©Prof. Lineu MialaretAula 3 - 1/32Matemática Discreta I Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

10 Semestre de 2013

Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret

Aula 3: Vetores


Introdução (1)

Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) é fornecida.Tais grandezas são chamadas de escalares e são

modeladas por números reais.

Outras grandezas físicas não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são deslocamento,velocidade e força.

Tais grandezas são chamadas de vetoriais e são modeladas por vetores.


Introdução (2)

Sejam os valores financeiros de transações de cartões de crédito de vários clientes dados pela lista abaixo, como segue, 78, 63, 73, 62, 88, 73, 81, 97

Usando-se apenas um símbolo, x, e índices subscritos, pode-se denotar os valores dessa lista, como segue,x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8

Uma lista de valores como essa,x = (x1, x2, x3, ... , x8)

É denominada de vetor.


Vetor (1)

Definição: Um vetor x de ordem (p x 1) é um conjunto de números reais (que podem ser chamados de escalares), os quais podem ser representados como:

Notação: a usual em publicações científicas, ou seja, letras minúsculas em negrito (ou não) ou em itálico. X, Y, x, y, a, b. X, Y, x, y, a, b.

p

p

xxxx

x

x

x

x

,...,,,ou 3213

2

1

xx

Vetor coluna

Vetor linha


Vetor (2)

Os escalares xi são conhecidos como componentes ou elementos do vetor. Na representação anterior, o vetor coluna consiste de p

linhas e 1 coluna (p também é a dimensão do vetor), e o vetor linha consiste de 1 linha e p colunas.

Exemplo 1: O vetor x apresentado a seguir é um vetor coluna de dimensão 5.

5

4

3

2

1

x


Vetor (3)

Em algumas notações, um vetor pode ou não ter um apostrofe simples agregado ao seu nome para representar que ele é um vetor transposto (e vice-versa).

Exemplo 2: Seja o vetor x abaixo, o qual é um vetor linha de dimensão p.

O vetor x no formato transposto x ou xT é representado como segue,

][x 321 pxxxx

px

x

x

x

...

x 3

2

1

p

T

x

x

x

x

...

x 3

2

1


Vetor (4)

Vetores podem ser representados graficamente no ℝ2. Exemplo 3: Sejam x e y os vetores apresentados a

seguir e sua representação em ℝ2.


Vetor (5)

Álgebra Vetorial:


Soma de Vetor (1)

Exemplo 4: Soma de Vetores.4.1) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (1,-6,9).

Então a + b = ((2+1),(4-6),(-5+9)) = (3,-2,4).

4.2) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (0,0,0). Então a + b = ((2+0),(4+0),(-5+0)) = (2,4,-5).


Soma de Vetor (2)

Exemplo 5: Soma de Vetores - Geometria

y

2

22 y

xp

xx2

y2

0 x1+x2x1

1

11 y

xp

y1

y1+y2

p 1+p 2

21

21

2

2

1

121 yy

xx

y

x

y

xpp

1221 pppp


Propriedades da Soma

Na adição de vetores há algumas propriedades.Comutatividade

u + v = v + uAssociatividade

(u + v) + w = u + (v + w)Vetor Identidade para adição, o Vetor 0

u, u + 0 = u

Inversa aditiva para a adição u, há um vetor inverso tal que u + (-u) = 0


Multiplicação Escalar de Vetor (1)

Exemplo 6: Multiplicação por Escalar.6.1) Seja o vetor p = (2,4,-5) e escalar = 7.

Então p = (7(2),7(4),7(-5)) = (14,28,-35)

6.2) Seja o vetor p = (2,4,-5). Então -p = (-1)(2,4,-5) = (-2,-4,5)


Exemplo 7: Multiplicação por Escalar – Geometria.

y

xp

y

x0 x

y

a < 0

ya

xa

y

xaap

0 < a < 1 a > 1

ax

ay

Multiplicação Escalar de Vetor (2)


Propriedades da Multiplicação

Na multiplicação de vetores há algumas propriedades.Associatividade

(u) = ()u, para , escalaresDistributividade

(+ )u = u + u, para , escalaresIdentidade escalar

u, u = u, para =1


Combinação Linear de Vetores

Sejam u1, u2, u3, ..., um vetores de ℝn e os escalares r1, r2, r3, ..., rm de ℝ.

Pode-se multiplicar os vetores pelos escalares e realizar a soma deles para se constituir o vetor

v = r1u1 + r2u2 + r3u3 + ... + rmum O vetor v é denominando de combinação linear dos

vetores u1, u2, u3, ..., um.

