Subgrupos

Prof. Marcio Nascimentomarcio@matematicauva.org

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Estruturas Algebricas II - 2014.2

7 de marco de 2015

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Sumario

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Definicao (Subgrupo)

Seja (G , ∗) um grupo e H um subconjunto de G . Dizemos que H eum subgrupo de G e escrevemos H ≤ G se H e um grupo com aoperacao ∗. Quando H e um subconjunto proprio, podemosescrever H < G .

Exemplos:

(Z,+) < (R,+)

(Q+, ·) nao e subgrupo de (R,+).

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Definicao (Subgrupo)

Seja (G , ∗) um grupo e H um subconjunto de G . Dizemos que H eum subgrupo de G e escrevemos H ≤ G se H e um grupo com aoperacao ∗. Quando H e um subconjunto proprio, podemosescrever H < G .

Exemplos:

(Z,+) < (R,+)

(Q+, ·) nao e subgrupo de (R,+).

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Definicao (Subgrupo)

Seja (G , ∗) um grupo e H um subconjunto de G . Dizemos que H eum subgrupo de G e escrevemos H ≤ G se H e um grupo com aoperacao ∗. Quando H e um subconjunto proprio, podemosescrever H < G .

Exemplos:

(Z,+) < (R,+)

(Q+, ·) nao e subgrupo de (R,+).

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Definicao (Subgrupo Improprio)

Se (G , ∗) e um grupo, entao G e um subgrupo improprio de G .Todos os demais sao subgrupos proprios.

Definicao (Subgrupos Triviais)

Todo grupo admite pelo menos dois subgrupos; ele proprio eH = e, onde e constituıdo pelo elementro neutro de G . Taissubgrupos sao chamados triviais.

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Definicao (Subgrupo Improprio)

Se (G , ∗) e um grupo, entao G e um subgrupo improprio de G .Todos os demais sao subgrupos proprios.

Definicao (Subgrupos Triviais)

Todo grupo admite pelo menos dois subgrupos; ele proprio eH = e, onde e constituıdo pelo elementro neutro de G . Taissubgrupos sao chamados triviais.

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Exemplo

Considere o grupo G = (x1, x2, ..., xn) ; xi ∈ R com a somausual de vetores e o subconjunto

H = (0, x2, ..., xn) ; xi ∈ R

Tem-se H ≤ G ?

H e fechado para a operacao de G ?

Vale a associatividade?

Existe elemento neutro e em (H,+)?

Para cada u ∈ H, existe u′ ∈ H tal que u + u′ = e?

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Exemplo

Considere o grupo G = (x1, x2, ..., xn) ; xi ∈ R com a somausual de vetores e o subconjunto

H = (0, x2, ..., xn) ; xi ∈ R

Tem-se H ≤ G ?

H e fechado para a operacao de G ?

Vale a associatividade?

Existe elemento neutro e em (H,+)?

Para cada u ∈ H, existe u′ ∈ H tal que u + u′ = e?

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Exemplo

Considere o grupo G = (x1, x2, ..., xn) ; xi ∈ R com a somausual de vetores e o subconjunto

H = (0, x2, ..., xn) ; xi ∈ R

Tem-se H ≤ G ?

H e fechado para a operacao de G ?

Vale a associatividade?

Existe elemento neutro e em (H,+)?

Para cada u ∈ H, existe u′ ∈ H tal que u + u′ = e?

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Exemplo

Considere o grupo G = (x1, x2, ..., xn) ; xi ∈ R com a somausual de vetores e o subconjunto

H = (0, x2, ..., xn) ; xi ∈ R

Tem-se H ≤ G ?

H e fechado para a operacao de G ?

Vale a associatividade?

Existe elemento neutro e em (H,+)?

Para cada u ∈ H, existe u′ ∈ H tal que u + u′ = e?

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Exemplo

Considere o grupo G = (x1, x2, ..., xn) ; xi ∈ R com a somausual de vetores e o subconjunto

H = (0, x2, ..., xn) ; xi ∈ R

Tem-se H ≤ G ?

H e fechado para a operacao de G ?

Vale a associatividade?

Existe elemento neutro e em (H,+)?

Para cada u ∈ H, existe u′ ∈ H tal que u + u′ = e?

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Exemplo

Considere a tabela de operacoes de (Z4,+)

Que subgrupos conseguimos identificar?

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Exemplo

Considere a tabela de operacoes do grupo de Klein (V , ∗), ondeV = e, a, b, c

Que subgrupos conseguimos identificar?

