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Geometria Euclidiana Plana

Parte I

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2

Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil

Jaime Vinícius Araújo Cirilo - Engenharia de Produção

O que veremos na aula de hoje?

Ângulos opostos pelo vértice

Propriedades dos polígonos

Congruência de triângulos

Semelhança de triângulos





Apresentação

Na geometria plana vamos nos atentar aométodo de cálculo da área das figurasgeométricas planas. Sendo elas os polígonos, ouseja, figura com muitos ângulos.

Observe o desenho abaixo, de dois ângulos opostospelo vértice (opv):

Vamos comprovar se são ângulos opv.


𝒂 e 𝒃 são ângulos opv (opostos pelo vértice).

𝒂 𝒃


Demonstração:Queremos demonstrar que a = b, em que 𝒂 é a medida de a e 𝒃 é amedida de b.

Vemos que a + x = 180° e b + x = 180°.Assim:a + x = b + x a + x – x = b + x – x a = b

Sendo assim dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

𝒂 𝒃

𝒙

As retas r e s são paralelas: estão no mesmo plano e nãotêm ponto comum (r // s).

A reta transversal t forma 4 ângulos com r e 4 ânguloscom s.

Retas paralelas cortadas por uma reta transversal

r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉


Analisando a imagem abaixo, vemos que:

o 𝒂 e 𝒆

𝒃 e 𝒇

𝒄 e 𝒈

𝒅 e 𝒉

Ângulos correspondentesa = e; b = f; c = g; d = h

r

s

t

𝒂 𝒃

𝒄 𝒅

𝒆 𝒇

𝒈 𝒉


Analisando a imagem, vemos que:o 𝒄 e 𝒆

𝒅 e 𝒇

o 𝒂 e 𝒈 𝒃 e 𝒉

o 𝒂 e 𝒉 𝒃 e 𝒈

o 𝒄 e 𝒇 𝒅 e 𝒆

Ângulos alternos internosc = e; d = f

Ângulos alternos externosa = g; b = h

Ângulos colaterais externosa + h = 180°; b + g = 180°

Ângulos colaterais internosc + f = 180°; d + e = 180°

Exercício 1

Considere m e n retas paralelas (m // n), calculeo valor de x e a medida de cada ânguloassinalado.

2x + 10°

x + 30°

m n

Analisaremos assim:

Como x + 30° é o ângulo opv de 𝑦, então 𝑦 = x + 30° e o ângulocorrespondente de 𝑦 é 2x + 10°, assim x + 30° = 2x + 10°x + 30° = 2x + 10°x – 2x = 10° - 30°-x = -20°x = 20°

2x + 10°

x + 30°

𝑦

50°

50°

m n

m n

Exercício 1 (Resolução)

Na figura a seguir, a e b são retas paralelascortadas pela transversal r. Calcule as medidasde x e y sabendo que a diferença entre elas é64°.

𝑦 𝑥

a b

r

Exercício 2

Como x e y são ângulos colaterais externos, ou seja, 𝑥 + 𝑦 = 180°, e pelo enunciado 𝑥 – 𝑦 = 64°, teremos um sistema: 𝑥 – 𝑦 = 64° 𝑥 = 64° + 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 180°

𝑥 + 𝑦 = 180°64° + 𝑦 + 𝑦 = 180°2 𝑦 = 180° - 64°2 𝑦 = 116° 𝑦 = 58°Agora é só utilizar o valor de 𝑦 em algumas das equações,para obter x. 𝑥 + 58° = 180° 𝑥 = 180° - 58° 𝑥 = 122°


Propriedade dos polígonos

Polígono é uma figura fechada formada porsegmentos de retas, que constituem os lados dafigura. O encontro dos segmentos formam osvértices, os ângulos internos e os ângulos externos.

O polígono possui lados, vértices, diagonais,

ângulos internos e ângulos externos.

A nomenclatura de um polígono depende do

número de lados da figura.

Nomenclatura do polígonos

A tabela abaixo contém a nomenclatura de alguns polígonos.

Lados Nome Lados Nome Lados Nome

1 11 undecágono... ...

2 12 dodecágono

3 triângulo 13 tridecágono 30 triacontágono

4 quadrilátero 14 tetradecágono 40 tetracontágono

5 pentágono 15 pentadecágono 50 pentacontágono

6 hexágono 16 hexadecágono 60 hexacontágono

7 heptágono 17 heptadecágono 70 heptacontágono

8 octógono 18 octodecágono 80 octacontágono

9 eneágono 19 eneadecágono 90 eneacontágono

10 decágono 20 icoságono 100 hectágono

Polígonos regulares

Todo polígono regular possui os lados e osângulos com medidas iguais. Alguns exemplosde polígonos regulares.

60° 60°

60°

90°

90°

90°

90°

108°

108° 108°

108°

108°

120° 120°

120°120°

120° 120°

Polígono Convexo

Um polígono é convexo se os ângulos do polígono foremmenores que 180°, assim ele será convexo.

Caso tenha um ângulo com medida maior que 180° ele seráclassificado como não convexo ou côncavo.

Ângulos menores que 180°

Ângulo maior que 180°

Ângulos internos de um polígono

Em um polígono convexo de n lados, a soma dasmedidas dos ângulos internos(Si) é igual a

(n - 2) . 180°. Assim, teremos a fórmula:

Si = (n - 2) . 180°

Exercício 4

Qual o valor de x nesta figura?

