Progressões - matematicaprofdiego.files.wordpress.com · Quantos são os múltiplos de 5 compreendidos entre 101 e 999? Podemos facilmente verificar que o primeiro múltiplo de 5

Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC 15

Progressões

Ao lançarmos uma moeda, teremos dois resultados

possíveis: cara ou coroa. Se lançarmos duas moedas

diferentes, passamos a ter quatro resultados

diferentes: (cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara) e

(coroa, coroa). Se lançarmos três moedas, serão oito

os resultados possíveis, e assim por diante.

A relação entre o número de moedas e o número de

resultados é mostrada na tabela:

Número de moedas Número de resultados 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 ... ...

Vemos que 01 2 ,

12 2 , 24 2 ,

24 2 , 416 2 , 532 2 e por aí vai.

Então se n é o número de moedas, o número de

resultados é 2n

. Nesse caso, temos uma sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, ...).

Qual o total de resultados se lançarmos 8 moedas?

Neste capítulo aprofundaremos o estudo das

sequências e das progressões, notadamente as

progressões aritmética e geométrica.

Em muitas situações em nosso cotidiano aparece a

ideia de sequência ou sucessão. Por exemplo:

A sequência dos dias da semana.

(domingo, segunda, ..., sábado)

A sequência dos números naturais.

(0, 1, 2, 3, 4, ...)

A sequência dos anos em que ocorrem as

Olimpíadas, desde 1988.

(1988, 1992, 1996, ..., 2012, ...)

Em todas essas situações observamos uma certa

ordem nos elementos da sequência. Esses

elementos são também chamados termos da

sequência ou sucessão. Na sequência dos meses do

ano, temos:

1º termo: janeiro

2º termo: fevereiro

...

12º termo: dezembro

Se representarmos o 1º termo de 1a (lê-se a índice

1), o 2º termo por 2a , o 3º termo de

3a , e assim por

diante, até o enésimo termo (na ), essa sequência

pode ser representada por:

(1a ,

2a , 3a ,

4a , ..., na )

Nesse exemplo, temos:

1a janeiro 7a julho

10a outubro

e assim para os outros meses.

DEFINIÇÃO

Uma sequência finita de n termos é uma função

cujo domínio é o conjunto numérico 1,2,3,4,..,n .

Os números do contradomínio são indicados por 1a

, 2a ,

3a , 4a , ...,

na .

Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio

é 1,2,3,4,.., ,...n , e o contradomínio é

indicado por 1 2 3 4, , , ,..., ,...na a a a a . Assim, temos:

1(1)f a , 2(2)f a , ( ) nf n a .

Exemplos:

A sequência dos números ímpares positivos

é infinita: (1, 3, 5, 7, 9, ..., n, ...) onde 1 1a ,

2 3a , 3 5a ,

4 7a , etc.

1 Introdução

2 sequências

16 Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC

Capítulo 3 – Progressões Álgebra II

A sequência dos quatro primeiros múltiplos

de 5 é finita: (0, 5, 10, 15). Nesse caso,

1 0a , 2 5a ,

3 10a e 4 15a .

17, 12, 7, 2, 3, 8 é uma sequência finita

de 6 termos.

DETERMINAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA

As sequências podem ser aleatórias ou regradas, ou

seja, possuem um padrão de construção. Esses

padrões, regras ou leis matemáticas que as regem

são chamados de leis de formação, que permitem

que explicitemos todos os termos da sequência.

Vamos a um exemplo:

Construa a sequência a partir de sua lei de formação

2 1na n , para *n .

Para n = 1 1 2 1 1 1a

Para n = 2 2 2 2 1 3a

Para n = 3 3 2 3 1 5a

Para n = 4 4 2 4 1 7a

Então temos a sequência (1, 3, 5, 7, ...)

Vejamos outro exemplo:

Vamos escrever a sequência definida por

1

1

3

2,n n

a

a a n

Para n = 1 1 3a

Para n = 2 2 1 2 3 2 5a a

Para n = 3 3 2 2 5 2 7a a

Para n = 4 4 3 2 7 2 9a a

Então temos a sequência (3, 5, 7, 9, ...)

