ANALISE NÃO-LINEAR GEOMETRICA DE PORTICOS TRIDIMENSIONAIS PELO

METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Adilson Carvalho Benjamin

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE

POS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA

NEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO

GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.).

aprovada por:

Nelson Francisco Favilla Ebecken Presidente

/ Ronaldo' Carvalho Batista ~ .

/

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JUNHO DE 1982

ou a

BENJAMIN, ADILSON CARVALHO Anilise Nio-Linear Geomitrica de P6rticos

Tridimensionais pelo Mitodo dos Elementos Fi nitos [Rio de Janeiro] 1982. -

VIII, 220p. 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc. Engenharia Civil, 1982)

Tese - Universidade Federal do Rio de Ja­neiro - Escola de Engenharia

l.Nio-Linearidade Geomitrica I.COPPE/UFRJ II.Titulo(sirie)

i. i

~ meus pais, Amarilio e Linda

i i i

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Nelson Francisco Favilla Ebecken pela

orientação deste trabalho e pelo incentivo e compreensão nas ho­

ras de desânimo.

Ao amigo e companheiro de estudos João de Deus Fon

seca Neto pela solidariedade prestada em todos os momentos.

Aos Professores da COPPE/UFRJ, em especial ao Pro

fessor Abimael Fernando Dourado Loula, pelos ensinamentos recebi

dos.

Aos meus parentes e familiares do Rio, de Brasí­

lia e de Salvador, em especial a tio Waldemar, por tudo que fez

por mim nestes tr~s anos de Rio.

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

A ~elena Santos de Oliveira pela excelente datilo

grafia deste trabalho.

i V

SUMIIRIO

Neste trabalho, são apresentadas duas formulações

consistentes de elementos finitos, para anãlise não-linear geom~

trica de põrticos tridimensionais.

Na primeira, a discretizaçâo ê feita atravês de

um elemento de eixo reto e seção transversal constante, que in­

terpola os deslocamentos utilizando as funções convencion~is de

põrtico.

Na segunda, o e 1 emento, de eixo curvo e seção tran~

versal variãvel, ê resultante da degeneração do elemento isopari

metrice tridimensional.

V

ABSTRACT

ln this work, the finite element method is applied

to problems in~olving the geometrically nonlinear behaViour of

framed structures. Two consistent formulations of three-dimen­

sional beam element are presented.

ln the first one, the element is straight with

constant cross section and the displacements are interpolated by

the usual beam functions.

ln the other one, the element is arbitrarily cur­

ved in space with variable cross section and results from the de

generation of the three-dimensional isoparametric element.

vi

INDICE

INTRODUÇ/\0 ............................................ .

I - N/\0-LINEARIDADE GEOMtTRICA ...................... . 3

1.1 - Grandes Deslocamentos ...... .... ...... ...... 4

l.2 - Instabilidade.............................. 6 l .3 - Interaçio Axial-Transversal ..... ..... ...... 12

I I - FUNDAMENTOS TEÕRICOS l 7

2.1 - Descriçio do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 - Deformaçio do Corpo . ... ........ ............ 19

2.3 - Distribuiçio de Tensões ........ ·............ 25

2.4 - Equilibrio do Corpo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 - Comportamento do Material ...... ...... ...... 30

2.6 - Formulaçio do Problema Geral da Elasticidade 31

2. 7 - Hipótese de Pequenas Deformações . . . . . . . . . . . 33

III - MtTODOS DE ANIILISE . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1 - Resumo Histórico . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . 39

3.2 - Algoritmos ................................. 44

3.3 - Mêtodo dos Elementos Finitos .. ... ....... .. . 45

3.4 - Mêtodo da Viga-Coluna . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . 54

IV - MODELO l - ELEMENTO DE EIXO RETO E SEÇ/\0 TRANSVER-SAL CONSTANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. l - Campo de Deslocamentos 63

4.2 - Equações Constitutivas e Campo de Tensões .. 69

4.3 - Matriz de Rigidez e Vetor de Forças Internas 72

4.4 - Matriz de Rigidez Nio-Linear 76

V

Vi i

4.5 - Transformação do Sistema de Referência Local Fixo para o Sistema Local Mõvel............. 86

- MODELO 2 - ELEMENTO DE EIXO CURVO E SEÇliO TRANSVE~ SAL E NUMERO DE NÕS VARiliVEIS ................... . 93

5.1 - Campo de Deslocamentos . . . .. . . ... . . . . . . . .... 95

5.2 - Campo de Tensões e Equações Constitutivas . . 107

5.3 - Matriz de Rigidez Linear e Vetor de Forças Intérnas ................................... 120

5.4 - Matriz de Rigidez Não-Linear 1 21

5.5 - Cossenos Diretores dos Eixos dos Sistemas de Referência Locais .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . 126

5.6 - Matriz de Rigidez do Elemento e Vetor de For ças Internas com todos os Coeficientes Corres pondendo a Graus de Liberdade Referidos ao Sistema Global............................. 129

5.7 - Esquema de Integração para o Cãlculo das Ma-trizes de Rigidez e do Vetor de Forças..... 132

5.8 - Indicações para a Formulação do Elemento de 132 Seção Transversal Circular ................ .

VI - RESULTADOS NUMtRICOS E COMPARAÇÕES . .. . . . . . . .. .. .. 136

6 .1 - Viga Engastada 1 3 6

6.2 - Coluna de Euler............................ 145

6.3 - Arco Circular Abatido . .. . . ... . . ... .. .. ..... 156

6.4 - Viga Balcão................................ 165

6.5 - Põrtico Tridimensional

6.6 - PÕrtico Tridimensional 2

6.7 - Tempos de Geração das Matrizes de Rigidez e

l 7 2

179

do Vetor de Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

VII - CONCLUSliO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Vi i i

APtNDTCE A - PROGRAMA PAPT-NLG {PROGRAMA PARA ANALISE DE PÕRTI

COS TRIDIMENSIONAIS CONSIDERANDO NIIO - LINEARIDADE

GEOMETRICA) • • • • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • 206

1

INTRODUÇJ\O

O estudo do comportamento não-linear das estruturas

engloba uma bibliografia bastante diversificada.

Em gera 1, as formulações apresentadas uti 1 i zam uma

teoria linear, a qual foram acoplados termos não-lineares, mais

ou menos complexos de acordo com a precisão desejada.

Em publ i caçoes mais recentes foram desenvolvi das

formulações de elementos finitos que utilizam como ponto de par­

tida uma teoria geral. Esta teoria, que pode ser simplificada

de acordo com o tipo de comportamento e de estrutura em estudo,

inclui comportamentos linear, não-linear geométrico e não-linear

fisico, para carregamentos estãticos ou dinãmicos. A condição de

equilibrio é representada por uma equação incremental não-linear,

determinada a partir dos principios da mecãnica dos solidos.Equ!

ção esta que, apos ser linearizada, é discretizada e resolvida

utilizando-se elementos finitos.

Seguindo este Ültimo enfoque desenvolveram-se neste

trabalho, duas formulações consistentes de elementos finitos pa­

ra analise não-linear geométrica de porticos tridimensionais. A

primeira resulta em um elemento de eixo reto e seção transversal

constante em que os deslocamentos são interpolados por funções

convencionais de portico. Na segunda, um el~mento de eixo curvo

e seção transversal variãvel é obtido através da degeneração do

elemento isoparamétrico tridimensional.

No Capitulo I são mostradas as principais caracte­

risticas do comportamento não-linear geométrico utilizando-se es

truturas simples.

2

Os conceitos da mecânica dos sÕlidos relacionados

com a não-linearidade geomêtrica são apresentados no Capitulo II.

O Capitulo III ê constituído por quatro itens que

tratam de assuntos distintos. No item 3.1 faz-se um resumo da

evolução dos mêtodos matriciais de anãlise estrutural, desde o

seu surgimento. No item 3.2 são apresentados, de forma esquemI

tica, os principais tipos de algoritmos utilizados na resolução

de equações não-lineares. No item 3.3 uma equação incremental não

-linear ê deduzida a partir dos princípios da mecânica dos sõli­

dos, linearizada e discretizada atravês de elementos finitos. No

item 3.4 apresenta-se resumidamente a formulação do mêtodo da

viga-coluna.

Derivam-se as matrizes de rigidez e o vetor de for­

ças internas do elemento de eixo reto e seção transversal cons­

tante (modelo 1) no Capitulo IV e do elemento de eixo curvo e se

çao transversal variãvel (modelo 2) no Capitulo V.

Os resultados das anãlises de vãrias estruturas en­

contram-se no Capitulo VI.

O Capitulo VII consta de comentãrios sobre os dois

modelos e sugestões para pesquisas futuras.

Um programa em linguagem FORTRAN IV, constituido P!

los procedimentos computacionais necessãrios para a implementa­

çao dos modelos l e 2, ê descrito e comentado no Apêndice A.

3

I - NAO-LINEARIDADE GEOMtTRICA

Quando numa anãlise estrutural os efeitos da mu­

dança· de geometria sao considerados, a relação carga-des­

locamento e não-linear. Esta não-linearidade ê chamada de geom~

trica e, em geral, pode ser desconsiderada nas situações em que

a hipótese de pequenos deslocamentos for vãlida.

A não-linearidade geomêtrica ê relevante nos ca­

sos de deslocamentos relativamente grandes, de estabilidade es­

trutural e de interação axial-transversal. Ou seja, nos casos

em que devido a grandeza dos deslocamentos surge a necessidade

de se escreverem as equaçoes de equilibrio em relação a configu­

raçao deformada da estrutura, ou ainda, mesmo com deslocamentos

relativamente pequenos, quando a disposição das cargas na estru­

tura seja tal que,combinada com os deslocamentos, leve a uma si

tuação de instabilidade ou ao surgimento de esforços adicionais.

Os sistemas estruturais constituídos por membros

esbeltos, em geral, exigem uma anãlise não-linear geomêtrica.

Quando os efeitos não-lineares implicam em enrij~

cimento da estrutura a utilização de uma anãlise linear conduz a

uma estrutura segura, porem pouco eficiente do ponto de vista

de aproveitamento do material. No entanto, se o comportamento

não-linear se caracteriza por perda de rigidez ou instabilidade

a utilização de uma anãlise linear pode reduzir bastante a mar­

gem de segurança, chegando atê mesmo a causar o colapso da estru

tura.

Neste capitulo, estudam-se o enrijecimento, a in~

tabilidade e a perda de rigidez em estruturas simples: a viga, a

coluna e o arco.

4

l. l - GRANDES DESLOCAMENTOS

A viga em balanço com uma carga concentrada na e~

tremidade (Figura l.la)ilustra muito bem o comportamento de uma

estrutura sujeita a deslocamentos relativamente grandes. Nas Fig~

ras l. lb e l. lc encontram-se representadas as configurações defor­

madas da viga para os casos de pequenos e grandes deslocamentos

relativos, respectivamente.

No caso de deslocamentos relativamente pequenos

adota-se a solução linear do problema. Como o equilibrio ê fei­

to em relação a configuração indeformada, o deslocamento horizo~

tal do ponto B tu 8 ) e desprezado, calculando-se apenas o deslo­

camento vertical (v 8 ) Esta solução ê vilida desde que v8 se

ja pequeno quando comparado com o vão da viga

A medida em que a relação VB T

{L) .

vai crescendo a hi

põtese de pequenos deslocamentos vai se tornando menos represen­

tativa da realidade. Adota-se então a solução não-linear,que tor

na possivel o cilculo de u8 e fornece valores menores que os

lineares para e (momento no apoio).

A redução no valor de MA ocorre porque, como o

equilibrio ê feito em relação a configuração deformada, a distã~

ci a i entre os pontos A e B {Figura l. l c) diminui a medi da em

que aumenta.

A redução no valor de v8 e uma consequência do

enrijecimento que a viga sofre durante o carregamento. Isto pode

ser constatado através do grifico da Figura l. ld. A partir de de

terminado valor da carga a relação P x v8 torna-se não-linear com

a carga crescendo mais rapidamente que o deslocamento.

PL2

E I

Ai

1

5

L

( a l

( b)

l, L->1.ii

( e )

-----------

p

t p

j +vb ~

....... '

--0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1. 4 Vb /L

( d)

Figuro 1.1

6

1.2 - INSTABILIDADE

Como exemplo de estrutura sujeita a instabilidade

tem-se a coluna esbelta carregada axialmente (Figura 1.2a), conh!

cida tambêm como coluna de Euler 1 • Neste tipo de estrutura ocor

re o fenômeno da bifurcação simêtrica estãvel 2•

Este fenômeno encontra-se representado graficame~

te na Figura 2c. A coluna se mantem reta atê que a carga p atin

ja valor da de Euler (PE 112 L E I ) Neste ponto existe o carga =

uma bifurcação de equilíbrio, ou seja, a coluna pode permanecer

na configuração reta, que se tornou instãvel, ou passar para a

configuração curva (Figura 1.2b), que ê a nova configuração estã­

ve l .

Para valores de P superiores a PE a coluna en

contra-se fletida e a relação entre carga e deslocamento trans­

versal ê nao-linear, com a carga crescendo mais rapidamente que

o deslocamento (enrijecimento). Este trecho da curva P x vc e

chamado de caminho pôs-critico.

A determinação do caminho pôs-critico ê feita ut1

li zando-se uma teoria não-1 i near 1;3

, que pode ser dispensada qua~

do se quer calcular apenas a carga de Euler.

Os deslocamentos axiais da coluna tambêm sao afe­

tados pela mudança de configuração. A curva P x u8 , apresent!

da na Figura 2d, mostra que a partir de um certo ponto "a", que

corresponde a mudança de configuração, inicia-se um trecho em que

o deslocamento passa a crescer mais rapidamente 4•

Dentre as suposições feitas para a idealização da

coluna de Euler duas são particularmente difíceis de ocorrer: a

perfeita linearidade do eixo da coluna e a aplicaçio concêntrica

7

A e e.,. p

,A. X , L/2 L/2 f , ( a )

d_vc ~-----y p

=z:--( b ) -f':!!t

2.0

I.Of----=----- -

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Vc /L

( e )

p

a

~-------------- µb

( d )

Figura 1. 2

8

A ~o A p

.IS: --2.L

~ L/2

l L/2

'1

( o )

Vc

p -- --·_::.-~---

( b )

p , PE I

ao= o

o 1

º2

1.0

( e l

Figuro l.3

9

e

L/2 L/2

( . )

( b )

p

PE '1o' O

2.0

QI

€2

1.0

( e )

Figura 1.4

l o

da carga. As situações em que estas hipõteses nao sao cumpridas

são analisadas através das colunas esbeltas com curvatura inicial

do eixo (coluna imperfeitaj e das colunas com carregamento excen­

trico.

Estes dois tipos de colunas têm comportamentos bas

tante semelhantes, como pode ser constatado comparando-se as cur

vas P x vc das Figuras 1.3c e l.4·c. Em ambos os casos não existe.

bifurcação de equilibrio, a flexão tem inicio desde o instante

de aplicação da carga. A relação carga-desl ocamente e não-1 i near.

No trecho inicial da curva a carga cresce mais rapidamente que o

deslocamento, porém a medida em que P se aproxima de PE esta

relação vai se modificando e no trecho final o deslocamento pas­

sa a crescer mais rapidamente que a carga (perda de rigidez).

Colunas com imperfeições iniciais, ou excentrici­

dades, grandes apresentam deslocamentos transversais considerã­

veis com cargas muito abaixo da carga de Euler (Figuras .l.3c e 1.4c),

enquanto as colunas com imperfeições iniciais, ou excentricida­

des, pequenas experimentam deslocamentos transversais apreciiveis

apenas quando P se encontra bastante prõxima de PE .

Em outro tipo de estrutura, o arco abatido, a ins

tabilidade e precedida por uma redução crescente da rigidez de

flexão e a mudança de configuração ocorre de uma man~ira brusca

e violenta, com liberação de energia 2•

O comportamento de um arco abatido quando solici­

tado por uma carga concentrada· (__~ig_ura _l .Sa) encontra-se represe.!:_

tado no grifice da Figura 1.5d.

A relação entre a carga p e o deslocamento v

se mantem linear até P atingir um determinado valor prõximo de

li

p

P.crll.

l l

p

e

-+----- Y~Z----.1,---L=/~2~----~ ( a l

,,.­/

--- ---( b)

_____ p __ _

( e )

b

1 I 1 I 1 I 1 I

I I I

I I

I /

I .. ./ I d

Figura l.5

e

1 1 1 1 1 1

v.

l 2

P ·t (ponto ''a'' da curva P x v) . Dai em diante torna-se nao cri linear com o deslocamento crescendo mais rapidamente que a carga

P (redução de rigidez).

Quando P alcança valor igual ao de p "t cri (po~

to b) ocorre uma variação dinâmica no deslocamento e o arco Pª!

sa de uma configuração concava (Figura 5b}, que se tornou instã­

vel, para uma convexa, que e a nova configuração estãvel.

Logo em seguida (ponto c) ê estabelecida outra r!

lação não-linear entre P e v , com o deslocamento crescendo mais

lentamente que a carga (enrijecimento).

O trecho tracejado da curva corresponde a um pro­

cesso de variação da carga em que os incrementas de carga são n!

gativos (descarregamento e carregamento no sentido contrãrio).Ao

ser atingida uma carga igual a - Pcrit (ponto d) volta a ocor­

rer uma variação dinâmica no deslocamento, desta vez no sentido

oposto.

1.3 - INTERAÇAO AXIAL-TRANSVERSAL

Como exemplo de estrutura em que ocorre interação

entre as forças axial e transversal tem-se a viga-coluna.

A viga-coluna e uma peça de eixo reto submetida

simultaneamente a compressao e flexão. Flexão esta que pode ser

causada tanto por momentos aplicados nos apoios quanto por carre

gamento transversal'.

Assim, a coluna esbelta carregada excentricamente

pode ser vista como um caso particular de viga-coluna, em que a

flexão surge como um efeito secundãrio. Secundãrio no sentido

de que os momentos nos apoios são acidentais, pois exi~tem ape-

1 3

Q

A;.-------;;--------i.B,_ __ _ e

t L/2

Q

LO ---_.,,.

Q

( b )

/

.,/

/ /

L/2

e)

- O 7 I'• P- .

I

~ªº'º I

/ /

p

--------(d)

Figura l. 6

Vc

Vc/L

l 4

Q

A ! B

A e A L

( a l

Q

;JS; JéVc

:z. HA ( b ) He

Q

( e l

Fiouro 1.7

l 5

nas quando uma carga que deveria ser concêntrica e aplicada in­

voluntariamente com uma certá excentricidade.

Em geral, no entanto, flexão e compressao apare­

cem como efeitos primãrios resultantes de carregamentos aplica­

dos intencionalmente.

Na viga-coluna da Figura C6a- as car'gasaxTa-1 e

transversal são independentes, podendo variar simultaneamente ou

uma de cada vez.

A carga axial, como pode-se verificar no grãfico

da Figura.f-;-6c provoca uriiá, redução na rigidez de flexão. As cur­

vas P x vc , determinadas para valores constantes de P , apre­

sentam inclinações que diminuem a medida em que a carga axial

constante P e aumentada. Para um mesmo valor de Q o maior

deslocamento transversal vc corresponderã a curva em que P for

maior 3•

A carga transversal Q , quando constante, exerce

sobre o comportamento da viga-coluna efeito semelhante ao da cur

vatura inici_al na coluna esbelta (Figura l_'.3c). Quando P e Q

variam simultaneamente a rigidez se red.uz rapidamente -(Figurá l.6d-).,

A interação entre as forças axial e transversal

pode ocorrer mesmo em situações em que existe apenas o carrega­

mento transversal.

Este ê o caso da viga bi-apoiada com restrição ho

rizontal nos dois apoios, submetida a uma carga aplicada no meio

do vão tFigura L7a). Esta restrição, ao impedir o deslocamento

horizontal nos apoios, faz com que surjam forças de reação hori­

zontais'(Figural:?b)_.. a partir do instante em que ocorre desloca­

mento transversal no vão.

l 6

Aqui tambem, como no caso da viga engastada, oco~

re enrijecimento. A relação carga-deslocamento, inicialmente li

near, logo se transforma em não-linear, com a carga crescendo

mais rapidamente que o deslocamento (Figura 1,7c).

l 7

II - FUNDAMENTOS TEÕRICOS

A anãlise não-linear geométrica de estruturas re­

tira os seus fundamentos teõricos da teoria da elasticidade não­

linear, que faz parte da mecânica dos sõlidos.

A mecânica dos sõlidos, ramo da mecânica que tra­

ta das tensões e deformações nos "solidos" 5, e desenvolvida a

partir do conceito de meio continuo.

O meio continuo é um material hipotético em que

nao existem falhas ou espaços vazios e que tem as suas propried!

des descritas por funções matemãticas continuas 6•

Os conceitos e equações da mecânica dos sõlidos

sao gerais o sufuciente para abrangerem, além da teoria da elas­

ticidade, teorias como a viscoelasticidade e a plasticidade 5•

A teoria da elasticidade na sua formulação mais

ampla nao impõe restrições a magnitude dos alongamentos, distor­

çoes, deslocamentos e ângulos de rotação. E também chamada de

teoria da elasticidade não-linear 7' 8 , em contraposição a teoria

clãssica que é linear 9

A não-linearidade geométrica aparece,na teoria da

elasticidade, nas equações de equilibrio, que sao escritas utili

zando-se a configuração deformada do corpo, e nas relaçôes defor

mação-deslocamento, que incluem termos não-lineares.

Neste Capitulo apresentam-se resumidamente os pri~

cipios da mecânic~ dos sõlidos, que servem de base para a formu­

lação variacional do método dos elementos finitos.

1 8

2.1 - DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO

Ao sofrer a ação de um agente externo qualquer, um

corpo sõl ido muda de configuração, sofrendo a 1 te rações na forma

e no volume.

A configuração de um corpo ê descrita por um sis­

tema de coordenadas que tem os seus pontos geomêtricos identific~

dos com a posição que as partículas do corpo ocupam no espaço.

Como em cada configuração a posição das parti cu-

1 as ê diferente, ê necessario que se esta6eleça uma forma ünica

de determina-las. Isto ê feito escolhendo-se uma configuração

de referência, a qual todas as outras são relacionadas.

O vetor ! , que determina a posição da partícula

na configuração de referência, e o tempo t sao tomados comova

riaveis independentes. Conhecendo-se t e ! , determina-se o

vetor y, que fornece a posição da partícula na nova configura­

ção6.

A descrição do movimento de um corpo feita desta

maneira e chamada de descrição referencial. t comum escolher-se

como referência a configuração inicial, correspondente a t = O

{_descrição lagrangeana), porêm outras configurações podem seres

colhidas tambêm. Nas deduções feitas a seguir sempre que nao

houver ressalva estara sendo utilizada a descrição lagrangeana.

A sequência de mudanças de configuração ê represe~

tada pelas equações de deformação:

(i = 1 , 2 , 3) (2. 1 )

ou

sendo:

l 9

y.=x.+u. l l l

yi - componentes cartesianas de r

fi - funções continuas de x e ,

xi - componentes cartesianas de x

( 2 . 2 )

ui - funções continuas de x e , e componentes carte-sianas de u , vetor de deslocamentos'-da ri"arTícula

Os vetores r e x , nas equaçoes (2.1) e (2.2),

estão referidos ao mesmo sistema de eixos cartesianos.

2.2 - DEFORMAÇAO DO CORPO

O estudo da deformação na vizinhança de uma part_I

cula i feito verificando-se o que ocorre com um elemento infini­

tesimal do corpo. Este elemento i constituido pelo segmento de

reta que une as posições de duas partículas geniricas P e Q, si

tuadas infinitamente prõximas uma da outra. Inicialmente P e Q

ocupam as posições x e x + d~ , deslocando-se para as pos!

çoes r e r + dr durante a deformação.

