Projeto do Controlador no Plano-Z - UFPB · Etapas do Projeto do Controlador 1. A posição dos polos dominantes no plano-s é determinada a partir dos requisitos de desempenho transitório

Projeto do Controlador no Plano-Z

Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva

[email protected]

www.cear.ufpb.br/juan

1

mailto:[email protected]

http://www.cear.ufpb.br/juan

Projeto pelo LGR Plano-z

2

Projeto no Plano-s seguido de uma discretização do

controlador

Discretização da planta seguida de projeto do controlador no

Plano-z

Projeto do Controlador

Procedimentos

• Considerar que o LGR apresenta um traçado no plano-z

• O projeto consiste em um ajuste de ganho para fazer com que os polos dominantes de malha fechada fiquem sobre o LGR em pontos determinados pelas especificações de projeto.

3

Exemplo 1

• Para o sistema discreto, obtenha o valor de K, que leva a um coeficiente de amortecimento = 0,7

4

( ) ( )

( ) 1 ( )

Y z KG z

R z KG z

Em malha aberta

( 1)( )

( 1)( 0,5)

zKG z K

z z

5

Em malha aberta

( 1)( )

( 1)( 0,5)

zKG z K

z z

%Em malha aberta

NumD = [1 1];

DenD = conv([1 -1],[1 -0.5]);

T = 1;

sys = tf(NumD,DenD,T)

rlocus(sys)

%grid

axis([-4 2 -2 2])

6

( 1)( )

( 1)( 0,5)

zKG z K

z z

LGR

Círculo Unitário

Condição de ângulo Condição de módulo

1 ( ) 0

(2 1)180

1

| ( ) |

KG z

zeros polos n

KG z

7

LGR

Círculo Unitário

Condição de ângulo

1 2

1z 0,5z

( 1)( )

( 1)( 0,5)

zKG z K

z z

1z

0,7 z=a+bj Polo

(2 1)180zeros polos n

8

0,7

0,0631K

0,718 0,217

Polo

z j

9

LGR

Círculo Unitário

Condição de ângulo

1 2

1z 0,5z

( 1)( )

( 1)( 0,5)

zKG z K

z z

1z

0,7 z=a+bj Polo

(2 1)180

7,19 (44,86 142,42 ) 180

zeros polos n

0,718 0,217

Polo

z j

0,0631K

1

2

1

0,217arctan 7,19

1,718

0,217arctan 44,86

0, 218

0, 217180 arctan

1 0,718

142,42

10

LGR

Círculo Unitário

Condição de módulo

1 2

1z 0,5z

( 1)( )

( 1)( 0,5)

zKG z K

z z

1z

0,7 z=a+bj Polo

0,718 0,217

Polo

z j

0,0631K

1 | 1|| 0,5 | | 0,718 1 0,217 || 0,718 0,5 0, 217 |

| ( ) | | 1| | 0,718 1 0,217 |

0,0632

z z j jK

G z z j

K

• Simulação para K=0,0632 e com coeficiente de amortecimento = 0,7

11

2

2

( ) ( ) ( 1)

( ) 1 ( ) ( 1,5) ( 0,5)

( ) 0,0632 0,0632( )

( ) 1,437 0,5632

Y z KG z K z

R z KG z z z K K

Y z zT z

R z z z

( )G z

12

2

( ) 0,0632 0,0632( )

( ) 1,437 0,5632

Y z zT z

R z z z

%% Discreta em MF

K = 0.0632;

T = 1;

NumD=K*[1 1];

DenD=[1 (-1.5+K) (0.5+K)];

sysD = tf(NumD,DenD,T);

t = 0:T:30;

figure

step(sysD,t)

grid

2/ 1

0,7

% 100 4,59%SP e

Projeto do Controlador por LGR no Plano-z

O método de projeto pelo LGR segue os mesmos princípios usados no modo continuo, com o objetivo de melhorar o desempenho em estado estacionário/transitório ou ambos.

13

( )G z

( ) ( )( )( )

( ) 1 ( ) ( )

c

c

G z G zY zH z

R z G z G z

Condição de módulo Condição de ângulo

No plano-Z

Etapas do Projeto do Controlador

1. A posição dos polos dominantes no plano-s é determinada a partir dos requisitos de desempenho transitório. Estes polos são então mapeados no plano-Z, usando o mapeamento z=esT

2. O zero do controlador é fixado, e o polo é calculado pela condição de ângulo

3. O ganho do controlador é calculado pela condição de módulo

14

Exemplo 2

• Projetar o controlador digital utilizando o LGR no plano-z, que apresente pólos dominantes em Malha Fechada com =0,5 e tempo de assentamento de Ts = 2 s. Considere o tempo de amostragem T = 0,2 s

