Projecto de Filtros de Microondas e Ondas Milimétricas

Miguel Correia da Silva Matias

Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em

Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e deComputadores

Júri

Presidente: Professor Doutor José Manuel Bioucas DiasOrientador: Professor Doutor António Luís Campos da Silva TopaVogais: Professor Doutor António Manuel Restani Graça Alves Moreira

Outubro 2011

ii

Agradecimentos

Quero comecar por agradecer ao meu orientador, o Professor Doutor Antonio Topa pela confianca

em mim depositada, pela sua disponibilidade, o seu apoio e calma transmitida ao longo deste

percurso.

Aos meus amigos, por me terem acompanhado ao longo da minha formacao como pessoa e

como engenheiro, deixo-lhes um grande abraco.

Um especial agradecimento a Patrıcia, por toda a paciencia, compreensao e incansavel incen-

tivo ao longo da dissertacao.

Finalmente, gostaria de agradecer a minha famılia, em especial aos meus pais, pelas condicoes

que sempre me proporcionaram ao longo da vida, por terem acreditado em mim e por nao me terem

deixado perder de vista o objectivo final deste esforco.

iii

iv

Resumo

Os filtros sao uma parte essencial dos sistemas de telecomunicacoes e de radar, uma vez que tem

uma grande influencia no desempenho e no custo de tais sistemas, especialmente com o espectro

cada vez mais congestionado. Os filtros permitem rejeitar os sinais transmitidos ou recebidos nas

bandas de frequencia indesejadas e permitem a sua transmissao na banda desejada com atenuacao

mınima.

Nas ultimas decadas verificou-se um crescimento particularmente acentuado no sector das

comunicacoes sem fios. Isto contribuiu para especificacoes exigentes no desempenho dos filtros

e para pressoes comerciais para o baixo custo e fabrico facil, com o objectivo de se produzir um

grande volume e garantir uma entrega rapida, e tambem para a miniaturizacao.

Esta dissertacao de mestrado apresenta um estudo sobre filtros para microondas e ondas mi-

limetricas, abordando desde conceitos basicos a problematica do projecto e simulacao dos filtros.

As estruturas periodicas possuem caracterısticas de passa-banda e rejeita-banda, que sao muito in-

teressantes do ponto de vista dos filtros. Analisou-se filtros com base nestas estruturas, entre eles,

o caso mais simples de duas cavidades ressonantes ligadas em serie. Os restantes filtros analisados

com o respectivo dimensionamento geral foram: o filtro de cavidades de quarto de onda acopladas,

o filtro de cavidades de acoplamento directo, o filtro microstrip de meia onda e o filtro microstrip

de acoplamento paralelo.

Os filtros analisados teoricamente foram testados atraves da simulacao com programas de

design para uma melhor compreensao do tipo de respostas que possuem. Tambem foi objectivo

apresentar duas solucoes de programas comerciais que possam servir de auxılio ao projectista,

pois permitem estudar, simular e optimizar os filtros. Assim, apos o processo de analise vitual

e possıvel construir um prototipo do filtro com caracterısticas mais proximas das pretendidas,

evitando expreriencias falhadas.

Palavras-chave: Estruturas periodicas; transformacao de Richard; identidades de Ku-

roda; filtro de cavidades de quarto de onda acopladas; filtro de cavidades de acoplamento directo;

filtro microstrip de meia onda; filtro microstrip de acoplamento paralelo.

v

vi

Abstract

Filters are an essential part of telecommunications and radar systems, since they have a great influ-

ence on performance and cost of such systems, especially in the increasingly congested spectrum.

Filters allow mitigate the transmitted or received signals in unwanted frequency bands and allow

its passage in the desired band with minimal losses.

In recent decades there has been a particularly marked growth in the area of wireless com-

munications. This has contributed to very demanding performance specifications for filters and

commercial pressures for low cost and easy manufacture, to produce a large volume and ensure a

quick delivery, and miniaturization, for example to produce smaller and lighter mobile phones.

This dissertation presents a study of microwave and millimeter wave filters, with an approach

from the basic concepts to the problem of filter design and simulation. The periodic structures have

characteristics of band pass and band-reject, which are very interesting from the filters perspective.

Filters based on these structures were analyzed, among them the simplest case of two coupled

cavities. The general design of other types of filters was also considered, such as quarter-wave

coupled cavity filter, direct-coupled cavity filter, microstrip half-wave filter and microstrip parallel

coupled filter.

The filters theoretically analyzed in this dissertation were tested by simulation using design

programs to better understand their type of responses. Has also been aim to present two solutions

of commercial programs that can serve to help the designer or just someone who just wants to

study the filters without the need to manufacture prototypes.

Keywords: Periodic structures; Richard’s transformation; Kuroda’s identities; quarter-

wave coupled cavity filter; direct-coupled cavity filter; microstrip half-wave filter; microstrip pa-

rallel coupled filter.

vii

viii

Conteudo

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Lista de Sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

1 Introducao 1

1.1 Enquadramento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Filtro Combline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Filtro Interdigital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Filtros de Acoplamento Capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Filtros de Acoplamento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.5 Filtros Hairpin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.6 Filtro em Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Motivacao e Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Contribuicao Original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Estruturas Periodicas 9

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Analise de Estruturas Periodicas Infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Teorema de Floquet e Harmonicas Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Cavidades Ressonantes Ligadas em Cadeia 17

4 Filtros de Microondas e Ondas Milimetricas 25

4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ix

4.2 Inversores de Impedancia e de Admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Transformacao de Richard e Identidades de Kuroda . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.1 Transformacao de Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.2 Identidades de Kuroda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Filtro de Cavidades de Quarto de Onda Acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5 Filtro de Cavidades de Acoplamento Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6 Filtro Microstrip de Meia Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.7 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Simulacao 55

5.1 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 AADE Filter Design and Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.2 Advanced Design System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Filtros de Cavidades Ressonantes Acopladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 Filtro Microstrip de Meia Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Conclusao 63

6.1 Discussao e Analise Crıtica dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Perspectivas de Trabalho Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A Matriz ABCD 67

B Resposta de Butterworth 71

C Resposta de Chebyshev 73

D Linha Microstrip 75

Referencias 82

x

Lista de Figuras

1.1 Filtro Combline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Filtro Interdigital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Filtro de Acoplamento Capacitivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Filtro de Acoplamento Paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Filtro Hairpin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Filtro em Anel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Linha de transmissao carregada periodicamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Estruturas periodicas tıpicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Curva de dispersao tıpica de uma estrutura periodica sem radiacao. . . . . . . . . 12

2.4 Guia de onda dielectrico com perturbacoes ao longo do eixo zz. . . . . . . . . . 13

2.5 Diagrama k − β para um guia de onda dieletrico sem perturbacoes. . . . . . . . . 15

2.6 Diagrama com as harmonicas espaciais normalizado pelo perıodo d. . . . . . . . 15

3.1 Ligacao em cadeia de duas cavidades identicas [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Circuito equivalente com a saıda adaptada [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (c) [1]. . . . . . . . . . 18

3.4 Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (b) [1]. . . . . . . . . . 19

3.5 Circuito equivalente da associacao em cadeia das duas cavidades [1]. . . . . . . . 19

3.6 Esquema equivalente do circuito da Figura 3.5 [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.7 Circuito simplificado da associacao de duas cavidades em cadeia [1]. . . . . . . . 20

3.8 Variacao do modulo do factor de transmissao de potencia com o desvio de frequencia

relativo ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Respostas dos quatro tipos de filtros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

xi

4.2 (a) Operacao de um inversor de impedancia e de um inversor de admitancia; (b)

Implementacao com transformadores de um quarto de onda; (c) Implementacao

alternativa [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 (a) Inversor de impedancia utilizado para converter uma admitancia em paralelo

numa impedancia equivalente em serie; (b) Inversor de admitancia utilizado para

converter uma impedancia em serie numa admitancia em paralelo [5]. . . . . . . 28

4.4 Mapeamento de frequencia entre a variavel de frequencia real ω e a variavel de

frequencia distribuıda Ω [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Resposta passa-baixo de Chebyshev usando a transformacao de Richard [2]. . . . 32

4.6 Correspondencia entre elementos de parametros concentrados e distribuıdos pela

transformacao de Richard [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.7 Identidades de Kuroda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.8 (a) Guia de onda carregado com dois diafragmas indutivos para formar uma cavi-

dade; (b) Circuito equivalente exacto; (c) Circuito equivalente aproximado. . . . 36

4.9 Rede equivalente do filtro obtida pelo uso de inversores de admitancia [5]. . . . . 37

4.10 Filtro de cavidades de quarto de onda acopladas [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.11 (a) Cavidade de guia de onda (b) Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.12 Inversor de impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.13 Filtro de cavidades de acoplamento directo [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.14 Filtro de meia onda com tres ressoadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.15 Inversor de admitancia usado no filtro microstrip de meia onda. . . . . . . . . . . 43

4.16 Filtro microstrip de acoplamento paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.17 (a) Par de linhas microstrip acopladas (b) Ilustracao dos modos par e ımpar (c)

Circuito equivalente das tiras acopladas apresentadas em (a) [5]. . . . . . . . . . 45

4.18 (a) Filtro de acoplamento paralelo (b) Circuito equivalente (c) Circuito equivalente

reduzido [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.19 (a) Filtro de acoplamento utilizando seccoes de linha acopladas em circuito aberto

(b) Circuito equivalente do filtro (c) Seccao basica de linha acoplada (d) Circuito

equivalente da seccao basica [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 Circuito equivalente do filtro com tres cavidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Ganho de potencia efectiva do filtro com tres cavidades. . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3 Circuito equivalente do filtro com cinco cavidades. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Ganho de potencia efectiva do filtro com cinco cavidades. . . . . . . . . . . . . . 58

xii

5.5 Circuito equivalente do filtro com sete cavidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.6 Ganho de potencia efectiva do filtro com sete cavidades. . . . . . . . . . . . . . 59

5.7 Esquema do filtro microstrip de meia onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.8 Resposta passa-banda do filtro microstrip de meia onda. . . . . . . . . . . . . . . 61

5.9 Esquema do filtro microstrip de acoplamento paralelo. . . . . . . . . . . . . . . 62

5.10 Resposta passa-banda do filtro microstrip de acoplamento paralelo. . . . . . . . . 62

A.1 Rede de dois portos com as suas variaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.2 Algumas redes de dois portos uteis e os seus parametros ABCD. . . . . . . . . . 69

B.1 Resposta Butterworth (“maximally flat”) [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

B.2 Distribuicao dos polos para a resposta de Butterworth (“maximally flat”) [2]. . . 72

C.1 Resposta de Chebyshev passa-baixo [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

C.2 Distribuicao dos polos para a resposta de Chebyshev [2]. . . . . . . . . . . . . . 74

D.1 Linha microstrip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

xiii

xiv

Lista de Sımbolos

Sımbolos gregos

β Constante de propagacao.

ε Constante de oscilacao.

Γ Factor de reflexao.

γ Constante de propagacao complexa.

λ Comprimento de onda.

ω Frequencia em radianos.

θ Comprimento electrico.

Sımbolos romanos

B Susceptancia.

C Capacidade.

c Velocidade da luz.

E Campo electrico.

G Condutancia.

H Campo magnetico.

I Corrente.

J Admitancia caracterıstica de um inversor de admitancia.

K Impedancia caracterıstica de um inversor de impedancia.

xv

k Constante de propagacao.

L Indutancia.

LAr Oscilacao.

Pc Potencia dissipada na carga.

Pi Potencia incidente.

PLR Racio de perda de potencia.

Ps Potencia absorvida pelo sistema.

Q Factor de qualidade.

R Resistencia.

T Factor de transmissao.

t Variavel de Richard.

V Tensao.

vp Velocidade de fase.

X Reactancia.

Y Admitancia.

Yc Admitancia caracterıstica.

Z Impedancia.

Zc Impedancia caracterıstica.

xvi

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Enquadramento

Esta dissertacao enquadra-se no domınio dos filtros de microondas e ondas milimetricas.

Em 1937, antes do inıcio da 2a Guerra Mundial, W. P. Mason e R. A. Sykes publicaram um

artigo particularmente importante sobre o uso de parametros ABDC, embora nao sob a forma

matricial, para obterem a impedancia de imagem, a fase de imagem e as funcoes de atenuacao de

uma ampla variedade seccoes de filtro uteis.

Durante a guerra, nos anos de 1941 a 1945, em varios laboratorios nos Estados Unidos, como

o M.I.T. Radiation Laboratory, o Harvard Radio Research Laboratory, Bell Laboratories, NRL,

entre outros, foram feitos grandes avancos e aplicacoes, principalmente no uso de parametros de

imagem. No laboratorio de radiacao o trabalho centrou-se nos filtros de cavidades de guias de

ondas, enquanto que o laboratorio concentrou-se nos filtros coaxiais passa-baixo, passa-banda e

passa-alto em banda larga para aplicacoes ECM nos filtros de ressoadores coaxiais para receptores

de busca em banda estreita.

Os cientistas que trabalharam no Rad.Lab. e com laboratorios de microondas associados nos

Estados Unidos da America e no Reino Unido estavam entre os melhores do mundo, entre eles no-

mes bem conhecidos como H. A. Bethe, N. Marcuvitz, E. M. Purcell e J. Schwinger. Actualmente

alguns dos seus trabalhos continuam insuperaveis, particularmente na area da teoria de campo [3].

A teoria de redes era provavelmente o topico de engenharia mais avancado naquela epoca,

com S. Darlington a publicar a sua famosa teoria sobre sıntese em cascata no ano 1939. Posteri-

ormente, no ano 1948, Fano e Lawson conseguiram escrever um sumario conciso e claro da teoria

de Darlington.

No inıcio dos anos 70, um ponto importante nos filtros de microondas comecou a causar

1

impacto: os filtros de elementos parametros concentrados. Actualmente os filtros de elementos

de parametros concentrados sao usados em frequencias de microondas ate cerca de 18 GHz. Um

aspecto academico importante dos filtros de elementos de parametros concentrados e que o seu

estudo e uma parte essencial na compreensao de filtros de parametros distribuıdos, com base em

grande parte na teoria dos elementos de parametros concentrados [4].

