Upload
internet
View
141
Download
17
Embed Size (px)
Citation preview
COLÉGIO ISAAC NEWTON
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
PROF. LUCIANO VIEIRA Fonte: Trabalho de Prática IV - UFMS
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Definição: é toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do
segundo é igual ao produto do termo anterior com uma constante
q . O número q é chamado razão da progressão geométrica.
A P.G. também é um tipo de seqüência bastante presente
no nosso cotidiano.
Observe a situação:
“Em 2007, uma empresa produziu 200.000 peças de um produto.
A empresa fez uma previsão que a cada ano, sua produção deve
aumentar em 10% em relação ao ano anterior. Quantas peças
serão produzidas a cada ano até 2012?”.
(200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820, 322.102)
REPRESENTAÇÃO
P.G. (a1, a2, a3, ..., an)
a1 é o 1º termo da P.G.;
n é o nº de termos da P.G.;
an é o último termo da P.G. ou o
termo procurado ou o enésimo termo;
q é a razão da P.G.
O CÁLCULO DA RAZÃO
Podemos usar duas fórmulas para
encontrarmos a razão de uma P.G.
Vejamos:
...
CLASSIFICAÇÃO
P.G. FINITA: nº finito de termos
Exemplo:
(3, 6, 12, 24)
a1 = 3
a4 = an = 24
n = 4
q = 2
P.G. INFINITA: nº infinito de
termos
Exemplo:
(2, 8, 32, 128, 512, ...)
a1 = 2
q = 4
nn-1
1
aq= ,n≥3
a32
1 2
aaq= =
a a•
P.G. CRESCENTE: o termo posterior é maior que o anterior. Para que isso
aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e q 1, ou a1 0 e 0 q
1.
Exemplos:
(2, 4, 8, ...); q = 2
(-4, -2, -1, -1/2, ...); q = 1/2
P.G. DECRESCENTE: o termo posterior é menor que o anterior. Para que
isso aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e 0 q 1, ou a1 0
e q 1.
Exemplos:
(8, 4, 2, 1, ½, ...); q = ½
(-1, -2, -4, -8, ...); q = 2
P.G. CONSTANTE: todos os termos da P.G. são iguais, ou seja q = 1
Exemplo:
(5, 5, 5, 5, ...); q = 1
P.G. OSCILANTE: todos os seus termos são diferentes de zero e dois
termos consecutivos quaisquer têm sinais oposto. Para que isso
aconteça, é necessário e suficiente que a1 0 e q 0.
Exemplo:
(3, -6, 12, -24, 48, -96, ...); q = -2
P.G. QUASE NULA: o primeiro termo é diferente de zero e todos os
demais são iguais a zero, isto é, a1 0 e q = 0.
Exemplo:
(9, 0, 0, 0, 0, ...); q = 0
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G.
Voltando a situação da empresa, onde temos a
P.G. (200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820,
322.102), podemos calcular a quantidade de
peças produzidas ano a ano multiplicando a produção inicial por
potências 1,1 (110%).
Assim, se quiséssemos saber a produção no ano de 2010, teríamos:
a1 = 200.000 q = 1,1
Logo, a produção do ano de 2010 seria:
a2010 = a1 . q3 a2010 = 200.000 . (1,1)3 a2010 = 200.000 . 1,331 a2010 = 266.200
Observem que 266.200, corresponde ao 4º termo da P.G.
Assim, podemos
escrever todos os termos
da P.G. da seguinte
maneira:
a1 = a1 . q0
a2 = a1 . q1
a3 = a1 .q2
a4 = a1 . q3
a5 = a1 . q4
a6 = a1 . q5
Portanto, qualquer termo
an é igual ao produto de a1
pela potência q(n – 1), ou seja, a
fórmula do termo geral da
P.G. é expressa por:
an = a1 . q(n - 1)
onde,
an é o último termo da P.G.
ou o termo desejado ou o
enésimo termo;
a1 é o primeiro termo da
P.G;
n é o número de termos da
P.G.
q é a razão da P.G.
A fórmula do termo geral da P.G. nos permite calcular a lei
de formação de uma P.G., a razão (q), o número de termos (n),
o primeiro termo (a1) e o último termo ou o termo desejado (an).
