - Em probabilidades -Duas pessoas jogam duas moedas e apostam: i- Se der duas coroas A ganha 10 centavos. ii - Se der duas caras A perde 7 centavos. iii - Se der uma cara e uma coroa A paga 9 centavos Depois de 1000 rodadas espera-se 250 caras duplas, 250 coroas duplas e 500 pares cara-coroa. O resultado esperadopara A seria,em centavos: 10 * 250 + 7 * 250- 9*500 =(10, 7, -9) (250,250,500) = -250 Em geral:Se S={S1 , S2 , ....,Sn} representam diferentes possibilidades para um experimento, X1, X2,....., Xn

so valores de uma varivel aleatria X em S e p1,...., pn as diferentes probabilidades para cada Si, ento o valor esperado para X ser: Exerccios da Seo 5.1 Exerccio 5.1 -Considere os vetores v = ( 1 , -2 , 3)Tew = ( 2 , 1 ,1 )T. i.Calcule a norma de v e dew. ii. Calcule a distncia entre v e w. iii. Calcule o ngulo entre v e w. Exerccio 5.2 - DadosA = ( 1, 0 ,1 )T e B = ( 3, 2, 2)T, ache C na reta W = [ ( 1, 1, 1)T] e tal que o tringulo A, B , C seja retngulo em C. Exerccio5.3-DadootringulodevrticesA=(1,0,1)T,B=(1,2,1)TeC=(0,-1,1)T,calculeseu permetro e sua rea. Exerccio 5.4 -Ache a equao do plano que passaem P0 = (1 ,1,1) e normal aovetor v = ( 1, 1, 1)T Exerccio 5.5-Usandoo produto interno verifique que todo ngulo inscrito em um semicrculo reto. | |vv vv vv vTTT|= |\

|.|||123 E = pT X = p1X1 + .......+ pnXn 4 Exerccio. 5.6-Acheotrabalho gastopara mover uma partcula segundo a equao horria x(t) = (cos(t), sen(t) )T e relativo a uma fora F(x) = (x1 - x2,-x1 +x2)do ponto P0 = x (0 )ao ponto P1 = x ( t ) Exerccio.5.7-Sejamf:93 9umafunodiferenciveleo(t)umacurvadenveldafqueseja diferencivel.Mostre que Vf(o(t)) ortogonal a o(t), para todo t. 5 5.2PROPRIEDADESDOPRODUTO INTERNO Na subseo 5.2.1 vamos destacar duas propriedades do produto internousual no9nque denominamos de estruturais, num sentido que ficar mais clarono captulo 10. Lveremos que elas so as propriedades que nos permitem generalizaro conceito de produto interno.Na subseo 5.2.2 definimosnorma devetores no 9n, quenospermitemedirdistnciasentrepontosno9n.Estabelecemostambmpropriedadesfundamentaisda norma,quenospermitirointroduzir,nasubseo5.2.3,aidiadenguloentrevetoresdo9n.Nasubseo 5.2.4 trabalhamos o conceito de ortogonalidade entre vetores. 5.2.1Propriedadesestruturais doproduto interno Oproduto interno usual entre vetores do 9n,dado por v w= vTw = v1w1 + v2w2 + ......+ vnwn

satisfazsseguintes Propriedades Estruturais: PI.a - BILINEAR e COMUTATIVO. Vale dizer que, se o1, o2 e 9, v1,v2,w1,w2 e 9n: PI.b-vT v > 0e vT v = 0sssv = 0(POSITIVO-DEFINIDO) Exerccios da subseo 5.2.1 Exerccio 5.8+ - Verifique que vTw satisfaz PI.a e PI.b Exerccio 5.9- SejamA uma matriz nxn e Q:9nx9n 9 dada por Q(v,w) = vTAw i - Mostre que Q uma funo bilinear.ii- Mostre que se A simtrica ento Q tambm simtrica (Q(v,w) = Q(w,v) ). iii - Mostre que se A diagonal e tem todos os seus elementos da diagonal positivos ento Q positivo-definida, ou seja, Q(v,v) > 0 eQ(v,v) = 0 sssv=0 5.2.2 -Norma de um vetor Definio 5.1Norma de um vetor Dado que v v > 0, podemos definir anorma de vcomo o nmero real positivo: Exemplo 5.1-|| (1,-2,3,1,1)T|| = (12 + (-2)2 + 32 + 12 + 12)1/2 = 4 Linearidade esquerda = = =o + o = o + oo + o = o + ov . w v w w v w . vw v w v w ) v v (w v w v ) w w ( vT TT2 2T1 1T2 2 1 12T2 1T1 2 2 1 1T Linearidade direita Comutatividade ||v|| = (v v)1/2 6 Obs. 5.1- Veja que no caso de vetores no 93,||v|| coincide com a noo usual de distncia euclidiana do ponto vorigem.Nocasogeral,asprincipaispropriedadesdanormano93semantmenospermitempensarna normadeumvetorcomoumaboamedidadeseutamanho.Emespecial,definimosdistnciaentredois pontos P e Q no 9n como ||P Q||. Propriedades da norma|| ||: P0-||v || 0e||v || = 0 sss v = 0 P1-||o v || = |o| ||v || P2 -| v w | s ||v || ||w|| (desigualdadede Cauchy Schwartz) P3 - || v + w || s ||v || + ||w|| (desigualdade triangular) Dem: P0- Corresponde apenas a uma outra maneira de escrever a propriedade estrutural PI.b P1 -Da bilinearidade(PI.a), temosov ov = o2 vve portanto P1. P2.1 - Se v = 0 obviamente| vw | = 0 = ||v|| || w || P2.2-Se v = 0 , observe que para todo t e 9: 0 s ||tv + w||2 = (tv + w)(tv + w)= (v v) t2 + 2(v w)t + w w Portanto, odiscriminanteA de(v.v) t2 + 2(v . w)t + w.wno-positivo.Ou seja

A =4(v w)2 -4 (v v) (w w)s0 | v w | s ||v || ||w|| P3 -Observe que iii resulta de ii, j que: || v + w ||2 =(v + w)(v + w) = ||v||2 + ||w||2 + 2 vw s(||v || + ||w||)2 Exemplo 5.2 Ache o vrtice R do tringulo equiltero PQR, sabendo que: i P = (0,2,0)T, Q = (0,0,2)T ii-R est no SEVW = { x | x1 + x2- 2x3 = 0} Observe que as solues cannicas de x1 2x2+ x3 = 0 soS(1) = (-1,1,0)T eS(2) =(2,0,1)T. Portanto o = {S(1) , S(2)} uma base de W e podemos impor a condio que R est em W, dizendo que R = S = (-1 + 22 , 1, 2) , para algum = (1,2)T em 92. A condio que PQR seja equiltero equivale a dizer que : ||S - P|| = ||S - Q|| = || P Q|| = || (1, -1, 0) || = 2 2 De ||S - P||2 = ||S - Q||2 || (-1 + 22 , 1-2, 2)||2 = ||(-1 + 22 , 1, 2-2)||2

(-1 + 22 )2 +(1-2)2 +22 = (-1 + 22 )2 +12 +(2-2)2 1 = 2 Levando 1 = 2 em||S - P||2 = 8, obtemos (2 )2 + (2-2)2 + 22 = 8 2 = 2, 2= 2/3 7 R = S|||.|

\|=||.|

\|22222eR= S|||.|

\|=||.|

\|3 / 23 / 23 / 23 / 23 / 2

Exemplo 5.3 Ache um ponto doSEV W = [(1,0,1,-2)] que dista 2 unidades de P = (2,0,0,0)T

SeQ est em W, Q =(, 0, , -2)T, para algum nmero real . Queremos obter|| Q P||2 = 4,e portanto: ( -2)2 + 2 + (-2)2 = 4 62- 4 = 0 = 0, ou = 2/3. Obtemos assim duas solues, a saber Q = 0 e Q =(2/3, 0 , 2/3 , -4/3)T Exerccios da subseo 5.2.2 Exerccio 5.10- Sejam v = (1,0,2,1)T e w = (1,-1,1,-1). Calcule vw, ||v|| e ||w|| e verifique diretamente que, de fato,obtemos neste caso:i - |vw|s ||v|| + ||w||ii - ||v+w|| s ||v|| + ||w|| Exerccio 5.11 -(Lei do paralelogramo) ||x+y||2 + ||x-y||2 = 2||x||2 + 2 ||y||2, para todo x e y no 9n.

Exerccio 5.12Encontre um ponto no SEVW = Im( (1,1, -1,1) ) e que esteja o mais prximo possvel do ponto P = (2,0,0,0) Exerccio5.13-Encontre,emcadaumdoscasos,edesdequeexista,ovrticeRdeumtringuloequiltero PQR, sabendo que P = (2,0,0,0), Q = (0,0,2,2) e que R est em W,onde: i W = N(A), para A = ||.|

\|0 3 1 21 1 0 1 ii- W = {x e94 :Ax = (5,5)T}, onde A amesma matriz do item anterior Exerccio 5.14- Sejam o , :9 92 dadas poro(t) = (t2 + t, t2 - 1)e(t) = ( sen(t), cos(t)). i- Calculeg(t) = o(t) (t)esua derivada g(t). ii -Calculeo'(t) (t) + o(t) '(t) diretamente e verifique que coincide com g(t) iii - Considereduas curvas suaves no 92,dadas por funes derivveis o , :9 92 Verifique que[ o(t) (t) ]' =o'(t) (t) + o(t) '(t). Note que este fato generaliza-se facilmente parao , :9 9n. Exerccio 5.15 Certo ou errado? Justifique: i- Sexe y so vetores do 9n tais que || x y || = 0, ento x = y ii-Sex = (x1 , x2)T e y = (y1, y2)T sotais que|| x y || = || (1,0)T||, ento x = y + (1,0)T iii-Se xe y so vetores do 9n tais que || x || s 4 e||y|| s 1, ento ||x + y|| s 5 iv-Se xe y so vetores do 9n tais que|| x || s 4 e||y|| s 1, ento ||x - y|| s 4 v-SexTy = ||x|| = ||y|| = 1 ento x=y vi - Se A nxn e vTAv > 0 para todo v = 0 ento Aii > 0 para todo i. 8 vii - Se A = ||.|

\|1 33 1 ento < v , w > = vTAw um produto bilinear, simtrico e positivo-definido. viii- Considere A uma matriz nxn e tal quexTAx >0 para todo x= 0 do 9n , bem como e9 tal queAx = x, para algum x = 0.Ento > 0 Exerccio 5.16 + -Considere a funo || . ||1 :92 9, definida por || x ||1 = |x1| + |x2|i -Considere x = (1,-2)Te y = (-2 , 1)T. Calcule|| x ||1 e|| y ||1 ii Mostrequeas propriedadesestruturais da norma (P1, P2 e P3) tambm valem para|| ||1 iii Considere o cubo cuja diagonal so os pontos 0 e x do 93. Verifique que || x ||1 medea soma das arestas de tal cubo. iv Calcule || x y||1 + || x + y||1e verifique que||x+y||12 + ||x-y||12 = 2||x||12 + 2 ||y||12. Conclua que que para || ||1 no vale a leido paralelogramo do exerccio 5.11. 5.2.3 -ngulo entre vetores Uma das conseqncias mais importantes da desigualdade de Cauchy-Schwartz que, para todo par de vetores v e w do 9n, obtemos: -1 sw vw vT s 1 Istopermite estender para o 9n a definio que tnhamos antes para ngulo entre dois vetores no nulos do 93: Definio 5.2: Definimos o ngulo u(0 s u s 180o) entre vetores no nulos v e wpor cos u = w vw vT OBS. 5.2 - A desigualdade de Cauchy-Schwartz nos garante que a definio de ngulo entre dois vetores no nulosdo9nconsistente.umfatonotvelquetaldefiniofuncionebemenospermitaterumaidiade nguloentrevetoresemqualquer9n.Destaformapodemostratargeometricamentequalquer9ndeforma anlogaao93,apesardenotermosumaexperinciavisualdiretasobreo9n,paran>3.Nocaptulo10 veremosquepossvelgeneralizarsubstantivamenteesteconceitoetratargeometricamenteespaosvetoriais bem mais gerais. Exemplo5.4- Se u o ngulo entre v1= (-1,2,0,0,2)T e v2= (2, 1,1,0,1)Tento cos u=7 32v vv v2 12 1= Exemplo5.5-ConsidereumtringuloisscelesPQRno94,ondeP=(0,0,0,0)T,Q=(4,0,0,0)T ,edetal modo quei -||P -Q|| = ||P - R||e ongulo em P vale 60 9 ii - R e W = {x | Ax = b}, onde A = ||.|