A literatura sobre o tema de filtros LC de elementos de parametros concentrados projectados

para operarem em frequencias de microondas e escassa. O problema destes filtros e que se se

estreita a banda, em seguida, os filtros projectados sao irrealizaveis na pratica, devido aos valores

dos elementos que deixam de ser viaveis.

E necessario introduzir redes externas de acoplamento para transformar os nıveis de im-

pedancia e introduzir inversores de impedancia e/ou realizar transformacoes de rede. O objectivo

e chegar a projectos onde normalmente todos os elementos indutivos tenham valores semelhantes

correspondente a uma reactancia de banda media na ordem dos 40 aos 100Ω.

Muitos dos princıpios do projecto de filtros estao esbocados, no entanto, sao necessarios mais

detalhes para uma compreensao mais completa.

Os programas de projecto de filtros disponıveis comercialmente sao geralmente ou muito com-

plicados e pouco intuitivos na sua utilizacao ou nao possuem todas as ferramentas ou elementos

necessarios, como por exemplo, linhas microstrip.

Os filtros de parametros distribuıdos podem ser divididos em categorias principais: combline,

interdigital, linhas com acoplamento capacitivo e acoplamento paralelo, hairpin, aneis, patch. Os

diversos meios para a implementacao destes filtros incluem o guia de onda, ressoadores dieletricos,

linhas coaxiais e varios circuitos impressos em microstrip, stripline e substrato suspenso.

1.1.1 Filtro Combline

O filtro combline consiste numa serie de ressoadores acoplados paralelamente, em curto-circuito

numa das extremidades e terminado por uma capacitancia concentrada na outra extremidade. Os

ressoadores estao orientados de modo a que os curto-circuitos estejam todos num dos lados do

filtro e as capacitancias estejam todas no lado oposto.

Os filtros combline sao os tipos de filtros coaxiais mais utilizados para frequencias abaixo dos

10 GHz, uma vez que a capacidade na terminacao permite uma util reducao do tamanho do filtro

comparativamente com filtros com base na ressonancia de quarto de onda. Quanto maior forem as

capacidades mais curtos serao os ressoadores, tornando a estrutura mais compacta.

2

Figura 1.1: Filtro Combline

1.1.2 Filtro Interdigital

O filtro interdigital consiste numa serie de ressoadores paralelos de linhas de transmissao, cada um

com comprimento electrico igual a 90o ou um quarto de onda, que alternam entre as terminacoes

em curto-circuito ou circuito aberto, como representado na Figura 1.2.

(a)

(b)

Figura 1.2: Filtro Interdigital.

Os filtros interdigitais tem maior aplicacao para frequencias de microondas superiores a 8

GHz, especialmente para bandas largas.

1.1.3 Filtros de Acoplamento Capacitivo

A estrutura do filtro de acoplamento capacitivo consiste em seccoes de linha com comprimento

aproximadamente igual a meia onda, que actuam como ressoadores e estao acoplados atraves de

3

um espaco entre as extremidades dos ressoadores adjacentes, como representado na Figura 1.3.

Figura 1.3: Filtro de Acoplamento Capacitivo.

1.1.4 Filtros de Acoplamento Paralelo

O filtro de acoplamento paralelo e normalmente realizado em microstrip, embora realizado oca-

sionalmente em stripline. O design do filtro consiste numa linha paralela de ressoadores com

comprimento igual a meia onda, λ/2, mas apenas sobre o acoplamento de um quarto de onda,

λ/4 para cada um dos ressoadores vizinhos, formando assim uma linha escalonada, conforme

representada na Figura 1.4.

Figura 1.4: Filtro de Acoplamento Paralelo.

1.1.5 Filtros Hairpin

O filtro harpin apresenta uma estrutura compacta e e composto pelo acoplamento em paralelo de

ressoadores de comprimento igual a meia onda dobrados em forma de “U”, como mostra a Figura

1.5.

Figura 1.5: Filtro Hairpin.

4

Ao dobrar o ressoador e necessario ter em conta a reducao do comprimento das linhas aco-

pladas, que reduz o comprimento entre os ressoadores. Alem disso, se as linhas paralelas do

“U” ficarem muito proximas, comportar-se-ao como um par de linhas acopladas paralelamente,

afectando o acoplamento desejado e alterando a resposta do filtro.

1.1.6 Filtro em Anel

O filtro em anel e composto por ressoadores, tal como o nome indica, em anel, cujo perımetro e

aumentado pela inclusao de reentrancias na linha utilizada, como representado na Figura 1.6.

Figura 1.6: Filtro em Anel.

Este tipo de filtro funciona como um ressoador em anel rectangular ou circular, com resposta

elıptica e e caracterizado pelo seu tamanho reduzido.

1.2 Motivacao e Objectivos

Os filtros em radiofrequencia e microondas sao essenciais para os sistemas de comunicacao que

transmitem ou recebem sinais, uma vez que permitem atenuar os sinais em bandas de frequencia

indesejadas e permitem, tambem, a sua passagem na banda desejada com perdas mınimas. Nas

ultimas decadas, verificou-se uma grande expansao dos sistemas de comunicacao sem fios, que

transmitem sinais na banda das microondas contendo informacao de voz, imagem ou dados. Nes-

tes sistemas sao necessarios filtros, onde as exigencias de baixas perdas, baixo custo, facil fabrico,

miniaturizacao e baixo peso sao cada vez maiores, particularmente nas areas das comunicacoes

movel e por satelite, nas quais a facilidade de integracao e a reducao dos circuitos sao as grandes

expectativas do mercado.

A realizacao desta dissertacao de mestrado tem como objectivo principal estudar os filtros de

microondas e ondas milimetricas com principal incidencia nos filtros de acoplamento em serie e

5

em paralelo realizados com cavidades ressonantes ou linhas microstrip. Pretendeu-se cobrir varios

assuntos, de forma clara e acessıvel, desde estruturas periodicas ate a teoria e simulacao de filtros,

propriamente ditos, de modo a concentra-los numa dissertacao que possa servir de desenvolvi-

mento ao tema, visto que a literatura que descreve os metodos envolvidos no projecto de filtros

e muito vasta. A informacao disponıvel sobre metodos exactos, escrita por especialistas no as-

sunto, contem poucas explicacoes pelos autores para aplicar os resultados obtidos dos processos

de sıntese em filtros fısicos reais. Em particular, ha uma ausencia de um processo de design co-

erente e completo, que comeca a partir da teoria e descreve o processo de sıntese, a aplicacao de

um filtro fısico e o processo de optimizacao.

Tambem se pretendeu simular os filtros estudados e apresentar duas solucoes de programas

que permitem realizar, dimensionar e analisar projectos de filtros.

1.3 Estrutura

Esta dissertacao encontra-se estruturada em seis capıtulos e quatro apendices. O primeiro e actual

capıtulo, Introducao, apresenta um enquadramento historico e teorico do filtros de microondas e

ondas milimetricas, a motivacao da escolha do tema, tal como, os seus objectivos.

O capıtulo 2, Estruturas Periodicas, descreve como estruturas periodicas, por exemplo uma

linha de transmissao ou guia de onda carregado em intervalos periodicos, possuem caracterısticas

de propagacao com e sem atenuacao de sinais, que permite que se possam utilizar como filtros.

No capıtulo 3, Cavidades Ressonantes Ligadas em Cadeia, apresenta-se um exemplo simples

de uma estrutura periodica constituıda por duas cavidades ressonantes ligadas em serie, que serve

como ponto de partida para o estudo dos filtros de micoondas e ondas milimetricas.

O capıtulo 4, Filtros de Microondas e Ondas Milimetricas, introduz conceitos uteis no di-

mensionamento de filtros, tais como, inversores de impedancia e admitancia, transformacao de

Richards e Identidades de Kuroda. De seguida estudam-se varios tipos de filtros de microondas e

ondas milimetricas.

O capıtulo 5, Simulacao, trata a simulacao dos filtros apresentados no capıtulo 4 e analise dos

resultados.

Finalmente, no capıtulo 6 conclui-se a dissertacao, e elaborada uma sıntese bem como a dis-

cussao dos resultados obtidos. Apresenta-se tambem uma perspectiva de trabalhos futuros consi-

derados relevantes que se possam realizar.

Nos apendices complementa-se a teoria de alguns dos assuntos abordados. O apendice A,

6

Matriz ABCD, trata os parametros ABCD de uma rede de dois portos na forma matricial. Nos

apendices B e C, apresentam-se duas respostas de filtros, respectivamente a resposta de But-

terworth e a resposta de Chebyshev. No apendice D, Linha Microstrip, apresenta-se a teoria deste

tipo de linha de transmissao planar.

1.4 Contribuicao Original

O tema desta dissertacao e um tema abordado na disciplina de Microondas. No entanto, este

tema nunca teve seguimento em dissertacoes apresentadas no Departamento de Engenharia Elec-

trotecnica e de Computadores do Instituto Superior Tecnico.

Existe escassa literatura que possa servir de iniciacao aos filtros de microondas e ondas mi-

limetricas. Os artigos escritos maioritariamente sao complexos e de difıcil compreensao para quem

comece a estudar este assunto. Nesta dissertacao, realiza-se uma revisao bibliografica e reune-se

informacao sobre um amplo domınio do tema contribuındo para torna-lo mais acessıvel.

Tal como a literatura existente, tambem nao existem muitos programas comerciais que nao

sejam demasiado complexos e que possam ser utilizados em projectos de filtros de microondas

e ondas milimetricas, especialmente com linhas microstrip. Nesta dissertacao apresenta-se dois

programas que se consideram muito uteis nao so em projectos, mas tambem para quem esta a

estudar filtros e pretende simular circuitos e verificar os resultados teoricos. Um dos programas

permite gerar circuitos de filtros de forma muito simples e intuitiva e o outro, nao tao simples, mas

com mais ferramentas, permite simular todos os filtros apresentados. Efectuou-se a simulacao

de exemplos dos filtros apresentados teoricamente no quarto capıtulo e apresenta-se uma analise

crıtica dos seus resultados.

7

8

Capıtulo 2

Estruturas Periodicas

2.1 Introducao

Uma linha de transmissao ou um guia de onda carregados em intervalos periodicos com elementos

reactivos sao referidos como estruturas periodicas. Estas estruturas podem tomar formas variadas,

dependendo da linha de transmissao a ser usada.

Os elementos de carga sao frequentemente formados por descontinuidades na linha no entanto,

podem ser modelados como reactancias ao longo da linha de transmissao, como representado na

Figura 2.1

Figura 2.1: Linha de transmissao carregada periodicamente.

Na Figura 2.2 apresenta-se algumas das estruturas periodicas praticas usadas em microondas.

Em 2.2(a) a estrutura e fechada para que nao haja radiacao, apenas os fenomenos de ondas

guiadas alvos de interesse sao observados. Em 2.2(b) esta representada uma estrutura periodica

bidimensional cuja estrutura e aberta para suportar certas propriedades da radiacao. Em 2.2(c)

representa-se uma das mais interessantes estruturas periodicas. Esta estrutura e constituıda por

perturbacoes periodicas num guia de onda (dielectrico) aberto, onde ambos os fenomenos de onda

guiada e de radiacao estao presentes.

9

(a) Guia de onda carregado periodica-mente

(b) Guia de ondas aberto 2-D em ma-triz

(c) Antena leaky wave

Figura 2.2: Estruturas periodicas tıpicas.

2.2 Analise de Estruturas Periodicas Infinitas

Nesta analise [5][6] considera-se uma estrutura simples, como a presente na Figura 2.1, para se

compreender as bases do fenomeno de propagacao de onda associado as estruturas periodicas.

Cada celula unitaria da linha consiste numa linha de transmissao de comprimento d centrada numa

susceptanciaB em paralelo, normalizada a impedancia caracterıstica Z0. Se se considerar a celula

unitaria como sendo uma rede de duas portas pode-se relacionar as tensoes e correntes de cada

lado da n-esima celula unitaria que constitui a estrutura periodica atraves da matriz ABCD.

Vn

In

=

A B

C D

Vn+1

In+1

(2.1)

onde A, B, C e D sao os parametros da matriz obtidos pela cascata de tres seccoes: uma seccao

da linha de transmissao de comprimento d/2, a susceptancia B e outra seccao da linha de compri-

mento d/2.

A B

C D

=

cos θ2 j sin θ2

j sin θ2 cos θ2

1 0

jB 1

cos θ2 j sin θ2

j sin θ2 cos θ2

=

(cos θ − B

2 sin θ)

j(

sin θ + B2 cos θ − B

2

)j(

sin θ + B2 cos θ + B

2

) (cos θ − B

2 sin θ)

(2.2)

onde θ = kd e o comprimento electrico da linha de transmissao na celula unitaria, sendo k a

constante de propagacao da linha nao carregada. Verifica-se queAD−BC = 1, como e requerido

em redes recıprocas.

Se se assumir que a estrutura periodica e infinita a tensao e a corrente nos n-esimos terminais

deveriam ser identicas as tensao e corrente dos n+1-esimos terminais no entanto, existe um atraso

10

de fase causado pela propagacao ao longo da celula. Portanto tem-se que

Vn+1

In+1

= e−γz

Vn

In

(2.3)

onde γ = α + jβ e a constante de propagacao complexa da estrutura periodica. Usando este

resultado em 2.1 obtem-se

Vn

In

=

A B

C D

Vn+1

In+1

=

Vn+1eγd

In+1eγd

(2.4)

ou

A− eγd B

C D − eγd

Vn+1

In+1

= 0 (2.5)

Uma solucao nao trivial para Vn+1 e In+1 existe apenas se o determinante for nulo, isto e,

AD + e2γd − (A+D)eγd −BC = 0 (2.6)

ou, como AD −BC = 1,

1 + e2γd − (A+B)eγd (2.7a)

e−γd + eγd = A+D (2.7b)

cosh γd =A+D

2(2.7c)

Substituındo os valores de A e D, obtidos em 2.2, em 2.7c tem-se que

cosh γd = cos θ − B

2sin θ (2.8)

Quando∣∣∣cos θ − B

2 sin θ∣∣∣ < 1 tem-se que α = 0 e γ = jβ, isto e,

cosβd = cos θ − B

2sin θ (2.9)

Este caso corresponde a propagacao sem atenuacao da onda na estrutura periodica, isto e,

define a zona de passa-banda da estrutura.

