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©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 1/32Cálculo Numérico
Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret
Aula 3: Vetores
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 2/32Cálculo Numérico
Introdução (1)
Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) é fornecida.Tais grandezas são chamadas de escalares e são
modeladas por números reais. Outras grandezas físicas não são completamente
caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são deslocamento,velocidade e força.
Tais grandezas são chamadas de vetoriais e são modeladas por vetores.
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 3/32Cálculo Numérico
Introdução (2)
Sejam os valores financeiros de transações de cartões de crédito de vários clientes dados pela lista abaixo, como segue, 78, 63, 73, 62, 88, 73, 81, 97
Usando-se apenas um símbolo, x, e índices subscritos, pode-se denotar os valores dessa lista, como segue,x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8
Uma lista de valores como essa,x = (x1, x2, x3, ... , x8)
É denominada de vetor.
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 4/32Cálculo Numérico
Vetor (1)
Definição: Um vetor x de ordem (p x 1) é um conjunto de números reais (que podem ser chamados de escalares), os quais podem ser representados como:
Notação: a usual em publicações científicas, ou seja, letras minúsculas em negrito (ou não) ou em itálico. X, Y, x, y, a, b. X, Y, x, y, a, b.
p
p
xxxx
x
xxx
,...,,,ou 3213
2
1
xx
Vetor coluna
Vetor linha
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 5/32Cálculo Numérico
Vetor (2)
Os escalares xi são conhecidos como componentes ou elementos do vetor. Na representação anterior, o vetor coluna consiste de p
linhas e 1 coluna (p também é a dimensão do vetor), e o vetor linha consiste de 1 linha e p colunas.
Exemplo 1: O vetor x apresentado a seguir é um vetor coluna de dimensão 5.
54321
x
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 6/32Cálculo Numérico
Vetor (3)
Em algumas notações, um vetor pode ou não ter um apostrofe simples agregado ao seu nome para representar que ele é um vetor transposto (e vice-versa).
Exemplo 2: Seja o vetor x abaixo, o qual é um vetor linha de dimensão p.
O vetor x no formato transposto x ou xT é representado como segue,
][x 321 pxxxx
px
xxx
...x 3
2
1
p
T
x
xxx
...x 3
2
1
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 7/32Cálculo Numérico
Vetor (4)
Vetores podem ser representados graficamente no ℝ2. Exemplo 3: Sejam x e y os vetores apresentados a
seguir e sua representação em ℝ2.
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 8/32Cálculo Numérico
Vetor (5)
Álgebra Vetorial:
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 9/32Cálculo Numérico
Soma de Vetor (1)
Exemplo 4: Soma de Vetores.4.1) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (1,-6,9).
Então a + b = ((2+1),(4-6),(-5+9)) = (3,-2,4).
4.2) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (0,0,0). Então a + b = ((2+0),(4+0),(-5+0)) = (2,4,-5).
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 10/32Cálculo Numérico
Soma de Vetor (2)
Exemplo 5: Soma de Vetores - Geometria
y
2
22 y
xp
xx2
y2
0 x1+x2x1
1
11 y
xp
y1
y1+y2
p 1+p 2
21
21
2
2
1
121 yy
xxyx
yx
pp
1221 pppp
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 11/32Cálculo Numérico
Propriedades da Soma
Na adição de vetores há algumas propriedades.Comutatividade
u + v = v + uAssociatividade
(u + v) + w = u + (v + w)Vetor Identidade para adição, o Vetor 0
u, u + 0 = uInversa aditiva para a adição
u, há um vetor inverso tal que u + (-u) = 0
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 12/32Cálculo Numérico
Multiplicação Escalar de Vetor (1)
Exemplo 6: Multiplicação por Escalar.6.1) Seja o vetor p = (2,4,-5) e escalar = 7.
Então p = (7(2),7(4),7(-5)) = (14,28,-35)
6.2) Seja o vetor p = (2,4,-5). Então -p = (-1)(2,4,-5) = (-2,-4,5)
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 13/32Cálculo Numérico
Exemplo 7: Multiplicação por Escalar – Geometria.
yx
p
y
x0 x
y
a < 0
yaxa
yx
aap
0 < a < 1 a > 1
ax
ay
Multiplicação Escalar de Vetor (2)
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 14/32Cálculo Numérico
Propriedades da Multiplicação
Na multiplicação de vetores há algumas propriedades.Associatividade
(u) = ()u, para , escalaresDistributividade
(+ )u = u + u, para , escalaresIdentidade escalar
u, u = u, para =1
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 15/32Cálculo Numérico
Combinação Linear de Vetores
Sejam u1, u2, u3, ..., um vetores de ℝn e os escalares r1, r2, r3, ..., rm de ℝ.