\| 1 0 1 20 1 0 1e b = ||.|

\|21 Nosso objetivo, neste exemplo procurar o vrtice R.Como R est em W, sabemos que soluo da equao Ax = b. Levando a matriz ampliada (Ab)forma escada obtemos(A b)linha equivalentea (U b) = ||.|

\| 1 1 2 1 01 0 1 0 1. xp =(1, -1, 0 , 0)T uma soluo particular de Ax = b,S(1) =(1 , -2 ,1 ,0)T e S(2) = (0,1,0,1)Tso as solues cannicas de Ax = 0.Portanto, podemos parametrizarR na formaR = xp + S.||P R|| = ||P Q|| = 4nos d: || R ||2 = ( 1 -1)2 + (-1 -21 + 2)2 + 12 + 22 = 16 Como PR faz com PQ um ngulo de 60o: QTR =(4,0,0,0)T ( 1 -1, -1 -21 + 2 , 1 , 2) = cos60o ||Q|| ||R|| = 1/2 * 4 * 44(1 - 1) = 8 1 = -1 Levando 1 = -1 na expresso para R acima, obtemos a equao em 1: 22 + (1 +2)2 +1 +22 = 16 222 + 22-10 = 0 2 = ||.|

\|221 1 Na verdade, h duas possibilidades para R: . R = xp + S (-1, 221 1+) Te R = xp + S (-1, 221 1) T Exerccios da subseo 5.2.3 Exerccio 5.17 - Considere os vetores v = (1,-2, 1,3)T e w = (2,1,3,1)T emV= 94. i -Calcule as normas de v e dew ii - Calcule o ngulo entre v e w. iii Ache um ponto z no SEV W = [w] e tal que o tringulo formado pela origem, z e v seja retngulo em z, ou seja o ngulo entre ze v-z seja de 90o Exerccio 5.18- Sejamx = (1,0,0)T , y = (1,2,-2)T e W a reta que passa por P = (0,1,0)T e paralela a (1,1,2)T.Ache um ponto z em W, tal que o ngulo entre x e zseja o dobro do ngulo entre y e z. Exerccio 5.19 - Sejam P = (0,0,0,0)T, Q = (1,0,0,0)T e R = (2,-1,1,1)T. Verifique a lei de Tales para o tringulo PQR. Ou seja, chameo ngulo entre Q e R de o, chame de | o ngulo entreQ e Q R, e de o ngulo entre R e R-Q e mostre que o + | + = 180. 10 5.2.4 Vetores ortogonais Definio 5. 3: Dizemos que dois vetores v e w do 9n, so ortogonais se v w = vTw = 0 Exemplo 5.6 -v = (5,2,1,1)T ortogonal a w =(0,1,-1,-1)T, j que vTw = 5*0+2*1+1*(-1) + 1*(-1) = 0 OBS. 5.3:Como o coseno do ngulo u entre dois vetores v e w definido por cosu = vTw/(||v||||w||), natural definirortogonalidadeentredoisvetoresvewobrigandoquecosu=0.Noentanto,adefinioacima ligeiramente mais abrangente, na medida que no pressupev e w diferentes de zero. J a noo de ngulo s est definida paravetores no nulos. Como 0Tw = 0 sempre, isto corresponde a convencionar que o vetor nulo do 9n ortogonal a todos os demais vetores do 9n. Reciprocamente, se v ortogonal a todos os vetores do 9n, ento v = 0 (vide exerc. 5.17.iii). Definio 5.4 - Diz-se que v e 9n ortogonal a um SEV W de 9n , caso v seja ortogonal a todos os vetores de W. Exemplo 5.7 -v = ortogonala W = Col(A), onde A =

Verifiqueque v ortogonal a cada um dos geradores de W, ou seja(A(1))Tv = (A(2))Tv = 0.See est em W, temos que e = 1A(1) + 2A(2) , o que implica, (dada a linearidade esquerda do produto)eTv = (1A(1) + 2A(2))Tv = 1(A(1))Tv + 2(A(2))Tv = 0. OBS. 5.4-Se A mxn, entov ortogonal a W = Col(A) sssATv = 0 Veja que este foi exatamente o caso do exemplo 5.7. Ou seja: i - Se v ortogonal a W = Col(A) ento v ortogonal a cada um dos geradores de W, ou seja,(A(i))T v = 0, para todo i = 1,2,,n. Mas isto significa ATv = 0. ii - Reciprocamente, se ATv = 0, e e est emCol(A), ento e = A, para algum no 9n.Neste caso, eTv=(A)Tv = TATv = 0. Ou seja, v ortogonal a qualquer vetor de W = Col(A). Equivalentemente, para testar se v ortogonal a W = Col(A), basta testar se v ortogonal a cada um de seusgeradores A(1), ,A(n). Exerccios da subseo 5.2.4 Exerccio 5.20Considere os vetores P = (0,0,0)Te Q = (1,0,0) e R = (1,2,1)T. i -Ache o valor de para o qualR - Q ortogonal a Q. ii Verifique, para um tal ,que || R ||2 = || Q||2 + ||R - Q||2 iii Foi coincidncia o resultado em ii, ou voc tem uma explicao para le. 11 Exerccio 5.21 Certo ou errado. Justifique: i-Sex e92 e ortogonal a(1,1)T ea(1,-1)T, ento x = 0. ii-Sex e 93 e ortogonal aos vetores(1,1,2)T , (1,-1,1)T e ( -1, 3,0 )T, ento x = 0 iii - Se y ortogonal a todos os vetores do 9nento y = 0.iv - Se y ortogonal a todosos vetores de uma base do 9n ento y = 0 v- Tres vetoresno nulos e ortogonais entre si no 93 so LI.vi - Sex ortogonal a y e y ortogonal a w ento x tambm ortogonal a w vii - O nmero mximo de vetores mutuamente perpendiculares e no nulos em 9n n. viii - Se ATA uma matriz diagonal ento A(i) perpendicular a A(j) , se i =j. ix - SeATB = 0, ento os vetores de Im(A) so ortogonais a todos os vetores de Im(B) x-SeAB = 0, ento os vetores de Im(A) so ortogonais a todos os vetores de Im(B) xi - Se P uma matriz de permutao nxn ento ''v'' =''Pv'', para todo v no 9n. xii-Se A uma matriz ortogonal nxn(ATA=I) ento ||Ax|| = ||x|| para todo x do 9n

xiii - Se A ortogonal nxnento A preserva ngulos , no sentido que o ngulo entre Ax e Ay coincide com o ngulo entre x e y, para todo par de pontos x e y do 9n. xiv - Seo base de V, | base de W eV ortogonal a W, ento o + | base de V + W Exerccio. 5.22 + -(Teorema de Pitgoras) Sejamx e y vetores ortogonais do 9n. Ento ||x+y||2 = || x||2 + ||y||2 Exerccio 5.23 + -Sejam A(1) , A(2) ,..., A(p)vetores no nulos de 9n e mutuamente ortogonais entre si, isto ,tais que A(i) A(j) = 0,se i = j i.Verifique que A(1) , A(2) ,..., A(p) so LI. ii.Verifique que ATA uma matriz diagonal. iii.Se alm das hipteses do itemii tivermos que p = n e ''A(i)'' = 1,para todo 1s i s n ,ento A uma matrizortogonal, ou seja,AAT=ATA = Inxn. ivConsidere A = |||||.|

\|2 / 1 2 / 12 / 1 2 / 12 / 1 2 / 12 / 1 2 / 1 e verifique que ATA = I2x2 , masque AAT no diagonal. Exerccio 5.24 + - Seja| = { v1, v2, ..., vn} uma base ortonormal do9n. Ou seja, tal que,para todo i,j,viTvj = 0, se i =j e || vi || = 1. Verifique que se [v]| = (x1, x 2 , ... ,xn)T,entoxi = iTiiTv vv v. 12 5.3 PROJEES ORTOGONAIS EM SEVS Na subseo 5.3.1 trataremos da projeo ortogonal de um vetor v na direo de um vetor no nulo w. Na seo5.3.2apresentamosumexemplodecomosefazaprojeoortogonalnumplanodo93.Nasubseo seguintegeneralizaremosomtodoparaprojetarortogonalmentevetoresdo9nemsubespaosvetoriais.Nas subsees seguintes cuidaremos de aplicaes da projeo ortogonal a problemas de ajuste de curvas. Definio 5.5- Diz-se que uma projeo ortogonal de v num SEV W de 9n, caso v-seja ortogonal a W. SeW = [e] de dimenso 1, s vezes denomina-se a projeo ortogonal de v em W de projeo ortogonal de v na direo de e 5.3.1Projeo ortogonal de v na direo de w=0 Se PW(v) = efor a projeo ortogonal de v emW = [e], ento (v - e) ortogonal a e. Ou seja : (v - e)Te = 0 = e ee uv v - e PW(e) = e e Figura 5.3 Exemplo 5.8 A projeo ortogonal de v = (1, 2,1,1)T na direo dee= (1,-1,1,1)T PW (v) = e, onde, pela frmula acima, = 41=e ee u. Ou seja, PW (v) = 4e Exerccios da subseo 5.3.1 5.25 - Achea distncia de (1,2,1)ao SEV W = [(1,-1,1)] 5.26 -Ache a projeo ortogonal de v = (x1,x2,x3)T, na direo de w = (3,0,0)T 5.27 - Certo ou errado? Justifique: i - Se v e ee 9n e PW(v) a projeo ortogonal de v em W=[e] ento ''PW(v)'' s ''v''.ii - Se v e ee 9n, PW (v) a projeo ortogonal de v em W = [e] e'' PW (v)''=''v'' ento v mltiplo de e. iii- Se v e e e 9n e PW (v) a projeo ortogonal de v emW=[e] ento ''PW(v)'' s ''w'' v vPW (v) = e= e ee u e 13 5.3.2Um exemplo tpico Exemplo 5.9- Ache uma expresso paraPW(b),projeo ortogonal de b= |||.|

