Prof. Hebert Monteiro

Óptica Geométrica

O que é a Óptica Geométrica Óptica Geométrica é a parte da física que ocupa-se de estudar a

propagação da luz com base em alguns postulados simples e sem grandes preocupações com sua natureza, se ondulatória ou particular.

Nós, seres humanos, sempre fomos fascinados pela luz. Espelhos simples são encontrados em sítios arqueológicos no Egito e na China. Por volta de 1500 a.C nossos ancestrais descobriram como iniciar fogueiras focando a luz solar por meio de uma lente simples. A partir daí, é apenas um pequeno passo para se conseguir perfurar buracos com um feixe de laser focado.

Nosso estudo analisará sistemas ópticos básicos, como espelhos e lentes, em relação às trajetórias em linha reta da luz, ou seja, estudaremos a óptica Geométrica.

Os princípios em que se basta a Óptica Geométrica são três:

Propagação Retilínea da Luz: Em um meio homogêneo e transparente a luz se propaga em linha reta. Cada uma dessas "retas de luz" é chamada de raio de luz.

Independência dos Raios de Luz: Quando dois raios de luz se cruzam, um não interfere na trajetória do outro, cada um se comportando como se o outro não existisse.

Reversibilidade dos Raios de Luz: Se revertermos o sentido de propagação de um raio de luz ele continua a percorrer a mesma trajetória, em sentido contrário.

Princípios da Óptica Geométrica

Modelo de Raios luminosos Vamos definir um raio luminoso como sendo um linha orientada ao longo da

qual a energia luminosa se propaga. Um raio luminoso é portanto uma idéia abstrata. Qualquer feixe luminoso estreito, como feixe de um laser é na verdade um conjunto de muitos raios luminosos paralelos uns aos outros.

Fontes de Luz

Fonte de luz Denomina-se fonte de luz todo corpo capaz de emitir luz.

Fonte de luz primariaSão aquelas que emitem luz própria, isto é, que produz energia luminosa. Exemplos: O Sol e as Lâmpadas incandescentes.

Fonte de luz secundáriaSão aquelas que emitem apenas a luz recebida de outros corpos. Estas fontes de luz apenas refletem os raios de luz provenientes de outros corpos. Exemplo: a Lua e o teclado do seu computador.

Fenômenos da Luz na óptica geométrica

1) Refração: É o fenômeno que explica a passagem da luz por meios com diferentes índices de refração.

2) Reflexão: É o fenômeno que explica a mudança de direção da luz quando entra em contato com uma superfície refletora, provocando o retorno da luz incidente em direção à região de onde ela é oriunda.

3) Difração: é um fenômeno que ocorre com a luz quando ela passa por um orifício ou contorna um objeto cuja dimensão é da mesma ordem de grandeza que o seu comprimento de onda, provocando assim mudanças em suas características e propagação.

Refração Refração de um modo simplificado, é a passagem da luz por meios

com diferentes índices de refração. A refração modifica a velocidade da luz, mesmo que a direção permaneça a mesma (caso a luz incida perpendicularmente à superfície).

Ri

r’

N

i

Rr

Superfície dióptrica Meio 2 (n2)

Meio 1 (n1)

Índice de refração

Índice de refração é uma relação entre a velocidade da luz em um determinado meio e a velocidade da luz no vácuo (c). Em meios com índices de refração mais baixos (próximos a 1) a luz tem velocidade maior (ou seja, próximo a velocidade da luz no vácuo). A relação pode ser descrita pela fórmula:

Onde: c é a velocidade da luz no vácuo (c = 3 x 108 m/s); v é a velocidade da luz no meio;De modo geral, a velocidade da luz nos meios materiais é menor que c; e assim, em geral, teremos n > 1. Por extensão, definimos o índice de refração do vácuo, que obviamente é igual a 1. Portanto, sendo n o índice de refração de um meio qualquer, temos:

Leis de Refração

1) O raio incidente, o raio refratado e a normal, no ponto de incidência, estão contidos num mesmo plano.