EXERCÍCIOS DE TREINO

1. Escreva o termo geral das sequências:

a) (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)

b) (2, 3, 4, 5, 6, ...)

c) (3, 6, 9, 12, 15, ...)

d) (2, 5, 8, 11, 14, 17, ...)

e) Dada uma sequência em que 1 2a e

1 5n na a , quantos dos dez primeiros números

são primos?

Progressão aritmética (PA) é toda sequência de

números na qual a diferença entre cada termo (a

partir do segundo) e o termo anterior é constante.

Essa diferença constante é chamada razão da

progressão, e é representado pela letra r.

Exemplos:

A sequência (2, 7, 12, 17, ...) é uma

progressão aritmética infinita de razão 5,

em que 1 2a e r = 5. Essa é uma PA

crescente, pois r > 0.

A sequência (20, 10, 0, 10, 20) é uma PA

de cinco termos em que o 1º termo é

1 20a e a razão é r = 10. Essa é uma PA

decrescente, pois r < 0.

A sequência (4, 4, 4) é uma PA de 3 termos

onde o 1º termo é 1 4a e a razão é r = 0.

Quando r = 0, a PA é chamada de constante

ou estacionária.

Como a razão se mantém constante, dados três

termos consecutivos de uma PA, por exemplo, 1a ,

2a e 3a , temos que: 1 3

22

a aa

, ou seja, quando

temos três termos consecutivos em uma PA, o

termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

Em uma progressão aritmética (1a ,

2a , 3a , ...,

na )

de razão r temos o seguinte:

Temos o termo 1a começando a sequência. O termo

2a nada mais é do que 1a somado à razão, ou seja,

1a r . O termo 3a é

2a r , mas como já vimos, 2a

3 progressão aritmética (PA)

4 fórmula do termo geral de uma pa



é 1a r , então podemos reescrever

3a como

1 2a r . Esquematizando, temos:

1

2 1

3 2 1 1

4 3 1 1

5 4 1 1

2

2 3

3 4

a

a a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

a a r a r r a r

Se generalizarmos para n termos, temos que o

termo geral de uma PA é:

1 ( 1)na a n r

Onde na é o enésimo termo, n é o termo de ordem e

r a razão da PA.

Vamos a alguns exemplos:

Encontre o termo geral da PA (5,9,...) .

Temos 1 5a e 9 5 4r .

Colocando na expressão do termo geral:

1 ( 1)

5 ( 1)4

5 4 4

4 1

n

n

n

n

a a n r

a n

a n

a n

Esta é a expressão do termo geral

Determine o décimo termo da PA (2,8,14,...) .

1

10 1

10

10

2; 6; 10

9

2 9 6

56

a r n

a a r

a

a

Em uma progressão aritmética, o décimo termo é

3 e o décimo segundo é 11. Quanto vale o sétimo

termo dessa sequência?

Sabemos que 12 10 2a a r , temos que:

12 10 2 11 3 2 7a a r r r

Sabemos também que se ao avançar nos termos nós

somamos razões, ao retroceder termos nós

subtraímos razões. Então:

7 10 7

7

3 3 3 7

24

a a r a

a

Numa PA crescente, sabemos que 2 6 20a a e

4 9 35a a . Determine o termo geral desta PA

Para resolver esse exercício, vamos colocar os termos

da sequência em relação a 1a e r .

2 6 4 9

2 1 4 1

6 1 9 1

1 1 1 1

1 1

20 35

3

5 8

5 20 3 8 35

2 6 20 2 11 35

a a a a

a a r a a r

a a r a a r

a r a r a r a r

a r a r

Temos então duas equações com duas incógnitas.

Podemos resolver num sistema de equações:

1

1

2 6 20

2 11 35

a r

a r

E obtemos como resposta 1 1a e 3r . Para

descobrir o termo geral da PA, utilizamos a fórmula:

1 ( 1)

1 ( 1)3

1 3 3

3 2

n

n

n

n

a a n r

a n

a n

a n


2. Escreva a PA de:

a) cinco termos, em que o primeiro termo é 7 e a

razão é 4.

b) quatro termos, em que o primeiro termo é 6 e

a razão é 8.