\|321bbbno plano W=col(A),gerado por A(1) =|||.|

\|011 , A(2) =|||.|

\|110 . Soluo: Sebestiver em W ento

onde A = (A(1) ,A(2))e x = ||.|

\|21xx

Figura 5.4 Seb = PW(b), ento ( b - b ) deve ser ortogonal a todo z emW=Im(A). Isto equivale a exigir AT( b - Ax)= AT( b - b )= 0(vide obs. 5.4) Encontramos x resolvendo ATAx = ATb.Resulta PW(b) = Ax: 2 11 21 1 00 1 1123|\

|.| =|\

|.||\

|.|||xbbbPw(b) = A x = 132 1 11 2 11 1 2123|\

|.|||\

|.|||bbb Exerccios da subseo 5.3 Exerccio 5.28 -Ache a distncia de A(1) =(1,1,0)T ao subespao W do exemplo 5.9 Exerccio 5.29 -Ache a distncia de(1,-1,2)T ao subespao W do exemplo 5.9 Exerccio 5.30-Ache a distncia do ponto b = (1, 1, 1)T ao plano de equao x -2y + 2z = 0. b PW(b)=Ax A(2)W A(1) b = x1A(1) + x2A(2) = A x ATA x = ATb 14 Exerccio 5.31-Ache a distncia do ponto b = (1,1,1)T ao plano de equao x -2y + 2z = 2. Exerccio 5.32- Ache a projeo ortogonal de (0 ,0, z )T no SEV gerado por A(1) = (1,1,1)T e A(2) = ( -1 , 1, 1 )T. Exerccio 5.33 - Considere o subespao W = { ( x, y, z )T e 93 ; 2x + y +z = 0.}. i.Ache uma matriz A cujas colunas formam uma base para W. ii. Verifique ATA inversvel. iii. Ache a matriz P1 da projeo ortogonal do 93 sobre W. iv. Ache uma base para W = { ve93 ; vTw=0 para todo we W }. v.Ache a matriz P2 da projeo ortogonal do 93 sobre W. vi. Verifique que P1 + P2 = I e P1P2 = 0. Exerccio 5.34+- Sejam A uma matriz mxn , [ A(1) , A(2) , ... , A(n) ] = Im(A) e _b = Ax a projeo ortogonal de b sobre Im(A).Deduza a equao normal da seguinte maneira: i.Justifique porque ( Ax - b )TAy = 0 para todo y e 9m. ii. Concluaque ATAx - ATb perpendiculara todos os vetores do 9 m. iii. Conclua, dotem ii, queATAx =ATb .

5.3.3Projeo ortogonal num SEV do 9m Seja W = Im(A) o SEV do 9m gerado pelas colunas de A = Amxn

Do mesmo jeito que no Exemplo 5.9, parametrizamosbem Wpor b = Ax.Imporqueb = Ax seja a projeo ortogonal de b em W, corresponde a obrigar que b - Ax seja ortogonal a W=Im(A). Pela obs 5.4, isto significa resolverAT( b - Ax)= 0 . Ou seja, procuramos x no 9n e tal que: (Equao Normal - EN) (Veja aindao exerc. 5.27+) Suponhamosqueo={A(1),A(2),....,A(n)}umabaseordenadadeW.Nestecaso,amatrizA=(A(1) A(2)....A(n))tem n colunas LI, sendo n menor ou igual que o nmero de linhas m. Das propriedades do posto de uma matriz no final deAlap 4: n = dim(Im(A)) = Posto(AT)=Posto(ATA)

Mas ento ATA uma matriz nxn de posto n. Portanto ATA inversvele a equaonormal(EN)tem sempresoluo.Istosignifica quexEN = (ATA)-1ATbsoluo de ATAx = ATbe,portanto,que a projeo ortogonal de bemW,para cada b e 9m.b Ax =, onde x satisfaz ATA x = ATb b P b Ax A A A A bW ENT T= = =( ) ( )1 15 Como Pw: 9m9m um produto matriz-vetor, trata-se de uma funo linear. No 93, relativamente fcil perceber que a projeo ortogonal de um ponto num SEV W sempre existe, nica e minimizaa distncia do ponto ao plano. Isto se aplica em geral para a projeo ortogonalb=PW(b), que gozadestas duas propriedades importantes: i -Minimiza, estritamente, a distncia de b a W.Para v-lo, basta verificar que see e W,e e =b = PW(b), entoo tringulo de vrtices b,b e e, retngulo emb . PorPitgoras (exerc. 5.22+), ||b - e||2 = ||b -b ||2+||b- e ||2 ||b -b || < ||b - e|| ii - a nica projeo ortogonal de b em W.Ouseja,see=PW(b)estiveremWeb-etambmforortogonalatodososvetoresdeW,entoo tringulo de vrtices b, e e PW(b) tambm ser retngulo em e, implicando ||b - e|| < ||b -b ||. Mas isto noscontradiz o item i anterior,assegurando queb = PW(b) a nica projeo ortogonal de b em W. Com isto provamoso seguinte teorema:

TEOREMA 5.1- A projeo ortogonal PW: 9n W est bem definida e uma funo linear. Alm disto, PW(b) minimiza a distncia de b a W.Ouseja: , para todo eem W, diferente de PW(b). OBS. 5.5: i- Uma das consequncias do teorema 5.1 que diferentes bases de W, geram a mesma projeo ortogonal PW. Ouseja,seascolunasdeAedeBforemformadasporbasesdeW,entoA(ATA)-1AT=B(BTB)-1BT. Denominamos P = A(ATA)-1AT de matriz da projeo ortogonal. ii fcil verificar que, se P = A(ATA)-1AT ento P2 = P e PT = P . (vide exerc. 5.35)

Naverdade,estasduaspropriedadescaracterizamasprojeesortogonais,nosentidoque,sePuma matriz nxn, P2 = P, PT = P,e W = Im(P),ento P a matriz da projeo ortogonal em W.Para v-lo, suponha que P2 = P e PT = P, x e 9n e z = Py em W e observe que: (x Px)TPy = xTPy xTPTPy= xTPy xT P2y =0 Ou seja, x Px ortogonal a W = Im(P) e Px est em W. Mas esta exatamente a definio de projeo ortogonal de x em W. Este fato motiva a seguinte definio: Definio 5.6: P uma matriz de projeo caso P2 = P. (Diz-se ainda que P idempotente, caso P2 = P). Diz-se que uma matriz de projeo ortogonal, caso seja tambm simtrica, ou sejaPT=P. OBS.5.6A equao normal sempre tem soluo, mesmo que A no seja inversvel. (Vide exerc. 5.62+) ||b - PW(b)||< ||b - e|| 16 Exerccios da subseo 5.3.3 Exerccio 5.35 Mostreque, se A mxn e posto(A) = n e P = A(ATA)-1AT ento P2 = P e PT=P Exerccio 5.36 - Ache a distncia de (1, -2) reta y = 2x., usando a construo acima. Exerccio 5.37 - Achea distncia de (1,-1,2,1)T ao subespao gerado porA(1) = (1,0,0,0)T , A(2) = (1,1,1,1)T eA(3) (1,-1,-1,1)T. Exerccio 5.38 - Dados A = (1,-1,0,1)T e B = (0,0,0,1)T, acheC,tal que:i -Cesteja no subespao gerado por D(1) = (0,1,0,1)T e D(2) = (0,0,1,0)T ii - O tringulo ABC tenha a menor rea possvel. Exerccio5.39 i - Verifique que A = ||.|

\|1 21 2 uma matriz de projeo, no sentido que A2 =Aii-Verifique que a funo linear x Axprojeta 92 sobre a reta Im(A) =( 1, 1)T eque92 = N(A) Im (A). ii - Calcule as projees de ( 1 ,0 )T e ( 0 , 1)T sobre Im(A) e concluageometricamente que A no pode ser uma projeo ortogonal. Exerccio 5.40-Certo ou errado? Justifique: i - A = 1 00 2|\

|.| uma matriz de projeo.ii-Se A uma matriz de projeo, ento Im (A) = { v e 9n ; Av = v }. iii - Se P uma matriz de projeo ortogonal e Posto(P)=n, ento P a matriz identidade. iv - Se P uma matriz de projeo ortogonal ento ||Pv|| = ||v||

Exerccio 5.41+- Sem usara relao obtidapara a soluo da equao normal EN, verifiquequeseW um SEV do9m que admite umabaseortonormal formadapelas colunas damatrizQ = (Q(1), Q(2) ,...., Q(n)),ento aprojeo ortogonalde b em W se escreve como PW(b) = (Q(1) b) Q(1) + (Q(2) b) Q(2) +..............+ (Q(n) b) Q(n) = QQTb 5.3.4Aplicao da Projeo Ortogonal- Mtodo dos Quadrados Mnimos.

Exemplo 5.10 - Uma experincia repetida trs vezese obtm-se os dadosP1 = (-1,1)T P2 =(1,3)T e P3 = (2,2)T.Suponhamosqueateoriaportrsdareferidaexperinciasugiraqueestesdadosdeveriamestarsobre uma mesma reta, mas devido a erros experimentais isto no ocorre. Como se pretende fazer previses futuras, a sadatentaracharumaretaf(x)=o+|xquemelhorseajusteaosdadosexperimentaisnosentidodos quadradosmnimos,oqualconsisteemminimizarasomadosquadradosdasdistnciasverticaisd1,d2ed3 como sugere a figura5.5. Observe ainda que a distncia vertical de um ponto de coordenadas (b1,b2) retay = o+ |x pode ser escrita como d = o +|b1 - b2 = (1,b1) o||\

|.|- b2

17 Figura 5.5

,ondeA =|||.|

\|2 11 11 1e b =132|\

|.|||.Ou seja,procuramos o ponto deIm(A) mais prximo de b. Portanto (o , | )T_deve sersoluo da equao normal EN ||.|

\||o= (ATA)-1ATb =

\|||.|

\| 2 1 11 1 112 11 11 1|||.||||.|

\|||.|

\| 2 1 11 1 1|||.|

\|231||.|

\|=71273 Logo,aretaprocuradaserf(x)=12/7+3/7x,tambmconhecidacomoretaderegressoassociada aos dados P1 , P2 , P3. O vetord = A(o , | )T - bchama-se de resduo . Exemplo 5.11Evoluoda populao brasileira segundo os censos do IBGE:

ANO195019601970198019911996 POPULAO (em milhares) 51.844

70.070 93.138 118.002 146.820 157.079 Tabela 5.1 5.11.1. Usando o mtodo de quadrados mnimos para modelar tal evoluo com a reta de regresso y = x1 + x2tqual a previso de populao em 96 que se obteria? Consideramos 1950 como o ano t = 0.Medimos os anos em dcadas e as populaes em milhes. d2 =A2

( o,|)T - b2d1= A1

( o,|)T- b1 P2P3d3= A3 ( o,|)T - b3P1y = o x+ | 2T 2322212b ) , A d d d d | o = + + = ( 18 Para y = x1+ x2 t,obtemos5 equaes nas incgnitas x1 e x2: 51,84 =x1 70,07 =x1 + x2 93,13 =x1 + 2x2 118,00 =x1 + 3x2 146,82 =x1 + 4,1 x2 A soluo de quadrados mnimos xEN nos daria: ATA xEN =||.|

\|81 , 30 1 , 101 , 10 5 = =||.|

\|b AxxT21

||.|

\|3 , 12129 , 479 xEN =||.|

\|34 , 2382 , 48 ou seja,y = 48,82 + 23,34 t Apreviso para 1996 seriay = 48,82 + 23,34 * 4,6 = 156,20 milhes. Exemplo 5.11.2 - Modelar a evoluo usando a parbola y = x1 + x2t + x3 t2 . 51,84= x1 70,07=x1 + x2+x3 93,13=x1 + 2x2 + 4 x3 118,00= x1 + 3x2 + 9 x3 146,82= x1 + 4,1x2 + 16,81 x3 A soluo de quadrados mnimos xEN nos daria o modelo quadrtico: ATAxEN = |||.|