A normal é uma reta perpendicular à superfície no ponto de incidência, θA é denominado ângulo de incidência e θB, ângulo de refração.

2) Lei de Snell-Descartes - Os senos dos ângulos de incidência e refração são diretamente proporcionais às velocidades da onda nos respectivos meios.

Ou seja:

Dessa igualdade tiramos:

Exercícios1) Mediu-se o módulo da velocidade da luz amarela de sódio

propagando-se num sólido e obteve-se o valor de 2,0 . 108 m/s. Qual o índice de refração absoluto desse sólido, para a luz de sódio? Usar velocidade da luz no vácuo.

2) Um raio luminoso que se propaga no ar "n(ar) =1" incide sobre um meio transparente de índice de refração n, fazendo um ângulo de 60° com a normal. Nessa situação, verifica-se que o raio refletido é perpendicular ao raio refratado, como ilustra a figura.

3) Na figura adiante, um raio de luz monocromático se propaga pelo meio A, de índice de refração 2,0.

Dados: sen 37° = 0,60

sen 53° = 0,80

Devemos concluir que o índice de refração do meio B é?

4) A figura a seguir indica a trajetória de um raio de luz que passa de uma região semicircular que contém ar para outra de vidro, ambas de mesmo tamanho e perfeitamente justapostas.

Determine, numericamente, o índice de refração do vidro em relação ao ar.

ReflexãoReflexão é um fenômeno físico no qual ocorre a mudança da direção de propagação da luz (desde que o ângulo de incidência não seja de 90°). Ou seja, consiste no retorno dos feixes de luz incidentes em direção à região de onde ela veio, após os mesmos entrarem em contato com uma determinada superfície refletora.

Tipos de Reflexão Reflexão regular: é a reflexão que ocorre numa superfície lisa e

polida. Exemplo: espelho.

Reflexão difusa: é a reflexão que ocorre numa superfície irregular. Nesta reflexão os raios espalham-se desordenadamente em todas as direções.

Leis de Reflexão

1° lei – O raio incidente, o raio refletido e a normal são coplanares, ou seja, pertencem ao mesmo plano.

2° lei – O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, ou seja, r = i.

Espelhos Espelhos Planos: Uma superfície lisa e plana, que reflete

especularmente a luz é denominada espelho plano.

Considere um objeto O colocado em frente a um espelho plano. A luz que sai do objeto e incide no espelho é refletida. A figura abaixo mostra alguns raios luminosos incidentes no espelho, bem como os raios refletidos, sempre de acordo com as leis da reflexão.

Verificamos que esses raios refletidos formam um feixe divergente como se estivesse sendo refletida pelo ponto I que situa-se a uma distância d do espelho que é exatamente a mesma distância entre o ponto O e o espelho. Essa imagem, por ser conjugada pelos prolonga-mentos dos raios refletidos é uma imagem virtual.

Posição da Imagem: Em um espelho plano, a imagem é simétrica do objeto em relação ao espelho. Objeto e Imagem estão sob a mesma perpendicular ao espelho, separados pelo plano do espelho e eqüidistantes deste.

Campo visual Campo Visual é a região do espaço que determinado observador pode enxergar por reflexão. A demarcação do campo pode ser feita de forma simples. Dada a posição do observador O, determina-se a posição simétrica O’ em relação ao espelho. A região do espaço visível por reflexão é determinada ligando-se o ponto O’ às extremidades do espelho.

Translação de um Espelho Plano

Um deslocamento do espelho em direção ao objeto desloca a posição da imagem. Ao se deslocar o espelho por uma distância d, na direção do objeto, a imagem se desloca por uma distância 2d, também na direção do objeto. Desse modo, se o espelho estiver se deslocando com velocidade v constante, a imagem estará se deslocando com velocidade 2v.

Imagens Múltiplas

Quando usamos mais de um espelho plano para formar a imagem de um objeto, poderemos obter múltiplas imagens a partir de um único objeto. O número de imagens depende do ângulo entre os espelhos e é dada por:

Exercícios1) A figura abaixo mostra dois espelhos planos E1 e E2, que formam

entre si um ângulo de 60º. Um raio de luz i incide sobre E1 com ângulo de incidência de 40º. O raio refletido vai atingir E2 com ângulo de incidência de?

