Prof.ª Grazielle Jenske - UNIASSELVI

TrigonomeTria e números Complexos

2012

Prof.ª Grazielle Jenske

Copyright © UNIASSELVI 2012

Elaboração:

Prof.ª Grazielle Jenske

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

516.24S237tJenske, Grazielle.

Trigonometria e números complexos / GrazielleJenske. Centro Universitário Leonardo da Vinci – Indaial : Grupo UNIASSELVI, 2012.x ;

242 p.: il

Inclui bibliografia. ISBN 978-85-7830- 332-7

1. Trigonometria 2. Matemática 3. Números complexos I. Centro Universitário Leonardo da Vinci II. Núcleo de Ensino a Distância III. Título

Impresso por:

III

apresenTação

Ao(à) acadêmico(a):

É com muito carinho que o(a) convido a entrar na nave trigonométrica, que nos levará até o complexo mundo matemático.

Nesta viagem conheceremos as belezas da trigonometria, com seus triângulos, suas razões (seno, cosseno e tangente), bem como toda a magia do círculo trigonométrico. Posteriormente iremos até o conjunto dos números complexos, onde descobriremos os segredos de um novo conjunto numérico, muito diferente daqueles que você já conhece.

Espero que ao término deste Caderno de Estudos do curso de Licenciatura em Matemática você esteja dominando os diversos conceitos deste importante direcionamento da matemática, bem como possua criticidade sobre os temas e tenha desenvolvido o olhar pedagógico necessário para o ensino da Matemática.

Seja muito bem-vindo(a) à disciplina de Trigonometria e Números Complexos e tenha um ótimo estudo.

Prof.a Grazielle Jenske

IV

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

UNI

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

UNI

V

VI

VII

UNIDADE 1 – TRIGONOMETRIA: PARTE I ................................................................................... 1

TÓPICO 1 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO .................................. 31 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 32 TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS ................................................................... 43 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................................... 74 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS .......................................... 13RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 18AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 19

TÓPICO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ................... 211 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 212 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....................................... 21

2.1 SENO ................................................................................................................................................ 242.2 COSSENO ........................................................................................................................................ 282.3 TANGENTE ..................................................................................................................................... 31

3 ÂNGULOS NOTÁVEIS ..................................................................................................................... 354 TABELA TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................................... 40RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 44AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 45

TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER ..................................... 471 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 472 LEI DOS SENOS .................................................................................................................................. 473 LEI DOS COSSENOS ......................................................................................................................... 52RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 56AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 57

TÓPICO 4 – TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................... 591 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 592 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA ....................................................................... 59

2.1 ARCOS E ÂNGULOS ..................................................................................................................... 592.1.1 Arcos ........................................................................................................................................ 592.1.2 Ângulo central ........................................................................................................................ 61

2.2 GRAU E RADIANO ....................................................................................................................... 612.2.1 Grau ......................................................................................................................................... 612.2.2 Radiano ................................................................................................................................... 622.2.3 Notas históricas sobre o grau e o radiano .......................................................................... 65

3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ................................................................................... 663.1 ARCOS CONGRUENTES .............................................................................................................. 683.2 DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO ........................................................................ 703.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ............. 71

sumário

VIII

3.3.1 Seno .......................................................................................................................................... 713.3.2 Cosseno ................................................................................................................................... 753.3.3 Tangente .................................................................................................................................. 79

LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 83RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 86AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 88

UNIDADE 2 – TRIGONOMETRIA: PARTE II ................................................................................. 91

TÓPICO 1 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS ........................................ 931 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 932 ESTUDO DA FUNÇÃO SENO ......................................................................................................... 933 ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO ................................................................................................. 974 ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE .............................................................................................. 1015 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 105

5.1 ESTUDO DAS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE ........................................................... 1065.2 ESTUDO DA FUNÇÃO COTANGENTE .................................................................................... 109

RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 113AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 114

TÓPICO 2 – EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 1171 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1172 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................... 117

2.1 PRIMEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: sen x = sen a, com a є [0, 2π] ............................. 1182.2 SEGUNDA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: cos x = cos a, com a є [0, 2π] ............................ 1202.3 TERCEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: tg x = tg a, com a є [0, 2π] ................................ 121

3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................................... 1233.1 INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS .............................................................................................. 123

RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 135AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 136

TÓPICO 3 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................ 1371 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1372 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................................................................ 1373 RELAÇÕES DERIVADAS .................................................................................................................. 1384 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 144RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 148AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 149

TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................... 1511 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1512 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS ............................................................................................ 1513 ARCO DUPLO E ARCO METADE ................................................................................................... 1574 FÓRMULA DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO ............................................................... 1635 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE TRIGONOMETRIA ............................................. 166LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 172RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 173AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 175

UNIDADE 3 – NÚMEROS COMPLEXOS ......................................................................................... 177

TÓPICO 1: CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................ 1791 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 179

IX

2 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................................. 1802.1 A UNIDADE IMAGINÁRIA ......................................................................................................... 182

3 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................. 1824 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS ................................................................................ 1855 OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO ..................................................................................... 1866 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO ........................................................................... 186RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 187AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 188

TÓPICO 2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA ..................................................................................................................... 1911 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1912 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................... 1913 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................... 1934 DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO .................................................................................... 1965 INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................................... 1986 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO COM EXPOENTES INTEIROS ............. 199RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 203AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 204

TÓPICO 3 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO ................ 2071 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 2072 PLANO DE ARGAND-GAUSS ........................................................................................................ 2083 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO ................................................................................... 2094 ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO .......................................................................... 211RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 216AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 217

TÓPICO 4 – FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO ......................... 2191 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 2192 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS ....................... 2193 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................................... 2214 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA .......................................................................................................................... 2245 RADICIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ......... 2276 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS .................................. 231LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 234RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 237AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 238REFERÊNCIAS ....................................................................................................................................... 241

X

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS NESTE CADERNO DE ESTUDOS

SÍMBOLO SIGNIFICADO

> Maior

< Menor

≥ Maior ou igual

≤ Menor ou igual

≠ Diferente de

≅ Aproximadamente igual a

⇔ Se, e somente se

⇒ Se... então...

∀ Para todo e qualquer

∞ Infinito

π Número pi

є Pertence

∉ Não pertence

∃ Existe

Não existe

| Tal que

∆ Triângulo

AB Segmento de A até B

A∧ Ângulo formado no ponto A

A D∧ ∧

≡ O ângulo A é congruente ao ângulo D

∆ABC ~ ∆DEF O triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF

: x yf → Função de X para Y

N Conjunto dos números naturais

Z Conjunto dos números inteiros

Q Conjunto dos números racionais

R Conjunto dos números reais

C Conjunto dos números complexos

1

UNIDADE 1

TRIGONOMETRIA: PARTE I

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir desta unidade você será capaz de:

• identificar, calcular e aplicar razões trigonométricas em um triângulo re-tângulo e em um triângulo qualquer;

• identificar as medidas de arcos, a relação entre as unidades de medidas (graus e radianos) e o comprimento do arco;

• reconhecer a ampliação dos conceitos da trigonometria aplicada no triân-gulo retângulo para trigonometria aplicada no círculo.

Nesta unidade de ensino, a abordagem da trigonometria está dividida em quatro tópicos, nos quais se apresentam a trigonometria no triângulo retângulo, sua extensão para um triângulo qualquer e a ampliação desses conceitos à circunferência. Cada tópico oferecerá subsídios que o(a) auxiliarão na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoavaliações solicitadas.

TÓPICO 1 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

TÓPICO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER TÓPICO 4 – TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

2

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

RELAÇÕES MÉTRICAS NO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

1 INTRODUÇÃOA trigonometria se originou antes da era cristã, quando os astrônomos

queriam calcular distâncias que não se podiam medir, como, por exemplo, a medida do raio da Terra, a distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol.

Inicialmente usou-se valer das propriedades de triângulos semelhantes

para o cálculo dessas distâncias. Por isso, a trigonometria foi considerada uma extensão natural da geometria. Daí vem o seu significado: medida dos triângulos, sendo trigonometria uma palavra de origem grega formada por três radicais: tri = três, gonos = ângulos e metron = medir.

Apesar de os egípcios e de os babilônios terem já utilizado, de forma rudimentar, as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas relacionados com agrimensura, navegação e astronomia, muitos historiadores presumem que o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.–125 a.C.) tenha sido o iniciador da trigonometria, por ter empregado pela primeira vez relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e por ter construído a primeira Tabela Trigonométrica. Por seus feitos, ele é considerado o “Pai da Trigonometria”.

Durante muito tempo, Ptolomeu (125 a.C.) influenciou o desenvolvimento da trigonometria. Sua mais importante contribuição foi o documento Almagesto, baseado nos trabalhos de Hiparco e que contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da atual disciplina.

Posteriormente, com o acesso ao manuscrito de Ptolomeu e aos trabalhos

dos hindus, que eram um povo bastante familiarizado com esse ramo da Matemática, os árabes fizeram notáveis avanços e disseminaram os conhecimentos da trigonometria pela Europa.

Atualmente, a Matemática Moderna ampliou o uso da trigonometria e a tornou indispensável em outras áreas do conhecimento, como na eletricidade, mecânica, acústica, música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, navegação marítima e aérea, cartografia, entre outros campos.

UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I

4

Neste tópico vamos iniciar o estudo da trigonometria lembrando o essencial sobre as relações no triângulo retângulo para, nos tópicos seguintes, explanarmos sobre as razões trigonométricas, bem como a ampliação destes conceitos para a circunferência.

2 TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOSA trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo

retângulo. Por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus elementos e as suas relações.

O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos (é formado por dois lados do triângulo). É assim definido por possuir um ângulo interno de 90° (ângulo reto).

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: o lado que for oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa, e os demais lados, que formam o ângulo reto, serão chamados de catetos.

Hipotenusa é uma palavra de origem grega que significa “se estende debaixo” (dos ângulos agudos) e designa o lado mais longo de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto. A palavra cateto, também de origem grega, indica perpendicularidade ou ângulo reto, ou seja, designa os dois lados menores de um triângulo retângulo.

NOTA

TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

5

Se analisarmos os catetos em relação ao ângulo, eles recebem um complemento em sua denominação. Por exemplo, na figura a seguir.

O cateto que forma o ângulo de 30°, juntamente com a hipotenusa, é denominado cateto adjacente, e o outro, que é o segmento oposto ao ângulo, é chamado de cateto oposto.

No triângulo retângulo destacamos:

• BC é a hipotenusa e a, a sua medida;• AB e AC são catetos e c e b, respectivamente, suas medidas.

Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h), conforme a figura a seguir, que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado BC no ponto H, teremos a altura AH do triângulo retângulo, que divide o lado BC em dois segmentos, HB e HC, medindo, respectivamente, m e n.


6

• AH é a altura relativa à hipotenusa e h, a sua medida;• HB é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida;• HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida;• Â, ^B e ^C são os ângulos internos e med(B ÂC), med(A ^BC) e med(A ^CB),

respectivamente, suas medidas.

Recordando tópicos da geometria.Vértice é um ponto comum a dois lados de um ângulo. No caso acima, o vértice A é o ponto onde os segmentos AB e AC se encontram.Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando um ângulo de 90°.• Segundo o Microdicionário de Matemática Imenes & Lellis, num triângulo retângulo os segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa são chamados de projeções (sob ângulo de 90°) dos catetos sobre a hipotenusa.

IMPORTANTE

Exemplo: Examinando o triângulo ABC, determine qual é a medida:

a) de cada cateto;

Resposta: No triângulo retângulo ABC podemos perceber que o ângulo reto é o ângulo ^C. Portanto, os catetos são AC e BC e medem, respectivamente, 5 cm e 5,8 cm.

b) da hipotenusa;


7

Resposta: A hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto ^C, e, portanto, mede 9 cm (4 cm + 5 cm).

c) da altura relativa à hipotenusa;

Resposta: A altura desse triângulo é dada pelo segmento HC que mede 3 cm.

d) da projeção do cateto maior sobre a hipotenusa;

Resposta: O cateto maior é o lado BC, portanto sua projeção é HB que mede 5 cm.

e) da projeção do cateto menor sobre a hipotenusa;

Resposta: O cateto menor é o lado AC, portanto sua projeção é HA que mede 4 cm.

Uma leitura interessante é a do livro “A Geometria na sua vida”, com consultoria de Nílson José Machado. Não perca o capítulo “A medição da doçura”, que discorre sobre Hipotenusa, filha do rei de Euclideia, Metrônio. Obcecado pela geometria, o soberano só aceita entregar a mão da filha a alguém mais inteligente do que ela.

DICAS

3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULOA partir dos elementos de um triângulo retângulo, podemos estabelecer

relações entre essas medidas e demonstrá-las a partir da semelhança de triângulos.

Semelhança de triângulos:Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si.

UNI


8

∆ABH ~ ∆ABC (lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em

A, B e C).

∆ACH ~ ∆ABC (lê-se: o triângulo com vértices em A, C e H é semelhante ao triângulo com vértices em

A, B e C).

∆ABH ~ ∆ACH(lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em

A, C e H).

Vamos explorar algumas relações juntos:

1ª Relação: Considere os triângulos ABH e ABC.

Â^H ≡ , pois ambos são ângulos retos.≡^B ^B, pois são os mesmos ângulos.

Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ABC.

Daí, c ma c

= . Dessa proporção podemos escrever:

c • c = a • m → c² = a • m

O mesmo ocorre com os triângulos ACH e ABC:

m


9

Exemplo:

Neste triângulo retângulo, vamos calcular a medida da hipotenusa. As medidas estão indicadas em centímetros.

Â^H ≡ , pois ambos são ângulos retos.^C ≡ ^C, pois são os mesmos ângulos.

Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ACH ~ ∆ABC.Daí, b n

a b= . Dessa proporção podemos escrever:

b • b = a • n → b² = a • n

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado sobre a hipotenusa, ou seja, b² = a • n ou c² = a • m.

FONTE: A autora

QUADRO 1- RELAÇÃO MÉTRICA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Cn


10

Portanto, a hipotenusa desse triângulo mede 25 cm.

2ª Relação: Considere os triângulos ABH e ACH.

Resolução:Sabemos que:

^H^H ≡ , pois ambos são ângulos retos e o mesmo ângulo.^C

Â₁ ≡Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ACH.Daí, h n

m h= . Dessa proporção podemos escrever:

h • h = m • n → h² = mn

Exemplo 1:

Vamos calcular o valor de x nessa figura.

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, ou seja, h² = mn.

nm

c2 = am152 = a . 9225 = 9a 9a = 225

a = 25

225a9

=


11

Resolução:Em qualquer triângulo retângulo, tem-se: h² = mn.Neste caso, h = 12, n = 8 e m = x. Portanto:

Assim, a medida de x é 18.

Exemplo 2:

Vamos determinar as medidas a, c, h e m indicadas na figura a seguir.

Resoluções:

CB

c

12² = 8 . x144 = 8x 8x = 144

x = 18

144x8

=

b2 = an m + n = a h2 = mn c2 = am62 = a . 4 m + 4 = 9 h2 = 5 . 4 c2 = 9 . 536 = 4a m = 9 - 4 h2 = 20 c2 = 45 m = 5 h = √20 c = √45 h = 2√5 c = 3√5a = 9

36a4

=


12

3ª Relação: Partindo das relações, onde b² = an e c² = am. Vamos multiplicar membro a membro as igualdades e obteremos:

b² • c² = an • amb² • c² = a • a • n • mb² • c² = a² • nm

E usando a relação h² = mn, temos:

b² • c² = a² • h2(bc)² = (ah)²

Ou, extraindo a raiz quadrada de ambos os membros (já que as medidas são sempre números positivos), temos:

bc = ah

Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa, ou seja, bc = ah.

QUADRO 2 – O PRODUTO DAS MEDIDAS DOS CATETOS

FONTE: A autora

Exemplo:

Vamos determinar a altura do triângulo a seguir.

Resolução:

bc = ah4 . 3 = 5 . h5h = 12 A altura h é de unidade de medida.

12512h

5=


13

A quarta propriedade das relações métricas é um dos mais importantes teoremas da matemática, conhecido como Teorema de Pitágoras, no qual daremos maior enfoque a seguir.

NOTA

4 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORASO Egito recebeu a dádiva de ter todo o seu território cortado pelo segundo

maior rio do mundo em extensão, o rio Nilo (o primeiro é o rio Amazonas). Aproveitando com sabedoria o rico húmus que as águas formavam ao longo das margens, os egípcios desenvolveram toda a sua agricultura. Porém, a dificuldade era que as cheias anuais destruíam toda a demarcação das propriedades agrícolas. O apagamento das demarcações do Nilo tornou necessária a existência dos mensuradores, conhecidos pelos egípcios por “esticadores de cordas”.

Para obter ângulos retos, os “esticadores de cordas” usavam uma corda

com 12 nós, a igual distância um do outro, e com ela construíam um triângulo com vértices em três desses nós. O triângulo assim obtido possui lados que medem três, quatro e cinco unidades de comprimento e é um triângulo retângulo.

Esse método é baseado na relação enunciada por:

FONTE: A autora

QUADRO 3 - O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS

Apesar de terem sido os egípcios os primeiros a utilizarem essa relação para resolver problemas de medições de terras, foi Pitágoras de Samos (por volta de 570 a.C.), filósofo e matemático grego, quem provou que ela é válida para todo triângulo retângulo.

O quadrado da medida da hipotenusa é igualà soma dos quadrados das medidas dos catetos.

2 2 2a b c= +


14

Demonstração do Teorema de Pitágoras

Na história da matemática muitas foram as demonstrações do Teorema de Pitágoras. Vejamos uma delas a partir de duas relações métricas do triângulo retângulo, demonstradas anteriormente.

b² = a • n c² = a • m

Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:b² + c² = am + an b² + c² = a(m + n)

Observando que m + n = a, temos:b² + c² = a • a

E assim

b2 + c2 = a2

Vejamos outra maneira de exemplificar a validade do Teorema de Pitágoras, através da geometria:

= 1 unidade de comprimento

= 1 unidade de área

3x3=32

4x4=42

5x5=52

543


15

Considerando que cada quadradinho corresponde a uma unidade de área, verificamos que nos três quadrados existem 25, 16 e 9 unidades de área; notando que 25 = 16 + 9 ou 5² = 4² + 3², confirma-se a relação: a área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois menores lados.

Exemplo 1:

Vamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo a seguir,.

Resolução:Considerando a = x, b = 4 e c = 7, temos:b² + c² = a² 4² + 7² = x² 49 + 16 = x² 65 = x² x = √65 x ≅ 8,06

Assim, a hipotenusa mede, aproximadamente, 8,06 unidades de comprimento.

Sempre que conhecemos dois dos seis valores a, b, c, h, m, e n indicados na figura, podemos descobrir os outros quatro empregando as relações métricas do triângulo retângulo.

NOTA


16

Exemplo 2:

Vamos encontrar as medidas desconhecidas da figura seguinte.

nm

Resolução:

Observe que os valores desconhecidos desta figura ocupam lugares diferentes da demonstração. Portanto, é necessário substituí-los.

Comparando com a figura utilizada na demonstração, temos:c = 13b = bm = mn = na = aaltura (h) = 12.

Do triângulo menor, temos:m² + 12² = 13² (4ª propriedade) m² = 169 – 144m² = 25 m = √25 m = 5

Pela 1ª propriedade:c2 = am13² = a

• 5

169 = 5a169a

5=

a = 33,8


17

Pela 2ª propriedade, temos:h² = mn12² = 5 •

n144= 5n

144n5

=

n = 28,8

Pela 3ª propriedade, podemos escrever:bc = ahb • 13 = 33,8 • 1213b = 405,6

405,6b13

=

b = 31,2

18

Neste tópico você fez o estudo do triângulo retângulo, partindo dos seus elementos até as suas relações.

RESUMO DO TÓPICO 1

● O quadrado da medida de cada cateto (b e c) é igual ao produto da medida de sua projeção (n e m, respectivamente) sobre a hipotenusa pela medida da hipotenusa (a).

● O quadrado da medida da altura (h) relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa (m e n).

● O produto das medidas dos catetos (b e c) é igual ao produto da medida da hipotenusa (a) pela medida da altura relativa à hipotenusa (h).

● A medida da hipotenusa (a) é igual à soma das medidas das projeções dos catetos (m e n) sobre ela.

● O quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c).

}}}}}

b2 = anc2 = am

h2 = mn

bc = ah

a = m + n

a2 = b2 + c2

19

AUTOATIVIDADE

2 Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (possui dois lados de mesma medida), com catetos de 1 cm.

3 A área de um terreno quadrangular é igual a 128 m². Quanto mede a diagonal desse terreno? (Lembre que a área de uma região quadrangular é dada por: Área do Quadrado = (medida do lado)²).

4 As raízes da equação x² - 10x + 24 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.

5 Um triângulo STU, retângulo em ^S , tem catetos com medidas iguais a 5 cm e 12 cm. Calcule:

a) a medida da hipotenusa;b) a medida da altura relativa à hipotenusa;c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

6 Determine num triângulo retângulo ABC, de catetos com medidas iguais a 3 e 4, a medida da hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa.

7 Calcule, em cada figura, a medida de y.

Lembra do seu manual, “Não basta saber, é preciso saber fazer”? Agora chegou a sua vez de colocar em prática as relações métricas do triângulo retângulo que você acabou de estudar.

1 Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo abaixo.

20

a) b)

c) d)

8 Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam em direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio.

9 No triângulo retângulo da figura a seguir temos que m = x + 5,6, n = x e a = 20.

Sabendo que as medidas são dadas em centímetros, determine as medidas b, c e h indicadas.

10 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e a área é de 54 cm². Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa.

21

TÓPICO 2

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃONo estudo anterior estabelecemos as bases necessárias para a compreensão

da Trigonometria, visto que esta é considerada uma extensão da Geometria. Neste tópico daremos início ao estudo da Trigonometria, focando as

relações trigonométricas no triângulo retângulo, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos e é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como, por exemplo, a altura de torres e árvores, de montanhas ou a largura de rios e lagos.

2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULOConsidere estes dois triângulos retângulos:

Sabemos que se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes. Logo, podemos escrever:

a b x y =

Dessa proporção deduzimos outra:

b y a x=


22

Ou seja, nos dois triângulos, a razão entre o cateto oposto ao ângulo de 30° e a hipotenusa é o mesmo número.

Vamos fazer o cálculo para descobrir que valor é esse.

● No triângulo menor:

cateto oposto a 30° hipotenusa

= x 2,3y 4,6= = 0,5

● No triângulo maior:


= x 3,7y 7,4= = 0,5

NOTA

Em qualquer triângulo retângulo com ângulo de 30°, a razão

tem o mesmo valor, pois todos os triângulos nessas condições são semelhantes.

cateto oposto a 30°

hipotenusa

Vejamos outros exemplos:

1)

• No triângulo menor:


= x 1y √2

=

TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

23

Como o denominador desta fração é um número irracional, precisamos fazer o processo de racionalização do denominador.

A racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a anterior, que possua um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os

termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Neste caso, vamos multiplicar o numerador e o denominador desta fração por √2. Observe:

Assim,


= x 1y √2

=



= x 2√2 √2y 4 2= =

Igualmente ao exemplo anterior, podemos observar que em qualquer triângulo

retângulo com ângulo de 45°, a razão cateto oposto a 45° hipotenusa

tem o mesmo valor √2 2

, pois

todos os triângulos nessas condições são semelhantes.

1 2 2 222 2 2 2

⋅ = =⋅


24

• No triângulo menor:


Mais uma vez, podemos observar que em qualquer triângulo retângulo

com ângulo de 60°, a razão cateto oposto a 60° hipotenusa

tem o mesmo valor, pois todos os

triângulos nessas condições são semelhantes.


= b 3 a = =

2√33√32√9

= √32


= b a = 6√3

12= √3

2

Teste você mesmo(a)! Construa outros triângulos retângulos, de mesmo ângulo,

mas com medidas variadas, veja se a razão cateto oposto ao ângulo hipotenusa

é a mesma para todos

eles. Depois, faça o mesmo com outros ângulos. Experimente estabelecer outras razões.

ATENCAO

Se você realizou a atividade acima, deve ter percebido que a razão entre cateto oposto e cateto adjacente e a razão entre cateto adjacente e hipotenusa também é a mesma para triângulos retângulos semelhantes.

Veja, a seguir, como isto é possível.

2.1 SENO

Uma das constantes obtidas ao relacionar as medidas dos lados em triângulos retângulos é conhecida por seno.

Num triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo (menor

que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa, conforme observamos nos exemplos anteriores.


25

Considerando, inicialmente, o ângulo de medida a₁ da figura a seguir, de vértice V e lados VA e VB.

No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB.

Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,... são todos semelhantes. Logo:

A₁B₁ VA₁

A₂B₂ VA₂

A₃B₃ VA₃

A₄B₄ VA₄= = = = ... = K₁

Dessas igualdades podemos deduzir que o valor de k1 não depende do triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao ∆AVB.

Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.


26

Novamente, podemos escrever:

C₁D₁ OC₁

C₂D₂ OC₂

C₃D₃ OC₃

C₄D₄ OC₄= = = = ... = K₂

Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e k2, encontramos k1 ≠ k2. Isso ocorre, pois a diferença entre as duas figuras está em

que a1 ≠ a2. Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – depende da medida do ângulo considerado.

A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de

seno do ângulo a (sen a). Assim:

FONTE: A autora

QUADRO 4 - SENO DO ÂNGULO a (SEN a)

sen a = ACBC

= ba

ou

sen a = medida do cateto oposto a a medida da hipotenusa

Exemplo 1:

Na figura dada, calculemos o valor de sen a:


27

Resolução:Inicialmente precisamos calcular a hipotenusa do triângulo.a² = 8² + 15²a² = 289a = √289a = 17

Então, temos:

Resposta: sen a ≅ 0,47. Exemplo 2:

Vamos calcular o valor de x, sabendo que sen a = 0,8.

Resolução:Aplicando a razão seno, temos:

sen a = cateto oposto ao ângulo a hipotenusa

sen a = 817

sen a ≅ 0,47

sen a = cateto oposto ao ângulo a hipotenusa

0,8 = x20

0,8 . 20 = xx = 16

Resposta: O valor de x é 16 unidades de medida.


28

A palavra seno é derivada do latim sinus, que significa “baía” ou “dobra”. O termo originalmente utilizado foi ardha-jiva (“meia-corda”), que foi abreviado para jiva e então transliterada pelos árabes como jiba. Tradutores europeus do século XII confundiram jiba com jaib, que significa “baía”, provavelmente porque jiba e jaib são escritas da mesma forma na escrita arábica.