O gradiente de deformação F i definido como o

tensor que atua no vetor infinitesimal dx , relacionando-o com

o vetor dt da seguinte forma 6:

dt = F dx (2. 3a}

ou

dy i = F i k dxk (2.3b}

onde:

20

ou

sendo:

ºik - delta de Kronecker

ºik = para i = k

a u. l

~

ºik = O para i I k

(2.4a)

(2.4b}

Os tensores de deformação ~ , ~ e e sao tenso

res simétricos definidos a partir do gradiente de deformação:

ou

sendo:

C = F T F

E .. l J

r3 - matriz identidade 3 x 3

ºij - delta de Kronecker

e - tensor de deformação de Green-Lagrange

(2. 5)

( 2. 6)

(2.7a)

(2.7b}

As componentes do tensor s sao usualmente expre~

sas em termos de deslocamentos. Isto é obtido facilmente substi

tuindo-se as componentes yk nas equações (.2.7b} pelas equações

( 2 . 2) .

sendo:

E .. lJ

21

e .. 1 J

1 a u . = (--1 + z a x.

J

n .. 1 J

eij - parcela linear de Eij

nij - parcela nâo-linear de

a u. d.)

E .• 1 J

1

(2. 8)

(2.9a)

(2.9b)

Nos mêtodos incrementais o tensor E e utilizado

na sua forma incremental 4•

A e .. 1 J

A El·J· = A e .. + A n .. 1 J 1 J

A n .. 1 J

a uk aA uk ~ _a_x_.)

J 1

(2.10)

(2.lla)

(2.llb)

As equaçoes (2.11) sao obtidas substituiffdo-se as

equações (2.9) em (2.8) e utilizando-se uma decomposiçâo incre­

mental para os deslocamentos ui .

(2.12)

sendo:

N+l ui - componentes do vetor de deslocamentos para a con-figuraçâo N +

N u. 1

22.

- componentes do vetor de deslocamentos para a con­

figuração N

6 u. - componentes do vetor de deslocamentos incrementais. 1

A deformação do corpo causa uma variação no com­

primento de um elemento infinitesimal. Esta variação e medida

atravês do alongamento unitãrio 7

onde:

1:,i - mudança ocorrida na distância entre P e Q comprimento final menos o inicial

di - distância inicial entre P e Q .

(2.13)

igual ao

Se a posição inicial do elemento e paralela a um

dos eixos de referência xi , tem-se

ou

l E.= (1 + 2 E--) 2 - l . 1 1 1

(2.14a)

(2.14b)

Os elementos que se situam, antes da deformação,

paralelamente aos eixos de referência xi formam entre si ângu­

los retos. Apõs a deformação, estes ângulos são alterados, pas­

sando a valer 7 - @ij . O ângulo @ij e a distorção sofrida

pelo retângulo infinitesimal de lados dxi e dxj (Figura 2.1}.

As distorções se relacionam com as outras medidas

de deformação atravês das seguintes equações 10 :

ou

lados

onde:

sin

d X j

dxi

cp. . = 1 J

23

2 E .• 1 J

(l+E;)(l

Figura 2.1

r--1

1

1

1

1

1

1

--------,

Tf .:l .. - - '!IJ

2

1 1

1

1 1

(2.15a)

(2.15b)

dx. 1

A variação da ãrea do retângulo infinitesimal de

e dx. e dada por 7:

J

dA aJÇ = [( l + 2 E i i ) ( l + 2 E j j ) - ( 2

dA - area apos a deformação

dA - area antes da deformação o

E .. ) 2] ! 1 J

(2.16)

As alterações no volume e na densidade de um par~

24

lelepTpedo infinitesimal, de lados inicialmente paralelos aos

eixos xi , são determinadas através das seguintes equações 7:

onde:

P o = dV = J p~

dV ~

=

p - densidade ap5s a deformação

p0

- densidade antes da deformação

dV - volume ap5s a deformação

dV0

- volume antes da deformação

J - determinante do gradiente de deformação F

(2.17al

(2.17b)

ti - alongamentos nas direções principais de deformação

O movimento e deformação de um elemento de volume

infinitesimal, que ocupa inicialmente a posição x , pode ser

considerado como resultante de três transformações: uma deforma

ção, uma rotação de corpo rigido e uma translaçãi atê i Esta

interpretação do movimento é chamada de teorema da decomposição

polar e ê representada pela seguinte equação 6 •

onde:

R -

F = R U

tensor ortogonal, isto é, rotação de corpo rigido

(_2. l 8)

, que produz uma

U tensor simétrico positivo definido (ver equaçao (2.6)), que produz alongamento··e·distorção. E chamado de ten­sor de deformação direito (right stretch tensor).

25

l>P "'

A

Figura 2. 2

2.3 - DISTRIBUIÇAO DE TENSÕES

A definição da tensão em um ponto e feita atraves

de um limite matemãtico anãlogo ao utilizado no cãlculo diferen­

cial para definir derivada.

Em um corpo que estã se deformando, uma pequena

area bA, situada numa superficie fechada arbitrãria A ,estã su

jeita a açao de uma força bP (Figura 2.2). Esta força resulta

da interação entre o material interno e externo ã superf1cie e e

26

uma função da área e da orientação da superficie. Um vetor uni­

tário v normal a AA , dirigido de dentro para fora de A , fi

xa o lado externo de AA como sendo o

AA tender para zero, o quociente AP

lado positivo. Fazendo-se dP

tende rã para o limite dA

e os momentos agindo na superficie se anularão no limite 5• Ove

tor limite

dP t = âA (_2.19)

ê chamado de vetor de tensâo. Representa a força por unidade de

área exercida pelo material situado no lado positivo da superfi­

cie sobre o material situado no lado negativo.

O estado de tensão em um ponto e completamente d~

terminado por um tensor de 22 ordem simêtrico chamado de tensor

tensão de Cauchy t~l-

Conhecendo-se ~, o vetor de tensão t que atua

num plano arbitrário ê calculado atravês das seguintes equaçoes:

(2.20a)

ou

t. = O .• V· 1 J 1 J (2.20b)

sendo:

v - vetor unitário normal ao plano

O tensor o está definido em relação a configur~

çao presente do corpo. Isto resulta do conceito fisico natural

e da necessidade de satisfazer as equações do movimento na confi

guração presente ou deformada. Porêm, para montar as equaçoes

27

constitutivas e necessãrio que os tensores de tensão e de defor­

mação estejam definidos em relação a mesma configuração. Por is

so, quando a configuração de referência não ê a presente, em vez

do tensor de Cauchy o utiliza-se o 29 tensor de tensão de Pio­

la-Kirchhoff, que e definido em relação a configuração de refe­

rência.

Este tensor ê obtido a partir de uma força ficti­

cia, dP' = C!') dA' , que se relaciona com a força real,

dP = C!) dA , da mesma f6rma que dx se relaciona com dt (ver

equação (2.3a))

dP' = F-l dP (.2.2la)

(!') dA' = F-l (!) dA (2.21b)

O vetor de tensão ficticio t' e calculado atra­

ves de uma equação anâloga a equação (2.20a).

onde:

se:

(.2.22)

S - 29 tensor de tensão de Piola-Kirchholff

v'- vetor unitârio normal a superficie dA' , situada na configuração de referência

Substituindo-se (2.20a) e (.2.22) em (2.21b) tem-

(~T ~') dA' = F-l (c:i:T ~) dA (2.23)

28

Apõs algumas-operações algébricas' e obtida a se­

guinte expressao para S

ou

p -o

(2.24a)

(2.24b)

A equaçao (2.24a) mostra que, assim como o, o ten

sor S também e simétrico.

2.4 - EQUJLTBRIO DO CORPO

O movimento de um corpo sõlido deformãvel é regi­

do pelas duas leis do movimento de Cauchy. Estas leis são dedu­

zidas através da aplicação dos princípios de conservação das qua~

tidades de movimento linear e angular'. Segundo elas em cada po~

to do corpo deve-se ter:

ou

e

sendo:

Vo + b = dv

p ãf (2.25a)

ªº ji dv. b. l

d + - . p aT Y· l J

(2.25b)

a= a1 (2.26)

Vo divergente do tensor çi: , com derivadas parciais em re lação as coordenadas yi

b • vetor das forças de massa (força por unidade de volu me)

dv dt

29

vetor de aceleração

p - densidade do material na configuração deformada

a aceleração

Quando o corpo se encontra em equilíbrio estãtico dy êlt ê nula e as equaçoes do movimento (equações

2.25)), passam a ser chamadas de equações de equilíbrio.

ou

Vo + b = O

a o .. J 1

d y. J

+ b. 1

= o

(2.27a)

(2.27b}

Nos casos em que a configuração de referência nao

e a presente utiliza-se as equações de equilíbrio na seguinte

forma 6:

ou

onde:

v e~ E r i + b º = o (2.28a)

d y.

afl k

= o (2.28b)

divergente de (~ ET) , com derivadas parciais em relação ãs coordenadas X,

1

b0 - vetor das forças de massa, referido a configur~

ção de referência.

O princípio dos trabalhos virtuais ê uma forma al

ternativa de se expressarem as condições de equilíbrio de um co~

po 6• Este principio ê representado na mecãnica dos sõlidos pela

equaçao:

onde:

30

( 2 . 2 9 )

8 uk - variação (virtual) das componentes cartesianas do vetor de deslocamentos

s.. - componentes cartesianas do 29 tensor de tensão Pio l J

la-Kirchhoff

8 E-. - variação (virtual) das componentes cartesianas do 1 J

tensor de deformação de Green-Lagrange

t~ - componentes cartesianas das forças de superficie (força por unidade de ãrea), referidas a configur~ ção de referência

b~ - componentes cartesianas das forças de massa, refe-ridas a configuração de referência.

2.5 - COMPORTAMENTO DO MATERIAL

O comportamento de um material quando submetido a

solicitações externas ê caracterizado pelas equações constituti­

vas.

As equaçoes constitutivas elãsticas resultam da

generalização da· lei de Hooke. São nove equaçoes qu.e expressam

as componentes de tensão como funções lineares das componentes

de deformação:

s .. = e .. E (2.30) lJ , J rs rs

sendo:

5i j -componentes do tensor s dispostas num vetor de

nove elementos

31

C.. - componentes do tensor constituivo de quarta ordem 1 J rs

f (diferente do tensor C definido na equaçao (2.5))

Ers - componentes do tensor E dispostas num vetor de nove elementos.

Corno S e E são simétricos, as equaçoes (2.30)

para um material elãstico, hornog~neo e isotr6pico são sirnplific!

das, reduzindo-se de nove para seis 6•

S. ·=À Ekk 8 .. + 2 µE .. lJ lJ lJ (2.31)

sendo:

À , µ - constantes de cada material (constantes de Lamê)

2.6 - FORMULAÇAO DO PROBLEMA GERAL DA ELASTICIDADE

As equações de equi l ibri o, equações (2.27} e (_2. 28),

não contêm variãveis cinemãticas, mas em geral não são suficien­

tes para determinar-se a distribuição de tensões, pois enquanto

as componentes de tensão independentes sãos seis as equações de

equilibrio são apenas três.

As equações que estão faltando ~ão as equaçoes

constitutivas e cinernãticas. Portanto, o problema da determina­

ção de tensões não pode em geral ser resolvido sem que sejam co~

siderados deslocamentos e deformações; ê um problema estaticarnen

te indeterminado exceto em alguns casos especiais.

O problema geral da elasticidade consiste em:

32

- Dado um corpo B de densidade p , sujeito ao sistema de for­ças (! , ~) , determinar os campos de deslocamentos (_~). e de tensões (~) , que satisfaçam ãs equações do problema.

Estas equaçoes podem ser apresentadas de duas ma­

neiras, na forma diferencial ou na forma variacional.

As equaçoes na forma diferencial, para o caso de

equilibrio estãtico, são:

- equações de equilíbrio

- equaçoes constitutivas

- equaçoes cinemãticas

d y. :) X:) + b.

1

E . . 1 J

1 a u . = ( 1 + -z ·:aT.

a u. __ J + d Xi

J

- condições de contorno

-u . = u. em , 1

t. = t. em , ,

sendo:

= o (2.321

(2.33)

(_2.34)

d lB t {2.35)

d JB 2

t

a lllt , a IB~ - superf'ícies que fazem parte do contorno do corpo em que os deslocamentos ou as tensões estão prescritos

33

As equações na forma variacional, para o caso de

equilíbrio estãtico, são:

- equação de equilíbrio (principio dos trabalhos virtuais)

r s . . º ~ 1 J

o

= I 2

alB o

- condições subsidiãrias

e

o E: •• 1 J

1 ó = 7

a u. J +

~

em a IB ' o

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Na forma variacional, como o equilíbrio não ê fei

to em cada ponto do corpo, o conjunto de soluções admissíveis ê

ampliado. Podem ser aceitas soluções que violem o equilíbrio em

alguns pontos, desde que o equilíbrio global do corpo seja manti

do.

2.7 - HIPOTESE DE PEQUENAS DEFORMAÇDES

Na maioria das estruturas encontradas na prãtica,

mesmo em presença de deslocamentos e rotações relativamente gra~

des, os alongamentos Ei e distorções tij sao pequenos -em re­

lação a unidade 7•

Nestas situações, o comportamento estrutural pode

ser representado pela teoria das pequenas deformações. Esta teo

34

ri a resulta da aplicação da hi põtese • de pequenas deformações a

teoria geral, apresentada anteriormente.

Na literatura, a utilização das hipõteses de pequ!

nos deslocamentos e de pequenas deformações as vezes deixa mar­

gem a duvidas. No Capitulo l, é importante notar, o problema es

trutural linear foi definido em relação a deslocamentos e não em

relação a deformações.

A hipõtese de pequenos deslocamentos exige que as

translações e as rotações dos pontos da estrutura sejam pe­

quenas quando comparadas, respectivamente, com as dimensões da

estrutura e com a unidade 7•

alongamentos

A hipõtese de pequenas deformaç5es sup5e que os

E. l

e distorç5es cj,i j sao pequenos em relação a

unidade. Portanto, refere-se exclusivamente a deformação de um

volume infinitesimal do corpo.

A primeira hipõtese é a mais restritiva pois envolve

a deformação da estrutura como um todo. A primeira implica na

segunda, porém a reciproca não é verdadeira.

Adotando-se a hi põtese de pequenas deforrnaç5es, as

equaçoes (:2.l4b)_, (2.15b), (2.16), (.2.17a) e (.2.17b) são simpli­

ficadas para:

e: . . - E . l 1 l

(2.39)

2 E: • • - cj, .. (2.40) 1 J lJ

dA - l (2. 4 l ) -a:nç =

35

dV cl'v--:-

0

Assim, as componentes do tensor s

(2.42a)

(2.42b)

adquirem um

significado geometrico que não possuíam anteriormente. Agora os

sii sao alongamentos e os sij são proporcionais as distorções.

As equações (2.41) e (2.42b) mostram que um para­

lelepipedo infinitesimal, de lados inicialmente paralelos aos e~

xos

ces.

x. , não sofre variação nem no volume nem nas ãreas das fa-1 .

Como consequência da deformação o paralelepipedo retangu-

lar transforma-se em obliquo com ângulos 1T

2 - "'12 ' 1T

7 - "'23 e

f - q, 13 . Porem, como o corpo estã submetido a grandes rotações

( em relação a os ~ i j ) , as equações d e e q ui 1 i b ri o e as tensões p o -

dem ser determinadas considerando-se que o paralelepipedo perma­

neceu retangular, sofrendo apenas uma rotação de corpo rigido 7 •

De acordo com esta suposição, a màtriz identidade

I substitui a matriz do tensor U na equaçao (2.18) e o .gra­

diente de deformação passa a produzir apenas rotação de corpo ri

gido.

F = R (2.43)

Substituindo-se (2.43) em (2.24a) e (2.28a) obte~

se a nova forma da relação entre os tensores S e cr e das equ~

ções de equilibrio:

(2.44)

36

(2.45)

A equaçao (2.44) ê anãloga as equaçoes utilizadas

para mudanças de referencial de tensores de segunda ordem. De-

vem existir portanto dois sistemas de eixos x! 1

e para os

quais a matriz do tensor o , referida a

triz do tensor S , referida a xi .

x! , seja igual 1

a ma-

As matrizes dos tensores S e o na equaçao (2.44)

estão referidas ao sistema de eixos x. 1

A transformação de um

sistema para outro ê feita atravês da equação:

onde:

!5 1 -K -

º -

tal que

K'=Ç~QT (2.46}

matriz referida a x! 1

matriz referi da a xi

matriz ortogonal (gT g = ~) que transforma x. 1

em

x! (!:'. 1 = º !:'. ) 1

A matriz de o referida ao sistema de eixos x! 1

' e:

o'=RToR (2.47}

Resolvendo-se a equação (2.47} para o tem-se:

o=Ro'RT (2.48}

Substituindo-se (2.48) em (2.44) obtem-se o resul

37

tado esperado:

S = o' (2.49)

A matriz de rotação Ç = RT , obtida anteriormen­

te, define um sistema de eixos móvel, que acompanha a rotação do

corpo. Isto pode ser comprovado através do estudo do movimento

de um quadrado que sofre uma rotação no plano (Figura 2.3).

X2 1 Y2

x2

a -+ ' + A B x,

1

a

~ o' e

e D x, Y1

Figura 2.3

forma:

38

Neste caso, as equaçoes (2.1) assumem a seguinte

y 1 = cos e x1 - sen e x2

y 2 = sen e x1 + cos e x2 ( 2. 50)

Uti 1 i zando-se as equaçoes (2. 3b), obtem-se o gra­

diente de deformação:

sistema xi l

CDS 8 - sen e o

F = R = sen e CDS 8 o

o o 1

A transformação do sistema de eixos

(Figura 2.3) idada por:

X' = Ç X

cose sen e o

º = - sen e cose o

o o

x . . l

(2.51)

para o

(2.52a)

(2.52b}

Comparando-se as matrizes das equaçoes (2.51} e

(2.52b} comprova-se a afirmação anterior de que:

(2.53)

39

III - METODOS DE ANALISE

A aplicação direta da mecânica dos sõlidos na ana

lise dos sistemas estruturais de uso corrente na engenharia nao

e usual.

Nos problemas lineares e unidimensionais, a solu­

çao exata da equação diferencial existe para quase todos os ca­

sos. Porem, em estruturas reticuladas formadas por vârias bar­

ras, a complexidade da geometria dificulta a montagem e resolu­

ção do sistema de equações diferenciais.

Nos problemas bi 'e tridimensionais, a- solu-ção

exata do sistema de equações diferenciais e obtida apenas em al­

gumas situações. Consequentemente, em estruturas formadas por

vârios elementos bi ou tridimensionais, somam-se a complexidade

geometri ca e a di fi cul dade de resolução das equações diferenciais.

Os metodos de anãlise estrutural resultaram dos

esforços no sentido de superar estes obstãculos. O relato resu­

mido do seu surgimento e evolução encontra-se no item 1 deste ca

pitulo. O item 2 trata dos tipos de algoritmo mais utilizados

na resolução de equações não-lineares. Nos itens 3 e 4,são apr!

sentados, respectivamente, a formulação variacional do .metodo

dos elementos finitos (metodo dos deslocamentos) e um resumo do

metodo da viga-coluna.

3.1 - RESUMO HISTORICO

O estudo das estruturas reticuladas teve inicio

ainda no seculo passado (1850-1875) com Maxwell, Castigliano e

Mohr. A partir dos conceitos por eles enunciados foram desenvol

40

vi dos os mêtodos para anãl i se de põrti cos e treliças nas suas for

mas cl ãssi cas 11•

Estes mêtodos tornaram possível a solução dos pr~

blemas estruturais ao transformarem as equações diferenciais em

equações algêbricas lineares. No entanto, as dificuldades exis­

tentes para a resolução de grandes sistemas de equaçoes algêbri­

cas fizeram com que apenas os problemas em que o numero de incõg

nitas fosse reduzido pudessem ser analisados.

Esta limitação foi ultrapassada somente na dêcada

de 50 quando surgiram simultaneamente os computadores eletrôni­

cos e os mêtodos matriciais de anãlise estrutural 12

•13

•

Os mêtodos matriciais e clãssicos, apesar de se

basearem nos mesmos princípios da mecânica das estruturas, dife­

rem bastante quanto a sua formulação.

Os mêtodos clãssicos sao aplicados a estrutura c~

mo um todo e foram desenvolvidos de maneira a facilitar os cãlcu

los manuais.

Os mêtodos matriciais substituem a estrutura.um

corpo continuo, por um conjunto de elementos estruturais, unidos

entre si atravês de um numero finito de pontos, os nôs. Esta dis

creti zação da estrutura permite a uti 1 i zação de uma rotina de .cãl­

cul o que contêm um numero grande de operações repetidas, favore­

cendo assim o uso de computadores 14•

A anãlise matricial de estruturas e o mêtodo dos

elementos finitos podem, de uma maneira geral, ser tomados como

sinônimos. No entanto, alguns autores reservam a primeira deno­

minação para a anâlise de estruturas reticuladas e a segunda pa­

ra a anãlise de estruturas formadas por elementos bi e tridimen-

41

sionais.

O trabalho de Turner, Clough, Martin e Topp 15 pu­

blicado em 1956 é considerado como o ponto de partida para a for

mulação do método dos elementos finitos (MEF).

Inicialmente o seu desenvolvimento se fez baseado

no conceito fisico de elementos estruturais .discretos, sujeitos

a cargas concentradas aplicadas nos nõs. Porém, a falta de um mo

dela matemãtico rigoroso, além de dificultar a aplicação do MEF

a problemas mais complexos, tornava o avanço da sua teoria lento

e desordenado.

O estabelecimento de um enfoque racional e unifi­

cado para a representação das caracteristicas dos elementos sõ

foi conseguido quando os principias variacionais da mecânica dos

sõl idos foram reconhecidos como base para o MEF 16 i 17• Isto resul

tou no desenvolvimento de formulações chamadas de consistentes.

Apôs o êxito obtido com os problemas lineares as

atenções se voltaram para os não-lineares. A não-linearidade geo­

métrica tem sido bastante investigada. Consequentemente, muitas

são as formulações propostas. A utilização de principias varia­

cionais permite comparar estas formulações e estabelecer as sem~

lhanças e diferenças entre elas. Este tipo de estudo foi feito

por Ebner e Ucciferro 18 e por Carey 19•

Em elementos unidimensionais lineares nao hã dife

rença entre a matriz de rigidez obtida pela formulação consiste~

te, que utiliza um principio variacional, e as outras formulações,

que utilizam outros principias como o teorema de Castigliano ou

a solução da equação diferencial em termos de deslocamentos 14 •

Quando se quer desenvolver elementos unidimensio-

42

nais não-lineares esta situação muda. Apenas a utilização de uma

formulação consistente garante a inclusão de todos os termos nao

lineares na expressão de energia do problema.

O elemento de pÕrti co plano foi um dos primeiros

elementos para anãlise não-linear geometrica a ser formulado. Em

1965, Martin jã publicava um trabalho 20 que inclui a, entre outras,

uma formulação para este elemento. Desde então vãrias formula­

ções tem sido apresentadas 2~

2•. A diferença entre elas se encon

tra basicamente na transformação de coordenadas (do sistema de

referencia local para o global) e na consideração, ou não,de ter

mos não-lineares de grau elevado.

O elemento de põrtico tridimensional nao e, como

parece a primeira vista, uma mera extensão do elemento plano. Em

tres dimensões as rotações finitas jã não sao grandezas veto­

riais6. Isto cria dificuldades para a determinação da configur~

ção deformada.

