Professor João Gilberto

Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos (ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham.

A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono.

Região poligonal convexa: é uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal.

Polígono

Regiãopoligonal

A

B

CD

E

Região poligonal não convexa: É uma região poligonal que Região poligonal não convexa: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas que não estão totalmente contidos na região poligonal mas que não estão totalmente contidos na região poligonal.poligonal.

A

B

C D

E

Convexo Não Convexo

Vértices: são os pontos de encontro de dois lados consecutivos de um polígono A, B, C, D e E.

Lados: são os segmentos que formam a linha poligonal. No polígono, os lados são: . , , , ,AB BC CD DE EA

A B

C

D

E

e1

e2

e3

e4

e5

Ê

D

C

BA

Diagonais: são os segmentos que unem dois vértices não-consecutivos do polígono. As diagonais do polígono acima são os segmentos .

Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos do polígono. No polígono ao lado, os ângulos internos são A, B, C, D, E.

Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. No polígono, os ângulos externos são e1, e2, e3, e4 e e5.

, , , ,AC AD BD BE CE

A B

C

D

E

e1

e2

e3

e4

e5

Ê

D

C

BA

Polígonos regulares são os que apresentam todos os lados e todos os ângulos congruentes (iguais).

Triângulo eqüilátero

Quadrilátero regular: quadrado

Pentágono regular

Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência.

Polígono inscrito

Um polígono está inscrito numa circunferência, quando todos os seus vértices pertencem à circunferência.

Podemos dizer que o polígono está inscrito na circunferência ou que a circunferência está circunscrita no polígono.

Polígonos inscritos e Polígonos inscritos e circunscritoscircunscritos

Polígono circunscrito

Um polígono está circunscrito numa circunferência, quando todos os seus lados são tangentes à circunferência.

Podemos dizer que o polígono está circunscrito a circunferência ou que a circunferência está inscrita no polígono.

Polígonos inscritos e Polígonos inscritos e circunscritoscircunscritos

Centro do polígono é o centro das circunferências inscritas e circunscritas (ponto O).

O apótema de um polígono é a distância do centro do polígono ao ponto médio de qualquer lado (OM). Podemos dizer que o apótema (m) é o raio da circunferência inscrita ao polígono (m).

m

Ângulo central Ângulo central (cêntrico) é o ângulo cujo vértice é o (cêntrico) é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados são semirretas que centro do polígono e cujos lados são semirretas que contém dois vértices consecutivos do polígono.contém dois vértices consecutivos do polígono.

ºc

360a

n

ca

A soma das medidas ângulos internos de um polígono convexo de n lados é.

oiS (n 2) 180

No cálculo das medidas dos ângulos de um polígono convexo, veremos que na soma dos ângulos internos, podemos proceder de dois modos:

1o modo:De um determinado vértice partem (n – 3)

diagonais, que decompõem o polígono em (n – 2) triângulos.

Portanto,

Si = (n – 2) . 180º

1i

2i

3i4i

ni

n 1i

2o modo:

A partir de um ponto P, interno ao polígono, partem n segmentos, cada um com extremidade num vértice do polígono, decompondo esse polígono em n triângulos.

Como a soma dos ângulos com vértices no ponto P é 360º, e a soma dos n triângulos é n . 180º, segue-se que a soma dos ângulos internos do polígono é:

Si = n . 180º - 360º, ou seja

Si = (n – 2) . 180º

1i

2i

3i

ni

P

P2

P3P4

P

Pn

P1

Para o cálculo da soma dos ângulos externos de um polígono, podemos proceder do seguinte modo:

Em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é 180º.

 ae + ai = 180º

ae + ai = 180º

ae + ai = 180º...

Então, Se + Si = n . 180º

Ou seja, a soma das medidas dos ângulos externos é igual a Se e a soma dos ângulos internos é Si. Como os ângulos internos e externos adjacentes são suplementares, logo:

Se + (n – 2) . 180º = n . 180º

Se = 360º

Em todo polígono convexo, tomando-se um ângulo externo para cada vértice, a soma de suas medidas é 360o.

Se = 360o

Representando por ai a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados e por ae a medida do ângulo externo, podemos definir que:

o

e i

360 Sia a

n ne

1) Considerando o pentágono representado na figura a seguir, determine:

a) a soma das medidas dos ângulos internos;b) a medida do ângulo x.

Solução:a) Si = (n – 2) . 180ºcomo n = 5, temos:

Si = (5 – 2) . 180º Si = 540º 

b) Sabemos que num pentágono Si = 540°. Logo: (180° – x) + 105° + 100° + 115° + 120° = 540° x = 80°

A B

C

D

E

x

100°

105°

120°115°

Exemplos:

2) Considere um polígono regular cuja medida de um

ângulo interno seja 3/2 da medida de um ângulo externo.

Determine o número de lados deste polígono.Temos que:

(1)  (2)

Das igualdades (1) e (2), temos: 

 Logo,

º

e ee e e

3a 2a3 360a a 180 5a 72 e 72

2 2 2

e

360 360 360a 72 n n 5

n n 72

i e

3a a

2

i ea a 180

Diagonais: são os segmentos que unem dois vértices não-consecutivos do polígono.

Observe os seguintes polígonos e o número de diagonais traçadas por um de seus vértices.

C D

E

A

B

A

B

C D

E

FA

B

C

D E

F

G

Note que o número de diagonais traçadas por um de seus vértices é igual ao número lados menos três.

Assim, em um polígono de n lados, podemos traçar, por um dos vértices, (n – 3) diagonais.

Como o polígono tem n vértices, podemos traçar n.(n – 3) diagonais.

Esse produto, porém, representa o dobro do número de diagonais, pois cada diagonal foi contada duas vezes (por exemplo, a diagonal e a diagonal).

Então, para calcular o número total de diagonais d de um polígono de n lados, podemos empregar a fórmula:

n (n 3)d

2

Exemplos:

1) Calcular o número de diagonais de um octógono.

Neste caso, temos que n = 8. Logo:

n (n 3) 8 (8 3) 8 5d d d 20

2 2 2

2) Determine o polígono que tem como número diagonais igual ao número de lados?

d = n

2

2

2

2

n (n 3)d

2

n 3nn

2

2n n 3n

2n 3n n

n 5n 0 n 0 ou n 5

Como n representa o número de lados de um polígono, e, portanto, este não pode ser n ≤ 3, temos que este polígono possui 5 lados. Logo, o polígono em questão é pentágono.

4

R 2a

2

Quadrado inscrito

4 R 2

RRa

a

A B

CD

O

Hexágono Regular inscrito

RRa

A B

DE

6 R6

R 3a

2

CFO

Triângulo Equilátero inscrito

3 R 3 3 3

3 Ra ou a

6 2

R

a

A

B C60°

O

l3l3

l32

2

M

aA n

2n 2p (perímetro)

A p a RR

a

A B

DE

FO