UNI

2.2 COSSENO

Com um procedimento semelhante ao apresentado anteriormente, podemos definir outras razões entre as medidas de lados de um triângulo retângulo cujos valores dependam apenas da medida do ângulo considerado. Portanto, outra constante obtida ao relacionar essas medidas é conhecida por cosseno.

Considere um ângulo de medida a1 conforme a figura a seguir, de vértice

V e lados VA e .

No lado , consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos VB₁, VB₂, VB₃, VB₄,...

Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,.. são todos semelhantes. Logo:

VB₁ VA₁

VB₂ VA₂

VB₃ VA₃

VB₄ VA₄= = = = ... = K₁

Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao ∆AVB.


29

Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ..., retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.


OD₁ OC₁

OD₂ OC₂

OD₃ OC₃

OD₄ OC₄= = = = ... = K₂

Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e k2, encontramos k1≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – depende da medida do ângulo considerado.


cosseno do ângulo a (cos a). Assim:

FONTE: A autora

QUADRO 5 - COSSENO DO ÂNGULO a (COS a)

cos a = ABBC

= ca

ou

cos a = medida do cateto adjacente a a medida da hipotenusa


30

Exemplo 1:

Determine cos Ĉ no triângulo retângulo a seguir:

Resolução:Temos que

Resposta: O cosseno do ângulo C é igual a 0,5.

Exemplo 2:

No triângulo retângulo ABC abaixo, calcule os valores de a e c, sabendo que b = 5 cm e cos 60°= 0,5.


= 510

= 0,5

cos C

cos C


31

Resolução:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao ∆ABC, temos:

a² = b² + c²10² = 5² + c²100 = 25 + c²100 – 25 = c²c² = 75c = √75 c = 5√3

Resposta: A medida de a é 10 cm e de c é 5√3 cm.


= b acos 60°

= 0,5 5 a

0,5 ∙ a = 5

a = 50,5a = 10

2.3 TANGENTE

Num triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo (menor do que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida do cateto adjacente.

Considere, novamente, um ângulo de medida a1, de vértice V e lados VA e VB.


32

No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB.

Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4, ... são todos semelhantes. Logo:

A₁B₁ VB₁

A₂B₂ VB₂

A₃B₃ VB₃

A₄B₄ VB₄= = = = ... = K₁

Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao ∆AVB.

Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes.


Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e k2, encontramos k1 ≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. Logo, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente de cada triângulo retângulo – depende da medida do ângulo considerado.


tangente do ângulo a (tg a). Assim:

C₂D₂ OD₂= = = = ... = K₂ C₁D₁

OD₁ C₃D₃ OD₃

C₃D₃ OD₃


33

FONTE: A autora

QUADRO 6 – FÓRMULA TANGENTE DO ÂNGULO a (TG a)

tg a = ACAB

= bc

ou

tg a = medida do cateto oposto ao ângulo αmedida do cateto adjacente ao ângulo α

Exemplo 1:

No triângulo retângulo ABC, a tangente de Ĉ pode ser calculada da seguinte maneira:

tg a = medida do cateto oposto ao ângulo amedida do cateto adjacente ao ângulo a

= 4 6

=

tg C

tg C 2 3

Logo, a tangente do ângulo C é . 2 3


34

Exemplo 2:

Num triângulo retângulo, as medidas dos lados são expressas por (x - 5), x e (x + 5).

Vamos determinar a tangente do ângulo agudo a, oposto ao menor cateto do triângulo.

Resolução:Primeiramente, vamos fazer um esboço da figura.

Agora, utilizando o teorema de Pitágoras, com a = x + 5, b = x e c = x – 5, temos

Substituindo o valor de x, temos que o cateto adjacente ao ângulo a é b = 20 e o cateto oposto ao ângulo a é c = 20 – 5 = 15. Então, utilizando a razão da tangente:

a² = b² + c²(x + 5)² = x² + (x - 5)²

x² + 10x + 25 = x² + x² - 10x + 25-x² + 20x = 0-x(x - 20) = 0

x' = 0x" = 20

tg a = medida do cateto oposto ao ângulo amedida do cateto adjacente ao ângulo a

=

= 15 20

tg a

tg a 3 4

Assim, a tangente de a é . 3 4


35

É comum confundirmos o nome de um ângulo com a sua medida. Quando estamos falando num ângulo a, estamos nos referindo ao próprio ângulo, mas usando sua medida em lugar de seu nome. É um “abuso” frequente e aceitável, que busca simplificar a linguagem.

UNI

3 ÂNGULOS NOTÁVEISOs ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência nos cálculos e, por

isso, são chamados notáveis. Veja como calcular o seno, o cosseno e a tangente desses ângulos.

Seno, cosseno e tangente do ângulo de 45°

Para calcular as razões trigonométricas para o ângulo de 45°, vamos considerar o quadrado ABCD da figura seguinte.

● Como o ∆ABC é retângulo em ^B, temos:

Assim,

d² = ℓ² + ℓ²d² = 2ℓ²d = √2ℓ²d = √2 ∙ √ℓ²d = ℓ√2

sen45°=d

lsen45°=2

2sen45°=2 2

2sen45°=2

⋅

cos45°=d

cos45°=2

2cos45°=2 2

2cos45°=2

⋅

tg45°=

tg45°=


36

Seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°

Consideremos o triângulo equilátero ABC da figura seguinte.

Nesse triângulo observamos que:

• cada ângulo interno mede 60°;• AH é bissetriz de BÂC;• AH é mediana relativa ao lado BC; portanto, H é o ponto médio de BC;

• a medida da altura é = ℓ√3 2

h .

Então, para o ângulo de 30°, podemos escrever:

2tg30°=h

23tg30°

22tg30°

2 31 3tg30°3 33tg30°

3

=

= ⋅

= ⋅

=

hcos30°=

32cos30°

3 1cos30°23cos30°

2

=

= ⋅

=

2sen30°=

1sen30°2

1sen30°=2

= ⋅


37

E, para o ângulo de 60°, temos:

Colocando os valores calculados no Quadro 7, temos:

FONTE: A autora

Exemplo 1:

Determine a medida x do triângulo a seguir:

QUADRO 7- TABELA TRIGONOMÉTRICA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS

Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis

X 30° 45° 60°

sen x12

22

32

cos x 32

22

12

tg x 33

1 3

hsen60°=

32sen60°=

3 1sen60°23sen60°

2

= ⋅

=

2cos60°=

1cos60°21cos60°2

= ⋅

=

h

tg60°=2

32

tg60°23 2tg60°

2tg60°= 3

=

= ⋅


38

Assim, a medida x do triângulo é 10√2.

Exemplo 2:

A partir de um ponto, observa-se o topo de uma construção sob o ângulo de 30°. Caminhando 12 metros em direção a essa construção, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo da construção sob o ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura da construção.

Resolução:Ao observarmos a imagem, temos: A medida do cateto adjacente ao ângulo de 45° é 10.A medida da hipotenusa do ângulo de 45° é x.

Deste modo:

cos a = medida do cateto adjacente a

medida da hipotenusaa

10cos45x

2 102 x

x 2 10 . 2

20 2x= .2 2

20 2x2

x 10 2

° =

=

=

=

=


39

Resolução:Se considerarmos o triângulo retângulo ABC, temos: x = medida do cateto adjacente ao ângulo de 60°.y = medida do cateto oposto do ângulo 60°.

E ao considerarmos o triângulo ABD, temos: y = medida do cateto oposto ao ângulo de 30°.x + 12 = medida do cateto adjacente ao ângulo de 30°.

Comparando as igualdade:

( )

x 3 12 3x 3 3

3x 3 x 3 12 3

3x 3 x 3 12 3

3x x 3 12 3

2x 3 12 3

12 32x 2 3

x 6

+=

= +

- =

- =

=

=

=

medida do cateto oposto ao ângulo tg = medida do cateto adjacente ao ângulo ytg60x

y3x

y x 3

aa

a

° =

=

=

( )

medida do cateto oposto ao ângulo tg = medida do cateto adjacente ao ângulo

ytg30x 12y3

3 x 12x 12 3

y3

x 3 12 3y3

aa

a

° =+

=+

+=

+=


40

Portanto, a altura da construção é de 6 3 , aproximadamente 10,39 metros.

4 TABELA TRIGONOMÉTRICAComo já descrito no Tópico 1, Hiparco de Niceia ganhou o direito de ser

chamado “o pai da trigonometria”, pois, no século II a.C., fez um tratado em 12 livros, onde se ocupa da construção de uma tábua de cordas, que utilizou na Astronomia. Mas foi Ptolomeu que construiu a primeira tabela de cordas que fornece o seno dos ângulos de 0° a 90°, que se assemelha à tabela trigonométrica (no quadro 7) que conhecemos hoje.

Visto que para cada ângulo agudo está associado um único valor para o seno, para o cosseno e para a tangente, em situações que envolvem ângulos não notáveis, não precisamos calculá-los sempre, para isso foi construída uma tabela trigonométrica (no quadro 8), que nos fornece esses valores.

QUADRO 8 – TABELA TRIGONOMÉTRICA

Ângulo Seno cosseno tangente Ângulo Seno cosseno tangente

1° 0,017 1,000 0,017 46° 0,719 0,695 1,036

2° 0,035 0,999 0,035 47° 0,731 0,682 1,072

3° 0,052 0,999 0,052 48° 0,743 0,669 1,111

4° 0,070 0,998 0,070 49° 0,755 0,656 1,150

5° 0,087 0,996 0,087 50° 0,766 0,643 1,192

6° 0,105 0,995 0,105 51° 0,777 0,629 1,235

7° 0,122 0,993 0,123 52° 0,788 0,616 1,280

8° 0,139 0,990 0,141 53° 0,799 0,602 1,327

9° 0,156 0,988 0,158 54° 0,809 0,588 1,376

10° 0,174 0,985 0,176 55° 0,819 0,574 1,428

11° 0,191 0,982 0,194 56° 0,829 0,559 1,483

12° 0,208 0,978 0,213 57° 0,839 0,545 1,540

13° 0,225 0,974 0,231 58° 0,848 0,530 1,600

14° 0,242 0,970 0,249 59° 0,857 0,515 1,664

15° 0,259 0,966 0,268 60° 0,866 0,500 1,732

16° 0,276 0,961 0,287 61° 0,875 0,485 1,804

17° 0,292 0,956 0,306 62° 0,883 0,469 1,881

18° 0,309 0,951 0,325 63° 0,891 0,454 1,963


41

19° 0,326 0,946 0,344 64° 0,899 0,438 2,050

20° 0,342 0,940 0,364 65° 0,906 0,423 2,145

21° 0,358 0,934 0,384 66° 0,914 0,407 2,246

22° 0,375 0,927 0,404 67° 0,921 0,391 2,356

23° 0,391 0,921 0,424 68° 0,927 0,375 2,475

24° 0,407 0,914 0,445 69° 0,934 0,358 2,605

25° 0,423 0,906 0,466 70° 0,940 0,342 2,747

26 0,438 0,899 0,488 71° 0,946 0,326 2,904

27° 0,454 0,891 0,510 72° 0,951 0,309 3,078

28° 0,469 0,883 0,532 73° 0,956 0,292 3,271

29° 0,485 0,875 0,554 74° 0,961 0,276 3,487

30° 0,500 0,866 0,577 75° 0,966 0,259 3,732

31° 0,515 0,857 0,601 76° 0,970 0,242 4,011

32° 0,530 0,848 0,625 77° 0,974 0,225 4,332

33° 0,545 0,839 0,649 78° 0,978 0,208 4,705

34° 0,559 0,829 0,675 79° 0,982 0,191 5,145

35° 0,574 0,819 0,700 80° 0,985 0,174 5,671

36° 0,588 0,809 0,727 81° 0,988 0,156 6,314

37° 0,602 0,799 0,754 82° 0,990 0,139 7,115

38° 0,616 0,788 0,781 83° 0,993 0,122 8,144

39° 0,629 0,777 0,810 84° 0,995 0,105 9,514

40° 0,643 0,766 0,839 85° 0,996 0,087 11,430

41° 0,656 0,755 0,869 86° 0,998 0,070 14,301

42° 0,669 0,743 0,900 87° 0,999 0,052 19,081

43° 0,682 0,731 0,933 88° 0,999 0,035 28,636

44° 0,695 0,719 0,966 89° 1,000 0,017 57,290

45° 0,707 0,707 1,000

FONTE: A autora

Outra opção para encontrar os valores trigonométricos é através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sin (seno), cos (cosseno) e tan (tangente).


42

medida do cateto oposto ao ângulo tg medida do cateto adjacente ao ângulo

htg7225h3,07825

h 25 . 3,078 h= 76,95

aa =

a

° =

=

=

Exemplo 1:

Considere o triângulo ABC isósceles. Sabendo que a base mede 50 cm e que cada ângulo da base mede 72°, determine a medida h da altura relativa à base.

Resolução:Se considerarmos o triângulo retângulo AHC, temos: h = cateto oposto ao ângulo de 72°.25 = cateto adjacente ao ângulo de 72°.

Dessa maneira, temos:

Logo, a altura do triângulo é de 76,95 cm.

Exemplo 2:

Observando a figura e utilizando a Tabela Trigonométrica calcule os valores solicitados a seguir:


43

medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa

4,1sen5,6

sen 0,732

aa =

a =

a =

a) a medida do ângulo ab) cos ac) tg a

Resolução:a)Considerando o triângulo retângulo, temos: 4,1 = cateto oposto ao ângulo a.5,6 = hipotenusa.

A relação trigonométrica que utiliza as medidas do cateto oposto e da hipotenusa é o seno, assim:

Consultando a Tabela Trigonométrica (no Quadro 8), podemos observar que o valor 0,732 na coluna dos senos corresponde, aproximadamente, ao seno do ângulo de 47°. Assim, a = 47°.

b) Portanto, o cosseno do ângulo de 47° é 0,682.

c) E a tangente do ângulo de 47° é 1,072.

44

medida do cateto oposto ao ângulo senhipotenusa

medida do cateto adjacente ao ângulo cos = hipotenusa

medida do cateto oposto ao ângulo tgmedida do cateto adjacente ao ângulo

aa =

aa

aa =

a

Neste tópico você fez o estudo das razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) no triângulo retângulo, bem como aprendeu a utilizar a tabela trigonométrica na resolução de problemas.

É importante saber as razões até aqui estabelecidas:

RESUMO DO TÓPICO 2

O uso da tabela de ângulos notáveis é bastante requerida em vestibulares e também são os ângulos que mais aparecem em questões do cotidiano.

Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis

X 30° 45° 60°

sen x12

22

32

cos x 32

22

12

tg x 33

1 3

45

AUTOATIVIDADE

Caro(a) acadêmico(a), chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Boa atividade!

1 Um barco encontra-se a 200 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do barco sob um ângulo de 10°, calcule sua altura.

2 Uma tábua está apoiada numa árvore, formando um ângulo de 60°. Determine o comprimento da tábua, sabendo que ela se apoia na árvore a uma distância de 1,5 m do chão.

3 Para alcançarmos o primeiro pavimento de um prédio, subimos uma rampa de 5 m que forma com o solo um ângulo de 25°. Qual é a distância do solo ao primeiro pavimento?

4 Uma pipa se encontra empinada a 18 m de altura do solo. Sabendo que o ângulo formado pela linha esticada com a horizontal é de 60°, calcule o comprimento da linha.

5 Determine a sombra projetada por um poste de 3,75 m quando os raios de sol que incidem sobre ele formam, com a rua, um ângulo de 77°.

6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 279) Deseja-se construir uma estrada ligando as cidades A e B, separadas por um rio de margens paralelas, como nos mostra o esquema abaixo.

FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 279)

FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES A E B, SEPARADAS POR UM RIO DE MARGENS PARALELAS

Sabe-se que a cidade A está distante 30 km da margem do rio, a cidade B está a 18 km da margem o rio, e a ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de A até B, pela estrada, em quilômetros? (Desconsidere a largura da estrada.)

46

7 Uma escada rolante de 11.000 cm de comprimento liga dois andares de um shopping e tem inclinação de 45°. Qual é, em metros, a altura h entre um andar e outro desse shopping?

8 Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo:

a) b) c)

9 (FACCHINI. 1996, p. 285) Quando o Sol se encontra a 54° acima da linha do horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão, mede 12 m. Qual é a altura dessa árvore?

10 (CASTRUCCI, GIOVANNI Jr., 2009 p. 280) A escada de um carro de bombeiros pode estender-se a um comprimento de 30 m, quando levantada a um ângulo de 70°. Sabe-se que a base da escada está sobre um caminhão, a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá alcançar em relação ao solo?

FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 280)

FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS

47

TÓPICO 3

TRIGONOMETRIA EM UM

TRIÂNGULO QUALQUER

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃONos tópicos anteriores vimos que os problemas envolvendo trigonometria

são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos. Mas no cotidiano, nem sempre encontramos tamanha facilidade. Algumas situações podem envolver outros tipos de triângulo, como o triângulo acutângulo ou o triângulo obtusângulo.

Para esses casos recorremos à lei dos senos e à lei dos cossenos, que veremos a seguir.

Para lembrar:• Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos, ou seja, menores do que 90°. • Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos, ou seja, um ângulo maior do que 90° e dois ângulos menores do que 90°.

NOTA

2 LEI DOS SENOS

Vamos considerar o triângulo acutângulo ABC, conforme figura a seguir:

48


Onde:

• a, b e c são as medidas dos lados;• h1 é a medida da altura AH₁;• h2 é a medida da altura CH₂.

Agora, consideremos os triângulos retângulos ABH1 e ACH1.

No triângulo retângulo ABH1, temos:

A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH1:


aa =

sen ^B = 1hc

h₁ = c ∙ sen ^B


aa =

sen ^C = 1hb

h₁ = b ∙ sen ^C

Comparando, podemos escrever:

c ∙ sen ^B = b ∙ sen ^Cou,

1) c bsen ^C sen ^B

=

TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER

49

A seguir, consideremos os triângulos retângulos BCH2 e ACH2:

No triângulo retângulo BCH2, temos:

A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH2:

Comparando, podemos escrever:


aa =

sen ^B = 2ha

h₂ = a ∙ sen ^B


aa =

sen Â = 2hb

h₂ = b ∙ sen Â

a․sen ^B = b․sen Âou,

2) a bsen Â sen ^B

=

Comparando 1 e 2, temos a seguinte igualdade:

a b csen Â sen ^B sen ^C

= =

50


Essa igualdade é denominada Lei dos Senos.

FONTE: A autora

Exemplo 1

Determine a medida x indicada no triângulo acutângulo a seguir:

QUADRO 9 – LEI DOS SENOS


= =

Num triângulo qualquer, as medidas dos lados sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos.

Resolução:

No triângulo, identificamosa = xÂ = 45°c = 11 cmĈ = 30°

Usando a lei dos senos, temos:


51

Portanto, a medida x encontrada é 11√2 cm.

Exemplo 2:

Em um triângulo isósceles, a base mede 9 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. Determine a medida dos lados congruentes do triângulo.

Resolução:

No triângulo, identificamosa = 9 cmÂ = 120° (O seno do ângulo de 120° pode ser encontrado através de calculadoras.)b = c = x^B = ^C = 30°

= a csenÂ senĈ

x 11sen45° sen30°

x 11√2 1 2 2 11 . √2 2 1 2

2 2x 11 . .2 1

= x ₌ 11√2

x =

=

=

52


Usando a lei dos senos, temos:

Cada um dos lados congruentes mede 3√3cm.

a csenÂ senĈ

9 xsen120° sen30°

9 . sen30xsen120

19 . 2x

32

1 2x 9 . . 2 3

9 3x .3 3

9 3x3

x 3 3

°=

°

=

=

=

=

=

=

=

3 LEI DOS COSSENOSConsideremos o triângulo acutângulo ABC:

Temos:• a,b e c são as medidas dos lados do triângulo;• h é a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo;• BH é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida;• HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida;


53

No triângulo retângulo ABH, aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:c² = h² + m²h² = c² – m²

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACH, obtemos:b² = h² + n²h² = b² – n²

Comparando as igualdades, temos:b² - n² = c² - m²b² = c² – m² + n²

Sabendo que a = m + n, podemos substituir n por a - m:b² = c² – m² + (a – m)²b² = c² – m² + a² - 2am + m²b² = a² + c² – 2am

Do triângulo retângulo ABH, temos:

Entãob² = a² + c² – 2a(c ∙ cos ^B )

E assim:

A demonstração é análoga para a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ e para c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ.

Obtemos, então, a lei dos cossenos:

medida do cateto oposto ao ângulo cos = hipotenusa

aa

cos ^B = mc

m = c ∙ cos ^B

b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B

54


FONTE: A autora

Exemplo 1:

Calcule a medida y indicada no triângulo a seguir:

QUADRO 10 – LEI DOS COSSENOS

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das

medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.

a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ

b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^Bc² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ

Resolução:

Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = y, c = 8 e ^B = 60°, temos:

Logo, a medida y encontrada é 4√7 cm.

b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^By² = 12² + 8² – 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ cos60°y² = 144 + 64 – 192 ∙ 1 2y² = 208 – 96y² = 112y = √112y = 4√7


55

Resolução:

Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = x, c = 16 e ^B = 120°, no triângulo obtusângulo ABC da figura, temos:

Exemplo 2:

Determine a medida x da diagonal maior do paralelogramo a seguir:

Resposta: A medida x da diagonal maior é 4√37cm.

b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^By² = 12² + 16² – 2 ∙ 12 ∙ 16 ∙ cos120°

y² = 144 + 256 – 384 ∙ 12

-

2

2

y 400 192y 592

y 592

y 4 37

= +

=

=

=

56

Neste tópico ampliamos os conceitos utilizados inicialmente no triângulo retângulo para os demais triângulos: acutângulo e obtusângulo.

É importante lembrar-se das relações aqui estabelecidas:

● Lei dos Senos


= =

● Lei dos Cossenos

a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ

b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^Bc² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ

RESUMO DO TÓPICO 3

57

AUTOATIVIDADE

Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades que se destinam à averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!

1 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) São cada vez mais frequentes construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada excelente atividade física.

FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA À CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA

FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 286)

Sabendo que as distâncias AB e AC são iguais a 2 m e o ângulo BÂC corresponde a 120°, calcule a distância BC.

2 Use os dados da Tabela Trigonométrica (no Quadro 8) e calcule os valores aproximados de x.

a) b)

c)

58

3 (GIOVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 2002, p. 55) Um barco de pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido por dois radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos A ^BC e AĈB medem, respectivamente, 64° e 50°, determine qual radioamador se encontra mais próximo do barco. A que distância ele está do barco?

4 O ângulo agudo de um losango mede 20° e seus lados medem 6 cm. Calcule as medidas das diagonais (maior e menor) do losango.

5 Num triângulo ABC, são dados A = 45°, B = 30° e a + b = √2 + 1. Determine o valor de a.

6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) Numa fazenda o galpão fica 50 m distante da casa. Considerando que x e y são, respectivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme mostra a figura a seguir, calcule as medidas x e y indicadas.

FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA

7 No triângulo ABC abaixo, sabe-se que cos Â = 1_5

. Nessas condições, calcule o valor de x.

FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 286)

59

TÓPICO 4

TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

2 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA

2.1 ARCOS E ÂNGULOS

Nos tópicos anteriores estudamos algumas razões trigonométricas definidas para ângulo agudo no triângulo retângulo, tal qual ela surgiu há milhares de anos, com o objetivo de resolver triângulos. Agora, vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, que é uma necessidade mais recente da matemática.

Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições

necessárias e temos a necessidade de ampliar os conceitos da Trigonometria para um novo “ambiente”, denominado de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico.

Portanto, neste tópico veremos conceitos necessários para este novo estudo, que, por sua vez, servirá de base para a nossa próxima unidade.

Primeiramente, vamos elucidar alguns conceitos básicos da geometria necessários para a compreensão da Circunferência Trigonométrica.

2.1.1 Arcos

Consideremos uma circunferência qualquer de centro O e raio r e dois pontos distintos sobre ela, A e B. Note que os pontos A e B, que são extremidades dos arcos, dividem a circunferência em duas partes, sendo que cada uma delas chama-se arco da circunferência.

Para diferenciar esses arcos, convencionamos percorrer a circunferência no sentido anti-horário.

60


Quando as extremidades A e B coincidem, temos um arco de uma volta ou um arco nulo.

Se A e B são extremidades de um mesmo diâmetro, temos um arco de meia-volta.

Portanto, definimos:

FONTE: A autora

Arco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

QUADRO 11 – DEFINIÇÃO DE ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

61

2.1.2 Ângulo central

Consideremos, novamente, uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a ela. Traçando as semirretas OA

→

e OB→

, determinamos o ângulo central AÔB e o arco

(

AB.

A medida do arco

(

AB corresponde à medida do ângulo central AÔB e vice-versa.

2.2 GRAU E RADIANO

2.2.1 Grau

Grau e radiano são unidades de medida de arcos e ângulos.

Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, teremos 360 arcos congruentes e cada um desses arcos é chamado de arco de um grau (1°).

Portanto, a circunferência é um arco de 360°.

Os submúltiplos do Grau

Quando dividimos um arco de 1° em 60 arcos congruentes, cada um desses novos arcos é denominado de arco de um minuto (1´).

62


Da mesma maneira, quando dividimos um arco de 1´ em 60 arcos congruentes, cada um desses novos arcos é denominado de arco de um segundo (1´´).

Portanto, 1° = 60´ e 1´= 60´´.

Se um arco tiver x graus, y minutos e z segundos, escrevemos:

x° y´z´´

NOTA

2.2.2 Radiano

Tomamos, inicialmente, uma circunferência de centro O e raio r e; nessa circunferência, um arco de comprimento p, sendo a a medida do ângulo central correspondente a esse arco.

Dizemos que o arco mede 1 radiano (1 rad) se seu comprimento p foi igual ao comprimento r do raio. O ângulo central correspondente será, também, um ângulo de 1 radiano.

p = r <=>{p = 1 rada = 1 rad

Então, para sabermos a medida de um arco em radianos, basta calcular quantas vezes o raio de medida r “cabe” nesse arco de comprimento p. Isso pode ser obtido quando dividimos p por r.

Simbolicamente,

pra ₌

Quando o arco p é um arco de uma volta, então p é o comprimento C da circunferência. Como C = 2πr, temos:

a ₌ p ₌ 2πr ₌ 2π r r


63

Portanto, a circunferência é um arco de 2π rad. E, como o ângulo de uma volta tem 360°, então:

2π rad = 360° ⇔ π rad = 180°

Exemplo 1:

Expressar 22° 30’ em radianos.