\|6 , 380 9 , 104 81 , 309 , 104 81 , 30 1 , 1081 , 30 1 . 10 5 = =|||.|

\|b AxxxT321|||.|

\|7 , 39723 , 12129 , 470 y = 51,42 + 18,31 t + 1,228 t2 Apreviso para 1996 seria de y = 51,42 + 18,31 t + 1,228 t2 = 161,63 Agindo de forma anloga obteramos: Para n = 3: y = 51,80 + 15,72 t +2,992 t2 - 0,2867 t3 Previso para 1996 : y = 159,52 milhes Paran= 4: y = 51,84 + 14,17 t + 5,09 t2 - 1,13 t3 + 0,1038 t4 Previso para1996: y = 161,4 milhes ||||||.|

\|= =||.|

\|||||||.|

\|= 8 , 14611813 , 9307 , 7084 , 51bxx1 , 4 13 12 11 10 1x A21 ||||||.|

\|= =|||.|

\|||||||.|

\|= 8 , 14611813 , 9307 , 7084 , 51bxxx81 , 1694101 , 4 13 12 11 10 1x A321 19 Esboamos abaixo os grficos dosajustes obtidos compolinmios de graus 1, 2 e 3,para a variao da populaobrasileira(medidaemmilhesdehabitantes)entre1950e1991,deacordocomosdadosdoIBGE, entre 1950 e 1991, junto com a previso feita com estes dados para o perodo 1991-1996. Exerccios da subseo 5.5.3 Exerccio5.42-Ajusteaparbolay=at2 +bt+caospontos(1,2)T,(2,5)T,(3,4)T,(5,-2)Te(7,-4)como mtodo acima. Exerccio 5.43 - Cheque os valores obtidos acima para o ajuste de polinmios do 30 e do 40 graus evoluo da populao brasileira entre 1950 e 1992, com a tcnica de mnimos quadrados, eusando os dados da tabela 5.1 Exerccio 5.44 -Seja D = { ( x1 , y1) , (x2 , y2 ) , ..., (xn , yn)} um conjunto de n dados. Verifique que acha-se a reta de regressoy = ot +| associada a D resolvendo o sistema:

||.|

\|=||.|

\||o||.|

\| i iii iiy xyx xx n2 20 3.6Complementos ortogonais Definio 5.7Dizemos que os SEVsV e W do 9n so ortogonais entre si, caso cada vetor de V for ortogonala W. Obs. 5. 7:Pela Obs 5.4 podemos dizer quepara testar se V = [A(1) , A(2) , , A(q)] e W= [B(1), B(2),, B(q) } bastatestar se cada A(i) ortogonal a cada um dos B(j).Ou equivalentemente, seATB = 0 (vide exerc. 5.19.x) Exemplo 5.12 -Seja A = |||||.|

\|1 03 21 20 1e considereV = Col(A), W = N(AT).AssoluescannicasdeATx=0constituemumabaseparaN(AT).NocasoteramosAT= ||.|

\|1 3 1 01 2 2 1 j na forma escada, propiciando a baseo = {S(1), S(2)} = { ( 8 ,-3 , 1,0)T , (1,-1,0,1)T}.Neste caso, V = Col(A) e W = N(AT) = Im(S). Como ATS = 0,V e W so ortogonais entre si. Veja que alm disto, 94 = VW, j que: i -V W = {0}. Veja que se v est na interseo de V com W, ento v(por estar emV) ortogonal a v em W. Isto significa||v||2 =vTv =0 v = 0. ii V + W = 94, Vide exerc. 5.21.xiv. Ou ento, veja que dim(V) = dim(W) = 2, dim(VW) = 0 e aplique a frmula dim(V+W) = dim(V) + dim(W) dim(VW)= 4( vide exerc. 4.59) O exemplo acima motiva a seguinte definio: Definio5.8-Complemento ortogonaldeSEV Se W SEV do 9m definimos seu complemento ortogonal W como o conjunto de todos os vetores do 9m que so ortogonais a W. Ou seja W = { x e 9m: eTx = 0, para todoe e W} OBS. 5.8 -Observe que noexemplo 5.12N(AT)j era o complemento ortogonalde Im(A), de vez que N(AT) consiste de todas as solues de ATx = 0. Alm disto obtivemos 94 = Im(A)N(AT). Isto vale emgeral. ConsidereA uma matriz mxn qualquer, bem como os SEVs do 9m, V = Col(A) e W = N(AT). Pela observao5.7, W o complemento ortogonal de V no 9n, j que N(AT) constitudo por todos osvetores ortogonais s linhas deAT, vale dizer, s colunas de A. Ou seja: - N (AT) = Col(A) no9m -N (A) = Col(AT) no9n 21 Emparticular,WtambmumSEVdo9mAlmdisto, 9m=Im(A)N(AT)tambmvaleparaqualquer matrizAcommlinhas.Vamosconsolidarestaafirmaonoteoremaaseguir,quejustificaonomecomplemento, na definio de complemento ortogonal W . Ou seja, W e W no apenas so ortogonais, mas tambm SEVs complementares no 9m, no sentido que: TEOREMA 5.2 SeW SEV do 9m, entoW tambm SEVe 9m = W W Dem:Seja W um SEV do 9m econsidere uma base o = {A(1), , A(n)} de W. Como vimos na Obs 5.8,resulta que W = N(AT). Isto significa que W tambm SEV do 9m. Para ver que 9m = W W, precisamos mostrar duas coisas: i -W W = {0}. Oargumento,nestecasogeral, exatamente o mesmo do exemplo5.11.i ii -9m = W + W Vejaque,usandoaprojeoortogonalem W, qualquerb do 9m se escreve na forma: e +e=Wb P bWb P bW W)) ( ( ) ( Mas isto significa que 9m = W + W Em particular, obtemosdecomposies ortogonais do 9m e do 9n, na forma: 9m = Col(A) N (AT) ;

9n =Col(AT)N(A) Obs 5.9Se W um SEV do 9m e V o complemento ortogonal de W, ento W tambm o complemento ortogonal de V..Equivalentemente, se W SEV do 9m, ento(W) = W. -Para ver que isto verdade, comeamos mostrando queW c (W)

Se v e W,ento todos os vetores em W so ortogonais a v, por definio. Mas ento v ortogonal a W. Portanto, vtambm est em (W)

-Do teorema 5.2, obtemos9m =W W = W (W). Em particular, obtemos: dim(W) = m dim(W) = dim((W)) Mas seW um SEV contido em (W) e de mesma dimenso que (W), isto nos garante que W = (W). Em particular, deN (AT) = Col(A) , obtemos N(AT)= Col((A)) = Col(A) 22 Exemplo 5.12 Na subseo 4.2.2 descrevemos W = N(A) como Im(S), ou seja, oespao das colunas de uma outramatrizS..Nesteexemplovamosverquevice-versa,aObs.5.9nospermitedescreverumSEVdado como Im(A), na forma de ncleo de outra matriz. ConsidereamatrizA=|||||.|

\|1 03 21 20 1doexemplo5.11,bemcomooSEVW=Im(A). Vamos obter uma matriz B tal que W = N(B). Da Obs 5.9,veja que W =(W) = (N(AT)) .No exemplo 5.11 obtivemosN(AT) = Im(S) = [S(1) , S(2)] = [ ( 8 ,-3 , 1,0)T, (1,-1,0,1)T] Mas ento W = [S(1), S(2)] = N(ST) = N||.|

\|||.|

\|0 1 1 10 1 3 8 OBS.5.10Observequeoprocedimentodoexemplo5.12funcionasempre.Ouseja,seAumamatriz qualquer,W = ColA), eS a matriz cujas colunas so as solues cannicas de ATx = 0, ento: W =(W) = (N(AT)) = Im(S) = N(ST). Exerccios da subseo 5.6 Exerccio 5.45- Verifique que W1 = { xe93 | x1 + 2 x2 - 3x3 = 0} e W2 = [(1,2,-3)T] so ortogonais entre si e que W1 + W2 = {0}. Exerccio 5.46 - Ache uma base para o complemento ortogonal de W = N(A) nos seguintes casos: I - A = (1 2 -3); ii -A =|||.|

\|0 3 1 12 2 2 01 2 0 1 Exerccio5.47-AcheumabaseparaW=Im(A),bemcomoparaoseucomplementoortogonalW,nos seguintes casos: i- A = |||.|

\|111; ii -A = |||||.|

\| 0 2 13 2 21 2 01 0 1

Exerccio 5.48 + - Certo ou errado? Justifique: i -Seve 9m e v = 0, entodim([v]) = m-1 ii -Seve 9300, entodim([v]) = 299 iii- Se W1 c W2 c 9mento W2 c W1iv Se W SEV do 9m e b e 9m, ento b = PW(b) + WP (b) 23 Exerccio 5.49- Sejam A= |||||.|

\|2 4 11 3 22 3 10 1 1 , B = |||||.|

\|2 1 01 2 11 1 12 0 0econsidere V =Im(A) e W = Im(B). i - Usea Obs. 5.10 para encontrar matrizes C e D tais queV = N(C) eW = N(D) I ii - Ache uma base deVW . (Sugesto: Observe que VW = N||.|

\|DC -vide exerc. 4.23) Exerccio 5.50 Em cada um dos casos do exerccio 5.47, ache as matrizes das projees ortogonaisem W e em W . (Sugesto: Aproveite o exerc. 5.48.iipara fazer menos contas) 5.7Mtodo de Gram-Schmidt para ortogonalizar uma base DEFINIO5.9 :| = {Q(1), Q(2), ....,Q(n)} uma base ortonormal de W, caso cada Q(i) tenha norma 1 e seja ortogonal aos outros vetores de |. Exemplo 5.13-o={(1/ 2, 1/ 2)T , (-1/ 2, 1/ 2)T} uma base ortonormal de 92. As coordenadas de v = (1,2)T na base o so (vide exerc .5.24+): [v]o

= ||.|

\|=||.|

\|2 12 3Q vQ v) 2 ( T) 1 ( T Exemplo 5.14 -A base cannica do 9no= {I(1), I(2), , I(n)} uma base ortonormal do 9n. Vejaque,se|={Q(1),Q(2),....,Q(m)}umabaseortonormaldo9m,ascoordenadasdequalquervetor v do 9m na base | se calculam de maneira relativamente simples, comoprodutos dev por cada um dos Q(j)(vide exerc. 5.24+). Veja tambm quese | uma base ortonormal de W, ento a projeo ortogonal em W se simplifica para PW(b) = QQTb. (vide exerc. 5.41).Neste sentido, bases ortonormais so mais adequadas do que outras bases para trabalhar com projees ortogonais em SEVs. Razes de estabilidade numrica reforam esta opo em vrias aplicaes. OmtododeortogonalizaodeGram-Schmidtumprocedimentoquevisaconstruirumabase ortonormalde um SEV, a partir de uma base que no ortogonal. Como subproduto do mtodo, se o = {A(1) , A(2),,A(n)}umabasedeW,obteremosumafatoraoA=QR,ondeQTQ=InxneRumamatriz triangularsuperior.TalfatoraopopularmenteconhecidacomofatoraoQRdeAeestpresenteem praticamentetodosossoftwaresdelgebraLineardisponveis,muitoemborausualmentecalculadacom mtodos numericamente mais sofisticados que Gram-Schmidt .Na subseo 5.7.1 apresentamos o mtodo de Gram-Schmidt num caso particular no93 e na subseo seguinte o generalizamos para qualquer SEVde algum 9m. 24 5.7.1 Um exemplo tpicodo mtodo de Gram-Schmidt no 93 Exemplo 5.15 SejamA(1) = (0,2,0)T, A(2) = (1,2,2)T e A(3) = (1,-2,-2)Te o = {A(1), A(2), A(3)} Apartirdeo,obteremosumabaseortonormal|={Q(1),Q(2),Q(3)}do93,comoseguinte procedimento: i- Q(1) permanece na direo de A(1) SejamQ(1) = A(1)/||A(1)|| = 1/2 A(1)

W1 = [Q(1)] = [A(1)] ii-Q(2) obtido a partir da projeo ortogonal de A(2) em W1

= 2 (A(2) - (A(2)Q(1)) Q(1)) =2 (1,0,2)T , onde 2 = 1/||(1,0,2)T|| =5 1 Veja que, se consideramos W2 = [A(1), A(2)], ento {Q(1), Q(2)} base ortonormal de W2.