3. Determine o sétimo termo de uma PA na qual o

quarto termo é 25 e a razão é 5.

4. Qual é a fórmula do termo geral da sequência dos

números pares positivos?

5. Numa PA em que o 20º termo é 157 e o 1º termo

é 5, calcule a razão.

6. Numa PA, o 8º termo é 52 e o 10º termo é 66.

Calcule o 9º termo e a razão dessa PA.

A interpolação aritmética consiste em inserir

termos, chamados de meios aritméticos dentro de

uma progressão. Para explicar melhor, vamos aos

exemplos:

No primeiro semestre de um dado ano, a produção

mensal de uma montadora está em PA crescente.

Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em

junho, foi de 78000 carros. Qual foi a produção

dessa montadora nos demais meses do período

janeiro-junho?

Nessas condições, o problema consiste em formar

uma PA na qual:

1 18000

78000

(18000, ___, ___, ___, ___,78000)

6

n

a janeiro

a junho

n

`

Para interpolar quatro meios aritméticos (2 3 4, ,a a a e

5a ), devemos inicialmente calcular o valor da razão

r:

1 ( 1)

78000 18000 (6 1)

78000 18000 5

5 60000

12000

na a n r

r

r

r

r

Descoberta a razão, basta partir do 1º termo ir

somando as razões membro a membro:

2

3

4

5

18000 12000 30000

30000 12000 42000

42000 12000 54000

54000 12000 66000

a fevereiro

a março

a abril

a maio

Quantos são os múltiplos de 5 compreendidos entre

101 e 999?

Podemos facilmente verificar que o primeiro múltiplo

de 5 maior que 101 é 105, e que o último múltiplo de

5 menor que 999 é 995. Logo, os múltiplos de 5 entre

101 e 999 seguem a PA (105, 110, 115, ..., 995). O

exercício requer que nós saibamos quantos meios

estão interpolados na sequência da PA. Então, temos:

1 105a , 5r e 995na .

Para calcular o número de termos interpolados,

temos:

1 ( 1)

995 105 ( 1)5

995 105 5 5

995 100 5

5 895

179

na a n r

n

n

n

n

n

São 179 os múltiplos de 5 dentro do intervalo dado.

Karl Friedrich Gauss foi um matemático que viveu

de 1777 a 1855. Corre a história que quando ele

tinha 7 ou 8 anos, seu professor, visando que a sala

permanecesse em silêncio, ordenou aos alunos que

fizessem a soma de todos os números de 1 até 100.

Para a surpresa do professor, após poucos minutos,

Gauss deu a resposta: 5050. Veja seu raciocínio:

1 2 3 ... 98 99 100

3 98 101

2 99 101

1 100 101

5 interpolação aritmética

6 Soma dos termos de uma pa



Se reunirmos 100 termos, dois a dois, então temos

50 parcelas cuja soma resulta 101. Assim,

50 101 5050 . O raciocínio de Gauss também

serve para qualquer progressão aritmética de razão

r. Se reunirmos n termos, dois a dois, então temos

2

n termos cuja soma resulta em

1 na a :

1 2 3 2 1... n n na a a a a a

1 na a

1 na a

1 na a

Logo, a soma de n termos é: 1( )

2

nn

a a nS

.

Onde 1a é o primeiro termo,

na o enésimo termo,

nS a soma de n termos e n é o número de termos.

Vamos aos exemplos:

Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA

infinita (2, 6, ...)

Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam

uma PA finita, onde 1 2a , 4r e 50n .

Devemos então calcular na , ou no caso,

50a :

1

50

50

50

50

( 1)

2 (50 1)4

2 49 4

2 196

198

na a n r

a

a

a

a

Agora aplicamos a fórmula:

1( )

2

(2 198)50

2

200 25

5000

nn

n

n

n

a a nS

S

S

S

A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1º

termo dessa PA é 2, qual a razão r da PA?

Nessa PA sabemos que 10 200S ,

1 2a e 10n .