Resolução:Vamos transformar 22° 30’ em minutos:22° 30’ = 22 • 60’ + 30 = 1320’ + 30’ = 1350’

Vamos transformar 180° em minutos:180° = 180 • 60 = 10800’

Estabeleçamos, portanto, a seguinte proporção:

Logo, 22° 30’ correspondem a π8

radianos.

Exemplo 2:

Um ciclista fez 6 voltas em torno de uma pista circular, com o raio medindo 18 m. Determine a distância percorrida pela bicicleta. (Use π = 3,14).

Resolução:

O comprimento da circunferência é dado por: C = 2πrC = 2 • 3,14 • 18 C = 113,04 m

Em 6 voltas, temos:d = 6C d = 6 • 113, 04d = 678,24 m

Logo, a distância percorrida pela bicicleta foi de 678,24 m.

10800' π rad1350' x108001350 x

8x

x8

π=

= ππ

=

64


Exemplo 3:

Determine a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20min. (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 249).

Resolução:

Vamos considerar: a = medida do ângulo solicitado.x = medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 minutos, a

partir das 8h.

E assim,a = x + 120°a = 10° + 120°a = 130°Que a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros.

O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco

compreendido entre dois números consecutivos mede 360 3012

°= ° .

Assim, a = x + 120°.Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30°:60 min → 30°20 min → x60 3020 x

30 . 20x60

x 10

°=

°=

= °


65

Existe outra unidade de medida de ângulos além das que abordamos. O Grado é uma unidade de medida de ângulos equivalente a

π200

radianos ou 0,9 grau. O símbolo

internacional para esta unidade é “gon”, mas outros símbolos já foram usados no passado: “gr”, “grd” e “g”. O termo “grado” tem origem no francês, grade, e embora utilizado por alguns países, ele não faz parte do sistema internacional de unidades.

ATENCAO

Acerca de elementos geométricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Copérnico, no entanto este material histórico se perdeu na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista histórico, foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distância do Sol e da Lua.

A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e não existe qualquer razão científica. Talvez exista uma razão histórica que justifique a existência de tal número no contexto de estudos do povo babilônio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela Astronomia, assim como pela sua relação com conceitos religiosos (eram politeístas) e, para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base 60 (sistema sexagesimal).

Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais foi escolhido o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este número tenha sido adotado.

O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma generalização de Hiparco para este procedimento.

Dividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela época e é possível que se tenha usado o número 60 para representar 1/6 do total, que passou a ser 360.

Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 é que o movimento de translação da Terra em volta do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razoável para a época.

2.2.3 Notas históricas sobre o grau e o radiano

66


Hiparco mediu a duração do ano com grande exatidão ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias.

Nosso entendimento é que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da divisão do círculo em 360 partes iguais, assim como a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:

“primeiras menores partes” = sexagésimos“segundas menores partes” = sexagésimos de sexagésimos

Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a língua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:

“primeiras menores partes” = partes minutae primae.“segundas menores partes” = partes minutae secundae.

De onde apareceram as palavras minuto e segundo. De um modo popular, usamos a unidade de medida de ângulo com graus, minutos e segundos.

Na verdade, a unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemático Thomas Muir e o físico James T. Thomson, de uma forma independente. Na verdade, o termo radian apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873.

Em 1884, muitos cientistas ainda não usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade é implementada ao longo do tempo.( VIANA; TOFFOLI; SODRE, 2010).

3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICADenomina-se circunferência trigonométrica (ou circunferência unitária) a

circunferência orientada cujo raio é 1 unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é o anti-horário.

Vamos associar à circunferência unitária de centro na origem O(0,0) um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A, com coordenadas em (0,1), como origem dos arcos, conforme a figura a seguir.


67

Os eixos do sistema cartesiano dividem o ciclo em quatro partes (quadrantes), numerados de 1 a 4 a partir de OA, no sentido positivo.

Dizemos que um ponto do ciclo pertence ao primeiro quadrante se estiver entre A e B; ao segundo se estiver entre B e A’; ao terceiro se estiver entre A’ e B’; e ao quarto se estiver entre B’ e A.

Portanto, um arco AP do ciclo trigonométrico, de medida x, com 0° ≤ x ≤ 360° ou 0 rad ≤ x ≤ 2π rad, tem a extremidade P pertencente a um dos quadrantes segundo as desigualdades:

68


Como no ciclo trigonométrico o raio é unitário, então a = p, ou seja, a medida a do arco ou do ângulo central corresponde, em radianos, ao comprimento p do arco.

Assim, podemos associar a cada número real a um único arco

(

AP, de origem A e extremidade P, e vice-versa.

P є 1º Quadrante se 0° < x < 90° ou 0 rad < x < π rad 2P є 2º Quadrante se 90° < x < 180° ou π rad < x < π rad 2P є 3º Quadrante se 180° < x < 270° ou π rad < x < 3π rad 2P є 4º Quadrante se 270° < x < 360° ou 3π rad < x < 2π rad 2

• Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes.• Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência unitária, temos:

-1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1.

NOTA

3.1 ARCOS CONGRUENTES

Dois arcos são congruentes ou côngruos quando possuem a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras, ou seja, em múltiplos de 2π, que corresponde ao comprimento de cada volta.

Como exemplo, vamos representar os arcos de 45°, 405°, 765°, -315° e -675° no ciclo trigonométrico:


69

Note, pelas figuras, que todos têm a mesma origem e a mesma extremidade, ou seja, são côngruos. Perceba, também, que eles se diferem apenas pelo número de voltas completas, pois

• 45° + 360° = 405°;• 45° + 2 • 360° = 765°;• 45° - 360° = -315°;• 45° - 2 • 360° = -675°.

Podemos representar o arco de 45°, bem como todos seus arcos côngruos,

pela expressão 45° + k • 360°, com k є Z, sendo k o número de voltas completas.

Pelo exposto, podemos definir:

FONTE: A autora

QUADRO 12 - DEFINIÇÃO DE ARCOS CÔNGRUOS OU CONGRUENTES

Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras.

Assim:

• Se um arco mede a graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele pela expressão a + k • 360°, onde k є Z.

• Se um arco mede a radianos, podemos escrever todos os arcos côngruos a ele pela expressão a + k • 2πrad, onde k є Z.

70


Exemplo 1:

Determine em qual quadrante situam-se as extremidades dos seguintes arcos:

a) 72°Resposta: 1º quadrante, pois 0° < 72° < 90°.

b) 1280°Resolução: 1280° = 200° + 3 • 360°Resposta: 3º quadrante, pois 180° < 200° < 270°.

c) - 300°Resolução: Como este arco está na primeira volta negativa, basta fazer - 300° + 360° = 60°.Resposta: 1º quadrante, pois 0° < 60° < 90°.

3.2 DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO

Se um arco mede a graus, então um arco β é chamado de determinação principal de a ou de 1ª determinação positiva de a se:

• 0° ≤ β < 360° ou 0 rad ≤ β < 2π• β é côngruo a a.

Exemplo 1:Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 1690°.

Resolução:1690° = 250° + 4 • 360°

Onde: 250° = 1ª determinação positiva 4 = número de voltas completas Portanto, a 1ª determinação positiva é 250° e a expressão geral é a = 250° + k • 360°, k є Z. Exemplo 2:Calcular a determinação principal e escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 25π

4 rad.

Resolução:Basta dividirmos 25π

4 rad por 2π rad. Assim:


71

Onde:

π4

rad = 1ª determinação positiva

3 = número de voltas completas

Portanto, a 1ª determinação positiva é π4

rad e a expressão geral é a = π4

rad + k • 2π, k є Z.

25π 4 ₌ 25π . 1 ₌ 25π ₌ 25 ₌ 3 + 1 2π 4 2π 8π 8 8

Portanto,

25 13 . 24 8

25 13 2 24 8

25 3 24 4

π π

π π π

π ππ

= +

= ⋅ + ⋅

= ⋅ +

3.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Até agora, operamos com os valores de sen x, cos x e tg x no triângulo retângulo, onde x representa a medida de um ângulo agudo. Mas o que acontece se x for a medida de um ângulo superior a 90°?

Para responder a esta questão, é preciso ampliar os conceitos estudados no triângulo retângulo, levando-os à circunferência trigonométrica.

3.3.1 Seno

Vamos considerar na circunferência trigonométrica, o arco

(

AP cuja medida corresponde ao ângulo central x e o segmento OP', que é a projeção do raio OPsobre o eixo das ordenadas (eixo vertical), conforme a figura a seguir:

72


O eixo vertical, suporte de OP', é denominado eixo dos senos.

Definimos como seno do arco

(

AP ou sen x a medida de OP' e indicamos:

senx = OP'

Note que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente para o triângulo retângulo.

OP' ₌ sen x

De fato, se considerarmos o triângulo OPP' da figura acima, veremos que med(OPP') ₌ x^ , pois OPP'^ e AÔP são ângulos alternos internos, e PP' // OA

→← →←

. Aplicando a definição anterior, temos:


aa =

OP'senxOP

OP'sen1

senx OP'

=

=

=


73

Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores de seno em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas.

Valores importante de sen x

Marcando os pontos P, imagens dos números reais 0 rad, π 2

rad, π rad, 3π 2

rad e 2π rad, temos:

QUADRO 13 - VALORES IMPORTANTES DE SEN X

FONTE: A autora

Vimos, anteriormente, que 1 2 3sen30 , sen45 = e sen60 =2 2 2

° = ° ° , e que esses

valores são chamados de notáveis, devido à sua frequente utilização nos cálculos.

Utilizando esses valores e traçando a simetria das extremidades dos arcos em relação aos eixos e ao centro da circunferência trigonométrica, obtemos os valores de outros ângulos, também muito utilizados.

74


Desta forma, podemos relacionar o seno de um arco de qualquer quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos fazendo uma Redução ao 1º Quadrante.

Do exposto, podemos dizer que:

• redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: dois arcos suplementares x e 180° - x têm senos iguais, ou seja,

sen (180° – x) = sen x ou sen (π– x) = sen x;

• redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 180° + x têm senos simétricos, ou seja,

sen (180° + x) = -sen x ou sen (π + x) = -sen x;

• redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 360° - x têm senos simétricos, ou seja,

sen (360° – x) = -sen x ou sen (2π – x) = -sen x.

0

32

-32

2-2


75

Vale observar que 360° – x e -x são côngruos, portanto, podemos escrever:

sen (360° – x) = sen (-x) = -sen x.

Exemplo 1:Calcule sen 1830°.

Resolução: Calculando a 1ª determinação positiva, temos: 1830° = 30° + 5 • 360°

Onde:30° corresponde ao valor que falta para atingir a meia-volta;5 é o número de voltas completas;

Então, sen 1830° = sen 30° e portanto, sen 1830° = 1_2

.

Exemplo 2:Calcule sen 5π.

5π = π + 2 • 2π

Onde:π corresponde ao valor que falta para atingir a meia-volta;2 é o número de voltas completas;Assim, sen 5π = sen π e, portanto, sen 5π = 0.

3.3.2 Cosseno

Vamos considerar na circunferência trigonométrica, o arco

(

AP cuja medida corresponde ao ângulo central x e o segmento OP", que é a projeção do raio OP sobre o eixo das abscissas (eixo horizontal).

76


medida do cateto adjacente ao ângulo cos =hipotenusa

OP''cosxOP

OP''cosx1

cosx OP''

aa

=

=

=

O eixo horizontal, suporte de OP", é denominado eixo dos cossenos.

Definimos como cosseno do arco

(

AP ou cos x a medida de OP e indicamos:

cos x = OP"

Note que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente para o triângulo retângulo.

De fato, se considerarmos o triângulo OPP" da figura acima, veremos que med(OPP") = x e, aplicando a definição anterior, temos:

OP" ₌ cos x

Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores de cosseno em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas.

Valores importantes de cos x


rad, π rad, 3π 2

rad e 2π rad, temos:


77

QUADRO 14 - VALORES IMPORTANTES DE COS X

FONTE: A autora

Vimos, anteriormente, que 3 2 1cos30 , cos45 = e cos60 =2 2 2




3-2

32

2-2

22

78


Desta forma, podemos relacionar o cosseno de um arco de qualquer quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos fazendo uma Redução ao 1º Quadrante.


• redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: dois arcos suplementares x e 180° - x têm cossenos simétricos, ou seja,

cos (180° – x) = -cos x ou cos (π – x) = -cos x;

• redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 180° + x têm cossenos simétricos, ou seja,

cos (180° + x) = -cos x ou cos (π + x) = -cos x;

• redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 360° - x têm cossenos iguais, ou seja,

cos (360° – x) = cos x ou cos (2π – x) = cos x.

Vale observar que 360° – x e -x são côngruos, portanto, podemos escrever:

cos (360° – x) = cos (-x) = cos x.

Exemplo 1: Calcule cos 13π.

Resolução:13π = π + 6 • 2πA 1ª determinação do ângulo é π. Portanto, cos 13π = cos π e cos 13π = -1.

Exemplo 2:Calcule cos 120°.

12

1-2


79

Resolução:

Como a extremidade de um arco de 120° pertence ao segundo quadrante, usamos a redução do segundo quadrante para o primeiro:

cos x = -cos (180° – x)cos 120° = -cos (180° - 120°)cos 120° = -cos 60°cos 120° = _ 1

2Exemplo 3: Simplifique a expressão B = sen (900° – a) + cos (1980° + a) + sen (1440° – a).

Resolução:Sabemos que: 900° = 180° + 2 • 360°1980° = 180° + 5 • 360°1440° = 4 • 360° = 0° + 4 • 360°

Logo:sen (900° – a) = sen (180° – a) = sen acos (1980° + a) = cos (180° + a) = -cos asen (1440° – a) = sen (360° – a) = -sen a Substituindo na expressão, temos:B = sen a – cos a - sen aB = -cos a

Assim, pode-se simplificar a expressão escrevendo B = -cos a.

3.3.3 Tangente

Consideremos, na circunferência trigonométrica, o arco

(

AP cuja medida é x, sendo o eixo com origem no ponto A, vertical e orientado para cima, e o ponto T, que é a intersecção deste eixo com a reta suporte do raio OP.

80


O eixo vertical, suporte de AT, é denominado eixo das tangentes.

Definimos como tangente do arco

(

AP ou tg x a medida de AT e indicamos:

tgx = AT

Perceba que o ponto T só existe se P ≡ B e P ≡ B'. Como B e B’ são extremidades de arcos da forma π + k . π

2, k є Z, então a tangente de x só é definida

se x є R e x ≠ π + k . π2

, k є Z.

Veja que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente para o triângulo retângulo.

De fato, se considerarmos o triângulo OAT da figura acima, veremos que med (AÔT) = x e, aplicando a definição anterior, temos:

Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores da tangente em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas.

Valores importantes de tg x

medida do cateto oposto ao ângulo tgmedida do cateto adjacente ao ângulo

ATtgxOAATtgx1

tgx AT

aa =

a

=

=

=


81


rad, π rad, 3π 2rad e 2π rad, temos:

QUADRO 15 - VALORES IMPORTANTES DE TG X

FONTE: A autora

Vimos, anteriormente, que 3tg30 , tg45 =1 e tg60 = 32




82


Desta forma, podemos relacionar a tangente de um arco de qualquer quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos efetuando uma Redução ao 1º Quadrante.


• redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante:

tg (180° – x) = -tg x ou tg (π – x) = -tg x;

• redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante:

tg (180° + x) = tg x ou tg (π + x) = tg x;

• redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante:

tg (360° – x) = -tg x ou tg (2π – x) = -tg x.

Exemplo 1:Determine o valor da tangente de um arco de 120°.

Resolução:Fazendo a redução ao 1º Quadrante:tg x = -tg (180° – x)tg 120° = -tg (180° – 120°)tg 120° = -tg 60°tg 120° = – √3


83

2525 1 25 1 24 13 . 4

2 3 2 6 6 6

ππ +

= = = = +π π

Assim,

25 1 4 . 23 6

25 1 2 4 23 6

25 4 23 3

25Logo, tg tg 3.3 3

π π

π π π

π π π

π π

= +

= ⋅ + ⋅

= + ⋅

= =

LEITURA COMPLEMENTAR

COMO MEDIR DISTÂNCIAS NO ESPAÇO

José Roberto V. Costa

Hiparco e a distância da Lua

Para medir a distância da Terra à Lua, Hiparco (190-120 a.C.) não precisou nem mesmo do diâmetro da Terra. Ele imaginou uma geometria com a qual, durante um eclipse lunar, isto é, quando a Terra fica exatamente entre o Sol e a Lua, seria possível calcular a distância da Terra à Lua.

Hiparco foi um dos maiores astrônomos gregos e entre suas muitas contribuições estão os fundamentos da trigonometria. Aliás, sua construção geométrica baseia-se justamente na medida de ângulos.

Acompanhe o diagrama a seguir. Hiparco imaginou dois triângulos retângulos, cujas hipotenusas ligariam o centro da Terra às bordas do disco solar e lunares, por ocasião de um eclipse da Lua.

Exemplo 2:Determine o valor da tangente de um arco de 25π

3 rad.

Resolução:Calculando a 1ª determinação,

84


Podemos notar que a duração de um eclipse lunar é equivalente a duas vezes o ângulo d. Vamos escrever nossa primeira equação: 2 • d = T1. O período orbital da Lua, ou seja, o tempo que ela gasta para completar uma volta (360°) em torno da Terra já era conhecido.

Vamos representá-lo como T2 e escrever a segunda equação: 360 = T2. Como podemos medir o tempo T1, a única variável é d, obtida com as duas equações numa regra de três simples e direta.

O ângulo c é chamado semidiâmetro do Sol, ou seja, a metade do ângulo pelo qual vemos o disco solar. O ângulo a é tão pequeno que pode ser desprezado, ele representa a metade do ângulo pelo qual um observador no Sol veria a Terra.

Dos estudos de trigonometria básica extraímos a propriedade pela qual a + b = c + d. Como a é muito pequeno, basta-nos escrever b = c + d.

A engenhosa geometria que Hiparco utilizou para medir a distânciaTerra-Lua é trivial para qualquer bom aluno do Ensino Médio.

Mas o que Hiparco queria mesmo era X, você concorda? Note que o seno de b será R

X. Se ele calculasse b obteria o seu seno, consultando as velhas tábuas

trigonométricas.

Sol, Terra e Lua não estão em escala


85

Sobraria R, o raio da Terra. Hiparco também poderia expressar o resultado como uma função de R, isto é, quantos raios da Terra existem até a Lua – o que já seria um excelente resultado.

O resultado de Hiparco foi um valor de X entre 62 e 74 vezes R. O valor real fica entre 57 e 64, mas seu erro é justificável face à precisão requerida nas medidas angulares. Acima de tudo, que método elegante, que conclusão arrebatadora!

COSTA, J. R. V. Hiparco e a distância da Lua. Disponível em: <http://www.zenite.nu/>. Acesso em: 26 maio 2010.

86

RESUMO DO TÓPICO 4Neste tópico revemos alguns conceitos da geometria na circunferência,

que auxiliaram na compreensão dos conceitos de seno, cosseno e tangente, quando ampliados à circunferência unitária.

1 O grau e seus submúltiplos (minutos e segundos):

1° = 60’ 1´= 60’’ 1° = 3600’’

2 Grau e radiano:

2π rad = 360° ⇔ π rad = 180°

3 Ciclo trigonométrico (raio = 1):

4 Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras. Podemos expressar por: a + k •

360°, onde k є Z, ou por a + k • 2π, onde k є Z.

5 Valores notáveis de seno, cosseno e tangente:

87

FONTE: A autora

QUADRO 16 – VALORES NOTÁVEIS DE SENO, COSSENO E TANGENTE

x sen x cos x tg x x sen x cos x tg x

0 0 1 0 π2 = 90° 1 0

Não é definida

π6 = 30° 1

2√3 2

√3 3 π = 180° 0 -1 0

π4 = 45° √2

2√2 2

1 3π 2 -1 0

Não é definida

π3 = 60° √3

212 √3 2π = 360° 0 1 0

88

a) rad2

11b) rad6

5c) rad4

8d) rad3

π

π

π

π


1 Converta em radianos: a) 1040°b) 156° c) 210°d) 15° 52’

2 Determine a medida, em graus, equivalente a:

AUTOATIVIDADE

3 Calcule, em graus, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, nos seguintes casos:

a) 2h 15minb) 9h 10min

4 Determine, em radianos, a medida de um arco de circunferência cujo comprimento mede 60 m e o diâmetro dessa circunferência, 40 m.

5 Determine os quadrantes a que pertencem as extremidades dos seguintes arcos:

a) 20°b) 1430°c) – 550°d) 25 rad

4π

e) 11 rad4π

-

89

6 Identifique se os seguintes arcos são congruentes:

a) 19π e 55πb) 3645° e 5445°

7 Calcule a determinação principal dos arcos de medida:

a) 4120°b) – 4550°

c) 47 rad6

π

d) 67 rad6

π

8 Dê os valores de seno e cosseno dos seguintes arcos:

a) 390°b) 10305°c) 3π rad

d) 15 rad2π

9 Simplifique a expressão , sen(180 x) cos(180 x)Esen(360 x)° - + ° +

=° -

com sen(360° - x) ≠ 0.

10 Determine o valor da tangente dos seguintes arcos:

a) tg 135°b) tg 210°

c) 5tg rad6π

d) 4tg rad3π

90

91

UNIDADE 2

TRIGONOMETRIA: PARTE II


PLANO DE ESTUDOS

Nessa unidade vamos:

• construir conhecimentos sobre os conceitos algébrico e gráfico das funções trigonométricas e suas relações;

• resolver equações e inequações trigonométricas;

• efetuar operações e verificar identidades trigonométricas;

• aplicar as fórmulas da adição, multiplicação e divisão de arcos.

Esta unidade de ensino está dividida em quatro tópicos. Ao término de cada um deles você encontrará atividades que o (a) auxiliarão na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoavaliações solicitadas.

TÓPICO 1 – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS

TÓPICO 2 – EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

TÓPICO 3 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

92

93

TÓPICO 1

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

E SUAS INVERSAS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃONa unidade anterior aprendemos como obter valores de senos, cossenos e

tangentes para números reais. Agora, iremos defini-los em um plano cartesiano, desta forma recebem o nome de funções trigonométricas. Portanto, neste tópico estudaremos as funções seno, cosseno e tangente, bem como suas recíprocas: cotangente, secante e cossecante.

O primeiro indício da utilização de funções na trigonometria foi em 1635, quando Gilles Personne de Roberval (1602-1675) traçou o esboço da curva de seno. Mas foi apenas no século XIX, com os estudos de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que os estudos nesta área avançaram.

2 ESTUDO DA FUNÇÃO SENOComo vimos em tópicos anteriores, todo número real x pode ser considerado

como a medida, em radianos, de um certo arco

(

AP. Portanto, para cada arco

(

AP podemos associar um único número real y, que é o valor do seno desse arco.

Assim, definimos a função seno como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja,

f : R → Rx → f(x) = sen x

UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II

94

Gráfico da função seno

Para construir o gráfico da função seno, primeiramente, vamos fazer um quadro com valores de sen x no período de [0, 2π].

FONTE: A autora

Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função seno, chamada de senoide.

QUADRO 17– PRINCIPAIS VALORES DA FUNÇÃO SEN X

x(em radianos)

sen xx

(em radianos)sen x

0 0 7π 6 - 0,5

π6 0,5 5π

4 - 0,7

π4 0,7 4π

3 - 0,9

π3 0,9 3π

2 - 1

π2 1 5π

3 - 0,9

2π 3 0,9 7π

4 - 0,7

3π 4 0,7 11π

6 - 0,5

5π 6 0,5 2π 0

π 0

TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS

95

A partir do quadro, podemos observar:

QUADRO 18 – QUADRO RESUMO - FUNÇÃO SENO

Quadrante I II III IV

Arco x 0 → π 2

→ π π 2

π → 3π 2

→ 2π 3π 2

Sinal f(x) + + - -

Variação f(x)

0 → +1Crescente

+1 → 0Decrescente

0 → -1Decrescente

-1 → 0Crescente

FONTE: A autora

Portanto, podemos concluir:

• O domínio da função f(x) = sen x é o conjunto dos números reais, D(f) = R.

• O conjunto imagem da função f(x) = sen x é o intervalo [-1, +1], ou seja, Im(F) = {y є R | -1 ≤ y ≤ 1}.

• O período da função seno é o número 2π, pois o valor de f(x) da função seno se repete a cada intervalo de amplitude 2π, ou seja, sen x = sen (x + k • 2π), k є Z.

Observe:


96

Exemplo:

Esboçar o gráfico da função f(x) = 2sen x.

Resolução: Para o esboço do gráfico, basta atribuirmos ao arco x os valores 0, π2

rad, π rad, 3π 2

rad e 2π e calcularmos os correspondentes valores de y, conforme

o quadro a seguir:

x(em radianos)

y

0 0

π2 2

π 0

3π 2 -2

2π 0

FONTE: A autora

QUADRO 19 – VALORES DE X E Y

Marcando no plano cartesiano os pontos (0,0), ( ) 3,2 , ,0 , , 22 2π ππ

-

e (2π, 0), temos:

Domínio: D(f) = RConjunto Imagem: Im(f) = {y є R | -2 ≤ y ≤ 2}Período: p = 2π


97

Visite o site <http://www.apm.pt/apm/software/soft.htm>, lá você encontra diversos softwares pedagógicos, entre eles alguns sobre funções, que irão auxiliá-lo na construção dos gráficos aqui solicitados. Outro site que possui programas interessantes é o baixaki. Vale a pena fazer o download do winplot, <http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>, ele resolve equações, funções e gera gráficos. Mas, lembre-se de que alguns deles podem estar em inglês e, portanto, deve-se usar: sen x = sin x; cos x = cos x e tg x = tan x.

ATENCAO

3 ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENODado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um

ângulo de x radianos.

Definimos a função cosseno como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x um único valor real cosseno x, ou seja,

f(x) : R → Rx → f(x) = cos x

Gráfico da função cosseno

Para construir o gráfico da função cosseno, primeiramente, vamos fazer um quadro com valores de cos x no período de [0, 2π].


98

FONTE: A autora

Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função cosseno, chamada de cossenoide.