Figura 5.6 iii - Q(3) obtido a partir da projeo ortogonal de A(3) em W2 =3 (A(3)-(A(3)Q(1)) Q(1) -(A(3)Q(2)) Q(2)) = 3( 8/5,0,-4/5)T ,onde 3 = 1/||( 8/5,0,-4/5)T||= 45 Veja que Q = (Q(1) Q(2) Q(3)) = |||.|

\| 5 / 1 5 / 2 00 0 15 / 2 5 / 1 0 ortogonal, isto QTQ=I

A(1)W1 Q(1)Figura 5.5 A(2)

Q(2) A PWA( )( )2 21Q(1)W1 = = )) A (1WP A ( Q) 2 ( ) 2 (2) 2 ( )) A (2WP A ( Q) 3 ( ) 3 (3) 3 ( = A(3)W2

A PWA( )( )3 32 Q(2)Q(3)

Q(1) W1Figura5.7 O mtodo acima conhecido como ortogonalizao de Gram-Schmidt 25 Observe que obtivemos, em i, ii e iii: + = + + =+ = + ==) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 3 (3) 2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 () 2 ( ) 1 ( ) 2 (2) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 () 1 ( ) 1 (Q 5 / 4 Q 5 / 3 Q 2 Q Q ) Q A ( Q ) Q A ( AQ 5 Q 2 Q Q ) Q A ( AQ 2 A

O u seja, obtivemos A = QR, onde R = |||.|

\| 5 / 4 0 05 / 3 5 02 2 2 uma matriz triangular superiore QTQ = I . Exerccios de subseo 5.7.1 Exerccio 5.51Faa Q = (Q(1) , Q(2), Q(3))com os vetores obtidos no exemplo 5.15 . Verifique queQ uma matriz ortogonal e que R = QTA triangular superior. Exerccio 5.52-Seja A = |||.|

\| 1 11 01 1, considere W = Col(A) e W1 = [A(1)] i -FaaQ(2) =A(2) -1WP (A(2)). ii - Verifique que | = {A(1) , Q(2) } uma baseortogonal de W(A(1) Q(2) = 0) iii Considere a matrizB = (A(1)Q(2) ) e verifique que BTB uma matriz diagonal. iv Considereo = { A(1)/||A(1)|| , Q(2)/|| Q(2) ||} e verifique que o uma base ortonormal. v -Considere a matriz Q cujas colunas so os vetores de o. Verifique que QTQ = I2x2, mas que QQT = I3x3 vi Verifique que QTA uma matriztriangular superior Exerccio 5.53 + - Sejamo = {A(1), A(2),A(3)} e | = {B(1) , B(2) , B(3)} duas bases do 93, tais que [A(1)] = [B(1)] , [A(1), A(2)] = [B(1) , B(2) ]. Mostre queA se fatora na forma A = BR, onde R uma matriz triangular superior e inversvel.(Sugesto: Escreva as colunas de A como combinao linear das colunas de B e veja que voc chega a algo bem parecido com o que obtivemos no exemplo anterior e que nos permitiu concluir A = QR) 26 5.7.2 Algoritmo GS Problema:DadoSEVWc9m ebaseo={A(1),A(2),....,A(n)}deW,obterumabase ortonormal |={Q(1), Q(2), ....,Q(n)} de W. OalgoritmodeGram-Schmidt(GS),generalizaoquesefeznoexemplo5.15,visandoresolvero problemacolocadoacima.Essencialmente,paracadai=1,,n,considera-seoSEVWigeradopelosi primeirosvetoresdeo.Nai-simaiteraodoalgoritmoGS,obtemosumabaseortonormal{Q(1),Q(2),, Q(i)} para Wi. Ovetor Q(i) em Wiresulta ortogonal a Wi-1 e obtidocomo um vetor na direo de A(i) menos sua projeo ortogonal em Wi-1. Passo1 Inicializao: P1.a - Calcule Q(1) como um vetor de norma 1 na direo de A(1).

(Faa Q(1) = A(1)/||A(1)||) P1.b - Faa W1 = [A(1)] = [Q(1)]e i = 2 Passo 2- Para cada i entre 2 e n, faa: P2.a - Calcule a projeo ortogonal de A (i) emWi-1 e faaQ(i) = A(i) -) A ( P) i (W1 i (observe que Q(i) resultou ortogonal a Wi-1 e no nulo, j que o LI) P2.b -Atualize Q(i), de modo a que fique com norma 1.(Faa Q(i) Q(i)/||Q(i)||) P2.c- Considere Wi = Col( Q(1) , Q(2), , Q(i))(Observe queWi = Col(A(1) , A(2), , A(i)) ) P2.d- Atualize i, fazendo i i+1 OBS.5.11-Teoricamente,anicamaneiradoalgoritmoGSfracassar,nocasodealgumdosQ(i) obtidosemP2.aseanular.IstospodeacontecerseA(i)estiveremWi-1 =[A(1),,A(i-1)].Masisto significaria que A(i) combinao linear de A(1), , A(i-1), contradizendo a hiptese de o ser uma base de W. Naprtica,noentanto,podeacontecerdeA(i) estarmuitoprximodeW(i),paraalgunsvaloresdei.Nestes casos o algoritmo de Gram-Schmidt pode funcionar mal,e produzir resultados numericamente duvidosos. H 27 maneirasdemelhoraroalgoritmo,dopontodevistanumrico,masfogemdonossoobjetivonumprimeiro curso de lgebra Linear. OBS 5.12 -O algoritmo GS produz, em cada iterao,uma base ortonormal para Wi = [ A(1), A(2), , A(i)]. Com isto, obtemos duas consequncias importantes: i-A projeo ortogonal de A(i) em Wi-1 dada no passo 2.a se faz usando a base ortonormal {Q(1), , Q(i-1)} de Wi-1.Naprtica) A ( P) i (W1 i=Q(QTA(i)),ondeQamatrizcujascolunassoQ(1),,Q(i-1)(videexerc. 5.41).Ouseja,) A ( P) i (W1 isecalculacomdoisprodutosmatriz-vetor,oqueconsideravelmentemais barato, do ponto de vista computacional, do que usar a base original {A(1), A(2), , A(i-1)} de Wi-1 . ii Analogamente ao que aconteceu no exemplo 5.15, o fato que[A(1), , A(i)]= [Q(1), , Q(i)], para todo i = 1,,nnosgaranteumamatriztriangularsuperiorR,etalqueA=QR.Oargumentoquegaranteesta fatorao essencialmente o mesmo que o do exerccio 5.53+. As colunas de Q resultamortonormais, e isto nosgaranteQTQ=I(videexerc.5.19+).ComoA=QRtempostoneRnxn,opostodeRnopodeser inferior a n (vide seo 4.7), o que significa dizer que R inversvel. Consolidamos as observaes 5.11- 5.12no seguinte teorema: TEOREMA 5.3 Sejam W um SEV do9m e o = {A(1), A(2), ....,A(n)} uma base de W. O algoritmo GS nos fornece umabase ortonormal |={Q(1), Q(2), ....,Q(n)} de W.Alm disto, para cada i= 1,...,n, obtemosCol(A) = [A(1), A(2), ....,A(i)] = [Q(1), Q(2), ....,Q(i)] = Col(Q) Emparticular,obtemosafatoraoA=QR,ondeQamatrizcujascolunasformamabase ortonormal de Col(A) obtida (vale dizer, QTQ= I) e R uma matriz triangular superior e inversvel. Exerccios da subseo 5.7.2 Exerccio 5.54-Ache a fatorao QR da matriz 1 1 12 0 22 0 2|\

|.||| Exerccio.5.55 -Seja n = { v1,v2,v3} , onde v1 = (1,1,0)T , v2 = (1,-1,2)T e v3 = (1,0,1)T. i - Tente aplicar o algoritmo de Gram-Scmidt para obter uma base ortonormal do 93. Se no der certo tente explicar porque no deu.ii - Ache uma base ortogonal para V=[v1,v2,v3 ] e outra para V iii - Considere a matriz A = (v1 v2 v3) e ache uma decomposio QR para A. Exerccio.5.56SejamQ = 1 1 11 1 00 1 11 0 1 |\

|.||| , R = 1 4 60 2 50 0 3|\

|.|| econsidere A= QR. Sem calcular A: i - Ache o ponto de Col(A) mais prximo de (1,0,0,0)T 28 ii Ache o tringulo de rea mnima, com um dos vrtices em Col(A), sabendo que os demais so (1,0,0,0)T e (1,0,-1,0)T.iii Calcule a soluo de ATAx = ATb,onde b= (1,0,0,0)T

Exerccio.5.57- Sejam v1 = (1,0,2,2)Tev2 = (1,2,-2,-3)Tedenotepor PV : 94 94 aprojeo ortogonal em V = [ v1 , v2 ] . i- Calcule PV( (1,0,0,0)T) ii - Ache uma base ortonormal o para V e complete-a para obter uma base ortonormal | de 94 iii- Calcule a matriz que definePV Exerccios Suplementares: Exerccio 5.58 -Verifique que a bissetriz do ngulo formado pelos vetores ( a , b )T=0 e(b ,a )Ta reta y = x. Exerccio 5.59 ( Recprocado teoremadePitgoras). Se a , b , ecso as normas das arestas deumtringulo no 9n,com c2 = a2 + b2 ento este tringulo retngulo Exerccio 5.60 - Seja W = [(1,0,-2,3,1)T, (1,0,1,0,1)T]. i - Ache uma base ortogonal o para W ii - Ache uma base ortogonal | do complemento ortogonal W de W iii - Verifique que o| uma base ortogonal do 95 Exerccio5.61-SuponhaqueR(t)diferencivelerepresentaatrajetriadeumapartculaem93.Sea partculapermanecesempresobreumaesferaverifiquequeseuvetorvelocidadesempreperpendicularao vetor posio. Exerccio 5.62 + - i - Mostre que Im(ATA) = Im(AT). (Sug: Verifique que Im(ATA) cIm(AT) e conclua a igualdade usando a seo4.7, para verificar que dim(Im(ATA))= Posto(ATA) = Posto(A) = dim(Im(AT))ii - Conclua, de i,que a equao normal ATAx = ATb tem sempre soluo. Exerccio. 5.63-Dados A = (0,1,1,0)T e B=(1,1,0,1)T, acheC tal que o ngulo entre AC = C-AeAB = B-A seja de 30o,C esteja no SEVW = [ (1,1,0,1)T, (0,1,1,0)T] e ||AC||= 1. Exerccio 5.64 - Certo ou Errado? Justifique: i - Se P e Q so matrizes deprojeo, entoP+Q tambm ii - Se P e Q so matrizes deprojeo, entoP*Q tambm iii - Se P e Q so matrizes deprojeoortogonal e comutam entre si, entoP*Q tambm matriz de projeo ortogonal. iv - Se P e Q so matrizes de projeo e Im(Q) c Im(P), ento PQ = Q v -Se P e Q so matrizes de projeo ortogonal e N(P) c N(Q), ento PQ = Q vi* - Se P e Q so matrizes de projeo e N(P) c N(Q), ento PQ = Q 29 Exerccio 5.65i-Acheuma base ortogonalo de N(A), para A =1 0 2 12 1 1 1 |\

|.| ii -Ache uma base ortogonal|para Im(AT).iii - Verifique queo| uma base ortogonal de 94 Exerccio 5.66-Considere a matriz R = 1/2|||.|

\|2 0 00 2 20 2 2 i.ConsidereoquadradoQ={(x1,x2,x3)|-1sx1s1,-1sx2s1,x3=1}.DescrevaaimagemdeQpela aplicao linear que leva x Rx, ou sejaR(Q) = {Rx | x e Q}. Ilustre geometricamente R(Q). ii. Se v, w e 93 ento o ngulo entre v e w o mesmo que o ngulo entre Rv e Rw. iii. O comprimento de v o mesmo de Rv. iv. Verifique diretamente que RRT =RTR = I3x3. v. verdade, em geral, que se RRT =RTR = Iento R preserva ngulos e comprimentos, no sentido que ii e iii se verificam para uma tal R? Justifique.