Exemplos:
1. Dê a fórmula do termo geral ou lei de formação da P.G. (2,
4, ...).
an = a1 . q(n – 1) an = 2 . 2(n – 1) an = 2(n)
2. Qual o quarto termo da P.G. (2, 8, ...)?
a4 = 2 . 4(4 – 1) a4 = 2 . 43 a4 = 128
3. Quantos elementos tem a P.G. ( 3, 6, ..., 192)?
192 = 3 . 2(n – 1) 192 3 = 2(n – 1) 64 = 2(n – 1) n = 8
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.G.
Três termos:
Cinco termos:
Para P.G. com número par de termos, ou seja, sem termo
central, usamos uma notação diferente em que o q da razão é em
função de outro número qualquer, ou seja, q = y2.
Dois termos:
Quatro termos:
x,x,xq ,comrazão q,seq ou x,xq,xq ,comrazão q
q
20
x x, ,x,xq,xq ou x,xq,xq ,xq ,xqqq
2 2 3 42
x,xy
y
x xx,xq,xq ,xq comrazãoqou , ,xq,xq comrazãoq seq
2 3 3 2
30
PROPRIEDADES DA P.G. P1 – Média Geométrica
Uma seqüência de três termos em que o primeiro é diferente
de zero, é P.G. se, e somente se, o quadrado do termo médio (am)
é igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo a 0, temos:
(a, b, c) é P.G. b2 = a .c
Demonstração:
Vamos analisar duas hipóteses: b 0 ou b = 0
1ª hipótese: b 0
Como a 0 e b 0, temos:
b ca,b,c éP.G
a be
b cb ac
a b
2
Logo: (a, b, c,) é P.G. b2 = ac
2ª hipótese: b = 0
Como a 0 e b = 0,
temos: a,b,c éP.G. c
e
c b ac
2
0
0
Logo: (a, b, c,) é P.G. b2 = ac
P2 – Produto dos termos eqüidistantes
Numa P.G finita, o produto de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos.
Seja a P.G. (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an), temos:
a1 . an = a2 . an – 1 = a3 . an – 2 ...
Exemplo::(2, 4, 8, 16, ..., 32, 64, 128, 256)
. 02 256 512
. 04 128 512
. 08 64 512
. 16 32 512
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar, inserir ou intercalar meios geométricos entre
dois números dados (extremos) é obter uma P.G. na qual os
números dados sejam o primeiro e o último termo. Para isso
devemos calcular a razão dessa P.G.
Exemplo:
1. Interpolar 4 meios geométricos entre 1 e 243.
Observemos que a1 = 01, an = 243 e n = 06 (04 meios + 02
extremos).
Então, falta calcular a razão da P.G. para que possamos inserir
os meios.
Logo,
nna
qa
q
q
q
1
1
6 1
5
243
1
243
3
P.G. 1, 3, 9, 27, 81, 243
.n 6Assim, a é igual a a
SOMA DOS SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G.P.G.
A soma dos n termos de uma P.G. (an) de razão q 1 é dada pelas fórmulas:
1
1
1
n
n
qS a
q
1
1
1
n
n
qS a
q
nn
a q aS
q
1
1
Onde,
Sn = soma dos n termos da
P.G.;
a1 = 1º termo da P.G;
n = número de termos da P.G;
q = razão da P.G.
an = enésimo termo da P.G.
Exemplo:
1. Dada a P.G. (3, 6, ...),
determine a soma de seus 4
primeiros termos.
Primeiro vamos retirar os
dados que o exercício
nos fornece:
a1 = 3
n = 4
q = a2 a1 q = 2
P.G. até o 4º termo (3,
6, 12, 24)
an = a4 = 24
Agora é só aplicar a
fórmula da soma.
1
1
1nS =anq
q
42 1
2 116 1
1
4
4
4
4
S =3
S =3
S =3 15
S =45
SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA P.G.
Nas progressões geométricas em que -1 < q < 1, a soma dos n
primeiros termos tem um limite finito quando n . Neste caso,
qn aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja,
Sabemos que
Logo,
Isto é:
n
nlimq
0
n
n
qS a ,q
q
1
11
1
nn
limS aq
1
1 0
1
nn
alimS , q
q
1 1 1
1
Exemplo:
1. Calcule o limite da soma dos termos da P.G.
Neste caso,
Então:
Logo,
Isso significa que quanto maior for n, a soma
será mais próxima de 1.