Devemos calcular 10a utilizando a fórmula da soma:

1

10

10

10

10

( )

2

(2 )10200

2

400 20 10

10 380

38

nn

a a nS

a

a

a

a

Podemos então calcular r:

10 1 9

38 2 9

9 36

4

a a r

r

r

r

A razão procurada é 4.


7. Quantos múltiplos de 11 existem entre 100 e

1000?

8. Quantos números inteiros existem de 100 a 500

que não são divisíveis por 7?

9. Insira sete meios aritméticos entre 20 e 68.

10. Calcule a soma:

a) dos 30 primeiros termos da PA (4, 10, ...);

b) dos 20 primeiros termos da uma PA em que o 1º

termo é 17 e a razão é 4;

c) dos 200 primeiros números pares positivos;

d) dos 50 primeiros múltiplos de 5;

e) de todos os múltiplos de 5 que tenham 3

algarismos;

f) dos n primeiros números pares.



11. Numa PA, a soma dos seis primeiros termos é

12. Sabendo que o último termo dessa PA é 7,

calcule o 1º termo.

12. A soma dos 20 primeiros termos de uma PA

finita é igual a 710. Se o 1º termo dessa PA é 7,

calcule seu 10º termo.

13. Numa PA, 3 6 34a a e

4 9 50a a . Calcule a

soma dos 20 primeiros termos.

14. Sabe-se que numa soma 1 na a n . Calcule a

soma dos n termos dessa PA.

15. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17

km na segunda hora, e assim por diante, em

progressão aritmética. Quantos quilômetros o

ciclista percorrerá em 5 horas?

Progressão geométrica (PG) é toda sequência de

números não nulos na qual é constante o quociente

da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo

termo anterior. Esse quociente constante é

chamado razão (q) da progressão. Ou seja, uma

progressão geométrica é uma sequência na qual a

taxa de crescimento relativo de cada termo para o

termo seguinte é constante.

Vamos a alguns exemplos:

A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de

quatro termos, em que 1 2a e a razão é

5q :

5 5 52 10 50 250

A sequência (6, 12, 24, 48, 96) é uma PG

de cinco termos, em que 1 6a e a razão é

2q :

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)6 12 24 48 96

TAXA DE CRESCIMENTO RELATIVO

As taxas de crescimento relativo são muito

utilizadas em análises quantitativas em diversas

áreas da ciência, e muito aplicada em Matemática

Financeira, que veremos no Capítulo 6. Dadas duas

grandezas a e b quaisquer, a taxa de crescimento

relativo i é dada por:

b ai

a

, ou em porcentagem: 100

b ai

a

.

A relação entre a taxa de crescimento relativo e a

razão é dada por 1q i .

Vamos usar os mesmos exercícios anteriores:

Para a sequência (2, 10, 50, 250), temos:

10 2 84

2 2

b ai

a

ou 400%

Para a sequência (6, 12, 24, 48, 96),

temos:

12 6 183

6 6

b ai

a

ou 300%

Como a razão se mantém constante, dados três

termos consecutivos de uma PG, por exemplo, 1a ,

2a e 3a , temos que: 2

2 1 3a a a , ou seja, quando

temos três termos consecutivos em uma PG, o

termo do meio é a média geométrica dos outros

dois.

CLASSIFICAÇÃO DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Dependendo da razão q, uma PG pode ser:

Crescente: A PG é crescente quando 1q e

os termos são positivos ou quando 0 1q

e os termos são negativos. Por exemplo:

(2, 6, 18, 54, ...), com q = 3.

( 40, 20, 10, ...) com q = 1

2.

Decrescente: A PG é decrescente quando

0 1q e os termos são positivos ou

quando 1q e os termos são negativos. Por

exemplos:

( 4, 12, 36, 108, ...), em que q = 3.

(200, 100, 50, 25,...), em que q = 1

2.

Constante: A PG é constante quando q = 1.

(5, 5, 5, ...) é uma PG de razão 1

7 progressão geométrica (PG)



Alternante: A PG é alternante quando

0q . Por exemplo:

(4, 8, 16, 32, ...), em que 2q .

