Função Afim

Prof. Roberto Mauro Moura

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INTRODUÇÃOUm representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1500,00 e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 6% (0,06) sobre o total das vendas que ele faz durante um mês. Nestas condições, podemos dizer que:

𝒔𝒂𝒍 á𝒓𝒊𝒐𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎 ,𝟎𝟔 .(𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒔𝒗𝒆𝒏𝒅𝒂𝒔𝒏𝒐𝒎ê 𝒔)

Podemos escrever essa função usando variáveis (letras minúsculas do nosso alfabeto. 𝒔𝒂𝒍 á𝒓𝒊𝒐𝒎𝒆𝒏𝒔𝒂𝒍=𝒔 (𝒙 )𝒐𝒖 𝒇 (𝒙 )𝒐𝒖𝒚 .

𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒔𝒗𝒆𝒏𝒅𝒂𝒔𝒏𝒐𝒎 ê 𝒔=𝒙𝒔 (𝒙 )=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎 ,𝟎𝟔 𝒙𝒐𝒖 𝒇 (𝒙 )=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎 ,𝟎𝟔𝒙𝒐𝒖𝒚=𝟏𝟓𝟎𝟎+𝟎 ,𝟎𝟔𝒙

𝑬𝒔𝒔𝒆 é𝒖𝒎𝒆𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒖𝒏çã𝒐𝒂𝒇𝒊𝒎 .

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO AFIM

𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 :𝑓 (𝑥 )=2𝑥+1→𝑎=2𝑒𝑏=1𝑓 (𝑥 )=−𝑥+4→𝑎=−1𝑒𝑏=4𝑓 (𝑥 )=13 𝑥−5→𝑎=

13 𝑒𝑏=−5

𝑓 (𝑥 )=4 𝑥→𝑎=4 𝑒𝑏=0𝑓 (𝑥 )=−3→𝑎=0 𝑒𝑏=−3

Casos particulares importantes da função afim

1º) função identidade

2º) função linear𝑓 : 𝐼𝑅→ 𝐼𝑅𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑝𝑜𝑟 𝒇 (𝒙 )=𝒂𝒙𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑥 𝜖 𝐼𝑅 .𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠𝑜 ,𝑏=0.𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 :

3º) função constante

𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥 𝑓 (𝑥 )=15 𝑥 𝑓 (𝑥 )=√3𝑥𝑓 (𝑥 )=0 ;𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑛 çã𝑜 é h𝑐 𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑢𝑙𝑎 .

:

𝑓 (𝑥 )=3 𝑓 (𝑥 )=34 𝑓 (𝑥 )=−2 •

4º) Translação (da função identidade)

𝑓 : 𝐼𝑅→ 𝐼𝑅𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑝𝑜𝑟 𝒇 (𝒙 )=𝒙𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑥 𝜖 𝐼𝑅 .𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 ,𝑎=1𝑒𝑏=0.

𝑓 : 𝐼𝑅→ 𝐼𝑅𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑝𝑜𝑟 𝒇 (𝒙 )=𝒙+𝒃𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑑𝑜𝑥 𝜖 𝐼𝑅𝑒𝑏≠0.𝑁𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 ,𝑎=1.𝒇 (𝒙 )=𝒙+𝟐𝒇 (𝒙 )=𝒙+

𝟏𝟐 𝒇 (𝒙 )=𝒙−𝟑

𝟓

VALOR DE UMA FUNÇÃO AFIM𝑂𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜𝑎𝑓𝑖𝑚 𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥=𝑥0 é 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑝𝑜𝑟 𝑓 (𝑥0 )=𝑎𝑥0+𝑏 .

Exemplo:, determinar:

𝑓 (1 )=5.1+1→ 𝑓 (1 )=6𝑓 (−3 )=5. (−3 )+1→ 𝑓 (−3 )=−14𝑓 ( 15 )=5. 15+1→ 𝑓 ( 15 )=2𝑓 (𝑥+h )=5. (𝑥+h )+1→ 𝑓 (𝑥+h )=5𝑥+5h+1

VALOR INICIAL DA FUNÇÃO AFIM.

Por exemplo:

𝑂𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑓 (𝑥 )=−2𝑥+3é 3 ,𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑓 (0 )=−2.0+3=3.

Determinação de uma função afim

Uma função afim fica inteiramente determinada quando conhecemos dois de seus valores . Por exemplo:

{2𝑎+𝑏=−2𝑎+𝑏=1 { 2𝑎+𝑏=−2

−2𝑎−2𝑏=−2.(−𝟐)−𝑏=−4 .(−1)𝑏=4

𝑎+𝑏=1𝑎+4=1𝑎=1−4𝑎=−3

Taxa de Variação da função afim

.

-,

-

𝑥2≠𝑥1𝑓 (𝑥 )=5𝑥+2 , 𝑙𝑜𝑔𝑜𝑎𝑡𝑎𝑥𝑎𝑑𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 çã 𝑜 é 𝑎=5.𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥+3 ,𝑙𝑜𝑔𝑜𝑎𝑡𝑎𝑥𝑎𝑑𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 çã𝑜 é 𝑎=−2.

CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO AFIM𝐿𝑒𝑚𝑏𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑞𝑢𝑒𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜 𝑓 : 𝐴→ 𝐼𝑅𝑐𝑜𝑚𝐴⊂𝐼𝑅 é :

𝑪𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 : 𝑠𝑒𝑥1<𝑥2 ,𝑒𝑛𝑡 ã 𝑜 𝑓 (𝑥1 )< 𝑓 (𝑥2 ) ;𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒔𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 : 𝑠𝑒𝑥1<𝑥2 ,𝑒𝑛𝑡 ã𝑜 𝑓 (𝑥1 )> 𝑓 (𝑥2 ) .

É possível provar que:

Exemplo:

𝑓 (𝑥 )=3 𝑥−4é 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑥1=2𝑒𝑥2=3𝑐𝑜𝑚2<3∴ 𝑓 (2 )=2𝑒 𝑓 (3 )=5Logo

𝐿𝑜𝑔𝑜 , 𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥 )=3h . 𝐴𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã 𝑜𝟑𝒉𝑛 ã𝑜𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑𝑒 𝒙 ,𝑚𝑎𝑠𝑑𝑒𝒉