Profª. Lizlane Aparecida Trevelin Disciplina: MatemáticaE. E. Jesuíno de Arruda

São Carlos/SP

Sistemas de Numeração

Na pré história, será que

o homem

já contava?

Introdução sobre a origem dos números

Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas: o estudo das ruínas de antigas civilizações• estudos de fósseis, • o estudo da linguagem escrita • e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana.

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que

necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da

própria natureza.

O Início do processo de contagem

A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das

atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser

pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo

O homem começou a produzir alimentos, construir casas e

domesticar animais, aproveitando-se dos mesmos através do uso da lã

e do leite, tornando-se criador e desenvolvendo o pastoreio, o que trouxe profundas modificações na

vida humana.

Olhando ao redor, podemos observar como é grande a presença dos

números.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, desenvolveram-se há cerca de dez

mil anos na região hoje denominada Oriente Médio.

A agricultura passou a exigir o conhecimento do tempo, das

estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as

primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao

final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia

sido acrescentado um novo carneiro ao

rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a

um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma

pedra que era guardada em um saco de couro.

No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que

retornava, era retirada uma pedra do saco.

Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se

algum fosse acrescentado ao rebanho, era

só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é

derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram

usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades,

continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe

significa corte.

Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por

expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a

sua maneira de representação.

Representação numérica

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de

quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos.

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que

necessita de um processo mental.

Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10.

Numeração Egípcia

Numeração Maia

Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma

coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à

coleção. O senso numérico não pode ser

confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que

necessita de um processo mental.

"Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e

mesmo quatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.

Temos também alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso

numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades.

Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de

reconhecer quantidade:

Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho

na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes,

tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho.

Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía

do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só

então voltava ao ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente

até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho.

Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e

se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse

da torre. A experiência foi repetida nos dias subseqüentes com dois, três e quatro homens, ainda

sem sucesso.

Manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso.

Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na

torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se

afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e

cinco, voltou imediatamente ao ninho.

Alguns símbolos antigosNo começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, osprimeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:

I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:

I II III IIIIIIIII

IIIIII

IIIIIII

IIIIIIII

IIIIIIIII

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto

pelos seguintes símbolos numéricos:Outro sistema de numeração muito

importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.

Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo

humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número

33.

O Ábaco

O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe

decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas.

No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os

cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e

ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que

significa bandeja de calcular.

O Sistema de numeração Indo-Arábico

Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o

Paquistão. O primeiro número inventado foi o 1 e ele

significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 significava muitos,

multidão. Observemos uma curiosidade que não pode ter

ocorrida por acaso:

Português Inglês Francês Latim Grego ItalianoTrês three trois ter treis ter

Espanhol Sueco Alemão Russo Polonês Hindutres tre drei tri trzy tri

Notas históricas sobre a atual notação posicional

Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por

árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).

Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas

inscrições do século III antes de Cristo. Esta numeração tinha uma característica do sistema

moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

O que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo

independente.

Estes algarismos por muito tempo, foram denominados de uma forma errada, algarismos

arábicos. Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para

os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos.

Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.

Cada algarismo tinha um nome:

1= eka 2= dvi 3= tri 4= catur 5= pañca6=sat 7= sapta 8= asta 9= nava

Quando foi criada a base 10, cada dezena recebia um nome assim como cada centena e milhar, mas ao invés de fazer como hoje, de

acordo com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem

crescente das potências de 10 por volta do século IV depois de Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas

centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava:

nove sete centos três mil

nava sapta sata ca trisahasra Os hindus tinham nomes individuais para:

10 = dasa 100 = sata

1.000 = sahasra 10.000 = ayuta 100.000 = laksa

1.000.000 = prayuta 10.000.000 = koti

100.000.000 = vyarbuda 1.000.000.000 = padma

Poderiamos escrever o número 12.345 como pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

pois 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 +

10.000 logo: 5 = pañca

40 = catur + dasa 300 = tri + sata

2.000 = dvi + sahasra 10.000 = ayuta

Esta já era uma forma especial. Em virtude da grande repetição que ocorria com

as potências de 10, por volta do século V depois de Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números

grandes, assim o número 12.345 que era escrito como:

Notas históricas sobre a criação do zero

Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindus criaram um

símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a letra u tem um traço horizontal

sobre ela). Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de

um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever:

301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100301 = dasa sunya tri

Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.

Porém estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias

apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.

Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de

458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas qualidades

científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito

claramente:

O Sistema Romano de Numeração

O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja, sua base é dez.

Este sistema é utilizado até hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos,

nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia

dos algarismos romanos. Este sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se

destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas representar quantidades. Com o passar do tempo, os

símbolos utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:

Letra: I V X L C D M

Valor: 1 5 10 50 100 500 1000

Leitura: Um CincoDez Cinquenta Cem Quinhentos Mil

Estas letras obedeciam aos seguintes três princípios:

Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua

esquerda, deve ser somado ao maior. VI = 5 + 1 = 6XII = 10 + 1 + 1 = 12CLIII = 100 + 50 + 3 = 153

Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído domaior.

IX = 10 - 1 = 9XL = 50 - 10 = 40VD = 500 - 5 = 495

Essa idéia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração.

Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseado em

agrupamentos.

1 era representado por uma marca que se parec ia com um bastão |

2 por duas marcas ||E assim por diante:

Trocavam esse agrupamento por um símbolo novo, que parecia um pedaço de corda enrolada:

Juntando vários símbolos de 100, escreviam o 200, o 300,... etc, até o 900.

Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo, que era a figura da flor de lótus:

Um grande avanço: o valor posicional

No ábaco, as bolinhas são todas iguais, mas o valor de cada bolinha depende do arame

em que ela está. Certamente, foi esta característica do ábaco que fez surgir a idéia

de dar valores diferentes a um mesmo algarismo, dependendo do lugar em que ele

está escrito.

Por exemplo, em 3333, o algarismo 3 assume diferentes valores: