Professor Oswaldo

Módulo 21 - Cone

Observe o sólido gerado ao rotacionarmos o triângulo retângulo em torno de um dos

seus catetos.

A

B C

Clique

A

B C

Ao rotacionar um triânguloretângulo em torno

de um dos seus catetos, teremos o CONE DE REVOLUÇÃO ( ou CONE CIRCULAR RETO ).

O**

h

90º90º

A Fig. mostra um Cone Oblíquo.

V é vérticeR é raio da baseh é alturag é geratriz

R

V

g

eixo

Elementos do Cone

Cone Circular Reto

OO

**

g2) No VOA :

AB

V

ou Cone de Revolução

gg2 2 = h= h22 + R + R22

R

h

1) O eixo é perpendicular ao plano da base.

O VBA é a seção meridiana do cone.

SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana

OO** AB

V

g

2R

Se o triângulo Se o triângulo VBA é VBA é

equilátero, o equilátero, o cone é um cone é um

Cone Cone EquiláteroEquilátero..

g=2Rg=2R

Planificação do Cone Reto

Rx

h

gClique

Rx

h

g

Rx

h

g

Rx

h

g

Rx

h

g

Rx

h

g

Rx

h

g

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

x

h

g

R

g

2RR

Ângulo

==2R g

Planificação do Cone Reto

SSLL = = R g R g SSLL = = R g R g

St = SL+ SbSt = SL+ Sb

Área Lateral( SL )

Área Total( St )

Volume( V )

SSbb = = R R22 SSbb = = R R22Área Base

( Sb )

Áreas e VolumeÁreas e Volume

V = . Sb.hV = . Sb.h 1 1 33

Ex. 1: (EPUSP-SP)

Desenvolvendo a superfície lateral de um Desenvolvendo a superfície lateral de um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um setor circular cujo ângulo central mede:setor circular cujo ângulo central mede:

a) 216ºa) 216º

b) 240ºb) 240º

c) 270ºc) 270º

d) 288ºd) 288º

e) Nenhuma das respostase) Nenhuma das respostas anteriores.anteriores.

Ex. 2: (UF-RS)

O volume do sólido gerado pela revolução O volume do sólido gerado pela revolução de um triângulo equilátero de lado 2 em de um triângulo equilátero de lado 2 em torno de um de seus lados é:torno de um de seus lados é:

a) a)

b) b) 16 16 33

c)c)

d)d)

e) e) 32 32 33

Ex. 3:

Um recipiente em forma de cone circular reto Um recipiente em forma de cone circular reto de de

altura h é colocado com vértice para baixo e altura h é colocado com vértice para baixo e com eixo na vertical, como na figura. O com eixo na vertical, como na figura. O recepiente, quando cheio até a borda, comporta recepiente, quando cheio até a borda, comporta 400 ml. Determine o volume de líquido quando o400 ml. Determine o volume de líquido quando onível está na metade da altura h.nível está na metade da altura h.