Na referencia l 25 I, que serve de base para a for­

mulação do modelo l, a configuração deformada e determinada atra

ves de ãngulos de Euler; enquanto na referencia 1261 utilizam-se

vetores unitãrios ortogonais para determinar a orientação de ca­

da nõ. Em outra publicação 27 estudam-se os efeitos das rotações

finitas sobre o cãlculo dos momentos nodais atravês do conceito

de momentos quasttangenci a l e semi tangencial 28

•29

•

Os elementos degenerados surgiram como consequen­

cia das tentativas de se incorporarem ãs anãlises de pÕrticos e

estruturas laminares a versatilidade e a efici~ncia dos elemen­

tos isoparamêtricos.

Em 1968 foi publicndo o primeiro trabalho sobre o

43

assunto 30 . A partir desta idéia inicial desenvolveu-se o elemen

to para anãlise linear de cascas 31• Alguns anos depois aparece­

ram os elementos para anãlise não-linear de cascas 32 •33 e para ana

lise linear de põrticos tridimensionais 34 .

O elemento degenerado para anãlise não-linear ge~

métrica de põrticos tem sido pouco estudado. A referência 1331

apresenta um elemento de põrtico plano e em outras publica­

ções35•36 sao feitas apenas algumas indicações a respeito do ele­

mento de põrtico tridimencional.

Uma formulação do elemento de pÕrtico tridimensi~

nal foi publicada em 1979 37 . Neste modelo, a modificação da ene..!:_

gia de deformação, uma das hipõteses bãsicas para a degeneração

do elemento isoparamétrico, ê levada a efeito através das compo­

nentes do tensor de deformação. No modelo:2, que foi desenvolvi

do a partir das referências 1341 e 1351, esta mesma modificação

é feita através da matriz constitutiva.

A anãlise não~linear geométrica de põrticos com

porta, além das duas opções discutidas anteriormente, mais duas

que merecem ser mencionadas.

Em uma delas, os põrticos planos sao analisados

por elementos isoparamétricos cujas funções de interpolação na

direção da espessura sao lineares 38 .

Na outra, utiliza-se o método da viga-coluna (ver

item 3.3}. Este método desenvolveu-se paralelamente a formula­

ção do MEF para anãlise não-linear geométrica e pode ser conside

rado como uma formulação não consistente do MEF, apesar de nao

ser tratado assim na bibliografia.

44

3.2 - ALGORITMOS

Quando aplicados a problemas não-lineares os mêto

dos de anãlise estrutural dão origem a sistemas de equações algI

bricas não-lineares. Os algoritmos mais utilizados na resolução

destes sistemas de equações são incrementais, iterativos ou in­

crementais-iterativos39"""2.

O processo incremental supõe que o carregamento

do corpo ê feito por partes, correspondendo ãs vãri as etapas de

carga uma sucessão de configurações de equilibrio,

onde íl(o) e íl(f) sao os estados inicial e final de deforma­

çao, respectivamente, e íl(N) ê uma configuração intermediãria

qualquer' . O problema consiste em determinar a solução para a

etapa N + 1 conhecidas as soluções anteriores atê a etapa N,

atravês da repetição do mesmo processo de solução. Isto ê viã­

vel desde que a configuração N + 1 seja suficientemente prõxi­

ma da configuração N e que as equações do problema possam ser

linearizadas em relação as incõgnitas incrementais. Dessa manei

ra, um problema não-linear ê transformado numa serie de proble­

mas lineares.

No processo iterativo 13 aplica-se a carga total

de uma so vez, obtem-se uma solução inicial e calculam-se as for

ças nodais para a geometria dada por esta solução. Como o com­

portamento da estrutura ê não-linear as forças nodais não se igu~

1am as forças externas aplicadas. Isto corresponde a presença

de um carregamento residual não equilibrado, igual as forças ex­

ternas menos as forças nodais. Aplica-se então este carregamen-

45

to, com os parâmetros da estrutura atualiza~os segundo a geome­

tria dada pela ultima solução, obtém-se uma nova solução e cale~

lam-se as forças nodais para a nova geometria. Com estas forças

nodais e o carregamento externo calcula-se um novo carregamento

residual e inicia-se todo o processo de novo. Repete-se o proc~

dimento até que os carregamentos não equilibrados sejam menores

que um determinado valor, estabelecido de acordo com a precisão

desejada.

No processo incremental-iterativo o carregamento

é feito por partes, sendo efetuadas iterações dentro de cada in­

cremento.

3.3 - METODO DOS ELEMENTOS FINITOS

A formulação variacional do método dos deslocamen

tos, ou modelo compativel do MEF, pode ser feita a partir do pri~

cipio dos trabalhos virtuais ou do principio da energia potencial

estacionãria' 3 • A primeira opção é mais geral porque permite a

utilização de qualquer tipo de equação constitutiva, enquanto a

segunda é vãlida apenas para comportamento elãstico do material'º

As condições de equilíbrio de um corpo na etapa

N + l , utilizando-se o principio dos trabalhos virtuais e um re

ferencial lagrangeano, estão definidas pelas equações (ver item

2. 4) :

J N+ls .. li N+lE: .. dV = o N+lw

, J , J ( 3 • l )

ºv

{3. 2)

sendo:

N+ 1 S .. 1 J

o N+ l E •. 1 J

46

- componentes cartesianas do 29 tensor d.e ten­sao de Pi ol a-Ki rchhoff, na configuração da eta­

pa N + 1

- variação virtual das componentes cartesianas do tensor de deformação de Green -Lagrange na configuração da etapa N + 1

- trabalho virtual das forças externas na etapa

N + 1

- componentes cartesianas das forças de superf! cie na etapa N + 1

- componentes cartesianas das forças de massa na etapa N + 1

o uk - variação virtual das componentes cartesianas do vetor de deslocamentos totais

Relacionando tensões e deformações tem-se a equa­

ção constitutiva (ver item 2.5):

N+ 1 S .. 1 J

(3. 3)

O tensor de deformação pode ser decomposto em duas

parcelas, uma linear e outra não-linear (ver item 2.2):

N+l N+l + N+l Eij = e .. n ..

1 J 1 J (3.4a)

o N+l o N+l + o N+l E .. = e .. nij 1 J 1 J (3.4b)

Substitui.ndo (_3.3)_, (.3.4a) e (3.4b) em (3.1) tem-

se:

47

[ 1 N+l N+l N+l N+l l:i jk,Q, eki o eij + cijki n .. o e .. +

l J l J

+ Ci jk.Q. N+l

eki o N+l + cijki

N+l n .. l J n ki o N+ ln. J

l J dv = o N+lw

( 3. 5)

A equaçao acima e a expressao completa do traba

lho virtual interno. As vãrias teorias não -lineares existentes

diferem basicamente em dois aspectos 19, na consideração ou nao

de todos os termos da equação (3.5) e na maneira de agrupã-los.

As pesquisas iniciais 20 deram origem a uma teoria

incremental, em que a matriz de rigidez, referida ao sistema de

coordenadas local, resulta da soma de duas outras, a matriz de

rigidez linear convencional e a matriz de rigidez geomêtrica,que

representa a contribuição das tensões existentes no inicio do in

cremento. Como as tensões são mantidas constantes durante o in-

cremento não ê possfvel a realização de iterações.

ê chamada tambêm de teoria da tensão i ni ci al 19•

Esta teoria

Mais recentemente foi proposta uma teoria incre­

mental-iterativa25•35•44, que supera alguns dos inconvenientes da

teoria anterior, mantendo a mesma simplicidade.

Estas duas teorias serio apresentadas a seguir.

Inicialmente faz-se uma decomposição incremental:

(3.6)

(3. 7)

(3. 8)

48

N+l N + Íl nki ( 3. 9) nki = nki

6 N+l nki = 6 Íl nki (3.10)

N+ l t k = Nt

k + Íl tk (3.11)

N+lb k = Nb

k + Íl bk (3.12)

Substituindo (3.7),(3.8),(3,9) e (3.10) em (3.5),

tem-se:

. f ~ijki Neki 6 ll eij + cijki ll eki 6 ll eij +

ºv

+ ci j k i N eki 6 Íl n ..

1 J + cijki fl eki 6 Íl n .. +

1 J

cijki N 6 Íl n .. + Ci jki ll 6 Íl niJ dV = 6 N+lw (3.13) + nki nki 1 J

Para linearizar a equaçao (3.13) desprezam-se as

parcelas não-lineares em termos de deslocamentos incrementais.

Reagrupando os termos de (3.13) tem-se:

f ~ijki (Neki + Nnki) 6 ll eij + cijki ll eki ll eij +

ºv

(3.14)

Utilizando-se (3.4a) e (3.3) tem-se para a eta-

pa N

49

(3.15)

Substituindo (3.15) em (3.14) tem-se:

J rsij o 6 eij + Cijkt 6 ekt o 6 eij + NSij 06 niJ dV =o N+lw

ºv (3.16)

Substituindo (3.6), (3.11) e (3.12) em (3.2),tem-

se:

o N+lw = I Nt k o 6 u k dA + J Nbk o 6 uk dV +

ºA ºv

+ J 6 tk o 6 uk dA + J

6 bk o 6 uk dV (3.17)

ºA ºv

Para o equilíbrio do corpo na etapa N , utilizan

do o princípio dos trabalhos virtuais', tem-se:

Igualando (3.16) e (3.17), e rearranjando os ter-

mos, tem-se:

50_

J Lcijkt t, ekt º t, eij + Nsij <lt,niJ dV =

ºv

+ J Ntk o t, uk dA + J Nbk o t, uk dV - J

ºA ºv ºv

N s .. at,e .. dv l J l J

(3.19)

As simplificações feitas para linearizar a equa­

çao (3.13) e os erros computacionais fazem com que a eq. (3. 18)

raramente se verifique'

seguinte forma:

( o [:, ~k)T [:, 11' = J

Nt k

ºA

+ J Nb k o t, uk dV - J

ºv ºv

Por isso é mais correto escreve-la da

o t, uk dA +

N o [:, s .. l J

e .. l J

dV ( 3. 20)

O vetor t, 11' e o residuo que fica apos cada in­

cremento. Sua eliminação soe possivel através de um processo

iterativo.

A teoria da tensão inicial ao supor que o compor­

tamento da estrutura durante cada incremento de carga e linear,

estã implicitamente aceitando a validade da equação (3.18). Des

sa maneira a equação (3.19) fica simplificada.

51

J @ijk9, t:. ekt c5 t:. N

c5 6 nij] dV e .. + sij = 1 J

ºv

= J

6 tk c5 6 uk dA + J 6 bk c5 6 uk dV (3.21)

ºA ºv

Discretizando a equaçao (3.21) tem-se

(3.22)

onde:

( ' , !:!k)T ~L, uk = J e 'e ' 'e dV u Ll Ll ijk9, Ll kt u Ll ij

ºv

( c5 Í', k T uk

J N c5nn .. dv !! ) ~NL Í', = s ..

1 J 1 J

ºv

( c5 6 !:! k) T Í', R = I 6 tk c5 6 uk dA + f nbkc5nukdV

ºA ºv

~L - matriz de rigidez linear

~NL - matriz de rigidez geométrica ou não-1 inear

Í', R - vetor dos i ncrementos das cargas aplicadas

Í', uk - vetor dos i ncrementos dos deslocamentos nodais

c5 Í', uk - vetor . àa -variação dos i ncremeritos dos deslocamentos - -

nodais

Simplificando a equaçao (3.22), tem-se:

(3.23)

A equaçao (3.23) representa um processo estrita­

mente incremental. Para que a solução obtida seja prõxima da

5.2.

exata os incrementos de carga devem ser suficientemente pequenos.

Como não existe um critério geral que forneça o numero de incre

mentos adequado para cada problema, quando o comportamento da es

trutura ê desconhecido, esta escolha torna-se bastante dificil.

E comum realizar-se, inicialmente, uma anãlise li

near para verificar a grandeza dos deslocamentos e das rotações.

Com base nestes resultados, escolhe-se então um numero de incre­

mentos adequado. No entanto, seguindo este procedimento nunca se

sabe a distância entre a solução exata e a obtida.

Uma maneira mais segura seria realizarem-se va­

rias anãlises não-lineares, com numero crescente de incrementos,

atê que a variação entre as duas ultimas soluções fosse pequena.

Porém, a aplicação deste procedimento, em geral, torna-se proibi

tiva pelo alto custo computacional resultante.

A teoria incremental-iterativa mantêm todos os

termos da equação (3.19}, que discretizada assume a forma segui!

te:

(3.24}

O processo incremental-iterativo representado pe­

la equaçao (3.24}, como jã foi dito anteriormente, ê mais preci­

so e mais versãtil do que o estritamente incremental da equação

(3.23}. Apesar do grau de aproximação em relação aos termos da

equaçao (3.13) ser o mesmo nos dois processos, a realização de

iterações em cada incremento evita a acumulação de erros, tornan

do menos rigidas as restrições quanto a grandeza dos incrementos

adotados.

Para facilitar a implementação da equaçao (3.24)

53

faz-se um reagrupamento de termos.

sendo,

(8 6 ~k)T R = J (Ntk + 6 tk) 8 6 uk dA +

ºA

ºv

(8 6 ~k)T F = J V

(3.25)

A equaçao (3.25) ê vãlida tanto para a estrutura

como um todo quanto para cada um dos elementos. Quando aplicada

a estrutura as matrizes ~L , ~NL e F são montadas .,a partir

das matrizes correspondentes dos elementos 43• As matrizes de ca

da elemento são calculadas atravês das seguintes equações:

~L = f BT e ~L dV -L (3.26a)

ºv

K.i [ I T ~M ~NL dV = ~NL -J ·.

(3.26b)

ºv

F = f BT ~V dV -L (3.26c)

ºv

sao montadas a partir das

derivadas das funções de interpolação (ver itens 4.2, 4.4, 5.2 e

5.4). As matrizes ~M e ~V contêm as componentes do tensor

As matrizes ~L e ~NL

54

de tensão, rearranjadas de uma maneira adequada (ver itens 4.4 e

5.4). Finalmente.a matriz C ê a matriz constitutiva (ver itens

2.5, 4.2 e 5.2).

3.4 - METODO DA VIGA-COLUNA

No método da viga-coluna as relações força-deloc~

menta em cada elemento são obtidas aplicando-se a teoria de vig~

coluna. Isto implica em supor que os efeitos não-lineares rela­

cionados a deformação de flexão do elemento podem ser despreza­

dos. Ou seja, a força axial ê considerada finita enquanto os m~

mentas de flexão e os cortantes são considerados infinitesimais's-52•

As funções de estabilidade, deduzidas pela teoria

de viga-coluna, são coeficientes que traduzem a influência de uma

força axial sobre a rigidez a flexão do elemento 1 • Elas são de­

terminadadas a partir da equação diferencial da viga da Fig. 3.1.

por:

interno - E!

onde:

O momento em uma seção qualquer da viga e dado

Igualando a d2y cJx2 tem-se:

d2y + k2y cfx2

(3.26)

equaçao (3.26) ao momento resistente

Ml X M2 X ;rr(r- 1l+rrr

k2 ; p rr

(3. 2 7)

5.5

y

_..,_P~- ( (D1"' _-_----l.&_..!._-_-_'_,:,,..._,-,-;-2--~---~~-2~-p-X

Figura 3. 1

56

A equaçao (3.27) admite duas soluções gerais con­

forme a carga P seja de compressão ou de tração.

Para compressão tem-se:

Ml X M2 X Y = A sen kx + B cos kx + p (T - l) + p [

(3.28)

Para tração tem-se

(3.29)

Ap6s virias operaçoes algibricas 1 os momentos M1 e M2 sao obtidos em função das rotações e1 e e2

(3.30)

Os coeficientes c1 e c2 sao as funções de es-

tabilidade. Eles possuem valores diferentes conforme

uma força de compressão, de tração ou nula 49•

Para compressão tem-se:

c1 <P (sen <P - <P cos <P ) = 2 (1 ~ CDS <j, ) - <P sen <P

C2 . <P ( <P - sen <P )

2 (1 - cos q, ) - q, sen q,

p seja

{3.31)

57

Para tração tem-se:

c1 cj, ( cj, cosh cj, - sinh cj,) = 2 ( 1 - cosh cj, ) + cj, s1nh cj,

( 3. 32)

c2 cj, (senh cj, - cj, ) = 2 ( 1 - cosh cj,J + cj, sinh cj,

Para P = O tem-se

Uma formulação bastante simples do método da vig~

coluna e encontrada na referência l 51 I. A matriz de rigidez do

elemento no sistema de referência local ê deduzida diretamente das

equaçoes (3.30) e das condições de equilfbrio.

l 2 3

o

o

o

K =

o o

o

o

4

E Ax - -L-

o

o

o

o

5

o

o

6

o

2

3

o 4

5

6

58

- para compressao

c3 = cp' (cos cj>)

2 ( 1 - CDS cj> ) - cj> sen cj>

C4 <P 3 sen cj>

= ( 1 cj> ) 2 - CDS - cj> sen cj>

- para tração

C3 cj> 2 (cosh cj> - l )

= 2 ( 1 - cosh cj> ) + cj> senh cj>

C4 cj> 3 senh cj>

= 2 ( 1 cosh cj> ) senh - + cj> cj>

Esta matriz inclui os efeitos da interação entre

as cargas transversais e axiais. A mudança de geometria da es­

trutura ê considerada no início de cada ciclo iterativo, através

da atualização das matrizes de rotação que fazem a transformação

do referencial local para o global.

Outras formulações'ª~º utilizam a matriz de rigi­

dez tangente, que por ser mais precisa acelera a convergência do

processo iterativo. A dedução desta matriz ê feita a partir do

conceito matemãtico do desenvolvimento de Taylor, que calcula o

valor de uma função P {u 1 , u2 , u3 , ... , un) na vizinhança de

um ponto (ulO , uzo , u30 , ... , uno)

a P P (u10 'uzo' ... , uzo) +~ dul +

a P a P ~ du 2 + ... + ~ dun

(3.33)

59

As equaçoes de equilfbrio, que relacionam as for­

ças nodais P com os deslocamentos nodais u , são determinadas,

no sistema de referencia local, utilizando-se as equações (3.30)

as condições de equilfbrio e algumas considerações geometricas 13.

Apôs a transformação das equaçoes de equilfbrio

do sistema local para o global, aplica-se a cada uma das forças

Pi o desenvolvimento de Taylor.

sendo:

/:, p. 1

a P. 1 ... ' au;;-

gente para

= r~ a u ' l

3 P. 1

auz 3 P.

1 , au 3

a P. J ' · · ·' a u~

(3.34)

aP. aP. aP. Na equaçao (3.34) os termos 1 1 1

au", ' au;- , au;;-sao os elementos da linha i d a matriz de rigidez tan-

a geometria especificada por (u 10 , u20 , u30 , ... , un0

)

= a P.

1

~ ( 3 . 3 5 )

60.

IV - MODELO 1 - ELEMENTO DE EIXO RETO E SEÇllO TRANSVERSAL CONS­

TANTE

Este elemento possui dois nos com seis incõgnitas

nodais, três translações e três rotações (Figura 4.1).

Adota-se a hi põtese ,' de pequenas deformações ( ver

item 2.7), porem admitem-se translações e rotações grandes quan­

do comparadas com as dimensões da estrutura e com a unidade, res

pectivamente.

A hipõtese de pequenas deformações permite duas

outras simplificações. A primeira e a hipõtese das seçoes pla­

nas, que supõe que as seções inicialmente planas permanecem pla­

nas na configuração deformada. A outra simplificação se aplica

a representação do movimento do elemento. Supõe-se que o elemen

to estã sujeito apenas a rotações de corpo rigido, mantendo o ei

xo reto e a seção transversal e o comprimento constantes. Com is·

to torna-se posslvel relacionar as configurações deformada e in­

deformada atraves de uma transformação linear.

Alem do sistema de referência global, utilizam-se

mais dois sistemas de referência: o local fixo e o local mõvel 2~

No sistema fixo a direção 1 coincide com o eixo

do elemento e as direções 2 e 3 correspondem a cada uma das dire

ções principais de inercia. Os eixos são mantidos na configura­

çao indeformada do elemento (Figura 4.2), correspondente a etapa

o.

O sistema mõvel se desloca a medida em que o ele­

mento sofre deformação. Os eixos se mantêm sempre retos e mutua

mente perpendiculare.s 26'53

• Na etapa O os dois sistemas de re-

61

AM.11

t AM.5 A.u.9 t __ ----A.u.10

0~ A AJ.7

A .u.2 A "-9

' A.u.1 A .u.12

A .u_,i----0 ~ A .U.3

' A.Ms

Figura 4. l

--------X 1 'y 1

©

'

x1 tx 2 ,x3 - Coordenados do sistema fixo

Y1 , Y 2 , Y 3 - Coordenadas do 11stema móvel

Figura 4.2

62.

ferência sao coincidentes (Figura 4.2).

O referencial mõvel estã sempre situado na confi­

guraçao correspondente a etapa N , pois a configuração da etapa

N + l para ser determinada, depende ___ do-s deslocamentos incre

mentais que são as incõgnitas do problema. A utilização deste

referencial ê equivalente a escolha da configuração da etapa N

para referência.

O campo de deslocamentos incrementais .e esérito

tomando-se como referência o sistema mõvel. Como es.te referen­

cial acompanha o deslocamento do elemento podem-se utilizar as

mesmas funções de interpolação usadas na anãlise linear de põrt~

cos 25 •

Desta forma, escolhem-se funções lineares para in

terpolar os deslocamentos axial e de torção e funções cúbicas p~

ra interpolar os deslocamentos transversais, resultantes da fle­

xão.

As integrais que determinam as matrizes de ri gi­

dez e o vetor de forças internas (equações (3.26)), sao resolvi­

das, explicitamente, na configuração da etapa N • Isto e feito

porque as funções de interpolação estão definidas em relação ao

referencial mõvel. As matrizes assim obtidas são transformadas

sucessivamente para os referenciais fixo e global 54•

A matriz de rigidez linear, calculada em relação

ao sistema. de referência mõvel, e igual a matriz de rigidez uti­

lizada na anãlise linear de põrticos e se mantem constante duran

te todo o processo incremental. O efeito da mudança de geometria

e inclu{do ao se fazer a passagem do referencial mõvel para o fi

xo.

-63

4.1 - CAMPO DE DESLOCAMENTOS

As translações do eixo do elemento e as rotações

do elemento são aproximados por polinõmios em r 11•

sendo:

u

V

w

er -

es -

et -

u = ª1 + ª2 r.

V = ª3 + ª4 r + ªs r2 + ª5

r3

w = ª7 + ªs r + ªg r2 + ª10 r 3

e I". = ª l l + ª l 2 r

es dw

{as + 2 ªg r + 3 ª10 r 2) = - ar = -

et dv

= ar = ª4 + 2 ªs r + 3 ª5 r2

deslocamento do eixo do elemento na direção r (Figu-

ra 4. 2)

deslocamento do eixo do elemento na direção s {Figu-

ra 4. 2)

deslocamento do eixo do elemento na direçao t (Figu-ra 4. 2)

rotação do elemento em torno do eixo r

rotação do elemento em torno do eixo s

rotação do elemento em torno do eixo t

As coordenadas generalizadas a. 55 são calculadas l

em função dos deslocamentos nodais LILI; através das condições

que u , v , w , er , es e et devem satisfazer em r = O (nõ

ll e em r = L (nõ 2).

