Progressão Geométrica Matrizes Questão nº01 Na P.G., a posição do termo é

Progressão Geométrica

Matrizes

Questão nº01

Na P.G. , a posição do termo é...

... ,25

2 ,

5

2 2, 10,

625

2

Solução nº01

a1 = 10 q =

an = a1 . qn-1

n – 1 = 5

n = 6 Resposta: sexto termo.

5

1

10

2

1

5

1

5

1

5

1

5

1.10

625

2

nn

Questão nº02

Inserir cinco meios geométricos entre 1 e 64.

Solução nº02 Devemos colocar cinco termos entre 1 e 64 de tal

forma que a seqüência formada seja uma P.G.

1,__,__,__,__,__,64

a1 k = 5 an dados

an = a1qn-1 64 = 1 . q7-1

64 = q6

26 = q6

q =

72kn

64a

1a

n

1

2

continua...

Solução nº02

Se q = 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) Se q =-2 (1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)

Resposta: Temos duas soluções:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) ou

(1, -2, 4, -8, 16, -32, 64)

Questão nº03

Ache a soma dos dez primeiros termos da P.G. (3, 6, 12,...).

Solução nº03

Dados

Sn=

Resposta: 3069

10n

2q

3a1

3069S 1

)11024(3S

12

1)3(2S

1q

1)(qa

10

10

10

10

n1

Questão nº04

Calcule o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 2, q = 3 e Sn = 6560.

Solução nº04

Sn =

Resposta: 8.

8n33

65613

13 6560

2

)12(3 6560

13

1)2(36560

1q

1)(qa

8n

n

n

n

nn1

Questão nº05 O trigésimo termo da seqüência é:

A)

B)

C) 5

D)

E)

,...18

1,

6

1,

2

1

2961

293 . 21

361

629

Solução nº05

an = a1 . qn-1

Assim, a alternativa correta é B

29

29

30 3 . 2

1

3

1 .

2

1a

3

1

2161

q

Questão nº06 Se a seqüência (4x, 2x + 1, x – 1) é uma P.G., então o

valor de x é:

A)

B) -8

C) -1

D) 8

E)

8

1

8

1

Solução nº06

Assim, a alternativa correta é A

8

1x

18x

4x4x14x4x

4x . 1)(x1)(2x

12x

1x

4x

12x

a

a

a

a

22

2

2

3

1

2

Questão nº07 Seja x o trigésimo termo da P.G. (2, 4, 8, ...). O valor

de log4 x é:

A) 15

B) 20

C) 25

D) 30

E) 35

Solução nº07 an = a1 . qn-1

x = 2 . 230-1

x= 2 . 229

x = 230

log4 x = log4 230 = y 4y = 230 (22)y = 230

22y = 230 2y = 30

y = 15


Questão nº08 O quarto termo da seqüência geométrica: é:

A)

B)

C)

D)

E) 1

... ,3

2, 1 ,

2

3

92

31

49

94

Solução nº08

Logo: a4 = a3 . q

Assim, a alternativa correta é D

3

2

3

2 . 1

3

1

a

aq

1

2

9

4

3

2 .

3

2a 4

Questão nº09 Se o oitavo termo de um P.G. é e a razão é , o

primeiro termo dessa progressão é:

A) 2-1

B) 2

C) 26

D) 28

E)

21

21

8

2

1

Solução nº09

Assim, a alternativa correta é C

667

1

1

71

1

711

1

7

1

1818

1n1n

22

1

2

2a

2 . a2

)(2 . a2

2

1 .a

2

1

q . aa

q . aa

Questão nº10

O número de termos da P.G. é:

A) 8

B) 9

C) 10

D) 81

E) 4

729 ..., 1, ,3

1 ,

9

1

Solução nº10


9n81n33

39 . 729

3 . 9

1729

q . aa

81n

1n

1n

1n1n

Questão nº11 A média aritmética dos seis meios geométricos que

podem ser inseridos entre 4 e 512 é:

A) 48

B) 84

C) 128

D) 64

E) 96

Solução nº11 4 ................ 512

a1 6 an

n = 6 + 2 = 8 termos

an = a1 . qn-1

512 = 4 . q8-1

Logo, a P.G. é: 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 Média aritmética =

2q2q1284

512q 777

84

6

2561286432168

Questão nº12 Somando os n primeiros termos da seqüência

(1, -1, 1, -1, ...) encontramos:

A) n

B) -n

C) 0

D) 1

E) 0 quando n é par; 1 quando n é ímpar.