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Teorema (Caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,

1 H e fechado para a operacao de G;

2 eG ∈ H;

3 Se a ∈ H entao a−1 ∈ H.

Prova:

(⇒) Se H e um subgrupo de G , entao H e um grupo(dentro de G ) e obviamente as sentencas 1, 2 e 3 saoverdadeiras;

(⇐) Agora, vamos mostrar que se H e um subconjunto deG e atende as condicoes 1, 2 e 3, entao H ≤ G .

De 2, vemos que H possui elemento neutro; De 3, vemosque cada elemento de H admite simetrico. Resta ver quex(yz) = (xy)z para quaisquer x , y , z ∈ H. Isso decorre dex , y , z ∈ H implicar que x , y , z ∈ G .

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Teorema (Caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,

1 H e fechado para a operacao de G;

2 eG ∈ H;

3 Se a ∈ H entao a−1 ∈ H.

Prova:

(⇒) Se H e um subgrupo de G , entao H e um grupo(dentro de G ) e obviamente as sentencas 1, 2 e 3 saoverdadeiras;

(⇐) Agora, vamos mostrar que se H e um subconjunto deG e atende as condicoes 1, 2 e 3, entao H ≤ G .

De 2, vemos que H possui elemento neutro; De 3, vemosque cada elemento de H admite simetrico. Resta ver quex(yz) = (xy)z para quaisquer x , y , z ∈ H. Isso decorre dex , y , z ∈ H implicar que x , y , z ∈ G .

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Teorema (Caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,

1 H e fechado para a operacao de G;

2 eG ∈ H;

3 Se a ∈ H entao a−1 ∈ H.

Prova:

(⇒) Se H e um subgrupo de G , entao H e um grupo(dentro de G ) e obviamente as sentencas 1, 2 e 3 saoverdadeiras;

(⇐) Agora, vamos mostrar que se H e um subconjunto deG e atende as condicoes 1, 2 e 3, entao H ≤ G .

De 2, vemos que H possui elemento neutro; De 3, vemosque cada elemento de H admite simetrico. Resta ver quex(yz) = (xy)z para quaisquer x , y , z ∈ H. Isso decorre dex , y , z ∈ H implicar que x , y , z ∈ G .

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Teorema (Caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,

1 H e fechado para a operacao de G;

2 eG ∈ H;

3 Se a ∈ H entao a−1 ∈ H.

Prova:

(⇒) Se H e um subgrupo de G , entao H e um grupo(dentro de G ) e obviamente as sentencas 1, 2 e 3 saoverdadeiras;

(⇐) Agora, vamos mostrar que se H e um subconjunto deG e atende as condicoes 1, 2 e 3, entao H ≤ G .

De 2, vemos que H possui elemento neutro; De 3, vemosque cada elemento de H admite simetrico. Resta ver quex(yz) = (xy)z para quaisquer x , y , z ∈ H. Isso decorre dex , y , z ∈ H implicar que x , y , z ∈ G .

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Teorema (Outra caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

Prova:

(⇒) Seja H ⊂ G . Entao H e fechado para a operacao deG e para cada b ∈ H existe b−1 tambem em H. Logo, sea, b ∈ H, entao a, b−1 ∈ H e portanto a ∗ b−1 ∈ H.

(⇐) Reciprocamente, suponha que H e um subconjuntode G tal que a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

A associatividade em H ocorre, pois H ⊂ G e em G valeassociativade.

O elemento neutro de G esta em H pois se a ∈ H entaoa ∗ a−1 ∈ H, ou seja, e ∈ H.

Se o elemento neutro esta em H entao para cada a ∈ Hvale que e ∗ a−1 ∈ H, ou seja, a−1 ∈ H.

Por fim, H e fechado para a operacao de G , pois dadosa, b ∈ H tem-se que b−1 ∈ H. Portanto, a ∗ (b−1)−1 ∈ H,isto e, a ∗ b ∈ H.

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Teorema (Outra caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

Prova:

(⇒) Seja H ⊂ G . Entao H e fechado para a operacao deG e para cada b ∈ H existe b−1 tambem em H. Logo, sea, b ∈ H, entao a, b−1 ∈ H e portanto a ∗ b−1 ∈ H.

(⇐) Reciprocamente, suponha que H e um subconjuntode G tal que a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

A associatividade em H ocorre, pois H ⊂ G e em G valeassociativade.

