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ANALISE NÃO-LINEAR GEOMETRICA DE PORTICOS TRIDIMENSIONAIS PELO METODO DOS ELEMENTOS FINITOS Adilson Carvalho Benjamin TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE POS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA NEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.). aprovada por: Nelson Francisco Favilla Ebecken Presidente / Ronaldo' Carvalho Batista . / RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 1982 ou a

ANALISE NÃO-LINEAR GEOMETRICA DE PORTICOS … · analise nÃo-linear geometrica de porticos tridimensionais pelo metodo dos elementos finitos adilson carvalho benjamin tese submetida

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ANALISE NO-LINEAR GEOMETRICA DE PORTICOS TRIDIMENSIONAIS PELO

METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Adilson Carvalho Benjamin

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS PROGRAMAS DE

POS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA

NEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO

GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.).

aprovada por:

Nelson Francisco Favilla Ebecken Presidente

/ Ronaldo' Carvalho Batista ~ .

/

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 1982

ou a

BENJAMIN, ADILSON CARVALHO Anilise Nio-Linear Geomitrica de P6rticos

Tridimensionais pelo Mitodo dos Elementos Fi nitos [Rio de Janeiro] 1982. -

VIII, 220p. 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc. Engenharia Civil, 1982)

Tese - Universidade Federal do Rio de Ja-neiro - Escola de Engenharia

l.Nio-Linearidade Geomitrica I.COPPE/UFRJ II.Titulo(sirie)

i. i

~ meus pais, Amarilio e Linda

i i i

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Nelson Francisco Favilla Ebecken pela

orientao deste trabalho e pelo incentivo e compreenso nas ho-

ras de desnimo.

Ao amigo e companheiro de estudos Joo de Deus Fon

seca Neto pela solidariedade prestada em todos os momentos.

Aos Professores da COPPE/UFRJ, em especial ao Pro

fessor Abimael Fernando Dourado Loula, pelos ensinamentos recebi

dos.

Aos meus parentes e familiares do Rio, de Bras-

lia e de Salvador, em especial a tio Waldemar, por tudo que fez

por mim nestes tr~s anos de Rio.

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

A ~elena Santos de Oliveira pela excelente datilo

grafia deste trabalho.

i V

SUMIIRIO

Neste trabalho, so apresentadas duas formulaes

consistentes de elementos finitos, para anlise no-linear geom~

trica de prticos tridimensionais.

Na primeira, a discretizao feita atravs de

um elemento de eixo reto e seo transversal constante, que in-

terpola os deslocamentos utilizando as funes convencion~is de

prtico.

Na segunda, o e 1 emento, de eixo curvo e seo tran~

versal varivel, resultante da degenerao do elemento isopari

metrice tridimensional.

V

ABSTRACT

ln this work, the finite element method is applied

to problems in~olving the geometrically nonlinear behaViour of

framed structures. Two consistent formulations of three-dimen-

sional beam element are presented.

ln the first one, the element is straight with

constant cross section and the displacements are interpolated by

the usual beam functions.

ln the other one, the element is arbitrarily cur-

ved in space with variable cross section and results from the de

generation of the three-dimensional isoparametric element.

vi

INDICE

INTRODU/\0 ............................................ .

I - N/\0-LINEARIDADE GEOMtTRICA ...................... . 3

1.1 - Grandes Deslocamentos ...... .... ...... ...... 4

l.2 - Instabilidade.............................. 6 l .3 - Interaio Axial-Transversal ..... ..... ...... 12

I I - FUNDAMENTOS TERICOS l 7

2.1 - Descriio do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 - Deformaio do Corpo . ... ........ ............ 19

2.3 - Distribuiio de Tenses ........ ............ 25

2.4 - Equilibrio do Corpo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 - Comportamento do Material ...... ...... ...... 30

2.6 - Formulaio do Problema Geral da Elasticidade 31

2. 7 - Hiptese de Pequenas Deformaes . . . . . . . . . . . 33

III - MtTODOS DE ANIILISE . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 - Resumo Histrico . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . 39

3.2 - Algoritmos ................................. 44

3.3 - Mtodo dos Elementos Finitos .. ... ....... .. . 45

3.4 - Mtodo da Viga-Coluna . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . 54

IV - MODELO l - ELEMENTO DE EIXO RETO E SE/\0 TRANSVER-SAL CONSTANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. l - Campo de Deslocamentos 63

4.2 - Equaes Constitutivas e Campo de Tenses .. 69

4.3 - Matriz de Rigidez e Vetor de Foras Internas 72

4.4 - Matriz de Rigidez Nio-Linear 76

V

Vi i

4.5 - Transformao do Sistema de Referncia Local Fixo para o Sistema Local Mvel............. 86

- MODELO 2 - ELEMENTO DE EIXO CURVO E SEliO TRANSVE~ SAL E NUMERO DE NS VARiliVEIS ................... . 93

5.1 - Campo de Deslocamentos . . . .. . . ... . . . . . . . .... 95

5.2 - Campo de Tenses e Equaes Constitutivas . . 107

5.3 - Matriz de Rigidez Linear e Vetor de Foras Intrnas ................................... 120

5.4 - Matriz de Rigidez No-Linear 1 21

5.5 - Cossenos Diretores dos Eixos dos Sistemas de Referncia Locais .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 126

5.6 - Matriz de Rigidez do Elemento e Vetor de For as Internas com todos os Coeficientes Corres pondendo a Graus de Liberdade Referidos ao Sistema Global............................. 129

5.7 - Esquema de Integrao para o Clculo das Ma-trizes de Rigidez e do Vetor de Foras..... 132

5.8 - Indicaes para a Formulao do Elemento de 132 Seo Transversal Circular ................ .

VI - RESULTADOS NUMtRICOS E COMPARAES . .. . . . . . . .. .. .. 136

6 .1 - Viga Engastada 1 3 6

6.2 - Coluna de Euler............................ 145

6.3 - Arco Circular Abatido . .. . . ... . . ... .. .. ..... 156

6.4 - Viga Balco................................ 165

6.5 - Prtico Tridimensional

6.6 - Prtico Tridimensional 2

6.7 - Tempos de Gerao das Matrizes de Rigidez e

l 7 2

179

do Vetor de Foras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

VII - CONCLUSliO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vi i i

APtNDTCE A - PROGRAMA PAPT-NLG {PROGRAMA PARA ANALISE DE PRTI

COS TRIDIMENSIONAIS CONSIDERANDO NIIO - LINEARIDADE

GEOMETRICA) . . . 206

1

INTRODUJ\O

O estudo do comportamento no-linear das estruturas

engloba uma bibliografia bastante diversificada.

Em gera 1, as formulaes apresentadas uti 1 i zam uma

teoria linear, a qual foram acoplados termos no-lineares, mais

ou menos complexos de acordo com a preciso desejada.

Em publ i caoes mais recentes foram desenvolvi das

formulaes de elementos finitos que utilizam como ponto de par-

tida uma teoria geral. Esta teoria, que pode ser simplificada

de acordo com o tipo de comportamento e de estrutura em estudo,

inclui comportamentos linear, no-linear geomtrico e no-linear

fisico, para carregamentos estticos ou dinmicos. A condio de

equilibrio representada por uma equao incremental no-linear,

determinada a partir dos principios da mecnica dos solidos.Equ!

o esta que, apos ser linearizada, discretizada e resolvida

utilizando-se elementos finitos.

Seguindo este ltimo enfoque desenvolveram-se neste

trabalho, duas formulaes consistentes de elementos finitos pa-

ra analise no-linear geomtrica de porticos tridimensionais. A

primeira resulta em um elemento de eixo reto e seo transversal

constante em que os deslocamentos so interpolados por funes

convencionais de portico. Na segunda, um el~mento de eixo curvo

e seo transversal varivel obtido atravs da degenerao do

elemento isoparamtrico tridimensional.

No Capitulo I so mostradas as principais caracte-

risticas do comportamento no-linear geomtrico utilizando-se es

truturas simples.

2

Os conceitos da mecnica dos slidos relacionados

com a no-linearidade geomtrica so apresentados no Capitulo II.

O Capitulo III constitudo por quatro itens que

tratam de assuntos distintos. No item 3.1 faz-se um resumo da

evoluo dos mtodos matriciais de anlise estrutural, desde o

seu surgimento. No item 3.2 so apresentados, de forma esquemI

tica, os principais tipos de algoritmos utilizados na resoluo

de equaes no-lineares. No item 3.3 uma equao incremental no

-linear deduzida a partir dos princpios da mecnica dos sli-

dos, linearizada e discretizada atravs de elementos finitos. No

item 3.4 apresenta-se resumidamente a formulao do mtodo da

viga-coluna.

Derivam-se as matrizes de rigidez e o vetor de for-

as internas do elemento de eixo reto e seo transversal cons-

tante (modelo 1) no Capitulo IV e do elemento de eixo curvo e se

ao transversal varivel (modelo 2) no Capitulo V.

Os resultados das anlises de vrias estruturas en-

contram-se no Capitulo VI.

O Capitulo VII consta de comentrios sobre os dois

modelos e sugestes para pesquisas futuras.

Um programa em linguagem FORTRAN IV, constituido P!

los procedimentos computacionais necessrios para a implementa-

ao dos modelos l e 2, descrito e comentado no Apndice A.

3

I - NAO-LINEARIDADE GEOMtTRICA

Quando numa anlise estrutural os efeitos da mu-

dana de geometria sao considerados, a relao carga-des-

locamento e no-linear. Esta no-linearidade chamada de geom~

trica e, em geral, pode ser desconsiderada nas situaes em que

a hiptese de pequenos deslocamentos for vlida.

A no-linearidade geomtrica relevante nos ca-

sos de deslocamentos relativamente grandes, de estabilidade es-

trutural e de interao axial-transversal. Ou seja, nos casos

em que devido a grandeza dos deslocamentos surge a necessidade

de se escreverem as equaoes de equilibrio em relao a configu-

raao deformada da estrutura, ou ainda, mesmo com deslocamentos

relativamente pequenos, quando a disposio das cargas na estru-

tura seja tal que,combinada com os deslocamentos, leve a uma si

tuao de instabilidade ou ao surgimento de esforos adicionais.

Os sistemas estruturais constitudos por membros

esbeltos, em geral, exigem uma anlise no-linear geomtrica.

Quando os efeitos no-lineares implicam em enrij~

cimento da estrutura a utilizao de uma anlise linear conduz a

uma estrutura segura, porem pouco eficiente do ponto de vista

de aproveitamento do material. No entanto, se o comportamento

no-linear se caracteriza por perda de rigidez ou instabilidade

a utilizao de uma anlise linear pode reduzir bastante a mar-

gem de segurana, chegando at mesmo a causar o colapso da estru

tura.

Neste capitulo, estudam-se o enrijecimento, a in~

tabilidade e a perda de rigidez em estruturas simples: a viga, a

coluna e o arco.

4

l. l - GRANDES DESLOCAMENTOS

A viga em balano com uma carga concentrada na e~

tremidade (Figura l.la)ilustra muito bem o comportamento de uma

estrutura sujeita a deslocamentos relativamente grandes. Nas Fig~

ras l. lb e l. lc encontram-se representadas as configuraes defor-

madas da viga para os casos de pequenos e grandes deslocamentos

relativos, respectivamente.

