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PROF. GILBERTO SANTOS JR
FUNÇÃO ATÉ FUNÇÃO DO 1º GRAU
1 . PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos não vazios A e B,
denomina-se produto cartesiano de A por B o con-
junto formado pelos pares ordenados nos quais o 1º elemento pertence a A e o 2º elemento per-
tence a B. simbolicamente,
A B = {(x, y)/ x ∈ A e y ∈ B}
Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. De-
termine A B. Resolução:
A B = {(0, 2),(0, 4),(1, 2),(1, 4),(2, 2),(2, 4)}.
EXERCÍCIO PROPOSTO
1) Sejam A = {0, 1} e B = {1, 3, 5}. Determine o produto cartesiano:
a) A B = b) B A = c) A2 =
2 . RELAÇÃO É um subconjunto de um produto cartesia-
no, determinado por uma sentença matemática.
Exemplo: Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3,
4} e A B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1),
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.
a) O conjunto R de A B, tais que x = y:
Resposta: R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.
b) O conjunto R de A B, tais que x é o dobro de y:
Resposta: R = {(2, 1), (4, 2)}.
c) O conjunto R de A B, tais que y é o dobro de x:
Resposta: R = {(1, 2), (2, 4)}.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 6}. Determine:
a) A B =
b) a relação R tal que y = x.
c) a relação R tal que x é o dobro de y.
d) a relação R tal que y é o dobro de x.
e) a relação R tal que x é a metade de y.
f) a relação R tal que y = x + 1.
3) No lançamento de dois dados, anotando todas as possibilidades de resultados possíveis em pares
ordenados. Determine: a) a quantidade de pares ordenados possíveis;
b) o conjunto dos pares ordenados cuja soma dos
resultados seja igual a 7;
c) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais que
x = y;
d) o conjunto dos pares ordenados (x, y), tais que y é a metade de x.
2.1) Representação gráfica de relação Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, a relação R tal que
y = x + 1, seguem as representações gráficas:
a) Por diagramas:
R = {(0, 1),(1, 2),(2, 3),(3, 4)}
D = {0, 1, 2, 3}
Im = {1, 2, 3, 4}
CD = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) No plano cartesiano:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4) Sejam A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. De-termine:
a) a relação R tal que y = x - 1.
b) represente a relação em diagramas.
c) represente a relação no plano cartesiano.
d) o domínio D.
e) a imagem Im.
f) o contradomínio CD.
5) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Determine:
a) a relação R tal que y = 2x.
b) represente a relação em diagramas.
c) represente a relação no plano cartesiano.
d) o domínio D.
e) a imagem Im.
f) o contradomínio CD.
6) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Determine:
a) a relação R tal que y = 2x + 1.
b) represente a relação em diagramas.
c) represente a relação no plano cartesiano.
d) o domínio D.
1
1
0 2 3
3
2
4
5
x
y
2
e) a imagem Im.
f) o contradomínio CD.
7) Localize no plano cartesiano os pontos: A(1, 2), B(1, -2), C(2, 3), D(-2, 2), E(3, -3),
F(5, -1), G(0, 0), H(4, 3), I(1, 0) e J(0, 1).
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
8) Uma companhia telefônica tem um plano para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser
pago pelos seus clientes em função do tempo de
ligação:
Responda:
a) Represente a tabela em diagramas;
b) Represente a tabela em plano cartesiano.
9)(Enem-2015) Devido o aumento do fluxo de passageiros, uma empresa de transporte coletivo
urbano está fazendo estudos para a implantação
de um novo ponto de parada em uma determina-da rota. A figura mostra o percurso, indicado pe-
las setas, realizado por um ônibus nessa rota e a
localização de dois de seus atuais pontos de para-
da, representados por P e Q.
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá
ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já
existentes P e Q, de modo que as distâncias per-corridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre
os pontos T e Q sejam iguais.
De acordo com os dados, as coordenadas do novo
ponto de parada são
(a) (290; 20) (c) (410; 20) (e) (440; 20)
(b) (410; 0) (d) (440; 0)
10)(UEPA-2013, modificada) No Brasil, uma empresa de comércio para internet multiplicou
suas vendas nos últimos anos, conforme ilustrado
no gráfico abaixo.