2) Olhando para o espelho plano E, o observador O vê as imagens de quais objetos numerados?

Espelhos EsféricosUma superfície lisa, de forma esférica, que reflete especularmente a luz, é um espelho esférico. Se a luz estiver refletindo na superfície interna, dizemos que o espelho é côncavo e se ocorrer na superfície externa, dizemos que o espelho é convexo.

Espelho Côncavo Espelho Convexo

Elementos Principais Vértice do Espelho (V) Centro de Curvatura (C): é o centro da esfera de onde se originou a

calota. Raio de Curvatura (R): é o raio da esfera de onde se originou a

calota. Eixo Principal: determinado por C e V. Foco Principal: quando em um espelho esférico incide um feixe

paralelo, observa-se que o feixe refletido é convergente quando o espelho é côncavo e divergente quando o espelho é convexo. Ao vértice desse feixe refletido damos o nome Foco Principal (F).

Propriedades dos Espelhos EsféricosTodo raio de luz que incide paralelo ao eixo principal reflete-se na

direção do foco principal.

Todo raio luminoso que incide no espelho passando pelo foco(ou em sua direção), reflete paralelamente ao eixo principal.

Todo raio luminoso que incide no espelho passando pelo centro de curvatura(ou em sua direção), reflete sobre o centro de curvatura(ou em sua direção).

F C

Todo raio de luz que incide no espelho no vértice, reflete formando o mesmo ângulo com o eixo principal.

F C

Construção de Imagens Espelhos Côncavos

Para construirmos imagens de objetos extensos devemos construir a imagem de cada um de seus pontos. Para tanto são necessários dois raios principais, para cada ponto. Dependendo da posição do objeto, o espelho côncavo conjuga diferentes imagens. Já o espelho convexo conjuga sempre o mesmo tipo de imagem. Veja:

1) Objeto entre o Foco e o Vértice

Imagem: Virtual, Maior e Direita

2) Objeto sobre o Foco

Imagem: Imprópria

Não há o cruzamento dos raios, nem dos prolongamentos dos raios, logo não há formação de imagem.

3) Objeto entre o Foco e o Centro de Curvatura

Imagem: Real, Maior, Invertida

4) Objeto sobre o Centro de Curvatura

Imagem: Real, Mesmo Tamanho, Invertida

5) Objeto além do Centro de Curvatura

Imagem: Real, Menor, Invertida

Consideramos imagem real como aquela formada pelo cruzamento dos raios refletidos e imagem virtual pelo cruzamento dos prolongamentos dos raios refletidos. Imagem invertida é aquela que parece estar de “cabeça para baixo”, em relação ao objeto. Imagem direita é aquela que não está invertida.

Espelhos Convexos

Para qualquer posição do objeto

Imagem: Virtual, Menor, Direita

Equação dos Espelhos Esféricos

Estudaremos agora um conjunto de equações que nos permitirão obter a posição e o tamanho da imagem de um objeto gerada por um espelho esférico. Para que essas equações possam nos levar a resultados coerentes, devemos estabelecer antes algumas convenções. Simbologia e Convenção de Sinais.

do : abscissa do objeto = distância do objeto ao Vértice di : abscissa da imagem = distância da imagem ao Vértice f : abscissa do foco = distância focal o : ordenada do objeto = altura do objeto i : ordenada da imagem = altura da imagem

do di

o

i

Equação dos Pontos Conjugados

Equação do Aumento Linear Transversal

do

di

A expressão aumento deve ser entendida como ampliação ou como redução. Se |A| > 1, a imagem é maior do que o objeto; se |A| < 1, a imagem é menor do que o objeto. Além disso, se A é positivo, i e o têm o mesmo sinal e a imagem é direita em relação ao objeto; se, pelo contrário, A é negativo, temos uma imagem invertida em relação ao objeto. Observamos também, pela equação, que uma imagem virtual é sempre direita e uma imagem real, sempre, invertida.