15

1

( 2)s s ( )cG z

Analisando o LGR em MA (continuo)

16

1( )

( 2)pG s

s s

%% Continuo em MA

Num = 1;

Den = [1 2 0];

sys = tf(Num,Den);

figure

rlocus(sys)

• Especificações: =0,5 e tempo de assentamento de Ts = 2 s

17

2

0,5

cos 50,28

42

4 /

1 3,464 /

s

n

n

d n

T

rad s

rad s

12

0, 29,06

3,464

s

d

• Tempo de Amostragem

Valores de entre 8 e 10 são aceitáveis para a definição do tempo de amostragem

n

dj

2

sj

2 3,464s j

Polo Desejado

s

d

18

n

dj

2

sj

2 3,464s j

Polo Desejado

Plano-S

2 3,464

0,2

0,515 0,428

sT T j Tz e e e

T s

z j

0,51 0,42z j

Re

Im

dT

0,5 0,5

| | 0,67z

Plano-Z

Discretizando a Planta

19

1

2

1( ) (1 )

( 2)pG z z Z

s s

1

( 2)s s ( )cG z

Tabela

0,01758( 0,8753)( )

( 1)( 0,67)p

zG z

z z

Projeto do Gc(z) no Plano-Z

Posicionando os Zeros e Polos em Malha Aberta

20

0,51 0,42z j

Re

Im

0,01758( 0,8753)( )

( 1)( 0,67)p

zG z

z z

x x o 1z 0,67z 0,8753z

Projeto do Gc(z) no Plano-Z

21

0,51 0,42z j

Re

Im

x x o 1z 0,670,8753z

( ) cc

c

z zG z K

z p

Considerações Controlador

Fixar o zero zc =0,67 para cancelar a ação do polo em z=0,67

Preservar o polo z=1 já é um integrador que favorece a resposta para um erro em estado estacionário igual a zero.

Partir para a calculo do polo do controlador pc

o x cz

cp

Condição de ângulo para determinar 1 e pc

22

0,51 0,42z j

Re

Im

x x o 1z 0,670,8753z

( ) cc

c

z zG z K

z p

o x cz

cp

0,67cz

1 1 32

2

1 2 1 2 3

(2 1)180

( ) ( ) (2 1)180

zeros polos n

n

2 e 2 não precisam ser calculados já que serão cancelados.

Condição de ângulo para determinar 1

23

0,51 0,42z j

Re

Im

x x o 1z 0,670,8753z

( ) cc

c

z zG z K

z p

o x cz

cp

0,67cz

1 1 32

2

1 1

3 3

0, 42tan 16,92

0,51 0,87

0, 42tan(180 ) 139,39

1 0,51

1 2 1 2 3

1

1

(2 1)180

( ) ( ) (2 1)180

16,92 ( 139,39 ) 180

302,47 57,53

zeros polos n

n

Calculando pc

24

0,51 0,42z j

Re

Im

x x o 1z 0,670,8753z

( ) cc

c

z zG z K

z p

o x cz

cp

0,67cz

1 1 32

2

1

0,42tan tan 57,53 0,2425

0,51c

c

pp

Determinando o Ganho do Controlador

• Condição de Módulo

25

0,51 0,42z j

Re

Im

x x o 1z 0,670,8753z

o x cz0,24cp

1 1 32

2

K

:

1 ( ) ( ) 0

0,67 0,01758( 0,8753)1 0

0, 24 ( 1)( 0,67)

c p

Nova Malha Aberta

G z G z

z zK

z z z

0,01758( 0,8753)( )

( 1)( 0,67)p

zG z

z z

0,67( )

0,24c

zG z K

z

Determinando o Ganho do Controlador

• Condição de Módulo

26

0,51 0,42z j

Re

Im

x x o 1z 0,670,8753z

o x cz0,24cp

1 1 32

2

K

| 1|| 0,67 || 0, 24 |

0,01758 | 0,87 || 0,67 |

12,70

Condição de Módulo

z z zK

z z

K

0,01758( 0,8753)( )

( 1)( 0,67)p

zG z

z z

0,67( )

0,24c

zG z K

z

Simulação - Matlab

27

1

( 2)s s ( )cG z

0,67( ) 12,7

0,24c

zG z

z

0,01758( 0,8753)( )

( 1)( 0,67)p

zG z

z z

2

( ) 0, 2233 0,1955( )

( ) 1,0167 0,4355

C z zT z

R z z z

Análise da Estabilidade (Método de Jury)

28

Polinômio característico:

sendo a0 > 0.

O número da última linha é (2n – 3).