( 81, 27, 9, 3,...), na qual 1

3q .

Em uma progressão geométrica (1a ,

2a , 3a , ...,

na )

de razão q temos o seguinte:

Temos o termo 1a começando a sequência. O termo

2a nada mais é do que 1a multiplicado pela razão,

ou seja, 1a q . O termo

3a é 2a q , mas como já vimos,

2a é 1a q , então podemos reescrever

3a como 1 ²a q .

Esquematizando, temos:

1

2 1

2

3 2 1 1

2 3

4 3 1 1

3 4

5 4 1 1

a

a a q

a a q a qq a q

a a q a q q a q

a a q a q q a q

Se generalizarmos para n termos, temos que o

termo geral de uma PG é:

1

1

n

na a q

Onde na é o enésimo termo, n é o termo de ordem e

q a razão da PG.

Vamos ver alguns exemplos:

Encontre o termo geral da PG (5,25,...) .

Temos 1 5a e

255

5q .

Colocando na expressão do termo geral:

1

1

1

1 1

5 5

5

5

n

n

n

n

n

n

n

n

a a q

a

a

a

Esta é a expressão do termo geral.

Determine o décimo termo da PG 1

,1,2,4,...2

.

1

1

1

9

10 1

9

10

8

10

10

1; 2; 10

2

12

2

2

256

n

n

a q n

a a q

a a q

a

a

a

Em uma progressão geométrica crescente, o quarto

termo é 2 e o nono é 64. Quanto vale o sétimo termo

dessa sequência?

Sabemos que 5

9 4a a q (ao passar do 4º para o 9º,

avançamos 5 termos), temos que:

5 5 5

9 4 64 2 32 2a a q q q q

3 3

7 4 7

7

2 2

16

a a q a

a

Numa PG, 3 5 360a a e

4 6 1080a a .

Determine o termo geral desta PG

Para resolver esse exercício, vamos colocar os termos

da sequência em relação a 1a e q .

2

3 1 2 4

3 5 1 14

5 1

2 4

1( ) 360 1

a a qa a a q a q

a a q

a q q

8 fórmula do termo geral de uma pg



3

4 1 3 5

4 6 1 15

6 1

3 5

1

2 4

1

( ) 1080

( ) 1080 2

a a qa a a q a q

a a q

a q q

a q q q

Dividindo 1 por 2 , temos:

1a 2 4( )q q

1a 2 4( )q q q

360

1

31080

1 13

3q

q

Podemos então descobrir 1a para descobrir o termo

geral:

2 4

1

1

1

1

(3 3 ) 360

(9 81) 360

360

90

4

a

a

a

a

1

1

14 3

n

n

n

n

a a q

a


16. Determine a fórmula do termo geral de cada PG:

a) (2, 8, ...)

b) (3, 9, ...)

c) (2, 1, ...)

17. Calcule:

a) o 5º termo da PG (1, 5, ...)

b) o 10º termo da PG (9, 27, ...)

18. Numa PG infinita, temos 1 512a e 1

2q . Qual

é o 6º termo dessa PG?

19. As raízes da equação do 2º grau x² 5x +4 = 0

são o 1º e o 2º termo de uma PG crescente.

Determine o 6º termo dessa PG.

20. Determine x para que as seguintes sequências

sejam PG:

a) (4, x, 9)

b) (a, x, ab²)

c) (x 3, x, x + 6 )

d) (2x + 1, 3x 6, 4x 8)

A interpolação geométrica consiste em inserir

termos, chamados de meios geométricos dentro de

uma progressão. O processo é muito semelhante à

interpolação aritmética. Para explicar melhor,

vamos a um exemplo:

No primeiro semestre de 2013, a produção mensal

de uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, a

produção foi de 1500 unidades e, em junho, foi de

48000 unidades. Qual foi a produção dessa

indústria nos demais meses do período janeiro-

junho?