O elemento neutro de G esta em H pois se a ∈ H entaoa ∗ a−1 ∈ H, ou seja, e ∈ H.

Se o elemento neutro esta em H entao para cada a ∈ Hvale que e ∗ a−1 ∈ H, ou seja, a−1 ∈ H.

Por fim, H e fechado para a operacao de G , pois dadosa, b ∈ H tem-se que b−1 ∈ H. Portanto, a ∗ (b−1)−1 ∈ H,isto e, a ∗ b ∈ H.

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Teorema (Outra caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

Prova:

(⇒) Seja H ⊂ G . Entao H e fechado para a operacao deG e para cada b ∈ H existe b−1 tambem em H. Logo, sea, b ∈ H, entao a, b−1 ∈ H e portanto a ∗ b−1 ∈ H.

(⇐) Reciprocamente, suponha que H e um subconjuntode G tal que a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

A associatividade em H ocorre, pois H ⊂ G e em G valeassociativade.

O elemento neutro de G esta em H pois se a ∈ H entaoa ∗ a−1 ∈ H, ou seja, e ∈ H.

Se o elemento neutro esta em H entao para cada a ∈ Hvale que e ∗ a−1 ∈ H, ou seja, a−1 ∈ H.

Por fim, H e fechado para a operacao de G , pois dadosa, b ∈ H tem-se que b−1 ∈ H. Portanto, a ∗ (b−1)−1 ∈ H,isto e, a ∗ b ∈ H.

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Teorema (Outra caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

Prova:

(⇒) Seja H ⊂ G . Entao H e fechado para a operacao deG e para cada b ∈ H existe b−1 tambem em H. Logo, sea, b ∈ H, entao a, b−1 ∈ H e portanto a ∗ b−1 ∈ H.

(⇐) Reciprocamente, suponha que H e um subconjuntode G tal que a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

A associatividade em H ocorre, pois H ⊂ G e em G valeassociativade.

O elemento neutro de G esta em H pois se a ∈ H entaoa ∗ a−1 ∈ H, ou seja, e ∈ H.

Se o elemento neutro esta em H entao para cada a ∈ Hvale que e ∗ a−1 ∈ H, ou seja, a−1 ∈ H.

Por fim, H e fechado para a operacao de G , pois dadosa, b ∈ H tem-se que b−1 ∈ H. Portanto, a ∗ (b−1)−1 ∈ H,isto e, a ∗ b ∈ H.

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Teorema (Outra caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

Prova:

(⇒) Seja H ⊂ G . Entao H e fechado para a operacao deG e para cada b ∈ H existe b−1 tambem em H. Logo, sea, b ∈ H, entao a, b−1 ∈ H e portanto a ∗ b−1 ∈ H.

(⇐) Reciprocamente, suponha que H e um subconjuntode G tal que a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

A associatividade em H ocorre, pois H ⊂ G e em G valeassociativade.

O elemento neutro de G esta em H pois se a ∈ H entaoa ∗ a−1 ∈ H, ou seja, e ∈ H.

Se o elemento neutro esta em H entao para cada a ∈ Hvale que e ∗ a−1 ∈ H, ou seja, a−1 ∈ H.

Por fim, H e fechado para a operacao de G , pois dadosa, b ∈ H tem-se que b−1 ∈ H. Portanto, a ∗ (b−1)−1 ∈ H,isto e, a ∗ b ∈ H.

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Teorema (Outra caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

Prova:

(⇒) Seja H ⊂ G . Entao H e fechado para a operacao deG e para cada b ∈ H existe b−1 tambem em H. Logo, sea, b ∈ H, entao a, b−1 ∈ H e portanto a ∗ b−1 ∈ H.

(⇐) Reciprocamente, suponha que H e um subconjuntode G tal que a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

A associatividade em H ocorre, pois H ⊂ G e em G valeassociativade.

O elemento neutro de G esta em H pois se a ∈ H entaoa ∗ a−1 ∈ H, ou seja, e ∈ H.

Se o elemento neutro esta em H entao para cada a ∈ Hvale que e ∗ a−1 ∈ H, ou seja, a−1 ∈ H.

Por fim, H e fechado para a operacao de G , pois dadosa, b ∈ H tem-se que b−1 ∈ H. Portanto, a ∗ (b−1)−1 ∈ H,isto e, a ∗ b ∈ H.