No caso de deslocamentos relativamente pequenos

adota-se a soluo linear do problema. Como o equilibrio fei-

to em relao a configurao indeformada, o deslocamento horizo~

tal do ponto B tu 8 ) e desprezado, calculando-se apenas o deslo-

camento vertical (v 8 ) Esta soluo vilida desde que v8 se

ja pequeno quando comparado com o vo da viga

A medida em que a relao VB T

{L) .

vai crescendo a hi

ptese de pequenos deslocamentos vai se tornando menos represen-

tativa da realidade. Adota-se ento a soluo no-linear,que tor

na possivel o cilculo de u8 e fornece valores menores que os

lineares para e (momento no apoio).

A reduo no valor de MA ocorre porque, como o

equilibrio feito em relao a configurao deformada, a dist~

ci a i entre os pontos A e B {Figura l. l c) diminui a medi da em

que aumenta.

A reduo no valor de v8 e uma consequncia do

enrijecimento que a viga sofre durante o carregamento. Isto pode

ser constatado atravs do grifico da Figura l. ld. A partir de de

terminado valor da carga a relao P x v8 torna-se no-linear com

a carga crescendo mais rapidamente que o deslocamento.

PL2

E I

Ai

1

5

L

( a l

( b)

l, L->1.ii

( e )

-----------

p

t p

j +vb ~

....... '

--0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1. 4 Vb /L

( d)

Figuro 1.1

6

1.2 - INSTABILIDADE

Como exemplo de estrutura sujeita a instabilidade

tem-se a coluna esbelta carregada axialmente (Figura 1.2a), conh!

cida tambm como coluna de Euler 1 Neste tipo de estrutura ocor

re o fenmeno da bifurcao simtrica estvel 2

Este fenmeno encontra-se representado graficame~

te na Figura 2c. A coluna se mantem reta at que a carga p atin

ja valor da de Euler (PE 112 L E I ) Neste ponto existe o carga =

uma bifurcao de equilbrio, ou seja, a coluna pode permanecer

na configurao reta, que se tornou instvel, ou passar para a

configurao curva (Figura 1.2b), que a nova configurao est-

ve l .

Para valores de P superiores a PE a coluna en

contra-se fletida e a relao entre carga e deslocamento trans-

versal nao-linear, com a carga crescendo mais rapidamente que

o deslocamento (enrijecimento). Este trecho da curva P x vc e

chamado de caminho ps-critico.

A determinao do caminho ps-critico feita ut1

li zando-se uma teoria no-1 i near 1; 3 , que pode ser dispensada qua~

do se quer calcular apenas a carga de Euler.

Os deslocamentos axiais da coluna tambm sao afe-

tados pela mudana de configurao. A curva P x u8 , apresent!

da na Figura 2d, mostra que a partir de um certo ponto "a", que

corresponde a mudana de configurao, inicia-se um trecho em que

o deslocamento passa a crescer mais rapidamente 4

Dentre as suposies feitas para a idealizao da

coluna de Euler duas so particularmente difceis de ocorrer: a

perfeita linearidade do eixo da coluna e a aplicaio concntrica

7

A e e.,. p ,A. X , L/2 L/2 f ,

( a )

d_vc ~-----y p =z:--

( b ) -f':!!t

2.0

I.Of----=----- -

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Vc /L

( e )

p

a

~-------------- b

( d )

Figura 1. 2

8

A ~o A p

.IS: --2.L

~ L/2

l L/2

'1

( o )

Vc

p -- --_::.-~---

( b )

p , PE I

ao= o

o 1

2

1.0

( e l

Figuro l.3

9

e

L/2 L/2

( . )

( b )

p

PE '1o' O

2.0

QI

2

1.0

( e )

Figura 1.4

l o

da carga. As situaes em que estas hipteses nao sao cumpridas

so analisadas atravs das colunas esbeltas com curvatura inicial

do eixo (coluna imperfeitaj e das colunas com carregamento excen-

trico.

Estes dois tipos de colunas tm comportamentos bas

tante semelhantes, como pode ser constatado comparando-se as cur

vas P x vc das Figuras 1.3c e l.4c. Em ambos os casos no existe.

bifurcao de equilibrio, a flexo tem inicio desde o instante

de aplicao da carga. A relao carga-desl ocamente e no-1 i near.

No trecho inicial da curva a carga cresce mais rapidamente que o

deslocamento, porm a medida em que P se aproxima de PE esta

relao vai se modificando e no trecho final o deslocamento pas-

sa a crescer mais rapidamente que a carga (perda de rigidez).

Colunas com imperfeies iniciais, ou excentrici-

dades, grandes apresentam deslocamentos transversais consider-

veis com cargas muito abaixo da carga de Euler (Figuras .l.3c e 1.4c),

enquanto as colunas com imperfeies iniciais, ou excentricida-

des, pequenas experimentam deslocamentos transversais apreciiveis

apenas quando P se encontra bastante prxima de PE .

Em outro tipo de estrutura, o arco abatido, a ins

tabilidade e precedida por uma reduo crescente da rigidez de

flexo e a mudana de configurao ocorre de uma man~ira brusca

e violenta, com liberao de energia 2

O comportamento de um arco abatido quando solici-

tado por uma carga concentrada (__~ig_ura _l .Sa) encontra-se represe.!:_

tado no grifice da Figura 1.5d.

A relao entre a carga p e o deslocamento v

se mantem linear at P atingir um determinado valor prximo de

li

p

P.crll.

l l

p

e

-+----- Y~Z----.1,---L=/~2~----~ ( a l

,,.-/

--- ---( b)

_____ p __ _

( e )

b

1 I 1 I 1 I 1 I

I I I

I I

I / I .. ./ I d

Figura l.5

e

1 1 1 1 1 1

v.

l 2

P t (ponto ''a'' da curva P x v) . Dai em diante torna-se nao cri linear com o deslocamento crescendo mais rapidamente que a carga

P (reduo de rigidez).

Quando P alcana valor igual ao de p "t cri (po~

to b) ocorre uma variao dinmica no deslocamento e o arco P!

sa de uma configurao concava (Figura 5b}, que se tornou inst-

vel, para uma convexa, que e a nova configurao estvel.

Logo em seguida (ponto c) estabelecida outra r!

lao no-linear entre P e v , com o deslocamento crescendo mais

lentamente que a carga (enrijecimento).

O trecho tracejado da curva corresponde a um pro-

cesso de variao da carga em que os incrementas de carga so n!

gativos (descarregamento e carregamento no sentido contrrio).Ao

ser atingida uma carga igual a - Pcrit (ponto d) volta a ocor-

rer uma variao dinmica no deslocamento, desta vez no sentido

oposto.

1.3 - INTERAAO AXIAL-TRANSVERSAL

Como exemplo de estrutura em que ocorre interao

entre as foras axial e transversal tem-se a viga-coluna.

A viga-coluna e uma pea de eixo reto submetida

simultaneamente a compressao e flexo. Flexo esta que pode ser

causada tanto por momentos aplicados nos apoios quanto por carre

gamento transversal'.

Assim, a coluna esbelta carregada excentricamente

pode ser vista como um caso particular de viga-coluna, em que a

flexo surge como um efeito secundrio. Secundrio no sentido

de que os momentos nos apoios so acidentais, pois exi~tem ape-

1 3

Q

A;.-------;;--------i.B,_ __ _ e

t L/2

Q

LO ---_.,,.

Q

( b )

/

.,/

/ /

L/2

e)

- O 7 I' P- .

I

~' I

/ /

p

--------(d)

Figura l. 6

Vc

Vc/L

l 4

Q

A ! B A e A

L

( a l

Q

;JS; JVc

:z. HA ( b ) He

Q

( e l

Fiouro 1.7

l 5

nas quando uma carga que deveria ser concntrica e aplicada in-

voluntariamente com uma cert excentricidade.

Em geral, no entanto, flexo e compressao apare-

cem como efeitos primrios resultantes de carregamentos aplica-

dos intencionalmente.

Na viga-coluna da Figura C6a- as car'gasaxTa-1 e

transversal so independentes, podendo variar simultaneamente ou

uma de cada vez.

A carga axial, como pode-se verificar no grfico

da Figura.f-;-6c provoca urii, reduo na rigidez de flexo. As cur-

vas P x vc , determinadas para valores constantes de P , apre-

sentam inclinaes que diminuem a medida em que a carga axial

constante P e aumentada. Para um mesmo valor de Q o maior deslocamento transversal vc corresponder a curva em que P for

maior 3

A carga transversal Q , quando constante, exerce

sobre o comportamento da viga-coluna efeito semelhante ao da cur

vatura inici_al na coluna esbelta (Figura l_'.3c). Quando P e Q

variam simultaneamente a rigidez se red.uz rapidamente -(Figur l.6d-).,

A interao entre as foras axial e transversal

pode ocorrer mesmo em situaes em que existe apenas o carrega-

mento transversal.

Este o caso da viga bi-apoiada com restrio ho

rizontal nos dois apoios, submetida a uma carga aplicada no meio

do vo tFigura L7a). Esta restrio, ao impedir o deslocamento

horizontal nos apoios, faz com que surjam foras de reao hori-

zontais'(Figural:?b)_.. a partir do instante em que ocorre desloca-

mento transversal no vo.

l 6

Aqui tambem, como no caso da viga engastada, oco~

re enrijecimento. A relao carga-deslocamento, inicialmente li

near, logo se transforma em no-linear, com a carga crescendo

mais rapidamente que o deslocamento (Figura 1,7c).

l 7

II - FUNDAMENTOS TERICOS

A anlise no-linear geomtrica de estruturas re-

tira os seus fundamentos tericos da teoria da elasticidade no-

linear, que faz parte da mecnica dos slidos.

A mecnica dos slidos, ramo da mecnica que tra-

ta das tenses e deformaes nos "solidos" 5 , e desenvolvida a

partir do conceito de meio continuo.

O meio continuo um material hipottico em que

nao existem falhas ou espaos vazios e que tem as suas propried!

des descritas por funes matemticas continuas 6

Os conceitos e equaes da mecnica dos slidos

sao gerais o sufuciente para abrangerem, alm da teoria da elas-

ticidade, teorias como a viscoelasticidade e a plasticidade 5

A teoria da elasticidade na sua formulao mais

ampla nao impe restries a magnitude dos alongamentos, distor-

oes, deslocamentos e ngulos de rotao. E tambm chamada de

teoria da elasticidade no-linear 7' 8 , em contraposio a teoria

clssica que linear 9

A no-linearidade geomtrica aparece,na teoria da

elasticidade, nas equaes de equilibrio, que sao escritas utili

zando-se a configurao deformada do corpo, e nas relaes defor

mao-deslocamento, que incluem termos no-lineares.

Neste Capitulo apresentam-se resumidamente os pri~

cipios da mecnic~ dos slidos, que servem de base para a formu-

lao variacional do mtodo dos elementos finitos.

1 8

2.1 - DESCRIO DO MOVIMENTO

Ao sofrer a ao de um agente externo qualquer, um

corpo sl ido muda de configurao, sofrendo a 1 te raes na forma

e no volume.

A configurao de um corpo descrita por um sis-

tema de coordenadas que tem os seus pontos geomtricos identific~

dos com a posio que as partculas do corpo ocupam no espao.

Como em cada configurao a posio das parti cu-

1 as diferente, necessario que se esta6elea uma forma nica

de determina-las. Isto feito escolhendo-se uma configurao

de referncia, a qual todas as outras so relacionadas.

O vetor ! , que determina a posio da partcula

na configurao de referncia, e o tempo t sao tomados comova

riaveis independentes. Conhecendo-se t e ! , determina-se o

vetor y, que fornece a posio da partcula na nova configura-

o6.

A descrio do movimento de um corpo feita desta

maneira e chamada de descrio referencial. t comum escolher-se

como referncia a configurao inicial, correspondente a t = O

{_descrio lagrangeana), porm outras configuraes podem seres

colhidas tambm. Nas dedues feitas a seguir sempre que nao

houver ressalva estara sendo utilizada a descrio lagrangeana.

A sequncia de mudanas de configurao represe~

tada pelas equaes de deformao:

(i = 1 , 2 , 3) (2. 1 )

ou

sendo:

l 9

y.=x.+u. l l l

yi - componentes cartesianas de r

fi - funes continuas de x e ,

xi - componentes cartesianas de x

( 2 . 2 )

ui - funes continuas de x e , e componentes carte-sianas de u , vetor de deslocamentos'-da ri"arTcula

Os vetores r e x , nas equaoes (2.1) e (2.2),

esto referidos ao mesmo sistema de eixos cartesianos.

2.2 - DEFORMAAO DO CORPO

O estudo da deformao na vizinhana de uma part_I

cula i feito verificando-se o que ocorre com um elemento infini-

tesimal do corpo. Este elemento i constituido pelo segmento de

reta que une as posies de duas partculas geniricas P e Q, si

tuadas infinitamente prximas uma da outra. Inicialmente P e Q

ocupam as posies x e x + d~ , deslocando-se para as pos!

oes r e r + dr durante a deformao.

O gradiente de deformao F i definido como o

tensor que atua no vetor infinitesimal dx , relacionando-o com

o vetor dt da seguinte forma 6 :

dt = F dx (2. 3a}

ou

dy i = F i k dxk (2.3b}

onde:

20

ou

sendo:

ik - delta de Kronecker

ik = para i = k

a u. l

~

ik = O para i I k

(2.4a)

(2.4b}

Os tensores de deformao ~ , ~ e e sao tenso

res simtricos definidos a partir do gradiente de deformao:

ou

sendo:

C = F T F

E .. l J

r3 - matriz identidade 3 x 3

ij - delta de Kronecker

e - tensor de deformao de Green-Lagrange

(2. 5)

( 2. 6)

(2.7a)

(2.7b}

As componentes do tensor s sao usualmente expre~

sas em termos de deslocamentos. Isto obtido facilmente substi

tuindo-se as componentes yk nas equaes (.2.7b} pelas equaes

( 2 . 2) .

sendo:

E .. lJ

21

e .. 1 J

1 a u . = (--1 + z a x. J

n .. 1 J

eij - parcela linear de Eij

nij - parcela no-linear de

a u. d.)

E . 1 J

1

(2. 8)

(2.9a)

(2.9b)

Nos mtodos incrementais o tensor E e utilizado

na sua forma incremental 4

A e .. 1 J

A ElJ = A e .. + A n .. 1 J 1 J

A n .. 1 J

a uk aA uk ~ _a_x_.)

J 1

(2.10)

(2.lla)

(2.llb)

As equaoes (2.11) sao obtidas substituiffdo-se as

equaes (2.9) em (2.8) e utilizando-se uma decomposio incre-

mental para os deslocamentos ui .

(2.12)

sendo:

N+l ui - componentes do vetor de deslocamentos para a con-figurao N +

N u. 1

22.

- componentes do vetor de deslocamentos para a con-

figurao N

6 u. - componentes do vetor de deslocamentos incrementais. 1

A deformao do corpo causa uma variao no com-

primento de um elemento infinitesimal. Esta variao e medida

atravs do alongamento unitrio 7

onde:

1:,i - mudana ocorrida na distncia entre P e Q comprimento final menos o inicial

di - distncia inicial entre P e Q .

(2.13)

igual ao

Se a posio inicial do elemento e paralela a um

dos eixos de referncia xi , tem-se

ou

l E.= (1 + 2 E--) 2 - l . 1 1 1

(2.14a)

(2.14b)

Os elementos que se situam, antes da deformao,

paralelamente aos eixos de referncia xi formam entre si ngu-

los retos. Aps a deformao, estes ngulos so alterados, pas-

sando a valer 7 - @ij . O ngulo @ij e a distoro sofrida pelo retngulo infinitesimal de lados dxi e dxj (Figura 2.1}.

As distores se relacionam com as outras medidas

de deformao atravs das seguintes equaes 10 :

ou

lados

onde:

sin

d X j

dxi

cp. . = 1 J

23

2 E . 1 J

(l+E;)(l

Figura 2.1

r--1

1

1

1

1

1

1

--------,

Tf .:l .. - - '!IJ

2

1 1

1

1 1

(2.15a)

(2.15b)

dx. 1

A variao da rea do retngulo infinitesimal de

e dx. e dada por 7 : J

dA aJ = [( l + 2 E i i ) ( l + 2 E j j ) - ( 2

dA - area apos a deformao

dA - area antes da deformao o

E .. ) 2] ! 1 J

(2.16)

As alteraes no volume e na densidade de um par~

24

lelepTpedo infinitesimal, de lados inicialmente paralelos aos

eixos xi , so determinadas atravs das seguintes equaes 7 :

onde:

P o = dV = J p~

dV ~

=

p - densidade ap5s a deformao

p0

- densidade antes da deformao

dV - volume ap5s a deformao

dV0

- volume antes da deformao

J - determinante do gradiente de deformao F

(2.17al

(2.17b)

ti - alongamentos nas direes principais de deformao

O movimento e deformao de um elemento de volume

infinitesimal, que ocupa inicialmente a posio x , pode ser

considerado como resultante de trs transformaes: uma deforma

o, uma rotao de corpo rigido e uma translai at i Esta

interpretao do movimento chamada de teorema da decomposio

polar e representada pela seguinte equao 6

onde:

R -

F = R U

tensor ortogonal, isto , rotao de corpo rigido

(_2. l 8)

, que produz uma

U tensor simtrico positivo definido (ver equaao (2.6)), que produz alongamentoedistoro. E chamado de ten-sor de deformao direito (right stretch tensor).

25

l>P "'

A

Figura 2. 2

2.3 - DISTRIBUIAO DE TENSES

A definio da tenso em um ponto e feita atraves de um limite matemtico anlogo ao utilizado no clculo diferen-

cial para definir derivada.

Em um corpo que est se deformando, uma pequena

area bA, situada numa superficie fechada arbitrria A ,est su

jeita a aao de uma fora bP (Figura 2.2). Esta fora resulta

da interao entre o material interno e externo superf1cie e e

26

uma funo da rea e da orientao da superficie. Um vetor uni-

trio v normal a AA , dirigido de dentro para fora de A , fi

xa o lado externo de AA como sendo o

AA tender para zero, o quociente AP

lado positivo. Fazendo-se dP

tende r para o limite dA

e os momentos agindo na superficie se anularo no limite 5 Ove

tor limite

dP t = A (_2.19)

chamado de vetor de tenso. Representa a fora por unidade de

rea exercida pelo material situado no lado positivo da superfi-

cie sobre o material situado no lado negativo.

O estado de tenso em um ponto e completamente d~

terminado por um tensor de 22 ordem simtrico chamado de tensor

tenso de Cauchy t~l-

Conhecendo-se ~, o vetor de tenso t que atua

num plano arbitrrio calculado atravs das seguintes equaoes:

(2.20a)

ou

t. = O . V 1 J 1 J (2.20b)

sendo:

v - vetor unitrio normal ao plano

O tensor o est definido em relao a configur~

ao presente do corpo. Isto resulta do conceito fisico natural

e da necessidade de satisfazer as equaes do movimento na confi

gurao presente ou deformada. Porm, para montar as equaoes

27

constitutivas e necessrio que os tensores de tenso e de defor-

mao estejam definidos em relao a mesma configurao. Por is

so, quando a configurao de referncia no a presente, em vez

do tensor de Cauchy o utiliza-se o 29 tensor de tenso de Pio-

la-Kirchhoff, que e definido em relao a configurao de refe-

rncia.

Este tensor obtido a partir de uma fora ficti-

cia, dP' = C!') dA' , que se relaciona com a fora real,

dP = C!) dA , da mesma f6rma que dx se relaciona com dt (ver

equao (2.3a))

dP' = F-l dP (.2.2la)

(!') dA' = F-l (!) dA (2.21b)

O vetor de tenso ficticio t' e calculado atra-

ves de uma equao anloga a equao (2.20a).

onde:

se:

(.2.22)

S - 29 tensor de tenso de Piola-Kirchholff

v'- vetor unitrio normal a superficie dA' , situada na configurao de referncia

Substituindo-se (2.20a) e (.2.22) em (2.21b) tem-

(~T ~') dA' = F-l (c:i:T ~) dA (2.23)

28

Aps algumas-operaes algbricas' e obtida a se-

guinte expressao para S

ou

p -o

(2.24a)

(2.24b)

A equaao (2.24a) mostra que, assim como o, o ten

sor S tambm e simtrico.

2.4 - EQUJLTBRIO DO CORPO

O movimento de um corpo slido deformvel regi-

do pelas duas leis do movimento de Cauchy. Estas leis so dedu-

zidas atravs da aplicao dos princpios de conservao das qua~

tidades de movimento linear e angular'. Segundo elas em cada po~

to do corpo deve-se ter:

ou

e

sendo:

Vo + b = dv

p f (2.25a)

ji dv. b. l d +

- . p aT Y l J (2.25b)

a= a1 (2.26)

Vo divergente do tensor i: , com derivadas parciais em re lao as coordenadas yi

b vetor das foras de massa (fora por unidade de volu me)

dv dt

29

vetor de acelerao

p - densidade do material na configurao deformada

a acelerao

Quando o corpo se encontra em equilbrio esttico dy lt nula e as equaoes do movimento (equaes

2.25)), passam a ser chamadas de equaes de equilbrio.

ou

Vo + b = O

a o .. J 1

d y. J

+ b. 1

= o

(2.27a)

(2.27b}

Nos casos em que a configurao de referncia nao

e a presente utiliza-se as equaes de equilbrio na seguinte

forma 6 :

ou

onde:

v e~ E r i + b = o (2.28a)

d y.

afl k

= o (2.28b)

divergente de (~ ET) , com derivadas parciais em relao s coordenadas X,

1

b0 - vetor das foras de massa, referido a configur~ o de referncia.

O princpio dos trabalhos virtuais uma forma al

ternativa de se expressarem as condies de equilbrio de um co~

po 6 Este principio representado na mecnica dos slidos pela

equaao:

onde:

30

( 2 . 2 9 )

8 uk - variao (virtual) das componentes cartesianas do vetor de deslocamentos

s.. - componentes cartesianas do 29 tensor de tenso Pio l J

la-Kirchhoff

8 E-. - variao (virtual) das componentes cartesianas do 1 J

tensor de deformao de Green-Lagrange

t~ - componentes cartesianas das foras de superficie (fora por unidade de rea), referidas a configur~ o de referncia

b~ - componentes cartesianas das foras de massa, refe-ridas a configurao de referncia.

2.5 - COMPORTAMENTO DO MATERIAL

O comportamento de um material quando submetido a

solicitaes externas caracterizado pelas equaes constituti-

vas.

As equaoes constitutivas elsticas resultam da

generalizao da lei de Hooke. So nove equaoes qu.e expressam

as componentes de tenso como funes lineares das componentes

de deformao:

s .. = e .. E (2.30) lJ , J rs rs

sendo:

5i j -componentes do tensor s dispostas num vetor de nove elementos

31

C.. - componentes do tensor constituivo de quarta ordem 1 J rs

f (diferente do tensor C definido na equaao (2.5))

Ers - componentes do tensor E dispostas num vetor de nove elementos.