, , ,
1 1 1 1
2 4 8 16
a 11
2
q1
2
nn
alimS
q
1
1 12 2 11 11 12 2
nnlimS
1
n 1 1 1 1 1
2 4 8 16 2
PRODUTO DOS TERMOS DA P.G. O produto Pn dos n termos de uma P.G. pode ser obtido por
duas maneiras:
Primeira maneira:
Exemplo:
1. Determine o produto dos 04 primeiros termos da P.G. (3, 6, ...).
Pela primeira maneira
n nn
nP a q
1
21 nn nP a a 1
.
P
P
P
P
4 4 14 2
4
64
4
4
3 2
81 2
81 64
5184
• Segunda Maneira:
• Pela segunda maneira
44
44
24
4
3 24
72
72
5184
P
P
P
P
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA P.G.
0 1 2 3 4
n
an
a0
a1
a2
a3
a4
an = a0 . qn
COMO DIFERENCIAR P.A DE P.G Não existe outra maneira senão calculando a razão da
seqüência apresentada.
Exemplo:
1. Dada a seqüência (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), verifique se é P.A. ou
P.G.
Resolução: de cara vemos que não se trata de P.A., pois:
2 – 1 = 1;
4 – 2 = 2;
8 – 4 = 4.
Verifiquemos se é P.G.
2 1 = 2;
4 2 = 2;
8 4 = 2.
Portanto, temos que a seqüência dada é uma P.G.
COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DE P.A. E P.G.
“A produção de alimentos
cresce em progressão
aritmética
enquanto a população cresce
em progressão geométrica”.
Conclusão: Fome Mundial
Thomas Malthus
BIBLIOGRAFIA Dante, Luiz Roberto. Matemática Contextos e Aplicações Volume Único. São
Paulo. Ática. 2009.
Paiva, Manoel. Matemática Volume Único. São Paulo. Moderna. 2003.
Silva, Claudio Xavier da; Filho, Benigno Barreto. Matemática Aula por Aula. São
Paulo. FTD. 2005;
Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. São
Paulo. Atual. 2004;
Souza, Maria Helena de. Spinelli, Walter. Matemática. São Paulo: Ática, 1999.
http://www.seufuturonapratica.com.br/intellectus/_Arquivos/Jan_Jul_04/PDF/
Artigo_Valeria.pdf - Consultado em 06/10/2009 às 11:46;
http://www.somatematica.com.br/emedio2.php. Consultado em 06/10/2009;
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/progressao.htm. Consultado
em 06/10/2009;
http://images.google.com.br/;
JOGANDO COM A P.A. Objetivos: estruturar seqüências lógicas, na forma de uma Progressão
Aritmética, onde exista:
- uma razão (r)
- um 1º termo (a1)
- o número de termos (n)
- o último termo da seqüência (an).
O número de termos será fixo em todos os jogos, pois equivale ao
número de cartas, seis.
Diante disso, para a confecção do jogo será utilizado: tesoura; régua;
lápis; pincel atômico ou caneta; papel cartão ou cartolina da cor
desejada.
O número de participantes do jogo pode variar entre 3 a 5, a critério
do professor e da disponibilidade da sala.
Seguiremos os seguintes passos para a confecção do material a ser
utilizado durante o jogo:
Primeiro passo: Riscamos no papel cartão ou cartolina retângulos 6
cm x 8 cm, que serão as cartas.
Segundo passo: Enumeramos as cartas de 1 a 30, duas vezes,
totalizando 60 cartas.
Terceiro passo: Recortamos os retângulos.
Quarto passo: Depois de pronto, embaralhamos e iniciamos o jogo.
O desenvolvimento do jogo “Jogando com a P. A.” acontece da
seguinte forma:
Um dos jogadores distribui seis cartas a cada participante, uma a
uma.
De acordo com as cartas em mãos, cada jogador raciocina de
maneira lógica, e define qual será a razão de sua seqüência. Essa
razão deve variar de dois a cinco, impreterivelmente. Essa razão
pode ser modificada de acordo com a estratégia do jogador e o
andamento do jogo. A razão escolhida deve ser mantida sobre sigilo.
O jogador à direita de quem distribuiu as cartas, pega uma carta e
descarta outra que não é compatível à sua seqüência.
As cartas descartadas só podem ser adquiridas pelo jogador à
direita do descartante.