Nessas condições, o problema consiste em formar

uma PG na qual:

1 1500

48000

(1500, ___, ___, ___, ___,48000)

6

n

a janeiro

a junho

n

`

Para interpolar quatro meios geométricos

(2 3 4, ,a a a e

5a ), devemos inicialmente calcular o

valor da razão r:

1

1

6 1

5

5

48000 1500

48000 1500

32

2

n

na a q

q

q

q

q

Descoberta a razão, basta partir do 1º termo ir

somando as razões membro a membro:

9 interpolação geométrica



2

3

4

5

1500 2 3000

3000 2 6000

6000 2 12000

12000 2 24000

a fevereiro

a março

a abril

a maio


21. Insira quatro meios geométricos entre 6 e 192

22. Entre os números 18 e x foram inseridos dois

meios geométricos, gerando uma PG de razão 3.

Qual é o valor de x?

23. A produção de uma empresa nos meses de

janeiro, fevereiro e março, respectivamente, forma

uma PG. Se a produção em janeiro foi de 3000

unidades e em março foi de 27000 unidades,

quantas unidades foram produzidas em fevereiro?

A soma dos n termos de uma progressão

geométrica finita de razão 1q é:

1

1

1

n

n

qS a

q

Vamos ver um exemplo:

Determine a soma dos dez primeiros termos da PG

(3, 6, 12, ...)

Conhecemos 1 3a , 2q e 10n .

10

1

1 2 13 3 (1024 1) 3069

1 2 1

n

n

qS a

q

Mas e se q = 1? Se q = 1, a PG será constante, e para

saber a soma de seus termos basta multiplicar

qualquer um dos termos pelo número de termos da

PG, ou seja, 1nS a n .

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

Vamos considerar a seguinte PG: 1 1 1 1

, , , ,...2 4 8 16

.

Podemos facilmente ver que é uma PG cujo

primeiro termo é 1

1

2a e

1

2q . Observe:

1

2

3

4

10,5

2

1 1 30,75

2 4 4

1 1 1 70,875

2 4 8 8

1 1 1 1 150,9375

2 4 8 16 16

S

S

S

S

Você deve ter notado que cada vez mais a soma fica

próxima de 1, mas nunca chegará a 1. Dizemos que,

para esta soma, 1 é a situação-limite, ou

simplesmente limite da soma. Isto acontece quando

o valor absoluto, ou módulo da razão fica entre 0 e

1, ou seja, 0 < |q| <1. Para estes casos, a fórmula da

soma será igual a:

1

1n

aS

q

Vejamos dois exemplos:

Determine a matriz geratriz:

a) da dízima periódica simples 0,333...

b) da dízima periódica composta 0,52121...

a) A dízima periódica pode ser escrita como uma

soma de frações:

0,333... 0,3 0,03 0,003 ...

3 3 3...

10 100 1000

Essas frações formam uma PG, com 1

3

10a e

1

10q . O número 0,333... é o limite máximo da soma

dessas frações. Então temos:

1

3 3

9 110 101 91 3 3

110 10

n

aS

q

10 Soma dos termos de uma PG



Logo, a fração geratriz é 1

3.

b) Fazemos o mesmo procedimento:

0,5212121... 0,5 0,021 0,00021 ...

5 21 21...

10 1000 100000

Note que nesse caso, a PG começa a partir da

segunda fração.

É uma PG em que 1 3

21

10a e

2

1

10q , então:

1

21 21

211000 10001 991

1100 100

n

aS

q

7

10 1000

100

1

33 99

7

330

Para descobrir a geratriz, somamos essa matriz que

descobrimos com a primeira fração que foi ignorada

no cálculo da geratriz:

5 7 86

10 330 165

Logo, a fração geratriz é 86

165.


24. Calcule a soma:

a) dos seis primeiros termos da PG (2, 8, ...)

b) dos seis primeiros termos da PG (7, 14, ...)

c) (5, 20, ..., 1280)

25. Os termos do 1º membro da equação

3 6 ... 381x formam uma PG. Calcule o

conjunto solução dessa PG

26. Calcule o valor limite das seguintes somas:

a) 1 1 1

1 ...2 4 8

b) 1 1

2 ...2 8

27. Calcule a fração geratriz das seguintes dízimas

periódicas:

a) 0,5151...

b) 0,4333...

c) 0,23131...

c) 2,666...