Exemplo 8: Em ℝ2 o vetor v = (10,16) é uma combinação linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,4), pois

v = 4u1 + 2u2


Produto Interno (1)

O produto interno (ou produto ponto ou produto escalar) de dois vetores a e b é o escalar denotado por ab , para dois vetores de mesma dimensionalidade e definido por

Usualmente se escreve esse resultado como o produto de um vetor (linha) a e um vetor (coluna) b

n

innii babababa

12211 ba

n

iii

nn

n

n

ba

bababa

b

b

b

aaa

1

2211

2

1

21

ba


Produto Interno (2)

O produto interno v.u é obtido com a multiplicação dos componentes correspondentes e com a soma dos produtos resultantes.

Diz-se que os vetores v e u são ortogonais ou perpendiculares, se seu produto interno for nulo (se v.u = 0).Ou seja,

n

innii uvuvuvuv

12211 0uv


Produto Interno (3)

Exemplo 9: Sejam os seguintes vetores a = (1,-2,3), b = (4,5,-1) e c = (2,7,4). Calcular a.b e a.c.a.b = (1)(4) + (-2)(5) + (3)(-1) = 4 - 10 - 3 = -9.

a.c = (1)(2) + (-2)(7) + (3)(4) = 2 - 14 - 12 = 0.


Produto Interno (4)

Exercício 1: Sejam os seguintes vetores a = (1,2,3,4) e b = (6,,-8,2). Encontrar o valor do escalar tal que os vetores a e b sejam ortogonais.


Propriedades do Produto Interno

No produto interno de vetores há algumas propriedades. Sejam u e v vetores em ℝn e um escalar em ℝ.(u + v).w = u.w + v.w;

(u).v = (u.v);

u.v = v.u; e

u.u = 0 se e somente se, u = 0.


Norma de um Vetor (1)

A norma ou comprimento de um vetor x de ℝn, denotado por é definida como sendo a raiz quadrada de x.x.

Ou seja, se x = (x1,x2,...,xn) então

é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes de x.

e se e somente se, x = 0.

Um vetor x é chamado de vetor unitário se Ou seja, se x.x = 1.

x

n

iix

1

2xxxxx

x

0x 0x

1x



Dado qualquer vetor não nulo y,

É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de y; e

O processo de se encontrar o vetor a partir do vetor y é denominado de normalização de y.

y

yy

yy

1ˆ

y



Exemplo 10: Seja o vetor u = (1,-2,-4,5,3). Obter .Pode-se calcular primeiramente ; e

Tomando-se o quadrado de cada componente e somando, como se segue,

u2

u

559251641)3()5()4()2()1( 222222 u

55u



Exemplo 11: Seja o vetor v = (1,-3,4,2) e w = (1/2,-1/6,5/6,1/6). Obter , e . Para se obter e calcula-se como se segue,

Normalizando o vetor v, como se segue, tem-se

Que é o único vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor v.

3041691)2()4()3()1( 22222 vv

v w

11361

365

361

369)6

1()65()6

1()21( 22222 uw

)30

2,30

4,30

3,30

1(ˆ v

vv

v w

v



Propriedades da norma:Dados quaisquer vetores u e v de ℝn, então segue que,

vuu.v

vuvu

Desigualdade de Schwarz

Desigualdade de Minkowski


A distância entre os vetores u = (x1,x2,...,xn) e

v = (y1,y2, ... ,yn) de ℝn é definida por

Exemplo 12: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância d(u,v).

n

iii yxdist

1

2)()( vuvu,d v)(u,

Distância, Ângulos e Projeções (1)



212

212 )()()( yyxxdist u-vvu,

12

12

1

1

2

2

yy

xx

y

x

y

xuv

y

xx1

y1

0 x2

y2

v

v-u

-u

(x2-x1)

(y2-y1)

u

v-u


O ângulo entre dois vetores não nulos u e v de ℝn é definido por

Este ângulo está bem definido, pois

Se u.v = 0, então = 90º (ou /2).

vu

u.v cos


11 vu

u.v


A projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v é definida por

*uvv.v

u.vv

v

u.v v)(u, 2proj



Exercício 2: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância dist(u,v).


212

2121221 )()(),( yyxxdist pppp


Exercício 3: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular o ângulo entre os dois vetores.


vu

u.v cos


Exercício 4: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a projeção proj(u,v).


*uvv.v

u.vv

v

u.v v)(u, 2proj

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