QUADRO 20 – VALORES DE COS X

x(em radianos)

cos xx

(em radianos)cos x

0 1 7π 6 - 0,9

π6 0,9 5π

4 - 0,7

π4 0,7 4π

3 - 0,5

π3 0,5 3π

2 0

π2 0 5π

3 0,5

2π 3 -0,5 7π

4 0,7

3π 4 - 0,7 11π

6 0,9

5π 6 - 0,9 2π 1

π - 1

A partir do gráfico, podemos observar no quadro a seguir:


99

FONTE: A autora

QUADRO 21 – QUADRO RESUMO DA FUNÇÃO COSSENO


Arco x 0 → π 2

→ π π 2

π → 3π 2

→ 2π 3π 2

Sinal f(x) + - - +

Variação f(x)

+1 → 0Decrescente

0 → -1Decrescente

-1 → 0Crescente

0 → +1Crescente


• O domínio da função f(x) = cos x é o conjunto dos números reais, D(f) = R.• O conjunto imagem da função f(x) = cos x é o intervalo [-1, +1], ou seja, Im(f) = {y

є R | -1 ≤ y ≤ 1}.• O período da função cosseno é o número 2π, pois o valor de f(x) da função

cosseno se repete a cada intervalo de amplitude 2π para valores de x, ou seja, cos x = cos (x + k • 2π), k є Z.

Observe:


100

Exemplo:Dê o domínio, a imagem, o período e construa o gráfico de um período

completo da função f(x) = cos x+3π

.

Resolução: Para o esboço do gráfico, basta atribuirmos ao arco x+3π

os

valores 0, π2

rad, π rad, 3π 2

rad e 2π e calcularmos os respectivos valores de x e y,

conforme o quadro a seguir:

FONTE: A autora

A partir do gráfico, deduzimos queDomínio: D(f) = RConjunto Imagem: Im(f) = {y є R | -1 ≤ y ≤ 1}Período: p = 2π

QUADRO 22 – CALCULAR VALORES DE X E Y

x+3π

(em radianos)

x(em radianos)

y

0 - π 3 1

π2

π6 0

π 2π 3 -1

3π 2

7π 6 0

2π 5π 3 1


101

4 ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTEDado um número real x, podemos associar a ele o valor da tangente de um

ângulo de x radianos.

Definimos a função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x um único valor real tangente x, ou seja,

f : R → Rx → f(x) = tgx

Gráfico da função tangente

Para construir o gráfico da função tangente, primeiramente, vamos fazer um quadro com valores de tg x no período de [0, 2π].


102

FONTE: A autora

QUADRO 23 – VALORES DE TG X

x

(em radianos)tg x

x

(em radianos)tg x

0 0 7π 6 0,58

π6 0,58 5π

4 1

π4 1 4π

3 1,73

π3 1,73 3π

2 ∃⁄

π2 ∃⁄ 5π

3 -1,73

2π 3 -1,73 7π

4 -1

3π 4 - 1 11π

6 -0,58

5π 6 - 0,58 2π 0

π 0

Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função tangente, chamada de tangentoide.


103

A partir do gráfico, podemos observar no quadro a seguir:

FONTE: A autora


• O domínio da função f(x) = tg x é D(f) = {x є R | x ≠ π2

+ k • π, k є Z};

• O conjunto imagem da função f(x) = tg x é o intervalo [-∞, +∞], ou seja, Im(f) = R;

• O período da função tangente é p = π, pois o valor de f(x) da função tangente se repete a cada intervalo de amplitude π para valores de x, ou seja, tg x = tg (x + k • π, k є Z).

Observe:

QUADRO 24 – QUADRO RESUMO - FUNÇÃO TANGENTE


Arco x 0 → π 2

→ π π 2

π → 3π 2

→ 2π 3π 2

Sinal f(x) + - + -

Variação f(x)0 → +∞

Crescente-∞ → 0

Crescente0 → +∞

Crescente-∞ → 0

Crescente


104

Exemplo 1:

Determine o domínio, a imagem, o período e esboce o gráfico da função

f(x) = tg x+6π

.

Resolução: Vamos construir um quadro, atribuindo a x+6π

os valores 0, π2

rad, π rad, 3π 2

rad e 2π e calcularmos os respectivos valores de x e y.

FONTE: A autora

QUADRO 25 – CALCULAR VALORES DE X E Y

x+6π

(em radianos)

x(em radianos)

y

0 - π 6 0

π2

π3 ∃⁄

π 5π 6 0

3π 2

4π 3 ∃⁄

2π 11π 6 0

Colocando esses valores no plano cartesiano, obtemos o seguinte gráfico:

A partir do gráfico, deduzimos que Domínio: D(f) = {x є R | x ≠ π

3 + k . π, k є Z}


105

2x2

2x= +2

2 2x2 2

3 2x=23 x=4

π- = π

ππ

π π= +

π

π

2x 02

2x=2

x=4

π- =

π

π

Conjunto Imagem: Im(f) = RPeríodo: p = π

Exemplo 2:

Qual o período da função f(x) = tg 2x - 2π

?

Resolução: Como o período da função tangente é π radianos, devemos

verificar o que ocorre com o arco 2x - 2π

, quando varia de 0 a π.

Quando f(x) = 0, temos:

Quando f(x) = π, temos:

Assim, quando 2x - 2π

varia de 0 a π, x varia de π4

a 3π4

. Então, o período é

p = 3π - π4 4

, ou melhor, p = π2

.

5 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASAlém das três relações que acabamos de estudar, existem outras três

(secante, cossecante e cotangente), que mostram sua importância na trigonometria. Sempre que forem exigidas, podem ser substituídas por expressões envolvendo as funções seno, cosseno ou tangente. Assunto que veremos nos próximos tópicos.


106

5.1 ESTUDO DAS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE

Primeiramente, consideremos o ciclo trigonométrico a seguir.

Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das abscissas (eixo dos cossenos) no ponto A e o eixo das ordenadas (eixo dos senos) no ponto B.

Definimos sec x = OA e cossec x = OB .

Através da semelhança de triângulos, podemos obter:

Observando a figura anterior e de acordo com essas fórmulas, podemos constatar as seguintes propriedades:

• como os pontos A e B sempre estão no exterior do ciclo trigonométrico, as suas distâncias até o centro da circunferência são sempre maiores ou iguais à medida do raio unitário. Portanto:

≠

≠

1OA = secx = , com cos x 0cosx

e

1OB = cos secx = , com sen x 0senx


107

1sec xcosx

1sec150cos150

1sec1503

22sec150 1

32 3sec150

3

=

° =°

° =

-

° = ⋅-

° = -

sec x ≤ -1 ou sec x ≥ 1e

cossec x ≤ -1 ou cossec x ≥ 1

• o sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno: positivo no 1º e no 4º quadrantes e negativo no 2º e no 3º quadrantes;

• o sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno: positivo no 1º e no 2º quadrantes e negativo no 3º e no 4º quadrantes;

• não existe a secante de ângulos da forma a ₌ π + k . π2

, k є Z, pois nesses ângulos o cosseno é zero;

• não existe a cossecante de ângulos da forma a = k . π, k є Z, pois são ângulos cujo seno é zero.

Exemplo 1:

Calcule a secante do arco de 150°.

Resolução:

Assim, a secante do arco de 150° é 2√33– .

Exemplo 2:

Calcule a cossecante do arco de 330°.

Resolução:


108

1cossec xsenx

1cossec 330sen3301cossec 33012

cossec 330 1 ( 2)cossec 330 2

=

° =°

° =-

° = ⋅ -° = -

Portanto, a cossecante do arco de 330° é -2.

O Gráfico das funções secante e cossecante:

Conforme acabamos de estudar, a função secante, indicada por y = sec x ou f(x) = sec x, é definida por 1f(x)

cosx= para todo x real tal que cos x ≠ 0.

A função cossecante, indicada por y = cossec x ou f(x) = cossec x, é definida por 1f(x)

senx= para todo x real tal que sen x ≠ 0.

A partir disto, podemos estabelecer alguns valores notáveis da secante e da cossecante. Observe no quadro a seguir:

FONTE: A autora

QUADRO 26 – PRINCIPAIS VALORES DAS FUNÇÕES SEC X E COSSEC

x(em radianos)

sec xcossec

xx

(em radianos)sec x cossec x

0 1 ∃⁄ 7π 6 -1,15 -2

π6 1,15 2 5π

4 -1,4 -1,4

π4 1,4 1,4 4π

3 -2 -1,15

π3 2 1,15 3π

2 ∃⁄ -1

π2 ∃⁄ 1 5π

3 2 -1,15

2π 3 -2 1,15 7π

4 1,4 -1,4

3π 4 -1,4 1,4 11π

6 1,15 -2

5π 6 -1,15 2 2π 1 ∃⁄

π -1 ∃⁄


109

Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos os gráficos das funções secante e cossecante.

5.2 ESTUDO DA FUNÇÃO COTANGENTE

Consideremos o ciclo trigonométrico a seguir e o arco

(

AP de medida x. Seja C o ponto de intersecção da reta OP

→←

com o eixo das cotangentes.


110

cosxcotgxsenx

cos30cotg30sen30

32cotg30123cotg30 2

2cotg30 3

=

°° =

°

° =

° = ⋅

° =

Podemos ainda escrever:

Exemplo:

Calcule a cotangente do arco de 30°.

Resolução:

Deste modo, a cotangente do arco de 30° é √3.

Definimos como cotangente do arco

(

AP a medida do segmento BC, e indicamos cotg x = BC, ou seja, a cotg x é a abscissa do ponto C.

Através da semelhança de triângulos, podemos obter:

≠cosxcotgx = , sendo sen x 0senx

1 π≠

kcotgx = , xtgx 2


111

FONTE: A autora

QUADRO 27 – PRINCIPAIS VALORES DA FUNÇÃO COTG X

x(em radianos)

cotg xx

(em radianos)cotg x

0 ∃⁄ 7π 6 1,73

π6 1,73 5π

4 1

π4 1 4π

3 0,58

π3 0,58 3π

2 0

π2 0 5π

3 -0,58

2π 3 -0,58 7π

4 -1

3π 4 -1 11π

6 -1,73

5π 6 -1,73 2π ∃⁄

π ∃⁄

Observe que a tangente é positiva para os arcos com extremidades no 1º ou 3º quadrante e negativa para os arcos com extremidades no 2º ou 4º quadrante.

Colocando estes valores no plano cartesiano, obtemos o gráfico da função cotangente.

O Gráfico da função cotangente

Partindo da definição, podemos estabelecer alguns valores notáveis da cotangente. Observe:


112

A partir do gráfico, podemos concluir:

• O domínio da função f(x) = cotg x é D(f) = {x є R | x ≠ kπ, k є Z};• O Conjunto imagem da função f(x) = cotg x é o intervalo [-∞, +∞], ou seja, Im(f) = R;• f(x) = cotg x é uma função periódica com p = π.

113

RESUMO DO TÓPICO 1Neste tópico ampliamos o conhecimento das razões seno, cosseno e

tangente, já conhecidas desde o triângulo retângulo, para o plano cartesiano, ou seja, na forma de função.

● Também avançamos no estudo da trigonometria, conhecendo outras razões importantes: a secante, a cossecante e a cotangente.

Disto é válido lembrar:

● Quanto ao gráfico das funções trigonométricas (no quadro 28), podemos destacar:

QUADRO 28 – QUADRO RESUMO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Função

f(x)

Domínio

D(f)

Imagem

Im(f)

Período

P

Sinais

Positivo Negativo

sen x x є R { y є R | -1 ≤ y ≤ 1 } 2π 1º e 2º Q 3º e 4º Q

cos x x є R { y є R | -1 ≤ y ≤ 1 } 2π 1º e 4º Q 2º e 3º Q

tg x { x є R | x ≠ π + kπ, k є Z}2 y є R π 1º e 3º Q 2º e 4º Q

sec x { x є R | x ≠ π + kπ, k є Z}2 { y є R | -1 ≥ y ≥ 1 } 2π 1º e 4º Q 2º e 3º Q

cossec x { x є R | x ≠ kπ, k є Z } { y є R | -1 ≥ y ≥ 1 } 2π 1º e 2º Q 3º e 4º Q

cotg x { x є R | x ≠ kπ, k є Z } y є R π 1º e 3º Q 2º e 4º Q

FONTE: A autora

1sec xcosx

1cossec xsenx

cosx 1cotgx ou cotgx=senx tgx

=

=

=

114

AUTOATIVIDADE

1 Indique o valor de: a) cotg 60° b) sec 180° c) cossec 30°d) cotg 225° e) sec 210° f) cossec 27°g) cotg 330° h) sec 120° i) cossec 225°

2 Calcule o valor das expressões (FACHINI, 1996):

3 Verifique se são verdadeiras ou falsas as igualdades:

4 Determine o domínio das seguintes funções:

5 Para que valores reais de m a equação sen x = 2m + 1 admite solução?

a)cos x + cos 2x

cos 3x – cos 4x2

2

, para x ₌ π

b) , para x ₌ π4

cos x . cos 3x1 + √2 . cos x

a) tg 60° ₌ tg 210° b) cotg π ₌ cotg 3π

c) cossec 0° ₌ cossec 2π d) tg 3π ₌ tg 5π

e) tg π ₌ tg 7π f) sec 45° ₌ sec 765°

g) sec π ₌ sec 5π h) cotg 0° ₌ cotg 180°

i) sec 90° ₌ sec 270° j) cossec π ₌ cossec 3π

2 2

4 4

3 3

4

4 2

a) f(x) ₌ cotg (2x + 30°)

b) f(x) ₌ cossec x+6π

c) f(x) ₌ sec x+3π

115

7 Que número é maior: sen 70° ou sen 760°?

8 Determine x є R, tal que tg β = x + 12

e cotg β = 4.

9 Construa o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções:

6 Calcule B = sen 2x + cos 4x – tg 3x, para x = π3

.

a) f(x) ₌ cos x - 4π

b) f(x) ₌ 4sen x3

c) f(x) ₌ -tg 2x

116

117

TÓPICO 2

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Dando continuidade ao estudo da trigonometria, abordaremos as técnicas de resolução de equações e inequações que envolvem as funções que vimos anteriormente.

Logicamente, os conteúdos de equações e inequações não são novidade para você, mas quando estes se unem aos conceitos da trigonometria, precisamos fazer algumas observações quanto à posição do arco da função na circunferência trigonométrica. Estes olhares serão nosso foco de estudo neste tópico.

Para que uma sentença matemática seja denominada uma equação é necessário que se tenha uma igualdade e pelo menos uma incógnita. Resolver a equação é encontrar os valores desconhecidos das incógnitas.

Agora, para uma equação ser chamada de equação trigonométrica é necessário que, além dessas características gerais, a incógnita esteja envolvida em pelo menos uma razão trigonométrica. Assim, resolver uma equação trigonométrica significa encontrar os valores dos ângulos que a satisfazem.

A seguir, temos alguns exemplos de equações trigonométricas:

sen x = cos 2x 2sen2 x – 5sen x + 3 = 0cos2 x = -cos xsen 2x – cos 4x = 0 4sen 3x = 3sen x

Agora, veja exemplos de equações que não são consideradas trigonométricas, pois a incógnita não pertence à razão trigonométrica.

x2 + sen 30° • (x + 1) = 15x + (tg 30°) • x2 = 0cos 60° – x = √3

2


118

Grande parte das equações trigonométricas pode ser reduzida na forma de equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:

1) sen x = sen a 2) cos x = cos a 3) tg x = tg a

Com a є [0, 2π]

Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, possui um conjunto de valores que a incógnita deverá assumir em cada equação.

Vejamos, a seguir, cada uma delas:

2.1 PRIMEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: sen x = sen a, com a є [0, 2π]

Quando fizemos o estudo de seno, vimos que se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares, ou seja, possuem a mesma imagem no eixo dos senos. Veja no ciclo trigonométrico a seguir:

Portanto, podemos concluir que:

sen x ₌ sen a ⇔

}x ₌ a + k . 2πoux ₌ π – a + k . 2π

TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

119

E, como conjunto solução desta equação, temos:S = {x є R | x = a + k • 2π ou x = π - a + k • 2π, k є Z}

Exemplo: Determinar o conjunto solução das equações:

a) sen x = √32

Resolução:

Consultando as tabelas trigonométricas, descobre-se que sen π3 = √32 , ou seja,

x3π

= . Mas, x pode ser ainda qualquer ângulo congruente a π3

, então, a solução da

equação sen 3x2

= é dada por

S = {x є R | x = π3

+ k • 2π ou x = 2π3

+ k • 2π, k є Z}

b) 2sen 2x – 1 = 0

Resolução:

Podemos reescrever a equação como:

Através das tabelas trigonométricas verificamos que sen π6

12

₌ , ou seja, 2x = π6

.

E, portanto, as duas possibilidades de respostas são desenvolvidas a partir de:

S = {x є R | x = π12 + k • π ou x = 5π

12 + k • π, k є Z}

2sen2x 1 0 2sen2x=1

1 sen2x=2

- =

k 2x a k 2 x2x k 2 x x k6 6 2 2 12

k 2 5x a k 2 2x k 2 x x k6 2 6 2 2 12

π π ⋅ π π= + ⋅ π ⇒ = + ⋅ π ⇒ = + ⇒ = + ⋅ π

⋅

π π π ⋅ π π= π - + ⋅ π ⇒ = π - + ⋅ π ⇒ = - + ⇒ = + ⋅ π

⋅


120

2.2 SEGUNDA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: cos x = cos a, com a є [0, 2π]

Com base nos estudos de cosseno, se dois arcos têm o mesmo cosseno, então eles são côngruos, ou seja, possuem extremidades simétricas em relação ao eixo dos cossenos. Observe:


cos x = cos a ⇔ x = ±a + k • 2π, k є Z

E, como conjunto solução desta equação, temos:S = {x є R | x = ±a + k • 2π, k є Z}

Exemplo 1: Determinar o conjunto solução da equação cos x = 1

2.

Resolução:As extremidades dos arcos no ciclo trigonométrico para o qual x = 1

2, são os

pontos P e P’, simétricos em relação ao eixo dos cossenos.


121

Então, consultando as tabelas trigonométricas, verificamos que cos x = 12

quando x = π

3. Assim,

S = {x є R | x = ± π3

+ k • 2π, k є Z}

Exemplo 2: Determinar o conjunto solução da equação cos (2x – π) = – √3

2 .

Resolução:Consultando as tabelas trigonométricas, verificamos que – √3

2 é o

equivalente a – cos π6

, que, por sua vez, é equivalente a cos 5π6

. Assim,

52x k 26

52x k 265 62x k 26 6

x k12

- π- π = + ⋅ π

- π= + ⋅ π + π

- π π= + + ⋅ π

π= + ⋅ π

52x k 26

52x k 26

5 62x k 26 6

11x k12

π- π = + ⋅ π

π= + ⋅ π + π

π π= + + ⋅ π

π= + ⋅ π

ou

S ₌ {x є R | x ₌ 11π + k . π ou x ₌ π + k . π, k є Z}12 12

2.3 TERCEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: tg x = tg a, com a ∈ [0, 2π]

Assim como nas equações fundamentais anteriores, ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos, ou seja, possuem suas extremidades simétricas em relação ao centro do ciclo trigonométrico.


122


tg x = tg a ⇔ a + k • πcom a ≠ π

2 + k • π e k є Z

E, como conjunto solução desta equação, temos:S = {x є R | x = a + k • π, k є Z}

Exemplo 1:Determinar o conjunto verdade da equação tg x = √3.

Resolução:As extremidades dos arcos no ciclo trigonométrico, para o qual tg x = √3 são

os pontos P e P’, simétricos em relação à origem.

Então, escrevemos: tgx ₌ √3

tg π3

₌ √3

E assim, x = π3

+ k • π.

S = {x є R | x = π3

+ k • π, k є Z}

Exemplo 2:Determinar o conjunto verdade da equação tg 2x – 1 = 0.Resolução:


123

Podemos reescrever a equação como:

tg2x – 1 ₌ 0 tg2x ₌ 1

E consultando as tabelas trigonométricas das tangentes temos que tg 2x = 1 quando 2x = π

4.

E assim, 2x = π4 + k • π, ou melhor, x = π8 + k . π

2.

Logo, S = {x є R | x = π8 + k . π

2, k є Z}.

3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICASUma sentença matemática é denominada de inequação quando é uma

desigualdade e possui pelo menos uma incógnita.

Chamamos de inequação trigonométrica a inequação cuja incógnita está envolvida em pelo menos uma razão trigonométrica. Resolver a inequação trigonométrica significa obter, caso exista, o conjunto solução S, de valores que satisfaçam a inequação.

A maioria das inequações trigonométricas pode ser reduzida a inequações de um dos seguintes tipos:

1) sen x > a 2) sen x < a

3) cos x > a 4) cos x < a

5) tg x > a 6) tg x < a

onde a é um número real. Estas são denominadas inequações trigonométricas fundamentais.

3.1 INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS

Quando aprendemos a resolver as inequações fundamentais, sabemos resolver outras inequações trigonométricas. Por este motivo, dedicaremos este item ao estudo delas.


124

1º Caso: sen x > a ou sen x ≥ a

Sobre o eixo dos senos, marcamos o ponto P, tal que OP = a. Traçamos por P a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que sen x > a estão na interseção do ciclo com o semiplano situado acima de r.

Assim, descrevemos os intervalos aos quais x pode pertencer, tomando cuidado de partir do ponto A e percorrer o ciclo trigonométrico no sentido anti-horário até completar uma volta.

ATENCAO

Neste tópico é imprescindível recordar os conceitos de Intervalos Reais. Intervalo aberto em a e b, {x є R | a < x < b} = ]a,b[

Intervalo fechado em a e aberto em b, {x є R | a ≤ x < b} = [a,b[

Intervalo fechado em a e b, {x є R | a ≤ x ≤ b} = [a,b]

Intervalo aberto em a e fechado em b, {x є R | a < x ≤ b} = ]a,b


125

Exemplo: Vamos resolver a inequação sen x > √2

2.

Resolução:

Percorrendo o ciclo no sentido anti-horário, temos:

Para a primeira volta:

S = x є R | π < x < 3π 4 4

} }Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].

Acrescentando k • 2π, com k є Z, às extremidades do intervalo encontrado, temos a solução geral em R.

Solução geral:

S = x є R | π + k . 2π < x < 3π + k . 2π, k є Z4 4

} }2º Caso: sen x < a ou sen x ≤ a

Sobre o eixo dos senos, marcamos o ponto P, tal que OP = a. Traçamos por P a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que sen x < a estão na interseção do ciclo com o semiplano situado abaixo de r.


126

Assim, descrevemos os intervalos aos quais x pode pertencer, partindo do ponto A e percorrendo o ciclo trigonométrico no sentido anti-horário até completar uma volta.

Exemplo 1:Vamos resolver a inequação sen x < √2

2.

Resolução:

Percorrendo o ciclo a partir do zero, no sentido anti-horário, encontramos dois intervalos para a primeira volta:

S = x є R | 0 ≤ x < π ou 3π < x ≤ 2π 4 4

} }

Que é uma solução particular para o intervalo [0, 2π].


127


Solução geral:

S = x є R | 0 + k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 3π + k . 2π < x ≤ 2π + k . 2π 4 4

} }

E simplificando, temos

S = x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 3π + k . 2π < x ≤ (1 + k) . 2π, k є Z 4 4

} }

Exemplo 2:

Resolva a inequação 0 ≤ senx < √32

, para x ∈ R.

Resolução:

A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre r e s.

Então, para a primeira volta:

S = x є R | 0 ≤ x < π ou 2π < x ≤ π33

} }



Solução geral:


128

S = x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 2π + k . 2π < x ≤ π + k . 2π, k є Z33

} }

3º Caso: cos x > a ou cos x ≥ a

Sobre o eixo dos cossenos, marcamos o ponto Q, tal que OQ = a. Traçamos por Q a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que cos x > a estão na interseção do ciclo com o semiplano situado à direita de r.

Por fim, descrevemos os intervalos aos quais x pode pertencer, tomando cuidado de partir do ponto Q, percorrendo o ciclo trigonométrico no sentido anti-horário até completar uma volta.

Exemplo:

Vamos resolver a seguinte inequação trigonométrica: cos x > √32

.

Resolução:

Consultando as tabelas trigonométricas verifica-se que cos x = √32

quando 11x ou x= .

6 6π π

=


129

Percorrendo o ciclo a partir do zero, no sentido anti-horário, encontramos dois intervalos para a primeira volta:

S = x є R | 0 ≤ x < π ou 11π < x ≤ 2π66

} }



Solução geral:

S = x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou 11π + k . 2π < x ≤ (1 + k) . 2π, k є Z66

} }

4º Caso: cos x < a ou cos x ≤ a

Sobre o eixo dos cossenos, marcamos o ponto Q, tal que OQ = a . Traçamos por Q a reta r perpendicular ao eixo. As imagens dos reais x tais que cos x < a estão na interseção do ciclo com o semiplano situado à esquerda de r.

Para completar, descrevemos os intervalos que convêm ao problema.

Exemplo 1:

Vamos resolver a seguinte inequação trigonométrica: cos x < √32

.

Resolução:

Consultando as tabelas trigonométrica verifica-se que cos x = √32

quando x = π6 ou x = 1π

6.


130

Percorrendo o ciclo a partir do zero, no sentido anti-horário, temos:

Primeira volta:

S = x є R | π < x < 11π66

} }



Solução geral:

S = x є R | π + k . 2π < x < 11π + k . 2π, k є Z66

} }Exemplo 2:

Vamos resolver a seguinte inequação trigonométrica: - 3 ≤ cosx ≤ 02

, para x є R.

Resolução:


131

A imagem de x deve ficar na interseção do ciclo com a faixa do plano compreendida entre r e s.

Primeira volta:

S = x є R | π ≤ x ≤ 3π22

} }



Solução geral:

S = x є R | π + k . 2π ≤ x ≤ 3π + k . 2π, k є Z22

} }

5º Caso: tg x > a ou tg x ≥ a

Sobre o eixo das tangentes, marcamos o ponto T, tal que AT = a. Traçamos a reta r = OT

→←

. As imagens dos reais x tais que tg x > a estão na interseção do ciclo com o ângulo rÔv.


132

Por fim, descrevemos os intervalos que convêm ao problema.

Exemplo:

Resolva a inequação tg x > √3.

Resolução:

Consultando as tabelas trigonométricas verifica-se quais ângulos apresentam √3 como tangente.

Primeira volta:

S = x є R | π < x < π ou 4π < x < 3π3 3 22

} }



133


Solução geral:

S = x є R | π + k . 2π < x < π + k . 2π ou 4π + k . 2π < x < 3π + k . 2π, k є Z23

} }3 2

6º Caso: tg x < a ou tg x ≤ a

Sobre o eixo das tangentes, marcamos o ponto T, tal que AT = a. Traçamos a reta r = OT

→←

. As imagens dos reais x tais que tg x < a estão na interseção do ciclo com o ângulo rÔv.

