Professor Rodrigo Cavalcanti. Prof: Rodrigo Cavalcanti Progressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá Imaginemos uma situação em que um atleta inicie

professor Rodrigo Cavalcanti

Progressão Aritmética (PA)

Professor : Eduardo Jatobá

Prof: Rodrigo CavalcantiProgressão Aritmética Professor: Eduardo Jatobá

Imaginemos uma situação em que um atleta inicie seu treinamento numa pista de corrida de 300 m, percorrendo 2 voltas no 1º dia, 5 voltas no 2º dia, 8 voltas no 3º dia e assim por diante, até atingir o limite da sua capacidade.

• Monte uma tabela que informe a quantidade de voltas dadas em função do número de dias, detalhando como se chega ao resultado da quantidade de voltas dadas. (Monte sua tabela até o 5º dia)

Exemplo do detalhamento: 1º dia = 2 voltas 2º dia = 2 voltas + 3 voltas = 5 voltas • Há algo que sempre se repete nessa tabela? Em caso afirmativo, o que se repete?


• Qual a quantidade de voltas dadas no 10º dia?

• Na sua opinião, por que este exemplo é uma PA?

• A partir do exemplo dado, generalize o conceito de PA.

• Agora, compare o seu conceito com o conceito formal de PA

• Progressão Aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.

• O número r é chamado de razão da progressão aritmética.

Exemplosa) A sequência (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39) é uma PA finita de razão r = 5b) A sequência (18,10, 2, -6, -14, ...) é uma PA infinita de razão r = - 8

c) A sequência (4, 4, 4, 4, 4, ...) é uma PA infinita de razão r = 0.


• No exemplo da pista de atletismo, temos uma PA finita ou infinita? Por que?

• Qual a razão do problema proposto?

Considere uma PA qualquer de razão r:

,...a,a,...,a,a,a,a 1nn4321

• Como podemos obter a razão r na sequência acima?

Resposta: n1n342312 aaaaaaaar

• A que conclusão podemos chegar a partir do resultado supracitado?

Resposta: A diferença de dois termos consecutivos quaisquer é constante e igual à razão r.


Exercícios Resolvidos

01. Calcular a razão da PA que tem termos .2ae53

a 65

Resolução:

56 aar

53

2r

57

r



02. Verificar se as sequências abaixo são progressões aritméticas ou não.

a) (5, 9, 13, 17, 21)

Resposta: É uma PA de razão 4.

b) (-2, -5, -8, -12)

Resposta: Não é uma PA , pois a mesma não possui uma razão constante.

c) tal que 4321 a,a,a,a n31a n Resolução:

Para n = 1, temos: 131a1 4a1

Para n = 2, temos: 231a 2 7a 2


Para n = 3, temos: 331a3 10a3

Para n = 4, temos: 431a 4 13a 4

Logo, podemos escrever a seguinte sequência: (4, 7, 10, 13)


d) 3n4aquetala nINnn

Resolução:

Para n = 1, temos: 314a1 7a1 Para n = 2, temos: 324a 2 11a 2

Para n = 3, temos: 334a3 15a3 Para n = 4, temos: 344a 4 19a 4

Logo, podemos escrever a seguinte sequência: (7,11, 15, 19,...)



Classificação de uma PA

• Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é positiva.

Exemplo: (6, 10, 14, 18, ...) é uma PA crescente pois sua razão é 4, ou seja, é uma razão positiva.

• Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o anterior. Isso só ocorre quando a razão é negativa.

Exemplo: (13, 8, 3, -2, -7, ...) é uma PA crescente pois sua razão é -5, ou seja, é uma razão negativa.

• Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Isso só ocorre quando a razão é nula.

Exemplo: (33, 33, 33, 33, ...) é uma PA constante pois sua razão é 0, ou seja, é uma razão nula.


Exercício Resolvido

01. Determinar a PA decrescente de três termos, sabendo que a soma

desses termos é 3 e o produto deles é . 95

Resolução:

2º termo: x 1º termo: x - r 3º termo: x + r

Se chamarmos cada termo de uma incógnita diferente teremos um problema, pois ficaremos com duas equações e três incógnitas, o que impossibilitará a resolução deste exercício.

Para resolvermos este problema, basta chamar o termo do meio de x e escrever o 1º e o 3º termos em função do 2º termo. Logo, teremos:


1ª informação: a soma desses termos é 3.

Equação: 3rxxrx

3x3 1x

2ª informação: o produto deles é . 95

Equação: 95

rxxrx

Substituindo x por 1, temos:

95

r11r1

95

r1r1

95

r1 2

195

r2 x (-1)

95

1r2

94

r2

94

r

32

´r Não serve, pois r > 0

32

´´r Serve, pois r < 0


O que a questão pede?: determinar a PA decrescente de três termos

Para encontrarmos os valores dos três termos, substituiremos x por 1 e r por - 2/3. Logo teremos os seguintes termos:

1º termo: x – r =

32

1 32

135

2º termo: x 1x

3º termo: x + r =

32

1 32

131

Concluímos então que a PA decrescente de três termos é dada por:

31

;1;35


Fórmula do Termo Geral de uma PA Podemos escrever qualquer termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão. Assim, podemos escrever:

r0aa 11

r1aa 12

rraa 13 r2aa 13

rrraa 14 r3aa 14

O que sempre se repete nos termos?

