Jaime Vinícius Araújo Cirilo - Engenharia de Produção

Rafael Alves da Silva - Engenharia Civil

Geometria Euclidiana PlanaParte II

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1

Introdução

Desde os egípcios, que procuravam medir edemarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos,engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos eplantas, o cálculo de áreas tem sido umapreocupação constante na história da Matemática.

Na aula de hoje você irá ver como resolverproblemas envolvendo áreas.

Área do quadrado

Particularmente, para o quadrado de lado a, ouseja, b = a e h = a, temos :

A a

aAquadrado = a . a ou Aquadrado = a²

Em que: a é um número real positivo.

Área do Retângulo

Tomando como unidadede área o quadrado de1cm² de área,observamos que cabem12 desses quadradosno retângulo ao lado.Logo, a área doretângulo é 12cm².

1cm²

1 cm

1 cm

3 cm

4 cm

Área do retângulo

Por outro lado, se multiplicarmos a medida docomprimento do retângulo pela medida da sualargura, obtemos o mesmo resultado.

4 cm . 3 cm = 12 cm²

Portanto, a área da superfície de um retângulo é igual aoproduto das medidas da base b e da altura h.

Aretângulo = b . h

Em que: b e h são números reais positivos.

. A h

b

Exercício

O comprimento de um terreno retangular tem28 m a mais do que a frente. Sabendo-se que operímetro desse terreno é de 112 m, determine:

a) As dimensões desse terreno.

b) A área desse terreno.

Resolução

Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões

Como o perímetro de umpolígono plano é a soma dasmedidas de todos os seus lados,somamos seus lados eigualamos ao perímetrofornecido pela questão, que é112.

x

x

x + 28x + 28

112)28()28( xxxx

Resolução

144

56564

561124112564

112)28()28(

xxx

xx

xxxx 14

14

14 + 2814 + 28

a) Substituímos o valor encontrado para x nasdimensões do retângulo.

Verificamos que o terreno mede 14 m de frente e 42m de comprimento.

Resolução

b)

Sabemos as dimensões do retângulo e queremos sabersua área. Vimos que a área do retângulo é dada peloproduto das medidas da base e da altura, no caso, a basee a altura valem, respectivamente, 14 m e 42 m. Logo:

²58842.14 mmmA

Exercício

(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² deárea, deseja-se construir um jardim, tambémretangular, medindo 9 m por 4 m, contornado poruma calçada de largura L, como indica a figura.Calcule o valor de L.

L

L

CALÇADA

JARDIM

L

L

Resolução

De acordo com

as medidas

fornecidas do

jardim, sabemos

que a área do

terreno pode ser

escrita em

função de L da

seguinte forma:

L

L

4 4

L 9 L

)24).(29( LLA

A = Largura x Altura

Resolução

Como a questão nos fornece o valor da área total,igualamos esse valor dado à equação que montamosanteriormente para determinar L:

03413²2²21334

²42668²42636104

²481836104

)2(2)4(2)2(9)4(9104

104)24).(29(

LLLL

LLLL

LLL

LLLL

LLA

Resolução

Resolvemos a equação de segundo grau e acharemospossíveis valores para L:

5,84

34

4

2113

)2(2

44113''

24

8

4

2113

)2(2

44113'

441272169)34)(2(4²13

03413²2

L

L

LL

Resolução

Depois de resolvermos a equação, achamos 2 e -8,5como possíveis valores para L, porém, o valor L éreferente a medida, dimensão, e como não existemmedidas negativas, desconsideramos o valor de -8,5.Então, o valor de L é de 2 m.

5,84

34

4

2113

)2(2

44113''

24

8

4

2113

)2(2

44113'

L

L

Área do paralelogramo

Cortando um pedaço do paralelogramo, podemosencaixá-lo do outro lado, transformando-o numretângulo. Veja:

hb

Então, podemos definir que a área do paralelogramoé igual à área do retângulo:

Aparalelogramo = b . h

Em que: b e h são números reais positivos.

Área do triângulo

Toda região triangular é metade da região limitadapor um paralelogramo de mesma base e altura.

Como dividimos umparalelogramo em doistriângulos iguais, a área de cadaum dos triângulos é igual àmetade da área doparalelogramo:

h

b

Atriângulo =2

h . b

Exercício

A vela de um barco tem a forma triangular, com4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35%dessa vela de azul, 25% de verde e o restante debranco.

a) Qual a área da parte azul?

b) Qual a área da parte verde? E da branca?

Resolução

Sabemos que a área do triângulo é a metade do produtoda base pela altura. Como temos esses valores, apenasaplicamos a definição:

²102

20

2

5.4

2

.m

hbA

a)

Como 35% dessa área será pintada de azul, multiplicamos35/100 pelo valor da área total para saber a área azul queserá pintada:

²5,3100

35010.

100

35mAazul

Resolução

b) 25% da vela será pintada de verde, então:

²5,2100

25010.

100

25mAverde

Já foi pintada 60% da área da vela (35% de azul e 25% deverde). Como o restante será pintado de branco, esserestante será de 40% da área da vela (100% – 60%):

²4100

40010.