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Teorema (Outra caracterizacao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H ⊂ G . Entao, H ≤ G se, e somente se,a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

Prova:

(⇒) Seja H ⊂ G . Entao H e fechado para a operacao deG e para cada b ∈ H existe b−1 tambem em H. Logo, sea, b ∈ H, entao a, b−1 ∈ H e portanto a ∗ b−1 ∈ H.

(⇐) Reciprocamente, suponha que H e um subconjuntode G tal que a ∗ b−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H.

A associatividade em H ocorre, pois H ⊂ G e em G valeassociativade.

O elemento neutro de G esta em H pois se a ∈ H entaoa ∗ a−1 ∈ H, ou seja, e ∈ H.

Se o elemento neutro esta em H entao para cada a ∈ Hvale que e ∗ a−1 ∈ H, ou seja, a−1 ∈ H.

Por fim, H e fechado para a operacao de G , pois dadosa, b ∈ H tem-se que b−1 ∈ H. Portanto, a ∗ (b−1)−1 ∈ H,isto e, a ∗ b ∈ H.

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Teorema (Intersecao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H,K subgrupos de G. Entao, H ∩ K ≤ G .

Prova:

Devemos mostrar que dados a, b ∈ H ∩ K tem-sea ∗ b−1 ∈ H ∩ K

Sejam a, b ∈ H ∩ K . Entao a ∈ H e a ∈ K . Da mesmaforma, b ∈ H e b ∈ K

Se a, b ∈ H entao a ∗ b−1 ∈ H, pois H ≤ G .

Da mesma forma, se a, b ∈ K , entao a ∗ b−1 ∈ K .

Ora, mas se a ∗ b−1 ∈ H e a ∗ b−1 ∈ K , entaoa ∗ b−1 ∈ H ∩ K

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Teorema (Intersecao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H,K subgrupos de G. Entao, H ∩ K ≤ G .

Prova:

Devemos mostrar que dados a, b ∈ H ∩ K tem-sea ∗ b−1 ∈ H ∩ K

Sejam a, b ∈ H ∩ K . Entao a ∈ H e a ∈ K . Da mesmaforma, b ∈ H e b ∈ K

Se a, b ∈ H entao a ∗ b−1 ∈ H, pois H ≤ G .

Da mesma forma, se a, b ∈ K , entao a ∗ b−1 ∈ K .

Ora, mas se a ∗ b−1 ∈ H e a ∗ b−1 ∈ K , entaoa ∗ b−1 ∈ H ∩ K

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Teorema (Intersecao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H,K subgrupos de G. Entao, H ∩ K ≤ G .

Prova:

Devemos mostrar que dados a, b ∈ H ∩ K tem-sea ∗ b−1 ∈ H ∩ K

Sejam a, b ∈ H ∩ K . Entao a ∈ H e a ∈ K . Da mesmaforma, b ∈ H e b ∈ K

Se a, b ∈ H entao a ∗ b−1 ∈ H, pois H ≤ G .

Da mesma forma, se a, b ∈ K , entao a ∗ b−1 ∈ K .

Ora, mas se a ∗ b−1 ∈ H e a ∗ b−1 ∈ K , entaoa ∗ b−1 ∈ H ∩ K

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Teorema (Intersecao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H,K subgrupos de G. Entao, H ∩ K ≤ G .

Prova:

Devemos mostrar que dados a, b ∈ H ∩ K tem-sea ∗ b−1 ∈ H ∩ K

Sejam a, b ∈ H ∩ K . Entao a ∈ H e a ∈ K . Da mesmaforma, b ∈ H e b ∈ K

Se a, b ∈ H entao a ∗ b−1 ∈ H, pois H ≤ G .

Da mesma forma, se a, b ∈ K , entao a ∗ b−1 ∈ K .

Ora, mas se a ∗ b−1 ∈ H e a ∗ b−1 ∈ K , entaoa ∗ b−1 ∈ H ∩ K

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Teorema (Intersecao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H,K subgrupos de G. Entao, H ∩ K ≤ G .

Prova:

Devemos mostrar que dados a, b ∈ H ∩ K tem-sea ∗ b−1 ∈ H ∩ K

Sejam a, b ∈ H ∩ K . Entao a ∈ H e a ∈ K . Da mesmaforma, b ∈ H e b ∈ K

Se a, b ∈ H entao a ∗ b−1 ∈ H, pois H ≤ G .

Da mesma forma, se a, b ∈ K , entao a ∗ b−1 ∈ K .

Ora, mas se a ∗ b−1 ∈ H e a ∗ b−1 ∈ K , entaoa ∗ b−1 ∈ H ∩ K

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Teorema (Intersecao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H,K subgrupos de G. Entao, H ∩ K ≤ G .