LISTA DE EXERCÍCIOS

1. (Cefet-MG) A sequência (m, 1, n) é uma

progressão aritmética e a sequência (m, n, –8) é

uma progressão geométrica. O valor de n é:

a) –2

b) –1

c) 3

d) 4

e) 8

2. (Cefet-MG) Somando-se um mesmo número a

cada elemento da sequência (1, –2, 3), obtém-se

uma progressão geométrica. A razão dessa

progressão encontrada é igual a:

a) 5

3

b) 3

5

c) 1

8

d) 3

5

e) 5

3

3. (PUC-MG) Os números inteiros não nulos a, b e c

formam, nessa ordem, uma progressão

geométrica de razão cinco. Os números a, bx e c,

nessa ordem, formam uma progressão

aritmética. O valor de x é:



a) 13

5

b) 17

5

c) 15

d) 25

4. (PUC-MG) De segunda a sexta-feira, uma pessoa

caminha na pista de 670 metros que contorna

certa praça. A cada dia, ela percorre sempre

uma volta a mais do que no dia anterior. Se,

após andar cinco dias, ela tiver percorrido um

total de 23,45 km, pode-se afirmar que, no

terceiro dia, essa pessoa deu x voltas em torno

da praça. O valor de x é:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

5. (Fuvest-SP) Três números positivos, cuja soma

é 30, estão em progressão aritmética. Somando-

se, respectivamente, 4, – 4, e – 9 aos primeiro,

segundo e terceiro termos dessa progressão

aritmética, obtemos três números em

progressão geométrica. Então, um dos termos

da progressão aritmética é:

a) 9

b) 10

c) 11

d) 13

e) 15

6. (Fuvest-SP) Sejam a e b números reais tais que:

I) a,b e a+b formam, nessa ordem, uma PA;

II-) 2a , 16 e 2b formam, nessa ordem, uma PG.

Então o valor de a é:

a) 2

3

b) 4

3

c) 5

3

d) 5

3

e) 8

3

7. (Fuvest-SP) Os números 1a , 2a , 3a formam

uma progressão aritmética de razão r, de tal

modo que 1 3a , 2 3a , 3 3a estejam em

progressão geométrica. Dado ainda que 1a > 0 e

2a = 2, conclui-se que r é igual a:

a) 3 3

b) 3

32

c) 3

34

d) 3

32

e) 3 3

8. Quantos termos consideramos na PG (3, 6, ...)

para obter uma soma que seja igual a 765?

9. A sequência 1 2 3 4, , ,a a a a é uma PA de razão 4

e a sequência 1 2 3 4, , ,b b b b é uma PG de razão

4. Sabendo que 4 3a b e 1 2a b , escreva a PA e

a PG.

10. Sabendo que os números 2, log x, log y, nessa

ordem, estão simultaneamente em PA e PG,

calcule x e y.

11. A espessura de uma folha de papel é 0,05 mm.

Forma-se uma pilha de folhas de papel

colocando-se na 1ª vez uma folha, e em cada

uma das seguintes, tantas folhas quanto já havia

na pilha. Após 11 operações iguais a essa, qual a

altura da pilha de papel em centímetros?

12. Um sitiante estava perdendo sua plantação de

algodão em decorrência da ação de uma praga.

Ao consultar um agrônomo da Casa da Lavoura,

foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao

dia, um determinado agrotóxico da seguinte

maneira: 2 litros no 1º dia, 4 litros no 2º dia, 8



litros no 3º dia, e assim por diante. Sabendo que

a quantidade de agrotóxico pulverizado foi de

126 litros, quantos dias esse tratamento durou?

13. Calcule x e y sabendo que a sequência (x, y, 9) é

uma PA, e a sequência (x, y, 12) é uma PG

crescente.

14. Uma bola de borracha cai de uma altura a. Após

chocar-se com o solo, a bola atinge apenas 2

3 de

altura inicial. Quanto a bola percorrerá até que

pare?

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