( ) 0P z

( ) 1 ( ) 0P z G z

n=2 #linhas = 2*2-3=1

2( ) 1,0167 0,4355P z z z

2

( ) 0,2233 0,1955( )

( ) 1,0167 0,4355

C z zT z

R z z z

29

2( ) 1,0167 0,4355P z z z

3 2

0 1 2 3( )P z a z a z a z a Fila z0 z1 z2

1 a2=0,4355 a1=-1,0167 a0=1

Critérios para o teste de Jury

1. |a2|<a0

|0,4355| < 1 2. P(z)|z=1>0

3. P(z)|z=-1 >0 para n=2 par

( 1) 2,45 0P z

( 1) 0,4188P z

Critérios para o teste de Jury

30

Portanto, as quatro condições cumprem o critério, assim o sistema é estável. Isto significa que todas as raízes da equação característica (polos do sistemas) estão contidas dentro do circulo unitário do plano-z.

1

2

0,5083 0,4208

0,5083 0,4208

z j

z j

Raízes

2( ) 1,0167 0,4355P z z z

Erro em Regime Estacionário

31

1 ( )( )

(1 ) ( )N

B zG z

z A z

Determinando o Erro em Regime Estacionário

32

1. Para uma entrada Degrau


33

1

( 2)s s ( )cG z

H=1

( ) ( ) ( )c pG z G z G z

0,67( ) 12,70

0,24c

zG z

z

0,01758( 0,8753)( )

( 1)( 0,67)p

zG z

z z

( )pG z

34

1

1

1

lim ( )

1

lim ( )

( ) ( ) ( )

0,67 0,01758( 0,8753)lim 12,7

0,24 ( 1)( 0,67)

0

10

1

pz

pz

c p

pz

p

ss

p

K GH z

H

K G z

G z G z G z

z zK

z z z

AK

eK

Erro em regime estacionário Para uma entrada Degrau

35

Teorema do Valor Final

1lim ( ) lim( 1) ( )

( ) ( ) ( )

k zc k z C z

C z T z R z

( )1

zR z

z

Degrau Função de Transferência do Sistema

21

0, 2233 0,1955lim ( ) lim( 1)

1,0167 0,4355 1

lim ( ) 1,0

k z

k

z zc k z

z z z

c k

Valor final da saída

2

( ) 0,2233 0,1955( )

( ) 1,0167 0,4355

C z zT z

R z z z

Simulação - Matlab

36

Malha Fechada com =0,5 e tempo de assentamento de Ts = 2 s.

2/ 1

% 100 16,3%SP e

%% Discreto em MF

T = 0.2;

NumD = [0.2233 0.1955];

DenD = [1 -1.0167 0.4355];

sysD = tf(NumD,DenD,T);

t=0:T:5;

figure

step(sysD,t)

grid

2

( ) 0,2233 0,1955( )

( ) 1,0167 0,4355

C z zT z

R z z z


37

2. Para uma entrada Rampa

38

1

1

1

1

1

(1 ) ( )lim

1

(1 ) ( )lim

( ) ( ) ( )

( 1) 0,67 0,01758( 0,8753)lim 12,7

0,24 ( 1)( 0,67)

2,75

10,36

vz

vz

c p

vz

v

ss

v

z GH zK

T

H

z G zK

T

G z G z G z

z z zK

zT z z z

K

eK

Erro em regime estacionário Para uma entrada Rampa

39

T = 0.2;

t=0:T:5;

Kv = 12.7*(1-0.67)*0.01758*(1+0.8753)/(0.2*(1-0.24)*(1-0.67))

ess = 1/Kv

NumD = [0.2233 0.1955];

DenD = [1 -1.0167 0.4355];

c = filter(NumD,DenD,t);

figure

plot(t,t);

hold on

plot(t,c)

hold off

grid

legend('Rampa','c(t)')

xlabel('t (s)')

ylabel('Amplitude')

title('Resposta a uma Rampa')

2

( ) 0,2233 0,1955( )

( ) 1,0167 0,4355

C z zT z

R z z z

Procedimentos do Projeto

• Análise em Malha Aberta G(s)

• Determinação das Especificação do Controlador (Plano-s)

• Especificar o período de amostragem (Critérios de projeto)

• Discretização da Planta G(z) (ZoH)

• Projeto do Controlador no Plano-z

• Simulação Discreta e Validação das especificações

• Análise da Estabilidade

• Erro em Regime Estacionário

40

Sensores/Atuadores

CLP–Controle–Redes

Supervisório

Gerenciamento

Tomada de Decisões

PLANTA 41

Planta LENHS-UFPB Automação e Controle

42



45

Usina Hidroelétrica

Saneamento de Água

Petróleo Mineração

Geração-Transmissão e Distribuição de Energia

Energias Renováveis

Exemplos de Áreas de Atuação do Engenheir@ Eletricista

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