Finalmente, descrevemos os intervalos que convêm ao problema.

Exemplo:

Resolva a inequação tg x < √3.

Resolução:

Consultando as tabelas trigonométricas verifica-se quais ângulos apresentam √3 como tangente.


134

Primeira volta:

S = x є R | 0 ≤ x < π ou π < x < 4π ou 3π < x ≤ 2π33

} }2 2


Acrescentando k • 2π, com k ∈ Z, às extremidades do intervalo encontrado, temos a solução geral em R.

Solução geral:

S = 23

} }3 2x є R | k . 2π ≤ x < π + k . 2π ou π + k2π < x < 4π + k2π ou 3π + k2π < x ≤ (1+k)2π, k є Z

135

RESUMO DO TÓPICO 2Neste tópico fizemos o estudo das equações e inequações trigonométricas.

● Vimos que, conhecendo as equações trigonométricas fundamentais, podemos resolver a maioria das equações trigonométricas, visto que podemos, quando convenientemente, tratá-las e transformá-las, reduzindo-as em equações fundamentais. Por este motivo, é de grande serventia memorizá-las.

1) sen x = sen a, a є [0, 2π] ⇒ x = a + k • 2π, k є Z.2) cos x = cos a, a є [0, 2π] ⇒ x = a + k • 2π, k є Z.3) tg x = tg a, a є [0, 2π] ⇒ x = a + k • π, k є Z.

● O mesmo ocorre com as inequações trigonométricas. É necessário compreender as inequações fundamentais, para facilmente resolver as demais.

1) sen > a2) sen < a3) cos x > a4) cos x < a5) tg x > a6) tg x < a com a ∈ R.

136

AUTOATIVIDADE

Prezado(a) acadêmico(a), as autoatividades que seguem se destinam à averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho!

1 Encontre o valor do número real y, tal que sen²y – 3 sen y = – 2, para 0 ≤ y ≤ π.

2 Resolva as equações trigonométricas abaixo:

a) sen3x = 1

b) cos x+ 16π

= -

c) tg 5x = 0

d) 2sen 2x – 1 = 0

e) cos (2x – π) = – √32

f) tg (2x – π) – √3 = 0

3 Sabendo que x є R, calcule as seguintes inequações:

a) tg x ≤ 1

b) cos x ≥ – 12

c) sen x > 0

d) sen x ≥ – √32

e) - √3 < tg x ≤ √33

137

TÓPICO 3

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

2 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

Nos tópicos anteriores estudamos as funções trigonométricas e analisamos as características e propriedades de cada uma delas, bem como algumas equações.

Entretanto, o assunto não está esgotado, ainda há algumas relações que podemos fazer entre os valores das funções trigonométricas de um mesmo arco, chamadas de relações trigonométricas.

Das demonstrações anteriores, temos:

Agora, consideremos o ciclo trigonométrico a seguir:

cosx(I) cotgx= , com x k e k Z.senx

1(II) secx= , com x k e k Z.cosx 2

1(III) cossecx= , com x k e k Z.senx

≠ π ∈

π≠ + π ∈

≠ π ∈

138


Observe que os triângulos retângulos OAB e OP”P são semelhantes, portanto:

Sendo esta uma circunferência unitária, temos OA = 1, AB = tgx, P"P = OP' = senx e OP" = cos x, então:

Observando, novamente o triângulo retângulo OP”P e aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos:

Como a circunferência é unitária, temos que P"P = sen x, OP" = cos x e OP = 1, logo:

(V) sen²x + cos²x = 1, x є R

Estas cinco relações são conhecidas como relações fundamentais da trigonometria.

AB P"POA OP"

=

OP = OP" + P"P2 2 2

3 RELAÇÕES DERIVADASSão relações que podem ser deduzidas das relações fundamentais.

(I) A partir de cosxcotgxsenx

= , com x ≠ kπ e k є Z, podemos escrever:

1 kcotgx , x k , k Z.tgx 2

π= ≠ + π ∈

(II) Se dividirmos a igualdade sen²x + cos²x = 1, por cos²x ≠ 0, obteremos:

sen²x cos²x 1cos²x cos²x cos²x

+ =

2 2senx 11cosx cosx

+ =

senx(IV) tgx= , com x k e k Z.cosx 2

π≠ + π ∈

TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

139

E com isso,

(III) Dividindo agora a igualdade sen²x + cos²x = 1, por sen²x ≠ 0, obteremos:

E com isso,

1+ cot g2 x = cos sec2 x, com x ≠ kπ, k є Z

Exemplo 1:

Sabendo que tg x = – √3 e π2

< x < π, calcule:

+

tg²x + 1 = sec² x, com x ≠ kπ + kπ, k є Z2

a) sec²x

Resolução: sec2x = 1 + tg2x sec2x = 1 + (– √3)2 sec2x = 1 + 3sec2x = 4sec x = – √4 sec x = -2

No IIQ a secante é negativa, logo tem o mesmo sinal do cosseno.Pelo exposto, a secante de x é –2.

b) cotg x

Resolução:

sen²x cos²x 1sen²x sen²x sen²x

=

2 2cosx 11senx senx

+ =

1cotgxtgx

1cotgx3

1 3cotgx3 33cotgx

3

=

=-

= ⋅--

=

140


( )

2 2

2

2

2

22

2

2

2

cossec x 1 cotg x

3cossec x 13

3cossec x 1

33cossec x 19

1cossec 13

4cossec x34cossec x3

2cossec x3

2 3cossec x3

= +

-= +

-= +

= +

= +

=

=

=

=

1sec xcox

1cosxsec x1cosx21cosx

2

=

=

=--

=

Deste modo, a cotangente de x é √33

- .

c) cos x

Resolução:

Assim, o cosseno de x é – 12

.

d) cossec x

Resolução:


141

1senxcossec x

1senx2 3

33senx 1

2 33 3senx

2 3 33 3senx2 3

3senx2

=

=

= ⋅

= ⋅

=⋅

=

No IIQ a cossecante é positiva, logo tem o mesmo sinal do seno.

Desse modo, a cossecante de x é 2√33

.

e) sen x

Resolução:

E assim, o seno de x é √32

Exemplo 2:

Sabendo-se que 2senx2

= , calcule o valor da expressão2

2

sec x 1ytg x 1

-=

+.

Resolução:Vamos, inicialmente, escrever a expressão em função de sen x e cos x:

142


Como sen²x + cos²x = 1 e assim, 1 – cos²x = sen²x , temos:

Substituindo senx = √22

, temos:

Desta forma, o valor numérico de y é 12

.

y =

2 2

2

2

sen x cos xy1cos x

y sen x

= ⋅

=

1 - cos² x . cos² xcos² x sen² x + cos² x

Exemplo 3: Sabendo que senx = 3

5 e x pertence ao 2º quadrante, calcular:

a) cos x b) tg x c) sec x

2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

2 2 2

sec x 1y tg x 1

1 1cosxy=senx 1cosx

1 cos xcos cos xy=

sen x cos xcos x cos x

1 cos xcos xy=

sen x cos xcos x

1 cos x cos xy=cos x sen x + cos x

-=

+

-

+

-

+

-

+

-⋅

2 2

2

2 2 2 1y2 4 22

= = = =


143

1sec xcos1sec x455sec x4

=

=-

= -

Como o arco está no 2º quadrante, o cosseno é negativo, logo 45

- .

b) tg x

Deste modo, tangente de x corresponde a 34

- .

c) sec x

Assim, secante de x é igual a 54

-

Resolução:

a) Para o cálculo do cos x, aplicamos a primeira relação fundamental:

sen² x + cos² x = 1

cos² x = 1 - sen² x

cos² x = 1 -

cos² x = 1 - 9

cosx =

4cosx5

=

25

235

1625

senxtgxcosx35tgx453tgx4

=

=-

= -

144


4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICASUma igualdade em uma variável x, f(x) = g(x), é uma identidade num

conjunto universo U se, e somente se, a sentença f(a) = g(a) é verdadeira para qualquer valor de a, tal que a є U.

Quando uma igualdade que envolve funções trigonométricas se verifica para todos os valores do domínio de tais funções, chamamos essa igualdade de identidade trigonométrica. Para afirmar que uma igualdade é uma identidade, precisamos demonstrar sua validade, utilizando para isso as relações fundamentais e suas derivadas.

As relações fundamentais, bem como suas derivadas, são identidades trigonométricas.

NOTA

Por exemplo, considerando o domínio das funções, a igualdade sen x • sec x = tg x é uma identidade trigonométrica, pois, independentemente do valor de x, ela se verifica. Para x ≠ π + kπ, k є Z

2, temos:

1 senxcosx cosxsenx · sec x ₌ senx · ₌ ₌ tgx

Já a igualdade sen x + cos x = 1, para x є R, não é uma identidade, pois ela não é verdadeira para todos os valores reais de x. Dizemos que sen x + cos x = 1 é uma equação trigonométrica.

Para demonstrar que uma igualdade é uma identidade, há vários processos. Vejamos dois deles nos exemplos a seguir.

1º) Escolhemos um dos membros da igualdade f(x), geralmente o mais complicado, e a partir dele, obtemos o outro membro g(x), provando que f(x) = g(x).

Exemplo:

Vamos demonstrar que (1 – cos²x) • (cotg²x + 1) = 1, para x ≠ kπ, com k є Z, é uma identidade trigonométrica.


145

2

2

sen xf(x)sen x

f(x) 1

=

=

Resolução:

Considerando f(x) = (1 – cos²x) • (cotg²x + 1) e g(x) = 1, vamos expressar f(x) em função de sen x e cos x:

Lembrando que 1 – cos²x = sen²x , temos

E assim, f(x) = g(x) e, portanto, (1 – cos²x) • (cotg²x + 1) = 1

2º) Partimos do primeiro membro da igualdade e procuramos transformá-lo numa função h(x), por exemplo. Seguidamente, fazemos transformações no segundo membro a fim de torná-lo idêntico à função h(x).

Exemplo 1:

Vamos demonstrar que 2

tgx senxsec x1 tg x

=+

é uma identidade para

x k ,k Z.2π

≠ + π ∈

Resolução:

Definimos 2

tgxf(x)1 tg x

=+

e simplificamos essa expressão.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

22

2 22

2 2

2 22

2

22

2

2

cosxf x 1 cos x 1senx

cos x sen xf x 1 cos xsen x sen x

cos x + sen xf x = 1 cos xsen x

1f x = 1 cos xsen x

1 cos xf xsen x

= - ⋅ +

= - ⋅ +

- ⋅

- ⋅

-=

146


senxg(x)sec xsenxg(x)

1cosx

cosxg(x) senx1

g(x) senx cosx

=

=

= ⋅

= ⋅

E desse modo, definimos h(x) = senx . cos x.

Agora, vamos trabalhar com a expressão senxg(x)sec x

= até obter h(x).

Partindo separadamente de f(x) e g(x), chegamos à mesma função h(x). Logo, h(x) = f(x) = g(x) e, portanto,

2

tgx senx .sec x1 tg x

=+

Exemplo 2:

Vamos demonstrar a identidade sec²x – sen²x = tg²x + cos²x.

Resolução:

Primeiramente:

( )

( )

2

2

2

2

tgxf x1 tg xsenxcosxf xsec xsenxcosxf(x)=

1cos xsenx cos xf(x)cosx 1

f(x) senx cosx

=+

=

= ⋅

= ⋅


147

Definimos 2 4

2

sen x cos xh(x) .cos x

+=

Agora,

g(x) = tg²x + cos² x2

2

2 22

2 2

2 4

2 2

2 4

2

senxg(x) cos xcosx

sen x cos xg(x) cos xcos x cos xsen x cos xg(x)cos x cos xsen x cos xg(x)

cos x

= +

= + ⋅

= +

+=

Como h(x) = f(x) = g(x) e, portanto, sec²x – sen²x = tg²x + cos²x.

Há também outra maneira de demonstrar esta identidade. Observe:

f(x) – g(x) = (sec2x – sen2x) – (tg2x + cos2x) = sec2x – sen2x – tg2x – cos2x = = (sec2x – tg2x) – (sen2x + cos2x) = 1 – 1 = 0 Assim, se f(x) – g(x) = 0, então f(x) = g(x), ou seja, sec²x – sen²x = tg²x + cos²x.

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

2 2

22

22

2 2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 4

f x sec x - sen x

1f x - sen xcosx

1 cos xf x - sen xcos x cos x1 - sen x . cos xf x

cos xsen x cos x - sen x . cos x f x

cos xsen x 1- sen x . cos x

f xcos x

sen x cos x. cos xf xcos x

sen x + cos xf xcos

=

=

= ⋅

=

+=

+=

+=

= 2 x

148

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico exploramos as relações que podemos fazer quando temos funções de mesmo arco, pois elas são o suporte para demonstrar as identidades trigonométricas.

Por este motivo, tenha as relações abaixo discriminadas quando for realizar as autoatividades, com k є Z.

I) cosxcotgx , x ksenx

= ≠ π

II) 1sec x , x kcosx 2

π= ≠ + π

III) 1cossec x , x k

senx= ≠ π

IV) senxtgx , x kcosx 2

π= ≠ + π

V) 2 2sen x cos x 1+ =

VI) 1cotgx , x k

tgx 2π

= ≠ + π

VII) 2 2sec x 1 tg x, x k2π

= + ≠ + π

VIII) 2cossec 2x 1 cotg x, x k= + ≠ π

149

AUTOATIVIDADE

Caro(a) acadêmico(a)! Chegou o momento de praticar seus conhecimentos adquiridos neste tópico.

Caso surgirem dúvidas, utilize os serviços disponibilizados pelo NEAD. Boa atividade!

1 Dado sen x = 34

, com 0 < x < π2

, calcule cos x.

2 Dado cos x = - √3 3

, com π2 < x < π, calcule tg x.

3 Sabendo que cot gx = √3 e π < x < 3π 2

, calcule:

a) cossec xb) sen xc) tg xd) cos x e) sec x

4 Qual o valor numérico da expressão 2

4 2senxMcos x+

= , para 3cotgx e x .2π

= π < <34

5 Quais são os valores de sen x e cos x, sendo senx = –2 cos x e π2 < x < π?

6 Essa questão pode ser vista como um ótimo quebra-cabeça trigonométrico!

Demonstre que as seguintes igualdades são identidades:

a) tg²x • sen²x = tg²x – sen²xb) (1 + cotg x)² + (1 – cotg x)² = 2cossec²x c) cos x • tg x • cossec x = 1 d) (tg x + 1) • (1 – tg x) = 2 – sec²x

150

151

TÓPICO 4

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃOÉ intuitivo pensar que as expressões sen(60° + 30°) e sen60° + sen30°

possuem o mesmo valor, mas isso não é verdade.

Vamos verificar:

sen(60° + 30°) = sen90° = 1

sen60° + sen30° = √3 + 1 = 1 + √3222

Assim, verificamos que sen(60° + 30°) ≠ sen60° + sen30°. Logo, de modo geral, podemos afirmar que:

sen (a + b) ≠ sen a + sen bsen (a – b) ≠ sen a – sen bcos (a + b) ≠ cos a + cos bcos (a – b) ≠ cos a – cos btg (a + b) ≠ tg a + tg btg (a – b) ≠ tg a – tg b

Neste tópico estudaremos o modo correto de calcular sen (a + b) e sen (a – b), bem como outras fórmulas importantes de transformações trigonométricas.

2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS

Dados dois arcos trigonométricos de medida a e b, podemos calcular o seno, o cosseno e a tangente da soma ou da diferença desses arcos através das identidades conhecidas por fórmulas de adição de arcos.

As fórmulas que estudaremos a seguir nos permitem calcular as funções trigonométricas do tipo soma (a + b) ou diferença (a – b) de arcos, representados por números reais.

152


I) sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

II) sen ( a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a

III) cos (a + b) = cos a .cos b - sen a . sen b

IV) cos (a - b) = cos a . cos b + sen a .sen b

V) tg a + tg btg (a + b) = 1 - tg a . tg b

(obedecidas as condições de existência)

VI) -

-+tg a tg btg (a b) =

1 tg a . tg b (obedecidas as condições de existência)

FONTE: A autora

(I) Seno da soma

Dados dois arcos trigonométricos, AM

)

e AN

) de medidas a e a + b,

respectivamente, tracemos as perpendiculares auxiliares, como na figura a seguir:

QUADRO 29 – FÓRMULAS DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS ARCOS

Da figura, podemos observar:

TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

153

POT ≡ SRT, pois SR // OP;

TNR ≡ TOP, pois os triângulos TNR e TOP são semelhantes;

ΔONR ⇒

ΔRUO ⇒ sen a ₌ OUOR

₌ OUcos b

⇒ OU ₌ sen a . cos b

ΔRSN ⇒ cos a ₌ NSNR

₌ NSsenb

⇒ NS ₌ cos a . sen b

Sendo sen ( a+ b) ₌ OV ₌ OU + UV e UV ₌ NS, então:

}sen b ₌ ORON

⇒ NR ₌ sen b

cos b ₌ ORON

⇒ OR ₌ cos b

ˆ ˆ

ˆ ˆ

sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a

Observação: Essa demonstração pode ser repetida para os demais quadrantes, observando as correções de sinais.

(II) Seno da diferença

Esta identidade pode ser demonstrada a partir da identidade (I). Basta fazer

sen (a – b) = sen [a + (-b)]

e aplicar a fórmula do sen (a + b).

(III) Cosseno da soma

A partir da identidade II, podemos demonstrar a identidade III, fazendo

cos (a + b) = sen [90° – (a+b)] = sen [(90° – a) – b].

(IV) Cosseno da diferença

Demonstra-se a identidade (IV) a partir da identidade (III), fazendo

cos (a – b) = cos [a + (-b)].

154


(V) Tangente da soma

Supondo que estejam satisfeitas as condições de existência, podemos escrever:

Aplicando a fórmula do sen (a + b) e cos (a + b), temos:

Dividindo o numerador e o denominador por cos a • cos b, temos:

Portanto:

tg(a + b) ₌

tg(a + b) ₌

tg(a + b) ₌

tg(a + b) ₌

sen a . cos b + sen b . cos acos a . cos b

cos a . cos b - sen a . sen bcos a . cos b

sen a . cos b sen b . cos acos a . cos b cos a . cos bcos a . cos b sen a . sen bcos a . cos b cos a . cos b

+

-

sen a sen bcos a cos bsen a sen bcos a cos b

1 - ∙

+

tg a + tg b

1 - tg a · tg b

tg a + tg b

1 - tg a · tg btg(a + b) ₌

sen (a + b)tg (a + b) = cos (a + b)

sena.cosb + senb.cosatg (a + b) = cosa.cosb - sena.senb


155

(VI) Tangente da diferença

A demonstração é análoga à identidade V.

Exemplo 1:

Calcule o valor de sen 105°.

Resolução:

sen 105° = sen (45° + 60°)

Aplicando a fórmula do seno de uma soma:

sen (45° + 60°) = sen 45° • cos 60° + sen 60° • cos 45°

Exemplo 2:

Encontre o valor de cos 75°.

Resolução:

cos 75° = cos (45° + 30°)

Aplicando a fórmula do cosseno de uma soma:

cos (45° + 30°) = cos 45° • cos 30° – sen 45° • sen 30°

⋅ ⋅2 1 3 2sen(45° + 60°) = +

2 2 2 2

2 6sen(45° + 60°) = +4 4

2 + 6Assim, o seno de 105° é 4

⋅ ⋅2 3 2 1cos(45° + 30°) = -

2 2 2 2

6 2cos(45° + 30°) = -4 4

6 - 2Desse modo, o cosseno de 75° é .4

156


Exemplo 3:

Sabendo que tg a = 15

e tg b = 110

, calcule tg (a – b).

Resolução:

Usando a fórmula da tangente da diferença de dois arcos:

Assim, a tangente de a – b é 551

.

Exemplo 4:

Calcule sec 285°.

Resolução:

⋅tg a - tg btg (a - b) =

1 + tg a tg b

tg (a - b) ₌

tg(a - b) =

tg(a - b) ₌

⋅1 50tg(a - b) =10 51

5tg(a - b) =51

1 - 1 5 10

1 + ∙1 1 5 10

5050 50

1+

10 10- 12

1105150


157

Portanto, o valor da secante de 285° é √6 + √2 .

3 ARCO DUPLO E ARCO METADEArco duplo

As fórmulas de duplicação de arcos decorrem das fórmulas de adição, sua utilização permite simplificar cálculos.

Seno do arco duplo

Podemos escrever sen 2a como sen (a + a) e aplicar a fórmula de adição:sen (a + a) = sen a • cos a + sen a • cos a, logo:

sen 2a = 2 sen a • cos a

Cosseno do arco duplo

Podemos escrever cos 2a como cos (a + a) e aplicar a fórmula de adição:cos (a + a) = cos a • cos a – sen a • sen a, logo:

cos 2a = cos2 a – sen2 a

sec285° = sec75°

1sec285° =cos(45° + 30°)

1sec285° =6 - 2

4

4sec285° =6 - 2

sec285° = 6 + 2

158


2 2

2 2

22

2

2

2

sen x cos x 1sen x 1 cos x

4sen x 15

16sen x 125

9sen x25

3sen x5

+ =

= -

= -

= -

=

=

Ou seja:

Exemplo: Calcule os valores de sen 2x, cos 2x e tg 2x, tendo conhecimento de que cos

x = 45

e que 0 < x < π2

.

Resolução:

Primeiramente, vamos encontrar o valor de sen x.

Lembre-se de que o seno é positivo no 1º quadrante.

Como sen 2x = 2sen x • cos x, então:

E cos 2x = cos2x – sen2x, então:

sen2x ₌ 2 . .

24sen2x25

=

3 45 5

tg a + tg a

1 - tg a · tg atg(a + a) ₌

Tangente do arco duplo

Escrevendo tg 2a como tg (a + a), considerando as condições de existência e aplicando a fórmula de adição, temos:

2

2tg atg(2a) =1 - tg a


159

Por fim,

tg2x ₌

6 16tg2x4 724tg2x7

= ⋅

=

64916

1-

Arco metade

O arco metade nos possibilita associar um arco a com um arco a2

e sua utilização permite simplificar outros cálculos.

Vejamos as demonstrações das fórmulas que nos permitem calcular sen a2

, cos a

2 e tg a

2, sendo a um número real.

( ) 2

2

2

2tgxtg 2x1 tg x

senx2cosxtg2x= senx1cosx3542.5tg2x= 35415

=-

-

-

( ) 2

2

2

2tgxtg 2x1 tg x

senx2cosxtg2x= senx1cosx3542.5tg2x= 35415

=-

-

-

2 24 3cos2x5 5

16 9cos2x25 257cos2x25

= -

= -

=

160


Arco metade de seno

E com isso

E assim,

+=±

1 coscos 2 2a a

= -

= - -

= -

2 2

2 2

2

a aComo cos 1 sen 2 2

Temosa acos a 1 sen sen 2 2

acos a 1 2sen 2

= -2 2a aSabemos que cos a cos sen .2 2

-=±

1 cossen 2 2a a

= -

= - -

2 2

2 2

a aComo sen 1 cos 2 2

a acosa cos 1 cos2 2

= -2 acosa 2 cos 1 2

2 2

a acosa = cos2 2a acosa = cos - sen2 2

+

Arco metade de cosseno

Sabendo que a = a2

+ a2

, podemos escrever:


161

Arco metade da tangente

Sabemos que:

Portanto, podemos escrever:

=

-±

=+

±

asen a 2tg a2 cos2

1 cosa

senxtgx = c

a 2tg2 1 c

osx

osa2

-= ±

+a 1 cosatg 2 1 cosa

Podemos obter o arco metade de senos e cossenos sem ter que memorizar novas fórmulas. Basta usar adequadamente as fórmulas alternativas de cos 2a, lembrando que, se 2a é o arco duplo de a, então a é o arco metade de 2a. O arco metade de tangentes é obtido a partir da própria fórmula da tangente.

ATENCAO

Exemplo:

Dado 3cos 302

° = , encontre os valores de:

a) sen 15°

Resolução:

162


Portanto, o valor do sen de 15° é 2 32- .

b) cos 15°

a 1 cos asen 2 2

-= ±

312sen 15

2

2 3 1sen15° = .2 2

2 3sen15° = 4

-° =

-

-

2 3sen 152-

° =

30 1 cos 30sen 2 2

° - °=

Resolução:

Desta maneira, o valor do cosseno de 15° é 2 32+ .

a 1 cos acos 2 2

+= ±

30 1 cos 30cos 2 2

° + °=

312cos 15

2

+° =

2 3cos 152+

° =


163

c) tg 15°

Resolução:

30 1 cos30°tg 2 1 cos 30°

° -=

+

1 2tg 15

1

3

32

-° =

+

2 32tg 15

2 32

-

° =+

2 3tg 15 = .2 3

-°

+

a 1 cosatg 2 1 cosa

-= ±

+

Assim, o valor da tangente de 15° é 2 3 .2 3

-

+

4 FÓRMULA DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTOFazendo algumas transformações de somas e diferenças de funções

trigonométricas, podemos escrevê-las em forma de produto, isso é útil para poder realizar simplificações na resolução de equações trigonométricas.