160°

95°

𝑥 𝑦

Pela imagem, vemos que o polígono tem 5 lados,utilizaremos desse valor na fórmula para obter a somados ângulos internos desse polígono.Si = (5 - 2) . 180°Si = 3 . 180°Si = 540°Agora, vamos nomear o ângulo interno próximo de x de y.90° + 90° + 160° + 95° + y = 540°435° + y = 540°y = 540° - 435°y = 105°

160°

95°

𝑥 𝑦


Como y + x = 180°, temos:

125° + x = 180°

x = 180° - 105°

x = 75°

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

105° 𝑥


Ângulos internos de polígonos regulares

Para sabermos qual a medida de cada ângulointerno de um polígono regular basta saber asoma dos ângulos internos (Si) e o número delados (n). Em seguida, fazer o quociente entreeles.

Si

𝒏

Ângulos externos de um polígono convexo

Um ângulo externo de um polígono convexo é formado peloprolongamento de um dos lados do polígono.

O ângulo indicado pela sua medida d é um ângulo externo dotriângulo ABC.

A soma das medidas dos ângulos externos de qualquerpolígono convexo(Se) é igual a 360°.

Ângulos externos de um polígono regular

Para sabermos a medida de cada ângulo externode um polígono regular basta fazer o quocienteentre a soma dos ângulos externos (Se) e onúmero de lados (n).

S𝒆

𝒏=

360°

𝒏

Diagonais

Denominamos por diagonal o segmento de retaque une um vértice ao outro. O número dediagonais de um polígono é proporcional aonúmero de lados. Para cálculos envolvendo onúmero de diagonais, utilizamos a seguintefórmula:

d =𝒏 . (𝒏 − 𝟑)

𝟐

Quadriláteros

Trapézio RetânguloParalelogramo

QuadradoLosango

Triângulo

Baricentro Ortocentro

Circuncentro

Incentro

𝐴𝐺

𝐺𝐷=

𝐵𝐺

𝐺𝐹=

𝐶𝐺

𝐺𝐸= 2

Exercício 3

(UNESP) Considere as seguintes proposições:- todo quadrado é um losango;- todo quadrado é um retângulo;- todo retângulo é um paralelogramo;- todo triângulo equilátero é isósceles.

Pode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira.b) todas são verdadeiras.c) só uma é falsa.d) duas são verdadeiras e duas são falsas.e) todas são falsas.

Congruência de Triângulos





Imagine duas figuras tal que seja possíveltransportar uma sobre a outra de modo quecoincidam. Dizemos que essas figuras sãocongruentes.

Ou seja, duas figuras planas são chamadascongruentes quando possuem forma, dimensões, eângulos iguais.

Nesta aula veremos o caso da congruência detriângulos.

Exemplo 1

Pela definição citada anteriormente, observamos que os triângulos ABC e DEF, abaixo, são congruentes.


Para indicar que dois triângulos são congruentes,como no Exemplo 1, utilizamos a seguinte notação:

ΔDEFΔABC

Lados Ângulos

DEAB

DFAC

FECB

DA

FC

EB

Onde, A, B e C são osvértices correspondentesaos vértices D, E e F,respectivamente.


Esta congruência também pode ser indicada daseguinte forma:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33

Notamos que a congruência dos seis elementos (trêslados e três ângulos) determina a congruência entredois triângulos.

A

B FE

D

C

Casos de Congruência

Para identificar se dois triângulos sãocongruentes, não é necessário verificar acongruência dos seis elementos.

Veremos 5 casos em que a congruência detrês elementos garante a congruência destestriângulos.


• 1º caso - LAL (lado, ângulo, lado): dois ladoscongruentes e o ângulo formado por esseslados também congruente.


• 2º caso - LLL (lado, lado, lado): três ladoscongruentes.


• 3º caso - ALA (ângulo, lado, ângulo): doisângulos iguais e o lado entre os ânguloscongruente.

X Y V T


• 4º caso - LAA (lado, ângulo, ângulo): um ladocongruente, e as congruências do ânguloadjacente e do ângulo oposto a esse lado.

𝑄 𝑍

S

L


• 5º caso: Se dois triângulos retângulos têmcongruentes um cateto e a hipotenusa, entãoeles são congruentes.

, ,

H

VS

U

Congruência de triângulos

Portanto, através das definições decongruência de triângulos podemos chegar àspropriedades geométricas sem a necessidade deefetuar medidas.

Chamamos esse método de raciocínio dedemonstração.

Semelhança de Triângulos





Dois triângulos são semelhantes quandosatisfazem ao mesmo tempo às duas condições:

• os lados correspondentes têm medidasproporcionais;

• os ângulos correspondentes são congruentes.


Propriedade fundamental da semelhança de triângulos

Se traçamos um segmento paralelo a qualquer um doslados de um triângulo e ficar determinado um outrotriângulo, este será semelhante ao primeiro.

O próximo exemplo mostra os triângulos ∆ABC e ∆ADE,que atendem a propriedade citada acima.

Note que seus lados são correspondentes.

Exemplo 2

Critérios de semelhança

• 1° Critério - AAA (ângulo/ ângulo/ ângulo): Se osângulos de um triângulo forem respectivamentecongruentes aos ângulos correspondentes de outrotriângulo, então os triângulos são semelhantes.


• 2° Critério - LAL (lado/ângulo/lado): Se as medidasde dois dos lados de dois triângulos sãorespectivamente proporcionais, e os ângulosdeterminados por estes lados são congruentes,então os triângulos são semelhantes.


• 3° Critério - AA (ângulo/ângulo): Se dois triângulostêm dois ângulos internos correspondentescongruentes, então os triângulos são semelhantes.


• 4° Critério - LLL (lado/lado/lado): Se as medidas doslados de dois triângulos são respectivamenteproporcionais, então os triângulos são semelhantes.

Exercício 5

Um edifício iluminado pelos raios solares projeta umasombra de comprimento 72m. Simultaneamente, umaestaca vertical de 2,5m de altura, colocada ao lado doedifício, projeta uma sombra de comprimento 3m. Quala Altura do edifício?


SITUAÇÃO


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