Em relação às vendas afirma-se que:
(a) tiveram um crescimento de 2 milhões de reais
de 2008 para 2009. (b) em 2009 cresceram quatro vezes em relação
a 2008.
(c) triplicaram de 2009 para 2010.
(d) em 2010 cresceram 2,4 milhões de reais em
relação a 2009. (e) tiveram um crescimento de 4,8 milhões de
reais de 2009 para 2011.
3 . NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO Observe a tabela abaixo que relaciona o
número de litros de gasolina e o preço a pagar.
Nº de litros Preço (R$)
1 2,10
2 4,20
3 6,30
4 8,40
5 10,50 ⋮ ⋮
x 2,10.x
Observe:
As grandezas “Nº de litros” e “Preço” são
variáveis; Para cada quantidade em litros de gasolina co-
locada há um único preço; O preço a ser pago depende do número de litros
de gasolina a ser colocado, isto é, o preço está em função do número de litros colocados;
Para x litros de gasolina comprada, o preço a
ser pago será 2,10 vezes x, isto é
P = 2,10.x
P – preço a ser pago é a variável dependente;
x - número de litros de gasolina é a variável in-
dependente.
Exemplos: A população de um determinado país está em
função do tempo;
A área de um quadrado está em função de
seu lado.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11) Na tabela abaixo temos a quantidade de ovos (em dúzias) e o seu respectivo preço.
Quantidade (em dúzia) Preço (em R$)
1 1,20
2 2,40
3 3,60
4 4,80 ⋮ ⋮
x 1,20.x
3
Responda o que se pede:
a) O preço a ser pago está em função da quanti-
dade de ovos comprados?
b) O que depende do quê?
c) Qual é a variável dependente?
d) Qual é a variável independente?
e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-
dade de dúzias com o preço a pagar?
f) Qual é o preço de 9 dúzias de ovos?
12) Uma panificadora vende o pão francês de 50 gramas, mais conhecido como “pão careca”, ao
preço de R$ 0,25 cada. Para não ter que fazer
conta a toda hora, os funcionários da panificadora
montaram a seguinte tabela:
Quantidade de pães Preço (R$)
1 0,25
2 0,50
3 0,75
4 1,00
5 1,25
6 1,50
7 1,75
8 2,00
9 2,25
10 2,50
Responda o que se pede:
a) O preço a ser pago está em função da quanti-
dade de pães comprados?
b) O que depende do quê?
c) Qual é a variável dependente?
d) Qual é a variável independente?
e) Qual é a regra (fórmula) que associa a quanti-
dade de pães e o preço a pagar?
f) Qual é preço de 6 pães?
g) Qual é preço de 12 pães?
h) Se tenho R$ 4,00. Qual é a quantidade de
pães que dá para eu comprar?
4 . DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Dados os conjuntos A e B, não vazios, e
uma relação R de A em B, quando para todo ele-
mento x ∈A, existe um único f(x) ∈ B, dizemos
que R é uma função f de A em B.
Notação: f: A B.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
13) Quais das seguintes relações são funções?
a) c)
b)
14) Marque os diagramas representam função:
(a)( )
(b)( ) (c)( )
(d)( ) (e)( ) (f)( )
(g)( ) (h)( )
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
15) Uma companhia telefônica tem um plano para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor
a ser pago pelos seus clientes em função do tem-
po de ligação:
Responda:
a) Represente a tabela em diagramas; b) Sendo o conjunto A, a variável “Tempo de liga-
ções”; e o conjunto B, a variável “Valor em reais”,
a tabela representa uma função de A em B?
16)(UEPA-2003) Dentre os romeiros, há aque-les que acompanham o círio carregando miniatu-
ras de casa, barcos, parte do corpo humano em
cera, velas, etc. Por considerarem atendidas por
nossa senhora de Nazaré as suas súplicas. Estes
-10
01
12
2
A B
-1
01
1
2
A B
-1
0
1
1
2
A B
- 1 -1
00
1 1
2
2
-2
3
A
B
-10
01
1
22
A B
-1 -1
0 0
1 1
2 2
A B
- 1 -1
0 0
1 1
2
A B
4
objetos são tantos que existem carros especiais
para recolhê-los. Considerando a existência de um
conjunto A, formado pelos romeiros do círio, e um conjunto B formado pelos objetos ofer-
tados/recolhidos durante a procissão, é correto
afirmar que:
(a) Todos os elementos de A estão associados a elementos de B, o que caracteriza uma função de
A em B.