Espelho Côncavo foco positivo: f > 0 Espelho Convexo foco negativo: f < 0 Elementos Reais abscissa positivaElementos Virtuais abscissa negativa

Exercícios01. Uma fonte luminosa pontual se encontra sobre o eixo principal e dista 60 cm do vértice de um espelho côncavo de distância focal igual a 20 cm. Trace raios a partir do objeto e localize sua imagem.

2) (ITA) Determinar graficamente a imagem de um objeto OA colocado diante de um espelho côncavo, esférico, de raio R. A distância do centro de curvatura C ao objeto é igual a 2R/3. A imagem é:

a) virtual, direta e menor que o objeto.b) real, invertida e maior que o objeto. c) real, invertida e menor que o objeto. d) real, direta e maior que o objeto. e) virtual, direta e maior que o objeto.

Lentes

Introdução

A lente é um dispositivo refrator, ou seja, reconfigura a distribuição da luz transmitida até ela.

Lentes podem ter as mais variadas formas, dependendo da mudança desejada para a luz que incide sobre as mesmas. As mais conhecidas são as lentes óticas de luz visível, cujas principais aplicações são bastante conhecidas, e que podem ser classificadas como veremos a seguir

Classificação das lentes

Classificação quanto as faces:

Côncavoconvexa

Classificação Quanto Ao Comportamento Óptico

Nessas figuras a seguir consideramos que as lentes são de vidro e estão imersas no ar (nvidro > nar), que é o caso mais comum na prática. Nessas condições, as lentes de bordos finos são convergentes e as lentes de bordos grossos são divergentes.

Determinação Gráfica da Imagem

LENTES CONVERGENTES

1o Caso: Objeto situado antes do centro de curvatura C:

c1 c2

2o Caso: Objeto situado sobre o centro de curvatura C:

c1

c2

3o Caso: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o Foco F:

c1 c2

4o Caso: Objeto situado sobre o Foco F:

5o Caso: Objeto situado entre o Foco F e o Vértice:

Lente Divergente Temos apenas um caso:

Determinação Analítica da Imagem

F1

F2

do di

f f

Equação Conjugada de Gauss

dido do

Aumento Linear Transversal

Por definição, o aumento linear transversal A é a razão entre a altura da imagem i e a altura do objeto o.

dodi di

di

Convergência Ou Vergência De Uma Lente (V)

A convergência ou vergência mede a capacidade de uma lente de convergir ou divergir os raios de luz incidentes. Assim, quanto maior for a distância focal f, menor será a convergência V da lente.

Define-se convergência ou vergência de uma lente esférica delgada como o inverso da distância focal:

Lente convergente: V > 0 → C > 0

Lente Divergente: V < 0 → C < 0

A unidade de vergência no SI: Dioptria (di)

Exercícios

1) Um objeto está sobre o eixo óptico e a uma distancia p de uma lente convergente de distancia f. Sendo p maior que f e menor que 2f, pode-se afirmar que a imagem será:

a) Virtual e maior que o objeto;

b) Virtual e menor que o objeto;

c) Real e maior que o objeto;

d) Real e menor que o objeto;

e) Real e igual ao objeto;

2) Um objeto é colocado perpendicularmente ao eixo principal de uma lente convergente de distancia focal f. Se o objeto está a uma distância 3f da lente, a distância entre o objeto e a imagem conjugada por essa lente é:

a) f/2

b) 3f/2

c) 5f/2

d) 7f/2

e) 9f/2

3) Um objeto tem altura h0 = 20 cm e está localizado a uma distancia d0 = 30 cm de uma lente. Esse objeto produz uma imagem virtual de altura hi = 4,0 cm. A distância da imagem à lente, a distancia focal e o tipo da lente são, respectivamente:

a) 6,0 cm; 7,5 cm; convergente;

b) 1,7 cm; 30 cm; divergente;

c) - 6,0 cm; -7,5 cm; divergente;

d) 6,0 cm; 5,0 cm; divergente;

e) 1,7 cm; -5,0 cm; convergente.