Corno S e E so simtricos, as equaoes (2.30)

para um material elstico, hornog~neo e isotr6pico so sirnplific!

das, reduzindo-se de nove para seis 6

S. = Ekk 8 .. + 2 E .. lJ lJ lJ (2.31)

sendo:

, - constantes de cada material (constantes de Lam)

2.6 - FORMULAAO DO PROBLEMA GERAL DA ELASTICIDADE

As equaes de equi l ibri o, equaes (2.27} e (_2. 28),

no contm variveis cinemticas, mas em geral no so suficien-

tes para determinar-se a distribuio de tenses, pois enquanto

as componentes de tenso independentes sos seis as equaes de

equilibrio so apenas trs.

As equaes que esto faltando ~o as equaoes

constitutivas e cinernticas. Portanto, o problema da determina-

o de tenses no pode em geral ser resolvido sem que sejam co~

siderados deslocamentos e deformaes; um problema estaticarnen

te indeterminado exceto em alguns casos especiais.

O problema geral da elasticidade consiste em:

32

- Dado um corpo B de densidade p , sujeito ao sistema de for-as (! , ~) , determinar os campos de deslocamentos (_~). e de tenses (~) , que satisfaam s equaes do problema.

Estas equaoes podem ser apresentadas de duas ma-

neiras, na forma diferencial ou na forma variacional.

As equaoes na forma diferencial, para o caso de

equilibrio esttico, so:

- equaes de equilbrio

- equaoes constitutivas

- equaoes cinemticas

d y. :) X:) + b. 1

E . . 1 J

1 a u . = ( 1 + -z :aT. a u. __ J + d Xi

J

- condies de contorno

-u . = u. em , 1

t. = t. em , ,

sendo:

= o (2.321

(2.33)

(_2.34)

d lB t {2.35)

d JB 2 t

a lllt , a IB~ - superf'cies que fazem parte do contorno do corpo em que os deslocamentos ou as tenses esto prescritos

33

As equaes na forma variacional, para o caso de

equilbrio esttico, so:

- equao de equilbrio (principio dos trabalhos virtuais)

r s . . ~ 1 J

o

= I 2 alB o

- condies subsidirias

e

o E: 1 J

1 = 7

a u. J +

~

em a IB ' o

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Na forma variacional, como o equilbrio no fei

to em cada ponto do corpo, o conjunto de solues admissveis

ampliado. Podem ser aceitas solues que violem o equilbrio em

alguns pontos, desde que o equilbrio global do corpo seja manti

do.

2.7 - HIPOTESE DE PEQUENAS DEFORMADES

Na maioria das estruturas encontradas na prtica,

mesmo em presena de deslocamentos e rotaes relativamente gra~

des, os alongamentos Ei e distores tij sao pequenos -em re-

lao a unidade 7

Nestas situaes, o comportamento estrutural pode

ser representado pela teoria das pequenas deformaes. Esta teo

34

ri a resulta da aplicao da hi ptese de pequenas deformaes a

teoria geral, apresentada anteriormente.

Na literatura, a utilizao das hipteses de pequ!

nos deslocamentos e de pequenas deformaes as vezes deixa mar-

gem a duvidas. No Capitulo l, importante notar, o problema es

trutural linear foi definido em relao a deslocamentos e no em

relao a deformaes.

A hiptese de pequenos deslocamentos exige que as

translaes e as rotaes dos pontos da estrutura sejam pe-

quenas quando comparadas, respectivamente, com as dimenses da

estrutura e com a unidade 7

alongamentos

A hiptese de pequenas deforma5es sup5e que os

E. l

e distor5es cj,i j sao pequenos em relao a

unidade. Portanto, refere-se exclusivamente a deformao de um

volume infinitesimal do corpo.

A primeira hiptese a mais restritiva pois envolve

a deformao da estrutura como um todo. A primeira implica na

segunda, porm a reciproca no verdadeira.

Adotando-se a hi ptese de pequenas deforrna5es, as

equaoes (:2.l4b)_, (2.15b), (2.16), (.2.17a) e (.2.17b) so simpli-

ficadas para:

e: . . - E . l 1 l

(2.39)

2 E: - cj, .. (2.40) 1 J lJ

dA - l (2. 4 l ) -a:n =

35

dV cl'v--:-

0

Assim, as componentes do tensor s

(2.42a)

(2.42b)

adquirem um

significado geometrico que no possuam anteriormente. Agora os

sii sao alongamentos e os sij so proporcionais as distores.

As equaes (2.41) e (2.42b) mostram que um para-

lelepipedo infinitesimal, de lados inicialmente paralelos aos e~

xos

ces.

x. , no sofre variao nem no volume nem nas reas das fa-1 .

Como consequncia da deformao o paralelepipedo retangu-

lar transforma-se em obliquo com ngulos 1T 2 - "'12 ' 1T

7 - "'23 e

f - q, 13 . Porem, como o corpo est submetido a grandes rotaes ( em relao a os ~ i j ) , as equaes d e e q ui 1 i b ri o e as tenses p o -

dem ser determinadas considerando-se que o paralelepipedo perma-

neceu retangular, sofrendo apenas uma rotao de corpo rigido 7

De acordo com esta suposio, a mtriz identidade

I substitui a matriz do tensor U na equaao (2.18) e o .gra-

diente de deformao passa a produzir apenas rotao de corpo ri

gido.

F = R (2.43)

Substituindo-se (2.43) em (2.24a) e (2.28a) obte~

se a nova forma da relao entre os tensores S e cr e das equ~

es de equilibrio:

(2.44)

36

(2.45)

A equaao (2.44) anloga as equaoes utilizadas

para mudanas de referencial de tensores de segunda ordem. De-

vem existir portanto dois sistemas de eixos x! 1

e para os

quais a matriz do tensor o , referida a

triz do tensor S , referida a xi .

x! , seja igual 1

a ma-

As matrizes dos tensores S e o na equaao (2.44)

esto referidas ao sistema de eixos x. 1

A transformao de um

sistema para outro feita atravs da equao:

onde:

!5 1 -K -

-

tal que

K'=~QT (2.46}

matriz referida a x! 1

matriz referi da a xi

matriz ortogonal (gT g = ~) que transforma x. 1 em x! (!:'. 1 = !:'. ) 1

A matriz de o referida ao sistema de eixos x! 1

' e:

o'=RToR (2.47}

Resolvendo-se a equao (2.47} para o tem-se:

o=Ro'RT (2.48}

Substituindo-se (2.48) em (2.44) obtem-se o resul

37

tado esperado:

S = o' (2.49)

A matriz de rotao = RT , obtida anteriormen-

te, define um sistema de eixos mvel, que acompanha a rotao do

corpo. Isto pode ser comprovado atravs do estudo do movimento

de um quadrado que sofre uma rotao no plano (Figura 2.3).

X2 1 Y2

x2

a -+ ' + A B x, 1 a

~ o' e

e D x, Y1

Figura 2.3

forma:

38

Neste caso, as equaoes (2.1) assumem a seguinte

y 1 = cos e x1 - sen e x2

y 2 = sen e x1 + cos e x2 ( 2. 50)

Uti 1 i zando-se as equaoes (2. 3b), obtem-se o gra-

diente de deformao:

sistema xi l

CDS 8 - sen e o

F = R = sen e CDS 8 o

o o 1

A transformao do sistema de eixos

(Figura 2.3) idada por:

X' = X

cose sen e o

= - sen e cose o o o

x . . l

(2.51)

para o

(2.52a)

(2.52b}

Comparando-se as matrizes das equaoes (2.51} e

(2.52b} comprova-se a afirmao anterior de que:

(2.53)

39

III - METODOS DE ANALISE

A aplicao direta da mecnica dos slidos na ana

lise dos sistemas estruturais de uso corrente na engenharia nao

e usual.

Nos problemas lineares e unidimensionais, a solu-

ao exata da equao diferencial existe para quase todos os ca-

sos. Porem, em estruturas reticuladas formadas por vrias bar-

ras, a complexidade da geometria dificulta a montagem e resolu-

o do sistema de equaes diferenciais.

Nos problemas bi 'e tridimensionais, a- solu-o

exata do sistema de equaes diferenciais e obtida apenas em al-

gumas situaes. Consequentemente, em estruturas formadas por

vrios elementos bi ou tridimensionais, somam-se a complexidade

geometri ca e a di fi cul dade de resoluo das equaes diferenciais.

Os metodos de anlise estrutural resultaram dos

esforos no sentido de superar estes obstculos. O relato resu-

mido do seu surgimento e evoluo encontra-se no item 1 deste ca

pitulo. O item 2 trata dos tipos de algoritmo mais utilizados

na resoluo de equaes no-lineares. Nos itens 3 e 4,so apr!

sentados, respectivamente, a formulao variacional do .metodo

dos elementos finitos (metodo dos deslocamentos) e um resumo do

metodo da viga-coluna.

3.1 - RESUMO HISTORICO

O estudo das estruturas reticuladas teve inicio

ainda no seculo passado (1850-1875) com Maxwell, Castigliano e

Mohr. A partir dos conceitos por eles enunciados foram desenvol

40

vi dos os mtodos para anl i se de prti cos e trelias nas suas for

mas cl ssi cas 11

Estes mtodos tornaram possvel a soluo dos pr~

blemas estruturais ao transformarem as equaes diferenciais em

equaes algbricas lineares. No entanto, as dificuldades exis-

tentes para a resoluo de grandes sistemas de equaoes algbri-

cas fizeram com que apenas os problemas em que o numero de incg

nitas fosse reduzido pudessem ser analisados.

Esta limitao foi ultrapassada somente na dcada

de 50 quando surgiram simultaneamente os computadores eletrni-

cos e os mtodos matriciais de anlise estrutural 1 2 13

Os mtodos matriciais e clssicos, apesar de se

basearem nos mesmos princpios da mecnica das estruturas, dife-

rem bastante quanto a sua formulao.

Os mtodos clssicos sao aplicados a estrutura c~

mo um todo e foram desenvolvidos de maneira a facilitar os clcu

los manuais.

Os mtodos matriciais substituem a estrutura.um

corpo continuo, por um conjunto de elementos estruturais, unidos

entre si atravs de um numero finito de pontos, os ns. Esta dis

creti zao da estrutura permite a uti 1 i zao de uma rotina de .cl-

cul o que contm um numero grande de operaes repetidas, favore-

cendo assim o uso de computadores 14

A anlise matricial de estruturas e o mtodo dos

elementos finitos podem, de uma maneira geral, ser tomados como

sinnimos. No entanto, alguns autores reservam a primeira deno-

minao para a anlise de estruturas reticuladas e a segunda pa-

ra a anlise de estruturas formadas por elementos bi e tridimen-

41

sionais.

O trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp 15 pu-

blicado em 1956 considerado como o ponto de partida para a for

mulao do mtodo dos elementos finitos (MEF).

Inicialmente o seu desenvolvimento se fez baseado

no conceito fisico de elementos estruturais .discretos, sujeitos

a cargas concentradas aplicadas nos ns. Porm, a falta de um mo

dela matemtico rigoroso, alm de dificultar a aplicao do MEF

a problemas mais complexos, tornava o avano da sua teoria lento

e desordenado.