Quando∣∣∣cos θ − B

2 sin θ∣∣∣ ≥ 1 tem-se que β = 0, π e γ = α, portanto

11

coshαd =

∣∣∣∣cos θ − B

2sin θ

∣∣∣∣ ≥ 1 (2.10)

Neste caso nao existe propagacao de onda, esta e atenuada ao longo da linha, isto e, define a

zona de rejeicao da estrutura. Como a linha e sem perdas a potencia nao e dissipada, mas reflectida

de volta para a entrada da linha.

Portanto, dependendo dos valores de frequencia e susceptancia normalizada, a linha perio-

dicamente carregada exibe propriedades de passa-banda ou de rejeita-banda e, assim, pode ser

considerada como um filtro.

Notar que a propagacao em ambas as direccoes e possıvel, uma vez que −γ e uma das

solucoes.

Para se analisar as caracterısticas de passa-banda e rejeita-banda e util tracar a relacao entre

a constante de propagacao, β, e a constante de propagacao da linha nao carregada, k ou ω. Este

grafico e conhecido com diagrama k − β e apresenta-se na Figura 2.3

Figura 2.3: Curva de dispersao tıpica de uma estrutura periodica sem radiacao.

2.3 Teorema de Floquet e Harmonicas Espaciais

Numa estrutura periodica infinita verifica-se que a distribuicao do campo electromagnetico de

uma onda repete-se em todos os terminais excepto para um factor de propagacao e−γ(d), onde d

corresponde ao comprimento de uma celula unitaria da estrutura. O factor exponencial indica o

deslocamento de fase complexo entre celulas unitarias vizinhas da estrutura.

12

Figura 2.4: Guia de onda dielectrico com perturbacoes ao longo do eixo zz.

Considerando-se a estrutura em Figura 2.4, periodica apenas na direccao de z para se obter um

exemplo mais simples, se o campo da celula unitaria entre 0 ≤ z ≤ d e E(x, y, z), H(x, y, z), o

campo na celula unitaria vizinha seguinte, isto e, entre d ≤ z ≤ 2d, deve ser

e−γdE(x, y, z)

e−γdH(x, y, z)

Consequentemente, as componentes do campo electromagnetico numa estrutura periodica sao

descritas por

E(x, y, z) = e−γdEp(x, y, z) (2.11a)

H(x, y, z) = e−γdHp(x, y, z) (2.11b)

onde Ep e Hp sao funcoes periodicas de z com perıodo d, tais que

Ep(x, y, z + nd) = Ep(x, y, z) (2.12a)

Hp(x, y, z + nd) = Hp(x, y, z) (2.12b)

Estas expressoes obtidas em 2.12 sao muitas vezes referidas como Teorema de Floquet.

Qualquer funcao periodica pode ser expandida numa serie de Fourier, assim

13

Ep(x, y, z) =∞∑

n=−∞Epn(x, y)e−j2nπz/d (2.13)

onde Epn sao funcoes vectoriais de x e y e dependem da estrutura. Multiplicando ambos os lados

da equacao por ej2mπz/d e integrando no intervalo de uma celula unitaria, isto e, de z = 0 a z = d,

obtem-se

Epm(x, y, z) =1

d

∫ d

0Ep(x, y, z)e

j2mπz/ddz (2.14)

Como as funcoes exponenciais formam um conjunto ortogonal, isto e,

∫ d

0e−j2nπz/dej2mπz/ddz =

0 se m ≥ n

d se m = n

Assim, a componente do campo numa estrutura periodica pode ser representada na seguinte

forma

E(x, y, z) =∞∑

n=−∞Epn(x, y)e−jβz−j2nπz/d

=

∞∑n=−∞

Epn(x, y)e−jβnz (2.15)

onde γ = jβ e βn = β + 2nπ/d. O mesmo racciocınio pode ser realizado para a componente

magnetica do campo, H. Chama-se a cada termo na expansao, com constante de fase de propagacao

βn, harmonica espacial ou harmonica de Hartee.

Para uma maior simplificacao do problema, assume-se que a estrutura e invariante na direccao

y. Apos a simplificacao analisa-se o tipo de diagrama de dispersao existente, que relaciona a

frequencia e o factor de propagacao, neste caso ao longo da direccao z. No caso de ausencia

de perturbacoes periodicas recupera-se o guia de onda dieletrico planar. O tıpico diagrama de

dispersao (k − β) de um modo dominante apresenta-se na Figura 2.5.

Neste diagrama existem quatro regioes divididas por linhas rectas k = ±β. Se o valor de β

para um dado k estiver na Regiao I , a onda e guiada ao longo da direccao +z. Como k < β, a

velocidade de fase e menor que a velocidade da luz em espaco livre e a onda e chamada lenta.

Caso a curva de dispersao entre na Regiao II , entao k > β e a onda e rapida. As regioes

III e IV correspondem as regioes II e I respectivamente, com excepcao no valor de β que toma

14

Figura 2.5: Diagrama k − β para um guia de onda dieletrico sem perturbacoes.

valores negativos, o que correponde a onda voltar para tras.

Considerando o caso onde as perturbacoes sao infinitamente pequenas, sendo assim e possıvel

aproximar kz0 = β−jα ≈ β0 onde β0 e a constante de propagacao do guia de onda dielectrico sem

perturbacoes. Contudo, o campo associado a estrutura periodica pode ser descrito pela harmonica

espacial 2.12. Portanto,

kzn = βn = β0 +2πn

d, n = 0,±1,±2, ...

Para cada n, a relacao de βn com k pode ser obtida pelo deslocamento do diagrama k − β da

estrutura sem perturbacoes, como esta representado na Figura 2.6.

Figura 2.6: Diagrama com as harmonicas espaciais normalizado pelo perıodo d.

Na Figura 2.6 verifica-se que se o valor de k esta abaixo de um certo valor de kc, todas as

harmonicas espaciais se encontram na regiao de onda lenta, se o modo da guia de onda sem

perturbacoes e guiado. No entanto, no caso de o valor de k exceder o valor de kc, devido ao

aumento da frequencia de trabalho, a harmonica de β−1 encontra-se na regiao de onda rapida. Na

15

pratica, a onda e dispersada em cada perturbacao e portanto, o diagrama de dispersao torna-se

mais complexo.

16

Capıtulo 3

Cavidades Ressonantes Ligadas em

Cadeia

Neste capıtulo introduz-se o problema da ligacao de cavidades ressonantes em cadeia [1], que sera

o ponto de partida para o dimensionamento de filtros de microondas com cavidades.

Considerou-se uma ligacao com apenas duas cavidades ligadas em cadeia, atraves de um troco

de comprimento d, como representado na Figura 3.1, com o intuito de cingir-se a um caso de maior

interesse pratico, em vez de se proceder a um tratamento geral, para N cavidades, que tornaria o

formalismo excessivamente pesado.

Figura 3.1: Ligacao em cadeia de duas cavidades identicas [1].

Considera-se que as duas cavidades sao iguais e que estao ligadas a guias identicos, com o

mesmo modo propagacao. Para o comprimento do troco d toma-se um valor particular, tal que

d =λgp4

(3.1)

em que λ e o comprimento de onda de onda dentro do guia, para a frequencia de ressonancia

comum das cavidades. O comportamento das cavidades deve ser analisado em termos de um for-

17

malismo de circuitos equivalentes. Deste modo apresenta-se na Figura 3.2 o circuito equivalente

de duas cavidades ligadas em cadeia, quando a saıda esta adaptada.

Figura 3.2: Circuito equivalente com a saıda adaptada [1].

Como se pode observar na Figura 3.2, o circuito equivalente e simetrico e, como ja foi referido,

a saıda esta adaptada. Assim, comecando por referir a admitancia da cavidade (2) em relacao ao

plano (c), obtem-se o circuito equivalente da Figura 3.3.

Figura 3.3: Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (c) [1].

Para manter a complexidade do problema dentro de limites aceitaveis, considera-se que 3.1 e

valida em toda a banda de frequencias de interesse. Esta aproximacao sera tanto melhor, quanto

mais estreita for a banda (relativa) de frequencia. Ou seja, so se vai considerar a regiao imediata-

mente na vizinhanca da frequencia de ressonancia das cavidades.

Usando esta aproximacao, e utilizando a expressao de transformacao de impedancias de um

transformador de λ/4, o circuito equivalente da cavidade (2) referido ao plano (b) e o que se

representa na Figura 3.4.

Assim, obtem-se o circuito equivalente da ligacao de duas cavidades em cadeia, representado

na Figura 3.5.

O factor de transmissao e calculado pela expressao

18

Figura 3.4: Circuito equivalente da cavidade (2) em relacao ao plano (b) [1].

Figura 3.5: Circuito equivalente da associacao em cadeia das duas cavidades [1].

T =PcPi

(3.2)

em que Pc e a potencia dissipada na carga e Pi a potencia incidente, considera-se o esquema

equivalente representado na Figura 3.6.

A potencia dissipada na carga e calculada por

Pc =1

2rii∗ (3.3)

E a potencia absorvida pelo sistema

Ps = Pi(1− ΓΓ∗) (3.4)

Em que Γ e o factor de reflexao. Para se calcular a potencia dissipada em y

Py =1

2

gen2vv∗ (3.5)

19

Figura 3.6: Esquema equivalente do circuito da Figura 3.5 [1].

E a potencia dissipada em z e

Pz =1

2<zii∗ (3.6)

Na qual i = v/(z + r). Concluindo, obtem-se a expressao do factor de transmissao

T =PcPs

(1− ΓΓ∗) =Pc

Pc + Py + Pz(1− ΓΓ∗) (3.7)

Como as cavidades habitualmente utilizadas em microondas tem um factor de qualidade muito

elevado, desprezou-se as perdas nas cavidades obtendo-se o circuito simplificado da Figura 3.7.

Figura 3.7: Circuito simplificado da associacao de duas cavidades em cadeia [1].

Nesse caso, em que Py = Pz = 0, tem-se

T = (1− ΓΓ∗) (3.8)

Visto que, na vizinhanca da ressonancia, se tem

20

y = jωcen2

+1

jωlen2= jωce2∆

1

n2(3.9)

e

z = jωn2

m4ce +

1

jωm4

n2 le= jωce2∆

n2

m4(3.10)

com

∆ =ω2 − ω2

p

ω2≈ ω − ωp

ωp(3.11)

e wp = 1/(lece), obtem-se

Γ =1− (y + 1

z+r )

1− (y − 1z+r )

(3.12)

Considerando-se tres casos: n/m = 1, n/m > 1 e n/m < 1. Se o factor de ligacao das duas

cavidades for igual, isto e, n = m, sera

r = (n

m)4 = 1 (3.13)

e

y = z = jωce2∆

n2= jx (3.14)

obtendo-se o factor de reflexao

Γ =x2

(2− x)2 + j2x(3.15)

Verifica-se que, na ressonancia (∆ = 0, x = 0), o factor de reflexao Γ = 0, o que e evi-

dente a partir do esquema equivalente da Figura 3.7, uma vez que os dois circuitos sintonizados

tem a mesma frequencia de ressonancia ωp. Neste mesmo caso, mas agora fora da ressonancia,

substituindo 3.15 em 3.8, vem

T = 1− x4

(2− x2)2 + 4x2=

1

1 + 4x4

=1

1 + (√

2Qe∆)4(3.16)

em que Qe = ωce/n2 ≈ ωpce/n

2, e aproximadamente independente da frequencia na vizinhanca

da ressonancia. Este factor Qe corresponde ao factor de qualidade do circuito ressonante serie que

21

aparece no esquema equivalente da Figura 3.7, que vale

Qe = ωp

n2

m4ce

( nm)4= ωp

cen2

(3.17)

Na ressonancia, verifica-se que T |ω = ωp = 1, ∂T/∂ω|ω = ωp = 0 e ∂2T/∂ω2|ω = ωp = 0,

ou seja, trata-se de uma resposta do tipo “maximally flat”. Sendo os dois factores desiguais (n 6=

m), vem

Γ =( nm)4 − 1 + (2∆)2(Qe

n2

m4 )2

( nm)4 + 1 + (2∆)2(Qen2

m4 )2 + j2Qe(2∆) n4

m4

(3.18)

Mesmo neste caso, pode ainda ter-se Γ = 0. Efectivamente, impondo o anulamento de 3.18 e

considerando que ωce/m4 e aproximadamente constante na vizinhanca da ressonancia, resulta

∆2 =1− ( nm)2

(Qen2

m4 )2(3.19)

o que implica, necessariamente, que n/m < 1. Portanto, tem-se T = 1 (Γ = 0) para duas

frequencias distintas. Deve notar-se que, neste caso (n/m < 1), a ligacao entre as cavidades e

mais cerrada que a ligacao entre as cavidades e os circuitos de entrada e de saıda. No caso oposto,

n/m > 1, nao existem valores reais de ∆ que satisfacam a 3.19. Por outro lado, na ressonancia

(∆ = 0) ter-se-a sempre

Γ =( nm)4 − 1

( nm)4 + 1(3.20)

podendo demonstrar-se que o valor dado por 3.20 corresponde a um mınimo.

Na Figura 3.8, representa-se o factor de transmissao para cada um dos tres casos. Pode

mostrar-se que o caso n/m < 1 corresponde a uma resposta do tipo Chebyshev.

Nas mesmas condicoes, associando varias cavidades em cadeia, sem perdas e com o mesmo

factor de ligacao, obtem-se

T =1

1 + a∆2(3.21)

Da mesma forma, e possıvel igualmente obter respostas do tipo Chebyshev, na forma

T =1

1 + εC2N (∆)

(3.22)

em que CN (∆)e o polinomio de Chebyshev de grau N , em que N e o numero de cavidades em

22

cascata. Outros tipos de respostas podem ser obtidos atraves da variacao dos factores de ligacao

entre cavidades ou sintonizando as varias cavidades de maneira diferente. Finalmente, deve notar-

se que tendo reduzido o estudo das cavidades ao estudo de circuitos equivalentes, e possıvel aplicar

a teoria dos circuitos de parametros concentrados a sıntese de filtros de microondas formados pela

ligacao em cadeia de cavidades.