Prova:

Devemos mostrar que dados a, b ∈ H ∩ K tem-sea ∗ b−1 ∈ H ∩ K

Sejam a, b ∈ H ∩ K . Entao a ∈ H e a ∈ K . Da mesmaforma, b ∈ H e b ∈ K

Se a, b ∈ H entao a ∗ b−1 ∈ H, pois H ≤ G .

Da mesma forma, se a, b ∈ K , entao a ∗ b−1 ∈ K .

Ora, mas se a ∗ b−1 ∈ H e a ∗ b−1 ∈ K , entaoa ∗ b−1 ∈ H ∩ K

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Observacao (Uniao de Subgrupos)

A uniao de subgrupos pode nao ser subgrupo

Prova:

Considere o R2, que e grupo com a operacao +.

O conjunto H = (0, y) ; y ∈ R e um subgrupo de R2.

O conjunto K = (x , 0) ; x ∈ R tambem e um subgrupode R2.

A uniao e o conjunto dos pares da ordenados da forma(x , 0) ou (0, y).

Por exemplo, (3, 0), (0,−2) ∈ H ∪K . Mas (1, 2) /∈ H ∪K .

Veja que ao somarmos os elementos (3, 0) e (0,−2) (coma operacao de G = R2), obteremos um elemento que naoe da forma (x , 0) ou (0, y). Daı, H ∪ K nao e fechadopara a operacao de G , nao sendo, portanto, subgrupo.

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Observacao (Uniao de Subgrupos)

A uniao de subgrupos pode nao ser subgrupo

Prova:

Considere o R2, que e grupo com a operacao +.

O conjunto H = (0, y) ; y ∈ R e um subgrupo de R2.

O conjunto K = (x , 0) ; x ∈ R tambem e um subgrupode R2.

A uniao e o conjunto dos pares da ordenados da forma(x , 0) ou (0, y).

Por exemplo, (3, 0), (0,−2) ∈ H ∪K . Mas (1, 2) /∈ H ∪K .

Veja que ao somarmos os elementos (3, 0) e (0,−2) (coma operacao de G = R2), obteremos um elemento que naoe da forma (x , 0) ou (0, y). Daı, H ∪ K nao e fechadopara a operacao de G , nao sendo, portanto, subgrupo.

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Observacao (Uniao de Subgrupos)

A uniao de subgrupos pode nao ser subgrupo

Prova:

Considere o R2, que e grupo com a operacao +.

O conjunto H = (0, y) ; y ∈ R e um subgrupo de R2.

O conjunto K = (x , 0) ; x ∈ R tambem e um subgrupode R2.

A uniao e o conjunto dos pares da ordenados da forma(x , 0) ou (0, y).

Por exemplo, (3, 0), (0,−2) ∈ H ∪K . Mas (1, 2) /∈ H ∪K .

Veja que ao somarmos os elementos (3, 0) e (0,−2) (coma operacao de G = R2), obteremos um elemento que naoe da forma (x , 0) ou (0, y). Daı, H ∪ K nao e fechadopara a operacao de G , nao sendo, portanto, subgrupo.

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Observacao (Uniao de Subgrupos)

A uniao de subgrupos pode nao ser subgrupo

Prova:

Considere o R2, que e grupo com a operacao +.

O conjunto H = (0, y) ; y ∈ R e um subgrupo de R2.

O conjunto K = (x , 0) ; x ∈ R tambem e um subgrupode R2.

A uniao e o conjunto dos pares da ordenados da forma(x , 0) ou (0, y).

Por exemplo, (3, 0), (0,−2) ∈ H ∪K . Mas (1, 2) /∈ H ∪K .

Veja que ao somarmos os elementos (3, 0) e (0,−2) (coma operacao de G = R2), obteremos um elemento que naoe da forma (x , 0) ou (0, y). Daı, H ∪ K nao e fechadopara a operacao de G , nao sendo, portanto, subgrupo.

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Observacao (Uniao de Subgrupos)

A uniao de subgrupos pode nao ser subgrupo

Prova:

Considere o R2, que e grupo com a operacao +.

O conjunto H = (0, y) ; y ∈ R e um subgrupo de R2.

O conjunto K = (x , 0) ; x ∈ R tambem e um subgrupode R2.

A uniao e o conjunto dos pares da ordenados da forma(x , 0) ou (0, y).

Por exemplo, (3, 0), (0,−2) ∈ H ∪K . Mas (1, 2) /∈ H ∪K .

Veja que ao somarmos os elementos (3, 0) e (0,−2) (coma operacao de G = R2), obteremos um elemento que naoe da forma (x , 0) ou (0, y). Daı, H ∪ K nao e fechadopara a operacao de G , nao sendo, portanto, subgrupo.

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Observacao (Uniao de Subgrupos)

A uniao de subgrupos pode nao ser subgrupo

Prova:

Considere o R2, que e grupo com a operacao +.

O conjunto H = (0, y) ; y ∈ R e um subgrupo de R2.

O conjunto K = (x , 0) ; x ∈ R tambem e um subgrupode R2.

A uniao e o conjunto dos pares da ordenados da forma(x , 0) ou (0, y).

Por exemplo, (3, 0), (0,−2) ∈ H ∪K . Mas (1, 2) /∈ H ∪K .

Veja que ao somarmos os elementos (3, 0) e (0,−2) (coma operacao de G = R2), obteremos um elemento que naoe da forma (x , 0) ou (0, y). Daı, H ∪ K nao e fechadopara a operacao de G , nao sendo, portanto, subgrupo.

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Observacao (Uniao de Subgrupos)

A uniao de subgrupos pode nao ser subgrupo

Prova:

Considere o R2, que e grupo com a operacao +.

O conjunto H = (0, y) ; y ∈ R e um subgrupo de R2.

O conjunto K = (x , 0) ; x ∈ R tambem e um subgrupode R2.

A uniao e o conjunto dos pares da ordenados da forma(x , 0) ou (0, y).

Por exemplo, (3, 0), (0,−2) ∈ H ∪K . Mas (1, 2) /∈ H ∪K .

Veja que ao somarmos os elementos (3, 0) e (0,−2) (coma operacao de G = R2), obteremos um elemento que naoe da forma (x , 0) ou (0, y). Daı, H ∪ K nao e fechadopara a operacao de G , nao sendo, portanto, subgrupo.

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Teorema (Intersecao de Subgrupos)

Seja (G , ∗) um grupo e H1,H2, . . . ,Hn subgrupos de G . Entao,

H1 ∩ H2 ∩ · · · ∩ Hn ≤ G

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo abeliano e H,K subgrupos de G. Entao,

HK = x ∗ y ; x ∈ H, y ∈ K ≤ G

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Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

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Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

14 / 15

Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

14 / 15

Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

14 / 15

Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

14 / 15

Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

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Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

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Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

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Exercıcio

Sejam (G , ∗) e (Ω,N) grupos e ϕ um isomorfismo entre taisgrupos. Mostre que ϕ transforma subgrupo em subgrupo.

Prova:

Seja ϕ : G −→ Ω um isomorfismo, isto e, um homomorfismosobrejetor.

Entao ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)Nϕ(y) e ϕ e uma bijecao.

Se H ≤ G entao ϕ(H) = y ∈ G ′ ; y = ϕ(x) com x ∈ H

Devemos mostrar que ϕ(H) ≤ G ′

Sejam u, v ∈ ϕ(H). Entao u = ϕ(a) e v = ϕ(b) onde a, b ∈ H.

Assim, uNv−1 = ϕ(a)N[ϕ(b)]−1

uNv−1 = ϕ(a)Nϕ(b−1) = ϕ(a ∗ b−1)

Ou seja, uNv−1 e imagem de um elemento de H e, portanto,uNv−1 ∈ ϕ(H)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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Exercıcio

Seja (G , ∗) um grupo e a um elemento de G . Mostrar que

Ha = x ∈ G ; x ∗ a = a ∗ x

e um subgrupo de G .

Prova:

Devemos mostrar que para x , y ∈ Ha tem-se x ∗ y−1 ∈ Ha

Isto e: (x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ (x ∗ y−1)

Se x ∈ Ha, entao x ∗ a = a ∗ x . Da mesma forma, se y ∈ Ha entaoy ∗ a = a ∗ y .

Daı, x = a ∗ x ∗ a−1 e a−1 ∗ y ∗ a = y

Da segunda igualdade, temos: y−1 = (a−1 ∗ y ∗ a)−1 = a−1 ∗ y−1 ∗ a

Assim,(x ∗ y−1) ∗ a = ((a ∗ x ∗ a−1) ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ (a−1 ∗ y−1 ∗ a)

(x ∗ y−1) ∗ a = a ∗ x ∗ y−1 = a ∗ (x ∗ y−1)

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