64

em r = O em r = L

u = 6 u 1 u = 6 U7

V = 6 u2 V = 6 Ug

w = 6 U3 w = 6 Ug ( 4. 2)

er = 6 U4 er = 6 ulO

es = 6 U5 es = 6 u 11

et = 6 U5 et = 6 u l 2

As translações do eixo do elemento e as suas rota

çoes sao obtidas em função dos deslocamentos nodais substitutin-

do-se na equaçao (4.1) as expressões que relacionam os

6 u. 1

U = (l - [) Ô Ul + [ Ô u7

r 2 r 3 r r 2 r 3

v = (l - 3 rz + 2 r,l 6 u2 + L (T - 2 L2 + ul ô U5 +

r 2 r 3 r r 2 + (3 L2 - 2 ul ô Ug + r (- "[ + u) 6 u, 2

(1 3 r2

2 r' L (. - r 2

r2 r' w = - [z + r,l 6 U3 + I + L2 r,) 6 U3

(3 r2

2 r, r r2

+ L - r,) Ô Ug + r (T - rzl 6 u 11

+

a. aos 1

( 4. 3)

( 4. 4)

6.5

cf r2 6 (1 4 r 3 r2

es = - [zl [ il U3 + - I" + [zl il U5 +

( - r r2 6 (- 2 r 3 r2

(4.4) + [ + [zl I" 6. Ug + I" + [2) il u 11

r r 2 6 r r 2 8t = (- [ + [2) [ D. u2 + (1 - 4 [ + 3 p) il u6 +

r r 2 6 r r 2 + (T - I2) I" 11 u 8 + ( - 2 I" + 3 L2) 6. u 1 2

As translações de um ponto qualquer do elemento

sao determinadas pelas equações a seguir.

u (r , s , t) = u + u' + u"

V (_r , s , t) = V + v' ( 4. 5)

w (r , s , t) = w + w'

Os deslocamentos u' , u" , v' e w' são calcu­

lados em função das rotações do elemento, utilizando-se a hip6t!

se das seções planas {Figura 4.3).

u' = - s tg et

u" = t tg es (4 .,6)

v' = - t tg er

w' = s tg er

Como a hip6tese dos pequenos deslocamentos i vili

da em cada incremento de carga e as rotações er , es e et são

deslocamentos incrementais, pode-se considerar tg e; e nas equi

ções (4.6).

66

s . \}" • - ,.,._

( a )

1 ·"'

Jt ,,.,_

( b)

ó s.~

• w

6- /1-

(h

',w _,.,... ( e )

Figuro 4.3

6.7

u 1. = - s et

u li = t es ( 4. 7)

v' = t er

w' = s er

Substituindo-se sucessivamente (4.3), (4.7) e (4.4)

em (4.5) obtem-se as equaçoes que expressam o campo de desloca­

mentos em funçâo dos deslocamentos nodais.

ou

sendo:

' u = hi uk u i 9, 9,

(i=l,2,3) (Q,=1,2, ... ' l 2 ) (4.8a}

( 4. 8b)

!':, u - vetor dos deslocamentos incrementais, referido ao

sistema mõvel

H - matriz das funções de interpolaçâo definidas em re laçâo ao referencial mõvel

/':, uk - vetor dos deslocamentos nodais incrementais, refe­rido ao sistema mõvel

hl - componentes da matriz H , correspondentes a linha 11 i II e a coluna 11 2 11

Os elementos da matriz ~ , que sao polinômios em

r , s e t , estâo determina dos a seguir em funçâo das variãvei s

s e t e dos polinômios fi(r) e gi(r) .

68

h 1 = fl h 1 = 92 s h 1 = 92 t 1 2 3 h 1

5 = 93 t h 1 6 = 93 s h 1

7 .- f 4

h 1 = - 95 s h 1 = 95 t h 11 = 95 t 8 9

h{2 = 95 s h 2 = f2 h2 = ~ fl t 2 4 ( 4. 9) h2 = f3 h2 = f5 hio = f4 t 6 8

hi2 = f6 h 3 3 = f2 h 3 = fl s 4

h2 = - f3 h 3 = f5 hfo = f4 s 5 9

hi1 = f6

sendo:

fl 1 r f2 1 3

r2 + 2

r3 = - r = - [2 p

cf r2 3 r f3 = - 2 L

+ .!:_) L f4 = [ (4.10a) L

r2 r3 r 2 f5 = 3L - 2 L f6 = (- r + f-l r

91 = - 1 (- r + [ )

6 -L- 92 = r [

93 = 1 - 4 r + [ 3 r2 u 94 = - 91 (4.10b)

95 = - 92 95 = - 2 r + 3 r2

r [2

69_

4.2 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS E CAMPO DE TENSÕES

As equações constitutivas do elemento foram esco­

lhidas de acordo com a teoria técnica das vigas, pois as barras

de um pÕrtico se comportam como vigas submetidas a flexão, tor­

çao e compressao ou tração.

Segundo essa teoria 10, a flexão e a compressao ou

tração produzem tensões normais ã seção transversal, enquanto a

torção produz tensões tangenciais e empenamento da seção. O em­

penamento, que sõ deixa de ocorrer em seçoes circulares 56 57 58,não

foi considerado na determinação do campo de deslocamentos, para

nao contrariar a hipõtese das seções planas.

O tensor de tensão para uma viga cdntém apenas

cinco componentes não nulas: s11 , s12 = s21 e s13 = s31 . Du

rante o processo incremental estas componentes são determinadas

de forma incremental, também:

N+l~v = N~v + 6 ~V (4.11)

As componentes do tensor incremental de tensão de

Cauchy 25 se relacionam com as componentes da parcela linear do

tensor incremental de deformação através das equaçoes constituti

vas.

(4.12}

onde:

(4.13a)

onde:

70

E o

e o E = 2 {l +

o o

E - mõdulo de elasticidade

v - coeficiente de Poisson

v)

As componentes 6 e .. l J

6 e .. l J

i

j

=

=

1

1 • 2 • 3

(4.13a)

o

o (4.13b)

E 2 (1 + v)

sao dadas por:

36 u. 3 y ~)

l

(4.14)

Y1 = r

Yz = s

Y3 = t

A relação entre 6 e e os .deslocamentos nodais -V

incrementais e estabelecida utilizando-se as equações (4.8a) e

e (4. 1 4) .

(4.15a)

sendo:

ou

91

~L = o

o

\

94

o

o

- 97

o

o

- 99

o

o

a h ! _._J a Yi

t

s·

91 - definido em (4. lOb)

94 - definido em (4.lOb)

71

a h ~ + __ J

a Yl

- 97 t

o

o

- 99 t

o

o

97 = (- l + 2 f) 6 I2

99 = - 97 910 =

p/ i = 1

p/ 1 < i < 3

o 9s t - 98

- 91 t o o

91 s o o

o 910 t - 910

- 94 t o o

94 s o o

9s = (- 4 + 6 f) l [

(- 2 + 6 r) l T [

Substituindo (4.15a) em (4.12), tem-se:

(4.15b)

s 1

' '

s 1

(4.16)

(4.17)

A equação (4.14) difere da equação (2.lla) porque,

como o referencial mõvel corresponde a confi 9uração da etapa N,

a decomposição incremental dos deslocamentos, para este referen-

cial, se reduz a u. = 1

72

N+l u.=L\u. 1 1

4.3 - MATRIZ DE RIGIDEZ LINEAR E VETOR DE FORÇAS INTERNAS

A matriz de rigidez linear ~L e o vetor de for­

ças internas F resultam da discretização das parcelas

e Jv

Ns .. cS LI e .. dV 1 J l J

da equaçao (3.19).

(4.18)

. ~L = J ~[ C ~L dV (4.19a)

2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 1 l 1 2 - -Kll Kl 7

K22 K26 K28 K2,l2 2

K33 K35 K39 K3~ 11 3

K44 K 4, l O 4

K55 K5 9 K ... , 5, 11 5

~L = K66 K68 K5 ; l 2

s I M K77

6

7

K88 Kg, l 2 8

Kgg Kg , 11

Kl0,10 10

Kl l , 11 11

•· Kl2,12 .

12

73

Kll E Ax

K l 7 = Kll = -r

l 2 EI2

6 E! K22 K26

z = = L 3 L

= - K22 K2, l 2 = K26

12 E I - 6 E! = y

K35 = y L L2

K39 = - K33 K3, 11 = K35

G I K44

X K4,10 = K44 = -r -

4 Ely 6 Ely K55 = K5 9 = [2 (4.19b) ,

2 E! 4 E I K5, 11

y K55

z = = L L

6 E! 2 EI2

K68 z

K6 12 = = L , L

Kg , 11

Kl l , 11

sendo:

74

Ax - a rea da seçao transversal

IX - constante de torção igual a soma de IX e Iy

I - momento de inercia y da seçao transversal em relação

ao eixo s

Iz - momento de inercia da seçao transversal em relação

ao eixo t

E - mõdulo de elasticidade

G mõdulo de elasticidade transversal (G E =2c1+v)l

v - coeficiente de Poisson

(4. 2 o a)

F = I (4.20b}

Adotando-se uma decomposição incremental para Ns -V

e substituindo em (4.20b}

ou

(4.21)

Substituindo (4.17) e (4.19a) em (4.21)

As forças internas

respondentes ao campo de tensões

F

s -v

(4.22)

sao os esforços nodais co~

A distribuição de esfor-

ços ao longo do elemento e determinada de acordo com o processo

75

usual da estãtica.

O esforço normal e o momento torsor sao constan­

tes em todo o elemento, enquanto os momentos fletores variam li­

nearmente

(4.23)

My = F3 r + F5

Sendo:

N - esforço normal

T - momento torsor

My momento fletor em torno do eixo s

Mz momento f1 e to r em torno do eixo t

As componentes do tensor de tensão e as forças i~

ternas podem ser relacionadas entre si através das equações (4.23)

e d a teor i a de f 1 ex ão u sua 1 16 .

N Mz M sll =

lÇ + r; s -!~

t

S 1 2 - T

t (4.24a) = r;

5 13 T s = -r;

76

Substituindo (4.23) em (4.24a)

Fl ( - F2 r + F 6) (F3 r + F5) Sll = 1Ç +

Iz s - t

y

S12 F4

t = i-; (4.24b)

5 13 F4

s = i-;

A matriz de rigidez linear e o vetor de forças i~

ternas referidos ao sistema global são determinados através das

seguintes equações:

onde:

(4.25a)

GE = TT RT F (4.25b)

R - matriz que realiza a transformação do sistema de refe­rência local mõvel para o local fixo

T - matriz que realiza a transformação do sistema de refe­rência local fixo para o global 54

4.4 - MATRIZ DE RIGIDEZ NAO-LINEAR

A matriz de rigidez não-linear resulta da discre­

tização da parcela

S .. 6 /'i n .. dV J N

V 1 J 1 J

da equaçao (3.19).

77

( I V (4.26)

~NL = I T ~NL ?M ~NL dV (4.27)

Explicitando-se o somatório do lado esquerdo da equ~

çao (4.26) e considerando s22 = s33 = s23 = O , tem-se:

•

(4.28)

As componentes 6 nij sao dadas por:

l 36 uk 36 uk 6 nij = z 3 y. 3 y.

1 J (4.29a)

i = Y1 = r

j = l ' 2' 3 Yz = s

Y3 = t

ou

6 n .. l 6 UT 6 l 6

T 6 ~' l (4.29b} = z u = z u .

1 J - 'l -,j -,J

onde:

T [36 u l 36 Uz 36 u3 J 6 u ; l = (4.30a) 3 y 1 3 y 1 3 Yl

ou

sendo:

I - matriz

o - matriz

T ti u . = ,J

(j=l,2,3)

!:,. u ' l

=

!:,. T

!:,. u 1 = ,

u . = -,J

!:,. T u .

-,J = !:,.

M' = [! M2 = [Q

M' = [Q

T [/:,. T !:,. !,! ,y = ~ l ,

78

M' !:,. u -,Y

UT ,y

( M 1 ) T

Mj !:,. u -,y

UT -,y

(~j) T

o Q] I D] o I]

T !:,. !,! 2 ,

identidade 3 X 3

nula 3 X 3

(4.30b)

(4.31a)

(4.31b)

(4.32a)

(4.32b)

(4.33)

t,. u T J -,3 (4.34)

Fazendo a primeira variação das equaçoes (4.29b),

(4.31b) e (4.32b), tem-se:

(4.35)

79

ol'i UT - 'l

= ol'i u -,y (!11) T (4.36a)

ol'i T u .

-,J = ol'i u -,y ( ~j) T (4.36b)

Substituindo (4.31a), (4.32a), (4.36a) e (4.36b)

em (4.35), tem-se

(4.37)

Variando o indice j em (4.37) tem-se:

o /'i n 11 = ol'i UT -,Y

(~1)T MI /'i u -. ,y

oi'i n 12 l

ol'i UT [c~1)T M2 + (~2)T ~IJ /'i (4.38) = 7 u -,y ,y

o/'i n13 l

ol'i T

= 2 u -,y [e~ 1) T M' + ( ~,) T ~IJ /'i ~.y

Através das equaçoes (4.34), (4.30b) e (4.8a) ob-

tem-se a relação entre o vetor

incrementais

/'i u e os deslocamentos nodais ,y

/'i u = HD /'i uk (4.39a) -,y

ou

(4.39b)

sendo

80

a h~ J p/ i < 3 aYí-

a i-3 h. ( H D) .. = J p/ 3 < i < 6 (4.40) , J a Y2

a i-6 h. J p/ 6 < i < 9 a Y3

Fazendo a primeira variaçio da equaçao (4.39b),

tem-se:

(4.41)

Substituindo as equaçoes (4.38), (4.39a) e (4.41)

em (4.28), tem-se:

J sij 06 n .. , J dV = (06 ~k)T [

J V H p T [s 11 ( ~ 1 ) T M' + 512 [( ~ 1) T Mz + (~z)T ~ 1 J + -

+ 513 [l~ 1) T Ma + (~')T~']] HD dv] 6 uk (4.42) -

Comparando as equaçoes (4.26) e (4.42) conclui-se

que:

e

ou

~M 9x9

(BNL)ij

=

a =

a

81

o

o

~NL = HD

ah~ _J p/ ºY1

h~-3 J p/ a Y2 I

h i_ -6 J p/ a Y3

o (4.43)

o

(4.44a)

i < 3

3 < l < 6 (4.44b)

6 < i < 9 -

~

91 - 97 s - 97 t o 9g t - 9g s 94

o 92 o - 9 l t o 93 o

o o 9z 91 s - 93 o o

o - 9z o o O, - 93 o -

~NL = o o o o o o o

o o o fl o o o

o o - 9z o 93 o o

o o o - f l o o o

o o o o o o o ~

9g s - 9g t o

95 o - 94

o 95 94

95 o o

o o o

o o f4

o - 95 o

o o - f4

o o o

910 t -

t o

s - 96

o -

o

o

96

o

o

910 s

96

o

96

o

o

o

o

o

1

co N

83

Os elementos da matriz de riigdez não-linear, re-

feri da ao sistema mõvel, são determinadas através das equaçoes

(4.43), (4.44), (4.24b) e (4.27).

2 3 4 5 6 7 8 9 l o l l l 2

- N N N N N N N N N N Kll Kl2 Kl3 Kl5 Kl6 Kl7 Kl 8 K1g K l 11 Kl , l 2

l

, N

K22 N

K24 N

K26 N

K27 N

K2a N

K2 , l O N

K2,12 2

N K33

N K34

N K35

N K37

N K3g

N. K3 ; l O

N K 3 , 11

3

N K44

N K45

N K46

N K48

N K4g

N K4, l O

N K 4, 11

N K4, 12

4

N K55

N K57

N K5g

N K5 , l O

N K5, 11

5

N N N N N 6 K66 K6 7 K68 K6, l O K6 12

~NL= s I M , N N N N N

K77 K78 K7g K 7 11 K7,12 7

, N

K88 N

KB, l O N

K 8, l 2 8

N N N 9

Kgg Kg, l O Kg, 11 N

Kl O, l O N

Kl O, 11 KlO, 12 10

N Kl 1 , 11

11

N Kl2,12

12

N Fl N F2 Kll = T N l 2 = T

N F3 KN F5 Kl3 = T = T l 5

N F6 N N Kl6 = --r- Kl7 = K 11

( 4. 45 a)

N N N N Kl8 = Kl2 K1g = K13

N F3 +

F5 N F6 K l , 11 = T Kl , 1 2 = - Fz + T

N l 2 I z 6 Kzz = Fl - Fl

L' Ax 5[

84

N F3 F5 Kz4 = 2 + T

N 6 I z Fl Kz5 = Fl L2 Ax

- TIT

N Fz Kz7 =T

N l 2 I 6 z

Kzs = F1 + Fl L' A "5T

X

N F3 F5 Kz, l O = z- T

=- 12 Iy

L' Ax

N F 2 F 6 K34 = - 2 + T

l 2 I y

L' Ax

(4.45a)

(4.45b)

85

N I N L X Fl K44 = IA K45 = TI F2

N L F3

N F3 F5 K45 = TI K43 = 2 T

(4.45b) N F2 F5 N N

K49 = 2 T K 4 , l O = K44

N N N N K4, 11 = K45 Kll, 12 = K45

(4.45c)

6 I F = __ z Fl + ,;,.

A L 2 , u

N K5, l O =

86

KN Fl N = T K73 = 77

N N = -K79 KN

l 3 K 7, 11 =

N K7 12 = ,

N Kg, l O =

KN N K33 99

N Kl 12 ,

N K24

N Kg , 11 =

N Kl0,11

N Kss

N KS,12 =

N Kg, l O

KN 35

N Kl2

N K l , l l

=

-

=

N K22

N K26

N . K34

N Kl0,12

(4.45d)

A matriz de rigidez não-linear referida ao siste­

ma global e determinada através da seguinte equação:

(4.46)

4.5 - TRANSFORMAÇAO DO SISTEMA DE REFERÊNCIA LOCAL FIXO PARA O SISTEMA LOCAL MDVEL

. A determinação da posição do sistema de referencia

mõvel e feita através de ângulos de Euler'.

O sistema de eixos X. , correspondente a config~ 1 .

raçao indeformada, transforma-se no sistema de eixos yi , cor­

respondente a configuração deformada, através de tres rotações

sucessivas (Fig. 4.4).

87

( a )

~ X2

\ (; X2

1 1 1 1 \ 1

( b)

,. X2

Y2 \ \ \ 1

\ \ \ \

\

/ v, /

.. 'õ /

/

x3 / /

Y3 / /

( e J

Figura 4.4

origem aos

88

Primeiro, uma rotação

eixos xª l e xª 3

xª l -X2 = Rª

a X3

cos (l

o

- sena

Em seguida, os eixos

o

l

o

a em torno do eixo

x,

x2

X3

sena

o

cos (l

a x 1 e sofrem

de B em torno do eixo x~ , transformando-se em y 1 e

Y1 xª l xs

2 = RS x2

xª a 3 X3

r cos B se n B o RB = l -sen B cos B o

o o l

Finalmente, apos uma rotação y em torno

xB 2 e X a

3 transformam-se em Y2 e Y3

Y1 Y1

Y2 = Ry xs 2

Y3 a

X3

x2 dã

(4.47a)

(4.47b}

um g i ro

(4.48a)

(4.48b}

de y l '

(4.49a}

l

o

o

89

o

CDS y

- sen y

o

sen y

CDS y

(4.49b)

As matrizes Rª e RS determinadas a seguir,r!

presentam a rotação causada pelas translações relativas dos nõs

(Fig. 4.5) 25•

onde:

N-r N- N-ui = ui+6 - ui

(i = 1, 2 , 3)

1

IJ 1 = [(ºL + Nuf) 2 + tu~) 2]2

ºL + N-r ul

cos a =

IJl

N-r

sen a U3

=

IJl

s IJl

cos = NL

N-r

s u2

sen = NL

(4.50)

(4.51a)

(4.51b)

90

N ,,;

.U.1

I J K1

N .. .JJ.. 3

_j,_ J1 ...

X1

( a l

Y1

J2

~ \.. 1 N_.o. JJ-2

o<-

I J1 x,

( b )

Rgura 4. 5

91

N-r ui - componentes do vetor de deslocamentos relativos refe

.rido ao sistema local fixo

Nüi - componentes do vetor de deslocamentos nodais totais

referido ao sistema local fixo

ºL - comprimento inicial do elemento

NL - comprimento do elemento na configuração da etapa N

A matriz RY representa a rotação causada pela

torção. O ãngul o de rotação y ê calculado de forma i ncremen­

ta l .

N N-1 y = y = y + õy (_4.52)

O incremento õy ê considerado como sendo igual

a metade da soma das rotações nodais incrementais em torno doei

xo y 1 , referidas ao sistema mõvel 25•

l k k õY = 7 (u 4 + UlO) (4.53a)

sendo:

k d -k d -k d -k u l l = R 11 U4 + Rl2 U5 + Rl3 u6

(4.53b) k d -k d k d -k

ulO = Rll UlO+ Rl2 u 11 + Rl3 ul2

onde:

92

-k u. - componentes do v_etor de deslocamentos nodais incrementais 1

referido ao sistema local fixo.

R~. componentes da matriz Rd = RB Rª 1 J

· Substituindo-se sucessivamente as equaçoes (4.48a)

e (4.47a) em (4.49a) tem-se:

(4.54a)

onde:

(4.54b)

(3 X 3)

A matriz R que transforma os vetores de desloci

mentos nodais, o vetor de forças internas e as matrizes de rigi­

dez ê montada a partir da matriz Rx

Rx o o o - - - -o Rx o o

R - - - -= 112x121 o o Rx o -

o o o Rx - - -

onde:

O - matriz nula de dimensão 3 x 3

93

V - MODELO 2 - ELEMENTO DE EIXO CURVO E SEÇAO TRANSVERSAL E NOME RODE NÕS VARIAVEIS

A formulação apresentada a seguir foi desenvolvi­

da para um elemento de seção transversal retangular. O elemento

de seçao circular pode ser desenvolvido sem dificuldades, segui~

do-se as indicações feitas no ultimo item deste capitulo.

Este elemento possui seis graus de liberdade em

cada no, três translações e três rotações. Conforme o numero de

nõs seja dois, três ou quatro, os graus de liberdade do elemento

serão doze, dezoito ou vinte e quatro. Sua formulação e feita a

partir do elemento isoparametrico tridimensional, que e degener~

do em duas dimensões. Esta degeneração se baseia nas seguintes

hi põteses 59:

- As seções normais as duas superfícies medias do elemento (na largura e na altura) permanecem planas durante a deformação.

- A energia de deformação correspondente as tensões perpendicul~ resas duas superfícies medias e desprezada.

São utilizados vãrios sistemas de referência. O

global e cartesiano e fixo. Os locais são: um curvo,.definido p~

ra o elemento todo,e um cartesiano mõvel em cada nõ.

No sistema local curvo a direção 1 coincide com o

eixo do elemento. As direções 2 e 3 são perpendiculares a dire­

ção 1 e correspondem as direções pri nci pais de inercia ,da seçao

transversal (_Fig. 5.la).

Em cada ponto nodal a posição dos eixos do siste­

ma local cartesiano e determinada atraves dos seus cossenos dire

tores. Os cossenos diretores, que na etapa O sao forneci dos

º"' _3

Yz

PC

d/2

( a l

Yz

e b 1

. .,. _2

Fi9ura li. 1

94

b/z

9.5

pelos dados do problema, sao atualizados ao longo do processo in

cremental e servem para determinar a configuração d~formada do

elemento. As direções dos sistemas locais, na etapa O, são coin

cidentes nos pontos nodais (Fig. 5.lb).

As translações e as rotações são interpoladas in­

dependentemente por funções de mesmo grau, que interpolam também

a geometria. Estas funções estão definidas em relação a coorde­

nada "r" do sistema de referência local curvo, que varia ao lon

godo eixo do elemento.

A interpolação das rotações de maneira independe~

te, faz com que as seções inicialmente normais as superfícies m~

dias, não mantenham necessariamente esta perpendi cul a ri da d.e du­

rante a deformação, apesar de continuarem planas. Isto permite

que a deformação causada pelo esforço cortante seja considerada.

5. 1 - CAMPO DE DESLOCAMENTOS

A posição e os des 1 ocamentos dos pontos si tua dos

no eixo do elemento são determinados por equaçoes ànãlogas as

utilizadas pelo elemento isoparamêtrico uriidimensional (Figura

5. 2) .