Figura 3.8: Variacao do modulo do factor de transmissao de potencia com o desvio de frequenciarelativo ∆.

23

24

Capıtulo 4

Filtros de Microondas e Ondas

Milimetricas

4.1 Introducao

Um filtro e um circuito linear invariante no tempo cuja finalidade principal e transmitir as frequencias

desejadas e rejeitar as restantes. Idealmente um filtro deveria ter atenuacao infinita na transmissao

na banda de rejeicao e transmissao perfeita na regiao de passa-banda, isto e, atenuacao nula na

transmissao. No entanto, no caso pratico dos filtros de microondas ou qualquer outra gama de

frequencias estas caracterısticas ideais nao sao possıveis de obter, visto que existe um limite de

alta frequencia para qualquer estrutura pratica do filtro acima do qual as suas caracterısticas se de-

terioram devido a efeitos de juncao, ressonancias entre elementos, etc. Portanto, um dos objectivos

no projecto de um filtro e aproximar-se aos requisitos ideais dentro de uma tolerancia aceitavel.

Os filtros podem ser separados em quatro categorias: filtros passa-baixo, que transmitem todas

as frequencias entre a frequencia zero e um limite superior wc e atenuam todas as frequencias

acima do valor de corte wc; filtros passa-alto, que transmitem todas as frequencias acima do valor

de cortewc e rejeitam todas as frequencias abaixo dewc; filtros passa-banda, que transmitem todas

as frequencias detro do intervalo de w1 a w2 e rejeitam todas as frequencias fora deste intervalo.

O complemento do filtro passa-banda, isto e, o filtro rejeita-banda, atenua as frequencias dentro

do intervalo w1 a w2 e transmite as restantes.

Tipicamente um projecto de um filtro inicia-se com a desejada funcao de transferencia em

funcao da frequencia complexa. A partir desta calcula-se a impedancia de entrada e com recurso

a algebra determinam-se os polos, os zeros e os elementos do prototipo a utilizar. Estes elementos

25

(a) Passa-baixo (b) Passa-alto

(c) Passa-banda (d) Rejeita-banda

Figura 4.1: Respostas dos quatro tipos de filtros.

darao respostas exactas para os elementos de parametros concentrados do filtro, contudo, como foi

referido, darao apenas aproximacoes para filtros de microondas. O filtro de microondas e realizado

atraves da substituicao de todos os elementos capacitivos e indutivos de parametros concentrados

por elementos de circuitos de microondas adequados que tenham frequencias caracterısticas mais

elevadas que a gama de frequencias de interesse. Outro problema no projecto de um filtro de

microondas e que as distancias entre os componentes do filtro nao sao desprezaveis.

Para resolver os dois problemas referidos usa-se a transformacao de Richard, para converter

os elementos de parametros concentrados, e as identidades de Kuroda, para separar os elementos

do filtro, usando seccoes de linhas de transmissao.

De modo a obter uma largura de banda estreita nos filtros passa-banda em altas frequencias

e necessario utilizar circuitos ressonantes com factor de qualidade Q elevado ou cavidades resso-

nantes associadas em cascata. A inclinacao de corte relativa aumenta com o numero de cavidades

ressonantes e, portanto, sao de particular interesse os metodos de sintetizar filtros fisicamente

realizaveis com qualquer numero cavidades para se obter qualquer resposta desejada.

4.2 Inversores de Impedancia e de Admitancia

Na implementacao de um filtro com um tipo particular de linha de transmissao muitas vezes e

desejavel usar-se apenas elementos em serie ou apenas elementos em paralelo. As identidades

de Kuroda podem ser usadas desta forma, no entanto, existe outra solucao que consiste no uso

26

de inversores de impedancia (K) ou de admitancia (J), que sao particularmente uteis para filtros

passa-banda e rejeita-banda com larguras de banda estreitas (< 10%).

Um inversor e um transformador ideal de um quarto de onda, λ/4. Uma impedancia de carga

ligada ao terminal e vista como uma impedancia que foi invertida, tendo em conta a impedancia ao

quadrado na entrada. A sua forma mais simples e uma linha de transmissao de um quarto de onda.

Contudo, existem tambem outras combinacoes de linha de transmissao e elementos de parametros

concentrados que executam a mesma funcao, como representado na Figura 4.2.

(a)

(b)

(c)

Figura 4.2: (a) Operacao de um inversor de impedancia e de um inversor de admitancia; (b)Implementacao com transformadores de um quarto de onda; (c) Implementacao alternativa [6].

Atraves da utilizacao de inversores de admitancia ou de impedancia e possıvel converter uma

27

rede de elementos ligados em serie numa rede de elementos ligados em paralelo, ou vice versa,

como exemplificado na Figura 4.3. Alem disso, com a escolha correcta dos inversores todos

os elementos capacitivos e indutivos podem ser escolhidos para terem os mesmos valores. Os

inversores permitem que se use ressoadores identicos, quer em serie ou em paralelo, ao longo da

rede.

(a)

(b)

Figura 4.3: (a) Inversor de impedancia utilizado para converter uma admitancia em paralelo numaimpedancia equivalente em serie; (b) Inversor de admitancia utilizado para converter uma im-pedancia em serie numa admitancia em paralelo [5].

Considerando-se um elemento em paralelo de admitancia Yp(ω) com um inversor de im-

pedancia ideal, com impedancia caracterıstica K ligada em ambos os lados como representado

na Figura 4.3(a). Um curto-circuito na saıda transforma-se num circuito-aberto em paralelo com

Yp. A impedancia de entrada e dada por

Zin =K2

Zp= K2Yp = Yp = Zs (4.1)

Deste modo o elemento em paralelo com dois inversores de impedancia converte a admitancia

em paralelo numa impedancia equivalente em serie Zs(ω) = Yp(ω). Se Yp for um ressoador

com Yp = jωC − j/ωL = jωC(1 − ω20/ω

2) e convertida num circuito em serie com Zs =

jωL(1 − ω20/ω

2) com indutancia L em henries com o mesmo valor numerico da capacidade C

em farads. Se se quiser converter uma admitancia Y1 = jωC1(1− ω20/ω

2) num circuito em serie

em particular com a indutancia arbitraria L, deve escolher-se o K de acordo com

K2jωC1

(1− ω2

0

ω2

)= jωL

(1− ω2

0

ω2

)(4.2)

28

ou

K =

√L

C1(4.3)

Assim e possıvel transformar um elemento em paralelo num elemento em serie com a mesma

dependencia na frequencia e arbitrariedade ao nıvel da impedancia. Considerando-se agora um

elemento em serie Zs(ω) com um inversor de admitancia com admitancia caracterıstica J ligado

em ambos os lados, como representado na Figura 4.3(b). Um circuito-aberto na saıda e transfor-

mado num curto-circuito em serie com Zs(ω) para que a admitancia de entrada seja

Yin =J2

Yp= J2Zs = Yp (4.4)

Assim, o elemento em serie com dois inversores de admitancia e convertido numa admitancia

equivalente. Se a impedancia e Zs = jωL(1 − ω20/ω

2) de um circuito em serie e convertida

num circuito em paralelo com admitancia Yp = jωL(1− ω20/ω

2) = jωC(1− ω20/ω

2), onde C e

numericamente igual a L. Para que um circuito em serie jωL(1− ω20/ω

2 seja transformado num

circuito arbitrario em paralelo com Yp = jωC(1− ω20/ω

2), deve-se escolher J2L1 = C ou

J =

√C

L1(4.5)

De outro ponto de vista observa-se que um elemento em serie e substituıdo por um elemento

em paralelo com um inversor de impedancia na saıda e outro na entrada. De modo identico,

um elemento em paralelo pode ser substituıdo por um elemento em paralelo com um inversor

de admitancia ligado em cada porto. As funcoes de impedancia e admitancia para cavidades

ressonantes em serie ou paralelo podem ser expressas por

Z = jωL(1− ω2

0/ω2)

= j

√L

C

(ω

ω0− ω0

ω

)(4.6)

Y = jωC(1− ω2

0/ω2)

= j

√C

L

(ω

ω0− ω0

ω

)(4.7)

O factor√L/C e o nıvel de impedancia do ressoador e

√C/L e o nıvel de admitancia. O

outro factor corresponde a variavel de frequencia.

Conclui-se que os inversores de impedancia e admitancia sao transformadores de um quarto

de onda ideais e que nao existem diferencas nas suas propriedades de inversao. A unica distincao

29

que se verifica e a utilizacao do sımbolo K para identificar a impedancia caracterıstica de um

inversor de impedancia e a utilizacao do sımbolo J para identificar a admitancia caracterıstica

de um inversor de admitancia. Um inversor de impedancia com impedancia caracterıstica K

e equivalente a um inversor de admitancia com admitancia caracterıstica J = 1/K. Quando

K = J = 1 tem-se um inversor unidade e nao existe diferenca entre identifica-lo como um

inversor de impedancia ou de admitancia.

Os inversores de impedancia e de admitancia formados por linhas de transmissao de um quarto

de onda sao uteis no projecto de filtros de cavidades acopladas. Os comprimentos, θ/2, das seccoes

de linha de transmissao sao geralmente negativos para este tipo de inversor, todavia isto nao e um

problema se estas linhas puderem ser absorvidas em linhas de ligacao de cada lado.

4.3 Transformacao de Richard e Identidades de Kuroda

4.3.1 Transformacao de Richard

Os elementos de parametros distribuıdos de uma linha de transmissao assumem uma grande im-

portancia no projecto pratico de filtros de microondas. Uma abordagem normalmente utilizada

para o desenho de um filtro de parametros distribuıdos na pratica consiste em procurar uma equi-

valencia aproximada entre elementos de parametros concentrados e distribuıdos. Esta equivalencia

pode ser estabelecida aplicando-se a transformacao de Richard.

Richard demonstrou que redes distribuıdas, compostas por linhas de transmissao e resistencias

concentradas com comprimentos electricos iguais, podem ser tratadas em analise ou sıntese como

redes LCR de elementos de parametros concentrados mediante a seguinte transformacao

t = tanhlpvp

(4.8)

onde p = σ + jω e a variavel de frequencia complexa e lp/vp e o racio do comprimento do

elemento basico de linha de transmissao com a velocidade de onda nesse elemento de linha. A

variavel t e a nova variavel complexa de frequencia, tambem conhecida como variavel de Ri-

chard. O novo plano complexo onde t e definida chama-se plano t. A equacao 4.8 refere-se a

transformacao de Richard. Para redes passivas sem perdas p = jω e a variavel de Richard pode

ser obtida por

t = j tan θ (4.9)

30

onde o comprimento electrico e

θ =ω

vpl (4.10)

Assumindo que a velocidade de fase vp e independente da frequencia, o que e verdade para

linhas de transmissao TEM, o comprimento electrico e proporcional a frequencia e pode expressar-

se por θ = θ0ω/ω0, onde θ0 e o comprimento electrico para a frequencia de referencia ω0. E

conveniente para a discussao que ω0 seja a frequencia em radianos a qual todos os comprimentos

de linha sejam um quarto de onda com θ0 = π/2 e que Ω = tan θ de modo que

Ω = tan

(π

2

ω

ω0

)(4.11)

Este mapeamento de frequencia esta representado na Figura 4.4. Como ω varia entre 0 e ω0,

Ω varia entre 0 e ∞, o mapeamento de ω para Ω nao um para um, mas sim periodico, o que

corresponde a natureza periodica da rede distribuıda.

Figura 4.4: Mapeamento de frequencia entre a variavel de frequencia real ω e a variavel defrequencia distribuıda Ω [2].

Na Figura 4.5 demonstra-se a resposta de frequencia periodica da rede de distribuicao do filtro,

que e obtida aplicando-se a transformacao de Richard 4.11 a funcao de transferencia do filtro de

Chebyshev 4.12, verificando-se que a resposta repete-se na frequencia em intervalos de 2ω0.

|S21(jΩ)|2 =1

1 + ε2T 2n(Ω)

(4.12)

31

onde a constante de oscilacao (ripple) ε esta relacionada com a oscilacao de passa-banda LAr em

dB dada por

ε =

√10

LAr10 − 1 (4.13)

Figura 4.5: Resposta passa-baixo de Chebyshev usando a transformacao de Richard [2].

Na Figura 4.5 nota-se que a resposta representada tambem pode ser vista como uma resposta

de um filtro rejeita-banda distribuıdo centrada em ω0. Portanto, uma resposta passa-baixo no

plano p pode ser mapeada tanto numa resposta passa-baixo como numa rejeita-banda no palno t,

dependendo no objectivo do projecto. Do mesmo modo, demonstra-se que uma resposta passa-

alto no plano p pode ser transformada tanto numa resposta passa-alto como numa passa-banda no

plano t.

Na transformacao de Richard, existe uma correspondencia entre elementos indutivos e capa-

citivos de parametros concentrados no plano p e linhas de transmissao em curto-circuito e circuito

aberto no plano t. Como um elemento de um porto indutivo com uma impedancia Z = pL, o ele-

mento indutivo de parametros concentrados corresponde a um elemento de linha em curto-circuito

com uma impedancia de entrada

Z = tZc = jZc tan θ (4.14)

onde Zc e a impedancia caracterıstica da linha. Do mesmo modo um elemento capacitivo com

uma admitancia Y = pC corresponde a um stub em circuito aberto com admitancia de entrada

igual a

32

Y = tYc = jYc tan θ (4.15)

e admitancia caracterıstica Yc. Estas correspondencias estao representadas na Figura 4.6.

(a)

(b)

Figura 4.6: Correspondencia entre elementos de parametros concentrados e distribuıdos pelatransformacao de Richard [2].