Solução nº12

(1, -1, 1, -1, ...)

Sn = 0 se n é par

Sn = 1 se n é ímpar

Assim, a alternativa correta é E

Questão nº13 Uma bactéria de determinada espécie divide-se em

duas a cada 2 h. Depois de 24 h, qual será o número de bactérias originadas de uma bactéria?

A) 1024

B) 24

C) 4096

D) 12

E) 16777216

Solução nº13

an = a1 . qn-1

an = 2 . 212-1

an = 2 . 211

an = 212 = 4096


Questão nº14 A soma dos seis primeiros termos da P.G.

é:

A)

B)

C)

D)

E)

... ,12

1 ,

6

1 ,

3

1

3312

3215

3321

3221

32

Solução nº14


32

21S

2 . 64

21

216463

31

21

1641

31

121

121

31

S

1q

1)(qaS

6

6

6

n1

n

Questão nº15 Cada golpe de uma bomba de vácuo extrai 10% do ar

de um tanque; se a capacidade inicial do tanque é de 1 m3, após o quinto golpe, o valor mais próximo para o volume do ar que permanece no tanque é:

A) 0,590 m3

B) 0,500 m3

C) 0,656 m3

D) 0,600 m3

E) 0,621 m3

Solução nº15 Se cada golpe extrai 10% de ar, temos:

100% - 10% = 90% = 0,9 do total Logo:

an = a1 . qn-1

a5 = 0,9 . (0,9)5-1

a5 = (0,9)4 . 0,9

a5 = 0,590 m3


Questão nº16 A soma dos termos de uma P.G. infinita é 3.

Sabendo-se que o primeiro termo é igual a 2, então o quarto termo dessa P.G. é:

A)

B)

C)

D)

E)

272

41

32

271

83

Solução nº16


27

2a

3

1 2q . aa

3

1q13q

23q3

2q)3(1q1

23

q1

aS

4

314

14

1n

Questão nº17

A soma da série infinita é:

A)

B)

C)

D) 2

E)

...125

1

25

1

5

11

56

57

45

47

Solução nº17


4

5

541

S

q1

aS

5

1

151

a

aq

n

1n

1

2

Questão nº18 Numa P.G. decrescente e ilimitada, o primeiro termo

é 8 e a soma dos termos, 16. O quinto termo vale:

A)

B) -2

C)

D) 2

E)

21

21

41

Solução nº18


2

1

2

2

2

1 8a

q . aa

2

1q

2

1q18q)(1 16

q1

816

q1

aS

4

34

5

415

1

Questão nº19

O valor de x na equação é:

A) -10

B) 10

C) -20

D) 20

E) 25

40...8

x

4

x

2

xx

Solução nº19


20x

21x

40

21

1

x40

q1

aS 1

n

Questão nº 20 Se 1 + r + r2 + ... + rn + ... = 10, então r é igual a:

A) 1

B)

C)

D)

E)

109

109

21

101

Solução nº20

Assim, a alternativa correta é B10

9r

910r

110r10

1r)(1 10r1

110

q1

aS 1

n

Questão nº 21

Se , então o valor de m é:

A) 5

B) 6

C) 8

D) 7

E) não sei

5

14...

m

8

m

42

2

Solução nº21

assim, a alternativa correta é D

7m

284mm

10m

m

2814m10

m

28 14

10m

21 14

m2

1

2

5

14

q1

aS

m

2

2m4

a

aq

1n

1

2

Questão nº01 Seja X = (xij) uma matriz quadrada de ordem 2, onde

. A soma dos seus elementos é igual a:

A) –1

B) 1

C) 6

D) 7

E) 8

ji se 1

ji se j1

ji se ji

Xij

Solução nº01

a11 = 2

a12 = 1

a21 = 0

a22 = 4

Soma = 2 + 1 + 0 + 4 = 7 Assim, a alternativa correta é D

2221

1211

aa

aaX

Questão nº 02 Se M = (aij)3x2 é uma matriz, tal que:

Então, M é:

A) B) C)

D) E)

ji para , j

ji para ,ia

1j

ij

21

81

21

282

111

21

81

22

141

111

381

321

21

81

21

282

111

21

81

22

141

111

381

321

Solução nº02 Cálculo dos elementos de M:

a11 = 12 = 1 a21 = 1 a31 = 1

a12 = 2 a22 = 23 = 8 a32 = 2

Portanto:

; letra A

21

81

21

M

Questão nº03 – (UFPA) A matriz A = (aij)3x3 é definida de tal modo que

Então, A é igual a:

A) B) C)

D) E)

ji se 0,

ji se ,1)(a

ji

ij

011

101

110

100

010

001

011

101

110

100

010

001

011

101

110

Solução nº03 Cálculo dos elementos de A:

a11 = 0 a12 = (-1)3 = -1a13 = (-1)4 = 1 a21 = (-1)3 = -1 a22 = 0

a23 = (-1)5 = -1

a31 = (-1)4 = 1 a32 = (-1)5 = -1 a33 = 0

Portanto:

; letra A

011

101

110

A

Questão nº04 – (UFGO)

Sejam as matrizes

Para que elas sejam iguais, deve-se ter:

A) a = -3 e b = -c = 4

B) a = 3 e b = c = 4

C) a = 3 e b = -c = 4

D) a = -3 e b = c = -4

E) a = -3 e b = c2 = 4

ca

92B e

81

1log27

a16

1

A3

b

3

2

Solução nº04 Para que as matrizes sejam iguais, devemos ter:

Logo, a = -3; b = -4 e c = -4. Assim, a alternativa correta é D

4c33 c81

1log

3a a27

3a 9a

4b 22 216

1

4c3

3

2

4bb

Questão nº05 – (UFRN) A solução da equação matricial

é um número:

A) maior que -1

B) menor que -1

C) maior que 1

D) entre –1 e 1

E) entre 0 e 3

243x

4x1x

2xx

212

Solução nº05 Para que a igualdade seja verdadeira, devemos ter:

-1 = x + 1 x = -2

x = 3x + 4 x = -2

2 = x + 4 x = -2

x2 – 2 = 2 x = Portanto: x = -2 Assim, a alternativa correta é B

2

Questão nº06 – (Cescem-SP) A matriz transposta da matriz A = (aij), de tipo 3 x 2,

onde aij = 2i – 3j, é igual a:

A) B) C)

D) E)

024

311

024

311

024

311

420

113

420

113

Solução nº06 Cálculo dos elementos da matriz A:

a11 = 2 – 3 = -1 a12 = 2 – 6 = -4

a21 = 4 – 3 = 1 a22 = 4 – 6 = -2

a31 = 6 – 3 = 3 a32 = 6 – 6 = 0

Portanto:

Cálculo de At:

; letra B

03

21

41

A

024

311A t

Questão nº07 – (UFAL) Considere a matriz A = (aij)3x4 , na qual

O elemento que pertence à 3ª linha e à 2ª coluna da matriz At,

transposta de A, é

A) 4

B) 2

C) 1

D) -1

E) -2

.ji se j . i

ji se jia ij

Solução nº07


1a

123

012

601

320

A

1063

2102

3210

aaaa

aaaa

aaaa

A

32t

34333231

24232221

14131211

Questão nº08 – (UEL-PR) Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At.

Assim, se a matriz é simétrica,

então x + y + z é igual a:

A) -2B) -1C) 1D) 3E) 5

234

1z0x

2y12

A

Solução nº08

Se A = At, temos:

Logo: -1 = x x = -1

2y = 4 y = 2

x = -1 x = -1

z – 1 = 3 z = 4

2y = 4 y = 2

z – 1 = 3 z = 4 Portanto: x + y + z = -1 + 2 + 4 x + y + z = 5

21z2y

301

4x2

234

1z0x

2y12

Questão nº09 – (FGV-SP) Dadas as matrizes

e sendo 3A = B + C, então:

A) x + y + z + w = 11B) x + y + z + w = 10 C) x + y – z – w = 0D) x + y – z – w = -1E) x + y + z + w > 11

3wz

yx4C e

2w1

6xB

wz

yxA

Solução nº09 Sendo 3A = B + C, temos:

Da igualdade, temos:

3x = x + 4 x = 2

3y = 6 + x + y 2y = 6 + 2 y = 4

3w = 2w + 3 w = 3

3z = z + w – 1 2z = 2 z = 1 Portanto:

x + y + z + w = 2 + 4 + 1 + 3 = 10

32w1wz

yx64x

3w3z

3y3x

Questão nº10 – (Osec –SP)

Em

x e y valem respectivamente:

A) –4 e -1

B) –4 e 1

C) –4 e 0

D) 1 e -1

E) 1 e 0

, 15

04

2y4x

y3x

yx

yx22

32

Solução nº10 Resolvendo, temos:

x2 + 3x = 4 x = -4 ou x = 1

y3 – y = 0 y = 0 ou y =

x2 + 4x = 5 x = -5 ou x = 1

y2 + 2y = -1 y = -1

Portanto: x = 1 e y = -1 Assim, a alternativa correta é D

1

Questão nº11 – (Santa Casa–SP)

Dadas as matrizes

se At é a matriz transposta de A, então (At – B) é:

A) B) C)

D) E)

, 021

210B e

03

42

31

A

062

531

024

111

323

221

01

21

41

05

63

21

Solução nº11 Cálculo de (At – B):


024

111B)(A

024

111

021

210

043

321

021

210

043

321

t

Questão nº12 – (FACEAG-SP) Dadas as matrizes

então, 3A – 4B é igual a:

A) B) C)

D) E) Operação não definida.

, 321

304B e

430

211A

0174

18313

0174

18313

0174

18313

0174

18313

Solução nº12 Cálculo de 3A – 4B:

assim, a alternativa correta é C

0174

18313

1284

12016

390

333

1284

12016

390

333

Questão nº13 – (PUC-SP)

Se , então a

matriz X , de ordem 2, tal que

é igual a:

A) B) C)

D) E)

12

14C e

01

21B ,

13

12A

C3

XB

2

AX

324

128

323

128

325

128

330

128

322

128

Solução nº13 Cálculo de X sendo dada a equação

Reduzindo ao mesmo denominador e isolando X, temos:

X = 2B + 3A + 6C Resolvendo:

C3

XB

2

AX

B letra , 323

128

612

624

39

36

02

42X


Se então a matriz X, tal

que A + B – C – X = 0, é:

A) B) C) D) E)

1

10

1

C e

3

8

5

B ,

13

12

25

A

17

6

31

31

6

17

17

6

31

17

6

21

17

0

31

Solução nº14 Cálculo de X dado:

A + B – C – X = 0 Isolando X, temos:

X = A + B - C Resolvendo:

A letra ,

17

6

31

1

10-

1

3

8

5

13

12

25

Questão nº15 – (FCC-SP) Calculando-se 2AB + B2, onde

e teremos:

A) B) C)

D) E) n.r.a.

111

011

110

A

010

012

120

B

136

362

030

256

492

030

233

461

030

303

651

260

Solução nº15 Cálculo de 2AB + B2:

B letra ,

256

492

030

B2AB

256

492

030

012

232

034

244

264

004

010

012

120

010

012

120

010

012

120

222

022

220

2

Questão nº16 – (FGV-SP)

Dadas as matrizes e

sabendo-se que AB = C, podemos concluir que:

A) m + n = 10

B) m – n = 8

C) m . n = -48

D)

E) mn = 144

0

4C ,

1

nB ,

41

m2A

3n

m

Solução nº16

Se AB = C, temos:

Resolvendo:

Então: 2n + m = 4 I

n + 4 = 0 n = -4 II Substituindo II em I , temos:

2 (-4) + m = 4 m = 12 Logo: m . n = -48

0

4

1

n .

41

m2

0

4

4n

m2n

Questão nº17 – (Mack-SP)

Seja a matriz . Se , então vale:

A) 4

B) 2

C) 0

D) -2

E) -4

2m

k1A

362

30A2

k

m

Solução nº17

4km3m

3k1km

2 . 2k . mm . 21 . m

2 .k k . 1m .k 1 . 1

2m

k1 .