O estabelecimento de um enfoque racional e unifi-

cado para a representao das caracteristicas dos elementos s

foi conseguido quando os principias variacionais da mecnica dos

sl idos foram reconhecidos como base para o MEF 16 i 17 Isto resul

tou no desenvolvimento de formulaes chamadas de consistentes.

Aps o xito obtido com os problemas lineares as

atenes se voltaram para os no-lineares. A no-linearidade geo-

mtrica tem sido bastante investigada. Consequentemente, muitas

so as formulaes propostas. A utilizao de principias varia-

cionais permite comparar estas formulaes e estabelecer as sem~

lhanas e diferenas entre elas. Este tipo de estudo foi feito

por Ebner e Ucciferro 18 e por Carey 19

Em elementos unidimensionais lineares nao h dife

rena entre a matriz de rigidez obtida pela formulao consiste~

te, que utiliza um principio variacional, e as outras formulaes,

que utilizam outros principias como o teorema de Castigliano ou

a soluo da equao diferencial em termos de deslocamentos 14

Quando se quer desenvolver elementos unidimensio-

42

nais no-lineares esta situao muda. Apenas a utilizao de uma

formulao consistente garante a incluso de todos os termos nao

lineares na expresso de energia do problema.

O elemento de prti co plano foi um dos primeiros

elementos para anlise no-linear geometrica a ser formulado. Em

1965, Martin j publicava um trabalho 20 que inclui a, entre outras,

uma formulao para este elemento. Desde ento vrias formula-

es tem sido apresentadas 2 ~ 2. A diferena entre elas se encon

tra basicamente na transformao de coordenadas (do sistema de

referencia local para o global) e na considerao, ou no,de ter

mos no-lineares de grau elevado.

O elemento de prtico tridimensional nao e, como

parece a primeira vista, uma mera extenso do elemento plano. Em

tres dimenses as rotaes finitas j no sao grandezas veto-

riais6. Isto cria dificuldades para a determinao da configur~

o deformada.

Na referencia l 25 I, que serve de base para a for-

mulao do modelo l, a configurao deformada e determinada atra

ves de ngulos de Euler; enquanto na referencia 1261 utilizam-se

vetores unitrios ortogonais para determinar a orientao de ca-

da n. Em outra publicao 27 estudam-se os efeitos das rotaes

finitas sobre o clculo dos momentos nodais atravs do conceito

de momentos quasttangenci a l e semi tangencial 2 8 29

Os elementos degenerados surgiram como consequen-

cia das tentativas de se incorporarem s anlises de prticos e

estruturas laminares a versatilidade e a efici~ncia dos elemen-

tos isoparamtricos.

Em 1968 foi publicndo o primeiro trabalho sobre o

43

assunto 30 . A partir desta idia inicial desenvolveu-se o elemen

to para anlise linear de cascas 31 Alguns anos depois aparece-

ram os elementos para anlise no-linear de cascas 32 33 e para ana

lise linear de prticos tridimensionais 34 .

O elemento degenerado para anlise no-linear ge~

mtrica de prticos tem sido pouco estudado. A referncia 1331

apresenta um elemento de prtico plano e em outras publica-

es3536 sao feitas apenas algumas indicaes a respeito do ele-

mento de prtico tridimencional.

Uma formulao do elemento de prtico tridimensi~

nal foi publicada em 1979 37 . Neste modelo, a modificao da ene..!:_

gia de deformao, uma das hipteses bsicas para a degenerao

do elemento isoparamtrico, levada a efeito atravs das compo-

nentes do tensor de deformao. No modelo:2, que foi desenvolvi

do a partir das referncias 1341 e 1351, esta mesma modificao

feita atravs da matriz constitutiva.

A anlise no~linear geomtrica de prticos com

porta, alm das duas opes discutidas anteriormente, mais duas

que merecem ser mencionadas.

Em uma delas, os prticos planos sao analisados

por elementos isoparamtricos cujas funes de interpolao na

direo da espessura sao lineares 38 .

Na outra, utiliza-se o mtodo da viga-coluna (ver

item 3.3}. Este mtodo desenvolveu-se paralelamente a formula-

o do MEF para anlise no-linear geomtrica e pode ser conside

rado como uma formulao no consistente do MEF, apesar de nao

ser tratado assim na bibliografia.

44

3.2 - ALGORITMOS

Quando aplicados a problemas no-lineares os mto

dos de anlise estrutural do origem a sistemas de equaes algI

bricas no-lineares. Os algoritmos mais utilizados na resoluo

destes sistemas de equaes so incrementais, iterativos ou in-

crementais-iterativos39"""2.

O processo incremental supe que o carregamento

do corpo feito por partes, correspondendo s vri as etapas de

carga uma sucesso de configuraes de equilibrio,

onde l(o) e l(f) sao os estados inicial e final de deforma-

ao, respectivamente, e l(N) uma configurao intermediria

qualquer' . O problema consiste em determinar a soluo para a

etapa N + 1 conhecidas as solues anteriores at a etapa N,

atravs da repetio do mesmo processo de soluo. Isto vi-

vel desde que a configurao N + 1 seja suficientemente prxi-

ma da configurao N e que as equaes do problema possam ser

linearizadas em relao as incgnitas incrementais. Dessa manei

ra, um problema no-linear transformado numa serie de proble-

mas lineares.

No processo iterativo 13 aplica-se a carga total

de uma so vez, obtem-se uma soluo inicial e calculam-se as for

as nodais para a geometria dada por esta soluo. Como o com-

portamento da estrutura no-linear as foras nodais no se igu~

1am as foras externas aplicadas. Isto corresponde a presena

de um carregamento residual no equilibrado, igual as foras ex-

ternas menos as foras nodais. Aplica-se ento este carregamen-

45

to, com os parmetros da estrutura atualiza~os segundo a geome-

tria dada pela ultima soluo, obtm-se uma nova soluo e cale~

lam-se as foras nodais para a nova geometria. Com estas foras

nodais e o carregamento externo calcula-se um novo carregamento

residual e inicia-se todo o processo de novo. Repete-se o proc~

dimento at que os carregamentos no equilibrados sejam menores

que um determinado valor, estabelecido de acordo com a preciso

desejada.

No processo incremental-iterativo o carregamento

feito por partes, sendo efetuadas iteraes dentro de cada in-

cremento.

3.3 - METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

A formulao variacional do mtodo dos deslocamen

tos, ou modelo compativel do MEF, pode ser feita a partir do pri~

cipio dos trabalhos virtuais ou do principio da energia potencial

estacionria' 3 A primeira opo mais geral porque permite a

utilizao de qualquer tipo de equao constitutiva, enquanto a

segunda vlida apenas para comportamento elstico do material'

As condies de equilbrio de um corpo na etapa

N + l , utilizando-se o principio dos trabalhos virtuais e um re

ferencial lagrangeano, esto definidas pelas equaes (ver item

2. 4) :

J N+ls .. li N+lE: .. dV = o N+lw

, J , J ( 3 l )

v

{3. 2)

sendo:

N+ 1 S .. 1 J

o N+ l E . 1 J

46

- componentes cartesianas do 29 tensor d.e ten-sao de Pi ol a-Ki rchhoff, na configurao da eta-

pa N + 1

- variao virtual das componentes cartesianas do tensor de deformao de Green -Lagrange na configurao da etapa N + 1

- trabalho virtual das foras externas na etapa

N + 1

- componentes cartesianas das foras de superf! cie na etapa N + 1

- componentes cartesianas das foras de massa na etapa N + 1

o uk - variao virtual das componentes cartesianas do vetor de deslocamentos totais

Relacionando tenses e deformaes tem-se a equa-

o constitutiva (ver item 2.5):

N+ 1 S .. 1 J

(3. 3)

O tensor de deformao pode ser decomposto em duas

parcelas, uma linear e outra no-linear (ver item 2.2):

N+l N+l + N+l Eij = e .. n .. 1 J 1 J (3.4a)

o N+l o N+l + o N+l E .. = e .. nij 1 J 1 J (3.4b)

Substitui.ndo (_3.3)_, (.3.4a) e (3.4b) em (3.1) tem-

se:

47

[ 1 N+l N+l N+l N+l l:i jk,Q, eki o eij + cijki n .. o e .. + l J l J

+ Ci jk.Q. N+l

eki o N+l

+ cijki N+l n ..

l J n ki o N+ ln. J l J dv = o N+lw ( 3. 5)

A equaao acima e a expressao completa do traba

lho virtual interno. As vrias teorias no -lineares existentes

diferem basicamente em dois aspectos 19 , na considerao ou nao

de todos os termos da equao (3.5) e na maneira de agrup-los.

As pesquisas iniciais 20 deram origem a uma teoria

incremental, em que a matriz de rigidez, referida ao sistema de

coordenadas local, resulta da soma de duas outras, a matriz de

rigidez linear convencional e a matriz de rigidez geomtrica,que

representa a contribuio das tenses existentes no inicio do in

cremento. Como as tenses so mantidas constantes durante o in-

cremento no possfvel a realizao de iteraes.

chamada tambm de teoria da tenso i ni ci al 19

Esta teoria

Mais recentemente foi proposta uma teoria incre-

mental-iterativa253544, que supera alguns dos inconvenientes da

teoria anterior, mantendo a mesma simplicidade.

Estas duas teorias serio apresentadas a seguir.

Inicialmente faz-se uma decomposio incremental:

(3.6)

(3. 7)

(3. 8)

48

N+l N + l nki ( 3. 9) nki = nki

6 N+l nki = 6 l nki (3.10)

N+ l t k =

Nt k + l tk

(3.11)

N+lb k =

Nb k + l bk

(3.12)

Substituindo (3.7),(3.8),(3,9) e (3.10) em (3.5),

tem-se:

. f ~ijki Neki 6 ll eij + cijki ll eki 6 ll eij + v

+ ci j k i N eki 6 l n .. 1 J

+ cijki fl eki 6 l n .. + 1 J

cijki N 6 l n .. + Ci jki ll 6 l niJ dV = 6

N+lw (3.13) + nki nki 1 J

Para linearizar a equaao (3.13) desprezam-se as

parcelas no-lineares em termos de deslocamentos incrementais.

Reagrupando os termos de (3.13) tem-se:

f ~ijki (Neki + Nnki) 6 ll eij + cijki ll eki ll eij + v

(3.14)

Utilizando-se (3.4a) e (3.3) tem-se para a eta-

pa N

49

(3.15)

Substituindo (3.15) em (3.14) tem-se:

J rsij o 6 eij + Cijkt 6 ekt o 6 eij + NSij 06 niJ dV =o N+lw v (3.16)

Substituindo (3.6), (3.11) e (3.12) em (3.2),tem-

se:

o N+lw = I Nt k o 6 u k dA + J Nbk o 6 uk dV + A v

+ J 6 tk o 6 uk dA + J 6 bk o 6 uk dV (3.17)

A v

Para o equilbrio do corpo na etapa N , utilizan

do o princpio dos trabalhos virtuais', tem-se:

Igualando (3.16) e (3.17), e rearranjando os ter-

mos, tem-se:

50_

J Lcijkt t, ekt t, eij + Nsij

51

J @ijk9, t:. ekt c5 t:. N

c5 6 nij] dV e .. + sij = 1 J v

= J

6 tk c5 6 uk dA + J 6 bk c5 6 uk dV (3.21) A v

Discretizando a equaao (3.21) tem-se

(3.22)

onde:

( ' , !:!k)T ~L, uk = J e 'e ' 'e dV u Ll Ll ijk9, Ll kt u Ll ij v

( c5 ', k T uk J N c5nn .. dv !! ) ~NL ', = s .. 1 J 1 J

v

( c5 6 !:! k) T ', R = I 6 tk c5 6 uk dA + f nbkc5nukdV A v

~L - matriz de rigidez linear

~NL - matriz de rigidez geomtrica ou no-1 inear

', R - vetor dos i ncrementos das cargas aplicadas

', uk - vetor dos i ncrementos dos deslocamentos nodais

c5 ', uk - vetor . a -variao dos i ncremeritos dos deslocamentos - -

nodais

Simplificando a equaao (3.22), tem-se:

(3.23)

A equaao (3.23) representa um processo estrita-

mente incremental. Para que a soluo obtida seja prxima da

5.2.

exata os incrementos de carga devem ser suficientemente pequenos.