Outro elemento de parametros distribuıdos importante e a rede de dois portos constituıda por

uma linha de comprimento proporcional. A linha de transmissao com impedancia caracterıstica

Zu tem a seguinte matriz ABCD

A B

C D

=

cos θ jZu sin θ

j sin θ/Zu cos θ

(4.16)

que em termos da variavel de Richard fica

A B

C D

=1√

1− t2

1 Zut

t/Zu 1

(4.17)

33

4.3.2 Identidades de Kuroda

No projecto de filtros com linhas de transmissao, pode-se desejar varias identidades de rede para

se obter redes de filtro que sao electricamente equivalentes mas, que diferem na forma ou nos

valores dos elementos.

Estas transformacoes nao so permitem flexibilidade como tambem sao essenciais em varios

casos para se obter redes com dimensoes fısicas realizaveis. As identidades de Kuroda, represen-

tadas na Figura 4.7, formam uma base para tais transformacoes, onde se assume que os elementos

de linha proporcional com o mesmo comprimento electrico θ para cada identidade.

As duas primeiras identidades de Kuroda trocam um elemento unitario por um stub em circuito-

aberto em paralelo ou um stub em curto-circuito em serie. As outras duas identidades de Kuroda,

que envolvem transformadores ideais, trocam stubs do mesmo tipo. As identidades de Kuroda

podem ser deduzidas atraves da comparacao das matrizes ABCD com as correspondentes redes na

Figura 4.7.

34

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 4.7: Identidades de Kuroda.

4.4 Filtro de Cavidades de Quarto de Onda Acopladas

O filtro e realizado na pratica atraves da colocacao de diafragmas ou membranas no guia de onda.

A variavel de frequencia relevante nao e ω, mas sim (β/k0)ω = βc, uma vez que os diafragmas do

guia de ondas tem susceptancias que variam aproximadamente β ou β−1 e o comprimento electrico

35

da seccao do guia e proporcional a β. A variavel de frequencia normalizada ω/ω0 = β/β0 e,

portanto, substituıdo por λg0/λg = β/β0, onde λg0 e o comprimento de onda do guia para ω = ω0

e λg e o valor correspondente para qualquer ω. Consequentemente, em todas todas as formulas do

projecto, substitui-se ω por βc, onde c e a velocidade da luz.

O circuito equivalente exacto para um guia de ondas carregado com dois diafragmas indutivos

identicos com susceptancia −jBk esta representado na Figura 4.8(c).

(a) (b)

(c)

Figura 4.8: (a) Guia de onda carregado com dois diafragmas indutivos para formar uma cavidade;(b) Circuito equivalente exacto; (c) Circuito equivalente aproximado.

Para o projecto do filtro e necessario subtituir o circuito equivalente exacto pelo circuito para-

lelo aproximado. A susceptancia paralela B e expressa por

B =

√C

L

(β

β0− β0

β

)≈ 2

√C

L

∆β

β0(4.18)

onde ∆β = β − β0 e pequeno. Quando um circuito ressonante deste tipo e ligado atraves de uma

linha de transmissao, e carregado por uma condutancia em paralelo de valor unitario normalizado

em cada lado. O factor de qualidade Q do circuito e, portanto,

Qk =1

2(β0c)C =

1

2

√C

L(4.19)

visto que β0c = (LC)−1/2. Consequentemente obtem-se a expressao de B em relacao ao factor

de qualidade Q

36

B = 4Qk∆β

β0(4.20)

O valor obtido para Qk por Mumford [7] e

Qk =π − tan−1

(2/Bk

)2 sin−1 2

(B4k+4B

2k)1/2

=(B

4k + 4B

2k)

1/2

4tan−1 2

Bk

(4.21)

visto que Bk e grande comparativamente com a unidade para um filtro de banda estreita, com Q

elevado. O espacamento lk entre diafragmas necessario para se obter uma transmissao perfeita

atraves da cavidade para ω = ω0 e dado por

tanβ0lk = − 2

Bk

(4.22)

As duas seccoes da linha com comprimento electrico θ1k no circuito da Figura 4.8(c) sao

escolhidos de modo a

β0lk + 2θ1k = θk + 2θ1k = π (4.23)

na frequencia ω0. Estes comprimentos de linha adicionais no circuito equivalente de uma unica

cavidade sao absorvidos e fazem parte das linhas de coplamento de quarto de onda no filtro.

Figura 4.9: Rede equivalente do filtro obtida pelo uso de inversores de admitancia [5].

O projecto de um filtro “maximally flat” e de um filtro de Chebyshev com N ımpar e simples.

Se se utilizar o circuito da Figura 4.9 e apenas necessario fazer

Qk =1

2

√C0k

L0k(4.24)

37

e escolher C0k e L0k de modo que C0kL0k = (β0c)−2 e todos as admitancias Jk,k−1 iguais a

unidade. A seccao da cavidade entre k e k + 1 tem um comprimento electrico igual a π/2. Visto

que inclui θ1k+1 e θ1k das cavidades adjacentes, o comprimento fısico do acoplamento de linha de

quarto de onda entre as cavidades k e k + 1 sera

lk,k+1 =1

β0

(π2− θ1k − θ1k+1

)

=λg02π

(θ1k + θ1k+1

2− π

2

)

=lk + lk+1

2− λg0

4(4.25)

utilizando 4.23. Na Figura 4.10 apresenta-se o esquematico do filtro.

Figura 4.10: Filtro de cavidades de quarto de onda acopladas [5].

O racio de perda de potencia para o filtro obtem-se substituındo ω/ω0 por β/β0. Para um filtro

de Chebyshev o racio de perda de potencia e dado por

PLR = 1 + k2T 2N

[β0

β2 − β1(β

β0− β0

β)

](4.26)

onde β2 e β1 sao os valores de β nos limites da banda de passagem. Se β2 e β1 sao especificados,

entao

β0 =√β1β2 (4.27)

38

4.5 Filtro de Cavidades de Acoplamento Directo

Os filtros de cavidades de acolplamento directo comparativamente com os filtros de quarto de

onda, λ/4, possuem uma estrutura fısica mais compacta e sao capazes de operar numa largura

de banda maior. O projecto de filtros de microondas de acoplamento directo segundo o metodo

desenvolvido por Cohn [8] tem como base um prototipo passa-baixo, que apresenta resultados

precisos para larguras de banda ate 20%.

A cavidade de guia de ondas e o seu circuito equivalente representados nas Figuras 4.8(a) e

4.8(b) tambem podem ser representadas por uma rede Π em paralelo com susceptancias indu-

tivas em cada ponta, como representado na Figura 4.11. As duas susceptancias paralelas B =

− cot(θk/2) podem ser desprezadas, uma vez que comparadas com Bk sao pequenas e θk e apro-

ximadamente igual a π, portanto B e pequena comparativamente com a unidade.

(a) (b)

Figura 4.11: (a) Cavidade de guia de onda (b) Circuito equivalente.

Cohn utiliza para inversores de impedancia a reactancia indutiva paralela mais duas seccoes

curtas de guia de onda, equivalentes a linhas de transmissao, como se apresenta na Figura 4.12.

Figura 4.12: Inversor de impedancia

39

Para este circuito as propriedades de inversao de impedancia sao obtidas se

θ1k = −1

2tan−1 2

Bk

(4.28a)

Bk =1−K2

K(4.28b)

onde K e a impedancia caracterıstica do inversor de impedancia de quarto de onda. Com θ1k e Bk

determinados a frequencia ω0, verifica-se que o inversor nao se afasta significativamente das suas

caracterısticas ideais na banda de 20%.

Na vizinhanca de ω = ω0, onde θ1k = π, a reactancia em serie X comporta-se como

X = sin θ1k = sin (θ1k − π + π)

≈ − (θ1k − π) = − (β − β0) l =β0 − ββ0

≈ −π2

(β

β0− β0

β

)(4.29)

onde β0l = π. este comportamento da frequencia e semelhante ao de um circuito ressonante em

serie para o qual

X =

√L

C(ω

ω0− ω0

ω) (4.30)

caso ω/ω0 seja substituıdo pela nova variavel de frequencia β/β0.

Quando os comprimentos de linha negativos dos inversores de impedancia sao absorvidos

como parte do comprimento da cavidade, o comprimento fısico da k-esima cavidade e

lk =λg02

+λg02π

(θ1k + θ1k+1) (4.31)

Concluindo escolhe-se

L0kC0k = (β0c)−2 (4.32)

Assim os parametros de um inversor de impedancia tornam-se conhecidos nos termos de Ck e

40

Figura 4.13: Filtro de cavidades de acoplamento directo [5].

Lk, que estao relacionados com gk no prototipo passa-baixo. A partir dos valores conhecidos de

Zk+1,k pode-se pode-se encontrar as susceptancias Bk. O esquematico do filtro esta representado

na Figura 4.13. As formulas obtidas como descrito acima sao

B1 =1− w/g1√1− w/g1

(4.33a)

B2 =1

w

(1− w2

g1g2

)√g1g2 (4.33b)

Bk =1

w

(1− w2

gkgk−1

)√gkgk−1 (4.33c)

BN =1− wR/gN−1√1− wR/gN−1

(4.33d)

onde

w =π

2

β2 − β1

β0(4.34)

e gk sao os valores do elemento do prototipo do filtro passa-baixo. O valor de R e igual a R = 1

para N par, mas tambem para N ımpar caso o filtro seja do tipo ”maximally flat”, caso contrario

pode calcular-se pela seguinte expressao

R = 2k2 + 1−√

4k2(1 + k2) (4.35)

O comprimento da k-esima cavidade para β = β0 e dado por

41

lk =λg02− λg0

4π

(tan−1 2

Bk+1

+ tan−1 2

Bk

)(4.36)

O racio de perda de potencia e obtido substituındo

β0

β2 − β1

(β

β0− β0

β

)por ω′ na resposta do filtro prototipo passa-baixo.

4.6 Filtro Microstrip de Meia Onda

Seccoes de linhas de transmissao sao frequentemente utilizadas como elementos ressonantes nos

filtros. Visto que sao estruturas de fabrico facil e de baixo custo sao particularmente apropriadas

para projectos de filtros microstrip. As cavidades ressonantes sao acopladas por meio da diferenca

de capacidade do espaco entre eles. Na Figura 4.14 apresenta-se um filtro de meia-onda tıpico que

consiste em X seccoes ressonantes acopladas em serie.

Figura 4.14: Filtro de meia onda com tres ressoadores.

Para uma linha de transmissao em circuito aberto a admitancia de entrada e dada por

Yin = jYc tan(βl) (4.37)

Apos a expansao em serie de Taylor de Yin na frequencia ω0, onde βω0l = π obtem-se

Yin ≈ jYcldβ

dω|ω0

[sec2(βω0l)

](ω − ω0)

= jYclβ′0(ω − ω0)

= jYcπω0β

′0

β0

ω − ω0

ω0(4.38)

42

onde β′0 = dβ/dω em ω = ω0. Para um circuito LC paralelo a admitancia de entrada e dada por

Yin = jωC − j 1

ωL= jωC

(1− ω2

0

ω0

)

= jYclβ′0(ω − ω0)

= j2

√C

L

ω − ω0

ω0(4.39)

Assim, para frequencias dentro de aproximadamente ±10% de ω0 a linha de transmissao em

circuito aberto e equivalente a um circuito LC paralelo se se escolher

√C

L=ω0πβ

′0

2β0Yc (4.40)

Figura 4.15: Inversor de admitancia usado no filtro microstrip de meia onda.

No filtro de meia onda as linhas de transmissao em circuito aberto podem ser usadas como

equivalentes cavidades ressonantes em paralelo. A rede representada na Figura 4.15 funciona

como um inversor de admitancia, que consiste em duas linhas de transmissao com comprimento

electrico θ negativo e uma capacidadeCg no centro. Para esta rede a admitancia de carga YL ligada

a uma extremidade e transformada em

Y′in = Yc

YL − jYc tan θ

Yc − jYL tan θ(4.41)

para B = ωCg. A esquerda de Cg tem-se que

Y′′in =

jBY′in

jB + Y′in

(4.42)

e na entrada

43

Yin = YcY′′in − jYc tan θ

Yc − jY′′in tan θ

=jYLY

2c

[B(1− tan2 θ

)− Yc tan θ

]+ Y 3

c tan θ (2B − Yc tan θ)

YL (Y 2c + 2BYc tan θ) + jY 2

c [B (1− tan2 θ)− Yc tan θ](4.43)

Agora ao igualar o coeficiente de YL no numerador e o termo constante do denominador a zero

obtem-se

ωCgYc

=B

Yc=

1

2tan 2θ (4.44)

Com a condicao imposta tem-se que

Yin =Y 2c tan θ (2B − Yc tan θ)

(Yc + 2B tan θ)YL=Y 2c tan2 θ

YL(4.45)

mediante substituicao porB. Quando as relacoes especificadas por 4.44 e 4.45 se mantem, obtem-

se um inversor de admitancia com

J = Yc tan θ (4.46)

O facto de que a rede na Figura 4.15 envolve seccoes de linha de transmissao com comprimen-

tos electricos negativos nao e relevante, uma vez que se pode acrescentar um comprimento θ no

fim de cada linha de transmissao e depois acrescentar comprimentos de comprimento electrico−θ

para servir como parte da rede inversora. ComoB = ωCg e θ sao proporcionais a ω o inversor nao

e ideal. No entanto, para filtros de banda estreita J nao varia muito dentro da banda de passagem

que o filtro deve operar.

4.7 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo

O filtro microstrip de acoplamento paralelo representado na Figura 4.16 e mais compacto que o

filtro microstrip de λ/2, visto que o acoplamento entre cavidades ressoantes ocorre sobre o lado

com comprimento igual a λ/4 de cada cavidade.

O fim de cada seccao ressonante pode ser um circuito aberto ou um circuito fechado. O pro-

jecto do filtro de acoplamento paralelo e realizado atraves da utilizacao de um circuito equivalente

44

Figura 4.16: Filtro microstrip de acoplamento paralelo.

do filtro, que se apresenta de seguida para cada par de cavidades acopladas.

(a)

(b)

(c)

Figura 4.17: (a) Par de linhas microstrip acopladas (b) Ilustracao dos modos par e ımpar (c)Circuito equivalente das tiras acopladas apresentadas em (a) [5].