Já vimos que:

(I) sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a(II) sen (a – b) = sen a • cos b – sen b • cos a(III) cos (a + b) = cos a • cos b – sen a • sen b(IV) cos (a – b) = cos a • cos b + sen a • sen b

Se calcularmos (I) + (II), (I) – (II), (III) + (IV) e (III) – (IV) vamos obter as fórmulas de Werner, que são:

164


sen (a + b) + sen (a – b) = 2 • sen a • cos bsen (a + b) – sen (a – b) = 2 • cos a • sen bcos (a + b) + cos (a – b) = 2 • cos a • cos bcos (a + b) – cos (a – b) = - 2 • sen a • sen b

Se aceitarmos que a + b = x e a – b = y, podemos resolver o sistema:a + b = x x + y x - y a= e b=a - b = y 2 2

⇒

Substituindo esses valores nas fórmulas de Werner, encontramos as fórmulas de transformação em produto, ou prostaférese, no quadro a seguir:

FONTE: A autora

QUADRO 30 – FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO, OU PROSTAFÉRESE

x y x ysenx seny 2.sen .cos2 2

x y x ysenx seny 2.cos . sen 2 2

x y x ycosx cos y 2 .cos . cos2 2

x y x ycosx cos y 2 .sen . sen2 2

+ -+ =

+ -- =

+ -+ =

+ -- = -

( )

sen y sen x .cos y sen y .cosxsen xtg x tg y cosx cos y cosx .cos y

ou

sen x + y tg x + tg y =

cosx . cosy

++ = + =


165

Exemplo:

Transforme em produto:

a) sen 60° + sen 30°

Resolução:

( )

sen y sen x .cos y sen y .cosxsen xtg x tg y cosx cos y cosx .cos y

ou

sen x - y tg - tg y =

cosx

E

y

,

. cos

-- = - =

b) cos 70° – cos 10°

Resolução:

60 30 60 30 sen 60 sen 30 2 . sen .cos 2 2

sen 60 sen 30 2 . sen 45 . cos15

2 2 3sen 60 sen 30 2 . . 2 2

2 . 2 3sen60° + sen30° = 2

° + ° ° - °° + ° =

° + ° = ° °

+° + ° =

+

70 10 70 10 cos 70 cos 10 2 . sen . sen 2 2

cos 70 cos 10 2 . sen 40 . sen601cos 70 cos 10 2 . sen 40 . 2

cos 70 cos 10 sen 40

° + ° ° - °° - ° = -

° - ° = - ° °

° - ° = - °

° - ° = - °

166


c) sen 3x – sen x

Resolução:

3x x 3x xsen 3x senx 2sen cos2 2

sen3x senx = 2senx cos2x

- +- =

-

5 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE TRIGONOMETRIAPoderíamos fazer outro Caderno de Estudos só discutindo este tema,

pois, como já foi visto na introdução da Unidade I, este conteúdo matemático é utilizado em muitos outros campos, como na eletricidade, mecânica, acústica, música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, navegação marítima e aérea, cartografia, entre outros.

Este fato nos permite criar várias estratégias de ensino. Como exemplo, apresento um plano de aula sobre as Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, que tem a possibilidade de ser trabalhado tanto com a 8ª série (9º ano) do Ensino Fundamental como com o 1º ano do Ensino Médio, de forma mais reduzida.

PLANO DE AULA

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo.Conteúdo: SenoSérie: 8ª série ou 9º ano do Ensino Fundamental/1º ano do Ensino Médio.Cronologia: 90 minutos (duas aulas).Objetivos:

- compreender o que é seno;- aplicar essa definição na resolução de exercícios e situações-problemas no

triângulo retângulo;- encontrar o valor do seno de um ângulo, mediante o uso de uma tabela/

calculadora e vice-versa.

Recursos: Régua, compasso, transferidor, calculadora, tabela trigonométrica,retroprojetor ou data-show, lousa e giz.Metodologia: Questionar quem já viu a construção de uma casa e, partindo da questão inicial, abrir para outras questões:

• Por que a estrutura do telhado é triangular? (“conforto ambiental”: absorção da energia solar minimiza a ação da chuva, do vento, dos raios solares).

• Como o carpinteiro sabe qual deve ser a inclinação do telhado?• A inclinação do telhado depende do tipo de telha?


167

A seguir temos os tipos mais comuns. As informações foram retiradas de um encarte especial da revista Arquitetura & Construção (reproduzir em retroprojetor ou data-show).

FIGURA 5 – EXEMPLOS DE TELHAS E SUAS INCLINAÇÕES

FONTE: TELHADOS sem segredos. Arquitetura & Construção, São Paulo, p. 28- 29, ago. 2002. Encarte especial.

Observar com os alunos que aqui a inclinação é dada em porcentagem.

Na prática fica mais fácil para o pedreiro/carpinteiro, que usa o seguinte critério:

Ex.: Na telha americana – 36%36% de um metro, que significa utilizar para cada metro de largura 0,36

metro ou 36 centímetros de altura.

Alguns exemplos de telhados e suas inclinações:

168


FIGURA 6 – EXEMPLOS DE TELHADOS

FONTE: TELHADOS sem segredos. Arquitetura & Construção, São Paulo, p. 30, ago. 2002. Encarte especial.

A partir disso, propor uma situação-problema que necessite da razão seno para sua resolução.

Exemplo: Para construir uma casa com telhado tipo colonial, o carpinteiro utiliza o seguinte critério: a cada metro linear ele sobe 25 centímetros. Sabendo que a casa mede 6 metros de largura mais 40 centímetros de beiral em cada lado, calcule a inclinação do telhado.


169

Criado o interesse do aluno, introduzir a definição da razão seno.

Consideremos a figura acima um triângulo retângulo ABC, no qual vamos destacar a hipotenusa BC e os catetos AB e AC .

Se tomarmos como referência o ângulo B, podemos escrever:

- AC é o cateto oposto ao ângulo B- AB é o cateto adjacente ao ângulo B

Agora, sobre um dos lados da rampa marcamos os pontos M e N e por esses pontos traçamos perpendiculares sobre o outro lado.

Por semelhança de triângulos podemos notar que:ΔBOM ~ ΔBPN ~ ΔBAC

Podemos, então, estabelecer as seguintes razões:

OM PN AC= = = kMB NB BC

Essa constante k é chamada de seno do ângulo agudo B e representa a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo B e a medida da hipotenusa em qualquer triângulo retângulo.

170


Assim temos:

medida do cateto oposto ao ângulo BSen B = medida da hipotenusa

∧

Voltando ao problema:

Vimos que para encontrar o ângulo de inclinação, precisamos da medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa. Como não temos essas informações, precisamos encontrá-las.

A largura do telhado:6 m + 2 • 40 cm ou6 m + 2 • 0,40 m = 6 + 0,80 = 6,8 m

A altura do telhado: 1 metro linear – 25 centímetros de altura ou1 metro linear – 0,25 metros de altura

Utilizando a regra de três, obtemos a altura do telhado.

A altura do telhado é o cateto oposto: AC = 1,7 metros

Para calcular o ângulo B, precisamos encontrar também a hipotenusa, que podemos encontrar através do teorema de Pitágoras, já estudado.

2 2 2BC = AB + AC

Um dos catetos será a altura e o outro a metade da largura do telhado (3,4 metros):

1 0,25= 6,8 xx = 6,8 . 0,25x = 1,7


171

Então a hipotenusa mede aproximadamente 3,8 metros.

Agora aplicamos na razão antes demonstrada.

≅

2 2 2

2 3 2

2

2

BC = AB + AC

BC = 3,4 + 1,7

BC = 11,56 + 2,89

BC = 14,45

BC = 14,45

BC 3,8

Para encontrar o ângulo correspondente a essa razão recorremos às tabelas trigonométricas (no quadro 8) ou a uma calculadora científica. Procuramos na tabela o valor de seno encontrado e obtemos o ângulo de inclinação do telhado, que nesse caso é de aproximadamente 27°.

Atividade:

Utilizando os conceitos que você acabou de aprender, encontre o grau de inclinação dos telhados para os seguintes tipos de telhas:

a) Francesa, para uma casa de 9 metros de largura mais 50 centímetros de beiral.b) Italiana, para um telhado de 8 metros de largura.c) Romana, para um prédio de 15 metros de largura mais 0,5 metro de beiral.d) Japonesa, para uma residência com 12 metros de largura mais 1 metro de beiral.

∧

∧

∧

≅

≅

ACsenB =BC1,7senB3,8

sen B 0,45

172



JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768-1830)

Matemático e físico francês que desenvolveu trabalhos matemáticos, como a teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas que fora iniciada por Newton. Esse e tantos outros trabalhos fizeram de Fourier um matemático de destaque do século XIX.

Em 1822, Fourier lançou sua obra mais notável, a Théorie Analytique de la Chaleur, cujos estudos haviam sido iniciados em 1807. Em seu livro, ele dedica toda uma seção à solução do problema do desenvolvimento de uma função qualquer em série de senos e cossenos de arcos múltiplos. Generalizou o procedimento, partindo

de um caso específico para empregá-lo em qualquer caso.

Fourier deu um passo decisivo, ao usar indiferentemente os símbolos de integração e o de somatória infinita, que conduziu às chamadas séries de Fourier.

Coube a Fourier o mérito de haver criado esse instrumento matemático, de extraordinária fecundidade, com o qual as funções periódicas descontínuas pudessem ser apresentadas através de funções contínuas.

FONTE: E-cálculo. Mapa da história: Gauss. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/fourier.htm>. Acesso em: 10 jul. 2010.

173

RESUMO DO TÓPICO 4

Neste tópico estudamos como podemos realizar transformações nas funções trigonométricas, para poder simplificar os cálculos. São elas:

1) Adição e Subtração de Arcos:

• sen (a + b) = sen a • cos b + sen b • cos a

• sen (a – b) = sen a • cos b – sen b • cos a

• cos (a + b) = cos a • cos b – sen a • sen b

• cos (a – b) = cos a • cos b + sen a • sen b

• tg (a + b) = tg a + tg b

1 - tg a . tg b (obedecidas as condições de existência)

• tg (a – b) = tg a - tg b1 + tg a . tg b

(obedecidas as condições de existência)

2) Fórmula de arco duplo:

• sen 2a = 2 sen a • cos a

• cos 2a = cos2 a – sen2 a

• tg 2ª 2

2 . tg a1 tg a-

3) Fórmula do arco metade:

a 1 - cos asen = ±2 2

a 1 + cos acos = ±2 2

a 1 cos atg 2 1 cos a

-= ±

+

•

•

•

174

4) Fórmula da transformação em produto:

x + y x - ysenx + seny = 2 . sen . cos2 2

x + y x - ysenx - seny = 2 . cos . sen 2 2

x + y x - ycosx + cosy = 2 . cos . cos2 2

x + y x - ycosx - cosy = - 2 . sen . sen2 2

( )

( )

sen x + ytgx + tgy =

cosx . cosy

sen x - ytg - tg y =

cosx . cosy

•

•

•

•

•

•

175

Prezado(a) acadêmico(a)! Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos e definições estudadas neste tópico.

1 Utilizando as fórmulas de adição ou subtração de arcos, calcule:

a) sen 135°b) cos 15°c) tg 75°d) cos 225°e) sen 195°f) tg 105°

2 Sabendo que cos x = 15

e x є 1º quadrante, calcule:

a) sen 2xb) cos 2xc) tg 2x

3 Sabendo que senx = 4-5

e x є 3º quadrante, determine:

a) sen 2xb) cos 2xc) tg 2x

4 Dado cos a = 12

, com 0 < a < π_2 , calcule cos a_5.

5 Sabendo que sen a = 12

, com 0 < a < π_2 , determine sen 1_2.

6 Transforme em produto:

a) sen 90° + sen 30°b) sen 80° – sen 40°c) cos 35° – cos 25°d) 1 + cos 40°

AUTOATIVIDADE

176

177

UNIDADE 3

NÚMEROS COMPLEXOS


PLANO DE ESTUDOS

A partir desta unidade você será capaz de:

• compreender as necessidades que, matematicamente, conduziram à ideia de números complexos, utilizando-os na elaboração de argumentos con-sistentes nas mais variadas situações;

• identificar as diferentes representações dos números complexos, ou seja, algébrica, gráfica e trigonométrica;

• efetuar operações algébricas com números complexos e interpretá-las ge-ometricamente.

Nesta unidade de ensino, a abordagem dos números complexos está dividi-da em quatro tópicos, nos quais se apresentam a história do surgimento deste conjunto numérico, suas características, suas diferentes representações, bem como a resolução das operações básicas. Ao término de cada unidade você encontrará atividades que o(a) auxiliarão na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoavaliações solicitadas.

TÓPICO 1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

TÓPICO 2 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA TÓPICO 3 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

TÓPICO 4 – FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

178

179

TÓPICO 1

CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOA história dos números complexos reforça a ideia de que a matemática não

é obra de um só homem. Apesar de Gauss e Argand receberem os créditos por terem sido os que conseguiram expor uma interpretação geométrica dos números complexos, vários matemáticos contribuíram para esta descoberta. Veja quão fascinante é esta história.

Desde a Antiguidade, os matemáticos indianos e árabes, quando se deparavam com a raiz quadrada de um número negativo, consideravam o problema completamente sem sentido. Quando, no século XVI, essa mesma questão começou a aparecer em textos algébricos, os matemáticos continuavam frisando que essas expressões não possuíam significado e utilizavam termos como “fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para mencioná-las.

Até mesmo o importante matemático alemão Leibniz, um dos inventores

do cálculo diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um certo caráter metafísico, interpretando-a como uma manifestação do “Espírito Divino”. O mesmo incidiu com o matemático suíço Lenhard Euler.

Atualmente, muitos livros relacionam a descoberta dos números complexos à necessidade de resolver um problema com que nos deparamos quando, ao buscarmos uma solução para uma equação do 2º grau, encontramos um valor negativo de Delta (Δ = b2 – 4ac).

Porém, investigações apontam que este estudo se iniciou quando Cardano,

no século XVI, ao tentar resolver a equação cúbica x3 = 4 + 15x, a qual ele sabia ter raiz verdadeira x = 4, constatou que no processo de resolução obtinha a seguinte expressão:

3 3x = 2 + -121 + 2 - -121

Foi quando encontrou o termo -121 , que o impediu de dar continuidade ao cálculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4.

Foram necessários mais de 25 anos para que o matemático Bombelli encontrasse uma forma de resolver o impasse. Esse disse ter tido a “ideia louca” de operar com as quantidades da forma a + b i sob as mesmas regras que se

UNIDADE 3 | NÚMEROS COMPLEXOS

180

vusa com os números reais, mais a propriedade ( )2-1 = - 1 , para assim conseguir

resolver a expressão de Cardano, fazendo-a produzir o desejado x = 4.

Mas, os complexos não foram aceitos naturalmente como números, pois não havia significado geométrico em uma raiz quadrada de um número negativo. O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado.

Após muito estudar as leis algébricas que regem o cálculo com as quantidades a + b i , Bombelli divulgou na sua obra L’Algebra que as quatro operações aritméticas sobre números complexos produzem números complexos e que a soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só nome.

Partindo do estudo de Bombelli, outros matemáticos colaboraram para a aceitação dos complexos que conhecemos hoje, entre eles:

• Lambert e Euler - estudaram o fechamento dos números complexos sob operações algébricas e transcendentes;

• Wessel - introduziu representação geométrica dos números complexos;• Argand e Gauss - divulgaram e modernizaram a representação de Wessel e

Gauss provou que os números complexos são necessários e suficientes para a Álgebra através do Teorema Fundamental da Álgebra;

• Ohm e Cauchy - elucidaram a multivocidade das operações algébricas e transcendentes sobre os complexos.

Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente e a terminologia inicial (números sofísticos em 1570 e números imaginários em 1650) acabou cedendo lugar à denominação atual: números complexos, em 1830.

Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes de inúmeros campos da Ciência e Tecnologia. Atualmente, é impossível imaginar a engenharia elétrica, a aerodinâmica, a dinâmica dos fluidos, a mecânica quântica e a teoria da relatividade sem os números complexos.

2 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOSVamos recordar os conjuntos numéricos que já conhecemos. Inicialmente,

temos o Conjunto dos Números Naturais (N), que surgiu com a necessidade da contagem.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Para atender a todas as subtrações, tornando-as sempre possíveis, esse conjunto foi ampliado e obtivemos o Conjunto dos Números Inteiros.

Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

TÓPICO 1 | CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

181

Da mesma forma, para atender à divisão, esse último conjunto foi ampliado e obtivemos o Conjunto dos Números Racionais, que podem ser escritos em fração com o numerador e denominador inteiros.

aQ x , com a ,b e b 0b

= = ∈ ∈ ≠

Mesmo com todas estas ampliações, alguns problemas não possuem solução nestes conjuntos numéricos. Por exemplo, a diagonal de um quadrado de lado medindo 1 cm.

Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos que a diagonal é igual à 2 cm, que é um número decimal que não pode ser escrito na forma a_b, com a є Z, b є Z e b ≠ 0. Logo, esse novo tipo de número é chamado de Número Irracional (Ir).

Da união dos Conjuntos dos Números Racionais e dos Irracionais surgem

os Números Reais (R).

R = Q ∪ Ir

Porém, sabemos que ainda existem problemas que não encontramos solução no Conjunto dos Números Reais. Um exemplo disto é a equação x2 + 3 = 0, pois:

2

2

x 3 0x 3

x = 3

+ =

= -

± -

e não existe um número que elevado ao quadrado resulte em -3. Com o intuito de responder a questões que em sua resolução apresentam raízes quadradas de números negativos, é que o Conjunto dos Números Reais foi estendido para obter um novo conjunto, chamado de Conjunto dos Números Complexos.

O Conjunto dos Números Complexos é representado pelo símbolo C, cujos elementos – os números complexos – podem ser somados, multiplicados e possibilitam a extração da raiz quadrada de um número negativo. Esse conjunto pode ser assim definido:

C = {z | z = a + bi, com a ∈ R, b ∈ R e i² = -1}

onde z é o número complexo, a é a parte real de z e b é a parte imaginária de z.


182

Para ampliar o conceito de números, de modo que a radiciação seja sempre possível, definimos o número não real i, chamado unidade imaginária, que satisfaz a condição:

i2 = i • i = -1

2.1 A UNIDADE IMAGINÁRIA

A denominação “imaginário” pode ser entendida como um recurso imaginativo da mente humana, visto que não existe um número “real” que elevado ao quadrado resulte em um número negativo.

UNI

Um número complexo é atualmente definido como um par ordenado (a, b), com a,b є R, que satisfaz as seguintes condições:

(a,b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) • (c, d) = (ac – bd, ad +bc)

Porém, um número complexo também pode ser escrito na forma a + bi, que é chamada de forma algébrica, que é a mais utilizada no cálculo, por ser a mais prática.

Um número complexo costuma ser indicado por z e, sendo z = a + bi, o número a é chamado de parte real de z, b é a parte imaginária de z e i é a unidade imaginária. Por exemplo, no número complexo z = 3 – 7i, a parte real é 3 e a parte imaginária é – 7.

3 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS


183

Exemplo:

Nos números complexos (z) a seguir, determine qual é a parte real (a) e qual é a parte imaginária (b).

a) z = 1 + 3i, onde a = 1 e b = 3b) z = -4 – i, onde a = -4 e b = -1c) z = 6i, onde a = 0 e b = 6d) z = 11, onde z = 11 e b = 0e) z = 3 + 0,8i, onde a = 3 e b = 0,8

Observações:• quando a ≠ 0 e b ≠ 0, temos z = a + bi e o número complexo é chamado de imaginário.• quando a = 0 e b ≠ 0, temos z = 0 + bi = bi e o número complexo é chamado de imaginário puro.• quando b = 0, temos z = a + 0i = a e o número complexo, neste caso, identifica-se com o número real a. Portanto, podemos considerar o complexo para qual b = 0 como um número real, o que nos permite afirmar que ⊂ ( leia-se: o conjunto dos reais é um subconjunto dos complexos).

NOTA

Outros exemplos que envolvem Números Complexos:

1) No conjunto dos números complexos, resolva as equações:

a) x² + 144 = 0

Resolução:

( )

2

2

x + 144 = 0x = -144

x = ± -144

x = ± 144 . -1

x = ± 144 . -1x = ±12 . i


184

Assim, o conjunto solução da equação é S = {-12i, +12i}.

b) x² – 6x + 13 = 0

Resolução:

Aplicando a fórmula para equações de 2º grau com a = 1, b = -6 e c = 13, temos

Assim, o conjunto solução da equação é S = {3 – 2i, 3 + 2i}.

2) Calcule o valor de m para que z = 3m – 6 + (m + 2)i seja:

a) imaginário;b) imaginário puro; c) real.

2

2

= b - 4ac = (- 6) - 4 . 1 . 13 = 36 - 52 = - 16

∆

∆∆∆

- b ± x = 2a

- (-6) ± -16x = 2 . 1

6 ± 16 . (-1)x =

26 ± 4 -1x =

26 ± 4ix =

2

∆6 + 4ix' = = 3 + 2i

2

6 - 4i x" = 3 - 2i2

=

Então

Resolução:

a) Para que z seja imaginário devemos ter:

Assim, z é imaginário se m for diferente de -2 e de 2.

b) Para que z seja imaginário puro devemos ter:

3m - 6 0 3m 6 e m + 2 0 m 2 m -2

≠≠ ≠≠ ≠

3m - 6 = 0 3m = 6 e m + 2 0 m = 2 m -2

≠≠


185

m 2 0 m = -2

+ =

Assim, z é imaginário puro se m for igual a 2 e diferente de -2.

c) Para que z seja real devemos ter:

Assim, z é real se m = -2.

Dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + di, são iguais se, e somente se, a = c e b = d. Em símbolos:

a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d

Em particular: Se a + bi = 0, então, a = 0 e b = 0.

4 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS

Não é definida a relação de ordem para os elementos dos complexos, ou seja, não se define que um número complexo é maior ou menor que outro.

NOTA

Exemplo:

Se z1= 8 + 10i e z2 = 2x – 5yi e z1 = z2, determine o valor de x e y.

Resolução:

z1= 8 + 10i, então a = 8 e b = 10.z2 = 2x – 5yi, então c = 2x e d = -5y.

Como z1 = z2, então a = c e b = d.

Portanto, podemos escrever:

2x = 8 e - 5y = 10 x = 4 y = -2


186

O oposto de um número complexo z = a + bi é o número complexo -z = -a – bi. Vale lembrar que um número complexo adicionado ao seu oposto é igual a zero, isto é, z + (– z) = 0.

z = a + bi ⇒ -z = -a – bi

Exemplos:

1) O oposto de z = -2 + 5i é o número complexo -z = 2 – 5i.2) O oposto de z = 3 – 7i é o número complexo -z = -3 + 7i.3) O oposto de -z = -1 – 4i é o número complexo z = 1 + 4i.

5 OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

6 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXODado um número complexo z = a + bi, define-se como complexo conjugado

de z o complexo z = a – bi

z a bi z a bi= + ⇒ = -

Exemplos:

1) z = 4 + 5i ⇒ z = 4 – 5i2) z = -3 – 2i ⇒ z = -3 + 2i3) z = 8i ⇒ z = -8i4) z = 10 ⇒ z = 10

Observe que dois números conjugados têm, respectivamente, partes reais iguais e partes imaginárias opostas.

NOTA

187

RESUMO DO TÓPICO 1

Neste tópico você estudou as características de um “novo” conjunto numérico, o conjunto dos números complexos.

Sobre o conjunto dos números complexos, é importante destacar:

• O conjunto dos números complexos é representado pelo símbolo .

• A unidade imaginária i obedece à condição: i2 = i • i = -1.

• O número complexo é expresso algebricamente na forma z = a + bi, onde a é chamado de parte real de z, b é a parte imaginária de z e i é a unidade imaginária.

• Quando a e b forem diferentes de zero, o número complexo é chamado de imaginário, apresentando a forma algébrica z = a + bi.

• Quando a for zero e b for diferente de zero, o número complexo é chamado de imaginário puro, apresentando a forma z = bi.

• Quando b for zero, o número complexo será um número real, apresentando a forma z = a.

• Para que dois números complexos sejam denominados iguais, eles precisam obedecer à condição: a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d.

• Se z = a + bi é um número complexo, então seu oposto é -z = -a – bi.

• O conjugado de um número complexo z = a + bi é o complexo z = a – bi.

188

AUTOATIVIDADE

Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades referentes aos conceitos de números complexos, estudados neste tópico. Mãos à obra!

1 Para cada número complexo a seguir, qual o valor da parte real e da parte imaginária?

2 Resolva as seguintes equações, sabendo que U = C.

a) x² - 4x + 8 = 0b) x² - 2x + 5 = 0

3 Determine o valor de x e y nas igualdades:

a) 3 + 5yi = x – 10ib) (1 – x) + (3 – y)i = 4 + 6i

4 Dados os números complexos z1= 3 + 4i e z2 = a + bi, sendo que z1 = z2, defina o valor de a e b.

5 Escreva o conjugado dos seguintes números complexos:

a) z = -i – 3b) z = 5i + 8c) z = -12i d) z = 6i – 4

6 Qual o oposto do conjugado do número complexo z = 3 + 10i?

a) z 7 5i1b) z 3i4

c) z 3 5id) z 0

= -

= - +

= -=

189

7 Considerando o número complexo z = (a – 5) + (b2 – 36)i, determinar os números reais a e b de modo que z seja:

a) um número real;b) um número imaginário puro.

8 Seja z = a + bi, com {a, b} ⊂ R, demonstre que z = z, ∀z є C.

190

191

TÓPICO 2

OPERAÇÕES COM NÚMEROS

COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOVocê já deve ter estudado sobre a origem dos números e os tipos de

marcações (dedos, pedras, nós em cordas, marcas em ossos) que nossos ancestrais utilizavam para contar. Levou algum tempo e muitas modificações até obtermos a forma de números que conhecemos hoje, compostos pelos algarismos indo-arábicos.

Essa “evolução” dos números ocorreu para facilitar o cálculo das atividades

cotidianas, ou seja, para operar os números com mais agilidade.

Com os números complexos não poderia ser diferente. Portanto, neste tópico iremos aprender as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como a potenciação desse conjunto numérico.

2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOSDados dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + di, definimos:

• Adição: z1 + z2 = a + bi + c + di

E assim

1 2z + z = (a + c) + (b + d)i

• Subtração: z1 – z2 = z1 + (-z2) = a + bi + (-c – di) = a + bi – c – di

1 2z - z = (a - c) + (b - d)i

192


Cuide com os sinais quando a, b, c ou d forem negativos. Por exemplo, se z

1 = -1 + 5i e z

2 = 3 – 4i.

Adição: (-1 + 3) + (5 + (-4))i = 2 + (5 – 4)i = 2 + i. Subtração: (-1 – 3) + (5 – (-4))i = -4 + (5 + 4)i = -4 + 9i.

NOTA

Exemplo: Vamos efetuar as seguintes adições e subtrações com números complexos:

a) (2 + 3i) + (-5 + i)(2 – 5) + (3 + 1)i = -3 + 4i

b) (6 – 7i) + (9 – 3i)(6 + 9) + (-7 – 3)i = 15 – 10i

c) (4 + 5i) + (2 – 5i)(4 + 2) + (5 – 5)i = 6

d) (4 + 9i) – (3 – i)(4 – 3) + (9 + 1)i = 1 + 10i

e) 13 – (5 + 6i) – 2i – (8 + 4i)(13 – 5 – 8) + (-6 – 2 – 4)i = 0 + (-12)i = -12i

O Conjunto dos Números Complexos, conforme já exposto, é uma extensão do Conjunto dos Números Reais. Portanto, ao definir a adição em C, as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elemento oposto são preservadas.

ATENCAO

As seguintes propriedades são válidas para ∀z1,z2,z3 ∈ C:

Propriedade Associativa:

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

TÓPICO 2 | OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA

193

Propriedade Comutativa:

z1 + z2 = z2 + z1

Propriedade do Elemento Neutro:

z + e = e + z = z

Denominamos o número complexo e = 0 + 0i de elemento neutro da adição de números complexos.