Como no existe um critrio geral que fornea o numero de incre

mentos adequado para cada problema, quando o comportamento da es

trutura desconhecido, esta escolha torna-se bastante dificil.

E comum realizar-se, inicialmente, uma anlise li

near para verificar a grandeza dos deslocamentos e das rotaes.

Com base nestes resultados, escolhe-se ento um numero de incre-

mentos adequado. No entanto, seguindo este procedimento nunca se

sabe a distncia entre a soluo exata e a obtida.

Uma maneira mais segura seria realizarem-se va-

rias anlises no-lineares, com numero crescente de incrementos,

at que a variao entre as duas ultimas solues fosse pequena.

Porm, a aplicao deste procedimento, em geral, torna-se proibi

tiva pelo alto custo computacional resultante.

A teoria incremental-iterativa mantm todos os

termos da equao (3.19}, que discretizada assume a forma segui!

te:

(3.24}

O processo incremental-iterativo representado pe-

la equaao (3.24}, como j foi dito anteriormente, mais preci-

so e mais verstil do que o estritamente incremental da equao

(3.23}. Apesar do grau de aproximao em relao aos termos da

equaao (3.13) ser o mesmo nos dois processos, a realizao de

iteraes em cada incremento evita a acumulao de erros, tornan

do menos rigidas as restries quanto a grandeza dos incrementos

adotados.

Para facilitar a implementao da equaao (3.24)

53

faz-se um reagrupamento de termos.

sendo,

(8 6 ~k)T R = J (Ntk + 6 tk) 8 6 uk dA + A

v

(8 6 ~k)T F = J V

(3.25)

A equaao (3.25) vlida tanto para a estrutura

como um todo quanto para cada um dos elementos. Quando aplicada

a estrutura as matrizes ~L , ~NL e F so montadas .,a partir

das matrizes correspondentes dos elementos 43 As matrizes de ca

da elemento so calculadas atravs das seguintes equaes:

~L = f BT e ~L dV -L (3.26a) v

K.i [ I T ~M ~NL dV = ~NL -J . (3.26b) v

F = f BT ~V dV -L (3.26c) v

sao montadas a partir das

derivadas das funes de interpolao (ver itens 4.2, 4.4, 5.2 e

5.4). As matrizes ~M e ~V contm as componentes do tensor

As matrizes ~L e ~NL

54

de tenso, rearranjadas de uma maneira adequada (ver itens 4.4 e

5.4). Finalmente.a matriz C a matriz constitutiva (ver itens

2.5, 4.2 e 5.2).

3.4 - METODO DA VIGA-COLUNA

No mtodo da viga-coluna as relaes fora-deloc~

menta em cada elemento so obtidas aplicando-se a teoria de vig~

coluna. Isto implica em supor que os efeitos no-lineares rela-

cionados a deformao de flexo do elemento podem ser despreza-

dos. Ou seja, a fora axial considerada finita enquanto os m~

mentas de flexo e os cortantes so considerados infinitesimais's-52

As funes de estabilidade, deduzidas pela teoria

de viga-coluna, so coeficientes que traduzem a influncia de uma

fora axial sobre a rigidez a flexo do elemento 1 Elas so de-

terminadadas a partir da equao diferencial da viga da Fig. 3.1.

por:

interno - E!

onde:

O momento em uma seo qualquer da viga e dado

Igualando a d2y cJx2 tem-se:

d2y + k2y cfx2

(3.26)

equaao (3.26) ao momento resistente

Ml X M2 X ;rr(r- 1l+rrr

k2 ; p rr

(3. 2 7)

5.5

y

_..,_P~- ( (D1"' _-_----l.&_..!._-_-_'_,:,,..._,-,-;-2--~---~~-2~-p-X

Figura 3. 1

56

A equaao (3.27) admite duas solues gerais con-

forme a carga P seja de compresso ou de trao.

Para compresso tem-se:

Ml X M2 X Y = A sen kx + B cos kx + p (T - l) + p [

(3.28)

Para trao tem-se

(3.29)

Ap6s virias operaoes algibricas 1 os momentos M1 e M2 sao obtidos em funo das rotaes e1 e e2

(3.30)

Os coeficientes c1 e c2 sao as funes de es-

tabilidade. Eles possuem valores diferentes conforme

uma fora de compresso, de trao ou nula 49

Para compresso tem-se:

c1

57

Para trao tem-se:

c1 cj, ( cj, cosh cj, - sinh cj,) = 2 ( 1 - cosh cj, ) + cj, s1nh cj,

( 3. 32)

c2 cj, (senh cj, - cj, ) = 2 ( 1 - cosh cj,J + cj, sinh cj,

Para P = O tem-se

Uma formulao bastante simples do mtodo da vig~

coluna e encontrada na referncia l 51 I. A matriz de rigidez do elemento no sistema de referncia local deduzida diretamente das

equaoes (3.30) e das condies de equilfbrio.

l 2 3

o

o

o

K =

o o

o

o

4

E Ax - -L-

o

o

o

o

5

o

o

6

o

2

3

o 4

5

6

58

- para compressao

c3 = cp' (cos cj>)

2 ( 1 - CDS cj> ) - cj> sen cj>

C4

= ( 1 cj> ) 2 - CDS - cj> sen cj>

- para trao

C3 cj> 2 (cosh cj> - l )

= 2 ( 1 - cosh cj> ) + cj> senh cj>

C4 cj> 3 senh cj>

= 2 ( 1 cosh cj> ) senh - + cj> cj>

Esta matriz inclui os efeitos da interao entre

as cargas transversais e axiais. A mudana de geometria da es-

trutura considerada no incio de cada ciclo iterativo, atravs

da atualizao das matrizes de rotao que fazem a transformao

do referencial local para o global.

Outras formulaes'~ utilizam a matriz de rigi-

dez tangente, que por ser mais precisa acelera a convergncia do

processo iterativo. A deduo desta matriz feita a partir do

conceito matemtico do desenvolvimento de Taylor, que calcula o

valor de uma funo P {u 1 , u2 , u3 , ... , un) na vizinhana de

um ponto (ulO , uzo , u30 , ... , uno)

a P P (u10 'uzo' ... , uzo) +~ dul +

a P a P ~ du 2 + ... + ~ dun

(3.33)

59

As equaoes de equilfbrio, que relacionam as for-

as nodais P com os deslocamentos nodais u , so determinadas,

no sistema de referencia local, utilizando-se as equaes (3.30)

as condies de equilfbrio e algumas consideraes geometricas 13.

Aps a transformao das equaoes de equilfbrio

do sistema local para o global, aplica-se a cada uma das foras

Pi o desenvolvimento de Taylor.

sendo:

/:, p. 1

a P. 1 ... ' au;;-

gente para

= r~ a u ' l 3 P. 1 auz 3 P. 1 , au 3 a P. J ' ' a u~ (3.34)

aP. aP. aP. Na equaao (3.34) os termos 1 1 1 au", ' au;- , au;;-

sao os elementos da linha i d a matriz de rigidez tan-

a geometria especificada por (u 10 , u20 , u30 , ... , un 0 )

= a P.

1

~ ( 3 . 3 5 )

60.

IV - MODELO 1 - ELEMENTO DE EIXO RETO E SEllO TRANSVERSAL CONS-

TANTE

Este elemento possui dois nos com seis incgnitas

nodais, trs translaes e trs rotaes (Figura 4.1).

Adota-se a hi ptese ,' de pequenas deformaes ( ver

item 2.7), porem admitem-se translaes e rotaes grandes quan-

do comparadas com as dimenses da estrutura e com a unidade, res

pectivamente.

A hiptese de pequenas deformaes permite duas

outras simplificaes. A primeira e a hiptese das seoes pla-

nas, que supe que as sees inicialmente planas permanecem pla-

nas na configurao deformada. A outra simplificao se aplica

a representao do movimento do elemento. Supe-se que o elemen

to est sujeito apenas a rotaes de corpo rigido, mantendo o ei

xo reto e a seo transversal e o comprimento constantes. Com is

to torna-se posslvel relacionar as configuraes deformada e in-

deformada atraves de uma transformao linear.

Alem do sistema de referncia global, utilizam-se

mais dois sistemas de referncia: o local fixo e o local mvel 2 ~

No sistema fixo a direo 1 coincide com o eixo

do elemento e as direes 2 e 3 correspondem a cada uma das dire

es principais de inercia. Os eixos so mantidos na configura-

ao indeformada do elemento (Figura 4.2), correspondente a etapa

o.

O sistema mvel se desloca a medida em que o ele-

mento sofre deformao. Os eixos se mantm sempre retos e mutua

mente perpendiculare.s 26 ' 53 Na etapa O os dois sistemas de re-

61

AM.11

t AM.5 A.u.9 t __ ----A.u.10

0~ A AJ.7 A .u.2

A "-9

' A.u.1 A .u.12 A .u_,i----0 ~ A .U.3 ' A.Ms

Figura 4. l

--------X 1 'y 1

'

x1 tx 2 ,x3 - Coordenados do sistema fixo

Y1 , Y 2 , Y 3 - Coordenadas do 11stema mvel

Figura 4.2

62.

ferncia sao coincidentes (Figura 4.2).

O referencial mvel est sempre situado na confi-

guraao correspondente a etapa N , pois a configurao da etapa

N + l para ser determinada, depende ___ do-s deslocamentos incre

mentais que so as incgnitas do problema. A utilizao deste

referencial equivalente a escolha da configurao da etapa N

para referncia.

O campo de deslocamentos incrementais .e esrito

tomando-se como referncia o sistema mvel. Como es.te referen-

cial acompanha o deslocamento do elemento podem-se utilizar as

mesmas funes de interpolao usadas na anlise linear de prt~

cos 25

Desta forma, escolhem-se funes lineares para in

terpolar os deslocamentos axial e de toro e funes cbicas p~

ra interpolar os deslocamentos transversais, resultantes da fle-

xo.

As integrais que determinam as matrizes de ri gi-

dez e o vetor de foras internas (equaes (3.26)), sao resolvi-

das, explicitamente, na configurao da etapa N Isto e feito

porque as funes de interpolao esto definidas em relao ao

referencial mvel. As matrizes assim obtidas so transformadas

sucessivamente para os referenciais fixo e global 54

A matriz de rigidez linear, calculada em relao

ao sistema. de referncia mvel, e igual a matriz de rigidez uti-lizada na anlise linear de prticos e se mantem constante duran

te todo o processo incremental. O efeito da mudana de geometria

e inclu{do ao se fazer a passagem do referencial mvel para o fi

xo.

-63

4.1 - CAMPO DE DESLOCAMENTOS

As translaes do eixo do elemento e as rotaes

do elemento so aproximados por polinmios em r 11

sendo:

u

V

w

er -

es -

et -

u = 1 + 2 r.