Definio 5.10 -Diz-se que uma matriz quadrada nxn A preserva a normase ||Ax|| = ||x||, para todo x do 9n. Diz-sequeApreservanguloscasoonguloentreAxeAysejaomesmoqueonguloentrexey,para qualquer par de vetores x e y do 9n. Exerccio 5.67 Certo ou errado? Justifique: i-Se A uma matriz ortogonal nxn(ATA=I) ento A preserva a norma. ii - Se A ortogonal nxnento A preserva ngulos. iii- Se A diagonal e inversvel entoA preserva ngulos. iv -SeApreserva normas ento A preserva ngulos(Sugesto:Use a informao que||A(x+y)||2 = ||x+y||2, para concluir que A tambm preserva o produto interno, ou seja, que se A preserva normas, ento (Ax)T(Ay) = xTy ) v * -Se A uma matriz quadrada que preserva normas ento A uma matriz ortogonal. (Sug:Considere um y qualquer do 9n e use a informao do item anterior que (Ax)T(Ay) = xTy para verificar que ATAy y perpendicular a todos os vetores do 9n) iv - .SeA preserva ngulos ento A tambm preserva normas. (Sug: Teste com A = 2 I2x2) vii* -Se A preserva ngulos ento A uma matriz mltipla da identidade. viii*-SeA3x3e''Av''=''Aw'',paratodososvetoresvewno93demesmanorma,entoAtambm preserva osngulos entre dois vetores quaisquer. Exerccio 5.68 - Seja Auma matrizmxn denmerosreaiscomposton eP =A(ATA)-1AT. i- MostrequePTP = P2 = P, ou seja, queP uma matriz de projeo ortogonal.ii.Se B uma matriz mxmtal que AT B A inversvel e se P =A(ATBA)-1 ATB ento P2 = P iii - Encontre um exemplocom m = n = 3, no qual P no seja simtrica, ou seja, talque Pseja uma matriz deprojeo (oblqua) em Col(A). 30 Exerccio 5.69 - Sejam V e W subespaos vetoriaisde dimenso 2 do 93 diferentes. Faa uma figura na qual voc se convena queV + W= (VW) . Exerccio 5.70 -Mostre que se V e W so subespaos vetoriais do 9nento V + W= (VW) . Exerccio 5.71Certo ou Errado? Justifique: i - SeW1 e W2 so SEVs de dimenso 1 do 94, ento dim(W1 W2) > 2.ii A equao Ax = b tem soluo ento b ortogonal a todas as solues de ATx = 0iii Se b ortogonal a todas as solues de ATx = 0 ento a equao Ax = b tem soluo iv Se | uma base ortonormal do 93 e[v]| = x, ento ||v|| = ||x|| v

- Suponha que| uma base do 93 tal que,para todo v do 93 , sex= [v]|, ento ||v|| = ||x||. Neste caso, | uma base ortonormal do 93. Exerccio 5.72 - Seja Anxn uma matriz de projeo, ou seja,tal que A2 =A. i. Verifique que 9n = N(A) Im(A). ii.Im (A) = { v e 9n ; Av = v }. iii.Se A = AT ento x - Ax ortogonal a Im(A). 31 Exerccios Resolvidos Exerccio 5.1 i.''v'' = [12 +(-2)2 + 32]1/2 =14e ''w'' = ( 22 + 12 + 12 )1/2 = 6 ii.Calculandov -w = (-1,-3, 2)T, a distnciaentre v e w portanto dada por ''v-w'' =14 . iii. Se u o ngulo entre v e w ento por definio cos u= vTw/||v||||w||.CalculandovTwteremosvTw= 1.2 + (-2).1 + 3.1 = 3eusandoo tem ivemque u = arccos(384). Exerccio 5.3 Os vrtices do tringulo so A = ( 1, 0, 1)T , B = ( 1, 2, 1)T e C = (0, -1 ,1)T. Para achar a rea do tringulo precisamos achar a altura em relao a um dos lados, digamosAB, epara isto precsamosacharumpontoDsobre aretar( t )=A + t ( B - A)suportede ABtal que C- D B - A . Seja D =( 1, 0, 1)T +t0( 0 , 2 , 0 )T = ( 1 ,2t0 ,1).Fazendo C- D B - A teremos (-1,-1 -2t0 ,0 )T.( 0 ,2 ,0 )T = (-1 ,-1 -2t0,0 )( 0,2,0 )T = 0 ,portanto t0 = - e D = ( 1 , 1 ,1 )T. Como C - D a altura do tringulo em relao ao lado AB segue-se que a rea do mesmo dada por1/2''B - A''.''C - D'' = 15. Para calcular o permetro basta achar a soma de''B - A'' ,''C - B''e''A - C'' que so os comprimentos dos lados do tringulo. Exerccio 5.5 Verifique que os dados da Figura 5.1 esto corretos.Calcule ( A + B)(A - B ) e verifique que tal produto interno zero. Figura5.1 Exerccio 5.7 Como o( t ) uma curva de nvel de F temos que F(o( t )) = C = constante para todo t. Usando a regra da cadeia para derivar ambos os membros da igualdade anterior teremos: dF tdtF tTt( ( ))( ( )),( )oo o = V =0 Exerccio 5.8 +Paraverificar que vTw satisfaz PI.a basta usar as propriedades de produto de matrizes, neste caso vT uma matriz 1xn e w uma matriz nx1.A + B -B B AA - B 32 Para verificar PI.b suponha que v = (v1, v2 , . . ., vn). Portanto v.v = vTv =viin21 => 0 e viin21 == 0 se vi = 0 para todo i. ( Com pequenas modificaes o exerccio 5.8 + um caso particular do exerccio abaixo, bastando tomar no exerccio 5.9 A = Inxn ) Exerccio 5.9i.Para verificar que Q bilinear temos que verificar que Q linear em cada varivel. Verificare-mos que Q linear na primeiravarivel, isto ,Q( ov1 +|v2 ,w) = oQ(v1,w) +|Q(v2,w). Temos: Q( ov1 +|v2 , w) = ( ov1 +|v2)TAw = [( ov1)TA +(|v2)TA]w = o(v1TAw) +|(v2TAw) =oQ(v1,w) +|Q(v2,w). Que Q tambm linear na segunda varivel feito de modo anlogo. ii.Temos: Q( v , w ) = vTAw= (vTAw)T = wT[(vTA)T] = wTATv =Q ( w , v ) pois AT =A. iii-SeAumamatriz diagonal,esuadiagonalforformadapelosnmerospositivos1, 2,, nentofica fcil ver que vTAv = 1v12 + 2 v22 + + nvn2 > 0, j que se trata,neste caso de uma soma de n nmeros no-negativos. Do mesmo jeito, se vTAv = 0, ento ivi2 = 0, para todo i = 1,2,,n.Como estamos supondo que os i so todos positivos, isto significa vi=0 para todo i. Exerccio 5.11. Calculando diretamente ||A + B||2e ||A - B||2, obteremos: ||A+B||2+||A-B||2 = (A+B).(A + B) +(A - B).(A -B) = (||A||2 + ||B||2 + 2AB)+(||A||2 +||B||2 - 2AB) = = 2 ||A||2 + 2 ||B||2 Exerccio 5.13 i.O subespao W do 94 gerado pelos vetores S(1) = ( -1, -1 , 1, 0)T e S(2) = (1, -2, 0, 1)T, isto , R e W seR = ( -x1+x2 , -x1 2x2, x1 ,x2 )T. Se Re W e o tringulo PQR equiltero teremos: P-R2 = [2- (x1 x2)]2 +(x1 +2x2)2 + x21 +x22 = P-Q2 = 12 (I) Q-R2 = (x2 x1)2 + ( x1 +2x2)2 +(x1 2 )2 + (x2 2)2 = 12 (II) Comparando (I) e (II) teremos x2 = -1/2 e substituindo x2 em (I)encontramos ou x1 = 27 1+ oux1 =27 1. ii. Seja Wo subconjunto deste tem. Observe que a menor distncia dos pontos de W do tem i aos pontos de W( 5, -5, 0 , 0)T = 50> P-Q= 12 , logo qualquer que seja R e W o tringulo PQR nunca ser equiltero. Exerccio 5.15 i. Certo.Como o produto interno positivo definido temos que v= 0 se e somente sev =0. ii. Falso. Tomex = (o + cosu , o + senu ) e y = (o , o ) para quaisquer o , u e 9. iii. Certo.Pela desigualdade triangular sabemos quex + ysx+ ys 4 + 1 =5. iv. Errado. Tome x = ( -4 , 0)Te y = ( 1 , 0 )T. v.Certo.Neste caso || x - y||2 = (x-y)T(x-y)= ||x||2 + ||y||2 - 2 xTy = 1 + 1 -2 = 0 x - y = 0 x = y. vi.Certo.SejaIi a i-sima linha da matriz identidade nxn. Temos:0 = vTAv = - 4. Logo, vTAvno positivo-definido.33 viii. Certo. De Ax = xexTAx > 0, obtemos xTAx = xT(x) = xTx > 0.Como x = 0, obtemos xTx >0 e portantoxTx > 0 implica > 0. Exerccio 5.16 + i. (1, -2 )T

1 = 1 + -2= 3e( -2 , 1)T1 = -2+1 = 3. ii.Este tem foi redigido incorretamente. O correto seria: Verifique que. 1 satisfaz as tres propriedades fundamentais de norma: N10s v 1 e v 1 = 0 se e somente se v = 0. N2kv1 = kv1 para todo ke9 N3v + w 1 s v 1 + w 1 Para N1 temos: v 1 = v1 + v2 > 0 ev1 + v2= 0 sssv1 = v2 = 0. N2 evidente Para N3 temos:( v1 + w1 , v2 + w2)1 = v1 +w1 +v2 +w2s v1 + w1 +v2+w2 =( v1+v2) +(w1+w2) =v1+w1 Exerccio 5.17 i.''v'' = [ 12 +(-2)2 + 12 + 32]1/2 =15''w'' = [ 22 + 12 + 32 + 12]1/2 =15 ii. Temos v.w = vTw= 6 , ''v''''w'' =15 , logo u = arcos(2/3).iii. Sez e [w] ento existet e 9 tal quez = ( 2t,t ,3t , t)T. Para que o vetor z-v = ( 1-2t,-2-t,1-3t,3-t)T seja perpendicular a z teremos( v z).z=0 o que implica t=0 ou t =5/2 e neste caso teramos z=0 ou z = (-4 , -9/2 , -13/2 , 1/2)T. No caso de z=0 no teramostringulo algum.Exerccio 5.19 Exerccio 5.21 i. Certo.Parax = ( x1,x2)T ser ortogonal aos vetores dadosequivale dizer que x soluo do sistema ||.|