N n Nx~ X· = E hk l k=l l

( 5. l )

n t, u ~ 6U i = E hk

k=l l (5.2)

sendo:

CD ,. '-1

CD

"' -1

CD ,., - 1

@

.11,,-.L 3

3

@

"'º

Flaura 5. 2

96

1\., !... 3

2

@ ,., 1

® ;1,, 1

® ,.., 1

97

Nx. coordenadas cartesianas dos pontos situados no eixo do 1

elemento, na etapa N , referidas ao sistema global

nui - componentes do vetor de deslocamentos incrementai:s dos po~ tos situados no eixo do elemento, referidas ao sistema glQ bal

hk - função de interpolação correspondente ao no k

Nx~ - coordenadas cartesianas do ponto nodal k , na etapa N , 1

referidas ao sistema global

nu~ - componentes (trans 1 ações) do vetor de des 1 ocamentos nodais 1

incrementais, referidas ao sistema global

n - numero de nõs do elemento (n = 2, 3 ou 4)

As funções de interpolação do elemento são polin~

mias do primeiro, segundo ou terceiro grau em r 55 , conforme o

numero de nõs seja igual a dois, três ou quatro.

Se n = 2

h1 = } ( 1 - r)

(5.3a)

h2 = -} (1 + r)

Se n = 3

h1 =} (- r + r 2)

(r + r 2) (5.3b)

98

Se n = 4

hl l (- l + r + 9 r2 9 r') = Tõ -

h2 l (- l r + 9 r2 + 9 r') = Tõ -

(5.3c)

h3 l (9 27 = Tõ - r - 9 r2 + 27 r,)

h4 l = To (9 + 27 r - 9 r2 - 27 r,)

A posição e as translações de um ponto qualquer

do elemento sao determinadas pelas seguintes equações 34•35

:

N n N k n N k t n N k X· = l: hk 1

X· ·1 + s

2 l: bk hk V2i + "Z l: dk hk v3i

.6.U. = 1

sendo:

n l:

k=l

k=l

( i

n l:

k=l

k=l

= l '

k=l (5.4)

2 ' 3)

V 11 + w'] ( 5. 5)

bk - altura da seçao transversal correspondente ao no k {Fig. 5.la)

dk - largura da seção transversal correspondente ao no k (Fig. 5.la)

Nv - componentes cartesianas do vetor N k l i Y1

N k componentes cartesianas do vetor N k V2i- ~2

N k componentes cartesianas do vetor N k v3i- Y3

99

N~~ vetor dos cossenos diretores do eixo 1, do sistema de referência cartesiano do nõ k , na etapa N

Nv~ vetor dos cossenos diretores do eixo 2, do sistema de referência cartesiano do nõ k na etapa N

Nv~ - vetor dos cossenos diretores do eixo 3, do sistema de referência cartesiano do nõ k na etapa N

Os deslocamentos u' , u 11 , v 11 e w' sao calcu-

lados em função das rotações em cada seção nodal do elemento (F__!_

gura 5.lb), utilizando-se a hipõtese das seções plana;s (Figuras

5.3 e 5.4).

u' l tg k = - -z b k s y

(5.6a)

u li l tg il = -z dk t

V li 1 t tg k = -z dk a

(5.6b)

w' 1 bk tg k

-z s a

As rotações incrementais sao pequenas o suficien­

te para que se possa fazer tg e; e nas equações (5.6).

u' 1 bk

k = -z s y

u li 1 dk t sk = 7

e 5. 7 i V li 1

dk t k = 7 a

w 1 =

100

fJ

"

-"'"

•

Fl;ura !1.3

1

•

' _...,

1 O 1

•

' IA)

...

...

Figura 5.4

sendo:

102

Substituindo (5.7) em (5.5) tem-se:

n k n Nf~ k LILI • = z hk li ui + z hk li ªm l k=l k=l ,m e 5. a l

( i = l ' 2, 3)

llui - componentes do vetor de deslocamentos incrementais no elemento, referidas ao sistema global

llu~ - componentes (translações) do vetor de des l ocamen-1

tos incrementais, referidas ao sistema global

li k componentes (rotações) do vetor ªm -dais incrementais, referidas (li k k k k

Cl l = Cl ; li ª2 = s ; li

Nf~ - componentes da matriz NFk ,m

k ª3 =

de des l acame n tos no ao distema local . k y )

A matriz NFk transforma as rotações no sistema

de referência local em translações no sistema de referência glo-

ba l. Além disso seleciona os coeficientes que ·vâo exercer in-

fluência sobre cada direçâo, como se fosse uma matriz de pos i çâo.

N k N k V 11 V21

NFk = Vl2 [o l t dk . - l

bk] + [- l tdk;O;o] ;7 ' 7 s v22 7 +

vl3 V 2 :!

N k V3l

+ V32 [l 7 s bk o o] {5.9a)

V33

1 03

Nfk 1 t dk

N k + 1 s bk

N k = 2 v21 7 V31 11

Nfk 1 t dk

N k = 7 V 11 1 2

Nfk 1 s bk N k = 7 V 11 1 3

Nfk 1 t dk

N k 1 s bk

N k (5.9b) = - 2 V22 + -z V32 21

Nfk 1 t dk

N k = 7 v,2 22

Nfk 1 s bk

N k = 2 vl2 23

Nfk 1 t dk

N k + .l s bk N k = 2 V23 V33 31 2

Nfk 1 t dk

N k = -z V 1 3 32

Nfk 1 s bk

N k = 7 V 1 3 33

Explicitando-se os somat6rios da equaçao (5.8),

tem-se:

IIU = H li Uk (5. l O)

onde:

104

H = [~' ..• ~nJ (5.11)

3x6n

As matrizes Hk (.k = 1, ... , n) possuem todas a

mesma forma.

hk o o hk k

f 11 Hk o hk o hk

k = f21

o o hk hk k

f31

ou (5.12)

h l a+l o o h l

a+4 h~+S h l a+6

Hk = o h~+2 o h!+4 h!+s h 2 a+6

o o h~+3 h~+4 h 3

a+S h!+6

sendo:

o p/ k = 1

6 p/ k = 2 a =

1 2 p/ k = 3

[ 1 8 p/ k = 4

As derivadas dos deslocamentos em relação as coo~

denadas do sistema local estão relacionadas com os deslocamentos

incrementais através da seguinte equação:

6 u = H.D 6 Uk -,y (5.13)

onde:

105

ÍIUT [81'1 u l 81'1 u l 81'1 u l 81'1 u2 81'1 u 2 31'1 u 2 81'1 u3 86 u3 81'1 u3] = 8y 3 8Y1 8y 3 ,y 8Y1 8Y2 8Y3 8Y1 ;iy 2 8y2

(5. 14a)

HD = [H D 1 ... H Dn J (5.14b) 9x6 n

As matrizes HDk sao obtidas derivando-se as ma-

trizes Hk -

h k, l o o h k , l f 11 h k , l f12 h k, l fl3

o o o hk fll ,2 hk f12,2 hk fl3,2

o o o hk/11,3 hk/12,3 hk fl3,3

o h k, l o h k , l f21 h k , l f22 h k 'l f23

HDk = o o o hk f21 ,2 hk f 22, 2 hk f23,2

o o o hk f 21 , 3 hk f22,3 hk f23,3

o o h k, l h k , l f 31 h k, l f32 h k, l f33

o o o hk f 31 , 2 hk f32,2 hk f33,2

o o o hk f 31 3 hk f32 3 hk f33,3 , ,

HD 1

a+l = h k, l

HD 4

a+2 = h k , l

HD~+ 3 = h k , l

HD 1 l t dk

N k l s bk

N k = (- 2 v21 + 2 V 31 ) h k 'l a+u

HD!+ 4 l N k h = °Z bk V31 k

HD~+ 4 l N k

hk (5.15a) = - "Z dk V21

HD;+ 4 l t N N k + l s bk

N k (- 2 dk dk V22 2 V32) h k, l

HD!+ 4 l N k = 2 bk V32 hk

HD:+ 4 l N k = - 2 dk v22 hk

HD~+ 4 l

dk N k l N k

h k 'l = (- 7 t V23 + 7 S bk v33 )

HD!+ 4 l N k

hk = 2 bk V33

106

H0 9 l dk

N k hk = "Z V23 a+4

H0 1 l t dk N k

h k 'l = 2 V 11 a+5

H0 2 a+5 = o

H0 3 l dk

N k hk = "Z vll a+5

H0 4 l t dk N k

h k 'l = 7 vl2 a+5

H0 5 a+5 = o (5.15b}

HO:+s l

dk N k

hk = 2 vl2

H0 7 l t dk N k

h k 'l = "Z vl3 a+5 H0 8

a+5 = o

H 09 l dk

N k hk = 2 vl3 a+5

H0 1 l bk

N k hk,l = 7 s V 11 a+6

1:10~+6 l

bk N k

= 2 V 11 h k

1:10:+6 = o

1:10:+6 l N k

h k 'l = 7 s bk .vl2

H0 5 l bk

N k hk (5.15c) = 2 V l 2 ·· a+6

1:10:+6 = o

1:10;+6 = l

"Z s bk N k

vl3 h k 'l

1:10:+6 l

bk N k

hk = 2 vl3

H0 9 · a+6 = o

l O 7

5.2 - CAMPO DE TENSÕES E EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

A degeneração do elemento isoparamitrico tridime~

sional transforma-o num elemento de viga. E razoãvel, portanto,

supor que ao nível do sistema de referencia local existam apenas

as tensões que agem sobre a seção transversal, uma normal e duas

cisalh.antes 34• Esta hipõtese satisfaz, simultaneamente, a teo­

ria ticnica das vigas e a necessidade de se desprezar a energia

de deformação correspondente as tensões perpendiculares ãs duas

superfícies midias.

A determinação das componentes do segundo tensor

de tensão de Piola-Kirchhoff i feita de maneira incremental.

sendo

e• = 9x9

L\S' = C' L\e'

f 11 o

o -

E

o

o

o

f22 ~22

o

o

o

o -

f22 ~22

o

o

o

(5.16)

(5.17)

onde:

E -G -

\) -

módulo

módulo

(G = 2

Czz =

3x3

G

o

o

108

o

o

o

de elasticidade

de elasticidade

E \) ) ) (1 +

coeficiente de Poisson

o

o

G

transversal

Como as equaçôes (_5.16) e (_5.17) estaô definidas

em relação ao sistema de referencia local curvo e necessãrio trans

formã-las para o sistema global. Os tensores líS e lie são ten

sores de segunda ordem e se comportam como tal em relação a mu­

danças de referencial.

líS'.. = R.k 1iSk 0 R., l J l . .X, J X,

(5.18a)·

ou

liS' = RT liS {5.18b)

(5.19a)

ou

lie' = RT lie M

(5.19b)

RT = 9x9

~11

~21

~21

109

~12 ~12

~22 ~23

onde:

~22 =

3x3

~23 =

3x3

11 O

R .. - componentes da matriz que transforma as coordenadas l J

do sistema de referência global em coordenadas do sistema de referência local curvo (:)'. = ~ ::<)

Substituindo-se as equaçoes (5.18b) e (5.19b) em

(5.17) tem-se:

t.S = e fie cs.2oa)

e = RT T e' RT (_5.20.bl

f 11 f12

_ç -9x9 f22

l l l

f 11 = RT - 11 f i l 811 + (_ 2 T C' (2 821 ) 821 t -22

f12 T

f i l (2 T ) ç22 (_1~-2 2 13.23) = 811 B12 + B21 +

f22 T

f i l 812 T T

f22 (833 822l = 812 + (822 + 823) +

Utilizando-se a simetria de 4S , 4! e C rees­

crevem-se as equaç6es (5.17) e (_5.20a).

4S' = C" 4e' -V - V

(5.21)

E o o o o o

o o o o o o ·ç11 = o o o o o o

6x6 o o o G o o

o o o o o o

o o o o o G

6S = e 4e v -v (5.22)

R31 R31

TR = 6x6 2 R21 Rll

2 R21 R31

2 Rll R31

11 2

_ç = TRT C" TR 6x6

R32 R32 R33 R33 R31 R32

Rl l R22 2 Rl 2 R22 2 R13 R23 +

R21 R12

2 R22 R32 2 R23 R33 R21 R32

+ R22 R31

2 Rl 2 R32 2 R13 R33 Rl l R32

+ R3l Rl2

(5.23)

R32 R33 R31 R33

Rl 2 R23 +

Rll R23 +

R22 Rl 3 R21 R13

R22 R33 +

R21 R33 +

R32 R23 R31 R23

Rl2 R33 +

Rl 1 R33 +

R32 Rl 3 R3l Rl 3

A matriz R ê constituída pelos cossenos direto­

res dos eixos yi . Como o elemento ê curvo R varia de ponto

para ponto do elemento.

Os cossenos diretores de cada um dos eixos Y· l em um ponto qualquer do elemento, são determinados atravês do

produto vetorial de dois vetores tangentes a superfície cuja di­

reção normal coincide-com este,eixo 59 . Esta superfície ê obtida to

mando-se as coordenadas xi que descrevem um volume e fazendo­

se s ou t constantes.

para s = cte

~2 =

~2 =

li

para t = cte

~3 =

~3 =

11 3

a xl at

a x2 at

a x3 at

~2

~2

a xl ar

a x2 ar

a X3 ar

~3

~3

=

a xl ar

a x2 X ar (5.24a)

a X3 ar

,Q,2

m2 (5.24b)

n2

a xl as

a x2 X as (5.25a)

a X3 as

(5.25b)

onde:

11 4

v. - cossenos diretores do eixo y1 .•

-1

a xl n Cºx~ + s

bk k l: h k , l

o = 2 yl2 + r k=l

a n

dk t2

x2 o k bk k dk o ar = l: hk,l(x2+s 2 y22 + t 2 k = l

o x3 n (ºxt + s

bk o k dk ar = l: h k, l 2 y32 + t 2 k=l

a xl n bk k l: hk

o = 2 Vl2 as k = l

a x2 n bk o k as = l: hk 2 vl2

k = l

a X3 n bk o k as = l: hk 2 y22

k = l

(5.26)

o k yl3)

o k y23) ( 5 . 2 7 )

o k Y33)

(5.28)

a X]

ar =

a x2 ar =

11 5

n l:

k = l

n l:

k=l

n l:

k=l

dk hk 2

dk hk 2

Os cossenos diretores

o k vl3

o k V23

V • _,

(5.29)

sâo calculados para a

configuração indeformada do elemento, correspondente a etapa O.

Nos pontos nodais os v. são iguais aos 0 v~ . -1 -1

(2. lla)):

seguinte:

onde:

As componentes

1 ati ui = "2" ( ax. +

J

tie .. l J

sao dadas por (ver equaçao

(5.30)

A equaçao (5.30) em forma matricial tem o aspecto

= M ti U -,X

(5.31)

T [tie 11 tie 22 tie 33 2 tie 12 2 tie 23 2 tie13] ti~v =

tiU T [ªti u l ati u1 ati u 1 ati u2 ati u2 ati u2 ati u 3 ati u 3 3ti u3 J = ,X ax 1 ax 2 ax 3 ax 1 ax 2 ax 3 ax 1 ax 2 ax 3

~D =

onde:

11 6

M =~o+ ~D (5.32)

o o o o o o o o

o o o o 1 o o o o

o o o o o o o o l M = -o o o o o o o o

o o o o o ó 1 o

o o o o o l o o

d 11 o o d21 o o d31 o o

o d12 o o d22 o o d32 o

o o d13 o o d23 o o d33

d12 d 11 o d22 d21 o d32 d31 o

o d13 dl2 o d23 d22 o d33 d32

d13 o d 11 d2 3 o d21 d33 o d31

dij - derivadas dos deslocamentos totais em relação asco­ordenadas do sistema global

d N u.

d .. l =

l J d o x.

J

As derivadas em relação as coordenadas do sistema

de referência global são transformadas em derivadas em relação

as coordenadas do sistema de referência local atravês da matriz

jacobiana J

11 7

= J (5.33)

onde:

J =

Os coeficientes da matriz jacobiana sao determina

dos atrav~s das equações (5.27), (5.28) e (5.29).

Invertendo-se a equação (5.33) obtem-se:

= J* ( 5. 34)

onde:

(5.35)

11 8

As translações do elemento na etapa N sao deter

minadas utilizando-se as suas coordenadas nas etapas O e N .

,N X. l

o xi

s u 1 ta :

n = ,:

k=l

n = ,:

k=l

n = ,:

h = 1

Nu. = l

N k n hk x. + ,: hk l k=l

o k n hk ,: hk x. +

l k=l

Substituindo-se

n ,:

k= 1

N x. l

s

s

as

o - Xi

bk N k n

2 Vi2 + ,: hk k=l

bk o k n ,: hk 2 vi2 +

k=l

equaçoes (5.37)

n ,:

k = 1

(5.36)

dk t2

N k Vi3

(5.37)

dk o k t 2 vi3

em (5.36), re-

(5.38)

Derivando a equaçao (5.38) em relação as coordena

das do sistema de referência global ,tem-se:

a N n Nk u. l ,: JJ, h k , 1 = u . +

a o k=l l x. J

n N k o k bk + ,: ( s J j 1 h k , 1 + h k JJ2l ( vi2 - Vi 2) 2 +

k= 1

n N k o k ) dk + ,: ( t JJ 1 h k, 1 + hk JJ3) ( Vi 3 - V;3 2 (5.39a)

k=l

a N u . l = dij a o x. J

(5.39b)

11 9

Utilizando-se a equaçio (5.34) obtem-se a relaçio

entre os vetores Í', u -,x (equaçio (5. 31)) e Í', u -,y (eq. (5.13)).

onde:

/', U = AJ /', u -,X -,y

J* o o

AJ = o J* o

o o J*

A relaçio entre /',e -V

e os

(5.40)

deslocamentos nodais

incrementais i estabelecida s~bstituindo-se sucessivamente as

equaçoes(5.40) e (5.13) em (5.31).

(5.41)

sendo:

~L = M AJ HD (5.42)

Substituindo (5.41) em (5.22) tem-se:

(5.43)

l 20

5.3 - MATRIZ DE RIGIDEZ LINEAR E VETOR DE FORÇAS INTERNAS

A matriz de rigidez e o vetor. d.e forças internas

sao determinados seguindo-se o procedimento comumente utilizado

em elementos isoparamitricos 55'59

•

Como as funções de interpolação estio definidas

em relação as coordenadas do sistema de referência local curvo,

o domfnio de integração das equações (3.26) deve ser modificado.

Esta modificação i feita utilizando-se a equaçao (2.17a).

sendo:

1 l l

= f f I G(r, s, t) J dr ds dt -1 - l - l (5.44)

J - determinante da matriz jacobiana J definida na equ! çao (5.33)

O determinante J i mantido constante durante to

do o processo incremental, pois nesta formulação estã sendo uti­

lizada uma descrição lagrangeana (ver item 2. l).

Aplicando-se a equaçao {5.44) as equações (3.26a)

e (_3.26c),obtem-se:

l 1

~L = I I I BT e ~L J dr ds dt -L -1 -1 -1

(5.45)

E: = J1 J1 r BT NS J dr ds dt -L -V (5.46) -1 -1 -1

l 21

5.4 - MATRIZ DE RIGIDEZ NAO-LINEAR

A matriz de rigidez não-linear resulta da discre­

tização da parcela

r N ó!:, dV s .. n .. ) l J l J V

da equaçao (3.19).

I N ó!:, dV (ót, ~k)T cf T

~M ~NL dV) t, uk s .. n .. = ~NL l J l J

V V ( 5 • 4 7 )

(5.48)

Aplicando-se a equaçao (5.44) a equaçao (5.48) ob

tem-se:

l l

~NL = I I I T ~NL ~M ~NL J dr ds dt ( 5. 49)

-1 -1 -1

Explicitando-se o somatõrio do lado esquerdo da

equaçao (5.48) chega-se a:

I N s .. ot,n .. dV l J l J

V

As componentes

(2.llb}).

t, n .. l J

(5.50)

sao dadas por (ver equaçao

ou

onde:

ou

sendo:

l 2 2

l ati uk ati uk ti nij = 2 d d x. xj l

( i = l , 2 , 3)

( j = l , 2 , 3)

1 T 1 T =.,,.tiu.tiu .=.,,.tiu .tiu. e.. ,1 ,J {_ ,J ,,

T ti u . , l

ti u T. -,J

ti

ti

ti

ti

= [ªti u l d X.

l

u . - , l

= Mi

u . - , l

= ti

u . = Mj -,J

uT. -,J ti

ati u2 d X.

l

ati u2 d X.

J

ti ~,X

UT -,X

( ~ i ) T

ti ~,X

T L~j) T ~,X

(5.51a)

(5.51b)

(5.52a)

(5.52b)

(5.53a)

(5.53b)

(5.54a)

(5.54b)

onde:

l 23

M2 = [ O

M3 = [ Q

UT - , l

o

o

T t, ~, 2

!3

- matriz identidade 3 x 3

O - matriz nula 3 x 3

o J

o J

!3 J

t, u T J - , 3

t, ~.x = MP t, ~.x

l o o o o o o o

o o o l o o o o

o o o o o o l o

o l o o o o o o

MP = o o o o l o o o

o o o o o o o l

o o o o o o o

o o o o o l o o

o o o o o o o o

( 5 . 5 5 )

(5.56)

(5.57)

o

o

o

o

o

o

o

o

l

Tomando-se a primeira variaçâo das equações (5.51b),

(5.53b) e (5.54b),obtem-se

(5.58)

124

ól!. T u .

- , l = ól!. UT

-,X (~ i ) T (5.59a)

ól!. T

ól!. UT (~j)T u . = -,J -,X (5.59b)

Substituindo (5.53a), (5.54a), (5.59a) e (5.59b)

em (5.58), resulta em:

(5.60)

Através das equaçoes (5.13), (5.40) e (5.57} ob-

tem-se a relação entre o vetor

incrementais

l!. u -,X

e os deslocamentos nodais

l!. u = MP AJ HD !!. uk -,X

(5.61a)

ou

(5.61b}

A primeira variação da equaçao (5.61b} é dada por:

(5.62)

Substituindo-se as equaçoes (5.61a) e (5.62) em

(5.60).

(5.63)

125

Variando-se os índices i e j na eq. (5.63) e

substituindo-se em (5.50) fica:

I N s .. ótin .. dV= lJ lJ

V

se que:

~M = S 11 (~ 1) T

+ 533 (~,) T

+ 523 [tt1 2) T

+ 513 [tr1 i) T

+ S22 (~')T ~• + S33 (~')T ~' +

+ S12 [t~')T M' + (~')T ~'] +

+ S23 [t~')T M' + (~')T ~•J +

+ S13 [t~') T M' + (~') T ~']]

MP AJ HD dVJ 6. ~k (5.64)

Comparando-se as equaçoes (5.48) e (5.64) conclui

~NL = MP AJ HD ( 5 . 6 5 )

M' + 522 (~')T ~• +

M' + 512 [ (~ 1) T M' + ( ~2 ) T ~JJ + - -

11 ' + (!1') t1•] +

!1' + (!1') T t1'] (5.66a)

126

s = -M (5.66b) 9x9

5.5 - COSSENOS DIRETORES DOS EIXOS DOS SISTEMAS DE REFERÊNCIA LO

CAIS

Os cossenos diretores dos eixos do sistema de re­

fer~ncia cartesiano de cada no sao calculados utili.zando•se as

coordenadas dos pontos PC, PS e PT (Figura 5.la).