V = 3 + 4 r + s r2 + 5

r3

w = 7 + s r + g r2 + 10

r 3

e I". = l l + l 2 r

es dw

{as + 2 g r + 3 10 r 2) = - ar = -

et dv

= ar = 4 + 2 s r + 3 5 r2

deslocamento do eixo do elemento na direo r (Figu-

ra 4. 2)

deslocamento do eixo do elemento na direo s {Figu-

ra 4. 2)

deslocamento do eixo do elemento na direao t (Figu-ra 4. 2)

rotao do elemento em torno do eixo r

rotao do elemento em torno do eixo s

rotao do elemento em torno do eixo t

As coordenadas generalizadas a. 55 so calculadas l

em funo dos deslocamentos nodais LILI; atravs das condies

que u , v , w , er , es e et devem satisfazer em r = O (n

ll e em r = L (n 2).

64

em r = O em r = L

u = 6 u 1 u = 6 U7

V = 6 u2 V = 6 Ug

w = 6 U3 w = 6 Ug ( 4. 2)

er = 6 U4 er = 6 ulO

es = 6 U5 es = 6 u 11

et = 6 U5 et = 6 u l 2

As translaes do eixo do elemento e as suas rota

oes sao obtidas em funo dos deslocamentos nodais substitutin-

do-se na equaao (4.1) as expresses que relacionam os

6 u. 1

U = (l - [) Ul + [ u7

r 2 r 3 r r 2 r 3 v = (l - 3 rz + 2 r,l 6 u2 + L (T - 2 L2 + ul U5 +

r 2 r 3 r r 2 + (3 L2 - 2 ul Ug + r (- "[ + u) 6 u, 2

(1 3 r2

2 r' L (. - r 2 r2 r' w = - [z + r,l 6 U3 + I + L2 r,) 6 U3

(3 r2

2 r, r r2 + L - r,) Ug + r (T - rzl 6 u 11

+

a. aos 1

( 4. 3)

( 4. 4)

6.5

cf r2 6 (1 4 r 3 r2 es = - [zl [ il U3 + - I" + [zl il U5 +

( - r r2 6 (- 2 r 3

r2 (4.4) + [ + [zl I" 6. Ug + I" + [2) il u 11

r r 2 6 r r 2 8t = (- [ + [2) [ D. u2 + (1 - 4 [ + 3 p) il u6 +

r r 2 6 r r 2 + (T - I2) I" 11 u 8 + ( - 2 I" + 3 L2) 6. u 1 2

As translaes de um ponto qualquer do elemento

sao determinadas pelas equaes a seguir.

u (r , s , t) = u + u' + u"

V (_r , s , t) = V + v' ( 4. 5)

w (r , s , t) = w + w'

Os deslocamentos u' , u" , v' e w' so calcu-

lados em funo das rotaes do elemento, utilizando-se a hip6t!

se das sees planas {Figura 4.3).

u' = - s tg et u" = t tg es

(4 .,6) v' = - t tg er w' = s tg er

Como a hip6tese dos pequenos deslocamentos i vili

da em cada incremento de carga e as rotaes er , es e et so

deslocamentos incrementais, pode-se considerar tg e; e nas equi

es (4.6).

66

s . \}" - ,.,._

( a )

1 "'

Jt ,,.,_

( b)

s.~

w

6- /1-

(h

',w _,.,... ( e )

Figuro 4.3

6.7

u 1. = - s et u li = t es

( 4. 7) v' = t er

w' = s er

Substituindo-se sucessivamente (4.3), (4.7) e (4.4)

em (4.5) obtem-se as equaoes que expressam o campo de desloca-

mentos em funo dos deslocamentos nodais.

ou

sendo:

' u = hi uk u i 9, 9,

(i=l,2,3) (Q,=1,2, ... ' l 2 ) (4.8a}

( 4. 8b)

!':, u - vetor dos deslocamentos incrementais, referido ao

sistema mvel

H - matriz das funes de interpolao definidas em re lao ao referencial mvel

/':, uk - vetor dos deslocamentos nodais incrementais, refe-rido ao sistema mvel

hl - componentes da matriz H , correspondentes a linha 11 i II e a coluna 11 2 11

Os elementos da matriz ~ , que sao polinmios em

r , s e t , esto determina dos a seguir em funo das varivei s

s e t e dos polinmios fi(r) e gi(r) .

68

h 1 = fl h 1 = 92 s h 1 = 92 t 1 2 3 h 1

5 = 93 t h 1

6 = 93 s h 1

7 .- f 4

h 1 = - 95 s h 1 = 95 t h 11 = 95 t 8 9 h{2 = 95 s h 2 = f2 h2 =

~ fl t 2 4 ( 4. 9) h2 = f3 h2 = f5 hio = f4 t 6 8

hi2 = f6 h 3 3 = f2 h 3 = fl s 4

h2 = - f3 h 3 = f5 hfo = f4 s 5 9 hi1 = f6

sendo:

fl 1 r

f2 1 3 r2

+ 2 r3

= - r = - [2 p

cf r2 3 r

f3 = - 2 L + .!:_) L f4 = [ (4.10a) L

r2 r3 r 2 f5 = 3L - 2 L f6 = (- r + f-l r

91 = - 1 (- r + [ ) 6 -L- 92 = r [

93 = 1 - 4 r + [ 3

r2 u 94 = - 91 (4.10b)

95 = - 92 95 = - 2 r + 3 r2

r [2

69_

4.2 - EQUAES CONSTITUTIVAS E CAMPO DE TENSES

As equaes constitutivas do elemento foram esco-

lhidas de acordo com a teoria tcnica das vigas, pois as barras

de um prtico se comportam como vigas submetidas a flexo, tor-

ao e compressao ou trao.

Segundo essa teoria 10 , a flexo e a compressao ou

trao produzem tenses normais seo transversal, enquanto a

toro produz tenses tangenciais e empenamento da seo. O em-

penamento, que s deixa de ocorrer em seoes circulares 56 57 58,no

foi considerado na determinao do campo de deslocamentos, para

nao contrariar a hiptese das sees planas.

O tensor de tenso para uma viga cdntm apenas

cinco componentes no nulas: s11 , s12 = s21 e s13 = s31 . Du

rante o processo incremental estas componentes so determinadas

de forma incremental, tambm:

N+l~v = N~v + 6 ~V (4.11)

As componentes do tensor incremental de tenso de

Cauchy 25 se relacionam com as componentes da parcela linear do

tensor incremental de deformao atravs das equaoes constituti

vas.

(4.12}

onde:

(4.13a)

onde:

70

E o

e o E = 2 {l +

o o

E - mdulo de elasticidade

v - coeficiente de Poisson

v)

As componentes 6 e .. l J

6 e .. l J

i

j

=

=

1

1 2 3

(4.13a)

o

o (4.13b)

E 2 (1 + v)

sao dadas por:

36 u. 3 y ~)

l

(4.14)

Y1 = r

Yz = s

Y3 = t

A relao entre 6 e e os .deslocamentos nodais -V

incrementais e estabelecida utilizando-se as equaes (4.8a) e

e (4. 1 4) .

(4.15a)

sendo:

ou

91

~L = o

o

\

94

o

o

- 97

o

o

- 99 o

o

a h ! _._J a Yi

t

s

91 - definido em (4. lOb)

94 - definido em (4.lOb)

71

a h ~ + __ J

a Yl

- 97 t

o

o

- 99 t o

o

97 = (- l + 2 f) 6 I2

99 = - 97 910 =

p/ i = 1

p/ 1 < i < 3

o 9s t - 98

- 91 t o o

91 s o o

o 910 t - 910 - 94 t o o

94 s o o

9s = (- 4 + 6 f) l [

(- 2 + 6 r) l T [

Substituindo (4.15a) em (4.12), tem-se:

(4.15b)

s 1

' '

s 1

(4.16)

(4.17)

A equao (4.14) difere da equao (2.lla) porque,

como o referencial mvel corresponde a confi 9urao da etapa N,

a decomposio incremental dos deslocamentos, para este referen-

cial, se reduz a u. = 1

72

N+l u.=L\u. 1 1

4.3 - MATRIZ DE RIGIDEZ LINEAR E VETOR DE FORAS INTERNAS

A matriz de rigidez linear ~L e o vetor de for-

as internas F resultam da discretizao das parcelas

e Jv

Ns .. cS LI e .. dV 1 J l J

da equaao (3.19).

(4.18)

. ~L = J ~[ C ~L dV (4.19a)

2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 1 l 1 2 - -Kll Kl 7

K22 K26 K28 K2,l2 2

K33 K35 K39 K3~ 11 3

K44 K 4, l O 4

K55 K5 9 K ... , 5, 11 5

~L = K66 K68 K5 ; l 2

s I M K77

6

7

K88 Kg, l 2 8

Kgg Kg , 11

Kl0,10 10

Kl l , 11 11

Kl2,12 .

12

73

Kll E Ax

K l 7 = Kll = -r

l 2 EI2

6 E! K22 K26

z = = L 3 L

= - K22 K2, l 2 = K26

12 E I - 6 E! = y K35 =

y L L2

K39 = - K33 K3, 11 = K35

G I K44

X K4,10 = K44 = -r -

4 Ely 6 Ely K55 = K5 9 = [2 (4.19b) ,

2 E! 4 E I K5, 11

y K55

z = = L L

6 E! 2 EI2

K68 z

K6 12 = = L , L

Kg , 11

Kl l , 11

sendo:

74

Ax - a rea da seao transversal

IX - constante de toro igual a soma de IX e Iy

I - momento de inercia y da seao transversal em relao

ao eixo s

Iz - momento de inercia da seao transversal em relao ao eixo t

E - mdulo de elasticidade

G mdulo de elasticidade transversal (G E =2c1+v)l v - coeficiente de Poisson

(4. 2 o a)

F = I (4.20b} Adotando-se uma decomposio incremental para Ns

-V

e substituindo em (4.20b}

ou

(4.21)

Substituindo (4.17) e (4.19a) em (4.21)

As foras internas

respondentes ao campo de tenses

F

s -v

(4.22)

sao os esforos nodais co~

A distribuio de esfor-

os ao longo do elemento e determinada de acordo com o processo

75

usual da esttica.

O esforo normal e o momento torsor sao constan-

tes em todo o elemento, enquanto os momentos fletores variam li-

nearmente

(4.23)

My = F3 r + F5

Sendo:

N - esforo normal T - momento torsor

My momento fletor em torno do eixo s

Mz momento f1 e to r em torno do eixo t

As componentes do tensor de tenso e as foras i~

ternas podem ser relacionadas entre si atravs das equaes (4.23)

e d a teor i a de f 1 ex o u sua 1 16 .

N Mz M sll = l + r; s - !~ t

S 1 2 - T t (4.24a) = r;

5 13 T s = -r;

76

Substituindo (4.23) em (4.24a)

Fl ( - F2 r + F 6) (F3 r + F5) Sll = 1 + Iz s - t y

S12 F4

t = i-; (4.24b)

5 13 F4

s = i-;

A matriz de rigidez linear e o vetor de foras i~

ternas referidos ao sistema global so determinados atravs das

seguintes equaes:

onde:

(4.25a)

GE = TT RT F (4.25b)

R - matriz que realiza a transformao do sistema de refe-rncia local mvel para o local fixo

T - matriz que realiza a transformao do sistema de refe-rncia local fixo para o global 54

4.4 - MATRIZ DE RIGIDEZ NAO-LINEAR

A matriz de rigidez no-linear resulta da discre-

tizao da parcela

S .. 6 /'i n .. dV J N

V 1 J 1 J

da equaao (3.19).