Considera-se o par de linhas microstrip representado na Figura 4.17(a), no qual as fitas tem

comprimentos diferentes. Quando a tensao aplicada a cada fita e igual, modo par, como represen-

tado na Figura 4.17(b), as correntes nas duas fitas nao sao iguais devido aos comprimentos destas

45

serem diferentes. O valor das correntes e dado por

I1 = Y ae V

I2 = Y be V

onde Y ae e Y b

e representam as admitancias caracterısticas das fitas a e b relativamente ao plano de

terra. Para o modo ımpar com a tensao V aplicada a fita a e a tensao −V aplicada a tira b, o valor

das correntes e dado por

I1 = Y ao V

I2 = −Y bo V

onde Y ae e Y b

e representam as admitancias caracterısticas das fitas a e b para o modo ımpar. O

circuito de acoplamneto de linha representado na Figura 4.17(a) e equivalente ao circuito repre-

sentado na Figura 4.17(c), onde

Y1 =1

2

√(Y ao − Y a

e ) (Y bo − Y b

e ) (4.49a)

Y2 =1

2(Y ae + Y a

o )− Y1 (4.49b)

Y3 =1

2

(Y be + Y b

o

)− Y1 (4.49c)

A equivalencia entre circuitos e estabelecida mostrando que a admitancia de entrada no porto

um com o porto dois terminado com um circuito aberto ou com um circuito fechado e igual em

ambos os circuitos.

As ondas das tensoes e correntes do cicuito representado na Figura 4.17(a)) podem ser expres-

sas nos termos da sobreposicao dos modos par e ımpar com tensoes Vo e Ve. Por conseguinte,

46

obtem-se as expressoes para a fita a da tensao e corrente

Va(z) = V +e e−jβz + V −e e

jβz + V +o e−jβz + V −o e

jβz (4.50a)

Ia(z) = Y ae V

+e e−jβz − Y a

e V−e e

jβz + Y ao V

+o e−jβz − Y a

o V−o e

jβz (4.50b)

Assume-se que ambos os modos tem as mesmas constantes de propagacao. Para a fita b obtem-

se as seguintes expressoes para a tensao e corrente

Vb(z) = V +e e−jβz + V −e e

jβz − V +o e−jβz − V −o ejβz (4.51a)

Ib(z) = Y be V

+e e−jβz − Y b

e V−e e

jβz − Y bo V

+o e−jβz + Y b

o V−o e

jβz (4.51b)

Para z = 0 tem-se que Vb(0) = 0 e assim

(V +e + V −e

)−(V +o + V −o

)= 0 (4.52a)

pois a terminacao da fita b para z = 0 e um curto-circuito. Se se colocar um curto-circuito no

porto dois, requere-se que z = l, onde βl = θ e Vb(l) = 0 obtendo-se

(V +e − V +

o

)e−jθ +

(V −e − V −o

)ejθ = 0 (4.52b)

Na fita a deve-se ter Va(l) = 0, pois tambem termina com um curto-circuito, portanto,

(V +e + V +

o

)e−jθ +

(V −e + V −o

)ejθ = 0 (4.52c)

A ultima condicao terminal e que Va(0) deve ser igual a tensao aplicada no porto um, que e

V1. Por isso

V1 = Va(0) = V +e + V −e + V +

o + V −o (4.52d)

A partir das quatro equacoes anteriores e possıvel obter-se V +e , V −e , V +

o e V −o . A admitancia

de entrada no porto um e dada pela expressao

47

Yin,cc =I1

V1=Y ae (V +

e − V −e ) + Y ao (V +

o − V −o )

V +e + V −e + V +

o + V −o

= −j Yao + Y a

e

2cot θ (4.53)

Quando se coloca um circuito aberto no porto dois, a condicao terminal Vb(l) = 0 dada por

4.52b e substituıda por Ib(l) = 0 ou

Y be

(V +e e−jθ − V −e ejθ

)− Y b

o

(V +o e−jθ − V −o ejθ

)= 0 (4.54)

As restantes condicoes terminais mantem-se iguais. Apos resolver-se para as amplitudes de

tensao, neste caso, e utilizando 4.53, obtem-se que a admitancia de entrada para circuito-aberto e

igual a

Yin,ca = j(Y ae − Y a

o )(Y be − Y b

o

)2 (Y b

e + Y bo )

tan θ − j(Y ae Y

bo + Y a

o Ybe

)Y be + Y b

o

cot θ (4.55)

Para a rede da Figura 4.17(c), uma avaliacao directa mostra que quando o porto dois esta em

curto-circuito

Yin,cc = −j (Y1 + Y2) cot θ (4.56a)

e quando o porto dois esta em circuito-aberto

Yin,ca = jY 2

1

Y1 + Y3tan θ − j Y1Y2 + Y2Y3 + Y1Y3

Y1 + Y3cot θ (4.56b)

Atraves da comparacao entre 4.56a e 4.56b, observa-se que

Y1 + Y2 =Y ao + Y a

e

2(4.57)

Se se excitar a rede no porto dois e se colocar um curto-circuito ou um circuito-aberto no porto

um, as expressoes para Yin,cc e Yin,ca sao as mesmas que as dadas pelas equacoes anteriores mas,

com os sobrescritos a e b trocados e os subescritos 1 e 3 trocados. Deste modo, para a condicao

de curto-circuito no porto um, obtem-se que

48

Y1 + Y3 =Y ao + Y a

e

2(4.58)

Portanto tem-se que

Y2 =Y ao + Y a

e

2− Y1 (4.59a)

Y3 =Y ao + Y a

e

2− Y1 (4.59b)

Usando-se a expressao para Y1 + Y3 no coeficiente de tan θ na expressao 4.56b, obtem-se

Y 21 =

1

2

√(Y ao − Y a

e ) (Y bo − Y b

e ) (4.60)

Assim demonstra-se que o circuito da Figura 4.17(a) e equivalente ao circuito representado

na Figura 4.17(c). Para o caso especial no qual as fitas tem o mesmo comprimento, isto e, Y ae =

Y be = Ye e Y a

o = Y bo = Yo, obtem-se que

Y1 =Yo − Ye

2(4.61a)

Y2 = Y3 = Ye (4.61b)

Considerando-se a estrutura do filtro representada na Figura 4.18(a), ao substituir-se cada par

de fitas acopladas pelo seu circuito equivalente, como representado na Figura 4.17(c), obtem-se o

circuito da Figura 4.18(b). Este circuito e reduzido ao da Figura 4.18(c) atraves da combinacao

de stubs que estao ligados em paralelo. A partir deste circuito pode projectar-se um filtro de

Chebyshev.

Para os filtros de acoplamento paralelo que utilizam a construcao microstrip e aconselhavel

que se use seccoes microstrip acopladas em circuito-aberto em vez de seccoes em circuito-fechado.

Um filtro de acoplamento paralelo usando seccoes de linhas de transmissao acopladas em circuito-

aberto esta exemplificado na Figura 4.19(a) e o seu circuito equivalente na Figura 4.19(b). Uma

seccao acoplada basica esta representada na Figura 4.19(c) e o seu circuito equivalente na Figura

4.19(d).

O circuito equivalente para a seccao acoplada basica obtem-se atraves das equacoes 4.49c a

49

(a)

(b)

(c)

Figura 4.18: (a) Filtro de acoplamento paralelo (b) Circuito equivalente (c) Circuito equivalentereduzido [5].

partir de 4.61. Se se considerar todas as variaveis de tensao como correntes, as variaveis de cor-

rentes como tensoes, as admitancias como impedancias e os circuitos-abertos/circuitos-fechados

como circuitos-fechados/circuitos-abertos entao todas as equacoes e condicoes terminais perma-

50

(a)

(b)

(c) (d)

Figura 4.19: (a) Filtro de acoplamento utilizando seccoes de linha acopladas em circuito aberto(b) Circuito equivalente do filtro (c) Seccao basica de linha acoplada (d) Circuito equivalente daseccao basica [5].

necem as mesmas. Assim obtem-se

Z1 =1

2

√(Zae − Zao ) (Zbe − Zbo) (4.62a)

Z3 =1

2(Zae + Zao )− Z1 (4.62b)

Z3 =1

2

(Zbe + Zbo

)− Z1 (4.62c)

51

e quando Zae = Zbe e Zao = Zbo

Z1 =Ze − Zo

2(4.63a)

Z2 = Z3 = Zo (4.63b)

O circuito equivalente representado na Figura 4.19(b) para o filtro foi obtido pela substituicao

de cada seccao acoplada pelo seu equivalente circuito, representado na Figura 4.19(d), e com-

binando os stubs de linha de transmissao adjacentes ligados em serie. Este filtro e a sua rede

equivalente sao duais do filtro e circuito equivalentes representados na Figura 4.17 e na Figura

4.18. Ao extrair-se a raız quadrada de 4.62a para o caso em que as fitas sao simetricas escolhe-se

a raız positiva, que e igual a dada pela expressao 4.63a, visto que Ze > Zo.

Para ambos os filtros de acoplamento paralelo descritos, cada seccao tem o comprimento igual

a λ/4 na frequencia central e consequentemente cada linha de transmissao tem o comprimento

igual a λ/2. Nos circuitos equivalentes destes circuitos, os stubs de linha de transmissao estao

separados por transformadores de λ/4. Estes transformadores de quarto de onda funcionam como

transformadores nao ideais de admitancias e impedancias. No circuito representado na Figura

4.18(c), cada stub em curto-circuito e aproximadamente equivalente a um ressoador LC em para-

lelo, enquanto que na Figura 4.19(b) cada stub em circuito-aberto e aproximadamente equivalente

a um ressoador LC em serie.

As equacoes para o projecto de fitros Chebyshev passa-banda, com larguras de banda ate 1/8,

utilizando fitas acopladas em paralelo foram derivadas por Matthaei [9]. As equacoes de projecto

para o circuito do filtro representado na Figura 4.19(b) sao duais das do circuito do filtro que se

apresenta na Figura 4.18(c).

Para um filtro Chebyshev com N seccoes, existem N + 1 inversores de impedancia e N + 1

impedancias de linha em modo par e ımpar para se especificar. Assume-se que o filtro e terminado

nas linhas de entrada e saıda com impedancia caracterıstica Zc. Cada ressoador tem um compri-

mento electrico igual a π na frequencia central ω0. A frequencia no limite inferior da banda de

passangem e ω1 e βle = θ1 nesta frequencia, onde le e o comprimento efectivo de cada ressoador

apos correccao do carregamento capacitivo em cada extremidade em circuito aberto.

52

As impedancias dos inversores de impedancia de entrada e de saıda sao dadas por

K10 = KN+1,N =Zc√g0g1

=Zc√

gN+1gN(4.64a)

Requere-se tambem os seguintes parametros

θ1 =πω1

2ω0(4.64b)

P sin θ1 =K10Zc[

12 tan θ1 +

(K10Zc

)2]1/2

(4.64c)

s =Zc

12 tan θ1 +

(K10Zc

)2 (4.64d)

Z1e = ZN+1

e = Zc (1 + P sin θ1) (4.64e)

Z1o = ZN+1

o = Zc (1− P sin θ1) (4.64f)

Os restantes inversores de impedancia e impedancias de modo par e ımpar sao dadas por

Kk+1,k =Zc√gkgk+1

, k = 1, 2, ..., N − 1 (4.65a)

Nk+1,k =

√(Kk+1,k

Zc

)2

+1

4tan2 θ1 (4.65b)

Zk+1e = ZN−k+1

e = s(Nk+1,k + YcKk+1,k

)(4.65c)

Zk+1o = ZN−k+1

o = s(Nk+1,k − YcKk+1,k

)(4.65d)

Nas equacoes acima descritas gk sao os valores dos elementos para um filtro prototipo passa-

baixo, com frequencia de corte ωc = 1, e sao dados por

53

gN+1 =

1 N odd

2k2 + 1− 2k√

1 + k2 N even(4.66)

Para a rede dual todos os Kk+1,k sao substituıdos por Jk+1,k, todos os Zke sao substituıdos por

Y ko e todos os Zko sao substituıdos por Y k

e .

54

Capıtulo 5

Simulacao

5.1 Software

Na simulacao dos filtros utilizaram-se dois programas com objectivos diferentes, os quais sao

descritos de seguida.

5.1.1 AADE Filter Design and Analysis

O AADE Filter Design and Analysis e um software gratuito de design electronico, que proporciona

um ambiente de design muito simples, de facil e intuitiva utilizacao. Permite projectar filtros

passa-baixo, passa-alto, passa-banda e rejeita-banda de diversos tipos, tais como: Butterworth,

Chebyshev, Elıptico (Cauer), Bessel, Legendre e Linear. Permite tambem projectar filtros passa-

banda de cavidades ressonantes acopladas e filtros passa-banda de escadas de cristal, ideal para a

construcao amadora do excedente ou cristais de microprocessador.

Este software realiza tambem as analises no domınio do tempo - ganhos de potencia, de tensao

e de corrente, impedancias de entrada e de saıda, atraso de grupo, fase e perda de retorno - e no

domınio da frequencia - respostas impulsiva, de degrau, de pulso - dos filtros projectados.

5.1.2 Advanced Design System

O Advanced Design System (ADS) e um software de design electronico, que proporciona um

ambiente de design integrado a engenheiros, permitindo que se realize todo o tipo de projectos de

radiofrequencia, desde o mais simples ate ao mais complexo, desde modulos de radiofrequencia a

MMIC (Circuito Integrado de Microondas Monolıtico) para aplicacoes de comunicacao.

O ADS tem um conjunto completo de tecnologias de simulacao, desde a simulacao de circuitos

55

no domınio do tempo e da frequencia ate a simulacao do campo electromagnetico, o que permite

aos projectistas caracterizacoes e optimizacoes dos projectos muito completas.

Este software suporta cada passo do processo de design, como a captura esquematica, layout,

capacidade de verificacao, simulacao no domınio do tempo e no da frequencia e simulacao do

campo electromagnetico.

5.2 Filtros de Cavidades Ressonantes Acopladas

Os projectos dos filtros de cavidades ressonantes acopladas e a respectiva simulacao foram re-

alizados com recurso ao software AADE Filter Design and Analysis. Projectou-se tres filtros

Chebyshev passa-banda com a mesma frequencia central, f = 5 Ghz, e a mesma largura de

banda a -3 dB, ∆f = 100 MHz, variando o numero de cavidades ressonantes com o objectivo

de se analisar as variacoes no ganho de potencia efectiva.