Pode-se multiplicar os vetores pelos escalares e realizar a soma deles para se constituir o vetor
v = r1u1 + r2u2 + r3u3 + ... + rmum O vetor v é denominando de combinação linear dos
vetores u1, u2, u3, ..., um. Exemplo 8: Em ℝ2 o vetor v = (10,16) é uma combinação
linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,4), pois
v = 4u1 + 2u2
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 16/32Cálculo Numérico
Produto Interno (1)
O produto interno (ou produto ponto ou produto escalar) de dois vetores a e b é o escalar denotado por ab , para dois vetores de mesma dimensionalidade e definido por
Usualmente se escreve esse resultado como o produto de um vetor (linha) a e um vetor (coluna) b
n
innii babababa
12211 ba
n
iii
nn
n
n
ba
bababa
b
bb
aaa
1
2211
2
1
21
ba
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 17/32Cálculo Numérico
Produto Interno (2)
O produto interno v.u é obtido com a multiplicação dos componentes correspondentes e com a soma dos produtos resultantes.
Diz-se que os vetores v e u são ortogonais ou perpendiculares, se seu produto interno for nulo (se v.u = 0).Ou seja,
n
innii uvuvuvuv
12211 0uv
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 18/32Cálculo Numérico
Produto Interno (3)
Exemplo 9: Sejam os seguintes vetores a = (1,-2,3), b = (4,5,-1) e c = (2,7,4). Calcular a.b e a.c.a.b = (1)(4) + (-2)(5) + (3)(-1) = 4 - 10 - 3 = -9. a.c = (1)(2) + (-2)(7) + (3)(4) = 2 - 14 - 12 = 0.
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 19/32Cálculo Numérico
Produto Interno (4)
Exercício 1: Sejam os seguintes vetores a = (1,2,3,4) e b = (6,,-8,2). Encontrar o valor do escalar tal que os vetores a e b sejam ortogonais.
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 20/32Cálculo Numérico
Propriedades do Produto Interno
No produto interno de vetores há algumas propriedades. Sejam u e v vetores em ℝn e um escalar em ℝ.(u + v).w = u.w + v.w;(u).v = (u.v);u.v = v.u; eu.u = 0 se e somente se, u = 0.
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 21/32Cálculo Numérico
Norma de um Vetor (1)
A norma ou comprimento de um vetor x de ℝn, denotado por é definida como sendo a raiz quadrada de x.x.
Ou seja, se x = (x1,x2,...,xn) então
é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes de x. e se e somente se, x = 0. Um vetor x é chamado de vetor unitário se Ou seja, se x.x = 1.
x
n
iix
1
2xxxxx
x
0x 0x1x
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 22/32Cálculo Numérico
Norma de um Vetor (2)
Dado qualquer vetor não nulo y,
É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de y; eO processo de se encontrar o vetor a partir do vetor y é
denominado de normalização de y.
yyy
yy
1ˆ
y
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 23/32Cálculo Numérico
Norma de um Vetor (3)
Exemplo 10: Seja o vetor u = (1,-2,-4,5,3). Obter .Pode-se calcular primeiramente ; eTomando-se o quadrado de cada componente e somando,
como se segue,
u2u
559251641)3()5()4()2()1( 222222 u
55u
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 24/32Cálculo Numérico
Norma de um Vetor (4)
Exemplo 11: Seja o vetor v = (1,-3,4,2) e w = (1/2,-1/6,5/6,1/6). Obter , e . Para se obter e calcula-se como se segue,
Normalizando o vetor v, como se segue, tem-se
Que é o único vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor v.
3041691)2()4()3()1( 22222 vv
v w
11361
365
361
369)6
1()65()6
1()21( 22222 uw
)30
2,30
4,30
3,30
1(ˆ vvv
v wv
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 25/32Cálculo Numérico
Norma de um Vetor (5)
Propriedades da norma:Dados quaisquer vetores u e v de ℝn, então segue que,
vuu.v
vuvu
Desigualdade de Schwarz
Desigualdade de Minkowski
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 26/32Cálculo Numérico
A distância entre os vetores u = (x1,x2,...,xn) e v = (y1,y2, ... ,yn) de ℝn é definida por
Exemplo 12: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância d(u,v).
n
iii yxdist
1
2)()( vuvu,d v)(u,
Distância, Ângulos e Projeções (1)
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 27/32Cálculo Numérico
Distância, Ângulos e Projeções (2)
212
212 )()()( yyxxdist u-vvu,
12
12
1
1
2
2
yyxx
yx
yx
uv
y
xx1
y1
0 x2
y2
v
v-u
-u
(x2-x1)
(y2-y1)
u
v-u
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 28/32Cálculo Numérico
O ângulo entre dois vetores não nulos u e v de ℝn é definido por
Este ângulo está bem definido, pois
Se u.v = 0, então = 90º (ou /2).
vuu.v cos
Distância, Ângulos e Projeções (3)
11 vu
u.v
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 29/32Cálculo Numérico
A projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v é definida por
*uvv.vu.vv
vu.v v)(u, 2proj
Distância, Ângulos e Projeções (4)
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 30/32Cálculo Numérico
Exercício 2: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância dist(u,v).
Distância, Ângulos e Projeções (5)
212
2121221 )()(),( yyxxdist pppp
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 31/32Cálculo Numérico
Exercício 3: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular o ângulo entre os dois vetores.
Distância, Ângulos e Projeções (6)
vuu.v cos
©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 32/32Cálculo Numérico
Exercício 4: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a projeção proj(u,v).
Distância, Ângulos e Projeções (7)
*uvv.vu.vv
vu.v v)(u, 2proj