Progressão Geométrica

O que é Progressão Geométrica

É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por um número constante q (razão). 

Exemplos: 

a) (2, 4, 8, 16) 

4 = 2.2 

8 = 4.2                → a razão é 2. 

16 = 8.2 

b) (3, 9, 27, 81) 

9 = 3.3 

27 = 9.3               →a razão é 3. 

81 = 27.3 

DEFINIÇÃO

Progressões Geométricas são representadas pelas siglas (P.G.).

Considerando a e q como números reais, a progressão geométrica é a seqüência (an) tal que: 

{a¹ = a

an +1 n= a . q

Na Progressão Geométrica, obtemos cada termo multiplicando o seu antecessor pelo q, como sempre é o antecessor multiplicado, esta regra inicia-se a partir do segundo termo. 

O número real q é a razão da P.G. 

Em decorrência da definição que se a1 ≠ 0, e q ≠0, logo:  v

q = an

+ 1

an

Por exemplo: 

Para a P.G. (2; 4; 8; 9; 13; 16; 36; 52 ...), temos: 

q = = = = = ...... = 4 8 16 36 52

2 4 9 13

TERMO GERAL

Se (an) for uma P.G. com primeiro termo a1 e razão q. 

Da definição de P.G. temos: 

a = a¹ . q n-1

OBS:

pode-se demonstra a propriedade utilizado o princípio da indução finita.

considerando a e a como dois termos de uma P.G., da fórmula do termo geral, temos:

n

n m

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela Seguinte fórmula:

A soma dos termos entre 

 e 

 é:

Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor[1].

SOMA DOS TERMOS