Cursinho popular 2012MATEMATICAProf. Renan PROGRESSO GEOMTRICA

Bragana- PA

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PROGRESSO GEOMETRICA(P.G)

Definio uma sequncia em que cada termo, a partir do segundo, o produto do anterior com uma constante, denominada razo, representada pela letra 'q'.

Exemplos:

(3, -3, 3, -3, 3, ...) (2, 6, 18, 54, 162, ...)4/2/12

PROGRESSO GEOMETRICA(P.G) Representao Sabemos

de uma progresso geomtrica (P.G.). que o termo seguinte a um termo de uma P.G. igual ao referido termo multiplicado pela razoq. Para uma P.G. genrica podemos dizer que o segundo termo igual ao primeiro termo,a1, vezes a razoq:4/2/12

O

terceiro termo resultado da multiplicao do segundo termo pela razo:

Representao de uma progresso geomtrica (P.G.).

No

entanto como vimos quea2= a1. q, substituindo-o na expresso temos:4/2/12

O

quarto termo resultado do produto do terceiro termo com a razo e como sabemos quea3= a1. q2, temos:

Representao de uma progresso geomtrica (P.G.).

Pelo

mesmo raciocnio, o quinto termo ser: 4/2/12

O

sexto termo ser:

Representao de uma progresso geomtrica (P.G.).

De

forma resumida temos:

a2= a1* q a3= a1* q2 a5= a1* q4 a10= a1* q9

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Portanto,

partindo-se do primeiro termo, a frmula do termo geral de uma progresso geomtrica :

Representao de uma progresso geomtrica (P.G.).

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PROGRESSO GEOMETRICA(P.G)

FORMULA DO TERMO GERAL DA P.G

an= a1. qn-1

Elementos:

a1: 1otermo an: termo genrico, termo geral (ou n-simo termo) q : razo n : nmero de termos 4/2/12

APLICANDO A FORMULA DO TERMO GERAL Ex

1: Achar o dcimo termo da P.G. (2,6,...)

Resoluo: a1 = 2 q=3 n =10 an = a1qn-1 . 39 a10 = 2. 310-1 = 24/2/12

APLICANDO A FORMULA DO TERMO GERALEx 2: Numa P.G. de quatro termos, a razo 5 e o ltimo termo 375. Calcule o primeiro termo dessa P.G. Resoluo: A4 = 375 q=5 n=44/2/12

EXERCICIOS

Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo -108 e a razo q = 3. Hoje uma editora est produzindo 20000 livros e, cada dia, deve produzir 30% a mais do que produziu no dia anterior.4/2/12

EXERCICIOS Interpole

seis meios geomtricos entre

1 e 2187.Resoluo:

an= a1.qn-1 2187 = 1.q8-1 2187 = 1.q7 Fatorando 2187, temos: 2187 = 37. Ento, 37= q7 Se os expoentes so iguais, as bases das potncias tambm so iguais. 4/2/12

EXERCICIOS Inserir

6 meios geometricos reais entre 640 e 5. x a fim de que a seqncia ((9x +5)/2, x + 1, x -2) seja uma P.G. cinco meios geomtricos entre 2/3 e 486. o 8 termo da P.G. (-1, 4, -16, ...)?4/2/12

Determinar

Interpolar Qual

Formula da soma dos n termos de uma P.G finita 1

caso: q= 1

Sn=n . a1 2

caso: q = 1

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EXERCCIOS Calcule

a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...).

Resoluo: Sn= a1.(qn-1) / q-1 S6= 7.(26-1) / 2-1 S6= 7.(64-1) / 1 S6= 7.63 S6= 4414/2/12

EXERCCIOS Calcule

a soma dos seis primeiros termos da P.G. (-2, -4. -8, ...). a soma dos 20 termos iniciais da serie 1+3+9+27+... soma de seus elementos em PG de razao 2 e 1197. Qual e o 1o termo da PG? 4/2/12

Calcular

A

EXERCCIOS

numa P.G , a soma dos termos 728. sabendo que an = 486 e q= 3, calcule o primeiro termo dessa P.G. termos devemos considerar na P.G.(3, 6.....) para obtermos a soma de 765?

quantos

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FORMULA DOS TERMOS DE UMA P.G INFINITA

a soma dos termos de uma P.G infinita pode ser calculada pela formula:

Obs.:para -1 < q < 1 e o nmero de termos tendendo ao infinito.4/2/12

FORMULA DOS TERMOS DE UMA P.G INFINITAExemplo:

Resolva a equao: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 Ora, o primeiro membro uma PG de primeiro termo x e razo 1/2. Logo, substituindo na frmula, vem: Da, vem: x = 100 . 1/2 = 50

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EXERCCIOS Dada

a PG coma2=5eq=2/5, calcule a soma dos infinitos termos. Primeiro temos que calcular o valor dea1.Para isso vamos usar a frmula do termo geral:

-

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EXERCCIOSo

- Agora s colocar na frmula da soma:

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EXERCCIOS Sendo

o valor deX:

, calcule

Resoluo: - Esta uma clssica de vestibular. No dito no problema que se trata de uma PG, voc deve descobrir. O termo a1vale 5/6, e a razo ns calculamos dividindo o segundo termo pelo primeiro:4/2/12

EXERCCIOS

- Agora s substituir na frmula da soma infinita:

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1

Observaes que facilitam a resoluo de problemas de P.G.Observao:

Em alguns problemas, sempre conveniente colocar os termos em funo de a1 e q, lembrando que: a2 = a1 . q; a3 = a1 . q2; a4 = a1 . q3; ...; a10 = a1 . q9; e assim por diante. Ex.

1: Numa P.G., o 2 termo 8 e o 5 termo 512. Escrever essa P.G.4/2/12

O MELHORUm

dos maiores sonhos das pessoas ter sucesso, ser reconhecido pelo que faz...Mas lembre-se: Jesus, foi e sempre ser o melhor... Jesus DEUS, que deixou que DEUS PAI sempre estivesse em sua frente... Ele partiu do ponto zero, de um curral ou prespio, mas viveu com humildade e simplicidade, no foi arrogante e nem ciumento, Ele amou e amou muito... Pelos seus atos 4/2/12 foi sendo conhecido e amado por