2m

k1A2

4 k

m

2m2

1k

34km

63m2

33k

01km

362

30A2

Questão nº18 – (Cefet-PR) Se A, B e C são matrizes do tipo 2 x 3, 3 x 1 e 1 x 4,

respectivamente, então o produto A . B . C:

A) é matriz do tipo 4 x 2;

B) é matriz do tipo 2 x 4;

C) é matriz do tipo 3 x 4;

D) é matriz do tipo 4 x 3;

E) não é definido.

Solução nº18

Dados A . B . C, temos:

(A)2 x 3 . (B)3 x 1 . (C)1 x 4

(A . B)2 x 1 . (C)1 x 4

(A . B . C)2 x 4


Questão nº19 – (Osec-SP)

Dadas as matrizes então,

calculando-se (A+B)2, obtém-se:

A) B) C)

D) E)

83

10B e

32

11A

12160

01

12125

01

84

01

1211

601

11

11

Solução nº19

Cálculo de (A + B)2:


12160

01

115

01

83

10

32

1122

Questão nº20 – (FGV-SP)

Considere as matrizes

A soma dos elementos da primeira linha de A . B é:

A) 20

B) 21

C) 22

D) 23

E) 24

02

40

31

B e 711

132A

Solução nº21

Cálculo de A . 2B:


6

2

14

4

2 .

11

01

23


Se , então a matriz X, de

ordem 2, tal que A . X = B, é:

A) B) C)

D) E)

11

21B e

21

41A

210

01

310

01

410

01

510

01

610

01

Solução nº22 Cálculo da matriz X sendo A . X = B:

Sendo verdadeira a igualdade, temos:

Resolvendo os sistemas, temos: a = 1; b = 0;

c = 0 e Logo, a matriz X vale:

11

21

2db2ca

4db4ca

11

21

dc

ba .

21

41

12db

24db

12ca

14ca

21d

210

01X


Sendo as matrizes

então, o valor de x tal que AB = BA é:

A) -1

B) 0

C) 1

D) o problema é impossível;

E) nenhuma das respostas anteriores.

20x

040

002

B e

300

040

001

A

Solução nº23 Cálculo do valor de x tal que AB = BA:

Para a igualdade ser verdadeira, devemos ter:

3x = x x = 0

603

0160

002

603

0160

002

300

040

001

.

20x

040

002

20x

040

002

.

300

040

001

xx

Questão nº24 – (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde:

A soma dos elementos da diagonal principal da matriz P é:

A) B) C) 4 D) E)

171

031

M

4

9

9

49

59

1

Solução nº24 Cálculo da matriz inversa P:

Sendo verdadeira a igualdade, temos:

Portanto:

; logo a + d = 4

10

01

d7cb7

a3

c3

a

10

01

db

ca .

171

031

1d1d7c 7

3b0b7a

0c03c 3a13

a

173

03P

Questão nº25 – (UECE)

O produto da inversa da matriz pela

matriz é igual a:

A) B) C) D)

21

11A

10

01I

11

12

11

12

11

12

11

12

Solução nº25 Cálculo da matriz inversa da matriz A:

Resolvendo os sistemas, temos:

a = 2; b = -1; c = -1 e d = 1 Logo:

12db

0db

02ca

1ca

10

01

2db2ca

dbca

10

01

dc

ba .

21

11

11

12

10

01 .

11

12I .A

11

12A 11

Questão nº26 – (ITA-SP) Seja A a matriz 3 x 3 dada por

Sabendo-se que B é a inversa de A, então a soma dos elementos de B vale:

A) 1B) 2C) 5D) 0E) -2

103

001

321

A

Solução nº26 A . B = I

2 1302342

1010S

23-f 1i 4e -3h 2

1d 0g

1i3c

0c

03i2f c

0h3b

1b

03h2eb

0g3a

0a

13g2da

100

010

001

ihg

fed

cba

.

103

001

321

Documents

Progressão Geométrica Matrizes Questão nº01 Na P.G., a posição do termo é