Perceba que o número que multiplica a razão possui uma unidade a menos que o número que representa o termo da PA. Como podemos escrever o vigésimo termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão? r19aa 120 Como podemos escrever o enésimo termo de uma PA apenas em função do 1º termo e da razão? r1naa 1n



01. Determinar o 51º termo da PA (4, 10, 16, 22, ...)

Resolução:

De acordo com o que vimos, podemos calcular o 51º termo da PA acima utilizando a seguinte equação:

r50aa 151

Podemos perceber que, para encontrarmos o 51º termo, necessitamos dos valores do primeiro termo e da razão. Observando a PA acima, podemos verificar que o primeiro termo é o número 4 e que a razão é o número 6. Então, teremos:

6504a51 3004a51

304a51

Concluímos, assim, que o 51º termo da PA é 304.



02. Obter a razão da PA tal que

Resolução:

...,a,a,a 321 8ae7a 51

r1naa 1n

De acordo com o que vimos, podemos calcular a razão da PA acima utilizando a seguinte equação:

Se substituirmos n por 5, ficaremos apenas com a razão como incógnita e teremos:

r15aa 15

r478

1r4

41

r

Concluímos que a razão da PA é 1/4.



03. Determinar o número de termos da PA (2, 10, 18, ..., 250)

Resolução:

De acordo com o que vimos, podemos calcular o número de termos n da PA acima utilizando a seguinte equação:

r1naa 1n

De acordo com a fórmula acima, podemos perceber que para acharmos o valor de n, precisamos dos valores do primeiro termo, do enésimo termo e da razão da PA dada.

Podemos verificar que o primeiro termo é o número 2 e que a razão da PA dada é o número 8. Se a PA tem n termos, então o enésimo termo será, necessariamente, o último termo, logo o enésimo termo é o número 250Resumindo, temos as seguintes informações:

8r;250a;2a n1

Substituindo esses valores na fórmula do termo geral de uma PA, temos:

81n2250

2508n82 2506n8

256n8 8

256n 32n

Concluímos, então, que a PA possui 32 termos.

r1naa 1n



04. A partir do momento em que havia 684 pessoas em um ginásio de esportes, a contagem dos torcedores que entravam passou a ser feita por catracas que registraram o ingresso de 208 pessoas por hora, até completar a capacidade máxima do ginásio de 3.180 expectadores. Ninguém saiu antes do jogo, que começou quando a capacidade máxima do ginásio foi atingida.a) Construir a sequência em que os termos representem o número de

pessoas no ginásio, hora a hora, a partir do instante em que a contagem das pessoas passou a ser feita por catracas.

Resolução:

Podemos perceber que a sequência solicitada no item a trata-se de uma PA, de acordo com sua definição.


O primeiro termo é o número 684, pois refere-se a quantidade de pessoas que havia no ginásio no momento em que se começou a controlar a entrada das mesmas no ginásio pela catraca.

A razão é o número 208, pois refere-se a quantidade fixa de pessoas que entram no ginásio a cada hora.

O enésimo e último termo é o número 3.180, pois refere-se à capacidade máxima do ginásio de esportes.

Logo, para respondermos o item a, precisaremos encontrar o número n de termos da sequência para podermos escrevê-la.

Resumindo, temos: 208r;3180a;684a n1

r1naa 1n

2081n6843180

3180208n208684

3180476n208

2704n208

2082704

n

13n Construiremos a sequência da seguinte maneira:

892a208684araa 2212 1100a208892araa 3323

1308a2081100araa 4434


1516a2081308araa 5545

Logo, podemos escrever a seguinte PA:

(684, 892, 1.100, 1.308, 1516, ... , 3.180)

b) Durante quantas horas as catracas estiveram em funcionamento?

Resolução:

684 pessoas(n = 1)

t = 0 hora

892 pessoas(n = 2)

t = 1 hora

1100 pessoas(n = 3)

t = 2 horas

Percebe-se que, o valor do tempo t, em horas, é uma unidade inferior à quantidade n de termos da PA em questão. Então podemos concluir que:

As catracas estiveram em funcionamento durante 12 horas.

Progressão AritméticaExercícios Resolvidos

05. Qual a razão de uma determinada PA, sabendo-se que nela, a soma do primeiro termo com o quinto é 26 e que a soma do segundo termo com o nono é 46?

Resolução:

Temos as seguintes informações:

46aa

26aa

92

51

De acordo com as informações, temos quatro incógnitas e duas equações. Além disso, em nenhuma das equações aparece a incógnita que queremos descobrir, que, no caso, é r.

Logo, colocaremos todos os termos em função do primeiro termo e da razão, da seguinte maneira:r8aa

raa

r4aa

19

12

15

Logo, reescrevendo as informações iniciais, temos: 26aa 51 26r4aa 11 26r4a2 1 13r2a1

46aa 92 46r8ara 11 46r9a2 1

Progressão AritméticaIremos resolver o sistema encontrado pelo método da adição

46r9a2

13r2a

1

1x (-2)

46r9a2

26r4a2

1

1 Adicionando as duas equações, temos:

20r5

4r

Conclusão: A razão da PA em questão é 4.


06. Interpolar (ou seja, inserir) 4 meios aritméticos entre 1 e 11, nessa ordem.

Resolução:

O que queremos é completar uma PA com 6 termos, conhecendo-se o primeiro termo o último termo. Logo, podemos fazer a representação do seguinte esquema:

.11__,__,__,__,,1De acordo com o esquema, precisamos descobrir a razão para encontrarmos os termos que estão faltando. r1naa 1n

r16111

111r5

10r5

2r

Logo, a PA é (1, 3, 5, 7, 9, 11)


07. Obter o 40º termo da PA de razão 3, em que o vigésimo primeiro termo é o número 62.

Resolução:

Esquema do problema: ?a;62a;3r 4021

Sabemos que , ou seja, precisamos encontrar o primeiro termo para encontramos o quadragésimo termo.

r39aa 140

r20aa 121

320a62 1

6260a1

2a1

r39aa 140

3392a 40

1172a 40

119a 40

Conclusão: O 40º termo da PA é 119.


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