\|1 11 1x =0, o quals admite a soluo trivial. ii. Analogamente ao tem ipara x = (x1,x2,x3)T a afirmao implica que x tem que ser soluo de |||.|

\|0 3 11 1 12 1 1x=0. Como o posto da matriz do sistema 2 existe uma soluo no trivial, isto , existe um vetor x no nulo perpendicular aos vetores dados. iii. Certo.Pois neste caso x ter que ser soluo do sistema Ix = 0 onde I =Inxn. iv.Certo.Seja A a matriz cujas linhas so os vetores da base dada. Como as linhas de A so LI posto(A) igual a nimplica que o sistema Ax=0 s tem a soluo trivial. v.Certo. Basta ver que neste caso eles no so cooplanares. Analiticamente, se v1, v2 e v3 so ortogonais entre si e no nulos e anulamos uma combinao linear c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0, obtemosvi (c1v1 + c2v2 + c3v3) = 0 ci vivi = 0 ci = 0, para todo i = 1,2,3. vi.Errado. Tome x = ( 1, 0 )T , y = ( 0, 1)T e w = ( 2, 0)T. vii.Certo. Note que neste caso os n vetores so LI.(Esta fato demonstrado de forma inteiramente anloga ao que se fez no item v ). Como no pode haver n+1 vetores LI no 9n (j que sua dimenso n.) segue-se o resultado.34 viii. Certo. Note que (ATA)ij = ATi.A(j) = A(i).A(j) e como ATA diagonal(ATA)ij = 0 de i = j. ix. Certo.Como no tem anterior temos que (ATB)ij = A(i).B(j). Como ATB = 0 segue-se que as colunasdeA so ortogonais as colunas de B. Sejamx = =piiiA c1) (e Col(A)ex==miiiB b1e Col(B). Usando as propriedades do produto interno verifica-se facilmente que x.x=0. x.Errado. TomeA =||.|

\|0 10 1e B = ||.|

\|1 00 0. Temos que A(1) e Im(A),B(2) e Im(B) mas no so ortogonais. xi.Certo. Como(Pv).(Pv) = (Pv)TPv = vTPTPv = vTIv = v.vtemos o resultado. xii. Certo.Observe que no tem acima s usamos o fato que toda matriz de permutao uma matriz ortogonal, portanto o resultado ainda contnua vlido para matrizes ortogonais. xiii. Certo. Se A ortogonal temos que (Av).(Aw) = (Av)TAw = vTATAw = vTw =v.w, isto , A preserva produto interno e como tambm preserva comprimento logo preserva ngulo. xiv. Certo.Dizemos que V ortogonal aW se cada vetor de V for ortogonal a todo vetor de W. Neste caso como o uma base de V e | uma base de W temos queo|geraV+W e como os vetores deo so ortogonais aos vetores de | segue-se pelo tem ix (com pequenas modificaes)queo| um conjunto LI. Exerccio 5.23 + i.Considere a combinao linear c1A(1) + c2A(2) + . . . + cpA(p) = 0. Fazendo o produto interno de ambos os membros por A(i) e usando as propriedades de produto interno teremos que cjA(i).A(i) = 0 e como A(i) = 0 segue-se que cj = 0 para todo j = 1 , . . . p ,provando que os vetores so LI. ii. Observe que (AAT)ij = AiTAj = 0 se i = j o mesmo ocorrendo para os elementos (ATA)ij. Por outro lado (AAT)ii = (ATA)ii = AiTAi. iii. Segue-se imediatamente do tem ii. e pelo fato que AiTAi. = 1. Exerccio 5.24 + Sendov = x1v1+x2v2 + . . .+xnvn e calculando v.vi=vTvi = x1v1Tvi + . . .+xiviTvi + . . . +xn viTvn e considerando o fato que viTvj= 0 sei=j segue o resultado. Exerccio 5.25 Note que o vetor ( 1, 2, 1 )T ortogonal ao subespaoW, logo a distncia pedida ( 1, 2, 1 )T = 6 . Exerccio 5.27 i. Certo. Note que vale o Teorema de Pitgoras:Pw(v)2 + v Pw(v)2 = v2. Verifique que: Pw(v)2 + v Pw(v)2 = v2 +2 ww ww v...[ww ww v.. - v] e que2 ww ww v...[ww ww v.. - v] = 0 ii. Certo. Pelo tem anterior sePw(v) = v entov Pw(v) = 0, e como Pw(v) um mltiplo de w temos o resultado. 35 Exerccio 5.29 Para achar a distncia pedida temos que encontrar a projeo ortogonal_bde b = ( 1, -1 ,2)T no subespao W. Mas pelo exemplo temos que_b= |||.|

\||||.|

\|2112 1 11 2 11 1 231|||.|

\| =211. Como b = _be W implica que a distncia pedida zero. Exerccio 5.31Pelo exerccio 5.22 voc verificou (?) que o plano odado pela equao x - 2y +2z = 0 o ncleo da matriz A =1 2 20 0 00 0 0 |\

|.||| e portanto gerado pelas solues bsicas do sistemaAx=0 as quais so S(1) = |\

|.|||201 eS(2) = 210|\

|.|||, ou seja pelas colunas da matriz S = (S(1) S(2) ). A projeodeb = 111|\

|.||| sobreosubespaogerado pelascolunas da matriz S : Pw(b) = Sx = 198 2 22 5 42 4 5111|\

|.||||\

|.|||( Note que neste caso x = (STS)-1STb ).Segue-se portanto que a distncia do ponto b ao plano dado no exerccio 5.22'' Pw(b) -b'' = 1/3 Para achar a distncia de b ao plano |dado pela equaox - 2y + 2z = 2 vamos achar inicialmente a distncia entreosplanos|eo.Umaretanormalaosdoisplanostemequaoparamtricar(t)=(t,-2t2t)aqual intercepta o plano| parat = 2/9 , isto , no ponto de coordenadas ( 2/9 , -4/9 , 4/9 ) e r(t) intercepta o planoonaorigem.Logoadistnciadentreosdoisplanosdadapord=''(2/9,-4/9,4/9)T''=2/3. Observando a posio do ponto ( 1, 1, 1 ) em relao aos dois planos conclumos que a distncia dele ao plano| dada por 1/3 + 2/3 = 1. Exerccio 5.33 Obs. Este exerccio est no lugar inadequado por ainda no ter sido definida a matriz de uma projeo. Exerccio 5.34 + i. Temos que Aye Im(A) para todo ye 9n, logo b b Ayou seja (Ax-b).Ay = (Ax b)TAy = 0. ii.Note que0 =(Ax b)TAy = (xTAT bT)Ay = (xTATA - bTA)y = (xTATA - bTA)T.y = (ATAx-ATb).ypara todo ye 9n, isto , (ATAx-ATb) um vetor perpendicular a todo vetor de 9n. iv. Como (ATAx - ATb).y = 0 para todo y e 9n segue-se que ( ATAx - ATb ) = 0, ou seja ATAx = ATb. Exerccio 5.3Como Posto(ATA) = Posto(A) temos que a matriz(ATA)nxninversvelportanto amatrizP = A(ATA)-1AT est bem definida. Temos: PT = [A(ATA)-1AT]T=(AT)T[(ATA)-1]TAT = A[(ATA)T]-1AT = A(ATA)-1AT = Pe P2 = [A(ATA)-1AT] [A(ATA)-1AT] =[A(ATA)-1[(ATA)(ATA)-1]AT] = A(ATA)-1IAT=P. 36 Exerccio 5.37Sejam A = ( A(1)A(2)A(3) ) e [A(1)A(2)A(3)] = Im(A). Vamos calcular a projeo ortogonalb_ de b = ( 1 , -1 , 2 , 1)T sobre Im(A). Como as colunas de A so vetoresLI( verifique isto ) temos que b_ = A(ATA)-1ATb = 1 0 0 00 1 2 1 2 00 1 2 1 2 00 0 0 1112111 21 21/ // ///|\

|.|||||\

|.|||| =|\

|.||||. Portando a distncia pedida '' b_- b'' = 182. Exerccio 5.39 i.Temos queA2 = A e mais2 12 12211|\

|.||\

|.| =|\

|.| =|\

|.|xyx yx y[ ] = Im(A). Axy|\

|.| = |\

|.|00 sssy=2x, isto : N(A)= [ (1, 2)T]. ii. Paraverificarque92= N (A) Im(A)bastanotarque 92 = [ (1,2)T , (1,1)T] e os vetores (1,2)T , (1,1)T so LI. iii. Note que A1022|\

|.| = |\

|.| e A0111|\

|.| =|\

|.| e se A fosse uma projeo ortogonal sbre Im(A) deveramos ter que A10|\

|.|= A01|\

|.|. Faa um desenho. Exerccio 5.41 Se | = {Q(1),Q(2),....,Q(n)} uma base ortonormal de um SEVW do 9n , b e 9n,e b representa a projeo ortogonal de b em W, teremos que b = c1Q(1) + ....+ cnQ(n) ; 0= (b- b)Q(j) ,para j = 1,...,n Mas ento0 = b Q(j) - b Q(j) = bQ(j) -(c1Q(1) Q(j)+ ....+ cnQ(n)) Q(j) = bQ(j) - cjQ(j) Q(j) , j que Q(i) Q(j) = 0,se i = j Ou seja,cj = b Q(j).Segue queb=PW(b) = (b Q(1)) Q(1) + .....+ (b Q(n)) Q(n) uma projeo ortogonal de b em W,j que b - PW(b) ortogonal a todos os vetores da base | de W.Observe que se V =9n e o produto interno for o usual e considerarmos a matrizQ = (Q(1) Q(2)... Q(n)), ento:(b Q(1)) Q(1) + .......+ (b Q(n)) Q(n) = (Q(1) Q(2)... Q(n))b Qb Qb QTTT n( )( )( )12|\

|.|||| =Q(QTb) =QQTb Exerccio 5.43Para n = 3 teramos: y = x0 + x1t + x2t2 + x3t3. Fazendo t= 0 , 1 ,2 ,3 e4.1 teremos respectivamente: x0 = 51,84 x0 + x1 + x2 + x3 = 70,07 x0 +2x1 + 4x2 + 8x3 = 93,13 x0 +3x1 + 9x2 + 27x3 = 118,00 x0 +4,1x1 + 16,81x2 + 68,92x3 = 146,8 37 Teremos ento a matriz A = 1 0 0 01 1 1 11 2 4 81 3 9 271 4 1 16 81 68 92 , , ,|\

|.||||||, b = 51 8470 0793 13118 0146 8,,,,,|\

|.||||||e queremos resolver Ax = b sistema que evidentemente no tem soluo. Resolvendo o sistema ATAxEN = ATb. Como as colunas de A so LI, isto , Posto(A) = 4 teremos que xEN = (ATA)-1ATb =51 815703 000 28.... |\