N

Nyk -2 =

N k ~2 =

N k Y3 =

N k Y1 =

k xl

x2

PS

(5.67)

Nyk

li Nyk -3 -3

Nvk N k (5.68) X Y3 -2

N k xl

x2 = bk N k 2 Y2 (5.69a)

PC

l 27

N k N k xl xl

Nvk dk N k (5.69b) = X2 Xz = 2 V -3 3

X3 PT

X3 PC

Como as coordenadas dos pontos PC, PS e PT ,

que na etapa O fazem parte dos dados

te o processo incremental, os vetores

atualizados constantemente.

do problema,

Nvk e Nvk -2 -3

variam duran

devem ser

Utilizando a hipótese das seçoes planas e supondo

que as tangentes dos ângulos incrementais de rotação são iguais

aos próprios ângulos, tem-se:

N+lvk Nvk + bk N k k bk N k (e/) = 2 ~l (- y ) +7 ~3 -2 -2 (5.70a)

N+lvk NVk + dk N k ( Bk ) dk N k (e/) = 2 '.:'.1 +7 '.:'.z -3 -3

(5.70b)

Substituindo-se as equaçoes (5.69a) e (5.69b) em

(5. 70}, respectivamente, e arranjando os fermos obtem-se

N+lk bk[Nk V2 = v 2 -1

N k N k] ~2 ~3

- yk

k a

(5.71a)

se:

128

N+lvk dk [ N k N k N k] = 2 .':' l '!.2 '!.3 3

Calculando as normas de

N+lvk 2

sk

k (5.71b) - a

l

e tem-

(5. 72a)

(5.72b)

As equaçoes que determinam os valores atualizados

dos vetores y~ e y~ sao obtidas substituindo-se as equaçoes

(5.71a), (5.72a), (5.71b) e (5.72b) nas equações (5.67).

N+ l k ~2 =

N+ l k .':13

l

íN k +1J2L~1

N k N kl '!.2 '!.3

k - y

l

k a

l

(5.73a)

(5.73b)

J

l 29

O produto vetorial da equaçao (5.68) continuava­

lido para o vetor vk atualizado -1

N+ l k _I' l =

Na etapa o

N+l k N+l k _1'2 X V 3

a direção do vetor N k _I' l

e 5. 74,

coincide exa

tamente com a direção do eixo do elemento. Nas outras etapas e~

ta coincidência nem sempre ocorre. Isto acontece, porque as se­

ções normais ao eixo permanecem planas durante a deformação, mas

não necessariamente perpendiculares ao eixo.

5.6 - MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO E VETOR DE FORÇAS INTERNAS COM TODOS OS COEFICIENTES CORRESPONDENDO A GRAUS DE LIBER­DADE REFERIDOS AO SISTEMA GLOBAL

Nas matrizes de rigidez e no vetor de forças i~

ternas (equações (5.45), (5.49) e (_5.46)), os coeficientes cor­

respondentes as rotações nodais estão calculados para rotações

referidas aos sistemas de referência locais.

Quando em um n6 comum a dois ou mais elementos,

existe descontinuidade na curvatura (Figura 5.5), torna-se nece~

sãrio passar o referencial desses coeficientes para o siltema

global.

Esta transformação e .feita at,ravês da seguinte

equaçao:

~G = TT K T (5.75)

~G = TT F (5.76)

onde:

130

~G - matriz de rigidez do elemento com todos os coeficien­tes correspondendo a graus de 1 i berdade referi dos ao sistema global.

K - matriz de rigidez do elemento resultante da soma de

~L (equação (5.45)) e ~NL (equação (5.49)).

~G - vetor de forças internas do elemento com todos os coe ficientes correspondendo a graus de liberdade referi­dos ao sistema global.

F - vetor de forças internas dado pela equaçao (5.46).

Figura ll.5

1 31

A matriz T quando considerada subdividida em

matrizes 6 x 6 e uma matriz diagonal'º com n linhas e n co

lunas (n = numero de nõs do elemento).

o ... o

o o T = (5.77)

o o

A matriz !k (k = 1, ... , n) , correspondente ao

no k , pode, por sua vez, ser subdividida em matrizes 3 x 3

sendo:

i3 Tk =

º3

f3

- matriz identidade 3 x 3

Q3 - matriz nula 3 x 3

º3

(5.78)

gk

gk - matriz de rotação formada pelos cossenos diretores do sistema de referência mõvel do nõ k (eqs. (5.67) e (5.68))

(Ny~)T

gk = (Ny~)T ( 5. 79)

(Ny;) T

132

5. 7 - ESQUEMA DE INTEGRAÇAO PARA O CIILCULO DAS MATRIZES DE RIGI­DEZ E DO VETOR DE FORÇAS

As integrais das equaçoes 5.45, 5.46 e 5.49 sao

calculadas numericamente 55 • Utilizam-se pontos de integração de

Gauss nas direções r, s e t de acordo com o esquema da Tabe­

la 5. l, sendo o numero maior de pontos colocado ao longo da dire

çao r .

NQ DE NOS TIPO DE NQ DE PONTOS NQ MIIXIMO DO ELEMENTO PROBLEMA DE INTEGRAÇJIO DE PONTOS DE

USUAL INTEGRAÇAO

4 Tridimensional 3 X 2 X 2 · 4 X 2 X 2

4 Plano j X l. X 1 ou '1- X t. X 1 ou 3 X l X 2 4 X l X 2

3 Tridimensional 3 X 2 X 2 4 X 2 X 2

3 Plano ,j X l. X 1 ou '1- X 2 X l ou 3 X l X 2 4 X l X 2

2 Tridimensional 2 X 2 X 2 3 X 2 X 2

2 Plano l. X 2 X l ou ,j X 2 X l ou 2 X l X 2 3 X l X 2

TABELA 5. l

5.8 - INDICAÇÕES PARA A FORMULAÇAO DO ELEMENTO DE SEÇAO TRANSVER SAL CIRCULAR

A formulação do elemento de seçao circular e fei­

ta a partir das expressões jã desenvolvidas para o elemento de

seção retangular, devendo-se apenas realizar uma mudança de coor

denadas. Em vez das coordenadas retangulares s e t , utili­

zam-se coordenadas polares R e e (Figura 5.6).

s = R cose

t = R sen e (5.80)

l 3 3

s

b

d

Figura 5.6

134

-11<8<11

A coordenada r permanece a mesma.

Esta transformação afeta principalmente as expre~

soes em que aparecem derivadas (eqs. 5.13, 5.27, s~2s, 5.29 e ou

tras). A eq. 5.33, por exemplo, deve ser desdobrada em duas par­

celas, como a seguir:

a a ar ar a

~c a (5.81) aR = as

a a ae TI

a a ar ax 1 a

~r a ( 5. 82) as = ax 2

a a TI _ ax3

onde:

ar as at ar ar ar

~c ar as at aR 31< 31<

ar as at ae ae ae

135

ax 1 ax 2 ox 3 ar ar ar

~r

ax 1 ax 2 ox 3 = as as 35

d X l ax 2 ox 3 aí aT aT

Substitutindo-se (5.82) em (5.81) tem-se a expre!

sao equivalente a eq. 5.33.

d d ar ax 1

d ~e ~r

d (5.83) ãR = ax 2

a a ãe ax 3

As matrizes de rigidez e o vetor de forças sao de

terminados, como anteriormente; pelas equações (3.26). Porim, a

mudança de dominio de integração, que antes era realizada pela

eq. (5.44), agora i feita pela seguinte equação: b

rr 2 l r G{x 1 , x2 , x3 ) dV = J f f G{r, R, B) Jr Jc dr dR de (5.84) J V -rr d - l

2 Sendo:

Jr - determinante da matriz jacobiana ( 5. 82)

J -r definida na eq.

Jc - determinante da matriz jacobiana ~e definida na eq. (5.81)

136

VI - RESULTADOS NUMERICOS E COMPARAÇÕES

Para testar os dois modelos foram escolhidos três

problemas planos (itens 6.1, 6.2 e 6.3) e tfês tridimensionais

(itens 6.4, 6.5 e 6.6). Nos quatro primeiros, estruturas sim­

ples são submetidas a situações extremas de carregamento e defor

maçao. Nos dois ultimes, estruturas com geometria mais complexa

representam casos encontrados mais frequentemente na prãtica.

Sempre que possível as respostas dos dois modelos

foram compar~das com aquelas obtidas anteriormente por

pesquisadores.

outros

A anãlise da eficiência computacional foi feita

ao longo de todo o capitulo. No ultimo item, foram forn~idos os

tempos necessãrios para a geração da matriz de rigidez e do ve­

tor de forças de cada modelo. Nos outros itens, foram registra­

dos os tempos de processamento, e de entrada e saida, al.êm dos

gastos com memõria, para cada problema.

6.1 - VIGA ENGASTADA

A viga engastada com uma carga concentrada na ex­

tremidade (Figura 6.1} foi calculada, entre outros, por Bathe e

Bolourch.i 25 utilizando elementos finitos, por Oran e Kassimali~

atravês do mêtodo da viga-coluna, e por Bisshopp e Drucker 61 em

termos de integrais elipticas ...

Para a resolução deste problema utilizaram-se qu!

tro elementos do modelo l e um elemento do modelo 2. A carga to

tal foi aplicada em sessenta incrementes iguais.

No grãfico da Figura 6.1 traçou-se a curva da car

1 3 7

Y,~ p

j seção transversal

y 1

IA B x, .... l 2.5mm

L 50mm

L, 1000 mm I , 65. 1042 mm 4

E , 2 1 • 1 O 6 9.t / mm 2 P, -5468 .75 , ..

4.0

3.0

2.0

1.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 &11/L

Figura 6. l

ga

138

( P = k 5....!.) em função do deslocamento vertical da extremida­L2

de livre da viga (v 8 ) . Os pontos utilizados para a construção

do gráfico encontram-se na Tabela 6. l, que reune as soluções ob­

tidas pelo metodo analitico 61 e pelos modelos 1 e 2.

A tabela 6.2 contem os deslocamentos horizontais

da extremidade livre da viga (u 8 ) e os seus incrementos (li u8),

em estágios de carga regularmente espaçados.

O gráfico da Figura 6.2 e a Tabela 6.3 comparam

os valores do momento fletor na extremidade engastada da viga

(MA) , obtidos pelos modelos 1 e 2 e pela teoria linear.

Ma L E 1

2

- -~-~----------

2 4

F l I u r a 6.2

139

PL 2 - v8/L

INCREMENTO k = ti BISSHOPP E MODELO 2 DRUCKER MODELO l COM 4 NOS

5 0.333 - O. 11 O O. 109

lo 0.667 - 0.212 O. 211

1 5 1 . DOO 0.300 0.301 0.300

20 1 . 3 33 - 0.377 0.376

25 1 . 6 6 7 - 0.441 0.439

30 2.000 0.497 0.493 O. 491

35 2.333 - 0.536 0.535

40 2.667 - 0.572 0.571

45 3.000 0.600 0.603 0.602

50 3:333 - 0.628 0.628

55 3.667 - 0.650 0.651

60 4.000 0.670 0.669 0.671

TABELA 6.1

140

MODELO 1 E MODELO 2 COM 4 NOS PL 2

INCREMENTO k = Tr UB liu 8 - T - ""T

5 0.333 0.00869 -lo 0.667 0.03000 0.0213

l 5 1 . DOO 0.00598 0.0298

20 l . 33 3 0.0942 0.0344

25 l . 66 7 O. 130 0.0358

30 2.000 0.165 0.0350

35 2.333 O. 199 0.0340

40 2.667 0.231 0.0320

45 3.000 0.261 0.0300

50 3.333 0.288 0.0270

55 3.667 O. 31 4 0.0260

60 4.000 0.337 0.0230

TABELA 6.2

141

Na Figura 6.3 e na Tabela 6.4 encontram-se respe~

tivamente, o desenho do eixo da viga deformada e os deslocamen­

tos finais dos nõs 2, 3, 4 e 5.

As respostas fornecidas pelos dois modelos conco~

daram totalmente com a solução analítica e entre si. No entanto,

ocorreram diferenças significativas no que diz respeito ao desem

penha computacional. O modelo 1, mesmo utili.zando um nümero de

elementos quatro vêzes màior, foi mais eficiente que o modelo

2. Todos os índices contidos nas Tabelas 6.5 e 6.6 sao favorã­

veis ao modelo 1 e apresentam variações que vão de trinta a cin­

quenta por cento.

5 r 1

1

1

1

1

1 1 1

1 4. 1 1

1

1

1 1

1

1

1

1

3 l 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1 2 1 2

1 1

1 1 1

1

1

1

142

5

4

3

Fí11uro 6.3

143

MAL

PL 2 ti INCREMENTO k = TI

MODELO l e MODELO 2 SOLUÇAO LINEAR COM 4 NOS

lo 0.667 0.649 O. 66 7

20 1 . 3 3 3 1. 213 1 . 333

30 2.000 l . 6 79 2.000

40 2.667 2.066 2.667

50 3.333 2.395 3.333

60 4.000 2.682 4.000

TABELA 6.3

INCREMENTO 60

MODELO l E MODELO 2 COM 4 NÕS

NO X u V

(mm) (mm) (mm)

2 250 - 11. 032 - 72.747

3 500 - 77.047 - 240.082

4 750 - 192.486 - 447.825

5 1000 - 333.438 - 669.295

TABELA 6.4

TOLERANCIA = 0.0001

MODELO NQ TOTAL DE NQ TOTAL DE INTEGRAL DE TEMPO TOTAL DE ENTRADA TEMPO TOTAL DE INCREMENTOS ITERAÇOES MEMORIA E SAIDA PROCESSAMENTO

(seg) (se g)

l 60 277 7 827 87 597

2 com 4 nos 60 400 18 735 l 2 5 l .323

TABELA 6.5

MO DE LO NQ MEDIO DE ITERAÇÕES POR TEMPO MEDIO DE TEMPO MEDIO DE

INCREMENTO PROCESSAMENTO POR PROCESSAMENTO POR INCREMENTO (seg) ITERAÇão (seg)

l 4.6 9.95 2. l 5

2 com 4 nos 6.7 22.05 3.31

TABELA 6.6

145

6.2 - COLUNA DE EULER

No método analítico, a determinação do caminho

pós-critico de colunas esbeltas é feita a partir da equação dif~

rencial não-linear da coluna, utilizando-se integrais elípti­

cas'"º .

O método dos elementos finitos tambê.m fornece bons

resultados contanto que a coluna seja discretizada por um numero

adequado de elementos. Neste exemplo (Figura 6.4), utilizaram­

se vinte e quatro elementos do modelo l e quatro elementos do mo

delo 2.

Para evitar a passagem pelo ponto crítico

(P = PE = n 2 EI/L 2}, onde a matriz de rigidez torna-se singular,

a carga foi aplicada com uma pequena excentricidade (Figura 6.4).

Outra maneira de se contornar este problema seria nas proximida­

des da carga crítica, passar a incrementar deslocamentos em vez

de cargas 62•

Com o objetivo de se obter um melhor rendimento do

algoritmo incremental-iterativo, a grandeza dos incrementas de

carga foi fixada de acordo com a intensidade do comportamento nã~

linear da coluna, em cada fase do carregamento. Assim, a carga

foi aplicada em cinquenta incrementas, sendo nove iniciais de

1277.776 gr, trinta e seis interdiãrios de 152.776 gr e cinco fi

nais de 600.016 (Tabela 6.7).

No grâfico da Figura 6.5 traçou-se a curva da car

ga em função do deslocamento vertical do ponto central da coluna

(vc) . Os pontos utilizados para a construção do grãfico encon­

tram-se na Tabela 6.8, que reune as soluções obtidas pelo método

analítico e pelos modelos l e 2.

y

l 46

seção traMvarml

y

irA:.._ ______ c;-_____ ~B __ _,_P ___ ____,X l. 2,5mm

L 2 L/2

L, 1000 mm

E , 2 1 • J 06 9" /mm2

\: = 'l!i E l j!

p

Fltura 6.4

p

50 fflffl

4 I ii! • 6 5. 1042mm

P • - 20 000 , ..

E---TLQ = 1.25 mm

l 4 7

INCREMENTO FUNÇ/10-CARGA CARGA (gr) INCREMENTO DE CARGA ( g r)

X q (X) P=q . Ptotal t.P

o 0.000 o -9 0.5749992 11499.984 1277.776

45 0.8499981 16999.936 152.776

50 l. 0000000 20000.000 600.013

TABELA 6.7

Os deslocamentos horizontais da extremidade da co

luna (u 8 ) encontram-se representados numericamente na Tabela

6.9 e graficamente na Figura 6.6.

O grãfico da Figura 6.7 e a Tabela 6.10 apresen­

tam os valores do momento fletor no ponto central da coluna.

Na Figura 6.8 e nas tabelas 6.11 e 6.12 encontram

se, respectivamente, os desenhos do eixo da coluna deformada e os

seus deslocamentos, correspondentes aos estãgios de carga 44 e

5 O.

.L.. 1\:

1.8

1.6

1. 4

1.2

1.0 • • • o

0.6

_P_

Ft

1.3

1.8

0.6

0.4

0.2

148

•

0.1 0.2 0.3

FiQuro 6. 5

0.1 0.2 0.3

Figura 6.6

0.4

solução analitico

X modoloa I o 2

Q.5 0.6 "'•I L

---- MODELO ---- MODELO - 2

0.4

l 49

Vc -p T

INCREMENTO ~ DYM E MODELO 2

SHAMES MODELO l COM 4 NOS

6 0.57 - 0.00206 0.00200

10 0.86 - 0.00993 0.01000

14 O. 91 - 0.0156 0.0158

18 0.95 - 0.0314 0.0321

20 0.98 - 0.0552 0.0563

22 l. 00 0.080 O. l O 6 O. l 03

24 l. 02 - O. l 5 9 O. l 51

26 l. 04 - O. 199 O. 189

28 l. 07 - 0.229 0.220

30 l. 09 - 0.254 0.245

32 l. 11 - 0.274 0.266

36 l. 16 - 0.304 0.298

40 l. 20 0.320 0.327 0.323

44 l. 25 - 0.344 0.341

46 l. 30 - 0.358 0.358

48 l. 39 - 0.373 0.376

- l. 40 0.375 - -50 l. 48 - 0.377 0.387

- l . 60 0.402 - -- · l. 80 0.415 - -

TABELA 6.8

1 50

UB -p T

INCREMENTO ~ MODELO 1 MODELO 1 COM 4 NOS

6 0.57 0.00002 0.00002

1 O 0.86 0.00028 0.00029

14 0.91 0.00065 0.00067

18 0.95 0.00262 0.00274

20 0.48 0.00825 0.00851

22 l. 00 0.0315 0.0286

24 1. 02 0.0723 0.0618

26 l. 04 O. 11 5 0.0987

28 1 . O 7 O. 156 O. 136

30 l. 09 O. 194 O. 1 71

32 1. 11 0.231 0.206

36 1. 16 0.298 0.272

40 .

l. 20 0.360 0.333

. 44 l. 25 0.416 0.389

46 l. 30 0.479 0.451

48 l. 39 o .. 5 7 6 0.540

50 l. 48 O. 663 0.616

TABELA 6.9

Me L

1'1 2 E I

INCREMENTO

lo

20

30

40

50

0.20 t

0.10 t '

p

~

0.86

0.98

l. 09

l. 20

l. 48

l 51

MC L

TT 2 E] MODELO 2 MODELO l COM 4 Ni'.lS

0.00965 0.00973

0.05523 0.05625

0.28224 0.26818

0.40255 0.38984

0.57779 0.57575

TABELA 6. 10

IÍ /,

Í ---- MODELO - 1

-- MODELO -2

_P_

í

Fi;ura 6.7

l 5 2

INCREMENTO 44

MODELO l MODELO 2 COM 4 N!'.iS

No X u V u V

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm)

2 83.5 - 64.56 - 78. 6 7 - 60.44 - 79. l 3

3 166.8 - 122.02. - 155.44 - 114.16 - 155.91

4 250.l - 166.53 - 227.12 - 155.76 - 227.00

5 333.4 - 194.37 - 287.65 - 181.55 - 286.36

6 416.7 - 206. 14 - 328.97 - 192.53 - 326.68

7 500.0 - 207.85 - 343.74 - 194.35 - 341.35

8 583.3 - 209.57 - 328.97 - 196.16 - 326.68

9 666.3 - 221. 34 - 287.65 - 207.08 - 286.36

lo 749.9 - 2 49. 18 - 227.12 - 232.95 - 227.00

l l 833.2 - 293.69 - 155.44 - 274.55 - 155.91

l 2 916.5 - 351.14 - 78. 6 7 - 328.27 - 7 9. l 3

l 3 1000.0 - 415.71 - - 388.73 -

TABELA 6. 11

l 5 3

INCREMENTO 50

MODELO l MODELO 2 COM 4 NÕS

No X u V u V

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm)

2 83.5 - 108.41 - 75.43 - 92.21 - 81 . 5 3

3 166.8 - 196.14 - 155.02 - 175.71 - 163.38

4 2 50. l - 264.48 - 234.17 - 242.58 - 243.74

5 333.4 - 309.14 - 305.82 - 285.70 - 315.59

6 416. 7 - 328.78 - 357.79 - 304.82 - 367.41

7 soo.o - 331. 72 - 377.04 - 308.14 - 387.20

8 583.3 - 334.65 - 357.79 - 311.44 - 367.41

9 666.3 - 354.29 - 305.82 - 330.46 - 315.59

10 749.9 - 398.95 - 234.17 - 373.73 - 243.74

l l 833.2 - 467.29 - 155.02 - 440.62 - 163.38

l 2 916.5 - 555.02 - 75.43 - 524.14 - 81 . 53

l 3 1000.0 - 663.42 - - 616.38 -

TABELA 6. 12

13 T 1 1 1 1

12'

1 1 1

li~ 1

1

101 1 1 1 1

9 ' 1 1 1

12 8t--_____ · li

l 54

modelo 1

modelo 2

1 -----~ 1 10

1 -~

'1 -~ 1 . si 1 1

li 10 12~- ·---...

---...._ 2 3

Figuro 6-8

7

TOLERÂNCIA = 0.0001

NQ TOTAL DE NQ TOTAL DE INTEGRAL DE TEMPO TOTAL DE MODELO INCREMENTOS ITERAÇÕES MEMORIA ENTRADA E SATDA

(seg)

l 50 331 44 999 309

2 COM 4 NÕS 50 682 105 384 454

TABELA 6.13

MODELO NQ Ml:DIO DE ITERAÇÕES TEMPO MtDIO DE PROCESSAMENTO POR INCREMENTO POR INCREMENTO (seg)

l 6.62 6 2 . l 8

2 COM 4 NOS 13.64 150.90

TABELA 6. 14

TEMPO TOTAL DE PROCESSAMENTO

(se g)

3109

7545

TEMPO MtDIO DE .PROCESSAMENTO

POR ITERAÇ}l;Q (seg)

9.39

11 . O 6

<.n <.n

l 56

As respostas fornecidas pelos dois modelos se apr~

ximaram bastante da solução analitica (Tabela 6.8). Houve ape­

nas uma discrepãncia no valor do deslocamento v , corresponden e -te ao estãgio de carga 50, fornecido pelo modelo l. Nos valo-

res dos deslocamentos (Tabela 6.9) e dos momentos Me (Ta-

bela 6.10) ocorreram também pequenas diferenças. Estas diferen­

ças tornam-se mais evidentes nas configurações deformadas finais

fornecidas pelos dois modelos (Figura 6.8 e Tabela 6.11 e 6.12).

No entanto, um aumento do numero de elementos do

modelo l ou uma redução na grandeza dos incrementos de carga se­

riam suficientes para eliminar estes desvios.

O desempenho computacional do modelo foi supe-

rior ao do modelo 2. Todos os indices contidos nas Tabelas 6.13

e 6. 14 são favorãveis ao modelo l e apresentam variações que vão

de quinze a cinquenta e nove por cento.

6.3.- ARCO CIRCULAR ABATIDO

Neste item, foi feito o cãlculo de um arco circu­

lar abatido (Figura 6.9) analisado anteriormente por Walker [63],

através do método de Rayleigh-Ritz. Utilizaram-se doze elemen­

tos do modelo l e dois elementos do modelo 2 para discretizar ·uma

metade do arco.