O primeiro filtro projectado tem tres cavidades ressonantes ligadas em serie e o seu circuito

equivalente esta representado na Figura 5.1.

Figura 5.1: Circuito equivalente do filtro com tres cavidades.

Os valores dos componentes do filtro sao os seguintes:

Dipolo 1: R1 = 50Ω

Dipolo 3: C3 = 0, 13766pF

Dipolo 4: C4 = 0, 13766pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 5: C5 = 0, 04102pF

Dipolo 6: C6 = 3, 10153pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 7: C7 = 0, 04102pF

Dipolo 8: C8 = 3, 00489pF ;L8 = 318, 35764pHy;Q = 10K

56

Dipolo 9: C9 = 0, 13766pF

Dipolo 10: R10 = 50Ω

Na analise do ganho de potencia efectiva obteve-se o grafico da Figura 5.2.

Figura 5.2: Ganho de potencia efectiva do filtro com tres cavidades.

O segundo filtro projectado tem cinco cavidades ressonantes ligadas em serie e o seu circuito

equivalente esta representado na Figura 5.3.

Figura 5.3: Circuito equivalente do filtro com cinco cavidades.

Os valores dos componentes do filtro sao os seguintes:

Dipolo 1: R1 = 50Ω

Dipolo 3: C3 = 0, 13051pF

Dipolo 4: C4 = 3, 0127pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 5: C5 = 0, 04036pF

Dipolo 6: C6 = 3, 10917pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 7: C7 = 0, 03405pF

Dipolo 8: C8 = 3, 11548pF ;L8 = 318, 35764pHy;Q = 10K

57

Dipolo 9: C9 = 0, 03405pF

Dipolo 10: C10 = 3, 10917pF ;L10 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 11: C11 = 0, 04036pF

Dipolo 12: C12 = 3, 0127pF ;L12 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 13: C13 = 0, 13051pF

Dipolo 14: R14 = 50Ω

Na analise do ganho de potencia efectiva obteve-se o grafico da Figura 5.4.

Figura 5.4: Ganho de potencia efectiva do filtro com cinco cavidades.

Por fim, o ultimo filtro projectado tem sete cavidades ressonantes ligadas em serie e o seu

circuito equivalente esta representado na Figura 5.5.

Figura 5.5: Circuito equivalente do filtro com sete cavidades.

Os valores dos componentes do filtro sao os seguintes:

Dipolo 1: R1 = 50Ω

Dipolo 3: C3 = 0, 13803pF

Dipolo 4: C4 = 3, 0052pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 5: C5 = 0, 04034pF

58

Dipolo 6: C6 = 3, 10947pF ;L4 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 7: C7 = 0, 03376pF

Dipolo 8: C8 = 3, 11695pF ;L8 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 9: C9 = 0, 03286pF

Dipolo 10: C10 = 3, 11786pF ;L10 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 11: C11 = 0, 03286pF

Dipolo 12: C12 = 3, 11695pF ;L12 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 13: C13 = 0, 03376pF

Dipolo 14: C14 = 3, 10947pF ;L14 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 15: C15 = 0, 04034pF

Dipolo 16: C16 = 3, 0052pF ;L16 = 318, 35764pHy;Q = 10K

Dipolo 17: C17 = 0, 13803pF

Dipolo 18: R18 = 50Ω

Na analise do ganho de potencia efectiva obteve-se o grafico da Figura 5.6.

Figura 5.6: Ganho de potencia efectiva do filtro com sete cavidades.

Analisando-se os tres graficos relativos aos ganhos de potencia efectiva dos filtros de cavidades

ressonantes verifica-se que todos tem uma largura de banda aproximada da pretendida e com a

atenuacao na regiao de passa-banda praticamente igual a zero com pequenas oscilacoes. A partir

das frequencias de corte a atenuacao aumenta, para minimizar a transmissao ou recepcao dos sinais

na regiao de rejeita-banda.

Os graficos analisados apenas se diferenciam no declive da curva a partir da frequencia de

corte. Com o aumento do numero de cavidades ressonantes no filtro aumenta tambem o declive

59

da curva, aproximando-se da resposta de um filtro ideal, uma vez que com o aumento do numero

de cavidades aumenta tambem o numero de polos e a ordem do filtro.

A analise para filtros com mais de sete cavidades ressonantes ligadas em serie nao foi realizada,

pois os resultados seriam redundantes e levariam as mesmas conclusoes. Tambem e de se referir

que com o aumento do numero de cavidades ressonantes iriam aumentar o tamanho e o custo de

fabrico do filtro.

5.3 Filtro Microstrip de Meia Onda

A simulacao de um filtro microstrip de meia onda foi realizada com recurso ao software Advanced

Design System (ADS), visto que este software permite realizar e simular circuitos com linhas

microstrip.

Simulou-se um filtro passa-banda com a frequencia central f = 10 GHz, largura de banda a

-3 dB ∆f = 1 GHz composto por tres ressoadores, isto e, tres seccoes de linhas microstrip. O

circuito do filtro esta representado na Figura 5.7.

Figura 5.7: Esquema do filtro microstrip de meia onda.

Apos se efectuar uma simulacao de parametros S (elementos da matriz de dispersao) para o

filtro microstrip de meia onda entre as frequencias f = 7 GHz e f = 13 GHz obtiveram-se os

valores para a transmissao representados no grafico da Figura 5.8.

Verifica-se que a resposta nao e simetrica mas, a frequencia central e a largura de banda tem

valores aproximados dos pretendidos. A assimetria deve-se a variacao da impedancia e do com-

primento electrico com a frequencia, que tambem nao e simetrica. A resposta do filtro e uma

resposta tıpica passa-banda nao ideal, com atenuacao quase nula na regiao de transmissao e maior

atenuacao na banda de rejeicao.

60

Figura 5.8: Resposta passa-banda do filtro microstrip de meia onda.

5.4 Filtro Microstrip de Acoplamento Paralelo

A simulacao de um filtro microstrip de acoplamento paralelo foi realizada com recurso ao software

Advanced Design System (ADS), uma vez que, tal como o filtro microstrip de meia onda, este filtro

e composto por linhas microstrip e, por isso, ser necessario recorrer a este software para o realizar

e simula-lo.

Projectou-se um filtro passa-banda com a frequencia central f = 5GHz, largura de banda a -3

dB ∆f = 500 MHz composto por quatro ressoadores, isto e, quatro seccoes de linhas microstrip

acopladas paralelamente. O circuito do filtro projectado esta representado na Figura 5.9.

Depois de se realizar simulacao de parametros S (elementos da matriz de dispersao) para

o filtro microstrip de acoplamento paralelo entre as frequencias f = 3 GHz e f = 7 GHz

obtiveram-se os resultados representados no grafico da Figura 5.10.

Verifica-se que, tal como no filtro microstrip de meia onda, a resposta nao e simetrica mas, a

frequencia central e a largura de banda tem valores aproximados dos pretendidos. A assimetria

deve-se a variacao da impedancia e do comprimento electrico com a frequencia, que tambem nao

e simetrica. A resposta do filtro e uma resposta tıpica passa-banda nao ideal, com atenuacao quase

nula na regiao de transmissao e maior atenuacao na banda de rejeicao.

61

Figura 5.9: Esquema do filtro microstrip de acoplamento paralelo.

Figura 5.10: Resposta passa-banda do filtro microstrip de acoplamento paralelo.

62

Capıtulo 6

Conclusao

6.1 Discussao e Analise Crıtica dos Resultados

Nesta seccao apresentam-se as principais conclusoes desta dissertacao. No segundo capıtulo

verifica-se que e possıvel obter estruturas periodicas de variadas formas a partir de linhas de

transmissao ou guias de onda carregados em intervalos periodicos com elementos reactivos. As

estruturas periodicas dependendo dos valores de frequencia exibem propriedades de passa-banda

e rejeita-banda, o que faz com que possam actuar como filtros. Demonstrou-se o comportamento

de uma onda ao longo de uma estrutura periodica e a distribuicao do campo electromagnetico

pelo teorema de Floquet e harmonicas espaciais e verificou-se que se repete em todos os terminais

excepto para um factor de propagacao e−γ(d).

No terceiro capıtulo apresenta-se um filtro constituıdo por duas cavidades ressonantes, que e

uma estrutura periodica. Analisa-se o comportamento da estrutura em termos de um formalismo de

circuitos equivalentes e conclui-se com a analise do factor de transmissao que e possıvel obter-se

um filtro passa-banda, dependendo do factor de ligacao das cavidades, isto e, para o caso n/m = 1,

onde os ıris das cavidades sao iguais. O modulo do factor de transmissao de potencia neste caso e

igual a um na regiao passa-banda, ou seja, nao existe atenuacao do sinal e na regiao rejeicao tende

para zero, que implica atenuacao total, nao existe transmissao.

No Capıtulo 4, apresenta-se tres solucoes importantes que permitem converter projectos de

filtros de difıcil implementacao pratica em filtros de realizacao mais adequada.

Os inversores de admitancia e de impedancia sao transformadores ideais de um quarto de

onda, λ/4, e nao existem diferencas nas suas propriedades de inversao. Atraves da sua utilizacao

e possıvel converter uma rede de elementos ligados em serie numa rede de elementos ligados em

paralelo, ou vice versa.

63

A transformacao de Richard permite que redes distribuıdas, compostas por segmentos de li-

nha de transmissao em curto-circuito e em circuito aberto, emulem o comportamento indutivo e

capacitivo de elementos de parametros discretos.

As identidades de Kuroda fornecem um conjunto de quatro transformacoes ideais de redes

de dois portos, que mantem o comportamento e caracterısticas dos circuitos. Por exemplo, e

possıvel utiliza-las para separar fisicamente stubs de linhas de transmissao ou alterar impedancias

caraterısticas inviaveis numas que se possam realizar.

Ainda no quarto capıtulo, analisou-se formalmente quatro tipos de filtros. Conclui-se como

cada tipo de filtro e constituıdo, isto e, a sua estrutura fısica e obteve-se as formulas que permitem

dimensionar cada um deles.

No Capıtulo 5, na simulacao dos filtros de cavidades ressonantes acopladas variou-se o numero

de cavidades. A partir da analise dos graficos com o ganho de potencia verifica-se que os filtros

apresentam caracterısticas nao ideais, como seria de se esperar tendo em conta as caracterısticas

dos componentes dos circuitos, como os elementos de parametros concentrados capacitivos e in-

dutivos. Por esse motivo a atenuacao nao e igual a zero em toda a regiao de passa-banda, existindo

uma pequena oscilacao, com valores de atenuacao superiores a zero, embora nao sejam muito sig-

nificantes. Conclui-se que com o aumento do numero de cavidades ressonantes as caracterısticas

dos filtros aproximam-se mais da caracterıstica ideal, no que diz respeito a inclinacao da curva a

partir da frequencia de corte, isto e, o declive aumenta aproximando-se mais do infinito, que e o

valor ideal.

Quanto a simulacao dos filtros microstrip, os resultados nao foram os melhores que se conse-

guiu obter, aplicando um metodo de tentativa e erro para tentar optimizar as respostas do filtro na

simulacao, visto nao existir um processo de design coerente e completo, que comeca a partir da

teoria e descreve o processo de sıntese e o processo de optimizacao. Tentou-se conjugar os dimen-

sionamentos teoricos dos comprimentos das linhas com experiencias nos valores dos elementos

capacitivos e as caracterısticas da linha microstrip. A escassa informacao sobre o programa Ad-

vanced Design System, em particular sobre a simulacao deste tipo de filtros tambem condicionou

os resultados.

Mesmo assim foi possıvel obter-se respostas do tipo passa-banda com a frequencia central

e a largura de banda proximas das pretendidas. Quanto a regiao de passa-banda a atenuacao

obtida no filtro microstrip de acoplamento paralelo foi muito proxima da ideal, zero, com uma

pequena oscilacao ate valores iguais a 2dB aproximadamente. No filtro microstrip de meia onda

a atenuacao na regiao de passa-banda teve uma oscilacao praticamente nula.

64

Com esta dissertacao conclui-se que os projetos de filtros envolvem na pratica a consideracao

de uma grande variedade de disciplinas e factores, tais como, as propriedades electricas, fısicas,

economicas e de elementos de ressonancia e acoplamento. Tambem e necessario ter em consideracao

os materiais e processos utilizados para o fabrico (propriedades e os factores de custo), e os custos

associados com o trabalho de montagem e ajuste. Existe um papel fundamental dos programas de

design electronico no auxılio do projectista, permitindo simular os filtros e analisa-los sem ter que

fabricar prototipos, poupando tempo e dinheiro e experiencias falhadas. Por isso, e essencial que

se continue a apostar no desenvolvimento destas ferramentas, mas tambem e necessario que haja

mais literatura acessıvel e coerente sobre os projectos de filtros e todos os seus processos ate se

obter o filtro fısico real optimizado.

6.2 Perspectivas de Trabalho Futuro

Este trabalho abre portas ao estudo do tema dos filtros de microondas e ondas milimetricas.

Tentou-se ser o mais abrangente possıvel. No entanto alguns tipos de filtros nao foram abordados,

como por exemplo, os filtros combline, interdigital, hairpin, em anel e patch.

Como trabalho futuro propoe-se continuar a investigacao sobre os processos de sıntese de

modelos teoricos para filtros fısicos reais, de modo a obter um processo de design coerente e

completo, que comece a partir da teoria e descreve o processo de sıntese, a aplicacao de um filtro

fısico e o processo de optimizacao. A optimizacao de filtros atraves do recurso a programas que

permitem simular os filtros tambem e uma area de grande interesse para dar seguimento a este

trabalho.

65

66

Anexo A

Matriz ABCD

A maioria dos filtros de microondas e componentes do filtro podem ser representados por uma

rede de dois portos, como mostra a Figura A.1. Onde I1, I2 e V1, V2 sao as variaveis de corrente e

tensao nos portos um e dois respectivamente, Z01 e Z02 sao as impedancias nos terminais e Es e

a fonte.