100

40mAbranco

Exercício

Para decorar seu quarto, Carol preparoubandeirinhas de papel. A partir do modelo abaixo, elafez 240 bandeirinhas. Qual a área total de papelutilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela?

Resolução

Para calcular a área total, achamos a área de umabandeira, e depois multiplicamos pelo numero n debandeiras.

4 cm

4 cm 4 cm

2 cm

4 cm

Aplicamos o teorema dePitágoras para achar a alturah do triângulo.

3212²12

²416²²2²4

hhh

hh

Resolução

4 cm

2 cm

32 cm

Agora acharemos a área dametade de uma bandeira, já quetemos sua base e altura:

²322

32.2cmA

Como achamos a metade daárea de uma bandeira, aárea da bandeira será odobro dessa área:

²3432.2.2 cmAAbandeira

Resolução

Achamos a área de uma bandeira, a área total será onúmero de bandeiras multiplicado por essa área. Comoo número de bandeiras é 240, multiplicamos esse valorpela área de uma bandeira e acharemos a área total:

²396034.240.240 cmAA bandeiratotal

A área total de papel necessário para Carol fazer suasbandeirinhas foi cm².3960

Área de um triângulo equilátero

Área de um triângulo equilátero

Área de um triângulo equilátero

Área do trapézio

Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par delados paralelos, que são suas bases.

Vamos decompor a regiãolimitada por um trapéziopara encontrar sua área.

Área do trapézio

Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números

reais positivos).

Primeiro, decompomos aregião traçando uma desuas diagonais.

a

b

B

Observe que temos agora 2 regiões triangulares:

b

a a

B

Área do trapézio

A área de uma região triangular nós já aprendemos acalcular, então temos:

2

).(A

2

..A

2

.

2

.A

AAA

T

T

T

21T

aBb

aBab

aBab

A1

A2

b

B

a

2

)(AT

abB

Exercício

Determine a área do terreno plano abaixo usando asmedidas dadas.

Resolução

6m

4m

12m

5m

9m

11m

Modelo matemático:

decomposição do terrenoem três regiões.

Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos que:

²127A2

4)119(

2

65)612(A

2

)(

2)(A

AAAA

terrenoterreno

terreno

trapéziotriânguloretânguloterreno

m

hbBbhbh

Área do Losango

Todo losango pode ser transformado num retânguloequivalente, com altura D e base d/2.

Assim, a área da região limitada porum losango é dada pela metade doproduto das medidas das diagonais.

2

dD.Alosango

Em que D e d são números reais positivos.

Exercício

(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontosmédios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a áreado retângulo (Ar) e a do losango (AL)?

a) ½

b) 2

c) 1/3

d) 4/3

Resolução

Temos a seguinte figura:

A partir disso, calculamos a área de cada figura:

e , logo a razão Ar/AL é:DdAr 2

DdAL

22

1

2

A

A

L

r Dd

Dd

Dd

Dd

Área de um Hexágono regular

Um hexágono regular é formado por seis regiões

triangulares equiláteras.

Como a área de uma região

triangular equilátera é dada por:

4

3²6

4

3²6Ahexágono

ll

2

3²3Ahexágono

l

4

3²A quiláterotriânguloe

l

Ou seja:

A área do hexágono é dada por:

Área de um polígono regular

Um polígono regular é aquele que tem todos os

lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele

pode sempre ser inscrito em uma circunferência.

Exemplos:

Área de um polígono regular

Pode-se perceber que se o polígono regular tem n

lados, a região limitada por ele pode ser decomposta

em n regiões limitadas por triângulos isósceles.

Em cada um desses triângulos, abase é o lado (l ) e a altura é o

apótema (a). Logo:

2

anA

l

Em que l : lado

a: apótema

n: número de lados, (valores reais positivos).

Exercício

Na figura, ABCD é um quadrado de

lado a. Tomando-se E e G nos

prolongamentos da diagonal AC e

F e H nos prolongamentos da

diagonal BD, com EA=AC=CG e

FB=BD=DH, determine a área do

octógono AFBGCHDE em função de

a.

Resolução

Podemos perceber que ooctógono é formado por 4triângulos congruentes:

Logo, a área total equivale a somadas áreas de cada triângulo.

Sendo assim, vamos encontrar as

medidas, calcular a área de um

triângulo e multiplicar por 4.

Resolução

Primeiro considere o triânguloisósceles (hachurado), de medidasa, x e x.

E note que o valor de x

corresponde a base dos

triângulos maiores.

Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a),

aplicando o teorema de Pitágoras:

2

ax

2

ax2xaxxa

2222222

Resolução

Sabendo o valor de x, podemosverificar as demais medidas dostriângulos maiores.

Para descobrir a alturado triângulo, voltamospara o enunciado daquestão, que diz queDB=DH, por exemplo.Logo a altura dotriângulo é o triplo desua base.

x3

x

2x

x

Resolução

Como ,a base do triângulo é igual a e a altura é

.2

ax

2

a

2

3a

Por fim a área de cada triângulo é dada por:

E a área do octógono:

4

3a

2

2

3a

2

2

3a

2

a

2

alturaBaseA

2

2

triângulo

22

total 3a4

3a4A

2

3a

2

a

Obrigada pela atenção!

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