Propriedade do Elemento Oposto:

z + (-z) = (-z) + z = e

Para cada número complexo z existe um número complexo -z, que é oposto de z, cuja soma com z resulta no elemento neutro e = 0 + 0i.

3 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXOA multiplicação de números complexos segue a mesma regra de multiplicação

de polinômios, considerando a condição da unidade imaginária, i2 = -1.

Vejamos o produto de dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + d:

z1 • z2 = ac + adi + bci + bdi2

z1 • z2 = ac + (ad + bc)i + bd • (-1)z1 • z2 = ac – bd + (ad + bc)iz1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

Portanto, podemos afirmar que a multiplicação de dois números complexos é dada por:

z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

1 2z . z (a + bi) . (c + di)=

Sentindo dificuldades para aplicar a fórmula da multiplicação de números complexos, pode-se simplesmente desenvolver a propriedade distributiva, conforme realizado na dedução da fórmula.

ATENCAO

194


Exemplo 1:

Resolva as multiplicações que envolvem números complexos:

a) (2 + 4i) • (3 + 2i)b) (3 + 2i)²

c) 1 1i . 2i3 2

+ -

Resolução:

a) Pela propriedade distributiva:(2 + 4i) • (3 + 2i) = 6 + 4i + 12i + 8i² = 6 + 16i + 8 • (-1) = -2 + 16i

Utilizando a fórmula de multiplicação de complexos:(2 + 4i) • (3 + 2i) = (2 • 3 – 4 • 2) + (2 • 2 + 4 • 3)i = -2 + 16i

b) Pela propriedade distributiva:(3 + 2i)² = (3 + 2i) • (3 + 2i) = 9 + 6i + 6i + 4i² = 9 + 12i + 4 • (-1) = 5 + 12i

Utilizando a fórmula de multiplicação de complexos:(3 + 2i)² = (3 + 2i) • (3 + 2i) = (3 • 3 – 2 • 2) + (3 • 2 + 2 • 3)i = 5 + 12i

c) Pela propriedade distributiva:

( )21 1 1 2i i 1 4i 3i 1 i 12 13 ii . 2i 2i 2 . -13 2 6 3 2 6 6 6 6 6 6 6 6

+ - = - + - = - + - = - + = -

Utilizando a fórmula de multiplicação de complexos: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 13 ii . 2i . 1. ( 2) + . (-2) + 1 . i = 2 - i = 3 2 3 2 3 2 6 3 2 6 6

+ - = - - + + + -

Exemplo 2:

Escreva o conjugado do número complexo z = (2 + 5i) • (2 – 5i) – (9 + i).

Resolução:

z = (2 + 5i) • (2 – 5i) – (9 + i)z = 2 • 2 + 2 • (-5)i + 5i • 2 – 25i2 – 9 – i z = 4 – 10i + 10i – 25 • (-1) – 9 – iz = 4 + 0i + 25 – 9 – iz = 20 – iE seu conjugado é z = 20 + i.


195

Exemplo 3:

Efetue ( )( )2 3i 1 2i+ - .

( )( ) ( ) ( )22 i 1 i 2 i + - 6i 2 2i + 3i 6.(3 2 4 3 1 2i ) 6 2 3+ - = - = - - - = + + - +

Assim como ocorre na adição, na multiplicação de números complexos pretende-se que esta seja extensão dos conceitos de multiplicação dos Reais. Em consequência, as propriedades associativa, comutativa, elemento neutro e elemento inverso e distributiva devem ser preservadas.

ATENCAO

As seguintes propriedades são válidas para ∀z1,z2,z3 ∈ C:

Propriedade Associativa:

(z1 • z2) • z3 = z1 • (z2 • z3)

Propriedade Comutativa:

z1 • z2 = z2 • z1

Propriedade do Elemento Neutro:

z • u = u • z = z

Denominamos o número complexo u = 1 + 0i de elemento neutro da multiplicação de números complexos.

Propriedade do Elemento Inverso:

z • v = v • z = u

Para cada número complexo z ≠ 0 + 0i, existe um número complexo v, que é inverso de z, cuja multiplicação com z resulta no elemento neutro u = 1 + 0i.

196


No item 5 deste tópico, veremos com mais atenção o que são números inversos.

ESTUDOS FUTUROS

Propriedade Distributiva:

z1 • (z2 + z3) = z1 • z2 + z1 • z3e

(z2 + z3) • z1 = z1 • z2 + z1 • z3

4 DIVISÃO DE UM NÚMERO COMPLEXOO quociente de dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di é definido por:

Assim,

( ) ( )( ) ( )

2

2

2

2 + 1 . 5 + 3i2 + i 10 + 6i + 5i + 3i = =5 - 3i 5 - 3i . 5 + 3i 25 + 15i - 15i - 9i

Como i = -1, temos

2 + 1 10 + 11i - 3 7 + 11i 7 11i= = = +5 - 3i 25 + 0i + 9 34 34 34

1 1

22 2

2 . z

z z=

z . zz

Exemplos:

a) Calcule 2 i5 3i

+-

Resolução:

Multiplicar numerador e denominador da fração, pelo conjugado do denominador e aplicar a propriedade distributiva.

2 2Z 5 3i, logo z 5 3i= - = +


197

( ) ( )( )

( )( )

2

2

2

5 + i . -i5 + i - 5i - i . = i i . -i -i

Como i = - 1, temos

- 5i - -15 + i - 5i + 1= = = 1 - 5ii -1- -1

Exemplo 2:

Qual o conjugado do número complexo z = 8

2 2i-?

Resolução:

Primeiramente, resolvemos a divisão assumindo z2 = 2 – 2i, cujo conjugado é 2z = 2 + 2i.

( )( ) ( )

( )

z = 22

2

8. 2 + 2i 8 2 + 16i 8 2 + 16i= = =2 - 4i2 - 2i 4 + 2i 2 - 2i 2 - 4i- 2i . 2 + 2i

Como i = - 1, e colocando 2 em evidência, temos

8 2 + 16i 8 2 + 16i 8 2 + 16i 8 2 16i 4 2 8iz = = = = + = +6 6 6 3 32 - 4 . - 41

82

2 +

b) Calcule

Resolução:

Multiplicar numerador e denominador da fração, pelo conjugado do denominador e aplicar a propriedade distributiva.

2 2z = i, logo z = -i

Assim,

198


5 INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXODado o número complexo não nulo z = a + bi, denominamos de inverso do

número z o número 1z

. E, indicamos:

Multiplicando a expressão 1a bi+

pelo seu conjugado, também podemos escrever:

Exemplo:

Calcule o inverso do complexo z = 3 + 7i.

Resolução:

-

-12 22 2 2

1 a - bi a - bi a - biz = = = a + bi a - bi a b a. + bi

-1 1 1z = = z a + bi

( )

1

1

1

12

1

1

1

Pela propriedade distributiva:1zz

1z3 7i

1 3 7iz3 7i 3 7i

3 7iz9 21i + 21i - 49i

3 7iz9 49 . -13 7iz9 49

3 7iz58 58

-

-

-

-

-

-

=

=+

-= + -

-=

--

=-

-=

+

= -

12 2

12 2

1

1

1

Aplicando a fórmula:a - biz

a + b3 - 7iz

3 73 - 7iz9 + 493 - 7iz

583 7iz -

58 58

-

-

-

-

-

=

=+

=

=

=

O conjugado, portanto, será :

4 2 8iz = -3 3


199

6 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO COM EXPOENTES INTEIROS

Sendo z um número complexo qualquer, define-se de modo análogo ao das potências de base real:

I) z0 = 1II) z1 = zIII) zn = z • z • z • ... • z, com n є Z e n ≥ 2.

IV) z –n = n

1z

, com z ≠ 0 e n є Z

Partindo da definição, vamos calcular algumas potências de i:

i0 = 1 i4 = i3 • i = (-i) • i = -i2 = -(-1) = 1i1 = i i5 = i4 • i = 1 • i = ii2 = -1 i6 = i5 • i = i2 = -1i3 = i2 • i = -1 • i = -i i7 = i6 • i = -1 • i = -i

Observe que os resultados repetem-se de 4 em 4, com os resultados 1, i, -1 e -i. Portanto, para calcular potências do tipo in, basta dividir o expoente n por 4 e analisar:

• se o resto for 0, então in = 1;• se o resto for 1, então in = i;• se o resto for 2, então in = -1;• se o resto for 3, então in = -i.

Exemplo 1:

Calcule as seguintes potências de i:

a) 5i3

b) (3i)-4

c) i137

d) i -57

e) i5 + 5i10 + 2i3 – i4

f) 25 18

22

i ii+

Resoluções:

a) 5i3 = 5 • (-i) = -5i

b) ( )( )

4

4 4 4

1 1 1 13i81 . 1 813 i3i

-= = = =

200


c) Fazendo a divisão 137 : 4 obtemos resto 1 e, portanto, i137 = i1 = i

d) 5757

1ii

- =

Fazendo a divisão 57 : 4 obtemos resto 1 e, portanto,

( )( ) ( )

-5757 1 2

1 . -i1 1 1 -i -ii = = = = = = = - ii i . -i - -1i i -i

e) Resolvendo cada potência de i separadamente:

Fazendo 5 : 4, o resto é 1 e temos i5 = i1 = i;Fazendo 10 : 4, o resto é 2 e temos 5i10 = 5i2 = 5 . (-1) = -5;Para 2i3, temos 2 . (-i) = -2i;E finalmente, i4 = 1.Assim,i5 + 5i10 + 2i3 – i4 = i + (-5) + (-2i) – 1) = i – 5 – 2i – 1 = -6 – i.

f) Resolvendo cada potência de i separadamente:

Fazendo 25 : 4, o resto é 1 e temos i25 = i1 = i;Fazendo 18 : 4, o resto é 2 e temos i18 = i2 = -1;E fazendo 22 : 4, o resto é 2 e temos i22 = i2 = -1;

Assim, ( )25 18

22

i + -1i + i = = 1 - i-1i

Exemplo 2:

Simplifique a expressão 15 16

17 18

i + ii - i

.

Resolução:

Resolvendo cada potência de i separadamente:Fazendo 15 : 4, o resto é 3 e temos i15 = i3 = -i;Fazendo 16 : 4, o resto é 0 e temos i16 = i0 = 1;Fazendo 17 : 4, o resto é 1 e temos i17 = i1 = i;Fazendo 18 : 4, o resto é 2 e temos i18 = i2 = -1;


201

Da mesma forma que ocorre na adição e na multiplicação de números complexos, na potenciação de números complexos também se mantêm as propriedades válidas na potenciação dos números reais.

ATENCAO

( ) ( )( ) ( )

( )( )

15 16

17 18

15 16 2

17 18 2

i i - i + 1 1 - iAssim, i - (-1) 1 ii - i

Aplicando o conjugado de 1 + i, temos:

1 - i . 1- i 1 - 2i + -1i i 1 - i - i + i - 2i -i21 i . 1- i 1 - -1i - i 1 - i + i - i

+= =

+

+= = = = =

+

Propriedades das potências de números complexos:

Sendo z e w dois complexos quaisquer e m e n є Z, temos que:

I. zm • zn = zm+n;

II. m

m-nn

z zz

= , com z não nulo;

III. ( )nm m.nz z= ;

IV. ( )m m mz . w z . w= ;

V. m m

m

z zw w

=

, com w não nulo.

Veja outros exemplos:

Calcule:

a) (1 + i)250

b) 8

1 + i1 - i

202


Resoluções:

a) Usando a propriedade III podemos escrever:

b) Usando a propriedade III podemos escrever:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )125 125 125250 2 . 215 2 1252 125 125

125 1

250 125 125 125

1 + i 1 + i = 1 + i 1 + 2i + i 1 + 2i + -1 2i 2 . i

Fazendo 125 : 4, o resto é 1, então i i i, e assim

(1 + i) 2 . i 2 i

= = = = =

= =

= =

( )( )

( )( )

48 2.4 2

4 42 48 2

2 2

1 + i 1 + i 1 + i1 - i 1 - i 1 - i

E usando a propriedade II temos:

1 + 2 1 + 2i + -11 + i 1 + 2i + i 2i1 - i 1 - 2i + -11 - 2i + i1 - i

= =

= = = = ( )

44

-1 1-2i

= =

203

RESUMO DO TÓPICO 2

Neste tópico você viu que:

Como os números complexos são uma extensão dos reais, as propriedades das operações em R continuam valendo em C.

Dados dois números complexos, z1 = a + bi e z2 = c + di, definimos:

• Adição: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

• Subtração:z1 - z2 = (a - c) + (b – d)i

• Multiplicação: z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

• Divisão:

• Potenciação: z0 = 1z1 = zzn = z • z • z • ... • z, com n є Z e n ≥ 2.

z –n = n

1z

, com z ≠ 0 e n є Z

• Potências de in: de período 1, i, -1 e -i. Para resolvê-las basta dividir o expoente por 4 e verificar se o resto:

− for 0, então in = 1;− for 1, então in = i;− for 2, então in = -1;− for 3, então in = -i.

1 1 2

2 2 . 2

z z . zz z z

=

204

AUTOATIVIDADE

( )( )a) 4 i 2 i

1 1b) i i4 4

+ -

+ -

( )

( )( )( )

2

d)

c) 5 2i

2 i 2 i 3 2i

- +

+ - +

4 Calcule os seguintes quocientes:

2 i 5 4ia) b) c) 3 4i 1 i 6 i

+- + +

Lembra do seu manual, “Não basta saber, é preciso saber fazer”? Agora, chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos estudados neste tópico.

1 Realize as seguintes operações e calcule o inverso em cada uma delas:

a) (4 + 3i) + (3 – i)b) (-2 + 12i) – (6 + 11i)c) (9 – 7i) + (14 – 8i) – (-2 – 10i) + (-15 + 4i)

2 Considerando os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, prove as seguintes propriedades do conjugado:

a) 1ª propriedade: o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados: 1 2 1 2z z z z+ = +

b) 2ª propriedade: o conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados: 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅

c) 3ª propriedade: o produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo: 1 2z . z x= , com x є R. (Dica: x = a² + b²).

3 Efetue as multiplicações com números complexos:

205

6 Resolva as potências de i:

a) i5 + 5i10 + 2i3 – i4

b) -3i383 + i281 – (3i)3 + 5i180

c) 32 98 57

92 310

i i - 3ii - i+

7 Efetue:

a) (2 + 5i)²b) (4 – i)³

8 Sendo i a unidade imaginária, calcule (1 – i)44.

5 Sendo z1 = 3 + 2i, z2 = 1 – i e z3 = 5 + 4i, calcule:

a) 2z1 – 3 2z + z3

b) z1 • z2 • 3z

c) 2

1

22

3z 2zz+

206

207

TÓPICO 3

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE

UM NÚMERO COMPLEXO

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOO impasse surgido com a descoberta da solução da equação cúbica

permaneceu sem solução durante mais de dois séculos.

Não houve nenhum progresso nesse assunto, muito embora, nesse intervalo, grandes gênios da Matemática, como Newton e Leibniz, tivessem feito extraordinárias descobertas no campo da matemática dos números reais, relativas ao cálculo infinitesimal e integral.

A sistematização da teoria dos números imaginários só começou a ocorrer a partir do final do século XVIII, portanto, cerca de 250 anos depois da época em que surgiram os problemas que obrigaram os matemáticos a considerar a existência de uma nova categoria de números.

Essa sistematização teve seu principal impulso com a representação gráfica dos números imaginários, introduzida inicialmente por Caspar Wessel (1745-1818), que a publicou na Academia Dinamarquesa de Ciências e Letras. Entretanto, sua obra permaneceu quase que totalmente desconhecida, e só cem anos depois é que veio a surgir para o mundo científico.

Em 1806, Jean Robert Argand (1768-1822) também publicou um ensaio sobre a representação geométrica dos imaginários. Finalmente, o grande matemático alemão Carl F. Gauss (1777-1855), em 1831, formulou com precisão a “equivalência matemática da Geometria plana ao domínio do número complexo”, ou seja, introduziu também a representação gráfica dos números complexos, essencialmente a mesma de Wessel e Argand.

Embora Wessel tenha sido o primeiro a descobrir essa representação, o mérito da descoberta ficou associado aos nomes de Gauss e Argand, de modo que o plano dos números complexos é usualmente chamado de Plano de Argand-Gauss.

FONTE: CAVALCANTI, J, C. A representação geométrica dos novos números. Disponível em: <http://www.desenredo.com.br/Matematica/NumerosComplexos4.htm>.Acesso em: 22. Jul. 2010.


208

2 PLANO DE ARGAND-GAUSS

O plano de Argand-Gauss, também chamado de plano complexo, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa.

Convencionou-se, então, associar o número complexo z = a + bi ao ponto P(a, b). Desta forma, um número complexo z = 4 + 3i pode ser representado através do ponto afixo P(4, 3) no plano de Argand-Gauss.

Exemplo:

Representar no plano de Argand-Gauss as imagens dos seguintes números complexos:

z1 = 2 + 3iz2 = -3 + iz3 =-1 – 2iz4 = 3 – iz5 = 2iz6 = 4

TÓPICO 3 | REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

209

Resolução:

Aos números z₁, z₂, z₃, z₄, z₅ e z₆ associamos os pontos determinados pelos pares ordenados de números reais (2,3), (-3,1), (-1,-2), (3,-1), (0,2) e (4,0), respectivamente.

Assim, temos:

3 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXOConsideremos o número complexo, não nulo, z = a + bi e o ponto P(a, b)

que o representa.

Calculemos, agora, a distância р (letra grega: rô) entre os pontos O e P.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo destacado na figura, temos:

р


210

A grandeza р é chamada de módulo de z e também pode ser indicada por |z|. Logo

Exemplo:

Determine o módulo dos seguintes números complexos:

2 2p = a + b

2 2z = a + bi = p = a + b

( )

2 2

22

a) z 3 4i

Resolução:Temos a = 3 e b = - 4, então

z a b

z 3 4

z 9 16

z 25

z 5E assim, p = 5.

= -

= +

= + -

= +

=

=

( ) ( )

2 2

2 2

b) z 3 i

Resolução:

Temos a = 3 e b = -1, então

z a b

z 3 1

z 3 1

z 4

z = 2E assim, p = 2.

= -

= +

= + -

= +

=

( )

2 2

22

c) z 6i

Resolução:Temos a = 0 e b = -6, então

z a b

z 0 6

z 0 36

z 36

z 6E assim, p = 6

= -

= +

= + -

= +

=

=


211

2 2

2 2

1d) z2 3

Resolução:1 1Temos a = e b = , então2 3

z a b

1 1z2 3

1 1z4 9

z

13z3613z3613z6

13E

i

9 436 36

assim, p = 6

= +

= +

= +

= +

=

=

=

=

+

( )( )

( )2

2 2

2 2

e) z 1 i 2 3i

Resolução:Primeiro simplificamos a expressão:z = 2 + 3i - 2i -3i 2 + i - 3 . -1 5 iE assim, z = 5 + i.Temos a = 5 e b = 1, então

z a b

z 5 1

z 25 1

z 26

E assim, p = 26.

= - +

= = +

= +

= +

= +

=

4 ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXOConsideremos ainda o número complexo, não nulo, z = a + bi e o ponto P(a,

b) que o representa.

р


212

Denomina-se argumento do número complexo z, não nulo, a medida do ângulo θ (letra grega: teta), formado pelo eixo real e a reta-suporte do segmento OP , no sentido anti-horário, conforme indicado na figura.

Todo número complexo não nulo tem uma infinidade de argumentos, dois quaisquer deles diferindo entre si por um múltiplo de 2π. Entretanto, o argumento que pertence ao intervalo [0, 2π[ é chamado de Argumento Principal e é indicado por:

θ = Arg(z)

Observe na figura que:

a b = e = p p

cosθ senθ

Em geral, quando pedimos o argumento de um número complexo estamos nos referindo ao argumento principal desse número.

ATENCAO

Exemplo:

Determine o argumento dos seguintes números complexos:

a) z = 3 + 3i

Resolução:

Primeiramente, calculamos o módulo de z:

Temos, a = 3 e b = 3, então

2 2

2 2

z a b

z 3 3

z

z 9 . 2

z 3 2

9 9

= +

= +

=

=

=

+


213

E assim, р = 3 2 .

Usamos as expressões (seno e cosseno) para determinar o argumento:

Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do seno ou do cosseno. Desta forma, θ = 45°, ou seja, θ = π_

4 rad.

b) z = 1 – 3 i

Resolução:


Temos, a = 1 e b = – 3 , então

E assim, р = 2.


a p

3 3 21 22

2

=

=

=

=

cosθ

cosθ

cosθ

cosθ

b p

3 3 21 22

2

=

=

=

=

senθ

senθ

senθ

senθ

e

( )

2 2

22

z a b

z 1 3

z 1 3

z 4

z 2

= +

= + -

= +

=

=


214

Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do seno ou do cosseno. Observe que o valor do cosseno do argumento é positivo, enquanto que o seno do argumento é negativo, logo, o argumento encontra-se no 4º quadrante.

a p1 2

=

=

cosθ

cosθ

a p

3 2

=

-=

senθ

senθ

e

Desta forma, θ = 300°, ou seja, θ = 5π__6

rad.

c) z = 1 + iResolução:


Temos, a = 1 e b = 1, então

E assim, р = 2 .


Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do

seno ou do cosseno. Desta forma, θ = 45°, ou seja, rad4π

θ = .

2 2

2 2

z a b

z 1 1

z 1 1

z 2

= +

= +

= +

=

ap122

2

=

=

=

cosθ

cosθ

cosθ

bp122

2

=

=

=

senθ

senθ

senθ

e


215

d) z = -3i

Resolução:


Temos, a = 0 e b = -3, então

( )

2 2

22

z a b

z 0 3

z 9

z 3

= +

= + -

=

=

E assim, р = 3.


Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do seno ou do cosseno. Observe que, como o valor do cosseno é zero, o argumento encontra-se sobre o eixo dos senos. E como o valor do seno é -1, podemos dizer que o argumento é θ = 270°, ou seja, θ = 3π__

2 rad.

cosθ

cosθ

cosθ

ap030

=

=

=

senθ

senθ

senθ

bp-33-1

=

=

=

e

216

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico você estudou que:

• O plano de Argand-Gauss é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa.

• Um número complexo z = a + bi é representado geometricamente pelo afixo P(a, b).

• A grandeza р é chamada de módulo de z e pode ser indicada por |z| = |a + bi| = 2 2a b+ .

• O argumento de um número complexo z, não nulo e que pertence ao intervalo [0, 2π[, é chamado de Argumento Principal e é indicado por

θ = Arg(z).

Lembre-se que: a b = e = p p

cosθ senθ .

217

AUTOATIVIDADE


1 Determine os números complexos correspondentes aos afixos A, B, C, D, E, F e G no plano de Argand-Gauss a seguir:

2 Determine o módulo e o argumento dos seguintes números complexos:

a) z = 3 + 4ib) z = -1 – 3 ic) z = 2 + id) z = 4ie) z = (1 – i)(2 + 3i)

a _________________

b _________________

c _________________

d _________________

e _________________

f _________________

g _________________

3 Represente graficamente os afixos dos seguintes números complexos:

a) z1 = -3 + 2ib) z2 = 5 +6ic) z3 = -1 + 4id) z4 = 5 – ie) z5 = -3if) z6 = 4

218

4 Determine o módulo de 2 2iz3 2i

+=

+.

5 Encontre o valor de z, sabendo que 1_z

e 1 - z possuem o mesmo módulo.

6 Calcule o módulo, o argumento e faça a representação geométrica do complexo z = 3 + i.

219

TÓPICO 4

FORMA TRIGONOMÉTRICA

DE UM NÚMERO COMPLEXO

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃOSabemos que um número complexo possui forma geométrica igual a z = a +

bi, onde a recebe a denominação de parte real e b parte imaginária de z e que este número pode ser representado geometricamente pelo afixo P(a, b).

Neste tópico veremos que os números complexos também possuem uma forma trigonométrica, ou forma polar, que é um caso particular da utilização das coordenadas polares. Essa forma trigonométrica é de grande utilidade nos cálculos envolvendo potenciações e radiciações.

2 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Dado o número complexo z = a + bi, de modo que z ≠ 0.

Das expressões

cosθ = ap

e senθ = bp

podemos escrever a = p.cosθ e b = p.senθ.

Substituindo em z = a + bi, temos z = р cosθ + р senθ • i, ou então

z = р • (cosθ + i • senθ)

Esta é a chamada forma trigonométrica ou polar do número complexo z.

Exemplo 1:

Escreva na forma trigonométrica o número complexo z = 1 + 3 i.

Resolução:

Temos a = 1 e b = 3 , então:

220


E assim, р = 2.


Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é θ = 60°, ou seja, θ =

π_3

rad.

Escrevemos a forma trigonométrica do número complexo através da expressão:

z = р • (cos θ + i • senθ)z = 2 • (cos 60° + i • sen60°)ou

z 2 cos i . sen3 3π π

= +

Exemplo 2:

Escreva o número complexo z = 4 cos i . sen3 3π π

+

na forma algébrica.

Resolução:

Basta resolver a expressão:

( )

2 2

22

z a b

z 1 3

z 1 3

z 2

= +

= +

= +

=

a b = p p

1 3 = 2 2

=

=

cosθ

cosθ

senθ

senθ

e

TÓPICO 4 | FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

221

z 4 cos i . sen3 3

1 3z 4 i . 2 2

4 4 3iz 2 2

z 2 2 3i

π π = +

= +

= +

= +

Assim, a forma algébrica de z é dada por 2 2 3i+ .