(b) Alguns elementos de A estão associados a
elementos de B, que caracteriza uma relação de A
em B.
(c) Nenhum elemento de A está associado a ele-mentos de B.
(d) Existem elementos de B que não estão asso-
ciados a elementos de A.
(e) Todas as alternativas acima estão corretas.
5 . DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍ-
NIO DE FUNÇÃO
O conjunto A cha-
ma-se Domínio da função (Df), o conjunto B contra-
domínio da função (CDf) e
o elemento f(x) ∈ B chama-
se imagem de x pela fun-
ção. O conjunto imagem da
função é Imf = {f(x) ∈ B/ x
∈ A}. Os diagramas ao lado
serão simbolizados, a partir de agora, simplesmente,
assim f: A → B.
Exemplo: Sejam A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3,
4, 5, 6}, f: A → B, definida
por f(x) = x + 1.
Df = {0, 1, 2}
Imf = {1, 2, 3}
CDf = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
17) Dados A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a relação R tal que y = 2x + 1:
a) Construa a relação R em diagramas;
b) Verifique se essa relação é uma função. Em
caso afirmativo determine o Df, Imf e CDf.
18) O diagrama de flechas re-
presenta uma função f de A em
B. Determine:
a) D(f) =
b) CD(f) =
c) lm(f) =
d) f(3) =
e) f(5) =
f) x tal que f(x) = 4
6 . FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou
função afim, a qualquer função f: ℝ → ℝ dada por
uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são
números reais fixos, com a ≠ 0; x e f(x) são va-
riáveis. O número a é chamado de coeficiente de
x e o número b é chamado termo constante.
Exemplos: 1) f(x) = 5x – 3, no qual a = 5 e b = -3
2) f(x) = -2x + 7, no qual a = -2 e b = 7
3) f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
6.1) O gráfico
Exemplo: Construir o gráfico da função
f(x) = 2x - 1.
x f(x)
1 1
2 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
19) Construa, no plano cartesiano, o gráfico das
seguintes funções, definidas de ℝ em ℝ:
a) f(x) = x + 1 d) f(x) = 3x + 1
b) f(x) = x + 2 e) f(x) = -2x + 1
c) f(x) = x + 4
20) Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula matemática
s = 2t – 3, em que s indica a posição do corpo
(em metros) no instante t (em segundos). Cons-trua o gráfico de s em função de t.
21) Uma máquina, ao sair da fábrica, sofre uma desvalorização constante pelo seu uso, represen-
tada pela função P(t) = 50 – 5t, em que P é o preço da máquina (em reais) e t é o tempo de
uso (em anos). Determine:
a) o gráfico dessa função;
b) o custo da máquina ao sair da fábrica;
c) o custo da máquina após 5 anos de uso;
d) o tempo para que a máquina se desvalorize
totalmente.
22) Um móvel em movimento retilíneo uniforme obedece à função s = 5t + 15, em que s é o es-
paço percorrido pelo móvel (em metros) e t é o
tempo gasto em percorrê-lo (em segundos). De-
termine:
x
y
1
1
3
2
x f(x)
A
B
f
1
A
B
0
2
1
2
3
0
4
5
6
5
x
y
-1
2
-4
1
a) a posição do móvel no instante t = 0 s;
b) a posição do móvel no instante t = 5 s;
c) construa o gráfico s(t) da função.
23) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variá-
vel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o
número de unidades produzidas: a) Escreva a lei da função que fornece o custo
total de x peças;
b) Calcule o preço de 100 peças.