A carga foi aplicada em incrementos variãveis, de

acôrdo com o esquema da Tabela 6.15.

No grãfico da Figura 6.10 traçou-se a curva da

carga em função do deslocamento vertical do ponto central do ar­

Os pontos utilizados para a construção do grãfico e~

contram-se na Tabela 6.16, que reune as soluções obtidas pelos

y

...!!.... : 500

E= 211106 911, /mm2

R= 1250 mm

t•2.5tnm

157

p

F",gura 6. 9

t

Seç;ão transversal

z

50mm

158

modelos 1 e 2.

Os valores mãximos de À , correspondentes ao po~

to em que a matriz de rigidez torna-se singular, foram colocados

na Tabela 6.17.

Os grãficos das Figuras 6.11 e 6.12 e as Tabelas

6.18 e 6. 19 apresentam, respectivamente, os valores do momento

fletor no ponto central do arco (Mel e da reação horizontal no

apoio (HA) .

Nas Tabelas 6.20 e 6.21 encontram-se os desloca­

mentos do eixo do arco, correspondentes ao estãgio de carga 58.

As respostas fornecidas pelos dois modelos concoi

daram totalmente entre si e se aproximaram bastante da solução

obtida por Walker. No entanto, ocorreram diferenças significat~

vas no que diz respeito ao desempenho computacional.

O modelo 1, mesmo utilizando um numero de elemen­

tos seis vezes maior, foi mais eficiente que o modelo 2 que, ne!

te exemplo, utilizou um algoritmo que mantem a matriz de rigidez

constante em cada incremento, sã atualizando o vetor de cargas.

Todos os indices registrados nas·Tabelas 6.22 e 6.23 sao favorã­

veis ao modelo 1, com exceção do tempo médio de processamento por

iteração, apresentando variações que vão de vinte a tinquenta e

um por cento.

1 59

INCREMENTO FUNÇAO-CARGA CARGA INCREMENTO DE ( g r) CARGA ( g r)

q(x) p Ptotal 6P

X "Z = q i:'. 2

o 0.07143 2734.375 -20 0.64286

' 24609.375 1093.75

30 0.78571 30078.125 546.875

90 l. 0000 38281.25 136.72

TABELA 6. 15

• •

60

50 __ "'ª 111. or

)( Mod1lo1 1 1 2 40

30

20

10

0.10 0.20 025 0.30 U'c / 2 h

Fi9ura 6.10

160

v/2h

INCREMENTO PR 2

MODELO 1 MODELO 2 À= tT COM 4 NIJS

2 11 . 2 5 0.00960 0.00950

6 21 . 25 0.01970 0.01945

1 O 31 . 2 5 0.03195 0.03160

1 2 36.25 0.03915 0.03875

1 6 46.25 0.05650 0.05595

20 56.25 .0.07985 0.07915

22 58.75 0.08705 0.08630

26 63.75 0.10405 0.10320

30 68. 75 0.12635 o. 12545

40 71 . 8 7 o. 14490 0.14385

50 75.00 0.17130 ·o.11oos

58 77.50 0.21310 0.21060

TABELA6.16·

Àmax

WALKER MODELO 1 E MODELO 2

76.21 7 7. 81

TABELA 6. 17

Me R

Et

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

HAR 2

EI

400

300

200

100

20

20

l 61

40 60 80 100 /)

Figuro 6. li

40 60 80 100

Figuro 6.12

162

Me R

EI

INCREMENTO À MODELO 1 MODELO 2 COM 4 NOS

10 31 . 2 5 0.6768 0.6834

20 56. 2 5 1.4557 1.4654

30 68.75 2.0518 2.0612

40 71 . 87 2.2595 2.2682

50 75. 00 2.5306 2.5375

TABELA 6. 18

H RL A ti

INCREMENTO À MODELO 1 MODELO 2 COM 4 NOS

10 31 . 2 5 145.695 145.091

20 56.25 272.552 271. 291

30 68.75 349.319 347.544

40 71 . 87 373.097 371. 124

50 75.00 402.335 400.041

TABELA 6. 19

l 63

INCREMENTO 58

MODELO l

No X Y· u V (mm) (mm) (mm) (mm).

.2 24.68 3.99 - 0.14575 0.79449

3 37.05 5.80 - 0.18825 1.05281

4 49. 44 7.48 - 0.20456 1.15619

5 . 74.25 1O.48 - 0.16741 0.79574

6 86. 69 11 . 7 8 - 0.12824 0.31032

7 99.13 12.96 - 0.08416 - 0.36945

8 124.05 14.96 - 0.00962 - 2.19370

9 136.53 15.78 0.01720 - 3.24903

10 161 . 49 1 7. 03 0.02283 - 5.35776

1 1 173. 98 17.46 0.01871 - 6.27766

12 198.98 17.78 - 0.00041 - 7.50591

13 211.48 18.03 - - 7.68035

TABELA 6.20

INCREMENTO 58

MODELO 2 COM 4 NCiS

No X y u V (mm) (mm) (mm) (mm)

2 37.05 5.80 - 0.18684 1.00778

3 74.25 10.48 - 0.16703 0.76309

4 99. 13 12.96 - 0.09174 - 0.33422

5 136.53 15.78 - 0.00242 - 3.21188

6 173.98 17.46 0.01050 - 6.19595

7 211. 48 18.03 . - - 7.59152

TABELA 6.21

o TOLERIINCIA = 0.0001

MODELO NQ TOTAL DE NQ TOTAL DE INTEGRAL DE TEMPO TOTAL DE TEMPO TOTAL DE INCREMENTOS ITERAÇÕES MEMORIA ENTRADA E SATDA PROCESSAMENTO

(seg) (seg)

l 59 224 14972 l 2 7 1192

2 COM 4 NOS 59 382 21882 162 l 491

TABELA 6.22

MODELO NQ MtDIO DE ITERAÇÕES TEMPO MtDIO DE TEMPO MtDIO DE POR INCREMENTO PROCESSAMENTO POR PROCESSAMENTO POR

INCREMENTO (seg) ITERAÇ/10 (seg)

1 3.80 20.20 5.32

2 COM 4 NOS 6.47 25.27 3.90

TABELA 6.23

165

6.4 - VIGA BALCAO

A viga balcão com uma carga concentrada na extre­

midade (Figura 6.13) foi calculada por Bathe e Bolourchi 25 util!

zando elementos finitos. Para a resolução deste problema utili­

zaram-se oito elementos do modelo l e um elemento do modelo 2. A

carga total foi aplicada em sessenta incrementes iguais.

Nos grãficos das Figuras 6.14, 6.15 e 6.16 traça­

ram-se, respectivamente, as curvas da carga em função dos deslo­

camentos da extremidade livre, nas direções vertical (w8 ) e ho

rizontais tu 8 e v8) . Os pontos utilizados para a construção

dos grãficos encontram-se nas Tabelas 6.24, 6.25 e 6.26.

As respostas fornecidas pelos dois modelos concor

daram entre si e aproximaram-se bastante da solução bbtida por

Bathe e Bolourchi.

O desempenho computacional do modelo l foi o me­

lhor, porem o modelo 2 superou-o em alguns indices (Tabela 6.27

e 6.28).

z

X

E, 702151 Kgf /cm2

\) ' o

y

166

p

e

e

Secão transversal

z

y

2 .54 cm

2.54cm

P , 2 6 4. 2 8 K gf

45º

A --.•.....-------------------~--~~-X

F'~ura 6. 13

167

w8/R

PR 2 BATHE E MODELO l E INCREMENTO k = tT BOLOURCHI MODELO 2

COM 4 NOS

- l. 00 O. 14 7 -lo 1. l 7 - O. l 72

- 2.00 0.270 -20 2.33 - 0.304

30 3.50 0.398 0.394

- 4.00 0.427 -40 4.67 - 0.455

- 5.00 0.473 -50 5.83 - 0.498

- 6.00 0.500 -60 7.00 0.533 0.530

TABELA 6.24

7

6

5

4

3

2

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Figuro 6. 14

168

8

7

6

4

3

--- Modelos l e 2 2

---- Bathe

0.025 0.050 0.075 0.100 0.125

Figura 6.15

7

6

' 3

--- Modelas 1 • 2

---- Bathe 2

1

0.04 0.0B 0.12 0.16 0.20

Fig,ra 6. 16

1 69

u8

/R

BATHE E MODELO l E INCREMENTO k MODELO 2 BOLOURCHI COM 4 NOS

- 1. 00 0.0067

1 O 1. 1 7 - 0.0130

- 2.00 0.0267 -.

20 2.33 - 0.0402

30 3.50 0.0700 0.0690

- 4.00 0.0807 -

40 4. 6 7 - 0.0946

- 5.00 O. l 033 -50 5.83 - 0.1161

- 6.00 0.1200 -

60 7.00 O. 133 3 o. 1340

TABELA 6.25

1 70

v8

/R

BATHE E MODELO 1 E INCREMENTO k MODELO 2 BOLOURCHr COM 4 NOS

- 1. DO 0.0133 -1 O 1. 1 7 - 0.0223

- 2.00 0.0480 -20 2.33 - 0.0687

30 3.50 º· 1200 O. 1187

- 4.00 0.1400 -40 4.67 - 0.1641

- 5.00 o. 1747 -50 5.83 - 0.2033

- 6.00 0.2067 -60 7.00 0.2333 0.2368

TABELA 6.26

TOLERÃNCIA = 0.001

NQ TOTAL DE NQ TOTAL DE INTEGRAL DE TEMPO TOTAL DE TEMPO TOTAL DE MODELO INCREMENTOS ITERAÇÕES MEMÕRIA ENTRADA E SAIDA PROCESSAMENTO

(seg) (seg)

l 60 354 17340 163 1380

2 COM 4 NÕS 60 321 27741 147 206 4

TABELA 6.27

TEMPO ME'.DIO DE TEMPO ME'.DIO DE MODELO NQ ME'.DIO DE ITERAÇÕES POR PROCESSAMENTO POR PROCESSAMENTO POR

INCREMENTO INCREMENTO ITERAÇ/10 (seg) (seg)

l 5.90 23.00 3.90

2 COM 4 NÕS 5.35 34.40 6.43

TABELA 6.28

l 72

6.5 - PORTICO TRIDIMENSIONAL l

Neste item, foi feito o cilculo do p6rtico tridime~

sional da Figura 6.17, utilizando-se o modelo l ~e a formulação

de viga-coluna estudada por Mantilla 51•

Os pontos A, B, C, D, E, F e G, transformados em

nos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, definem a discretização da estrutura

em doze elementos.

A carga foi aplicada em incrementas vartiveis, de

acordo com o esquema da Tabela 6.29.

CARGA INCREMENTO DE INCREMENTO FUNÇIIO-CARGA CARGA (9, b )

( tb j

X q(x) p ti p

o 0.0625 4.6875 -20 0.5625 42.1875 l . 8 75

30 0.6875 51. 5625 0.9375

90 0.8750 65.6250 0.234375

100 1. 000 75.0000 0.9375

TABELA 6.29

E: 460 000 psi

'\l = O, 25

4 Iy= Iz•0,02 pol

A : 0,4 9 pol. 2

l 7 3

E

> BJi-------A

l

p

24" I · 24"

Fivuro 6.17

X

1. 75"

se~âo Transversal

D 0.1 •

CORTE A-A

l 7 4

No grãfico da Figura 6.18 traçou-se a. curva da

carga em funçio do deslocamento vertical do ponto G (v 6) . Os

pontos utilizados para a construçio do grãfico encontram-se na

Tabela 6.30.

Os valores mãximos da carga, correspondentes ao

ponto em que a matriz de rigidez torna-se singular, foram coloca

dos na Tabela 6.31.

O grãfico da Figura 6.lg e a Tabela 6.32 apresen­

tam os valores da força axial nas barras que convergem no ponto

G .

As respostas fornecidas pelo modelo l e pelo meto

do da viga-coluna concordaram totalmente no trecho inicial do car ~

regamento, porem ao se aproximarem do ponto de carga mãxima apr~

sentaram um certo distanciamento. A formulaçio de viga-coluna

interrompeu o processamento antes q~e a matriz de rigidez se to!

nasse singular, devido a ultrapassagem de valores limites para

suas funções trigonometricas. Portanto, o valor da Tabela 6.31

correspondente a viga-coluna deveria ser maior.

O desempenho computacional da formulaçio de viga­

coluna foi melhor que o do modelo l. Porem, deve-se dar um des­

conto nos tndices da Tabela 6.33 pois o modelo l realizou dezes­

seis incrementas a mais que o outro modelo. Neste caso, a Tabe­

la 6.34 reflete com maior fidelidade a performance de cada mode­

lo. A formulaçio de viga-coluna foi superior ao modelo l porque,

apesar de gastar maior tempo para completar uma iteraçio,realiza

menos iterações por incremento.

- p tlb)

60

50

40

30

20

10

N (Lb 1

200

160

120

80

40

o., 0,2

10 20

l 75

__ modeto.l

____ 'f' 1Qa -coluna

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 V: (po.C 1 G

Figuro 6.18

/ /;

// #

modelo 1

---- v190 - coluna

30 40 50 60 70 p (1', 1

Figuro 6, I 9

l 7 6

- VG

INCREMENTO p MODELO l VIGA-COLUNA

( b ) e po l ) ( po l )

5 14.063 0.0901 0.0897

lo 23.438 O. 15 84 O. l 5 83

15 32.813 0.2365 0.2372

20 42. 188 0.3290 0.3324

25 46.875 0.3834 0.3896

30 51 . 563 0.4463 0.4433

40 53.906 0.4822 0.5003

50 56.250 0.5224 0.5495

60 58.594 0.5688 0.6131

70 60.938 0.6250 0.7267

75 62.109 0.6594 -80 63.281 0.7012 -85 64.453 0.7585 -

TABELA 6.30

1 7 7

Pmax

MODELO 1 VIGA-COLUNA (t b) (tb)

65.156 61. 172

TABELA 6.31

N - (tb)

INCREMENTO p

MODELO 1 VIGA-COLUNA (tb)

10 23.438 51. 458 51.965

20 42. 188 101.367 102.867

30 51. 56 3 132.429 136.159

40 53.906 141.420 146.570

50 56.250 151.197 158.424

60 58.594 162.080 172.822

70 60.938 174.705 196.764

80 63.281 190.779 -

TABELA 6.32

TOLERANCIA = 0.001

NQ TOTAL DE NQ TOTAL DE INTEGRAL DE TEMPO TOTAL DE TEMPO TOTAL DE MODELO INCREMENTOS ITERAÇÕES MEMÕRIA ENTRADA E SAIDA PROCESSAMENTO

(seg) (seg)

l 88 668 47991 372 3861

VIGA-COLUNA 72 175 4750 8 l 36 5 .

TABELA 6.33

TEMPO ME'.DIO DE TEMPO ME'.DIO DE MODELO NQ ME'.DIO DE ITERAÇÕES POR PROCESSAMENTO POR PROCESSAMENTO POR

INCREMENTO INCREMENTO ITERAÇIIO e se g ) (seg)

l 7.59 43.89 5.78

VIGA-COLUNA 2.43 18.96 7.80

TABELA 6.34

179

6.6 - PORTICO TRIDIMENSIONAL 2

O põrtico tridimensional da Figura 6.20 foi cale~

lado utilizando-se o modelo l. Trata-se de uma estrutura campo~

ta por barras de seção circular vazada, cujas dimensõés encon­

tram-se na Tabela 6.35.

As barras estão divididas em cinco grupos de aco~

do com as caracteristicas geométricas da seção transversal (Tab!

la 6.36). O grupo l reune as barras formadas por dois tubos, um

externo e outro interno, de seções tipo l e 2. Por questões de

projeto somaram-se os momentos de inercia, porem. considerou-se

apenas a ãrea do tubo externo. Os grupos 2, 3 e 4 reunem as bar

ras formadas por tubos de seções tipo l, 3 e 4, respectivamente.

O grupo 5 e constituido por dois elementos ficticios, que pos­

suem rigidez apenas na direção axial, criados para ·simularem o

comportamento das duas molas tk = AE/L = 19 052 499 N/m) situa

das nos apoios superiores.

Os nõs que definem a discretização 'da estrutura

em trinta e oito elementos tem suas posições registradas nas Ta-

belas 6.37 e 6.38.

A conetividade dos elementos e os grupos de cara~

teristicas geométricas a que pertencem encontram-se na:s Tabelas

6.3g e 6.40.

A estrutura estã submetida ao carregamento indic~

do nas Tabelas 6.41, 6.42 e 6.43, constituido por forças concen­

tradas nos nos. As cargas foram aplicadas .em ,dez .incrementas

iguais.

No grãfico da Figura 6.21 traçou-se a curva do p~

rãmetro de carga A (A= 10 NP 1; 1ºPi ; N = l, 2, ... , 101 em fun

180

30

28 31

26 29

24 27

22 25

10 E= 20 X 10 N/m 2

20 23 \) = o

18 21

16 19

14

15 17

li S ,cão tran1v1r1ol 12 13

8 9 10

5 6 7

zlv 2 4

X

Fi;ura 6. 20

1 81

TIPO DE SEÇI\O d t (mm) (mm)

1 762 25.4

2 508 15.9

3 219 8.2

4 508 25.4

TABELA 6.35

IIREA MOMENTO DE GRUPO (m2) INE'.RCIA

( m 4)

1 5.878 X 10-2 47.3 X 1 o-'

2 5.878 X 10-2 39. 9 X 10-•

3 0.542 X 10-2 0.3 X 10-'

4 3.851 X 10-2 11. 2 X 1 o-'

5 O. 1 91 X 10-2 o.o

TABELA 6.36

l 82

No X y z (m) ( m) ( m)

l 2.29 0.00 0.00

2 0.00 2.29 0.00

3 - 2.29 0.00 0.00

4 2.29 0.00 10.00

5 0.00 2. 2 9 10.00

6 - 2.29 0.00 10.00

7 2.29 º·ºº 15.00

8 0.00 2.29 15.00

9 - 2.29 º·ºº 15.00

10 2.29 O.DO 20.00

11 º·ºº 2.29 20.00

1 2 - 2.29 0.00 20.00

13 . 2.29 º·ºº 30.00

1 4 0.00 2,29 30.00

1 5 - 2,29 0.00 30.00

16 - 2.29 º·ºº 40.00

1 7 2,29 0.00 40.00

18 2.29 º·ºº 50.00

TABELA 6,37

183

No X y z (m) (m) (m)

l 9 2.29 0.00 50.00

20 - 2.29 0.00 60.00

21 2.29 0.00 60.00

22 - 2.29 O.DO 70.00

23 2.29 º·ºº 70.00

24 - 2.29 º·ºº 80.00

25 2.29 º·ºº 80.00

26 - 2.29 0.00 90.60

27 2.29 º·ºº 90.60

28 - 2.29 O.DO 96.90

29 2.29 0.00 96.90

30 - 2.29 º·ºº 100.00

31 2. 2 9 o.ao 100.00

32 - 2.29 º·ºº 102.00

33 2.29 º·ºº 102.00

34 - 2.29 º·ºº 122.00

35 2.29 º·ºº 122.00

TABELA 6.38

l 84

ELEMENTO NO INICIAL NO FINAL NQ DO GRUPO

l l 4 l

2 2 5 2

3 3 6 l

.4 4 7 l

5 5 8 2

6 6 9 l

7 7 9 3

8 7 8 3

9 8 9 3

10 7 l o l

l l 8 l l 2

l 2 9 l 2 l

13 10 l 3 l

14 l l l 4 2

l 5 l 2 1 5 l

16 l 3 l 5 3

l 7 1 3 l 4 3

18 14 1 5 3

1 9 13 1 7 4·

TABELA 6.39

185

ELEMENTO NO INICIAL NO FINAL NQ DO GRUPO

20 1 5 1 6 4

21 1 7 1 9 4

22 16 18 4

23 19 21 4

24 18 20 4

25 21 23 4

26 20 22 4

27 23 25 4

28 22 24 4

29 25 27 4

30 24 26 4

31 27 29 4

32 26 28 4

33 29 31 4

34 28 30 4

35 31 33 4

36 30 32 4

37 32 34 5

38 33 35 5

TABELA 6.40

186

No DIREÇ/.10 CARGA (N)

4 y l 252.5

4 z - 11 8 230.0

5 y l 252.5

5 z - 11 8 230.0

6 y l 252.5

6 z - 118 230.0

10 y l 973.3

10 z - 11 8 230.0

11 y l 973.3

l l z - 11 8 230.0

l 2 y l 973.3

l 2 z - 11 8 230.0

13 y 3 l O 8. l

l 3 z - 118 230.0

14 y l 554. l

l 4 z - 59 11 4. O

l 5 y 3 l O 8. l

l 5 z - 118 230.0

TABELA 6.41

187

No DIREÇÃO CARGA ( N)

l 6 y - 4 896.8

16 z - 95 652.0

l 7 y 4 896.8

l 7 z - 95 652.0

l 8 y 7 748.2

l 8 z - 37 l 4 l . O

l 9 y 7 748.2

l 9 z - 37 l 41 . O

20 y l 2 375.0

20 z - 37 l 41 . O

21 y l 2 375.0

21 z - 37 l 4 l . O

22 y 20 039.0

22 z - 37 l 41 . O

23 y 20 039.0

23 z - 37 l 4 l . O

TABELA 6.42

188

No DIREÇIIO CARGA (N)

24 y 34 686.0

24 z - 38 256.0

25 y 34 686.0

25 z - 38 256.0

26 y 42 353.0

26 z - 31 388.0

27 y 42 353.0

27 z - 31 388.0

28 y 20 083.0

28 z - l 7 456.0

29 y 20 083.0

29 z - l 7 456.0

30 z - 9 4 71 . O

31 z - 9 4 71 . O

32 z 584 890.0

33 z 584 890.0

TABELA 6.43

10

9

8

7

M1 6

( 10 N.m)

6

5

4

3

2

1.4

1. 2

1.0

0.8

0.6

04

0.2

0.4

/'.'.

0.8

/ /

/ //

1 89

1.2 1.6

F'19ura 6.21

/ /

///

//

2.0

/ /

/

2.4

/ /

/

/ modelo 1

/

/?' --- solução linear

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 6. 22

li

190

v22

À MODELO 1 S0LUÇ1\0 LINEAR

(ml (m)

1 0.2030 0.2246

2 0.3645 0.4492

3 0.4945 0.6737

4 0.6022 0.8983

5 0.6938 1. 1229

6 0.7734 1.3475

7 0.8439 1.5721

8 0.9071 l. 7966

9 0.9644 2.0212

1 O l.0168 2.2458

TABELA 6.44

l 91

M25 /

<, CP N.m) / /

0.9 / /

08 / 0.7 /

/ 06 / 05 /

/ 0.4 /

/ 0.3 /

/ modelo 1 0.2 / ---solucào linear

0.1 ,(,

2 3 4 5 6 7 8 9 10 li 12

F·, gu r a 6 . 2 3

5

4

3

2 ---modelo 1

----solução linear

------------2 4 6 8 10 12 14

Figura 6 .24

192

Ml

À MODELO l SOLUÇJIO LINEAR

( N , m) ( N , m)

2 - 2 75 895. - 314 732.

4 - 490 764. - 629 .464.

6 - 671 705. - 944 196.

8 - 832 270. - l , 2 58 928.

10 - 979. 196. - 1 573 660.

TABELA 6.45

M25

À MODELO l SOLUÇJIO LINEAR

( N , m) (N , m)

2 1 76 973. 220 400.

4 289 838. 440 800.

6 369 372. 661 200.

8 430 l 1 7 . 881 600.

1 O 479 027. 1 102 000.

TABELA 6.46

1 93

vl

À MODELO 1 SOLUÇ/10 LINEAR

(N) ( N)

2 105 813. 1 5 907.