Figura A.1: Rede de dois portos com as suas variaveis.

Os parametros ABCD de uma rede de dois portos sao dados por

A = V1V2

∣∣∣I2=0

B = V1−I2

∣∣∣V2=0

C = I1V2

∣∣∣I2=0

D = I1−I2

∣∣∣V2=0

(A.1)

Estes parametros sao de facto definidos por um conjunto equacoes lineares na notacao matri-

cial

67

V1

I1

=

A B

C D

V2

−I2

(A.2)

onde a matriz composta pelos parametros ABCD e conhecida por matriz ABCD. Por vezes tambem

pode ser referida como matriz de transferencia ou de cadeia. Os parametros ABCD tem as seguin-

tes propriedades:

AD −BC = 1 para uma rede recıproca

A = D para uma rede simetrica(A.3)

Se a rede nao tem perdas entao A e D sao puramente reais e B e C sao puramente imaginarios.

Os parametros ABCD sao bastante uteis na analise de uma rede de dois portos complexa

que possa ser dividida em duas ou mais sub-redes em cascata. Na Figura A.2 apresenta-se os

parametros ABCD de algumas redes de dois portos uteis.

68

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura A.2: Algumas redes de dois portos uteis e os seus parametros ABCD.

69

70

Anexo B

Resposta de Butterworth

O modulo quadrado da funcao de transferencia para filtros Butterworth que tem uma perda de

insercao LAr = 3, 01 dB a frequencia de corte Ωc = 1 e dada por

∣∣S21(jΩ)

∣∣2 =1

1 + Ω2n(B.1)

onde n e o grau ou a ordem do filtro, que corresponde ao numero de elementos necessarios no

filtro prototipo passa-baixo.

A resposta de Butterworth e monotona decrescente com todos os zeros em Ω = ∞. De notar

que a variacao maxima na banda de passagem ocorre no limite da banda de passagem, o que faz

com que a resposta de Butterworth seja bastante plana para Ω = 0, isto e, sem oscilacoes. Esta

propriedade faz com esta resposta seja tambem conhecida como “maximally flat”.

Portanto, a aproximacao “maximally flat” para o filtro passa-baixo ideal na banda de passagem

e melhor para Ω = 0 mas, deteriora-se a medida que Ω se aproxima da frequencia de corte Ωc = 1.

Na Figura B.1 esta representada a resposta tıpica “maximally flat”.

A funcao de transferencia racional construıda a partir de B.1 e

S21 (p) =1

n∏i=1

(p− pi)(B.2)

com

pi = je(2i−1)π

2n (B.3)

Nao existe um zero com frequencia de transmissao finita, uma vez que todos os zeros de

S21(p) estao no infinito, e os polos pi encontram-se no cırculo unitario no semi-plano esquerdo

71

Figura B.1: Resposta Butterworth (“maximally flat”) [2].

com espacamentos angulares iguais, visto que |pi| = 1 e arg pi = (2i − 1)π/2n, como se pode

ver na Figura B.2.

Figura B.2: Distribuicao dos polos para a resposta de Butterworth (“maximally flat”) [2].

72

Anexo C

Resposta de Chebyshev

A resposta de Chebyshev, que apresenta ondulacoes (“ripple”) na banda de passagem e a banda de

rejeicao “maximally flat”, esta representada na Figura C.1.

Figura C.1: Resposta de Chebyshev passa-baixo [2].

O modulo quadrado da funcao de transferencia que descreve este tipo de resposta e o seguinte

∣∣S21(jΩ)

∣∣2 =1

1 + ε2T 2n (Ω)

(C.1)

onde a constante de oscilacao ε esta relacionada com a oscilacao LAr na banda de passagem em

dB por

ε =

√10

LAr10 − 1 (C.2)

Tn (Ω) e a funcao de Chebyshev do primeiro tipo de ordem n, definida por

73

Tn (Ω) =

cos(n cos−1 Ω

)|Ω| ≤ 1

cosh(n cosh−1 Ω

)|Ω| ≥ 1

(C.3)

Assim, os filtros realizados a partir de C.1 sao normalmente conhecidos como filtros de Chebyshev.

Rhodes obteve uma formula geral da funcao de transferencia racional a partir de C.1 para o filtro

de Chebyshev

S21 (p) =

n∏i=1

[η2 + sin2 (iπ/n)

]1/2n∏i=1

(p+ pi)

(C.4)

com

pi = j cos

[sin−1 jη +

(2i− 1)π

2n

]

η = sinh

(1

nsinh−1 1

ε

)(C.5)

Assim, como no caso “maximally flat”, todos os zeros de transmissao de S21(p) estao locali-

zados no infinito. No entanto, as localizacoes dos polos para o caso de Chebyshev sao diferentes,

encontram-se numa elipse no semi-plano esquerdo. O eixo maior da elipse esta no eixo jΩ com

comprimento√

1 + η2 e o eixo menor esta no eixo σ com comprimento igual a η. Na Figura C.2

representa-se a distribuicao dos polos para n = 5.

Figura C.2: Distribuicao dos polos para a resposta de Chebyshev [2].

74

Anexo D

Linha Microstrip

A linha microstrip e um tipo de linha de transmissao planar muito utilizado em circuitos integrados

de radiofrequencia e microondas devido a sua natureza planar, fabrico facil utilizando processos

fotolitograficos, facil integracao com aparelhos de estado solido, boa dissipacao de calor, bom

suporte mecanico e uma vasta informacao de design.

Consiste numa fita de metal condutor de largura W fixada sobre um substrato dielectrico de

altura h localizado sobre um plano terra, como se apresenta na Figura D.1.

Figura D.1: Linha microstrip.

As expressoes para a constante dielectrica efectiva, εef , e para a impedancia caracterıstica, Z0,

para a linha microstrip, assumindo-se que a espessura da fita e igual a zero, (t = 0), sao dadas por

εef =εr+1

2+εr−1

2

(1 + 10

h

W

)−B(D.1)

e

75

Z0 =60√εef

ln

h

WA+

√1 +

(2h

W

)2 (D.2)

onde

A = 6 + (2π − 6) exp

[−(

30, 666h

W

)0,7528]

(D.3)

B =0, 564

1 +

1

49ln

((W/h)4 + (W/52h)2

(W/h)4 + 0, 432

)

+1

18, 7ln

[1 +

(W

18, 1h

)3](

εr − 0, 9

εr + 3

)0,053

(D.4)

A precisao da constante dielectrica efectiva obtida por D.1 e superior a 0, 2% para εr ≤ 128 e

0, 01 ≤ W/h ≤ 100. Relativamente a impedancia caracterıstica, os erros maximos sao de 0, 01%

e 0, 03% para W/h ≤ 1 e 100 respectivamente.

A largura da fita normalizada, W/h, tambem se pode determinar atraves da impedancia carac-

terıstica e da constante dielectrica relativa por

W

h=

8 exp(c)

exp(2C)−2Wh ≤ 2

2π

[D − 1− ln(2D − 1) + εr−1

2εr

(ln(D − 1) + 0, 39− 0,61

εr

)]Wh ≥ 2

(D.5)

onde

C =Z0

60

√εr + 1

2+εr − 1

εr + 1

(0, 23 +

0, 11

εr

)(D.6)

D =60π2

Z0√εr

(D.7)

Na pratica uma linha microstrip tem uma espessura de fita finita, t, e o seu efeito e aumentar

a largura da fita. As equacoes D.1 e D.2 podem ser modificadas para terem em conta t para

resultados mais precisos

76

εef (t) =

[εr+1

2+εr−1

2

(1 + 10

h

We

)−Bt] Z0(t′, εr = 1)

Z0(t, εr = 1)(D.8)

e

Z0(t) =60√εef (t)

ln

h

WeAt +

√1 +

(2h

We

)2 (D.9)

onde

At = 6 + (2π − 6) exp

[−(

30, 666h

We

)0,7528]

(D.10)

Bt =0, 564

1 +

1

49ln

((We/h)4 + (We/52h)2

(We/h)4 + 0, 432

)

+1

18, 7ln

[1 +

(We

18, 1h

)3](

εr − 0, 9

εr + 3

)0,053

(D.11)

We = W + ∆W (D.12)

∆W =∆W ′

2

(1 +

1

cosh√εr − 1

)(D.13)

∆W ′ =t

πln

(1 +

4 exp(1)

(t/h) coth2√

6, 517W/h

)(D.14)

W ′ = W + ∆W ′ (D.15)

Z0(t′, εr = 1) e Z0(t′, εr = 1) sao as impedancias caracterısticas obtidas por D.9 com

εef (t) = 1 e We dado por D.12 e D.15 respectivamente.

A constante dielectrica efectiva e a impedancia caracterıstica em funcao da frequencia sao

obtidas por

εef (f) = εr −εr − εeff (0)

1 +G(f/fp)2(D.16)

77

e

Z0(f) = Z0(0)εef (f)− 1

εef (0)− 1

√√√√√ εef (0)

εef (f)(D.17)

onde

fp =Z0(0)

2µ0h(D.18)

G =π2

12

εr − 1

εef (0)

√Z0(0)

60(D.19)

εef (0) e a constante dielectrica quasi-estatica, Z0(0) e a impedancia caracterıstica e µ0 = 4π ×

10−7 H/m e a permeabilidada em espaco livre.

As perdas na linha microstrip,como em qualquer linha de transmissao, devem-se ao facto de

os condutores e dielectricos nao serem perfeitos e sao caracterizadas pela constante de atenuacao

α = αc + αd, onde αc e αd representam as constantes de atenuacao do condutor e do dielectrico

respectivamente. A constante de atenuacao do condutor, αc em dB/cm, pode ser calculada por

Para 0 < W/h ≤ 1/2π,

αc =8, 68Rs2πZ0h

[1−

(We

4h

)2]

1 +h

We+

h

πWe

[ln

(4πW

t

)+

t

W

](D.20)

Para 1/2 < W/h ≤ 2,

αc =8, 68Rs2πZ0h

[1−

(We

4h

)2]

1 +h

We+

h

πWe

[ln

(2h

t

)− t

h

](D.21)

Para 2 ≤W/h,

αc =8, 68RsZ0h

1 +

h

We+

h

πWe

[ln

(2h

t

)− t

h

]×(We

h+

We/πh

We/2h+ 0, 94

)[We

h+

2

πln

(We

2h+ 0, 94

)]−2

onde Rs =√ωµ0/2σ e a resistividade superficial do condutor, com condutividade σ. We e a

largura electiva da fita, tendo em conta a espessura finita de metalizacao da fita da equacao D.12.

αd determina-se a partir de

78

αd =27, 3εr(εeff − 1) tan δ√εeff (εr − 1)λ0

(D.22)

onde tan δ e a perda tangente do dielectrico e λ0 e o comprimento de onda em espaco livre. Para

linhas de transmissao planares, a perda do dielectrico e normalmente menor que a perda do con-

dutor, excepto quando os dielectricos sao de substratos semicondutores com baixa resistividade,

tais como silicone.

Componentes de microondas, tais como antenas, filtros, divisores de potencia, entre outros,

podem ser formados por linhas microstrip. Esta tecnologia e muito menos cara que a tecnologia

tradicional dos guias de ondas e tambem mais leve e mais compacta.

As desvantagens da microstrip comparativamente com os guias de onda sao a menor capaci-

dade de tratamento de baixa potencia e maiores perdas. Contrariamente aos guias de onda a linha

microstrip nao e fechada e, portanto, susceptıvel a cross-talk e radiacao nao intencional.

79

80

Referencias

[1] Afonso M. Barbosa. Microondas. Seccao de Folhas da AEIST, 2008.

[2] Jia-Sheng and M. J. Lancaster. Microstrip Filters for RF/Microwave Applications. John

Wiley & Sons, Inc., 1st edition, 2001.

[3] Ralph Levy and Seymour B.Cohn. “A history of microwave research, design and develop-

ment”. IEEE Trans. Microwave Theory Tech, MTT-32(9):1055–1067, September 1984.

[4] Ralph Levy, Richard V. Snyder, and George Matthaei. “Design of microwave filters”. IEEE

Trans. Microwave Theory Tech., 50(3):783–793, September 2002.

[5] Robert E. Collin. Foundations for Microwave Engineering. IEEE Press, 2nd edition, 2001.

[6] David M. Pozar. Microwave Engineering. John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition, 1998.

[7] W. W. Mumford. “Maximally flat filters in waveguide”. Bell System Tech. J, 27:684–714,

October 1948.

[8] Seymour B. Cohn. “Direct-coupled-resonator filters. In Proceedings of the IRE, pages 187–

196, February 1957.

[9] George Matthaei. “Design of wide-band (and narrow-band) band-pass microwave filters on

the insertion loss basis”. IRE Trans. Microwave Theory Tech., pages 580–593, November

1960.

[10] Cam Nguyen. Analysis Methods for RF, Microwave, and Millimeter-Wave Planar Transmis-

sion Line Structures. John Wiley & Sons, Inc., 1st edition, 2001.

[11] John David Rhodes. “The generalized direct-coupled cavity linear phase filter”. IEEE Trans.

Microwave Theory Tech., MTT-18(6):308–313, June 1970.

81

[12] Ralph Levy. “Theory of direct-coupled-cavity filters”. IEEE Trans. Microwave Theory Tech.,

MTT-15(6):340–348, June 1967.

[13] Leo Young. “Direct-coupled cavity filters for wide and narrow bandwidths”. IEEE Trans.

Microwave Theory Tech., pages 162–178, May 1963.

[14] A. F. Harvey. “Periodic and guiding structures at microwave frequencies”. IRE Trans. Mi-

crowave Theory Tech., pages 30–61, 1960.

[15] M. A. Allen and G. S. Kino. “On the theory of strongly coupled cavity chains”. IRE Trans.

Microwave Theory Tech., pages 362–372, May 1960.

[16] AADE Filter Design and Analysis. Website, Junho 2011. http://www.aade.com/

filter.htm.

[17] Advanced Design System. Website, Junho 2011. http://www.home.agilent.com/

agilent/product.jspx?cc=PT&lc=eng&ckey=1297113&nid=-34346.0.00&id=

1297113.

82