|.|||| Assim, y = 51.80 + 15.70t + 3.00t2 -0.28t3 e a populao estimada para 1992 seria 160.250.000. Exerccio 5.45 i.W = [ ( -2 , 1 0 )T , ( 3, 0 ,1)T] ( Solues cannicas de x1 + 2x2 3x3 =0 ). Como os elementos da base de W1 so ortogonais aos elementos da base de W2 conclumos que W1 ortogonal W2 . ( Ver exerccio 5.21 tem xiv ). Para ver que W1 W2 = { 0} basta notar queo elemento da base de W2 no combinao linear dos elementos da base de W1. Exerccio 5.47 i. Uma base para W = Im(A), o ={ (1, 1 , -1)T }. Uma base para W| = {S(1 , S(2) } onde S(1) , S(2) so as solues cannicas deATx = 0 que neste caso so:S(1) = (-1,1,0)T eS(2) = (1 ,0 , 1)T. ii.Encontrando uma forma escada para A as colunas com piv so a 1ae 2alogo uma base para W = Im(A) { (1 ,0,2,1)T , ( 0,2 ,2,-2)T} e uma base para W so as solues cannicas de ATx = 0. Exerccio 5.48 + i. Certo.Considere a matriz A com m colunas iguais a v. Posto(A) = Posto(AT) = 1. Im(A) = [v] e N(AT)= [v]. Mas dim(N(AT)) = m Posto(AT) = m 1. ii. Errado.vpode ser o vetor nulo e neste caso [v] =9300 iii - W2 so todos os vetores de 9m que so ortogonais aos vetores de W2 portanto so tambm ortogonais aos vetores de W1 ( W1 c W2 ) portanto W2c W1. iv -Note que b-PW(b) e W , logob-PW(b) = PW(( b-PW(b)) = PW (b) - PW (PW(b)) = PW (b).Exerccio 5.49 i. Pela observao 5.10 sabemos que Col(A) = N(AT), portanto inicialmente vamos achar uma base para N(AT) que so as solues cannicas de ATx = 0, neste caso C(1) = (-3/2, -1/2,1,0)T. Seja C =( C(1) ).Ora, N(AT) so os vetores x tais que C(1).x = 0, isto , C(1)Tx =0que portanto o N(CT). A matriz C procurada ser portanto C = (-3/2-1/210 ). Para achar a matriz D procedemos da mesma forma, isto , achamos a matriz D cujas colunas sejam as solues cannicas de BTx =0e D = DT.Neste casoD' = ( -11/3-1/31 )T e portanto D =( -11/3-1/31 ). ii. Pela observao feita, uma base para VW formada pelas solues cannicas de Mx =0 onde M =||.|

\| 1 3 / 1 3 / 1 10 1 2 / 1 2 / 3 que so {( 0 .1667 , 1.5 ,1 ,0 )T , ( 1.5 , -1.5 , 0 ,1 )T}. 38 Exerccio5.51 TemosQ(1) = ( 0 , 1, 0 )T , Q(2) = 15( 1, 0 , 2)T e Q(3) = 54(8/5 , 0 , -4/5)T.Logo Q = 015251 0 002515|\

|.|||||e portanto QQT = I3x3 o que mostra que Q ortogonal. A matriz A do exemplo A = 0 1 12 2 20 2 2|\

|.|||e portantoR = QTA = 2 2 20 1350 045|\

|.||||||| o que mostra que R triangular superior. Exerccio 5.53 Como [A(1)] =[A(2)] temos que A(1) = r11B(1) +0B(2) +0B(3). Como [A(1), A(2)] = [B(1),B(2)] temos que A(2) = r21B(1) +r22B(2) +0B(3) e A(3) =r31B(1) +r32B(2) +r33B(3) logo temos: A(1) = B|||.|

\|0011r , A(2) = B|||.|

\|02221rr e A(3) = B|||.|

\|333231rrr, isto , A =B|||.|

\|3332 2231 21 110 00rr rr r r. Evidentemente que r11 = 0; r22 = 0, caso contrrio [ A(1) , A(2) ]= [ B(1)] = [A(1)] er33 tambm diferente de zero seno[ A(1) , A(2) ,A(3)] =[ B(1) , B(2) ] =[ A(1),A(2) ] e portanto {A(1) , A(2), A(3) } no seria uma base de 93.

ortonormal de 93 pelo fatoi. Ao aplicar Gram-Scmidt no encontraremos uma base de n no gerar o 93, isto , n no uma base. ii. Considere a matriz A = 1 1 01 1 21 0 1|\

|.||| que tem como uma forma escada U = 1 1 00 2 20 0 0|\

|.|||, isto , V= [ v1 , v2 , v3 ] tem dimenso 2. Para achar uma base ortonormal para V poderamos usar Gram-Scmidt para ortonormalizar, por exemplo, a base { ( 1 , 1, 0 )T , (0 , -2 ,2 )T }, mas se quisermos uma dase ortonormal de V obtida do conjunto de geradores { v1, v2 ,v3 } podemos escolhero = { v1 , v3 } que uma base para V. Ortonormalizando o pelo mtodo de Gram-Schmidt teremos: 1.w1 = v1/''v1'' = 12( 1 , 1 , 0 )T. 2.w2 = c2(v2 - (v2.w1)w1) = c2( 1/2 ,-1/2 , 1)T onde c2 = 132. Exerccio 5.57 i.Sejab = PV( (1 ,0,0,0 )T ). Teremos queb = AxENondeATAxEN=AT( 1, 0 ,0 ,0 )T, isto : 9 99 1811|\

|.| = |\

|.| xEN donde xEN = ( 1/3 , 2/9 )Te b = AxEN = 1/9( 5 , 4 , 2 , 0 )T. ii. Usando Gram-Scmidt teremos: Exerccio 5.55 39 w1 = v1/''v1'' = 1/3( 1,0,2 ,2 )T, w2 = c2(v2 - (v2.w1)w1) = c2[(1, 2, -2 , -3 )T + (1 ,0, 2 , 2)T] = c2( 2, 2, 0 , -1)T onde c2 = 1/3. Exerccio 5.59 Considerea figuraao lado: Sejam C = A - B. c =''A-B'' ,a= ''A''eb =''B''Temos:c2 = ( A - B).(A -B) = A.A + B.B - 2A.B =a2+ b2 Logo A.B = 0, isto , A B. Exerccio 5.61Como a partcula permanece sempre sobre uma mesma esfera temos que ''R(t)'' = r = const., isto ,R(t).R(t) = r2. Usando o Exerccio 5.12 para derivar a igualdade anterior teremos que 2R'(t).R(t) = 0 o que mostra que R'(t) R(t). Obs. Considere a funo F (x,y,z) =x2 + y2 + z2 e note que cada esfera de raio r uma superfcie de nvel de F, logo R(t) uma curva de nvel de F. Note queVF(x,y,z) // (x,y,z) e usando o Exerccio 5.9 voc tambm concluir o resultado do Exerccio 5.51. Exerccio 5.62+ i. A imagem de ATA gerada pelas colunas de ATA, mas(ATA)(j) = ATA(j) = A1j(AT)(1) + ... +Anj(AT)(n), isto , ascolunasdeATAsocombinaeslinearesdascolunasdeATportantoIm(ATA)cIm(AT).(Verexerccio 4.25+,ALAP4).Comodim(Im(AT))=Posto(AT)=Posto(ATA)=dim(Im(ATA))segue-sequeIm(ATA)= Im(AT). ii. Pelo tem idado ATbe Im(AT) existeATAx e Im(ATA) tal que ATAx =ATb. Exerccio 5.63 Queremos achar C com as seguintes condies: 1.Ce [ ( 0 , 1, 1 ,0 )T , ( 1, 1, 0, 1)T ], isto , C = c1( 0 , 1, 1 ,0 )T + c2 ( 1, 1, 0, 1)T =cc ccc21 212+|\

|.||||. 2.O ngulo entreAB =B-A = ( 1 , 0 , -1, 1 )T e AC = C-A = cc ccc21 21211+ |\

|.||||seja 30o e ''AC''=1. Resolvendo 2: 32= cos30o = (AC)T(AB)/||AC||||AB|| = ( 1 + c2)/ 3 , logoc2 = 1/2. Usando o fato de que''AC''=1 encontraremos c1 = 1236ouc1= 1236+ . Justifique o fato de existirem dois pontos Cs. (Sugesto: Reduza o problema para o 93). 40 Exerccio 5.65 i.As solues cannicas de Ax=0 so : S(1) =(-2 , 5 , 1, 0)T e S(2) = (-1 ,1, 0, 1)T. Se S = PS(2)(S(1)) a projeo ortogonal de S(1) sobre S(2) temos que S(1) S = v ortogonal S(2) e portanto o={S(2) , v } uma base ortogonal para N(A). Calculando v teremos: v= ) 1 (S) 2 () 2 ( ) 2 () 2 ( ) 1 (..SS SS S = 1/3( 1 , 8, 3, -7)T. ii. Uma base para Col(AT) formada pelas prprias colunas de AT. De forma anloga ao tem anterior uma base ortogonal ser dada por: | = {(1, 0 2, 1)T , (11/6 ,1,-8/6 ,5/6)T} . iii.SejaBamatrizcujascolunassoosvetoresdeo|.BastaverificarqueBTBumamatrizdiagonal. (verifique !. Ver exerccio 5.23+ ) Exerccio 5.67 i. CertoTemos ''Ax'' = [ (Ax).(Ax) ]1/2 =[ (Ax)T(Ax)]1/2 =[ xTATAx ]1/2= [xTIx]1/2 = ''x''. ii. Certo.De forma idntica ao tem i verifica-se que A preserva o produto interno, logo tambm preserva ngulos. iii.Errado.AmatrizA=2 00 1|\

|.|diagonaleinversvelmasonguloentreosvetores 11|\

|.| e 10|\

|.|que t4 diferente do ngulo entreA11|\

|.| =21|\

|.|e A10|\

|.| = 20|\

|.|iv.Certo. Sejam v e w vetores do 9n. A hiptese do exerccio nos garante que||A(v+w)||2 = ||v+w||2, ou seja: [A(v+w)]T A(v+w) = [(Av)T + (Aw)T]A(v+w) =||Av||2 + |Aw||2 + 2(Av)TAw (I) (v + w)T (v+w) = (vT + wT) (v+w)= ||v||2 + ||w||2 + 2vTw(II) Como I e II tm de ser iguais, ||Av||2 = ||v||2e|Aw||2 = ||w||2, chegamos a(Av)TAw = vTw v.Sejam x e y vetores quaisquer de 9n. Vamos verificarATAy y ortogonal a todo vetor x. Temos:(ATAy y).x =(ATAy).x y.x = xT(ATAy) yTx = (Ax)T(Ay) xTy =(Ax).(Ay) x.y = 0 pois pelo tem ivApreserva produto interno. Como ATAy y perpendicular a todo vetor de 9n temos que ATAy y =0,isto ATAy = y para todo y logo ATA =Inxn. vi.Errado. A matriz||.|

\|2 00 2 preserva ngulo mas no preserva comprimento. vi. Asmatrizesdotipo||.|

\| o || oonde 2 2| o + =1(o=1porexemplo)preservangulomasnoum mltiplo da identidade. Exerccio 5.71 i.Certo.Temosquedim(W1)=dim(W2)=3edim(W1 +W2)s4.Massabemosquedim(W1 +W2)= dim(W1)+dim( W2) - dim(W1 W2) donde se conclui que 2 s dim(W1 W2). ii. Certo.Sabemos que Im(A) = (N(AT)). Como be Im(A) segue-se que be (N(AT)), isto b ortogonal a toda soluo de ATx = 0.iii.Neste caso temos que be (N(AT)) = Col (A). iv.Certo.SejaMamatrizcujascolunassoosvetoresdabase|eoabasecannicado93.NotequeM umamatrizortogonal.Temos:[v]o=Mxemaisv=[v]o=Mx=xpoisMortogonal.(Ver exerccio 5.67.i).