24) Um comerciante comprou uma caixa de um determinado produto, teve um custo fixo com
transporte de R$ 230,00. Venderá cada unidade
por R$ 5,00, o lucro final será dado em função
das x unidades vendidas. Responda: a) Qual é a lei dessa função f?
b) Se o comerciante vender 1 unidade desse
produto terá lucro ou prejuízo?
c) Se o comerciante vender 10 unidades desse
produto terá lucro ou prejuízo?
d) Se o comerciante vender 40 unidades desse
produto terá lucro ou prejuízo?
e) Se o comerciante vender 50 unidades desse
produto terá lucro ou prejuízo?
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
25) Uma companhia telefônica tem um plano
para seus clientes, a tabela abaixo mostra o valor a ser pago pelos seus clientes em função do tem-
po de ligação:
Considere x ∈ ℝ, y ∈ ℝ. Construa o gráfico da fun-
ção.
26)(Unicamp-SP, modificada) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela
fixa, denominada bandeirada, e uma parcela
que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,50 e cada quilômetro ro-
dado custa R$ 1,20.
a) Escreva a lei da função que fornece o preço a
ser pago pela corrida em função da distância x
percorrida;
b) o preço de uma corrida de 10 km;
c) a distância percorrida por um passageiro que
pagou R$ 21,50 pela corrida.
27)(UEPA-2002) Um pequeno comerciante in-vestiu R$ 300,00 na produção de bandeiras do
seu time favorito, para venda em um estádio de
futebol. Foram vendidas x bandeiras ao preço de
R$ 8,00 cada uma. Então o lucro L(x) obtido na venda de x bandeiras é dado por:
(a) L(x) = 300 - 8x (d) L(x) = 8x
(b) L(x) = 8x + 300 (e) L(x) = - 8x - 300
(c) L(x) = 8x - 300
6.2) Crescimento e decrescimento Consideremos a função f(x) = 3x - 1,
x aumenta
x -1 0 1 2 3 4 5
f(x) -4 -1 2 5 8 11 14
f(x) aumenta
quando aumentamos o valor de x, os correspon-
dentes valores de f(x) também aumentam. Di-
zemos que a função f(x) = 3x - 1 é crescente.
Observamos o seu gráfico:
Agora, consideremos f(x) = -3x - 1, x aumenta
x -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) 5 2 -1 -4 -7 -10 -13
f(x) diminui
quando aumentamos o valor de x, os correspon-
dentes valores de f(x) diminuem. Dizemos que a
função f(x) = -3x - 1 é decrescente. Observamos
o seu gráfico:
Regra Geral: A função do 1º grau f(x) = ax + b
é crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0. O a é também chamado de coeficiente
angular e o b de coeficiente linear.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
28) Construa o gráfico de cada uma das seguin-
tes funções e diga se é função é crescente, de-crescente ou constante:
x
y
1
2
5
2
6
a) f(x) = 2x c) f(x) = x e) f(x) = -2
b) f(x) = -3x d) f(x) = 5
29)
a) De que trata o gráfico? Identifique as variáveis
envolvidas.
b) Qual o período em que a taxa de fecundidade
se manteve praticamente constante? c) A partir de que data a função é decrescente?
d) Entre que período a taxa de fecundidade redu-
ziu em 50%?
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
30)(Enem-2017) Os congestionamentos de trânsito constituem um problema que aflige, to-
dos os dias, milhares de motoristas brasileiros. O
gráfico ilustra a situação, representando, ao longo
de um intervalo definido de tempo, a variação da velocidade de um veículo durante um congestio-
namento.
Quantos minutos o veículo permaneceu imóvel ao longo do intervalo total analisado?
(a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1 (e) 0
31)(Enem-2016) Um reservatório com água por uma torneira e um ralo faz a drenagem da água
desse reservatório. Os gráficos representam as vazões Q, em litros por minuto, do volume de
água que entra no reservatório pela torneira e do
volume que sai pelo ralo, em função do tempo t,
em minutos.
Em qual intervalo de tempo, em minuto, o reser-
vatório tem vazão constante de enchimento?
(a) De 0 a 10. (c) De 5 a 15. (e) De 0 a 25.
(b) De 5 a 10. (d) De 15 a 25.
32)(Enem-2012) O dono de uma farmácia
resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do
total de vendas (em Reais) de certo medicamento
ao longo do ano de 2011.