Esse movimento continua até o final do jogo, em sentido anti-
horário.
O jogador que errar a seqüência ou os termos da P.A. sai do jogo
e os outros participantes continuam.
Caso as cartas acabem sem nenhum dos participantes ter
completado sua seqüência, todas as cartas que foram descartadas
serão embaralhadas e adquiridas novamente até uma seqüência
ser completada.
Será considerado vencedor do jogo, quem completar primeiro sua
seqüência, com a razão escolhida, e falar aos outros participantes
qual é a razão, e os termos, a1, an e n.
LISTA DE EXERCÍCIOS1. Dada a P.A. (-19, -15, -11, ...), calcule o seu enésimo termo.
2. Encontre o valor de x para que a seqüência (2x, x + 1, 3x) seja
um P.A.. Escreva a P.A. e dê o valor da razão.
3. A soma dos n primeiros números pares positivos é 132. Quantos
termos tem a P.A.?
4. Qual a soma dos termos da P.A. (-16, ___, -12, ___, ..., 84)?
5. Os ângulos internos de um pentágono convexo estão em P.A..
Determine o termo am dessa seqüência.
6. Qual é o vigésimo termo da P.A. (2, 8, ...)?
7. Quando inserimos 10 meios aritméticos entre 2 e 79, qual a
razão da P.A. obtida?
8. Três números estão em P.A; o produto deles é 66 e a soma é 18.
Calcule os três números, e escreva as P.A..
9. No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de
uma montadora esta em P.A. crescente. Em janeiro, a produção
foi de 18.000 carros, e em junho, de 78.000 carros. Qual foi a
produção dessa montadora nos meses de fevereiro, março, abril
e maio?
10. O jardim de uma praça pública possui 60 roseiras plantadas ao
lado de um caminho reto e separadas a uma distancia de um
metro uma da outra. Para regá-las, o jardineiro enche um
regador em uma torneira que também esta ao lado do caminho
e a 15 metros antes da primeira roseira. A cada viagem, ele
rega três roseiras. Começando e terminando na torneira, qual a
distancia total que ele terá de caminhar até regar todas as
roseiras?
11. Três números estão em P.G.; o produto deles é 729 e a soma 39.
Quais são esses números? Escreva as P.G.?
12. Numa P.G. (2, 1, ...), qual o seu enésimo termo?
13. Numa P.G. crescente, o primeiro termo é 3 e o quinto termo é
30.000. Qual a razão da P.G.?
14. Qual o oitavo termo de uma P.G. na qual ?
15. Quantos meios geométricos existe entre 1/16 e 64 com razão 4?
16. Determine x de modo que (5, 2x + 4, 6x + 2) seja uma P.G.
17. Obtenha o 11º termo da P.G. (1/27, 1/9, 1/3, ...) e a soma dos 11
primeiros termos.
18. Na P.G. (a1, a2, a3, ...) de razão q = 2, sabe-se que a soma dos 08
primeiros termos é 765. Determine o valor de a1.
19. Qual a soma dos infinitos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4, ...)?
20. No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma
indústria cresceu em P.G.. Em janeiro, a produção foi de 1.500
unidades e em junho foi de 48.000 unidades. Qual foi a produção
dessa indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
21. Dê o produto dos n termos da P.G. (1, -3, 9, -27).
a 1 2 e q= 2
22. Calcule a soma dos 30 primeiros múltiplos positivos de 3.
23. Calcule x e y, para que a sucessão (2, x, 2x +6, y) seja uma P.G.
crescente.
24. Sabe-se que (x, 3x – 1, 8x – 4) é uma P.G.. Calcule x e a razão.
25. A sucessão (1, a, b) é uma P.A., e a sucessão (1, a, b + 1) é uma
P.G.. Calcule a e b.
26. São dados três números inteiros em P.G. cuja soma é 26.
Determine esses números sabendo que o primeiro, o dobro do
segundo e o triplo do terceiro formam uma P.A..
27. Na P.G. (2, 4, 8, ...), qual é a posição do termo 1024?
28. Complete a P.G. (9/4, ___, ___, ___, ___, 8/27).
29. Determine a soma de todos os naturais múltiplos de 4 que
possuem 02 algarismos.
30. Verifique se a sucessão é uma progressão, classifique-a e dê a
razão.
2, 2 2, 4, 4 2, 8, 8 2, 16