3 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Dados os números complexos não nulos z1 = р1 • (cos θ1 + i • senθ1) e z2 = р2 • (cos θ2 + i • senθ2), temos:

• Produto z1 • z2

z1 • z2 = (р1(cos θ1 + i senθ1)) • (р2 • (cos θ2 + i • senθ2))z1 • z2 = р1(cos θ1 + i senθ1) • р2(cos θ2 + i • senθ2)z1 • z2 = р1р2(cos θ1 + i senθ1) • (cos θ2 + i • senθ2)z1 • z2 = р1р2(cos θ1 cos θ2 + cos θ1 • i senθ2 + i senθ1 cos θ2 + i² • senθ1 senθ2)z1 • z2 = р1р2(cos θ1 cos θ2 + cos θ1 • i senθ2 + i senθ1 cos θ2 – senθ1 senθ2)z1 • z2 = р1р2(cos θ1 cos θ2 – senθ1 senθ2 + i cos θ1 senθ2 + i senθ1 cos θ2)

Lembrando que :

(cos θ1 cos θ2 – senθ1 senр2) = cos (θ1 + θ2) e (cos θ1 senθ2 + senθ1 cos θ2) = sen (θ1 + θ2)

Temos:

z1 • z2 = р1р2 • (cos (θ1 + θ2) + i(sen (θ1 + θ2))

222


Veja que o produto z1 • z

2 é um número complexo cujo módulo é o produto dos

módulos e cujo argumento é a soma dos argumentos dos fatores.A fórmula obtida também tem validade para n fatores:

z1 • z

2 • z

3 • ... • z

n = р

1 • р

2 •... • р

n • (cos (θ

1 + θ

2 + ... + θ

n) + i(sen (θ

1 + θ

2 + ... + θ

n))

NOTA

Quociente z1__z2

, sendo z1 ≠ z2 e z2 ≠ 0.

Lembrando que ( )2 2 2 2z p cos isenθ θ= -

( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

1 1 1 2 2 21

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 21 1

2 2 2 2 2 2 2

1 2 2

1 11 1

2 1 2 1 21

2

2 2 2 2

p cos is

p cos isen p cos isenzz p cos isen p cos isen

p p cos isen cos isenzz p p cos ise

enzz p cos ise

n cos isen

p p cos cos icos sen isen cos

n

zz

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

θ

θ θ

θ

θ

+ -=

+ -

+ -=

+ -

- +=

+=

+

�

( )( )

( )( )( )( )

( )

21 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 1 2 1 212 2 2

2 2 2 2

1 2 2 2 1 2 1 2 1 212 2

2 2 2

i sen sen

p cos cos icos sen isen cos i sen sen

p p cos cos icos sen isen cos 1 sen senzz p cos 1 sen

p p cos cos icos sen isen cos sen senzz p cos

θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ


θ θ


θ

-

- + -

- + - -=

- -

- + +=

( )

( )( )( )

22

1 2 1 2 1 2 1 2 1 212 2 2

2 2 2 2

sen

p p cos cos + sen sen i sen cos cos senzz p cos sen

θ


θ θ

+

+ -=

+


223

Como

Temos:

( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 22 2

2 2

cos cos sen sen cos

sen cos cos sen sen

cos sen 1

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ

+ = -

- = -

+ =

( ) ( )( )1 11 2 1 2

2 2

z pcos isen

z pθ θ θ θ= ⋅ - + -

Veja que o quociente z

1__z

2

é um número complexo cujo módulo é o quociente dos

módulos e cujo argumento é a diferença dos argumentos do dividendo e do divisor.

ATENCAO

Exemplo:

Dados 1 23 3z 6 cos i . sen e z 2 cos i . sen 2 2 2 2π π π π

= + = +

, calcule:

a) z1 • z2

Resolução:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

z z p p cos isen

3 3z . z 6 . 2. cos isen2 2 2 2

4 4z . z 12. cos isen2 2

z . z 12. cos 2 isen 2

. θ θ θ θ

π π π π

π π

π π

= + + +

= + + +

= +

= +

224


b) z1__z2

Resolução:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 11 2 1 2

2 2

1

2

1

2

1

2

z pcos isen

z pz 6 3 3cos isenz 2 2 2 2 2z 2 23. cos isenz 2 2z

3. cos isenz

θ θ θ θ

π π π π

π π

π π

= ⋅ - + -

= ⋅ - + -

= +

= +

4 POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Sendo z um número complexo não nulo, z = р • (cos θ + i • senθ) sua forma trigonométrica e n um número inteiro maior que 1, temos:

Que pode ser reescrito como

n n

n fatores n parcelas n parcelasn fatores

z z z z ... z z p p p ... p cos ... isen ...θ θ θ θ θ θ θ θ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + + +

zn = рn(cos(nθ) + i sen(nθ))

Esta fórmula é conhecida como a 1ª Fórmula de Moivre (1667-1754), que foi um importante matemático francês. Leia mais sobre ele em <http://ecalculo.if.usp.br/historia/demoivre.htm>.

DICAS


225

Exemplo 1:

Dado 1 3z i2 2

= +

, calcule z10.

Resolução:

Temos a = 12

e b = 32

, então:

E assim, р = 1.


Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é θ = 60°, ou seja, θ =

π_3

rad.

Escrevemos a forma trigonométrica do número complexo através da expressão z = р • (cos θ + i • senθ)

2 2

22

z a b

1 3z2 2

1 3z4 44z4

z 1

z 1

= +

= +

= +

=

=

=

e

cosθ

cosθ

cosθ

ap

121

12

=

=

=

senθ

senθ

senθ

bp

321

32

=

=

=

226


z = 1 • (cos 60° + i • sen60°)ou

z = cos i sen 3 3π π

+ ⋅

Para calcular z10, basta aplicar a 1ª fórmula de Moivre:zn = рn(cos(nθ) + i sen(nθ))

E assim, na forma trigonométrica, 10 10 10z cos isen3 3π π

= +

.

E, verificando que 10 1 10 3cos e que sen 3 2 3 2π π

= - = -

, podemos

escrever a forma algébrica 10 1 3z i2 2

= - - .

Exemplo 2:

Sendo 7 7z 2 cos i sen 3 3π π

= +

, calcule z -9.

Resolução:

Sabemos que z -9 = 1__z9

e que zn = рn(cos(nθ) + i sen(nθ)), então:

E assim, na forma trigonométrica, ( ) ( )( )9z 512 cos 21 isen 21π π= + .

E, verificando que ( ) ( )cos 21 1 e que sen 21 0π π= - = , podemos escrever a forma algébrica

10 10

10

z 1 cos 10 i sen 103 3

10 10z 1 cos i sen 3 3

π π

π π

= ⋅ + ⋅

= +

( ) ( )( )

9 9

9

9

z 2

63

7 7cos

63z 512 cos

9. is

isen3 3

z 512 cos 21 isen

en 9.3

21

3π

π π

π

π

π

=

= +

+

= +


227

( ) ( )( )( )

9

9

9

z 512 cos 21 isen 21

z 512 1 i . 0

z 512

π π= +

= - +

= -

Assim:

99

9

9

1zz

1z5121z512

=

=-

=-

5 RADICIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Chamamos de raiz enésima do número complexo z = р(cosθ + i senθ) a todo complexo w, tal que wn = z, com n є N e n ≥ 2.

Exemplos:

• o número i é uma raiz quadrada de -1, pois i2 = -1;• o número -2i é uma raiz quarta de 16, pois (-2i)4 = 16;• o número 3i é uma raiz cúbica de -27i, pois (3i)3 = -27i;

Dado um número complexo z, onde z = р(cosθ + i senθ) é sua forma trigonométrica e zw = рw (cosθw + i senθw) uma de suas raízes enésimas.

Pela definição dada, podemos escrever nwz = z e, aplicando a 1ª Fórmula de

Moivre, temos:

nwz = z

( ) ( )( ) ( ) ( )( )nw w wp cos n isen n p cos isenθ θ θ θ+ = +

Desta igualdade, podemos concluir:

( )( )

n nw w

ww w

w

(1) p p p

cos n cos k . 2(2) n k . 2 nsen n sen

p

θ θ θ πθ θ π θθ θ

= ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ ==

228


Substituindo (1) e (2) em zw = рw (cosθw + i senθw), temos:

nw

2 2z p. cos isenn nk kθ π θ π + ⋅ + ⋅

= +

Esta é a 2ª Fórmula de Moivre. Nela, 2nkθ π+ ⋅ deve pertencer ao intervalo

[0, 2π[, pois é o argumento de zw.

Como k є Z, vejamos os possíveis valores de k:

Generalizando:

Estes n valores de θw não são côngruos, pois a diferença entre dois quaisquer deles é inferior a 2π e, por isso, estão todos no intervalo [0, 2π[ originando a n valores distintos para zw.

Se k = n, temos:

Este valor é importante por ser côngruo a θ_n

, que é o valor obtido quando k = 0.

O mesmo ocorre se k = -1, -2, -3, ... ou k = n + 1, n + 2, n + 3, ..., portanto, k deve variar de 0 a n – 1, dando origem às enésimas raízes distintas de z.

Exemplo 1:

Determine as raízes quadradas do complexo z = 2 3 + 2i.

0

1

2

k 0n

2 2k 1n n n

4 4k 2n n n

θθ

θ π θ πθ

θ π θ πθ

= ⇒ =

+= ⇒ = = +

+= ⇒ = = +

( ) ( )n 1

2 n 1 2 n 1k n 1

n n nθ π πθθ -

+ - -= - ⇒ = = +

22n 2nk n 2n n n n

θ π θ π θθ π+= ⇒ = = + = +


229

Resolução:

Inicialmente, vamos calcular o valor o módulo de z:

Temos a = 2 3 e b = 2, então

E assim р = 4.


( ) ( )

2 2

2 2

22

z a b

z 2 3 2

z 2 3 4

z 4 3 4

z 16

z 4

= +

= +

= +

= ⋅ +

=

=

e

cosθ

cosθ

cosθ

ap

2 343

2

=

=

=

senθ

senθ

senθ

bp2412

=

=

=

Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do

seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é π_6

rad.

As raízes quadradas (n = 2) são obtidas por:

w

2w

n 2 2z . cos isenn n

k 2 k 26 6z 4 cos isen

2 2

p k kθ π θ π

π ππ π

+ ⋅ + ⋅= +

+ ⋅ + ⋅

= +

230


Como k deve variar de 0 à n – 1, calculamos as raízes quadradas com k = 0 e k = 1:

( )

( )

0 0

1 1

k 0 w 2 cos isen w 2 cos15 isen15 12 12

13 13k 1 w 2 cos isen w 2 cos15 isen15 12 12

π π

π π

= ⇒ = + ⇒ = ° + °

= ⇒ = + ⇒ = - ° - °

Assim, as raízes quadradas de 2 3 + 2i são

( ) ( )2 cos15 isen15° e 2 cos15 isen15°° + - ° - .

Exemplo 2:

Determine as raízes cúbicas de 8.

Resolução:

Inicialmente, vamos calcular o valor o módulo de z:

Temos a = 8 e b = 0, então

E assim р = 8.


2 2

2 2

z a b

z 8 0

z 64

z 8

= +

= +

=

=

e

cosθ

cosθ

cosθ

ap881

=

=

=

senθ

senθ

senθ

bp080

=

=

=


231

Para obtermos θ, basta buscarmos o ângulo correspondente aos valores do seno ou do cosseno. Desta forma, o argumento é 0° ou 0 rad.

As raízes cúbicas (n = 3) são obtidas por:

Como k deve variar de 0 à n – 1, calculamos as raízes quadradas com k = 0, k = 1 e k = 2:

nw

3w

w

2 2z cos isenn n

0 2 0 2z 8 cos isen3 3

2 2z 2 cos ise 3 3

n

p + ⋅ + ⋅

= ⋅ +

+ ⋅ + ⋅= +

⋅ ⋅= +

k k

k k

k k

θ π θ π

π π

π π

Assim, as raízes cúbicas de 8 são os números 2, – 1 + 3 e – 1 – 3

( ) ( )( ) ( )0 0 0

1 1 1

2 2 2

k 0 w 2 cos 0 isen 0 w 2 1 i 0 w 2

2 2 1 3k 1 w 2 cos isen w 2 i w 1 3i3 3 2 2

4 4 1 3k 2 w 2 cos isen w 2 i w 1 3i3 3 2 2

π π

π π

= ⇒ = + ⇒ = + ⋅ ⇒ =

= ⇒ = + ⇒ = - + ⇒ = - +

= ⇒ = + ⇒ = - - ⇒ = - -

6 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS

A escola, no decorrer dos séculos, se transformou na instituição responsável por garantir às gerações mais jovens os conhecimentos e os valores legitimados pelas gerações mais antigas, que os produziram e os consolidaram. Portanto, a função social da escola vem sendo a de ensinar às novas gerações a lógica sob a qual esta mesma sociedade foi estruturada.

A matemática originou-se a partir da necessidade humana material. Neste contexto cabe à escola buscar estratégias para que o aluno abstraia estas ideias a fim de transformá-las em conceitos. É nesta etapa do processo de ensino-aprendizagem que a Matemática passou a ser, para muitos, difícil e chata, pois a linguagem matemática tornou-se formal, precisa e rigorosa.

Atualmente, o “ensino mecânico” já não supre as necessidades básicas para a formação de um cidadão ativo na sociedade, visto que vivemos num mundo

232


moderno, com um fantástico avanço tecnológico, que se move com o auxílio de pessoas dinâmicas, criativas, sociáveis, coerentes e que saibam buscar informações.

Este panorama exige uma nova postura frente ao ensino que se ministra.

É necessário renovar constantemente a prática docente para poder acompanhar as mudanças que ocorrem rapidamente à nossa volta. Como mediador e não apenas transmissor de conhecimentos, é importante fazer com que o aluno possa também participar de seu aprendizado, se tornando um ser ativo, pensante e agente.

À medida que vamos nos integrando ao que se denomina uma sociedade da informação crescentemente globalizada, é importante que a Educação se volte para o desenvolvimento das capacidades de comunicação, de resolver problemas, de tomar decisões, de fazer inferências, de criar, de aperfeiçoar conhecimentos e valores, de trabalhar cooperativamente. (PCN´S, 2000, p.40)

Nesse sentido, é necessário lembrar que a apropriação do conhecimento matemático se dá por um trabalho gradativo, interativo e reflexivo. Portanto, o professor deve perceber a forma de raciocinar, elaborar e resolver determinados problemas e assim ser o mediador entre o conhecimento historicamente produzido e sistematizado e aquele adquirido socialmente pelo aluno.

Assim, a introdução de novos métodos de ensino é oportunidade de desenvolvimento, pois desta forma o aluno experimenta, descobre, inventa, aprende e confere habilidades. Este espaço é importante para que haja o exercício da relação afetiva do aluno com o mundo, com as pessoas e com os objetos, pois proporciona um ensino significativo para o aluno, de acordo com sua realidade.

Logo, para que o ato de aprender seja significativo para o aluno, o ato de ensinar deve estar diretamente ligado com sua realidade e, acima de tudo, deve ter informações e ensinamentos importantes no meio onde vive.

Considerando esse contexto, é importante que o ensino dos números complexos no Ensino Médio seja contemplado, primeiramente, com a história do surgimento deste conjunto numérico.

É fundamental inserir os fatos abordados (descobertas matemáticas) no momento histórico em que aconteceram, tornando a disciplina mais atraente e concreta ao aluno. Esse trabalho pedagógico pode ser um bom instrumento de motivação da aprendizagem, tão necessária e tão difícil de ser atingida em nossa prática escolar.

A motivação refere-se à carga energética colocada no ato de conhecer. [...] A aprendizagem significativa depende, além do nível de representação, da carga afetiva envolvida. Tal colocação nos leva a pensar sobre o papel do aluno como corresponsável pela motivação, como um dos agentes de um bom clima durante as aulas, como alguém que, também, é um provocador. Querendo conhecer sempre mais, instiga o professor a produzir mais. Nesse ponto é fundamental fazer da sala de aula um ambiente de boas relações interpessoais para que se descubra a melhor maneira de trabalhar o assunto a ser tratado. Mais uma vez, a


233

Matemática nas mãos de um bom contador de histórias para facilitar a interação professor-aluno. Um trabalho que será uma conquista diária, propiciada não pela vontade de querer agradar uma classe, mas pela clareza de objetivos. (MAESTRI, 1999, p. 11).

Cada novo conteúdo fundamenta-se em conceitos básicos, que foram desenvolvidos durante séculos. Um exemplo disto é a abordagem histórica realizada neste Caderno de Estudos.

Na matemática, a utilização de desafios pode ser um elemento significativo na compreensão dos conteúdos, pois é uma forma lúdica de aprender que conquista facilmente o interesse do aluno.

A prática dos desafios matemáticos estimula que o aluno passe por todos os processos de formação do pensamento matemático.

Um exemplo de desafio para o estudo dos números complexos é um exercício de vestibular da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN). Veja:

Um quadrado mágico é um quadriculado com n2 quadrados menores que contém números de forma que a soma desses números em cada linha, em cada coluna, e nas duas diagonais é a mesma.

i i2 i3 i4

i5 i6 i7 i8

i9 i10 i11 i12

i13 i14 i15 i16

Para responder às solicitações propostas, considere o número complexo i2 = -1 e o quadrado acima.

a) Calcule i2, i3, i4, ... i16.b) Verifique se o quadrado acima é um quadrado mágico.c) Calcule a soma de todos os números que compõem o quadrado.

Os desafios matemáticos apresentam-se como estratégias de ensino que têm como efeito incrementar, orientar, consolidar a motivação do aluno, em oposição a outras estratégias que a prejudicam.

Lembre-se de que o segredo para obter sucesso na relação de ensino-aprendizagem também está na motivação. Se existe motivação, as coisas são feitas com empenho e prazer, resultando em trabalhos bons e úteis.

234



CARL FRIDRICH GAUSS (1777-1855)

Gauss nasceu em Brunswick, norte da Alemanha, no dia 30 de abril de 1777. Sua família era humilde e não possuía estudo. Seu pai não apoiava a ideia de que Gauss estudasse, mas sua mãe, ao contrário, o incentivava. Gauss casou-se duas vezes. Dentre seus variados interesses estavam a História, a Literatura, a Política internacional e as finanças públicas.

Sua educação secundária e superior foi assegurada pelo duque de Brunswick, que se impressionava com as habilidades matemáticas de Gauss. Seus estudos se iniciaram na Escola Carolino, em sua cidade natal, onde completou os estudos em línguas clássicas e familiarizou-se com os trabalhos

de Newton, Euler e Lagrange. Em 1795 Gauss deixou Brunswick para estudar na Universidade de Göttingen, formando-se em 1798.

O menino precoce Gauss, aos 12 anos, criticava os Fundamentos da Geometria; com 13 anos, projetava uma Geometria não euclidiana; por volta dos 15 ou 16 anos de idade descobriu o Teorema do Número Primo e concebeu a Lei Gaussiana - ou da Distribuição Normal - da Teoria das Probabilidades. Com 18 anos, inventou o método dos mínimos quadrados e, aos 22 anos, determinou as funções elípticas.

Gostava muito de estudar, mas estava indeciso entre tornar-se um filólogo ou um matemático. No dia 30 de março de 1796, ao que parece, essa decisão foi tomada, quando optou pela Matemática. Conseguira construir, segundo as regras euclidianas, o polígono regular de dezessete lados. Nota-se que já eram conhecidas as construções, com régua e compasso, do triângulo equilátero e do pentágono regular, além de outros polígonos regulares, cujo número de lados fosse múltiplo de 2, 3 e 5, mas de nenhum outro com número primo de lados. A descoberta de Gauss foi publicamente anunciada numa revista literária.

Nesse mesmo dia, Gauss começou a escrever um diário composto por 19 páginas que talvez seja o documento mais importante de toda a História da Matemática. Nele encontram-se 146 breves enunciados de diversos resultados. O último enunciado tem data de 9 de julho de 1814. O conteúdo do diário só foi publicado em 1901, pelo matemático Felix Klein.


235

Uma das obras mais importantes de Gauss é a Disquisitiones Arithmeticae, publicada em 1801, considerada o marco inicial da moderna Teoria dos Números, além de ser importantíssimo por trazer uma abordagem rigorosa e moderna da Matemática. Salvo alguns poucos resultados matemáticos antigos, o trabalho é inteiramente original. Na parte inicial se encontra a primeira demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética, segundo o qual todo inteiro n>1 pode ser escrito de forma única como um produto de primos. Na parte central fala-se da congruência quadrática, formas e resíduos, e na última seção encontra-se a teoria do polinômio ciclotômico, com suas aplicações para a construtibilidade de polígonos regulares.

Em sua tese de doutorado, publicada em 1799 em Helmstädt, encontra-se uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra. Esse teorema garante que toda equação polinomial de grau n admite n raízes complexas e, em sua demonstração, Gauss utilizou números complexos e a geometria do plano complexo com total segurança, além de inaugurar a era das demonstrações de existência, importantes para a Matemática pura. A demonstração apresentada em sua tese baseia-se em parte em considerações geométricas. Em 1816, Gauss publicou duas demonstrações e, em 1850, publicou uma terceira, esforçando-se para encontrar uma prova inteiramente algébrica.

Outras publicações de Gauss: Theoria Motus Corporum Coelestium (1809), considerada a bíblia dos astrônomos por mais de um século; Disquisitiones generales circa superficies curvae (1827), onde ele criou a Geometria Diferencial intrínseca das superfícies curvas, introduziu as coordenadas curvilíneas u e v numa superfície e obteve a forma diferencial quadrática ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2 para o elemento de comprimento de arco ds, que tornou possível determinar curvas geodésicas; formulando também os conceitos de curvatura gaussiana e curvatura integral. Outro grande trabalho foi um artigo publicado em 1830 sobre resíduos biquadráticos, cujas ideias inauguraram a Teoria Algébrica dos Números. A partir de 1830, Gauss se ocupou com a Física, realizando estudos em diversos ramos, como a Óptica, onde introduziu o conceito de comprimento focal de um sistema de lentes e inventou as lentes grandes angulares de Gauss para telescópios e objetivas.

Embora tenha publicado muito, vários de seus estudos não o foram, pois Gauss preferia mergulhar em um novo estudo em lugar de escrever sobre as descobertas feitas.

Gauss passou os anos de 1845 a 1851 atualizando os fundos monetários da Universidade de Göttingen. Esse trabalho lhe deu uma experiência em práticas financeiras e, com isso, fez sua fortuna através de investimentos astutos em companhias privadas.

236


Gauss morreu em Göttingen no dia 23 de fevereiro de 1855, coincidindo com o incremento da Revolução Industrial. A crença oficial no progresso pacífico começava a ser substituída pela realidade de uma época de crises. Daí em diante, a figura do cientista integral, interessado em todos os aspectos do conhecimento humano, se tornou praticamente uma raridade. Por isso, o desaparecimento de Gauss marcou o fim de uma era.

FONTE: E-CÁLCULO. Mapa da história: Gauss. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/gauss.htm>. Acesso em: 10 jul. 2010.

237

RESUMO DO TÓPICO 4

Neste tópico você estudou outra forma de representar os números complexos, denominada forma trigonométrica ou polar. Também aprendeu a realizar operações com os números complexos nesta forma.

É importante lembrar que:

• Um número complexo não nulo z = a + bi tem sua forma trigonométrica ou polar:

z = р(cosθ + isenθ).

• O produto de dois números complexos na forma trigonométrica é expresso pela fórmula:

z1 • z2 = р1р2 (cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)).

• O quociente de dois números complexos na forma trigonométrica é dado por:

( ) ( )( )1 11 2 1 2

2 2

z pcos isen

z pθ θ θ θ= - + - .

• A potenciação de números complexos na forma trigonométrica é dada pela 1ª Fórmula de Moivre:

zn = рn(cos(nθ) + isen(nθ)).

• A radiciação de números complexos na forma trigonométrica é dada pela 2ª Fórmula de Moivre:

nw

2 2z cos isp en n nk kθ π θ π + ⋅ + ⋅

= + .

238

AUTOATIVIDADE

Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades referentes aos conceitos e definições estudadas neste tópico.

1 Escreva na forma trigonométrica os seguintes números complexos:

a) z = 3 + 3ib) z = 3 - ic) - 5d) 8i

2 Represente na forma algébrica os complexos:

a) z 4 cos isen 4 4

5 5b) z 6 cos isen 4 4

c) z 3 cos isen 2 2

11 11d) z 2 cos isen 6 6

π π

π π

π π

π π

= +

= +

= +

= +

3 Sabendo que ( )1z 5 cos isen π π= + e 2z 3 cos isen 3 3π π

= =

, obtenha z1 • z2.

4 Dados os complexos 1z 3 cos isen 5 5π π

= +

, 26 6z 4 cos + is

3en

4π π

=

e

37 7z 2 cos + isen 3 3π π

=

, calcule:

2

3

1 2

3

za)

zz z

b) z⋅

239

5 Calcule, na forma trigonométrica, o produto z1 • z2, sabendo que

1 25 5z 6 cos isen e z 3 cos isen 6 6 4 4π π π π

= + = + .

6 Dado o número z 3 cos isen 4 4π π

= +

, determine z5.

7 Determine o produto z1 • z2 e o quociente

z1__z2

para 12 2z 2 cos isen 3 3π π

= =

e

2z 3 cos isen 4 4π π

= + .

8 Usando a fórmula de Moivre, calcule as potências:

9 Calcule as raízes quadradas de 4 cos isen 6 6π π

+

.

10 Calcule as raízes cúbicas de 27.

( )3

6

a) 1 i

1 3b) i2 2

-

+

240

241

REFERÊNCIASBOYER, Carl B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Ed. Edgard Blücher, 1996.

BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC, 2000.

CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; VAGNER, Eduardo. Trigonometria e números complexos. São Paulo: SBM, 2001.

CASTRUCCI, Benedicto; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2009.

FACCHINI, Walter. Matemática: volume único. São Paulo: Saraiva, 1996.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.

GUELLI, Oscar. Dando corda na trigonometria. São Paulo: Ática, 2000.

IEZZI, Gelson. Fundamentos da matemática elementar: trigonometria. São Paulo: Atual, 2004. v. 3.

______. Fundamentos da matemática elementar: complexos, polinômios e equações. São Paulo: Atual, 1993. v. 6.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Microdicionário de matemática. São Paulo: Scipione, 1998.

JODETTE, Guilherme Amorim; SEIMETZ, Rui; SCHIMITT, Tânia. Trigonometria e números complexos. Brasília: UNB, 2006.

MAESTRI, Mário. Por que Paulo Coelho teve sucesso. Porto Alegre: AGE, 1999.

MOYER, Robert E.; AYRES, Frank. Trigonometria. São Paulo: Bookmann Companhia ED, 2003.

RIPOLL, Jaime Bruck; RIPOLL, Cydara Cavedon; SILVEIRA, José Francisco Porto da. números racionais, reais e complexos. Porto Alegre: UFRGS, 2006.

SOARES Lino J. O corpo dos números complexos. Pelotas: EDUCAT, 2008.

VIANA, Giovana K.A.M.; TOFFOLI, Sônia F.L.; SODRÉ, Ulysses. Notas históricas sobre o grau e o radiano. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/mate-matica/funfam/geometria/geo-ang.htm>. Acesso em: 17 set. 2010.

242

ANOTAÇÕES

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Documents

Prof.ª Grazielle Jenske - UNIASSELVI