De acordo com o gráfico, os meses em que
ocorreram, respectivamente, a maior e a menor
venda absolutas em 2011 foram
(a) março e abril (d) junho e setembro
(b) março e agosto (e) junho e agosto
(c) agosto e setembro
33)(Enem-MEC) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período
1985-1996, realizado pelo SEADE-DIEESE, apre-
sentou o seguinte gráfico sobre taxa de desem-
prego.
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no
período considerado,
(a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
(b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.
(c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi
decrescente.
(d) no período 1985-1996, a taxa de desemprego
esteve entre 8% e 16%.
(e) a taxa de desemprego foi crescente no perío-
do compreendido entre 1988 e 1991.
34)(Enem-MEC) Para convencer a população local da ineficiência da Companhia Telefônica Vila-
tel na expansão da oferta de linhas, um político publicou no jornal local o gráfico I, representado
a seguir. A Companhia Vilatel respondeu publi-
cando dias depois o gráfico II, através do qual
pretende justificar um grande aumento na oferta
de linhas. O fato é que, no período considerado, foram instaladas, efetivamente, 2OO novas linhas
telefônicas. Analisando os gráficos, pode-se con-
cluir que:
7
(a) o gráfico II representa um crescimento real
maior do que o do gráfico I.
(b) o gráfico I apresenta o crescimento real, sen-
do o II Incorreto.
(c) o gráfico II apresenta o crescimento real,
sendo o I incorreto.
(d) a aparente diferença de crescimento nos dois
gráficos decorre da escolha das diferentes esca-
las.
(e) os dois gráficos são incomparáveis, pois usam escalas diferentes.
35)(Enem-2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões
de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados
correspondem aos meses de junho a setembro. O
Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o
verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra,
refletindo quase toda a luz solar de volta ao
espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez,
absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do
gelo.
Com base no gráfico e nas informações do
texto, é possível inferir que houve maior aqueci-
mento global em
(a) 1995 (c) 2000 (e) 2007
(b) 1998 (d) 2005
36)(UEPA-2010) O gráfico abaixo representa o número de notificações relacionadas a fraudes,
invasões e tentativas de invasão sofridas por usuários de computador.
Analisando o gráfico, observa-se que: (a) as notificações foram decrescentes entre
2006 e 2008.
(b) em 2006 aconteceu o maior número de
notificações.
(c) a razão de notificações entre 2004 e 2005 é 37863/34000.
(d) em 2008 houve o maior número de
notificações.
(e) em 2006 as notificações duplicaram em
relação às notificações de 2005.
37)(UEPA-2009) O gráfico abaixo mostra a va-riação do consumo de gasolina em função da ci-
lindrada do motor.
Fonte: Veja, 20/08/08
Sobre o gráfico acima, é correto afirmar que: (a) é gráfico de uma função linear crescente.
(b) é gráfico de uma função linear decrescente.
(c) quanto maior a cilindrada maior o consumo de
gasolina.
(d) é gráfico de uma função quadrática com con-
cavidade voltada para cima.
(e) quanto maior a cilindrada menor o consumo de gasolina.
38)(UFPA–2007) Em um jornal de circulação nacional foi publicada uma pesquisa, realizada no Brasil, com os percentuais, em função do ano, de
famílias compostas por pai, mãe e filhos, chama-
das famílias nucleares, e de famílias resultantes
de processos de separação ou divórcio, chamadas
8
novas famílias. Sabendo-se que os gráficos abaixo
representam, a partir de 1987, a variação percen-
tual desses dois tipos de família, com suas res-pectivas projeções para anos futuros,
é correto afirmar:
(a) No ano 2030, o número de novas famílias
será igual ao de famílias nucleares.
(b) No ano 2030, o número de novas famílias será menor do que o de famílias nucleares.
(c) No ano 2030, o número de novas famílias
será maior do que o de famílias nucleares.
(d) No ano 2015, o número de novas famílias
será igual ao de famílias nucleares.
(e) No ano 2012, o número de famílias nucleares será menor do que a de novas famílias.
“Você constrói a sua vitória.”
“A perseverança alimenta a esperança.”
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém...
Renato Russo
Atualizada em 14/11/2017
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Referências
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed.
São Paulo: Ática, 2000, v.1.