77

( I V (4.26)

~NL = I T ~NL ?M ~NL dV (4.27) Explicitando-se o somatrio do lado esquerdo da equ~

ao (4.26) e considerando s22 = s33 = s23 = O , tem-se:

(4.28)

As componentes 6 nij sao dadas por:

l 36 uk 36 uk 6 nij = z 3 y. 3 y.

1 J (4.29a)

i = Y1 = r

j = l ' 2' 3 Yz = s

Y3 = t

ou

6 n .. l 6 UT 6 l 6 T 6 ~' l (4.29b} = z u = z u . 1 J - 'l -,j -,J

onde:

T [36 u l 36 Uz 36 u3 J 6 u ; l = (4.30a) 3 y 1 3 y 1 3 Yl

ou

sendo:

I - matriz

o - matriz

T ti u . = ,J

(j=l,2,3)

!:,. u ' l

=

!:,. T

!:,. u 1 = ,

u . = -,J

!:,. T u .

-,J = !:,.

M' = [! M2 = [Q

M' = [Q

T [/:,. T !:,. !,! ,y = ~ l ,

78

M' !:,. u -,Y

UT ,y

( M 1 ) T

Mj !:,. u -,y

UT -,y

(~j) T

o Q] I D] o I]

T !:,. !,! 2 ,

identidade 3 X 3

nula 3 X 3

(4.30b)

(4.31a)

(4.31b)

(4.32a)

(4.32b)

(4.33)

t,. u T J -,3 (4.34)

Fazendo a primeira variao das equaoes (4.29b),

(4.31b) e (4.32b), tem-se:

(4.35)

79

ol'i UT - 'l

= ol'i u -,y (!11) T (4.36a)

ol'i T u .

-,J = ol'i u -,y ( ~j) T (4.36b)

Substituindo (4.31a), (4.32a), (4.36a) e (4.36b)

em (4.35), tem-se

(4.37)

Variando o indice j em (4.37) tem-se:

o /'i n 11 = ol'i UT -,Y (~1)T MI /'i u -. ,y

oi'i n 12 l

ol'i UT [c~1)T M2 + (~2)T ~IJ /'i (4.38) = 7 u -,y ,y

o/'i n13 l

ol'i T

= 2 u -,y [e~ 1) T M' + ( ~,) T ~IJ /'i ~.y

Atravs das equaoes (4.34), (4.30b) e (4.8a) ob-

tem-se a relao entre o vetor

incrementais

/'i u e os deslocamentos nodais ,y

/'i u = HD /'i uk (4.39a) -,y

ou

(4.39b)

sendo

80

a h~ J p/ i < 3 aY-

a i-3 h. ( H D) .. = J p/ 3 < i < 6 (4.40) , J a Y2

a i-6 h. J p/ 6 < i < 9 a Y3

Fazendo a primeira variaio da equaao (4.39b),

tem-se:

(4.41)

Substituindo as equaoes (4.38), (4.39a) e (4.41)

em (4.28), tem-se:

J sij 06 n .. , J dV = (06 ~k)T [

J V H p T [s 11 ( ~ 1 ) T M' + 512 [( ~ 1) T Mz + (~z)T ~ 1 J + -

+ 513 [l~ 1) T Ma + (~')T~']] HD dv] 6 uk (4.42) -

Comparando as equaoes (4.26) e (4.42) conclui-se

que:

e

ou

~M 9x9

(BNL)ij

=

a =

a

81

o

o

~NL = HD

ah~ _J p/ Y1

h~-3 J p/ a Y2 I

h i_ -6 J p/ a Y3

o (4.43)

o

(4.44a)

i < 3

3 < l < 6 (4.44b)

6 < i < 9 -

~

91 - 97 s - 97 t o 9g t - 9g s 94

o 92 o - 9 l t o 93 o

o o 9z 91 s - 93 o o

o - 9z o o O, - 93 o -

~NL = o o o o o o o

o o o fl o o o

o o - 9z o 93 o o

o o o - f l o o o

o o o o o o o ~

9g s - 9g t o

95 o - 94

o 95 94

95 o o

o o o

o o f4

o - 95 o

o o - f4

o o o

910 t -

t o

s - 96

o -

o

o

96

o

o

910 s

96

o

96

o

o

o

o

o

1

co N

83

Os elementos da matriz de riigdez no-linear, re-

feri da ao sistema mvel, so determinadas atravs das equaoes

(4.43), (4.44), (4.24b) e (4.27).

2 3 4 5 6 7 8 9 l o l l l 2

- N N N N N N N N N N Kll Kl2 Kl3 Kl5 Kl6 Kl7 Kl 8 K1g K l 11 Kl , l 2

l

, N

K22 N

K24 N

K26 N

K27 N

K2a N

K2 , l O N

K2,12 2

N K33

N K34

N K35

N K37

N K3g

N. K3 ; l O

N K 3 , 11

3

N K44

N K45

N K46

N K48

N K4g

N K4, l O

N K 4, 11

N K4, 12

4

N K55

N K57

N K5g

N K5 , l O

N K5, 11

5

N N N N N 6 K66 K6 7 K68 K6, l O K6 12

~NL= s I M ,

N N N N N K77 K78 K7g K 7 11 K7,12

7

, N

K88 N

KB, l O N

K 8, l 2 8

N N N 9 Kgg Kg, l O Kg, 11

N Kl O, l O

N Kl O, 11 KlO, 12

10

N Kl 1 , 11

11

N Kl2,12

12

N Fl N F2 Kll = T N l 2 = T

N F3 KN F5 Kl3 = T = T l 5

N F6 N N Kl6 = --r- Kl7 = K 11

( 4. 45 a)

N N N N Kl8 = Kl2 K1g = K13

N F3 +

F5 N F6 K l , 11 = T Kl , 1 2 = - Fz + T

N l 2 I z 6 Kzz = Fl - Fl

L' Ax 5[

84

N F3 F5 Kz4 = 2 + T

N 6 I z Fl Kz5 = Fl L2 Ax

- TIT

N Fz Kz7 =T

N l 2 I 6 z

Kzs = F1 + Fl L' A "5T

X

N F3 F5 Kz, l O = z- T

=- 12 Iy

L' Ax

N F 2 F 6 K34 = - 2 + T

l 2 I y

L' Ax

(4.45a)

(4.45b)

85

N I N L X Fl K44 = IA K45 = TI F2

N L F3

N F3 F5 K45 = TI K43 = 2 T

(4.45b) N F2 F5 N N

K49 = 2 T K 4 , l O = K44

N N N N K4, 11 = K45 Kll, 12 = K45

(4.45c)

6 I F = __ z Fl + ,;,.

A L 2 , u N

K5, l O =

86

KN Fl N = T K73 = 77

N N = -K79 KN l 3 K 7, 11 =

N K7 12 = ,

N Kg, l O =

KN N K33 99

N Kl 12 ,

N K24

N Kg , 11 =

N Kl0,11

N Kss

N KS,12 =

N Kg, l O

KN 35

N Kl2

N K l , l l

=

-

=

N K22

N K26

N . K34

N Kl0,12

(4.45d)

A matriz de rigidez no-linear referida ao siste-

ma global e determinada atravs da seguinte equao:

(4.46)

4.5 - TRANSFORMAAO DO SISTEMA DE REFERNCIA LOCAL FIXO PARA O SISTEMA LOCAL MDVEL

. A determinao da posio do sistema de referencia

mvel e feita atravs de ngulos de Euler'.

O sistema de eixos X. , correspondente a config~ 1 .

raao indeformada, transforma-se no sistema de eixos yi , cor-

respondente a configurao deformada, atravs de tres rotaes

sucessivas (Fig. 4.4).

87

( a )

~ X2

\ (; X2

1 1 1 1 \ 1

( b)

,. X2

Y2 \ \ \ 1

\ \ \ \

\

/ v, /

.. ' / / x3 /

/

Y3 / /

( e J

Figura 4.4

origem aos

88

Primeiro, uma rotao

eixos x l e x 3

x l -X2 = R

a X3

cos (l

o

- sena

Em seguida, os eixos

o

l

o

a em torno do eixo

x,

x2

X3

sena

o

cos (l

a x 1 e sofrem

de B em torno do eixo x~ , transformando-se em y 1 e

Y1 x l xs

2 = RS x2

x a 3 X3

r cos B se n B o RB = l -sen B cos B o o o l

Finalmente, apos uma rotao y em torno

xB 2 e

X a 3 transformam-se em Y2 e Y3

Y1 Y1

Y2 = Ry xs 2

Y3 a

X3

x2 d

(4.47a)

(4.47b}

um g i ro

(4.48a)

(4.48b}

de y l '

(4.49a}

l

o

o

89

o

CDS y

- sen y

o

sen y

CDS y

(4.49b)

As matrizes R e RS determinadas a seguir,r!

presentam a rotao causada pelas translaes relativas dos ns

(Fig. 4.5) 25

onde:

N-r N- N-ui = ui+6 - ui

(i = 1, 2 , 3)

1

IJ 1 = [(L + Nuf) 2 + tu~) 2]2

L + N-r ul cos a =

IJl

N-r

sen a U3

=

IJl

s IJl

cos = NL

N-r

s u2

sen = NL

(4.50)

(4.51a)

(4.51b)

90

N ,,;

.U.1

I J K1

N .. .JJ.. 3

_j,_ J1 ...

X1

( a l

Y1

J2

~ \.. 1 N_.o. JJ-2

o

91

N-r ui - componentes do vetor de deslocamentos relativos refe

.rido ao sistema local fixo

Ni - componentes do vetor de deslocamentos nodais totais

referido ao sistema local fixo

L - comprimento inicial do elemento

NL - comprimento do elemento na configurao da etapa N

A matriz RY representa a rotao causada pela

toro. O ngul o de rotao y calculado de forma i ncremen-

ta l .

N N-1 y = y = y + y (_4.52)

O incremento y considerado como sendo igual

a metade da soma das rotaes nodais incrementais em torno doei

xo y 1 , referidas ao sistema mvel25

l k k Y = 7 (u 4 + UlO) (4.53a)

sendo:

k d -k d -k d -k u l l = R 11 U4 + Rl2 U5 + Rl3 u6

(4.53b) k d -k d k d -k

ulO = Rll UlO+ Rl2 u 11 + Rl3 ul2

onde:

92

-k u. - componentes do v_etor de deslocamentos nodais incrementais 1

referido ao sistema local fixo.

R~. componentes da matriz Rd = RB R 1 J

Substituindo-se sucessivamente as equaoes (4.48a)

e (4.47a) em (4.49a) tem-se:

(4.54a)

onde:

(4.54b)

(3 X 3)

A matriz R que transforma os vetores de desloci

mentos nodais, o vetor de foras internas e as matrizes de rigi-

dez montada a partir da matriz Rx

Rx o o o - - - -o Rx o o

R - - - -= 112x121 o o Rx o -

o o o Rx - - -

onde:

O - matriz nula de dimenso 3 x 3

93

V - MODELO 2 - ELEMENTO DE EIXO CURVO E SEAO TRANSVERSAL E NOME RODE NS VARIAVEIS

A formulao apresentada a seguir foi desenvolvi-

da para um elemento de seo transversal retangular. O elemento

de seao circular pode ser desenvolvido sem dificuldades, segui~

do-se as indicaes feitas no ultimo item deste capitulo.

Este elemento possui seis graus de liberdad