4 222 046. 31 81 5.

6 326 646. 47 722.

8 419 656. 63 629.

1 O 502.977. 79 537.

TABELA 6,47

TOLERANCIA = 0.001

MODELO l NQ TOTAL DE NQ TOTAL DE INTEGRAL DE TEMPO TOTAL DE TEMPO TOTAL DE INCREMENTO$ ITERAÇOES MEMORIA ENTRADA E SAIDA PROCESSAMENTO

(seg) (se g)

LINEAR l 1 2282 9 47

NAO-LINEAR lo 37 16384 57 764

TABELA 6.48

MODELO l NQ ME'.DIO DE ITERAÇOES POR TEMPO ME'.DIO DE TEMPO ME'.DIO DE INCREMENTO PROCESSAMENTO POR PROCESSAMENTO POR

INCREMENTO (s eg} ITERAÇAO (seg) .

LINEAR 1 47 47

NAO-LINEAR 3.7 76.4 20.6

TABELA 6.49

195

çao do deslocamento na direção y tv 22 ) do nõ 22. Os pontos

utilizados para a construção do grãfico encontram-se na Tabela

6.44.

Os grãficos das Figuras 6.22, 6.23 e 6.24 e as Ta

belas 6.45, 6.46 e 6.47 apresentam respectivamente, os valores

dos momentos fletores (em relação ao eixo x do sistema global)

nos nõs 1 (M) e 25 (M ) e a reaçao na direção z no nõ 1. - 1 - - 25 -

Os valores dos deslocamentos na direção y e dos

momentos fletores em torno de x , nas barras entre os nos 1 e

33 e 3 e 32, foram bastante inferiores aos obtidos pela teoria

linear. No entanto ocorreu o oposto com as forças axiais de tra

ção nestas mesmas barras. Ficou assim caracterizado um comport~

mento não-linear com enrijecimento progressivo.

Nas Tabelas 6.48 e 6.49 encontram-se os indicado­

res do desempenho computacional do modelo 1 não-linear e linear.

6.7 - TEMPOS DE GERAÇAO DAS MATRIZES DE RIGIDEZ E DO VETOR DE FORÇAS

Na Tabela 6.50 encontram-se os tempos de process~

menta necessãrios para o cãlculo das matrizes de rigidez e do v~

tor de forças, dos modelos 1 e 2. Assim como os tempos registr~

dos nos outros itens deste capftulo, estes foram obtidos no com­

putador BURROUGHS B-6700 do Nucleo de Computação.da UFRJ.

O modelo 1, como jã acontecera anteriormente,apr~

sentou os tempos mais baixos. As versões mais simples do modelo

2 (com 3 nõs e 2. nõs) se mostraram mais rãpidas que a versão com

4 nos, porem exigem um numero elevado de elementos para alcança­

rem respostas satisfatõrias. Nos exemplos testados a versão com

196

4 nos foi sempre mais eficiente computacionalmente que as outras

duas.

TEMPO DE PROCESSAMENTO (seg) .

MATRIZ DE MATRIZES DE RIGIDEZ LINEAR VETOR DE TIPO DE ELEMENTO RIGIDEZ N/10-LINEAR E FORÇAS LINEAR VETOR DE FORÇAS ,

MODELO 1 0.36 0.42 O. 1 8

MODELO 2 COM 4 NOS 2.40 2.87 1. 38 NO PLANO

MODELO 2 COM 4 NOS 4.90 6. 7 5 3. l 3 NO ESPAÇO

MODELO 2 COM 3 NOS 1. 69 2. 1 4 1. 28 NO PLANO

MODELO 2 COM 3 NOS 3.22 4. 1 7 2.32 NO ESPAÇO

MODELO 2 COM 2 NÕS 1. 4 1. 85 l. 13 NO ESPAÇO

TABELA 6.50

197

VII - CONCLUS/10

No estãgio em que se encontra atualmente a pesqu!

sa de formulações não-lineares de elementos finitos, apenas a

busca de novos modelos jã não é suficiente.

Para que haja um melhor aproveitamento dos numero

sos estudos, concluidos, por concluir, ou futuros,

a utilização de formulações consistentes. Isto e,

e importante

formulações

que adotem os principios variacionais da mecânica dos sõlidos co

mo base teõrica.

As formulações consistentes ao utilizarem como

ponto de partida uma teoria unica e de carater geral, facilitam

as comparaçoes e permitem estabelecer com mais segurança as im

plicaçôes de cada simplificação adotada.

As formulações não consistentes, desenvolvidas a

partir de modelos lineares com o objetivo de resolver problemas

especificos, foram muito utilizadas nos primeiros estudos sobre

comportamento não-linear de estruturas. No entanto, formulações

deste tipo ainda podem ser encontradas em trabalhos mais recen­

tes.

No caso especifico de modelos para anãlise não-1!

near geometrica de põrticos, a maioria das formulações existentes

na literatura e não-consistente.

As duas formulações consistentes desenvolvidas nes

te trabalho, ambas para anãlise não-linear geométrica de pÕrti­

cos tridimensionais ,'di:!~o-nstrarãin,condiçôes de desempenhar funções

diferentes.

O modelo 1 representa uma solução simples, de bai

198

xo custo computacional, que apresenta bons resultados para a maio

ria dos põrticos encontrados na prãtica.

O modelo 2 possui todas as vantagens dos elemen­

tos isoparamétricos, porém a integração numérica necessãria para

o cãlculo das suas matrizes, torna-o computacionalmente menos efi

ciente que o modelo l. Sua utilização pode ser vantajosa em ele

mentas estruturais com geometria curva e/ou seção transversal V!

riãvel, ou ainda, em elementos estruturais sujeitos a sofrerem

um processo de deformação complexo. Pode ser aproveitado também

em estruturas laminares com enrijecedores, em utilização conjun­

ta com o elemento degenerado para cascas.

Por motivos acadêmicos, neste estudo, investigou­

se o comportamento não-linear geométrico em pÕrticos sujeitos a

carregamento estãtico. Pesquisas futuras poderiam, a partir do

que foi apresentado aqui, buscar maior generalidade incluindo a

não-linearidade física e/ou carregamentos dinâmicos.

199

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206

APtNDICE A

PROGRAMA PAPT-NLG (PROGRAMA PARA ANALISE DE PDRTICOS TRIDIMENSIONAIS CONSIDERANDO NAO-LINEARIDADE GEOMtTRICA)

O programa PAPT-NLG, escrito em linguagem FORTRAN

IV, ê subdividido em vãrias sub-rotinas. Na entrada de dados e

na solução do sistema de equações foram aproveitadas sub-rotinas

do programa STAP 55, que são basicamente as mesmas dos programas

SAP IV 64 e ADINA 65•

As têcnicas computacionais utilizadas sao aquelas

jã consagradas pelo mêtodo dos elementos finitos. As variãveis

principais (matriz de rigidez da estrutura, vetor de forças da

estrutura, vetores de deslocamentos nodais da estrutura e outras)

são dispostas num vetor de trabalho. Da matriz de rigidez são

gerados apenas os coeficientes situados abaixo do perfil da ban­

da superior. Diversas variãveis ocupam o mesmo endereço na memo

ria em diferentes fases do processamento. A mem.Õria auxiliar ê

utilizada para armazenar variãveis que devem ser preservadas pa­

ra utilização em determinadas etapas do processo incremental-ite

ra ti vo.

Este programa deve ser utilizado com precisão sim

ples em computadores CDC e com precisão dupla em computadores

IBM, UNIVAC e BURROUGHS. A versao aqui apresentada foi desenvol

vida utilizando-se precisão dupla, no BURROUGHS 6700 do NCE/UFRJ.

207

A. l - CARACTERfSTICAS GERAIS

A

NUMNP

ID

No programa, utilizam-se as seguintes variiveis:

vetor de trabalho que armazena as variâveis princi­pais do programa

- numero de nõs da estrutura

- matriz 6 x NUMNP que define os graus de liberdade existentes em cada nõ da estrutura

X , Y, Z - vetores que definem as coordenadas dos nos da estru­tura

NEQ - numero de equaçoes do problema; igual aos graus de

FE

V

R

NLOAD

liberdade da estrutura

- vetor de forças da estrutura

- vetor auxiliar utilizado para armazenar o segundo car regamento, quando existem dois carregamentos

- vetor de cargas (primeiro carregamento) e vetor de cargas efetivas da estrutura

- numero de cargas concentradas que compoem um carreg~ mento

NOD - vetor que armazena o numero do no em que atua cada

IDIRN

FLOAD

MHT

.carga concentrada

- vetor que armazena a direção em que atua cada carga concentrada

- vetor que armazena o valor de cada carga concentrada

- vetor que armazena o numero de coeficientes nã.o nu-1 os acima da diagonal de cada coluna da matriz de ri gidez da estrutura.

MAXA - vetor que armazena os endereços relativos dos elemen tos da diagonal da matriz de rigidez no vetor de tra balho.

OES

NWK

K

DOE

208

- vetor de deslocamentos nodais totais da estrutura

numero de coeficientes não nulos da banda superior da matriz de rigidez da estrutura

- matriz de rigidez da estrutura

- vetor dos deslocamentos nodais incrementais da estru

tura

Identificam-se três fases no programa. Na prime!

ra e na segunda e feita, respectivamente, a preparaçao dos dados

da estrutura e dos dados dos elementos. Na terceira calculam-se

os deslocamentos e os esforços nodais da estrutura através de um

processo incremental-iterativo.

Nestas três fases realizam-se as seguintes opera-

çoes:

i Leitura das caracteristicas dos nos e definição dos graus de liberdade da estrutura

ii Leitura e armazenamento em disco dos vetores de carga

i i i - Leitura, cãl cul o e armazenamento e.m disco das caracteristi cas dos elementos

iv Leitura no disco das caracteristicas dos elementos e cãlcu lo das matrizes de rigidez e do vetor de forças dos elemen tos

v - Montagem da matriz de rigidez e do vetor de forças da es-trutura

vi 'rriangularização d-a-·niatrizdé rigidez da estru_1u_ra.

vii - Leitura no disco dos vetores de carga e cãlculo do vetor de cargas efetivas

viii- Cãlculo dos deslocamentos nodais, increniiint-ais e totais, da ·eiit r1itu ra

209

ix repetição do processo a partir da operaçao iv

As posições e os·endereços das variãveis no vetor

A, nas três fases do programa, são mostrados nas Figuras A.l,

A.2 e A.3.

O parâmetro ITWO, que aparece nas especi fi.cações

dos endereços, estã relacionado a precisâo arii tmêtica requeri da

no processamento. Na vers'ão do programa .:aqui · apresentada

ITWO = 1, pois a precisão dupla foi especificada apena.s atravês

dos comandos IMPLICIT REAL.a e REAL.a.

Utilizam-se os seguintes arquivos em disco (memõ-

ria auxiliar):

IELMNT

ILOAD

ILROT

ILMATl

ILMAT2

- armazena as caracterTsticas geomêtricas e materiais dos elementos

- armazena os vetores de carga da estrutura

- armazena as matrizes de rotação dos elementos

- armazena variãveis utilizadas no cãlculo das matri-zes de rigidez e vetor de forças dos elementos

- exerce a mesma função de ILMATl

As cargas sao aplicadas, simultaneamente, em .in­

crementas iguais ou variãveis, agrupadas em um ou do.is carrega­

mentos. A variação dos incrementas de carga ê feita através de

funções-carga, constituídas por quatro polinõmios .lineares para

o primeiro carregamento, e por dois polinômios lineares para o

segundo carregamento (sub-rotina INCREMl,

O processo incremental-iterativo ê controlado por

três parâmetros: o numero total de incrementas (:_NINC), o numero

mãximo de iterações (NITE) e a tolerância (TOL). A tolerância

210

estabelece a precisão desejada para o processo iterativo. Quanto

menor for o seu valor (sempre menor que a unidade) maior s.era a

precisão dos resultados.

Soluções estritamente incrementais podem ser obti

das faze.ndo-se NITE = 1. Porém, esta opção, que do ponto de vis

ta académico pode ser interessante, não é recomendivel na priti­

ca, pelas razões ji expostas anteriormente (item 3 do Capitulo

III).

Nl !D Nl =

N2 X N2 = Nl + 6* NUMNP

N3 y N3 = N2 + NUMNP* ITWO

N4 z N4 = N3 + NUMNP* !TWO

N5 R N5 = N4 + NUMNP* ITWO

N6 NOD N6 = N5 + NEQ* ITWO

N7 IDIRN N7 = N6 + NLOAD

N8 FLOAD N8 = N7 + NLOAD

FIGURA A.1 - SITUAÇAO DO VETOR DE TRABALHO NA 1~ FASE

211

Nl 1 D Nl = l

N2 X N2 = Nl + 6* NUMNP

N3 y N3 = N2 + NUMNP* ITWO

N4 z N4 = N3 + NUMNP* I TWO

N5 MHT N5 = N4 + NUMNP* ITWO

Caracte N6 ris ti cas

dos elemen N6 = N5. + NEQ -tos

FIGURA A.2 - SITUAÇAO DO VETOR DE TRABALHO NA 2ª FASE

Nl ID Nl =

N2 MAXA N2 = Nl + 6* NUMNP

N3 DES N3 = N2 + NEQ + l

N4 K N4 = N3 + NEQ* ITWO

N5 R ou DOE N5 = N4 + NWK* ITWO

N6 Caracte rist.icas

dos el emen N6 = N5 + NEQ* ITWO -tos

N7 FE N7 = N6 + MAXEST

N8 V N8 = N7 + NEQ* ITWO

FIGURA A.3 - SITUAÇAO DO VETOR DE TRABALHO NA 3ª FASE

21 2

O parâmetro NEWR controla a montagem da matriz de

rigidez da estrutura, que pode ser atualizada antes de cada nova

iteração (NEWR = O) ou apenas quando passar para o incremento se

guinte (NEWR = 1).

O sistema de equaçoes que fornece os valores dos

deslocamentos incrementais ê resolvido pelo mêtodo de eliminação

de Gauss (sub-rotina COLSOL).

Como resultados da anãlise sao impressos, ao fi­

nal de cada incremento ou em intervalos estipulados pelos param~

tros NDES e NESF, os deslocamentos nodais totais e os esforços

nodais em cada elemento.

A.2 - SUB-ROTINAS ESPECTFICAS DO ELEMENTO CONVENCIONAL DE PÕRTI­

CO (MODELO l)

As sub-rotinas do elemento convencional sao: CHA­

MAl, LERIGl, ESFORl e MATRil. Nestas subcrótinas utilizam-se ,

alem daquelas jã mencionadas no item Al, as seguintes variãveis:

NUME - numero de elementos

NUMMAT - numero de sub-grupos de elementos com caracteristi­cas materiais e geomêtricas diferentes

NPA - numero de nõs auxiliares que definem o plano XY(=rs)

E

de cada elemento; usados para o cãlculo das matrizes de rotação (RO) dos elementos

- vetor que armazena os valores dos mõdulos de elasti­cidade dos sub-grupos de elementos

POI - vetor que armazena os valores dos coeficientes de

AREA

Poisson dos sub-grupos de elementos

vetor que armazena os valores das ãreas das seçoes

transversais dos sub-grupos de elementos

YINE

ZINE

LM

XYZ

MATP

RO

CPA

NAE

FOT

RA

GAMA

RT

SKL

SKT

213

- vetor que armazena os valores dos momentos de iner­cia em relação ao eixo y t = s} dos sub-grupos de elementos

- vetor que armazena os valores dos momentos de iner­cia em relação ao eixo z (= t) dos sub-grupos de elementos

- matriz 12 x NUME que relaciona os graus de liberdade do elemento aos graus de liberdade da estrutura

- matriz 6 x NUME que armazena as coordenadas dos nos de cada elemento

- vetor que armazena o numero do sub-grupo a que per­

tence cada um dos elementos

matriz de rotação 3 x 3 que relaciona a posição ini­cial do elemento ao sistema de referência global

- matriz 3 x NPA que armazena as coordenadas dos nos auxiliares

- vetor que armazena o numero do nõ auxiliar que defi­ne o plano xy ( = rs) de cada elemento

vetor das forças nodais do elemento referidas ao sis tema de referência local mõvel

matriz de rotação 3 x 3 qu~ relaciona a posição do elemento na iteração anterior a posição inicial

ângulo de rotação total do elemento em torno do prõ­prio eixo, que descreve a rotação de corpo rígido do elemento causada pela torção

- matriz de rotação 3 x 3 que relaciona os sistemas de referência locais, o mõvel e o fixo

- matriz de rigidez do elemento referida ao sistema lo cal fixo

- matriz de rigidez do elemento referida ao sistema lo cal mõvel

214

FOL - vetor de forças do elemento referido ao sistema lo-

s

cal fixo

- vetor que armazena (_por linha) os coeficientes da ban­da superior da matriz SKL

DDL - vetor de deslocamentos nodais incrementais do elemen

to referido ao sistema local fixo

DESL - vetor de deslocamentos nodais totais do elemento re-ferido ao sistema local fixo ou vetor de deslocamen­tos nodais incrementais referido ao sistema local mo

ve l .

As posições ocupadas pelas variãveis das sub-roti

nas CHAMAl, LERIGl, ESFORl e MATRI1 no vetor de trabalho,nas

duas ultimas fases do programa encontram-se nas Figuras A.4 e

A.5

21 5

N l O l E N l O l = N6

Nl02 POI Nl02 = NlOl + NUMMAT* ITWO

Nl03 AREA Nl03 = Nl02 + NUMMAT* ITWO

Nl04 YINE Nl04 = N l O 3. + MUMMAT* I TWO

Nl05 ZINE Nl05 = Nl04 + NUMMAT* I TWO

Nl06 LM Nl06 = Nl05 + NUMMAT* I TWO

Nl O 7 XYZ Nl07 = Nl06 + 12* NUME

Nl08 MATP Nl 08 = Nl07 + 6* NUME* ITWO

Nl09 FE Nl09 = Nl08 + NUME

N 11 5 RO Nl09 = NLAST = N7

N 11 O CPA N 11 5 = NLAST + NEQ* ITWO

N 111 NAE N 11 O = NLAST + NEQ* I TWO + 9 * I TWO

Nl 11 = NllO + 3* NPA* ITWO

FIGURA A.4 - POSIÇÕES OCUPADAS PELAS VARIAVEIS DAS SUB-ROTINAS CHAMAl, LER!Gl, ESFORl E MATR!l NO VETOR DE TRABA LHO NA 2~ FASE

21 6

N6 E

POI

AREA

YINE

ZINE

LM

XYZ

MATP

N 11 4 FE Nll4 = NLAST = N7

N 11 5 RO Nll5 = Mll4 + NEQ* ITWO

Nll 7 FOT Nll7 = Nll5 + 9* ITWO

Nll 8 RA N 1 l 8 = N 11 7 + 1 2 * I TW O

N 1 1 9 GAMA Nll9 = N11s + g* In~o

FIGURA A.5 - POSIÇÕES OCUPADAS PELAS VARIAVEIS DAS SUB-ROTINAS CHAMAl, LERIGl, ESFORl E MATRil NO VETOR DE TRABA­LHO NA 3~ FASE

21 7

A.3 - SUB-ROTINAS ESPECfFICAS DO ELEMENTO DEGENERADO DE PÕRTICO

(MODELO 2)

As sub-rotinas especificas do elemento degenerado

sao: CHAMA2, LERIG2, ESFOR2, MATRI2, DERIVA e INTERP. Nestas sub

rotinas utilizam-se, alem daquelas jã mencionadas no item A.l,as

seguintes variãveis:

NUME

NUMMAT

E

POI

BK

DK

LM

XYZ

- numero de elementos

- numero de sub-grupos de elementos com característi­cas materiais e geométricas diferentes

- vetor que armazena os valores dos mõdulos de elasti cidade dos sub-grupos de elementos

- vetor que armazena os valores dos coefitientes de Poisson dos sub-grupos de elementos

- matriz 4 x NUMMAT que armazena as alturas das se­ções transversais dos sub-grupos de elementos

- matriz 4 x NUMMAT que armazena as larguras das se­ções transversais dos sub-grupos de elementos

- matriz 24 x NUME que relaciona os graus de liber­dade do elemento aos graus de liberdade da estrutu­ra

- matriz 12 x NUME que armazena as coordenadas dos nõs de cada elemento

MATP - vetor que armazena o numero do sub-grupo a que per-

ITR

NN

KNl

tence cada um dos elementos

- vetor que armazena os indices que definem a trans­formação das rotações nodais do sistema de referên­cia local para o global

- numero de nõs do elemento

- numero de pontos de integração na direção r

KN2

KN3

KN4

RO

RM

TENG

SKL

FOL

s

RN

DDL

DESL

FK

FL

RJ

RT

CD

218

- numero de pontos de integração na direção s

- numero de pontos de integração na direção t

- graus de liberdade totais do elemento, igual a 6* NN

- matriz 3 x (_3* NN) que armazena os cossenos diret~ res dos sistemas de referência nodais na .configura­

çao inicial

- matriz 3 x 12 que armazena os cossenos diretores

dos sistemas de referência nodais, correspondentes a configuração da iteração anterior

- vetor que armazena os valores das tensões nos pontos

de integração

- matriz de rigidez do elemento

- vetor de forças do elemento

- vetor que armazena (por linha) os coeficientes da ban

da superior da matriz SKL

- matriz 3 x 12 que armazena os cossenos diretores dos sistemas de referência nodais correspndentes a confi guração da iteração presente

- vetor de deslocamentos nodais incrementais do elemen to

- vetor de deslocamentos (_translações) nodais totais do elemento

- vetor das funções de interpolação

- vetor das derivadas das funções de interpolação

- inversa da matriz jacobiana

- matriz que transforma a matriz constitutiva do siste ma local de referência para o global

- matriz constitutiva, referida ao sistema global

219

TEN - vetor das tensões em um determinado ponto de integr~

çao

RST - matriz que armazena as coordenadas dos pontos de in-tegração de Gauss

PG - matriz que armazena os valores dos pesos.utilizados

na integração

As posições ocupadas pelas variãveis das sub-roti

nas CHAMA2, LERIG2, ESFOR2 e MATRI2 no vetor de trabalho nas

duas ultimas fases do programa encontram-se nas Figuras A.6 e

A.7.

NlOl E N l O l = N6

Nl02 POI Nl02 = N l O l + NUMMAT* ITWO

Nl03 BK Nl03 = Nl02 + NUMMAT* ITWO

Nl 04 DK Nl04 = Nl O 3 + 4* NUMMAT* I TWO

Nl05 LM Nl05 = Nl04 + 4* NUMMAT* ITWO

Nl06 XYZ Nl06 = Nl05 + 24* NUME

Nl07 MATP Nl07 = Nl06 + 12* NUME* I Tl40

Nl 08 ITR Nl 08 = Nl07 + NUME

Nl09 FE Nl09 = Nl08 + NUME = NLAST

Nl l 5 RO 1

N 11 5 = NLAST + NEQ* ITWO

FIGURA A.6 - POSIÇÕES OCUPADAS PELAS VARIAVEIS DAS SUB-ROTINAS CHAMA2, LERIG2, ESFOR2 E MATRI2 NO VETOR DE TRABA LHO NA zS FASE

220

N6 E

POI

BK

DK

LM

XYZ

MATP

ITR

N 114 FE Nll4 = NLAST = N7

Nll 5 RO Nll5 = Nll4 + NEQ* ITWO

N 11 9 RM N 1 1 9 = N 11 5 + 9 * N N * I TW O

Nl20 TENG Nl20 = Nll9 + 9* NN* ITWO

FIGURA A.7 - POSIÇÕES OCUPADAS PELAS VARI~VEIS DAS SUB-ROTINAS CHAMA2, LERIG2, ESFOR2 e MATRI2 NO VETOR DE TRABA LHO NA 3!! FASE